第二章 单方程计量经济学模型理论与方法3

VIFi
1 1 Ri2
，对于不好数据，VIF
的取值可能趋
于无限大。
计量经济学
根据经验，我们提出确定多重共线严重程度 的一个经验准则：
轻微 较强 严重
若maxVIFi<5 若5<maxVIFi 10
若maxVIFi 10
轻微 较强 严重
若minTOLi>0.2 若0.1<minTOLi 0.2
E( yi xki) E( (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )xki)
计量经济学
然后利用：
E(i ) 0
E(i x ji ) 0, j 1,2, , k
E( j ) ˆ j , j 0,1,2, , k
得到模型的参数估计的正规方程。
计量经济学
OLS 估计最后归结为求解一个关于参数估计量的方程 组（正规方程组）
模型
yi 0 1x1i L k xki i
i 1, 2,L , n
其基本假设之一是解释变量 x1, x2, L , xk 是确定变
量。如果某个或多个随机变量作为解释变量，则称为随
机解释变量问题。对于随机解释变量问题，又可分三种
不同情况。
计量经济学
1、随机解释变量与随机误差项不相关
E(x2) 0
计量经济学
三、多重共线性的后果
完全共线性下参数估计量不存在； 一般共线性下普通最小二乘法参数估计量非有
效； 参数估计量经济含义不合理； 变量的显著性检验失去意义； 模型的预测功能失效。
计量经济学
多重共线性的判别
（1）样本相关系数检验法 考虑两个解释变量之间的相关系数，若较大，
如大于0.8，则可认为存在多重共线性问题。
§2.8多重共线性
计量经济学
一、多重共线性
对于模型
yi 0 1x1i L k xki i
i 1, 2,L , n
在求最小二乘估计时，要求 X X 的逆存在。当 X X 的逆不
存在时，即， xi 之间存在高相关的情况，我们称之为多重
共线性。
计量经济学
二、实际经济问题中的多重共线性
例如，以某一行业的企业为样本建立企业生产 函数模型，以产出量为被解释变量，选择资本、 劳动、技术等投入要素为解释变量。这些投入 要素的数量往往与产出量成正比，产出量高的 企业，投入的各种因素比较多，这就使得投入 要素之间出现线性相关性。
计量经济学
（2）条件数检验法
设 1 2 L k 为 矩 阵 X X 的 特 征 根 ， 则 条 件 指 数
（Condition index）的定义如下：
CIi
max j
j
i
k
max i
wk.baidu.comCIi
较大的条件数意味着有较强的多重共线性，在应用中，经验
性地可作如下判断：
轻微
多重共线性 较强
严重
若1<k<10 若10 k<30
2、随机解释变量与随机误差项在小样本下相关，在大样 本下渐近无关，即：在小样本下，
E(x2) 0
在大样本下，
Plim( x2ii / n) 0
3、随机解释变量与随机误差项高度相关，并且
Plim( x2ii / n) 0
计量经济学
二、实际经济问题中的随机解释变量问题
在实际经济问题中，经济变量往往都具有随机 性。但是在单方程计量经济学模型中，凡是外 生变量都被认为是确定性的。
随机解释变量与随机误差项高度相关， OLS估计失效，需要发展新的方法估计模型。
计量经济学
滞后被解释变量作解释变量，并且与随机误差项 相关，参数估计除有偏之外，还有： 模型必然具有随机误差项的自相关性。因为该滞后
被解释变量与滞后随机误差项相关，又与当期随机 误差项相关。 DW检验统计量失效，因为不管DW统计量的值是多 少，随机误差项的自相关性总是存在的。(检验方法 将另行介绍）。
Qt1 只与 t1 相关，与 t 不相关，属于上述第一种情况。
计量经济学
著名的“合理预期的消费函数模型”，一般认为消费是 由对收入的预期所决定的，或者说消费是有计划的，而这个 计划是根据对收入的预期制定的，于是有：
Ct
0
1I
e t
t
Ct 1
0
Ie
1 t 1
t 1
其中：
I
e t
表示
t
期收入预期值。而预期收入与实际收入之间
yi xki (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )xki
计量经济学
由于我们选取的工具变量与随机误差项不相关，即：
E(i zi ) 0 ，我们可得出正规方程组：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i L ˆk xki ) yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i L ˆk xki )x1i yi zi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i L ˆk xki )zi
项 t t1 高度相关。所以属第三种情况。
计量经济学
三、随机解释变量问题的后果
计量经济学模型一旦出现随机解释变量，如果仍采用 OLS 估计模型参数，不同性质的随机解释变量会产生不同 的后果。一般的计量经济学模型的矩阵形式为：
Y XB N
其普通最小二乘参数估计为：
Bˆ (XX)1 XY (XX)1 X(XB N )
出现多重共线性。
计量经济学
工具变量的应用
经常产生一种误解，以为采用工具变量法是将 原模型中的随机解释变量换成工具变量，即改 变了原来的模型。实际上，工具变量法，只仅 仅是一种参数估计的方法，在原模型的参数估 计过程中，用工具变量替代随机解释变量。
计量经济学
我们可以看成是，原模型的每个方程分别用每个解释变量乘 以模型方程的两边，并对所有样本点求和。
总消费量x3去预测进口总额y，为此收集了1949~1959年共十
一年的数据。
year
x1
x2
x3
y
1949
149.3
4.2
108.1
15.9
1950
161.2
4.1
114.8
16.4
1951
171.5
3.1
123.2
19
1952
175.5
3.1
126.9
19.1
1953
180.8
1.1
132.1
18.8
计量经济学
岭估计
由于矩阵 X 病态时，参数 B 的最小二乘估计不稳定，而且均
方误差将会变得很大，从减小均方误差的角度出发，我们引 入岭估计。
定义：设 m 0 ，称 Bˆ (m) ( X X mI )1 X Y ，为 B 的岭
估计， m 为岭参数。
定义：对于每个 i 来说，当 m0, 时， Bˆ (m) 的第 i 个分
计量经济学
现假设原模型中， x2 是随机解释变量并且与随机误差项相
关，即有：E(i x2i ) 0, 这样就无法得到无偏的参数估计量了。
工具变量的想法是，选择一个 z 为 x2 的工具变量。如下所示：
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i ) yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )x1i yi zi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i L ˆk xki i )zi
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2 x2i ˆk xki ) yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki)x1i yi x2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki)x2i
yi xki (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki)xki
计量经济学
然后再对方程的两边求期望：
E( yi ) E( (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )) E( yi x1i ) E( (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )x1i ) E( yi x2i ) E( (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )x2i )
yi (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i ) yi x1i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )x1i yi x2i (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )x2i
yi xki (ˆ0 ˆ1x1i ˆ2x2i ˆk xki i )xki
若多重共线性仅仅是由那些不重要的因素引起的 （即统计检验不显著，或没有经济意义），则可从 模型中删除这此变量。
若多重共线性对重要因素的系数估计值有严重的影 响，就必须有新的估计方法。
计量经济学
克服多重共线性的方法
第一类方法：排除引起共线性的变量 第二类方法：差分法 第三类方法：减小参数估计量的方差
量 ˆi (m) 作为 m 的函数，在直角坐标系 m, ˆi (m) 下描出的
曲线称为岭迹。
计量经济学
关于m的取值
方法一：选择一个较小的 m 值，使对应的回归方程中的
回归系数不再有不合理的符号及不理想的绝对值； 方法二：可以给定一个 C（C>1），使
Y XBˆ(m) Y XBˆ(m) C Y XBˆ Y XBˆ
1954
190.7
2.2
137.7
20.4
1955
202.1
2.1
146
22.7
1956
212.4
5.6
154.1
26.5
1957
226.1
5
162.3
28.1
1958
231.9
5.1
164.3
27.6
1959
239
0.7
167.6
26.3
计量经济学
§2.9随机解释变量
计量经济学
一、随机解释变量问题
若minTOLi 0.1
计量经济学
proc reg data=france model y=x1 x2 x3/collin collinoint tol vif dw; run;
计量经济学
模型解释变量间产生了多重共线后怎么办？
若多重共线性较轻微，并不严重影响系数估计值， 则可以允许它在模型中出现。
取期望后有：
E(Bˆ ) (XX)1 E(XXB X N ) B (XX)1 E(XN )
计量经济学
随机解释变量与随机误差项不相关，采用 OLS估计模型参数，得到的参数仍然是无偏 估计量。
随机解释变量与随机误差项在小样本下相 关，在大样本下渐近无关，采用OLS得到的 模型的参数估计在小样本下是有偏的，在 大样本下具有渐近无偏的。
计量经济学
多重共线性存在的原因
经济变量间的内在关系； 经济变量在时间上有同方向变动的趋势，受同
一决定因素的影响； 分布滞后变量模型的广泛应用； 模型设定的偏误； 过分确定模型。
计量经济学
一般经验告诉我们，对于采用时间序列数 据作样本、以简单线性形式建立的计量经 济学模型，往往存在多重共线性。以截面 数据作样本时，问题不那么严重，但仍然 是存在的。
存在差距，表现为： Ite
(1 )It
Ie t 1
该式是由合理预期
理论给出的。
计量经济学
由此可推得：
Ct
0
1(1
)
It
1I
e t 1
t
0 1(1 )It (Ct1 0 t1) t
0 (1 ) 1(1 )It Ct1 t t1
作为解释变量 Ct1 不仅是一个随机解释变量，而且与模型的随机误差
注：一般经济变量可分为外生变量和内生变量。 所有的外生变量和滞后的内生变量构成了前定 变量。
计量经济学
例如耐用品的存量由前一时期的存量和当期收入共同决 定，于是著名“耐用品存量调整模型”表示为
Qt 0 1It 2Qt 1 t
t 1,2, ,T
这里一个滞后被解释变量作为解释变量的模型。但如果 模型不存在随机误差的序列相关性，那么随机解释变量
计量经济学
四、工具变量法
如果模型中出现随机解释变量并且与了随机误 差项相关时，OLS就不能用于模型参数的估计， 最常用的估计方法是工具变量法.
计量经济学
工具变量的选取
工具变量，是在模型过程中被作为工具使用， 以替代模型中与随机误差项相关原随机解释变 量。一般要满足：
（1）与所替代的随机解释变量高度相关； （2）与随机误差项不相关； （3）与模型中的其他解释变量不相关，以避免
若k 30
计量经济学
（3）方差膨胀因子检验法
基于复相关系数 Ri 可以定义各个解释变量 X i 的容
忍度（TOL ，tolerance）与方差膨胀因子（VIF，variance inflation factor）如下：
TOLi 1 Ri2 ，该值越小，意味着变量 X i 不由其余
解释变量说明的部分相对越小 ；
成立的最大的 m 值。
方法三：在同一个直角坐标系中画出 k 条岭迹，找出一
个 m 值，使各条岭迹均处于稳定的状态。（当然，这里
“稳定”是一个模糊的概念）。
计量经济学
其它的一些方法
主成份估计法 逐步回归 通过自变量的选择准则来进行自变量的选择。
计量经济学
例：法国经济工作者希望通过国内生产总值x1，存储量x2，