反比例函数的神奇

合集下载

反比例函数的性质与应用

反比例函数的性质与应用反比例函数是数学中一种常见的函数类型，也被称为倒数函数。

在反比例函数中，两个变量的乘积为常数，其中一个变量的增大伴随着另一个变量的减小。

本文将探讨反比例函数的性质，并介绍其在实际生活中的应用。

一、反比例函数的定义与表示方式反比例函数是一种特殊的函数形式，可以使用以下的定义和表示方式：定义：如果两个变量x和y满足x*y=k，其中k为非零常数，则称y为x的反比例函数。

表示方式：反比例函数通常以y = k/x的形式表示，其中k为常数。

二、反比例函数的性质反比例函数具有以下几个重要的性质：1. 当x趋近于零时，反比例函数的值趋于无穷大。

这意味着函数图像会与y轴趋近于平行，但永远不会触及y轴。

2. 反比例函数的图像是一个双曲线。

具体来说，当k为正数时，图像位于第一和第三象限；当k为负数时，图像位于第二和第四象限。

3. 反比例函数的图像关于y轴和x轴均对称。

这意味着，如果(x, y)是函数图像上的一点，那么(-x, -y)也是该函数图像上的一点。

三、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 物体运动问题：当物体的速度与时间成反比例关系时，可以使用反比例函数来描述物体的运动。

例如，当汽车以恒定的速率行驶时，行驶的距离与所用时间成反比例关系。

2. 电阻与电流问题：在电路中，电阻和电流之间的关系可以由反比例函数来描述。

根据欧姆定律，电阻与电流成反比例关系。

3. 货币兑换问题：在国际贸易中，货币兑换率通常与两个国家的经济情况有关，它们之间呈现反比例关系。

这种关系可以用反比例函数来表示。

4. 物质的浓度问题：在化学中，溶液的浓度与所使用的溶剂的体积成反比例关系。

因此，反比例函数可以用来描述溶液的浓度变化。

5. 行动与反应问题：在心理学和社会科学中，人们的行动和其他人的反应通常呈反比例关系。

例如，人们参与某项活动的数量可能与其他人的参与数量成反比例关系。

总结：反比例函数是数学中常见的函数类型，具有特殊的性质。

反比例函数在数学、物理学科的应用

反比例函数在数学、物理学科的应用1. 反比例函数的概念和定义反比例函数是指函数y=k/x，其中k为非零常数，x≠0。

反比例函数在数学中是一种简单而重要的函数类型，具有许多特殊的性质和应用。

反比例函数在实际生活中也有广泛的应用，尤其在物理学中。

2. 物理学中的反比例函数应用在物理学中，许多反比例函数是基本的物理定律。

例如，牛顿第二定律F=ma，其中F为力，m为物体的质量，a为物体的加速度。

牛顿第二定律可以变形为a=F/m，即加速度和力成反比例关系。

当力增大时，加速度减小；当质量增大时，加速度减小；当质量减小时，加速度增大。

这种反比例关系在物理学中是非常常见的。

3. 实例：牛顿万有引力定律除了牛顿第二定律，牛顿万有引力定律也是一种经典的反比例关系。

牛顿万有引力定律是指任意两个物体之间的引力，与它们之间的距离的平方成反比例关系，即F=Gm1m2/d^2，其中G为万有引力常数，m1和m2分别为两个物体的质量，d为它们之间的距离。

这个定律告诉我们，当两个物体之间的距离变小时，引力会变大；当它们之间的距离变大时，引力会变小。

这种反比例关系在宇宙中的天体运动和星系的形成中起着非常重要的作用。

4. 电学中的反比例函数反比例函数在电学中也有广泛的应用。

例如，欧姆定律V=IR中，电阻R和电流I成反比例关系。

当电阻增大时，电流减小；当电阻减小时，电流增大。

这种关系在电路设计和电子工程中是非常重要的。

5. 小结反比例函数是一种在数学和实际应用中都非常常见的函数类型。

它具有许多重要的性质和应用，例如物理学中的牛顿第二定律和万有引力定律，电学中的欧姆定律等等。

在学习和应用反比例函数时，我们需要注意它们的特殊性质和应用场景，以便更好地理解和应用。

反比例函数的实际例子

反比例函数的实际例子
1. 你知道吗，汽车行驶的速度和时间就像是反比例函数一样！比如说，你要去一个地方，路程是固定的吧，如果速度超快，那到达的时间不就很短嘛！反之，要是慢悠悠地开，那花费的时间可就长啦！这多像反比例函数啊，速度和时间此消彼长。

2. 想想看啊，你做一项工作，工作效率和完成时间不也是反比例函数的关系嘛！如果你效率超高，那完成工作不就用时很短嘛，要是磨磨蹭蹭，那得花多少时间呀！这不是明摆着的吗！
3. 哎呀呀，打篮球的时候，投篮的准确率和出手次数也有点反比例函数的味道呢！你要是只求快，疯狂投篮，那准确率可能就下去了呀。

但要是好好瞄准，少投几次，说不定准确率就大大提高了呢！大家想想是不是这么回事呀！
4. 大家有没有发现，给花浇水的量和花存活的时长也类似反比例函数哦！水浇太多，可能花就被淹坏了，可水浇太少，花又会干死，这不是很神奇嘛？
5. 嘿，你们说学习时间和学习效果是不是也是反比例函数呀！一直不停地学，可能效率反而低了，适当地休息调整，那学习效果说不定蹭蹭往上涨呢，这可真有意思！
6. 平时用电的时候，电器功率和用电时间也像反比例函数呢！功率大的电器，用的时间长那电费可就吓人了，如果功率小一点，合理安排使用时间，电费不就少很多嘛！这难道不是很明显嘛！
我觉得反比例函数在生活中无处不在，只要我们细心观察就能发现很多有趣的例子，它真的很神奇呀！。

反比例函数历史意义

反比例函数历史意义
反比例函数是一种常见的数学函数，在数学和科学领域发挥了重要的作用。

它的历史意义可以追溯到古希腊时期。

最早提出反比例的概念的是古希腊数学家泰勒斯。

他观察到某些物理量的变化趋势与其相关量的变化趋势呈现出相反的关系。

这种关系被后来的数学家称为反比例。

反比例函数的公式可以表示为y = k/x，其中k为常数。

反比例函数在科学研究中具有广泛的应用。

例如，在物理学领域，牛顿第二定律描述了物体的加速度与施加在它身上的力成反比例关系。

在经济学中，按比例变化的两个变量之间的关系往往是反比例的，例如，成本与产量之间的关系可用反比例函数来描述。

除了在科学和经济领域的应用外，反比例函数在工程学和实践中也是非常有用的。

例如，在电路设计中，电流与电阻之间的关系可以用反比例函数来表示。

在医学中，药物浓度与药物效力之间的关系常常可以用反比例函数来描述。

反比例函数的历史意义在于它提供了一种描述变量之间关系的
方法，尤其是那些呈现出相反趋势的关系。

它的应用范围广泛，不
仅被数学家和科学家使用，还被应用于各个领域的实际问题解决中。

总之，反比例函数在数学和科学领域具有重要的历史意义。

它
提供了一种有效地描述变量之间反比关系的方法，并在物理学、经
济学、工程学和医学等领域发挥着重要的作用。

反比例函数实际应用

反比例函数实际应用反比例函数是数学中的一个重要概念，它在实际生活中有着广泛的应用。

本文将探讨反比例函数的实际应用，并举例说明其在不同领域的具体用途。

一、什么是反比例函数反比例函数是指函数关系中，当自变量变化时，因变量与自变量的乘积保持不变的函数。

一般表达式为 y = k/x，其中 k 是常数。

当 x 增大时，y 的值减小；当 x 减小时，y 的值增大，呈现反比例关系。

二、反比例函数在实际应用中的例子1. 照明系统设计反比例函数在照明系统设计中有着重要的应用。

考虑到照明强度与照明距离的关系，当光源与被照射物体之间的距离增大时，光照强度会随之减小。

根据反比例函数的特性，可以通过调整灯具的位置和光源的强度来满足照明需求，使得不同距离下的照明质量保持一致。

2. 电阻和电流关系在电路中，电阻和电流之间的关系通常可以用反比例函数来描述。

根据欧姆定律，电流大小与电阻大小成反比例关系。

当电阻增大时，电流减小；当电阻减小时，电流增大。

这种关系在电路设计和电子元件选型中起到了重要的指导作用。

3. 时间与速度关系在运动学中，时间与速度之间的关系可以用反比例函数来表示。

例如，在汽车行驶的过程中，如果保持驱动力和负载不变，车辆行驶的速度与所用时间成反比。

行驶的时间越长，速度越慢；行驶的时间越短，速度越快。

这种关系在交通规划和车辆调度中具有重要意义。

4. 物质浓度与溶液体积关系在化学实验中，物质浓度与溶液体积之间的关系可以用反比例函数来描述。

根据稀释定律，当物质浓度增大时，溶液体积减小；当物质浓度减小时，溶液体积增大。

利用反比例函数的特性，可以根据需求调整溶液的浓度和体积，实现精确的配制和稀释。

5. 传输速率和带宽关系在计算机网络领域，传输速率和带宽之间的关系可以用反比例函数来表达。

根据香农理论，带宽越大，传输速率越快；带宽越小，传输速率越慢。

利用反比例函数的特性，可以优化网络带宽的分配，提高数据传输的效率和可靠性。

三、总结反比例函数作为数学中的一个重要概念，在实际生活中有着广泛的应用。

函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质

反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增大时，图像会向原点靠近；当k减小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时，其图像也会相应地沿x轴或y轴方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度与温度也成反比关系，即温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系呈反比关系，即供应量越大，需求量越小；反之亦然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通速度与货币供应量也成反比关系，即货币供应量越大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率与反应物的浓度成反比关系，即浓度越高，反应速率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的转化率与反应温度成反比关系，即温度越高，转化率越低。
04
反比例函数的图像是双曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。

反比例函数的小结

反比例函数的小结反比例函数是高中数学中重要的一类函数，其形式为y=k/x，其中k 是一个常数。

反比例函数与直线函数相似，但其特殊的性质使得它在实际问题中有着广泛的应用。

首先，反比例函数的图像是一条曲线，而不是直线。

这是因为反比例函数的定义域是x不等于零的实数集，而在直线函数中，定义域可以包括零。

所以，反比例函数的图像在坐标系中是一个由原点发出的分支曲线。

这种曲线的特点是，当x趋近于正无穷或负无穷时，y趋近于零，并且在x轴上有一个垂直渐近线。

其次，反比例函数的图像具有对称性。

当x和y互换时，函数的值保持不变。

也就是说，对于反比例函数y=k/x，当x不等于零时，有y=k/x；而当y不等于零时，有x=k/y。

这一特性在实际问题中有着重要的应用，例如在电阻和电流之间的关系中，根据欧姆定律可以得到反比例函数的关系。

反比例函数还具有一个重要的特性，即随着自变量的增大，因变量的值逐渐减小。

这意味着当x增大时，y的值会越来越小。

这种关系在实际问题中可以用来描述一些递减的过程，例如人口密度与土地面积的关系、速度与时间的关系等。

在实际问题中，反比例函数也经常用于解决比例问题。

由于反比例函数的关系是一种倒数关系，所以可以利用这种关系来求解未知量。

例如，在水泥浆的稀释问题中，如果已知水泥的用量和水的用量，可以利用反比例函数的关系求解水泥的浓度。

又如，在工程中，可以利用反比例函数来求解两个物体间的距离，根据声音传播速度与时间的倒数关系来计算。

总结起来，反比例函数是一类特殊的函数，其图像是一条分支曲线，具有对称性和递减性。

在实际问题中，反比例函数可以用来描述倒数关系和解决比例问题。

反比例函数的应用广泛，涉及到数学、物理、工程等各个领域。

对于学生来说，掌握反比例函数的性质和应用是提高数学能力的重要一步。

反比例函数的特点与应用

反比例函数的特点与应用反比例函数（Inverse Proportional Function）是数学中具有特殊形式的函数，其特点在于自变量与因变量之间的关系遵循反比例关系。

本文将探讨反比例函数的特点以及其在实际生活中的应用。

一、反比例函数的特点反比例函数的一般形式可以表示为：y = k/x，其中k为常数。

下面将介绍反比例函数的三个主要特点。

1. 反比例关系反比例函数中，自变量x与因变量y之间的关系是反比例关系。

这意味着当自变量x增大时，因变量y会减小；反之，当自变量x减小时，因变量y会增大。

这种关系可以用以下表达式来描述：x × y = k。

2. 零点反比例函数在自变量为零时，因变量的值将无限大。

即当x趋近于零时，y会趋于无穷大；反之，当x趋近于无穷大时，y会趋于零。

这是反比例函数的一个重要特点，可以用以下表达式表示：lim(x→0)(y)= ∞。

3. 反比例图像反比例函数的图像呈现出一种特殊的形状，形如一个双曲线。

图像在x轴和y轴上都有渐进线，即随着x或y趋近于无穷大时，曲线趋于与坐标轴平行。

这种特殊形状在实际应用中有很多实际意义。

二、反比例函数的应用反比例函数在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用领域。

1. 物体运动的速度与时间关系在物理学中，物体运动的速度与所用时间的关系通常为反比例关系。

当物体的速度增大时，所用时间减小；反之，当速度减小时，所用时间增加。

这种反比例函数关系在运动学中被广泛应用。

2. 电阻与电流之间的关系在电路中，电阻与电流之间的关系通常遵循反比例关系。

根据欧姆定律，电阻的大小与电流的强弱成反比。

换句话说，当电阻增大时，电流减小；反之，当电阻减小时，电流增大。

这种反比例函数关系在电路分析和设计中起着重要作用。

3. 投资收益与投入资金的关系在经济学中，投资收益与投入资金的关系通常为反比例关系。

当投入的资金较大时，相对收益率较低；反之，当投入的资金较小时，相对收益率较高。

反比例函数的应用举例及实际意义

反比例函数的应用举例及实际意义反比例函数的应用举例及实际意义2023年，反比例函数已经成为了不可缺少的数学工具之一。

从自然科学到社会科学，从经济学到医学，都有着广泛的应用。

反比例函数的实际意义不仅在于解决目前面临的许多问题，同时也为未来的科学研究带来了巨大的潜力和发展空间。

接下来，本文将通过实例阐述反比例函数的应用及其实际意义。

1. 反比例函数在自然科学中的应用反比例函数在自然科学中有着广泛的应用，尤其是在物理学和化学领域。

例如，牛顿第二定律是运动学中的重要概念，它指出运动对象的加速度与所受的力成反比例关系。

这个定律可以表示为：F = ma其中，F是物体所受的力，m是物体的质量，a是物体的加速度。

由此可以得出，加速度与质量成反比例关系。

因此，反比例函数可以用来描述牛顿第二定律的关系。

在化学领域中，反比例函数也有着重要的应用。

例如，当溶液浓度变化时，反应速率的变化可以通过反比例函数来描述。

这种反应速率与浓度的反比例关系被称为“速率方程”，它是现代化学研究的重要基础概念之一。

2. 反比例函数在社会科学中的应用反比例函数在社会科学中的应用也非常广泛。

在经济学中，经济学家常用反比例函数来描述价格弹性和需求弹性。

例如，当商品价格下降时，价格弹性和需求弹性成反比例关系，即价格弹性愈大，需求弹性愈小。

此外，在管理学、市场营销、社会学和心理学领域，反比例函数也有着广泛的应用。

例如，管理学中的知名学者Fayol提出了“建立权力原则”，其中包括“管理单位的规模越大，管理层级的数量就越多，这种数量与管理效率呈反比例关系”。

这一原则指导了现代企业的组织架构和管理模式，成为企业管理领域的重要标志。

3. 反比例函数在医学中的应用反比例函数在医学中也有着重要的应用。

例如，药物代谢速率与药物浓度成反比例关系，这在药物的临床应用中非常重要。

当药物的浓度达到一定水平时，药物的代谢速率就会降低，这意味着需要调整剂量以保持药物在安全范围内的有效浓度。

反比例函数的神奇

反比例函数的神奇若有两个变量x和y，如果它们之间的关系满足x*y=k（k是一个非零常数），那么就称y是x的反比例函数。

可以用以下表达式来表示反比例函数：y=k/x首先，反比例函数的图像经过点(1,k)，这是因为当x=1时，y=k。

这个点在图像上的位置很重要，因为它是反比例函数图像的一个关键特征。

其次，反比例函数没有定义域和值域。

因为当x=0时，y不存在，所以反比例函数的定义域为R\{0}，即所有实数去掉0。

同样地，反比例函数的值域也是R\{0}，即除了0之外的所有实数。

首先是反比例函数的渐近线。

由于反比例函数的定义域和值域都是整个实数集R，所以它的图像在横轴和纵轴上都没有截距。

这导致了反比例函数的图像与横轴和纵轴之间有两条特殊的直线，称为渐近线。

这两条渐近线分别是x轴和y轴。

当x趋近于正无穷或负无穷时，反比例函数的图像会越来越接近x轴；当y趋近于正无穷或负无穷时，反比例函数的图像会越来越接近y轴。

这个现象可以用数学式子来表示：lim(x->∞) y = 0lim(y->∞) x = 0这个现象在实际问题中有重要的应用。

比如，在物理学中，当物体所受的阻力和速度成反比例关系时，可以得到一个相应的反比例函数。

根据这个函数，可以计算出当速度趋近于无穷大时，阻力趋近于零。

这解释了为什么在高速行驶的汽车中，感觉不到阻力的存在。

其次是反比例函数在几何中的应用。

反比例函数的图像是一个双曲线。

这个曲线有许多独特的性质，被广泛用于几何学中的角平分线、超越法线和切线问题等。

其中一个例子是双曲线的渐近线和渐近圆。

双曲线的渐近线是它的渐近线，而渐近圆是双曲线的渐近线和椭圆的渐近线的并集。

这些概念在几何学中发挥着重要的作用，广泛用于解决与曲线有关的问题。

最后是反比例函数在经济学中的应用。

在经济学中，很多问题可以使用反比例函数来建模。

例如，当一个公司的生产量与成本成反比例关系时，可以使用反比例函数来描述这个关系。

反比例函数6个模型证明

反比例函数的六个模型证明1. 函数定义反比例函数是一种特殊的函数，也称为倒数函数。

它的定义如下：如果两个变量x和y满足关系式y = k/x，其中k是一个非零常数，那么我们称y为x的反比例函数。

反比例函数可以表示为f(x) = k/x，其中f(x)表示y，k表示常数。

2. 模型1：物理学中的弹簧定律弹簧定律描述了弹簧受力和弹性形变之间的关系。

根据胡克定律，当一个弹簧受到外力拉伸或压缩时，它会产生与形变成正比的力。

因此，我们可以使用反比例函数来描述这种关系。

具体地说，在没有外力作用时，弹簧处于平衡状态。

当外力施加在弹簧上时，它会发生形变，并且产生一个与形变成反比的恢复力。

这个关系可以用以下公式表示：F = -kx其中F是恢复力，k是一个常数（称为弹性系数），x是形变量。

根据这个公式可以看出，当形变量x增大时（例如拉伸），恢复力F减小；当形变量x减小时（例如压缩），恢复力F增大。

这正好符合反比例函数的定义。

3. 模型2：电阻和电流的关系在电学中，欧姆定律描述了电阻和电流之间的关系。

根据欧姆定律，当通过一个导体的电流增加时，导体中产生的电压也会随之增加，而且它们之间存在一个反比关系。

具体地说，欧姆定律可以用以下公式表示：V = IR其中V是电压，I是电流，R是电阻。

根据这个公式可以看出，当电流I增大时，电压V也会随之增大；当电流I减小时，电压V也会随之减小。

这也符合反比例函数的定义。

4. 模型3：速度和时间的关系在物理学中，平均速度可以用速度除以时间来计算。

根据平均速度的定义，当物体以恒定速度运动时，在相同时间内所运动的距离与时间成正比。

具体地说，在匀速直线运动中，平均速度可以用以下公式表示：v = s/t其中v是平均速度，s是物体所运动的距离，t是运动所花费的时间。

根据这个公式可以看出，当运动的距离s增加时，所花费的时间t也会随之增加；当运动的距离s减小时，所花费的时间t也会随之减小。

这符合反比例函数的定义。

反比例函数在物理学中的应用

反比例函数在物理学中的应用
反比例函数在物理学中有着广泛的应用，以下是一些例子：
1. 万有引力定律
万有引力定律是牛顿在17世纪提出的，它描述了两个物体之间的引力与它们之间的距离的平方成反比。

具体而言，如果两个物体的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为r，则它们之间的引力F可以用反比例函数表示：
F = Gm1m2/r^2
其中G是一个常数，称为万有引力常数。

这个反比例函数描述了引力随着距离的增加而减小的规律。

2. 声音强度
声音的强度是指声波传播的能量，它与声源到听者的距离的平方成反比。

具体而言，如果声源的强度为I0，它到听者的距离为r，则听者接收到的声音强度I可以用反比例函数表示：
I = I0/(4πr^2)
这个反比例函数描述了声音随着距离的增加而减弱的规律。

3. 电场强度
电场强度是指单位电荷在电场中所受的力，它与距离的平方成反比。

具体而言，如果电荷q在电场中受到的力为F，它与电荷所在点到电场源的距离为r，则电场强度E可以用反比例函数表示：
E = F/q = kq/r^2
其中k是一个常数，称为库仑常数。

这个反比例函数描述了电场强度随着距离的增加而减弱的规律。

4. 光强度
光强度是指单位面积上通过的光功率，它与距离的平方成反比。

具体而言，如果光源的强度为I0，它到接收器的距离为r，则接收器接收到的光强度I可以用反比例函数表示：
I = I0/(4πr^2)
这个反比例函数描述了光强度随着距离的增加而减弱的规律。

总之，反比例函数在物理学中有着广泛的应用，它描述了许多物理量随着距离的增加而减弱的规律。

揭示反比例函数的奥秘

揭示反比例函数的奥秘反比例函数是数学中的一种特殊函数形式，也被称为倒数函数。

它在实际问题中常常出现，例如速度和时间的关系、物体质量和重力的关系等。

本文将深入揭示反比例函数的奥秘，探索其背后的数学原理和应用。

一、反比例函数的定义与性质：反比例函数可以表示为y=k/x，其中k为一个非零常数。

函数图像可形象地表示为一条括弧形的曲线。

它与直线函数的关系不同，在直线函数中，随着自变量的增加，因变量也会相应增加；而在反比例函数中，自变量和因变量之间存在一种倒数的关系。

在反比例函数中，自变量的变化范围需要区分两种情况：1. 当自变量x为正数时，因变量y随着x的增大而减小，表现出负相关关系。

2. 当自变量x为负数时，因变量y亦为负数，且随着x的减小而减小。

由于反比例函数含有分式，需要特别注意的是，自变量x不能为0，否则函数将无定义。

二、反比例函数的图像特征：反比例函数的图像通常与直角坐标系的两个轴相交于原点(0, 0)。

随着自变量的变化，图像的形状呈现出以下特征：1. 在自变量为正数的范围内，随着x增大，曲线逐渐趋近于x轴，呈现出下降的趋势。

2. 在自变量为负数的范围内，随着x减小，曲线逐渐趋近于x轴，同样呈现出下降的趋势。

3. 图像在自变量为0附近存在一个断点，左侧曲线和右侧曲线不相连。

三、反比例函数的应用场景：1. 速度和时间的关系：在运动学中，当物体的速度恒定时，它与所花费的时间成反比。

速度越大，所需要的时间越短，反之亦然。

例如，某辆汽车以恒定速度行驶，所用时间与行驶的距离呈反比例关系。

当行驶的距离翻倍时，所用时间将减少一半。

2. 物体质量和重力的关系：根据牛顿第二定律，物体受到的重力与其质量成正比。

因此，物体质量与重力的关系是反比例的。

3. 电阻和电流的关系：在电路中，电阻与电流成反比例关系。

当电阻增加时，电流减小，反之亦然。

这也是为什么在串联电路中，电阻越大，电流越小。

4. 其他实际应用：反比例函数还可用于解决涉及比例关系的问题，如工作时间与产量、人口数量与资源分配等。

反比例函数五大结论

反比例函数五大结论1. 哇哦，同学们！今天咱们来聊聊反比例函数的五大结论。

别急着打哈欠啊，这可是数学界的超级明星呢！想象一下，它就像是数学世界里的变形金刚，变来变去，让人目不暇接。

2. 第一个结论，反比例函数的图像是一条双曲线。

听起来高大上是不是？其实就是两条弯弯的线，像极了你妈妈做的面条，又细又长，怎么也吃不完。

这条线永远不会碰到x 轴和y轴，就像你永远追不上校花一样，只能无限接近啊！3. 第二个结论来啦！反比例函数的图像关于原点对称。

这就像是照镜子，你往左动，镜子里的你就往右动，简直是孪生兄弟啊！小明听到这儿，眼睛一亮："哇，这不就是我和我双胞胎兄弟吗？一个往东，一个往西，永远相反！"4. 接下来是第三个结论：反比例函数在第一、三象限单调递减，在第二、四象限单调递增。

这听起来有点绕口，但其实很简单。

就像你爬山，有时候往上爬，有时候往下滑。

小红插嘴说："哦，我明白了！就像过山车，一会儿上一会儿下，刺激得很！"5. 第四个结论可有意思了：当x越来越大时，y无限接近于0；当x越来越接近0时，y 的绝对值无限增大。

这就像是你和暗恋对象的距离，你越靠近他，他就跑得越远；你要是不理他，他反而凑过来了。

小明听完直呼："这不就是我追女神的真实写照吗？"6. 最后一个结论：反比例函数的图像与坐标轴围成的面积是固定的。

这个有点抽象，我们来打个比方。

想象一下，你有一块橡皮泥，不管你怎么捏，它的体积都不变。

反比例函数的图像就是这样，你可以拉长它，压扁它，但它和坐标轴围成的面积永远不变。

7. 小红听完后若有所思："哇，这不就是守恒定律吗？就像我们班的总成绩，不管怎么分配到每个人头上，加起来还是那么多。

"我竖起大拇指："没错！你这个类比太妙了！"8. 说到这儿，小明突然问："老师，这些结论在实际生活中有什么用啊？"我笑着说："好问题！比如说，你知道为什么自行车变速器有不同档位吗？这就是利用了反比例函数的原理。

26反比例函数的意义

26反比例函数的意义反比例函数是一种特殊的函数，其表达式为y=k/x，其中k为常数，并且x不等于0。

反比例函数的图像是一个双曲线的形态，其特点是当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0。

在此篇文章中，我们将讨论反比例函数的意义及其应用。

一、什么是反比例函数？在数学中，反比例函数是一种表达式为y=k/x的函数，其中k是常数，且x不等于0。

其中k可以是正数、负数或零。

从表达式可以看出，反比例函数的特点是当x趋近于无穷大或无穷小时，y趋近于0。

换句话说，当x的取值较大时，y的取值较小；而当x的取值较小时，y的取值较大。

这也意味着x和y是成反比例关系的，即x越大，y越小；x越小，y越大。

反比例函数的图像是一条双曲线，对称于y轴和x轴的交点（0,0）是它的渐近线。

1.实际应用中的意义反比例函数在实际应用中有着广泛的意义。

例如：（1）速度与时间：当一个物体以恒定的速度移动时，它所花费的时间与它行驶的距离成反比例关系。

这可以用反比例函数来表示，其中y代表时间，x代表距离。

这意味着当距离增加时，所需的时间减少；当距离减少时，所需的时间增加。

（2）电阻与电流：根据欧姆定律，电阻和电流成反比例关系。

这意味着当电阻增加时，通过电路的电流减少；当电阻减少时，电流增加。

（3）人口密度与土地面积：在城市规划中，人口密度与土地面积成反比例关系。

这意味着当土地面积较小时，人口密度较大；而当土地面积较大时，人口密度较小。

（4）声音强度与距离：根据声学原理，声音强度与距离成反比例关系。

这意味着当距离声源增加时，声音强度减小；当距离减小时，声音强度增加。

2.图像上的意义反比例函数的图像是一条双曲线，它有一些特定的意义：（1）渐近线：双曲线的两条渐近线是x轴和y轴。

当x或y趋近于无穷大时，函数值趋近于0，因此双曲线的两条渐近线分别是y=0和x=0。

（2）对称轴：双曲线的对称轴是y=x。

这意味着当函数图像在对称轴一侧上升时，在另一侧下降。

数学故事：“反比例函数”与“闭眼打转问题”

“反比例函数”与“闭眼打转问题”“反比例函数”与“闭眼打转问题”，是两件风马牛不相及的事情，怎么会扯上关系？同学们别急！看了下面这段故事，你会感受到反比例函数的“神奇力量”，你会觉得数学是那么的“酷”！相传公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究。

他收集了大量事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离。

而正是这一段很小的步差x ，导致了这个人走出一个半径为y 的大圈子！现在我们来研究一下x 与y 之间的函数关系：假定某人两脚踏线间相隔为d 。

很明显，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d 的同心圆。

设该人平均步长为l 。

那么，一方面这个人外脚比内脚多走路程2()2()222d d y y d πππ+--=；另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即22()2y d x l ππ=⋅，化简得 2dl y x= 对一般的人，d ＝0.1米，l ＝0.7米，代入得 0.14y x =（米）这就是所求的迷路人打圈子的半径公式，它是一个反比例函数！假如设迷路人两脚差为0.1毫米，那么仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！看到这里，你是否被神奇的反比例函数所折服！且慢，我们再来看一个有趣的游戏：在世界著名的水都威尼斯，有个马尔克广场。

广场的一端有一座宽82米的雄伟教堂。

教堂的前面是一片开阔地。

这片开阔地经常吸引着四方游人到这里做一种奇特的游戏：把眼睛蒙上，然后从广场的一端向另一端教堂走去，看谁能到达教堂的正前面！奇怪的是，尽管这段距离只有175米，但却没有一名游客能幸运地做到这一点！全都走成了弧线，或左或右，偏斜到了一边！为什么是这样呢？我们就先来计算一下，当人们闭起眼睛，从广场一端中央的M 点抵达教堂CD 的最小的弧半径是多少。

如下图，注意到矩形ABCD 边175BC =（米），41AM MB ==（米）。

反比例函数的性质

反比例函数定义一般的，如果两个变量x,y之间的关系可以表示成y=k/x(k为常数，k≠0），其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。

k大于0时，图像在一、三象限。

k小于0时，图像在二、四象限.k 的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。

反比例函数图像及性质反比例函数图像：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。

由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴、y轴，但不会与坐标轴相交（y≠0）。

反比例函数性质：1.[增减性]当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

让我们一起领略反比例函数的神奇

让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1.为何正比例函数的比例系数是比xyk =，而反比例函数的比例系数却不是比xy k =？ 2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下k 的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，AOB Rt Δ的顶点B (2，4)，双曲线xky =经过点C 、D ，当以B 、C 、D 为顶点的三角形与AOB Δ的相似时，则=k .1.常规性解法：通过设元，例如设C (m ，m 2)，则D (2，2m )，再根据条件列方程： (1)利用CD BC 2=、224=CD BC 、CD BD 5=或225=CD BD 列方程；(2)利用)(D C C D y y x x -2=-列方程；(3)利用“一线三等角”模型、和D D C C y x y x ⋅=⋅列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C 作y CP ⊥轴于P ，连接PA ，直线CD 分别交坐标轴于点M 、N . 则有①PA ∥CD ；②AN PC =，AD PM =； ③DN MC =，CN MD =. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）：由OM ON 2=，PM AD AN 2=2=可得，)(PM OM AN ON -2=-，即OP OA 2=，于是1=21=OA OP ，21=21=OP PC ，……(3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由421=::::CN OC MC ，DN MC =可得，131=::::DN CD MC ，转为横比，131=--::)(:)(:D N C D C x x x x x ，因此21=41=OA x C ，…… (4)我一个学生的解法（斜等转直等）：由CN MD =得2==-OA x x C N ，则1=-21=)(C N C x x y ，…… (5)我的第二种解法（平行导角度）：由PA ∥CD 得，B MNO PAO ∠=∠=∠，于是1=21=OA OP ，…… (6)下面我们要着重解决两件事： ①上述性质是否永远成立？如何证明？②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质 1.如图，双曲线xky =与矩形OABC 边交于点M 、N ，直线MN 交坐标轴于点D 、E . ①如图1，若21=::AB AM ，则=CB CN : ； ②如图2，若41=::AB AM ，则=CB CN : ；③如图3，若n AB AM ::1=，则=CB CN : ，直线MN 与AC 的位置关系是，EN 与MD 的大小关系 .图1 图2 图3 2.①如图1，双曲线xky =与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系. ②如图2，双曲线xky =与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于A ，x MC ⊥轴于C ， y ND ⊥轴于D ，x NB ⊥轴于B ，请探究直线MN 与AB 、CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系.图1 图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长 1.如图，直线4+-=x y 反比例函数xky =(0>x )图象交直线AB 于点C 、D ，且CD AB 2=，则k 的值为 .(1)常规方法（斜长转直长）：22=21=AB CD ，则2=22=-CD x x C D ，可设C (m ，m -4)，则D (2+m ，m -2)，列方程解决； (2)口算巧解（斜边转直比）：由DB AC =，CD AB 2=得，121=::::DB CD AC ，转为横比得，121=--::)(:)(:D B C D C x x x x x ，则1=C x ，3=1-4=C y ，……2.同类变式题：如图，直线2+-=x y 交坐标轴于点A 、B ，双曲线xky =交直线AB 于点C 、D . 若AB CD 2=，则k 的值为；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，o BAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ， AC 分别交x ，y 轴于D ，E .(1)求DOE Δ的面积； (2)求证：DBCE ADE S S 四边形=Δ.4.原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1，BC AB =，AOB Δ的面积为3，则k 的值为 . (2)如图2，点A ，B 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =. ①在运动过程中，ABC Δ的面积是不是定值？答：； ②若32=k ，且ABC Δ是正三角形，则点A 的坐标为 .(3)如图3，□OABC 中，o B 60=∠，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 . (4)如图4，直线x y 21=与3+21=x y 分别与双曲线xky =交于点A 、B ，BC OA 2=，则k 的值为 .图1 图2 图3 图4(5)(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 . (6)如图6，双曲线xky =与直线b mx y +=交于点C 、D . ①(原创、铺垫②)若3-=m 、6=b ，且CD AB 3=，则=k ；②(常州模拟·改编)若6=b ，且CD AB 3=，则=⋅m k ；③(杭州模拟·改编)若3-=m ，且8=⋅AD AC ，则=k . (7)(据上题改编)如图7，P 为双曲线xy 2-=上的动点，过点P 作矩形PAOB ，直线 CD 的解析式为b x y +2=，交矩形边于M ，N ，则=⋅DN CM .图5 图6 图7五、面积比、边比互转1.①(原创、铺垫)如图1①，直线x y 23=与双曲线xy 6=交于点A ，C 为双曲线上一点，射线CA 交y 轴于点D ，若COD Δ的面积为9，则点C 坐标为； ②(成都)如图1②，直线x y 23=与双曲线xy 6=交于点A 、B ，C 为双曲线上一点，射线CA 交y 轴于点D ，若BCD Δ的面积为20，则点C 坐标为 . 2.(无锡)如图2，x AB ⊥轴，BC ∥x 轴，双曲线过点C 、D ，且21=::DB OD ，已知OBC Δ的面积为3，则k 的值为 .图1① 图1② 图33.(宁波)如图3，正AOB Δ的顶点A 在双曲线x y 9=上，双曲线xy 1=与边OA 交于点C ，连接BC ，则ABC Δ的面积为 . 4.(丽水)如图4，双曲线xy 4=与直线b x y +-=交于点A 、B ，⊥AE x 轴，设点A 的横坐标为m .①用含m 的式子表示=b ；②若AOF Δ与四边形BCEF 的面积和为4，则=m . 5.如图5，双曲线xky =与直线b mx y +=交于点C 、D . ①(常州模拟)若6=b ，且COD AOB S S ΔΔ3=，则=⋅m k ；②(改编自①)若6=k 、3-=m ，且CD AB 2=，则=COD S Δ .图3 图4 图56.如图6，⊥AB x 轴，C 为AB 中点，延长OC 到E ，延长OA 到D ，若双曲线xk y =恰好经过点D ，E ，且CE OC =，则=OD OA : . 7.如图7，双曲线x k y 1=过点A ，B ，xky 2=过点C ，D ，若AC ，BD 均与x 轴平行， 6=AC ，4=BD ，且它们之间的距离EF 长为5，则=-21k k . 8.如图8，直线AB 交双曲线xy 5=于点C ，D ，若8=AOB S Δ，则=BOC S Δ .图6 图7 图89.如图，点A 在双曲线xky =上，x AB ⊥轴，CD AD 2=，DB 延长线交y 轴于E ，若 BCE Δ的面积为4，则k 的值为 . 10.如图，点A 、B 在双曲线xky =上，x AC ⊥轴，x BD ⊥轴，垂足C 、D 分别在x 轴的正半轴和负半轴上，k CD =，AC AB 25=，E 是AB 的中点，若BCE Δ面积是ADE Δ的2倍，则k 的值为 .六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例 1.如图1，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线xky =经过点A 、B ，且点B 的纵坐标为2，则k 的值为 .(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K ”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得1-5=m .(2)后感：我们可以发现，矩形ODCE 恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究… (3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线xky =与矩形ODCE 的边交于点A ，B ，若设点B 的坐标为(a ，b )，且有AB OB =，AB OB ⊥，则=b a : .图1 图2 图32.类似题：①(2015临海模拟·填空压轴题)如图， AB OA =，o OAB 90=∠，双曲线xky =经过点A ，双曲线xk y -=经过点B ，已知点A 的纵坐标为2-，则=k ，点B 的坐标为 . ②(个人原创)如图2，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线x k y =经过点B ，双曲线xk y 1+=经过点A ，且点B 的纵坐标为2，则k 的值为 .3.难题展示（常州·于新华老师原创题） (1)如图1，点A (3，4)，B 均在双曲线xky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.(2)如图2，点A (3，4)，B 均在双曲线xky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.图1 图24.如图，矩形ABCD 的边AB 的解析式为2+=kx y ，顶点C ，D 在双曲线xmy =上. ①若2=∠ADB tan ，则点D 的坐标为；②连接OC ，OD ，若COD Δ是等边三角形，则=∠ADB tan .后感：若能发现OB OA =，本题将更简单！拓展：如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在双曲线x y 3=上，C 、D 在双曲线xy 7=上，则正方形ABCD 的面积为 .5.(2013湖州模拟) 如图1，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线xky =上，若点A (1，2)，则点B 的坐标为 . 6.如图2，矩形ABCD 中，AD AB 2=，点A (0，1)，点C ，D 在双曲线xky =上，若E 为 AB 中点，则k 的值为 .图1 图27.①如图1，点A ，B 在双曲线xy 2=上运动，以AB 为底边作等腰直角ABC Δ，则点 C 也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为；②如图2，点A ，B 在双曲线xy 2=上运动，以AB 为底边作等腰ABC Δ，则点C 也在一条双曲线上运动，若2=∠CAB tan ，则该双曲线解析式为； ③如图3，点A ，B 在双曲线xky =上运动，以AB 为底作等腰ABC Δ，点C 在另一双曲线xk y '=上运动，若m CAB =∠tan ，请用m ，k 表示='k .图1 图2 图3七、平行导角度，角度导比例 1.如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 作AC ∥x 轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D .①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题：如图，点A ，B 在双曲线xky =上，AB 经过原点O ，过点A 的直线b x y +3=交该双曲线于点C ，分别交x 轴，y 轴于点D ，E ，若4=BC ，8=AC . 求k 的值.2.如图，直线x y 3=交在双曲线xky =于点A 、B ，AB 经过原点O ，过A 作AB AC ⊥ 交y 轴于点C ，连接BC 并延长，交双曲线于点D .求BD AD :的值.3.如图，双曲线xk y =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、 BM 分别交y 轴于点P 、Q .若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m .4.如图，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.八、纯面积推导1. 如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，o BAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ， AC 分别交x ，y 轴于D ，E .求证：DBCE ADE S S 四边形=Δ.(此方法感谢江苏·于新华老师的指导！)2.(2016菏泽)如图，AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形，双曲线x y 6=经过点B ，交线段OA 与点E ，求AOC Δ与ABD Δ的面积之差.后感：①题中条件“AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形”可如何改变？ ②写出2OA ，2OE ，2AB 的关系： .3.(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线x k y =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 .4.(常州)如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D ，且a b OC BD =，求ADAC 的值； 5.如图2，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.图1 图2。

中考数学专题复习反比例函数的神奇

中考数学专题复习反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1.为何正比例函数的比例系数是比x yk =，而反比例函数的比例系数却不是比xy k =？2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下k 的几何意义（面积），例如2019年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇. 二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题: 如图，AOB Rt Δ的顶点B (2，4)，双曲线x ky =经过点C 、D ，当以B 、C 、D 为顶点的三角形与AOB Δ的相似时，则=k . 1.常规性解法：通过设元，例如设C (m ，m 2)，则D (2，2m )，再根据条件列方程：(1)利用CD BC 2=、224=CD BC 、CD BD 5=或225=CD BD 列方程；(2)利用)(D C C D y y x x -2=-列方程；(3)利用“一线三等角”模型、和DD C C y x y x ⋅=⋅列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C 作y CP ⊥轴于P ，连接PA ，直线CD 分别交坐标轴于点M 、N . 则有①PA ∥CD ；基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）：由OM ON 2=，PM AD AN 2=2=可得，)(PM OM AN ON -2=-，即OP OA 2=，于是1=21=OA OP ，21=21=OP PC ，…… (3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由421=::::CN OC MC ，DN MC =可得，131=::::DN CD MC ，转为横比，131=--::)(:)(:D N C D C x x x x x ，因此21=41=OA x C ，……(4)我一个学生的解法（斜等转直等）：由CN MD =得2==-OA x x C N ，则1=-21=)(C N C x x y ，……(5)我的第二种解法（平行导角度）：由PA ∥CD 得，B MNO PAO ∠=∠=∠，于是1=21=OA OP ，……(6)下面我们要着重解决两件事：①上述性质是否永远成立？如何证明？②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质 1.如图，双曲线x ky =与矩形OABC 边交于点M 、N ，直线MN 交坐标轴于点D 、E .①如图1，若21=::AB AM ，则=CB CN : ； ②如图2，若41=::AB AM ，则=CB CN : ；③如图3，若n AB AM ::1=，则=CB CN : ，直线MN 与AC 的位置关系是，EN 与MD 的大小关系 . 图 1 图 2图32.①如图1，双曲线x ky =与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系. ②如图2，双曲线x ky =与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于A ，x MC ⊥轴于C ，y ND ⊥轴于D ，x NB ⊥轴于B ，请探究直线MN 与AB 、CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系.图1 图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长1.如图，直线4+-=x y 反比例函数x ky =(0>x )图象交直线AB于点C 、D ，且CD AB 2=，则k 的值为 . (1)常规方法（斜长转直长）：22=21=AB CD ，则2=22=-CD x x C D ，可设C (m ，m -4)，则D (2+m ，m -2)，列方程解决；(2)口算巧解（斜边转直比）：由DB AC =，CD AB 2=得，121=::::DB CD AC ，转为横比得，121=--::)(:)(:D B C D C x x x x x ，则1=C x ，3=1-4=C y ，……2.同类变式题：如图，直线2+-=x y 交坐标轴于点A 、B ，双曲线x ky =交直线AB 于点C 、D .若AB CD 2=，则k 的值为；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2019/3/29）如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，oBAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ，AC 分别交x ，y 轴于D ，E . (1)求DOE Δ的面积； (2)求证：DBCEADE S S 四边形=Δ.4.原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1，BC AB =，AOB Δ的面积为3，则k的值为 .(2)如图2，点A ，B 在双曲线x ky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =.①在运动过程中，ABC Δ的面积是不是定值？答：； ②若32=k ，且ABC Δ是正三角形，则点A 的坐标为 .(3)如图3，□OABC 中，oB 60=∠，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为 . (4)如图4，直线x y 21=与3+21=x y 分别与双曲线x k y =交于点A 、B ，BC OA 2=，则k 的值为 .图1图 2图3图45，正AOB Δ(5)(十堰)如图线x ky =经过边长为5，双曲的点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 .(6)如图6，双曲线x ky =与直线b mx y +=交于点C 、D .①(原创、铺垫②)若3-=m 、6=b ，且CD AB 3=，则=k ；②(常州模拟·改编)若6=b ，且CD AB 3=，则=⋅m k ； ③(杭州模拟·改编)若3-=m ，且8=⋅AD AC ，则=k . (7)(据上题改编)如图7，P 为双曲线x y 2-=上的动点，过点P 作矩形PAOB ，直线CD 的解析式为b x y +2=，交矩形边于M ，N ，则=⋅DN CM .图 5 图 6图7五、面积比、边比互转1.①(原创、铺垫)如图1①，直线x y 23=与双曲线x y 6=交于点A ，C 为双曲线上一点，射线CA 交y 轴于点D ，若COD Δ的面积为9，则点C 坐标为； ②(成都)如图1②，直线x y 23=与双曲线x y 6=交于点A 、B ，C 为双曲线上一点，射线CA 交y 轴于点D ，若BCD Δ的面积为20，则点C 坐标为 . 2.(无锡)如图2，x AB ⊥轴，BC ∥x 轴，双曲线过点C 、D ，且21=::DB OD ，已知OBC Δ的面积为3，则k 的值为 .图1① 图1②图3的顶点A 在双曲线x y 9=上，双曲线3.(宁波)如图3，正AOBΔx y 1=与边OA 交于点C ，连接BC ，则ABC Δ的面积为 . 4.(丽水)如图4，双曲线x y 4=与直线b x y +-=交于点A 、B ，⊥AE x 轴，设点A 的横坐标为m .①用含m 的式子表示=b ；②若AOF Δ与四边形BCEF 的面积和为4，则=m . 5.如图5，双曲线x ky =与直线b mx y +=交于点C 、D .①(常州模拟)若6=b ，且CODAOB S S ΔΔ3=，则=⋅m k ；②(改编自①)若6=k 、3-=m ，且CD AB 2=，则=COD S Δ .图 3 图 4图56.如图6，⊥AB x 轴，C 为AB 中点，延长OC 到E ，延长OA 到D ，若双曲线x ky =恰好经过点D ，E ，且CE OC =，则=OD OA : . 7.如图7，双曲线x k y 1=过点A ，B ，x ky 2=过点C ，D ，若AC ，BD 均与x 轴平行，6=AC ，4=BD ，且它们之间的距离EF 长为5，则=-21k k . 8.如图8，直线AB 交双曲线x y 5=于点C ，D ，若8=AOB S Δ，则=BOC S Δ .图6 图7图89.如图，点A 在双曲线x ky =上，x AB ⊥轴，CD AD 2=，DB 延长线交y 轴于E ，若BCE Δ的面积为4，则k 的值为 . 10.如图，点A 、B 在双曲线x ky =上，x AC ⊥轴，x BD ⊥轴，垂足C 、D 分别在x 轴的正半轴和负半轴上，k CD =，ACAB 25=，E 是AB 的中点，若BCE Δ面积是ADE Δ的2倍，则k 的值为 . 六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例1.如图1，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线x ky =经过点A 、B ，且点B 的纵坐标为2，则k 的值为 .(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K ”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得1-5=m . (2)后感：我们可以发现，矩形ODCE 恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究… (3)探究(2019临沭模拟)：如图3，双曲线x ky =与矩形ODCE 的边交于点A ，B ，若设点B 的坐标为(a ，b )，且有AB OB =，AB OB ⊥，则=b a : .图 1 图 2图32.类似题：①(2019临海模拟·填空压轴题) 如图， AB OA =，oOAB 90=∠，双曲线x ky =经过点A ，双曲线x ky -=经过点B ，已知点A 的纵坐标为2-，则=k ，点B 的坐标为 . ②(个人原创)如图2，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线x k y =经过点B ，双曲线x k y 1+=经过点A ，且点B 的纵坐标为2，则k 的值为 . 3.难题展示（常州·于新华老师原创题） (1)如图1，点A (3，4)，B 均在双曲线x ky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.(2)如图2，点A (3，4)，B 均在双曲线x ky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.图1 图24.如图，矩形ABCD 的边AB 的解析式为2+=kx y ，顶点C ，D 在双曲线x my =上.①若2=∠ADB tan ，则点D 的坐标为； ②连接OC ，OD ，若COD Δ是等边三角形，则=∠ADB tan .后感：若能发现OB OA =，本题将更简单！拓展：如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在双曲线x y 3=上，C 、D 在双曲线x y 7=上，则正方形ABCD 的面积为 .5.(2019湖州模拟) 如图1，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线x ky =上，若点A (1，2)，则点B 的坐标为 .6.如图2，矩形ABCD 中，AD AB 2=，点A (0，1)，点C ，D 在双曲线x ky =上，若E 为AB 中点，则k 的值为 .图1 图27.①如图1，点A ，B 在双曲线x y 2=上运动，以AB 为底边作等腰直角ABC Δ，则点C 也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为； ②如图2，点A ，B 在双曲线x y 2=上运动，以AB 为底边作等腰ABC Δ，则点C 也在一条双曲线上运动，若2=∠CAB tan ，则该双曲线解析式为； ③如图3，点A ，B 在双曲线x ky =上运动，以AB 为底作等腰ABC Δ，点C 在另一双曲线x k y '=上运动，若m CAB =∠tan ，请用m ，k 表示='k .图 1 图 2图3七、平行导角度，角度导比例1.如图，点A ，B 在双曲线x ky =上，AB 经过原点O ，过点A 作AC ∥x 轴，连接BC并延长，交双曲线于点D . ①求证：CD AD =； ②求BD AD :的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题：如图，点A ，B 在双曲线x ky =上，AB 经过原点O ，过点A 的直线b x y +3=交该双曲线于点C ，分别交x 轴，y 轴于点D ，E ，若4=BC ，8=AC . 求k 的值.2.如图，直线x y 3=交在双曲线x ky =于点A 、B ，AB 经过原点O ，过A 作AB AC ⊥交y 轴于点C ，连接BC 并延长，交双曲线于点D .求BD AD :的值. 3.如图，双曲线x ky =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M在双曲线上，直线AM 、BM 分别交y 轴于点P 、Q .若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m .4.如图，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.八、纯面积推导1. 如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，oBAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ，AC 分别交x ，y 轴于D ，E . 求证：DBCEADE S S 四边形=Δ.(此方法感谢江苏·于新华老师的指导！) 2.(2019菏泽)如图，AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形，双曲线x y 6=经过点B ，交线段OA 与点E ，求AOC Δ与ABD Δ的面积之差. 后感：①题中条件“AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形”可如何改变？②写出2OA ，2OE ，2AB 的关系： .3.(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线x ky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为 .D ，且a b OC BD =，求4.(常州)如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、AD AC的值；5.如图2，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.图1 图2。

反比例函数的神奇

让我们一起领略反比例函数的神奇一、个人对反比例函数的几点困惑与感悟 1.为何正比例函数的比例系数是比xyk =，而反比例函数的比例系数却不是比xy k =？ 2.为何我市中考的反比例函数问题总不像其它函数那么深入？只探究一些皮毛问题！至多探究一下k 的几何意义（面积），例如2016年台州市中考考查的也是“函数的研究通法”，并非专门深入研究反比例函数.3.过去我们遇到稍难一点的反比例函数问题，就只有“暴力设元”这一途径，总无法避开多元方程、分式方程、高次方程.4.个人认为作为老师，不应该只应付中考，而应该研究更纯粹的数学，站在更高的位置来了解数学本质！做到居高临下、解有依据！5.实际上，反比例函数中也存在很多的“比”，斜比、直比（纵比、横比、纵横比）、面积比，可以说“比比皆是”！现在就让我们一起来比出精彩、比出神奇.二、一道曾经困惑我多时的中考题某年宁波市中考的填空压轴题:如图，AOB Rt Δ的顶点B (2，4)，双曲线xky =经过点C 、D ，当以B 、C 、D 为顶点的三角形与AOB Δ的相似时，则=k .1.常规性解法：通过设元，例如设C (m ，m 2)，则D (2，2m )，再根据条件列方程：(1)利用CD BC 2=、224=CD BC 、CD BD 5=或225=CD BD 列方程；(2)利用)(D C C D y y x x -2=-列方程；(3)利用“一线三等角”模型、和D D C C y x y x ⋅=⋅列方程.实际上，在上述常规处理方法中，已经透着一点智慧、一点灵性了，具体操作方法中也具备了一定的技巧性. 但我本人对此，却一直难言满意，耿耿于怀！ 2.挖掘隐含性质，巧解此题(1)实际上，此图中含有一些很重要的性质：过点C 作y CP ⊥轴于P ，连接PA ，直线CD 分别交坐标轴于点M 、N . 则有①PA ∥CD ；②AN PC =，AD PM =； ③DN MC =，CN MD =. 基于以上这些性质，有如下解法. (2)我的第一种解法（整体思想）：由OM ON 2=，PM AD AN 2=2=可得，)(PM OM AN ON -2=-，即OP OA 2=，于是1=21=OA OP ，21=21=OP PC ，……(3)我一个同事的解法（斜边转直比）：由421=::::CN OC MC ，DN MC =可得，131=::::DN CD MC ，转为横比，131=--::)(:)(:D N C D C x x x x x ，因此21=41=OA x C ，…… (4)我一个学生的解法（斜等转直等）：由CN MD =得2==-OA x x C N ，则1=-21=)(C N C x x y ，…… (5)我的第二种解法（平行导角度）：由PA ∥CD 得，B MNO PAO ∠=∠=∠，于是1=21=OA OP ，…… (6)下面我们要着重解决两件事：①上述性质是否永远成立？如何证明？②解题技巧除上述方法：整体思想、斜边转直比、斜等转直等、平行导角度外，还有斜长转直长、面积比与边比互转、纯面积转化等等，后面将一、一介绍.三、探究性质 1.如图，双曲线xky =与矩形OABC 边交于点M 、N ，直线MN 交坐标轴于点D 、E . ①如图1，若21=::AB AM ，则=CB CN :； ②如图2，若41=::AB AM ，则=CB CN :； ③如图3，若n AB AM ::1=，则=CB CN :，直线MN 与AC 的位置关系是，EN 与MD 的大小关系.图1图2图32.①如图1，双曲线xky =与直线DE 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于点A ，x NC ⊥轴于点C ，请探究直线MN 与AC 的位置关系，线段EN 与MD 的大小关系. ②如图2，双曲线xky =与直线EF 交于点M 、N ，y MA ⊥轴于A ，x MC ⊥轴于C ， y ND ⊥轴于D ，x NB ⊥轴于B ，请探究直线MN 与AB 、CD 的位置关系，以及线段ME 与FN 的大小关系.图1图2四、最常见思想方法（斜转直）：斜边转直比、斜等转直等、斜长转直长 1.如图，直线4+-=x y 反比例函数xky =(0>x )图象交直线AB于点C 、D ，且CD AB 2=，则k 的值为. (1)常规方法（斜长转直长）：22=21=AB CD ，则2=22=-CD x x C D ，可设C (m ，m -4)，则D (2+m ，m -2)，列方程解决； (2)口算巧解（斜边转直比）：由DB AC =，CD AB 2=得，121=::::DB CD AC ，转为横比得，121=--::)(:)(:D B C D C x x x x x ，则1=C x ，3=1-4=C y ，……2.同类变式题：如图，直线2+-=x y 交坐标轴于点A 、B ，双曲线xky =交直线AB 于点C 、D . 若AB CD 2=，则k 的值为；3.难题展示（中国数学教育名师讲堂481230254，每日一题第8题，2017/3/29）如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，o BAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ，AC 分别交x ，y 轴于D ，E .(1)求DOE Δ的面积； (2)求证：DBCE ADE S S 四边形=Δ.4.原创清新小题和近年的中考题：(1)如图1，BC AB =，AOB Δ的面积为3，则k 的值为. (2)如图2，点A ，B 在双曲线xky =上运动，x AB ⊥轴，BC AC =. ①在运动过程中，ABC Δ的面积是不是定值？答：； ②若32=k ，且ABC Δ是正三角形，则点A 的坐标为.(3)如图3，□OABC 中，o B 60=∠，3=OA ，双曲线经过点C 和AB 中点D ，则该双曲线的解析式为. (4)如图4，直线x y 21=与3+21=x y 分别与双曲线xky =交于点A 、B ，BC OA 2=，则k 的值为.图1图2图3图4(5)(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线xky =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为. (6)如图6，双曲线xky =与直线b mx y +=交于点C 、D . ①(原创、铺垫②)若3-=m 、6=b ，且CD AB 3=，则=k ；②(常州模拟·改编)若6=b ，且CD AB 3=，则=⋅m k ；③(杭州模拟·改编)若3-=m ，且8=⋅AD AC ，则=k . (7)(据上题改编)如图7，P 为双曲线xy 2-=上的动点，过点P 作矩形PAOB ，直线 CD 的解析式为b x y +2=，交矩形边于M ，N ，则=⋅DN CM .图5图6图7五、面积比、边比互转1.①(原创、铺垫)如图1①，直线x y 23=与双曲线xy 6=交于点A ，C 为双曲线上一点，射线CA 交y 轴于点D ，若COD Δ的面积为9，则点C 坐标为； ②(成都)如图1②，直线x y 23=与双曲线xy 6=交于点A 、B ，C 为双曲线上一点，射线CA 交y 轴于点D ，若BCD Δ的面积为20，则点C 坐标为.2.(无锡)如图2，x AB ⊥轴，BC ∥x 轴，双曲线过点C 、D ，且21=::DB OD ，已知OBC Δ的面积为3，则k 的值为.图1① 图1②图33.(宁波)如图3，正AOB Δ的顶点A 在双曲线x y 9=上，双曲线xy 1=与边OA 交于点C ，连接BC ，则ABC Δ的面积为. 4.(丽水)如图4，双曲线xy 4=与直线b x y +-=交于点A 、B ，⊥AE x 轴，设点A 的横坐标为m .①用含m 的式子表示=b ；②若AOF Δ与四边形BCEF 的面积和为4，则=m . 5.如图5，双曲线xky =与直线b mx y +=交于点C 、D . ①(常州模拟)若6=b ，且COD AOB S S ΔΔ3=，则=⋅m k ；②(改编自①)若6=k 、3-=m ，且CD AB 2=，则=COD S Δ.图3图4图56.如图6，⊥AB x 轴，C 为AB 中点，延长OC 到E ，延长OA 到D ，若双曲线xk y =恰好经过点D ，E ，且CE OC =，则=OD OA :. 7.如图7，双曲线x k y 1=过点A ，B ，xky 2=过点C ，D ，若AC ，BD 均与x 轴平行， 6=AC ，4=BD ，且它们之间的距离EF 长为5，则=-21k k .8.如图8，直线AB 交双曲线xy 5=于点C ，D ，若8=AOB S Δ，则=BOC S Δ.图6 图7 图89.如图，点A 在双曲线xky =上，x AB ⊥轴，CD AD 2=，DB 延长线交y 轴于E ，若 BCE Δ的面积为4，则k 的值为.10.如图，点A 、B 在双曲线xky =上，x AC ⊥轴，x BD ⊥轴，垂足C 、D 分别在x 轴的正半轴和负半轴上，k CD =，AC AB 25=，E 是AB 的中点，若BCE Δ面积是ADE Δ的2倍，则k 的值为.六、反比例函数图象中的“一线三等角”构造，初探黄金比例 1.如图1，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线xky =经过点A 、B ，且点B 的纵坐标为2，则k 的值为.(1)剖析：对于坐标系中的一个直角，若两条边均“倾斜”，我们经常构造“K ”形全等或相似，即“一线三等角”模型，或叫“矩形大法”，见图2，得1-5=m .(2)后感：我们可以发现，矩形ODCE 恰好是一个“黄金矩形”，这到底是一种偶然的巧合，还是一种必然的存在呢？这有待于我们进一步探究… (3)探究(2016临沭模拟)：如图3，双曲线xky =与矩形ODCE 的边交于点A ，B ，若设点B 的坐标为(a ，b )，且有AB OB =，AB OB ⊥，则=b a :.图1图2图32.类似题：①(2015临海模拟·填空压轴题)如图，AB OA =，o OAB 90=∠，双曲线xky =经过点A ，双曲线xk y -=经过点B ，已知点A 的纵坐标为2-，则=k ，点B 的坐标为.②(个人原创)如图2，ABC Δ中，BA OB =，o OBA 90=∠，双曲线x k y =经过点B ，双曲线xk y 1+=经过点A ，且点B 的纵坐标为2，则k 的值为.3.难题展示（常州·于新华老师原创题） (1)如图1，点A (3，4)，B 均在双曲线xky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.(2)如图2，点A (3，4)，B 均在双曲线xky =上，过点A 作y 轴垂线，过点B 作x 轴垂线，两垂线交于点P ，垂足分别为E ，F ，将PAB Δ沿AB 翻折，点P 恰好落在x 轴上的点Q 处. 求点B 的坐标.图1图24.如图，矩形ABCD 的边AB 的解析式为2+=kx y ，顶点C ，D 在双曲线xm y =上. ①若2=∠ADB tan ，则点D 的坐标为；②连接OC ，OD ，若COD Δ是等边三角形，则=∠ADB tan .后感：若能发现OB OA =，本题将更简单！拓展：如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在双曲线x y 3=上，C 、D 在双曲线xy 7=上，则正方形ABCD 的面积为.5.(2013湖州模拟)如图1，矩形OABC 的顶点A 、B 在双曲线xk y =上，若点A (1，2)，则点B 的坐标为. 6.如图2，矩形ABCD 中，AD AB 2=，点A (0，1)，点C ，D 在双曲线x k y =上，若E 为 AB 中点，则k 的值为.图1图27.①如图1，点A ，B 在双曲线xy 2=上运动，以AB 为底边作等腰直角ABC Δ，则点 C 也在一条双曲线上运动，则该双曲线的解析式为；②如图2，点A ，B 在双曲线xy 2=上运动，以AB 为底边作等腰ABC Δ，则点C 也在一条双曲线上运动，若2=∠CAB tan ，则该双曲线解析式为；③如图3，点A ，B 在双曲线xk y =上运动，以AB 为底作等腰ABC Δ，点C 在另一双曲线xk y '=上运动，若m CAB =∠tan ，请用m ，k 表示='k .图1图2图3七、平行导角度，角度导比例1.如图，点A ，B 在双曲线x k y =上，AB 经过原点O ，过点A 作AC ∥x 轴，连接BC 并延长，交双曲线于点D .①求证：CD AD =；②求BD AD :的值.根据本题的发现，改编了一个清新小题：如图，点A ，B 在双曲线xk y =上，AB 经过原点O ，过点A 的直线b x y +3=交该双曲线于点C ，分别交x 轴，y 轴于点D ，E ，若4=BC ，8=AC .求k 的值.2.如图，直线x y 3=交在双曲线xk y =于点A 、B ，AB 经过原点O ，过A 作AB AC ⊥ 交y 轴于点C ，连接BC 并延长，交双曲线于点D .求BD AD :的值.3.如图，双曲线xk y =与过原点的直线l 交于点A 、B ，点M 在双曲线上，直线AM 、 BM 分别交y 轴于点P 、Q .若设PM m AM ⋅=，QM n BM ⋅=，则=-n m .4.如图，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.八、纯面积推导1.如图，点A (2，2)，B ，C 在双曲线上，o BAC 45=∠，AB 分别交x ，y 轴于D ，F ，AC 分别交x ，y 轴于D ，E .求证：DBCE ADE S S 四边形=Δ.(此方法感谢江苏·于新华老师的指导！)2.(2016菏泽)如图，AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形，双曲线x y 6=经过点B ，交线段OA 与点E ，求AOC Δ与ABD Δ的面积之差.后感：①题中条件“AOC Δ，ABD Δ均是等腰直角三角形”可如何改变？②写出2OA ，2OE ，2AB 的关系：.3.(十堰)如图5，正AOB Δ的边长为5，双曲线xk y =经过点C 、D ，且OB CD ⊥，则k 的值为.4.(常州)如图1，AB OA =，双曲线经过点C 、D ，且a b OC BD =，求ADAC 的值； 5.如图2，AB OA =，双曲线经过点C 、D 、E ，求证：AE AC AD ⋅=2.图1图2。

反比例函数的神奇

反比例函数的性质与应用

反比例函数在数学、物理学科的应用

反比例函数的实际例子

反比例函数历史意义

反比例函数实际应用

函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质

反比例函数的小结

反比例函数的特点与应用

反比例函数的应用举例及实际意义

反比例函数的神奇

反比例函数6个模型证明

反比例函数在物理学中的应用

揭示反比例函数的奥秘

反比例函数五大结论

26反比例函数的意义

数学故事：“反比例函数”与“闭眼打转问题”

反比例函数的性质

让我们一起领略反比例函数的神奇

中考数学专题复习 反比例函数的神奇

反比例函数的神奇

中考数学专题复习反比例函数的神奇