利用待定系数法因式分解和分式的拆分等
有理函数的积分拆分方法
有理函数的积分拆分方法一、前言积分是高等数学中非常重要的概念。
而有理函数则是些基础的函数，其定义域是有理数的多项式函数。
在进行有理函数的积分时，我们有时可以通过拆分的方式，将原式转化为简单的形式，从而使求解变得更加容易。
本文将讨论有理函数的积分拆分方法，特别是常见的分式分解法和部分分式分解法。
二、分式分解法分式分解法是将原有理式拆分成若干个分式相加的形式。
下面我们将介绍一下分式分解法的具体步骤：1.将分母拆分成多项式的积。
例如：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{ B}{x+2}$其中 $A$，$B$ 是待定系数。
2.将原式中的分式分别乘上其对应的除数。
例如：$x^2+2x=A(x+2)+B(x+1)$3.利用待定系数的方法求解 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x$ 替换为 $x=-1$，可以得到 $A=-1$。
在上式中将 $x$ 替换为 $x=-2$，可以得到 $B=2$。
最终得到：$\frac{x^2+2x}{(x+1)(x+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+2}$三、部分分式分解法部分分式分解法则是将有理式模拟成部分分式，之后进行求解。
下面我们将介绍部分分式分解法的具体步骤：1.将分母分解因式。
例如：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}$2.将各因式拆成单项式。
例如：$\frac{5x-1}{(x-1)(x-2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}$3.用待定系数法求解。
例如：$5x-1=A(x-2)+B(x-1)$4.解得系数 $A$，$B$。
例如：在上式中将 $x=1$，可以得到 $A=-4$。
在上式中将 $x=2$，可以得到 $B=9$。
最终得到：$\frac{5x-1}{x^2-3x+2}=\frac{-4}{x-1}+\frac{9}{x-2}$四、总结：通过上述两种方法，我们可以将有理函数的积分拆分为若干个简单的分式相加。
因式分解的常用方法(基本公式法,分拆法,配方法,换元法,待定系数法)
因式分解方法归纳总结第一部分：方法介绍初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，进一步着重换元法，待定系数法的介绍.、提公因式法.：ma+mb=m(a+b)、运用公式法.(1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ---------- a 2-b2=(a+b)(a -b);, 2 2, 2 2 , 2,2(2) (a ± b) = a ± 2ab+b ----------------- a ± 2ab+b =(a ± b);(3) (a+b)(a 2-ab+b2) =a 3+b3------ a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2);2 2、33 3 3 2 2、(4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b -------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ).F面再补充两个常用的公式：(5) a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2;3,3 3 2,2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca);例.已知a, b, c是ABC的三边，且a2 b2 c2则ABC的形状是()(二)分组后能直接运用公式ab bc ca,A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形解: a2 b2 c2 ab bc ca 2 2 22a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 2 2(b c) (c a)三、，分组分解法例 2、分解因式：2ax 10ay 5by解法一：第、二项为一组；第三、四项为一组。
解:原式=(2ax 10ay) (5by bx)= 2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)bx解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。
原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b)5y(2a b) =(2a b)(x 5y)练习：分解因式1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
待定系数法分解因式(含答案)-
待定系数法分解因式(含答案)-
待定系数法是一种常用的解题方法，可应用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。
掌握待定系数法对于初中、高中甚至大学的许多课程都有很大帮助。
待定系数法的基本思路是将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，通过解方程或方程组求出待定的系数或找出某些系数所满足的关系式。
本文主要介绍待定系数法在因式分解中的应用。
通过一系列题目的因式分解过程，同学们可以研究到用待定系数法进行因式分解时的方法、步骤和技巧。
例如，对于一个多项式，我们可以设其分解式为，然后通过比较系数得到方程组，进而求出待定系数m和n的值。
有时，我们也可以根据已知条件来设定二次三项式的表达式，然后利用恒等式的性质求出各项的系数，如在关于x的二次三项式中，当x=2时，其值为10，求这个二次三项式。
需要注意的是，有时方程的个数可能多于未知数的个数，此时需要将求得的值代入多余的方程逐一检验，若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。
总之，掌握待定系数法可以在解题过程中事半功倍，同学们要认真研究和掌握。
因式分解的待定系数法
因式分解的待定系数法因式分解的待定系数法是一种通过设定待定系数，并利用已知条件解方程组来分解代数表达式的方法。
这种方法常用于分解多项式或解析函数的因式，对于一些复杂的多项式或函数，待定系数法能够提供一种简单有效的解决方案。
在待定系数法中，我们假设要分解的多项式或函数为P(x)，并设定待定系数a，b，c等，并利用已知条件建立方程组，通过求解方程组，我们可以确定待定系数的值，从而得到多项式或函数的因式。
具体来说，设定待定系数法通常分为以下几个步骤：1. 确定待定系数的个数：根据多项式或函数的次数，确定所需的待定系数的个数。
例如，对于二次多项式，我们需要设定两个待定系数。
2. 建立方程组：根据已知条件建立方程组，以求解待定系数。
已知条件通常来自于多项式或函数的根、零点、截距等，也可能包括导数的值等等。
方程组的个数应当与待定系数的个数相等。
3. 求解方程组：利用代数方法求解方程组，以确定待定系数的值。
4. 得到因式：将待定系数的值代入到多项式或函数中，得到因式的表达式。
下面通过一个具体的示例来解释待定系数法的具体过程：假设我们要分解二次多项式P(x) = ax^2 + bx + c，其中a，b，c为待定系数。
已知P(x)的图像上有一个零点为x = 1，并且在x = 2处有一个切线的斜率为3。
现在利用待定系数法分解P(x)。
根据已知条件，我们可以列出方程组：1. P(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 02. P'(2) = 2a(2) + b = 3解这个方程组可以得到待定系数的值。
假设方程组的解为a = 2，b = 1，c = -1。
将待定系数的值代入P(x)，我们得到因式的表达式为P(x) =2x^2 + x - 1。
通过解方程组，我们成功地将二次多项式P(x)通过待定系数法分解成了三个一次因式。
这种方法同样适用于更高次的多项式或更复杂的函数，只要设定足够的待定系数，并利用已知条件建立方程组。
待定系数法在解题中的灵活运用
待定系数法在解题中的灵活运用待定系数法英文名称为undetermined coefficients 它是一种求未知数的方法。
一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。
例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。
求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。
从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。
求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。
广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
如果我们的学生能掌握这种待定系数法在数学中的灵活应用，对我们解题思维，解题速度，解题方向都很有帮助。
下面就让我们一起体会一下：待定系数法在我们求不等式的取值范围中的灵活应用我们在解不等式时，若给定，求或或等等这些都是比较容易完成的题目，可以直接利用我们数学中的，则有这不等式的基本性质就可以完成，但我们对于稍微复杂一点，不能直接用我们的不等式性质完成的题目，我又该如何解答呢，例如：例：已知且，求的取值范围。
这个题目，我们首先想到的是把不能直接去求解和b的范围求解出，再利用我们的数学中不等式的基本性质完成就可以了。
但是，就这个求和b的范围是非常复杂的过程，花费的时间是不用说的，说不定有点题目到最后我们还求不出来呢。
这时我们就要想想是否有别的方法可以完成，我们不妨试试我们的待定系数法。
我们可以保持和范围的完整性，能不能把分解成与的和或者差的问题呢，如果能我们就可以用不等式的则把这个问题解决了。
代定系数法因式分解
待定系数法因式分解待定系数法因式分解定理是一种用于因式分解多项式的方法，它基于多项式的根与系数之间的关系。
1、解题思路待定系数法是一种用于因式分解多项式的方法，其中我们假设多项式的因式可以表示为待定系数与特定项的乘积。
然后通过解方程组来确定待定系数的值。
2、基本步骤因式分解多项式f(x)=3x^2+7x+2。
按照待定系数法，可以假设f（x）可以因式分解为（ax+b）（cx+d）的形式，其中a、b、c、d是待定系数。
展开括号得到：f(x)=(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd我们可以观察到，多项式f(x)=3x^2+7x+2的系数分别是ac、ad+bc和bd。
现在，我们需要通过解方程组来确定待定系数的值。
将多项式的系数与我们假设的形式相比较，得到以下方程组：ac=3ad+bc=7bd=2解这个方程组，我们可以得到a=1，b=2，c=3，d=1。
3、得出结果因此，多项式f（x）可以因式分解为（x+2）（3x+1)。
利用待定系数法因式分解定理进行因式分解的具体实例。
假设我们要因式分解多项式f(x)=x^3-7x^2+16x-12。
按照待定系数法因式分解定理，我们可以假设f（x）可以表示为以下形式的乘积：f(x)=a(x-r1)(x-r2)(x-r3)其中，r1、r2、r3是多项式的根，a是待定系数。
我们需要找到多项式f（x）的根。
通过观察多项式的系数，我们可以猜测其中一个根本可能是1，因此我们可以使用这个猜测来进行试验。
将多项式f（x）使用综合除法除以x-1（当作一个因式），我们得到上式为x^2-6x+10。
现在我们有一个二次多项式，我们可以使用求根公式或其他方法来找到其根。
假设该二次多项式的根是r2和r3。
根据待定系数法因式分解定理，我们可以写出以下方程：(x-1)(x-r2)(x-r3)=a(x^3-7x^2+16x-12)展开右侧的乘积，并与原多项式f（x）进行比较，我们得到以下等式：x^3-(r2+r3)x^2+(r2r3+r3+r2)x-r2r3=ax^3-7ax^2+16ax-12a通过比较系数，我们得到以下方程组：(r2+r3)=-7(r2r3+r3+r2)=16-r2r3=-12a现在我们需要了解这个方程组，求解待定系数a和根r2、r3的值。
因式分解常用的六种方法详解
一、提公因式法这种方法是最简单的，如果看到多项式中有公因子，不管三七二十一，先提取一个公因子再说，因为这样整个问题就被简化了，有点类似我们刚提到的利用因子定理进行因式分解。
例题：因式分解下列多项式：(1)x3y−xy3=xy(x2−y2)=xy(x+y)(x−y) ;(2) 3x3−18x2+27x=3x(x2−6x+9)=3x(x−3)2 ;(3) 3a3+6a2b−3a2c−6abc=3a(a2+2ab−ac−2bc)=3a[a(a−c)+2b(a−c)]=3a(a+2b)(a−c).二、公式法因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，是整式乘积的逆运算，所以如果我们熟悉整式乘积的公式，那么解决因式分解也会很快。
常用的公式如下：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3a2−b2=(a−b)(a+b)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2caa3+b3+c3−3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)还有两个常考的n次方展开的公式：an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+⋯+abn−2+bn−1)(n∈Z+)an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+an−3b2−⋯−abn−2+bn−1)(n is odd)例题：因式分解：(a2+b2−1)2−4a2b2=(a2+b2−1+2ab)(a2+b2−1−2ab)=[(a+b)2−1][(a−b)2−1]=(a+b+1)(a+b−1)(a−b+1)(a−b−1)三、十字相乘法（双十字相乘法）简单的十字相乘其实就是公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的运用，这个大家都很熟悉，还有一句口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。
因式分解常用的六种方法详解
因式分解常用的六种方法详解因式分解常用的六种方法详解因式分解是代数式变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学中，并成为解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
本文将介绍因式分解的方法、技巧和应用。
1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1) $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；2) $a^2±2ab+b^2=(a±b)^2$；3) $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$；4) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$。
下面再补充几个常用的公式：5) $a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2$；6) $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$；7) $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+…+ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为正整数；8) $a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…+ab^{n-2}-b^{n-1})$，其中$n$为偶数；9) $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+a^{n-3}b^2-…-ab^{n-2}+b^{n-1})$，其中$n$为奇数。
在运用公式法分解因式时，需要根据多项式的特点，正确恰当地选择公式，考虑字母、系数、指数、符号等因素。
例如，分解因式：1) $-2x^{5n-1}y^n+4x^{3n-1}y^n+2-2x^{n-1}y^n+4$原式=$-2x^{n-1}y^n(x^{4n-2}-2x^{2n}y^2+y^4)$2x^{n-1}y^n[(x^{2n})^2-2x^{2n}y^2+(y^2)^2]$2x^{n-1}y^n(x^{2n}-y^2)^2$2x^{n-1}y^n(x^n-y)^2(x^n+y)^2$。
数学里常用的六种经典解题方法
数学里常用的六种经典解题方法一、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
二、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
三、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
四、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。
第 1 页共2 页韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
五、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的方法之一。
六、构造法在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。
待定系数法因式分解
待定系数法因式分解
1等待定系数法因式分解
等待定系数法因式分解是一种比较常用的分解公式的方法，它可以将复杂的公式分解成若干相等的两项式，能更便捷的求出我们想要的结果。
它的基本原理是，首先，把公式中的两项乘积分别记作a和b，其中a作为第一项，b作为第二项。
然后，把两个平方差记作c，把b乘以c称为d。
最后，把c除以a，即可得到第二项。
使用等待定系数法因式分解的方法，我们可以比较容易地将比较复杂的多项式分解成相等的两项式，以更快捷，更方便地求出我们需要的结果。
比如，当需要求出多项式$x^5-5x^4+6x^3-5^2x+2的值的时候，我们可以将它分解为（x-2）（x^4-3x^3+4x^2-2x+1），然后通过乘法，加法等其他储备的求解方法，比直接求出所有项快得多。
所以，等待定系数法因式分解是一种比较实用的分解公式的方法，它可以显著提高求解的效率，节省时间和解题的步骤，受到广大人士的欢迎。
八年级利用待定系数法分解因式
八年级利用待定系数法分解因式题目展示【例题讲解】因式分解：x3﹣1．∵x3﹣1为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3﹣1可以分解成（x﹣1）（x2+ax+b），展开等式右边得：x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b，∴x3﹣1＝x3+（a﹣1）x2+（b﹣a）x﹣b恒成立．∴等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得．∴x3﹣1＝（x﹣1）（x2+x+1）．【方法归纳】设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法．【学以致用】（1）若x2﹣mx﹣12＝（x+3）（x﹣4），则m＝；（2）若x3+3x2﹣3x+k有一个因式是x+1，求k的值；（3）请判断多项式x4+x2+1能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由．题目分析（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果；（2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论；（3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论．题目解答解：（1）1；解法提示：∵（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12，∴﹣m＝﹣1，∴m＝1，（2）设另一个因式为（x2+ax+k），（x+1）（x2+ax+k）＝x3+ax2+kx+x2+ax+k＝x3+（a+1）x2+（a+k）x+k，∴x3+（a+1）x2+（a+k）x+k＝x3+3x2﹣3x+k，∴a+1＝3，a+k＝﹣3，解得a＝2，k＝﹣5；（3）多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下：设多项式x4+x2+1能分解成①（x2+1）（x2+ax+b）或②（x2+x+1）（x2+ax+1），①（x2+1）（x2+ax+b）＝x4+ax3+bx2+x2+ax+b＝x4+ax3+（b+1）x2+ax+b，∴a＝0，b+1＝1，b＝1，由b+1＝1得b＝0≠1，②（x2+x+1）（x2+ax+1）＝x4+（a+1）x3+（a+2）x2+（a+1）x+1，∴a+1＝0，a+2＝1，解得a＝﹣1．即x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），∴x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积．答：多项式x4+x2+1能分解成两个整系数二次三项式的乘积．。
02利用待定系数法因式分解和分式地拆分等
第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项式各关于x 的同类项的系数对应相等．2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．” 解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++ (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2105a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴105a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.（1）求a ，b（2）分解因式：432237x x ax x b -+++【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---【解析】试题分析：（1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除∴设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）【解析】试题分析： 方法一 因为2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩①②③由①、②解得：12m n =⎧⎨=-⎩ 代入③式也成立. ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）试题分析：方法二 前面同思路1，因为()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.试题解析： 解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，那么令002x y mn ===-，得： ①令01330x y m n mn ==-+-=，得：② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-323m n ==⎧⎪⎨⎪⎩把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】 将分式21(1)(1)x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 【解析】试题分析： 设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析： 解：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)a c x ab x bc x x x x +++++=++++ 比较分子，得001a c a b b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得12a =-， 12b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：()()()()()()()1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++【答案】()1010a a + 【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设()111A B a a a a =+++ 而()()()11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=⎧⎨=⎩，解得：11A B =⎧⎨=-⎩所以()11111a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110a a =-+ ()1010a a =+ 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式()11111n n n n =-++拆分. 【难度】较难类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】 已知()()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A. 0 B.23 C. 23- D. 32- 【答案】C【解析】试题分析：将多项式()()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.试题解析：解：∵ ()()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，∴320m +=， 解得23m =-. 故选C .考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式223529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.【答案】4-【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可试题解析：解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩①②③由①，②解得1m =-，代入③得4n =-考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：4321x x x x ++++【答案】4321x x x x ++++=22(1)(1)x x x x +++ 【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设4321x x x x ++++=22(1)(1)x mx x nx ++++而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++∴121m n mn +=⎧⎨+=⎩解得1212m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+【答案】()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（） 【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解()()22239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：∵()()22239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++∴原式=()()22239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()222223914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ *比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得45m n =⎧⎨=⎩∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）方法二对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值.令0020a b mn ===，，得 ①令10214a b m n ==+=，，得 ②令011a b m n ==-=-，，得 ③解②、③组成的方程组，得45m n =⎧⎨=⎩当45m n =⎧⎨=⎩时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()4f 的值. 试题解析：解：∵()()()()21010f f f f -=-===，∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+由()()2243360f f ==，，可得方程组432(2)245432(3)360a b a b ⨯⨯+= ⎧⎨⨯⨯⨯+=⎩2133a b a b +=⎧ ⎨+=⎩整理得：解得：2-3a b =⎧⎨=⎩∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--∴()6543(83)18040f ⨯⨯⨯⨯-==考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？【答案】11m =-，4n =【解析】试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .试题解析：解：设原式=()()2221x x x ax b -+++=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a bn b-=-⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩解得：34114a b m n =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩故11m =-，4n =.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.【答案】【解析】试题分析：因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.试题解析：解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+()()21130x x x m =-++ ()32301130x mx m x m =++-+对比系数，得：113011300a m b m m =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得:01130m a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故,11,30a b =-=，多项式因式分解为：()()32113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式7. 分解因式：432435x x x x -+++【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+【解析】试题分析：本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++由恒等性质有：16453a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩，代入64ab +=中，成立.∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+说明：若设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =+-+-由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，故()()43222435125x x x x x x x x -+++==++-+考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】2246x x +-【解析】试题分析：思路 1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。
有分数的多项式怎样因式分解待定系数
有分数的多项式怎样因式分解待定系数1. 概述有分数的多项式因式分解是高中数学学习中的一个重要内容，它对于学生掌握多项式的基本性质和运算规律具有重要意义。
而带有待定系数的因式分解则更是考验学生对多项式的综合应用能力。
本文将针对有分数的多项式如何进行因式分解，并且探讨其待定系数的确定方法。
2. 有分数的多项式的基本形式一个典型的有分数的多项式形式为：\(f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)其中，a、b、c、d、e为常数，且\(a \neq 0, d \neq 0\)3. 因式分解的基本原理有分数的多项式进行因式分解的过程，可以使用待定系数法来解决。
该方法的基本原理是假设因式分解为\((mx + n)\)，则对\(f(x) =\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\)进行部分分数分解后得到：\(f(x) = \frac{ax^2+bx+c}{dx+e} = \frac{A}{mx+n} +\frac{B}{px+q}\)其中，A、B为待定系数，m、n、p、q为未知数。
4. 待定系数的选取在确定待定系数A、B的过程中，一般可以采用两种方法：通分法和同次幂系数比较法。
5. 通分法采用通分法时，将\(\frac{ax^2+bx+c}{dx+e} = \frac{A}{mx+n} + \frac{B}{px+q}\)的右侧两个分式合并为一个分式，并将它与左侧原分式展开通分，从而得到关于A、B的方程组。
通过方程组的求解，得到A、B的具体取值。
6. 同次幂系数比较法采用同次幂系数比较法时，将待定系数法分解得到的等式两侧的同次幂的系数进行比较，得到关于A、B的方程组。
通过方程组的求解，得到A、B的具体取值。
7. 待定系数的具体求解步骤举例以一个具体的有分数的多项式为例：\(f(x) = \frac{x^2+2x+1}{2x+3}\)采用待定系数法进行因式分解，展开通分并得到关于A、B的方程组：\(\frac{x^2+2x+1}{2x+3} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{2x+3}\)通分之后得到等式：\(x^2+2x+1 = A(2x+3) + B(x+1)\)通过同次幂系数比较法，得到关于A、B的方程组：\(A+ B = 1\)\(2A+3B = 2\)求解得到A=1，B=0，代入原式即得到因式分解为：\(f(x) = \frac{x^2+2x+1}{2x+3} = \frac{1}{x+1}\)8. 总结通过上述例子的分析，我们可以看出，对于有分数的多项式进行因式分解待定系数，可以通过待定系数法来解决。
高中数学因式分解待定系数法
高中数学因式分解待定系数法在学习高中数学的过程中，因式分解待定系数法被广泛应用于解决一元多项式的根的问题。
学习这一方法，对理解和掌握数学的概念，解决实际问题具有重要的意义。
因式分解待定系数法是一种把一元多项式按照次幂递减的形式，把各项系数合并到因式中，然后求其系数的方法。
这一方法也被称为因式分解法，又叫解析法。
目的是让一元多项式的解更加清晰简单。
因式分解待定系数法的步骤：首先，我们需要将一元多项式按照次幂递减的形式分解开来，例如，把$ax^2+bx+c$分解为$ax^2+dx+e$，其中，$d$和$e$是未知系数。
其次，把$d$和$e$两个未知系数带入原来的一元多项式，得到：$ax^2+d (bx+c) +e=0$第三，解出$d$和$e$两个未知系数：$d=-{bc over a}，e={bc^2over a^2}$最后，将$d$和$e$代入，得到$ax^2-{bc over a} ( bx+c ) + {bc^2over a^2}=0$，即$ax^2+{bc over a} ( -bx-c ) + {bc^2over a^2}=0$，此时，一元多项式已经被分解完毕。
通过因式分解待定系数法，可以把一元多项式的解更加清晰简单，理解和掌握数学概念更为容易。
因式分解待定系数法不仅可以用来求解一元多项式，还可以用来解决一元多次方程组，通过这一方法，可以更好地掌握研究方程的技巧。
此外，因式分解待定系数法也可以用来解决一般的二次方程，例如：$ax^2+bx+c=0$，我们可以把它分解为$ax^2+dx+e=0$，其中，$d=-{bc over a}，e={bc^2over a^2}$总结：因式分解待定系数法是一个重要的数学方法，在学习高中数学的过程中，可以有效帮助学生理解和掌握数学概念，解决实际问题。
它可以解决一元多项式、一元多次方程组，以及一般的二次方程，使得数学更加清晰简单，解题技巧更易掌握。
《因式分解待定系数法、换元法、添项拆项法》的的知识总结点总结归纳
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点概括知识系统梳理◆添项拆项法有的多项式因为“缺项”，或“并项”所以不可以直接分解。
经过进行适合的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。
一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。
假如添项拆项后，不可以运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。
◆待定系数法有些多项式不可以直接分解因式，我们能够先假定它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。
而后再把积乘出来。
用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，从而得出因式分解结果，这类分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。
◆换元法所谓换元，即对构造比较复杂的代数式，把此中某些部分当作一个整体，用新的字母取代（即换元），则能使复杂的问题简单化、明亮化，象这类利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。
换元法在减少代数式的项数、降低多项式构造复杂程度等方面都有着独到的作用。
（1）、使用换元法时，必定要有1/6意识，即把某些同样或相像的部分当作一个。
2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特别值换元和几何换元。
3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。
★★典型例题、方法导航◆方法一：添项拆项法【例1】分解因式：剖析：此多项式是三次三项式，缺项不可以直接分解。
可考虑添项拆项法分解。
从它的最高次项看是三次，所以我们能够猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，所以我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,所以是不行能的，所以只可能是前方两种的此中一种。
下边请看：解：其结果是我们猜想中的第一种。
本题还有其余分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，所以还有其余更多的分解方法。
方法二：方法三：方法四：方法五：2/6方法六：（余下过程同学自己达成）方法点金：拆项、添项法分解因式的重点是经过拆项、添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所缺的项，或考虑常数项可分解的因数相关的因式。
三次多项式的因式分解待定系数法
三次多项式的因式分解待定系数法【1】三次多项式是指具有三个未知量的多项式，通常形式为ax^3 +bx^2 + cx + d。
在数学、物理等领域，对三次多项式的研究具有实际意义，因为它可以用来描述复杂系统的动态行为。
【2】因式分解是数学中一种重要的方法，它可以将一个多项式表达式转化为几个简单因式的乘积。
对于三次多项式，因式分解有助于我们更好地理解其内在结构，从而更方便地进行计算和分析。
【3】待定系数法是一种求解多项式方程组的方法，也可用于分解三次多项式。
其基本原理是通过设定待定系数，构造一个关于待定系数的方程组，然后求解该方程组，得到多项式的分解形式。
【4】使用待定系数法分解三次多项式的步骤如下：①设定待定系数；②构建关于待定系数的方程组；③求解方程组；④根据求得的待定系数，得到多项式的分解形式。
【5】举个例子，我们对多项式x^3 + 2x^2 - 3x + 1进行因式分解。
首先设定待定系数a、b、c、d，构造方程组：a +b +c +d = 03a + 2b - 3c + d = 0-a - b + 3c - d = 0求解方程组，得到：a = 1b = -1c = 1d = 1因此，原多项式的分解形式为：(x - 1)(x + 1)(x - 1)。
【6】待定系数法的优点在于可以较为简便地分解多项式，尤其在较高次多项式的情况下，避免了复杂的计算过程。
然而，它也有局限性，即在处理具有复杂根的多项式时，求解过程可能较为繁琐。
【7】总结：三次多项式的因式分解待定系数法是一种实用且简便的方法，通过设定待定系数和求解方程组，可以较为容易地得到多项式的分解形式。
在实际应用中，待定系数法既有利于理解多项式的内在结构，也有助于简化计算过程。
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第2讲利用待定系数法因式分解、分式的拆分等一、 方法技巧1. 待定系数法运用于因式分解、分式的拆分等问题中，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式()()f x g x =的充要条件是：对于一个任意的x=a 值，都有()()f x g x =；或者两个多项式各关于x 的同类项的系数对应相等．2. 使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程（组）；（3）解方程（组），从而使问题得到解决.例如：“已知()2252x a x bx c -=-⋅++，求a ，b ，c 的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到a ，b ，c 的值．这里的a ，b ，c 是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．3. 格式与步骤:(1)确定所求问题含待定系数的解析式.上面例题中，解析式就是：()22a x bx c -⋅++(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程.在这一题中，恒等条件是：2105a b c -=⎧⎪=⎨⎪=-⎩(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决.∴105a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩二、应用举例类型一 利用待定系数法解决因式分解问题【例题1】已知多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除.（1）求a ，b（2）分解因式：432237x x ax x b -+++【答案】（1） 12 6a b =-=和 （2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---【解析】试题分析：（1）由条件可知22x x +-是该多项式的一个二次因式，而该多项式次数为4，故可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，可解出m 、n ，最后代入即可求出a 、b 的值.（2）由（1）可得结果试题解析：解：（1）∵多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除∴设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，整理，得()()()43243223724222m x x ax x b x x m n x n m x n -+++=+++-+--+ ∴234272m m n a n m b n+=-⎧⎪+-=⎪⎨-=⎪⎪=-⎩ 解得53126m n a b =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ∴a 、b 的值分别为126-和.（2）()()4322223127 6 2253x x x x x x x x --++=+---考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】一般【例题2】分解因式：22253352x xy y x y +--+- 【答案】222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）【解析】试题分析： 方法一 因为2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），因此,如果多项式能分解成两个关于x 、y 的一次因式的乘积,那么设原式的分解式是23x y m x y n +（-+）（+）,其中m 、n 为待定系数. 然后展开，利用多项式的恒等，求出m 、n 的值.试题解析：解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=-+++（）（）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） 对比系数，得：23352m n m n mn +=- -= =- ⎧⎪⎨⎪⎩①②③由①、②解得：12m n =⎧⎨=-⎩ 代入③式也成立. ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）试题分析：方法二 前面同思路1，因为()()()()222533522323x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+是恒等式，所以对任意,x y 的值，等式都成立，所以给,x y 取特殊值，即可求出,m n 的值.试题解析： 解：∵2225323x xy y x y x y +-=-+（）（），∴设2225335223x xy y x y x y m x y n +--+-=+（－＋）（＋）即 ()()222533522323?x xy y x y x y x y m n x m n y mn +--+-=-++++-+（）（） ∵该式是恒等式，∴它对所有使式子有意义的x ，y 都成立，那么令002x y mn ===-，得： ①令01330x y m n mn ==-+-=，得：② 解①、②组成的方程组，得12m n ==-⎧⎨⎩或-323m n ==⎧⎪⎨⎪⎩把它们分别代入恒等式检验，得12m n ==-⎧⎨⎩ ∴222533522132x xy y x y x y x y +--+-=-++-（）（）考点：1.待定系数法分解因式 2.解方程组.点评：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验.若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式.【难度】较难类型二 利用待定系数法解决分式拆分问题【例题3】 将分式21(1)(1)x x ++拆分成两个分式的和的形式. 【答案】22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 【解析】试题分析： 设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++，将等式右边通分，再利用分子恒等求出a 、b 、c 的值即可. 试题解析： 解：设221(1)(1)11ax b c x x x x +=+++++ 而222()()11(1)(1)ax b c a c x a b x b c x x x x +++++++=++++ 即2221()()(1)(1)(1)(1)a c x ab x bc x x x x +++++=++++ 比较分子，得001a c a b b c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解得12a =-， 12b c ==. ∴22111(1)(1)2(1)2(1)x x x x x -+=+++++ 考点：分式的恒等变形点评：拆分有理真分式的时候，分母含二次项，则设分子为Ax B +形式，分母只含一次项，则设分子为常数【难度】较难【例题4】计算：()()()()()()()1111...11223910a a a a a a a a +++++++++++【答案】()1010a a + 【解析】试题分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积（若a 是整数），所以我们探究其中一个分式，找到相通的规律，从而解题.试题解析：解：我们设()111A B a a a a =+++ 而()()()11(1)1A a Ba A B a A A B a a a a a a +++++==+++ 比较分子得：01A B A +=⎧⎨=⎩，解得：11A B =⎧⎨=-⎩所以()11111a a a a =-++ 所以，原式=11111111 (11223910)a a a a a a a a -+-+-+-+++++++ 1110a a =-+ ()1010a a =+ 考点：分式计算.点评：在做题的时候见到式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积，可直接用公式()11111n n n n =-++拆分. 【难度】较难类型三 利用待定系数法解决多项式中不含某项问题【例题5】 已知()()2332x mx x -+-的积中不含x 的二次项，则m 的值是（ ） A. 0 B.23 C. 23- D. 32- 【答案】C【解析】试题分析：将多项式()()2332x mx x -+-展开、合并，按x 的降幂排列，根据积中不含x 的二次项等价于2x 项的系数为零列方程即可求得m 的值.试题解析：解：∵ ()()2322332 339226x mx x x mx x x mx -+-=-+-+-()()32 332926x m x m x =-+++- ∵积中不含x 的二次项，∴320m +=， 解得23m =-. 故选C .考点：多项式乘以多项式.点评：多项式不含某项则某项的系数为零，根据这一条件列方程或方程组，从而求出待定系数的值.【难度】一般三、 实战演练1.若多项式223529x xy y x y n +-+++能被34x y -+整除，则_______n =.【答案】4-【解析】试题分析：此题可通过因式分解得到：被除式=商×除式（余式为0），其除式为34x y -+即可试题解析：解：设原式()()342x y x y m =-+++()()22352+3484x xy y m x m y m =+-++-+ 比较系数，得：341894m m n m +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩①②③由①，②解得1m =-，代入③得4n =-考点：因式分解的应用点评：此题考查知识点是因式分解的应用，运用公式被除式=商×除式（余式为0）是解题关键.【难度】容易2. 分解因式：4321x x x x ++++【答案】4321x x x x ++++=22(1)(1)x x x x +++ 【解析】试题分析：这个多项式各项之间没有公因式也不符合乘法公式，又因为不是二次三项式所以不适用十字相乘法；虽多于三项，但分组之后分解不能继续.因此，我们应采用其他的办法—待定系数法.这是一个四次五项式，首项系数为1，尾项也是1，所以它可以写成两个二次三项式的积，再利用恒等式的性质列方程组求解即可.试题解析：解：设4321x x x x ++++=22(1)(1)x mx x nx ++++而22(1)(1)x mx x nx ++++ 4323221x nx x mx mnx mx x nx =++++++++432()(2)()1x m n x mn x m n x =+++++++∴121m n mn +=⎧⎨+=⎩解得1212m n ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或1212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴432221(1)(1)x x x x x x x ++++=++ 考点：待定系数法因式分解.点评：本题考查了待定系数法因式分解解高次多项式，恰当设待定系数是关键.【难度】容易3.分解因式：2223914320a ab b a b +-+-+【答案】()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（） 【解析】试题分析：属于二次六项式，也可考虑用双十字相乘法，在此我们用待定系数法.先分解()()22239233a ab b a b a b +-=-+，再设原式()()233a b m a b n =-+++，展开后，利用多项式恒等列方程组即可求解.试题解析：方法一解：∵()()22239233a ab b a b a b +-=-+ ∴可设原式()()233a b m a b n =-+++∴原式=()()22239233a ab b m n a m n b mn +-+++-+ 即()()222223914320239233a ab b a b a ab b m n a m n b mn +-+-+=+-+++-+ *比较左右两个多项式的系数，得：21433320m n m n mn +=⎧⎪-=-⎨⎪=⎩解得45m n =⎧⎨=⎩∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）方法二对于方法一中的恒等式（*）因为对a 、b 取任何值等式都成立，所以也可用特殊值法，求m 、n 的值.令0020a b mn ===，，得 ①令10214a b m n ==+=，，得 ②令011a b m n ==-=-，，得 ③解②、③组成的方程组，得45m n =⎧⎨=⎩当45m n =⎧⎨=⎩时，①成立 ∴()222391432023435a ab b a b x b a b +-+-+=-+++（）考点：1.待定系数法因式分解 2.整式乘法 3.解方程组.点评：对于复杂的多项式分解因式，关键是列出恒等关系式，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值.【难度】较难4. 已知()f x 表示关于x 的一个五次多项式，若()()()()()()210102243360f f f f f f -=-=====，，，求()4f 的值.【答案】1800【解析】试题分析：因为()()()()21010f f f f -=-===，所以这个多项式中必有因式()()()211x x x x ++-、、、，而四个因式的乘积为四次多项式，故原多项式可以分解为以上四项因式的乘积以及还有一项一次因 式的乘积，故式的乘积，故这个多项式可以设为()()()()211x x x x ax b ++-+，利用待定系数法求出a 、b 的值最后代入原多项式，即可求出()4f 的值. 试题解析：解：∵()()()()21010f f f f -=-===，∴设()()()() 21()1f x x x x x ax b =++-+由()()2243360f f ==，，可得方程组432(2)245432(3)360a b a b ⨯⨯+= ⎧⎨⨯⨯⨯+=⎩2133a b a b +=⎧ ⎨+=⎩整理得：解得：2-3a b =⎧⎨=⎩∴()()()()2112()3f x x x x x x =++--∴()6543(83)18040f ⨯⨯⨯⨯-==考点：1.解二元一次方程组 2.多项式变形点评：此题考查了解二元一次方程组以及多项式的变形，弄清题意是解本题的关键.【难度】较难5.m n 、为何值时，多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除？【答案】11m =-，4n =【解析】试题分析：由于多项式422511x x x mx n -+++能被221x x -+整除，可设商为2x ax b ++，再利用逆运算，除式×商式=被除式，利用等式的对应相等，可求出,a b .试题解析：解：设原式=()()2221x x x ax b -+++=432322222x ax bx x ax bx x ax b ++---+++=()()()4322212x a x b a x a b x b +-+-++-+ 对比系数，得：2521112a b a m a bn b-=-⎧⎪-+=⎪⎨=-⎪⎪=⎩解得：34114a b m n =-⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩故11m =-，4n =.考点：整式的除法点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意多项式除以多项式往往可转化成多项式乘以多项式.【难度】一般6.若多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，那么________a b ==.该多项式因式分解为：_______.【答案】【解析】试题分析：因为多项式32x ax bx ++能被()5x -和()6x -整除，则说明()5x -和()6x -都是多项式32x ax bx ++的一个因式，故设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+，展开即可求解.试题解析：解：设()()()3256x ax bx x x x m ++=--+()()21130x x x m =-++()32301130x mx m x m =++-+对比系数，得：113011300a m b m m =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩解得:01130m a b =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故,11,30a b =-=，多项式因式分解为：()()32113056x x x x x x -+=-- 考点：整式除法与因式分解点评：本题考查的是多项式除以多项式，注意理解整除的含义，比如A 被B 整除，另外一层意思就是B 是A 的因式7. 分解因式：432435x x x x -+++【答案】()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+【解析】试题分析：本题是关于x 的四次多项式可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积.试题解析：解：设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =++++ ()()()432655x a b x ab x a b x =+++++++由恒等性质有：16453a b ab a b +=-⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得：12a b =⎧⎨=-⎩，代入64ab +=中，成立.∴()()43222435125x x x x x x x x -+++=++-+说明：若设432435x x x x -+++()()2215x ax x bx =+-+-由待定系数法解题知关于a 与b 的方程无解，故()()43222435125x x x x x x x x -+++==++-+考点：因式分解应用点评：根据多项式的特点恰当将多项式设成含待定系数的多项式的积的形式是解题的关键.【难度】较难8. 在关于x 的二次三项式中，当1x =，其值为0；当3x =-时，其值为0；当2x =时，其值为10，求这个二次三项式.【答案】2246x x +-【解析】试题分析：思路 1 先设出关于x 的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。