恒成立恰成立能成立之辨析
恒成立问题----不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用(例题+练习+答案)
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A（2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f <max )(,即)(x f 的上界小于B例1．设22)(2+-=ax x x f ,当[)+∞-∈,1x 时，都有a x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．例2．已知xax x x f ++=2)(2对任意[)+∞∈,1x ，0)(≥x f 恒成立,试求实数a 的取值范围．例3．R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是减函数，且当)2,0(πθ∈时，有0)22()sin 2(cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.例4．已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值c --3，其中b a 、为常数.（1）试确定b a 、的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式22-)(c x f ≥恒成立，求c 的取值范围.2、主参换位法例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围.例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围.例7.已知函数1)1(233)(23+++-=x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围．3、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
１不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用庆阳二中 曹久贤恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x²≥0，在实数范围即x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式. 例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：多参数恒成立问题举例：例1: 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.二、不等式能成立问题的处理方法:图像法、最值法若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.例2、已知不等式ax x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______例3、若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．２例4、已知函数()21ln 22f x x ax x=--（0≠a ）存在单调递减区间，求a 的取值范围________.三、不等式恰好成立问题的处理方法：韦达定理法、代入法、最值法例5、不等式2ax bx 10++>的解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=___________ 例6、已知(),22x ax x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.例7、已知两函数f(x)=8x 2+16x-k ，g(x)=2x 3+5x 2+4x ，其中k 为实数。
恒成立能成立问题总结分析(详细)
恒成立问题的类型和能成立问题及方式处置函数与不等式的恒成立、能成立、恰成立问题是高中数学中的一个重点、难点问题。
这种问题在各类考试和高考中都不足为奇。
感觉题型转变无常，没有一个固定的思想方式去向理，一直困扰着学生，感到不知如何下手。
在此为了更好的准确地把握快速解决这种问题，本文通过举例说明这种问题的一些常规处置。
一、函数法（一）构造一次函数 利用一次函数的图象或单调性来解决关于一次函数],[),0()(n m x k b kx x f ∈≠+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(;0)(0)(0)(00)(00)(n f m f x f n f m f n f k m f k x f 恒成立或恒成立 例1 假设不等式m mx x ->-212对知足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范 围。
解析：将不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，构造一次型函数：)12()1()(2---=x m x m g 原命题等价于对知足22≤≤-m 的m ，使0)(<m g 恒成立。
由函数图象是一条线段，知应⎪⎩⎪⎨⎧<---<----⇔⎩⎨⎧<<-0)12()1(20)12()1(20)2(0)2(22x x x x g g 解得231271+<<+-x ，因此x 的范围是)231,271(++-∈x 。
小结：解题的关键是将看来是解关于x 的不等式问题转化为以m 为变量，x 为参数的一次函数恒成立问题，再利用一次函数的图象或单调性解题。
练习:(1)假设不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）关于40≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，求x 的取值范围。
（答案：或）（二）构造二次函数 利用二次函数的图像与性质及二次方程根的散布来解决。
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题1.恒成立问题：恒成立问题的基本类型类型1：对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。
解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ， 令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ],[βα∈x（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f （2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 例2：若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围. 12m >- 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，R x ∈（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。
恒成立,能成立,恰成立问题
(1)恒成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)min >A ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f(x)max <B ； (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)>A 成立，则等价于在区间D 上f(x)max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f(x)<B 成立，则等价于在区间D 上f(x)min <B ； (3)恰成立问题若不等式f(x)>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)>A 的解集为D ； 若不等式f(x)<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f(x)<B 的解集为D. 二．典型问题例 区分下列问题的类型，并思考如何进行有效转化 组一1.若关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 。
2.若存在实数x 使|x －a|＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________3．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x|1≤x ≤3}，则实数k ＝______4．若关于x 的不等式|x －m|≤|2x ＋1|解集为R ，则实数m 的取值为________5.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)．若不等式(x －a)⊗(x －b)＞0的解集是(2,3)，则a ＋b 的值是A ．1B ．2C ．4D ．86.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2， x ＜0，则不等式f(2－x 2)＞f(x)的解集是________ 7.已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2 C ．(0,1) D ．(0,)+∞8.设l 为曲线C ：ln xy x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 组二1.已知函数x x x f ln )(=，(1)求)(x f 的最小值； (2)若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围.2.已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（a ，b 是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，当13a =时， 若不等式()0f x '<对任意x [3,1]∈--恒成立，求b 的取值范围；3.已知函数3()sin (),2f x ax x a R =-∈且在,0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题
不等式恒建立、能建立、恰建立问题一、不等式恒建立问题的办理方法1、变换求函数的最值：（ 1）若不等式 f x A 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmin A ， f ( x) 的下界大于 A（ 2）若不等式 f x B 在区间D上恒建立,则等价于在区间 D 上 f xmax B , f ( x) 的上界小于 A例 1、设 f(x)=x 2-2ax+2, 当 x [-1,+ ] 时，都有 f(x) a 恒建立，求 a 的取值范围。
例 2、已知f x x 2 2x a, 对随意 x 1, , f x 0 恒建立,试务实数 a 的取值范围; x例 3 、 R 上的函数 f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,时，有2f cos2 2m sinf 2m 2 0 恒建立，务实数m的取值范围.例 4、已知函数f (x) 4 ln 4 ( 0) 在处获得极值3 c，此中 a 、b为常数.（）试ax x bx c x x 1 1确立 a 、b的值；（ 2）议论函数 f ( x) 的单一区间；（ 3）若对随意x 0 ，不等式 f ( x) 2c 2恒建立，求 c 的取值范围。
2、主参换位法例 5、若不等式ax 1 0对 x 1,2 恒建立，务实数 a 的取值范围例 6、若对于随意 a 1 ，不等式x2(a 4) x 4 2a 0 恒建立，务实数x 的取值范围例 7、已知函数a 3 3 2，此中 a 为实数．若不等式2f ( x) x x (a 1)x 1 f ( x) x x a 1对随意3 2 ＞a(0， ) 都建立，务实数 x 的取值范围．3、分别参数法（ 1）将参数与变量分别，即化为g f x （或 g f x ）恒建立的形式；（ 2）求f x在x D 上的最大（或最小）值；（ 3）解不等式g f ( x) max(或 g f x min)，得的取值范围。
合用题型：（ 1）参数与变量能分别；（2）函数的最值易求出。
5、高频考点：恒成立、能成立、恰成立
高频考点：恒成立、能成立、恰成立 一、不等式恒成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，2、若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,二、不等式能成立问题的处理方法1、若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A>；2、若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上()min f x B<.三、不等式恰成立问题的处理方法1、若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ；2、若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D . 补例：（1）（判别式法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：若0122>+-ax ax 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（10<≤a ） （2）若0122>+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（1<a ）（函数最值法） （分离系数法）变式：若0122<+-ax x 对]2,1[∈∀x 恒成立，求实数a 的取值范围；（45>a ）（3）（构造函数法）若]3,1[∈∃a ，使得不等式02)2(2>--+x a ax 成立，求实数x 的取值范围；（21>-<x x 或）（4）（数形结合法）若0122>+-ax x 对R x ∈∀恒成立，求实数a 的取值范围；（11<<-a ）变式：当21<<x 时，不等式xax log )1(2<-恒成立，求a 的取值范围；（21≤<a ）（5）思辨：已知两个函数2()816f x x x k =+-，32()254g x x x x =++， 其中k 为实数.①对∀[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（45≥k ）②对∀[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围；（141≥k ）③对∀)3,3(2-∈x ，总存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立，求k 的取值范围；（13≥k ）④对∀1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-，使得)()(10x f x g =成立，求k 的取值范围.（913k ≤≤） 【分析及解】 ① 令k x x x x f x g x F +--=-=1232)()()(23, 问题转化为0)(≥x F 在 []3,3-∈x 上恒成立,即0)(min ≥x F 即可 ∵)2(61266)(22'--=--=x x x x x F , 由0)('=x F , 得2=x 或 1-=x .∵(3)45(3)9(1)7(2)20F k F k F k F k -=-=--=+=-，，，, ∴45)(min -=k x F , 由045≥-k , 解得 45≥k .②由题意可知当[]33，-∈x 时,都有min max )()(x g x f ≤. 由01616)('=+=x x f 得1-=x.∵k f k f --=--=-8)1(24)3(，, k f -=120)3(, ∴120)(max +-=k x f .由04106)(2'=++=x x x g 得321-=-=x x 或,∵21)3(-=-g , 111)3(=g , 1)1(-=-g , 2728)32(-=-g ,∴21)(min -=x g .则21120-≤-k , 解得141≥k .③∀)3,3(2-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)()(21x g x f ≤min:-21 存在)3,3(1-∈x ，使得)()(21x g x f ≤成立等价于)(1x f min )(2x g ≤ 所以218-≤--k 所以13≥k④若对于任意1x []3,3∈-,总存在[]03,3x ∈-使得)()(10x f x g =成立，等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集，由②可知， 2()816f x x x k =+-在[]3,3-的值域为[]8,120k k ---+， 32()254g x x x x =++在[]3,3-的值域为[]21,111-，于是，[][]8,12021,111k k ---+⊆-，即满足 821,120111.k k --≥-⎧⎨-+≤⎩解得913k ≤≤。
执信培优讲义5：恒成立、能成立和恰成立问题--执信中学
x
x
{x | 1 x 0} ，从而 a x b x 0 ， a x b x 10 的两根分别为 0， 1 （恰成立） ，可得答
案C 2.B。解析：由方程 log a x log a y 3 可得 y
2
1 2
1 1 C1 : y x 2 ， C2 y log 2 a x ，作图形 C1 与 C 2 ，如图，只须 C 2 过点 ( , ) ， 2 4
0 2a 1 ，即 0 a
1 1 1 1 ，且 log 2 a ，解得 a 32 2 2 2
2
【课堂作业】
2
1 2
【课堂作业】
x x 1.已知 0 a 1 b ， 不等式 lg( a b ) 1 的解集是 {x | 1 x 0} ， 则 a, b 满足的关系是
（ A．
）
1 1 10 a b
B．
1 1 10 a b
C．
1 1 10 a b
D． a, b 的大小的关系不能确定
2
3 2
结合 a 2，所以 a 2
2） ．当 a 1 时 f(x)在[-1，2]上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+4 2
f ( x) min = f(-1)=1+2a+4 2 结合 a 1 即 a
3） ．当-1<a<2 时 即 a
3 2
f ( x) min = f(a)= x 2 2a 2 4 2
4、设函数 f x 、 g x ，对任意的 x1 a , b ，存在 x2 c , d ，使得 f x1 g x2 ，则
恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略
恒成立、能成立、恰成立等问题的解题策略作者：周志成来源：《理科考试研究·高中》2014年第10期高中数学中的有关“恒成立”、“能成立”、“恰成立”等问题，虽然在教材中没有专门的讲解，但是这些内容一直以来都是高中数学教学的重点和难点又因为这类问题的解法较多，同时在一些题目中更是没有明显出现“恒成立”、“能成立”、“恰成立”、“ 都成立”等字样，若明若暗，具有一定的隐藏性，极易被解题者忽视所以在历年高考（江苏近年来几乎年年都考）中都屡见不鲜如何准确地、快速地解决这类问题？笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点，所以在解决这类问题时是很好的方法本文通过举例说明来探讨这类问题的一些常规处理方法一、恒成立问题（一）分离参数法解决恒成立问题的第一种常用解法是利用分离参数转化为最值的方法求解，其基本步骤：分离参数，构造函数，求最值（）将参数与变量分离，即化为f（）≤g（x）（或f（）≥g（x））恒成立的形式；（）求g（x）在x∈D上的最大（或最小）值；（3）解不等式f（）≥g（x）ax（或f（）≤g（x）in），得的取值范围适用题型（）参数与变量能分离；（）函数的最值易求出例（00天津理）设函数f（x）=x-，对任意x∈[3，+∞），f（x）-4f（x）≤f（x-）+4f（）恒成立，则实数的取值范围是解析由题可得x--4（x-）≤（x-）-+4（-）在x∈[3，+∞）上恒定成立，即-4≤-3x-x+在x∈[3，+∞）上恒成立当x=3时函数y=-3x-x+取得最小值-53，所以-4≤-53，即（3+）（4-3）≥0，解得≤-3或≥3（二）函数法解决恒成立问题的第二种常用解法是函数法即通过构造函数，再利用函数的特性分析解决问题（利用化归思想将其转换为求函数的最值问题）（）若不等式f（x）>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f（x）in>A（）若不等式f（x）例（同上例）设函数f（x）=x-，对任意x∈[3，+∞），f（x-4f（x）≤f（x-）+4f（）恒成立，则实数的取值范围是解析由题可得x--4（x-）≤（x-）-+4（-）在x∈[3，+∞）上恒定成立，即-3x-x++4-≤0在x∈[3，+∞）上恒成立令t=x，则t∈（0，3]，∴-3t-t++4-≥0在t∈（0，3]上恒成立令g（t）=-3t-t++4-，∴g（0）≥0且g（3）≥0，∴得≤-3或≥3（三）主参换位法例3已知函数f（x）=a3x3-3x+（a+）x+，其中a为实数若不等式f ′（x）>x-x-a+对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围解析由题设知ax-3x+（a+）>x-x-a+对a∈（0，+∞）都成立，即a（x+）-x-x>0对a∈（0，+∞）都成立设g（a）=（x+a）a-x-x（a∈R），则g（a）是一个以a为自变量的一次函数∵x+>0恒成立，则对x∈R，g（a）为R上的单调递增函数所以对a∈（0，+∞），g（a）>0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，-x-x≥0，∴-≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-≤x≤0}二、“能成立”问题例4（0年江苏4题）设集合A={（x，y）|≤（x-）+y≤，x，y∈R}，B={（x，y）|≤x+y≤+，x，y∈R} ，若A∩B≠，则实数的取值范围是解析当≤0时，集合A是以（，0）为圆心，以||为半径的圆，当>0时，集合A是以（，0）为圆心，以和||为半径的圆环集合B是在两条平行线之间因为A∩B≠，。
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题
“恒成立”“能成立”“恰成立”问题作者：谢道仁来源：《科技创新导报》2011年第22期摘要:“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题在教材中虽然没有专门设计,但这些内容是高中内容的重点、难点,同时也是高考和数学竞赛的热点,又因为它们的解法多样,所以这三类问题考生容易混淆不清,笔者认为分离变量法和函数法具有思路清、操作强、易掌握等特点,所以在解决“恒成立”，“能成立”，“恰成立”问题是很好的方法。
关键词:恒成立能成立恰成立方法中图分类号:G40 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)08(a)-0189-011 “恒成立”问题[例1](2010天津理数)设函数,对任意,≤恒成立,则实数的取值范围是_______。
【解析】(分离变量法)依据题意并分离变量得：≤在上恒成立。
当时函数取得最小值,所以≤,解得≤或≥。
另解(函数法)接上解得:≥0在上恒成立。
令,则∴令≥在上恒成立。
∴≥且≥ ∴得≤或≥【提示1】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题的第一种解法是利用分离变量转化为最值的方法求解,即通过分离使其成为≤,然后解这个函数的最小值得≥(或),所以≤,若对原有不等式通过分离变量的方法他离出变量式使其成为,然后解这个函数的最小值得≥或,所以(或≤),其基本步骤:分离变量,构造函数,求最值。
同学们可以类比得出若通过分离变量的方法分离出变量式使其成为≥或的结论。
解决恒成立问题的第二种解法是函数法,即通过构造函数,再利用函数的特性分析解决问题,此例充分体现了分离变量的优越性,显然要比函数法简单且不易出错。
变式引深:若函数在上为增函数,求的取值范围。
解:依题意得:≥在上恒成立,即≤在上恒成立令,∴0,∴在[0,2]可能的最小值为、、∴解得≤【提示2】若此类问题分离变量后(见提示1),的最值难以确定,我们只须分析可能的最值就可以了。
[例2]已知函数,若≥对任意,恒成立,求实数的取值范围。
解:利用导数易得的最小值是∴≤在上恒成立即≤在[-1,1]上恒成立令∴解得【提示3】若分离变量不容易时,应选择函数法求解。
恒成立与能成立问题辨析
解题篇经典题突破方法J l L LL L l L L>高二数学2020年II月丁子虫LL/LLJ ■江西省兴国县兴国中学赖儒福纵观新课标下全称量词与存在量词的考题，主要以其否定形式为重点考查内容，涉及命题真假的判断，一般以选择、填空题的形式出现，有时在解答题中有关对于任意(或存在)某个参数，使得恒成立(能成立)等问题#解答时，关键是正确把握题目所给信息，妥善利用好条件进行转化，下面就恒成立与能成立问题辨析，以期对同学们的学习有用#—、全称h词与存在量词的理解.”是全称量词，含义是.全部/“所有”是存在量词，含义是“存在/、至少有一个/任意性与存在性问题，也即函数中的恒成立与能成立问题。
恒成立问题，关键词：对所有、任意、恒；能成立问题，关键词：有解，存在、解集非空、能等#二、一个自变h的不等式恒成立与能成立、恰成立问题，转化为函数最值不等式关系以及不等式解集含有单一量词的参数取值问题，通常包含两种类型：一是对于任意的参数，结论恒成立；二是存在参数，使得结论成立。
这两种类型的处理方法，通常都是转化为利用最值进行研究，但要注意两者的区另U#!!(1)若对于任意的实数$，不等式|$—4|+|$—3|>a成立，则实数a的取值范围是_____#(2)若存在实数$，使不等式|$—4|+ |$—3|V a成立!则实数a的取值范围是解析：(1)关键词：任意，是一道恒成立问题，题意即(|$—4|+|$—3|)<1>a#由绝对值的几何意义知,当且仅当3($ (4时，|$—4|+|$—3|取到最小值(最小值是1)，从而得实数a的取值范围是(―；!1)#(2)关键词：存在，是一道能成立问题!由题意知(|$—4|+|$—3|)m1V a#由例1 $)的解法知1V a,故实数a的取值范围是(1,+；)#/评：(1)对于任意的$)A，不等式—V#($)恒成立，等价于函数值域中最小值端是闭的，—V#($)<1%(2)对于存在实数$)A，不等式—> #($)成立，等价于函数值域中最小值端是闭的，—>#($)m1%练习1：已知函数#($)=$2—2$+3#$)是否存在实数—，使不等式—+ #($)>0对于任意$)R恒成立？并说明理由#(2)若存在实数$0，使不等式—一#($) >0成立,求实数—的取值范围#解析：(1)不等式—+#($)>0可化为—>一($—1)2一2#要使不等式—+#($)>0对于任意$) R恒成立，只需—>—2即可#故存在实数—使不等式对任意$)R恒成立，此时—>—2#(2)不等式—一#($)>0,可化为—> #$)#若存在实数$0,使不等式—一#($)>0成立，只需—>#〈$)<1即可#因为#($)=($—1)2+2,所以 #($)<1 =2,实数—的取值范围时—>2#三、两个自变h的任意性与存在性问题之方程问题，转化为两个函数的值域关系解决双变量“存在性或任意性/可题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)目的在于培养同学们的逻辑推理素养和良好的数学思维品质# !"已知函数#($)=$+4,g($)cc =2$+a,若V$1),1),；$2)「2,3),使得#($1)(g($2)则实数a的取值范围是解析：依题意知#($)<a>(g($)<a>#(下转第29页)解题篇 经典题突破方法 J l L l L LLL "高二数学 2020年11月 丁 子虫L /LLJ公差为一2的等差数列等式恒成立问题的求解b ”22a—1 = — 2” 一2所以a ”1—2” + 22(” + 1)6+17Z + 1_________ X 2 (” + 2%2(” + 1)题型五、代数式的最值! %(2020年江西省上饶市六校联考)已知正项等比数列a ” ｝满足a 7 =2a 6 +3a 5，若存在两项a — a ”，使得a — - a ” = 9a 2 ,”(、” + 2% 1 + 2CL 9 Cl o所以」+」+…+上2 = ” + 1 +a 1 a 2 a ”+11 9则一+的最小值为( %#TTL n28A. 16B. 3C. 5D. 41—1+1一1+…+_______L 3 2 4 ” + 1 ” + 31V ” ++7-分析:由已知条件先求公比q ，再求—+”，最后利用.”和基本不等式求最小值#解：设等比数列的公比为q(q >0% ,由已 知 a 5 q 2 = 2a 5 q + 3a 5 ,得 q 2 = 2q + 3#解得q = 3或q = —1(舍去％ #又 a — - a ” = 9a 1，所以 a 13— 1 -a 13" 1 =9a 2，即 3—+” 2 = 32 — + ” = 4#所以(丄+9%(—+ ” ％7入对任何正整数”恒成立，即工1”1—1% V A 对任意正整数”恒成7Z + 3,9—1 % '4，当且仅当—=1,” = 3n /时，等号成立#故选D11 +111” ” + 2—+9”147 7立，所以入'4。
问题61 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题(解析版)
专题六不等式问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题一、考情分析纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．三、知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．四、题型分析一、不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高考试题为例加以剖析．(一)函数性质法1.一次函数——单调性法给定一次函数()()0y f x ax b a==+≠,若()y f x=在[],mn内恒有()0f x>,则根据函数的图像（线段）（如右下图）可得上述结论等价于（1）⎩⎨⎧>>)(mfa或（2）0,()0.af n<⎧⎨>⎩可合并定成()()0,0.f mf n>⎧⎪⎨>⎪⎩同理,若在[],m n内恒有()0f x<,则有()()0,0.f mf n<⎧⎪⎨<⎪⎩【例1】若不等式)1(122->-xmx对满足22≤≤-m的所有m都成立,求x的范围．【点评】有些问题,如果采取反客为主（即改变主元）的策略,可产生意想不到的效果．2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解主要有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a=++≠（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a ． 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（1）当0>a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或 ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时,],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b ba aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或 【例2】【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第二学段期中】对于任意实数x ，不等式()()222240a x a ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. (),2-∞B. (],2-∞C. (]2,2- D. ()2,2- 【答案】C【点评】不等式的恒成立，应和函数的图像联系起来.二次项系数含字母，应对二次项系数是否为0，分情况讨论.当二次项系数不为0时，结合二次函数图像考虑，根据题意图像应恒在x 轴的下方，故抛物线开口向下且和x 轴没交点，即判别式小于0.综合两种情况可得所求范围.【小试牛刀】已知命题p ：函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在R 上有零点．命题q ：x 2＋3(a ＋1)x ＋2≤0在区间⎣⎡⎦⎤12，32内恒成立．若命题“p 且q ”是假命题,求实数a 的取值范围． 【解析】p 真时,Δ＝4a 2－4≥0⇒a ≥1或a ≤－1.则p 假时,－1＜a ＜1.q 真时,令g (x )＝x 2＋3(a ＋1)x ＋2,则⎩⎨⎧g ⎝⎛⎭⎫12≤0，g ⎝⎛⎭⎫32≤0，得a ≤－52.则q 假时,a ＞－52.而p 且q 为假,即p 与q 一真一假或同假．当p 真q 假时,－52＜a ≤－1或a ≥1；当p 假q 真时,无解；当p 假q 假时,－1＜a ＜1.综上得a ＞－52.3.其它函数：()0f x >恒成立⇔min ()0f x >（注：若()f x 的最小值不存在,则()0f x >恒成立⇔()f x 的下界大于0）；()0f x <恒成立⇔max ()0f x <（注：若()f x 的最大值不存在,则()0f x <恒成立⇔()f x 的上界小于0）． 【例3】已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a ,b 为常数． （1）试确定a ,b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ,不等式22)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围．【分析】22)(c x f -≥恒成立,即 2min ()2f x c ≥-,要解决此题关键是求min ()f x ,0>x ．【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数()()()ln 1ln 1G x x x x x =+--． （1）求()G x 的最小值；（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数()()()112210x a f x a e a a x++=+-+>,若对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）ln 2-；（2）11a e ≥-. 【解析】（1）由已知得()()01,ln ln 1ln 1xx G x x x x'<<=--=-． 令()0G x '<,得102x <<；令()0G x '>,得112x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．从而()min 11ln ln 222G x G ⎛⎫===-⎪⎝⎭． （2）由（1）中ln 2c =-得()()121x a f x a e a x+=+-+． 所以()()221x ax e a f x x -+'=．令()()21xg x ax e a =-+,则()()20xg x ax x e '=+>．所以()g x 在()0,+∞上单调递增,因为()()01g a =-+,且当x →+∞时,()0g x >,所以存在()00,x ∈+∞,使()00g x =,且()f x 在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上单调递增．因为()()020010xg x ax e a =-+=,所以0201x ax ea =+,即0201x a a e x +=,因为对于任意的()0,x ∈+∞,恒有()0f x ≥成立,所以()()()00min 01210xa f x f x a e a x +==+-+≥． 所以()20011210a a a x x +++-+≥,即2001120x x +-≥,亦即200210x x --≤,所以0112x -≤≤． 因为0201x ax e a =+,所以02011x a x e a+=>, 又00x >,所以001x <≤,从而020x x ee ≤,所以11a e a +<≤,故11a e ≥-． (二)分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥（D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．【例4.】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测】已知函数()ln f x x x =,2()3g x x ax =-+-. （1）求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；学！科网（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立,求实数a 的取值范围； （3）探讨函数12()ln x F x x e ex=-+是否存在零点？若存在,求出函数()F x 的零点；若不存在,请说明理由. 【分析】(1)求函数()f x 的层数可得()ln 1f x x '=+,并由导数的符号判断函数的单调性可得函数在区间(0,)+∞上的最小值为()min 11f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,分别讨论当1[,2]t t e ∈+与1[,2]t t e ∉+时函数在区间[,2]t t +上的单调性与最小值即可；（2）对一切(0,)x ∈+∞,2()()f x g x ≥恒成立32ln a x x x⇔≤++,构造函数()()32ln 0h x x x x x =++>,求函数()h x 的最小值即可；(3) ()0F x =12ln 0x x e ex⇔-+= ()2ln 0xx x x x e e⇔=->,由（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e -,构造函数()()20x x x x e e ϕ=->,求其导数,研究函数()()20x x x x e eϕ=->的单调性与最值可知()()min max 11()x f x eϕϕ==-≤,且两个函数取得最大值点与最小值点时不相等,所以有()()f x x ϕ>,即两个函数无公共点,即函数()F x 无零点. 【解析】（Ⅰ）()ln 1f x x '=+,由()'0f x <得,10x e <<,由()'0f x >得1x e>,∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当1t e>时,()f x 在[],2t t +上单调递增,()()min ln f x f t t t ==, ()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪∴=⎨⎪>⎪⎩（Ⅲ）令()0F x =,得12ln 0x x e ex -+=,即()2ln 0x x x x x e e=->,当（Ⅰ）知当且仅当1x e =时,()()ln 0F x x x x =>的最小值是1e-, 设()()20x x x x e e ϕ=->,则()'1x xx eϕ-=,易知()x ϕ在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减, ∴当且仅当1x =时,()x ϕ取最大值,且()11eϕ=-, ∴对()0,x ∈+∞都有12ln x x e ex >-,即()12ln 0xF x x e ex=-+>恒成立, 故函数()F x 无零点.【小试牛刀】【贵州遵义市2017届高三第一次联考】已知函数()1xxf x e -=． （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程和函数()f x 的极值：（2）若对任意[)12,,x x a ∈+∞,都有()()1221f x f x e-≥-成立,求实数a 的最小值． 【答案】（1）切线方程为210x y +-=,函数()f x 在2x =时,取得极小值21e-（2）1【解析】（1）因为()2x x f x e-'=,所以()02f '=-,因为()01f =,所以曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y +-=． 由()2x x f x e-'=解得2x =,则()f x '及()f x 的变化情况如下： x(),2-∞ 2 ()2,+∞()f x ' -0 + ()f x 递减极小值21e -递增 所以函数()f x 在2x =时,取得极小值2e -．（2）由题设知：当1x >时,()10x x f x e -=<,当1x <时,()10xxf x e-=>, 若1a <,令[)122,,1x x a =∈,则[)12,,x x a ∈+∞,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e >⇔-<⇔-<==-,显然不符合题设要求．．．9分 若1a ≥,对[)()()1212,,,0,0x x a f x f x ∀∈+∞≤≤,由于()()()()()()2212121002f x f x f x f x f x f e≤⇔-≥⇔-≥≥=-, 显然,当1a ≥,对[)12,,x x a ∀∈+∞,不等式()()1221f x f x e -≥-恒成立, 综上可知,a 的最小值为1． (三)主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．【例5】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知当11a -≤≤时,2(4)420x a x a +-+-> 恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数【解析】设2()(2)(44)f a x a x x =-+-+,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩,即22560320x x x x ⎧-+>⎪⎨-+>⎪⎩,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是(,1)(3,)-∞+∞. 【小试牛刀】已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++,()()g x f x '=,且对任意的实数 t 均有(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤．(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有2()11f x x mx ≥--,求x 的取值范围．【解析】(Ⅰ) 2()()318cos 48cos g x f x x x αβ'==-+,,01cos 2,t R t ∀∈≤+≤23sin 4t ≤+≤,而(1cos )0g t +≥,(3sin )0g t +≤恒成立．则由二次函数性质得(2)0(4)0g g =⎧⎨≤⎩,解得cos 1α=,1cos 2β=,sin 0α= ∴ 32()924f x x x x =-+．(四)数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为()()f x g x ≥（或()()f x g x ≤）后,能非常容易地画出不等号两边函数的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．【小试牛刀】若不等式23log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,求实数a 的取值范围．【解析】由题意知：23log a x x <在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内恒成立,在同一坐标系内,分别作出函数23y x =和log a y x =的图像,观察两函数图像,当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,若1a >函数log a y x =的图像显然在函数23y x =图像的下方,∴不成立；当01a <<时,由图可知,log a y x =的图像必须过点11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或在这个点的上方,则11log 33a≥, 127a ∴≥,1127a ∴>≥． 综上得：1127a >≥．(五)消元转化法【例7】已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈nm n f m f n m n m 时,若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立,求实数t 的取值范围．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法,值得一提的是,各种类型各种方法并不是完全孤立的,虽然方法表现的不同,但其实质却都与求函数的最值是等价的,这也正体现了数学中的“统一美”． 二、不等式能成立问题的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k >成立,则等价于在区间D 上()maxf x k >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x k <成立,则等价于在区间D 上的()min f x k <．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看,含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上恒成立(){}()maxD x f x k f x k ⇔⊆<⇔<(){}()()min D x f x k f x k ⇔⊆>⇔>,而含参不等式()f x k <()()f x k >在区间D 上能成立⇔至少存在一个实数x 使不等式()f x k <()()f x k >成立(){}()minDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔<(){}()()maxDx f x k f x k ⇔<≠∅⇔>．【例8】已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,且f (x )＋g (x )＝(12)x ．若存在x 0∈[12,1],使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立,则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】[22,522] 【解析】由1()()()2x f x g x +=得1()()()2x f x g x --+-=,即1()()()2xf xg x --+=,所以1()(22)2x x f x -=-,1()(22)2x x g x -=+．存在x 0∈[12,1],使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立,即01[,1]2x ∈,00(2)()g x a f x =-,设(2)()()g x h x f x =-（1[,1]2x ∈）,则()h x 221(22)21(22)2x x x x --+=--222222x xx x --+=- 2(22)22x x x x--=-+-,1[,1]2x ∈时,2322]22x x --∈,设22x xt -=-,则23]22t ∈,而2()h x t t=+,易知2y t t =+在22]2是递减,在3[2,]2上递增,因此2222y ==最小2522y ==最大,所以52()[22,]h x ∈,即52[22,a ∈． 【点评】解题时需由奇偶性定义求出函数(),()f x g x 的解析式,存在x 0∈[12,1],使得等式af (x 0)＋g (2x 0)＝0成立,其中等式可转化为00(2)()g x a f x =-,这样求a 的取值范围就转化为求函数(2)1(),[,1]()2g x h x x f x =-∈的值域．当然在求函数()h x 值域时还用到换元法和的单调性,问题进一步进行了转化． 【小试牛刀】已知函数()()21ln 202f x x ax x a =--≠存在单调递减区间,求a 的取值范围 【解析】∵函数()f x 存在单调递减区间,∴()2'12120ax x f x ax x x+-=--=-<在()0,+∞有解．即()()2120,a x x x >-∈+∞能成立, 设()212u x x x =-．由()2212111u x x x x⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭得,()min 1u x =-．于是,1a >-,由题设0a ≠,∴a 的取值范围是()()1,00,-+∞．3 不等式恰好成立问题的处理方法【例9】已知()22x x af x x++=当[)()1,,x f x ∈+∞的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值．【例10】已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(, ⑴若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,求实数a 的取值范围； ⑵若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,求实数a 的取值范围； ⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,求实数a 的取值范围； ⑷若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围； ⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围； ⑺若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围； ⑻若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围. ⑴解析：由)()(x g x f =可得x x +221a x =+-)1ln(,存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,即方程x x +221a x =+-)1ln(在]2,0[上有解.设=)(x h x x +221)1ln(+-x ,则方程x x +221a x =+-)1ln(在]2,0[上有解的条件是a 为)(x h 值域中的元素,所以a 的取值范围就是)(x h 的值域.因为]2,0[∈x 时111+-+='x x x h ）（=122++x xx >0,所以)(x h 在]2,0[上是增函数,由此可求得)(x h 的值域是[0,3ln 4-],所以实数a 的取值范围是[0,3ln 4-].⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,即)(x h a >有解,故h max (x)>a ,由⑴知h max （x ）=3ln 4-,于是得a <3ln 4-.点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.⑶解析：对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立,即min )(x h a >,由⑵可知a <0.点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤；⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，]40[=A )(x g 的值域]3ln ,[a a B --=,若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,即max min )()(x g x f >,即a ->3ln 0,所以3ln >a .点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,21,x x 的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,即max max )()(x g x f >,由⑷可知即a ->3ln 4,所以3ln 4+->a .点评：设)(x g 的最大值为M ,对任意]2,0[2∈x ,)()(21x g x f >的条件M x f >)(1,于是问题转化为存在]2,0[1∈x ,使得M x f >)(1,因此只需)(x f 的最小值大于M 即max max )()(x g x f >.⑹解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,则A B ⊆,所以⎩⎨⎧≤-≥-43ln 0a a 即03ln 4≤≤+-a点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内,因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的子集.⑺解析：若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,则min max )()(x g x f >,即4>a -, 所以4->a .点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.⑻解析：若存在21,x x 使得)()(21x g x f =,则AB ≠∅,∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞五、迁移运用1．【湖南省邵阳市2018届高三上学期期末】若关于x 的不等式2x+1−2−x −a >0的解集包含区间(0,1)，则a 的取值范围为（ ）A. (−∞,72] B. (−∞,1) C. (−∞,72) D. (−∞,1] 【答案】D【解析】原不等式等价于a ≤(2x+1−12x )min,由于函数y =2x+1−12x 在区间(0,1)上为增函数,当x =0,y =1,故a ≤1.故选D.2．【安徽省芜湖市2018届高三上学期期末】已知直线x =3与双曲线C:x 29−y 2=1的渐近线交于A,B 两点，设P 为双曲线上任一点，若OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =aOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +bOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （a,b ∈R,O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ） A. a 2+b 2≥1 B. |ab|≥1 C. |a +b|≥1 D. |a −b|≥1 【答案】C 【解析】双曲线C:x 29−y 2=1的渐近线为x29−y 2=0，所以不妨设A(3,1),B(3,−1) ，因为OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =aOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +bOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以P(3a +3b,a −b) ，即(3a+3b)29−(a −b)2=1⇒4ab =1 ，所以ab >0,|a +b|=|a|+|b|≥2√|a|⋅|b|=1 ，选C.3．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研】已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −5≥0y −x ≥0y −12x −2≤0，若不等式(1−a )x 2+2xy +(4−2a )y 2≥0恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A. 73 B. 53C. √5D. √6【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数t =yx ，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (2,3)处取得最大值t max =yx =32，在点A 或点B 处取得最小值t min =1，即t ∈[1,32]. 题中的不等式即：a (x 2+2y 2)≤x 2+2xy +4y 2， 则：a ≤x 2+2xy+4y 2x 2+2y 2=4t 2+2t+12t 2+1恒成立，原问题转化为求解函数f (t )=4t 2+2t+12t 2+1(1≤t ≤32)的最小值，整理函数的解析式有：f (t )=2×t 2+12t+14t 2+12=2×(1+12t−14t 2+12)=2(1+1t−12+34t−12+1)，令m =t −12，则12≤m ≤1， 令g (m )=m +34m，则g (m )在区间(12,√32)上单调递减，在区间(√32,1)上单调递增，且g (12)=2,g (1)=74，据此可得，当m =12,t =1时，函数g (m )取得最大值， 则此时函数f (t )取得最小值，最小值为：f (1)=4×12+2×1+12×12+1=73.综上可得，实数a 的最大值为73.5．【衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷】已知数列{}n a 中，()*112,1,n n n a n a a a n N +=-=+∈，若对于任意的[]*2,2,a n N ∈-∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A. (][),22,-∞-⋃+∞B. (][),21,-∞-⋃+∞C. (][),12,-∞-⋃+∞D. []2,2- 【答案】A【解析】根据题意，数列{}n a 中， ()11n n n n a a a +-=+，即()111n n na n a +-+=，则有()1111111n n a a n n n n n n +-==-+++，则有1111221111112n n nn n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n ++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪++---⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） 111111111233112121n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+-+=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+---+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 21211n a t at n +<+-+，即213211t at n -<+-+，∵对于任意的[]22a ∈-，， *n N ∈，不等式21211n a t at n +<+-+恒成立，∴2213t at +-≥，化为： 2240t at +-≥，设()224f a t at =+-， []22a ∈-，，可得20f ≥（）且()20f -≥，即有2220{ 20t t t t +-≥--≥，即12{ 21t t t t ≥≤-≥≤-或或，可得2t ≥或2t ≤-，则实数t 的取值范围是][22-∞-⋃+∞（，，），故选A. 6．【宁夏大学附属中学2018届高三上学期第三次月考】若二次不等式230x ax +->在区间[2,5]上有解，则a 的取值范围是 A. 225a >-B. 12a <-C. 225a ≥-D. 12a ≤- 【答案】A【解析】 关于不等式230x ax +->在[]2,5上有解，所以23ax x >-在[]2,5上有解，即233x a x x x->=-在[]2,5上有解， 设()[]3,2,5f x x x x =-∈，所以()2310f x x'=--<恒成立， 所以函数()3f x x x=-在[]2,5x ∈上单调递减函数，7.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知函数()()x x x x x f ++++=1ln sin 22,若不等式()()3393-⋅+-x x x m f f < 0对任意R ∈x 均成立,则m 的取值范围为（ ）A. ()132,-∞-B. ()132,+-∞-C. ()132,132-+-D. ()∞++-，132 【答案】A【答案】3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】设()()21xg x e x y ax a =-=-，,由题意知存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方,∵()()()21221xx xg x ex e e x '=-+=+,∴当12x <-时,()0g x '<,当12x >- 时,g′(x)>0,∴当12x =-时,()g x 取最小值122e--,当0x =时,()01g =-,当1x =时,()10g e =>,直线y ax a =-恒过定点(1)0，且斜率为a ,故()01a g ->=-且()113g e a a --=-≥--,解得312a e≤<.9.【河北省定州中学2017届高三上学期周练】已知函数()()()21131x f x e ax a +=++-,若存在()0,x ∈+∞,使得不等式()1f x <成立,则实数a 的取值范围为（ ） A ．()20,31e e ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭ B ．20,1e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭ C ．()2,31e e ⎛⎫+-∞ ⎪ ⎪+⎝⎭ D ．1,1e ⎛⎫-∞ ⎪+⎝⎭ 【答案】C10.【浙江省温州市2017届高三8月模拟】若存在0[1,1]x ∈-使得不等式00014212x xx a +-⋅+≤成立,则实数a 的取值范围是 ． 【答案】9[0,]2.【解析】原不等式等价于：00000000111124212222222x x x x x x x x a a ++-≤-⋅+≤⇒+-≤≤++,故问题等价于min max 11(22)(22)22xxx xa +-≤≤++,[1,1]x ∈-,设1()f x x x =+,1[,2]2x ∈, ∴min[()](1)2f x f ==,max 15[()](2)()22f x f f ===,∴实数a 的取值范围是9[0,]2,故填：9[0,]2.11.【江苏省泰州中学2017届高三摸底考试】已知实数x 、y 满足20,50,40,x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩若不等式222()()a x y x y +≥+恒成立,则实数a 的最小值是 ．【答案】95【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中510(2,4),(1,4),(,)33A B C ,因此[,][2,4]OA OB yk k x∈=,因为y x x y+在[2,4]上单调递增,所以517[,]24y x x y +∈,不等式222()()a x y x y +≥+恒成立等价于2max max min22()299[][1].55x y a a y x x y x y+≥=+=⇒=++12．已知a 是实数,函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零,则实数a 的取值范围为________． 若对满足条件8x y xy ++=的正实数,x y 都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立,则实数a 的取值范围为 . 【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 【解析】2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立．当x ＝0时,适合；当x ≠0时,a <32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16,因为1x ∈(－∞,－1]∪[1,＋∞),当x ＝1时,右边取最小值12,所以a <12.综上,实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.13. 已知二次函数f (x )＝x 2－2tx ＋2t ＋1,x ∈[－1,2]．若f (x )≥－1恒成立,求t 的取值范围． 【解析】①若t ＜－1,要使f (x )≥－1恒成立,只需f (－1)≥－1,即4t ＋2≥－1,则t ≥－34,这与t ＜－1矛盾．②若－1≤t ≤2,要使f (x )≥－1恒成立,只需f (t )≥－1,即－t 2＋2t ＋1≥－1,则1－3≤t ≤1＋3,∴1－3≤t ≤2.③若t ＞2,要使f (x )≥－1恒成立,只需f (2)≥－1,即－2t ＋5≥－1,∴2＜t ≤3. 综上所述,t 的取值范围是[1－3,3]14.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】已知函数()ln f x x x a =+.（Ⅰ）若对定义域内任意x ,()0f x >成立,求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若120x x <<,求证：对()12,x x x ∀∈,不等式()()()()1212f x f x f x f x x x x x --<--恒成立. 【答案】（Ⅰ）1a e>（Ⅱ）详见解析 【解析】（Ⅰ）解：()ln f x x x a =+的导数为()()ln 10f x x x =+>′, 令()0f x =′得1x e=,所以min 11y f a e e⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭, ()0f x >恒成立,min 0y >,即min 110y f a e e ⎛⎫==-+> ⎪⎝⎭,所以1a e >.（Ⅱ）证明：()ln f x x x a =+的导数为()()ln 10f x x x =+>′, 易知()ln 1f x x =+′在()0,+∞上为增函数.欲证明()()()()1212f x f x f x f x x x x x --<--,从图像分析可先证()()()()()1212f x f x f x f x f x x x x x --<<--′, 先证明()()()11ln 1f x f x f x x x x -<=+-′,10x x <<,即证：()()()()11ln 10f x f x x x x ---+<设()()()()()11ln 1F x f x f x x x x =---+,120x x x <<<,()()()()()111ln 1ln 1ln 1110x x x xF x f x x x x x x x -⎛⎫=-+-=+-+--=-< ⎪⎝⎭′′, 所以()()()()()11ln 1F x f x f x x x x =---+在()12,x x 内为减函数,所以()()10F x F x <=,故()()11ln 1f x f x x x x -<+-对于()12,x x x ∀∈成立,欲证()()22ln 1f x f x x x x -+<-即证：()()()()22ln 10f x f x x x x ---+<,令()()()()()22ln 1G x f x f x x x x =---+,120x x x <<<()()()()()222ln 1ln 1ln 1110x x x xG x f x x x x x x x -⎛⎫=-+-=+-+--=-> ⎪⎝⎭′′, 所以()()()()()22ln 1G x f x f x x x x =---+在()12,x x 内为增函数,()()2G x G x <故()()22ln 1f x f x x x x -+<-成立.综上：对()12,x x x ∀∈,不等式()()()()1212f x f x f x f x x x x x --<--恒成立.15.【广东2017届高三上学期阶段测评】已知函数()2ln f x a x x x =+-,其中a R ∈. （Ⅰ）当0a >时,讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当18a ≥时,()f x 在()0 +∞，上为增函数, 当108a <<时,()f x 在1180 a ⎛-- ⎝⎭,118 a ⎫+-+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数, 在118118a a --+-⎝⎭，上为减函数.（Ⅱ）[)1 -+∞， 【解析】（Ⅰ）函数()2ln f x a x x x =+-的定义域为()0 +∞，, ()22'21a x x af x x x x-+=+-=, 设()22 18g x x x a a =-+∆=-，, （1）当18a ≥时,()0 0g x ∆≤≥，成立,故()'0f x ≥成立,()f x 在()0 +∞，上为增函数； （2）当108a <<时,0∆>,令()0g x =,得12118118 a ax x --+-==，显然220x x >>,当()10 x x ∈，时,()()0 '0g x f x >>，,()f x 为增函数, 当()12 x x x ∈，时,()()0 '0g x f x <<，,()f x 为减函数, 当()2 x x ∈+∞，时,()0g x >,()'0f x >,()f x 为增函数, 综上,当18a ≥时,()f x 在()0 +∞，上为增函数,当108a <<时,()f x 在0 ⎛ ⎝⎭, ⎫+∞⎪⎪⎝⎭，上为增函数,在⎝⎭上为减函数.…………………………5分 （Ⅱ）显然()10f =,由1x ≥可知：当0a ≥时,2ln 0 0a x x x ≥-≥，,故()0f x ≥成立；当0a <时,180a ∆=->.令()0g x =,得12 x x ==，显然120 0x x <>，, 当()20 x x ∈，时,()()()0 '0 g x f x f x <<，，为减函数, 当()2 x x ∈+∞，时,()0g x >,()'0f x >,()f x 为减函数； 若10a -≤<,则21x ≤,当1x ≥时,()f x 为增函数,故()()10f x f ≥=成立；若1a <-,则21x >,由()f x 在()20 x ，上为减函数可知,当()21 x x ∈，时,()f x 为减函数, ()()10f x f <=与题意不符,舍去.综上,a 的取值范围是[)1 -+∞，. 16.【山东省枣庄市2017届高三上学期期末】已知函数()()()()22ln 1,2x x a f x x x g x a R x ++=+-=∈+. （1）求函数()f x 的单调区间及最值；（2）若对()()0,1x f x g x ∀>+>恒成立,求a 的取值范围；（3）求证:()()1111...ln 135721n n N n *++++<+∈+.【答案】(1) 增区间为()1,0-,减区间为()0,+∞,最大值为0,无最小值；(2) [)2,+∞；(3)见解析．【解析】(1)()f x 的定义域为()()()()11,,'1.'010;'0011x f x f x x f x x x x-+∞=-=->⇔-<<<⇔>++, 所以函数()f x 的增区间为()1,0-,减区间为()0,+∞,()()max 00f x f ==,无最小值.（3）又（2）知,当2,0a x =>时,()2ln 112x x ++>+,即()()ln 12x x x +>*+. 在()*式中,令()1x k N k *=∈,得11ln 12k k k k+>+,即11ln 21k k k +>+, 依次令1,2,3,...k n =,得21314111ln ,ln ,ln ,...,ln 13253721n n n +>>>>+. 将这n 个式子左右两边分别相加,得()1111ln 1...35721n n +>+++++. 17.【山西大学附属中学2017级上学期11月模块诊断】（本小题满分12分）已知函数x x f ln )(=,0,21)(2≠+=a bx ax x g ．学-科网 （Ⅰ）若2=b ,且)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间,求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,,证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.【答案】（I ）（－1,0）∪（0,+∞）（II ）详见解析方法二 分离参数,11112122-≥--=->）（xx x a ,a 的取值范围为（－1,0）∪（0,+∞）. （II ） 设点P 、Q 的坐标分别是（x1, y1）,（x2, y2）,0<x1<x2.则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=C1在点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= C2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线平行,则k1=k2. 即b x x a x x ++=+2)(22121,则)2()2)()(2)(21212221221222112bx x a bx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-（ =.ln ln 1212x x y y -=-所以.1)1(2ln 121212x x x x x x +-=设,12x x t =则.1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令.1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r 则.)1()1()1(41)(222+-=+-='t t t t t t r 因为1>t 时,0)(>'t r ,所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则tt t +->1)1(2ln . 这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线不平行.五、迁移运用1.。
_恒成立_恰成立_能成立_之辨析
解
得
ｘ
＝－
ｂ ａ
．
综上所述，则ｂ＝３，ａ ＝±４．
例 ２
求使函数ｙ
＝
ｘ２ ＋ａｘ －２ ｘ２ －ｘ＋１
的
值
域
为
（－ ∞，２）的ａ 的取值范围．
解 （恒成立法）由ｘｘ２２＋－ａｘｘ＋－１２＜２，∵ｘ２－ｘ ＋１＞０，∴ｘ２ ＋ａｘ －２＜２（ｘ２ －ｘ＋１），即ｘ２ － （ａ＋２）ｘ＋４＞０对任意ｘ ∈ Ｒ恒成立．故Δ ＝ （ａ ＋２）２ －４×１×４＜０，解得 －６＜ａ ＜２．
区间（－ ∞，１］上是减函数，求实数ａ 的取值范围． （２）已知函数ｙ＝３ｘ２ ＋２（ａ－１）ｘ＋ｂ的减区
间是（－ ∞，１］，求实数ａ 的取值范围． ３．（１）已知集合Ａ ＝ ｛ｘ ｘ２＋ａｘ＋１２ｂ＝０｝和
Ｂ ＝ ｛ｘ ｘ２－ａｘ＋ｂ＝０｝，Ｕ ＝Ｒ．是否存在实数ａ， ｂ 满足（瓓ＵＡ）∩Ｂ ＝ ｛２｝，Ａ ∩ （瓓ＵＢ）＝ ｛４｝，若 存 在 ，求 出 实 数ａ，ｂ 的 值 ；若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ．
＋３）
＝
８ｘ２ －８ｘ－６ （２ｘ－１）２
＝
２（２ｘ＋１）（２ｘ－３）， （２ｘ－１）２
则
函
数
ｇ（ｘ）＝
４ｘ２ ＋３ ２ｘ－１
在
［１，３２
］上
单
调
递
减
，在
［３ ２
，２］上
单
调
递
增
．而
ｇ（１）＝
７，ｇ（２）＝
１９，故 ３
函
数
ｇ（ｘ）＝
４ｘ２ ＋３，ｘ ２ｘ－１
∈
［１，２］的 最 大 值
为 ７，所 以 ４ｍ
＜ ７，解 得
不等式恒成立 能成立 恰成立问题分析
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 的取值范围。
分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 的最小值解决，即0)(min >x f 。
思路（2）通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<。
思路（3）通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=的上方。
小结：不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔的下界大于A ； （2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔的上界小于B 。
例已知()22x x af x x++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 的取值范围。
解：等价于()220x x x a ϕ=++≥对任意[)1,x ∈+∞恒 成立,又等价于1x ≥时,()min 0x ϕ≥成立.由于()()211x x a ϕ=++-在[)1,+∞上为增函数,则()()min 13x a ϕϕ==+,所以303a a +≥⇒≥- 2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；（2）求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；（3）解不等式()()max g f x λ≥(或()()min g f x λ≤)，得λ的取值范围。
例已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析研究
不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析一、不等式恒成立问题问题引入：已知不等式0122>+-ax x 对]2,1[∈x 恒成立，其中0>a ，求实数a 地取值范围. 分析：思路（1）通过化归最值，直接求函数12)(2+-=ax x x f 地最小值解决，即0)(min >x f .思路（2）通过分离变量，转化到)1(21212x x x x a +=+<解决，即min 2)21(xx a +<. 思路（3）通过数形结合，化归到ax x 212>+作图解决，即12+=x y 图像在ax y 2=地上方. 小结：不等式恒成立问题地处理方法 1、转换求函数地最值：（1）若不等式()A f x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()min A f x f x <⇔地下界大于A ； （2）若不等式()B f x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()()max B f x f x >⇔地上界小于B.例已知()22x x af x x++=对任意[)()1,,0x f x ∈+∞≥恒成立，试求实数a 地取值范围.解：等价于()220x x x a ϕ=++≥对任意[)1,x ∈+∞恒 成立,又等价于1x ≥时,()min0x ϕ≥成立.由于()()211x x a ϕ=++-在[)1,+∞上为增函数,则()()min 13x a ϕϕ==+,所以303a a +≥⇒≥-2、分离参数法（1）将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立地形式； （2）求()f x 在x D ∈上地最大（或最小）值； （3）解不等式()()maxg f x λ≥ (或()()ming f x λ≤) ，得λ地取值范围.例已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 地取值范围. 解： 将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立.令xx x x g 24)(-=，则min )(x g a < 由144)(2-=-=xxx x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数，故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 地取值范围为)0,(-∞.注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决.例已知二次函数x ax x f +=2)(，若[]1,0∈x 时，恒有1)(≤x f ，求a 地取值范围.解： 1)(≤x f ，∴112≤+≤-x ax ， 即x ax x -≤≤--112（1）当0=x 时，不等式101≤⨯≤-a 显然成立，∴R a ∈ （2）当10≤<x 时，由x ax x -≤≤--112得xx a x x 111122-≤≤--041)211(1122≥--=-x x x ，0)11(min 2=-x x ，0≤∴a ． 又 241)211(1122-≤++-=--x x x ，2)11(max 2-=--x x，2-≥∴a ． 02≤≤-∴a综上得，a 地取值范围为20a -≤≤.3、数形结合法（1）若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；（2）若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方.例设x x x f 4)(2--=, a x x g -+=134)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 地取值范围. 分析：在同一直角坐标系中作出)(x f 及)(x g 地图象如图所示，)(x f 地图象是半圆)0(4)2(22≥=++y y x)(x g 地图象是平行地直线系03334=-+-a y x .要使)()(x g x f ≤恒成立，则圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 地距离满足 25338≥-+-=ad解得355≥-≤a a 或（舍去)例 当)21,0(∈x 时，不等式x x a log 2<恒成立，求a 地取值范围．分析：注意到函数2)(x x f =，x x g a log )(=都是我们熟悉地函数，运用数形结合思想，可知要使对一切)21,0(∈x ，)()(x g x f <恒成立，只要在)21,0(内，x x g a log )(=地图象在2)(x x f =图象地上方即可．显然10<<a ，再运用函数思想将不等式转化为函数地最值问题，即)21()21(g f ≥．解：设2)(x x f =，x x g a log )(=，则要使对一切)21,0(∈x ，)()(x g x f <恒成立，由图象可知10<<a ，并且)21()21(g f ≥，故有4121log ≥a ，161≥∴a ， 又 10<<a 1161<≤∴a点评：通过上述地等价转化，使恒成立地解决得到了简化，其中也包含着函数思想和数形结合思想地综合运用. 此外，从图象上直观得到10<<a 后还需考查区间)21,0(右端点21=x 处地函数值地大小.4、变换主元法例对于满足40≤≤p 地一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求x 地取值范围.分析：习惯上把x 当作自变量，记函数p x p x y -+-+=3)4(2，于是问题转化为：当[]4,0∈p 时，0>y 恒成立，求x 地取值范围．解决这个等价地问题需要应用二次函数以及二次方程地区间根原理，可想而知，这是相当复杂地.解：设函数)34()1()(2+-+-=x x p x p f ，显然1≠x ，则)(p f 是p 地一次函数，要使0)(>p f 恒成立，当且仅当0)0(>f ，且0)4(>f 时，解得x 地取值范围是),3()1,(+∞⋃--∞.点评：本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，把它化归为关于p 地一次函数，利用一次函数地单调性求解，解题地关键是转换变量角色.例对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 地取值范围.分析：题中地不等式是关于x 地一元二次不等式，但若把a 看成主元，则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立地问题.解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ，则原问题转化为0)(>a f 恒成立（]1,1[-∈a ）.当2=x 时，可得0)(=a f ，不合题意.当2≠x 时，应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或.故x 地取值范围为),3()1,(+∞-∞ .注：一般地，一次函数)0()(≠+=k b kx x f 在],[βα上恒有0)(>x f 地充要条件为⎩⎨⎧>>0)(0)(βαf f .例设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 地取值范围. 分析：解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质还是通过函数求最值解决.方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x x ab +-≤或x b x a )10(2-+-≤； 方法3：变更主元，0101)(≤-++⋅=b x a x a ϕ，]2,21[∈a简解：对于方法3：变更主元，原函数可以看成是关于a 地函数0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，只需0)(max ≤a ϕ即可，因为01>x ，所以当2=a 时)(a ϕ有最大值0102)(max ≤-++=b x x a ϕ在]1,41[∈x 恒成立，只需0)102(max ≤-++b x x .当41=x 时，010418)102(max ≤-++=-++b b x x ，得b 地取值范围是47≤b . 练习题1、设()222f x x ax =-+,当x ∈[-1,+∞]时，都有()f x a ≥恒成立，求a 地取值范围. 解：a 地取值范围为[-3，1]2、R 上地函数()f x 既是奇函数，又是减函数，且当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->恒成立，求实数m 地取值范围.解：由()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->得到：()()2cos 2sin 22f m f m θθ+>---因为()f x 为奇函数，故有()()2cos 2sin 22f m f m θθ+>+恒成立，又因为()f x 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.设sin t θ=，则22210t mt m -++>对于()0,1t ∈恒成立，2设函数()2221g t t mt m =-++,对称轴为m t =.①当0t m =<时，()0210g m =+≥， 即12m ≥-，又0m <∴102m -≤< (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时,()012442<+-=∆m m m ,即0122<--m m ,∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立. ∴1>m （如图3） 故由①②③可知：12m ≥-. 3、若不等式10ax -<对[]1,2x ∈恒成立，实数a 地取值范围是.12a <4、若对于任意1a ≤，不等式()24420x a x a +-+->恒成立，求实数x 地取值范围 解：()(),13,x ∈-∞+∞5、当()1,2x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 地取值范围__________解析：当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x+<-.∴5m ≤-. 6、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 地取值范围是________ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即11a -≤≤.二、不等式能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立，则等价于在区间D 上()maxf x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立，则等价于在区间D 上地()min f x B <例已知不等式43x x a -+-<在实数集R 上地解集不是空集，求实数a 地取值范围______解：1a > 例若关于x 地不等式23x ax a --≤-地解集不是空集，则实数a 地取值范围是__________axy x解：设()2f x x ax a =--.则关于x 地不等式23x ax a --≤-地解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-,即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥ 三、不等式恰好成立问题例不等式2ax bx 10++>地解集为1|13x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则a b ⋅=__________：6例已知，()22x x af x x ++=当[)()1,,x f x ∈+∞地值域是[)0,+∞，试求实数a 地值.解：是一个恰成立问题,这相当于()220x x af x x++=≥地解集是[)1,x ∈+∞. 当0a ≥时，由于1x ≥时，()2223x x a af x x x x ++==++≥，与其值域是[)0,+∞矛盾， 当0a <时，()222x x a af x x x x++==++是[)1,+∞上地增函数， 所以()f x 地最小值为 ()1f ，令()1303f a a =+=⇒=-不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习1、若不等式()()()211310m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围解：13,11⎛⎫-∞-⎪⎝⎭2、已知不等式22622kx kx x x ++>++对任意地x R ∈恒成立，求实数k 地取值范围 解：[)2,103、已知函数2()3f x x ax a =++-，（1）在R 上()0f x ≥恒成立，求a 地取值范围.（2）若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 地取值范围.（3）若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 地取值范围. 分析：（1）()y f x =地函数图像都在X 轴上方，即与X 轴没有交点. 略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤（2）22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上地最小值为()g a .①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在. ②当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤42a ∴-≤≤ ③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥- 又4a <-74a ∴-≤<-总上所述，72a -≤≤.（3）解法一：分析：题目中要证明a x f ≥)(在[]2,2-上恒成立，若把a 移到等号地左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0地问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a . 解法二：（利用根地分布情况知识） ⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a ∴不存在. ⑵当222a-≤-≤，即44a -≤≤时，2()()324a a g a f a ==--+≥，222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a⑶当22a->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，5a ∴≥-54a ∴-≤<- 综上所述2225-≤≤-a .说明：此题也可以利用参数分离法.4、对于满足2p ≤地所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立地x 地取值范围.解：不等式即()21210x p x x -+-+>,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上恒大于0，故有：()()222043031112010f x x x x x x f x ->⎧⎧-+>><⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨><->->⎪⎩⎪⎩⎩或或1x ⇒<-或3x >5、已知不等式220x x a -+>对任意实数[]2,3x ∈恒成立，求实数a 地取值范围.答案：0>a6、对任意地[]2,2a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-地值总是正数，求x 地范围解：()(),04,-∞+∞7、 若不等式2log 0m x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则实数m 地取值范围.答案：1,116⎡⎫⎪⎢⎣⎭8、不等式ax ≤[]0,3x ∈内恒成立，求实数a解：画出两个凼数y ax =和y =[]0,3x ∈上地图象如图知当3x =时y =a =当3a ≤，[]0,3x ∈时总有ax ≤3a ≤. 9、不等式220kx k +-<有解，求k 地取值范围.解：不等式220kx k +-<有解()212k x +<有解221k x ⇔<+有解2max221k x ⎛⎫⇔<= ⎪+⎝⎭，所以(),2k ∈-∞. 10、①对一切实数x ，不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 地范围.②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 地范围. ③若方程32x x a --+=有解，求实数a 地范围.解：①5a <-②5a <③[]5,5a ∈-11、若对任意地实数x ，2sin 2cos 220x k x k +--<恒成立，求k 地取值范围. 分析：这是有关三角函数地二次问题，运用到三角函数地有界性. 解法一：原不等式化为2cos 2cos 210x k x k -++>令cos t x =，则1t ≤，即()222()22121f t t kt k t k k k =-++=--++在[]1,1t ∈-上恒大于0.（1）若1k <-，要使()0f t >，即(1)0f ->，12k >-k ∴不存在 （2）若11k -≤≤，若使()0f t >，即2()210f k k k =-++>11k ∴<<+11k <≤ （3）若1k >，要使()0f t >，即(1)0f >，1k > 由（1）、（2）、（3）可知，1k ∴>-解法二：2()2210f t t kt k =-++>，在[]1,1-上恒成立.⑴221011k k k ∆=--<∴-<<+⑵2210(1)0(1)011k k f f k k ⎧∆=--≥⎪>⎪⎨-<⎪⎪><-⎩或1k ∴≥由⑴，⑵可知，1k >-12、（1）若关于x 地不等式02>--a ax x 地解集为),(+∞-∞，求实数a 地取值范围； （2）若关于x 地不等式32-≤--a ax x 地解集不是空集，求实数a 地取值范围.解：（1）设()a ax x x f --=2.则关于x 地不等式02>--a ax x 地解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ，即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a （2）设()a ax x x f --=2.则关于x 地不等式32-≤--a ax x 地解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ，即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥.13、设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >地解集为A ， {}|13,B x x AB =<<≠∅，求实数a 地取值范围.分析：此题等价于二次不等式0222>--a x ax 在()1,3x ∈上有解（能成立问题）.解：(1) 当0a <时,因为()f x 地图象地对称轴10a<，则对()1,3x ∈，()1f 最大， ()()max 1220. 2.f x f a a a ==-->⇒<-(2) 当0a >时,()()max ,1,3f x x ∈在()1f 或()3f 实现， 由()()120,376f a f a =--<=-,则()637607f a a =->⇒> 于是，实数a 地取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭这个解法地关键是用函数思想指导，学会用函数和变量来思考.14、已知定义在区间[0,2]上地两个函数()f x 和()g x ，其中2()24f x x ax =-+（1a ≥），2()1x g x x =+．（1）求函数()y f x =地最小值()m a ；（2）若对任意1x 、2[0,2]x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 地取值范围．解：（1）由222()24()4f x x ax x a a =-+=-+-，得2412,()84 2.a a m a a a ⎧-<=⎨-⎩≤≥…6分（2）1()(1)21g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，1[1,3]x +∈，又()g x 在区间[0,2]上单调递增（证明略），故4()0,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．…9分由题设，得2min 1max ()()f x g x >，故212,443a a <⎧⎪⎨->⎪⎩≤或2,484,3a a ⎧⎪⎨->⎪⎩≥…12分 解得1a <≤为所求地范围．…14分15、已知函数地定义域为R ，对任意实数1x 、2x ，都满足)()()(2121x f x f x x f +=+，当0>x 时0)(>x f （1）判断函数)(x f 地奇偶性，单调性； （2）当20πθ≤≤时，0)cos 24()32(cos >-+-θθm m f f 恒成立，求实数m 地取值范围.16、已知函数()f x 是定义在[]1,1-上地奇函数，且(1)1f =，若[],1,1a b ∈-，0a b +≠，有()()0f a f b a b+>+， （1）证明()f x 在[]1,1-上地单调性；（2）若2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-恒成立，求m 地取值范围. 分析：第一问是利用定义来证明函数地单调性，第二问中出现了3个字母，最终求地是m 地范围，所以根据上式将m 当作变量，a 作为常量，而x 则根据函数地单调性求出()f x 地最大值即可.（1）简证：任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈-1212()()0f x f x x x +>-()()1212()()0x x f x f x ∴-+-> 又()f x 是奇函数()()1212()()0x x f x f x ∴-->()f x ∴在[]1,1-上单调递增.（2）解：2()21f x m am ≤-+对所有[]1,1x ∈-，[]1,1a ∈-恒成立，即2max 21m am f -+≥，max (1)1f f ==2221120m am m am ∴-+≥∴-≥ 即2()20g a am m =-+≥在[]1,1-上恒成立.(1)120(1)120g a g a -=+≥⎧∴⎨=-≥⎩1212a a ⎧≤-⎪⎪∴⎨⎪≤⎪⎩1122a ∴-≤≤.高考真题全接触：（2009年，理11）当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 地取值范围是__________(]1k ，∞-∈ （2006理，12）三个同学对问题“关于x 地不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 地取值范围”提出各自地解题思路．甲说：“只须不等式左边地最小值不小于右边地最大值”乙说：“把不等式变形为左边含变量x 地函数，右边仅含常数，求函数地最值”丙说：“把不等式两边看成关于x 地函数，作出函数图像”参考上述解题思路，你认为他们所讨论地问题地正确结论，则a 地取值范围为______________解析：关键在于对甲，乙，丙地解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想地反映设()()232255,f x x x x g x ax =++-=.甲地解题思路，实际上是针对两个函数地，即把已知不等式地两边看作两个函数，设()()232255,f x x x x g x ax =++-=其解法相当于解下面地问题：对于[][]121,12,1,12x x ∈∈,若()()12f x g x ≥恒成立,求a 地取值范围.所以，甲地解题思路与题目[]1,12x ∈,()()f x g x ≥恒成立,求a 地取值范围地要求不一致.因而, 甲地解题思路不能解决本题.按照丙地解题思路需作出函数()232255f x x x x =++-地图象和()g x ax =地图象.然而，函数()f x 地图象并不容易作出.由乙地解题思路，本题化为()f x a x ≥在[]1,12x ∈上恒成立，等价于[]1,12x ∈时，()minf x a x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦成立 由()255f x x x x x x =++-在[]51,12x =∈时，有最小值10，于是10a ≤.（2008理，19）已知函数||1()22x x f x =-. (1)若()2f x =，求x 地值.(2)若2(2)()0t f t mf t +≥对于[1,2]t ∈恒成立，求实数m 地取值范围.【出题背景：本题考查函数地概念、简单指数方程地解法及含字母系数地不等式地解法.】解：（1）当0x <时，()0f x =；当0x ≥时，1()22x x f x =-. 由条件可知1222x x -=，即222210x x -⋅-= 解得21x =±22log (1x x >=Q Q 0,（2）当[1,2]t ∈时，22112(2)(2)022t t t t t m -+-≥，即24(21)(21)t t m -≥--. 2210t ->Q ，2(21)t m ∴≥-+.[1,2]t ∈Q ，2(21)[17,5]t ∴-+∈--，故m 地取值范围是[5,)-+∞.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有 This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.xHAQX 。
《恒成立问题初探》word版
恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用恒成立,也就是一个等式或不等式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:02≥x ，在实数范围既x ∈R 内恒成立.能成立,也就是一个等式或不等式在某一个给定的范围内存在值使之成立,使之成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使之不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立.恰成立,也就是一个等式或不等式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能成立.例如:2(x 1)0-=，在x ﹦1时恰成立.可以说恰成立是恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了由左图：20200)1(0>⎩⎨⎧⇒>->⎩⎨⎧⇒>>a a a f a ，或由右图：φ⇒⎩⎨⎧>-<⇒⎩⎨⎧><02200)2(0a a f a .综上：2a >.更进一步思考：2022020)2(0)1(>⇒⎩⎨⎧>->-⇒⎩⎨⎧>>a a a f f总结：],[n m x ∈时，0>+b ax 恒成立的条件是⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f .不管法一还是法二都与求这一区间最大或是最小值有关.方法二中更进一步这种方法只是作为一次函数可行.二次函数型：例1：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围. 解析：二次项系数含有参数m ，所以要讨论m-1是否是0. （1）当m-1=0时，原不等式化为2>0恒成立，满足题意；11212x x=m 都成立，求x 即将原不等式化为：.;（A ）(1，2) （B ）(22，1) （C ）(0，22) （D ）(2，2) 2.已知关于x 的不等式022>+-a ax x 在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________. 3（1）已知函数()2x af x -=（a 为常数），若)(x f 在区间[0,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是 .(2)若函数()||f x x a =-的单调递增区间是[0,)+∞，则a =________. 3、设124()lg,3xxa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围.或者方法二：22≤≤-m 时，)1(122->-x m x 恒成立，可化为22≤≤-m 时， 0122<+--m x mx 恒成立.可分情况讨论但较为麻烦.0=m 则，012>-x ，则21>x ；20≤<m 时， 0111)1(01120122222<-+--⇒<+--⇒<+--mm m x m x m x m x mx方法三：分情况分离变量：012>-x ，112--<x x m 在22≤≤-m 恒成立；或 012<-x ，112-->x x m 在22≤≤-m 恒成立.即11>-<x x 或时，⇒+<11x m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。
易错点6混淆“恒成立”与“能成立”
易错点6 混淆“恒成立”与“能成立”1.“恒成立问题”:若不等式()f x A >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()min f x A >；若不等式()f x B <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上()max f x B <．2.“能成立问题”：若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立，则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立，则等价于在区间D 上()min f x B <．3.易错点：解题是分不清楚题目条件中的阐述，将两个不同的说法混淆，造成错误.典例1 （2024河北沧州10月联考）已知函数()2ln f x x ax x =--，定义域为1,e e éùêúëû，在其定义域中任取12,x x （其中)12x x >都满足()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1-¥B ．[)1,+¥C ．(],e -¥D ．[)e,+¥审题：根据题中函数()2ln f x x ax x =--，满足()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，对此化简整理得()()212121f x f x x x x x +<+，从而构造新函数是关键，对其利用导数求解即可.解析： 由()()()12211212x f x x f x x x x x -<-，且120x x >>，可得()()212121f x f x x x x x +<+．【补盲点】将已知等式中的变量“归类”，结合转化的形式构造函数令()()f x h x x x=+，则()()12h x h x>恒成立，所以函数()h x 在1,e e éùêúëû上单调递增，则()21ln 10x h x a x -=-+³¢在1,e e x éùÎêúëû时恒成立，即21ln 1x a x -+³在1,e e x éùÎêúëû时恒成立．【破障碍】此处为恒成立问题，从而2min1ln 1x a x -æö+³ç÷èø设函数()21ln 11e e x g x x x -æö=+££ç÷èø，则()332ln 0xg x x ¢-+=<，所以()min ()e 1g x g ==，故1a £，即实数a 的取值范围为(],1-¥．故选A ．【补盲点】利用导数求解函数或不等式恒成立问题的策略：①构造函数法，令()()()F x f x g x =-，利用导数确定函数()F x 的单调性与最值，则要使()()f x g x ³或()()f x g x £恒成立，只需min ()0F x ³或max ()0F x £即可；②分离参数法，转化为()a x j ³或()a x j £恒成立，即max ()a x j ³或min ()a x j £，只需利用导数确定函数()x j 的单调性与最值即可典例2 已知函数()()2ln ()f x x x b b =+-ÎR 在[]1,2上存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ）A ．3,2éö+¥÷êëø B ．9,4éö+¥÷êëøC ．3,2æö+¥ç÷èøD ．9,4æö+¥ç÷èø审题：根据条件：函数()()2ln ()f x x x b b =+-ÎR 在[]1,2上存在单调递减区间，可转化为导数小于0有解，对新函数()[]1,1,22g x x x x=+Î再次求导数，求出最小值即可.解析：因为函数()f x 在[]1,2上存在单调递减区间，所以()0f x ¢<在[]1,2上有解，()()11222f x x b x b x x¢=+-=+-，【避陷阱】“有解”问题即“能成立”问题，即在[]1,2上min ()0f x ¢<，注意与“恒成立”区分，此处若为恒成立，则在[]1,2上max ()0f x ¢<所以[]min1,1,22b x x x æö>+Îç÷èø．令()[]1,1,22g x x x x=+Î，则()2112g x x ¢=-+，显然()0g x ¢>，则函数()g x 单调递增，所以()min 3()12g x g ==，即32b >．故选C ．典例3 （2024湖北武汉9月模拟）已知函数()1112e 1x f x -=++，若不等式()()1ln 120f ax f x +++-³对任意的()0,x Î+¥恒成立，则实数a 的取值范围是______．审题：根据条件函数()1112e 1x f x -=++，将其整理为：()()11ln 11f ax f x +-³-+-éùëû，以便构造新函数，联想到函数()()()11112e 1xg x f x x =+-=-+Î+R 是个奇函数，整体转化即可求解.解析：令()()()11112e 1xg x f x x =+-=-+Î+R ，则()112e 1x g x --=-++，()()1111e 1102e 12e 1e 1x x x x g x g x -+-+=-+-+=-+=+++，()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，【补盲点】若未熟练掌握与指数型函数的奇偶性相关的结论，也可从题干条件()()1ln 120f ax f x +++-³入手，将其转化为()()11ln 11f ax f x +-³-+-éùëû，进而联想函数图象的对称性，构造函数又()()2e 0e1xxg x -=<+¢，所以()g x 在R 上单调递减．由()()1ln 120f ax f x +++-³，得()()ln 0g ax g x +³，即()()ln g ax g x ³-，所以ln £-ax x ，所以ln xa x£-在()0,x Î+¥时恒成立．【破障碍】“恒成立”问题，故需minln x a x æö£-ç÷èø，而非max ln x a x æö£-ç÷èø令()ln x h x x=-，则()2ln 1x h x x =¢-，令()0h x ¢<，得0e x <<，令()0h x ¢>，得e x >，所以函数()h x 在()0,e 上单调递减，在()e,+¥上单调递增，所以()()e 1e ³=-h x h ，所以1a e£-，即实数a 的取值范围是1,e æù-¥-çúèû．（2023·福建厦门·二模）1．“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2023·辽宁鞍山·二模）2．已知当0x >时，不等式：2160x mx -+>恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()8,8-B ．(],8¥-C ．(),8¥-D ．()8,+¥（23-24高三上·山东淄博·阶段练习）3．若命题“13a $-££，()22130ax a x a --+-<”为假命题，则实数x 的取值范围为（ ）A ．{}14x x -££B ．503x x ìü££íýîþC ．51043x x x ìü-££££íýîþ或D ．51043x x x ìü-£<<£íýîþ或（22-23高三上·河南·期末）4．已知0a >，b ÎR ，若0x >时，关于x 的不等式()()2250ax x bx -+-³恒成立，则4b a+的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）5．若存在实数x ，使得()220mx m x m --+<成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(),2-¥B ．(]13,0,32¥æö-Èç÷èøC ．2,3æö-¥ç÷èøD ．(),1-¥（2023·福建宁德·模拟预测）6．命题“2[1,2],x x a $Σ”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．1a ³B ．4a ³C ．2a ³-D ．4a £（2023·河南·模拟预测）7．已知命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),2-¥-B ．(),4-¥C ．()2,-+¥D ．()4,+¥（2023·宁夏中卫·二模）8．已知点(1,4)A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，若关于t 的不等式253a b t t +³++恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[]6,1-B ．[]1,6-C ．(][),16,-¥-È+¥D ．(][),61,-¥-È+¥（2024·新疆乌鲁木齐·一模）9．已知函数()|1||2|f x x x =-++.（1）求不等式()5f x £的解集；（2）若不等式()21f x x ax ³-+的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.（22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习）10．已知函数()22221f x a x ax a =+-+.(1)当2a =时，求()0f x £的解集；(2)是否存在实数x ，使得不等式222210a x ax a +-+³对满足[]2,2a Î-的所有a 恒成立？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由.参考答案：1．A【分析】由R x "Î，210bx bx -+>成立求出b 的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】由R x "Î，210bx bx -+>成立，则当0b =时，10>恒成立，即0b =，当0b ¹时，2040b b b >ìí-<î，解得04b <<，因此R x "Î，210bx bx -+>成立时，04b £<，因为(0,4) [0,4)，所以“()0,4b Δ是“R x "Î，210bx bx -+>成立”的充分不必要条件.故选：A 2．C【分析】先由2160x mx -+>得16m x x<+，由基本不等式得168x x +³，故8m <.【详解】当0x >时，由2160x mx -+>得16m x x<+，因0x >，故168x x +³=，当且仅当16x x =即4x =时等号成立，因当0x >时，16m x x<+恒成立，得8m <，故选：C 3．C【分析】由题意可得：命题“()213,2130a ax a x a "-££--+-³”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解.【详解】由题意可得：命题“()213,2130a ax a x a "-££--+-³”为真命题，即()()222132130ax a x a x x a x --+-=--++³对[]1,3a Î-恒成立，则()()22213032130x x x x x x ì---++³ïí--++³ïî，解得10x -≤≤或543x ££，即实数x 的取值范围为51043x x x ìü-££££íýîþ或.故选：C.4．B【分析】根据题意设2y ax =-，25y x bx =+-，由一次函数以及不等式()2(2)50ax x bx -+-³分析得2x a=时，250y x bx =+-=，变形后代入4b a +，然后利用基本不等式求解.【详解】设2y ax =-（0x >），25y x bx =+-（0x >），因为0a >，所以当20x a<<时，20y ax =-<；当2x a=时，20y ax =-=；当2x a>时，20y ax =->；由不等式()2(2)50ax x bx -+-³恒成立，得：22050ax x bx -£ìí+-£î或22050ax x bx -³ìí+-³î，即当20x a<£时，250x bx +-£恒成立，当2x a³时，250x bx +-³恒成立，所以当2x a =时，250y x bx =+-=，则20425b a a+-=，即225a b a =-，则当0a >时，45245222a a b a a a a +=-+=+³=当且仅当522a a =，即a =所以4b a+的最小值为故选：B.5．C【分析】分别在0m =、0m >和0m <的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果.【详解】①当0m =时，不等式化为20x <，解得：0x <，符合题意；②当0m >时，()22y mx m x m =--+为开口方向向上的二次函数，只需()222243440m m m m D =--=--+>，即203m <<；③当0m <时，()22y mx m x m =--+为开口方向向下的二次函数，则必存在实数x ，使得()220mx m x m --+<成立；综上所述：实数m 的取值范围为2,3æö-¥ç÷èø.故选：C.6．B【分析】根据能成立问题求a 的取值范围，结合充分不必要条件理解判断.【详解】∵2[1,2],x x a $Σ，则()2minx a £，即1a ³，∴a 的取值范围[)1,+¥由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为[)1,+¥的真子集，结合选项可知B 对应的集合为[)4,+¥为[)1,+¥的真子集，其它都不符合，∴符合的只有B ，故选：B.7．C【分析】由题知[]01,1x Î-时，()min2003a x x ->，再根据二次函数求最值即可得答案.【详解】解：因为命题“[]01,1x $Î-，20030x x a -++>”为真命题，所以，命题“[]01,1x $Î-，2003a x x >-”为真命题，所以，[]01,1x Î-时，()min2003a x x ->，因为，2239324y x x x æö=-=--ç÷èø，所以，当[]1,1x Î-时，min 2y =-，当且仅当1x =时取得等号.所以，[]01,1x Î-时，()200min32a x x ->=-，即实数a 的取值范围是()2,-+¥故选：C 8．A【分析】将点代入直线方程，再利用基本不等式求得a b +的最小值，从而将问题转化2953t t ³++，解之即可.【详解】因为点(1,4)A 在直线()10,0x ya b a b+=>>上，所以141a b+=，故()144559b aa b a b æö+++=++³+=ç÷èøa b =a b ，当且仅当4b a a b =且141a b+=，即3,6a b ==时等号成立，因为关于t 的不等式253a b t t +³++恒成立，所以2953t t ³++，解得61t -££，所以[]61t ,Î-.故选：A9．(1)[]3,2-；(2)[]1,1-.【解析】（1）分类讨论，求解不等式即可；（2）将问题转化为二次函数在区间上恒成立的问题，列出不等式组即可求得.【详解】（1）当2x £-时，()5f x £等价于215x --£，解得[]3,2x Î--；当21x -<<时，()5f x £等价于35£，恒成立，解得()2,1x Î-；当1x ³时，()5f x £等价于215x +£，解得[]1,2x Î；综上所述，不等式的解集为[]3,2-.（2）不等式()21f x x ax ³-+的解集包含[]1,1-，等价于()21f x x ax ³-+在区间[]1,1-上恒成立，也等价于220x ax --£在区间[]1,1-恒成立.则只需()22g x x ax =--满足：()10g -£且()10g £即可.即120,120a a +-£--£，解得[]1,1a Î-.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，以及二次函数在区间上恒成立的问题，属综合基础题.10．(1)31,22éù-êúëû(2)不存在，理由见解析【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）关于a 的不等式恒成立问题转化为关于a 的函数最值问题求解，按系数符号与轴与区间的关系分类讨论求解即可.【详解】（1）2a =时，函数()2443f x x x =+-，不等式()0f x £即为24430x x +-£，即()()23210x x +-£，解得3122x -££，∴不等式()0f x £的解集为31,22éù-êúëû.（2）设()()2222221121g a a x ax a x a xa =+-+=-++，[]2,2a Î-，根据题意知，()0g a ³在[]22-,上恒成立，①当210x -=时，解得1x =±，若1x =，则()21g a a =+在[]22-,上单调递增，则()min ()230g a g =-=-<，不符合题意；若=1x -，则()21g a a =-+在[]22-,上单调递减，则()min ()230g a g ==-<，不符合题意；②当210x -<，即11x -<<时，()g a 的图像为开口向下的抛物线，要使()0g a ³在[]22-,上恒成立，需()()2020g g ì-³ïí³ïî，即2244304430x x x x ì--³í+-³î，解得32x £-或32x ³，又∵11x -<<，∴此时无解；③当210x ->，即1x <-或1x >时，()g a 的图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为21x a x =-，（i ）当221x x £--，即1x <£时，()g a 在[]22-,上单调递增，∴()2min ()24430g a g x x =-=--³，解得12x £-或32x ³，∵32>112-<，∴此时无解；（ii ）当2221x x -<<-，即x x >()g a 在22,1x x éù-êú-ëû上单调递减，在2,21x x éùêú-ëû上单调递增，∴min 221()011x g a g x xæö==³ç÷--èø，此时无解；（iii ）当221x x ³-1x £<-时，()g a 在[]22-,上单调递减，∴()2min ()24430g a g x x ==+-³，解得32x £-或12x ³，∵32-<，112>-，∴此时无解；综上，不存在符合题意的实数x .。
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（收 稿 日 期 ：２０１１－１０－１６）
围内恰好是成立的，即 这 个 范 围 不 能 扩 大 或 缩 小，
否 则 ，不 等 式 （或 性 质 等 ）不 成 立 ．
练习题组：
１．（１）已知函数ｆ（ｘ）＝ 槡ａｘ ＋１（ａ为常数）
在区间（－ ∞，１］上有意义，求实数ａ 的取值范围．
（２）已知函数ｆ（ｘ）＝ 槡ａｘ ＋１（ａ为常数）的
定义域为（－ ∞，１］，求实数ａ 的取值范围． ２．（１）已知函数ｙ ＝３ｘ２ ＋２（ａ－１）ｘ＋ｂ在
·辅教导学· 数学通讯———２０１２年第１、２期（上半月）
５５
≤－４＋２ 槡３．
练
习５
已
知
函
数ｆ（ｘ）＝ｘ３
－
１ａｘ２ ２
＋３ｘ－
１
在［１ ２
，＋
∞
）是
增函
数
，求
实
数ａ
的
取值
范
围．
答案 ａ ∈ （－ ∞，６］． （收 稿 日 期 ：２０１１－１０－１２）
“恒成立”、“恰成立”“、能成立”之辨析
由已知可得，－１，４是方程４ｙ２ －４ｂｙ －ａ２ ＝ ０的根，由韦达定理得ｂ＝３，ａ ＝±４．
当ｂ＝３，ａ＝±４时，令ｙ ＝０，即ａｘ＋ｂ＝０，
解
得
ｘ
＝－
ｂ ａ
．
综上所述，则ｂ＝３，ａ ＝±４．
例 ２
求使函数ｙ
＝
ｘ２ ＋ａｘ －２ ｘ２ －ｘ＋１
的
值
域
为
（－ ∞，２）的ａ 的取值范围．
解 （恒成立法）由ｘｘ２２＋－ａｘｘ＋－１２＜２，∵ｘ２－ｘ ＋１＞０，∴ｘ２ ＋ａｘ －２＜２（ｘ２ －ｘ＋１），即ｘ２ － （ａ＋２）ｘ＋４＞０对任意ｘ ∈ Ｒ恒成立．故Δ ＝ （ａ ＋２）２ －４×１×４＜０，解得 －６＜ａ ＜２．
类错误的发生．
例１
求
使
函
数ｙ
＝ｘａｘ２
＋ｂ的 ＋１
值
域
为
［－１，４］
的ａ，ｂ 的 值 ．
解 （判别式法）由ｙ＝ｘａｘ２ ＋＋１ｂ得ｙｘ２－ａｘ＋
ｙ－ｂ ＝ ０． 当ｙ ≠０时 ，关 于ｘ 的 方 程ｙｘ２ －ａｘ＋ｙ－ｂ＝
０有解，则Δ ＝ａ２ －４ｙ（ｙ－ｂ）≥０，即４ｙ２ －４ｂｙ－ ａ２ ≤０．
＋ｆ（ａ２ ＋ｃ
＋ｄ２
≠０）类
型
，都
能
用
判
别
式
法
求解，为什么要使用两种 不 同 解 法？那 么 以 上 两 题
方 法 互 换 ，结 果 又 当 如 何 呢 ？
例１另解 （恒成立法）由ｘａｘ２ ＋＋１ｂ≤４，得４ｘ２ －ａｘ ＋４－ｂ ≥０，对任意ｘ ∈ Ｒ 恒成立，则Δ１ ＝ ａ２ －１６（４－ｂ）≤０，即ｂ ≤－１ａ６２ ＋４．
区间（－ ∞，１］上是减函数，求实数ａ 的取值范围． （２）已知函数ｙ＝３ｘ２ ＋２（ａ－１）ｘ＋ｂ的减区
间是（－ ∞，１］，求实数ａ 的取值范围． ３．（１）已知集合Ａ ＝ ｛ｘ ｘ２＋ａｘ＋１２ｂ＝０｝和
Ｂ ＝ ｛ｘ ｘ２－ａｘ＋ｂ＝０｝，Ｕ ＝Ｒ．是否存在实数ａ， ｂ 满足（瓓ＵＡ）∩Ｂ ＝ ｛２｝，Ａ ∩ （瓓ＵＢ）＝ ｛４｝，若 存 在 ，求 出 实 数ａ，ｂ 的 值 ；若 不 存 在 ，请 说 明 理 由 ．
＜ ７，解 得
ｍ
＜
７ ４
．
故
ｍ
的
范围
为（－
∞
，７ ４
）．
恒 成 立 是 不 等 式 （或 性 质 等 ）在 某 一 给 定 的 范
围内总 是 成 立 的，能 成 立 是 不 等 式 （或 性 质 等）在
某一给定 的 范 围 内 存 在 值 （至 少 一 个 值 ）使 其 成
立，恰 成 立 是 不 等 式 （或 性 质 等）在 某 一 给 定 的 范
例２另解 （判别式法）由ｙ＝ｘｘ２２＋－ａｘｘ＋－１２得 （ｙ－１）ｘ２ － （ｙ＋ａ）ｘ＋ｙ＋２＝０．
当ｙ ≠１时，关于ｘ 的方程（ｙ－１）ｘ２ － （ｙ＋ ａ）ｘ ＋ｙ＋２ ＝ ０ 有 解 ，则
Δ ＝ （ｙ＋ａ）２ －４（ｙ－１）（ｙ＋２）≥０， 即３ｙ２ ＋ （４－２ａ）ｙ－ａ２ －８≤０．
由ｘａｘ２ ＋＋１ｂ ≥－１，得 －４（１＋ｂ）≤０，即ｂ
≥
ａ２ ４
－１．
烄ｂ ≤－１ａ６２ ＋４，
所
以烅
ｂ 烆
≥
ａ２ ４
表 －１，
示
图
１
中
两
个
抛
物
线
围成的区域．
图１
５６
数学通讯———２０１２年第１、２期（上半月） ·辅教导学·
所以ａ 的取值范围为（－６，２）．
以上是笔者的学生给 出 的 答 案，并 总 结 “在 函
数值域逆问题中，如果给 出 值 域 是 两 边 有 界 的，利
用判别式法；如果一边有 界 的，则 转 化 为 恒 成 立 问
题 求 解 ”． 实 际 上， 以 上 两 题 都 是 ｙ ＝
ｄｘ２ ａｘ２
＋ｅｘ ＋ｂｘ
解 得ａ－２－
槡（２－ａ）２ ＋３×
３
（ａ２
＋８）≤
ｙ
≤ ａ－２＋
槡（２－ａ）２ ＋３×
３
（ａ２
＋８）．
由题 意ａ－２＋
槡（２－ａ）２ ＋３×
３
（ａ２
＋８）＜
２， 解 得 － ６ ＜ ａ ＜ ２． 而 函 数 ｆ（ａ） ＝
ａ－２－
槡（２－ａ）２ ＋３×
３
（ａ２
＋８）是 （－６，２）上
的增函数，故ｆ（ａ）∈ （－２３２，－２），不符合题意． 所以符合条件的ａ 不存在． 结 果 完 全 不 一 样 ，原 因 何 在 ？
＋３）
＝
８ｘ２ －８ｘ－６ （２ｘ－１）２
＝
２（２ｘ＋１）（２ｘ－３）， （２ｘ－１）２
则
函
数
ｇ（ｘ）＝
４ｘ２ ＋３ ２ｘ－１
在
［１，３２
］上
单
调
递
减
，在
［３ ２
，２］上
单
调
递
增
．而
ｇ（１）＝
７，ｇ（２）＝
１９，故 ３
函
数
ｇ（ｘ）＝
４ｘ２ ＋３，ｘ ２ｘ－１
∈
［１，２］的 最 大 值
为 ７，所 以 ４ｍ
∞
，
２），说 明 函 数 值 的 集 合 恰 好 为 （－ ∞，２），而
ｘ２ ＋ａｘ －２ ｘ２ －ｘ＋１
＜
２，则
表
示
函
数ｙ
＝
ｘ２ ＋ａｘ －２ ｘ２ －ｘ＋１
的
值域为（－ ∞，２）的 子 集．显 然，学 生 混 淆 了 “恒 成
立 ”与 “恰 成 立 ”的 概 念 ．
例３ 函数ｆ（ｘ）＝４ｘ２－８ｍｘ＋４ｍ＋３，若存
函数ｙ ＝ｘａｘ２ ＋＋１ｂ 的值域为［－１，４］，表示ｙ ＝
ａｘ ｘ２
＋ｂ ＋１
在
定
义
域
Ｒ
上
所
对
应
的
函
数
值
的
集
合
恰
为
［－１，４］，而 －１≤ｘａｘ２ ＋＋１ｂ≤４表示ｙ ＝ｘａｘ２ ＋＋１ｂ在
定义域 Ｒ 上所对应的值域为［－１，４］的子集．
同
理
，函
数
ｙ
＝
ｘ２ ＋ａｘ －２ ｘ２ －ｘ＋１
的
值
域
为
（－
郑 良
（安 徽 省 灵 璧 第 一 中 学 ，２３４２００）
在解题中，经常会遇到“函数具有某种性质的
范围是 Ｄ”、“函数 在 范 围 Ｄ 上 具 有 某 种 性 质”等
问题，可归结为不等式的“恒 成 立”、“恰 成 立”、“能
成立”问题，但 一 些 学 生 对 此 认 识 不 到 位，导 致 各
在ｘ ∈ ［１，２］，使ｆ（ｘ）的值为正数，求 ｍ 的范围．
解 由题意４ｍ（２ｘ－１）＜４ｘ２＋３，即存在ｘ∈
［１，２］，使 ４ｍ
＜
４ｘ２ ＋３ ２ｘ－１
成立．
∴４ｍ ＜ （４２ｘｘ２－＋１３）ｍａｘ．
令
ｇ（ｘ）＝
４ｘ２ ＋３，ｘ ２ｘ－１
∈
［１，２］，则
ｇ′（ｘ）＝
８ｘ（２ｘ
－１）－２（４ｘ２ （２ｘ－１）２