2018高三数学各地优质文科二模试题分项汇编3：导数与应用

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专题03 导数与应用(二模)-各类考试必备素材之高三数学(理)全国各地优质金卷分项解析版(2018版)

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231xf x -=-与()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 【答案】B【点睛】要学会分析题中隐含的条件和信息，如本题先观察出f(x)的零点及单调性是解题的关键，进一步转化为函数()2xg x x ae =-在区间(1,3)上存在零点，再进行参变分离，应用导数解决。

2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 【答案】D【解析】设()()h x xf x =，所以()()()h x f x xf x ='+'，因为()y f x =是定义域上的奇函数，所以()h x 是定义在实数集上的偶函数，当0x >时， ()()()0h x f x xf x =+'>'，此时()h x 为单调递增函数，又由11e e <<-，所以()()()111f f ef e ef e ee ⎛⎫<<--=-- ⎪⎝⎭，即a c b <<，故选D.点睛：本题主要考查了函数性质的基本应用问题，其中解答中利用题设条件，构造新函数()()h x xf x =，得出函数()h x 为单调递增函数和函数()h x 是定义在实数集上的偶函数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( ) A.存在0x =使得()01f 2x e<-B.存在0x =()20f x e >- C. b 的最大值为3e D. b 的最大值为22e 【答案】C分析得()f x 的极大值点为10x x =，22a a a a -==<= (()0,x f x ∴∈∴在()00,x 递增，在()02,x x 递减，当()0,x x f x =取得极大值()0f x ，又()200000'00bf x x a x b ax x =⇒-+=⇒+=，()()222000000011ln ln 22f x x ax b x x x b b x =-+=-++，即()20001ln 2f x x b b x =--+，令 ()(21ln ,2g x x b x b x =-+-∈，原命题转化为()0g x <恒成立， ()()22'000b x bg x x x x b x x-+∴=-+=><<<<， ()g x ∴在(上递增，()12g x gb b ∴<=-+ 102b b b =-+≤，33232bb e b e ∴≤⇒≤⇒≤，所以b 的最大值为3e ， C 对、D 错，又0x b <，即不存在极大值点0x =,A B ，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.学*科网 4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B.C.D.【答案】A6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e -【答案】B【解析】由题意()()0,x f x g x ∀>≤，即ln 1x a ax b +≤++，即ln 1x ax a b -+≤+，设()ln h x x ax a =-+，则()1h x a x'=-，若0a ≤时， ()10h x a x -'=>，函数()h x 单调递增，无最大值，不适合题意；当0a >时，令()10h x a x -'==，解得1x a=，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时， ()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以()max 1ln 1h x h a a a ⎛⎫==-+-⎪⎝⎭，即ln 11a a b -+-≤+，即ln 20a a b -+--≤点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题．7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A. ()01f =B. ()01f <C. ()62f e < D. ()62f e >【答案】C 【解析】设()()3xf xg x e=，则()()()()()()()333223333x x x xxe f x f x e f x e f x g x e e ⎡⎤-'-⎣⎦=''=.∵在R 上()()3f x f x >'有恒成立∴()0g x '<在R 上恒成立，即()g x 在R 上为减函数. ∴()()()()()0301001f f g f g ee==>=∵()31f e =∴()01f >，故A ，B 不正确.∵()()()62211f g g e =<=∴()62f e < 故选C.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =， ()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=， ()()0xf x f x +<'构造()()g x xf x =等8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef < 【答案】A点睛：本题的关键在于通过()f x f >'（x ）能得到()'()0xf x e <，得到()xf x R e 是上的减函数，问题就迎刃而解.所以在这里，观察和联想的数学能力很重要.9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x =<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，； ④()f x 和()g x之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C2424,1664,40b k k b k k ≤-≤≤--≤≤，同理421664,b k b ≤≤-可得40b -≤≤，故②正确，③错误，④函数()f x 和()h x的图象在x =()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-，由()()f x kx e x R ≥-∈，可得20x kx e -+≥，当x R ∈恒成立，则(20k ∆=-≤，只有k =，此时直线方程为y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()G x e h x =--2ln e e x =--， ()'x G x x=，当x =()'0G x =；当0x << ()'0G x <；当x >()'0G x >；当x = ()'G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值，()()0G x e h x ∴=--≥，则()h x e ≤-， ∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故④正确，真命题的个数有三个，故选C.【方法点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题、以及新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“隔离直线”达到考查导数在研究函数性质的应用的目的. 学*科网10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦ C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦ D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D若直线y=1﹣mx 经过点（1e，﹣2），则m=3e ，若直线y=1﹣mx 与y=2lnx 相切，设切点为（x ，y ）．则1{2 2y mx y lnx m x===-﹣，解得3232{3 2x ey m e -===-．∴322e--≤m≤3e ．故选：D ．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C. (]0,2D. [)2,+∞ 【答案】A【点睛】函数有唯一极值点x=2,即导函数只有唯一零点x=2,且在x=2两侧导号。

XXX2018届高三下学期二诊模拟文科数学word含答案

XXX2018届高三下学期二诊模拟文科数学word含答案18届高三文科数学下学期二诊模拟考试数学试题(文科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合 $A,B,C,D$，则 $D$，则的面积为(。

)。

2.已知复数 $z$ 为纯虚数，且 $|z|=1$，则 $z$ 的取值为(。

)。

3.若向量 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}+\vec{b}$ 的模长为(。

)。

4.为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示)，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是(。

)。

5.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的体积是(。

)。

6.若 $\log_{a}x=\log_{b}y=\log_{c}z=k$，则$\log_{abc}xyz$ 的值为(。

)。

7.按照如图所示的程序框图，若输入的为2018，为8，则输出的结果为(。

)。

8.若实数 $x$ 满足 $\sqrt{x+3}+\sqrt{3-x}=2$，则 $x$ 的取值范围是(。

)。

9.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为(。

)。

10.在 $\triangle ABC$ 中，$\angle B=120^{\circ}$，$\angle C=15^{\circ}$，边上的高恰为边长的一半，则 $\angle A$ 的度数为(。

)。

11.等差数列 $\{a_n\}$，各项都为正数，且其前项之和为45，设 $a_1=a_2=a_3=1$，其中，若 $a_4$ 中的最小项为5，则公差不能为(。

专题03 导数与应用(二模)高三数学(理)全国各地优质金卷分项解析版(原卷版)

【2018高三数学各地优质二模试题分项精品】一、选择题1．【2018河南郑州高三二模】已知(){}|0M f αα==, (){}|0N g ββ==,若存在,M N αβ∈∈,使得n αβ-<,则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若()231xf x -=-与()2xg x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为( ) A. 214(,e e ⎤⎥⎦ B. 214(, e e ⎤⎥⎦C. 242[, e e ⎫⎪⎭D. 3242[, e e ⎫⎪⎭ 2．【2018陕西咸阳高三一模】已知奇函数()f x 的导函数为()f x '，当0x ≠时， ()()0f x f x x+'>，若()11,a f b ef e ee ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ()1c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A. a b c << B. b c a << C. c a b << D. a c b << 3．【2018湖南衡阳高三二模】已知e 为自然对数的底数，设函数()21f ln 2x x ax b x =-+存在极大值点0x ，且对于a 的任意可能取值，恒有极大值()0f 0x <,则下列结论中正确的是( )A. 存在0x =使得()01f 2x e<-B. 存在0x =()20f x e >- C. b 的最大值为3e D. b 的最大值为22e4．【2018河南商丘高三二模】记函数，若曲线上存在点使得，则的取值范围是（）A. B.C.D.5．【2018四川德阳高三二诊】已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.6．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x a =+， ()1g x ax b =++，若0x ∀>， ()()f x g x ≤，则ba的最小值是（） A. 1e + B. 1e - C. 1e - D. 12e -7．【2018甘肃兰州高三二模】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若在R 上()()3f x f x >'有恒成立，且()31(f e e =为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A. ()01f =B. ()01f <C. ()62f e < D. ()62f e >8．【2018河北唐山高三二模】已知函数()f x 满足()()f x f x >'，在下列不等关系中，一定成立的是（） A. ()()12ef f > B. ()()12ef f < C. ()()12f ef > D. ()()12f ef <9．【2018吉林四平高三质检】若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足： ()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x xx R =∈, ()()()10,2ln g x x h x e x x =<=,有下列命题：①()()()F x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； ②()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为-4；③()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是](40 -，；④()f x 和()g x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =. 其中真命题的个数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10．【2018湖南郴州高三二诊】已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图像上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是（）A. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 23,3e e -⎡⎤-⎣⎦C. 2,3e e -⎡⎤-⎣⎦D. 322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．【2018云南昆明高三质检二】已知函数()22ln xe f x k x kx x=+-，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A. 2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. (]0,2 D. [)2,+∞ 二、填空题12．【2018河南商丘高三二模】已知曲线在点处的切线的斜率为，直线交轴、轴分别于点，且.给出以下结论：①；②当时，的最小值为； ③当时，；④当时，记数列的前项和为，则.其中，正确的结论有__________．(写出所有正确结论的序号） 13．【2018宁夏银川高三4月质检】已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出以下命题： ①当时，；②函数有个零点；③若关于的方程有解，则实数的取值范围是；④对恒成立，其中，正确命题的序号是__________．三、解答题14．【2018河南郑州高三二模】已知函数()2xf x e x =-.(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.15．【2018青海宁夏高三一模】已知函数()1xf x e ax=+（0,0a x ≠≠）在1x =处的切线与直线 ()120180e x y --+=平行.（1）求a 的值并讨论函数()y f x =在(),0x ∈-∞上的单调性；（2）若函数()()11g x f x x m x=--++（m 为常数）有两个零点12,x x （12x x <） ①求实数m 的取值范围； ②求证： 120x x +<16．【2018陕西咸阳高三二模】已知函数()()22ln ,0x f x x a R a a=-∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 有两个零点1x ， 2x 12()x x <，且2a e =，证明： 122x x e +>.17．【2018北京顺义高三二模】已知函数()2xf x emx =+,其中0m ≤.（Ⅰ）当1m =-时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域内恒成立，求实数m 的取值范围. 18．【2018湖南衡阳高三二模】已知函数()()3sin f x x x mx m R =-+∈ .(1)当0m =时，证明： ()2f x e >-；(2)当0x ≥时，函数()f x 单调递增，求m 的取值范围.19．【2018新疆维吾尔自治区高三二模】已知0a ≥，函数()()22x f x x ax e =-+.（I ）当x 为何值时， ()f x 取得最大值？证明你的结论；（II ）设()f x 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围；（III ）设()()21xg x x e =-，当1x ≥时， ()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围.20．【2018陕西高三二模】已知函数()()2,sin x f x ae x g x x bx =+=+,直线l 与曲线()1:C y f x =切于点()()0,0f 且与曲线()2:C y g x =切于点22g ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，. (1) 求a b ，的值和直线l 的方程； (2)求证： 2sin 0x ae x bx x +-->.21．【2018海南高三二模】已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--. （1）证明：直线2y x =与曲线()y f x =相切；（2）若()()33f x k x x >-对()0,1x ∈恒成立，求k 的取值范围.22．【2018河南商丘高三二模】已知函数.（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；（2）当时，求证：且，有.23．【2018四川德阳高三二诊】已知函数且.（1）求实数的值；（2）令在上的最小值为，求证：.24．【2018重庆高三二诊】已知函数()ln f x x =， ()2g x ax bx =+（0a ≠， b R ∈）.（1）若2a =， 3b =，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（2）若函数()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点()()11,x f x ， ()()22,x f x ，记1202x x x +=，记()'f x ， ()'g x 分别是()f x ， ()g x 的导函数，证明： ()()00''f x g x <．25．【2018安徽宣城高三二调】已知函数()ln b f x a x b x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(其中a ， b R ∈). （1）当4b =-时，若()f x 在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围；（2）当1a =-时，是否存在实数b ，使得当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，不等式()0f x >恒成立，如果存在，求b 的取值范围，如果不存在，说明理由. 26．【2018安徽马鞍山高三二模】已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.27．【2018广东茂名高三二模】已知.（1）讨论的单调性；（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.28．【2018河南高三4月适应性考试】已知函数.（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.29．【2018河北石家庄高三一模】已知函数()()()xf x x b e a =+-， (0)b >，在()()1,1f --处的切线方程为()110e x ey e -++-=. （1）求a ， b ；（2）若方程()f x m =有两个实数根1x ， 2x ，且12x x <，证明： ()211211m e x x e--≤+-.30．【2018河北唐山高三二模】设()()2ln ,1x xf xg x a x x ==+- . （1）证明： ()f x 在()0,1上单调递减；（2）若01a x <<<，证明： ()1g x >.。

云南省2018届高考数学二模试卷(文科)Word版含解析

云南省2018届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}2．已知复数，则z的虚部为（）A． B．C．D．3．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．4．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x2﹣x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣x+1＜05．已知等差数列{an }中，a1=11，a5=﹣1，则{an}的前n项和Sn的最大值是（）A．15 B．20 C．26 D．306．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k=（）A．2 B．3 C．4 D．57．RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x=RAND（0，1），y=RAND （0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．8．已知点M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1） D．16（π+1）10．已知函数，则f（3）+f（﹣3）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．211．已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．12．设M{a，b，c}=，若f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1 D．二、填空题设x、y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的最小值是．14．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，且a2=﹣2，则a4= ．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是．16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．18．（12分）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现猪呢比从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．19．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O是AB中点，E是PB 中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．20．（12分）已知点A，B是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN ⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．21．（12分）已知函数f（x）=+ax+2lnx，g（x）=+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a=﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l 交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．云南省2018届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}【考点】1E：交集及其运算．【分析】解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={﹣1，0，1}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B={0}．故选：B．【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2．已知复数，则z的虚部为（）A． B．C．D．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： =，则z的虚部为：．故选：D．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．已知向量，且，则的值为（）A．B．C．D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据便可得出，从而求出x值，进而求出的坐标，从而求出的值．【解答】解：∵；∴；∴x=2；∴；∴；∴．故选D．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，根据向量的坐标求长度的方法．4．命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0C．∃x0∈R，x2﹣x+1≤0 D．∃x∈R，x2﹣x+1＜0【考点】2J：命题的否定．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x2﹣x+1≤0，故选：C．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．5．已知等差数列{an }中，a1=11，a5=﹣1，则{an}的前n项和Sn的最大值是（）A．15 B．20 C．26 D．30【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式、单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{an }的公差为d，∵a1=11，a5=﹣1，∴11+4d=﹣1，解得d=﹣3．∴a=11﹣3（n﹣1）=14﹣3n，n=14﹣3n≥0，解得n≤，令an∴n=4时，{a}的前4项和取得最大值： =26．n故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若执行如图所示的程序框图，则输出的结果k=（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T，k的值，当S=30，T=39时，满足条件退出循环可得输出的k的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，T=0，k=1执行循环体，S=5，T=3，k=2不满足条件T＞S，执行循环体，S=15，T=12，k=3不满足条件T＞S，执行循环体，S=30，T=39，k=4满足条件T＞S，退出循环，输出k的值为4．故选：C．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，T，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．7．RAND（0，1）表示生成一个在（0，1）内的随机数（实数），若x=RAND（0，1），y=RAND （0，1），则x2+y2＜1的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】直接由题意作出图形，利用面积比得答案．【解答】解：设事件A：x2+y2＜1，作出图形如图：∴满足x2+y2＜1的概率为P=．故选：A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法，关键是对随机数的理解，是基础题．8．已知点M是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是（2，2），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】K8：抛物线的简单性质．），利用中点坐标公式，列方程，即可求得p的值．【分析】求得F（，0），M（，y1），【解答】解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），设M（，y1由中点坐标公式可知： +=2×2，y=2×2，1解得：p=4，p的值为4，故选D．【点评】本题考查抛物线的方程，中点坐标公式，考查计算能力，属于基础题．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．8（2π+1） D．16（π+1）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体由上下两部分组成的，上面是一个四棱锥，下面是一个倒立的圆锥．∴该几何体的体积V=+=．故选：B．【点评】本题考查了圆锥与四棱锥的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数，则f（3）+f（﹣3）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（3）+f（﹣3）=lg（）+1+lg（）+1=lg1+2，由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（3）+f（﹣3）=lg（）+1+lg（）+1=lg1+2=2．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想，是基础题．11．已知函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后得到的函数为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的最小值．【解答】解：函数，将其图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，得到y=sin （2x﹣2φ+）的图象，根据所得函数为奇函数，则﹣2φ+=kπ，k∈Z，∴φ的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，属于基础题．12．设M{a，b，c}=，若f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}（x＞0），则f（x）的最小值是（）A．B．C．1 D．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】对分段函数分类讨论，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x众数，分别求解，得出f（x）的最小值是；做出函数y=2x，y=x2，y=4﹣7.5x的图象，利用数学结合得出当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数范围．【解答】解：由题意，f（x）=M{2x，x2，4﹣7.5x}，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数，当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x众数，令（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x）（4﹣7.5x﹣2x）=0，若2x=x2，则x=2或4，若x2=4﹣7.5x，则x=﹣8（舍去）或，若2x=4﹣7.5x，令g（x）=2x﹣4+7.5x，∵g（0）=1﹣4+0=﹣3＜0，g（）=﹣4+3.75＞0，∴x∈（0，）；∴（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）=0时，f（x）=当（2x﹣x2）（x2﹣4+7.5x}（4﹣7.5x﹣2x）≠0时，f（x）=2x，x2，4﹣7.5x的中位数，由右侧图象可知：中位数都大于，故选A．【点评】本题考查了新定义函数和分段函数的处理．难点是利用数学结合解决实际问题．二、填空题（2017•云南二模）设x、y满足约束条件，则z=﹣2x+3y的最小值是﹣4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（2，0），化目标函数z=﹣2x+3y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．设数列{an }的前n项和为Sn，若Sn，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，且a2=﹣2，则a4= ﹣8 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】由Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列可求得an+1+2an=0，即=﹣2，从而可判定数列{an}是以﹣2为公比的等比数列，继而可得答案．【解答】解：∵Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列，∴2Sn﹣1=Sn+1+Sn（n≥2），即an+1+2an=0，∴=﹣2，∴数列{an}是以﹣2为公比的等比数列，又a2=﹣2，∴a4=﹣2×22=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查数列递推式，利用Sn ，Sn﹣1，Sn+1（n≥2）成等差数列求得an+1+2an=0，即=﹣2是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．15．已知抛物线y2=4x的准线与双曲线=1（a＞0，b＞0）相交于A，B两点，双曲线的一条渐近线方程是y=x，点F是抛物线的焦点，且△FAB是正三角形，则双曲线的标准方程是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，利用△FAB为正三角形，可得A的坐标，代入双曲线的方程，可得a，b的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是y=x，可得a，b的方程，从而可得a，b的值，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（，0），其准线方程为x=﹣，∵△FAB为正三角形，∴|AB|=4，将（﹣，2）代入双曲线=1可得=1，∵双曲线的一条渐近线方程是y=x，∴ =，∴a=1，b=，∴双曲线C的方程为．2故答案为．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键．16．已知正四面体ABCD的四个顶点都在球心为O的球面上，点P为棱BC的中点，，过点P作球O的截面，则截面面积的最小值为18π．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据题意，将四面体ABCD放置于如图所示的正方体中，则正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球．因此利用题中数据算出外接球半径R，过P点的截面到球心的最大距离，再利用球的截面圆性质可算出截面面积的最小值．【解答】解：将四面体ABCD放置于正方体中，如图所示可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球，∵正四面体ABCD的棱长为6，∴正方体的棱长为6．可得外接球半径R满足2R=6．PP为棱BC的中点，过P作其外接球的截面，当截面到球心O的距离最大时，截面圆的面积达最小值，此时球心O到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为r==3，得到截面圆的面积最小值为S=πr2=18故答案为：18π【点评】本题给出正四面体的外接球，求截面圆的面积最小值．着重考查了正方体的性质、球内接多面体和球的截面圆性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2017•云南二模）在△ABC中，D为BC边上一点，AD=BD，AC=4，BC=5．（1）若∠C=60°，求△ABC外接圆半径R的值；（2）设∠CAB﹣∠B=θ，若，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）利用余弦定理表示出AB，再利用正弦定理即可求出外接圆半径R；（2）根据正弦定理余弦定理和三角形面积公式即可求出【解答】解：（1）由余弦定理，得AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•cos60°=21，解得．由正弦定理得，．（2）设CD=x，则BD=5﹣x，AD=5﹣x，∵AD=BD，∴∠B=∠DAB．∴∠CAD=∠CAB﹣∠DAB=∠CAB﹣∠B=θ．∵，∴．∴，即，解得x=2．∴BD=AD=3．∵，∴．∴．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（12分）（2017•云南二模）某校2017届高三文（1）班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生数有14人．（1）求总人数N和分数在120～125的人数n；（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？（3）现猪呢比从分数在115～120名学生（男女生比例为1：2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）先求出分数在110﹣120内的学生的频率，由此能求出该班总人数，再求出分数在120﹣125内的学生的频率，由此能求出分数在120﹣125内的人数．（2）利用频率分布直方图，能估算该班学生数学成绩的众数和中位数．（3）由题意分数在115﹣120内有学生6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名，利用列举法能求出其中至多含有1名男生的概率．【解答】解：（1）分数在110﹣120内的学生的频率为P1=（0.04+0.03）×5=0.35，所以该班总人数为．分数在120﹣125内的学生的频率为：P2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.10，分数在120﹣125内的人数为n=40×0.10=4．（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为．设中位数为a，∵0.01×5+0.04×5+0.05×5+0.50，∴a=110．∴众数和中位数分别是107.5，110．（3）由题意分数在115﹣120内有学生40×（0.03×5）=6名，其中男生有2名．设女生为A1，A2，A3，A4，男生为B1，B2，从6名学生中选出2名的基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A3，B1），（A4，B1），（A3，B1），（A4，B2），（A3，B1），（B1，B2），共15种，其中至多有1名男生的基本事件共14种，∴其中至多含有1名男生的概率为．【点评】本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，考查排列组合，解答本题的关键是正确理解获奖的情形，解题时要要认真审题，注意排列组合公式的合理运用，是中档题．19．（12分）（2017•云南二模）已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O 是AB中点，E是PB中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连结PO，推导出PO⊥AB，AC⊥BC，PO⊥OC．从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．（2）推导出，OC⊥AB，从而OC⊥平面PAB，进而OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，由VB﹣OEC =VE﹣OBC，能求出点B到平面OEC的距离．【解答】证明：（1）连结PO，在△PAB中，PA=PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，又∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴．∵PA=PB=BC=3，∴，PC2=PO2+OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC=O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：（2）∵OE是△PAB的中位线，∴．∵O是AB中点，AC=BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，∵OE⊂平面PAB，∴OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，则VB﹣OEC =VE﹣OBC，∴，∴点B到平面OEC的距离：．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．20．（12分）（2017•云南二模）已知点A，B是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点，F为左焦点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP与过点B且垂直于x轴的直线l交于点M，直线MN⊥BP于点N．（1）求证：直线AP与直线BP的斜率之积为定值；（2）若直线MN过焦点F，（λ∈R），求实数λ的值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，设P（x0，y），由P的坐标表示直线AP与直线BP的斜率，求其积可得，由椭圆的性质即可得证明；（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，进而可得直线AP的方程，分析可得，又F、N、M三点共线，得kMF =kMN，即，由向量的数乘运算的意义分析可得证明．【解答】解：（1）证明：设P（x0，y）（x≠±a），由已知A（﹣a，0），B（a，0），∴．①∵点P在椭圆上，∴．②由①②得（定值）．∴直线AP与直线BP的斜率之积为定值．（2）设直线AP与BP斜率分别为k1、k2，由已知F（﹣c，0），直线AP的方程为y=k1（x+a），直线l：x=a，则M（a，2ak1）．∵MN⊥BP，∴kMN •k2=﹣1．由（1）知，故，又F、N、M三点共线，得kMF =kMN，即，得2b2=a（a+c）．∵b2=a2﹣c2，∴2（a2﹣c2）=a2+ac，2c2+ac﹣a2=0，，解得或（舍去）．∴a=2c．由已知，得（a﹣c，0）=λ（a+c，0），将a=2c代入，得（c，0）=λ（3c，0），故．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键要熟悉椭圆的几何性质．21．（12分）（2017•云南二模）已知函数f（x）=+ax+2lnx，g（x）=+kx+（2﹣x）lnx﹣k，k∈Z．（1）当a=﹣3时，求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，求k的最大值．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=﹣3时，求导数，分类讨论，即可求f（x）的单调区间；（2）当a=1时，若对任意x＞1，都有g（x）＜f（x）成立，，求出右边的最小值，即可求k的最大值．【解答】解：（1）由题意可知函数f（x）的定义域为{x|x＞0}．当a=﹣3时，，．①当x∈（0，1）或x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．②当x∈（1，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（0，1），（2，+∞），单调递减区间为（1，2）．（2）由g（x）＜f（x），得，整理得k（x﹣1）＜xlnx+x，∵x＞1，∴．令，则．令h（x）=x﹣lnx﹣2，∵x＞1，∴．∴h（x）在（1，+∞）上递增，h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣ln4＞0，∴h（x）存在唯一的零点x∈（3，4）．∴h（x0）=x﹣lnx﹣2=0，得lnx=x﹣2．当x∈（1，x0）时，h（x）＜h（x）=0，Q'（x）＜0，∴Q（x）在（1，x）上递减；当x∈（x，+∞）时，Q'（x）＞0，∴Q（x）在（x，+∞）上递增．∴，要使对任意x＞1恒成立，只需k＜[Q（x）]min =x．又3＜x＜4，且k∈Z，∴k的最大值为3．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•云南二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ．直线l交曲线C于A，B两点．（1）写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设点P的直角坐标为（﹣2，﹣4），求点P到A，B两点的距离之积．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的参数方程消去参数，得l的普通方程，由此能求出直线l的极坐标方程，由曲线C的极坐标方程，能求出曲线C的直角坐标方程．（2）求出直线l的参数方程，并代入y2=2x，得，由此能求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数和，得l的普通方程为x﹣y﹣2=0．∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣2=0．∵曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x．（2）∵直线l：x﹣y﹣2=0经过点P（﹣2，﹣4），∴直线l的参数方程为（T为参数）．将直线l的参数方程为代入y2=2x，化简得，∴|PA|•|PB|=|T1T2|=40．【点评】本题考查直线的极坐标方程和曲线直角坐标方程的求法，考查两线段积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•云南二模）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣1|．（1）求证：f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，求实数x的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质，证明f（x）的最小值等于2；（2）若对任意实数a和b，，分类讨论，当且仅当时，f（x）=2．，即可求实数x的取值范围．【解答】（1）证明：∵|2x+1|+|2x﹣1|=|2x+1|+|1﹣2x|≥|（2x+1）+1﹣2x|=2，∴f（x）≥2．当且仅当（2x+1）（1﹣2x）≥0时“=”成立，即当且仅当时，f（x）=2．∴f（x）的最小值等于2．（2）解：当a+b=0即a=﹣b时，可转化为2|b|﹣0•f（x）≥0，即2|b|≥0成立，∴x∈R．当a+b≠0时，∵|2a+b|+|a|=|2a+b|+|﹣a|≥|（2a+b）﹣a|=|a+b|，当且仅当（2a+b）（﹣a）≥0时“=”成立，即当且仅当（2a+b）a≤0时“=”成立，∴，且当（2a+b）a≤0时，，∴的最小值等于1，∵，，∴，即f（x）≤2．由（1）知f（x）≥2，∴f（x）=2．由（1）知当且仅当时，f（x）=2．综上所述，x的取值范围是．【点评】本题考查绝对值不等式的性质，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

(完整word版)2018年高考数学模拟试卷(文科)

2018年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5 分）已知集合A={X|X2W 1} , B={x|0v x v 1}，则A H B=（）A. [ - 1, 1）B・（0, 1） C. [ - 1, 1] D. （- 1，1）2. （5分）若i为虚数单位，则复数z= _在复平面上对应的点位于（）丄*A.第一象限B.第二象限C第三象限D.第四象限3. （5分）已知等差数列{a n}前3项的和为6, a5=8,则a20=（）A. 40B. 39 C 38 D . 374 . （5分）若向量的夹角为一，且|打|=4, |.・|=1，则「41-|=（）A . 2B . 3 C. 4 D . 52 25. （5分）已知双曲线C: ———（a>0, b>0）的渐近线与圆（X+4）2+y2=8a2b2无交点，则双曲线离心率的取值范围是（）A. （1,二）B. （一，1■'■'）C. （1, 2）D. （2, +x）6. （5分）已知实数x,y满足约束条件\ i-2y+4>0,则z=x+2y的最大值为A . 6B . 7 C. 8 D . 97. （5分）函数y=log 〔（X2-4X+3）的单调递增区间为（）TA. （3, +x）B. （-X, 1）C. （-X, 1）U（3, +x） D . （0, +x）8. （5分）宜宾市组织歌颂党，歌颂祖国”的歌咏比赛，有甲、乙、丙、丁四个单位进入决赛，只评一个特等奖，在评奖揭晓前，四位评委A, B, C, D对比赛预测如下：A说：是甲或乙获得特等奖”B说：丁作品获得特等奖”C说：丙、乙未获得特等奖”D说：是甲获得特等奖”比赛结果公布时，发现这四位评委有三位的话是对的，则获得特等奖的是（）A .甲 B.乙 C.丙 D . 丁9. （5分）某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（A . 4 B. 5 C. 6 D . 711. （5分）分别从写标有1, 2, 3, 4, 5, 6, 7的7个小球中随机摸取两个小球，则摸得的两个小球上的数字之和能被 3整除的概率为（）A•寻B 寻C 骨D.寺10.(5分)若输入S=12 A=4, B=16, n=1,执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（12. （5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x v0时，f（x）=e x（x+1）, 给出下列命题：①当x>0 时，f （x）=e x（x+1）；②？ X I, X2€ R,都有| f (X1)— f (X2)| V2；③f (x)> 0 的解集为(—1, 0)u, (1, +x)；④方程2[f (x) ]2-f (x) =0有3个根.其中正确命题的序号是( )A.①③ B •②③C•②④ D •③④二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13. (5分)在等比数列｛a n｝中，若a2+a4丄,a3丄，且公比q V1,则该数列的通项公式a n= ______ .14. (5 分)已知y=f (x)是偶函数，且f (x) =g (x)- 2x, g (3) =3,则g (3) = ______ .15. (5分)三棱锥P- ABC中，底面△ ABC是边长为.二的等边三角形，PA=PB=PC PB丄平面PAC则三棱锥P- ABC外接球的表面积为_______ .16. (5 分)在厶ABC中，D 为AC上一点，若AB=AC AD*D, BD=4 ,则厶ABCu-n面积的最大值为_______ .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必做题：共60分.17. (12分)在厶ABC中，a, b, c分别为A, B, C的对边，且sinA=2sinB(1)若C^—, △ ABC的面积为「，求a的值；4 4(2)求亟竽■—沁迥嗚的值.SLED 218. (12分)每年4月15至21日是全国肿瘤防治宣传周，全国每天有超1万人确诊为癌症，其中肺癌位列发病首位，吸烟人群是不吸烟人群患肺癌的10倍•某调查小组为了调查中学生吸烟与家庭中有无成人吸烟的关系，发放了 500份不记名调查表，据统计中学生吸烟的频率是0.08,家庭中成人吸烟人数的频率分布条形图如图.(1) 根据题意，求出a 并完善以下2X 2列联表；家中有成人吸烟家中无成人吸烟合计学生吸烟人数 28学生不吸烟人数合计(2) 能否据此判断有97.5%的把握认为中学生吸烟与家庭中有成人吸烟有关？附表及公式： P (K 2>k 0)0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k 02.7063.8415.0246.6357.879Q=Ca+b) (c+d) Ca-Fc) (b+d)'19. （ 12分）如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD // BC, / ADC=90 ,n=a+b+c+d平面PAD丄平面ABCDQ是AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2AD=2BC=2CD=:（1）求证：平面BMQ丄平面PAD;（2）当M是PC的中点时，过B，M，Q的平面去截四棱锥P-ABCD求这个截面的面积.20. （12分）已知抛物线C的焦点在x轴上，顶点在原点且过点p （2，1），过点（2，0）的直线I交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作y 轴的垂线交C于点N.（1）求抛物线C的方程；（2）是否存在直线I，使得以AB为直径的圆M经过点N?若存在，求出直线I 的方程；若不存在，说明理由.21. (12 分)已知函数f (x) =e x+x- 2, g (x) =alnx+x.(1)函数y=g (x)有两个零点，求a的取值范围；(2)当a=1 时，证明：f (x)> g (x).(二)选做题：共10分•请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.［选修4-4:坐标系与参数方程］22. (10分)在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为—,(参数©［y=2sin$€ R).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，(I)求圆C的极坐标方程；(II)直线I，射线OM的极坐标方程分别是旦)二还，。

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．（1，2]D．[﹣1，1]∪{2} 2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 3．（5分）当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A．3.6B．3.8C．4D．4.24．（5分）一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）按如图所示的算法框图，某同学在区间[0，9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{a n}的公差为d，且a7•a8＝35，a4+a10＜0，令S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，则S m的值为（）A．36B．44C．52D．607．（5分）函数f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]恰有两个零点，则m的取值范围为（）A．（0，1]B．{1}C．{0}∪（1，3]D．[0，3]8．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．则海岛高度为（）A．1055步B．1255步C．1550步D．2255步9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．210．（5分）已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，则的最小值为（）A．B．8C．D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a）D．log2（1﹣a）二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为．14．（5分）已知双曲线上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝．15．（5分）实系数一元二次方程x2+ax﹣2b＝0有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内．若，则z的取值范围为．16．（5分）下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1＞0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的序号为．（填入所有正确的命题序号）三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．18．（12分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：（Ⅰ）若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）当AB＝1，求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．20．（12分）已知过抛物线Ω：y2＝2px（0＜p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2+y2＝1引切线FT（T为切点），切线FT的长为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2+y2＝1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求|F A|•|FB|的最小值．21．（12分）已知函数（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．（1，2]D．[﹣1，1]∪{2}【解答】解：由，得A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|﹣1≤x≤2}＝[﹣1，2]；∴A∩B＝[1，2]．故选：B．2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵复数z满足，∴，得，∴z＝1+i或z＝1﹣i．故选：C．3．（5分）当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A．3.6B．3.8C．4D．4.2【解答】解：设五个数从小到大为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得a3＝4，a4＝a5＝6，a1，a2是1，2，3中两个不同的数，符合题意的五个数可能有三种情形：“1，2，4，6，6”，“1，3，4，6，6”，“2，3，4，6，6”，其平均数分别为3.8，4，4.2，不可能的是3.6．故选：A．4．（5分）一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．得f（a n）＜a n，所以f（a1）＜a1在∀a1∈（0，1）上都成立，即∀x∈（0，1），f（x）＜x，所以函数图象都在y＝x的下方．故选：A．5．（5分）按如图所示的算法框图，某同学在区间[0，9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A．B．C．D．【解答】解：当，由算法可知y＝﹣2x+2得y∈[1，2]，得到“OK”；当，由算法可知y＝﹣2x+2得y∈（0，1），不能得到“OK”；当x∈[1，3），由算法可知y＝log3x得y∈[0，1），不能得到“OK”；当x∈[3，9]，由算法可知y＝log3x得y∈[1，2]，能得到“OK”；∴．故选：C．6．（5分）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{a n}的公差为d，且a7•a8＝35，a4+a10＜0，令S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，则S m的值为（）A．36B．44C．52D．60【解答】解：由两直线平行得d＝﹣2，由两平行直线间距离公式得，∵a7•（a7﹣2）＝35得a7＝﹣5或a7＝7．∵a4+a10＝2a7＜0，∴a7＝﹣5，∴a n＝﹣2n+9，∴S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣5|+|﹣7|+|﹣9|+|﹣11|＝52．故选：C．7．（5分）函数f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]恰有两个零点，则m的取值范围为（）A．（0，1]B．{1}C．{0}∪（1，3]D．[0，3]【解答】解：f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]的零点个数就是与y＝m的交点个数．作出y＝cos x+2|cos x|的图象，由图象可知m＝0或1＜m≤3．故选：C．8．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．则海岛高度为（）A．1055步B．1255步C．1550步D．2255步【解答】解：如图，设岛高x步，与前标杆相距y步，则根据三角形相似可得：，解得x＝1255步．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2＝2，三棱锥的体积为，所以几何体的体积为．故选：B．10．（5分）已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：射影定理可得：BE2＝AE•ED，即，所以即椭圆的离心率．故选：D．另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|得：，解得：，所以，∴．故选：D．11．（5分）已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，则的最小值为（）A．B．8C．D．【解答】解：由于M是DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，所以α，β＞0且2α+2β＝1，所以，（当且仅当时取＝）．故选：D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a）D．log2（1﹣a）【解答】解：当x≥0时，又f（x）是奇函数，由图象可知：F（x）＝0⇒f（x）＝a，（0＜a＜1），有5个零点，其中有两个零点关于x＝﹣3对称，还有两个零点关于x＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线x＝a与函数，x∈（﹣1，0]交点的横坐标，即方程的解，x＝﹣log2（1+a），故选：C．二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为．【解答】解：如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AC，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB＝AC＝SA＝2，由勾股定理得，又DE＝1．由题意BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴在Rt△SDE中，．故答案为：．14．（5分）已知双曲线上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝4．【解答】解：双曲线两渐近线的斜率为，设点P（x°，y°），则l1，l2的方程分别为，，所以M，N坐标为M（x°﹣2y°，0），N（x°+2y°，0），∴，又点P在双曲线上，则，所以|OM|•|ON|＝4．故答案为：4．15．（5分）实系数一元二次方程x2+ax﹣2b＝0有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内．若，则z的取值范围为．【解答】解：令f（x）＝x2+ax﹣2b，依题意得，，即，作出可行域如图，可行域是△ABC内部的部分．表示的几何意义是过可行域内一点与点P（1，0）的直线的斜率，由，得A（﹣3，﹣1），B（﹣1，0），C（﹣2，0）．∴，∴．故答案为：．16．（5分）下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1＞0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的序号为③④．（填入所有正确的命题序号）【解答】解：对于①，如首项a1＝﹣1，公比的等比数列为递增数列，所以首项a1＞0不是等比数列{a n}为递增数列的必要条件，①错误；对于②，可知0＜a＜1时，a0＞a a＞a1，即1＞a a＞a，所以，②错误；对于③，将的图象向右平移个单位，得y＝2tan[（x﹣）+]＝2tan x；再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得y＝2×tan x＝tan x，即y＝tan x，③正确；对于④，0＜x＜1时，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得，又0＜a＜3，∴，可知f（x）在上单调递减，在单调递增，所以④正确；综上，正确的命题是③④．故答案为：③④．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理得，……………1分∴，∴；……………3分由正弦定理得，又A+C＝π﹣B，∴2cos B sin B＝sin B，又sin B≠0，∴；……………5分∵B∈（0，π），所以；……………6分（Ⅱ）∵，∴b＝3，……………7分由面积公式得，即ac＝6①；……………9分由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b2＝a2+c2﹣6＝9，即a2+c2＝15②；……11分由①②解得：或，又c＞a，所以a＝，c＝2．……………12分18．（12分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：（Ⅰ）若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设B村户数为x户，则：80%＝，………3分解得：x＝80（户）．……………5分（Ⅱ）不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C），共12种等可能性结果．……………9分其中（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（C，A），（D，A）符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p＝．……………12分19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）当AB＝1，求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．………2分利用勾股定理得，同理可得．在△SAD中，，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．……………6分解：（Ⅱ）由（Ⅰ）中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD，……………7分∵AB＝CD＝1，SB＝SC＝2，则由勾股定理可得，……………8分∴，△SAD中，，∴AD边上高h＝，∴，……………11分四棱锥S﹣ABCD的侧面积＝，∴四棱锥S﹣ABCD的侧面积．……………12分20．（12分）已知过抛物线Ω：y2＝2px（0＜p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2+y2＝1引切线FT（T为切点），切线FT的长为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2+y2＝1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求|F A|•|FB|的最小值．【解答】解；（Ⅰ）因为圆C：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），，……………1分由切线长定理可得|FC|2＝|FT|2+r2，即，……………3分解得：p＝2或p＝10，又0＜p≤8，∴p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．……………4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x＝ny+m，代入y2＝4x得y2﹣4ny﹣4m＝0，∴y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4m，得，，……………5分由抛物线的性质得：|F A|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴．……………8分又直线l与圆C相切，则有，即，∴（m﹣3）2＝1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），……………10分此时|F A||FB|＝m2+4（m﹣3）2﹣4+2m+1＝5m2﹣22m+33．由二次函数的性质可知当m＝2时，|F A||FB|取最小值，即|F A||FB|的最小值为9．……………12分21．（12分）已知函数（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，，x＞0.，x＞0．……………1分当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．……………3分所以f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）．f（x）的极小值为；无极大值．……………5分（Ⅱ）∵＝．……………7分∵x＞0，a＞0，∴x2+x+a＞0，当x＞a时，f′（x）＞0；当0＜x＜a时，f′（x）＜0．f（x）在（0，a）上单调递减；在（a，+∞）上单调递增．……………8分所以若f（x）有两个零点，必有，得a＞3．……………10分又，综上所述，当a＞3时f（x）有两个零点，所以符合题意的a的取值范围为（3，+∞）． (12)分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）当α＝45°时，直线l的参数方程为，消去t得直线l的普通方程为x﹣y﹣5＝0．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，两边乘以ρ为ρ2＝4ρcosθ，由得：x2+y2﹣4x＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．（Ⅱ）曲线C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，．当∠ACB＝90°时面积最大．此时点C到直线l：y＝k（x﹣5）的距离为，所以，解得：，所以直线l的普通方程为．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|＝4，（x+3）≤0，即﹣3≤x≤1时等号成立．∴f（x）的最小值为4．……………………当且仅当（x﹣1）4分（Ⅱ）g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．则g（x）的图象是夹在y＝﹣5与y＝5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又，f（x）的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，则f（x）的图象的两条射线中至少有一条是平行于x轴的，所以﹣（a+1）＝0或（a+1）＝0得a＝﹣1．此时，经验证符合题意，∴a＝﹣1……………………10分。

2018全国各地高考数学模拟试题《导数及其应用》试题汇编(含答案解析)

2018全国各地高考数学模拟试题《导数及其应用》试题汇编（含答案解析）1．（2018•台州一模）已知函数f（x）=2x3﹣3（m+1）x2+6mx，m∈R．（Ⅰ）若m=2，写出函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若对于任意的x∈[﹣1，1]，都有f（x）＜4，求m的取值范围．2．（2018•濮阳三模）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx，其中a∈R．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x≥1，都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．3．（2018•葫芦岛二模）已知函数f（x）=（a，b∈R且a≠0，e为自然对数的底数）．（1）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围；（2）当a=b=1时，证明：xf（x）+2＜0．4．（2018•武邑县校级一模）已知函数f（x）=2e x+3x2﹣2x+1+b，x∈R的图象在x=0处的切线方程为y=ax+2．（1）求函数f（x）的单调区间与极值；（2）若存在实数x，使得f（x）﹣2x2﹣3x﹣2﹣2k≤0成立，求整数k的最小值．5．（2018•张掖模拟）已知函数（a为实数）．（1）当f（x）与y=﹣3切于A（x0，f（x0）），求a，x0的值；（2）设F（x）=f'（x）•e x，如果F（x）＞﹣1在（0，+∞）上恒成立，求a的范围．6．（2018•赣州二模）设函数f（x）=（x﹣1）2+alnx有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若对任意的x∈（x1，+∞），都有f（x）＞m成立，求实数m的取值范围．7．（2018•天心区校级模拟）已知函数f（x）=（2a+1）x2+（a2+a）x，（a 为常数）．（1）若对任意m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，求k的取值范围；（2）若a＞﹣1，求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．8．（2018•凌源市模拟）已知函数f（x）=xe x．（1）讨论函数g（x）=af（x）+e x的单调性；（2）若直线y=x+2与曲线y=f（x）的交点的横坐标为t，且t∈[m，m+1]，求整数m所有可能的值．9．（2018•郑州二模）已知函数f（x）=e x﹣x2．（Ⅰ）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，．10．（2018•渭南二模）已知函数f（x）=x•（lnx+ax+1）﹣ax+1（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围（Ⅱ）若f（x）的最大值为2，求实数a的值．11．（2018•信阳二模）已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b 为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．12．（2018•咸阳一模）已知f（x）=e x﹣alnx（a∈R）．（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=﹣1时，若不等式f（x）＞e+m（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．13．（2018•河南一模）已知：f（x）=（2﹣x）e x+a（x﹣1）2（a∈R）（1）讨论函数f（x）的单调区间：（2）若对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，求a的取值范围．14．（2018•佛山二模）已知a∈R，函数f（x）=x（e x﹣2a）﹣ax2．（Ⅰ）若f（x）有极小值且极小值为0，求a的值．（Ⅱ）当x∈R时，f（2x）≥2f（x），求a的取值范围15．（2018•广元模拟）设函数f（x）=lnx+x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）已知函数在定义域内为增函数，求a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2ln，对于任意a∈（2，4），总存在x∈[]，使g（x）＞k（4﹣a2）成立，求实数k的取值范围．16．（2018•莆田二模）已知函数p（x）=，q（x）=x2﹣（1+2a）x．（1）讨论函数f（x）=q（x）+2ax•p（x）的单调性；（2）当a=0时，证明：xp（x）+q（x）＜e x+x2﹣x﹣1．17．（2018•乐山三模）已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的x＞0，f（x）+e x＞x2+x+2．18．（2018•江苏模拟）已知f（x）=（2x+2f'（0））e x，，h （x）=f（x）+a（x2+4x）+4．（Ⅰ）求f（x）；（Ⅱ）求g（x）单调区间；（Ⅲ）若不等式h（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．19．（2018•郑州二模）设函数f（x）=ax2﹣（x+1）lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的斜率为0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求证：当0＜x≤2时，．20．（2018•重庆模拟）已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax•e x﹣4x，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．21．（2018•玉溪模拟）设M是满足下列条件的函数构成的集合：①方程f（x）﹣x=0有实数根；②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．（1）若函数f（x）为集合M中的任意一个元素，证明：方程f（x）﹣x=0只有一个实根；（2）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（3）设函数f（x）为集合M中的元素，对于定义域中任意α，β，当|α﹣2012|＜1，|β﹣2012|＜1时，证明：|f（α）﹣f（β）|＜2．22．（2018•莆田二模）已知函数f（x）=x（e x﹣2）﹣ax2+1．（1）求f（x）图象在x=0处的切线方程；（2）当x≥0时，f（x）≥1﹣x．求a的取值范围．23．（2018•和平区校级一模）已知函数f（x）=ln（x+1）+，g（x）=|ln（x ﹣1）|．（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）若函数f（x）存在两个极值点，求a的取值范围；（Ⅲ）设m＞n＞1，且g（）=g（n），g（m）=2g（），求证：4＜m＜5．24．（2018•宿州三模）设函数f（x）=x+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x=1，证明：f（x）≤e﹣x+x2．25．（2018•衡阳一模）已知函数f（x）=+alnx（x∈R）．（1）若函数f（x）在（0，2）上递减，求实数a的取值范围；（2）设h（x）=f（x）+|（a﹣2）x|，x∈[1，+∞）求证：h（x）≥2．26．（2018•浙江模拟）已知函数．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）的定义域及值域．27．（2018•淮北一模）已知函数f（x）=e x（x+a），g（x）=x2﹣bx且F（x）=f（x）+g（x）在点（0，F（0））处的切线方程为y=1+6x（Ⅰ）求a、b的值（Ⅱ）若x≤1时，f（x）＜g（x）+t恒成立，求实数t的取值范围．28．（2018•柯桥区二模）已知函数f（x）=﹣e x+a（x+1）．（1）讨论函数f（x）单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值且最大值大于﹣a2+a时，求a的取值范围．29．（2018•泸州模拟）设f（x）=ae x﹣cosx，其中a∈R．（1）求证：曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线过定点；（2）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a的取值范围．30．（2018•潍坊二模）已知函数f（x）=（x﹣a）e x﹣．（x∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线为l，l与x轴的交点坐标为（2，0），求a的值；（2）讨论f（x）的单调性．31．（2018•榆林三模）设函数f（x）=ax3+bx2﹣x（x∈R，a，b 是常数，a≠0），且当x=1和x=2时，函数f（x）取得极值．（1）求f（x）的解析式；（2）若曲线y=f（x）与g（x）=﹣3x﹣m（﹣2≤x≤0）有两个不同的交点，求实数m的取值范围．32．（2018•安阳一模）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）是否存在实数a，b，使f（x）≥ax+b≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立？若存在，试求出a，b的值；若不存在，请说明理由．33．（2018•江苏二模）已知函数f（x）=x（e x﹣2），g（x）=x﹣lnx+k，k∈R，其中e为自然对数的底数．记函数F（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数y=f（x）+2x的极小值；（2）若F（x）＞0的解集为（0，+∞），求k的取值范围；（3）记F（x）的极值点为m，求证：函数G（x）=|F（x）|+lnx在区间（0，m）上单调递增．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）34．（2018•徐州模拟）已知函数f（x）=lnx﹣ax+a，a∈R．（1）若a=1，解关于x的方程f（x）=0；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最大值；（3）若存在m，对任意的x∈（1，m）恒有|f（x）|＜（x﹣1）2，试确定a的所有可能值．35．（2018•三明二模）已知函数（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在x=e处切线的斜率为﹣1，求此切线方程；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求a的取值范围，并证明：x1x2＞x1+x2．36．（2018•朝阳区校级模拟）已知函数f（x）=ln（ax+1）﹣x（a≠0），．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+g（x）．已知函数y=h（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），且h（x1）+h（x2）＜2﹣2ln2，求实数a的取值范围．37．（2018•南京三模）已知函数f（x）=2x3﹣3ax2+3a﹣2（a＞0），记f'（x）为f （x）的导函数．（1）若f（x）的极大值为0，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）+6x，求g（x）在[0，1]上取到最大值时x的值；（3）若关于x的不等式f（x）≥f'（x）在[，]上有解，求满足条件的正整数a的集合．38．（2018•榆林一模）已知函数f（x）=e x﹣a（x﹣1），其中a＞0，e为自然对数底数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）已知b∈R，若函数f（x）≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．39．（2018•河北区一模）已知函数f（x）=a2x3﹣3ax2+2，g（x）=﹣3ax+3，x∈R，其中a＞0．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间（﹣1，1）上的极值；（Ⅲ）若∃x0∈（0，]，使不等式f（x0）＞g（x0）成立，求a的取值范围．40．（2018•重庆一模）设函数f（x）=e x﹣asinx．（1）当a=1时，证明：∀x∈（0，+∞），f（x）＞1；（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥0都成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若m=2，则f（x）=2x3﹣9x2+12x，∵f′（x）=6x2﹣18x+12=6（x2﹣3x+2）=6（x﹣1）（x﹣2），令f′（x）＞0，则x＜1或x＞2，故函数f（x）的递增区间是（﹣∞，1），（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=2x3﹣3（m+1）x2+6mx，f′（x）=6（x﹣1）（x﹣m），①当m≥1时，f（x）在（﹣1，1）递增，f（x）max=f（1）=3m﹣1＜4，故m＜，∴1≤m＜；②当﹣1＜m＜1时，f（x）在（﹣1，m）递增，在（m，1）递减，f（x）max=f（m）=﹣m3+3m2＜4，即m3﹣3m2+4＞0，（m+1）（m﹣2）2＞0恒成立，∴﹣1＜m＜1；③当m≤﹣1时，f（x）在（﹣1，1）递减，f（x）max=f（﹣1）=﹣9m﹣5＜4，综上，m的范围是﹣1＜m＜．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及求函数的最值问题以及求函数的最值问题，是一道中档题．2．【分析】（Ⅰ）当a=1时，求得f（x）的解析式，f（1）=0，以及导数，可得切线的斜率，即可得到所求切线方程；（Ⅱ）求得f（x）的导数，讨论a的符号，结合f（x）的单调性，以及二次方程的韦达定理，可得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣﹣lnx，f（1）=0，所以f′（x）=1+﹣，f′（1）=1，即曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1；（Ⅱ）f（x）=a（x﹣）﹣lnx的导数为f′（x）=，若a≤0，则当x＞1时，x﹣＞0，lnx＞0，可得f（x）＜0，不满足题意；若a＞0，则当△=1﹣4a2≤0，即a≥时，f′（x）≥0恒成立，可得f（x）在[1，+∞）上单调递增，而f（1）=0，所以当x≥1，都有f（x）≥0，满足题意；当△＞0，即0＜a＜时，f′（x）=0，有两个不等实根设为x1，x2，且x1＜x2，则x1x2=1，x1+x2=＞0，即有0＜x1＜1＜x2，当1＜x＜x2时，f′（x）＜0，故f（x）在（1，x2）上单调递减，而f（1）=0，当x∈（1，x2）时，f（x）＜0，不满足题意．综上所述，a≥．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和二次方程的韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．3．【分析】（1）求导，由f′（e）=0，求得b=0，根据函数单调性与导数的关系，即可求得a的取值范围；（2）证法1：构造函数，求导，根据函数的单调性，求得g（x）最大值，由g （x）max＜0，即可求得xf（x）+2＜0．证法2：将原式化简xf（x）+2=lnx﹣（x﹣1）+[（x+1）﹣e x]，根据经典不等式，即可求得xf（x）+2＜0．【解答】解：（1）f（x）=，（x＞0），求导f′（x）=，由f′（e）=0，则b=0，则f′（x）=，当a＞0时，f′（x）在（0，e）内大于0，在（e，+∞）内小于0，∴f（x）在（0，e）内为增函数，在（e，+∞）为减函数，∴f（x）有极大值无极小值；当a＜0时，f（x）在（0，e）为减函数，在（e，+∞）为增函数，∴f（x）有极小值无极大值；∴实数a的取值范围（﹣∞，0）；（2）证明：证法1：当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2，g′（x）=﹣e x，在（0，+∞）为减函数，由g′（1）=1﹣e＜0，g′（）=2﹣＞0，∴存在实数x0∈（，1）使得g′（x0）=﹣=0，∴g（x）在区间（0，x0）内为增函数，在（x0，+∞）内为减函数，由g′（x0）=﹣=0，则x0=﹣lnx0，g（x）max=g（x0）=lnx0﹣+2=﹣x0﹣+2=﹣（x0+）+2，由x0∈（，1），﹣（x0+）＜﹣2，∴g（x）max＜0，∴xf（x）+2＜0．证法2：当a=b=1时，设g（x）=xf（x）+2=lnx﹣e x+2=lnx﹣（x﹣1）+[（x+1）﹣e x]，因为曲线y=lnx与直线y=x﹣1相切于点（1，0）；直线y=x+1与曲线y=e x相切于点（0，1），……………………（8分）lnx≤x﹣1，x+1≤e x且“=”不同时成立，故x＞1时，lnx﹣（x﹣1）+[（x+1）﹣e x]＜0，即xf（x）+2＜0．………………………………………（12分）【点评】本题考查导数与函数单调性及极值的判断，考查利用导数求函数的最值，经典不等式的应用及几何关系，考查转化思想，分类讨论思想，属于中档题．4．【分析】（1）求导，根据导数的几何意义，即可求得b的值，根据导数与函数单调性及极值的关系，即可求得f（x）的单调性及极值；（2）由题意，可知存在实数x，使得k≥e x+x2﹣x﹣1成立，构造函数，则k ≥h（x）min，根据函数的零点的判断及函数的最值，即可求得整数k的最小值．【解答】解：（1）f′（x）=2e x+6x﹣2，因为f′（0）=a，所以a=0，易得切点（0，2），所以b=﹣1．易知函数f′（x）在R上单调递增，且f′（0）=0．则当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．所以函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0）；单调递增区间为（0，+∞）．所以函数f（x）在x=0处取得极小值f（0）=2．无极大值．（2）由（1）得f（x）=2e x+3x2﹣2x，存在实数x，使得f（x）﹣2x2﹣3x﹣2﹣2k≤0成立⇔e x+x2﹣x﹣1﹣k≤0，则k≥e x+x2﹣x﹣1，令h（x）=e x+x2﹣x﹣1，若存在实数x，使得不等式成立，则k≥h（x）min，h′（x）=e x+x﹣，易知h′（x）在R上单调递增，又h′（0）=﹣＜0，h′（1）=e﹣＜0，h′（）=﹣＞﹣=﹣=﹣＞2﹣＞0，由e x＞x+1，当且x=0时取等号，则h′（x）=e x+x﹣≥2x﹣＞0，则x＞，所以存在唯一的x0∈（，），使得h′（x0）=0，且当x∈（﹣∞，x0）时，h′（x0）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0．所以h（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，h（x）min=h（x0）=，又h′（x0）=0，即+x0﹣=0，所以=﹣x0，所以h（x0）=﹣x0+x02﹣x0﹣1=（x02﹣7x0+3），因为x0∈（，），所以h（x0）∈（﹣，﹣），则k≥h（x0），又k∈Z，所以k的最小值为0．【点评】本题导数的综合应用，导数的几何意义，函数的单调性及最值得关系，考查函数零点的判断，考查转换思想，属于中档题．5．【分析】（1）利用函数的导数，函数与y=﹣3切于A（x0，f（x0）），列出方程组，求解即可．（2）求出F（x）=（ax2+x﹣1）•e x，的导函数F'（x），利用F（0）=﹣1．通过①当a=0时，②当时，③当时，④当时，⑤当a＞0时，判断函数的单调性，转化求解a的范围即可．【解答】解：（1）f'（x）=ax2+x﹣1，由f（x）与y=﹣3切于点A（x0，f（x0）），则解得，x0=4．（2）F（x）=（ax2+x﹣1）•e x，∴F'（x）=e x（ax2+（2a+1）x），且F（0）=﹣1．①当a=0时，F'（x）=xe x，可知F（x）在（0，+∞）递增，此时F（x）＞﹣1成立；②当时，，可知F（x）在递增，在递减，此时，不符合条件；③当时，恒成立，可知F（x）在（0，+∞）递减，此时F（x）＜﹣1成立，不符合条件；④当时，，可知F（x）在（0，+∞）递减，此时F（x）＜﹣1成立，不符合条件；⑤当a＞0时，，可知F（x）在（0，+∞）递增，此时F（x）＞﹣1成立．综上所述，a≥0．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．6．【分析】（1）先确定函数的定义域然后求导数f′（x），令g（x）=2x2﹣2x+a，由题意知x1、x2是方程g（x）=0的两个均大于﹣1的不相等的实根，建立不等关系解之即可；（2）x2是方程g（x）=0的根，将a用x2表示，消去a得到关于x2的函数，研究函数的单调性求出函数的最大值，即可求m的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）=（x﹣1）2+alnx，∴即，令g（x）=2x2﹣2x+a，（x＞0）则x1，x2，且x1＜x2．是方程2x2﹣2x+a=0的两个正实根．则，得0，（2）∵0＜x1＜x2，x1+x2=1，∴＜x2＜1，a=2x2﹣2x22，∴f（x2）=x22﹣2x2+1+（2x2﹣2x22）lnx2，令g（t）=t2﹣2t+1+（2t﹣2t2）lnt，其中＜t＜1，则g′（t）=2（1﹣2t）lnt，当t∈（，1）时，g′（t）＞0，∴g（t）在（，1）上是增函数，∴g（t）＞g（）=，∴g（t）＜g（1）=0，∴f（x2）的取值范围是：（，0）．若对任意的x∈（x1，+∞），都有f（x）＞m成立⇔m＜f（x2）min，即可∴m≤．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值等有关知识，属于中档题．7．【分析】（1）将条件直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，转化为k不在导函数值域范围内．（2）利用导数求f（x）在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（1）若∀m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，即k不在导函数值域范围内．﹣，只要f'（x）的最小值大于k即可，∴k的范围为k＜﹣．（2）∵a＞﹣1，∴a+1＞0，当a≥1时，f'（x）≥0对x∈[0，1]成立，∴当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=a2﹣；当0＜a＜1时，在x∈（0，a），f'（x）＞0，f（x）单调递增，在x ∈（a ，1）时，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减，∴当x=a 时，f （x ）取得最大值f （a ）=；当a=0时，在x ∈（0，1），f'（x ）＜0，f （x ）单调递减，∴当x=0时，f （x ）取得最大值f （0）=0；当﹣1＜a ＜0时，在x ∈（0，a +1），f'（x ）＜0，f （x ）单调递减，在x ∈（a +1，1），f'（x ）＞0，f （x ）单调递增，又f （0）=0，f （1）=a 2﹣；当﹣1＜a ＜﹣时，f （x ）在x=1取得最大值f （1）=a 2﹣；当﹣时，f （x ）在x=0取得最大值f （0）=0；当a=﹣时，f （x ）在x=0，x=1处都取得最大值0．综上所述，当a ≥1或﹣1时，f （x ）在x=1取得最大值f （1）=a 2﹣；当0＜a ＜1时，f （x ）取得最大值f （a ）=；当a=﹣时，f （x ）在x=0，x=1处都取得最大值0；当﹣＜a ≤0时，f （x ）在x=0取得最大值f （0）=0．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及利用导数研究函数的性质，要求熟练掌握导数在研究函数中的应用，综合性较强，运算量较大．8．【分析】（1）根据题意，可得g （x ）=af （x ）+e x =axe x +e x ，求出其导数g′（x ），分情况讨论a 的值，分析导函数的符号，结合函数的导数与单调性的关系，即可得答案；（2）根据题意，分析可得原命题等价于方程xe x =x +2在x ∈[m ，m +1]上有解，进而可得原方程等价于，令，求出r （x ）的导数，分析r （x ）的单调性，进而可得直线y=x +2与曲线y=f （x ）的交点仅有两个，即可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，函数f （x ）=xe x ．则g （x ）=af （x ）+e x =axe x +e x ，∴g′（x）=（ax+a+1）e x．①若a=0时，g′（x）=e x，g′（x）＞0在R上恒成立，所以函数g（x）在R上单调递增；②若a＞0时，当时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；③若a＜0时，当时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；当时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．综上，若a=0时，g（x）在R上单调递增；若a＞0时，函数g（x）在内单调递减，在区间内单调递增；当a＜0时，函数g（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减．（2）由题可知，原命题等价于方程xe x=x+2在x∈[m，m+1]上有解，由于e x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）恒成立，所以r（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）内单调递增．又r（1）=e﹣3＜0，r（2）=e2﹣2＞0，，，所以直线y=x+2与曲线y=f（x）的交点仅有两个，且两交点的横坐标分别在区间[1，2]和[﹣3，﹣2]内，所以整数m的所有值为﹣3，1．【点评】本题考查函数导数的性质以及应用，（2）中注意将原问题转化为方程xe x=x+2在x∈[m，m+1]上有解的问题．9．【分析】（Ⅰ）求出导数，可得可得切点坐标及切线的斜率，代入点斜式，可得曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方，只证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，又x≥lnx+1，即，即可．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=e x﹣2x，由题设得f'（1）=e﹣2，f（1）=e﹣1，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1．（Ⅱ）f'（x）=e x﹣2x，f''（x）=e x﹣2，∴f'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，所以f'（x）≥f'（ln2）=2﹣2ln2＞0，所以f（x）在[0，1]上单调递增，所以f（x）max=f（1）=e﹣1，x∈[0，1]．f（x）过点（1，e﹣1），且y=f（x）在x=1处的切线方程为y=（e﹣2）x+1，故可猜测：当x＞0，x≠1时，f（x）的图象恒在切线y=（e﹣2）x+1的上方．下证：当x＞0时，f（x）≥（e﹣2）x+1，设g（x）=f（x）﹣（e﹣2）x﹣1，x＞0，则g'（x）=e x﹣2x﹣（e﹣2），g''（x）=e x﹣2，g'（x）在（0，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，又g'（0）=3﹣e＞0，g'（1）=0，0＜ln2＜1，∴g'（ln2）＜0，所以，存在x0∈（0，1n2），使得g'（x0）=0，所以，当x∈（0，x0）∪（1，+∞）时，g'（x）＞0；当x∈（x0，1）时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又g（0）=g（1）=0，∴g（x）=e x﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1≥0，当且仅当x=1时取等号，故．又x≥lnx+1，即，当x=1时，等号成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为a≤﹣，设g（x）=﹣，根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）求出f（x）的单调区间，得到f′（1）=0，求出a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，f′（x）=lnx+2ax+2﹣a≤0，∴a≤﹣，设g（x）=﹣，则g′（x）=，∵x≥1，∴g′（x）≥0，g（x）递增，又g（1）=﹣2，故a≤﹣2；（Ⅱ）由f（1）=2，要使f（x）max=2，故f（x）的递减区间是[1，+∞），递增区间是（0，1），∴f′（1）=0，即ln1+2a+2﹣a=0，∴a=﹣2．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．11．【分析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=﹣1或t=，即f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，由图象可得﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即可得到所求a+b的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+﹣a，则y=xf（x）=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，由题意可得12﹣a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+﹣12，f′（x）=8x﹣，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x﹣1），即为y=7x﹣14；（2）由f（x）=4x2+﹣a，导数f′（x）=8x﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3﹣a，由f（x）有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，则f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，由题意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（﹣∞，2）．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，考查函数零点问题的解法，注意运用换元法和数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题．12．【分析】（1）求出函数的导数，求出切线的斜率，切点坐标，然后求解其切线方程．（2）由f（x）=e x﹣alnx，原不等式即为e x+lnx﹣e﹣m（x﹣1）＞0，记F（x）=e x+lnx ﹣e﹣m（x﹣1），通过函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值，转化求解m的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣alnx，则，切点为（1，e），所求切线方程为y﹣e=（e﹣a）（x﹣1），即（e﹣a）x﹣y+a=0．（2）由f（x）=e x﹣alnx，原不等式即为e x+lnx﹣e﹣m（x﹣1）＞0，记F（x）=e x+lnx﹣e﹣m（x﹣1），F（1）=0，依题意有F（x）＞0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求导得，当x＞1时，F''（x）＞0，则F'（x）在（1，+∞）上单调递增，有F'（x）＞F'（1）=e x+1﹣m，若m≤e+1，则F'（x）＞0，若F（x）在（1，+∞）上单调递增，且F（x）＞F （1）=0，适合题意；若m＞e+1，则F'（1）＜0，又，故存在x1∈（1，lnm）使F'（x）=0，当1＜x＜x1时，F'（x）＜0，得F（x）在（1，x1）上单调递减，在F（x）＜F（1）=0，舍去，综上，实数m的取值范围是m≤e+1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．13．【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得函数f （x）的单调区间：（2）构造辅助函数，分类讨论，利用导数与函数单调性及最值的关系，即可求得g（x）的最值，根据函数恒成立即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）=（1﹣x）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（2a﹣e x），当a≤0时，函数在（﹣∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减；当时，函数在（﹣∞，ln2a），（1，+∞）上递减，在（ln2a，1）上递增；当时，函数在（﹣∞，1），（ln2a，+∞）上递减，在（1，ln2a）上递增；当时，函数在R上递减；（2）由对任意的x∈R，f（x）≤2e x，即（2﹣x）e x+a（x﹣1）2≤2e x，当x=1时，e x+a（x﹣1）2≤2e x，恒成立，当x≠1时，整理得：a≤，对任意x∈R恒成立，设g（x）=，求导g′（x）==，令g′（x）=0，解得：x=1±，当x=1+附近时，当x＞1+，g′（x）＞0，当1＜x＜1+，f′（x）＜0，∴当x=1+时取极小值，极小值为，当x=1﹣附近时，当x＞1﹣，g′（x）＞0，当x＜1﹣，g′（x）＜0，当x=1﹣时取极小值，极小值为，由＜，∴g（x）的最小值为，由题意对任意的x∈R，都有f（x）≤2e x，即a≤f（x），最小值∴a的取值范围（﹣∞，]．【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性及极值与最值的关系，考查函数恒成立问题，考查转化思想的应用，属于中档题．14．【分析】（I）讨论a的范围，判断f（x）的单调性，得出f（x）的极小值，从而列方程解出a的值；（II）分离参数可得a≤，根据函数性质求出a的范围．【解答】解：（I）f′（x）=（e x﹣2a）+xe x﹣2ax=（x+1）（e x﹣2a），x∈R．①若a≤0，由f′（x）=0解得x=﹣1．∴当x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时，f（x）取得极小值f（﹣1）=a﹣=0，解得a=（舍去）；②若a＞0，由f′（x）=0解得x=﹣1或x=ln（2a），（i）若ln（2a）＜﹣1，即0＜a＜，∴当x＜ln（2a）时，f′（x）＞0，当ln（2a）＜x＜﹣1时，f′（x）＜0，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，∴当x=﹣1时，f（x）取得极小值f（﹣1）=a﹣=0，解得a=（舍去）；（ii）若ln（2a）=﹣1，即a=时，f′（x）≥0，此时f（x）没有极小值；（iii）若ln（2a）＞﹣1，即a＞，∴当x≤﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜ln（2a）时，f′（x）＜0，当x＞ln（2a）时，f′（x）＞0，∴当x=ln（2a）时，f（x）取得极小值f（ln（2a））=﹣aln2（2a）=0，解得a=．综上，a=．（II）f（2x）﹣2f（x）=2x（e2x﹣2a）﹣4ax2﹣2x（e x﹣2a）+2ax2=2x（e2x﹣e x）﹣2ax2≥0，显然当x=0时，上式恒成立，当x≠0时，a≤．令g（x）==（x≠0），则当x＜0时，e x﹣1＜0，当x＞0时，e x﹣1＞0，∴g（x）＞0，且当x→﹣∞时，g（x）→0，∴a≤0，即a的取值范围是（﹣∞，0]．【点评】本题考查了函数单调性的判断，导数的应用，属于中档题．15．【分析】（Ⅰ）对f（x）进行求导，将其转化为在定义域上不等式g（x）＞0恒成立，进而可得答案；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论k的范围结合函数的单调性确定k的范围即可【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx+x2﹣ax∴f′（x）=+2x﹣a …………1´∵函数在定义域内为增函数，∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≤+2x在（0，+∞）上恒成立，…………3´而x＞0，+2x≥2，当且仅当x=时，“=”成立即+2x的最小值为2，∴a≤2…………6´（Ⅱ）∵g（x）=f（x）+2ln=2ln（ax+2）+x2﹣ax﹣2ln6∴…………7´∵a∈（2，4），∴=﹣＞﹣，＞0∴g´（x）＞0，故g（x）在[]上单调递增∴当x=2时，g（x）取最大值2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln62ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6＞k（4﹣a2）在（2，4）上恒成立．，…………8´令h（a）=2ln（2a+2）﹣2a+4﹣2ln6﹣k（4+a2），则h（2）=0，且h（a）＞0在（2，4）内恒成立，h′（a）==当k≤0时，h′（a）＜0，h（a）在（2，4）上单调递减h（a）＜h（2）=0，不合题意当k＞0时，由h´（a）=0得：a=①＞2，即0＜k＜时，h（a）在（2，）内单调递减，存在h（a）＜h（2）不合题意，②≤2，即k≥时，h（a）在（2，4）内单调递增，h（a）＞h（2）=0满足题意．综上，实数k的取值范围为[ (12)【点评】此题主要考查利用导数研究函数的单调性，此题综合性比较强，这类题型是高考的热点问题，解的过程中我们用到了分类讨论和转化的思想，是一道中档题16．【分析】（1）令f′（x）=0，讨论f′（x）的零点的大小，得出f′（x）的符号，从而得出f（x）的单调性；（2）化简不等式为，e x﹣lnx﹣1＞0，根据导数判断函数y=e x﹣lnx﹣1的单调性，求出最小值，从而得出结论．，【解答】解：（1）f（x）=x2﹣（1+2a）x+2alnx，定义域为（0，+∞），则f（x）=x﹣（1+2a）+=．①当a≤0时，x﹣2a＞0，∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．②当0＜a＜时，0＜2a＜1，∴当0＜x＜2a或x＞1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜1时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，2a）上单调递增，在（2a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，③当a=时，f′（x）=≥0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．④当a＞时，2a＞1，∴当0＜x＜1或x＞2a时，f′（x）＞0，当1＜x＜2a时，f′（x）＜0，所以，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2a）上单调递减，在（2a，+∞）上单调递增．（2）证明：当a=0时，要证xp（x）+q（x）＜e x+x2﹣x﹣1，即证lnx+x2﹣x＜e x+x2﹣x﹣1，只需证明：e x﹣lnx﹣1＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣1，则g′（x）=e x﹣，g″（x）=e x+＞0，所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，又g′（）=﹣2＜0，g′（1）=e﹣1＞0，所以存在唯一x0∈（，1）使得g′（x0）=0，即e=，∴﹣lnx0=x0．∴g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以g（x）的最小值为g（x0）=e﹣lnx0﹣1=+x0﹣1≥2﹣1=1＞0，所以e x﹣lnx﹣1＞0，即原不等式得证．【点评】本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等．17．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=2x﹣（a﹣2）﹣=…（2分）当a≤0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；…（4分）当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0，得0＜x＜，所以，函数在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减；（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2+x﹣lnx，要证明f（x）+e x＞x2+x+2，只需证明e x﹣lnx﹣2＞0，设g（x）=e x﹣lnx﹣2，则问题转化为证明对任意的x＞0，g（x）＞0，令g′（x）=e x﹣=0，得e x=，容易知道该方程有唯一解，不妨设为x0，则x0满足e x0=，当x变化时，g′（x）和g（x）变化情况如下表g（x）min=g（x0）=e x0﹣lnx0﹣2=+x0﹣2，因为x0＞0，且x0≠1，所以g（x）min＞2﹣2=0，因此不等式得证．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．18．【分析】（Ⅰ）由已知可得f′（x）=（2x+2f′（0）+2）e x，取x=0，可得f′（0）=﹣2，从而求得f（x）=（2x﹣4）e x．（Ⅱ）由题意知，g'（x）=（2x﹣2）e x+a（x﹣1）=（x﹣1）（2e x+a），当a≥0时，由导函数的符号可得g（x）的单调区间；当a＜﹣2e时，，由g'（x）＞0和g'（x）＜0分别解得g（x）的单调区间，当﹣2e＜a＜0时，，g'（x）＞0和g'（x）＜0分别解得g（x）的单调区间；（Ⅲ）h（x）=（2x﹣4）e x+a（x2+4x）+4，可得h'（x）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），令m（x）=h'（x），由导数可得有m'（x）=2xe x+2a（x≥0），得到m（x）≥m（0）=4a﹣2，然后对4a﹣2与0的大小分类分析得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=（2x+2f′（0）+2）e x，∴f′（0）=2f′（0）+2，得f′（0）=﹣2，∴f（x）=（2x﹣4）e x．（Ⅱ）由题意知，∴g'（x）=（2x﹣2）e x+a（x﹣1）=（x﹣1）（2e x+a），当a≥0时，令g'（x）＞0，得x＞1，令g'（x）＜0，得x＜1，∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，当a＜﹣2e时，，令g'（x）＞0，得x＜1或，令g'（x）＜0，得，∴g（x）在（﹣∞，1），上单调递增，在上单调递减，当﹣2e＜a＜0时，，令g'（x）＞0，得x＞1或，令g'（x）＜0，得，∴g（x）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，当a=﹣2e时，g'（x）＞0在R上恒成立，综上所述，当a≥0时，g（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减，当a＜﹣2e时，g（x）在（﹣∞，1）和上单调递增，在上单调递减，当﹣2e＜a＜0时，g（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减，当a=﹣2e时，g（x）在R上单调递增．（Ⅲ）h（x）=（2x﹣4）e x+a（x2+4x）+4，h'（x）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），令m（x）=h'（x）=（2x﹣2）e x+2a（x+2），有m'（x）=2xe x+2a（x≥0），当2a≥0时，有m'（x）≥0，此时函数y=m（x）在[0，+∞）上单调递增，则m（x）≥m（0）=4a﹣2，（i）若4a﹣2≥0即时，y=h（x）在[0，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（0）=0恒成立；（ii）若4a﹣2＜0即时，则在[0，+∞）存在h'（x0）=0，此时函数y=h（x）在（0，x0）上单调递减，x∈（x0，+∞）上单调递增，且h （0）=4a﹣4，∴不等式不可能恒成立，故不符合题意；当2a＜0时，有m'（0）=2a＜0，则在[0，+∞）上存在g'（x1）=0，在x∈（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递增，∴y=h'（x）在[0，+∞）上先减后增，又h'（0）=﹣2+4a＜0，则函数y=h（x）在[0，+∞）上先减后增，且h（0）=4a ﹣4，∴不等式不可能恒成立，故不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法与数学转化思想方法，属难题．19．【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用导函数值为0，即可求a的值；（Ⅱ）只需证：，令g（x）=x﹣lnx，利用函数的导数判断函数的单调性求解函数的最小值以及最大值，推出结果即可．【解答】解：（Ⅰ），由题意可得：f′（1）=2a﹣2=0∴a=1，（Ⅱ）证明：只需证：，令g（x）=x﹣lnx，，由解得：x=1，g（x）在（0，1）递减，在（1，2]上递增，故g（x）min=g（1）=1由可知：h（x）在（0，2]上递增，故，故h（x）＜g（x）即：．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．20．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令h（x）=g（x）﹣2f（x）﹣2（lna﹣ln2），根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）…………………………………（2分）x∈（0，1）时，f'（x）＞0，y=f（x）单增；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，y=f（x）单减………………………．（4分）（Ⅱ）证明：令h（x）=axe x﹣4x﹣2lnx+2x﹣2=axe x﹣2x﹣2lnx﹣2（a＞0，x＞0）…………………．（5分）故……………………………．（7分）令h'（x）=0即，两边求对数得：lna+x0=ln2﹣lnx0即lnx0+x0=ln2﹣lna………………．（9分）∴，∴h（x）≥2lna﹣2ln2……………………………（12分）【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．21．【分析】（1）令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，说明h（x）是单调递减函数，然后说明方程f（x）﹣x=0有且只有一个实数根．（2）令，利用F（x）在区间[e，e2]上连续，说明F（x）在[e，e2]上存在零点x0，推出g（x）∈M．（3）不妨设α＜β，利用函数的单调性，令h（x）=f（x）﹣x，结合h′（x）=f′（x）﹣1＜0，说明h（x）是单调递减函数，然后证明|f（α）﹣f（β）|＜|α﹣β|≤|α﹣2012|+|β﹣2012|＜2．【解答】解：（1）证明：令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h （x）是单调递减函数，所以，方程h（x）=0，即f（x）﹣x=0至多有一解，又由题设①知方程f（x）﹣x=0有实数根，所以，方程f（x）﹣x=0有且只有一个实数根…..（4分）（2）易知，，满足条件②；令，则，…..（7分）又F（x）在区间[e，e2]上连续，所以F（x）在[e，e2]上存在零点x0，即方程g（x）﹣x=0有实数根，故g（x）满足条件①，综上可知，g（x）∈M…（9分）（3）证明：不妨设α＜β，∵f′（x）＞0，∴f（x）单调递增，∴f（α）＜f（β），即f（β）﹣f（α）＞0，令h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1＜0，故h（x）是单调递减函数，∴f（β）﹣β＜f（α）﹣α，即f（β）﹣f（α）＜β﹣α，∴0＜f（β）﹣f（α）＜β﹣α，则有|f（α）﹣f（β）|＜|α﹣β|≤|α﹣2012|+|β﹣2012|＜2．（14分）【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性的判断与应用，考查函数与方程的思想的应用．22．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式求出导数，由导数的几何意义可得f（x）在x=0处的切线的斜率，由切点坐标计算可得答案；（2）根据题意，分析可得f（x）≥1﹣x⇔e x﹣ax﹣1≥0，令g（x）=e x﹣ax﹣1，求出g（x）的导数，分析可得存在x=lna，使得g（lna）＜g（0）=0．据此分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，由f（x）=x（e x﹣2）﹣ax2+1，得f'（x）=（x+1）e x﹣2ax﹣2，即f（x）在x=0处的切线的斜率k=f'（0）=﹣1又f（0）=1，所以切点为（0，1）即切线方程：y﹣1=﹣x．所以f（x）图象在x=0处的切线方程为：x+y﹣1=0；（2）由f（x）≥1﹣x，得x（e x﹣2）﹣ax2+x≥0又x≥0，即e x﹣ax﹣1≥0令g（x）=e x﹣ax﹣1，即g（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立．又g'（x）=e x﹣a；①当a≤1时，g'（x）≥g'（0）=1﹣a≥0即g（x）在[0，+∞）上单调递增，故g（x）≥g（0）=0．所以当a≤1时，g（x）≥0在x∈[0，+∞）恒成立②当a＞1时，令g'（x）=0，得x=lna；g（x），g'（x）的变化情况如下表：故存在x=lna，使得g（lna）＜g（0）=0．所以当a＞1时，g（x）≥0不成立，综上，a的取值范围为（﹣∞，1]．【点评】本小题主要考查函数导数及其应用等基础知识，注意导数的几何意义，属于综合题．23．【分析】（Ⅰ）求出函数导数f′（x），由f′（1）=0，可得a．（Ⅱ）函数f（x）=ln（x+1）+的定义域为{x|x＞﹣1，且x≠﹣a}．=，可得x2+a（a﹣2）=0在定义域内有两个不等实根x1=﹣，x2=，（0＜a＜2）．只需讨论﹣与定义域得关系即可．（Ⅲ）由g（）=g（n）可得m﹣1＞n﹣1，（m﹣1）（n﹣1）=1．由g（m）=2g（）⇒|ln（m﹣1）|=2|ln（+）|．可得m﹣1=[（]2，令m﹣1=t，⇒⇒t3﹣3t2﹣t﹣1=0．令h（t）=t3﹣3t2﹣t﹣1，则h′（t）=3t2﹣6t﹣1，可得3＜t＜4，4＜m＜5．【解答】解：（Ⅰ）=，∵x=1为f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a=1．（Ⅱ）函数f（x）=ln（x+1）+的定义域为{x|x＞﹣1，且x≠﹣a}．=，要使函数f（x）存在两个极值点，则方程x2+a（a﹣2）=0在定义域内有两个不等实根．∴a（a﹣2）＜0，即0＜a＜0，由f′（x）=0，得x1=﹣，x2=．只需讨论﹣与定义域得关系即可．当1＜a＜2时，函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），此时﹣1．此时函数f（x）存在两个极值点x1=﹣，x2=．当a=1时，函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），此时﹣1=﹣，此时函数f（x）存在1个极值点x2=．当0＜a＜1时，函数f（x）的定义域为（﹣1，﹣a）∪（﹣a，+∞），此时﹣1＜﹣a．此时函数f（x）存在两个极值点x1=﹣，x2=．综上，函数f（x）存在两个极值点，a的取值范围为（0，1）∪（1，2），（Ⅲ）证明：∵g（）=g（n），∴|ln（m﹣1）|=|ln（n﹣1）|．又g（x）=|ln（x﹣1）|在（1，2）递减，在（2，+∞）递增．且m﹣1＞n﹣1，（m﹣1）（n﹣1）=1．∴m﹣1＞1，n﹣1＜1，∴m＞2．由g（m）=2g（）⇒|ln（m﹣1）|=2|ln（+）|．∵=1，∴m﹣1=[（]2，令m﹣1=t，⇒⇒t3﹣3t2﹣t﹣1=0．令h（t）=t3﹣3t2﹣t﹣1，则h′（t）=3t2﹣6t﹣1，令h′（t）=0，可得t=，∴h（t）在（1，）递减，在（，+∞）递增．∵h（3）＜0，h（4）＞0，∴3＜t＜4，∴4＜m＜5．【点评】本题考查了导数与函数的极值、单调性，及利用导数通过单调性解方程，属于中档题．24．【分析】（Ⅰ）根据题意，由函数的解析式分析其定义域，进而求出其导数，按a的值分三种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，综合三种情况即可得答案；（Ⅱ）根据题意，由函数的极值与导数的关系分析可得a的值，可以将原问题转化为证明x﹣xlnx≤e﹣x+x2，令（x＞0），求出其导数，分析函数的单调性，可得其最小值，就可得证明．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，f（x）=x+axlnx，必有x＞0，则f（x）的定义域为（0，+∞），其导数f'（x）=1+alnx+a，当a=0时，f（x）=x，则函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；当a＞0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得．所以，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增；当a＜0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，所以，函数f（x）在区间上单调递增，在区间单调递减．综上所述，当a=0时，函数f（x）在区间（0，+∞）单调递增；当a＞0时，函数f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增；。

2018年全国各地高考数学理科模拟试卷分项汇编专题3【导数与应用类题】及解析

1 3

0 0
，这是解答本题的难点，也是解答好
本题的突破口，如何通过解不等式使得问题巧妙获解。
9．【2018 陕西西工大附中六模】若存在两个正实数 x, y ，使得等式 3x a 2 y 4ex lny lnx 0 成立，
其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围是(
C. 存在正实数 k，使得 fx > kx 恒成立 D. 对任意两个正实数x1,x2，且x2 > x1，若 fx1 = fx2，则x1 + x2 > 4
【答案】C
∴函数 y=f（x）﹣x 有且只有 1 个零点，即 B 正确；
f（x）＞kx，可得 k＜x22 +lnxx ，
令 g（x）=x22 +lnxx
意的实数 x,
yR
，等式
f
x
f
y

f
x
y 成立，若数列an满足
f
an1
f
1

1

an

1
n N*
，
且 a1 f 0 ，则下列结论成立的是（）
A. f a2013 f a2016
若 a=0,则 f 2 x +af(x)>0 得 f 2 x >0，此时有无数个整数解，不满足条件。
若 a>0，
则由 f 2 x +af(x)>0 得 f(x)>0 或 f(x)<−a，
当 f(x)>0 时，不等式由无数个整数解，不满足条件。
当 a<0 时,由 f 2 x +af(x)>0 得 f(x)>−a 或 f(x)<0，

【高三数学试题精选】2018高考数学(文)第二次模拟试题(哈尔滨市附答案)

2018高考数学（文）第二次模拟试题（哈尔滨市附答案） c 哈尔滨市第六中学0+
↘极小值↗
有极小值，无极大值
（2）由的
令，
①当时，，在上单调增，不合题意；
当时，由解得或
②当时，，，在上单调增，不合题意；
③当时，，当时，，在上单调递增，
不合题意；
④当时，，当时，，在上单调递减，
不符合题意；
综上所述，的取值范围是
22解（1）在极坐标系中，设点由，得，
代入曲线的方程并整理，得，
再化为直角坐标方程，即曲线的直角坐标方程为
直线的参数方程 (为参数)化为普通方程是
（2）由直线的方程为，可知
因为点在曲线上，所以设，，
则点到直线的距离即为底边上的高，所以，
所以，所以，
c。

2018高考文科数学模拟题2(2021年整理)

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016年全国高考文科数学模拟试题四本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题,其它题为必考题．本试卷共5页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式: 样本数据12,n x x x 的标准差锥体体积公式s ==13V sh其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh = 3234,4R V R S ππ==其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题:(本大题共 10 小题；每小题 5 分，满分 60 分）1．若复数z 与其共轭复数z 满足:i z z 2+=，则复数z 的虚部为( ）A ．1B ．iC ．2D ．—12．已知点)0 , 1(-P 、)3 , 1(Q ，向量)2 , 12(-=k ，若⊥，则实数=k （）A ．2B ．1C ．2-D ．1-3．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则155a a =（） A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．3-或13-4．2(sin cos )1y x x =+-是（）A 。

最小正周期为2π的奇函数B 。

最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数 D 。

山西省2018届高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)

文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，全集，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，则，故选A.2. 已知平面向量，，则向量的模是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为向量，，，，故选C.3. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，满足，但不成立，当时，一定成立，所以是的必要不充分条件，故选B．4. 问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（）A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺【答案】A【解析】由已知可得该女子三十日每日织布数组成一个等差数列，设为，且，则，故选A.5. 若函数为奇函数，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用奇偶性，先求出，再求出的值即可.详解：设x＞0，则﹣x＜0，故f（﹣x）=2x﹣2=﹣f（x），故x＞0时，f（x）=2﹣2x，由g（2）=f（2）=2﹣4=﹣2，故f（g（2））=f（﹣2）=﹣f（2）=2，故选：D．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．6. 从装有大小材质完全相同的个红球和个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】记个红球分别为，个黑球分别为，则随机取出两个小球共有种可能：，其中两个小球同色共有种可能，，根据古典概型概率公式可得所求概率为，故选C.【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.7. 已知为直线上的点，过点作圆的切线，切点为，，若，则这样的点有（）A. 个B. 个C. 个D. 无数个【答案】B【解析】连接，则四边形为正方形，因为圆的半径为，，原点（圆心）到直线距离为符合条件的只有一个，故选B.8. 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为，则该几何体的体积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径和高均为，其体积为，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9. 已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，由周期，可得，，，且的对称轴为，方程恰有两个不同的实数解，，则，故选B.10. 中国古代数学著作《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等？”意思是现有松树高尺，竹子高尺，松树每天长自己高度的一半，竹子每天长自己高度的一倍，问在第几天会出现松树和竹子一般高？如图是根据这一问题所编制的一个程序框图，若输入，，输出，则程序框图中的中应填入（）A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】C【解析】当时，；当时，；当时，；当时，，不满足运行条件，输出程序框图中，应填，故选C.11. 已知函数，若曲线上存在点使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为曲线在上递增，所以曲线上存在点，可知，由，可得，而在上单调递减，，故选B.12. 在四面体中，，，底面，的面积是，若该四面体的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】四面体与球的位置关系如图所示，设为的中点，为外接球的圆心，因为，，由余弦定理可得，由正弦定理可得由勾股定理可得，又，，在四边形中，，，计算可得，则球的表面积是，故选D.【方法点晴】本题主要考查球的性质及圆内接三角形的性质、正弦定理与余弦定理法应用及球的表面积公式，属于难题.球内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 复数满足，则复数的共轭复数__________．【答案】【解析】由得，，故答案为.14. 已知实数，满足约束条件则的最大值是__________．【答案】8【解析】试题分析：要求目标函数的最大值，即求的最小值．首先画出可行域，由图知在直线和直线的交点处取得最小值，即，所以的最大值为．考点：线性规划；15. 是为双曲线上的点，，分别为的左、右焦点，且,与轴交于点，为坐标原点，若四边形有内切圆，则的离心率为__________．【答案】2【解析】设，可得，则四边形的内切圆的圆心为，半径为的方程为，圆心到直线的距离等于，即，化简得，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查双曲线的方程与性质以及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．16. 数列满足若，则数列的前项的和是__________．【答案】450【解析】分析：根据递推关系求出数列的前几项，不难发现项的变化具有周期性，从而得到数列的前项的和.详解：∵数列{a n}满足，∵a1=34，∴a2==17，a3=3a2+1=3×17+1=52，a4==26，a5==13，a6=3a5+1=40，a7==20，a8==10，a9==5，a10=3a9+1=16，a11==8，a12==4，a13==2，a14==1，同理可得：a15=4，a16=2，a17=1，……．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{a n}的前100项的和=（a1+a2+……+a11）+a12+a13+29（a14+a15+a16）=（34+17+52+26+13+40+20+10+5+16+8）+4+2+29×（1+4+2）=450．故答案为：450．点睛：本题考查了分段形式的递推关系，数列的周期性.数列作为特殊的函数，从函数角度思考问题，也是解题的一个角度,比如利用数列的单调性、周期性、对称性、最值等等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）6.【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理可得，利用两角和的正弦公式及诱导公式可得，∴；（2）由的面积为，可得，再利用余弦定理可得，从而可得的周长.试题解析：（1）∵，∴.∴，∴.∵，∴，∴，∴.（2）∵的面积为，∴，∴.由，及，得，∴.又，∴.故其周长为.18. 如图，三棱柱中，，平面.（1）证明：平面平面；（2）若，，求点到平面的距离.【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由平面，可得.由，可得，由线面平行的判定定理可得平面，从而可得平面平面；（2）设点到平面的距离为.则，又，从而可得点到平面的距离为.试题解析：（1）证明：∵平面，∴.∵，∴，∴平面.又平面，∴平面平面.（2）解法一：取的中点，连接.∵，∴.又平面平面，且交线为，则平面.∵平面,∴，∴四边形为菱形，∴.又，∴是边长为正三角形，∴.∴.设点到平面的距离为.则.又，∴.所以点到平面的距离为.解法二：利用平面转化为求点到平面的距离，即.19. 某大型商场去年国庆期间累计生成万张购物单，从中随机抽出张，对每单消费金额进行统计得到下表：由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率，完成下列问题：（1）估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费额超过元的概率；（2）为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值元、元、元的奖品.已知中奖率为，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长，式预测商场今年国庆期间采办奖品的开销.【答案】(1) ;(2)580000.【解析】试题分析：（1）由消费在区间的频率为，可知中位数估计值为，设所求概率为，利用每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和等于求解即可；（2）根据，解得，可得一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，，从而可得一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，，，进而可得结果.试题解析：（1）因消费在区间的频率为，故中位数估计值即为.设所求概率为，而消费在的概率为.故消费在区间内的概率为.因此消费额的平均值可估计为.令其与中位数相等，解得.（2）设等比数列公比为，根据题意，即，解得.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，.今年的购物单总数约为.其中具有抽奖资格的单数为，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为，，.于是，采购奖品的开销可估计为（元）.20. 已知抛物线的焦点为，为轴上的点.（1）过点作直线与相切，求切线的方程；（2）如果存在过点的直线与抛物线交于，两点，且直线与的倾斜角互补，求实数的取值范围. 【答案】(1) 切线的方程为或;(2) .【解析】试题分析：（1）设切点为，利用导数求出切线斜率，由点斜式求得切线方程，将代入切线方程，求出或，进而可得切线方程；（2）设直线的方程为，代入得，根据斜率公式可得，韦达定理得，利用判别式大于零可得结果. 试题解析：（1）设切点为，则.∴点处的切线方程为.∵过点，∴，解得或.当时，切线的方程为，当时，切线的方程为或.（2）设直线的方程为，代入得.设，，则，.由已知得，即，∴.把①代入②得，③当时，显然成立，当时，方程③有解，∴，解得，且.综上，.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.【答案】(1) 当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减;(2) .【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；；（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立，可化为恒成立，只需大于的最大值即可.试题解析：（1）由可得的定义域为，且，若，则，函数在上单调递增；若，则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立.∵当时，，∴，即证当时，大于的最大值.又∵当时，，∴，综上所述，.【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法① 求得的范围.22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线的极坐标方程为，为曲线上的动点，与轴、轴的正半轴分别交于，两点.（1）求线段中点的轨迹的参数方程；（2）若是（1）中点的轨迹上的动点，求面积的最大值.【答案】(1) 点的轨迹的参数方程为（为参数）;(2) 面积的最大值为.【解析】试题分析：（1）将极坐标方程利用，化为直角坐标方程，利用其参数方程设，则，从而可得线段中点的轨迹的参数方程；（2）由（1）知点的轨迹的普通方程为，直线的方程为.设，利用点到直线距离公式、三角形面积公式以及辅助角公式，结合三角函数的有界性可得面积的最大值.试题解析：（1）由的方程可得，又，，∴的直角坐标方程为，即.设，则，∴点的轨迹的参数方程为（为参数）.（2）由（1）知点的轨迹的普通方程为，，，，所以直线的方程为. 设，则点到的距离为，∴面积的最大值为.【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.【答案】(1) 不等式的解集为;(2).【解析】试题分析：（1）对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解.试题解析：（1）当时，，解得，∴；当时，，解得，∴；当时，，解得，∴.综上，不等式的解集为或.（2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解，∴.。