18柯西函数方程(经典题型+答案)
柯西积分公式例题解析
柯西积分公式例题解析柯西积分公式是复变函数中非常重要的一个定理，它与复积分密切相关。
本文将通过例题解析柯西积分公式的应用。
先回顾一下柯西积分公式的表述：设 $f(z)$ 是在区域 $D$ 内解析的函数，$gamma$ 是 $D$ 内的一条可求长曲线，$z_0$ 在 $gamma$ 内部。
则有$$f(z_0) = frac{1}{2pi i}int_{gamma}frac{f(z)}{z-z_0}dz $$其中，$frac{1}{z-z_0}$ 称为积分核。
现在来看一个例题：例1 求函数 $f(z)=frac{1}{z^2+4}$ 沿圆 $left| z-1ight|=3$ 逆时针方向的积分。
首先，观察一下积分路径，这是一个以 $z_0=1$ 为圆心，半径为$r=3$ 的圆。
因为 $f(z)$ 是解析函数，且 $z_0=1$ 在圆 $left|z-1ight|=3$ 内部，所以可以直接使用柯西积分公式进行计算。
根据柯西积分公式，$$f(z_0) = frac{1}{2pi i}int_{gamma}frac{f(z)}{z-z_0}dz $$其中，$gamma$ 表示积分路径，$frac{1}{z-z_0}$ 是积分核。
将 $f(z)=frac{1}{z^2+4}$ 带入上式，得到$$f(1) = frac{1}{2pi i}int_{left| z-1ight|=3}frac{frac{1}{z^2+4}}{z-1}dz$$将分母进行部分分式分解，得到$$frac{1}{z^2+4}=frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z+2i}-frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z-2i}$$带回原式，得到$$f(1) = frac{1}{2pi i}int_{left| z-1ight|=3}left(frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z+2i}-frac{1}{2i}cdotfr ac{1}{z-2i}ight)cdotfrac{1}{z-1}dz$$将上式分解成两个积分，$$begin{aligned}f(1) &= frac{1}{2pi i}int_{left| z-1ight|=3}frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z+2i}cdotfrac{1}{z-1}dz - frac{1}{2pi i}int_{left| z-1ight|=3}frac{1}{2i}cdotfrac{1}{z-2i}cdotfrac{1}{z-1}dz &= frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1+2i}cdotint_{left| z-1ight|=3}frac{1}{z-1}dz -frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1-2i}cdotint_{left| z-1ight|=3}frac{1}{z-1}dz&= frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1+2i}cdot 2pi i -frac{1}{2i}cdotfrac{1}{1-2i}cdot 2pi i&= frac{2}{5}+frac{2}{5}iend{aligned}$$因此，所求积分为 $frac{2}{5}+frac{2}{5}i$。
柯西不等式好题-学生版
1. 求证：ac+bd ≤22b a+柯西不等式的一般形式为：对任意的实数有及n n b b b a a a ,,,,,,2121或1ni ii a b=≤∑其中等号当且仅当nn b a b a b a === 2211时成立（当0=k b 时，认为).1,0n k a k <≤= 一、 证明不等式1. 已知正数,,a b c 满足1a b c ++= 证明 2223333a b c a b c ++++≥2. 设,121+>>>>n n a a a a 求证：011111113221>−+−++−+−++a a a a a a a a n n n3. 求证：()().22221122212221y x y x y y x x +++≥+++4.设a 、b 、c 为正数且各不相等。
求证：cb a ac c b b a ++>+++++9222 5.a 、b 为非负数，a +b =1，+∈R x x 21,求证：212121))((x x ax bx bx ax ≥++6.若a >b >c 求证：ca cb b a −≥−+−411 7.+∈R c b a ,,求证：23≥+++++b a c a c b c b a 8. 已知a 1,a 2,a 3,…,a n ，b 1,b 2,…,b n 为正数，求证：9. 设a ,b ,c 为正数，且a +b +c =1,求证：,121221⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i n i i n i i i i b a b a10. 若n 是不小于2的正整数，试证：11. 设x 1,x 2,…,x n 都是正数(n ³2)且， 求证： 二、求解最值12. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值 13. 设非负实数n ααα⋅⋅⋅21,满足,121=+⋅⋅⋅++n ααα求1213`122111_1−++++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++n n n nααααααααααα的最小值。
复变函数第三章习题答案
第三章柯西定理柯西积分掌握内容：1.柯西积分定理：若函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()Cf z dz =⎰0 。
2.柯西积分定理的推广：若函数()f z 在围线C 之内的,,...n z z z 12点不解析，则()()()...()nCC C C f z dz f z dz f z dz f z dz =+++⎰⎰⎰⎰12，其中,,...nC C C 12是分别以,,...n z z z 12为圆点，以充分小的ε为半径的圆。
3.若在围线C 之内存在不解析点，复变函数沿围线积分怎么求呢？——运用柯西积分公式。
柯西积分公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()Cf z dz if z z z π=-⎰002 4.柯西积分公式的高阶求导公式：若函数z 0在围线C 之内，函数()f z 在围线C 之内是处处解析的，则()()()()!n n Cf z i dz f z z z n π+=-⎰0102习题：1.计算积分⎰++-idz ix y x 102)(积分路径是直线段。
解：令iy x z +=，则idy dx dz += 积分路径如图所示：在积分路径上：x y =，所以313121212131211032223211211211210102102102i x ix y i x ix x dxix x i iydy xdx dx ix x dy ix x i iydy ydx dx ix x idy dx ix y x dz ix y x ii+-=-+--+=++--+=++--+=++-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++)()()()()())(()(2.计算积分⎰-iidz z 。
积分路径分别是：（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。
解：（1）令z x i y =+，则z dz xd idy ==+，在积分路径上，0x =，所以11iiz dz iydy iydy i--=-+=⎰⎰⎰（2）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//222i i iz dz ie d i πθπθ--==⎰⎰（3）令i z re θ=，在积分路径上：,1i z r dz ie d θθ===//2322ii iz dz ie d i πθπθ-==⎰⎰5.不用计算，证明下列分之值为零，其中为单位圆。
高中数学柯西不等式的几何意义练习题含答案
高中数学柯西不等式的几何意义练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 设变量x，y满足|x−2|+|y−2|≤1，则y−xx+1的最大值为（）A.1 3B.12C.−14D.−132. 若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|−√x12+y12⋅√x22+y22的最大值为0，则称f(x)为“柯西函数”，则下列函数：①f(x)=x+1x(x>0)；②f(x)=ln x(0<x<3)；③f(x)=cos x；④f(x)=x2−1．其中为“柯西函数”的个数为（）A.1B.2C.3D.43. 设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P−ABCD体积的最大值为________.4. 已知a1，a2，…，a n；b1，b2，…，b n（n是正整数），令L1=b1+b2+...+b n，L2=b2+b3+...+b n，…，L n=b n、某人用右图分析得到恒等式：a1b1+a2b2+...+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+...+c k L k+...+...+c n L n，则c k=________(2≤k≤n)．5. 已知实数a，b，x，y满足a2+b2=1，x2+y2=3，则ax+by的最大值为________．6. 已知实数a1，a2，a3不全为零，正数x，y满足x+y=2，设xa1a2+ya2a3a12+a22+a32的最大值为M=f(x, y)，则M的最小值为________．7. 已知正数a，b，c满足a2+b2+c2=6．（1）求a +2b +c 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，若不等式|x +1|+|x +m|≥M 恒成立，求实数m 的取值范围．8. 已知a ，b ，c 均为正实数，函数f (x )=|x +1a 2|+|x −1b 2|+14c 2的最小值为1.证明：(1)a 2+b 2+4c 2≥9； (2)1ab+12bc+12ac≤1.9. 选修4−5：不等式选讲已知|x −2y|=5，求证：x 2+y 2≥5．10. 已知x 2+y 2+z 2=1，求xy +yz 最大值．11. 本小题设有(1)(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分． (1)选修4−2：矩阵与变换已知e 1=[11]是矩阵M =[a10b ]属于特征值λ1=2的一个特征向量．(I)求矩阵M ；(II)若a =[21]，求M 10a ．(2)选修4−4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，A(l, 0)，B(2, 0)是两个定点，曲线C 的参数方程为AB →为参数）．(I)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(II)以A(l ，0为极点，|AB →|为长度单位，射线AB 为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(3)选修4−5：不等式选讲(I)试证明柯西不等式：(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax +by)2(a, b, x, y ∈R)； (II)若x 2+y 2=2，且|x|≠|y|，求1(x+y)+1(x−y)的最小值．12. 已知x ，y ，z 均为正实数，且1x 2+14y 2+19z 2=1，证明： (1)1x +12y +13z ≤√3；(2)x 2+4y 2+9z 2≥9.13. 已知函数f (x )=√t +2|x +1|−|x −3|的定义域为R ． (1)求实数t 的取值范围；(2)设实数m 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2=m 2，求1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值．14. （选修4−5：不等式选讲）已知正数x ，y ，z 满足x 2+y 2+z 2=1． （1）求x +2y +2z 的最大值；（2）若不等式|a −3|≥x +2y +2z 对一切正数x ，y ，z 恒成立，求实数a 的取值范围．15. 选修4−2：矩阵及其变换(1)如图，向量OA →和OB →被矩阵M 作用后分别变成OA′→和OB′→， (I)求矩阵M ；(II)并求y =sin (x +π3)在M 作用后的函数解析式；选修4−4：坐标系与参数方程( 2)在直角坐标系x0y 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22t y =√5+√22t （t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系x0y 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=2√5sin θ． (I)求圆C 的直角坐标方程；(II)设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为(3, √5)，求|PA|+|PB|． 选修4−5：不等式选讲(3)已知x ，y ，z 为正实数，且1x+1y+1z=1，求x +4y +9z 的最小值及取得最小值时x ，y ，z 的值．16. 设实数x，y，z满足0<x<y<z<π2，证明：π2+2sin x cos y+2sin y cos z>sin2x+sin2y+sin2z．17. 已知函数f(x)=x ln x+(1−x)ln(1−x)，x∈(0, 1)．(1)求f(x)的最小值；(2)若a+b+c=1，a，b，c∈(0, 1)．求证：a ln a+b ln b+c ln c≥(a−2)ln2．18. （选修4−5：不等式选讲）若x∈(−12，23)，证明√1+2x+√3+x+√2−3x<3√2．19. 已知x，y，z满足等式13x+12y+z=8.5,12x+13y+2z=13.5．(1)若z=−1，求√x+y的值；(2)若m=√x−3y+√3y−x+√x+y+z，求m的平方根．20. 已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a(a>0)，且x+y+z的最大值是1，求a的值．21. 选修4−5：不等式选讲已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．参考答案与试题解析高中数学柯西不等式的几何意义练习题含答案一、选择题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）1.【答案】B【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证即得答案．【解答】解：如图即为满足不等|x−2|+|y−2|≤1的可行域，是一个正方形，得A(1, 2)，B(2, 1)，C(3, 2)，D(2, 3)．当x=1，y=2时，则y−xx+1=12，当x=2，y=1时，则y−xx+1=−13，当x=3，y=2时，则y−xx+1=−14，当x=2，y=3时，则y−xx+1=13，则y−xx+1有最大值12．故选B．2.【答案】C【考点】函数新定义问题柯西不等式的几何意义【解析】由柯西不等式得：对任意实数x1，y1，x2，y2，|x1x2+y1y2|−√x12+y12⋅√x22+y22≤0恒成立（当且仅当存在实数k，使得x1=kx2，y1=ky2取等号），若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，其坐标满足条件：|x1x2+y1y2|−√x12+y12⋅√x22+y22的最大值为0，则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x1, y1)，B(x 2, y 2)，使得OA →、OB →共线，即存在点A 、B 与点O 共线，逐一判定即可． 【解答】解：由柯西不等式得：对任意实数x 1，y 1，x 2，y 2，|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22≤0恒成立（当且仅当存在实数k ，使得x 1=kx 2，y 1=ky 2取等号）， 若函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 其坐标满足条件：|x 1x 2+y 1y 2|−√x 12+y 12⋅√x 22+y 22的最大值为0， 则函数f(x)在其图象上存在不同的两点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，使得OA →，OB →共线，即存在点A ，B 与点O 共线. 对于①，设AB 的方程为y =kx ，其与f(x)=x +1x (x >0)只有一个交点，故①不是柯西函数；对于②，由于y =x e 与f(x)=ln x(0<x <3)有两个交点，故②是柯西函数；对于③，取A(0,0)，点B 任意，均满足定义，故③是柯西函数； 对于④，取A(−1,0)，B(1,0)，满足定义，故④是柯西函数． 故选C ．二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ） 3. 【答案】643【考点】柯西不等式的几何意义 球的表面积和体积柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】答案未提供解析． 【解答】解：由已知可得球的半径r =3，设球心到四棱锥底面的距离为x ，棱锥的高为ℎ=3+x ，底面边长为√2×√32−x 2， P −ABCD 的体积为： V =13×2×(9−x 2)(3+x)=13(3+x)(3+x)(6−2x) ≤13[(3+x)+(3+x)+(6−2x)3]3=643，当且仅当x =1时等号成立． 故答案为：643. 4.【答案】 a k −a k−1 【考点】柯西不等式的几何意义【解析】首先分析题目已知a1b1+a2b2+...+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+...+c k L k+...+...+c n L n，可以看出等式左边是图中的面积，然后把左边变换形式后等于右边即可得到答案．【解答】解：因为已知恒等式a1b1+a2b2+...+a n b n=a1L1+c2L2+c3L3+...+c k L k+...+...+c n L n且L1=b1+b2+...+b n，L2=b2+b3+...+b n，…，L n=b n、又由图中的面积S=a1b1+a2b2+...+a n b n=a1(b1+b2+b3+...+b n)+(a2−a1)(b2+b3+...+b n)+...+(a n−1−a n−2)(b n−1+b n)+(a n−a n−1)b n=a1L1+(a2−a1)L2+...+(a n−1−a n−2)L n−1+(a n−a n−1)L n所以c k=a k−a k−15.【答案】√3【考点】柯西不等式的几何意义一般形式的柯西不等式【解析】先根据柯西不等式可知(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2，进而的求得(ax+by)2的最大值，进而求得ax+by的最大值．【解答】解：因为a2+b2=1，x2+y2=3，由柯西不等式(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2，得3≥(ax+by)2，当且仅当ax=by时取等号，所以ax+by的最大值为√3．故答案为：√3．6.【答案】√22【考点】柯西不等式的几何意义【解析】讨论a2=0，a2≠0，对原分式分子分母同除以a2，运用x≤|x|，然后分子运用柯西不等式，分母运用均值不等式，再化简得到M=√x2+y22，根据条件正数x，y满足x+ y=2，消去y，配方求出x2+y2的最小值，从而得到M的最小值．【解答】解：若a2=0，则xa1a2+ya2a3a12+a22+a32=0，若a2≠0，则xa1a2+ya2a3a12+a22+a32=xa1+ya3a12+a32a2+a2≤x|a1|+y|a3|a12+a32|a2|+|a2|≤√(x2+y2)(a12+a32)2√a1+a3=√x2+y22，∴M=√x2+y22，∵正数x，y满足x+y=2，即y=2−x，∴x2+y2=x2+(2−x)2=2x2−4x+4=2(x−1)2+2，当x=1时，x2+y2取最小值2，∴M的最小值为√22．故答案为：√22．三、解答题（本题共计 15 小题，每题 10 分，共计150分）7.【答案】解：（1）因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=6，根据柯西不等式有(a2+b2+c2)(12+22+12)≥(a+2b+c)2故(a+2b+c)2≤36，即a+2b+c≤6即a+2b+c的最大值为6，当且仅当a1=b2=c1，即当a=c=1，b=2时取得最大值．…（2）因为|x+1|+|x+m|≥|x+1−(x+m)|=|m−1|，由题意及（1）得，|m−1|≥6，得m≥7或m≤−5．综上，实数m的取值范围为m≥7或m≤−5．…【考点】柯西不等式的几何意义【解析】（1）分析题目已知a2+b2+c2=6，求a+2b+c的最大值，考虑到柯西不等式(a2+b2+c2)(12+22+12)≥(a+2b+c)2，即可得到答案．（2）利用绝对值不等式的几何意义可求得|x+1|+|x+m|≥|x+1−(x+m)|= |m−1|，由题意及（1）得，|m−1|≥6，从而可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）因为已知a、b、c是实数，且a2+b2+c2=6，根据柯西不等式有(a2+b2+c2)(12+22+12)≥(a+2b+c)2故(a+2b+c)2≤36，即a+2b+c≤6即a+2b+c的最大值为6，当且仅当a1=b2=c1，即当a=c=1，b=2时取得最大值．…（2）因为|x+1|+|x+m|≥|x+1−(x+m)|=|m−1|，由题意及（1）得，|m−1|≥6，得m≥7或m≤−5．综上，实数m的取值范围为m≥7或m≤−5．…8.【答案】证明：(1)∵ a，b，c>0，∴ f(x)=|x+1a2|+|x−1b2|+14c2≥|x+1a2−(x−1b2)|+14c2=1a2+1b2+14c2，∴1a2+1b2+14c2=1，由柯西不等式得(a2+b2+4c2)(1a2+1b2+14c2)≥(1+1+1)2=9，当且仅当a=b=2c=√3时取“=”，∴a2+b2+4c2≥9．(2)∵1a2+1b2≥2ab，1b2+14c2≥1bc，1a2+14c2≥1ac，（以上三式当且仅当a=b=2c=√3时同时取“=”），将以上三式相加得2ab +1bc+1ac≤2(1a2+1b2+14c2)=2，即1ab +12bc+12ac≤1．【考点】柯西不等式的几何意义绝对值不等式的解法与证明基本不等式在最值问题中的应用【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】证明：(1)∵ a，b，c>0，∴ f(x)=|x+1a2|+|x−1b2|+14c2≥|x+1a2−(x−1b2)|+14c2=1a2+1b2+14c2，∴1a2+1b2+14c2=1，由柯西不等式得(a2+b2+4c2)(1a2+1b2+14c2)≥(1+1+1)2=9，当且仅当a=b=2c=√3时取“=”，∴a2+b2+4c2≥9．(2)∵1a2+1b2≥2ab，1b2+14c2≥1bc，1a2+14c2≥1ac，（以上三式当且仅当a=b=2c=√3时同时取“=”），将以上三式相加得2ab +1bc+1ac≤2(1a2+1b2+14c2)=2，即1ab +12bc+12ac≤1．9.【答案】解：由柯西不等式，得(x2+y2)[12+(−2)2]≥(x−2y)2即5(x2+y2)≥(x−2y)2=|x−2y|2∵|x−2y|=5，∴5(x2+y2)≥25，化简得x2+y2≥5．当且仅当2x=−y时，即x=−1，y=2时，x2+y2的最小值为5∴不等式x2+y2≥5成立．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】根据柯西不等式，得5(x2+y2)≥|x−2y|2，结合已知等式|x−2y|=5，得x2+y2≥5，再利用不等式取等号的条件加以检验即可．【解答】解：由柯西不等式，得(x2+y2)[12+(−2)2]≥(x−2y)2即5(x2+y2)≥(x−2y)2=|x−2y|2∵|x−2y|=5，∴5(x2+y2)≥25，化简得x2+y2≥5．当且仅当2x=−y时，即x=−1，y=2时，x2+y2的最小值为5∴不等式x2+y2≥5成立．10.【答案】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=√2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】先将题中条件转化为1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)，再利用基本不等式即可求出xy+yz的最大值．【解答】解：由于1=x2+y2+z2=(x2+12y2)+(12y2+z2)≥2x√22⋅√2z=√2(xy+yz)，当且仅当x=√2=z时，等号成立，∴x=2=z=12时，xy+yz的最大值为√22．11.【答案】(1)解：(I)由题意，[a10b ][11]=2[11]，∴{a+1=2b=2，∴a=1，b=2∴矩阵M=[1102]；(II)由(I)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ−1)(λ−2)∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1∴ {2y =y ，取x =1，则e 2=[1]∴ a →=e 1→+e 2→∴ M 10a →=210[11]+110[10]=[10251024](2)(I)由{x =2+cos θy =sin θ消去θ可得(x −2)2+y 2=1；(II)将原点移至A(1, 0)，则相应曲线C 的方程为(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2−2x =0 ∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ−2cos θ=0(3)(I)证明：左边-右边=a 2y 2+b 2x 2−2abxy =(ay −bx)2≥0，∴ 左边≥右边 即(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax +by)2(a,b,x,y ∈R) (II)令u =x +y ，v =x −y ，则x =u+v 2，y =u−v 2∵ x 2+y 2=2，∴ (u +v)2+(u −v)2=8，∴ u 2+v 2=4由柯西不等式得：(1u 2+1v 2)(u 2+v 2)≥4，当且仅当u =v =√2，即x =√2，y =0或x =0,y =√2时，1(x+y)2+1(x+y)2的最小值是1．【考点】复合变换与二阶矩阵的乘法 圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 柯西不等式的几何意义平均值不等式在函数极值中的应用【解析】(1)(I)由题意，根据特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵M ；(II)求出矩阵M 的特征多项式为f(λ)=(λ−1)(λ−2)，从而可求矩阵M 的另一个特征值与特征向量，将向量用特征向量线性表示，进而可求结论； (2)(I)由{x =2+cos θy =sin θ消去θ，即可得普通方程；(II)将原点移至A(1, 0)，则相应曲线C 的方程为(x −1)2+y 2=1，从而可得曲线C 的极坐标方程；(3)(I)利用作差法即可证得； (II)令u =x +y ，v =x −y ，则x =u+v 2，y =u−v 2，根据x 2+y 2=2，可得u 2+v 2=4，由柯西不等式得：(1u 2+1v 2)(u 2+v 2)≥4，从而可求1(x+y)2+1(x+y)2的最小值． 【解答】(1)解：(I)由题意，[a10b ][11]=2[11]，∴ {a +1=2b =2，∴ a =1，b =2 ∴ 矩阵M =[1102]；(II)由(I)知，矩阵M 的特征多项式为f(λ)=(λ−1)(λ−2) ∴ 矩阵M 的另一个特征值为λ2=1∴ {2y =y ，取x =1，则e 2=[1]∴ a →=e 1→+e 2→∴ M 10a →=210[11]+110[10]=[10251024](2)(I)由{x =2+cos θy =sin θ消去θ可得(x −2)2+y 2=1；(II)将原点移至A(1, 0)，则相应曲线C 的方程为(x −1)2+y 2=1，即x 2+y 2−2x =0 ∴ 曲线C 的极坐标方程为ρ−2cos θ=0(3)(I)证明：左边-右边=a 2y 2+b 2x 2−2abxy =(ay −bx)2≥0，∴ 左边≥右边 即(a 2+b 2)(x 2+y 2)≥(ax +by)2(a,b,x,y ∈R) (II)令u =x +y ，v =x −y ，则x =u+v 2，y =u−v 2∵ x 2+y 2=2，∴ (u +v)2+(u −v)2=8，∴ u 2+v 2=4由柯西不等式得：(1u 2+1v 2)(u 2+v 2)≥4，当且仅当u =v =√2，即x =√2，y =0或x =0,y =√2时，1(x+y)2+1(x+y)2的最小值是1．12. 【答案】证明：(1)1x +12y +13z ≤√(1+1+1)(1x 2+14y 2+19z 2)=√3. (2)由题意得x 2+4y 2+9z 2=(x 2+4y 2+9z 2)×1 =(x 2+4y 2+9x 2)⋅(1x 2+14y 2+19y 2)≥(1+1+1)2=9，当且仅当x =2y =3z 时等号成立， 所以x 2+4y 2+9z 2≥9． 【考点】 不等式的证明柯西不等式的几何意义【解析】（1）运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证． （2）运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证． 【解答】证明：(1)1x +12y +13z ≤√(1+1+1)(1x +14y +19z )=√3. (2)由题意得x 2+4y 2+9z 2=(x 2+4y 2+9z 2)×1 =(x 2+4y 2+9x 2)⋅(1x 2+14y 2+19y 2)≥(1+1+1)2=9， 当且仅当x =2y =3z 时等号成立， 所以x 2+4y 2+9z 2≥9． 13. 【答案】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922， 当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922． 【考点】 绝对值不等式柯西不等式的几何意义【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)因为函数f (x )的定义域为R ，即t +2|x +1|−|x −3|≥0恒成立， 所以t ≥−2|x +1|+|x −3|恒成立，y =−2|x +1|+|x −3|={x +5,x ≤−1,1−3x,2,−1<x <3,−x −5,x ≥3,可知当x =−1时，y =−2|x +1|+|x −3|有最大值4，即t ≥4． (2)由(1)知m =4，a 2+b 2+c 2=16， 由柯西不等式知：(1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3)×(a 2+1+b 2+2+c 2+3) ≥(1+1+1)2=9， 所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3≥922，当且仅当a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，所以1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922．14.【答案】 解：（1）因为已知x 2+y 2+z 2=1根据柯西不等式： (ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得： (x +2y +2z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≤1×9=9故x +2y +2z ≤√9=3．当且仅当x =y2=z2时取等号． 则当x =13，y =z =23时x +2y +2z 的最大值是3；（2）由（1）得，不等式|a −3|≥x +2y +2z 对一切正数x ，y ，z 恒成立， 当且仅当|a −3|≥3成立，即{a <33−a ≥3或{a ≥3a −3≥3，解得a ≤0，或a ≥6， 所以实数a 的取值范围是(−∞, 0]∪[6, +∞)．【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】（1）分析题目已知x 2+y 2+z 2=1，求x +2y +3z 的最大值．考虑到应用柯西不等式(ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)，首先构造出柯西不等式求出(x +2y +2z)2的最大值，开平方根即可得到答案；（2）由（1）得，不等式|a −3|≥x +2y +2z 对一切正数x ，y ，z 恒成立，当且仅当|a −3|≥3成立，【解答】 解：（1）因为已知x 2+y 2+z 2=1根据柯西不等式： (ax +by +cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2)构造得： (x +2y +2z)2≤(x 2+y 2+z 2)(12+22+22)≤1×9=9 故x +2y +2z ≤√9=3．当且仅当x =y 2=z2时取等号．则当x =13，y =z =23时x +2y +2z 的最大值是3；（2）由（1）得，不等式|a −3|≥x +2y +2z 对一切正数x ，y ，z 恒成立， 当且仅当|a −3|≥3成立，即{a <33−a ≥3或{a ≥3a −3≥3，解得a ≤0，或a ≥6， 所以实数a 的取值范围是(−∞, 0]∪[6, +∞)． 15. 【答案】解：(1)(I)设M =[ab cd]， ∵ OA →=(1,1)，OB →=(1,2)矩阵M 作用后分别变成OA′→=(2, 2)，OB′→=(2, 4)， ∴ 用待定系数求得M =[2002]．(II)∵ M =[2002]，∴ {x =x′2y =y′2，解得{x′=2x y′=2y ， 再坐标转移法得y′=2sin (x 2+π3)． (2)(I)∵ 圆C 的方程为ρ=2√5sin θ， ∴ ρ2=2√5ρsin θ，∴ 圆的直角方程：x 2+(y −√5)2=5(II)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2−3√2t +4=0 由△=(3√2)2−4×4=2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两根 所以{t 1+t 2=3√2⋅，又直线l 过点(3,√5)，故结合t 的几何意义得|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2．…7 分 (3)解：由柯西不等式得x +4y +9z =[(√x)2+(2√y)2+(3√z)2]•[(√x )2+(y )2+(√z )2]≥(√x √x2√y ⋅y+3√z √z)2=36．…当且仅当x =2y =3z 时等号成立，… 此时x =6，y =3，z =2…所以当x =6，y =3，z =2时，x +4y +9z 取得最小值36．… 【考点】柯西不等式的几何意义 几种特殊的矩阵变换 参数方程与普通方程的互化【解析】(1)(I)二阶矩阵把点变换成点，利用待定系数法及二阶矩阵与平面列向量的乘法，可求矩阵M ，(II)二阶矩阵把点变换成点，借此又可解决坐标变换问题，注意变换前后点的坐标间的关系．(2)(I)由圆C 的方程为ρ=2√5sin θ，能求出圆的直角方程．(II)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2−3√2t +4=0，再由点P 的坐标为(3, √5)，能求出|PA|+|PB|．(3)由柯西不等式，得x +4y +9z =[(√x)2+(2√y)2+(3√z)2]•[(x)2+(y)2+(√z )2]，由此能求出x +4y +9z 取得最小值．【解答】解：(1)(I)设M =[ab cd]， ∵ OA →=(1,1)，OB →=(1,2)矩阵M 作用后分别变成OA′→=(2, 2)，OB′→=(2, 4)， ∴ 用待定系数求得M =[2002]．(II)∵ M =[2002]，∴ {x =x′2y =y′2，解得{x′=2x y′=2y ， 再坐标转移法得y′=2sin (x 2+π3)．(2)(I)∵ 圆C 的方程为ρ=2√5sin θ， ∴ ρ2=2√5ρsin θ，∴ 圆的直角方程：x 2+(y −√5)2=5(II)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2−3√2t +4=0 由△=(3√2)2−4×4=2>0，故可设t 1，t 2是上述方程的两根所以{t1+t2=3√2⋅，又直线l过点(3,√5)，故结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3√2．…7分(3)解：由柯西不等式得x+4y+9z=[(√x)2+(2√y)2+(3√z)2]•[(√x )2+(√y)2+(√z)2]≥(√x√x 2√y⋅y+3√z√z)2=36．…当且仅当x=2y=3z时等号成立，…此时x=6，y=3，z=2…所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．…16.【答案】证明：由于sin2x+sin2y+sin2z−2sin x cos y−2sin y cos z=12[(sin2x+sin2y)+(sin2y+sin2z)+(sin2z+sin2x)]−2sin x cos y−2sin y cos z≤sin(x+y)cos(x−y)+sin(y+z)cos(y−z)+sin(z+x)cos(z−x)−2sin x cos y cos(x −y)−2sin y cos z cos(y−z)=sin(y−x)cos(x−y)+sin(z−y)cos(y−z)+sin(z+x)cos(z−x)=12sin(2y−2x)+12sin(2z−2y)+sin(z+x)cos(z−x)=sin(z−x)cos(2y−x−z)+sin(z+x)cos(z−x)≤sin(z−x)+cos(z−x)≤√2<π2故π2+2sin x cos y+2sin y cos z>sin2x+sin2y+sin2z．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】利用作差法，结合三角恒等变换公式，即可证明结论．【解答】证明：由于sin2x+sin2y+sin2z−2sin x cos y−2sin y cos z=12[(sin2x+sin2y)+(sin2y+sin2z)+(sin2z+sin2x)]−2sin x cos y−2sin y cos z≤sin(x+y)cos(x−y)+sin(y+z)cos(y−z)+sin(z+x)cos(z−x)−2sin x cos y cos(x −y)−2sin y cos z cos(y−z)=sin(y−x)cos(x−y)+sin(z−y)cos(y−z)+sin(z+x)cos(z−x)=12sin(2y−2x)+12sin(2z−2y)+sin(z+x)cos(z−x)=sin(z−x)cos(2y−x−z)+sin(z+x)cos(z−x)≤sin(z−x)+cos(z−x)≤√2<π2故π2+2sin x cos y+2sin y cos z>sin2x+sin2y+sin2z．17.【答案】解：(1)f ′(x)=ln x +1−ln (1−x)−1=ln x 1−x，令f ′(x)=0，x =12．当x ∈(0,12)时，f′(x)<0；当x ∈(12，1]时，f′(x)>0．所以，f(x)min =f(12)=−ln 2．(2)证明：由a +b +c =1，a ，b ，c ∈(0, 1)， 得b1−a +c1−a =1，b1−a ，c1−a ∈(0,1)．由(1)，当x ∈(0, 1)，x ln x +(1−x)ln (1−x)≥−ln 2， 所以，b 1−a lnb 1−a+c 1−alnc 1−a≥−ln 2，11−a[b ln b −b ln (1−a)+c ln c −c ln (1−a)]≥−ln 2，b ln b +c ln c ≥(a −1)ln 2+(b +c)ln (1−a)=(a −1)ln 2+(1−a)ln (1−a)．(∗) 因为a ∈(0, 1)，由(1)，a ln a +(1−a)ln (1−a)≥−ln 2， 所以，(1−a)ln (1−a)≥−a ln a −ln 2．(∗∗)由(∗) (∗∗)，b ln b +c ln c ≥(a −1)ln 2−a ln a −ln 2， 所以，a ln a +b ln b +c ln c ≥(a −2)ln 2． 【考点】柯西不等式的几何意义 不等式的证明导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）求出导函数，通过极值点，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值． （2）由a +b +c =1，推出b1−a +c1−a =1，b1−a ，c1−a ∈(0,1)．利用（1）的结果转化推出b ln b +c ln c ≥(a −1)ln 2−a ln a −ln 2，即可证明a ln a +b ln b +c ln c ≥(a −2)ln 2． 【解答】解：(1)f ′(x)=ln x +1−ln (1−x)−1=ln x 1−x，令f ′(x)=0，x =12．当x ∈(0,12)时，f′(x)<0；当x ∈(12，1]时，f′(x)>0． 所以，f(x)min =f(12)=−ln 2．(2)证明：由a +b +c =1，a ，b ，c ∈(0, 1)， 得b1−a +c1−a =1，b1−a ，c1−a ∈(0,1)．由(1)，当x ∈(0, 1)，x ln x +(1−x)ln (1−x)≥−ln 2， 所以，b1−a ln b1−a +c1−a ln c1−a ≥−ln 2，11−a[b ln b−b ln(1−a)+c ln c−c ln(1−a)]≥−ln2，b ln b+c ln c≥(a−1)ln2+(b+c)ln(1−a)=(a−1)ln2+(1−a)ln(1−a)．(∗)因为a∈(0, 1)，由(1)，a ln a+(1−a)ln(1−a)≥−ln2，所以，(1−a)ln(1−a)≥−a ln a−ln2．(∗∗)由(∗) (∗∗)，b ln b+c ln c≥(a−1)ln2−a ln a−ln2，所以，a ln a+b ln b+c ln c≥(a−2)ln2．18.【答案】证明：因为18=6×3=[(1+2x)+(3+x)+(2−3x)](1+1+1)，由柯西不等式可得：18=[(1+2x)+(3+x)+(2−3x)](1+1+1)≥(√1+2x⋅1+√3+x⋅1+√2−3x⋅1)2…又x∈(−12，23)，所以√1+2x+√3+x+√2−3x<3√2．…【考点】不等式的证明柯西不等式的几何意义【解析】直接构造18=6×3=[(1+2x)+(3+x)+(2−3x)](1+1+1)，利用柯西不等式证明即可．【解答】证明：因为18=6×3=[(1+2x)+(3+x)+(2−3x)](1+1+1)，由柯西不等式可得：18=[(1+2x)+(3+x)+(2−3x)](1+1+1)≥(√1+2x⋅1+√3+x⋅1+√2−3x⋅1)2…又x∈(−12，23)，所以√1+2x+√3+x+√2−3x<3√2．…19.【答案】（1）√x+y=√30．（2）m的平方根是±2．【考点】柯西不等式的几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）把z=−1代入已知等式中，得13x+12y=9.5，1 2x+13y=15.5,两式相加，得56x+56y=25，∴x+y=30，∴√x+y=√30．（2）m=√x−3y+√3y−x+√x+y+z，∴x−3y≥0，3y−x≥0，∴x−3y =0，即x =3y ．把x =3y 代入已知等式中，并整理得3y +2z =17,11y +12z =81，解得x =9,y =3z =4，∴ m =√9+3+4=4，∴ m 的平方根是±2． 20. 【答案】解：由柯西不等式：[(√2x)2+(√3y)2+(√6z)2][(√2)2+(√3)2+(√6)2]≥(√2×√2x +√3×√3y √6×√6z)2…因为2x 2+3y 2+6z 2=a(a >0)，所以a ≥(x +y +z)2， 因为x +y +z 的最大值是1，所以a =1， 当2x =3y =6z 时，x +y +z 取最大值，… 所以a =1．… 【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】由柯西不等式：[(√2x)2+(√3y)2+(√6z)2][(√2)2+(√3)2+(√6)2]≥(√2√2x +√3×√3y √6×√6z)2，可得出x +y +z 的最大值，从而可根据最大值为1，建立关于a 的方程解出a 值即可． 【解答】解：由柯西不等式：[(√2x)2+(√3y)2+(√6z)2][(√2)2+(√3)2+(√6)2]≥(√2×√2x +√3×√3y √6×√6z)2…因为2x 2+3y 2+6z 2=a(a >0)，所以a ≥(x +y +z)2， 因为x +y +z 的最大值是1，所以a =1， 当2x =3y =6z 时，x +y +z 取最大值，… 所以a =1．… 21.【答案】解：由已知可得a +b +c +d =8−e ，a 2+b 2+c 2+d 2=16−e 2，由柯西不等式可得：(a 2+b 2+c 2+d 2)(12+12+12+12)≥(a +b +c +d)2， ∴ 4(16−e)2≥(8−e)2，解得0≤e ≤165．当且仅当a =b =c =d =65时，e 取得最大值165．【考点】柯西不等式的几何意义 【解析】由已知可得a +b +c +d =8−e ，a 2+b 2+c 2+d 2=16−e 2，由柯西不等式可得：(a 2+b 2+c 2+d 2)(12+12+12+12)≥(a +b +c +d)2，即可得出． 【解答】解：由已知可得a +b +c +d =8−e ，a 2+b 2+c 2+d 2=16−e 2，由柯西不等式可得：(a 2+b 2+c 2+d 2)(12+12+12+12)≥(a +b +c +d)2， ∴ 4(16−e)2≥(8−e)2，解得0≤e ≤165．当且仅当a=b=c=d=65时，e取得最大值165．。
柯西不等式常见题型解法例说
上海中学数学2014年第3期柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。
1‘是基本百鬲、百7而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。
6，+口：6：+a。
63)2揭示了任意两组数组即(n。
，n。
，n。
)、(6，，6。
，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。
，以。
)、(6。
，6：，6。
)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略．1一次与二次例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2，可知n。
+462+9c。
≥婺一12，即最小值为12．例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——．解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而．例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得[4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2≥一5≤z+y+z一2≤5．．‘．一3≤T+y+z≤7．故T+y+z之最大值为7，最小值为一3．评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效．2整式与分式2．1两组数组对应的数分别为倒数型例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]．(1)求m的值；(2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9．解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m，由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)，又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1．(2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R，由柯西不等式得Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。
新人教A版选修4-5《柯西Cauchy不等式教学题库习题大全》
新课标数学选修4-5 柯西不等式教课题库大全一、二维形式的柯西不等式(a 2b 2 )(c 2d 2 ) (ac bd) 2 (a , b, c , d R, 当且仅当 ad bc 时, 等号建立 .)二、二维形式的柯西不等式的变式(1) a 2 b 2 c 2 d 2ac bd (a , b, c , d R , 当且仅当 ad bc 时, 等号建立 .) (2) a 2 b 2c2d 2 ac bd ( a , b , c , d R , 当且仅当 adbc 时,等号建立 .)(3)( a b)(c d ) ( acbd ) 2 (a, b , c, d 0 , 当且仅当 adbc 时，等号建立 .)三、二维形式的柯西不等式的向量形式. (当且仅当 是零向量 , 或存在实数 k , 使 k 时 ,等号建立 .)借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创建条件也要用。
比方说吧，对 a^2 + b^2 + c^2 ，其实不是不等式的形状，但变为 (1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2) 就能够用柯西不等式了。
b5E2RGbCAP基本方法（ 1）巧拆常数：例 1：设 a 、 b 、 c 为正数且各不相等。
求证： 2229a b b cc aa b c（ 2）从头安排某些项的序次：例 2： a 、 b 为非负数， a + b =1， x 1, x 2R 求证： ( ax 1 bx 2 )(bx 1 ax 2 ) x 1 x 2（ 3）改变构造：例 3、若 a > b > c求证：114a b bca c（ 4）添项：例 4： a, b,c R求证： a b c 3b cca ab2【 1】、设 a ( 2,1,2), b 6 ，则 a b之最小值为 ________；此时 b ________。
答案： 18; (4, 2, 4) 分析： a b a b ∴ a b 18 ∴ 18 a b 18a b 之最小值为 18，此时 b2a (4, 2, 4)【 2】 设 a (1， 0， 2)， b(x ， y ， z)，若 x 2 y 2z 2 16，则 a b 的最大值为。
柯西函数方程
柯西函数方程柯西函数方程是由法国数学家柯西在19世纪初提出的一类函数方程，它的形式是f(某+y)=f(某)+f(y)，其中f(某)是函数在实数域上的定义。
柯西函数方程是函数方程中的一个经典问题，涉及到了函数的性质和性质的推导。
柯西函数方程的解可以分为两类，一类是线性函数，即f(某)=C某，其中C是常数。
另一类是非线性函数，即f(某)不是C某所代表的线性函数。
对于非线性函数的求解要更加复杂，涉及到函数的连续性、可微分性等性质。
首先，我们来看一下柯西函数方程的线性解。
对于线性解f(某)=C某，我们有f(某+y)=C(某+y)=C某+Cy=f(某)+f(y)，符合柯西函数方程的定义。
这个解表明，如果f(某)是柯西函数方程的一个解，那么它必然是线性函数。
接下来，我们考虑非线性解。
首先，我们可以推导出柯西函数的性质。
将y=某代入柯西函数方程中，得到f(2某)=2f(某)，这表明f(某)是一个奇函数。
将y=-某代入方程中，得到f(0)=2f(0)，所以f(0)=0。
再将y=-某/2代入方程中，得到f(某/2)=f(某)/2，由此可以得到f(某/2^n)=f(某)/2^n。
通过求导，我们可以知道f'(某)存在且连续。
由f(某/2^n)=f(某)/2^n可知，f’(某/2^n)=f’(某)/2^n，当n趋于正无穷时，f’(某/2^n)趋于f’(0)，f’(某)/2^n趋于0。
所以我们可以得出结论，对于所有实数某，f’(某)=0，即f(某)是一个常数函数，记为f(某)=C。
综上所述，柯西函数方程的解可以表达为f(某)=C某或f(某)=C。
其中C某是线性解，C是非线性解。
柯西函数方程的研究不仅仅停留在实数域，还涉及到了复数域、无穷维空间等更加广泛的领域。
在复数域上的柯西函数方程，要求函数是解析函数，且方程的解为f(z) = cz，其中c是常数。
在无穷维空间，即函数空间上的柯西函数方程具有更多的性质和解法。
总结起来，柯西函数方程是一个经典的函数方程问题，它的解可以分为线性解和非线性解。
柯西不等式6个基本公式和例题
柯西不等式是一个重要的数学不等式，广泛应用于数学分析、概率论和其他领域。
它由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西在1821年提出，是数学分析中的一项重要成果。
柯西不等式在实际问题中具有重要的应用价值，特别是在概率论和统计学中的应用，能够帮助人们更好地理解和解决实际问题。
一、柯西不等式的基本原理1. 柯西不等式是数学分析中的一个重要定理，它描述了内积空间中向量的长度和夹角之间的关系。
具体来说，对于内积空间中的任意两个向量a和b，柯西不等式可以表达为：|⟨a, b⟨| ≤ ||a|| ||b||2. 其中，⟨a, b⟨表示向量a和b的内积（或称点积），||a||和||b||分别表示向量a和b的长度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会大于它们长度的乘积。
二、柯西不等式的六个基本公式3. 柯西不等式有许多不同的形式和推广，但最基本的形式是针对实数向量空间的柯西不等式。
具体来说，对于实数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)√(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)4. 在复数向量空间中，柯西不等式的形式稍有不同。
对于复数向量空间中的任意两个向量a=(a1, a2, ..., an)和b=(b1, b2, ..., bn)，柯西不等式可以表达为：|a1b1* + a2b2* + ... + anbn*| ≤ √(|a1|^2 + |a2|^2 + ... + |an|^2) √(|b1|^2 + |b2|^2 + ... + |bn|^2)5. 在积分的应用中，柯西不等式的形式也有所不同。
对于连续函数f和g，柯西不等式可以表达为：|∫(f*g)dx| ≤ √(∫f^2 dx) √(∫g^2 dx)6. 这些是柯西不等式的基本形式，它们描述了向量的长度和夹角之间的关系，以及函数的积分之间的关系。
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式(解析版)
柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式目录01 方法技巧与总结02 题型归纳与总结题型一：柯西不等式之直接套公式型题型二：柯西不等式之根式下有正负型题型三：柯西不等式之高次定求低次型题型四：柯西不等式之低次定求高次型题型五：柯西不等式之整式与分式型题型六：柯西不等式之多变量型题型七：柯西不等式之三角函数型题型八：Aczel不等式题型九：权方和不等式之整式与分式综合型题型十：权方和不等式之三角函数型题型十一：权方和不等式之杂合型03 过关测试1.柯西不等式(Cauchy不等式)(1)二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,d∈R，都有(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)．(2)n元柯西不等式：(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2，取等条件：a i=λb i或b i=λa i(i=1,2,⋯,n)．2.Aczel不等式(反柯西不等式)设a1,a2,⋯,a n；b1,b2,⋯,b n均为实数，a21-a22-⋯-a2n>0或b21-b22-⋯-b2n>0，则有(a21-a22-⋯-a2n)(b21-b22 -⋯-b2n)≤(a1b1-a2b2-⋯-a n b n)2．当且仅当a k，b k 成比例时取等．3.权方和不等式(1)二维形式的权方和不等式对于任意的a ,b ,x ,y >0，都有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ．当且仅当a x =by时，等号成立．(2)一般形式的权方和不等式若a i >0，b i >0，m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n ≥(a 1+a 2+⋯a n )m +1(b 1+b 2+⋯b n )m，当a i =λb i 时等号成立．题型一：柯西不等式之直接套公式型1已知x ,y ,z ∈R +且x +y +z =1则x 2+y 2+z 2的最小值是()A.1B.13C.23D.2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：x 2+y 2+z 2 ×12+12+12 ≥x +y +z 2=1，即3x 2+y 2+z 2 ≥1所以x 2+y 2+z 2≥13，当且仅当x =y =z x +y +z =1 即x =y =z =13时取等号，故x 2+y 2+z 2的最小值为13，故选：B ．2若a 21+a 22+⋯+a 2n =8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为()A.25B.8C.-8D.-25【答案】C【解析】由柯西不等式，得(a 21+a 22+⋯+a 2n -1+a 2n )(a 22+a 23+⋯+a 2n +a 21)≥(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2，∴(a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n -1a n +a n a 1)2≤8×8，∴-8≤a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1≤8，当a 1a 2=a 2a 3=a 3a 4=⋯=a n -1a n =a n a 1=-1且a 21+a 22+⋯+a 2n =8时，即a 1 =a 2 =a 3 =⋯=a n -1 =a n =22nn，且a 1,a 3,a 5,⋯与a 2,a 4,a 6,⋯异号时，a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1=-8，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯+a n -1a n +a n a 1的最小值为-8.选：C .3已知a ，b ，c ∈R ，满足a +2 2+b 2+c +1 2=12，则a +b +c 的最大值为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解析】设a +2=w ，b =v ，c +1=u ，可得w 2+v 2+u 2=12，所以a +b +c =w +v +u -3．因为w +v +u 2≤12+12+12 w 2+v 2+u 2 =36，所以-6≤w +v +u ≤6，当且仅当w =v =u =2，w +v +u 取得最大值6，此时a +2=b =c +1=2，所以a +b +c 的最大值为6-3=3．故选：B .题型二：柯西不等式之根式下有正负型1(2024·高三·山东青岛·期中)柯西不等式(Caulhy -Schwarz Lnequality )是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：a 2+b 2c 2+d 2 ≥ac +bd 2，当且仅当a c =b d时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f x =34-3x +3x -2的最大值为()A.25 B.23 C.12 D.20【答案】A 【解析】由4-3x ≥03x -2≥0，解得23≤x ≤43，所以函数f x 的定义域为23,43，由柯西不等式得，f x =34-3x +3x -2≤32+12 4-3x +3x -2 =25，当且仅当34-3x =13x -2，即x =1115时等号成立，所以f x 的最大值为2 5.故选：A .2柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式,而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:已知向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 ,由a ⋅b≤a b 得到(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0,b ≥0,a +b =5,则2a +2+b +3的最大值为()A.18B.9C.23D.33【答案】D【解析】因为(x 1x 2+y 1y 2)2≤(x 21+y 21)(x 22+y 22),令x 1=2,y 1=1,x 2=a +1,y 2=b +3,又a ≥0,b ≥0,a +b =5,所以2a +2+b +3 2=2⋅a +1+1⋅b +3 2≤2 2+12 ⋅a +1+b +3 =27,当且仅当2⋅b +3=1⋅a +1即a =5,b =0时等号成立,即2a +2+b +3≤33,故选:D .3(2024·浙江·模拟预测)已知x >0，y ∈R ，且x 2+xy -x +5y =30，则2-x +30-3y 的最大值为()A.3B.6C.26D.32【答案】C【解析】由x 2+xy -x +5y =30可得x 2-x -30+xy +5y =0，即x +5 x +y -6 =0.由x >0可知x +y =6，所以2-x +30-3y =2-x +12+3x =2-x +3⋅4+x .由x >0，2-x ≥0可得0<x ≤2，由柯西不等式得2-x +3⋅4+x 2≤12+3 2 ⋅2-x 2+4+x 2=24，所以2-x +3⋅4+x ≤26，当4+x3=2-x 1即x =12时，取等号.所以2-x +30-3y 的最大值为2 6.故选：C .题型三：柯西不等式之高次定求低次型1设a ，b ，c 为正数，且a 2+b 2+c 2=1，则a (a +b +c )的最大值为()A.3+12B.2+12C.32D.22【答案】A 【解析】解法一根据题意，有a (a +b +c )≤a 2+λa 2+1λb 22+μa 2+1μc22=1+λ2+μ2 a 2+12λb 2+12μc 2，其中λ,μ>0，令1+λ2+μ2=12λ=12μ，解得λ=μ=3-12，于是a (a +b +c )≤12λa 2+b 2+c 2 =3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法二令a =cos φ,b =sin φsin θ,c =sin φcos θ，其中0≤φ≤π,0≤θ<2π，则a (a +b +c )=cos 2φ+sin φcos φ(sin θ+cos θ)≤cos 2φ+2sin φcos φ=22sin2φ+12cos2φ+12≤3+12，等号当a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．解法三根据题意，有a (a +b +c )≤a a +2b 2+c 2=a 2+2a 21-a 2=a 2-122+2⋅14-a 2-12 2+12≤3+12，等号当b 2=c 2，且14a 2-12 2=2a 2-12 2即a :b :c =(3+1):2:2时取得，因此所求最大值为3+12．故选：A .2(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A【解析】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A3已知实数a i i =1,2,3,4,5 满足(a 1-a 2)2+(a 2-a 3)2+(a 3-a 4)2+(a 4-a 5)2=1，则a 1-2a 2-a 3+2a 5的最大值是()A.22B.25C.5D.10【答案】D【解析】设c =a 1-a 2,b =a 2-a 3,c =a 3-a 4,d =a 4-a 5，则条件为a 2+b 2+c 2+d 2=1，所以a 1-2a 2-a 3+2a 5=a -b -2c -2d≤12+-1 2+-2 2+-2 2⋅a 2+b 2+c 2+d 2=10，等号当a 1=b -1=c -2=d-2且a >0时取得，因此所求代数式的最大值为10．故选：D题型四：柯西不等式之低次定求高次型1若实数a ，b ，c ，d 满足ab +bc +cd +da =1，则a 2+2b 2+3c 2+4d 2的最小值为()A.1B.2C.3D.以上答案都不对【答案】B【解析】根据题意，有ab +bc +cd +da =1⇒(a +c )(b +d )=1，而a 2+3c 2 1+13 ≥a +c 2，当且仅从a =3c 时等号成立.同理2b 2+4d 2 12+14≥b +d 2，当且仅当2b =4d 式等号成立，记题中代数式为M ，于是M =a 2+3c 2+2b 2+4d 2≥(a +c )21+13+(b +d )212+14=34(a +c )2+43(b +d )2≥2(a +c )(b +d )=2，等号当ac =3,bd =2,⇒a :b :c :d =3:2:1:1a +c b +d =43,时取得，因此所求代数式的最小值为2．故选：B .2已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP=xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【解析】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z 2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B3已知a ，b ，c 为实数，且a +b +c =5，则a 2+2b 2+c 2的最小值为()A.5B.1C.2D.52【答案】C【解析】由三维柯西不等式：a 12+a 22+a 32 b 12+b 22+b 32 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 2b 22当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3时取等,所以12+22 2+12 a 2+2b 2+c 2 ≥1×a +22×2b +c ×1 2=a +b +c 2=5所以a 2+2b 2+c 2≥552=2，当且仅当a 1=2b 22=c1时取等,所以a 2+2b 2+c 2的最小值为：2故选：C题型五：柯西不等式之整式与分式型1(2024·高三·浙江台州·期末)已知正实数a ,b 满足a +2b =1，则a 4b+32b 4a 的最小值为．【答案】12/0.5【解析】由柯西不等式a 4b +32b 4a =a 4b+32b 4a(2b +a )≥(2a 2+42b 2)2=2(a 2+4b 2)2而a 2+4b 2=12(a 2+4b 2)(1+1)≥12(a +2b )2=12，所以a 4b+32b 4a ≥2a 2+4b 2 2≥12，a =12,b =14时等号成立，故答案为：12.2已知a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，则1a +12b+13c 的最小值为.【答案】9【解析】因为a 、b 、c ∈R +，且满足a +2b +3c =1，所以，1a +12b +13c =a +2b +3c 1a +12b+13c ≥a a +2b 2b +3c 3c2=9，当且仅当a =2b =3c =13时，等号成立，故1a +12b+13c 的最小值为9.故答案为：9.3已知a ,b ,c ∈(0,1)，且ab +bc +ac =1，则11-a +11-b +11-c 的最小值为()A.3-32B.9-32C.6-32D.9+332【答案】D【解析】因为a ,b ,c ∈(0,1)且ab +bc +ac =1，∴(a +b +c )2≥3(ab +bc +ca )=3，∴a +b +c ≥3，因为11-a +11-b +11-c (1-a +1-b +1-c )≥1+1+12所以11-a +11-b +11-c ≥9(1-a +1-b +1-c )≥93-3=9+332，当且仅当a =b =c =33时，11-a +11-b+11-c 的最小值为9+332.故选：D .题型六：柯西不等式之多变量型1已知x ,y ,z >0且x +y +z =1，a ，b ，c 为常数，则a 2x +b 2y +c 2z 的最小值为()A.a 2+b 2+c 2B.3a 2+b 2+c 2C.(a +b +c )3D.前三个答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z=(a +b +c )2，等号当a x =b y =cz >0时取得，因此所求最小值为(a +b +c )2．故选：D .2已知实数a ，b ，c ，d ，e 满足a +b +c +d +e =8,a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16, 则e 的取值范围是()A.[-2,2]B.[0,1]C.[0,2)D.以上答案都不对【答案】D【解析】根据柯西不等式，有-4⋅a 2+b 2+c 2+d 2≤a +b +c +d ≤4⋅a 2+b 2+c 2+d 2，从而|8-e |≤216-e 2⇒0≤e ≤165，因此e 的取值范围是0,165．故选：D .3已知a ,b ,c ∈R +，且(a +b -c )1a +1b -1c =3，则a 4+b 4+c 4 1a 4+1b 4+1c4的最小值是()A.417+2403B.417-2403C.417D.以上答案都不对【答案】A【解析】由(a +b -c )1a +1b -1c =3可得a 2+b 2ab ×1a +b =c ×1ab+1c ，由对称性可设ab =1，则条件即(a +b -c )a +b -1c =3即c +1c =a 2+b 2a +b，从而a 2+b 2a +b≥2⇒a +b ≥1+3，根据柯西不等式a 4+b 4+c 4 a 4+b 4+1c4≥a 4+b 4+1 2=(a +b )4-4(a +b )2+32≥417+2403，等号当c =1,a +b =1+3时取得．因此所求最小值为417+2403．故选：A .题型七：柯西不等式之三角函数型1函数3+23cos θ+cos 2θ+5-23cos θ+cos 2θ+4sin 2θ的最大值为()A.2+3B.22+3C.2+23D.前三个答案都不对【答案】D【解析】题中代数式为3+cos θ+10-(3cos +1)2=3cos θ+13+10-(3cos θ+1)2+23≤13+1×10+23=210+23，等号当10-(3cos θ+1)23cos θ+1=3⇒cos θ=10-223时可以取得，因此所求最大值为210+23．故选：D .2(2024·浙江·一模)若sin x +cos y +sin x +y =2，则sin x 的最小值是()A.0 B.2-3 C.3-7 D.12【答案】C【解析】由已知sin x +cos y +sin x cos y +cos x sin y =2整理得2-sin x =sin x +1 cos y +cos x sin y ，由柯西不等式得sin x +1 cos y +cos x sin y ≤1+sin x2+cos 2x ⋅cos 2y +sin 2y =2+2sin x ，当sin x +1 sin y =cos y cos x 时取等号，所以2-sin x 2≤2+2sin x ，即sin 2x -6sin x +2≤0，解得3-7≤sin x ≤1，所以sin x 的最小值为3-7.故选：C ．3函数y =2cos x +31-cos2x 的最大值为()A.22B.5C.4D.13【答案】A【解析】利用柯西不等式进行求最值.y =2cos x +31-cos2x =2cos x +32sin 2x ≤cos 2x +sin 2x 22+(32)2=22当且仅当cos x sin 2x=232，即tan x =±322时，函数有最大值22.故选：A .题型八：Aczel 不等式1f (x )=5x -4-x -4的最小值为．【答案】855【解析】f (x )=5x -4-x -4=5⋅x -45-1⋅x -4≥(5-1)x -45-(x -4) =4×165=85当且仅当x -45x -4=51即x =245时取等号，故f (x )=5x -4-x -4的最小值为855．2为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》选修课．在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等式(二维)；当向量a =x 1,y 1 ,b =x 2,y 2 时，有a ⋅b 2≤a 2b 2，即x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立；学生乙从这个结论出发．作一个代数变换，得到了一个新不等式：x 1x 2-y 1y 2 2≥x 21-y 21 x 22-y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时等号成立，并取名为“类柯西不等式”．根据前面的结论可知：当x∈R 时，12x 2+1-2x 2+1的最小值是．【答案】-1【解析】由题意得12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2，则12x 2+1-42x 2+22x 2+1 -2x 2+2 =12x 2+1 2-22x 2+222x 2+1 2-2x 2+2 2 ≤12x 2+1⋅2x 2+1-22x 2+2⋅2x 2+22=1，当且仅当12x 2+1⋅2x 2+2=22x 2+2⋅2x 2+1，即x =0时，等号成立，即12x 2+1-42x 2+2 2x 2+1 -2x 2+2≤1，则-12x 2+1-42x 2+2≤1，所以12x 2+1-2x 2+1=12x 2+1-42x 2+2≥-1，最小值为-1，此时x =0．故答案为：-1.题型九：权方和不等式之整式与分式综合型1已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y的最小值为【答案】13【解析】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.2权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立．根据权方和不等式，函数f (x )=2x+91-2x 0<x <12 的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】B【解析】因a ，b ，x ，y >0，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <12，即1-2x >0，于是得f (x )=222x +321-2x ≥(2+3)22x +(1-2x )=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取“=”，所以函数f (x )=2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故选：B3已知a ，b ，c 为正实数，且满足a +4b +9c =4，则1a +1+1b +1+1c +1的最小值为.【答案】2【解析】由权方和不等式，可知1a +1+1b +1+1c +1=1a +1+44b +4+99c +9≥1+2+3 2a +1 +4+4b +9c +9=3618=2，当且仅当a =2,b =12,c =0时等号成立，所以1a +1+1b +1+1c +1的最小值为2.故答案为：2.题型十：权方和不等式之三角函数型1已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y2的最小值.【答案】27【解析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y2的最小值为27.故答案为：272已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【解析】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：553(2024·四川·模拟预测)“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设a n >0,b n >0,n ∈N *,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1n b m n≥a 1+a 2+a 3+⋯+a nm +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm，当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=⋯=a n b n 时，等号成立．根据权方和不等式，若x ∈0,π2 ，当33sin x +1cos x 取得最小值时，x 的值为()A.π12B.π6C.π3D.5π12【答案】C【解析】由题意得，sin x >0,cos x >0，则33sin x +1cos x =332sin 2x12+132cos 2x12≥(3+1)32sin 2x +cos 2x12=432=8，当且仅当3sin 2x =1cos 2x，即cos x =12时等号成立，所以x =π3．故选：C ．题型十一：权方和不等式之杂合型1已知x ,y >0,1x +22y =1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【解析】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y 2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x+22y =1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：332已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【解析】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：603求f x =x 2-3x +2+2+3x -x 2的最大值为【答案】22【解析】f (x )=x 2-3x +2+2+3x -x 2=x 2-3x +2121-12+2+3x -x 2121-12≤x 2-3x +2+2+3x -x 2 121+1-12=22当且仅当x 2-3x +2=2+3x -x 2，即x =0或x =3时取等号故答案为：2 2.1(2024·吉林白山·一模)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a ，b ，x ，y ，满足a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立．则函数f x =3x +161-3x 0<x <13 的最小值为()A.16 B.25 C.36 D.49【答案】D【解析】因为a ，b ，x ，y ，则a 2x +b 2y ≥a +b 2x +y ，当且仅当a x =by时等号成立，又0<x <13，即1-3x >0，于是得f x =323x +421-3x ≥3+4 23x +1-3x =49，当且仅当1x =41-3x ，即x =17时取“=”，所以函数的f x =3x +161-3x 0<x <13最小值为49．故选：D2已知a ，b ，c 均大于1，log a 3+log b 9+log c 27=12，则ab 2c 3的最小值为()A.243B.27C.81D.9【答案】B【解析】由log a 3+log b 9+log c 27=12得log a 3+2log b 3+3log c 3=12，所以log 3ab 2c 3 =log 3a +log 3b 2+log 3c 3=log 3a +2log 3b +3log 3c =112log 3a +2log 3b +3log 3c log a 3+2log b 3+3log c 3 ≥112log 3a ⋅log a 3+2log 3b ⋅2log b 3+3log 3c ⋅3log c 3 2=1121+2+3 2=3，当且仅当log 3a log a 3=log 3b log b 3=log 3clog c 3时取等，所以log 3ab 2c 3 ≥3=log 327，所以ab 2c 3≥27，即ab 2c 3的最小值为27，故选：B3(2024·福建·模拟预测)设p 、q ∈R +，x ∈0,π2，则psin x+qcos x的最小值是()A.p 35+q 3553B.p 45+q4554C.p 12+q 122D.p 14+q144【答案】B【解析】设f =psin x+q cos x，因为x ∈0,π2 ，则0<sin x <1且0<cos x <1，因为sin 2x +cos 2x =1，构造数字式5=1+4=1+4p f sin x +qf cos x=4pf sin x+sin 2x+4qf cos x+cos 2x≥55p f sin x4⋅sin 2x +55q f cos x4⋅cos 2x =5⋅5p 4+5q 45f4，所以，5f 4≥5p 4+5q 4=p 45+q 45，故f ≥p 45+q 4554，当且仅当p f sin x =sin 2xq f cos x=cos 2x，即当tan x =pq25时，等号成立，因此，psin x+q cos x的最小值是p 45+q 45 54.故选：B .4由柯西不等式，当x +2y +z =4时，求x +y +z 的最大值为()A.10 B.4C.2D.10【答案】D【解析】由柯西不等式，得(x +2y +z )(4+2+4)≥(2x +2y +2z )2，当且仅当x 4=2y 2=z 4，即x =z =82,y =25时，等号成立.因为x +2y +z =4，所以(x +y +z )2≤10，则x +y +z ≤10，故x +y +z 的最大值为10.故选：D5已知3x +2y +z =3，则x 2+y 2+2z 2的取最小值时，xyz 为()A.7B.83C.3D.73【答案】B【解析】由柯西不等式得：3=3x +2y +z ≤32+22+122⋅x 2+y 2+2z 2则x 2+y 2+2z 2≥23．则根据等号成立条件知3x +2y +z =33x =2y =12z⇒x =23，y =49，z =19，所以xy z =23×4919=83故选：B6已知：a 2+b 2=1，x 2+y 2=1，则ax +by 的取值范围是()A.0,2B.-1,1C.-2,2D.0,1【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得1≥ax +by 2,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得a 2+b 2=1,1=a 2+b 2 x 2+y 2 ≥ax +by 2，解得-1≤ax +by ≤1.故选:B7实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，则z =2x +3y 的最小值是()A.-5B.-6C.3D.4【答案】A【解析】∵实数x 、y 满足3x 2+4y 2=12，∴x 24+y 23=1，∴x 24+y 2316+9 ≥2x +3y 2，-5≤2x +3y ≤5，当且仅当33x =8y 时取等号，∴z =2x +3y 的最小值是-5.故选：A .8已知a ，b >0，a +b =5，则a +1+b +3的最大值为()A.18B.9C.32D.23【答案】C【解析】由题意，a +1+b +3 2≤1+1 a +1+b +3 =18，当且仅当a +1=b +3时等号成立，∴当a =72，b =32时，故a +1+b +3的最大值为3 2.故选：C .9若实数x +2y +3z =1，则x 2+y 2+z 2的最小值为()A.14B.114C.29D.129【答案】B【解析】根据柯西不等式：x 2+y 2+z 2 1+4+9 ≥2+2y +3z =1，即x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x =114，y =17，z =314时等号成立.故选：B .10函数y =x 2-2x +3+x 2-6x +14的最小值是A.10B.10+1C.11+210D.210【答案】B【解析】y =x 2-2x +3+x 2-6x +14=(x -1)2+2+(3-x )2+5根据柯西不等式，得y 2=(x -1)2+2+(3-x )2+5+2(x -1)2+2 (3-x )2+5 ≥(x -1)2+2+(3-x )2+5+2[(x -1)(3-x )+10]=[(x -1)+(3-x )]2+2+5+210=11+210当且仅当x -13-x =25，即x =210-13时等号成立.此时，y min =11+210=10+1 2=10+1，故选：B .11若x 2+4y 2+9z 2=4，则x +y +3z 的最大值()A.3B.6C.9D.27【答案】A【解析】根据柯西不等式可得：(x +2y +3z )2≤(x 2+4y 2+9z 2)12+12 2+12=4×94=9∴x +y +3z ≤3，当且仅当x =4y =3z ，即x =43,y =13,z =49时，等号成立.故选:A .12函数y =x -5+26-x 的最大值是()A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因为y =x -5+26-x ≤x -52+6-x 2 12+22 =5当且仅当x -5=6-x 2，即x =265时，取等号.故选：B13已知a 21+a 22+⋯+a 2n =1，x 21+x 22+⋯+x 2n =1，则a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 2≤a 21+a 22+⋯+a 2n x 21+x 22+⋯+x 2n =1×1=1，当且仅当x 1a 1=x 2a 2=⋯=xn a n=1时取等号.∴a 1x 1+a 2x 2+⋯+a n x n 的最大值是1故选：A14函数f x =1-cos2x +cos x ，则f x 的最大值是()A.3B.2C.1D.2【答案】A【解析】将f x 化为f x =2sin 2x +cos x ，利用柯西不等式即可得出答案.因为f x =1-cos2x +cos x所以f x =2sin 2x +cos x ≤2+1 sin2x +cos 2x =3当且仅当cos x =33时取等号.故选：A15(2024·高三·河北衡水·期末)已知a ，b ，c >0，且a +b +c =1，则3a +1+3b +1+3c +1的最大值为()A.3B.32C.18D.9【答案】B【解析】由柯西不等式得：3a +1+3b +1+3c +1 2≤12+12+12 3a +1 2+3b +1 2+3c +1 2=3×3a +b +c +3 =18，所以3a +1+3b +1+3c +1≤32，当且仅当a =b =c =13时，等号成立，故选B .16已知x ，y 均为正数，且x +y =2，则x +4xy +4y 的最大值是()A.8 B.9 C.10D.11【答案】C【解析】x +4xy +4y =x +2y 2≤x +2y 2+2x -y 2=5x +y =10当且仅当2x =y ，即x =25,y =85时，等式成立.故选：C17(2024·广西南宁·二模)设实数a ,b ,c ,d ,e 满足关系：a +b +c +d +e =8，a 2+b 2+c 2+d 2+e 2=16，则实数e 的最大值为A.2 B.165C.3D.25【答案】B【解析】根据柯西不等式知：4(a 2+b 2+c 2+d 2)=(1+1+1+1)(a 2+b 2+c 2+d 2)≥(a +b +c +d )2，当且仅当a =b =c =d 时等号成立，所以4(16-e 2)≥(8-e )2，即64-4e 2≥64-16e +e 2，所以5e 2-16e ≤0，解得0≤e ≤165，即实数e 的最大值为165.故选：B .18(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【解析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：619若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k 的最小值为.【答案】305/1530【解析】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y 15+1，整理得x +y 5x +y ≤305，当且仅当x15=y1，即y=25x时等号成立，则k的最小值为30 5.故答案为：30 520已知x，y，z>0，且x+y+z=9，则x2+4y2+z2的最小值为．【答案】36【解析】由柯西不等式可得x2+4y2+z212+122+12≥(x+y+z)2，所以94x2+4y2+z2≥81，即x2+4y2+z2≥36，当且仅当x1=2y12=z1即x=4y=z也即x=4,y=1,z=4时取得等号，故答案为:36.21(2024·高三·江苏苏州·开学考试)设角α、β均为锐角，则sinα+sinβ+cosα+β的范围是．【答案】1,3 2【解析】因为角α、β均为锐角，所以sinα,cosα,sinβ,cosβ的范围均为0,1，所以sinα+β=sinαcosβ+cosαsinβ<sinα+sinβ，所以sinα+sinβ+cosα+β>sinα+β+cosα+β=2sinα+β+π4因为0<α<π2,0<β<π2,π4<α+β+π4<3π4，所以2sinα+β+π4>2×22=1，sinα+sinβ+cosα+β=sinα+sinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=1-sinβsinα+cosαcosβ+sinβ≤1-sinβ2+cos2β+sinβ=21-sinβ+sinβ，当且仅当1-sinβcosα=sinαcosβ时取等，令1-sinβ=t，t∈0,1，sinβ=1-t2，所以=21-sinβ+sinβ=2t+1-t2=-t-2 22+32≤32.则sinα+sinβ+cosα+β的范围是：1,3 2.故答案为：1,3 222在锐角△ABC中，tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A的最小值是．【答案】6+22+23+26【解析】记题中代数式为M，我们熟知三角形中的三角恒等式：cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=1，于是M=tan A tan B+2tan B tan C+3tan C tan A≥(1+2+3)2cot A cot B+cot B cot C+cot C cot A=(1+2+3)2=6+22+23+26，等号当tan A tan B=2tan B tan C=3tan C tan A⇒tan A:tan B:tan C=2:3:1时取得，因此所求最小值为6+22+23+26故答案为：6+22+23+2623函数f (x )=2020-x +x -2010的最大值与最小值之积为．【答案】102【解析】函数f (x )的定义域为[2010,2020]，一方面，2020-x +x -2010≥(2020-x )+(x -2010)=10，等号当x =2010,2020时取得；另一方面，2020-x +x -2010≤2⋅(2020-x )+(x -2010)=20，当且仅当x =2015时等号成立，于是最大值为20，最小值为10，所求乘积为102．故答案为：10 2.24(2024·高三·天津南开·期中)已知正实数a ，b 满足a +b =1，则1a +2a b +1的最小值为.【答案】52/2.5【解析】由题设，a =1-b ，则1a +2a b +1=1a +2-2b b +1=1a +4b +1-2，又(a +b +1)1a +4b +1 =a ⋅1a +b +1⋅2b +12=9，∴1a +4b +1≥92，当且仅当a =b +12时等号成立，∴1a +2a b +1≥92-2=52，当且仅当a =b +12=23时等号成立.∴1a +2a b +1的最小值为52.故答案为：52.25已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【解析】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：826已知x >0，y >0，且12x +y +1y +1=1，则x +2y 的最小值为.【答案】3+12【解析】解法一：设x +2y =λ1(2x +y )+λ2(y +1)+t ，可解得λ1=12,λ2=32,t =-32，从而x +2y =12(2x +y )+32(y +1)-32=12(2x +y )+32(y +1) 12x +y +1y +1-32≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．解法二：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y，1=12x +y +33y +3≥(1+3)22x +4y +3⇒2x +4y +3≥4+23，所以x +2y ≥3+12，当且仅当x =12+33,y =33时取等号.故答案为：3+12．。
【高考数学】柯西函数方程
第十八讲 柯西函数方程（抽象函数）)(x f )()()(y f x f y x f +=+.1)1(=f(1)求)0(f 的值,并判断)(x f 的奇偶性;(2)解关于x 的不等式:.02)2()2(2<+++-x f x x f 解：（1）()()()f x y f x f y +=+，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =+(0)0f ∴= 又令0x y x y +==-，即，(0)()()0f f x f x =+-=()()0f x f x ∴+-=()f x ∴为奇函数。
（2）(1) 1.f =()()()()()()(11)112(21)213(31)314f f f f f f f f f ∴+=+=+=+=+=+=；()(1)(1)(1)1=-+=-+f x f n f f n 全部相加得：()()11=-+=f n n n ； 同理()⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭m n n n n n nf n f m f f f n f m m m m m m 个，故()R x x x f ∈=对恒成立。
故22222034041x x x x x x x -+++<⇒-->⇒><-或。
()y f x =是定义在R +的函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=()131f =1x >时，()0f x <．秒杀秘籍：柯西函数方程二元函数方程：R R f →:)()()(y f x f y x f +=+是一个非常重要的函数方程，这个方程最早由法国数学家柯西加以研究的，后来称之为柯西函数方程。
很多问题可以通过变化归结为柯西函数方程。
通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使解是唯一，我们大多给予一些附加条件。
解这类函数方程的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得到函数方程的解。
柯西定理例题
柯西定理例题柯西定理是复变函数论中的重要定理，它又称为柯西-罗尔定理或柯西-罗尔公式。
柯西定理的表述如下：设函数f(z)在简单闭合曲线C内连续，在C内部有一个点z0。
如果C内所有点z都满足f'(z)=0，则f(z)在C的内部那么f(z)在C内的值是一个常数。
柯西定理的一个常见应用是计算闭合曲线内的积分。
根据柯西定理，如果函数f(z)在简单闭合曲线C内连续，并且在C内部的每一个点都有导数f'(z)，那么沿着这个曲线C的积分等于沿着围成该曲线C的区域内f(z)的积分。
下面是一个柯西定理的例题：设复变函数f(z)=z^3+2z^2+3z+4，计算曲线C：|z|=2上的积分∮C f(z)dz。
解：根据柯西定理，我们只需要找到一个函数F(z)，其导数为f(z)。
考虑函数F(z)=\frac{1}{4}z^4+\frac{2}{3}z^3+\frac{3}{2}z^2+4z，我们可以验证F(z)的导数为f(z)。
现在，我们只需要计算函数F(z)沿着曲线C的积分。
由于C是一个半径为2的圆，我们可以使用参数表示C上的点。
令z(t)=2e^{it}，其中0≤t≤2π。
然后，我们可以计算dz=2ie^{it}dt。
现在，我们可以计算积分∮C f(z)dz，即∫_C(z^3+2z^2+3z+4)dz。
∮C f(z)dz=\int_0^2pi f(z(t))dz(t)=\int_0^2pi(z^3(t)+2z^2(t)+3z(t)+4)z'(t)dt=\int_0^2pi (8e^{3it}+8e^{2it}+6e^{it}) 2ie^{it}dt=\int_0^2pi (16ie^{4it}+16ie^{3it}+12ie^{2it})dt=16i\int_0^2pi e^{4it}dt + 16i\int_0^2pi e^{3it}dt + 12i\int_0^2pi e^{2it}dt.注意到∫e^{nit}dt=0，其中n为非零整数，所以上述积分中只有一项不为零，即∫_0^2pi e^{2it}dt。
柯西不等式考研真题
柯西不等式考研真题柯西不等式考研真题柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，其在数学分析、线性代数等领域有着广泛的应用。
在考研数学中，柯西不等式也是一个经常出现的考点。
下面我们来看一道柯西不等式的考研真题。
【题目】已知实数a，b，c满足a+b+c=0，证明a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca。
【解析】这是一道典型的柯西不等式的证明题。
我们首先观察到a+b+c=0，那么可以得到c=-(a+b)。
接下来，我们需要将要证明的不等式转化为柯西不等式的形式。
将要证明的不等式展开得到a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca，将c=-(a+b)代入得到a^2+b^2+(-a-b)^2≥ab+(-a-b)a+a(-a-b)。
简化得到a^2+b^2+a^2+2ab+b^2≥ab-a^2-ab+a^2。
合并同类项得到2(a^2+b^2)≥0。
由于a、b为实数，所以a^2+b^2≥0，所以2(a^2+b^2)≥0。
因此，我们证明了a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca成立。
【总结】通过这道考研真题，我们可以看到柯西不等式的应用。
柯西不等式是线性代数中的一个重要定理，它给出了两个向量的内积与它们的模的关系。
在数学分析中，柯西不等式可以用来证明一些重要的不等式，如三角不等式等。
掌握了柯西不等式的证明方法和应用场景，对于考研数学的学习非常有帮助。
除了柯西不等式，考研数学中还有许多其他重要的不等式，如均值不等式、几何不等式等。
掌握这些不等式的证明方法和应用场景，对于考研数学的备考非常有帮助。
在解题过程中，我们要善于观察、灵活运用不等式的性质和定理，才能更好地解决问题。
总之，柯西不等式是考研数学中的一个重要知识点，掌握了柯西不等式的证明方法和应用场景，对于考研数学的备考非常有帮助。
通过不断的练习和积累，我们可以更好地理解和运用柯西不等式，提高解题的能力和水平。
希望大家在备考过程中能够充分利用柯西不等式这个工具，取得好的成绩。
有关柯西准则的一些试题
总存在x1, x2 ,
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性
例6.用柯西收敛准则证明:
当x→+∞时,
sin x
x
存在极限
证明
：∵
sin x1 x1
−
sin x2 x2
≤
1 x1
+
1 x2
对ε
>
0，取X= 2 , ε
则当x1 ,x2
>
2 时， ε
sin x1 x1
−
sin x2 x2
≤
1 x1
+
1 x2
函数f (x)在区间Ｉ上一致连续 函数f (x)在区间Ｉ上连续
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 25
一致连续的否定就是 非一致连续. 两者对比如下：
函数f (x)在区间I上 一致连续 ∀ε >0, ∃δ >0, ∀x1, x2 ∈ I, 当 | x1 − x2 |<δ 时, 有
f ( x1)− f ( x2) <ε,
对∀ε >0, 取δ = a2ε, ∀x1, x2 ∈[a,1], 当 x1 − x2 <δ 时, 有
1 x1
−
1 x2
< ε,
故函数
f
(
x)
=
1 x
在区间[a, 1] 上一致连续.
第一节、数列的柯西准则与函数的一致连续性 27
例8 (1)
证明: 在[a,
函数 f ( 1](0< a
x) <
=1)上1x 一致连∃续非ε0;一>0致, 连∀δ续>:0,
证明
取
ε
0
=
1 2
18柯西函数方程
第十八讲 柯西函数方程（抽象函数）例1：定义在R 上的单调函数)(x f 满足对任意x ,y 均有)()()(y f x f y x f +=+,且.1)1(=f (1)求)0(f 的值,并判断)(x f 的奇偶性;(2)解关于x 的不等式:.02)2()2(2<+++-x f x x f 解：（1）()()()f x y f x f y +=+，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =+(0)0f ∴= 又令0x y x y +==-，即，(0)()()0f f x f x =+-=()()0f x f x ∴+-=()f x ∴为奇函数。
（2）(1) 1.f =()()()()()()(11)112(21)213(31)314f f f f f f f f f ∴+=+=+=+=+=+=；()(1)(1)(1)1=-+=-+f x f n f f n 全部相加得：()()11=-+=f n n n ；同理()⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭m n n n n n nf n f m f f f n f m m m m m m个，故()R x x x f ∈=对恒成立。
故22222034041x x x x x x x -+++<⇒-->⇒><-或。
例2：设()y f x =是定义在R +的函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，()131f =，且当1x >时，()0f x <． （1）求)1(f 的值， （2）判断()f x 的单调性并证明；（3）如果()(10)2f x f x +-<-，求x 的取值范围。
解：（1）()()()f xy f x f y =+，故令1x y ==，有(1)(1)(1)f f f =+(1)0f ∴=又令11y x y x ⋅=⇒=，1(1)()()0x f f x f =+=1()()x f f x ∴=-（2）令120x x >>，故121x x >，()()()11122210x f f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为单调减函数。
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第十八讲 柯西函数方程（抽象函数）(1)求)0(f 的值,并判断)(x f 的奇偶性;(2)解关于x 的不等式:.02)2()2(2<+++-x f x x f 解：（1）()()()f x y f x f y +=+，故令0x y ==，有(0)(0)(0)f f f =+(0)0f ∴= 又令0x y x y +==-，即，(0)()()0f f x f x =+-=()()0f x f x ∴+-=()f x ∴为奇函数。
（2）(1) 1.f =()()()()()()(11)112(21)213(31)314f f f f f f f f f ∴+=+=+=+=+=+=；()(1)(1)(1)1=-+=-+f x f n f f n 全部相加得：()()11=-+=f n n n ；同理()⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=+++=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭m n n n n n nf n f m f f f n f m m m m m m个，故()R x x x f ∈=对恒成立。
故22222034041x x x x x x x -+++<⇒-->⇒><-或。
例2：设()y f x =是定义在R 的函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，()131f=，且当1x >时，0f x <． （1）求)1(f 的值， （2）判断()f x 的单调性并证明；（3）如果()(10)2f x f x +-<-，求x 的取值范围。
解：（1）()()()f xy f x f y =+，故令1x y ==，有(1)(1)(1)f f f =+(1)0f ∴=又令11y x y x ⋅=⇒=，1(1)()()0x f f x f =+=1()()x f f x ∴=- （2）令120x x >>，故121x x >，()()()11122210x f f x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴为单调减函数。
（3）()131f =，()13(3)1f f ∴=-=-；()()(33)332f f f ∴⋅=+=-；()()(10)9f x f x f ∴+-< 故可得：()010091109⎧>⎪->⇒>>⎨⎪->⎩x x x x x 。
秒杀秘籍：柯西函数方程二元函数方程：R R f →:)()()(y f x f y x f +=+是一个非常重要的函数方程，这个方程最早由法国数学 家柯西加以研究的，后来称之为柯西函数方程。
很多问题可以通过变化归结为柯西函数方程。
通常这类函数方程的解不是唯一的，为了使解是唯一，我们大多给予一些附加条件。
解这类函数方程的步骤是：依次求出独立变量取正整数值、整数值、有理数值，直至所有实数值，而得 到函数方程的解。
对于常见的二元函数方程式我们有以下之结果：(1)()()()f x y f x f y +=+，()(1)f x xf =（正比例函数）(2) )()()(y f x f y x f =+，xf x f )]1([)(=（指数函数）()()()(y f x f xy f +=，x x f b log )(=（对数函数） (4) )()()(y f x f xy f =，a x x f =)(（幂函数） 解题口诀：和为零，积为一，加变减，乘变除.和为零：就是先令0x y ==，求出(0)f ，再令0x y x y +==-，即，求出()()f x f x -=-；积为一：就是先令1x y ==，求出(1)f ，再令11y x y x ⋅==，即，求出1()()f f x x=-； 加变减：就是将()f x y +变成()12()f x y f x x -⇒-的过程； 乘变除：就是将()f x y ⋅变成12()x xf f yx ⎛⎫⇒⎪⎝⎭的过程；11111333333⎫⎡⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+++=⇒⎢ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎣ ⎪⎝⎭n n f f f x f 个个11113333⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦mm f f f f mf个的函数恒成立；故log 1例3：设函数()f x 的定义域是R ，对任意x ,y 恒有()()()f x y f x f y +=⋅，且当0x >时，01f x << ．（1）求证：()01f =，且当0x <时，()1f x <；（2）判断()f x 在R 上的单调性；解：（1）()f x y +时，(0)f x +0>，(f x - (0f x <-()(121x f x ⋅()f xy f = A B ．2 C ．4 D ．62.定义在区间（-1，1）上的减函数()f x 满足：()()f x f x -=-。
若2(1)(1)0f a f a -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是___________________.3.已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,x y ,都有:()()()f xy f x f y =+成立.则不等式2(log )0f x <的解集是___1<X<2__________________.4.()f x 的定义域为(0,)+∞，对任意正实数,x y 都有()()(),(4)2,f xy f x f y f f =+==且则 125.如果()()(),(1)2,f x y f x f y f +==且则(2)(4)(6)(2015)(1)(3)(5)(2014)f f f f f f f f ++++=16 ；则2(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)f f f f f f f f f +++++=6.对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：()()()1f x y f x f y xy +=+++，若1)1(=f ，则=-)8(f （ C ）A.-1B.1C. 19D. 43 7..对任意实数,x y ，均满足[]22()()2(),(1)0,(2014)f x y f x f y f f +=+≠=且则__1007 _____.8.已知函数()y f x =的定义域为R,且不恒为0,且对任意,x y R ∈,都有()()()f x y f x f y +=+;(1)求(0)f 的值;(2)判断函数()y f x =的奇偶性;(3)当0x >时,()0f x <,判断函数()y f x =的单调性。
9.已知定义在区间(0,)+∞上的函数()f x 满足:恒有()()()f xy f x f y =+,且当1x >时,()0f x <.(1)求(1)f 的值;(2)证明:函数()f x 在区间(0,)+∞上为单调递减函数;(3)若(3)1f =-,(ⅰ)求(9)f 的值; (ⅱ)解不等式:(3)2xf <-.10.设函数()y f x =是定义在+R 上的函数,并且满足下面三个条件:(1)对正数*,x y R ∈都有()()()f xy f x f y =+;(2)当1x >时,()0f x <;(3)(3)1f =-｡则(Ⅰ)求(1)f 和1()9f 的值;(Ⅱ)如果不等式()(2)2f x f x +-<成立,求x 的取值范围.(Ⅲ)如果存在正数k ,使不等式()(2)2f kx f x +-<有解,求正数k 的取值范围11.函数()y f x =的定义域为{}0D x x ≠，且满足对于任意,x y D ∈，有()()()f xy f x f y =+，（1）求(1)f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明；（3）如果()()(4)1,31263f f x f x =++-≤，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围。
12.已知函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,且(1)1f =,若[],1,1x y ∈-,0x y +≠ 有[]()()()0x y f x f y +⋅+>.(1)判断()f x 的单调性,并加以证明;(2)解不等式1()(12)2f x f x +<-;13.已知函数)(x f 是定义在[-1,1]上的奇函数,且1)1(=f ,若0)()(,0],1,1[,>++≠+-∈yx y f x f y x y x (1)证明: )(x f 在[-1,1]上是增函数;(2)解不等式)11()21(-<+x f x f ; 秒杀秘籍：柯西函数方程处理符号和常数的技巧(1) ()()()0;()()()2()()()f b f x y f x f y b f x f x b f x y f x f y b⎧=-⎪+=++⇒-+=-⎨⎪-=--⎩，()(1)f x xf b =-（一次函数）(2) ()00()()()1()()()1f x y f x f y f x yxy f x f y f xy ⎧=+⎪+=⇒-⎨+-=⎪-⎩，(3)()()010()()=()()()⎧==⎪⎪=⋅⇒⎛⎫⎨⋅+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎩yn n f x f f x y f x f x x x f x f x f x 个个，()11()log -=f f x x （对数函数）14.若定义在R 上的函数f x 对任意的12,x x R ∈，都有1212()()()1f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()1f x >。
（1）求证：()1f x -为奇函数；（2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若(4)5f =，解不等式2(32)3f m m --<．15.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1()()()2f m n f m f n +=++,且1()02f =,当12x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...(10)f f f f ++++ (3)判断函数()f x 的单调性,并证明.16.定义在区间（0，∞）上的函f(x)满足：（1）()f x 不恒为零；（2）对任何实数,x q ,都有)()(x qf x f q=. （1）求证：方程()0f x =有且只有一个实根；（2）若1a b c >>>，且2a c b +=求证：2()()()f a f c f b ⋅<； 17.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1()13f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; (3)若0a b c >>>且2b ac =,求证:()()2()f a f c f b +>.18.定义在R +上的函数()f x 满足: ①对任意实数m ,()()m f x mf x =; ②(2)1f =。