2018中考数学圆(大题培优)
中考数学圆的综合(大题培优)及详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .
(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12
，求AB 和FC 的长．
【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403
CF =
【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；
（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.
详解：⑴证明：连结OC
∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠B=∠FCA
∴∠FCA+∠OCA=90°
即∠OCF=90°
∵C 在⊙O 上
∴CF 是⊙O 的切线
⑵∵AE=4，tan ∠ACD
12
AE EC = ∴CE=8
∵直径AB ⊥弦CD 于点E
∴AD AC =
∵∠FCA ＝∠B
∴∠B=∠ACD=∠FCA
∴∠EOC=∠ECA
∴tan ∠B=tan ∠ACD=
1=2
CE BE ∴BE=16
∴AB=20
∴OE=AB÷2-AE=6
∵CE ⊥AB
∴∠CEO=∠FCE=90°
∴△OCE ∽△CFE ∴
OC OE CF CE
= 即106=8CF ∴40CF 3
= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.
中考数学圆的综合(大题培优)含详细答案
中考数学圆的综合(大题培优)含详细答案
一、圆的综合
1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．
（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；
（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；
（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．
【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8
.
【解析】（1）解：连接AM、BM，
∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点
∴AM＝BM＝PM=QM= 1
2 PQ，
∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，
∵AM＝BM
∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5
∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5
则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，
当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，
HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x
由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2
∴点Q的坐标为（2，9）
（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）
∴M1M2＝9
2
－3＝
3
2
， Q1Q2＝6－4＝2
线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1
其面积为：1
2
×(
中考数学——与圆有关的问题(100题) 专题培优复习讲义及答案
中考数学——与圆有关的问题（100题） 专题培优复习讲义及答案
一、选择题
1．如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ）
（A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60
2．如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的
41，那么这个圆柱的侧面积是（ ）
（A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米
（C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米
3．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ）
（A ）2
25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ）
（A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214
5．如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ）
（A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米
6．相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ）
（A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米
人教版中考数学培优练习：第6章 第1节 圆的基本性质 中考试题中的核心素养
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
数学核心素养提升
1. (2018绍兴)如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A,B 是圆上的点,O 为圆心,∠AOB ＝120°,
从A 到B 只有路AB ︵,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB.通过计算可知,这些市民其
实仅仅少走了________步(假设1步为0.5米,结果保留整数)．(参考数据：3≈1.732,π取3.142)
第1题图
2. 如图①,小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,图②是它的截面图,垂直放置的脸盆与架子的交点为A,B,AB ＝40 cm,脸盆的最低点C 到AB 的距离为10 cm,则该脸盆的半径为________ cm.
第2题图
数学文化专练 《九章算术》——圆材埋壁
3. (2018乐山)《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著,代表了东方数学的最高成就,它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中,不知大小．以锯锯之,深一寸,锯道长一尺．问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小．用锯去锯这木料,锯口深一寸(ED ＝1寸),锯道长1尺(AB ＝1 尺＝10寸)．问这块圆形木材的直径是多少？”
第3题图
如图所示,请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC 是( )
A. 13寸
B. 20寸
C. 26寸
D. 28寸
参考答案
中考试题中的核心素养
1. 15 【解析】如解图,过点O 作OC ⊥AB 于点C,∵∠AOB ＝120°,∴∠BOC ＝60°,∵OB ＝20米,∴BC
圆的有关计算与证明问题(真题10道+模拟30道)中考数学重难题型押题培优导练案【解析版】
专题15圆的有关计算与证明问题（北京真题10道+模拟30道）
【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢
考点考查年份考查频率
圆的有关计算与证明问题（大题） 2013.2014.2015.2016.2017
十年10考
2018.2019.2020.2021.2022
圆的证明与计算是中考取的一类重要的问题，在北京市的2013-2022年10年中考中出现了10次，常见的圆的基础知识和解题技巧如下：
1、圆中的重要定理:
(1)圆的定义: 主要用来证明四点共圆和点到或直线圆的最值距离问题.
(2)垂径定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.
(3)三者之间的关系定理: 主要用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.
(4)圆周角性质定理及其推论 : 主要用来证明——直角、角相等、弧相等.
(5)切线的性质定理: 主要用来证明垂直关系 .
(6)切线的判断定理: 主要用来证明直线是圆的切线 .
(7)切线长定理:线段相等、垂直关系、角相等 .
2.圆中几个要点元素之间的相互转变 : 弧、弦、圆心角、圆周角等都能够经过相等来相互转变 . 这在圆中的证明和计算中常常用到 .
3.判断切线的方法：
（ 1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
常有手法有：全等转变；平行转变；直径转变；中线转变等；有时可经过计算联合相像、
勾股定理证垂直；
（ 2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
常有手法：角均分线定理；等腰三角形三线合一，隐蔽角均分线；
4、考题形式剖析：
主要以解答题的形式出现, 第 1 问主要判断切线、证明角或线段相等；第2 问主要与圆有关的计算：
中考数学知识点过关培优训练：圆周角定理(圆)(附答案)
4.
中考数学知识点过关培优训练：圆周角定理（圆）
•选择题 如图，AB 为O O 的直径，D 是半圆的中点，弦 CD 交 AB 于点E , Al 2BE AM L CD 于点M 1. 2. 如图，已知点 B. 4 (-6, 0), (2, C 2 7 0）,点C 在直线尸誓
D. 3 - 皿齐上，则使△ ABC 是直 C. 3 D. 4
则/ OBC 勺大小是（
C. 130 °
D. 80°
OCLAB / A 」DC= 26°，则/ COB 勺度数是（
A. 52
B. 64
C. 48
D. 42
A. 3
角三角形的点 C 的个数为
（
A =
50° B. 40 C
如图，在O O 中,
5•如图，O 0的直径AB 长为10,弦BC 长为6, ODLAC ,垂足为点 D,贝U OD 长为（
7.如图，C D 是以线段AB 为直径的O O 上两点（位于 AB 两侧），CD= AD 且/ ABC= 70°,
B. 5
C. 4
D. 3
6.如图，AB 为O O 的直径, CD 是O O 的弦，/ ADC= 26°，则/」CAB 的度数为（
A. 26°
B.
74° C. 64 D. 54
C. 35°
D. 30°
CD 是弦，连接BD OC 若/ AOC= 120°，/ D 的度数是（
） C. 30° : D. 20°
BC 为直径做半圆，交 AB 于点D,交AC 于点E,连接DE 若往
A. 6 45°
9.如图，在△ ABC 中，以边 45°
=2\-- = 2 \ ；，则下列说法正确的是（
A. AB= t.』=AE
B. AB= 2AE
(全国通用)中考数学复习几何培优训练：圆(含答案)
中考数学 几何专题：圆（含答案）
1.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC ＝30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP ＝x ，则x 的取值范围是________.
2.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF ＝2，AF ＝3，则EF 的长为________.
3.如图，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，它们相交于点P .连接AD ，BD ，已知AD ＝BD ＝4，PC ＝6，那么CD 的长为________.
4.如图，圆内接四边形ABCD 中的两条对角线相交于点P ，已知AB ＝BC ，CD ＝1
2BD ＝
1.设AD ＝x ，用x 的代数式表示P A 与PC 的积：P A ·PC ＝__________.
5.如图，ADBC 是⊙O 的内接四边形，AB 为直径，BC ＝8，AC ＝6，CD 平分∠ACB ，则AD ＝( )
A ．50
B ．32
C ．5 2
D ．4 2
第4题图第5题图第6题图
6.如图，在△ABC 中，AD 是高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7.如图，正△ABC 内接于⊙O ，P 是劣弧»BC
上任意一点，P A 与BC 交于点E ，有如下结论：①P A ＝PB ＋PC ；②
111
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)附答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．
()1求证：BC 是O 的切线；
()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．
【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=
． 【解析】
【分析】 ()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；
()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设
O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽
BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12
∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．
【详解】
()1证明：连接OD ，如图，
AD 平分BAC ∠，
12∴∠=∠，
OA OD =，
23∴∠=∠，
13∴∠=∠，
//OD AC ∴，
AC BC ⊥，
OD BC ∴⊥，
BC ∴是O 的切线；
()
2解：在Rt ACB 中，5AB ==， 设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，
//OD AC ， BDO ∴∽BCA ，
OD ∴：AC BO =：BA ，
即r ：()35r =-：5，解得158
r =， 158OD ∴=，258
OB =，
在Rt ODB 中，52
BD ==， 32
2018中考数学圆（大题培优）
2018中考数学圆（大题培优）
第一篇：2018中考数学圆(大题培优)
（2018•福建A卷）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC 是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
（12.00分）（2018•福建B卷）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=
DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
25．（10.00分）（2018•河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
所在圆的位置关系；（2）求x的最小值，并指出此时直线l与（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
23．（10.00分）（2018•恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．（1）求证：DE为⊙O切线；
中考数学圆的综合(大题培优)及答案
中考数学圆的综合(大题培优)及答案
一、圆的综合
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过»BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．
（1）求证：∠G=∠CEF；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =3
4
，AH=33，求EM的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8
.
【解析】
试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出»»
AD AC
=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；
（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；
（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明
△AHC∽△MEO，可得AH HC
EM OE
=，由此即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴»»
AD AC
=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．
（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．
（3）解：如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G=AH
HC
=
3
4
，∵AH=33∴HC=3Rt△HOC中，
中考数学培优(含解析)之与圆有关的概念
与圆有关的概念
聚焦考点☆温习理解
1、圆的定义
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
3.直径
经过圆心的弦叫做直径。（如图中的CD）
直径等于半径的2倍。
4.半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
5.弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
5、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 6、圆的对称性 1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 7、弦心距
从圆心到弦的距离叫做弦心距。
名师点睛☆典例分类
※考向一：圆的相关概念和性质
典例1：（2018·舟山） 如图，量角器的O 度刻度线为AB ．将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A 、D ，量得AD ＝10cm ，点D 在量角器上的读数为60°．则该直尺的宽度为 cm ．
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)
一、圆的综合
1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；
（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据
AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．
试题解析：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=AB，
在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．
考点：切线的性质．
2．已知▱ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G 为切点，已知⊙O的半径为3▱ABCD的面积．
【答案】3
【解析】
备战中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及详细答案
备战中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案
一、圆的综合
1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．
（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；
（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）8．
【解析】
（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；
（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．
试题解析：连接AD，OA，
∵∠ADC=∠B，∠B=60°，
∴∠ADC=60°，
∵CD是直径，
∴∠DAC=90°，
∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，
∵AP=AC，OA=OC，
∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，
∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，
即OA⊥AP，
∵OA为半径，
∴AP是⊙O切线．
（2）连接AD，BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，
∵CD=4，B为弧CD中点，
∴BD=BC=，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∴∠DAB=∠DCB=45°，
即∠BDE=∠DAB，
∵∠DBE=∠DBA，
∴△DBE∽△ABD，
∴，
∴BE•AB=BD•BD=．
考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．
2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)附答案
中考数学圆的综合(大题培优易错难题)附答案
一、圆的综合
1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tan A=1
2
，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．
【解析】
试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3
2
x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理
即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，
∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，
∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BD
AE DE AD
==．∵Rt△ABD
中，tan A=BD
AD
=
1
2
，∴
DE BE
AE DE
中考数学圆的综合(大题培优)含详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．
（1）OC的长为；
（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；
（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．
【答案】（1）4；（2）3
5
；（3）点E的坐标为（1，2）、（
5
3
，
10
3
）、（4，2）．
【解析】
分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．
（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则
MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，
备战中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)附详细答案
备战中考数学圆的综合(大题培优易错难题)附详细答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶
BD CD
=，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即
∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DB
DB DA
=，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
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（2018•福建A卷）已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交于点P，如图1．求证：PC=PB；（2）过点B作BC⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，且点O和点A都在DE的左侧，如图2．若AB=，DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
（12.00分）（2018•福建B卷）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
25．（10.00分）（2018•河北）如图，点A在数轴上对应的数为26，以原点O为
圆心，OA为半径作优弧，使点B在O右下方，且tan∠AOB=，在优弧上任取一点P，且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q，设Q在数轴上对应的数为x，连接OP．
（1）若优弧上一段的长为13π，求∠AOP的度数及x的值；
（2）求x的最小值，并指出此时直线l与所在圆的位置关系；
（3）若线段PQ的长为12.5，直接写出这时x的值．
23．（10.00分）（2018•恩施州）如图，AB为⊙O直径，P点为半径OA上异于O 点和A点的一个点，过P点作与直径AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE、DE、AE交CD于F点．
（1）求证：DE为⊙O切线；
（2）若⊙O的半径为3，sin∠ADP=，求AD；
（3）请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明．
23.（2018•荆门）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，经过点C 的切线交AB 的
延长线于点E ，AD EC ⊥交EC 的延长线于点D ，AD 交O 于F ，FM AB ⊥于H ，分别交O 、AC 于M 、N ，连接MB ，BC .
（1）求证：AC 平方DAE ∠；
（2）若4cos 5
M =，1BE =，①求O 的半径；②求FN 的长.
25．（10.00分）（2018•株洲）如图，已知AB 为⊙O 的直径，AB=8，点C 和点D 是⊙O 上关于直线AB 对称的两个点，连接OC 、AC ，且∠BOC ＜90°，直线BC 和直线AD 相交于点E ，过点C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ，与直线AD 相交于点G ，且∠GAF=∠GCE ．
（1）求证：直线CG 为⊙O 的切线；
（2）若点H 为线段OB 上一点，连接CH ，满足CB=CH ，
①△CBH ∽△OBC ；
②求OH +HC 的最大值．
25．（10.00分）（2018•湘潭）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO
⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM．
（1）若半圆的半径为10．
①当∠AOM=60°时，求DM的长；
②当AM=12时，求DM的长．
（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
25．（10.00分）（2018•扬州）如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE ⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；
（3）在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长．