九年级数学二次根式2
人教版九年级上册数学知识点总结
人教版九年级上册数学知识点总结九年级上册知识点：二次根式考点1：无理数无限不循环的小数被称为无理数，其中常见的无理数包括π以及π的有理数倍数等。
考点2：二次根式的概念形如√a的式子被称为二次根式，其中a是一个非负数，且二次根式也是一个非负数。
若有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0.考点3：移因式于根号内、外的方法移因式于根号外的方法包括：当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；当根号内的数是一个正数时，直接把这个数平方后移到根号内。
移因式于根号内的方法包括：当根号内的数是正数时直接开方移到根号外，当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号。
考点4：最简二次根式最简二次根式满足被开方数的因数是整数，因式是整式，并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
最简二次根式中一定不含有分母，且对于数或代数式，它们不能写成a×m的形式。
考点5：二次根式的化简与计算二次根式的化简实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。
二次根式的加减运算可以表示为√a±√b=√(a±b)，乘法运算可以表示为√a×√b=√(ab)，除法运算可以表示为√a÷√b=√(a/b)，乘方运算可以表示为(√a)^2=a，开方运算可以表示为√(a^2)=|a|。
考点6：方根与二次根式的异同点XXX表示一个正数a的算术平方根，而二次根式表示一个实数a的平方的算术平方根。
它们表示的意义是不同的。
当被开方数都是非负数时，方根和二次根式相等；当被开方数为负数时，方根无意义，而二次根式为虚数。
一元二次方程考点一：一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程被称为一元二次方程。
一元二次方程的一般形式为ax^2+bx+c=0，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
考点二：一元二次方程的解法一元二次方程的解法包括直接开平方法和配方法。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.计算：=．【答案】【解析】=2﹣=．【考点】二次根式的加减法．2.下列实数是无理数的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项：A、是无理数，选项正确；B、C、D、都是整数，是有理数，选项错误. 故选A．【考点】无理数.3.若式子有意义，则实数x的取值范围是【答案】x≥1．【解析】根据二次根式的性质可以得到x-1是非负数，由此即可求解．试题解析：依题意得x-1≥0，∴x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．4.方程的解为 .【答案】x=1【解析】方程两边平方，得：2-x=1，解得：x=1．经检验：x=1是方程的解．故答案是：x=1．【考点】无理方程．5.函数y中，自变量x的取值范围是【答案】x≥．【解析】根据二次根式的意义，2x﹣1≥0，解得x≥．故答案是x≥．【考点】函数自变量的取值范围．6.计算：-12003+()-2-|3-|+3tan60°。
【答案】6【解析】首先计算乘方，化简二次根式，去掉绝对值符号，然后进行乘法，加减即可．本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的化简，正确记忆特殊角的三角函数值.解：原式=﹣1+4﹣3+3+3×，=﹣1+4+3，=6．7.计算：·－＝________．【答案】2【解析】原式＝－＝3－＝2.8.使二次根式有意义的x的取值范围是 .【答案】x≤2．【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，即：2﹣x≥0,解得：x≤2．故答案是x≤2．【考点】二次根式的性质．9.与的大小关系是（）A．>B．<C．=D．不能比较【答案】A．【解析】∵,∴,∴.故选A．【考点】实数大小比较．10.计算：．【答案】．【解析】先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，特别的能利用公式的应用公式简化计算过程．试题解析：==．【考点】二次根式的化简．11.【答案】.【解析】根据分母有理化、二次根式、非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：考点: 实数的混合运算.12.计算： .【答案】.【解析】把括号展开即可求值.试题解析：故答案为：.考点: 二次根式的运算.13.下列计算中,正确的是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】A.已经是最简的,故本选项错误；B. ,故本选项错误；C. ,故本选项错误；D. ,故本选项正确.故选D．【考点】二次根式化简．14.实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥l C．x＜1D．x≤1【答案】B.【解析】根据根式有意义的条件，根号下面的数或者式子要大于等于0，即解得：x≥l.【考点】根式有意义的条件.15.计算：【答案】.【解析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可．试题解析：【考点】二次根式的混合运算．16.是整数，则正整数n的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】C.【解析】∵，∴当时，，∴原式=，∴n的最小值为6．故选C．考点: 二次根式的化简.17.实数4的平方根是．【答案】±2.【解析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根：∵（±2）2=4，∴16的平方根是±2.【考点】平方根.18.要使式子在实数范围内有意义，字母a的取值必须满足（）A．a≥2B．a≤2C．a≠2D．a≠0【答案】A【解析】使式子在实数范围内有意义,必须有a-2≥0,解得a≥2,故选A【考点】二次根式成立的条件.19.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】A．和不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3和不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项错误；D．，此选项正确．故选D．【考点】二次根式的混合运算．20.若，,求.的值【答案】4【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，把a2b+ab2的因式分解为ab(a-b)，再代入计算即求解为4.试题解析：解：∵，∴∴【考点】1、二次根式的混合运算.2、因式分解.21.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】二次根式的性质：当时，，当时，.A、，B、，C、，均错误；D、，本选项正确.【考点】二次根式的混合运算22.要使式子有意义，则x的取值范围是 .【答案】【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须。
九年级数学二次根式知识点总结
九年级数学二次根式知识点总结提高数学考试成绩诀窍方法之一是，在考试前进行高水平高效率的复习，花时间去攻克自己不熟悉的题目，不断地把陌生转化为熟悉。
下面是整理的九年级数学二次根式知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
九年级数学二次根式知识点① 二次根式的概念：一般地，形如√a (a≥0)的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a 称为被开方数。
例如，√2 ，√(x+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式。
② 二次根式的性质：当a ≥ 0 时，√a 表示a 的算术平方根，所以√a 是非负数( √a ≥ 0)，即对于式子√a 来说，不但a ≥ 0，而且√a ≥ 0，因此可以说√a 具有双重非负性。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母;2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式(两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方;2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式;3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：(1)被开方数中不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(3)若被开方数是和(或差)的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积(或一个数)的形式，则为最简二次根式。
人教版九年级数学上册教案：二次根式
人教版九年级数学上册教案：二次根式一、教学目标1.理解二次根式的概念，能够将二次根式化为最简式。
2.掌握二次根式的运算法则，能够进行二次根式的加、减、乘、除运算。
3.能够应用二次根式进行代数式的化简、方程的解法等数学问题的求解。
二、教学重点1.二次根式的概念和最简式的求解方法。
2.二次根式的加、减、乘、除法则及其运用。
3.能够将代数式化简为二次根式的形式，并能应用二次根式解决相关数学问题。
三、教学难点1.能够熟练运用二次根式的运算法则进行相关数学运算。
2.能够将代数式化简为二次根式的形式，并应用二次根式解决相关数学问题。
四、教学内容与方法A. 教学内容第一节：二次根式1.二次根式的概念2.二次根式的化简方法3.二次根式的性质第二节：二次根式的加减法和乘法1.二次根式的加减法2.二次根式的乘法及其运用第三节：二次根式的除法和应用1.二次根式的除法及其运用2.将代数式化简为二次根式的形式3.应用二次根式解决相关数学问题B. 教学方法1.教师讲授法：通过讲解概念、性质、公式及样例等内容，引导学生逐步理解二次根式，并掌握相关的运算法则和解题技巧。
2.组合练习法：通过经典案例，让学生运用二次根式进行加、减、乘、除的运算，以及代数式的化简和相关问题的求解等，从而提高他们的理论水平和实际运用能力。
3.实践体验法：通过互动教学、团队合作、模拟测验等方式，让学生在实践中感受二次根式的实际应用，从而加深他们对二次根式概念、性质及其运算方法等的认知和理解，同时培养他们的数学思维和创新能力。
五、教学过程A. 概念教学1.向学生介绍二次根式的概念，并且提供一些简单的实验让学生加深对概念的理解。
2.猜想二次根式的化简方法，并通过案例进行验证。
3.介绍二次根式的性质，帮助学生加深对二次根式的理解和认知。
B. 运算法则1.通过样例演示二次根式的加减法和乘法，并提供练习题让学生巩固运算法则。
2.介绍二次根式的除法及其应用，并且应用解决一些相关数学问题。
初三数学二次根式知识点学习讲解
初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。
二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。
注意被开方数可以是数，也可以是代数式。
被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。
二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。
2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是±i。
4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。
5. 无理数可用连分数形式表示。
6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。
7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。
8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。
算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。
负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。
有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。
分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。
分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
初中数学知识点之二次根式
初中数学知识点之二次根式在初中复习时，特别对章节复习或总复习时，将统领知识的数学思想方法概括出来，增强我们对数学思想方法的运用意识。
下面是作者给大家带来的初中数学知识点之二次根式，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学：二次根式的3个基本性质1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
如正数a的算术平方根是√a，则a的另一个平方根为-√a;最简情势中被开方数不能有分母存在。
2.零的平方根是零，即√0=0。
3.负数的平方根也有两个，它们是共轭的。
如负数a的平方根是√ai。
二次根式一样地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
当a≥0时，√a表示a的算术平方根;当a小于0时，√a的值为纯虚数(在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根)。
判定一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地视察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再视察。
负根号二究竟是不是二次根式负的根号2是二次根式。
形如√a的代数式都叫做二次根式，负的根号2(-√2)的情势是二次根式的表现情势，其中的负号表明这个代数式是负值，负的根号2(-√2)即表示为一个负值的二次根式。
中考数学：判定式子是不是二次根式形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式。
注意，被开方数不为完全平方数。
当a 0时，根号a表示a的算术平方根，因此根号a 当a=0时，根号a表示0的算术平方根，因此根号a=0。
最简二次根式最简二次根式条件：1.被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;2.被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。
二次根式化简一样步骤：1.把带分数或小数化成假分数;2.把开方数分解成质因数或分解因式;3.把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;4.化去根号内的分母，或化去分母中的根号;5.约分。
中考数学：二次根式二次根式作为“式子”模块的最后一个章节，一样都是紧随着实数这一章下来的。
初中数学知识点二次根式：二次根式的运算
初中数学知识点——二次根式：二次根式的运算二次根式的运算1.积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的积2.乘法法则：（a≥0，b≥0）二次根式的乘法运算法则：两个二次根式相乘，等于把被开方数相乘，根指数不变。
3、商的算数平方根的性质=（a≥0，b0）4、除法法则（a≥0，b0）二次根式的除法运算法则：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变。
5、有理化因式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。
如：的有理化因式为；的有理化因式也是的有理化因式为；6、同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
7、合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
结果教师费劲,学生头疼。
分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。
造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。
常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。
久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。
8、合并同类二次根式方法：二次根式的系数相加减，二次根式的被开放数及指数不变。
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
九年级上册数学《二次根式》知识点整理二次根式本节研究指导：在研究二次根式时，我们不仅要研究它的概念，还要巩固平方根的知识。
这样有助于我们系统性研究，把零散的知识整合起来。
在本节中，我们需要掌握二次根式的有意义条件。
知识要点：1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
需要注意的是，被开方数可以是数、单项式、多项式、分式等代数式。
但是，a≥0是二次根式的前提条件。
例如，5、x2+1都是二次根式，而-5、-x2都不是二次根式。
2、取值范围：1）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，a有意义，是二次根式。
因此，只要被开方数大于或等于零，就可以使二次根式有意义。
2）二次根式无意义的条件：由于负数没有算术平方根，所以当a<0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性：a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a≥0.由于正数的算术平方根是正数，负数的算术平方根是不存在的，因此非负数的算术平方根也是非负数。
这个性质类似于绝对值、偶次方的性质，在解答题目时应用较多。
例如，如果a+b=0，则a=0，b=0；如果a-b=0，则a=0，b=0；如果a×b=0，则a=0，b=0.4、二次根式（a）的性质：a）=a（a≥0）描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
需要注意的是，这个性质公式（a）=a（a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：如果a≥0，则a=（a）。
例如，2=（2），1=（1）。
5、二次根式的性质：a（a≥0）a2=a=___（a<0）描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
需要注意的是：1）化简a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数。
如果是正数或0，则等于a本身，即a2=a=a（a≥0）；如果a是负数，则等于a的相反数-a，即2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646.2）a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，a2一定有意义。
九年级数学上人教版《二次根式》课堂笔记
《二次根式》课堂笔记
一、二次根式的定义
1.二次根式的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根
或二次方根。
其中，平方过程中等于0的平方根叫做零的平方根，也叫做二次方根。
2.二次根式的表示方法：一般地，任何一个正数和零的平方根有两个，它们
互为相反数。
而负数没有平方根。
二、二次根式的性质
1.基本性质：a2=a（a≥0）；a<0时，a2=−a。
2.重要性质：ab=a⋅b（a≥0,b≥0）
三、二次根式的化简
1.直接开平方法：形如ax2=b或(ax)2=b（a=0）的方程，可用直接开平方法
解方程，得到x=±ab。
2.配方法：用配方法解方程，先把方程的右边化为0，然后方程左边也进行
配方，最后对方程左边进行开方运算。
3.公式法：利用平方差公式把一个数分解为两数乘积的形式，然后用直接开
方法求出这个数的平方根。
四、二次根式的应用
二次根式在实际生活中被广泛应用于计算物体的面积、体积等方面。
比如在计算圆的面积时，我们需要使用圆的半径的平方作为底数进行计算。
在计算矩形、正方形等规则图形的面积时，也可以利用二次根式进行计算。
五、注意事项
1.在进行二次根式的运算时，要注意运算顺序和符号问题。
2.在化简二次根式时，要注意化简后的结果一定是最简二次根式。
3.在应用二次根式解决实际问题时，要注意单位的统一和转换。
初中数学知识点二次根式：二次根式
初中数学知识点二次根式：二次根式1．二次根式：一样地，式子叫做二次根式。
注意：（1）若那个条件不成立，则不是二次根式；（2）是一个重要的非负数，即a≥0.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；二次根式的乘法法则：（a≥0，b≥0）。
二次根式比较大小的方法：（1）利用近似值比大小；（2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小；（3）分别平方，然后比大小。
商的算术平方根：=（a≥0，b0），商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
最简二次根式：（1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式；（4）二次根式运算的最后结果必须化为最简二次根式。
10．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，假如被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
12．二次根式的混合运算：教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采纳范读，让幼儿学习、仿照。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
那个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。
要求学生抽空抄录同时阅读成诵。
其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,因此内容要尽量广泛一些,能够分为人一辈子、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探究、环保等多方面。
如此下去,除假期外,一年便能够积存40多则材料。
假如学生的脑海里有了众多的鲜活生动的材料,写起文章来还用乱翻参考书吗?（1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，往常学过的，在有理数范畴内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用；要练说，得练听。
中考数学专题特训第六讲：二次根式(含详细参考答案)
中考数学专题复习第六讲：二次根式【基础知识回顾】 一、二次根式式子a （ ）叫做二次根式【赵老师提醒：①次根式a 必须注意a___o 这一条件，其结果也是一个非数即：a ___o②二次根式a （a ≥o ）中，a 可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】二、二次根式的性质：①（a ）2= （a ≥0）= （a ≥0 ,b ≥0）(a ≥0, b ≥0)【赵老师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较23和的大小，可逆用（a ）2=a(a ≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】 三、最简二次根式：最简二次根式必须同时满足条件：1、被开方数的因数是 ，因式是整式2、被开方数不含 的因数或因式 四、二次根式的运算：1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同2、二次根式的乘除：= （a ≥0 ,b ≥0）（a ≥0，b ＞0） 3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算【赵老师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化= = 2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用 3、二次根式运算的结果一定要化成 】 【重点考点例析】考点一：二次根式有意义的条件（a ≥o ）（a ＜o ）例1 （2012•潍坊）如果代数式43x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠3 B ．x ＜3 C ．x ＞3 D ．x ≥3思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可． 解：要使代数式43x -有意义， 必须x-3＞0， 解得：x ＞3． 故选C ．点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式B A中A ≠0，二次根式a 中a ≥0． 对应训练1．（2012•德阳）使代数式21xx -有意义的x 的取值范围是（ ） A ．x≥0 B ．x≠12 C ．x≥0且x≠12D ．一切实数 1．C1．解：由题意得：2x-1≠0，x≥0， 解得：x≥0，且x≠12， 故选：C ．考点二：二次根式的性质例2 （2012•张家界）实数a 、b 在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2||a a b -+的结果为（ ）A ．2a+bB ．-2a+bC ．bD ．2a-b思路分析：现根据数轴可知a ＜0，b ＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b ＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可． 解：根据数轴可知，a ＜0，b ＞0，原式=-a-[-（a+b ）]=-a+a+b=b ． 故选C ．点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 对应训练为 ． 1．-b2．解：∵由数轴可知：b ＜0＜a ，|b|＞|a|，=|a+b|+a =-a-b+a =-b ，故答案为：-b ．考点三：二次根式的混合运算思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．=3． 点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键． 对应训练4=+考点四：与二次根式有关的求值问题222)(1)(x x x ++-思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．2(1)1)4x x x+0，(1)1)4x x x +=本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当1，此题难度不大．对应训练A ．0B ．25C ．50D ．804．D分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．=80， 故选D ．点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目．【聚焦山东中考】1．（2012•泰安）下列运算正确的是（ ）A 5=-B ．21()164--=C ．x 6÷x 3=x 2 D ．（x 3）2=x 5 1．B ．2.（2012•临沂）计算：= ． 2．03．7【备考真题过关】一、选择题A ．x ＞0B ．x≥-2C ．x≥2D ．x≤2 1．DA B ．5 C ．2 D ．22．AA ．3BC ．D ．3．C ．A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．-5＜m ＜-4D ．-6＜m ＜-5 4．A即5＜m ＜6， 故选A ．5．（2012•南充）下列计算正确的是（ ）A ．x 3+x 3=x 6B ．m 2•m 3=m 6C ．3=D = 5．D6．（2012•黔东南州）下列等式一定成立的是（ ）A ．945-=B ．5315⨯=C ．93=±D ．2(9)9--=6．B7．（2012•广西）使式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ． x ≥﹣1B ． ﹣1≤x ≤2C ． x ≤2D ．﹣1＜x ＜2 考点： 二次根式有意义的条件。
华师版九年级上册数学第21章 二次根式 二次根式
2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题 补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一 宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．
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（2）
≥0， ≥0）。
（3）等式
（ ≥0， ≥0）可以推广为
（ ≥0， ≥0）；
（ ≥0， ≥0）也可以倒过来使用，即
≥0， ≥0）。也称“积的算术平方根”。它与二次根式的乘法结合，可以对一些二次 根式进行化简。
2. 二次根式的除法
两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变，即
说明：（1）法则中 、 可以是单项式，也可以是多项式，要注意它们的取值范围， ≥0， 在分母中，因此 ＞0；
第二十二章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高 次数是 2 次的整式方程 叫 做一元二次方程。
一元二次方程有四个特点 ：(1)只含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资，配料不置试仅技卷可术要以是求解指，决机对吊组电顶在气层进设配行备置继进不电行规保空范护载高与中带资负料荷试下卷高问总中题体资，配料而置试且时卷可，调保需控障要试各在验类最；管大对路限设习度备题内进到来行位确调。保整在机使管组其路高在敷中正设资常过料工程试况中卷下，安与要全过加，度强并工看且作护尽下关可都于能可管地以路缩正高小常中故工资障作料高；试中对卷资于连料继接试电管卷保口破护处坏进理范行高围整中，核资或对料者定试对值卷某，弯些审扁异核度常与固高校定中对盒资图位料纸置试，.卷保编工护写况层复进防杂行腐设自跨备动接与处地装理线置，弯高尤曲中其半资要径料避标试免高卷错等调误，试高要方中求案资技，料术编试交写5、卷底重电保。要气护管设设装线备备置敷4高、调动设中电试作技资气高，术料课中并3中试、件资且包卷管中料拒含试路调试绝线验敷试卷动槽方设技作、案技术，管以术来架及避等系免多统不项启必方动要式方高，案中为；资解对料决整试高套卷中启突语动然文过停电程机气中。课高因件中此中资，管料电壁试力薄卷高、电中接气资口设料不备试严进卷等行保问调护题试装，工置合作调理并试利且技用进术管行，线过要敷关求设运电技行力术高保。中护线资装缆料置敷试做设卷到原技准则术确：指灵在导活分。。线对对盒于于处调差，试动当过保不程护同中装电高置压中高回资中路料资交试料叉卷试时技卷，术调应问试采题技用，术金作是属为指隔调发板试电进人机行员一隔，变开需压处要器理在组；事在同前发一掌生线握内槽图部内 纸故，资障强料时电、，回设需路备要须制进同造行时厂外切家部断出电习具源题高高电中中源资资，料料线试试缆卷卷敷试切设验除完报从毕告而，与采要相用进关高行技中检术资查资料和料试检，卷测并主处且要理了保。解护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
初中数学二次根式
初中数学二次根式二次根式二次根式是指满足一个数的平方等于被开方数的数，即x²=a，x称为a的平方根或二次平根。
被开方数a称为二次根式。
最简二次根式指被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，且被开方数因数是整数，因式是整式。
同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。
判断方法是：根指数都是2，先化成最简二次根式，被开方数相同。
二次根式的乘法公式是ab=a×b（a≥0，b≥0），除法公式是a/√b=a/√b×√b/√b=a√b/b。
二次根式的重要性质是a²=a，其中a为任意实数。
分母有理化的公式是1/(a+b)=((a-b)/(a+b))×(1/(a-b))=(a-b)/(a²-b²)。
例1中，最简二次根式是23x³。
3π，其他不是最简二次根式。
例2中，化简后的二次根式分别为2√3、4√3、2√7、4√3、5√3、5√3、10√2.例3中，将2m+3和-66m-7化成最简二次根式，得到2√m+3和-2√66m+7，因为它们是同类二次根式，所以2=m+3，-66m-7=-66m-7，解得m=-1.例4中，化简后的二次根式分别为10√2、6√2.例5中，计算结果分别为676、8√3、和.例6中，计算结果分别为529和121.例7中，设宽为x，则长为2x，周长为2(x+2x)=6x，面积为2x×x=2x²，解得x=11，周长为66m。
课堂练：1、和3是同类二次根式的有①45和③12，所以选B。
2、m的平方根是±8，所以m=±8²=64或m=±(-8)²=64，代入m=3n³-17中，解得n=2或n=-2，所以选A。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1. 2的算术平方根是．【答案】【解析】∵2的平方根是±，∴2的算术平方根是．故答案为：．【考点】算术平方根2.请写出一个比小的整数【答案】答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等【解析】首先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可判断出所求的整数的范围．试题解析：∵2＜＜3，∴所有小于或等于2的整数都可以，包括任意负整数答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等【考点】估算无理数的大小．3.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）A．14B．16C．8+5D．14+【答案】C．【解析】当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，则输出结果为8+5．故选C．【考点】实数的运算．4.在，0，3，这四个数中，最大的数是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小. 因此，∵，∴四个数中，最大的数是3.故选C.【考点】实数的大小比较.5.使二次根式有意义的x的取值范围是．【答案】x≥﹣3【解析】由二次根式的定义可知被开方数为非负数，则有x+3≥0所以x≥﹣3．【考点】二次根式有意义的条件6.计算：．【答案】-6【解析】先计算乘方和开方运算，再根据特殊角的三角函数值和平方差公式得到原式=，然后进行乘除运算后合并即可．原式==-6．【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．7.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方根与y的算术平方根之积为．【答案】±【解析】由于x﹣y的相对面是1，x+y的相对面是3，所以x﹣y=1，x+y=3，由此即可解得x和y的值，然后即可求出x的平方根与y的算术平方根之积．解：依题意得x﹣y的相对面是1，x+y的相对面是3，∴x﹣y=1，x+y=3，∴x=2，y=1，∴x的平方根与y的算术平方根之积为±．故答案为：±．8.若a、b均为正整数，且a＞，b＜，则a＋b的最小值是 ()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】a、b均为正整数，且a＞，b＜，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a＋b 的最小值是4.9.使有意义的x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜－2C．x≤2D．x≥2【答案】D.【解析】依题意，得x-2≥0，解得，x≥2．故选：D．考点: 二次根式有意义的条件.10.下列二次根式是最简二次根式的是A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、是最简二次根式，故本选项正确；D、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选C．考点: 最简二次根式.11.已知为等腰三角形的两条边长，且满足，求此三角形的周长.【答案】10或11【解析】解：由题意可得即所以，.当腰长为3时，三角形的三边长为，周长为10；当腰长为4时，三角形的三边长为，周长为11.12.下列计算中,正确的是（）A．B．C．＝±2D．【答案】D．【解析】试题分析:A.,故本选项错误;B.,故本选项错误;C.,故本选项错误;D.,故本选项正确．故选D．考点:二次根式的混合运算．13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1【答案】C.【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 故选C.【考点】二次根式有意义的条件.14.计算：（1）＋－2012＋()；（2）(1－)—【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据二次根式、绝对值、零次幂及负整数指数幂的意义进行计算即可求出答案；（2）根据完全平方公式及二次根式的除法进行计算即可.试题解析：(1)(2)考点: 实数的混合运算.15.计算：【答案】.【解析】根据二次根式及非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：原式=考点: 1.二次根式的混合运算；2.非零数的零次幂.16.计算：= 。
苏科版初三数学 复习资料(2次根式,方程)
初 三 数 学（第一章 复习（2））时间： 月 日教学目标：1．进一步掌握等腰梯形的性质和判定；2．进一步掌握中位线定理．教学重点：等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用．教学难点：等腰梯形的性质和判定、中位线定理的运用． 作业布置：P 37∽38 5、6、9 教学过程： 一、自主探究1．回忆等腰梯形的性质和判定填空：（1）等腰梯形同一底上的 ； （2）等腰梯形的两条 ；（3）在同一底上的 是等腰梯形．2．回忆中位线的性质填空：（1）三角形的中位线 ； （2）梯形的中位线 ．二、自主合作例1等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ∥CD 交BC 于点E ，AD ＝AB ＝12 BC ，梯形的周长是30．（1）求AD 的长；（2）证明：△ABE 是等边三角形．例2如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3㎝，BC ＝7㎝，E 是CD 的中点，四边形ABED 的周长比△BCE 的周长大2㎝，试求AB 的长．例3如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．三、自主展示1. 三角形的三条中位线长分别为2cm 、3cm 、4cm ，则原三角形的周长为 ．2. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ＝AD ＝2㎝，∠B ＝600，则下底BC ＝ ㎝．EDCBA ED CBA EDCBA3. 如图，等腰梯形ABCD 中，A D ∥BC ，∠B ＝450，AE ⊥BC 于点E ，AE ＝AD ＝2㎝，则这个梯形的下底长为 ㎝．(第3题) (第4题) (第5题)4. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，以下四个结论：①DCB ABC ∠=∠，②OA =OD ，③BDC BCD ∠=∠，④S AOB ∆=S DOC ∆，其中正确的是（填序号）．5. 如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为 ．6. 如图，梯形A B C D 中，A D B C ∥，A B D C =，P 为梯形A B C D 外一点，P A P D 、分别交线段B C 于点E F 、，且PA PD =．（1）图中除了A B E D C F △≌△外，请你再找出其余三对全等的三角形（不再添加辅助线）； （2）求证：A B E D C F △≌△．四、自主拓展1. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 、F 、G 分别是AB 、BD 、AC 的中点．若EG=EF ，AD+EF=12cm ，求△ABC 的面积．2. 已知，如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝BC ，AC ⊥BD ，BE ⊥DC ，垂足为E ，若AB=4，DC=6，求梯形的面积．五、自主评价1. 本节课你学到了哪些知识？2. 本节课你最大的收获是什么？教学反思：EDCBAODC BAA B CD EF PEDCBA D CFEA BP23Aa c0b初 二 数 学（第三章 二次根式复习（2））时间： 月 日教学目标：１.进一步加深对二次根式有关概念的理解；2．熟练掌握二次根式的化简和加、减、乘除、乘方等混合运算． 教学重点：二次根式的化简与加减、乘除、乘方混合运算． 教学难点：解决问题使用的思想方法． 一、化简与运算的步骤： 1．二次根式的化简步骤：（1）一分：分解因数（因式）、平方数（式）；（2）二移：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； （3）三化：化去被开方数中的分母． 2．二次根式混合运算的步骤：（1）乘方运算；（2）乘除运算；（3）加减运算． 二、解决问题使用的思想方法： （一）整体思想： 例题1．化简：)0,0(n m n m nm n m ≠>>--且练习：化简)0,0(2>>--+++b a abab b a ba abb a（二）分类思想： 例题2．化简：1222+-+x x x提示：零点分段法．具体操作：先令求和的各项值为0，求出对应的未知数的值，然后分区间讨论．练习：化简 4422+-a a（三）数形结合：例题3．已知：数轴上点A 表示的实数为a ，化简22)3()2(-+-a a ．练习：a 、b 、c 、在数轴上的位置如图所示，请化简式子b a c a c b a+--+++222)()(．214422-+-+-=x x x y DCBA (四)二次根式的非负性： 例题4．（1）已知：011=-++b a ，试求ba b a +-的值．（2）已知：x x y 2112-+-=，求yx 的值．练习：已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a 、b 满足条件：b a b 4412=+-+．试求c 的取值范围．三．巩固练习： 1. 如果22332+-+-=x x y ，求2x ＋３ｙ的平方根．2．已知86-++-b a b a 与互为相反数，求a 、b 的值． 3. 已知三角形的三边长分别是a 、b 、c ，且c a >，那么2)(b c a a c -+--＝ ． 4．已知x 、y 是实数，且 ，试求3x ＋4y 的值．5．已知2323+-=x ，,2323-+=y 求x 2y ＋xy 2的值．6. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝Rt ∠，已知∠B ＝450，AB ＝62 ， CD ＝3．试求：（1）四边形ABCD 的周长；（2）四边形ABCD 的面积．四、课后作业：补充习题P 50－51小结与思考五、教学反思：3. 若关于x 的一元二次方程（m －1）x 2＋x ＋m 2＋2m －3=0有一根为0，则m 的值是_____． 6.某数学兴趣小组对关于x 的方程01)2()1(22=--+++x m x m m（提出了下列问题．（1）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．（2）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？若存在，求出m 并解此方程．二、自主合作思考：通过配方法可将一元二次方程02=++c bx ax 转化为22244)2(aac b ab x -=+，问这个方程是否有实数根，由什么来判定？ 点拨：总结：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； 当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； 当240b ac -<时，方程没有实数根。
初中数学二次根式的性质
初中数学二次根式的性质
二次根式具有多种性质，以下是其中一些主要的性质：
1.非负性：对于任意的实数a，如果a≥0，那么√a是一个非
负数。
也就是说，二次根式的结果总是非负的。
这个性质在二次根式的运算中非常重要，因为它可以帮助我们确定结果的符号。
2.定义域：二次根式有意义的条件是被开方数必须是非负
数。
也就是说，如果我们要对一个数进行开方运算，那么这个数必须是大于或等于0的。
否则，二次根式就没有意义。
3.运算性质：二次根式满足一些基本的运算性质，如加法、
减法、乘法和除法。
这些性质与整数的运算性质类似，但需要注意的是，二次根式的运算结果可能需要进行化简。
4.化简性质：在二次根式中，我们可以利用一些公式和性质
进行化简。
例如，我们可以利用平方差公式将√(a^2 -
b^2)化简为√a^2 - √b^2，或者利用完全平方公式将√(a^2 + 2ab + b^2)化简为√(a + b)^2。
以上是二次根式的一些主要性质，这些性质在解二次根式方程和不等式，以及进行二次根式的运算时都非常重要。
初中数学二次根式公式
初中数学二次根式公式1. 二次根式的入门嘿，大家好！今天我们来聊聊一个可能让你又爱又恨的话题——二次根式。
首先，啥是二次根式呢？简单来说，二次根式就是那些看起来像√x这样的东西。
想象一下，如果你把一个数字放到一个神秘的箱子里，然后这个箱子就告诉你“嘿，我的平方是那个数字”。
这就是根式的魅力所在了！说白了，它就是在帮你找到一个数的平方根。
听起来是不是挺酷的？记得小时候，我也曾被这些神秘的符号搞得晕头转向。
老师一边讲解，我一边心里嘀咕：“这东西什么时候能用得上呀？”其实，二次根式在我们生活中无处不在，从计算面积到设计房间，都是它在默默出力呢。
1.1 二次根式的基本知识那么，二次根式有什么基本性质呢？首先，根式的定义就是：如果x是一个非负数，且y² = x，那么y就是x的平方根，用数学语言说就是y = √x。
这里要注意的是，根式里面的数字要是非负的，不然就会出现“负根式”，那可就麻烦了。
还有，根式有个有趣的特性，那就是它的平方根不止一个。
例如，√9的平方根有两个：3和3。
为什么呢？因为3²和(3)²都是9。
听起来有点复杂，但其实我们只需要记住正根就好，毕竟在数学的世界里，我们更喜欢正能量，对吧？1.2 二次根式的运算规则接下来，我们聊聊根式的运算规则。
这部分可能是大家最头疼的，但别担心，我们一步步来。
根式的加减法是相对简单的，如果根号里面的数字一样，我们就可以直接把它们的系数相加减，比如√2 + √2 = 2√2，这就像买了一对鞋子，当然是两只鞋子要一起算！但是，根号里面的数字不一样，就没办法简单相加了，就像买了不同颜色的鞋子，谁也不愿意把它们放在一起。
而乘法和除法就要简单得多了。
√a × √b = √(ab)，这就好比说把两个不同的水果混在一起，结果还是能得到一堆新鲜果汁！2. 实际应用那么，二次根式到底能用在哪里呢？有很多地方！比如说，你在设计一个花园，需要知道每个花坛的面积。
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