立体几何(自主招生辅导)

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2024年高考数学立体几何知识点总结（2篇）

2024年高考数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的重要内容之一。

在高考中，立体几何的知识点主要包括空间几何、立体图形的面积与体积等方面。

下面是对2024年高考数学立体几何知识点的总结，供考生参考。

一、空间几何1. 空间几何中的点、线、面的概念和性质。

点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的大小，用字母表示。

线是由一组无限多个点构成的集合，用两个点的字母表示。

面是由无限多条线构成的，这些线共面且没有相交或平行关系。

2. 空间几何中的垂直、平行等概念和性质。

两条线在同一平面内，如果相交角为90°，则称两线垂直。

两条线没有相交关系，称两线平行。

3. 点到直线的距离的计算。

点到直线的距离等于该点在直线上的正交投影点的距离。

二、立体图形的面积与体积1. 立体图形的分类和性质。

立体图形包括球体、圆柱体、圆锥体、棱柱体、棱锥体等。

各种立体图形具有不同的性质，如球体表面上每一点到球心的距离都相等。

2. 立体图形的面积计算。

（1）球体的表面积计算公式：S = 4πr²，其中r为球的半径。

（2）圆柱体的侧面积计算公式：S = 2πrh。

（3）圆柱体的全面积计算公式：S = 2πrh + 2πr²。

（4）圆锥体的侧面积计算公式：S = πrl，其中r为圆锥底面半径，l为斜高。

（5）棱柱体的侧面积计算公式：S = ph，其中p为棱柱底面周长，h为高。

3. 立体图形的体积计算。

（1）球体的体积计算公式：V = 4/3πr³，其中r为球的半径。

（2）圆柱体的体积计算公式：V = πr²h。

（3）圆锥体的体积计算公式：V = 1/3πr²h。

（4）棱柱体的体积计算公式：V = ph。

（5）棱锥体的体积计算公式：V = 1/3Bh，其中B为底面积，h 为高。

三、立体几何的一般理论1. 点、线、面的位置关系。

在空间中，点、线、面可以相互相交、平行、垂直等。

第5讲竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题

第5讲竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体的外接球，则球O 的球心O 在多面体的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体，则球O 的球心到多面体各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9，则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习）编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。

辅导班立体几何练习含答案

1.如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，1,60AD DC CB ABC ===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =. （I ）求证：BC ⊥平面ACFE ；（II ）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.（I ）证明：在梯形ABCD 中，∵ //AB CD ,1AD DC CB ===，∠ABC ＝60，∴ 2AB = ……………2分 ∴ 360cos 2222=⋅⋅-+=o BC AB BC AB AC ∴ 222BC AC AB +=∴ BC ⊥AC ………………… 4分∵ 平面ACFE ⊥平面ABCD ,平面ACFE ∩平面ABCD AC =,BC ⊂平面ABCD ∴ BC ⊥平面ACFE ……………6分（II ）解法一：由（I ）可建立分别以直线,,CA CB CF 为轴轴轴，z y x ,的如图所示空间直角坐标系，令)30(≤≤=λλFM ，则)0,0,3(),0,0,0(A C ，()()1,0,,0,1,0λM B∴ ()()1,1,,0,1,3-=-=λBM AB …………8分设()z y x n ,,1=为平面MAB 的一个法向量，由⎩⎨⎧=⋅=⋅0011BM n AB n 得⎩⎨⎧=+-=+-003z y x y x λ 取1=x ，则()λ-=3,3,11n ， …………10分 ∵ ()0,0,12=n 是平面FCB 的一个法向量 ∴()()122212||11cos ||||133134n n n n θλλ⋅===⋅++-⨯-+………12分∵ 03λ≤≤∴ 当0λ=时，θcos 有最小值77，当3λ=时，θcos 有最大值12。

∴ 71cos ,72θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…………15分解法二：①当M 与F 重合时，取FB 中点为G ，连结AG CG 、 ∵ 222AF AC CF =+=, ∴ AB AF = ∴AG ⊥FB∵ 1CF CB == ∴ CG ⊥FB ∴ ∠AGC =θ∵ BC ⊥CF ∴ 2FB =∴22CG =,142AG = ∴ 2227cos 27CG AG AC CG AG θ+-==⋅ …………8分… ②当M 与E 重合时，过//,B BN CF BN CF =作且使, 连结EN FN 、，则平面MAB ∩平面FCB ＝BN , ∵ BC ⊥CF ，又∵AC ⊥CF ∴ CF ⊥平面ABC ∴ BN ⊥平面ABC ∴ ∠ABC ＝θ ∴ θ=60,∴ θcos =12……………10分③当M 与E F 、都不重合时，令(03)FM λλ=<< 延长AM 交CF 的延长线于N ,连结BN ∴ N 在平面MAB 与平面FCB 的交线上 ∵ B 在平面MAB 与平面FCB 的交线上 ∴ 平面MAB ∩平面FCB ＝BN过C 作CG ⊥NB 交NB 于G ，连结AG ，由（I ）知，AC ⊥BC , 又∵AC ⊥CN, ∴ AC ⊥平面NCB∴ AC ⊥NB, 又∵ CG ⊥NB ，AC ∩CG=C ， ∴ NB ⊥平面ACG ∴AG ⊥NB ∴ ∠AGC=θ在NAC ∆中，可求得NC ＝33λ-，从而，在NCB ∆中，可求得CG ＝()2333λ-+∵ ∠ACG ＝90o∴ AG ＝()()222233433AC CG λλ-++=-+ ∴ ()21cos 34CGAGθλ==-+∵ 03λ<<∴71cos 72θ<< ………14分综合①②③得，71cos ,72θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ………15分2. （本题满分15分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为棱形，∠BAD =60o ，Q 为AD 的中点.（Ⅰ）若PA =PD , 求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅱ）设点M 是线段PC 上的一点，PM =tPC ，且PA ∥平面MQB .（ⅰ）求实数t 的值；（ⅱ）若PA =PD =AD =2，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M –BQ –C 的大小. 证明：（1）Q 为AD 的中点.PA =PD ，AD PQ ∴⊥又Q 为AD 的中点，底面ABCD 为棱形，∠BAD =60oAD BQ ∴⊥，AD ∴⊥面PBQ ，∴平面PQB ⊥平面PAD（2）（ⅰ）13t =（ⅱ）求二面角M –BQ –C 的大小为3π. 18．（本小题满分15分）已知正方形，分别是边的中点，将沿折起，如图所示，（1）证明平面；（2）若为正三角形，求二面角的余弦值．18.（1）证明：、分别是正方形的边、的中点.且四边形是平行四边形平面而平面ABCD E F ，AB CD ，ADE △DE BF ∥ADE ACD △A DE C --E F ABCD AB CD //,ED FD ∴EB FD ＝，∴EBFD //BF ED ∴ED ∴⊂AED ，BF ⊄AED A B CD E F平面………………6分（2）过点用平面垂足为连接为正三角形在的垂直平分线上。

自主招生中的立体几何问题

个结果，因此满足条件的任何．个三棱柱中所求距离为同一个数字．不妨取三棱柱ＡＢＣ－ＡＢ１Ｃ，为直三棱柱，如图４所示，运用等体积法，易求得点ｃ到平面ＡＢ，Ｅ的距离
× × ｌ ×２
从而ａｎ４高３（１一）。，组４袁３，
得ｔａｎ（＋卢）＝ｉｔａｎａ如＋ｔａｎ／３＝
．
Ａ．孚
Ｂ．孚
ｃ．３Ｄ．５
又
≤ （
）＝１，
・４５・
２距离问题例４在三棱柱ＡＢＣ — ＡＢＣ中，底面边长与
侧棱长均等于２，且Ｅ为ＣＣ。的中点，则点ｃ到平面ＡＢＥ的距离为（）
｛
Ａ．
Ｂ．
ｃ．
二
Ｄ．
二
分析
一一
（２０１１年同济大学等九校联考试题）本题每个选项中只有
例６有一个圆柱形杯子，底面周长为１２ｃｍ，高为８ｃｍ，点Ａ在内壁距杯口２ａｍ处，点Ａ对面外壁距杯底２ａｍ处有一只小虫，问小虫至少走ａｍ长的路才能到点Ａ处饱餐一顿？（２００９年南京大学自主招生试题）分析根据题意可将圆柱形杯子展开，如图７所示，小虫从点Ｂ到点Ａ的最短距离可利用勾股定理求得，即为１０ａｍ．评注几何体的展开是求最短距离的常用办

洞口一中2011届高三自主招生数学讲义第五讲平面几何、立体几何与解析几何

PBB洞口一中2011届高三自主招生数学讲义第五讲平面几何、立体几何与解析几何洞口一中数学组肖丹枫平面几何是数学的基本内容，它以严密的逻辑结构，灵活的证题方法，在发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力方面起着特殊的作用，因此，平面几何在各校自主招生考试中占有一定的地位。

立体几何是高中数学的重要内容，在自主招生中，客观题和大题都有体现主要考查空间想象能力、逻辑推理能力。

体现空间问题平面化的化归思想。

解析几何是高中数学内容的一个重要组成部分。

在具体解题时，要注意结合图形，观察图形的几何特征并灵活运用待定系数法，设而不求等常用方法。

I ．知识梳理与补充一、平面几何中的几个重要定理 1．梅涅劳斯（Menelaus ）定理如图1，设P ，Q ，R 分别是ABC ∆的边BC ，CA ，AB 所在直线上的三点，则P ，Q ，R 三点共线的充要条件是1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅=。

图1 图22．塞瓦（Ceva ）定理如图2，设P ，Q ，R 分别是ABC ∆的边BC ，CA ，AB 边上的三点，则AP ，BQ ，CR 相交于一点M 的充要条件是1BP CQ AR PC QA RB⋅⋅=。

说明：定理中的三个比值分别是P ，Q ，R 分BC ，CA ，AB 所成的比，因此三个比值中最多有两个为负，即P ，Q ，R 中如有外分点，则必有两点是外分点。

3．托勒密（Ptolemaeus ）定理如图3，圆内接四边形ABCD 两组对边之积的和等于两条对角线之积，即：AB CD BC DA AC BD ⋅+⋅=⋅。

说明：对于任意凸四边形ABCD ，必有AB CD BC DA AC BD ⋅+⋅≥⋅，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。

图3 图44．西姆松（Simson ）定理如图4，从ABC ∆的外接圆上任意一点P 向BC ，CA ，AB 或它们的延长线引垂线，垂足分别是D ，E ，F 共线，则D ，E ，F 三点共线。

(完整版)立体几何复习专题

(完整版)立体几何复习专题立体几何复专题
立体几何是数学中的一个重要分支，研究的是物体的形状、大小、位置及其相关性质。

本文档将为您提供立体几何的复专题，帮助您系统地回顾和巩固相关的知识。

1. 点、线、面与空间几何
首先我们从最基本的几何概念开始复，包括点、线、面以及空间几何的基本性质。

例如，点的定义、线的分类、平行线与垂直线的判定等。

2. 立体图形的表示方法
接下来，我们将研究立体图形的几种常用表示方法。

这些表示方法包括视图图、投影图、轴测图等，通过它们我们可以更直观地理解和描述立体图形的形状。

3. 立体图形的重要性质与公式
在本部分，我们将回顾立体图形的重要性质和相关公式。

例如，体积的计算公式、表面积的计算方法等。

同时，我们还将深入研究
不同立体图形的特点和相互之间的关系。

4. 空间几何的应用
最后，我们将介绍空间几何在实际生活中的应用。

例如，如何
测量不规则物体的体积、如何计算房屋的准确面积等。

这些应用案
例将帮助您更好地理解和应用空间几何的知识。

总结
本文档为您提供了立体几何的复专题，通过回顾和巩固相关知识，帮助您更好地掌握立体几何的基本概念、表示方法、重要性质
和应用。

希望这份文档能对您的研究有所帮助！。

初中数学教案立体几何进阶

初中数学教案立体几何进阶初中数学教案：立体几何进阶介绍：立体几何是初中数学的一部分，它研究的是空间内各种图形的性质和相互关系。

在初中数学教学中，立体几何是一个重要的内容，也是学生们较难理解和掌握的一部分。

本篇教案将帮助学生进一步了解和掌握立体几何的相关概念和计算方法。

一、立体图形的认识（引导学生观察图形）任教师从教学工具包中拿出几个不同形状的立体图形，如立方体、正方体、圆柱体、圆锥体等，并让学生观察、触摸、感受这些图形的表面、边和顶点，并允许学生发表自己的观察结果。

二、立体图形的名称和性质（讲解和示范）1. 讲解每个立体图形的名称和性质。

例如，立方体的特点是有6个面、12条边和8个顶点，并且每个面都是一个正方形。

2. 教师示范用适当的方法制作并展示每个立体图形，并引导学生观察和记录各个面、边和顶点的数量。

三、立体图形的展开图（互动学习）1. 引导学生使用手工制作展开图，并将其折叠成相应的立体图形。

例如，将一个立方体的展开图剪下来并折叠成一个立方体。

2. 通过互动学习，让学生理解展开图和立体图形之间的对应关系，并运用展开图解决一些问题。

四、表面积和体积的计算（讲解和练习）1. 以某个立体图形为例，讲解如何计算其表面积和体积。

例如，计算一个长方体的表面积可使用公式 S = 2lw + 2lh + 2wh，其中 l、w 和 h 分别代表长方体的长度、宽度和高度。

2. 给学生一些练习题，让他们在纸上计算不同立体图形的表面积和体积，并批改答案。

五、应用题实践（思考和解决问题）1. 给学生一些应用题，让他们运用所学知识解决与日常生活相关的问题，例如计算水桶的容积、房间的墙壁面积等。

2. 鼓励学生思考和讨论解决问题的方法和思路，并辅导他们完成问题的解答。

六、复习和反思（巩固知识）1. 对所学立体几何知识进行复习，可通过练习题或小测验的形式进行。

2. 引导学生回顾学习过程，思考自己在学习立体几何中存在的困难和不足，并提出改进的方法和建议。

(自主招生培训)第一讲：立体几何

第一讲：立体几何第一部分：立体几何中的一些结论1、如图1，分别在两条异面直线上的两点间的距离公式：l =θ为两条异面直线所成的角．2、如图2，PA 与平面π所成的角是PAO α=∠，AQ ⊆面π，QAO β=∠，QAP θ=∠，则得三线角定理：cos cos cos θαβ=．3、如图3，在二面角12l ππ--中，射线DA 、DB 分别在平面1π、2π内，已知ABD θ∠=，ADC α∠=，BDC β∠=，且θ、α、β都是锐角，ϕ是二面角12l ππ--的平面角，则cos cos cos cos sin sin θαβϕαβ-=．4、如图4，二面角12l ππ--的大小为ϕ，A ∈面1π，B ∈面2π，AB 与面1π和面2π所成的角分别为α、β，点A 、B 到棱l 的距离分别为b 、a ，AB c =，则sin sin sin a b cαβϕ==． 5、欧拉定理：设V 、E 和F 分别表示凸多面体的顶点、棱（或边）、面的个数，则2V E F -+=． 6、类比平面几何中的三角形，可以得到空间四面体的一些性质：（1）四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫四面体的外接球球心；A BM Ndlm n ABM Ndl m n图1PAQO图2lBA D1π2π图3ClBAD1π 2π图4Cr 、S 分别表示四面体的体积、内切球半径、表面积，则13V rS =；（3）四面体的四个面的重心与相对顶点的连线交于一点，这一点叫四面体的重心，四面体的四个面的重心与相对顶点的连线段被四面体的重心分为3:1；（4）每个四面体都有外接球和内切球；7、直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，以长方体的共顶点的三条棱的端点为顶点的四面体是直角四面体．对于直角四面体A BCD -，若直三面角的顶点为A ，互相垂直的三条棱长为a 、b 、c ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，则有如下结论：（1）空间勾股定理：22222222221()4ABC ACD ABD BCD S S S S a b b c a c ∆∆∆∆++==++；（2）ABC ACD ABD BCD S S S S r a b c ∆∆∆∆++-=++；（3）R =；（4）直角四面体的对棱中点的连线长相等，且等于外接球半径；8、等腰四面体：三组对棱都相等的四面体统称为等腰四面体，以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，正四面体是特殊的等腰四面体（犹如平几中等腰三角形与等边三角形的关系）；在等腰四面体ABCD 中，记BC AD a ==，AC BD b ==，AB CD c ==，体积为V ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，高为h ，则有：（1）V 22222a b c k ++=；（2）R =（3）4h r =；（4）等腰四面体的四个顶点与对面重心的连线段的长相等，且可表示为m =AB DC OM 图5 ADBC图6第二部分：例题讲解【例1】（“卓越联盟”2012自招）在直角梯形ABCD 中，90ABC ∠=，1AB AD AP ===,2BC =，面ABP ⊥面A B C D．（1）求证：面PAB ⊥面PBC ；（2）若0120PAB ∠=，求二面角B PD C --的正切值．【例2】（清华2008自招）（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱可以组成一个三角形；（2）四面体的一个顶点的三个面角分别为090、060、arctan 2，求060的面和arctan 2的面所成的二面角的大小．【例3】（同济2010自招）四面体ABCD 中，AB 和CD 为对棱，设AB a =，CD b =，且异面直线AB 与CD 间的距离为d ，夹角为θ．（1）若2πθ=，且棱AB 垂直与平面BCD ，求四面体ABCD 的体积；（2）当2πθ=时，证明：四面体ABCD 的体积为定值；（3）求四面体ABCD 的体积． PAB C DAB C D ACBNO【例4】（清华2009自招）四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =．（1）求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）设底面为BCD ，另外三个面与面BCD 所成的二面角为α、β、γ，求证：cos cos cos 1αβγ++=．【例5】（复旦2009自招）半径为R 的球内部装4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值为．【例6】（1）（武大2006自招）已知一个简单多面体的每一个面均为五边形且它共有30条棱，则多面体的面数F 和顶点数V 分别是．（2）一个凸多面体各面的内角和为20π，求它的面数、棱数和顶点数．【例7】（五校联考2010）如图，四棱锥P ABCD -中，1B 、1D 分别为PB 、PD 的中点，求两个棱锥11A B CD -、P ABCD -的体积之比11A B CD P ABCDV V --的值．（提示：本题可用这样一个结论：如图，1A 、1B 、1C 分别是OA 、OB 、OC 上（或其延长线）的点，则111111O A B C O ABCV OA OB OC V OA OB OC--=） ADBCABCDP1B1D【例8】（五校联考2010）（1）一个正三棱锥的体积为3，求它的表面积的最小值；（2）一个正n 棱锥的体积为V （定值），求一个与n 无关的充要条件，使得正n 棱锥的表面积取得最小值．【例9】（复旦2001基地）全面积为定值2a π（0a >）的圆锥中，体积的最大值为．第三部分：练习题1、（五校联考2010）平面α∥平面β，直线m α⊆，n β⊆，A m ∈，B n ∈，AB 与平面α所成角为4π，AB n ⊥，AB 与m 的夹角为3π，则m 与n 所成的角为．2、直线l ⊆面α，经过面α外一点A 作与直线l 、面α都成030的直线有且只有条． 3、（华约2011自招）两条异面直线a 、b 所成角为060，点P 为空间一定点，则过点P 且与直线a 、b 所成的角都是045的直线有且只有条．4、已知二面角l αβ--的大小为050，P 为空间一定点，则过点P 且与面α、面β所成的角都是025αβmn AB5、直线a 与平面α所成的角为030，P 为空间一定点，过P 作与直线a 、面α都成045角的直线有且只有条．6、过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使l 与棱AB 、AD 、1AA 所成的角都相等，这样的直线有条．7、（复旦2008自招）空间中，与三条两两异面的直线都相交的直线有条．8、已有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点相连能焊接成一个三棱锥的铁架，则a 的范围是．9、一个空间四面体有5条棱长均为2，则该四面体的体积的取值范围为． 10、在正三棱锥P ABC -中，M 为ABC ∆内（含边界）一动点，若点M 到三个侧面PAB 、面PBC 、面PCA 的距离成等差数列，则点M 的轨迹是．11、在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，090ACB ∠=，6AC =，1BC CC ==，点P 是1BC 上一动点，则1A P PC +的最小值为．12、一个四棱锥和三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面是正方形，且底面边长和侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长和侧棱长也相等，设四棱锥、三棱锥、棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h = ．13、在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA OB OC >>，分别过三条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为1S 、2S 、3S ，则1S 、2S 、3S 的大小关系为．14、在三棱锥P ABC -中，2PA BC ==，3PB AC ==，4PC AB ==，则此三棱锥外接球的表面积为．15、在正三棱锥P ABC -中，E 、F 分别是PA 、AB 的中点，若090CEF ∠=，AB =，则此三棱锥的外接球球心到底面ABC 的距离是．若M ∈面ABC ，且点M 到面PAB 、面PBC 、面PAC 的距离分别为1、2、3，则PM = ．16、（华南理工2009自招）已知A 、B 、C 、D 四点是某球面上不共面的四点，且AB BC AD ===2BD AC ==，BC AD ⊥，则此球的表面积为．17、半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，且2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为．18、（复旦2008自招）在三棱柱111ABC A B C -中，M 、N 分别是1BB 和11B C 的中点，由A 、M 、N 所确定的平面将该三棱柱分割成的体积不等的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为． 19、（南大2009自招）四面体ABCD 中，平面π截四面体所得的截面为EFGH ，且AB ∥面π，CD ∥面π，AB 到平面π的距离为1d ，CD 到平面π的距离为2d ，1d k d =．则空间几何体ABEFGH 与四面体ABCD 的体积之比．（用k 表示）20、（华南理工2009自招）在正三棱锥P ABC -中，侧棱长为3，底面边长为2，E 为BC 的中点，EF ⊥PA 于F ．（1）求证：EF 为异面直线PA 与BC 的公垂线；（2）求异面直线PA 与BC 间的距离；（3）求点B 到面PAC 的距离． 21、（华约2011）在正四棱锥P ABCD -中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成，则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为．22、（卓越联盟2011）在三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长均为2，且E 为1CC 的中点，则点1C 到平面1AB E 的距离为．23、（复旦2012）侧面积为定值a 的圆锥的最大体积的二次幂为．24、（2011年全国高中数学联赛）在四面体ABC D 中，3A DB B DC CD A π∠=∠=∠=，3AD BD ==，2CD =，则外接球的半径是．。

深圳四大自主招生考试内容

深圳四大自主招生考试内容
深圳四大自主招生考试分别是初中数学、初中英语、高中数学、高中英语。

具体内容如下：
初中数学：
1.第一学期知识点：整数、分数、小数、初中代数；
2.第二学期知识点：平面几何、立体几何、平面图形、盘根错
节的数学题目；
3.第三学期知识点：平面向量、三角函数、初中立体几何等。

初中英语：
1.词汇：单位1-3的单词，词汇分类、常用词、多义和同形词、动词的词形变化、主要动词的用法和短语、典故、文化和习语；
2.语法：被动语态、情态动词、副词、时间和频率、语态、疑
问句、不定代词、比较级和最高级；
3.阅读：能力和策略、文化的透视、辨别、组成、填空、快速
阅读、完形填空、短文理解、新闻报道和广告。

高中数学：
1.函数：函数的概念、函数性质和函数图像；
2.数列：数列和数学归纳法；
3.初步的微积分：导数和导函数、函数的极值和单调性、最值
和概率。

高中英语：
1.阅读：阅读技巧、阅读策略、阅读理解、理解推理、辨别、组成、填空等；
2.写作：写作技巧、主题措辞、结构组织、期望表格和使用语言等；
3.语法：时态、语态、复杂句子、情态动词、虚拟语气等。

立体几何截面、外接球、动点归类(学生版)(1)

立体几何截面、外接球、动点归类目录题型一：动点：恒平行题型二：动点：恒垂直题型三：动点：球截面题型四：动点；定角题型五：外接球：线面垂直型题型六：外接球：垂面型题型七：外接球：两线定心法题型八：外接球：二面角型题型九：外接球：最值范围型题型十：外接球：动点与翻折题型十一：动点型最短距离和题型十二：动点：内切球题型十三：多选题综合应用：二面角型几何体题型十四：多选题综合应用：翻折型题型十五：多选题综合应用：正方体表面动点型题型十六：多选题综合应用：两部分体积比型题型一：动点：恒平行线面恒平行，过线做面，需要找它们和第三个面的交线互相平行，借助好“第三个面的交线平行“这个性质，可以解决线面恒平行题型的截面问题1在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=AC=2AB=2AD=4，CD⊥AD，CB⊥AB，G为PC的中点，过AG的平面α与棱PB、PD分别交于点E、F．若EF∥平面ABCD，则截面AEGF的面积为．2在三棱锥ABCD 中，对棱AB =CD =5，AD =BC =13，AC =BD =10，当平面α与三棱锥ABCD 的某组对棱均平行时，则三棱锥ABCD 被平面α所截得的截面面积最大值为.3(山西省怀仁市2022届高三下学期一模数学试)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为22的正方形，P 在底面的射影为正方形的中心O ,PO =4,Q 点为AO 中点.点T 为该四棱锥表面上一个动点，满足PA ,BD 都平行于过QT 的四棱锥的截面，则动点T 的轨迹围成的多边形的面积为()A.55B.554C.354D.552题型二：动点：恒垂直恒垂直型截面，可以借助投影解决，投影型，需要利用”三垂线定理及其逆定理“这个性质转化寻找。

三垂线定理指的是平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

1如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ,AB =BC =CC 1=2，点P 在棱BC 上运动，则过点P 且与A 1C 垂直的平面α截该三棱柱所得的截面周长的最大值为．2(江西省南昌三中2021-2022学年高三10月月考数学(理)试题)在棱长为2的正方体ABCD-A1 B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面面积为()A.42B.26C.25D.2103(清华大学自主招生暨领军计划数学试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，棱AA1的中点为E，AC与BD交于点O．若平面α经过点E且与OC1垂直，则平面α该正方体所得截面的面积为()A.64B.22C.32D.1题型三：动点：球截面1已知正四面体P-ABC内接于球O，点E是底面三角形ABC一边AB的中点，过点E作球O的截面，若存在半径为3的截面圆，则正四面体P-ABC棱长的取值范围是()A.[2，3]B.[3，6]C.[22，23]D.[23，26]2(江西省景德镇市浮梁县第一中学2022-2023学年高三数学试题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为棱AA1的中点，截面CD1E交棱AB于点F，则四面体CDFD1的外接球表面积为()A.39π4B.41π4C.12πD.43π43(新疆2022届高三年级第一次联考数学试题)已知三棱锥P-ABC，AB=BC=2，∠ABC=2π3，PA=43，PA过三棱锥P-ABC外接球心O，点E是线段AB的中点，过点E作三棱锥P-ABC外接球O的截面，则下列结论正确的是()A.三棱锥P-ABC体积为463B.截面面积的最小值是2πC.三棱锥P-ABC体积为263D.截面面积的最小值是π2题型四：动点；定角定角：定角，可以平移旋转而成圆锥母线、轴关系1.直线和直线成定角，可与平移-旋转为圆锥母线与轴的关系。

空间立体几何知识点总结单招考点

空间立体几何知识点总结单招考点1.立体图形的基本概念立体图形是指具有长度、宽度和高度三个方向的图形。

常见的立体图形有球体、立方体、圆柱体、圆锥体和棱柱等。

-球体是由所有到一个固定点距离相等的点组成的图形，其中心为球心，半径为球半径。

-立方体是六个面都是正方形的立体图形，它有八个顶点、十二个棱和六个面。

-圆柱体是由两个圆和其间的曲面组成的立体图形，其中底面圆的圆心与底面圆上任意一点的连线垂直于底面圆。

2.空间立体几何计算公式在解决空间立体几何问题时，我们经常需要用到一些计算公式，下面是一些常用的公式：2.1球体的体积和表面积-球体的体积公式：$V=\fr ac{4}{3}πr^3$，其中$r$为球半径。

-球体的表面积公式：$S=4πr^2$。

2.2圆柱体的体积和表面积-圆柱体的体积公式：$V=πr^2h$，其中$r$为底面圆的半径，$h$为圆柱体的高。

-圆柱体的侧面积公式：$S_s=2πr h$，其中$r$为底面圆的半径，$h$为圆柱体的高。

-圆柱体的底面积公式：$S_b=πr^2$，其中$r$为底面圆的半径。

-圆柱体的表面积公式：$S=2πr(r+h)$，其中$r$为底面圆的半径，$h$为圆柱体的高。

2.3立方体的体积和表面积-立方体的体积公式：$V=a^3$，其中$a$为立方体的边长。

-立方体的表面积公式：$S=6a^2$，其中$a$为立方体的边长。

3.空间立体几何的常见问题在单招考试中，空间立体几何也是常见的考点，下面介绍一些常见问题及解决方法：3.1判定立体图形的位置关系常见的判定立体图形位置关系的方法有以下几种：-通过对比立体图形的坐标以及相关线段和角的位置关系，判断是否存在垂直、平行和共面等关系。

-利用立体图形的几何性质，如两条直线垂直的条件、两个平面平行的条件等，来判断立体图形的位置关系。

3.2计算立体图形的体积和表面积计算立体图形的体积和表面积是空间立体几何的重要内容，可以利用前面介绍的计算公式进行计算。

立体几何题(自主招生难度题)

立体几何题1、证明下列结论：正方体和长方体的外接球的直径等于其体对角线长；正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。

2、如果相交成2π的两条直线和一个平面所成的角64ππ和，则这两条直线在平面上的射影所成的锐角是_________2.1、设O 是矩形ABCD 的边CD 上一点，以直线CD 为轴旋转这个矩形所得圆柱的体积为V ，其中以OA 为母线的圆锥的体积为V4，则以OB 为母线的圆锥的体积等于（） A.V 4 B. V 9 C. V 12 D. V 152.2、若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的侧圆锥形器皿中，则水面的高度是（）A. 63cmB. 6cmC. 2183cmD. 3123cm2.3、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是___________2.4、自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MA 、MB 、MC ，若2MA MB =，则MA MB MC ++的最大值为5R3.由曲线24x y =,24x y =-,4x =,4x =-围成的图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的体积为1V ;满足2216x y +≤,22(2)4x y +-≥,22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕yB C OA DA轴旋转一周所得的几何体的体积为2V ,求1V :2V .3.1、在x O y 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________4.如右图,底面半径1r =,被过A,D 两点的倾斜平面所截,截面是离心率为2的椭圆,若圆柱母线截后最短处1AB =,则截面以下部分的几何体体积是多少?4.1、设B 、C 是定点，且均不在平面α上,动点A 在平面α上,且1sin 2ABC ∠=，则点A 的轨迹为（）（A ）圆或椭圆（B ）抛物线或双曲线（C ）椭圆或双曲线（D ）以上均有可能 D5.在四面体ABCD 中,设AB m =,CD n =,直线AB 与CD 的距离为d ,夹角为θ,则四面体ABCD 的体积等于多少?1sin 6mnd θ6.正四棱锥S ABCD -中,045ASB ∠=,二面角A SB C --为θ且cos m θ=,(m , n 为整数),求_________m n +=7、求棱长为a 的正八面体的对角线长及相邻两面所成的二面角的大小的余弦值1,23-8.空间四个球,它们的半径分别是2,2,3,3.每个球都与其他三个球外切.另一个小球与这四个球都相切,则这个小球的半径等于多少?（1995年第十届CMO ）9、已知三棱锥P A B C -的顶点都在同一球面上，PA ⊥平面0,150,A B C A B C ∠=1,2P A A C ==,则该球的表面积为_______________10、已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,点P 为线段11AC 上的动点，则四棱锥P ABCD -的外接球的半径的取值范围是________________11、有一个m n p ⨯⨯的长方体盒子,另有一个(2)(2)(2)m n p +⨯+⨯+的长方体盒子, 其中,,m n p 均为正整数(m n p ≤≤),并且前者的体积是后者一半,求p 的最大值.12、已知长方体1111ABCD A BC D -中，15,4,3AB AA AD ===,从点A 出发沿着表面运动到1C 的最短路线长是________12.1、在正三棱锥P ABC -中,AB a =,2PA a =,过A 作平面分别交平面PBC 于DE.当截面ADE ∆的周长最小时,ADE S ∆=?P 到截面ADE 的距离为?12.2、如图所示，圆锥母线长4,PB =底面半径1r =，3PM MB =，也即是M 为PB 的四等分点，从M 点拉一根绳子，绕圆锥侧面一周到点B （1）求绳子的最短长度（2）当绳子长度最短时，求圆锥顶点P 与绳子上点联线的最小长度5；0.4；12.3、过点()1,0的直线交抛物线24y x =于,P Q 两点，现沿x 轴将平面直角坐标系翻折成直二面角，则翻折后线段PQ 的最小值是___________________13、若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：21212211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅=∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP、11OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ，则类似的结论为：_________________.13.1、设正三棱锥P ABC -的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上下两部分，求两部分体积之比（91年全国联赛）42113.2、设P A B C D -是一个高为3，底面半径为2的正四棱锥，过顶点A 和棱PC 的中点K 作一平面，分别交棱,PB PD 于点,M N ，求四棱锥P AMKN -的体积V 的取值范围43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦14、在平面几何中，有勾股定理：“设∆ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则.222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 .14.1、若三棱锥P ABC -为直三棱锥（,,PA PB PC 两两垂直），H 为三角形ABC 的垂心。

11.自主招生专题之立体几何(答案)

1
例 4.将八个半径都为 1 的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于． H 解析：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面 ABCD 上 E G 的射影是一个正方形．是把正方形 ABCD 绕其中心旋转 45而得． F 设 E 的射影为 N，则 MN= 2－1．EM= 3，故 EN2=3－( 2－1)2=2 2． ∴EN= 4 8．所求圆柱的高=2+ 4 8．
2 4.（2001 年复旦大学）全面积为定值 a （其中 a 0 ）的圆锥中，体积的最大值为
A． a
2 3
3
B．
2 3 a 12
C． a
1 6
3
D．
3 3 a 6
5.（2008 年上海财经）对一个棱长为 1 的正方体木块 ABCD A 1B 1C1D 1 ,在过顶点 A 1 的三条棱上分别取点 E, F , G ，使 A1E A1F A1G 。削掉四面体 A1 EFG 后，以截面 EFG 为底面，在立方体中打一个三棱柱的洞，使棱柱的侧棱均平行于体对角线 A1C 。当洞打穿后，顶点 C 处被削掉，出口是一个空间多边形，则这个多边形是（ C ）（A）二角形（B）四边形（C）六边形（D）八边形解析：此三棱柱的洞打穿点 C 后，在每个面（共三面）上留下一个三角形缺口, 由于 PQR 以右全部截掉，实际上并不作为多边形的边线，故这个空间多边形是六边形. 6.(2010 年华约)在四棱锥 V ABCD 中， B1 ， D1 分别为侧棱 VB， VD 的中点，则四面体 AB1CD1 的体积与四棱锥 V ABCD 的体积之比为（ C ）（A） 1 : 6 （B） 1 : 5 （C） 1 : 4 （D） 1 : 3 7.（2010 年复旦千分考）在一个底面半径为 1/2，高为 1 的圆柱内放入一个直径为 1 的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、侧面以及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是（ B ） A. 32 个； B. 30 个； C.28 个； D.26 个 8.（2005 年上海交大）将 3 个 12cm× 12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这 6 部分接于一个边长为 6 2 cm 的正六边形上（如下图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为_____________．864 cm

高考补习班学习材料(立体几何)

立体几何一．1.线面平行定义：直线和平面没有公共点。

2. 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示为：.////,,αααa b a b a ⇒⊂⊄3.面面平行的定义：平面与平面没有公共点叫平面与平面平行。

4.平面与平面的判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

符号语言表示为：,,//a b a b A a b αααβββ⊂⊂=⎫⇒⎬⎭∥，∥；简记为：线面平行，则面面平行.判定两个平面平行，也可以用以下方法：（1）垂直于同一条直线的两个平面平行；（2）平行于同一个平面的两个平面互相平行。

5.平行线的找法：①见中点找中点；②有经过它的平面和要证的平行平面相交可以找交线；③模型一：；④模型二：三角形中位线③模型三：三角形分割。

说明：模型一适用于线面大小适中，模型二适用于短线段大平面，模型三适用于长线段小平面。

例1：如图，梯形ECBD 与三角形ABC 交与BC ，BD ∥CE ，并且EC=2BD ，M 是EA 的中点，求证:DM//平面ABC.证明：取AC 中点N ，连接MN ，BN ，由M ，N 分别是边AE 和边AC 的中点得，MN 为三角形ACE 中位线，所以 EC MN 21//，因为BD ∥CE ，并且EC=2BD ，所以BD MN //，所以四边形MNBD 为平行四边形，所以MD//BN ，又ABC MD 平面⊄，ABC BN 平面⊂，所以 DM//平面ABC.课堂练习一：1. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形， E 、F 分别为PC 和BD 的中点．证明：EF ∥面PAD 。

2.如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABC,且各棱长均相等. D,E,F 分别为棱AB,BC,A 1C 1的中点. 证明:EF ∥平面A 1CD.D例2：正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP=DQ.求证：PQ ∥平面BCE. 证明：如图，连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ，连结EK. ∵AD ∥BC,∴QKAQQB DQ =.又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ，且AP=DQ ，∴PEAPQK AQ =.则PQ ∥EK.∴EK ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE.∴PQ ∥平面BCE. 例3：如图，已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形ABCD , 点F 为PC 的中点．求证：//PA 平面BFD 。

高一数学高效课堂资料立体几何自主训练(1)

长记录好，准备展示质疑。
规范展示
展示问题
位置展示小组7前黑板5组，10前黑板
6组
13
前黑板
7组，
15
后黑板
8组
16
后黑板
9组
目标：
（1）规范认真，脱稿展示；（2）不但要展示解题过程，更重要的是展示规律方法、注意的问题、拓展; 其他同学讨论完毕总结完善，A层注
意拓展，不浪费一分钟；（3）小组长要检查落实,力争全部达标 .
高效课堂精品课件高一数学
市实验中学数学组
Network Optimization Expert Team
1.把下列用品准备好：课本、导学案、典题本、练习本、学案导学。 2.本节核心知识再思考
高效，从你的激情开始！
立体几何自主训练
课堂因你而精彩
自查自纠
A DCB C, CA DA C 11.③⑤ 12.7, 13.50c m 14.①②③④⑤ 15.侧棱长 21, 斜高2 3 16.(1)S 2 x2 4x(0 x 6)
• 由三视图还原几何体时，一般先由俯视图确定底面，由主视图与左视图确定几何体的高及位置，同时想象视图中每一部分对应实物部分的形状.
• 1、观察分析（是何种图形）
• 2、想象猜测（可能的形状）
• 3、还原验证（验证是否满足）
整理巩固
要求：整理巩固错题、重点题
落实基础知识完成知识结构图
分享提升
展示问题
位置展示小组
7
前黑板
11组
10
前黑板
13
前黑板
12组
15
后黑板
16
后黑板
10组
目标：

中考自招学案1：几何综合

例题精讲：例1：已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，AB CD ⊥，AB EF ⊥，CO EG ⊥．求证：GFCD =例2：已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，15=∠=∠PDA PAD ．求证：PBC ∆是正三角形．例3：如图，已知四边形ABCD 、1111D C B A 都是正方形，2A 、2B 、2C 、2D 分别是1AA 、1BB 、1CC 、1DD 的中点．求证：四边形2222D C B A 是正方形．同步练习：练习1：．AFG CEBO DAPCDB D 2C 2B 2A 2D 1C 1B 1CBDAA 1几何综合（难度较大）（2）若60=∠BAC ，求证：AO AH 2=．练习2：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、BE 分别交MN 于P 、Q ．求证：QA PA =．练习3：设P 是边长为1的正ABC ∆内任一点，PC PB PA L ++=，求证：23≤≤L 参考答案例1：答案：证明略APCB ·OQPBDECN M ·A解析：如下图做AB GH ⊥,连接EO 。

由于GOFE 四点共圆，所以OEG GFH ∠=∠,即GFH ∆∽OEG ∆,可得CDCOGH GO GF EO ==,又CO EO =，所以GF CD =得证。

例2：答案：证明略解析：如下图做DGC ∆使与ADP ∆全等，可得PDG ∆为等边三角形，从而可得CGP APD DGC ∆≅∆≅∆,得出DC AD PC ==和 15=∠=∠PCG DGC ,所以30=∠DCP ，从而得出PBC ∆是正三角形．例3：答案：证明略解析：如下图连接1BC 和1AB 分别找其中点F ,E 连接F C 2与E A 2并延长相交于Q 点，连接2EB 并延长交Q C 2于H 点，连接2FB 并延长交Q A 2于G 点，由2111122121FB C B B A E A ===，122121FC BC AB EB ===，又 90=∠+∠Q GFQ 和902=∠+∠Q GEB ,所以GFQ GEB ∠=∠2又2222EB A FC B ∠=∠，可得2222EB A FC B ∆≅∆，所以2222C B B A =，又902=∠+∠F HB GFQ 和22A EB GFQ ∠=∠,从而可得90222=∠C B A ，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形2222D C B A 是正方形。