人教B版高中数学必修一第二章单元检测卷(A)
高中数学必修一和必修二第一二章综合试题(人教A版含答案)
高一数学第二次月考模拟试题（必修一+二第一二章）时间：120分钟 分值：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．设集合A ＝{4,5,7,9}，B ＝{3,4,7,8,9}，全集U ＝A ∪B ，则集合∁U (A ∩B )中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2．下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝x 3C ．y ＝2xD ．y ＝2x3．函数y ＝＋2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)4．梯形1111A B C D （如图）是一水平放置的平面图形ABCD 的直观图（斜二测），若11A D ∥/y 轴，11A B ∥/x 轴，1111223A B C D ==111A D =，则平面图形ABCD 的面积是（ ）A.5B.10C.5．已知圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为（ ）A.120︒B.150︒C.180︒D.240︒ 6．已知f (x 3－1)＝x ＋1，则f (7)的值，为( )－1 ＋1 C ．3 D ．21117．已知23＝a，25＝b，则2等于( )A．a2－b B．2a－b8．函数y＝x2＋x(－1≤x≤3)的值域是( )A．[0,12] B．[－，12] C．[－，12] D．[，12]9．下列四个图象中，表示函数f(x)＝x－的图象的是( )10．函数y＝－x2＋8x－16在区间[3,5]上( )A．没有零点 B．有一个零点 C．有两个零点 D．有无数个零点11．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C．2 D．112．已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，若f(x)>f(2－x)，则x的取值范围是( )A．x>1 B．x<1 C．0<x<2 D．1<x<2二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A＝{<－1或2≤x<3}，B＝{－2≤x<4}，则A∪B＝. 14．函数y＝的定义域为．15．据有关资料统计，通过环境整治，某湖泊污染区域S(2)与时间t(年)可近似看作指数函数关系，已知近两年污染区域由0.16 2降至0.04 2，则污染区域降至0.01 2还需要年．16．空间四边形ABCD中，P、R分别是AB、CD的中点，PR=3、AC= 4、BD=那么AC与BD所成角的度数是.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知集合A＝{1≤x<4}，B＝{－a<0}，(1)当a＝3时，求A∩B；(2)若A⊆B，求实数a的取值范围．18．(12分)(1)计算：错误!＋(5)0＋错误!；(2)解方程：3(6x－9)＝3.19．(12分)判断函数f(x)＝＋x3＋的奇偶性．20．如图，在长方体—A1B1C1D1中，＝2，1＝＝1，E为D1C1的中点，连结，，和．(1)求证：平面⊥平面；(2)求二面角E－－C的正切值.21．(12分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：（1）O C 1∥面11AB D ；（2）1A C ⊥面11AB D ．22．( 12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)D 1ODBAC 1B 1A1C＝1，g (1)＝1， (1)求f (x )，g (x )；(2)判断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S(x)＝(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．高一数学期末考试模拟试题（答案）一、选择题(每小题5分，共60分)1．解析：U ＝A ∪B ＝{3,4,5,7,8,9}，A ∩B ＝{4,7,9}，∴∁U (A ∩B )＝{3,5,8}，有3个元素，故选A.答案：A2．解析：A 为偶函数，C 、D 均为非奇非偶函数．答案：B 3．解析：要使函数有意义，自变量x 的取值须满足 错误!，解得x >－3且x ≠0.答案：D4． 解析：梯形1111A B C D 上底长为2，下底长为3腰梯形11A D 长为1，腰11A D与下底11C D 的夹角为45 ，所以梯形1111A B C D ，所以梯形1111A B C D 的面积为1+2（23 ，根据S S 直观平面 可知，平面图形ABCD 的面积为5.答案：A5．解析：由22r r 3r l πππ+=知道2l r =所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角度数为136********r l ⨯︒=⨯︒=︒，故选C 答案：C6．解析：令x 3－1＝7，得x ＝2，∴f (7)＝3.答案：C 7．解析：2＝29－25＝223－25＝2a －b .答案：B8．解析：画出函数y ＝x 2＋x (－1≤x ≤3)的图象，由图象得值域是[－，12]．答案：B9．解析：函数y ＝x ，y ＝－在(0，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )＝x －在(0，＋∞)上为增函数，故满足条件的图象为A.答案：A 10．解析：∵y ＝－x 2＋8x －16＝－(x －4)2，∴函数在[3,5]上只有一个零点4.答案：B11．解析：因为①②④正确，故选B ．12．解析：由题目的条件可得错误!，解得1<x <2，故答案应为D.答案：D二、填空题(每小题5分，共20分) 13．答案：{<4}14．解析：根据对数函数的性质可得2(3－4x )≥0＝21，解得3－4x ≥1，得x ≤，所以定义域为(－∞，]．答案：(－∞，]15．解析：设S ＝，则由题意可得a 2＝，从而a ＝，于是S ＝()t，设从0.04 2降至0.01 2还需要t 年，则()t＝，即t ＝2.答案：2 16、解析：如图，取AD 中点Q ，连PQ ，RQ ，则PQ =，2RQ =，而PR =3，所以222PQ RQ PR +=，所以PQR 为直角三角形，90PQR ∠=︒，即PQ 与RQ 成90︒的角，所以AC 与BD 所成角的度数是90︒.答案：90︒三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知集合A ＝{1≤x <4}，B ＝{－a <0}， (1)当a ＝3时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，B ＝{－3<0}＝{<3}，则有A ∩B ＝{1≤x <3}． (2)B ＝{－a <0}＝{<a }，当A ⊆B 时，有a ≥4，即实数a 的取值范围是[4，＋∞)． 18．(12分)(1)计算：错误!＋(5)0＋错误!； (2)解方程：3(6x－9)＝3.解：(1)原式＝错误!＋(5)0＋[(错误!)3]－错误!＝错误!＋1＋错误!＝4.(2)由方程3(6x －9)＝3得6x －9＝33＝27，∴6x ＝36＝62，∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．19．(12分)判断函数f (x )＝＋x 3＋的奇偶性．解：由－1≠0，得x ≠0，∴函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝＋(－x )3＋＝－x 3＋＝－x 3＋＝－－x 3－＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．20．(12分) 如图，在长方体—A 1B 1C 1D 1中，＝2，1＝＝1，E 为D 1C 1的中点，连结，，和．(1)求证：平面⊥平面； (2)求二面角E －－C 的正切值.证明：(1)在长方体－A 1B 1C 1D 1中，＝2，1＝＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△1E 为等腰直角三角形，∠D 1＝45°．同理∠C 1＝45°．∴︒=∠90DEC ，即⊥．在长方体－1111D C B A 中，⊥平面11DCC D ，又⊂平面11DCC D ， ∴⊥．又C BC EC = ，∴⊥平面．∵平面过，∴平面⊥平面． (2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作⊥于O ．在长方体－1111D C B A 中，∵面⊥面11DCC D ，∴⊥面．过O 在平面中作⊥于F ，连结，∴⊥．∠为二面角E －－C 的平面角．利用平面几何知识可得＝51， (第20题)又＝1，所以，∠＝5．21.(12分)已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.D 1C 1B 1A 1求证：（１）O C 1∥面11AB D ；（2 ）1AC ⊥面11AB D ． 证明：（1）连结11A C ，设11111AC B D O =连结1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体11A ACC ∴是平行四边形11A C AC ∴且 11A C AC =又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11O C AO ∴且11O C AO =11AOC O ∴是平行四边形 111,C O AO AO ∴⊂面11AB D ，1C O ⊄面11AB D ∴1C O面11AB D（2）1CC ⊥面1111A B C D 11!CC B D ∴⊥ 又1111A C B D ⊥， 1111B D AC C ∴⊥面 111AC B D ⊥即 同理可证11A C AB ⊥， 又1111D B AB B =∴1A C ⊥面11AB D22．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝1，(1)求f (x )，g (x )；(2)判断函数h (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)证明函数S (x )＝(x )＋g ()在(0，＋∞)上是增函数． 解：(1)设f (x )＝k 1x (k 1≠0)，g (x )＝(k 2≠0)．∵f (1)＝1，g (1)＝1，∴k 1＝1，k 2＝1.∴f (x )＝x ，g (x )＝. (2)由(1)得h (x )＝x ＋，则函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数．(3)证明：由(1)得S(x)＝x2＋2.设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则S(x1)－S(x2)＝(＋2)－(＋2)＝－＝(x1－x2)(x1＋x2)．∵x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>0.∴S(x1)－S(x2)<0.∴S(x1)<S(x2)．∴函数S(x)＝(x)＋g()在(0，＋∞)上是增函数．11 / 11。
【金版教程】人教版高中数学必修一练习：第二章单元质量测评2(含答案解析)
第二章 单元质量测评(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．化简a 3b 12a12 b 14 (a>0，b>0)结果为( )A ．aB ．b C.a b D.b a答案 A解析 原式＝a32 b 14a12 b 14＝a.2．[2016·福建省厦门市质检]函数f(x)＝2－x1－log 2x 的定义域为( )A ．(0,2]B ．(0,2)C ．(－2,2)D ．[－2,2]答案 B解析 为使函数f(x)＝2－x1－log 2x有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x≥01－log 2x≠0，x>0∴⎩⎪⎨⎪⎧x≤2x≠2，x>0∴0<x<2，∴函数f(x)的定义域为(0,2)，故选B.3．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过( )A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限答案 D解析 y ＝x －1的图象经过第一、三象限，y ＝x12 的图象经过第一象限，y ＝x 的图象经过第一、三象限，y ＝x 3的图象经过第一、三象限．故选D.4．函数f(x)＝ln (x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f(2a ＋5)＋f(4－b)＝0，则2a －b ＝( )A ．1B ．－1C ．－9D ．9答案 C解析 经分析得f(x)是奇函数，又是增函数，由f(2a ＋5)＋f(4－b)＝0，得f(2a ＋5)＝－f(4－b)＝f(b －4)，所以2a ＋5＝b －4，得2a －b ＝－9.故选C.5．[2015·孝感高一期中]设函数f(x)＝log a (x ＋b)(a ＞0，a≠1)的图象过点(0,0)，其反函数过点(1,2)，则a ＋b 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 由题意可列方程⎩⎪⎨⎪⎧log a 0＋b ＝0log a2＋b ＝1，解方程得a ＝3，b ＝1，所以a ＋b ＝4，故答案选B.6．[2015·米易中学高一月考]若a ＝⎝⎛⎭⎫23x ，b ＝x 2，c ＝log 23 x ，则当x ＞1时，a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b答案 C解析 当x ＞1时，因为a ＝⎝⎛⎭⎫23x ，所以0＜a ＜23，b ＝x 2，所以b ＞1，c ＝log 23 x ，所以c ＜0，则a 、b 、c 的大小关系是c ＜a ＜b ，故选C.7．若函数f(x)＝log a (x ＋b)的图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g(x)＝a x ＋b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数f(x)＝log a (x ＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a (x ＋b)在(－b ，＋∞)上是减函数．所以0<a<1，－1<－b<0，故0<b<1.因为0<a<1，所以g(x)＝a x ＋b 在R 上是减函数，故排除A ，B.因为0<b<1，函数g(x)＝a x ＋b 的值域为(b ，＋∞)，所以g(x)＝a x ＋b 的图象应在直线y ＝b 的上方，故排除C.8．若f(x)，g(x)分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f(x)－g(x)＝e x ，则有( ) A ．f(2)<f(3)<g(0) B ．g(0)<f(3)<f(2) C ．f(2)<g(0)<f(3) D ．g(0)<f(2)<f(3) 答案 D解析 用－x 代x ，则有f(－x)－g(－x)＝e －x ，即－f(x)－g(x)＝e －x ，结合f(x)－g(x)＝e x ，可得f(x)＝e x －e －x 2，g(x)＝－e －x ＋e x2.所以f(x)在R 上为增函数，且f(0)＝0，g(0)＝－1，所以f(3)>f(2)>f(0)>g(0)，故选D. 9．在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a<b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f(x)＝(1⊕x)＋(2⊕2x )，x ∈[－2,2]的最大值为( )A ．3B ．6C ．12D ．20答案 D解析 依题意，1⊕x ＝⎩⎨⎧ 1 x≤1 x 2 x>1 ，2⊕2x ＝⎩⎨⎧2 x≤1 2x 2 x>1 ， ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2 x≤1 x 2＋ 2x 2x>1 . 当x ∈[－2,1]时，f(x)＝1＋2＝3；当x ∈(1,2]时， f(x)＝x 2＋22x ＝x 2＋4x ，所以f(x)max ＝f(2)＝20.10．[2015·山东高考]设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x<1，2x ，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)答案 C解析 因y ＝2x 与y ＝3x －1在(－∞，1)上没有公共点，故由f(f(a))＝2f(a)可得f(a)≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧ a<1，3a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a≥1，2a ≥1，解得a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫23，＋∞，故选C. 11．已知函数f(x)＝lg (2x －b)(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f(x)≥0恒成立，则( ) A ．b≤1 B ．b<1 C ．b≥1 D ．b ＝1答案 A解析 当x ∈[1，＋∞)时，f(x)≥0，从而2x －b≥1，即b≤2x －1.而x ∈[1，＋∞)时，y ＝2x－1单调递增，∴b≤2－1＝1.12．[2016·石家庄高一期中]已知x 2＋y 2＝1，x ＞0，y ＞0，且log a (1＋x)＝m ，log a11－x＝n ，则log a y 等于( )A ．m ＋nB ．m －n C.12(m ＋n) D.12(m －n) 答案 D解析 ∵x ＞0，y ＞0，∴m －n ＝log a (1＋x)－log a 11－x ＝log a (1－x 2)＝log a y 2＝2log a y ，log a y＝m －n 2，故选D.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝e |x －a|(a 为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，1]解析 令t ＝|x －a|，则t ＝|x －a|在区间[a ，＋∞)上单调递增，而y ＝e t 在R 上为增函数，所以要使函数f(x)＝e |x －a|在[1，＋∞)上单调递增，则有a≤1，所以a 的取值范围是(－∞，1]．14．[2015·台州中学高一统考]计算⎝⎛⎭⎫32×36＋()2243 －4×⎝⎛⎭⎫1649－12 －42×80.25－(－2013)0＝________.答案 100解析 原式＝(213 ×3 12 )6＋(234 ) 43 －4×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫472－ 12 －214 ×234 －1＝22×33＋2－7－2－1＝108＋2－10＝100.15．已知函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞)解析 因为函数y ＝log a (3a －1)的值恒为正数，即log a (3a －1)＞0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜13a －1＜13a －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞13a －1＞13a －1＞0，解得13＜a ＜23或a ＞1，故所求a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23∪(1，＋∞)16．若x 12 －x － 12 ＝1，则x ＋x －1＝________. 答案 3解析 对x 12 －x － 12 ＝1两边平方得x ＋x －1－2＝1，所以x ＋x －1＝3. 三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．[2015·雅安高一期中](本小题满分10分)化简或求值： (1)⎝⎛⎭⎫2450＋2－2×⎝⎛⎭⎫214－ 12－(0.01)12；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋ lg 2 2－lg 2＋1. 解 (1)原式＝1＋14×23－0.1＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋ lg 2－1 2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝1.18．(本小题满分12分)函数f(x)＝(a －b)x 13＋b －3是幂函数，比较f(a)与f(b)的大小． 解 因为f(x)是幂函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ b －3＝0，a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，所以f(x)＝x 13 . 因为函数f(x)＝x 13在[0，＋∞)上是增函数，且a>b>0，所以f(a)>f(b)．19．[2015·荆州中学高一期中](本小题满分12分)已知函数f(x)＝x n －4x ，且f(4)＝3.(1)判断f(x)的奇偶性并说明理由；(2)判断f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性，并证明你的结论；(3)若对任意实数x 1，x 2∈[1,3]，有|f(x 1)－f(x 2)|≤t 成立，求t 的最小值． 解 (1)f(4)＝4n －1＝3即4n ＝4，∴n ＝1， ∴f(x)＝x －4x，∵函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称， f(－x)＝－x ＋4x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，证明如下： 任取0＜x 1＜x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝x 2－x 1－4x 2＋4x 1＝x 2－x 1＋4x 1·x 2(x 2－x 1)＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1＋4x 1x 2， ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1·x 2＞0， ∴f(x 2)＞f(x 1)∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． (3)依题意，t≥|f(x 1)－f(x 2)|max ， ∵f(x)在[1,3]上单调递增， ∴|f(x 1)－f(x 2)|max ＝|f(3)－f(1)|＝143， 故t≥143，∴t 的最小值为143.20．(本小题满分12分)已知f(x)＝－x n ＋cx ，f(2)＝－14，f(4)＝－252，若函数y ＝log 22f(x)的定义域为(0,1)，试判断其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫322，1上的单调性．解 由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f 2＝－2n ＋2c ＝－14，f 4 ＝－4n＋4c ＝－252.解得n ＝4，c ＝1，所以f(x)＝－x 4＋x. 任取x 1，x 2，使322<x 1<x 2<1，则f(x 1)－f(x 2)＝－x 41＋x 1－(－x 42＋x 2)＝(x 1－x 2)[1－(x 1＋x 2)·(x 21＋x 22)]．因为x 1＋x 2>32，x 21＋x 22>342， 所以(x 1＋x 2)(x 21＋x 22)>32×342＝1.所以f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫322，1上单调递减． 又因为0<22<1， 所以y ＝log 22f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫322，1上单调递增． 21．(本小题满分12分)我国加入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产品市场供应量p 与关税的关系近似满足p(x)＝2(1－kt)(x －b)2(其中t 为关税的税率，且t ∈⎣⎡⎭⎫0，12，x 为市场价格，b ，k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如下图所示．(1)根据图象，求b ，k 的值；(2)设市场需求量为a ，它近似满足a(x)＝2，当p ＝a 时的市场价格称为市场平衡价格．当市场平衡价格控制在不低于9元时，求关税税率的最小值．解 (1)由图象，知⎩⎪⎨⎪⎧1＝22＝2即⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－k 8 5－b 2＝0，⎝⎛⎭⎫1－k 8 7－b 2＝1.解得b ＝5，k ＝6.(2)p ＝a 时，有2(1－6t)(x －5)2＝2，即(1－6t)·(x －5)2＝11－x 2，2(1－6t)＝17x －5 2－1x －5. 由x≥9，得x －5≥4，即0<1x －5≤14. 令m ＝1x －5，则2(1－6t)＝17m 2－m ＝17⎝⎛⎭⎫m －1342－168⎝⎛⎭⎫m ∈⎝⎛⎦⎤0，14. 当m ＝14时，2(1－6t)max ＝1716－14＝1316，则1－6t≤1332，t≥19192.所以最小关税税率定为19192.22．[2015·孝感中学高一期中](本小题满分12分)已知定义在区间(－1,1)上的函数f(x)＝x ＋log 121－x 1＋x .(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13时，f(x)是否存在最大值？若存在求出它的最大值，若不存在，请说明理由．解 (1)对于任意的x ∈(－1,1)，∵f(－x)＝－x ＋log 12 1＋x 1－x ＝－x ＋log 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－x －log 12 1－x 1＋x ＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)设g(x)＝x ，t(x)＝1－x 1＋x，则f(x)＝g(x)＋log 12t(x)，且g(x)在⎣⎡⎦⎤－13，13为增函数，下证t(x)＝－1＋21＋x 在⎣⎡⎦⎤－13，13为减函数，任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈⎣⎡⎤－13，13， 则t(x 1)－t(x 2)＝－1＋21＋x 1－⎝⎛⎭⎫－1＋21＋x 2＝2 x 2－x 11＋x 1 1＋x 2 ，∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.又x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤－13，13，∴1＋x 1>0,1＋x 2>0. ∴t(x 1)－t(x 2)>0，即t(x 1)>t(x 2)． ∴t(x)在区间⎣⎡⎦⎤－13，13上是减函数． 而y ＝log 12t 是减函数， ∴y ＝log 12t(x)在⎣⎡⎦⎤－13，13上是增函数． 所以f(x)＝g(x)＋log 12 t(x)在⎣⎡⎦⎤－13，13上为增函数． ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13时，f(x)有最大值， 且f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫13＝13＋log 12 1－131＋13＝43. ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤－13，13时，f(x)存在最大值，且最大值为43.。
新教材人教B版高中数学选择性必修第一册第二章第二节直线及其方程 课时练习题含答案解析
2.2直线及其方程文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。
2.2.1直线的倾斜角与斜率.......................................................................................... - 1 -2.2.2直线的方程 ......................................................................................................... - 7 -第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程...................................................... - 7 -第2课时直线的两点式方程与一般式方程.................................................... - 12 -2.2.3两条直线的位置关系........................................................................................ - 18 -2.2.4点到直线的距离................................................................................................ - 25 -2.2.1直线的倾斜角与斜率1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+√3),则此直线的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°k=2+√3-24-1=√33,∴直线的倾斜角为30°.2.(多选)下列说法中,不正确的有()A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.任何一条直线都能找出方向向量错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.3.若某直线的斜率k∈(-∞,√3],则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.0,π3B.π3,π2C.0,π3∪π2,π D.π3,π解析∵直线的斜率k∈(-∞,√3],∴k≤tanπ3,∴该直线的倾斜角α的取值范围是0,π3∪π2,π.故选C.4.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为()A.-2√3B.0C.√3D.2√3BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB 的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B. 5.若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2,k1<0,k2>0,k3>0,且l2比l3的倾斜角大,∴k1<k3<k2.6.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是.°,100°)0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.故α的取值范围为[10°,100°).7.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为.或(0,-3)P 的坐标为P (x ,0),则k=0-(-1)x -2=tan45°=1,∴x=3,即P (3,0).若设点P 的坐标为P (0,y ), 则k=y -(-1)0-2=tan45°=1,∴y=-3,即P (0,-3).8.已知A (-1,-2),B (2,1),C (x ,2)三点共线,则x= ,直线AB 的倾斜角为 . 3,π4AB 斜率为k AB =1+22+1=1,直线BC 斜率为k BC =2-1x -2,因为A (-1,-2),B (2,1),C (x ,2)三点共线,所以k AB =k BC ,则x=3,由tan θ=1得θ=π4,所以直线AB 的倾斜角为π4. 9.已知点A (1,2),B (-2,-4),C 2,72,D (x ,-2). (1)证明:A ,B ,C 三点共线; (2)若∠DAB=π2,求x 的值. (1)证明A (1,2),B (-3,-4),C 2,72,∴k AB =-4-2-3-1=32,k AC =72-22-1=32, ∴k AB =k AC ,∴A ,B ,C 三点共线.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-6),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,-4),若∠DAB=π2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x 的值为7.10.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围.直线l 与线段AB 有公共点,∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间,当l 的倾斜角等于90°时,斜率不存在;当l 的倾斜角小于90°时,k ≥k PB ;当l 的倾斜角大于90°时,k ≤k PA .∵k PA =-1-42-(-3)=-1,k PB =-1-22-3=3,∴直线l 的斜率k 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).11.直线ax-y+1=0与连接A (2,3),B (-3,2)的线段相交,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.[-1,3]C.(-∞,-13]∪[1,+∞) D.[-13,1]ax-y+1=0恒过定点C (0,1),如图,由k AC =3-12-0=1,k BC =2-1-3-0=-13,又直线ax-y+1=0与连接A (2,3),B (-3,2)的线段相交,即y=ax+1与连接A (2,3),B (-3,2)的线段相交,所以a ∈(-∞,-13]∪[1,+∞). 12.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c=lnx -0x -1表示函数y=ln x 图像上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率,如图所示.令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DC <k DB <k DA ,即c<b<a. 13.若直线l 的倾斜角α满足2π3≤α≤5π6,则其斜率k 的范围为( ) A.(1,√3]B.[-√3,-1]C.-√3,-√33 D.√33,√3解析∵直线l 的倾斜角α满足2π3≤α≤5π6,且k=tan α,又tan 2π3=-√3,tan 5π6=-√33,函数y=tan x 在π2,π上单调递增,∴k 的范围为-√3,-√33. 故选C .14.若直线l 的一个法向量为n =(2,1),则直线l 的斜率k= .2,设直线l 的斜率为k ,则其方向向量为a =(1,k ),若直线l 的一个法向量为n =(2,1),则有a ·n =2+k=0,解得k=-2.15.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,4),B (1,2),C (-2,3),则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为 .BC 的斜率为k BC =3-2-2-1=-13,∵BC ⊥AD ,∴k BC ·k AD =-1,则k AD =3. 16.已知A (3,3),B (-4,2),C (0,-2). (1)求直线AB 和AC 的斜率;(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动,求直线AD 的斜率的变化范围.由斜率公式,可得直线AB 的斜率k AB =2-3-4-3=17,直线AC 的斜率k AC =-2-30-3=53,即直线AB 的斜率为17,直线AC 的斜率为53.(2)如图,当点D 由点B 运动到点C 时,直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ,由(1)知,k AB =17,k AC =53.故直线AD 的斜率的变化范围是[17,53].17.一束光线从点A (-2,3)射入,经x 轴上点P 反射后,经过点B (5,7),则点P 的坐标为 . (110,0):设P (x ,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①.所以反射光线PB 的倾斜角β与入射光线AP 的倾斜角(π-α)互补,因此,k AP =-k BP , 即0-3x -(-2)=-0-7x -5,解得x=110, 即P (110,0).图①图②方法二:由题意知,x 轴是镜面,易知入射点A (-2,3)关于x 轴的对称点为A'(-2,-3). 由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P ,B 三点共线,如图②.从而有k A'P =k PB ,即0+3x+2=75-x ,解得x=110,即P (110,0).18.设直线l 与坐标轴的交点分别为M (a ,0),N (0,b ),且ab ≠0,斜率为k ,坐标原点到直线l 的距离为d. 试证:(1)b=-ka ; (2)a 2k 2=d 2(1+k 2); (3)1d 2=1a 2+1b 2.由斜率公式得k=b -00-a =-ba ,所以b=-ka.(2)由面积公式可得S △OMN =12|a||b|=12d ·√a 2+b 2,所以a 2b 2=d 2(a 2+b 2).又由(1)b=-ka 可得b 2=k 2a 2,代入上式即得a 2k 2=d 2(1+k 2).(3)由(2)中a2b2=d2(a2+b2),可得1d2=a2+b2a2b2=1a2+1b2,即1d2=1a2+1b2.2.2.2直线的方程第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程1.方程y-y0=k(x-x0)()A.可以表示任何直线B.不能表示过原点的直线C.不能表示与y轴垂直的直线D.不能表示与x轴垂直的直线y-y0=k(x-x0)是直线的点斜式方程,当直线垂直x轴时,斜率不存在,不能用点斜式表示.故选D.2.经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为()A.x=3B.y=3C.y=x+3D.y=2x+33.集合A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为()A.A⊆BB.B⫋AC.B=AD.A⫋B4.如图,直线y=ax+1a的图像可能是()a ≠0.假设a>0,则直线y=ax+1a 的斜率与在y 轴上的截距都大于0,则A,C,D 都不符合.假设a<0,则直线y=ax+1a 的斜率与在y 轴上的截距都小于0,只有B 符合.综上,只有B 正确.故选B .5.直线y=k (x-2)+3必过定点 .y-3=k (x-2).6.过点(-10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为 .或y=-14x+152,显然直线的斜率存在,设直线方程为y=kx ,代入(-10,10),有-10k=10,即k=-1,所以直线方程为y=-x ;当直线不过坐标原点时,设y-10=k (x+10),所以横截距为-10k -10,纵截距为10k+10,所以-10k -10=4(10k+10),解得k=-14或k=-1(舍),所以直线方程为y=-14x+152.综上,直线方程为y=-x 或y=-14x+152.7.从原点O 向直线l 作垂线,垂足为点M (1,2),则l 的方程为 . y=-12x+52点M (1,2),∴k OM =2,则k l =-12,则直线l 的方程为y-2=-12(x-1),即y=-12x+52. 8.已知所求直线l 的斜率是直线y=-√3x+1的斜率的-13,且分别满足下列条件: (1)经过点(√3,-1);(2)在y 轴上的截距是-5,分别求该直线的方程.解∵直线方程为y=-√3x+1,∴k=-√3.由题知,所求直线l 的斜率k l =-√3×-13=√33.(1)∵直线过点(√3,-1),∴所求直线l 的方程为y+1=√33(x-√3),即y=√33x-2. (2)∵直线在y 轴上的截距为-5,又∵所求直线的斜率k l =√33,∴所求直线l 的方程为y=√33x-5.。
(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知a >0，b >0，a +b =1，则下列等式可能成立的是（ ） A ．221a b += B ．1ab = C ．212a b +=D ．2212a b -=2．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．163．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为（ ） A ．0B ．3C ．94D ．14．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41x 1y++的最小值为( ) A ．447B ．275 C ．143D ．925．已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A ．112B ．5C ．222+D ．32+6．当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．8m ≤B ．8m <C ．8m ≥D ．8m >7．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP ABAC=+，则·PB PC 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．218．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22B ．22+C ．422+D ．422- 9．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．610．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94D ．411．已知关于x 的不等式()()224210a x a x -+--≥的解集为空集，则实数a 的取值范围是（ ） A ．62,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．62,5⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．6,25⎛⎤-⎥⎝⎦D ．(][),22,-∞+∞12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6B π=且1ABC S =△，则2a c ac a c+-+的最小值（ ） A ．12B ．2C ．14D ．4二、填空题13．对于实数m ，若两函数()f x ，()g x 满足：①[,)x m ∀∈+∞，()0f x <或()0<g x ；②(,]x m ∃∈-∞，()()0f x g x <，则称函数()f x 和()g x 互为“m 相异”函数.若2()1f x ax ax =+-和()1g x x =-互为“1相异”函数，则实数a 的取值范围是___________.14．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 15．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________. 16．设函数4()f x x x=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.17．若1a 2-<<，21b -<<，则-a b 的取值范围是 ．18．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．19．设2020a b +=，0b >，则当a =____________时，12020a a b+取得最小值.20．已知函数3()3f x x x =-，若对任意的实数x ，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，则实数t 的取值范围__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(1)8f -=且(0)(4)3f f == （1）求()f x 的解析式；（2）若[],1x t t ∈+，试求()y f x =的最小值.22．已知a 、b 都是正实数，且.bb a a=- （1）求证:a >1； （2）求b 的最小值.23．已知命题p ：方程240x mx ++=无实数根：命题q ：不等式()2310x m x +-+>在x ∈R 上恒成立.（1）如果命题p 是假命题，请求出实数m 的取值范围；（2）如果命题p q ∨为真命题，且命题p q ∧为假命题，请求出实数m 的取值范围.24．解下列不等式： （1）2340x x -->； （2）122x x -≤+．25．已知二次函数()f x 满足()01f =，()()125f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）若[]3,1x ∈-，若()25f x m m ≤-恒成立，求实数m 的取值范围.26．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据已知条件由2()2a b ab +≤可求出2212a b +≥，又由完全平方公式可得221a b +<，即可判断A 、B ；由已知条件可知01b <<，则2b b >，因此22212a b a b +>+≥，可判断C ；由平方差公式可得12a b -=，与1a b +=联立可求出满足条件的a 、b ，故D 可能成立.001a b a b >>+=，，2222211()21212()12()222a b a b a b ab ab +∴+=+-=-≥-⋅=-⨯=， 当且仅当12a b ==时等号成立， 又0ab >，222()2121b a b a ab a b +=+-=-<∴，22112a b ≤+<∴，则221a b +=不可能成立； 2211()()224a b ab ≤==+，当且仅当12a b ==时等号成立，故1ab =不可能成立；001a b a b >>+=，，，01b ∴<<，2b b ∴>，22212b a b a +>+≥∴（由A 可知），则212a b +=不可能成立； ()()2212a b a b a b a b -=+-=-=，联立112a b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得31,44a b ==，满足条件，D 成立. 故选：D2．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.3．D【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，2234z x xy y ∴=-+．∴2211434432?xy xy x y zx xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.4．D解析：D 【分析】将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫+++=⋅+ ⎪++⎝⎭，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，(41141141191451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭(当且仅当13x =，23y =取等号)，故选D ． 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.5．C解析：C 【分析】将原式变形为()2211b a b b a b ab++⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：()222111b a b b b a b ab ab+++⎛⎫+== ⎪⎝⎭)()222222222a abab b a ab ababab++++==≥=，当且仅当a =时取等号，即2a =1b =时等号成立，故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】 由题可得444444x x x x +=-++--，且40x ->，利用基本不等式解答即可． 【详解】解：∵4x >，∴40x ->，∴44444844x x x x +=-++≥=-- 当且仅当444x x -=-，即6x =时取等号， ∵当4x >时，不等式44x m x +≥-恒成立， ∴只需min484m x x ⎛⎫≤+= ⎪-⎝⎭． ∴m 的取值范围为：(8],-∞． 故选A ． 【点睛】本题主要考查基本不等式，解题的关键是得出444444x x x x +=-++--，属于一般题．7．A解析：A 【详解】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，1AP =（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．8．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m =-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n mx y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.9．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由题意得出关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R ，由此得出240a -=或2400a ⎧-<⎨∆<⎩，在240a -=成立时求出实数a 的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数a 的取值范围. 【详解】由题意知，关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .（1）当240a -=，即2a =±．当2a =时，不等式()()224210a x a x -+--<化为10-<，合乎题意；当2a =-时，不等式()()224210a x a x -+--<化为410x --<，即14x >-，其解集不为R ，不合乎题意；（2）当240a -≠，即2a ≠±时．关于x 的不等式()()224210a x a x -+--<的解集为R .2400a ⎧-<∴⎨∆<⎩，解得265a -<<．综上可得，实数a 的取值范围是6,25⎛⎤- ⎥⎝⎦．故选C ．【点睛】本题考查二次不等式在R 上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.12．A解析：A 【分析】由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令24a c y a c +=-+，+a c t =，24t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6B π=且1ABC S =△，得1sin 126ac π=，解得4ac =， 所以2+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，即+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则24t y t =-（4t ≥），而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以24214442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c+-+的最小值为12. 故选：A. 【点睛】本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.二、填空题13．【分析】根据两个函数互为相异函数可得有恒成立且在上有解利用参变分离先讨论前者再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围【详解】因为当时当时当时结合互为相异函数故有恒成立且在上有解先考虑有恒成立则在 解析：(),4-∞-【分析】根据两个函数互为“1相异”函数可得[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解，利用参变分离先讨论前者，再结合二次函数的图象和性质可得所求的取值范围. 【详解】因为当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当1x <时，()0g x <， 结合()(),f x g x 互为“1相异”函数，故[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，且()0f x >在(),1-∞上有解. 先考虑[1,)x ∀∈+∞，有()0f x <恒成立，则210ax ax 在[1,)+∞上恒成立，故2+1a x x<在[1,)+∞上恒成立， 因为22+x x ≥，故2+1102x x <≤，故0a ≤. 再考虑()0f x >在(),1-∞上有解，若0a =，则()10f x =-<，故()0f x >在(),1-∞上无解， 若0a <，()f x 的对称轴为12x =-，且开口向下，由()0f x >在(),1-∞上有解可得240a a ∆=+>， 故4a或0a >（舍）.故实数a 的取值范围是(),4-∞-， 故答案为：(),4-∞-. 【点睛】方法点睛：对于新定义背景下的函数性质的讨论，一般是先根据定义得到含参数的函数的性质，对于不等式的恒成立或有解问题，可优先考虑参变分离的方法，也可以结合函数图象的性质处理.14．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9【分析】 由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x+的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．【分析】因为函数的定义域为即不等式恒成立需按二次项系数：为零与不为零分类讨论当系数不为零时只需让系数大于零且根的判别式小于零解此不等式组即可求出的取值范围【详解】∵函数的定义域为∴对于任意恒有①若则 解析：2(,)[2,)3-∞⋃+∞ 【分析】因为函数的定义域为R ，即不等式22(32)(2)10m m x m x -++-+>恒成立，需按二次项系数：232m m -+为零与不为零，分类讨论，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零，解此不等式组，即可求出m 的取值范围.【详解】∵ 函数()f x 的定义域为R ，∴ 对于任意x ∈R ，恒有22(32)(2)10m m x m x -++-+>，① 若2320m m -+=，则2m =或1，当1m =时，不等式即为101x x -+>⇒<，不符合题意，当2m =时，不等式即为10>，符合题意，∴ 2m =符合题意；② 若2320m m -+≠，由题意得()22232024(32)0m m m m m ⎧-+>⎪⎨∆=---+<⎪⎩， 解得：2m >或23m <； 综上可得，m 的取值范围是2m ≥或23m <． 故答案为：2(,)[2,)3-∞⋃+∞.【点睛】关键点睛：本题主要考查二次不等式的恒成立问题．讨论二次项系数为零与不为零，当系数不为零时，只需让系数大于零且根的判别式小于零是解决本题的关键. 16．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-【分析】 由题意可得212ax a a<+在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围．【详解】 函数4()f x x x =-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x-+-<， 即有212ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭在[2，)+∞恒成立， 当0a >时，22121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意； 当0a <时，22121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭， 解得1a >或1a <-，即有1a <-成立．则a 的取值范围是(,1)-∞-．故答案为：(,1)-∞-．【点睛】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．17．(-24)【分析】根据条件得到的范围然后与的范围相加得到的取值范围【详解】因为所以而所以故答案为【点睛】本题考查不等式的基本性质属于简单题 解析：(-2,4)【分析】根据条件，得到b -的范围，然后与a 的范围相加，得到-a b 的取值范围.【详解】因为21b -<<，所以12b -<-<而1a 2-<<所以24a b -<-<故答案为()2,4-.【点睛】本题考查不等式的基本性质，属于简单题.18．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞【分析】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出()24+1f x x x =-的值域即可.【详解】不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，因为函数()24+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，所以()f x 的值域为[]31-，，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题. 19．【分析】根据题中所给的式子结合已知条件将式子进行整理结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果【详解】由已知有：当且仅当时等号成立即故答案为：【点睛】该题考查的是有关求最值的问题涉及到的知识点有基本不等解析：20202019-【分析】 根据题中所给的式子，结合已知条件，将式子进行整理，结合绝对值的意义以及基本不等式求得结果.【详解】由已知有：22212020202020202020a a a a b a b a b a b a a b++=+=++212020≥-+ 221140392202020202020=-+⨯=， 当且仅当0a <，22020a b a b=时，等号成立. 即222202020192020a a b ⇒=-=. 故答案为：20202019-. 【点睛】该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有基本不等式，属于简单题目. 20．【分析】代入函数解析式可得不等式等价于任意的实数恒成立利用判别式小于0即可求解【详解】不等式恒成立即恒成立整理得恒成立可知则任意的实数恒成立解得（舍去）或实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查一 解析：()4,+∞【分析】代入函数解析式可得不等式等价于223340x tx t 任意的实数x 恒成立，利用判别式小于0即可求解.【详解】 3()3f x x x =-，不等式()()(0)f x t f x t t +>+≠恒成立，即()()3333x t x t x x t +-+>-+恒成立，整理得2233340tx t x t t 恒成立，可知0t >，则223340x tx t 任意的实数x 恒成立，2234340t t ，解得4t <-（舍去）或4t >， ∴实数t 的取值范围是()4,+∞.故答案为：()4,+∞.【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立，属于基础题.三、解答题21．（1）2()43f x x x =-+；（2）2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩. 【分析】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(1)8f -=、(0)(4)3f f ==列方程组即可求出,,a b c 得值进而可得()f x 的解析式；（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解.【详解】（1）设二次函数()f x 的解析式为：2()(0)f x ax bx c a =++≠，因为(1)8f -=，且(0)(4)3f f ==，则有813416433a b c a c b a b c c -+==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩， 于是二次函数解析式为：2()43f x x x =-+（2）由（1）知2()43f x x x =-+，对称轴为2x =，若2t ≥，则()f x 在[],1t t +上单调递增，所以2min ()()43f x f t t t ==-+； 若12t +≤，即1t ≤时，()f x 在[],1t t +上单调递减，所以22min ()(1)(1)4(1)32f x f t t t t t =+=+-++=-； 若21t t <<+，即12t <<时，2min ()(2)24231f x f ==-⨯+=-综上，2min243,2()1,122,1t t t f x t t t t ⎧-+≥⎪=-<<⎨⎪-≤⎩【点睛】 方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 22．无23．无24．无25．无26．无。
人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷
人教版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式单元测试卷一、单选题 1．不等式(x ＋3)2＜1的解集是（ ） 2．A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜－4} C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2}2．已知2t a b =+，21s a b =++ ，则t 和s 的大小关系为（ ） A ．t s > B ．t s ≥ C ．t s <D ．t s ≤3．不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，则a b +=（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．2-4．若不等式组2142x ax a ⎧->⎨-<⎩的解集非空，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,3-B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．()3,1-D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞5．对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥6．已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．已知1230m m m >>>，则使得()()211123i m x i -<=，，都成立的x 取值范围是（ ）A ．110m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．120m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．310m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．320m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x （x∈N ）为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运（ ）A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年9．若12a <<，13b -<<，则-a b 的值可能是（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-10．若0a <b <，则下列结论中不恒成立的是（） A ．a b > B ．11a b> C ．222a b ab +> D ．a b +>-11．已知函数11y x x=++（0x <），则该函数的（ ）． A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．没有最小值 D ．最大值为1-二、多选题 12．已知,a b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有（ ）． 13．A ．14abB ．1174ab ab +C 2bD ．11222a b+ 三、填空题 13．若关于x 的不等式2260tx x t -+<的解集为{|x x a <或1}x >，则=a _____，t =_____． 14．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．15．当122x ≤≤时，函数2,()y x bx c b c R =++∈与21x x y x++'=在同一点取得相同的最小值，那么当122x ≤≤时，2y x bx c =++的最大值是______． 16．已知04x <<，则414x x+-的最小值为______．四、解答题 17．已知函数22y x x c =++的图象经过原点．求解不等式220x x c ++<．18．当,p q 都为正数且1p q +=时，试比较代数式2()px qy +与22+px qy 的大小.19．已知不等式组22430680x x x x ⎧-+<⎨-+<⎩的解集M 是不等式2290x x a -+<解集的子集，求实数a 的取值范围.20．()1已知3x >，求43y x x =+-的最小值，并求取到最小值时x 的值； ()2已知0x >，0y >，223x y +=，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值．21．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．22．已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围．参考答案：1．C 【解析】原不等式可化为x 2＋6x ＋8＜0，解得－4＜x ＜－2.选C. 2．D 【解析】利用作差法，令s t -，结果配方，判断符号后得出结论． 【详解】2221(2)21(1)0s t a b a b b b b -=++-+=-+=-≥，故有s t ≥， 故选：D ． 【点睛】本题考查用比较法证明不等式的方法，作差﹣﹣变形﹣﹣判断符号﹣﹣得出结论涉及完全平方公式的应用．属于基础题. 3．A 【解析】由不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<，得到1,2-是方程220ax bx ++=的两个根，由根与系数的关系求出,a b ，即可得到答案． 【详解】由题意，可得不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<， 所以1,2-是方程220ax bx ++=的两个根， 所以可得12ba-+=-，212a -⨯=，解得1a =-，1b =，所以0a b +=， 故选：A ． 4．A 【解析】分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解． 【详解】由题意124x a x a ⎧>+⎨<+⎩，∈2124a a +<+，即2230a a --<，解得13a -<<．故选：A ． 【点睛】本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题． 5．A 【解析】对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围. 【详解】不等式()()222240a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，当20a -=，即2a =时，40-<恒成立，满足题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需200a -<⎧⎨∆<⎩，即有()()22421620a a a <⎧⎪⎨-+-<⎪⎩， 解得22a -<<.综上可得，a 的取值范围为(]2,2-. 故选：A. 6．C 【解析】由题意可知，()min 19a x y x y ⎡⎤⎛⎫++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，将代数式()1a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求出该代数式的最小值，可得出关于a 的不等式，解出即可. 【详解】()11a ax yx y a x y y x ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭. 若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.∈当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意；………内∈当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ∈当0a >时，())211111a ax y x y a a a x y y x ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当=y 时，等号成立. 所以，)219≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式恒成立问题，一般转化为与最值相关的不等式求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7．B 【解析】先解出不等式()()211123i m x i -<=，，的解集，得到当123i =，，时，不等式的解集，最后求出它们的交集即可. 【详解】因为1230m m m >>>，所以()()()22111230123i im x i x i m -<=⇒<<=，，，，， 因为1230m m m >>>，所以123222m m m <<，要想使得()()211123i m x i -<=，，都成立，所以x 取值范围是120m ⎛⎫⎪⎝⎭，，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了不等式的性质应用，考查了数学运算能力. 8．C 【解析】可设y=a(x －6)2+11，又曲线过(4，7)，∈7=a(4－6)2+11 ∈a=－1． 即y=－x 2+12x －25，∈=12－(x+)≤12－2=2，当且仅当x=5时取等号. 故选C ．9．B 【解析】运用不等式的性质求出-a b 的范围即可.【详解】因为12a <<，13b -<<，所以31b -<< 所以23a b -<-< 故选：B 【点睛】本题考查的是不等式的性质，较简单. 10．D 【解析】将0a <b <，转化为0->->a b ，利用不等式的基本性质判断A ，B 的正误，利用重要不等式判断C 的正误，利用特殊值判断D 的正误. 【详解】因为0a <b <，所以0->->a b 所以a b >，11a b -<-即11a b>，故A ，B 正确. 因为()20a b -≥，所以222a b ab +≥，所以222a b ab +>故C 正确. 当 2,1a b =-=-时， +<-a b D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，基本不等式，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 11．D 【解析】先由基本不等式得到12x x--≥，再转化得到111y x x =++≤-（0x <），最后判断选项即可. 【详解】解：因为0x <，所以0x ->，10x->， 由基本不等式：1()()2x x -+-≥=，当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.所以12x x--≥，即12x x +≤-，所以111y x x =++≤-（0x <），当且仅当1x x-=-即1x =-时，取等号.故该函数的最大值为：1- 故选：D 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题. 12．ABC 【解析】利用基本不等式，逐个进行验证，即可得到结论． 【详解】,,1a b R a b +∈+=，2124a b ab +⎛⎫∴= ⎪⎝⎭(当且仅当12a b ==时取得等号)．所以选项A 正确 由选项A 有14ab ≤，设1y x x =+，则1y x x =+在104⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递减. 所以1117444ab ab +≥+=，所以选项B 正确 2(2a b a b ab a b a b +=+++++=(当且仅当12a b ==时取得等号)， 2b ．所以选项C 正确.113332222222a b a b b a b a b a b a b a +++=+=+++=+222a b =时等号成立），所以选项D 不正确． 故A ，B ，C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 13． 3- 3- 【解析】由不等式的解集可确定对应二次函数图像的开口和对应二次方程的两根，由根与系数关系即可求得a 和t 的值. 【详解】由不等式2260tx x t -+<的解集为{xx a <∣或1}x >， 可知不等式对应二次函数图像开口向下即0t <，且1，a 是方程2260tx x t -+=的两根，由根与系数的关系可得61,,a t a t ⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得2,2a t =⎧⎨=⎩或3,3.a t =-⎧⎨=-⎩ 0t <，3,3a t ∴=-=-， 故答案为：-3，-3 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次函数图像，二次方程之间关系的应用，属于基础题. 14．{x |2≤x <8} 【解析】求解不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0，得出32<[x ]<152，根据题意，进而得出x 的范围.【详解】由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N *)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x |2≤x <8}． 故答案为：{x |2≤x <8} 【点睛】本题考查了二次不等式求解问题，考查了阅读能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于一般题目. 15．4． 【解析】先利用基本不等式求得21x x y x ++'=图象的最低点坐标，根据二次函数的性质求得b 和c ，最后根据x 的范围求得2y x bx c =++的最大值．【详解】21113x x y x x x '++==++≥(当且仅当1x =时取等号)所以当1x =时，y '取得最小值3，所以函数2,()y x bx c b c R =++∈在122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，当1x =时有最小值3. 所以二次函数2y x bx c =++的顶点坐标为()1,3 2(1)3y x ∴=-+．∴当2x =时，max 4y =．故答案为：4 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，基本不等式的应用．考查了学生对二次函数图象的理解和灵活运用，属于中档题. 16．94．【解析】用“1”的代换法配凑出定值，然后用基本不等式得最小值． 【详解】4144114(4)95444444x x x x x x x x x x +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4(4)4x x x x -=-，解得1288,3x x ==，又因为04x <<，所以83x =时等号成立．故答案为：94．【点睛】本题考查用基本不等式求最值，解题关键是要配凑出定值，“1”的代换是常用方法．用基本不等式求最值时一定要注意等号成立的条件是否能满足． 17．{}20x x -<<. 【解析】待定系数法求c ，再解一元二次不等式即可. 【详解】 解：22y x x c =++的图象经过原点，0c ∴=．即求解220x x +<，解得20x -<<，即不等式的解集为{}20x x -<<．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题. 18．222()px qy px qy +≤+ 【解析】用作差的方法，因式分解，利用1p q +=，化简可得2)0(pq x y --≤，进而得出结果.【详解】22222()(1)(1)2()px qy px qy p p x q q y pqxy +-+=-+-+因为1p q +=，所以1,1p q q p -=--=-因此222222()()(2)()+-+=-+-=--px qy px qy pq x y xy py x y 因为,p q 为正数，所以2)0(pq x y --≤因此222()()+≤+px qy px qy ，当且仅当x y =时等号成立 【点睛】本题考查了用作差的方法比较大小，考查了运算求解能力，属于中档题目. 19．(,9]-∞ 【解析】首先解一元二次不等式求出解集M ，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，则函数在()2,3上的最大值不超过0，即可求出参数的取值范围； 【详解】解：{}22(1)(3)013430|23(2)(4)024680x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧--<<<-+<⎧⎪⇒⇒⇒∈<<⎨⎨⎨--<<<-+<⎩⎪⎩⎩. 所以{}|23M x x =<<，由M 是2290x x a -+<解集的子集知，2290x x a -+<在{}|23x x <<上恒成立. 令229y x x a =-+，只需该函数在{}|23x x <<上的最大值不超过0即可. 因该函数的对称轴为94x =，所以max 9y a =-+，所以90a -+≤，解得9a ≤. 故实数a 的取值范围是(,9]-∞. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，不等式恒成立问题，属于中档题.20．()1当5x =时，y 的最小值为7．()2 2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【解析】()1直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．()2直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果． 【详解】 ()1已知3x >， 则：30x ->， 故：44333733y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当：433x x -=-， 解得：5x =， 即：当5x =时，y 的最小值为7． ()2已知0x >，0y >，223x y +=， 则：23x y +≥ 解得：6xy ≤， 即：123x y ==， 解得：2x =，3y =时，xy 的最大值为6． 【点睛】 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 21．证明见解析 【解析】 主要考查不等关系与基本不等式． 证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯=． 22．16m . 【解析】要使不等式x y m +≥恒成立，只需求x y +的最小值，将19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开利用基本不等式可求解. 【详解】 由191x y +=，则19()x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭910x y y x =++910216y +=． 当且仅当169x y x y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩即412x y =⎧⎨=⎩时取到最小值16． 若x y m +恒成立，则16m ． 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值问题，属于基础题.。
人教B版高中数学必修第1册 同步练习-第2章 2
2.2.3 一元二次不等式的解法(教师独具内容)课程标准:1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法．教学重点:1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法．教学难点:一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),直田积(矩形面积)不小于八百六十四(平方步)”,你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念01一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且□02a≠0.一元二次一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为□03“<”“≥”“≤”等．不等式中的不等号也可以是□【新知拓展】1．代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时,若(x－m)(x－n)>0,则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间．2．含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:①关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论:两个不同的实根(Δ>0),两个相同的实根(Δ＝0),无实根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1＝x2,x1<x2.1．判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)x(x－2)>0的解集为(0,2)．( )(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0(a是常数)是一元二次不等式．( )(3)不论实数a 取什么值,不等式ax 2＋bx ＋c≥0的解集一定与相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两解为x 1,x 2(x 1<x 2),则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集不可能为{x|x 1<x<x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x|1<x<2},则a ＋b ＝________. 答案 (1)R (2){x|－4<x<1} (3)4题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集:(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)方程可变为(2x ＋1)(x ＋3)>0,从而转化为两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<0，x ＋3<0.因此原不等式的解集为(－∞,－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0, 因此原不等式的解集为[－1,5]．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,即(x －3)2＋1<0,因此原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0,因此原不等式的解集为R.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则用配方法求解．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集: (1)3x 2＋5x －2>0；(2)－9x 2＋6x －1<0； (3)x 2－4x ＋5>0；(4)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0,所以原不等式的解集为(－∞,－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等式可化为(3x －1)2>0,所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(3)原不等式可化为(x －2)2＋1>0,所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78<0,所以原不等式的解集为∅.题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 求不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)的解集． [解] 若a ＝0,原不等式为－x ＋1<0,解集为(1,＋∞)；若a<0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)； 若a>0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0,(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定,故①当a ＝1时,由(*)式可得解集为∅；②当a>1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1； ③当0<a<1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a . 综上所述,当a<0时,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)；当a ＝0时,解集为(1,＋∞)；当0<a<1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,解集为∅；当a>1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)若二次项系数为定值,则按不含参数的步骤解,再根据参数的取值确定解集范围．[跟踪训练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a,x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知:①当a<0或a>1时,a2>a.解原不等式得x>a2或x<a,不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)．②当0<a<1时,a2<a,解原不等式得x>a或x<a2,不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)．③当a＝0时,原不等式为x2>0,∴x≠0,不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)．(4)当a＝1时,原不等式为(x－1)2>0,∴x≠1,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．综上可知,当a<0或a>1时,原不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)；当0<a<1时,原不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)；当a＝0时,原不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)；当a＝1时,原不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．1．在下列不等式中,解集是∅的是( )A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0答案 D解析A的解集为R；B的解集是(－∞,－2)∪(－2,＋∞)；方程x2＋4x－4＝0的Δ＝42＋4×4>0,故C的解集不为空集,用排除法应选D.2．在R上定义运算⊙:a⊙b＝ab＋2a＋b,则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞,－2)∪(1,＋∞) D．(－1,2)答案 B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0,∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0,解集为(－2,1)．∴选B.3．不等式－0.1x2－5x＋3000>0的解集为( )A．(－∞,－200) B．(150,＋∞)C．(150,200) D．(－200,150)答案 D解析原不等式可化为x2＋50x－30000<0,(x－150)·(x＋200)<0,所以不等式的解集为(－200,150)．4．若t>2,则关于x 的不等式(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t B ．(－∞,t)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1t ∪(t,＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t答案 A解析 ∵t>2,∴t>1t ,∴(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t .5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x. 解 由x 2－3x ＋1>1得x 2－3x>0,x(x －3)>0,不等式的解集为(－∞,0)∪(3,＋∞)． 由x 2－3x ＋1<9－x,得x 2－2x －8<0, (x ＋2)(x －4)<0,不等式的解集为(－2,4)．(－∞,0)∪(3,＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4),所以,原不等式的解集为(－2,0)∪(3,4)．。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.4 第1课时 均值不等式课时作业(含解析)新人教B版必修第一
第二章 2.2 2.2.4 第1课时请同学们认真完成 [练案15]A 级 基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分) 1．下列说法错误的是( D ) A ．若a ≥0，b ≥0，则a ＋b2≥abB ．若a ＋b2≥ab ，则a ≥0，b ≥0C ．若a >0，b >0，且a ＋b2>ab ，则a ≠bD ．若a ＋b2>ab ，且a ≠b ，则a >0，b >0解析：A 选项为均值不等式，故正确；若a ＋b2≥ab ，说明a ，b 为正数且可以取0，故B正确；若a >0，b >0，且a ＋b2>ab ，则a ≠b ，因为均值不等式中等号成立的条件是两数相等，故C 正确；D 选项中，当a ＝0，b ＝1时，符合a ＋b2>ab ，且a ≠b ，但不符合a >0，b >0.故D选项错误．2．已知x >0，则9x＋x 的最小值为( A )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：∵x >0，∴9x＋x ≥2x ·9x＝6， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时取得最小值6，故选A ．3．已知a ，b 都为正实数，2a ＋b ＝1，则ab 的最大值是( B ) A ．29 B ．18 C ．14D ．12解析：因为a ，b 都为正实数，2a ＋b ＝1， 所以ab ＝2ab 2≤12(2a ＋b 2)2＝18，当且仅当2a ＝b ，即a ＝14，b ＝12时，ab 取最大值18.4．若y ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B ) A ．52 B ．3 C ．72D ．4解析：∵y ＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2 ≥2x －2·1x －2＋2＝4， 当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立， ∴当n ＝3时，y ＝x ＋1x －2(x >2)取得最小值． 5．已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为( C )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：依题意2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a ·2a b ＝5＋4＝9(当且仅当2b a＝2ab时，等号成立)，故选C ．二、填空题(每小题5分，共15分)6．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为__258__.解析：因为a >0，b >0，a ＋2b ＝5， 所以ab ＝12a ·2b ≤12(a ＋2b 2)2＝258，当且仅当a ＝2b 时，取等号． 7．已知a >3，则4a －3＋a 的最小值为__7__. 解析：根据题意，当a >3时，4a －3＋a ＝4a －3＋(a －3)＋3≥24a －3×a －3＋3＝7，当且仅当a ＝5时，等号成立，即4a －3＋a 的最小值为7. 8．当x >0时，函数y ＝2xx 2＋1的最大值为__1__. 解析：因为x >0，所以y ＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，取等号，故函数y ＝2xx 2＋1的最大值为1. 三、解答题(共20分) 9．(10分)设x >－1，求x ＋5x ＋2x ＋1的最小值．解析：因为x >－1，所以x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1，于是有：x ＋5x ＋2x ＋1＝t ＋4t ＋1t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9. 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取等号，此时x ＝1. 所以当x ＝1时，函数取得最小值是9.10．(10分)(1)已知a >0，b >0，且4a ＋b ＝1，求ab 的最大值； (2)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求3x ＋4y 的最小值． 解析：(1)∵1＝4a ＋b ≥24ab ＝4ab ， ∴ab ≤14，∴ab ≤116，当且仅当a ＝18，b ＝12时，取等号，故ab 的最大值为116.(2)∵x ＋3y ＝5xy ，x >0，y >0， ∴15y ＋35x＝1. ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝135＋3x 5y ＋4y 5x ×3≥135＋23x 5y ·12y5x＝5， 当且仅当3x 5y ＝12y5x，即x ＝2y ＝1时，取等号．B 级 素养提升一、单选题(每小题5分，共10分)1．《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB .设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( D )A ．a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C ．2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D ．a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)解析：由图形可知OF ＝12AB ＝a ＋b 2，OC ＝a －b2.在Rt △OCF 中，由勾股定理可得CF ＝a ＋b22＋a －b22＝a 2＋b 22.∵CF ≥OF ，∴a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．2．已知正数x ，y 满足x ＋2y －xy ＝0，则x ＋2y 的最小值为( A ) A ．8 B ．4 C ．2D ．0解析：由x ＋2y －xy ＝0，得2x ＋1y ＝1，且x >0，y >0.所以x ＋2y ＝(x ＋2y )×(2x ＋1y )＝4yx＋xy＋4≥4＋4＝8，当且仅当x ＝2y 时等号成立． 二、多选题(每小题5分，共10分) 3．下列不等式一定成立的是( BC ) A ．x 2＋14>x (x >0)B ．x ＋1x≥2(x >0)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D ．1x 2＋1>1(x ∈R ) 解析：对于A ，当x ＝12时，x 2＋14＝x ，所以A 不一定成立；对于B ，当x >0时，不等式成立，所以B 一定成立；对于C ，不等式显然恒成立，所以C 一定成立；对于D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，所以D 不成立．故选BC ． 4．下列结论正确的是( AC ) A ．当x >0时，x ＋1x≥2B ．当x >2时，x ＋1x的最小值是2C ．当x >0，y >0时，x y ＋y x≥2 D ．若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a解析：在A 中，当x >0时，x >0，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，结论成立；在B 中，当x >2时，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，但x >2，等号取不到，因此x ＋1x的最小值不是2，结论错误， 显然C 正确；在D 中，2a 不是定值，结论错误．故选AC ． 三、填空题(每小题5分，共10分)5．若0<a <b 且a ＋b ＝1，则12，a ，b,2ab ，a 2＋b 2的大小关系为__a <2ab <12<a 2＋b 2<b __.(用“<”连接)解析：因为0<a <b ，a ＋b ＝1，所以a <12<b ，①2ab <a 2＋b 2.② 因为a 2＋b 2>2(a ＋b2)2＝12， a 2＋b 2＝a ·a ＋b 2<a ·b ＋b 2＝(1－b )b ＋b 2＝b ，所以12<a 2＋b 2<b .又2ab <2(a ＋b2)2＝12，2ab >2×12a ＝a ， 所以a <2ab <12，所以a <2ab <12<a 2＋b 2<b .6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为__47__. 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋23a ＋23b ＋2＝79ab ＋10，又ab ≤(a ＋b 2)2＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47，故13a ＋2＋13b ＋2的最小值为47.四、解答题(共10分) 7．求y ＝x ＋22x ＋5的最大值． 解析：设t ＝x ＋2，从而x ＝t 2－2(t ≥0)， 则y ＝t2t 2＋1.当t ＝0时，y ＝0； 当t >0时，y ＝12t ＋1t≤122t ·1t＝24， 当且仅当2t ＝1t ，即t ＝22时等号成立，即当x ＝－32时，y 的最大值为24.。
高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.3 一元二次不等式的解法练习(含解析)新人教B版必修第一册-
2.2.3 一元二次不等式的解法最新课程标准：从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1 P66例3、例4]例1 (1)求不等式x2－x－2>0的解集．(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．(3)求不等式－x2＋2x－1<0的解集．【解析】(1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为[3－10，3＋10]．(3)原不等式可化为x2－2x＋1>0，又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为(x－1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞).教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图像开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x 2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图像开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图像开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图像结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集 方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的X 围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)．①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16). ②当a ＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠－1}．③当a ＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠1}．④当－4<a <4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R .状元随笔 二次项系数为2，Δ＝a 2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数.方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值X 围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解析：原不等式可变形为(x －a )·(x －a 2)>0，则方程(x －a )(x －a 2)＝0的两个根为x 1＝a ，x 2＝a 2，(1)当a <0时，有a <a 2，∴x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (2)当0<a <1时，有a >a 2，即x <a 2或x >a ，此时原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； (3)当a >1时，有a 2>a ，即x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (4)当a ＝0时，有x ≠0；∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； (5)当a ＝1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}； 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a 的X 围→ 比较a 与a 2的大小→写出不等式的解集题型四 一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么X 围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的X 围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求X 围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值X 围． 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值X 围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%课时作业 12一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1C ．∅D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图像与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________． 解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的X 围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图像的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。
高中数学必修1(人教B版)第二章函数2.1知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷01及答案
第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列结论正确的是（ ）A .若ac bc ＞，则a b＞B .若22a b ＞，则a b ＞C .若a b ＞，0c ＜，则a c b c++＜D .a b＜2.若++，则a ，b 必须满足的条件是（ ）A .0a b ＞＞B .0a b ＜＜C .a b＞D .0a ≥，0b ≥，且a b≠3.已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ÎR 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A .01k ≤≤B .01k ＜≤C .0k ＜或1k ＞D .0k ≤或1k ≥4.已知“x k ＞”是“311x +”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（ ）A .2k ≥B .1k ≥C .2k ＞D .1k -≤5.如果关于x 的不等式2x ax b +＜的解集是{}|13x x ＜＜，那么a b 等于（ ）A .81-B .81C .64-D .646.若a ，b ，c 为实数，且0a b ＜＜，则下列命题正确的是（ ）A .22ac bc ＜B .11a b＜C .baab＞D .22a ab b ＞＞7.关于x 的不等式210x a x a -++（）＜的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A .45a ＜＜B .32a --＜＜或45a ＜＜C .45a ＜≤D .32a --≤＜或45a ＜≤8.若不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，则实数a 的最小值是（ ）A .0B .2-C .52-D .3-9.已知全集=U R ，则下列能正确表示集合{}=012M ，，和{}2=|+2=0N x x x 关系的Venn 图是（ ）A BCD10.若函数1=22y x x x +-（＞）在=x a 处取最小值，则a 等于（ ）A .1+B .1或3C .3D .411.已知ABC △的三边长分别为a ，b ，c ，且满足3b c a +≤，则ca 的取值范围为（ ）A .1c a＞B .02c a＜C .13c a ＜＜D .03c a＜12.已知a b ＞，二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，又0x $ÎR ，使202=0ax x b ++成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A .1B C .2D .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13.已经1a ＜，则11a+与1a -的大小关系为________.14.若不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________.15.已知三个不等式：①0ab ＞，②c da b--＜，③bc ad ＞.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确命题.16.若不等式2162a bx x b a++＜的对任意0a ＞，0b ＞恒成立，则实数x 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合{2=|31=0A x ax x ++，}x ÎR ，（1）若A 中只有一个元素，求实数a 的值；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）解下列不等式.（1）2560x x --+＜；（2）20a x a x --()()＞.19.（本小题满分12分）已知集合23=|=12A y y x x ì-+íî，324x üýþ≤≤，{}2=|1B x x m +≥.p x A Î:，q x B Î:，并且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知集合{}2=|30A x x x -≤，{=|23B x a x a +≤≤，}a ÎR .（1）当=1a 时，求A B I ；（2）若=A B A U ，求实数a 的取值范围.21.（本小题满分12分）设a 、b 为正实数，且11a b+.（1）求22a b +的最小值；（2）若234a b ab -（）≥（），求ab 的值.22.（本小题满分12分）已知函数=1y ax a -+（）.（1）求关于x 的不等式0y ＜的解集；（2）若当0x ＞时，2y x x a --≤恒成立，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】当0c ＜时，A 选项不正确；当0a ＜时，B 选项不正确；两边同时加上一个数，不等号方向不改变，故C 选项错误.故选D .2.【答案】D【解析】2=()=a b +-+-（(.++Q a \，b 必须满足的条件是0a ≥，0b ≥，且a b ≠.故选D .3.【答案】A【解析】当=0k 时，不等式2680kx kx k -++≥化为80≥，恒成立，当0k ＜时，不等式2680kx kx k -++≥不能恒成立，当0k ＞时，要使不等式2680kx kx k -++≥对任意x ÎR 恒成立，需22=36480k k k D -+（）≤，解得01k ≤≤，故01k ＜≤.综上，k 的取值范围是01k ≤≤.故选A .4.【答案】A【解析】由311x +＜，得3101x -+＜，201x x -++＜，解得1x -＜或2x ＞.因为“x k ＞”是“311x +”的充分不必要条件，所以2k ≥.5.【答案】B【解析】不等式2x ax b +＜可化为20x ax b --＜，其解集是{}|13x x ＜＜，那么由根与系数的关系得13=13=a b +ìí-î´，，解得=4=3a b ìí-î，，所以4=3=81a b -（）.故选B .6.【答案】D【解析】选项A ，c Q 为实数，\取=0c ，此时22=ac bc ，故选项A 不成立；选项B ，11=b aa b ab--，0a b Q ＜＜，0b a \-＞，0ab ＞，0b a ab -\，即11a b＞，故选项B 不成立；选项C ，0a b Q ＜＜，\取=2a -，=1b -，则11==22b a --，2==21a b --，\此时b aa b＜，故选项C 不成立；选项D ，0a b Q ＜＜，2=0a ab a a b \--（）＞，2=0ab b b a b --（）＞，22a ab b \＞＞，故选项D 正确.7.【答案】D【解析】210x a x a -++Q （）＜，10x x a \--（）（）＜，当1a ＞时，1x a ＜＜，此时解集中的整数为2，3，4，故45a ＜≤.当1a ＜时，1a x ＜＜，此时解集中的整数为2-，1-，0，故32a --≤＜.故a 的取值范围是32a --≤＜或45a ＜≤.故选D .8.【答案】B【解析】不等式210x ax ++≥对一切02x ＜＜恒成立，1a x x\--≥在02x ＜＜时恒成立.11=2x x x x ---+--Q （）≤（当且仅当=1x 时取等号），2a \-≥，\实数a 的最小值是2-.故选B .9.【答案】A【解析】由题知{}=20N -，，则{}=0M N I .故选A .10.【答案】C【解析】2x Q ＞，20x \-＞.11==222=422y x x x x \+-+++--（）≥，当且仅当12=2x x --，即=3x 时等号成立.=3a \.11.【答案】B【解析】由已知及三角形三边关系得3a b c a a b c a c b +ìï+íï+î＜≤，＞，＞，即1311b ca abc a a c b a aì+ïïï+íïï+ïî＜≤，＞，＞，1311b c a ac b a a ì+ïï\íï--ïî＜≤，＜＜，两式相加得024c a ´＜.c a \的取值范围为02ca＜.12.【答案】D【解析】Q 二次三项式220ax x b ++≥对一切实数x 恒成立，0a \＞，且=440ab D -≤，1ab \≥.又0x $ÎR ，使2002=0ax x b ++成立，则=0D ，=1ab \，又a b ＞，0a b \-＞.22222==a b a b ab a b a b a b a b +-+\-+---（）（）当且仅当a b -时等号成立.22a b a b+\-的最小值为故选D .二、13.【答案】111a a-+【解析】由1a ＜，得11a -＜＜.10a \+＞，10a -＞.2111=11a a a +--.2011a -Q ＜≤，2111a \-，111a a\-+≥.14.【答案】a【解析】不等式22210x ax -+≥对一切实数x 都成立，则2=44210a D -´´≤，解得a ，\实数a 的取值范围是a .15.【答案】3【解析】若①②成立，则c dab ab a b--（）＜（），即bc ad --＜，bc ad \＞，即③成立；若①③成立，则bc ad ab ab ，即c d a b ＞，c d a b \--＜，即②成立；若②③成立，则由②得c d a b ＞，即0bc ad ab -，Q ③成立，0bc ad \-＞，0ab \＞，即①成立.故可组成3个正确命题.16.【答案】42x -＜＜【解析】不等式2162a b x x ba ++＜对任意0a ＞，0b ＞恒成立，等价于2162a bx x b a++m i n ＜（）.因为16a b b a +≥（当且仅当=4a b 时等号成立）.所以228x x +＜，解得42x -＜＜.三、17.【答案】（1）当=0a 时，31=0x +只有一解，满足题意；当0a ≠时，=94=0a D -，9=4a .所以满足题意的实数a 的值为0或94.（5分）（2）若A 中只有一个元素，则由（1）知实数a 的值为0或94.若=A Æ，则=940a D -＜，解得94a ＞.所以满足题意的实数a 的取值范围为=0a 或94a ≥.（10分）18.【答案】（1）2560x x --+Q ＜，2560x x \+-＞，160x x \-+()()＞，解得6x -＜或1x ＞，\不等式2560x x --+＜的解集是{|6x x -＜或}1x ＞.（4分）（2）当0a ＜时，=2y a x a x --()()的图象开口向下，与x 轴的交点的横坐标为1=x a ，2=2x ，且2a ＜，20a x a x \--()()＞的解集为{}|2x a x ＜＜.（6分）当=0a 时，2=0a x a x --()()，20a x a x \--()()＞无解.（8分）当0a ＞时，抛物线=2y a x a x --()()的图象开口向上，与x 轴的交点的横坐标为=x a ，=2x .当=2a 时，原不等式化为2220x -（）＞，解得2x ≠.当2a ＞时，解得2x ＜或x a ＞.当2a ＜时，解得x a ＜或2x ＞.（10分）综上，当0a ＜时，原不等式的解集是{}|2x a x ＜＜；当=0a 时，原不等式的解集是Æ；当02a ＜＜时，原不等式的解集是{|x x a ＜或}2x ＞；当=2a 时，原不等式的解集是{}|2x x ≠；当2a ＞时，原不等式的解集是{|2x x ＜或}x a ＞.（12分）19.【答案】23=12y x x -+，配方得237=416y x -+（）.因为324x ≤≤，所以min 7=16y ，max =2y .所以7216y ≤.所以7=|216A y y ìüíýîþ≤≤.（6分）由21x m +≥，得21x m -≥，所以{}2=|1B x x m -≥.（8分）因为p 是q 的充分条件，所以A B Í.所以27116m -≤，（10分）解得实数m 的取值范围是34m ≥或34m -≤.（12分）20.【答案】（1）由题意知{}=|03A x x ≤≤，{}=|24B x x ≤≤，则{}=|23A B x x I ≤≤.（3分）（2）因为=A B A U ，所以B A Í.①当=B Æ，即23a a +＞，3a ＞时，B A Í成立，符合题意.（8分）②当=B Æ，即23a a +≤，3a ≤时，由B A Í，有0233a a ìí+î≤，≤，解得=0a .综上，实数a 的取值范围为=0a 或3a ＞.（12分）21.【答案】（1）a Q 、b 为正实数，且11a b+.11a b \+=a b 时等号成立），即12ab ≥.（3分）2221122=a b ab +´Q ≥≥（当且仅当=a b 时等号成立），22a b \+的最小值为1.（6分）（2）11a b+Q，a b \+.234a b ab -Q （）≥（），2344a b ab ab \+-（）≥（），即2344ab ab -（）≥（），2210ab ab -+（）≤，210ab -（）≤，a Q 、b 为正实数，=1ab \.（12分）22.【答案】（1）当=0a 时，原不等式可化为10-＜，所以x ÎR .当0a ＜时，解得1a x a +＞.当0a ＞时，解得1a x a+＜.综上，当=0a 时，原不等式的解集为R ；当0a ＜时，原不等式的解集为1|a x x a +ìüíýîþ＞；当0a ＞时，原不等式的解集为1|a x x a +ìüíýîþ＜.（6分）（2）由21ax a x x a -+--（）≤，得21ax x x -+≤.因为0x ＞，所以211=1x x a x x x-++-≤，因为2y x x a --≤在0+¥（，）上恒成立，所以11a x x+-≤在0+¥（，）上恒成立.令1=1t x x+-，只需min a t ≤，因为0x ＞，所以1=11=1t x x +-≥，当且仅当=1x 时等式成立.所以a 的取值范围是1a ≤.（12分）。
最新人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式习题课 均值不等式的应用
习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升合格考达标练1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b2解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+a)+(1+b)22,所以1+x≤1+a+b2,故x≤a+b2.2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0解析由x+2y-xy=0,得2x +1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×2x+1y=4yx+xy+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.3.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.1a +1b有最大值4B.ab有最小值14C.√a+√b有最大值√2D.a2+b2有最小值√22a,b满足a+b=1,所以1a +1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a +1b有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=1≥2√ab,当且仅当a=b=12时,等号成立,∴ab ≤14,故ab 有最大值14,故B 不正确;由于(√a +√b )2=a+b+2√ab =1+2√ab ≤2,∴√a +√b ≤√2,故√a +√b 有最大值为√2,故C 正确;∵a 2+b 2=(a+b )2-2ab=1-2ab ≥1-12=12,故a 2+b 2有最小值12,故D 不正确.4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a ,b 满足a+b=4,ab 的最大值为t ,不等式x 2+3x-t<0的解集为M ,则下列结论正确的是( ) A.t=2B.t=4C.M={x|-4<x<1}D.M={x|-1<x<4}正数a ,b 满足a+b=4,∴ab ≤(a+b 2)2=4,即ab 的最大值为t=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.∵x 2+3x-4<0的解集为M ,∴M={x|-4<x<1}.5.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中能使b a+a b≥2成立的条件个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4“一正、二定、三相等”,即当b a ,ab 均为正数时,可得ba +ab ≥2,此时只需a ,b 同号即可,所以①③④均满足要求.故选C .6.已知一次函数y=-12x+1的图像分别与x 轴、y 轴相交于A ,B 两点,若动点P (a ,b )在线段AB 上,则ab 的最大值是 ,取得最值时a 的值为 .1解析因为A (2,0),B (0,1),所以0≤b ≤1,由题意得a=2-2b ,ab=(2-2b )b=2(1-b )·b ≤2·1-b+b 22=12.当且仅当1-b=b ,即b=12时等号成立,此时a=1,因此当b=12,a=1时,ab 的最大值为12.7.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是 .x 吨,则需要购买200x 次,则一年的总运费为200x ×2=400x ,一年的总存储费用为x ,所以一年的总运费与总存储费用为400x +x ≥2√400x ·x =40,当且仅当400x =x ,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.8.如图某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解设矩形的一边长为x 米,则另一边长为800x 米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为800x-2米.由{x -4>0,800x-2>0得4<x<400,所以其面积S=(x-4)·800x-2=808-2x+3 200x≤808-2√2x ·3 200x=808-160=648(m 2). 当且仅当2x=3 200x,即x=40∈(4,400)时等号成立.因此当矩形温室的两边长分别为40米,20米时蔬菜的种植面积最大,最大种植面积是648平方米. 9.已知a>0,b>0,a+b=1,求证: (1)1a +1b +1ab ≥8; (2)1+1a 1+1b≥9.因为a+b=1,a>0,b>0,所以1a+1b+1ab =21a +1b .所以1a +1b =a+ba +a+bb =2+ab +ba ≥2+2=4, 所以1a+1b+1ab≥8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)(方法1)因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1+1a =1+a+ba =2+ba , 同理1+1b =2+a b , 所以1+1a 1+1b =2+ba2+a b =5+2b a +ab ≥5+4=9.所以1+1a1+1b ≥9当且仅当a=b=12时等号成立.(方法2)1+1a 1+1b =1+1a +1b +1a b ,由(1)知,1a +1b +1ab≥8, 故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9. 当且仅当a=b=12时取等号.等级考提升练10.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10 g 黄金,售货员先将5 g 的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5 g 的砝码放入右盘,将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( ) A.大于10 g B.小于10 g C.大于等于10 g D.小于等于10 ga ,b ,两次放入的黄金数是x ,y ,依题意有ax=5b ,by=5a ,所以xy=25. 因为x+y2≥√xy ,所以x+y ≥10, 又a ≠b ,所以x ≠y.所以x+y>10,即两次所得黄金数大于10 g . 11.若a ,b 为大于1的实数,且满足a+b=ab ,则4a -1+1b -1的最小值是( )A.2B.4C.6D.8a ,b 为大于1的实数,所以4a -1>0,1b -1>0. 因为a+b=ab 可知ab-(a+b )=0,所以4a -1+1b -1≥2√4a -1·1b -1=√ab -b -a+1=4.当且仅当a=3,b=32时等号成立. 12.已知正实数m ,n 满足m+n=1,且使1m+16n取得最小值.若y=5m ,x=4n是方程y=x a 的解,则a=( )A.-1B.12C.2D.3解析1m +16n =1m +16n (m+n )=1+16a n +n m +16=17+16m n +n m ≥17+2√16m n ·nm =25.当且仅当16m n=n m ,又m+n=1,即m=15,n=45时,上式取等号,即1m +16n 取得最小值时,m=15,n=45,所以y=25,x=5,25=5a .得a=2. 13.若a>0,b>0,且a+b=1,则(1a 2-1)(1b2-1)的最小值是( )A.9B.8C.7D.6(1a 2-1)(1b2-1)=1-a 2-b 2a 2b 2+1=(a+b )2-a 2-b2a 2b2+1=2ab+1≥2(a+b 2)2+1=9.所以当a=b=12时,原式取最小值9.14.已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式2a+1b≥m 恒成立,则m 的最大值等于( ) A.10 B.9 C.8 D.7解析2a +1b =2a +1b (2a+b )=5+2ba +2ab ≥5+2√2b a ·2ab =9,当且仅当2ba =2ab ,即a=b=13时等号成立,所以2a +1b的最小值为9,又因为2a +1b ≥m 恒成立,所以m ≤9,即m 的最大值为9.15.设a+b=2,b>0,则12|a |+|a |b 取最小值时a 的值为 .2a+b=2,所以12|a |+|a |b =24|a |+|a |b =a+b4|a |+|a |b =a4|a |+b4|a |+|a |b ≥a4|a |+2√b4|a |·|a |b =a4|a |+1,当且仅当b4|a |=|a |b 时等号成立.又a+b=2,b>0,所以当b=-2a ,a=-2时,12|a |+|a |b 取得最小值.16.已知正数a ,b ,x ,y 满足a+b=10,ax+b y=1,x+y 的最小值为18,求a ,b 的值.(x+y )(ax +by )=a+bxy +ayx +b=10+bxy +ayx.因为x ,y>0,a ,b>0, 所以x+y ≥10+2√ab =18,当且仅当bxy =ay x 时,等号成立.即√ab =4.又a+b=10,所以{a =2,b =8或{a =8,b =2.17.(2021山东日照高一期末)第一机床厂投资A 生产线500万元,每万元可创造利润1.5万元.该厂通过引进先进技术,在A 生产线的投资减少了x (x>0)万元,且每万元创造的利润变为原来的(1+0.005x )倍.现将在A 生产线少投资的x 万元全部投入B 生产线,且每万元创造的利润为1.5(a-0.013x )万元,其中a>0.(1)若技术改进后,A 生产线的利润不低于原来A 生产线的利润,求x 的取值范围; (2)若B 生产线的利润始终不高于技术改进后A 生产线的利润,求a 的最大值.由题意,得1.5(1+0.005x )(500-x )≥1.5×500,整理得x 2-300x ≤0, 解得0≤x ≤300,又x>0,故0<x ≤300,即x 的取值范围为(0,300]. (2)由题意知,B 生产线的利润为1.5(a-0.013x )x 万元, 技术改进后,A 生产线的利润为1.5(1+0.005x )(500-x )万元, 则1.5(a-0.013x )x ≤1.5(1+0.005x )(500-x )恒成立, 又x>0,∴a ≤x125+500x +1.5恒成立,又x125+500x ≥4,当且仅当x=250时,等号成立, ∴0<a ≤5.5,即a 的最大值为5.5.新情境创新练18.已知函数y=x+mx -1(m>0).(1)若m=1,求当x>1时函数的最小值; (2)当x<1时,函数有最大值-3,求实数m 的值.m=1时,y=x+1x -1=x-1+1x -1+1. 因为x>1,所以x-1>0,所以y=x-1+1x -1+1≥2√(x -1)·1x -1+1=3,当且仅当x-1=1x -1,即x=2时取等号,所以当x>1时函数的最小值为3.(2)因为x<1,所以x-1<0,所以y=x-1+mx -1+1=-1-x+m1-x +1≤-2√(1-x )·m1-x +1=-2√m +1,当且仅当1-x=m1-x ,即x=1-√m 时取等号,即函数的最大值为-2√m +1,所以-2√m +1=-3,解得m=4.。
高中数学 第一章 立体几何初步单元质量测评(含解析)新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学试题
第一章 单元质量测评对应学生用书P41 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中正确的是( ) A ．棱柱的侧面可以是三角形B ．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图C ．正方体各条棱长都相等D ．棱柱的各条棱都相等 答案 C解析 根据棱柱的定义可知，棱柱的侧面都是平行四边形，侧棱长相等，但是侧棱和底面内的棱长不一定相等，而正方体的所有棱长都相等．2．中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A∶B 等于( )A ．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8 答案 A解析 设扇形的半径为R ，围成的圆锥的底面圆的半径为r ，则扇形弧长l ＝135πR 180＝34πR，又2πr＝34πR，∴r＝38R ，S 扇形＝135π360R 2＝38πR 2，S 圆锥全＝S 底＋S 侧＝πr 2＋S 扇形＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫38R 2＋38πR 2＝3364πR 2，∴S 扇形S 圆锥全＝38πR 23364πR 2＝811，∴A B ＝118， 故选A ．3．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析由几何体的俯视图与左视图的宽度一样，可知C不可能是该锥体的俯视图，故选C．4．给出下列四个命题：①三点确定一个平面；②一条直线和一个点确定一个平面；③若四点不共面，则每三点一定不共线；④三条平行线确定三个平面．正确的结论个数有( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析①中不共线的三点确定一个平面；②中一条直线和直线外一点确定一个平面；③中若四点不共面，则每三点一定不共线，故③正确；④中不共面的三条平行线确定三个平面．5．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若α∥β，l∥α，则l∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β答案 B解析若l∥α，l∥β，则α∥β或α∩β＝m，l∥m，故A错误．若α∥β，l∥α，则l∥β或l在β内，故C错误．若α⊥β，l∥α，则l∥β或l在β内或l⊥β或l与β相交，故D错误．6．体积为27，全面积为54的长方体( )A．必是正方体 B．不存在C．有无穷多个 D．最多只能有三个答案 A解析 设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则abc ＝27． 2(ab ＋bc ＋ac)＝54，∴ab＋bc ＋ac ＝abc ． 易知a ＝b ＝c ，故应为棱长为3的正方体．7．如图，平行四边形ABCD 中，AB⊥BD，沿BD 将△ABD 折起，使面ABD⊥面BCD ，连接AC ，则在四面体ABCD 的四个面所在平面中，互相垂直的平面的对数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①平面ABD⊥平面BCD ，②平面ABC⊥平面BCD ，③平面ACD⊥平面ABD ． 8．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1，S 2，S 3，则( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 2 答案 A解析 由截面性质可知，设底面积为S ． S S 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫212⇒S 1＝14S ； S S 2＝21⇒S 2＝12S ； S S 3＝3212⇒S 3＝134S ．可知S 1<S 2<S 3，故选A ． 9．夹在两个平行平面间的圆柱、圆锥、球，若它们在平行平面上的正投影是等圆，那么它们的体积之比为( )A ．3∶1∶4 B．9∶3∶4 C ．3∶1∶2 D．1∶2∶3 答案 C解析 它们的高都等于两平行平面间的距离设为h ，圆柱体积V 1，圆锥体积V 2，球体积V 3，正投影的面积为S ，则V 1＝Sh ，V 2＝13Sh ，V 3＝43π⎝⎛⎭⎪⎫S π3＝43S Sπ．又因为h ＝2S π，所以S π＝h 2．所以V 3＝43S·h 2＝23Sh ，所以V 1∶V 2∶V 3＝1∶13∶23＝3∶1∶2．10．已知集合A ，B ，C ，A ＝{直线}；B ＝{平面}，C ＝A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧a∥b，c∥b⇒a∥c；②⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c⊥b⇒a∥c；③⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c∥b⇒a⊥c．其中正确的命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 B解析 ①当c 为直线时，⎩⎪⎨⎪⎧a∥b，c∥b ⇒a∥c 或a ，c 异面或相交，故①错误．②当c 为平面时，⎩⎪⎨⎪⎧a⊥b，c⊥b⇒a∥c 或a ⊂c ，故②错误．经验证得③正确．11．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值为( )A ．2＋ 2B ．2＋62C ．2＋ 2D ．2 答案 A解析 D 1－A 1B －A 展成平面，如图所示，则AD 1即为AP ＋D 1P 的最小值．过D 1作D 1M⊥AA 1的延长线于M ，由∠AA 1D 1＝∠AA 1B ＋∠BA 1D 1＝45°＋90°＝135°，可知∠MA 1D 1＝45°．所以A 1M ＝D 1M ＝22．在Rt△MD 1A 中，AD 1＝MA 2＋MD 21＝ 2＋2．12．三棱锥P －ABC 的高PO ＝8，AC ＝BC ＝3，∠ACB＝30°，M ，N 分别在BC 和PO 上，且CM ＝x ，PN ＝2x(x∈[0，3])，下列四个图象大致描绘了三棱锥N －AMC 的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是( )答案 A解析 V ＝13S △AMC ·NO＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3x×sin30°· (8－2x)＝－12(x －2)2＋2，x∈[0，3]，故选A ．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线a ，b 分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线，则a 与b 的位置关系为________．答案 相交或异面解析 画一个长方体，则有两直线交于一顶点或两直线异面．14．设A ，B ，C ，D 为球O 上四点，若AB ，AC ，AD 两两互相垂直，且AB ＝AC ＝6，AD ＝2，则A ，D 两点间的球面距离为________．答案2π3解析 由题意知，球O 的直径为以AB ，AC ，AD 为棱的长方体的体对角线，即2R ＝AB 2＋AC 2＋AD 2＝4，即R ＝2，则OA ＝OD ＝AD ＝2，∴△OAD 为正三角形，则∠AOD＝π3，∴A，D 球面距离为2π3．15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．答案 2 3解析由三视图可知该多面体的直观图如图所示，即图中的四棱锥P －ABCD ，所以最长的一条棱的长为PA ＝PC 2＋AC 2＝PC 2＋AB 2＋BC 2＝23．16．一个正六棱锥的底面边长为2、高为1，则过两条不相邻侧棱所作的截面中，面积最大值为________．答案6解析 如图先计算截面PAD 的面积，由题知h ＝PO ＝1，AD ＝4，∴S △PAD ＝12×1×4＝2，下面计算截面PAC 的面积，连接OB 交AC 于M 点，连接PM ，则PM⊥AC，AC ＝23，BM ＝1，∴OM＝1，∴PM＝PO 2＋OM 2＝12＋12＝2，∴S △PAC ＝12×AC×PM＝12×23×2＝6，6>2，∴S △PAC >S △PAD ，∴填6．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)定线段AB所在直线与定平面α相交，P为直线AB外任一点，且P∉α，直线AP，PB与α交于A′，B′．求证：不论P在什么位置，A′B′过一定点．证明设定线段AB所在直线与定平面α相交于定点O．∵AP，AB相交于点A，∴由AP，AB可确定平面β．∵AP∩α＝A′，PB∩α＝B′，AB∩α＝O，∴A′，B′，O为平面α与平面β的公共点．∴A′，B′，O三点共线，即A′B′过定点O．18．(本小题满分12分)如图，已知平面α∥β，O为α，β外一点，三条射线OA，OB，OC分别交β于A，B，C，交α于A1，B1，C1．(1)求证：△ABC∽△A1B1C1；(2)若OA＝a，AA1＝b，B1C1＝c，求BC的长．解(1)证明：因为α∥β，平面AOB∩α＝A1B1，平面AOB∩β＝AB，所以A1B1∥AB，所以OA1OA＝OB1OB＝A1B1AB，同理B1C1∥BC，所以OB1OB＝OC1OC＝B1C1BC．同理，A1C1∥AC，OA1OA＝OC1OC＝A1C1AC，所以A1B1AB＝B1C1BC＝C1A1CA．所以△ABC∽△A1B1C1．(2)由(1)知，OA1OA＝B1C1BC，又因为OA1＝OA－AA1＝a－b，∴a－ba＝cBC，∴BC＝aca－b．19．(本小题满分12分)如图所示的四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，求证：(1)PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面PBD．证明(1)连接AC交BD于点O，连接OE．∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO．∵E为PC的中点，∴EO∥PA．∵PA⊄平面BDE，EO⊂平面BDE，∴PA∥平面BDE．(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD．20．(本小题满分12分)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD ＝∠BCD＝60°．(1)求证：C1C⊥BD；(2)当CDCC1的值为多少时，可使A1C⊥平面C1BD?解(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D．∵DO＝OB，∴C1O⊥BD．又∵AC∩C1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1．又∵C1C⊂平面ACC1A1，∴C1C⊥BD．(2)由(1)知BD⊥平面ACC1A1．∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C．当CDCC1＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．同理可证BC1⊥A1C．又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD．21．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC ＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB．又因为AB⊥BC，BB1，BC为平面B1BCC1内两条相交直线，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1．(2)证明：取AB中点G，连接EG，FG，如图．因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG ＝12AC ，EC 1＝12A 1C 1．因为AC∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG∥EC 1，且FG ＝EC 1． 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F∥EG．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F∥平面ABE ．(3)因为AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，AB⊥BC， 所以AB ＝AC 2－BC 2＝3．所以三棱锥E －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·AA 1＝13×12×3×1×2＝33．22．(本小题满分12分)已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)，其中俯视图为正三角形，主视图及左视图是矩形．(1)求该几何体的体积；(2)D 是棱A 1C 1上的一点，若使直线BC 1∥平面AB 1D ，试确定点D 的位置，并证明你的结论； (3)在(2)成立的条件下，求证：平面AB 1D⊥平面AA 1D ．解 由三视图可知该几何为正三棱柱，底面是高为3的正三角形，三棱柱的高h ＝3，(1)底面是高为3的正三角形，易知底面边长为2，word- 11 - / 11 所以底面面积S ＝12×2×3＝3， 所求体积V ＝Sh ＝33．(2)连接A 1B ，且A 1B∩AB 1＝O ，因为正三棱柱侧面是矩形，所以点O 是A 1B 的中点， 解法一：若BC 1∥平面AB 1D ，连接DO ，BC 1⊂平面A 1BC 1，平面AB 1D∩平面A 1BC 1＝DO ，所以BC 1∥DO，所以DO 是△A 1BC 1的中位线，所以D 为A 1C 1的中点．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．解法二：若D 为棱A 1C 1的中点．连接DO ，所以DO 是△A 1BC 1的中位线．所以BC 1∥DO，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，所以BC 1∥平面AB 1D ．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．解法三：在△A 1BC 1中，过O 作OD∥BC 1，交A 1C 1于D ，所以OD 为△A 1BC 1的中位线，所以D 为A 1C 1的中点，又DO ⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，所以C 1B∥平面AB 1D ．即D 为A 1C 1的中点时，BC 1∥平面AB 1D ．(3)证法一：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D⊥A 1C 1， 又由三棱柱性质知平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1，且平面A 1B 1C 1∩平面ACC 1A 1＝A 1C 1， B 1D ⊂平面A 1B 1C 1，所以B 1D⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥平面AA 1D ．证法二：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，三角形A 1B 1C 1为正三角形，所以B 1D⊥A 1C 1，又因为AA 1⊥平面A 1B 1C 1，所以AA 1⊥B 1D ．AA 1∩A 1C 1＝A 1，AA 1⊂平面AA 1D ，A 1C 1⊂平面AA 1D ，所以B 1D⊥平面AA 1D ，又B 1D ⊂平面AB 1D ，所以平面AB 1D⊥平面AA 1D ．。
人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析
人教版高中数学必修2第二章测试题A组及答案解析第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设 $\alpha$，$\beta$ 为两个不同的平面，$l$，$m$ 为两条不同的直线，且 $l\subset\alpha$，$m\subset\beta$，有如下的两个命题：①若 $\alpha\parallel\beta$，则 $l\parallel m$；②若 $l\perp m$，则 $\alpha\perp\beta$。
那么()。
A。
①是真命题，②是假命题B。
①是假命题，②是真命题C。
①②都是真命题D。
①②都是假命题2.如图，ABCD为正方体，下面结论错误的是()。
A。
BD $\parallel$ 平面CBB。
AC $\perp$ BDC。
AC $\perp$ 平面CBD。
异面直线AD与CB角为60°3.关于直线 $m$，$n$ 与平面 $\alpha$，$\beta$，有下列四个命题：① $m\parallel\alpha$，$n\parallel\beta$ 且$\alpha\parallel\beta$，则 $m\parallel n$；② $m\perp\alpha$，$n\perp\beta$ 且 $\alpha\perp\beta$，则$m\perp n$；其中真命题的序号是()。
A。
①②B。
③④C。
①④D。
②③4.给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线 $l_1$，$l_2$ 与同一平面所成的角相等，则$l_1$，$l_2$ 互相平行④若直线 $l_1$，$l_2$ 是异面直线，则与 $l_1$，$l_2$ 都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()。
A。
1B。
2C。
3D。
45.下列命题中正确的个数是()。
①若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内，则$l\parallel\alpha$②若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行，则 $l$ 与平面$\alpha$ 内的任意一条直线都没有公共点A。
(人教版B版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷03及答案
第二章综合测试一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.二次三项式22x bx c ++分解因式为2(3)(1)x x -+，则,b c 的值分别为（ ）A .3,1B .62--，C .64--，D .4,6--2.不等式(1)0x -的解集是（ ）A .{|1}x x ＞B .{|1}x x ≥C .{|12}x x x =-≥或D .{| 2 1}x x x -=≤或3.已知a b c 、、是ABC △的三条边，且满足22a bc b ac +=+，则ABC △一定是（ ）A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .等腰直角三角形4.已知13a b -+＜＜且24a b -＜＜，则23a b +的取值范围是（）A .1317,22æö-ç÷èøB .711,22æö-ç÷èøC .713,22æö-ç÷èøD . 913,22æö-ç÷èø5.已知01b a <+＜，若关于x 的不等式22()()x b ax -＞的解集中的整数恰有3个，则（）A .10a -＜＜B .01a ＜＜C .13a ＜＜D .36a ＜＜6.在R 上定义运算：(1)x y x y Ä=-，若x $ÎR 使得()()1x a x a -Ä+＞成立，则实数a 的取值范围是（）A .13,,22æöæö-¥-+¥ç÷ç÷èøèøU B .13,22æö-ç÷èøC .31,22æö-ç÷èøD .31,,22æöæö-¥-+¥ç÷ç÷èøèøU 7.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（）A .60件B .80件C .100件D .120件8.若两个正实数,x y 满足141x y+=，且不等式234yx m m +-＜有解，则实数m 的取值范围是（ ）A .(1,4)-B .(,1)(4,)-¥-+¥U C .(4,1)-D .(,0)(3,)-¥+¥U 9.已知不等式20x bx c ++＞的解集为|21{}x x x ＞或＜ ，则不等式210cx bx ++≤的解集为（）A .1,12æöç÷èøB .1,(1,)2æö-¥+¥ç÷èøU C .1,[1,)2æù-¥+¥çúèûU D .1,12éùêúëû二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）10.下列不等式推理正确的是（ ）A .若x y z ＞＞，则xy yz＞B .若110a b，则2ab b ＞C .若,a b c d ＞＞，则ac bd ＞D .若22a x a y ＞，则x y＞E .若0a b ＞＞，0c ＞，则a c b c --＞11.已知a b a ＜＜，则（）A 11a b＞B .1ab ＜C .1a bD .22a b ＞E .2a ab＞12.若正实数,a b 满足1a b +=，则下列说法正确的是（ ）A .14ab ≥B +C .114a b+D .2212a b +≥三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学人教A版必修一第二章学业水平测试(A卷)
第二章学业水平测试(A卷)(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(本题共6小题，每小题6分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)1．若a＞b，则下列结论一定成立的是( )．A．a2＞b2B．a＞b＋1 C．a＞b－1 D．a＞b 2．设a，b R，则下列命题正确的是( )．A．若a＞b，则a2＞b2B．若a≠b，则a2≠b2C．若a＜|b|，则a2＜b2D．若a＞|b|，则a2＞b23．不等式x2－2x－3＞0的解集是( )．A．{x∣－1＜x＜3}B．{x∣x＜－3或x＞1}C．{x∣－3＜x＜1}D．{x∣x＜－1或x＞3}4．若x＞－2，则22xx++的最小值为( )．A．222＋B．22C．222－D．05．若不等式－x2＋ax－1≤0对一切x R恒成立，则实数a的取值范围为( )．A．{a∣－2≤a≤2}B．{a∣a≤－2，或a≥2}C．{a∣－2＜a＜2}D．{a∣a＜－2，或a＞2}6．若不等式x2＋ax＋b＜0（a，b R）的解集为{x∣2＜x＜5}，则a，b的值为( )．A．a＝－7，b＝10 B．a＝7，b＝－10C．a＝－7，b＝－10 D．a＝7，b＝10二、填空题(本题共4小题，每小题8分，共32分．将答案填在题后的横线上)7．不等式－x2－2x＞0的解集为______．8．若－1＜x＜y＜1，则x－y的取值范围是______．9256x x－＋有意义的x的取值范围是______．10．已知x，y都是正数，若x＋2y＝2，则xy的最大值是_________．三、解答题(本题共3小题，第11小题8分，第12、13小题每小题12分，共32分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域．若每个区域面积为24 m 2，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少？并求彩带总长的最小值．12．求下列不等式的解集： (1)－x 2＋4x －3＞(x －1)2；(2) (x －a)[x －(1－a )]＜0 (a ＞0)．13．证明下列不等式成立： (1)2233121(－－(＋＞； (2)22111m m m m ≤－＋＋＋．参考答案一、选择题 1．C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．A ． 6．A ． 二、填空题7．{x ∣－2＜x ＜0}． 8．{x －y ∣－2＜x －y ＜0}． 9．{x ∣x ＜2，或x ＞3}． 10．21． 三、解答题11．解：设每个区域的长和宽分别是x m 和y m ，由题意得xy ＝24．则彩带总长l ＝4x ＋6y ≥224xy ＝48．当且仅当4x ＝6y ，即x ＝6且y ＝4时等号成立． 所以每个区域的长和宽分别是6 m 和4 m 时，彩带总长最小，最小值为48 m ． 12．（1）{x ∣1＜x ＜2}；（2）当0＜a ＜12时，解集为{x ∣a ＜x ＜1－a }；当a ＞12时，解集为{x ∣1－a ＜x ＜a }；当a ＝12时，解集为．13．(1)因为2223361210x (－－＋＋＝＞(，所以2233121＞(－－(＋． (2)因为422221111m m m m m m m m －－－＋－＝＋＋＋＋，而m 2＋m ＋1恒大于零，－m 4－m 2≤0，故42201m m m m －－≤＋＋，所以22111m m m m ≤－＋＋＋．。
新教材人教B版高中数学必修第一册第二章 等式与不等式 练习(2)(解析版)
第二章 等式与不等式提升训练一、选择题1．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中不一定成立的是( )A ．ab >acB ．c (b －a )>0C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0【答案】C【解析】由c <b <a 且ac <0，知a >0，c <0，而b 的取值不确定，当b ＝0时，C 不成立．2．若a >0，b >0，且a 2＋3b 2＝6，则ab 的最大值为( )A ．1 B.2 C. 3D ．2 【答案】C【解析】因为6＝a 2＋3b 2≥23ab ，所以ab ≤3，当且仅当a 2＝3b 2，即a ＝3，b ＝1时等号成立，故选C.3．设m >1，P ＝m ＋4m －1，Q ＝5，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P <QB ．P ＝QC ．P ≥QD ．P ≤Q 【答案】C【解析】因为m >1，所以P ＝m ＋4m －1＝m －1＋4m －1＋1≥2（m －1）·4m －1＋1＝5＝Q ，当且仅当m －1＝4m －1，即m ＝3时等号成立，故选C.4．不等式1＋x >11－x的解集为( ) A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x >1}D ．{x |x >1或x ＝0} 【答案】C【解析】不等式可化为1＋x －11－x >0，通分得－x 21－x >0，即x 2x －1>0， 因为x 2>0，所以x －1>0，即x >1.故选C.5．下列命题中，一定正确的是( )A ．若a >b 且1a >1b，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a b >1C ．若a >b 且a ＋c >b ＋d ，则c >dD ．若a >b 且ac >bd ，则c >d【答案】A【解析】A 正确，若ab >0，则a >b 与1a >1b 不能同时成立；B 错，如取a ＝1，b ＝－1时，有a b ＝－1<1；C 错，如a ＝5，b ＝1，c ＝1，d ＝2时，有a ＋c >b ＋d ，c <d ；D 错，取a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，令c ＝－3，d ＝－1，有ac >bd ，c <d .6．不等式14－5x －x 2<0的解集为( )A ．{x |－7<x <2}B ．{x |x <－7或x >2}C ．{x |x >2}D ．{x |x <－7} 【答案】B【解析】原不等式等价于x 2＋5x －14>0，所以(x ＋7)·(x －2)>0，即x <－7或x >2，故选B.7．不等式4x －2≤x －2的解集是( ) A ．(－∞，0]∪(2，4]B ．[0，2)∪[4，＋∞)C ．[2，4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)【答案】B【解析】①当x －2>0，即x >2时，原不等式等价于(x －2)2≥4，解得x ≥4.②当x －2<0，即x <2时，原不等式等价于(x －2)2≤4，解得0≤x ＜2.8．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( ) A ．1B ．－1C ．2D ．3【答案】Ｂ 【解析】把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1代入原方程组得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3.所以a －b ＝－1，故选B. 9．已知关于x 的不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，则x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值是( ) A.63 B ．－233C.433D ．－433 【答案】D【解析】不等式x 2－4ax ＋3a 2＜0(a ＜0)的解集为(x 1，x 2)，根据根与系数的关系，可得：x 1x 2＝3a 2，x 1＋x 2＝4a ，那么x 1＋x 2＋a x 1x 2＝4a ＋13a， 因为a ＜0，所以－⎝⎛⎭⎫4a ＋13a ≥24a ×13a ＝433，即4a ＋13a ≤－433， 故x 1＋x 2＋a x 1x 2的最大值为－433，故选D. 二、填空题10．如果a ＞b ，ab ＞0，那么1a 与1b 的大小关系是________． 【答案】1a ＜ 1b【解析】因为a ＞b ，ab ＞0，所以a ab ＞b ab ，即1b ＞1a. 11．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是________．【答案】2<k <4【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2<k <4.12．若a ∈R ，则a 2＋14a 2＋5的最小值为________．【答案】６【解析】a 2＋14a 2＋5＝（a 2＋5）＋9a 2＋5＝a 2＋5＋9a 2＋5≥2a 2＋5·9a 2＋5＝6，当且仅当a 2＋5＝9a 2＋5，即a ＝±2时等号成立．13．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 【答案】47【解析】由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2（3a ＋2）（3b ＋2）＝79ab ＋10，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，所以9ab ＋10≤494，所以79ab ＋10≥47. 三、解答题14．设集合A ＝{x |4－x 2>0}，B ＝{x |－x 2－2x ＋3>0}．(1)求集合A ∩B ；(2)若不等式2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ，求a ，b 的值．【答案】(1)A ∩B ＝{x |－2<x <1}(2)ａ＝４，ｂ＝６【解析】(1)A ＝{x |4－x 2>0}＝{x |－2<x <2}，B ＝{x |－x 2－2x ＋3>0}＝{x |－3<x <1}，故A ∩B ＝{x |－2<x <1}． (2)因为2x 2＋ax ＋b <0的解集为B ＝{x |－3<x <1}，所以－3和1为方程2x 2＋ax ＋b ＝0的两个根．所以有⎩⎪⎨⎪⎧2×（－3）2－3a ＋b ＝0，2×12＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－6. 15．已知正数x ，y 满足1x ＋9y＝1. (1)求xy 的最小值；(2)求x ＋2y 的最小值．【答案】(1)36 .(2)19＋6 2.【解析】(1)由1＝1x ＋9y ≥21x ·9y ，得xy ≥36，当且仅当1x ＝9y，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36.(2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y≥19＋22y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2＝2y 2时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2.16．已知y ＝x 2－2x －8，若对一切x >2，均有y ≥(m ＋2)x －m －15，求实数m 的取值范围．【答案】m ≤2.【解析】当x >2时，y ≥(m ＋2)x －m －15恒成立，所以x 2－2x －8≥(m ＋2)x －m －15在x ＞2时恒成立，则x 2－4x ＋7≥m (x －1)在x ＞2时恒成立．所以对一切x >2，均有不等式x 2－4x ＋7x －1≥m 成立． 又x 2－4x ＋7x －1＝(x －1)＋4x －1－2 ≥2（x －1）×4x －1－2＝2(当且仅当x ＝3时等号成立)． 所以实数m 的取值范围是m ≤2.17．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元．从第二年起，包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元．该船每年捕捞收入50万元．(1)问捕捞几年后总利润最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？【答案】(1)捕捞10年后总利润最大，最大是102万元 (2)捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元【解析】(1)设该船捕捞n 年后的总利润为y 万元．则y ＝50n －98－⎣⎡⎦⎤12×n ＋n （n －1）2×4 ＝－2n 2＋40n －98＝－2(n －10)2＋102.所以当捕捞10年后总利润最大，最大是102万元．(2)年平均利润为y n＝－2⎝⎛⎭⎫n ＋49n －20≤－2(2n ·49n －20)＝12，当且仅当n ＝49n ，即n ＝7时等号成立．所以当捕捞7年后平均利润最大，最大是12万元．18．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.【答案】见解析【解析】(1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}．(2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两个根分别为2和－1a. ①当a <－12时，解不等式得－1a <x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a <x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅； ③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a ，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a 或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.。
(人教版A版)高中数学必修第一册 第二章综合测试试卷02及答案
第二章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知,,a b c ÎR ，那么下列命题中正确的是（ ）A .若a b ＞，则22ac bc ＞B .若a bc c＞，则a b＞C .若33a b ＞，且0ab ＜，则11a b ＞D .若22a b ＞，且0ab ＞，则11a b＜2.如果a ÎR ，且20a a +＜，那么2,,a a a -的大小关系为（ ）A .2a a a -＞＞B .2a a a ->＞C .2a a a -＞＞D .2a a a-＞＞3.若函数14(2)2y x x x =+--＞，则函数y 有（ ）A .最大值0B .最小值0C .最大值2-D .最小值2-4.不等式1021x x -+的解集为（ ）A .1|12x x ìü-íýîþ＜≤B .1|12x x ìü-íýîþ≤C .1| 12x x x ìü-íýîþ＜或≥D .1|| 12x x x x ìü-íýîþ≤或≥5.若不等式220ax bx ++＜的解集为11|| 23x x x x ìü-íýîþ＜或＞，则a b a -的值为（ ）A .16B .16-C .56D .56-6.若不等式()(2)3x a x a a ---＞对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .(1,3)-B .(3,1)-C .(2,6)-D .(6,2)-7.若0,0a b ＞＞，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A .114ab B .111a b+≤C 2D .228a b +≥8.不等式3112x x--≥的解集是（ ）A .3|24x x ìüíýîþ≤B .3|24x x ìüíýîþ≤＜C .3| 24x x x ìüíýîþ≤或＞D .{|2}x x ＜9.若命题“0x $ÎR ，使得200230x mx m ++-＜”为假命题，则实数m 的取值范围是（ ）A .26m ≤≤B .62m --≤≤C .26m ＜＜D .62m --＜＜10.若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是（ ）A .245B .285C .5D .611.已知210a +＜，关于x 的不等式22450x ax a --＞的解集是（ ）A .{|5 }x x a x a -＜或＞B .{|5 }x x a x a -＞或＜C .{|5}x a x a -＜＜D .{|5}x a x a -＜＜12.某厂以x 千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得的利润是310051x x æö+-ç÷èø元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x 的取值范围为（ ）A .{|3}x x ≥B .1| 35x x x ìü-íýîþ≤或≥C .{|310}x x ≤≤D .{|13}x x ≤≤二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案写在题中的横线上）13.若1x -＞，则当且仅当x =________时，函数111x x y +++=的最小值为________.14.若不等式20x ax b ++＜的解集为{}|12x x -＜＜，则不等式210bx ax ++＜的解集为________.15.已知,x y +ÎR ，且满足22x y xy +=，那么34x y +的最小值为________.16.若x ÎR ，不等式224421ax x x ++-+≥恒成立，则实数a 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]已知不等式2340x x --＜的解集为A ，不等式260x x --＜的解集为B .（1）求A B I ；（2）若不等式20x ax b ++＜的解集为A B I ，求,a b 的值.18.[12分]已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题p 是真命题.（1）求实数m 的取值集合M ；（2）设不等式()(2)0x a x a ---＜的解集为N ，若x N Î是x M Î的充分条件，求a 的取值范围.19.[12分]（1）若0,0x y ＞＞，且281x y+=，求xy 的最小值；（2）已知0,0x y ＞＞满足21x y +=，求11x y+的最小值.20.[12分]要制作一个体积为39m ，高为1m 的有盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米10元，侧面造价是每平方米5元，盖的总造价为100元.求该长方体容器的长为多少时总造价最低，最低为多少元？21.[12分]已知,,a b c 均为正实数.求证：（1）()2()4a b ab c abc ++≥；（2）若3a b c ++=+.22.[12分]设2()1g x x mx =-+.（1）若()0g x x对任意0x ＞恒成立，求实数m 的取值范围；（2）讨论关于x 的不等式()0g x ≥的解集.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】C 6.【答案】D 7.【答案】D 8.【答案】B 9.【答案】A 10.【答案】C【解析】由35x y xy +=可得13155y x+=，所以139431213131234(34)5555555555x y x y x y y x y x æö+=++=++++=+=ç÷èø，当且仅当31255x yy x =且35x y xy +=，即1x =，12y =时取等号.故34x y +的最小值是5.11.【答案】A【解析】方程22450x ax a --=的两根为,5a a -.1210,,52a a a a +\-\-Q ＜＜＞.结合2245y x ax a =--的图像，得原不等式的解集是{|5 }x x a x a -＜或＞.12.【答案】C【解析】根据题意，得3200513000x x æö+-ç÷èø≥，整理，得35140x x --≥，即251430x x --≥.又110x ≤≤，可解得310x ≤≤.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x 的取值范围是|310{}x x ≤≤.二、13.【答案】0214.【答案】1| 1 2x x x ìü-íýîþ＜或＞15.【答案】5+16.【答案】2|3a a ìü-íýîþ≥【解析】不等式224421ax x x ++-+≥恒成立2(2)430a x x Û+++≥恒成立220443(2)0a a +>ìïÛí-´´+ïî≤23a Û-≥，故实数a 的取值范围是2|3a a ìü-íýîþ≥.三、17.【答案】（1）解：{|14},{|23}A x x B x x =-=-＜＜＜＜，{|13}A B x x \Ç=-＜＜.（2）解：Q 不等式20x ax b ++＜的解集为{|13}x x -＜＜，1,3\-为方程20x ax b ++=的两根.10,930,a b a b -+=ì\í++=î2,3.a b =-ì\í=-î18.【答案】（1）解：命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，所以240m D =->，解得2m ＞或2m -＜.所以{| 2 2}M m m m =-＞或＜.（2）解：因为x N Î是x M Î的充分条件，所以N M Í.因为{|2}N x a x a =+＜＜，所以22a +-≤或2a ≥，所以4a -≤或2a ≥.19.【答案】（1）解：0,0x y Q ＞＞且281x y+=，281x y \=+=≥，8，当且仅当82x y =且281x y+=即4x =，16y =时取等号.64xy \≥..故xy 的最小值是64.（2）解：0,0,21x y x y >>+=Q11112(2)1233x y x y x y x y y x æö\+=++=++++=+ç÷èø≥当且仅当x =且21x y +=.即x =，y =.故11x y+的最小值是3+20.【答案】解：设该长方体容器的长为m x ，则宽为9m x.又设该长方体容器的总造价为y 元，则9991021510019010y x x x x æöæö=´++´´+=++ç÷ç÷èøèø.因为96x x +=≥（当且仅当9x x =即3x =时取“=”）.所以min 250y =.即该长方体容器的长为3m 时总造价最低，最低为250元.答：该长方体容器的长为3m 时总造价最低，最低为250元.21.【答案】（1）证明：因为,,a b c 均为正实数，由基本不等式得a b +≥，2ab c +≥，两式相乘得()2()4a b ab c abc ++≥，当且仅当a b c ==时取等号.所以()2()4a b ab c abc ++≥..（2）解：因为,,a b c 12322a a +++=，当且仅当12a +=时取等号；12322b b +++=，当且仅当12b +=时取等号；12322c c +++=.当且仅当12c +=时取等号.以上三式相加，得962a b c ++++=≤，当且仅当1a b c ===时取等号.22.【答案】（1）解：由题意，若()0g x x≥对任意0x ＞恒成立，即为10x m x-+对0x ＞恒成立，即有1(0)m x x x+≤＞的最小值.由12(0)x x x +≥＞，可得1x =时，1x x+取得最小值2.所以2m ≤.（2）解：2()1g x x mx =-+对应的一元二次方程为210x mx -+=.当240m D =-≤，即22m -≤≤时，()0g x ≥的解集为R ；当0D ＞，即2m ＞或2m -＜时，方程的两根为x =可得()0g x ≥的解集为|x x x ìïíïî.。
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高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二章 函 数(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设M ＝{x|－2≤x ≤2}，N ＝{y|0≤y ≤2}，则给出的下列4个图形中，能表示以集合M 为定义域，N 为值域的函数关系是( ).2．已知函数f(x)＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( ) A .12 B ．－12C ．1D ．－1 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f(x)＝－x 2，g(x)＝－(x)2B ．f(x)＝x ＋1·x －1，g(x)＝x 2－1C ．f(x)＝x 2－1x －1，g(x)＝x ＋1 D ．f(x)＝1＋x·1－x ，g(x)＝1－x 24．当ab>0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )5．已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a<06．函数f(x)＝3－x 2x的图象关于( ) A ．x 轴对称 B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称7．设f(x)是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小8．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2或a ≥3B ．2≤a ≤3C ．a ≤－3或a ≥－2D ．－3≤a ≤－29．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m 的取值范围是( )A ．[2，52] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，52) D ．(2，52) 10．函数f (x )＝x 2＋2x ＋b 的图象与两条坐标轴共有两个交点，那么函数y ＝f (x )的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．1或211．已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －a c －b xB ．y ＝c －a b －cx C ．y ＝c －b c －a x D ．y ＝b －c c －ax 12．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A ．①③B ．②④C ．①②D ．③④题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答 案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次计算的f (x )的值为f (________)．14．函数y ＝2|x |＋1的值域是________． 15．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为________万元．16．函数f (x )＝x 2－2x ＋b 的零点均是正数，则实数b 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知函数f (x )＝x ＋2x －6， (1)点(3,14)在f (x )的图象上吗？(2)当x ＝4时，求f (x )的值；(3)当f (x )＝2时，求x 的值．18．(12分)函数f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，函数的解析式为f (x )＝2x－1. (1)用定义证明f (x )在(0，＋∞)上是减函数；(2)求当x <0时，函数的解析式．19．(12分)函数f(x)＝4x2－4ax＋a2－2a＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a的值．20．(12分)华侨公园停车场预计“十·一”国庆节这天停放大小汽车1 200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．(1)写出国庆这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出x的取值范围．(2)如果国庆这天停放的小车占停车总辆数的65%～85%，请你估计国庆这天该停车场收费金额的范围．21．(12分)已知函数f (x )对一切实数x ，y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (3)＝－2.(1)试判定该函数的奇偶性；(2)试判断该函数在R 上的单调性；(3)求f (x )在[－12,12]上的最大值和最小值．22．(12分)已知函数y ＝x ＋t x有如下性质：如果常数t >0，那么该函数在(0，t ]上是减函数，在[t ，＋∞)上是增函数．(1)已知f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1，x ∈[0,1]，利用上述性质，求函数f (x )的单调区间和值域； (2)对于(1)中的函数f (x )和函数g (x )＝－x －2a ，若对任意x 1∈[0,1]，总存在x 2∈[0,1]，使得g (x 2)＝f (x 1)成立，求实数a 的值．第二章 函 数(A)1．B [函数的定义域应为M ＝[－2,2]，排除A ；函数值域应为N ＝[0,2]，排除D ；函数的对应法则不允许一对多，排除C ，所以选B ]．2．A [f(x)＝1x在[1,2]上递减，∴f(1)＝A ，f(2)＝B ， ∴A －B ＝f(1)－f(2)＝1－12＝12.] 3．D [只有D 定义域、解析式相同．]4．D [根据a 、b 同号知，抛物线开口向上时，直线在y 轴上截距为正，且一次函数y ＝ax ＋b 递增，从而排除A 、B ，当抛物线开口向下时，一次函数单调递减且在y 轴上截距为负，排除C .从而选D .]5．D [由题意知a<0，－a 3－a 2a ≥－1，－a 22＋12≥－1，即a 2≤3. ∴－3≤a<0.]6．B [f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，所以选B .]7．C [由x 1＋x 2>0，得x 1>－x 2，又x 1<0，∴x 2>0，－x 2<0.又∵f(x)在(－∞，0)上为减函数，且是R 上的偶函数，∴f (x 1)<f (－x 2)，∴f (x 1)<f (x 2)．]8．A [本题考查二次函数图象及其性质，由于二次函数的开口向上，对称轴为x ＝a ，若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a ≤2或a ≥3.]9．D [∵⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝m ，α·β＝1， ∴m ＝β＋1β. 又β∈(1,2)且m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数， ∴1＋1<m <2＋12，即m ∈⎝⎛⎭⎫2，52.] 10．D [当f (x )的图象和x 轴相切与y 轴相交时，函数f (x )的零点数为1，当f (x )的图象与y 轴交于原点与x 轴的另一交点在x 轴负半轴上时，函数f (x )有2个零点．]11．B [根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －a b －cx .] 12．A [对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求．]13．(0,0.5) 0.25解析 根据函数零点的存在性定理．∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴在(0,0.5)存在一个零点，第二次计算找中点，即0＋0.52＝0.25. 14．(0,2]解析 观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0,2]．15．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2；故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n .16．(0,1]解析 设x 1，x 2是函数f (x )的零点，则x 1，x 2为方程x 2－2x ＋b ＝0的两正根，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0x 1＋x 2＝2>0x 1x 2＝b >0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4b ≥0b >0.解得0<b ≤1. 17．解 (1)∵f (3)＝3＋23－6＝－53≠14. ∴点(3,14)不在f (x )的图象上．(2)当x ＝4时，f (4)＝4＋24－6＝－3. (3)若f (x )＝2，则x ＋2x －6＝2，∴2x －12＝x ＋2，∴x ＝14. 18．(1)证明 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－1)－(2x 2－1)＝2(x 2－x 1)x 1x 2， ∵0<x 1<x 2，∴x 1x 2>0，x 2－x 1>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(2)解 设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－2x－1， 又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝－2x－1， 即f (x )＝－2x－1(x <0)． 19．解 ∵f (x )＝4(x －a 2)2－2a ＋2， ①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2. 由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10. 综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.20．解 (1)依题意得y ＝5x ＋10(1 200－x )＝－5x ＋12 000，0≤x ≤1 200.(2)∵1 200×65%≤x ≤1 200×85%，解得780≤x ≤1 020， 而y ＝－5x ＋12 000在[780,1 020]上为减函数，∴－5×1 020＋12 000≤y ≤－5×780＋12 000.即6 900≤y ≤8 100，∴国庆这天停车场收费的金额范围为[6 900,8 100]．21．解 (1)令x ＝y ＝0，得f (0＋0)＝f (0)＝f (0)＋f (0) ＝2f (0)，∴f (0)＝0.令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)任取x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在R 上是减函数．(3)∵f (x )在[－12,12]上是减函数，∴f (12)最小，f (－12)最大．又f (12)＝f (6＋6)＝f (6)＋f (6)＝2f (6)＝2[f (3)＋f (3)]＝4f (3)＝－8，∴f (－12)＝－f (12)＝8.∴f (x )在[－12,12]上的最大值是8，最小值是－8.22．解 (1)y ＝f (x )＝4x 2－12x －32x ＋1＝2x ＋1＋42x ＋1－8， 设u ＝2x ＋1，x ∈[0,1]，1≤u ≤3，则y ＝u ＋4u－8，u ∈[1,3]． 由已知性质得，当1≤u ≤2，即0≤x ≤12时，f (x )单调递减； 所以减区间为[0，12]； 当2≤u ≤3，即12≤x ≤1时，f (x )单调递增； 所以增区间为[12，1]； 由f (0)＝－3，f (12)＝－4，f (1)＝－113， 得f (x )的值域为[－4，－3]．(2)g (x )＝－x －2a 为减函数，故g (x )∈[－1－2a ，－2a ]，x ∈[0,1]．由题意，f (x )的值域是g (x )的值域的子集，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1－2a ≤－4，－2a ≥－3，∴a ＝32.。