2010年2+2高等数学模拟试卷5

2010年浙江省普通高校“2 + 2”联考《 高等数学 》模拟试卷5

考试说明：

1、考试时间为150分钟；

2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；

4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有6个小题，每一小题4分，共24分）

1、设曲线b ax x y ++=2和312xy y +-=在点)1,1(-处相切，则 =a ， =b .

2、抛物线x y =2和2x y =所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为 .

3、级数∑∞

=+-0

!)12(2)1(n n n n

的和等于 .

4、设矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=300230002A ，则行列式 |)(3|1=--*A A .

5、已知实二次型323121232284234x x x x x ax x x +-+-经正交变换化为标准形2

3

22216by y y ++，则 =a .

6、设B A ,为随机事件，7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则 )(=AB P .

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

1、设⎪⎩⎪

⎨⎧

=≠=0

, 0

0 ,|

|1arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处 【

】 (A) 不连续

(B) 连续但不可导

(C) 可导但)(x f '在0=x 处不连续

(D) 可导且)(x f '在0=x 处连续

------------------------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------

2、设函数),(y x f 连续，则二次积分

⎰

⎰

1

sin 2

d ),(d x

y y x f x ππ等于

【 】

(A) ⎰

⎰

+π

πy

x y x f y arcsin 1

0d ),(d

(B) ⎰

⎰

-π

πy x y x f y arcsin 1

d ),(d

(C)

⎰

⎰+y x y x f y arcsin 2

1

d ),(d ππ

(D)

⎰

⎰-y x y x f y arcsin 2

1

d ),(d ππ

3、设)11ln()1(n

u n

n +

-=，则正确的是（ ）.

（A ）

∑∞

=1n n u 与∑∞

=1

2

n n

u 都收敛

（B ）∑∞

=1n n u 与∑∞

=1

2

n n u 都发散 （C ）

∑∞

=1

n n u 收敛而∑∞

=1

2n n

u 发散 （D ）

∑∞

=1

n n u 发散而∑∞

=1

2

n n u 收敛 4、设n 阶矩阵A 的伴随矩阵O ≠*

A ，若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的

解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系

【 】

(A) 不存在

(B) 仅含一个解向量

(C) 含有两个线性无关的解向量

(D) 含有三个线性无关的解向量

5、已知),(Y X 服从二维正态分布),,,,(2221ρσσμμN ，则下列四对随机变量中相互独立的

【 】

(A) X 与Y X + (B) Y X +与Y X -

(C) X 与Y X -

(D) Y X +2与Y X +

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共7个小题，每小题9分，共63分）

1、设⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧>=<+=⎰0 , d arctan 10

, 0 0 , 1cos )1ln(1)(02

4

3

x t t x

x x x

x x x f x

，试讨论)(x f 在0=x 处的连续性和可导性。

2、计算 ⎰

+=40

d )tan 1ln(π

x x I .

3、将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞

=+-1

12)1(n n

n 的和.

4、设连接两点)1,0(A 与)0,1(B 的一条凸弧，点),(y x P 为凸弧AB 上的任意一点。已知凸弧与弦AP 之间的面积为3

x ，求此凸弧的方程。

5、已知线性方程组

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-+++=+++=-+++=++++2

3345622 03235432154325

432154321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x ， （1）b a ,为何值时，方程组有解?

（2）方程组有解时，求出导出组的一个基础解系. （3）方程组有解时，求出方程组的全部解.