点和圆的位置关系(课件)
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点和圆的位置关系(共32张PPT)
随堂练习
6.如图，⊿ABC中，∠C=90°， B
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以 3 5 为半径作圆，
2
C
则点A、B、D与圆C的关系如何？
D A
7.画出由所有到已知点O的距离大于或 等于2CM并且小于或等于3CM的点组 成的图形。
OO
问：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A ，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
A
D
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，
则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
B
C
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D 与圆A的位置关系如何？
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作 一个圆.
A
O C
B
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
1.由定理可知：经过三角形三
个顶点可以作一个圆.并且只 能作一个圆.
2.经过三角形各顶点的圆叫做三 角形的外接圆。
3.三角形外接圆的圆心叫做三角 B
形的外心，这个三角形叫做
这个圆的内接三角形。
经过一个已知点A能确定一个圆吗?
形的外接圆的面积. 垂直平分线的交点
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C
（）
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在
；
经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。
圆的外部可以看成是
。
思考：过任意四个点是不是一定可以作一个圆?请举
例说明.
《点和圆的位置关系》课件
题目2
已知圆$x^2 + y^2 = r^2$和点$P(x_0, y_0)$， 求点$P$到圆心的距离。
题目3
点$P(x_0, y_0)$在圆 $x^2 + y^2 = r^2$的内 部、外部还是圆上？说明 理由。
进阶习题
题目4
已知点$P(x_0, y_0)$在圆 $x^2 + y^2 = r^2$上， 求点$P$的坐标。
答案4
由于点$P(x_0, y_0)$在圆上，因此$(x_0, y_0)$必须满足 圆的方程，即$x_0^2 + y_0^2 = r^2$。
答案5
切线方程为$frac{y - y_0}{x - x_0} = -frac{x_0}{y_0}$。
答案6
切点即为点$P(x_0, y_0)$，因为切线过圆上一点。
详细描述
垂径定理指出，如果一条直线通过圆心，并且垂直于通过圆心的直径，那么这条 直线与圆有两个交点，且这两个交点与圆心的距离相等。
切线定理
总结词
切线定理是几何学中另一个重要的定 理，它描述了点和圆的位置关系。
详细描述
切线定理指出，如果一条直线与圆只 有一个交点，那么这条直线是圆的切 线，且切点与圆心的连线与切线垂直。
答案2
点$P(x_0, y_0)$到圆心$(0, 0)$的距离为$sqrt{x_0^2 + y_0^2}$。
答案3
若点$P(x_0, y_0)$满足$sqrt{x_0^2 + y_0^2} < r$，则点 在圆内；若满足$sqrt{x_0^2 + y_0^2} > r$，则点在圆外； 若满足$sqrt{x_0^2 + y_0^2} = r$，则点在圆上。
圆与圆有关的位置关系点与圆的位置关系课件
两圆的圆心距离减去两圆的半径之差等于零
两圆内切
总结词：两圆之间的距离等于两圆的半径之差 两圆有且仅有一个公共点
两圆心之间的距离等于两圆的半径之差 两圆的圆心距离减去两圆的半径之差等于零
两圆外切
总结词：两圆之间的距离大于两圆的半径之和 两圆有且仅有一个公共点
两圆心之间的距离大于两圆的半径之和 两圆的圆心距离减去两圆的半径之和大于零
利用平面几何知识，如三角形中 位线、圆心角和弧长等，计算两 圆心之间的距离，从而、计算方法 圆的面积公式为S=πr²，其中π取3.14。
计算方法为将半径分为小段，每段小扇形的面积为πr²/4，再相加得到圆的面积。
圆的周长计算
总结词：公式、计算方法
圆的周长公式为C=2πr，其中π取3.14。
02
圆的定义与性质
圆的定义
平面内，一个动点到一个定点( 圆心)的距离等于定长(半径)的
运动轨迹形成的图形叫圆。
圆心决定圆的位置，半径决定 圆的大小。
圆是轴对称图形，任何一条直 径所在的直线都是它的对称轴
。
圆的性质
圆的任意两条直径必定相交于圆心。 圆内两条不平行弦的垂直平分线必定通过圆心。
圆的半径是直径的一半，且直径是半径的两倍。
在圆上，点与圆心的距离等于半径。
详细描述
当一个点在圆上时，它与圆心的距离等于该圆的半径。这意味着该点位于圆 的边缘，与圆相切，并且在该点的切线与圆相切。
点在圆外
总结词
在圆外，点与圆心的距离大于半径。
详细描述
当一个点在圆外时，它与圆心的距离大于该圆的半径。这意味着该点位于圆的外 部，与圆不相交、不切也不相离。
性质2
在同一直线上，任意三点确定一个圆
性质3
两圆内切
总结词：两圆之间的距离等于两圆的半径之差 两圆有且仅有一个公共点
两圆心之间的距离等于两圆的半径之差 两圆的圆心距离减去两圆的半径之差等于零
两圆外切
总结词：两圆之间的距离大于两圆的半径之和 两圆有且仅有一个公共点
两圆心之间的距离大于两圆的半径之和 两圆的圆心距离减去两圆的半径之和大于零
利用平面几何知识，如三角形中 位线、圆心角和弧长等，计算两 圆心之间的距离，从而、计算方法 圆的面积公式为S=πr²，其中π取3.14。
计算方法为将半径分为小段，每段小扇形的面积为πr²/4，再相加得到圆的面积。
圆的周长计算
总结词：公式、计算方法
圆的周长公式为C=2πr，其中π取3.14。
02
圆的定义与性质
圆的定义
平面内，一个动点到一个定点( 圆心)的距离等于定长(半径)的
运动轨迹形成的图形叫圆。
圆心决定圆的位置，半径决定 圆的大小。
圆是轴对称图形，任何一条直 径所在的直线都是它的对称轴
。
圆的性质
圆的任意两条直径必定相交于圆心。 圆内两条不平行弦的垂直平分线必定通过圆心。
圆的半径是直径的一半，且直径是半径的两倍。
在圆上，点与圆心的距离等于半径。
详细描述
当一个点在圆上时，它与圆心的距离等于该圆的半径。这意味着该点位于圆 的边缘，与圆相切，并且在该点的切线与圆相切。
点在圆外
总结词
在圆外，点与圆心的距离大于半径。
详细描述
当一个点在圆外时，它与圆心的距离大于该圆的半径。这意味着该点位于圆的外 部，与圆不相交、不切也不相离。
性质2
在同一直线上，任意三点确定一个圆
性质3
点和圆的位置关系(优秀课件)课件
课件目的
01
02
03
知识传授
通过课件的演示和讲解， 使学生掌握点和圆的基本 概念、性质以及判断位置 关系的方法。
能力培养
通过课件中的例题和练习 题，培养学生的逻辑思维 能力和解决问题的能力。
情感态度与价值观
通过课件的引导，激发学 生对数学的兴趣和热爱， 培养学生的数学素养和创 新精神。
02
基础知识
06
课件总结与拓展
总结点与圆的位置关系知识点
定义点和圆的位置关 系：点在圆内、点在 圆上、点在圆外。
应用点和圆的位置关 系解决问题：如求解 切线长、弦长等问题。
判断点和圆的位置关 系的方法：比较点到 圆心的距离与圆的半 径的大小。
拓展相关数学概念和定理
圆的定义和性质
包括圆的定义、半径、直径、弦、 弧等基本概念，以及圆心角、圆 周角、垂径定理等相关性质。
点在圆外
定义
点到圆心的距离大于圆的半径。
性质
点在圆外时，以该点为端点的两条射线与圆相交，所截得的弦长大 于直径。此外，过该点可作圆的两条切线，切线与半径垂直。
判定方法
通过比较点到圆心的距离与圆的半径大小关系，确定点在圆外。同时， 也可以通过观察点与圆的相对位置来判断。
04
位置关系判断方法
代数法
例题二：求点到圆心的距离
题目描述
给定一个圆的方程和一个点的坐标， 求这个点到圆心的距离。
解题技巧
在解题过程中，需要注意两点间距离 公式的使用，以及坐标和半径单位的 统一。
解析过程
根据圆的方程可以求出圆心的坐标， 然后使用两点间距离的公式计算点到 圆心的距离。
例题三：判断点与圆的位置关系并证明
题目描述
《点和圆的位置关系》课件
点P在圆外.
P
P
O·
r
A
点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d.则
●
●
点在圆内
●
O
●
读作“等
价于”，
表示左右
两端可以
互相推出
点在圆上
d﹤r
d＝r
点在圆外
d ＞r
位置关系
数量关系
1.判断点与圆的位置关系的实质是判断点到圆心的距
离和半径的大小关系.
2.已知点到圆心的距离与半径的关系，可以确定该点
2.如图，已知矩形ABCD的
边AB=3，AD=4.
(2) 若以A点为圆心作
⊙A，使B，C，D三点中
至少有一点在圆内，且
至少有一点在圆外，求
⊙A的半径r的取值范围？
（直接写出答案）
3<r<5
A
D
B
C
《点和圆的位置关系》
知识回顾
圆的集合定义
圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距
离等于定长r的点的集合．
新知探究 知识点
观察下图中点和圆O的位置关系有哪几种？
.
点与圆的位置关系有三种：
.
C
.
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
.
如何度量这种位置关系？
o
.
. B.
.A
观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系.设⊙O的
上
外
2．已知⊙O的直径为10 cm，点P不在⊙O外，则OP的长( B )
A．小于5 cm
B．不大于5 cm
C．小于10 cm
D．不大于10 cm
解：∵⊙O的直径为10 cm，∴⊙O的半径为5 cm.
九年级数学上册教学课件《点和圆的位置关系》
【对应训练】
3
30°
解：在Rt△ACD中，∠A=30°，∴点B在⊙C上；
3
30°
知识点2
确定圆的条件
1. 作经过已知点A的圆，你能作出多少个圆？圆心在哪里？半径多大？
●A
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
已知圆心和半径，可以作一个圆.
2. 作经过已知点A、B的圆，你能作出多少个？圆心在哪里？
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
九年级上册
问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
(1)知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.(2)知道不在同一直线上的三点确定一个圆， 能过不在同一直线上的三点作圆.(3)知道三角形外心的概念及其性质.(4)了解反证法的证明思想及一般步骤.
基础巩固
1.判断下列说法是否正确：(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆.( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
√
√
×
×
2.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 ． 3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
（2）以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）；
（3）得出假设不成立，从而原命题成立.
用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论.
3
30°
解：在Rt△ACD中，∠A=30°，∴点B在⊙C上；
3
30°
知识点2
确定圆的条件
1. 作经过已知点A的圆，你能作出多少个圆？圆心在哪里？半径多大？
●A
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
已知圆心和半径，可以作一个圆.
2. 作经过已知点A、B的圆，你能作出多少个？圆心在哪里？
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
九年级上册
问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
(1)知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.(2)知道不在同一直线上的三点确定一个圆， 能过不在同一直线上的三点作圆.(3)知道三角形外心的概念及其性质.(4)了解反证法的证明思想及一般步骤.
基础巩固
1.判断下列说法是否正确：(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆.( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
√
√
×
×
2.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在 ；点B在 ；点C在 ． 3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
（2）以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）；
（3）得出假设不成立，从而原命题成立.
用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论.
人教版初中九年级上册数学精品课件 第二十四章 圆 点和圆、直线和圆的位置关系 点和圆的位置关系
拓广探索题
某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘要确定 其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．
解：(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；
(2)连接AB、BC；
B
C
A
(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；
(4)两垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心.
课堂小结
点与圆的 位置关系
作 圆
三角形的内角和为180度 矛盾．假设不成立．
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
．
巩固练习
6. 利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个 锐角不大于45°”时，应先假设（ D ）
A.有一个锐角小于45° B.每一个锐角都小于45° C.有一个锐角大于45° D.每一锐角都大于45°
巩固练习
探究新知
点和圆的位置关系
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内
d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外
d>r
数形结合： 位置关系
数量关系
探究新知
素养考点 1 判定点和圆的位置关系
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
（1）以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与
⊙A的位置关系如何？
A
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°， ∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°；
探究新知 (2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积．
∵点D的坐标是(0，3)，∴OD＝3.
在Rt△AOD中，∵∠DOA＝90° ，
∴AD为直径. 又∵∠DAO=30°，∴AD＝2OD＝6， OA＝ 3 3
因此圆的半径为3．点A的坐标( 3 3， 0) ∴△AOB外接圆的面积是9π. 解题妙招：图形中求三角形外接圆的面积时，关键是确定外 接圆的直径(或半径)长度．
《点和圆的位置关系》圆PPT课件 图文
你总该记得，有一个黄昏，白马湖上的 黄昏， 在你那 间天花 板要压 到头上 来的， 一颗骰 子似的 客厅里 ，你和 我读着 竹久梦 二的漫 画集。 你告诉 我那篇 序做得 有趣， 并将其 大意译 给我听 。我对 于画， 你最明 白，彻 头彻尾 是一条 门外汉 。但对 于漫画 ，却常 常要像 煞有介 事地点 头或摇 头；而 点头的 时候总 比摇头 的时候 多—— 虽没有 统计， 我肚里 有数。 那一天 我自然 也乱点 了一回 头。 点头之余，我想起初看到一本漫画，也 是日本 人画的 。里面 有一幅 ，题目 似乎是 《aa子 爵b泪》 （上两 字已忘 记）， 画着一 个微侧 的半身 像：他 严肃的 脸上戴 着眼镜 ，有三 五颗双 钩的泪 珠儿， 滴滴答 答历历 落落地 从眼睛 里掉下 来。我 同时感 到伟大 的压迫 和轻松 的愉悦 ，一个 奇怪 的矛盾 ！梦二 的画有 一幅— —大约 就是那 画集里 的第一 幅—— 也使我 有类似 的感觉 。那幅 的题目 和内容 ，我的 记性真 不争气 ，已经 模糊得 很。只 记得画 幅下方 的左角 或右角 里，并 排地画 着极粗 极肥又 极短的 一个“ ！”和 一个“ ？”。 可惜我 不记得 他们哥 儿俩谁 站在上 风，谁 站在下 风。我 明白（ 自己要 脸）他 们俩就 是整个 儿的人 生的谜 ；同时 又觉着 像是那 儿常常 见着的 两个胖 孩子。 我心眼 里又是 糖浆， 又是姜 汁，说 不上是 什么味 儿。无 论如何 ，我总 得惊异 ；涂呀 抹的几 笔，便 造起个 小世界 ，使你 又要叹 气又要 笑。叹 气虽是 轻轻的 ，笑虽 是微微 的，似 一把锋 利的裁 纸刀， 戳到喉 咙里去 ，便可 要你的 命。而 且同时 要笑又 要叹气 ，真是 不当人 子，闹 着玩儿 ！
学习目标
1.认识点和圆的位置关系； 2.掌握“三点定圆”定理； 3.掌握三角形外接圆及外心的定义； 4.体会分类讨论及数形结合的思想； 5.体验探索数学的乐趣.
学习目标
1.认识点和圆的位置关系； 2.掌握“三点定圆”定理； 3.掌握三角形外接圆及外心的定义； 4.体会分类讨论及数形结合的思想； 5.体验探索数学的乐趣.
新人教版九年级数学上册《点和圆的位置关系》课件 (4)
不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆；
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
A
A
B
B
A
B
B
D
D
C
回顾与思考
• 这节课你学到了哪些知识？有 什么感想?
能力提高
爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm， 点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的 的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm， 如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离， 那么是否安全？为什么？
24.2与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
问题情境
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀 搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土 墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就 胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某 一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩 好？
A O C
B
点与圆的位置关系
如图，设⊙O 的半径为r，A点在圆内， B点在圆上，C点在圆外，那么
Od
r
p
点P在⊙O外
d＞r P d O
r
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点
O
圆内的点
圆上的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内 的点和圆外的点。
圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的 外部可以看成是 到圆心的距离大于半径的点的。集合
OA＜r， OB＝r， OC＞r．
反过来也成立,如果已知点到圆心的距离和圆的半径的 关系，就可以判断点和圆的位置关系。
OA＜r
1. 四点在一条直线上不能作圆；
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
A
A
B
B
A
B
B
D
D
C
回顾与思考
• 这节课你学到了哪些知识？有 什么感想?
能力提高
爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm， 点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的 的安全区域，已知这个导火索的长度为18cm， 如果点导火索的人以每秒6.5m的速度撤离， 那么是否安全？为什么？
24.2与圆有关的位置关系
点和圆的位置关系
问题情境
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀 搞一次掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面土 墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就 胜。如下图中A、B、C三点分别是他们三人某 一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩 好？
A O C
B
点与圆的位置关系
如图，设⊙O 的半径为r，A点在圆内， B点在圆上，C点在圆外，那么
Od
r
p
点P在⊙O外
d＞r P d O
r
点与圆的位置关系
思考：平面上的一个 圆把平面上的点分成 哪几部分？
圆外的点
O
圆内的点
圆上的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内 的点和圆外的点。
圆的内部可以看成是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的 外部可以看成是 到圆心的距离大于半径的点的。集合
OA＜r， OB＝r， OC＞r．
反过来也成立,如果已知点到圆心的距离和圆的半径的 关系，就可以判断点和圆的位置关系。
OA＜r
苏科数学九上课件 2.1 圆 第1课时 圆的概念、点和圆的位置关系(共27张PPT)
图2－1－5
2.1 圆
[解析] 首先推测如果点E，F，G，H在同一个圆上，那么这个圆的圆心是菱形ABCD 对角线的交点，进而将问题转化为点E，F，G，H到这一点的距离相等．
2.1 圆
解：设菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，连接 OE，OF，OG，OH. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD. 在 Rt△AOB 中，OE 为斜边 AB 上的中线， ∴OE＝12AB. 同理，OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12DA. ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴点 E，F，G，H 在以点 O 为圆心的同一个圆上．
旋转一周，另一个端点P所形成的图形是__圆____，
其中，定点O叫______，线段OP叫______． 以点O为圆心的圆圆心，记作______，半读径作______.
⊙O
圆O
图2－1－1
2.1 圆
知识链接——[新知梳理]知识点一 以点P为圆心，3 Cm
尝试：到点P距离等于3 Cm的点的集合是____________________ __为__半__径__的__圆____．
解：(1)当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外． (2)当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
2.1 圆
[归纳总结] 解答这类动态问题可利用圆规，通过改变半径的大小，实际操作来确 定半径的变化范围，也可根据点和圆的位置关系确定点到圆心的距离与半径的大 小关系，列不等式解答．
2.1 圆
备选探究问题二 确定多个点在同一个圆上 例4 如图2－1－5，菱形ABCD各边的中点分别为E，F，G，H，试说明点E，F，G，H 在同一个圆上．
[解析] 要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系．
2.1 圆
[解析] 首先推测如果点E，F，G，H在同一个圆上，那么这个圆的圆心是菱形ABCD 对角线的交点，进而将问题转化为点E，F，G，H到这一点的距离相等．
2.1 圆
解：设菱形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，连接 OE，OF，OG，OH. ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD. 在 Rt△AOB 中，OE 为斜边 AB 上的中线， ∴OE＝12AB. 同理，OF＝12BC，OG＝12CD，OH＝12DA. ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴点 E，F，G，H 在以点 O 为圆心的同一个圆上．
旋转一周，另一个端点P所形成的图形是__圆____，
其中，定点O叫______，线段OP叫______． 以点O为圆心的圆圆心，记作______，半读径作______.
⊙O
圆O
图2－1－1
2.1 圆
知识链接——[新知梳理]知识点一 以点P为圆心，3 Cm
尝试：到点P距离等于3 Cm的点的集合是____________________ __为__半__径__的__圆____．
解：(1)当0＜r＜3时，点A，B在⊙C外． (2)当3＜r＜4时，点A在⊙C内，点B在⊙C外．
2.1 圆
[归纳总结] 解答这类动态问题可利用圆规，通过改变半径的大小，实际操作来确 定半径的变化范围，也可根据点和圆的位置关系确定点到圆心的距离与半径的大 小关系，列不等式解答．
2.1 圆
备选探究问题二 确定多个点在同一个圆上 例4 如图2－1－5，菱形ABCD各边的中点分别为E，F，G，H，试说明点E，F，G，H 在同一个圆上．
[解析] 要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系．
点和圆直线和圆的位置关系课件PPT
直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条直
线叫做圆的割线.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直
线和圆相切,这条直线叫做圆的切线.直线和圆没有公共点,这时我
们说这条直线和圆相离.
设☉O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则直线l和☉O相交
⇔d<r;直线l和☉O相切⇔d=r;直线l和☉O相离⇔d>r.
拓展点二
综合知识拓展
拓展点三
拓展点一圆的存在性与点和圆的位置关系
例1 A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是
(
)
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外
C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外
D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内
定理是由“垂直得切线”;而性质定理是由“切线得垂直”.
当已知条件中有切线,而图形中没有经过切点的半径(或直径)时,
通常作出经过切点的半径,这是解答这类问题的常规辅助线.
31
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
例3 如图,P是☉O外一点,PA是☉O的切线,A为切点,PO与☉O相
又∵∠P=28°,∴∠O=180°-90°-28°=62°.
∵∠O 和∠C 对的是同一条弧,
1
1
∴∠C=2∠O=2×62°=31°.
答案:C
33
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
当题目中有圆的切点,而过切点的半径又没有时,一般
作出这条半径,再利用切线的性质定理结合圆周角等其
线叫做圆的割线.直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直
线和圆相切,这条直线叫做圆的切线.直线和圆没有公共点,这时我
们说这条直线和圆相离.
设☉O的半径为r,点O到直线l的距离为d,则直线l和☉O相交
⇔d<r;直线l和☉O相切⇔d=r;直线l和☉O相离⇔d>r.
拓展点二
综合知识拓展
拓展点三
拓展点一圆的存在性与点和圆的位置关系
例1 A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是
(
)
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外
C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外
D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内
定理是由“垂直得切线”;而性质定理是由“切线得垂直”.
当已知条件中有切线,而图形中没有经过切点的半径(或直径)时,
通常作出经过切点的半径,这是解答这类问题的常规辅助线.
31
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
例3 如图,P是☉O外一点,PA是☉O的切线,A为切点,PO与☉O相
又∵∠P=28°,∴∠O=180°-90°-28°=62°.
∵∠O 和∠C 对的是同一条弧,
1
1
∴∠C=2∠O=2×62°=31°.
答案:C
33
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
知识点四
综合知识拓展
知识点五
当题目中有圆的切点,而过切点的半径又没有时,一般
作出这条半径,再利用切线的性质定理结合圆周角等其
《点和圆的位置关系》PPT课件
第二十四章 圆
24.2.1 点和圆的位置关系
人教版 数学九年级上册
-.
前言
学习目标
1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离来决定。 2.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 3.会画三角形的外接圆。
重点难点 重点：点与圆的位置关系。 难点：过不在一条直线上的三点画圆。
情景引用
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉。下图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如 何计算的吗？
随堂测试
2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段 的中点及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
答案 A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误； B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误； C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确； D、矩形的对角线交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本 选项错误； 故选C．
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系．
点和圆心的位置关系
观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 圆内、圆上、圆外
设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系？
点A在圆内，OA < r，
A
·O
C
点B在圆上，OB = r，
rБайду номын сангаас
点C在圆外，OC > r.
B
点和圆心的位置关系
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设 ⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
24.2.1 点和圆的位置关系
人教版 数学九年级上册
-.
前言
学习目标
1.理解点与圆的位置关系由点到圆心的距离来决定。 2.理解不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 3.会画三角形的外接圆。
重点难点 重点：点与圆的位置关系。 难点：过不在一条直线上的三点画圆。
情景引用
我国射击运动员在奥运会上获金牌，为我国赢得荣誉。下图是射击靶的示意图，它是 由许多同心圆（圆心相同，半径不相同）构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如 何计算的吗？
随堂测试
2．下列给定的三点能确定一个圆的是（ ）
A．线段 的中点及两个端点
B．角的顶点及角的边上的两点
C．三角形的三个顶点
D．矩形的对角线交点及两个顶点
答案 A、线段AB的端点A、B和线段AB的中点C不能确定一个圆，故本选项错误； B、当角的两边上的一个点或两个点和角的顶点重合时就不能确定一个圆，故本选项错误； C、经过三角形的三个顶点作圆，有且只有一个圆，故本选项正确； D、矩形的对角线交点及两个顶点，如果这三个点在一条直线上，就不能确定一个圆，故本 选项错误； 故选C．
解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系．
点和圆心的位置关系
观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 圆内、圆上、圆外
设⊙O半径为r，说出点A，点B，点C与圆心O的距离与半径的关系？
点A在圆内，OA < r，
A
·O
C
点B在圆上，OB = r，
rБайду номын сангаас
点C在圆外，OC > r.
B
点和圆心的位置关系
反过来，已知点到圆心的距离和圆的半径，能否判断点和圆的位置关系？设 ⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP = d，则有：
点和圆的位置关系-课件
弹着点与靶心的距离决定了它在哪个圆内，弹 着点离靶心越近，它所在的区域就越靠内，对 应的环数也就越高，射击的成绩越好.
例题
已知⊙O 的半径为10cm，A，B，C 三点到圆心O 的距离分 别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C 与⊙O 的位置关 系点A是在: __圆__内_____. 点B在__圆___上____. 点C在__圆___外____.
点P在圆外
d＞r
点P在圆上
d=r
点P在圆内
d＜r
这个符号读作“等价于”，它表示从该符号的左端 可以推出右端，右端也能推出左端.
点和圆的位置关系
你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同 的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域.
这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩 用弹着点位置对应的环数来表示.
练习
已知⊙O 的半径为5，M 为ON的中点，当OM＝3时 ，N点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 外的部_____________.
练习 ⊙O 直径为d，点A到圆心的距离为m，若点 A不在圆
外，则d与m的关系是_____________.
练习
有一张矩形纸片，AB =3cm，AD =4cm，若以A为圆 心作圆，并且要使点D 在⊙A内，而点C 在⊙A外， ⊙A的半径 r 的取值范围是__________________.
例题
如图所示，已知⊙O 和直线l，过圆心O 作OP⊥l，P 为 垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA=2cm，PB =3cm，PC =4cm，若⊙O的半径为5cm，OP=4cm， 判断A，B，C三点与⊙O的位置关系. 点A在__圆___内____.
点B在__圆___上____. 点C在__圆___外____.
例题
已知⊙O 的半径为10cm，A，B，C 三点到圆心O 的距离分 别为8cm，10cm，12cm，则点A，B，C 与⊙O 的位置关 系点A是在: __圆__内_____. 点B在__圆___上____. 点C在__圆___外____.
点P在圆外
d＞r
点P在圆上
d=r
点P在圆内
d＜r
这个符号读作“等价于”，它表示从该符号的左端 可以推出右端，右端也能推出左端.
点和圆的位置关系
你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗 ？
射击靶图上，有一组以靶心为圆心的大小不同 的圆，他们把靶图由内到外分成几个区域.
这些区域用由高到底的环数来表示，射击成绩 用弹着点位置对应的环数来表示.
练习
已知⊙O 的半径为5，M 为ON的中点，当OM＝3时 ，N点与⊙O 的位置关系是N 在⊙O 外的部_____________.
练习 ⊙O 直径为d，点A到圆心的距离为m，若点 A不在圆
外，则d与m的关系是_____________.
练习
有一张矩形纸片，AB =3cm，AD =4cm，若以A为圆 心作圆，并且要使点D 在⊙A内，而点C 在⊙A外， ⊙A的半径 r 的取值范围是__________________.
例题
如图所示，已知⊙O 和直线l，过圆心O 作OP⊥l，P 为 垂足，A，B，C为直线l上三个点，且PA=2cm，PB =3cm，PC =4cm，若⊙O的半径为5cm，OP=4cm， 判断A，B，C三点与⊙O的位置关系. 点A在__圆___内____.
点B在__圆___上____. 点C在__圆___外____.
《点和圆的位置关系》课件ppt人教版2
小腾家的圆形镜子损坏了，他要定制一个大小相同的新镜子，如何测量镜子的半径？
点 P3 在圆内 d3＜r ．
判断下列说法是否正确
点 P1 在圆外 d1＞r ； 不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 1点和圆的位置关系（2） A、锐角三角形 B、直角三角形
O
外心是三角形三 边的垂直平分线
如图是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片，你能帮他找出这个轮子的半径吗？说出你的理由.
如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们外心的位置有什么特点？
小腾家的圆形镜子损坏了，他要定制一个大小相同的新镜子，如何测量镜子的半径？
三角形的外接圆；圆的内接三角形；外心． 请同学们画三个点 A，B，C．
经过不在同一条直线上的三个点 A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？
24.2.1点和圆的位置关系（2）
初中数学
知识回顾
• 点和圆的位置关系
设⊙O 的半径为 r，点 P1 ， P2 ， P3到圆心 的距离为 d1，d2，d3，则有：
点 P1 在圆外 d1＞r ；
·P1
· r 点 P2在圆上 d2＝r ； P2 d2 d1
点 P3 在圆内 d3＜r ．
·O d3 P3
如图是一名考古学家发现的一块古代车轮的碎片，你能帮他找出这个轮子的半径吗？说出你的理由.
不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 请作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位置？
点 P1 在圆外 d1＞r ；
A 如图，分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，它们外心的位置有什么特点？
初中数学
巩固练习
4. 判断下列说法是否正确
点和圆的位置关系_课件
探究三：点与圆的位置关系的应用。
解：∵AB∥CD，
∴∠BMN+∠MND=180°，
∵∠BMN与∠MND的平分线相交于点P，
O
∴∠PMN=
1 2
∠BMN，∠PNM=
1 2
∠MND，
∴∠PMN+∠PNM=90°，
∴∠MPN=180°-（∠PMN+∠PNM）=180°-90°=90°，
∴以MN为直径作⊙O时，OP=
故选B。
探究三：点与圆的位置关系的应用。
练习5：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O是边AC
上任意一点，以点O为圆心，以OC为半径作圆，则点B与⊙O
的位置关系（ A ）。
A.点B在⊙O外
B.点B在⊙O上
C.点B在⊙O内
D.与点O在边AC上的位置有关
【思路点拨】连接OB，利用直角三角形斜边永远大于直角边得到 OB＞OC，从而可以判定点与圆的位置关系。
1 2
MN=⊙O的半径，
∴点P在⊙O上。
故选C。
探究三：点与圆的位置关系的应用。
练习4：如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=72°，则
∠ACB等于（ D ）。
A.28° B.54° C.18° D.36°
解：根据圆周角定理可知，∠AOB=2∠ACB=72°， 即∠ACB=36°。
【思路点拨】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所 对圆心角的一半即可求解。
A
在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C
两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平
分线上，此时，这两条垂直平分线一定相 B
交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于
C
是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画
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《点和圆的位置关系》 （第一课时）
一、新课导入
二、突出重点
• 若点C在⊙O内 • 若点B在⊙O上 • 若点A在⊙O外 A．
．Ｂ Ｏ
Ｃ．Biblioteka 三、突破难点• 探索1：平面上有一点A，经过A点的圆有几 个？圆心在哪里？
OA
探索2：平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？
圆心在哪里？
A
B
探索3：平面上有三点A、B、C，经过A、B、C
• 思考：三角形的外心是否一定在三角形的内部？
探索5：
• 分别作出锐角三角形、直角三角形 、钝角三角形的外接圆，观察它们 的外心的位置有什么特点？
四、学以致用
• 例1、如图在Rt△ABC中，∠C=900， BC=3㎝，AC=4㎝，以B为圆心，以BC 为半径做⊙B。问点A、C及AB、AC的 中点D、E与⊙B有怎样的位置关系？
三点的圆有几个？圆心在哪里？
探索4：
• 通过一个圆上的三点能画出三角形吗？能画几个 ？
• 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画 一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外 心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角 形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点 ，它到三角形三个顶点的距离相等。
• 例２、已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为 AC和BD，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四 点在同一个圆上。
五、归纳小结
• 1、本节学习的数学知识： • （1）点和圆的位置关系； • （2）不在同一直至线上的三点确定一个圆
• 2、本节学习的数学方法是数形结合
一、新课导入
二、突出重点
• 若点C在⊙O内 • 若点B在⊙O上 • 若点A在⊙O外 A．
．Ｂ Ｏ
Ｃ．Biblioteka 三、突破难点• 探索1：平面上有一点A，经过A点的圆有几 个？圆心在哪里？
OA
探索2：平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？
圆心在哪里？
A
B
探索3：平面上有三点A、B、C，经过A、B、C
• 思考：三角形的外心是否一定在三角形的内部？
探索5：
• 分别作出锐角三角形、直角三角形 、钝角三角形的外接圆，观察它们 的外心的位置有什么特点？
四、学以致用
• 例1、如图在Rt△ABC中，∠C=900， BC=3㎝，AC=4㎝，以B为圆心，以BC 为半径做⊙B。问点A、C及AB、AC的 中点D、E与⊙B有怎样的位置关系？
三点的圆有几个？圆心在哪里？
探索4：
• 通过一个圆上的三点能画出三角形吗？能画几个 ？
• 经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画 一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外 接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外 心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角 形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点 ，它到三角形三个顶点的距离相等。
• 例２、已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为 AC和BD，E，F，G，H分别是AB，BC， CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四 点在同一个圆上。
五、归纳小结
• 1、本节学习的数学知识： • （1）点和圆的位置关系； • （2）不在同一直至线上的三点确定一个圆
• 2、本节学习的数学方法是数形结合