第六章信号分析和电路的频率特性

nw1t
+ bn
sin
w1t )
å f
(t )
=
a0 2
+
¥ n=1
An
cos(nw1t
+yn)
T/2
T
w1
=
2p
T
1）来自百度文库式1
å f
(t )
=
a0 2
+
¥ k =1
(ak
cos kwt
+ bk
sin
kw t )
ò a 0
=
2 T
T
f (t)dt
0
式中
ò2
ak = T
T
f (t) cos kw tdt
表了信号中各谐波分量的所有信息。
F&n 的模为对应谐波分量的幅值的一半，幅角（当n 取正值
时）则为对应谐波分量的初相角。
F&n (nw1) 称为振幅频谱。 y (nw1) 称为相位频谱。
例2 周期脉冲信号如图所示，求该信号的频谱函数，并作振幅
频谱图。
解：由波形图可知
ì ï
0
ï
u(t)
=
ï í
U
ï
ï
0
ò bk
=
2 T
T
f (t ) sin kwtdt
0
2) 形式 2
¥
å f (t ) = A0 + Ak cos(kw t + y k ) k =1
A0
=
a0 2
式中
Ak = ak2 + bk2
yk
=
arctg
- bk ak
例1 把如图方波信号进行分解
u (t )
=
ìïïU í
ï ïî
-U
0<t < T 2
np
ïî 0
n 为奇数 n 为偶数
周期函数表示成傅里叶三角级数
f (t) =
4U
p
æ çè
sin
w1t
+
1 3
sin
3w1t
+1 5
sin
5w1t
+
L
L
ö ÷ø
式中
w1
=
2p
T
为基波角频率，第一项称为基波分量，其余
分量统称为高次谐波分量。
å f
(t)
=
a0 2
+
¥ n=1
(an
cos
nw1t
+ bn
(3)了解电路频率特性分析和模拟滤波器的基本概念。
6.1 非正弦周期信号的傅里叶级数分解(信号分解)
(1) 周期信号三角函数形式的傅里叶级数
设周期非正弦信号为：
u1
t
f (t) = f (t + kT ) （k为任意整数）
周期函数可表示成傅里叶三角级数
å f (t)
或
=
a0 2
+
¥ n=1
(an
cos
频谱函数为
ïî 0
-T <t<-t
2
2
-t <t<t
22
t <t<T
22
u(t) t
-t t T
22
ò ò U&
(nw1
)
=
1 T
T 2
u(t)e- jnw1tdt = 1
-
T 2
T
t
2 Ue- jnw1t dt
-
t 2
=U T
e
-
jnw1
t 2
-
e
jnw1
t 2
- jnw1
= tU
T
é ê ê ê
ò bn = 2 T
T
f (t) sin nw1tdt
0
ò ò = 2 T
T
2 0
U
sin
nw1tdt
+
2 T
T
T (-U ) sin nw1tdt
2
=-
2U
nw1T
(cos
nw1
T 2
-1) +
2U
nw1T
(cos
nw1T
- cos
nw1
T) 2
=U
np
(2 - 2 cos np )
ì 4U
=
ï í
T <t <T 2
u1
U
t
U
T/2
T
ò ò ò 解：
2
a0 = T
T
f (t)dt = 2
é ê
0
T êë
T
T
ù
2 Udt +
0
T 2
(-U )dt ú = 0 úû
ò ò an = 2 T
T 0
f
(t)
cos
nw1tdt
=
2 T
T
2 0
U
cos
nw1tdt
T
ò- T U cos nw1tdt = 0 2
å =
a0 2
+
¥ n=1
éæ êë çè
an
- jbn 2
ö ÷ø
e
j nw 1 t
+
æ çè
an
+ jbn 2
ö ÷ø
e-
j nw 1 t
ù úû
å å =
a0 2
+
¥ n=1
éæ êë çè
an
- jbn 2
ö ÷
e
jnw1t
ø
ù úû
+
-¥ n=-1
é êë
æ çè
an
- jbn 2
ö ÷
ejnw1t
sin nw1t
2
nw1t
ù ú ú ú
êë 2 úû
若t = T ，则可得
4
U&
(nw1
)
=
U 4
é ê ê ê êë
sin n
np
4
p
4
ù ú ú ú úû
振幅频谱如图所示。
讨论1:
若t = T ，则可得
8
U&
(nw1
)
=
U 8
é ê ê ê êë
sin n
n
p
8
p
8
ù ú ú ú úû
振幅频谱如图所示。
ø
ù úû
å å +¥
f (t) =
n=-¥
an
- jbn 2
e jnw1t
+¥
=
n =-¥
F&ne jnw1t
式中
F&n
=
an
- jbn 2
=
An 2
e jyn
ò F&n
=
an
- jbn 2
=
1 T
T f (t)e- jnw1t dt
0
F&n 称为给定信号的复数频谱函数,它是 nw1 的函数，它代
w1
u(t) t
w -t t T
22
u(t) t
w
-t t T
22
当T趋向无限大(非周期信号)时: 频谱曲线成为连续函数,其幅度为无穷小.
(1)周期信号的频谱图是一系列离散的谱线组成的，所有谱线 都出现在基波频率的整数倍的频率上。周期信号的这种频谱称 为离散频谱。 (2)从频谱函数表达式中可看出，当脉冲重复周期增大时，基 波频率将变小，谱线之间的间隔缩小，同时振幅也随之减小。
sin w1t)
w1
=
2p
T
f (t) =
4U
p
æ çè
sin
w1t
+
1 3
sin
3w1t
+
1 5
sin
5w1t
+
L
L
ö ÷ø
取不同项数时波形的逼近情况
f(t)
f(t)
Em
t
t
在实际工程计算中，由于傅里叶级数展开为无穷级数，因 此要根据级数开展后的收敛情况，电路频率特性及精度要 求，来确定所取的项数。
(2) 非正弦周期信号指数形式的傅里叶级数形式
å å f
(t )
=
a0 2
+
¥ n=1
an
cos
nw1t
+
¥ n=1
bn
sin
nw 1 t
å = a0 2
¥é
+
n=1
ê êë
an
æ çè
ejnw1t + e- jnw1t 2
öæ
÷ø
+
bn
ç è
e jnw1t
- e- jnw1t 2j
öù ÷ú ø úû
第六章 信号分析和电路的频率特性
本章主要内容：
1）非正弦周期信号的傅里叶级数分解、信号频谱概念 2）非正弦周期信号电路的稳态计算，非正弦周期函数有
效值，平均功率 3）对称三相电路中的高次谐波分析
本章教学要求：
(1)掌握非正弦周期信号的傅里叶级数分解及其复指数形 式；了解频谱的概念； (2)了解非正弦周期量的有效值的定义及其算法；平均功 率的计算；掌握利用叠加原理分析简单非正弦电路；
F&n(nw1)
w1 4w1
u(t) t
w
-t t
22
T
g
Fn(nw1)
w1
8w1
u(t) t
-t t T
22
w
讨论2
当T增大时:
w1
=
2p
T
减小,
谱线间隔减小,
幅度也减小;
U&
(nw1
)
=
tU
T
é ê ê ê
sin nw1t
2
nw1t
ù ú ú ú
êë 2 úû
g
Fn (nw1)
w1
g
Fn (nw1)