结构力学 位移法

6i
12i
3i
l
l2
l
6i
θ=1
3i
1
0 0
3i
l
3i
l2
A
θ=1
i
B i
i
－i
0
10
§7-2 等截面直杆的刚度方程
四、说明：
⑴杆件的线刚度应为杆件的抗弯刚度EI除以杆件长度l。 ⑵转角位移方程中杆端位移若为负应以负值代入以获得杆端弯矩。 ⑶固端弯矩表在应用时，应随实际杆件所受荷载，其固端弯矩作相应变化。
B
ql2/16
EI l
q
A
EI=C
l
l
A
EI l
B EI
C l 3ql2/32
中点
5
§7-2 等截面直杆的刚度方程
一、两端固定杆件的转角位移方程 ⑴杆端位移和杆端弯矩的正负规定 MAB P
①角位移θA、θB顺时针为正。
②Δ=vB-vA A、B两点的相对侧移，使杆件 产生顺时针方向旋转角βAB=Δ/l 的Δ为正。 ③杆端弯矩规定顺时针为正。 ⑵两端固定杆件的转角位移方程 M1AB
1
A
原结构有两个基本未知量 B
1
14
§7-2 等截面直杆的刚度方程
⑷位移法基本结构的构成。 位移法的附加约束法构造基本结构时，在刚结点角位移处加入附加刚臂， 在结点独立线位移处沿线位移方向加入附加链杆。 Δ1 基本结构 Δ3 Δ2 Δ4 Δ5 Δ6
B
Δ2
Δ1 C
基本结构 A
B
Δ3 C
Δ4
A
3
§7-1 位移法基本概念
三、位移法的基本思路（补充说明） 一给定结构在外因作用下，分析其内力和变形（位移）所采用途径有二：
⑴先确定受力状态
内力图（主要指弯矩图）
再确定变形位移状态。
⑵先确定变形位移状态 杆端位移（结点位移） 再求出杆端弯矩确定 受力状态。 对于梁和刚架来说，绘制其弯矩图，首先要确定各杆杆端弯矩，静定结构应 用平衡方程采用截面法即可确定杆端弯矩，超静定结构在求出结点位移后， 应用杆端位移（结点位移）与杆端弯矩的关系即可确定杆端弯矩 弯矩图。 位移法的转角位移法解题思路： ⑴以结点位移作为基本未知量。 ⑵利用几何关系找出杆端位移与结点位移的关系。 ⑶利用物理关系建立杆端弯矩与杆端位移的关系，引入几何关系得到 杆端弯矩与结点位移的关系。 ⑷由结点和杆件的平衡条件，建立位移法方程。 ⑸解方程求出结点位移，再利用杆端弯矩与杆端(结点)位移的关系， 求出杆端弯矩 弯矩图。
①若不需要增设链杆就以构成几何不变体系，则原结构无结点独立线位移。 ②若需要增设链杆才能构成几何不变体系，则原结构结点独立线位移个数等 于使铰化后体系成为几何不变体系，所需增加的最少链杆数。 Δ1
Δ2
13
§7-2 等截面直杆的刚度方程
B A C
Δ1
Δ2
原结构有五个基本未知量 A , B ,C , 1 , 2 D C B

6i A l 6i l B 12i AB l2
对于一端固定另一端铰支或另一端滑动支座的情况，用力法 都可推出类似的刚度方程。
7
§7-2 等截面直杆的刚度方程
二、一端固定一端铰支杆件的转角位移方程 P
第八章 位移法
§7-1 位移法基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算
§7-4 有侧移刚架的计算 §7-5 位移法的基本体系
§7-6 对称结构的计算 §7-7 支座移动、温度变化和 具有弹簧支座结构的内力 §7-8 剪力分配法 §7-9 近似计算法
1
§7-1 位移法基本概念
二、转角位移法计算连续梁和无侧移刚架 例题 见书P284~288
17
§7-3 无侧移刚架的计算
例：用位移法的转角位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。 解： 1）确定基本未知量：θB ， θD
8kN/m
B
i
A
i
4m
D
i
4m
E
4m
i
C
EI i 4
18
2）写出各杆转角位移方程
M AB 2i B M BA 4i B
建立位移法方程有两种方法： 1）直接利用平衡条件建立位移法方程。(转角位移法) 2）利用位移法基本体系建立位移法方程。(附加约束法) 一、转角位移法的基本原理
转角位移法计算超静定结构，根据结构的基本未知量，直接将结构离散 成一组单跨超静定杆件受杆端位移和荷载作用，写出各杆件转角位移方程， 应用结点和杆件的平衡条件建立位移法方程，求出位移后再回代转角位移方 程，求出杆端弯矩。
一、位移法的产生及应用
①力法和位移法是计算超静定结构的两种最基本方法。
②随着生产建筑业的发展，钢筋混凝土结构的出现，工程上广泛采 用高次超静定刚架。 ③力法计算高次超静定刚架，未知力数目太多，给计算带来麻烦。
④为了加快计算速度，在力法的基础上又研究并产生了位移法，并由位移法 的基本原理衍生出了力矩分配法、迭代法、分层计算法、反弯点法、D值法、 广义D值法等多种计算高次超静定刚架的方法。
38.76
B 1.78
11.73
D C
E
25.24
A 0.71
M 图(kN.m)
20
§7-4 有侧移刚架的计算
一、转角位移法计算有侧移刚架 ⑴含有结点线位移的刚架称有移刚架。
⑵有移刚架采用结点和截面法，建立位移法方程进行求解。 例：位移法计算图示刚架的M图。
q=3kN/m i A 2i 8m q=3kN/m
4）计算杆端弯矩作弯矩图 将求得的 θB 、 θD 代入杆端弯矩表达式得：
M ED 25.24KN.m
1.42 27.02
M BA 1.42KN.m M DE 38.76KN.m
M AB 0.71KN.m
M BD 1.42KN.m M DC 11.73KN.m M DB 27.02KN.m
解: 1）确定基本未知量：θB ,Δ 2）写出各杆转角位移方程
B
C i D 4m
B
i A
θB
2i 8m C C i D
Δ 4m
q=3kN/m
6i 3 M AB 2i B 4 2i B i 4 4 3 2 M BA 4i B i 4
M BC 3 2i B 6iB 3 M DC i 4
q A
l
M
F AB
q B
A
l
B
ql 2 8
11
ql 2 8
M
F BA
§7-2 等截面直杆的刚度方程
B
F M AB
B q M
F AB
ql 2 q 8
ql 2 8
A
五、位移法解题的基本未知量的确定
A
位移法计算超静定结构以结点位移作为基本未知量 ⑴桁架结构：每个结点均有两个方向的线位移作为基本未知量。
⑵刚架结构：以刚结点角位移和结点独立线位移作为基本未知量。
C
P
C
D
C
D
D
选定基本未知量为 C ,D ,
12
A
原结构
B
§7-2 等截面直杆的刚度方程
⑶结点独立线位移的判断。
(a)若考虑轴变,则每个结点均有两个独立线位移,则整个结构结点独 立线位移个数等于结点个数的两倍。例如:桁架结构。 (b)若忽略轴变和剪变，则可采用“铰化刚结点增设链杆法”判断结点独立 线位移个数，即对“铰化”后体系。
3i M AB A F M AB 3i A M AB A l M BA 0 i EI ——杆件的线刚度 l
EI
B

l
=
M AB1 A
A
EI
B

l +
M AB
F
P
A
EI
B
l
8
§7-2 等截面直杆的刚度方程
三、一端固定一端定向杆件的转角位移方程
M BA i A B M BA
2
MBA Δ
B θB A
θB
MBC B
Δ
C
D
MAB
MDC
21
§7-4 有侧移刚架的计算
3）建立位移法方程并求解
M B 0 M BA M BC 0
B MBA
MBC
q=3kN/m B A
B
C
F
A
x
0 FQBA FQCD 0
MBAFQBA
C
FQCD
M
0
FQBA
1 ( M AB M BA ) 6 4
22
M AB 13.89kNm, M BC 4.42kNm M BA 4.42kNm, M DC 5.68kNm
8kN/m B
B
i
D D i
i
E
i
A
M BD 4i B 2i D 10.67 M DB 2i B 4i D 10.67 M DC 3i D M DE i D 42.67 M ED i D 21.33
3）建立位移法方程并求解
C MBD MDB
D MDE
B MBA
MDC
M
B
0
M BA M BD 0
8iB 2iD 10.67 0 B 0.356/ i( )
M
D
0 M DB M DC M DE 0 2i B 8i D 32 0 D 3.911/ i( )
19
§7-3 无侧移刚架的计算
EI i ——杆件的线刚度 l