八年级上期中试卷--数学(解析版) (3)
数学八年级(上)期中试卷(含答案详解)
2021-2022学年河南省商丘市柘城县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（）A．打喷嚏捂口鼻B．喷嚏后慎揉眼C．勤洗手勤通风D．戴口罩讲卫生2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，2）C．（﹣6，2）D．（﹣6，﹣2）3．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm4．（3分）如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（）A．96°B．100°C．108°D．115°5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC 于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（）A．4B．6C．D．86．（3分）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°7．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（）A．AB∥DF B．∠B＝∠EC．AB＝DE D．AD的连线被MN垂直平分8．（3分）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．20°或80°C．44°或80°D．140°9．（3分）如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．30B．50C．60D．8010．（3分）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s 速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架．12．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，则这个多边形的边数是．13．（3分）已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝．15．（3分）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为．（注：把你认为正确的答案序号都填上）三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，若∠BAC＝63°，试求∠DAC、∠ADC的度数．17．（9分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．18．（9分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC ＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．19．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE＝DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积．20．（9分）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．21．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．22．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．23．（11分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD＝AB．2021-2022学年河南省商丘市柘城县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（）A．打喷嚏捂口鼻B．喷嚏后慎揉眼C．勤洗手勤通风D．戴口罩讲卫生【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．2．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，则点P'关于x轴的对称点的坐标为（）A．（0，﹣2）B．（0，2）C．（﹣6，2）D．（﹣6，﹣2）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．【分析】先根据向右平移3个单位，横坐标加3，纵坐标不变，求出点P'的坐标，再根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反解答．【解答】解：∵将点P（﹣3，2）向右平移3个单位得到点P'，∴点P'的坐标是（0，2），∴点P'关于x轴的对称点的坐标是（0，﹣2）．故选：A．3．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【考点】三角形三边关系．【分析】首先设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得6﹣3＜x＜6+3，再解不等式即可．【解答】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9，故选：C．4．（3分）如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（）A．96°B．100°C．108°D．115°【考点】多边形内角与外角．【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，最后利用三角形的内角和定理得到∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，∴∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．故选：C．5．（3分）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC 于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为（）A．4B．6C．D．8【考点】含30度角的直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°，∵AN＝1，∴MN＝2，∴AC＝AN+NC＝3，∴BC＝6，故选：B．6．（3分）在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∠CDE＝72°，则∠ACD＝（）A．16°B．28°C．44°D．45°【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝28°，根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝28°，由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．【解答】解：延长ED，交AC于F，∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，∴∠A＝∠ACB＝28°，∵AB∥DE，∴∠CFD＝∠A＝28°，∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，故选：C．7．（3分）如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则下列结论中错误的是（）A．AB∥DF B．∠B＝∠EC．AB＝DE D．AD的连线被MN垂直平分【考点】轴对称的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】根据轴对称图形的性质一一判断即可、【解答】解：∵△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，∴∠B＝∠E，AB＝DE，AD的连线被MN垂直平分，∴B、C、D正确，故选：A．8．（3分）等腰三角形的一个角比另一个角2倍少20度，等腰三角形顶角的度数是（）A．140°或44°或80°B．20°或80°C．44°或80°D．140°【考点】等腰三角形的性质．【分析】设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，然后分①x是顶角，2x﹣20°是底角，②x是底角，2x﹣20°是顶角，③x与2x﹣20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【解答】解：设另一个角是x，表示出一个角是2x﹣20°，①x是顶角，2x﹣20°是底角时，x+2（2x﹣20°）＝180°，解得x＝44°，所以，顶角是44°；②x是底角，2x﹣20°是顶角时，2x+（2x﹣20°）＝180°，解得x＝50°，所以，顶角是2×50°﹣20°＝80°；③x与2x﹣20°都是底角时，x＝2x﹣20°，解得x＝20°，所以，顶角是180°﹣20°×2＝140°；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故选：A．9．（3分）如图，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．30B．50C．60D．80【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH即可求得AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，即可求得梯形DEFH的面积和△AEF，△ABG，△CGB，△CDH的面积，即可解题．【解答】解：∵∠EAF+∠BAG＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°，∴∠BAG＝∠AEF，∵在△AEF和△BAG中，，∴△AEF≌△BAG，（AAS）同理△BCG≌△CDH，∴AF＝BG，AG＝EF，GC＝DH，BG＝CH，∵梯形DEFH的面积＝（EF+DH）•FH＝80，S△AEF＝S△ABG＝AF•AE＝9，S△BCG＝S△CDH＝CH•DH＝6，∴图中实线所围成的图形的面积S＝80﹣2×9﹣2×6＝50，故选：B．10．（3分）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s 速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【考点】全等三角形的性质．【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△PQA时，AP＝AC＝8，∵点P的速度为2cm/s，∴8÷2＝4（s）；当△ABC≌△QPA时，当AP＝BC＝4，∵点P的速度为2cm/s，∴4÷2＝2（s）故选：D．二、填空题（本大题共5小题，共15分）11．（3分）如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架具有三角形的稳定性．【考点】三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．【解答】解：因为手机支架具有三角形的稳定性，故答案为：具有三角形稳定性．12．（3分）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍少180°，则这个多边形的边数是5．【考点】多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和、外角和的求法列方程求解即可．【解答】解：设这个多边形为n边形，由题意得，（n﹣2）×180°＝360°×2﹣180°，解得n＝5，即这个多边形为五边形，故答案为：5．13．（3分）已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为（2，﹣2），（2，4）．【考点】坐标与图形变化﹣对称．【分析】根据题意，可得A、B的连线与y＝1垂直，且两点到直线y＝1的距离相等，又AB＝6，从而可以得出A、B两点的纵坐标；又C到AB的距离为2，从而可以得出A、B 两点的横坐标．【解答】解：由题可知：可得A、B的连线与y＝1垂直，且两点到直线y＝1的距离相等∵AB＝6∴A、B两点的纵坐标分别为﹣2和4又∵C到AB的距离为2∴A、B两点的横坐标都为2∴A、B两点的坐标分别为（2，﹣2）（2，4）．14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝112°．【考点】轴对称﹣最短路线问题．【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB 于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC于F′，则点E′，F′即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝α，∴∠ADC＝180°﹣α，由轴对称知，∠ADE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC＝180°﹣（180°﹣34）＝34°∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）＝180°﹣68°＝112°故答案为：112°．15．（3分）如图，已知∠CAE＝∠DAB，AC＝AD．给出下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED的条件为①、③、④．（注：把你认为正确的答案序号都填上）【考点】全等三角形的判定．【分析】由∠CAE＝∠DAB，得∠CAB＝∠DAE；则△CAB和△DAE中，已知的条件有：∠CAB＝∠DAE，CA＝AD；要判定两三角形全等，只需添加一组对应角相等或AE＝AB 即可．【解答】解：∵∠CAE＝∠DAB，∴∠CAE+∠EAB＝∠DAB+∠EAB，即∠CAB＝∠DAE；又AC＝AD；所以要判定△ABC≌△AED，需添加的条件为：①AB＝AE（SAS）；③∠C＝∠D（ASA）；④∠B＝∠E（AAS）．故填①、③、④．三、解答题（本大题共8小题，共75分）16．（8分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠ABC，∠ADC＝∠ACD，若∠BAC＝63°，试求∠DAC、∠ADC的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】设∠BAD＝∠ABC＝α，根据外角的性质得到∠ADC＝∠B+∠BAD＝2α，于是得到∠ADC＝∠ACD＝2α，根据三角形的内角和列方程即可得到结论．【解答】解：设∠BAD＝∠ABC＝α，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝2α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∵∠BAC＝63°，∴63°+α+2α＝180°，解得：α＝39°，∴∠ADC＝2α＝78°．∴∠DAC＝180°﹣4α＝24°．17．（9分）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，即可证得△PMN 是等边三角形；（2）易证得△PBM≌△MCN≌△NAP，得出PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM+PB＝AB＝12cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【解答】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM+PB＝AB＝12cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．18．（9分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．试求：（1）AD的长；（2）△ABE的面积；（3）△ACE和△ABE的周长的差．【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．【分析】（1）利用“面积法”来求线段AD的长度；（2）△AEC与△ABE是等底同高的两个三角形，它们的面积相等；（3）由于AE是中线，那么BE＝CE，于是△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE），化简可得△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC﹣AB，易求其值．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的高，∴AB•AC＝BC•AD，∴AD＝＝＝4.8（cm），即AD的长度为4.8cm；（2）方法一：如图，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，＝AB•AC＝×6×8＝24（cm2）．∴S△ABC又∵AE是边BC的中线，∴BE＝EC，＝S△AEC，∴BE•AD＝EC•AD，即S△ABE＝S△ABC＝12（cm2）．∴S△ABE∴△ABE的面积是12cm2．方法二：因为BE＝BC＝5，由（1）知AD＝4.8，＝BE•AD＝×5×4.8＝12（cm2）．所以S△ABE∴△ABE的面积是12cm2．（3）∵AE为BC边上的中线，∴BE＝CE，∴△ACE的周长﹣△ABE的周长＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．19．（9分）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，如图DE＝DG，△ADG 和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【解答】解：作DM＝DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和38，＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣38＝12，∴S△MDGS△DNM＝S△EDF＝S△MDG＝×12＝6．20．（9分）如图，已知点D、E是△ABC内两点，且∠BAE＝∠CAD，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）延长BD、CE交于点F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度数．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE即可；（2）先由全等三角形的性质得∠ACE＝∠ABD＝20°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得∠ABC＝∠ACB＝47°，则∠FBC＝∠FCB＝27°，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝20°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣86°）＝47°，∴∠FBC＝∠FCB＝47°﹣20°＝27°，∴∠BFC＝180°﹣27°﹣27°＝126°．21．（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．【考点】作图﹣平移变换；作图﹣轴对称变换．【分析】（1）要关于y轴对称，即从各顶点向y轴引垂线，并延长，且线段相等，然后找出各顶点的坐标．（2）各顶点向右平移6个单位找对应点即可．（3）从图中可以看出关于直线x＝3轴对称．【解答】解：（1）A1（0，4），B1（2，2），C1（1，1）；（2）A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；（3）△A1B1C1与△A2B2C2关于直线x＝3轴对称．22．（10分）已知△ABC在平面直角坐标系中，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°．（1）如图①，已知点A（0，﹣4），B（1，0），求点C的坐标；（2）如图②，已知点A（0，0），B（3，1），求点C的坐标．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；坐标与图形性质．【分析】（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，利用AAS证明△BCD≌△ABO，得CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，可得答案；（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，利用AAS证明△ABD≌△BCE，得CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，可得答案．【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点D，∵A（0，﹣4），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，∵∠ABC＝90°，∠AOB＝90°，∴∠CBD+∠OBA＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵AB＝BC，∠AOB＝∠BDC＝90°，∴△BCD≌△ABO（AAS），∴CD＝BO＝1，BD＝AO＝4，∴OD＝3，∴点C坐标为（﹣3，1）；（2）过B作x轴的垂线，交x轴于点D，过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E，∵A（0，0），B（3，1），∴OD＝3，BD＝1，∵∠ABC＝90°，∠ADB＝90°，∴∠CBE+∠OBD＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∵AB＝BC，∠ADB＝∠BEC＝90°，∴△ABD≌△BCE（AAS），∴CE＝BD＝1，BE＝AD＝3，∴DE＝4，∴点C的横坐标为3﹣1＝2，∴点C坐标为（2，4）．23．（11分）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H（1）求∠APB度数；（2）求证：△ABP≌△FBP；（3）求证：AH+BD＝AB．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据角平分线性质可得∠PAB+∠PBA＝45°，即可解题；（2）易得∠DPB＝45°，可得∠BPF＝135°，即可证明△ABP≌△FBP；（3）由（2）结论可得∠F＝∠BAD，AP＝PF，AB＝BF，即可求得∠F＝∠CAD，即可证明△APH≌△FPD，可得AH＝DF，即可解题．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠PAB+∠PBA＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，∴∠APB＝180°﹣45°＝135°；（2）∵∠APB＝135°，∴∠DPB＝45°，∵PF⊥AD，∴∠BPF＝135°，在△ABP和△FBP中，，∴△ABP≌△FBP（ASA）；（3）∵△ABP≌△FBP，∴∠F＝∠BAD，AP＝PF，AB＝BF，∵∠BAD＝∠CAD，∴∠F＝∠CAD，在△APH和△FPD中，，∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH＝DF，∵BF＝DF+BD，∴AB＝AH+BD．。
精品解析： 上海市浦东新区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷 (解析版)
2022-2023学年上海市浦东新区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 2a b B. 32 C. 22+a b D. 0.5【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 2a b b =； 32不是二次根式，故本选项不符合题意； 22+a b 120.5==22，不是最简二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C ．【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，判断时，被开方数要同时满足两个条件，一是被开方数的因数是整数，因式是整式；二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，两个条件缺一不可．2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A. 270xy −=B. 22330x x +=C. 220ax x +=D. 22(2)1x x +=− 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【详解】因为A 选项的方程是二元二次方程，故本选项不符合题意；因为B 选项的方程是一元二次方程，故本选项符合题意；因为当0a =时，C 选项的方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；将22(2)1x x +=−整理可得250x +=，是一元一次方程，故D 选项不合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判断，掌握定义是解题的关键．即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程．3. 下列等式正确的是（ ）A. 32=3B. 2(3)−﹣3C. 33=3D. （﹣32=﹣3 【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．详解】解：32=3，A 正确,符合题意； ()23−，B 错误，不符合题意；3327=33C 错误，不符合题意； （32=3，D 错误，不符合题意；故选A ． 【点睛】本题考查2a a |是解题的关键． 4. 下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A. 244x x −+；B. 22352x xy y −−；C. 229y y −+；D. 221y −−．【答案】C【解析】【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+221=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案.【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令221=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>26y ±∴= 122626,22y y ∴== 【的2262621=,y y y ⎛+−∴−−− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意；故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.5. 在下列各命题中，是假命题是（ ）A. 在一个三角形中，等边对等角B. 全等三角形的对应边相等C. 同旁内角相等，两直线平行D. 等角的补角相等 【答案】C【解析】【分析】分别判断命题的真假即可得出答案．【详解】在一个三角形中，等边对等角，正确，是真命题，则A 不符合题意；全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，则B 不符合题意；同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，则C 符合题意；等角的补角相等，正确，是真命题，则D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了命题的真假，掌握定义是解题的关键．即条件和结论相矛盾的命题是假命题．6. 定义：如果一元二次方程200ax bx c a ++≠＝（）满足a +b +c ＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知200ax bx c a ++≠＝（）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A. a ＝cB. a ＝bC. b ＝cD. a ＝b ＝c 【答案】A【解析】【分析】根据a +b +c ＝0得b ＝﹣a ﹣c ，根据方程有两个相等的实数根得240b ac −∆＝＝，将b ＝﹣a ﹣c 代入240b ac −＝得到()20a c −＝，进而即可求解．【详解】解：∵一元二次方程200ax bx c a ++≠＝（）有两个相等的实数根， ∴240b ac −∆＝＝，又a +b +c ＝0，即b ＝﹣a ﹣c ，代入240b ac −＝得()24a c ac −−−＝0，即()()22222242420a c ac a ac c ac a ac c a c −+=++−=−−=+＝， 的∴a ＝c ．∴b ＝﹣a ﹣c =﹣2a故选：A ．【点睛】本题考查根的判别式，将a +b +c ＝0变形成b ＝﹣a ﹣c 再代入240b ac −∆＝＝化简是解题的关键．二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）7. 当x=______时，二次根式1x +取最小值，其最小值为_______.【答案】 ①. -1 ②. 0【解析】【详解】根据二次根式有意义的条件，得x+1⩾0，则x ⩾−1.所以当x=−1时，该二次根式有最小值，即为0.故答案为−1，0.8. 将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…那么…”的形式 _____．【答案】如果两个三角形全等，那么它们的周长相等【解析】【分析】根据如果的后面是条件，那么的后面是结论，即可求解．【详解】解：将命题“两个全等三角形的周长相等”改写成“如果…，那么…”的形式： 如果两个三角形全等，那么它们周长相等，故答案为：如果两个三角形全等，那么它们的周长相等． 【点睛】本题主要考查了命题的“如果…那么…”形式，熟练掌握如果的后面是条件，那么的后面是结论是解题的关键．9. 920+5＝_____． 【答案】1355【解析】【分析】根据二次根式的性质进行化简，再合并二次根式即可． 【详解】原式3513525+55==． 故答案为：1355 ． 【点睛】此题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握根据二次根式的性质化简的方法是解题的关键．的10. 6+5a 8+3a =a _____．【答案】1【解析】【分析】被开方式相同的最简二次根式，叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义列式计算即可． 6+5a 8+3a∴6583a a +=+，∴1a =．故答案为：1．【点睛】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 11. 方程213x x =的根是 _____． 【答案】1203x x ==，【解析】【分析】按照解一元二次方程的步骤进行求解即可．【详解】解：213x x =， 2103x x −=， 1103x x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 1203x x ==，．故答案为：1203x x ==，．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤和方法．12. 531x x ≥+的解集是 _____． 【答案】534x ≤−【解析】【分析】按照解不等式的步骤，先移项，再合并同类项，系数化为1，最后对结果进行化简即可． 531x x ≥+ 531x x −≥)531x ≥ 53x ≤− ()()55353x ≤−+534x ≤−， 故答案为：53x +≤． 【点睛】本题考查了不等式的解法以及二次根式的分母有理化，根据不等式的性质，确定未知系数的有理化因式是解题的关键．13. 若2|2|3(4)0a b c −−−=则a b c −+=___________．【答案】3【解析】【分析】根据绝对值、二次根式与平方的非负性即可求解【详解】解：∵2|2|3(4)0a b c −−−=∴2=03=04=0a b c −−−，，∴=2=3=4a b c ，，∴2-3+4=3a b c −+=故答案为：3【点睛】此题主要考查了绝对值、二次根式与平方的非负性,解题的关键是熟知绝对值、二次根式与平方的非负性．14. 已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根，则m 可取的最大整数是______．【答案】1−【解析】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到0m ≠且0∆>，然后求出两不等式的公共部分，最后解得m 可取的最大整数．【详解】解：已知关于x 的方程2210mx x −+=有两个不相等的实数根，∴0m ≠，且0∆>，∵a m =，2b =−，1c =，∴224(2)40b ac m ∆=−=−−⨯>，即440m −>，解得1m <且0m ≠，∴其中m 可取的最大整数是1−，故答案为：1−．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当∆<0时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 15. 在实数范围内分解因式：233x x −−=_____． 【答案】2132122x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】令2330x x −−=，解得1212x =，2321x −=233x x −−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x −−=，则1,3,3a b c ==−=−，∵()()224341321b ac −=−−⨯⨯−=， ∴3212x ±=， 即1212x =，23212x −=， 则2332132122x x x x ⎛⎫−−⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎝=⎪⎭⎭． 故答案为：3+2132122x x ⎛⎫−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．16. 2022年3月，某单位发放防疫物品总计5万元，5月发放防疫物资增加到9万元，设每月发放金额平均增长率为x ，则根据题意可列出方程 _____．【答案】25(1)9x +=【解析】【分析】利用该单位5月发放防疫物资金额=该单位3月发放防疫物资金额(1⨯+每月发放金额平均增长率）2，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得：25(1)9x +=．故答案为：25(1)9x +=．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．17. “若0ab ＞，则0a ＞，0b ＞”_____命题（选填“是”或“不是”）．【答案】是【解析】【分析】根据命题的定义判断即可．【详解】若0ab ＞，则0a ＞，0b ＞是一个命题.故答案为：是．【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.18. 把四张形状大小完全相同宽为1cm 的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面21cm ，宽为4cm ）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是_________．【答案】16cm【解析】【分析】根据题意分别列出关系式，得出关于图②中两块阴影部分的长和宽，再利用周长公式时行计算，去括号合并即可得到结果．【详解】解：设小长方形卡片的长为xcm ，小长方形卡片的宽为1cm ，根据题意得： x 21－2， 21－2和2，宽分别为：2和4－x ＝621，∴图②中两块阴影部分的周长和是：2212＋2）＋2（2＋621）＝2116－22116（cm ）．故答案为：16cm ．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，在解题时要根据题意结合图形得出两块阴影部分的长和宽是解题的关键．三、简答题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）19. 计算：216+0.2(24435． 5【解析】【分析】先将二次根式化简，再去括号、合并即可． 【详解】解：160.2244235 545226+556=− 55=5=【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，注意二次根式的加减法实质是合并同类二次根式．20. 计算: )3231023b ab a b a b a ⎛> ⎝ 【答案】29a ab b【解析】【分析】先确定式子的符号，将除法转化为乘法，利用二次根式的乘法法则计算．【详解】原式=3231-23b ab a b b a ⎛⋅÷⋅÷⎝ =59a b b=29a ab b【点睛】本题考查了二次根式的混合运算．关键是先分母有理化，乘法转化为乘法，再根据二次根式的乘法法则计算．21. ()2x xy y x y x y −+÷−． 【答案】0【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则求解即可． ()2x xy y x y x y ++÷− 2x y x y x y x yx y=−+ x y x y =−0=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式．22. 解方程：()()23430x x x −+−=． 【答案】1x =3，2x =35. 【解析】 【详解】试题分析：方程的左边提取公因式x ﹣3，即可分解因式，因而方程利用因式分解法求解．试题解析：原式可化为：（x ﹣3）（x ﹣3+4x ）=0，∴x ﹣3=0或5x ﹣3=0， 解得1x =3，2x =35. 考点：解一元二次方程——因式分解法．23. 解方程：2210y −−=． 【答案】123y =，223y = 【解析】【分析】利用公式法求出解即可． 【详解】∵1221a b c ==−=−，，，∴(()222411120∆=−−⨯⨯−=>， ∴22122321y ==⨯， ∴123y =223y =【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解本题关键． 24. 用配方法解方程：23520x x −−=．【答案】12x =，213x =−【解析】 【分析】根据配方法即可求解．【详解】解：23520x x −−=， 整理，得25233x x −=， 配方，得2549()636x −=， 即5766x =± ∴12x =，213x =−． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．四、解答题（本大题共4题，第25、26、27每小题6分，第28题10分，共28分）25. 已知322x =−,求代数式2623x x x −+−的值. 【答案】24【解析】 【分析】先将x 进行化简，然后再代入求值即可. 【详解】解：()()22322322322322x ===+−−+， 原式2322632223223+−+++− 1221222222=24. 【点睛】本题考查二次根式的化简与计算，掌握化简方法及运算法则是解题关键. 26. 已知关于x 的一元二次方程210x mx −+=有两个相等的实数根，求m 的值并求出两个实数根．【答案】2m =±；当2m =时，两个实数根为121x x ==，当2m =−时，两个实数根为121x x ==−．【解析】【分析】根据方程有两个相等的实数根可得240m ∆=−=，求出2m =±，然后分2m =和2m =−两种情况，分别求出方程的解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程210x mx −+=有两个相等的实数根，∴240m ∆=−=，解得2m =±，当2m =时，原方程为：2210x x −+=，∴()210x −=，解得121x x ==，当2m =−时，原方程为：2210x x ++=，∴()210x +=，解得121x x ==−．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的解与24b ac ∆=−的关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根是解决问题的关键．27. 观察下列运算： ①由)21211−==212+1− ②由32321==323+2 ……问题：（1）通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来；（2）利用（1）中发现的规律计算：)201912132432018201720192018++++++++++． 【答案】（1111n n n n =+−++n 为正整数）（2）2018【解析】 【分析】（1）根据题意即可得出规律；（2）根据规律将式子化简，再运用平方差公式求解即可．【小问1详解】 111n n n n =+−++n 为正整数）；【小问2详解】 )201912132432018201720192018++++++++++ )213243201820172019201820191=−++ )2019120191=− 20191=−2018=．【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化及数字的规律探索，掌握平方差公式()()22a b a b a b +−=−的结构特征是解题的关键．28. 某商店如果将进货价为每件10元的商品按每件12元出售，每天可销售200件，这种商品如果每涨价一元，其销售量就减少10件．（1）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润达到1200元？（2）将售价定为每件多少元时，能使这天所获利润最大？最大的利润是多少？【答案】（1）把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元（2）将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元【解析】【分析】对于（1），设商品的售价定为x 元，再表示出单间利润和销售量，然后根据单间利润×销售量=总利润列出方程，再求出解即可；对于（2），设这天的利润为y 元，结合（1）列出函数关系式，再配方讨论极值即可．【小问1详解】设每件商品的售价定为x 元，依题意，得(10)[20010(12)]1200x x −−−=，整理得：2424400x x −+=，解得：120x =，222x =，∴把售价定为每件20元或22元能使每天利润达到1200元；【小问2详解】设这天的利润为y 元，则2(10)[20010(12)]10(21)1210y x x x =−−−=−−+，∵-100＜，∴当21x =时，y 有最大值，最大值为1210，答：将售价定位每件21元时，能使这天可获的利润最大，最大利润是1210元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数最大值的问题等，根据等量关系列出关系式（方程）是解题的关键．。
八年级上册期中数学试卷及答案解析
八年级上册期中数学试卷及答案解析1.已知三角形两边长分别为7、10，那么第三边的长可以是()A.2B.3C.17D.52.n边形的每个外角都为15o，则边数n为()A.20B.22C.24D.263.如图，要测量湖两岸相对两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再在BF的垂线DG上取点E，使点A，C，E在一条直线上，可得ΔABC≌ΔEDC.判定全等的依据是()A.ASAB.SASC.SSSD.HL4.已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，则图中共有全等三角形的对数是()A.1对B.2对C.3对D.4对5.如图，ΔABC中，AB=AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是()A.LB=LCB.AD平分LBACC.AD L BCD.AB=2BD6.和点p(—3,2)关于x轴对称的点是()A.(3,2)B.(—3,2)C.(—3,—2)D.(3,—2)7.如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是.8.八边形的对角线共有条.9.如图，在ΔABC中，LC=40。
，将ΔABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则L1—L2的度数是.10.如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,LACB=90。
)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE为cm.11.RtΔABC中，CD是斜边AB上的高，LB=30。
，AD=2cm，则AB的长度是cm.12.已知等腰三角形的一个内角等于40。
，则它的顶角是。
.13.如图点P是LBAC的平分线AD上一点，PE L AC于点E.已知PE=3，则点P到AB的距离是.14.如图，等腰ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，LDBC=15。
，则LA 的度数是度.15.如图，在ΔABC中，AD L BC于D，AE平分LDAC，LBAC=80。
2023-2024学年河北省张家口市桥西区八年级(上)期中数学试卷(含答案解析)
2023-2024学年河北省张家口市桥西区八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若x+y□5是不等式，则符号“□”不能是（ ）A．﹣B．≠C．＞D．≤2．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）A．a B．b C．c D．d3．下列是二元一次方程的是（ ）A．x+2y＝3B．x2+y＝1C．y+D．2x﹣1＝54．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3的大小为（ ）A．90°B．180°C．270°D．360°5．由2＜3，得2x＞3x，则x的值可能是（ ）A．﹣1B．0C．0.5D．16．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．则这个四边形对边的位置关系为（ ）A．平行B．相等C．垂直D．不能确定7．射箭时，新手成绩通常不太稳定，小明和小华练习射箭，第一局12支箭全部射完后，两人的成绩如图所示，根据图中信息，估计小明和小华两人中为新手的是（ ）A．小明B．小华C．都为新手D．无法判断8．下面各组数值中，二元一次方程2x+y＝10的解是（ ）A．B．C．D．9．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE ∥BC．则∠ADE的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°10．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）A．平均数为70分钟B．众数为67分钟C．中位数为67分钟D．方差为011．小华拿26元钱购买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（ ）A．3×5+2x＜26B．3x+2×5≤26C．3×5+2x≤26D．3x+2×5≥26 12．为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A．B．C．D．14．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD证明：延长BE交※于点F，则∠BEC＝〇+∠C（三角形的外角等于它不相邻两个内角之和）又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲故AB∥CD（@相等，两直线平行）．则结论正确的是（ ）①〇代表∠EFC；②@代表内错角；③▲代表∠EFC；④※代表CDA．①B．①②C．①②③D．①②③④15．有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1～98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球．已知小育从甲箱内拿出49颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40．若此时甲箱内有a颗球的号码小于40，有b颗球的号码大于40，则关于a、b之值，下列何者正确？（ ）A．a＝16B．a＝24C．b＝24D．b＝3416．若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则关于整数a的值：甲答：a ＝2，乙答：a＝﹣1，则正确的是（ ）A．只有甲答的正确B．只有乙答的正确C．甲、乙答案合在一起才正确D．甲、乙答案合在一起也不正确二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分：18在19小题各4分，每空2分）17．已知方程组，则x+y的值为 ．18．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：S2＝[3，分析算式中的信息，则m＝ ，＝ ．19．甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负．如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了 局，三位同学至少进行了 局比赛．三、解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．已知是关于x ，y 的二元一次方程3x +ay ＝14的一组解．（1）求a 的值；（2）请用含有x 的代数式表示y ．21．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A +∠B +∠C ＝180°．方法一证明：如图，过点A 作DE ∥BC ．方法二证明：如图，过点C 作CD ∥AB ．22．解不等式组请按下列步骤完成解答．（Ⅰ）解不等式①，得 ；（Ⅱ）解不等式②，得 ：（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集是 ．23．为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为 ，图①中m的值为 ；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．24．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．（1）求a、b的值；（2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？25．已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共103个．设A品牌乒乓球有x个，B品牌乒乓球有y个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的3倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程组：．请用嘉嘉所列方程组分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多26个，问A品牌球最多有几个．26．在△ABC中，AB＝AC≠BC，∠BAC＝100°，D为平面内一点且DB＝BC，连接AD，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′．（1）如图①，当BD在∠ABC内部且∠DBC＝20°，求∠D′BC；（2）当D′、A、C三点共线时，求∠DBC；（3）是否存在BD′与△ABC的一边平行的情况，若存在，请直接写出∠DBC的度数；若不存在，试说明理由．参考答案一、选择题（本大题共16个小题，共38分.1～6小题各3分，7～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若x+y□5是不等式，则符号“□”不能是（ ）A．﹣B．≠C．＞D．≤【分析】根据不等式的定义进行分析判断即可．解：∵x+y≠5，x+y＞5，x+y≤5都是不等式，∴选项B，C，D都不符合题意；∵x+y﹣5不是不等式，∴选项A符合题意．故选：A．【点评】本题考查了不等式的定义，熟练掌握用符号“＞”或“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像a+2≠a﹣2这样用符号“≠”表示不等关系的式子也是不等式．2．如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ）A．a B．b C．c D．d【分析】利用直尺画出遮挡的部分即可得出结论．解：利用直尺画出图形如下：可以看出线段a与m在一条直线上．故选：A．【点评】本题主要考查了线段，射线，直线，利用直尺动手画出图形是解题的关键．3．下列是二元一次方程的是（ ）A．x+2y＝3B．x2+y＝1C．y+D．2x﹣1＝5【分析】根据二元一次方程的定义判断即可．解：A选项，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，符合题意；B选项，x的次数是2，不符合题意；C选项，不是整式方程，不符合题意；D选项，不含两个未知数，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．4．如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，则∠1+∠2+∠3的大小为（ ）A．90°B．180°C．270°D．360°【分析】如图，∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，由任意多边形（包括三角形）外角和为360°可知∠1+∠2+∠3＝360°．解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC互不相等的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°．故选：D．【点评】要熟练掌握外角和的性质．5．由2＜3，得2x＞3x，则x的值可能是（ ）A．﹣1B．0C．0.5D．1【分析】根据不等式的本性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变解答即可．解：由不等式的基本性质3知，当2＜3，x＜0时，2x＞3x，A、∵﹣1＜0，∴x的值可能是﹣1，故符合题意；B、∵0＝0，∴x的值不可能是0，故不符合题意；C、∵0.5＞0，∴x的值不可能是0.5，故不符合题意；D、∵1＞0，∴x的值不可能是1，故不符合题意．故选：A．【点评】本题考查不等式的基本性质，理解不等式的基本性质，特别注意基本性质3：“不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变”是解答的关键．6．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．则这个四边形对边的位置关系为（ ）A．平行B．相等C．垂直D．不能确定【分析】先计算两角的和得180°，再根据平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”即可得出这个四边形对边的位置关系．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．解：如图标字母，∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ADC＝∠β＝70°32′∴∠BAD+∠ADC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ABC＝∠β＝70°32′∴∠BAD+∠ABC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故选：A．【点评】本题考查的是平行线的判定及度分秒的换算，熟知平行线的判定定理是解题的关键．7．射箭时，新手成绩通常不太稳定，小明和小华练习射箭，第一局12支箭全部射完后，两人的成绩如图所示，根据图中信息，估计小明和小华两人中为新手的是（ ）A．小明B．小华C．都为新手D．无法判断【分析】根据两人成绩的波动幅度大小，做出判断即可．解：由图可以看出，两人的成绩都在8的上下波动，小明波动幅度较小，小华波动幅度较大，故小明的方差较小，小华的方差较大．∴估计小明和小华两人中为新手的是小华．故选：B．【点评】本题考查了折线图和方差的应用．理解方差的意义和应用是解决本题的关键．8．下面各组数值中，二元一次方程2x+y＝10的解是（ ）A．B．C．D．【分析】把各选项的值代入方程验算即可．解：A选项，2x+y＝﹣4+6＝2≠10，故该选项不符合题意；B选项，2x+y＝12﹣2＝10，故该选项符合题意；C选项，2x+y＝8+3＝11≠10，故该选项不符合题意；D选项，2x+y＝﹣6+4＝﹣2≠10，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二元一次方程的解，把各选项的值代入方程验算是解题的关键．9．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE ∥BC．则∠ADE的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据三角形内角和定理求出∠B，再根据平行线的性质求出∠ADE即可．解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°，故选：B．【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是（ ）A．平均数为70分钟B．众数为67分钟C．中位数为67分钟D．方差为0【分析】根据折线图分别求出平均数、众数、中位数和方差进行判断即可．解：根据折线图小亮该周每天校外锻炼时间为：65、67、70、67、75、79、88，A．平均数是＝73（分钟），故选项错误，不符合题意；B．这组数的众数是67（分钟），故选项正确，符合题意；C．将这组数由小到大排列为：65、67、67、70、75、79、88，中位数是70（分钟），故选项错误，不符合题意；D．这组方差为：S2＝×[（65﹣73）2+（67﹣73）2+（70﹣73）2+（67﹣73）2+（75﹣73）2+（79﹣73）2+（88﹣73）2]≈58.57，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了折线图，平均数、众数、中位数和方差的计算，掌握折线图的特点，平均数、众数、中位数和方差的计算方法是关键．11．小华拿26元钱购买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，x根火腿肠，则关于x的不等式表示正确的是（ ）A．3×5+2x＜26B．3x+2×5≤26C．3×5+2x≤26D．3x+2×5≥26【分析】此题中的不等关系：方便面与火腿肠的总价不能超过26元，也就是应小于或等于26元．解：根据题意，得3×5+2x≤26．故选：C．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系，把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．12．为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．解：由统计图可知，平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是（9+9）÷2＝9，故选：B．【点评】本题考查条形统计图、平均数、中位数、众数、方差，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，其书中卷八方程[七]中记载“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：“5头牛、2只羊共值金10两.2头牛、5只羊共值金8两，每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，那么下面列出的方程组中正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据“5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两”，得到2个等量关系，即可列出方程组．解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两，由题意可得，，故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系．14．下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容已知：如图，∠BEC＝∠B+∠C．求证：AB∥CD证明：延长BE交※于点F，则∠BEC＝〇+∠C（三角形的外角等于它不相邻两个内角之和）又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝▲故AB∥CD（@相等，两直线平行）．则结论正确的是（ ）①〇代表∠EFC；②@代表内错角；③▲代表∠EFC；④※代表CDA．①B．①②C．①②③D．①②③④【分析】根据三角形的外角性质、平行线的判定定理解答即可．解：延长BE交CD于F，则∠BEC＝∠EFC+∠C，又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC，故AB∥CD（内错角相等，两直线平行），∴※代表CD，⊙代表∠EFC，▲代表∠EFC，@代表内错角，∴①②③④选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是三角形的外角性质、平行线的判定，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．15．有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1～98，且号码为不重复的整数，乙箱内没有球．已知小育从甲箱内拿出49颗球放入乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40．若此时甲箱内有a颗球的号码小于40，有b颗球的号码大于40，则关于a、b 之值，下列何者正确？（ ）A．a＝16B．a＝24C．b＝24D．b＝34【分析】先求出甲箱的球数，再根据乙箱中位数40，得出乙箱中小于、大于40的球数，从而得出甲箱中小于40的球数和大于40的球数，即可求出答案．解：甲箱98﹣49＝49（颗），∵乙箱中位数40，∴小于、大于40各有（49﹣1）÷2＝24（颗），∴甲箱中小于40的球有39﹣24＝15（颗），大于40的有49﹣15＝34（颗），即a＝15，b＝34．故选：D．【点评】此题考查了中位数，掌握中位数的定义是本题的关键，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．16．若关于x的不等式组所有整数解的和为14，则关于整数a的值：甲答：a ＝2，乙答：a＝﹣1，则正确的是（ ）A．只有甲答的正确B．只有乙答的正确C．甲、乙答案合在一起才正确D．甲、乙答案合在一起也不正确【分析】求出a﹣1＜x≤5，根据所有整数解的和为14，列出关于a的不等式组，解得a 的范围，即可求得a＝2或a＝﹣1．解：，解不等式①得：x＞a﹣1，解不等式②得：x≤5，∴a﹣1＜x≤5，∵所有整数解的和为14，∴不等式组的整数解为5，4，3，2或5，4，3，2，1，0，﹣1，∴1≤a﹣1＜2或﹣2≤a﹣1＜﹣1，∴2≤a＜3或﹣1≤a＜0，∵a为整数，∴a＝2或a＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式组．二、填空题（本大题共3个小题，共10分，17小题2分：18在19小题各4分，每空2分）17．已知方程组，则x+y的值为 1 ．【分析】观察方程组中未知数的系数的特点，直接利用①+②即可得到x+y的值．解：，①+②得x+y＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．18．小明在计算一组数据的方差时，列出的算式如下：S2＝[3，分析算式中的信息，则m＝ 2 ，＝ 7 ．【分析】根据方差算式，3+2+2+m+1＝10，可得m，十个数相加除以十，即为．解：m＝10﹣3﹣2﹣2﹣1＝2，＝＝7，故答案为：2，7．【点评】本题考查了方差，关键是掌握并运用方差公式．19．甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛训练，两人先比，若分出胜负，则由第三个人与胜者比赛；若是和棋，则这两个人继续下一局比赛，直到分出胜负．如此进行……比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局；若丙负3局，那么丙胜了 1 局，三位同学至少进行了 8 局比赛．【分析】根据比赛的实际情况可知：有人胜一局，便有人负一局，因此最后胜局的总数总等于负数的总局，据此可求出丙的胜局数；要使比赛局数为最少，就不能出现和局现象，在没有出现和局的情况下，胜局的总数（或负局众数）就是比赛的局数．解：∵在比赛中一人胜一局，那么就必然有人负一局，∴在整个比赛中，胜局众数总等于负局众数，∵甲、乙、丙总的负局数为：2+3+3＝8，甲、乙的总胜局数为：4+3＝7，∴乙的胜局数为：8﹣7＝1．要使甲、乙、丙三位同学的比赛局数为最少，就不能出现和局，∴在没有出现和局的情况下，甲、乙、丙三位同学进行了8局比赛，∴三位同学至少进行了8局比赛．故答案为：1，8．【点评】此题结合实际问题主要考查了推理，有理数的运算等，解答此题的关键是理清题意，找准数量关系“胜局的总数等于负数的总局”，难点是理解在没有和局的情况下，比赛的总局数为最少．三、解答题（本大题共7个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．已知是关于x，y的二元一次方程3x+ay＝14的一组解．（1）求a的值；（2）请用含有x的代数式表示y．【分析】（1）将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值；（2）根据a的值化简即可得出答案．解：（1）∵是关于x，y的二元一次方程3x+ay＝14的一组解，∴3×2+4a＝14，解得a＝2；（2）∵a＝2，∴原方程可变为3x+2y＝14，．【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．21．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC ，求证：∠A +∠B +∠C ＝180°．方法一证明：如图，过点A 作DE ∥BC ．方法二证明：如图，过点C 作CD ∥AB ．【分析】方法一：由平行线的性质得：∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAE ，再由平角的定义可得∠BAD +∠BAC +∠CAE ＝180°，从而可求解；方法二：由平行线的性质得：∠A ＝∠ACD ，∠B +∠BCD ＝180°，从而可求解．【解答】证明：方法一：∵DE ∥BC ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAE ，∵∠BAD +∠BAC +∠CAE ＝180°，∴∠B +∠BAC +∠C ＝180°；方法二：∵CD ∥AB ，∴∠A ＝∠ACD ，∠B +∠BCD ＝180°，∴∠B +∠ACB +∠A ＝180°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．22．解不等式组请按下列步骤完成解答．（Ⅰ）解不等式①，得 x＜3 ；（Ⅱ）解不等式②，得 x≥﹣1 ：（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集是 ﹣1≤x＜3 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．解：，（Ⅰ）解不等式①，得x＜3；故答案为：x＜3；（Ⅱ）解不等式②，得x≥﹣1；故答案为：x≥﹣1；（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下：（Ⅳ）原不等式组的解集是﹣1≤x＜3．故答案为：﹣1≤x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．23．为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了a名参加活动的学生的年龄（单位：岁）．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（1）填空：a的值为 40 ，图①中m的值为 15 ；（2）求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．【分析】（1）把各条形图对应的学生人数加起来为a的值；根据百分比由100%依次减去各年龄对应的百分比可得m的值；（2）利用加权平均数，众数，中位数定义得出结果即可．解：（1）a＝5+6+13+16＝40；∵m%＝100%﹣12.5%﹣40%﹣32.5%＝15%，∴m＝15．故答案为：40；15；（2）平均数为＝；∵15岁的学生最多，∴众数为15；∵一共调查了40名学生，12岁的有5人，13岁的6人，∴中位数为14．【点评】此题主要是考查了统计的应用，能够熟练掌握条形图的运用，平均数，众数，中位数定义是解题的关键．24．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．（1）求a、b的值；（2）乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b；（2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b．解：（1）将x＝1，y＝﹣2代入方程组中的第二个方程得：a+2b＝﹣5①，将x＝1，y＝﹣1代入方程组中的第一个方程得：a﹣b＝4②，联立①②，解得：；（2）设把b看成了m，把x＝1，y＝﹣1，a＝1代入方程ax﹣my＝﹣5，得m＝﹣6．【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．25．已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共103个．设A品牌乒乓球有x个，B品牌乒乓球有y个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的3倍．”嘉嘉根据她的说法列出了方程组：．请用嘉嘉所列方程组分析淇淇的说法是否正确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多26个，问A品牌球最多有几个．【分析】（1）解嘉嘉所列的方程可得出x的值，由x的值不为整数，即可得出淇淇的说法不正确；（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，根据B品牌球比A品牌球至少多28个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．解：（1）不正确，理由如下：解方程组，解得：，又∵x，y为整数，∴不合题意，∴淇淇的说法不正确；（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（103﹣x）个，依题意得：y﹣x≥26，即103﹣x﹣x≥26，解得：x≤38，∴x可取的最大值为38．答：A品牌球最多有38个．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是：（1）通过解一元一次方程，求出x的值；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26．在△ABC中，AB＝AC≠BC，∠BAC＝100°，D为平面内一点且DB＝BC，连接AD，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′．（1）如图①，当BD在∠ABC内部且∠DBC＝20°，求∠D′BC；（2）当D′、A、C三点共线时，求∠DBC；（3）是否存在BD′与△ABC的一边平行的情况，若存在，请直接写出∠DBC的度数；若不存在，试说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得∠ABC的度数，再根据对称的性质求解即可；（2）分两种情况①当D′、A、C共线；②当A、C、D′共线且C、D′重合，利用等腰三角形的性质，求解即可；（3）分两种情况①当点D在BC的下方；②当点D在BC的下方，利用平行线的性质以及对称的性质求解即可．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴，∴∠ABD＝40°﹣20°＝20°，由对称可得∠D′BA＝∠DBA＝20°，∴∠D′BC＝40°+20°＝60°；（2）①当D′、A、C共线且BD＝BD＝BD′，如图1，∴∠D′＝∠C＝∠D＝40°，∴∠D′BC＝100°，∴∠D′BA＝∠DBA＝60°，∴∠DBC＝60°﹣40°＝20°；②当A、C、D′共线时，如图2，此时C、D′重合，∴∠DBC＝40°+40°＝80°；综上，∠DBC＝20°或80°；（3）存在BD′与△ABC的一边平行的情况，理由如下：①当点D在BC的下方，如图3，BD′∥AC，∴∠D′BA＝∠BAC＝100°，由对称的性质得∠D′BA＝∠DBA＝100°，∴∠DBC＝100°﹣∠ABC＝60°；②当点D在BC的下方，如图4，BD′∥AC，∴∠D′BA＝180°﹣∠BAC＝80°，由对称的性质得∠D′BA＝∠DBA＝80°，∴∠DBC＝80°+∠ABC＝120°；综上，∠DBC＝120°或60°．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质、等腰三角形的性质以及轴对称图形等知识，解答本题的关键是熟练运用分类讨论思想．。
人教版数学八年级上学期《期中检测试卷》含答案解析
期中测 试 卷
学校________班级________姓名________成绩________
考试时间120分钟 满分120分
一、选择题：
1.下列图形中,属于轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
3.在平面直角坐标系中,点 关于 轴对称 点 的坐标为（）
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定和性质,掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
12.如图所示,在平面直角坐标系中 , , 是直角三角形,且 , , 到 轴距离为 ,把 绕点 顺时针旋转 ,得到 ；把 绕点 顺时针旋转 ,得到 ．以此类推,则旋转第2017次后,得到的直角三角形的直角顶点 的坐标为（）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据轴对称图形 概念求解.
【详解】根据轴对称图形的概念求解,A不是轴对称图形,故本选项错误；B不是轴对称图形,故本选项错误；C是轴对称图形,故本选项正确；D不是轴对称图形,故本选项错误,故本题C为正确答案.
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,掌握一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴是解决本题的关键.
A. B. C. D.
10.如图,等腰 的底边 长为4,腰长为6, 垂直平分 ,点 为直线 上一动点,则 的最小值为（）
A.10B.6C.4D.2
11.如图, 和 均为等边三角形,点 , , 在同一条直线上,连接 ,若 ,则 的度数是（）
A. B. C. D.
12.如图所示,在平面直角坐标系中 , , 是直角三角形,且 , , 到 轴距离为 ,把 绕点 顺时针旋转 ,得到 ；把 绕点 顺时针旋转 ,得到 ．以此类推,则旋转第2017次后,得到 直角三角形的直角顶点 的坐标为（）
上海市市西初级中学2022-2023学年八年级上学期期中考试八数学试卷带讲解
∵ 的中线，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
根故答案为： ．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出 是解此题的关键．
16.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
如图，当一腰上高在三角形外部时，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
综上所述，它的顶角度数为 或 ．
故答案为： 或
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
15.若 中， ，则中线 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】延长 到E，使 ，连接 ，证 ，推出 ，根据三角形的三边关系求出即可．
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行说法正确，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了命题与定理：断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
【详解】解：∵ 0，
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断 与0的大小关系，本题属于基础题型．
10.比较大小： ______ ．
【答案】＞
【分析】先求出 与 的倒数，然后进行大小比较．
【详解】∵
2023-2024学年苏科新版八年级上册数学期中复习试卷(含解析)
2023-2024学年苏科新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．下列四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如图，AC＝DC，∠1＝∠2，添加下面一个条件不能使△ABC≌△DEC的是（ ）A．BC＝EC B．∠A＝∠D C．DE＝AB D．∠DEC＝∠ABC 3．在△ABC中，AB＝AC，△ABC的中线BD将这个三角形的周长分为9和15两个部分，则BC长为（ ）A．12B．4C．12或4D．6或104．下列式子中，正确的是（ ）A．B．C．D．5．若一个直角三角形的两边长分别为4和5，则第三条边长的平方为（ ）A．9B．41C．9或41D．不确定6．下列说法错误的是（ ）A．任何命题都有逆命题B．真命题的逆命题不一定是正确的C．任何定理都有逆定理D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的7．如图是5×5的正方形网格中，以D、E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，这样格点三角形最多可以画出（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个8．已知△ABC是等腰三角形，过△ABC的一个顶点的一条直线，把△ABC分成的两个小三角形也是等腰三角形，则原△ABC的顶角的度数有几种情况？（ ）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．5的平方根是 ；0.027的立方根是 ．10．已知在△ABC中，∠A＝40°，D为边AC上一点，△ABD和△BCD都是等腰三角形，则∠C的度数可能是 ．11．三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三顶点的距离相等． 12．△ABC中，AB＝7，AC＝24，BC＝25，则∠A＝ 度．13．如图，正方体的棱长为2，O为AD的中点，则O，A1，B三点为顶点的三角形面积为 ．14．如图，锐角△ABC中，BC＝12，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，NE＝6，则△EAN的周长为 ．15．课堂上，老师给同学们出了一道题：“有一直角三角形的两边长分别为6cm和8cm，你们知道第三边的长度吗”刘飞立刻回答；“第三边是10cm．”你认为第三边应该是 cm．16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，点E、F分别是线段AB、AD上的动点，且BE＝AF，则BF+CE的最小值为 ．三．解答题（共9小题，满分72分）17．如图，在正方形网格中，每个小方格的边长都为1，△ABC各顶点都在格点上．若点A 的坐标为（0，3），请按要求解答下列问题：（1）在图中建立符合条件的平面直角坐标系；（2）根据所建立的坐标系，写出点B和点C的坐标；（3）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′．18．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的一点，BE与CD交于点O，给出下列四个条件：①∠DBO＝∠ECO；②∠BDO＝∠CEO；③BD＝CE；④OB＝OC．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定△ABC是等腰三角形．（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明△ABC是等腰三角形；（3）在上述条件中，若∠A＝60°，BE平分∠B，CD平分∠C，则∠BOC的度数？19．如图，四边形ABCD为正方形纸片，点E是CD的中点，若CD＝4，CF＝1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？试说明理由．20．已知：2x+y+7的立方根是3，16的算术平方根是2x﹣y，求：（1）x、y的值；（2）x2+y2的平方根．21．如图，在等边△ABC中，点D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），CD＝DE，∠BDE＝120°．点F是线段BE的中点，连接DF、CF．（1）请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；（2）若AB＝4，求线段CF长度的最小值．22．如图，一架梯子AB长10米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙6米．（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了2米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？23．如图，在△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G．（1）求证：BF＝CG（2）若AB＝5，AC＝3，求AF的长．24．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在直线BC上运动，连接AD，将线段AD 绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，连接AE，CE．（1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段EC和线段AC的数量关系；（2）点D在线段BC上（不与点B，C重合）时，请写出线段AC，DC，EC之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝4，CD＝1，请直接写出△DCE的面积．25．综合与实践【问题情境]课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 ；A．SSSB．AASC．SASD．HL（2）由“三角形的三边关系”，可求得AD的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．[初步运用]（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．[灵活运用]（4）如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，直接写出你的结论．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．解：选项A、B、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．2．解：A、若添BC＝EC即可根据SAS判定全等；B、若添∠A＝∠D即可根据ASA判定全等；C、若添DE＝AB则是SSA，不能判定全等；D、若添∠DEC＝∠ABC即可根据AAS判定全等．故选：C．3．解：根据题意，①当12是腰长与腰长一半时，AC+AC＝15，解得AC＝10，所以腰长为4；②当9是腰长与腰长一半时，AC+AC＝9，解得AC＝6，所以腰长为12，∵6+6＝12，∴不符合题意．故腰长等于4．故选：B．4．解：A、＝﹣＝﹣2，正确；B、原式＝﹣＝﹣，错误；C、原式＝|﹣3|＝3，错误；D、原式＝6，错误，故选：A．5．解：当5为直角边时，第三边的平方为：42+52＝41；当5为斜边时，第三边的平方为：52﹣42＝9．故第三边的平方为9或41，故选：C．6．解：A．任何命题都有逆命题，所以A选项不符合题意；B．真命题的逆命题不一定是正确的，所以B选项不符合题意；C．任何定理不一定有逆定理，所以C选项符合题意；D．一个定理若存在逆定理，则这个逆定理一定是正确的，所以D选项不符合题意；故选：C．7．解：如图所示：，最多可以画出4个．故选：C．8．解：设该等腰三角形的底角是x；①如图1，当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC＝BC，AD＝CD＝BD，设∠A＝x°，则∠ACD＝∠A＝x°，∠B＝∠A＝x°，∴∠BCD＝∠B＝x°，∵∠A+∠ACB+∠B＝180°，∴x+x+x+x＝180，解得x＝45，则顶角是90°；②如图2，AC＝BC＝BD，AD＝CD，设∠B＝x°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝x°，∵AD＝CD，∴∠ACD＝∠A＝x°，∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝2x°，∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC＝2x°，∴∠ACB＝3x°，∴x+x+3x＝180，x＝36°，则顶角是108°．③如图3，当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AC＝BC，AB＝AD＝CD，设∠C＝x°，∵AD＝CD，∴∠CAD＝∠C＝x°，∴∠ADB＝∠CAD+∠C＝2x°，∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB＝2x°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝2x°，∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，∴x+2x+2x＝180，x＝36°，则顶角是36°．④如图4，当∠A＝x°，∠ABC＝∠ACB＝3x°时，也符合，AD＝BD，BC＝DC，∠A＝∠ABD＝x，∠DBC＝∠BDC＝2x，则x+3x+3x＝180°，x＝，因此等腰三角形顶角的度数为36°或90°或108°或，故选：C．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．解：5的平方根是±，0.027的立方根是0.3，故答案为：，0.3．10．解：如图1所示：当DA＝DC时，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝40°，∴∠ADB＝180°﹣40°×2＝100°，∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°，当BD＝BC1时，∠BC1D＝∠BDC1＝80°；当DB＝DC2时，∠DBC2＝∠DC2B＝（180°﹣80°）÷2＝50°；当BC3＝DC3时，∠BC2D＝180°﹣80°×2＝20°；如图2所示：当AB＝AD时，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∴∠BDC＝180°﹣70°＝110°，当DB＝DC4时，∠DBC4＝∠DC4B＝（180°﹣110°）÷2＝35°；如图3所示：当AB＝DB时，∵∠A＝40°，∴∠ADB＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，当DB＝DC5时，∠DBC5＝∠DC5B＝（180°﹣140°）÷2＝20°．综上所述，∠C的度数可能是80°或50°或20°或35°或20°．故答案为：80°或50°或20°或35°或20°．11．解：由角平分线性质可知：三角形的三条角平分线交于一点，这点到三角形的三边的距离相等，故所给命题是假命题．故本题答案为：×．12．解：∵△ABC中，AB＝7，AC＝24，BC＝25，∴72+242＝252即BC2＝AB2+AC2，∴三角形ABC是直角三角形．∴∠A＝90°．13．解：直角△AA1O和直角△OBA中，利用勾股定理可以得到OA1＝OB＝，在直角△A1AB中，利用勾股定理得A1B＝，过点O作高，交A1B与M，连接AM，则△AOM是直角三角形，则AM＝A1B＝，OM＝＝，∴△OA1B的面积是．14．解：（1）∵点E、N分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，∴BE＝AE，AN＝CN．∴△AEN的周长＝AE+AN+EN＝BE+NC+EN＝BC+2NE＝12+12＝24；故答案为2415．解：8是斜边时，第三边长＝2cm；8是直角边时，第三边长＝10cm．故第三边应该是10或2cm．16．解：过B作BG⊥BC，且BG＝BA，连接GE，∵AD⊥BC，∴GB∥AD，∴∠GBA＝∠BAD，∵GB＝AB，BE＝AF，∴△GBE≌△BAF（SAS），∴GE＝BF，∴BF+CE＝GE+CE≥GC，∴当G、E、C三点共线时，BF+CE＝GC最小，∵AB＝AC＝5，BC＝6，在Rt△BCG中，GC＝，故答案为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．解：（1）如图所示：（2）如图所示，点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（1，1）；（3）如图所示，△A′B′C′即为所求．18．解：（1）上述四个条件中，①③，①④，②③，②④组合可判定△ABC是等腰三角形．（2）选择①③证明．∵∠DBO＝∠ECO，BD＝CE，∠DOB＝∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形；（3）∵∠A＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BE平分∠B，CD平分∠C，∴∠OBC＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝180﹣30﹣30＝120°，答：∠BOC的度数为120°．19．解：图中的有4个直角三角形，它们为Rt△ADE，Rt△ABF，Rt△CEF，Rt△AEF．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠D＝∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝AB＝CD＝4，∴△ADE、△ABF和△CEF都为直角三角形，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝2，∵CF＝1，∴BF＝3，在Rt△ADE中，AE2＝22+42＝20，在Rt△CEF中，EF2＝22+12＝5，在Rt△ABF中，AF2＝32+42＝25，∵AE2+EF2＝AF2，∴△AEF为直角三角形．20．解：（1）依题意，解得：；（2）x2+y2＝36+64＝100，100的平方根是±10．21．解：（1）线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，理由如下：延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图1所示：∵点F为BE的中点，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等边三角形，∴AD＝DM＝2DF；（2）连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，如图2所示：∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，∴∠DCE＝30°，∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，∴NF是△BCE的中位线，∴NF∥CE，∴∠CNF＝∠DCE＝30°，∴点F的轨迹为射线NF，且∠CNF＝30°，当CF⊥NF时，CF最短，∵AB＝BC＝4，∴CN＝2，在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，∴CF＝CN＝1，∴线段CF长度的最小值为1．22．解：（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO＝＝＝8（米）；答：这个梯子的顶端距地面有8米高；（2）梯子下滑了2米即梯子距离地面的高度为OA′＝8﹣2＝6（米），根据勾股定理：OB′＝＝＝8（米），∴BB′＝OB′﹣OB＝8﹣6＝2（米），答：当梯子的顶端下滑2米时，梯子的底端水平后移了2米．23．（1）证明：如图，连接BE、EC，∵ED⊥BC，D为BC中点，∴BE＝EC，∵EF⊥ABEG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG．（2）解：在Rt△AEF和Rt△AEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），∴AF＝AG，∵Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG，∴AB+AC＝AF+BF+AG﹣CG＝2AF，∴2AF＝8，∴AF＝4．24．解：（1）EC＝AC，理由如下：由旋转得ED＝AD，∠ADE＝90°，当点D与点B重合时，则EB＝AB，∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠BAC+∠ABE＝180°，∴AC∥BE，AC＝EB，∴四边形ABEC是正方形，∴EC＝AC．（2）AC﹣EC＝DC，理由如下：如图2，作DF⊥BC交AC于点F，则∠CDF＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠DFC＝∠DCF＝45°，∴DF＝DC，∵∠ADF＝∠EDC＝90°﹣∠EDF，AD＝ED，∴△ADF≌△EDC（SAS），∴AF＝EC，∴AC﹣EC＝AC﹣AF＝FC，∵FC＝＝＝DC，∴AC﹣EC＝DC.（3）如图3，点D在线段BC上，作DF⊥BC交AC于点F，EG⊥BC交BC的延长线于点G，由（2）得∠DFC＝45°，△ADF≌△EDC，AC﹣EC＝CD，∴∠ECD＝∠AFD＝180°﹣∠DFC＝135°，∴∠GCE＝180°﹣∠ECD＝45°，∵AB＝AC＝4，CD＝1，∴EC＝AC﹣DC＝4﹣×1＝3，∵∠CGE＝90°，∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝3×＝3，∴S△DCE＝CD•EG＝×1×3＝；如图4，点D在线段BC的延长线上，作DF⊥BC交AC的延长线于点F，EG⊥BC交BC 的延长线于点G，∵∠CDF＝90°，∠DCF＝∠ACB＝45°，∴∠F＝∠DCF＝45°，∴FD＝CD，∵∠ADF＝∠EDC＝90°+∠ADC，AD＝ED，∴△ADF≌△EDC（SAS），∴EC＝AF，∠DCE＝∠F＝45°，∵FC＝＝＝DC，∴EC＝AF＝AC+CF＝4+×1＝5，∵∠CGE＝90°，∴EG＝EC•sin∠GCE＝EC•sin45°＝5×＝5，∴S△DCE＝CD•EG＝×1×5＝，综上所述，△DCE的面为或．25．解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：C；（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜AE＜10，∵AD＝AE，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示：∵AE＝EF．EF＝3，∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即BF＝5，故线段BF的长为5；（4）线段BE、CF、EF之间的等量关系为：BE2+CF2＝EF2，理由如下：延长ED到点G，使DG＝ED，连接GF、GC，如图3所示：∵ED⊥DF，∴EF＝GF，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE和△CDG中，，∴△DBE≌△DCG（SAS），∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，∴Rt△CFG中，CG2+CF2＝GF2，∴BE2+CF2＝EF2．。
广州市实验外语学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(原卷版+解析版)
2023-2024学年度八年级数学期中综合训练考试时间：120分钟一、单选题（每小题3分，共30分）1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )A B. C. D. 2. 若点(,2)A m −，(4,3)B n −−关于x 轴对称，则（ ）A. 4m =−，5n =B. 4m =−，5n =−C. 4m =，1n =D. 4m =，1n =− 3. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）A. 2，5，7B. 9，3，5C. 4，5，6D. 4，5，10 4. 下列计算正确的是（ ）A. （3a ）3＝9a 3B. a 3＋a 2＝a 6C. a ·a 2＝a 2D. （a 3）2＝a 6 5. 计算()21x −=． A. 21x − B. 21x x −+ C. 221x x −+ D. 221x x ++ 6. 如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 是（ ）A. AB =DEB. AC =DFC. ∠A =∠DD. BF =EC 7. 如图，AD 是ABC 边BC 的中线，E ，F ，分别是AD ，BE 的中点，若BFD △的面积为6，则ABC 的面积等于（ ）A. 18B. 24C. 48D. 36.的8. 如图，ABC 中，AD 是ABC 的角平分线，AE 是ABC 高线，当42B ∠=°，66C ∠=°时，DAE ∠的度数为（ ）A. 6°B. 8°C. 10°D. 12°9. 一个长方形的面积为2242a ab −，长为2a ，则长方形的宽为（ ）A. 2a b −B. 22a b −C. 222a b −D. 22a b −10. 如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，60AFD ∠=°．FG 为AFC △的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG CD =，连接HA 、HC ．①BD CE =；②60AHC ∠=°；③FC CG =；④CBD CGH S S =△△；其中说法正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（每小题3分，共18分）11. 从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上是___________．12. 若3m a =，2n a =，则2m n a +=_____．13. 在如图所示的正方形网格中，12∠+∠=________．14. 如图，已知AB ∥CF ，点E 为DF 的中点，若9AB = cm ，5CF = cm ，则BD =________cm ．15. 如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为___________．16. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为________．三、解答题（共72分）17. 计算：()()322322x y x −÷−． 18. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点()1,4A −，()2,1B −，()4,3C −．（1）ABC 面积是________；（2）把ABC 以y 轴为对称轴作出它的对称图形，得到A B C ′′′ ，请你画出A B C ′′′ ；19. 如图，点E ，F 在BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ．求证：ABF DCE ≌△△．20. 用一条长为35cm 的细绳围成一个等腰三角形，底边长是腰长的一半，求各边长．的21 化简求值：()()()22121214x x x x −++−÷，其中2x =−． 22. 如图1，是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S =阴影______．方法2：S =阴影______．（2）写出()2a b +，()2a b −，ab 这三个代数式之间的等量关系为______． （3）已知10x y +=，16xy =，求x y −的值． 23. 如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON ∠的内部且CA CB =，CD OM ⊥，CE ON ⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．（1）求证：OC 平分MON ∠；（2）如果10AO =，4BO =，求OD 的长．24. 已知：在ABC 中，2CAB B ∠=∠．点D 与点C 关于直线AB 对称，连接,AD CD ，CD 交直线AB 于点E ．.（1）当60CAB ∠=°时，如图①．用等式表示，AD 与AE 的数量关系是______，BE 与AE 的数量关系是______；（2）当CAB ∠钝角时，如图②．①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AD AE BE 之间的数量关系，并证明．25. 已知：在ABC 中，90ACB ∠=°，60A ∠=°．点D 在AB 上，且AD AC =，连接CD ．（1）如图1，求证：BD CD =；（2）过点D 作DEF ，使90DEF ∠=°，60EDF ∠=°，连接CE 并延长CE 至点G ，使EG CE =，连接BF ，BG ，FG ．①如图2，当点F 在BD 的延长线上时，求证：BFG 是等边三角形；②如图3，2AC =，1DE =，若180BFD EFG ∠+∠=°，求BDF 的面积．是2023-2024学年度八年级数学期中综合训练考试时间：120分钟一、单选题（每小题3分，共30分）1. 观察下面的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是( )A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A 、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、可以抽象成轴对称图形，故本选项符合题意；D 、不可以抽象成轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．2. 若点(,2)A m −，(4,3)B n −−关于x 轴对称，则（ ）A. 4m =−，5n =B. 4m =−，5n =−C. 4m =，1n =D. 4m =，1n =− 【答案】A【解析】【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出m ，n 的值，从而得出答案．【详解】解： 点(,2)A m −与点(4,3)B n −−关于x 轴对称，根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数， 4m ∴=−，32n −=，4m ∴=−，5n =，故选：A ．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，需要牢记，难度适中．3. 下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）A. 2，5，7B. 9，3，5C. 4，5，6D. 4，5，10【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．【详解】解：三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边．A 、257+= ，不能构成三角形，此项不符题意；B 、3589+=<，不能构成三角形，此项不符题意；C 、456+> ，能构成三角形，此项符合题意；D 、4510+<，不能构成三角形，此项不符题意；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．4. 下列计算正确的是（ ）A. （3a ）3＝9a 3B. a 3＋a 2＝a 6C. a ·a 2＝a 2D. （a 3）2＝a 6 【答案】D【解析】【分析】根据积的乘方法则、同类项的定义以及同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则逐个判断即可．【详解】解：A 、（3a ）3＝27a 3，故A 选项错误，不符合题意；B 、a 3与a 2不是同类项，不能合并，故B 选项错误，不符合题意；C 、a ·a 2＝a 3，故C 选项错误，不符合题意；D 、（a 3）2＝a 6，故D 选项正确，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了积的乘方法则、同类项的定义以及同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，熟练掌握相关运算法则及定义是解决本题的关键．5. 计算()21x −=． A. 21x −B. 21x x −+C. 221x x −+D. 221x x ++【答案】C【解析】【分析】根据完全平方公式进行计算即可求解．【详解】解：()22121x x x −=−+故选：C ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．6. 如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，AB ∥ED ，AC ∥FD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A. AB =DEB. AC =DFC. ∠A =∠DD. BF =EC【答案】C【解析】 【详解】解：选项A 、添加AB=DE 可用AAS 进行判定，故本选不符合题意；选项B 、添加AC=DF 可用AAS 进行判定，故本选项不符合题意；选项C 、添加∠A=∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意；选项D 、添加BF=EC 可得出BC=EF ，然后可用ASA 进行判定，故本选项不符合题意．故选C ．7. 如图，AD 是ABC 边BC 的中线，E ，F ，分别是AD ，BE 的中点，若BFD △的面积为6，则ABC 的面积等于（ ）A. 18B. 24C. 48D. 36【答案】C【解析】 【分析】根据题意，由三角形中线的性质可求得BDE ∆，ADB ∆的面积，进而可求解ABC ∆的面积．【详解】解：∵AD 是ABC 中BC 边上的中线，∴2ABC ABD S S ，∵E ，F 分别是AD ，BE 的中点，∴2∆∆=ABD BDE S S ，2BDE BFD S S ，∴88648ABC BFD S S ，【点睛】本题主要考查三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形是解题的关键．8. 如图，ABC 中，AD 是ABC 角平分线，AE 是ABC 高线，当42B ∠=°，66C ∠=°时，DAE ∠的度数为（ ）A. 6°B. 8°C. 10°D. 12°【答案】D【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，结合角平分线的定义求出CAD ∠的度数，在Rt ACE 中，利用三角形内角和定理，可求出CAE ∠的度数，再将其代入DAE CAD CAE ∠=∠−∠中，即可求出结论．【详解】在ABC 中，42B ∠=°，66C ∠=°，∴180180426672BAC B C °°°°°∠=−∠−∠=−−=，∵AD 平分BAC ∠， ∴11723622CAD BAC ∠°×°=∠==． ∵AE BC ⊥，∴90AEC ∠=°，∴9024CAE C ∠=°−∠=°，∴362412DAE CAD CAE °°°∠=∠−∠=−=．故选：D ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键． 9. 一个长方形的面积为2242a ab −，长为2a ，则长方形的宽为（ ）A. 2a b −B. 22a b −C. 222a b −D. 22a b − 【答案】D【解析】的【分析】结合多项式除以单项式法则，用长方形的面积除以长方形的长即得到长方形的宽．【详解】解：()2224222a ab a a b −=−÷． ∴长方形的宽为22a b −．故选D ．【点睛】本题考查多项式除以单项式．掌握多项式除以单项式法则是解题关键．10. 如图，已知ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，CD 、AE 交于点F ，60AFD ∠=°．FG 为AFC △的角平分线，点H 在FG 的延长线上，HG CD =，连接HA 、HC ．①BD CE =；②60AHC ∠=°；③FC CG =；④CBD CGH S S =△△；其中说法正确的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】 【分析】①由∠AFD ＝60°CAE ≌△BCD ，从而可判断①正确；②作CM ⊥AE 交AE 的延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，可证明△ECM ≌△GCN （AAS ）得CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ，即可证明△AMC ≌△HNC （SAS ），有∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，从而得△ACH 是等边三角形，故②正确；③由∠CFH ＝∠AFH ＝60°，若FC ＝CG ，可得∠FCG ＝60°，即可判定③不正确；④根据△ECM ≌△GCN ，△AMC ≌△HNC ，△CAE ≌△BCD ，可判定④正确．【详解】解：①∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠ACE ＝60°，BC ＝AC ，∵∠AFD ＝∠CAE +∠ACD ＝60°，∠BCD +∠ACD ＝∠ACB ＝60°，∴∠BCD ＝∠CAE ，在△BCD 和△CAE 中，B ACE BC ACBCD CAE ∠=∠ = ∠=∠， ∴△BCD ≌△CAE （ASA ），∴BD ＝CE ，故①正确；②作CM ⊥AE 交AE 延长线于M ，作CN ⊥HF 于N ，如图：∵∠EFC ＝∠AFD ＝60°∴∠AFC ＝120°，∵FG 为△AFC 的角平分线，∴∠CFH ＝∠AFH ＝60°，∴∠CFH ＝∠CFE ＝60°，∵CM ⊥AE ，CN ⊥HF ，∴CM ＝CN ，∵∠CEM ＝∠ACE +∠CAE ＝60°+∠CAE ，∠CGN ＝∠AFH +∠CAE ＝60°+∠CAE ，∴∠CEM ＝∠CGN ，在△ECM 和△GCN 中90CEM CGN CME CNG CM CN ∠=∠ ∠=∠=° =， ∴△ECM ≌△GCN （AAS ），∴CE ＝CG ，EM ＝GN ，∠ECM ＝∠GCN ，∴∠MCN ＝∠ECG ＝60°，由①知△CAE ≌△BCD ，∴AE ＝CD ，∵HG ＝CD ，∴AE ＝HG ，∴AE +EM ＝HG +GN ，即AM ＝HN ，在△AMC 和△HNC 中，的90AM HN AMC HNC CM CN = ∠=∠=° =， ∴△AMC ≌△HNC （SAS ），∴∠ACM ＝∠HCN ，AC ＝HC ，∴∠ACM ﹣∠ECM ＝∠HCN ﹣∠GCN ，即∠ACE ＝∠HCG ＝60°，∴△ACH 是等边三角形，∴∠AHC ＝60°，故②正确；③由②知∠CFH ＝∠AFH ＝60°，若FC ＝CG ，则∠CGF ＝60°，从而∠FCG ＝60°，这与∠ACB ＝60°矛盾，故③不正确；④∵△ECM ≌△GCN ，△AMC ≌△HNC ，∴S △AMC ﹣S △ECM ＝S △HNC ﹣S △GCN ，即S △ACE ＝S △CGH ，∵△CAE ≌△BCD ，∴S △BCD ＝S △ACE ＝S △CGH ，故④正确，∴正确的有：①②④，故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的二、填空题（每小题3分，共18分）11. 从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：，则该车的后5位号码实际上是___________．【答案】629BA【解析】【分析】根据镜面反射原理计算即可．【详解】因为后视镜中看见某车车牌的后5位号码是：， 所以该车的后5位号码实际上是629BA ，故答案为：629BA ．【点睛】本题考查了镜面反射，熟练掌握镜面反射的基本原理是解题的关键．12. 若3m a =，2n a =，则2m n a +=_____．【答案】18【解析】【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可．【详解】解：∵3m a =，2n a =，∴22m n m n a a a +=⋅()2n m a a =⋅232=×18=，故答案为：18．【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算法则是解答的关键．13. 在如图所示的正方形网格中，12∠+∠=________．【答案】90°##90度【解析】分析】证明ABC DBE ≌可得1=BDE ∠∠，即可得出答案．【详解】解：如图：,,AB DB B B CB EB =∠=∠= ， ABC DBE ∴ ≌，1=BDE ∴∠∠，90B ∠=° ，290BDE ∴∠+∠=°，2190∴∠+∠=°．故答案为：90°．【【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．14. 如图，已知AB ∥CF ，点E 为DF 的中点，若9AB = cm ，5CF = cm ，则BD =________cm ．【答案】4【解析】【分析】证明AED CEF ≌，根据全等三角形的性质得出5FC AD ==，进而即可求解．【详解】AB ∥CF ，A ACF ∴∠=∠，在AED 和CEF 中A ECF AED CEF DE EF ∠∠ ∠∠＝＝＝，()AAS AED CEF ∴ ≌，5cm FC AD ∴==，(954cm BD AB AD ∴=−=−=．故答案为：4【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．15. 如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，4,7AB BC ==，则ABD △的周长为___________．【答案】11【解析】【分析】根据垂直平分线的性质，可知AD CD =，进而可知B C B D C D B D A D =+=+，即可求出ABD△的周长．【详解】解： DE 是AC 的垂直平分线，AD CD ∴=， B C B D C D B D A D ∴=+=+，ABD ∴ 的周长4711A B B D A D A B B C =++=+=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键．16. 一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则该等腰三角形的顶角度数为________．【答案】40°或140°【解析】【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解．【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图，AB AC =，50ACD ∠=°，CD 为高，即90ADC ∠=°，此时180A ACD ADC ∠+∠+∠=°，180905040A ∴∠=°−°−°=°，若三角形为钝角三角形时，如图，AB AC =，50ACD ∠=°，CD 为高，即90ADC ∠=°，此时9050140BAC D ACD ∠=∠+∠=°+°=°，综上，等腰三角形的顶角的度数为40°或140°．【点睛】本题考查了等腰三角形的内容，做等腰三角形的问题时要多去注意是否要分类讨论．三、解答题（共72分）17. 计算：()()322322x y x −÷−． 【答案】298x y −【解析】【分析】根据积的乘方进行计算，然后根据单项式除以单项式进行计算即可求解．【详解】解：()()322322x y x −÷− 6948x y x =−÷298x y =−【点睛】本题考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式是解题的关键．18. 如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点()1,4A −，()2,1B −，()4,3C −．（1）ABC 的面积是________；（2）把ABC 以y 轴为对称轴作出它的对称图形，得到A B C ′′′ ，请你画出A B C ′′′ ；【答案】（1）4（2）见解析【解析】【分析】（1）根据正方形的面积减去3个三角形的面积即可求解；（2）根据轴对称的性质找到对应点,,A B C ′′′，顺次连接，得到A B C ′′′ ，即可求解．【小问1详解】 解：111331313224222ABC S =×−××−××−××=△，故答案为：4．【小问2详解】解：如图所示，A B C ′′′ 即为所求；【点睛】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．19. 如图，点E ，F BC 上，BE CF =，AB DC =，B C ∠=∠，AF 与DE 交于点G ．求证：ABF DCE ≌△△．【答案】证明见解析【解析】【分析】先说明BF CE =，再利用“边角边”证明ABF △和DCE △全等即可．【详解】证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，在ABF △和DCE △中，AB DC B C BF CE = ∠=∠ =， ∴()SAS ABF DCE ≌△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判断方法是解题的关键．20. 用一条长为35cm 的细绳围成一个等腰三角形，底边长是腰长的一半，求各边长．在【答案】底边、腰长、腰长分别为7cm 、14cm 、14cm ．【解析】【分析】根据题意：底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长；【详解】解：设底边长为cm x ，则腰长为2cm x由题意可得，2235x x x ++=， 解得7x =，∴22714x =×=，71414+>，此时满足三角形三边关系，故等腰三角形的底边、腰长、腰长分别为7cm 、14cm 、14cm ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意正确列式，难度较小．21. 化简求值：()()()22121214x x x x −++−÷，其中2x =−． 【答案】2x －1，-5【解析】【分析】先将括号内的用乘法公式展开，合并同类项，转化为单项式除以单项式，将x=-2，代入求值即可5．【详解】解：()()()22121214x x x x −++−÷， ＝22441414x x x x −++−÷ ，＝()2844x x x −÷，＝28444x x x x ÷−÷，＝2x －1，将2x =−代入，原式＝2×（－2）－1＝－5．【点睛】此题考查的是整式的混合运算，掌握同底数幂的乘法法则、完全平方公式、平方差公式和多项式除以单项式法则是解题关键．22. 如图1，是一个长为2a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线剪开分成四块相同的小长方形，然后拼成一个正方形（如图2）．（1）用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1：S =阴影______．方法2：S =阴影______．（2）写出()2a b +，()2a b −，ab 这三个代数式之间等量关系为______． （3）已知10x y +=，16xy =，求x y −的值． 【答案】（1）4ab ，()()22a b a b +−−；（2）()()224a b a b ab +−−=（3）6±【解析】【分析】（1）结合图2，利用正方形面积公式和长方形面积公式，将阴影部分的面积用两种不同的方法表示即可；（2）由（1）即可得到答案； （3）由（1）可得()()224x y x y xy −=+−，把10x y +=，16xy =代入计算，即可求出x y −的值． 【小问1详解】解：方法1：阴影部分的面积等于四个相同的小长方形的面积和，即4S ab =阴影；方法2：阴影部分的面积等于大正方形面积减小正方形面积，即()()22S a b a b =+−−阴影，故答案为：4ab ，()()22a b a b +−−；【小问2详解】解：由（1）可知，()()224a b a b ab +−−=故答案为：()()224a b a b ab +−−=；【小问3详解】的解：由（2）可知，()()224x y x y xy +−−=， ()()224x y x y xy ∴−=+−， 把10x y +=，16xy =代入，得：()221041636x y −=−×=， 6x y ∴−=或6x y −=−， 即x y −的值为6±．【点睛】本题考查了列代数式、代数式的求值、完全平方公式与几何图形关系等知识，主要是利用数形结合的思想研究完全平方式之间的联系，以及代数式求值的问题，属于基础题型．23. 如图，A ，B 两点分别在射线OM ，ON 上，点C 在MON ∠的内部且CA CB =，CD OM ⊥，CE ON ⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．（1）求证：OC 平分MON ∠；（2）如果10AO =，4BO =的长．【答案】（1）见解析 （2）7【解析】【分析】（1）证明Rt △ACD ≌Rt △BCE （HL ），得CD =CE ．再由角平分线的判定即可得出结论；OC 平分∠MON ；（2）证Rt △ODC ≌Rt △OEC （HL ），得OD =OE ，设BE =AD =x ．则OE =OD =4+x ，再由AO =OD +AD =4+2x =10，得x =3．即可得出答案．【小问1详解】证明：∵CD OM ⊥，CE ON ⊥，∴90CDA CEB ∠=∠=°．在Rt ACD △与Rt BCE 中，CA CB AD BE= = ， ∴Rt ACD △≌Rt BCE （HL ），∴CD CE =．又∵CD OM ⊥，CE ON ⊥，∴OC 平分MON ∠．【小问2详解】解：在Rt ODC △与Rt OEC △中，CD CE OC OC = =， ∴Rt ODC △≌Rt OEC △（HL ）， ∴OD OE =，设BE AD x ==．∵4BO =，∴4OE OD x ==+，∵AD BE x ==，∴4210AO OD AD x =+=+=，∴3x =，∴437OD =+=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，证明Rt △ACD ≌Rt △BCE 和Rt △ODC ≌Rt △OEC 是解题的关键．24. 已知：在ABC 中，2CAB B ∠=∠．点D 与点C 关于直线AB 对称，连接,AD CD ，CD 交直线AB 于点E ．（1）当60CAB ∠=°时，如图①．用等式表示，AD 与AE 的数量关系是______，BE 与AE 的数量关系是______；（2）当CAB ∠是钝角时，如图②．①依题意补全图形；②用等式表示线段,,AD AE BE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）2AD AE =；3BE AE =（2）①见解析；②【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，得出，30,9030BACE CAB ADE ∠=°∠=°−∠=°=∠，根据含30度角的直角三角形的性质，得出，12,2AD AE AC AB ==，进而得出3BE AE =； （2）①根据题意补全图形，即可；②在的BE 延长线上取点F ，使EF AE =，连接CF 根据轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质可得,AD AC AC FC ==．从而得到,AD FC CFA CAF =∠=∠，再由2BAC B ∠=∠，可得BCF B ∠=∠，从而得到FC FB =即可． 【小问1详解】解：∵2CAB B ∠=∠，点D 与点C 关于直线AB 对称，∴,30,9030CD AB BACE CAB ADE ⊥∠=°∠=°−∠=°=∠， ∴90ACB ∠=°， ∴12,2AD AE AC AB ==， ∴113,244AE AC AB EB AB AE AB ===−=， ∴3BE AE =；故答案为：2AD AE =；3BE AE =【小问2详解】解：①补全图形如下：②AD AE BE =+，证明如下：在的BE 延长线上取点F ，使EF AE =，连接CF ．∵点C 与点D 关于直线对称，∴,CD AB CE DE ⊥=， ∴,AD ACAC FC ==． ∴,AD FC CFA CAF =∠=∠． ∵180CAF BAC ∠+∠=°，∴180CFA BAC ∠+∠=°．∵2BAC B ∠=∠，∴2180CFA B ∠+∠=°．∵180CFA B BCF ∠+∠+∠=°，∴BCF B ∠=∠． ∴FC FB =，∴FB AD =．∵FB BE FE =+，∴AD BE AE =+．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．25. 已知：在ABC 中，90ACB ∠=°，60A ∠=°．点D 在AB 上，且AD AC =，连接CD ．（1）如图1，求证：BD CD =；（2）过点D 作DEF ，使90DEF ∠=°，60EDF ∠=°，连接CE 并延长CE 至点G ，使EG CE =，连接BF ，BG ，FG ．①如图2，当点F 在BD 的延长线上时，求证：BFG 是等边三角形；②如图3，2AC =，1DE =，若180BFD EFG ∠+∠=°，求BDF 的面积．【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②1【解析】【分析】（1）根据已知条件得出ACD 是等边三角形，根据然后证明30ABC BCD ∠=∠=°，即可得证；（2）①分别延长DC ，FE 交于点K ．证明CEK CEF △≌△，得出FG CK =，30GFK K ∠=∠=°，即可得出BFG 是等边三角形．②延长DE 至H ，使EH DE =，连接FH ，GH ，过点B 作EM DF ⊥于点M ．证明CDE GHE △≌△，进而证明DFH 是等边三角形，令FHC α∠=，证明BDF FHG ∠=∠，即可证明BDF GHF △≌△，令BFD β∠=，则GFH β∠=，根据180BFD FFG ∠+∠=°，得出75BFD ∠=°，进而得出180757530BDF ∠=°−°−°=°，在Rt BDM 中，112BM BD ==，根据三角形面积公式即可求解．【小问1详解】证明：如图1AD AC = ，60A ∠=°∴ACD 是等边三角形AC CD ∴=，60ACD ADC ∠=∠=°906030BCD ACB ACD ∴∠=∠−∠=°−°=°90ACB ∠=°，90906030ABC A ∴∠=°−∠=°−°=°，ABC BCD ∴∠=∠，BD CD ∴=．【小问2详解】①证明：如图2，分别延长DC ，FE 交于点K ．90DEF ∠=° ，90906030DFE EDF ∴∠=°−∠=°−°=°，603030K ADC DFK ∴∠=∠−∠=°−°=°，K DFK ∴∠=∠，DK DF ∴=，又CD BD = ，DK CD DF BD ∴−=−，即CK BF =90DEF ∠=° ，DE FK ∴⊥，又DK DF = ，EK EF ∴=，又CEK GEF ∠=∠ ，CE EG =，∴CEK CEF △≌△FG CK ∴=，30GFK K ∠=∠=°FG BF ∴=，303060GFB GFK DFK ∠=∠+∠=°+°=°，∴BFG 是等边三角形．②解：如图3 ，延长DE 至H ，使EH DE =，连接FH ，GH ，过点B 作EM DF ⊥于点M ．CE EG = ，CED GEH ∠=∠，DE EH =，∴CDE GHE △≌△GH CD ∴=，CDE GHE ∠=∠BD CD = ，GH BD ∴=，90DEF ∠=° ， FE DH ∴⊥，又DE EH = ，FH FD ∴=， 又60FDH ∠=° ，∴DFH 是等边三角形60DFH DHF ∴∠=∠=°，90906030EFH DHF ∴∠=°−∠=°−°=°，令FHC α∠=， ∴60CDE GHE α∠=∠=+°∴()1206060BDE BDC CDF αα∠=∠−∠=°−+°=°−，∴()6060BDF FDF BDF αα∠=∠−∠=°−°−=BDF FHG ∴∠=∠，∴BDF GHF △≌△，BFD GFH ∴∠=∠．令BFD β∠=，则GFH β∠=， ∴30FFG GFH FFH β∠=∠+∠=+°，180BFD FFG ∠+∠=°， ∴30180ββ++°=°，∴75β=°，75BFD ∴∠=°，在Rt DEF △中，30DFE ∠=°，∴22DF DE ==又 2BDCD AD ===， ∴BD DF =75DBF BFD ∴∠=∠=°，180757530BDF ∴∠=°−°−°=°，在Rt BDM 中，112BM BD == ∴1121122BDF S DF BM =×=××=△． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的两个锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，正确的作出辅助线是解题的关键．。
上海市闵行区2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试卷(解析版)
2022学年第一学期期中考试八年级数学试卷（考试时间：90分钟，满分100分）一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（）A.B. C.与3 D.【答案】B【解析】【分析】将各项先化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义逐项判断即可．【详解】A.，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；B.=，是同类二次根式，故该选项符合题意；C.33=-和3，不是同类二次根式，故该选项不符合题意；D.==故选：B ．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．2.的一个有理化因式是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解决此题．【详解】解：A m n =+，的一个有理化因式，故A 符合题意；B =+不是的一个有理化因式，故B 不符合题意；C =-的一个有理化因式，故C 不符合题意；D =，的一个有理化因式，故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查分母有理化，熟练掌握有理化的定义以及二次根式的乘除法则是解决本题的关键．3.下列选项中的数是一元二次方程28x x x +=-的根的是（）A.2- B.5 C.4- D.4【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法解出一元二次方程的解，再作出判断即可．【详解】解：28x x x +=-，移项得2280x x +-=，因式分解得(4)(2)0x x +-=，所以40x +=或20x -=，解得4x =-或2x =．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解题的关键．4.下列计算正确的是（）A.+=B.=C.4=D.2=-【答案】C【解析】【分析】分别根据二次根式的加法，乘法，除法法则以及利用平方差公式进行分母有理化逐一判断即可．【详解】解：A 、与B 、6742=⨯=，故本选项不合题意；C 4==，故本选项符合题意；D 2=，故本选项不合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及分母有理化，掌握相关运算法则是解答本题的关键．5.下列命题中，假命题的是（）A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行B.面积相等的两个三角形全等C.等腰三角形的顶角平分线垂直于底边D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角【答案】B【解析】【分析】分别利用平行线的判定、三角形全等的判定方法、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质逐一判断即可．【详解】A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故选项A 不合题意；B ．面积相等的两个三角形不一定全等，故选项B 是假命题，符合题意；C ．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，是真命题，故选项C 不合题意；D ．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，是真命题，故选项D 不合题意，故选：B【点睛】本题考查了命题的真假，熟练掌握已经学过的概念、性质、定理是解题的关键．6.已知a 、b 、c 是三角形三边的长，则关于x 的一元二次方程()220ax b c x a +-+=的实数根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根；C.没有实数根D.无法确定【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可知Δ0<，可知一元二次方程根的情况．【详解】解：[]222()44()()b c a b c a b c a ∆=--=-+--，∵a 、b 、c 是三角形三边的长，∴00b c a b c a -+>--<，，∴4()()0b c a b c a ∆=-+--<，∴原方程没有实数根，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）7.分母有理化：=____________．【答案】【解析】【即可分母有理化．255==．．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握分母有理化．8.=____________．【答案】3π-【解析】【分析】根据二次根式的性质解答．【详解】∵π>3，∴π−3>0；=π−3.【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质.9.设x x应满足的条件是____________．【答案】14 x≥【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵二次根式∴410x-≥，解得14x ≥，故答案为：14x ≥．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．10.比较大小：-．（填“>”“<”“=”）【答案】＞【解析】【分析】利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可求解．【详解】解：∵=，-==∴-即-故答案为：＞【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟记两个负实数比较大小的方法是解题的关键．11.已知2410ax x +-=是关于x 的一元二次方程，那么a 的取值范围为___________．【答案】0a ≠【解析】【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．【详解】解：因为2410ax x +-=是关于x 的一元二次方程，所以a 的取值范围为0a ≠．故答案为：0a ≠．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是20(0)ax bx c a ++=≠．特别要注意0a ≠的条件．12.不等式10->的解集是____________．【答案】66x <-【解析】【分析】直接按照解不等式的一般步骤求解即可．【详解】10->解：移项，得1>，不等式两边同除以66x <-，故答案为：6x <-【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的解题步骤是解题的关键．13.方程()87x x -=-的根是____________．【答案】17x =，21x =【解析】【分析】把原方程化为一般形式后利用因式分解法解方程即可．【详解】解：∵()87x x -=-，∴2870x x -+=，∴()()710x x --=，∴70x -=或10x -=，解得17x =，21x =，故答案为：17x =，21x =【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据所给方程的特点选择适当的是解题的关键．14.一种型号的电视，原来每台售价7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，如果每次降价的百分率相同，设每次降价百分率为x ，那么根据题意可列出方程：______．【答案】()2750014800x -=【解析】【分析】设每次降价百分率为x ，根据原来每台售价为7500元，经过两次降价后，现在每台售价为4800元，可列出方程．【详解】解：每次降价百分率为x ，()2750014800x -=．故答案为：()2750014800x -=．【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键．15.在实数范围内分解因式：231x x --=_________.【答案】(22x x --##()(22x x --【解析】【分析】求出方程2310x x --=中的判别式的值，求出方程的两个解，代入212()()ax bx c a x x x x ++=--即可．【详解】设2310x x --=，∵2(3)41(1)13∆=--⨯⨯-=，∴3132x ±=∴1 2x =，2 2x =，∴231()()22x x x x --=--．故答案为：3133+13(22x x ---．【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式和解一元二次方程，注意：若x 1和x 2是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则212()()ax bx c a x x x x ++=--．16.已知关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是3，则该方程的另一个根是___________．【答案】1-【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程230x mx +-=的一个根是3，∴该方程的另一个根是313-=-，故答案为：1-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若其两根为12x x ，则1212bc a x x x x a+=-=，．17.已知：如图，AC AD =，要使ACB ADB ≌，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．写出一个即可）【答案】BC BD =（答案不唯一）【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：这个条件可以是BC BD =，在ACB △和ADB 中，AC AD AB AB BC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(SSS)ACB ADB ≌△△，故答案为：BC BD =（答案不唯一）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．18.阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在Rt ABC △中，已知90C ∠=︒，3AC =，4BC =，由定理得222AC BC AB +=，代入数据计算求得5AB =．请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：已知：如图，90C ∠=︒，AB CD ∥，5AB =，11CD =，8AC =，点E 是BD 的中点，那么AE 的长为____________．【答案】5【解析】【分析】延长AE 交CD 于点F ，如图所示，只要证得()ASA ABE FDE ≌，根据全等三角形的性质可得AE EF =，5AB DF ==，然后在Rt ACF 中，利用勾股定理求得10AF ===，最后可得152AE EF AF ===．【详解】解：延长AE 交CD 于点F，如图所示，∵AB CD ∥，∴B D ∠=∠，∵点E 是BD 的中点，∴BE DE =，在ABE 和FDE V 中B D BE DE AEB DEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE FDE ≌，∴AE EF =，5AB DF ==，∵11CD =，∴1156CF DC DF =-=-=，又∵90C ∠=︒，8AC =，∴Rt ACF中，10AF ===，∴152AE EF AF ===，故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．三、简答题：（本大题共4题，满分32分）19.（1）计算：-+；（2（其中0x >）．【答案】（1）3-；（2）3y x 【解析】【分析】（1）利用二次根式的性质及二次根式的加减混合运算计算即可；（2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）-21224=-⨯+()2221122=---++3=-（2====3yx=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质及加减乘除混合运算的法则是解题的关键.20.（1）解方程：()()22131x x -=-；（2）用配方法解方程：23620x x +-=．【答案】（1）112x =-，21x =；（2）11513x =-+，21513x =--【解析】【分析】（1）把方程移项变形后，利用因式分解法解方程即可；（2）直接利用配方法解方程即可．【详解】解：（1）()()22131x x -=-解：移项，得()()202131x x -+-=因式分解得，()()2110x x +-=，∴210x +=或10x -=，解得112x =-，21x =；（2）23620x x +-=，解：方程两边同除以3，得22203x x +-=，移项，得2232x x +=，方程两边同加上一次项系数一半的平方，得221321x x +=++，即()2513x +=，∴1513x +=±，解得11513x =-+，21513x =--．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．21.已知：x =，求代数式221x x --的值．【答案】1【解析】【分析】先分母有理数求出1x =+，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．【详解】解：∵1x ==，∴221x x --2(1)11x =---211)2=--32=-1=．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化，能求出x 的值是解此题的关键．22.已知：a 、b 20b +=，求关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=的根．【答案】12113x x ==，【解析】、b 的值，然后解一元二次方程即可．20b +=020b ≥+=≥，，∴30202a b -=+=，，∴322a b ==-，，∴原一元二次方程即为2312022x x -+=，整理得：23410x x -+=，∴()()3110x x --=，解得12113x x ==．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，解一元二次方程，正确求出a 、b 的值是解题的关键．四、解答题：（本大题共2题，满分16分）23.如图，点D ，E 在ABC ∆的边BC 上，AD AE =，BD CE =，求证：B C ∠=∠.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用全等三角形的性质证明即可．【详解】证明∵AD AE =，∴ADE AED ∠=∠，∵180ADE ADB AED AEC ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADB AEC ∠=∠，在ABD ∆和ACE ∆中，AD AE ADB AEC BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ∆≅∆，∴B C ∠=∠.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24.某小区为了美化环境，准备在一块长50米，宽42米的长方形场地上修筑内外宽度相等且互相垂直的道路，余下的部分作为草坪（图中阴影部分），若草坪的面积是1920平方米，求道路的宽度．【答案】道路的宽度为2米【解析】【分析】设道路的宽度为x 米，根据平移的性质可知草坪的面积可以看作一个长为()50x -米，宽为()42x -米的长方形面积，据此列出方程求解即可．【详解】解：设道路的宽度为x 米，由题意得()()50421920x x --=，∴2921800x x -+=，解得2x =或90x =（不符合题意，舍去）∴道路的宽度为2米．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．五、综合题：（本大题共1题，满分10分）25.已知：如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，AD BC ⊥，垂足为点D ．（1）求证：AE AF =；（2）过点E 作EG D C ∥交AC 于点G ，过点F 作FH BC ⊥，垂足为点H ．①请判断AF 与CG 的数量关系，并说明理由；②当AE BE =时，设BF x =，试用含有x 的式子表示GC 的长．【答案】（1）见解析（2）①AF CG =，理由见解析；②12CG x =．【解析】【分析】（1）根据90AEF BED CBF ∠=∠=︒-∠，90AFB ABF ∠=︒-∠，得AFE AEF ∠=∠，从而AE AF =；（2）①由角平分线的性质知AF FH =，由（1）知AF AE =，则AE FH =，再利用AAS 证明AEG FHC ≌△△，得AG CF =，即可证明；②由等腰三角形的性质可得BAE ABE ∠=∠，可证AE EF AF BE ===，可得结论．【小问1详解】证明：∵BF 平分ABC ∠，∴ABF CBF ∠=∠，∵AD BC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∴90AEF BED CBF ∠=∠=︒-∠，∵90AFB ABF ∠=︒-∠，∴AFE AEF ∠=∠，∴AE AF =；【小问2详解】解：①AF CG =，理由如下：∵BF 平分ABC ∠，FA AB FH BC ⊥⊥，，∴AF FH =，由（1）知AF AE =，∴AE FH =，∵EG D C ∥，∴90AEG FHC ∠=∠=︒，AGE C ∠=∠，∴(AAS)AEG FHC ≌△△，∴AG CF =，∴AF CG =；②∵AE BE =，∴BAE ABE ∠=∠，∵90BAC ∠=︒，∴EAF EFA ∠=∠，∴AE EF =，∴AE EF AF BE ===，∴2BF AF =，∴12CG AF x ==．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，得到AEG FHC ≌△△是解题的关键．第16页/共16页。
2023-2024学年沪科新版八年级上册数学期中复习试卷(含解析)
2023-2024学年沪科新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．若m是任意实数，则点M（m2+2，﹣2）在第（ ）象限．A．一B．二C．三D．四2．一本笔记本5元，买x本共付y元，则常量和变量分别是（ ）A．常量：5；变量：x B．常量：5；变量：yC．常量：5；变量：x，y D．常量：x，y；变量：53．点P是平面直角坐标系中的一点，将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点P′的坐标是（﹣2，1），则点P的坐标是（ ）A．（1，5）B．（﹣1，﹣3）C．（﹣5，﹣3）D．（﹣1，5）4．对于一次函数y＝kx+b（k，b为常数），表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）x……﹣10123y……﹣214810……A．1B．4C．8D．105．三角形两边长2、3，则最短边x的取值范围是（ ）A．1＜x＜5B．2＜x＜3C．1＜x≤2D．3≤x＜56．如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝240°，则∠A等于（ ）A．45°B．60°C．75°D．80°7．下列语句中是命题的是（ ）A．作线段AB＝CD B．两直线平行C．对顶角相等D．连接AB8．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若S△ABC＝9，则S1﹣S2＝（ ）A．B．1C．D．29．如图所示，一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m ≠0）的图象相交于点M（1，2），下列判断错误的是（ ）A．关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1B．关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＞1C．当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大D．关于x，y的方程组的解是10．如图，已知直线AB分别交坐标轴于A（2，0）、B（0，﹣6）两点直线上任意一点P （x，y），设点P到x轴和y轴的距离分别是m和n，则m+n的最小值为（ ）A．2B．3C．5D．6二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．若实数x、y满足：y＝++，则xy＝ ．12．将点P（﹣3，2）向上平移4个单位，向左平移1个单位后得到点的坐标是（ ， ）．13．一次函数y＝2x+3和y＝x﹣的图象交于点A（ ， ），则方程组的解是 ．14．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，c2＝18，则a＝ ．三．解答题（共9小题，满分90分）15．如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3），B（﹣5，1），C（﹣2，0），P（a，b）是△ABC的边AC上任意一点，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，点P的对应点为P1（a+5，b﹣2）．（1）在平面直角坐标系内描出点A、B、C，并画出△ABC；（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标；（3）在图中画出△A1B1C1．16．如图，已知一次函数y＝x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．点C（﹣4，n）在该函数的图象上，连接OC．求点A，B的坐标和△OAC的面积．17．已知函数y＝（2﹣m）x+2n﹣3．求当m为何值时．（1）此函数为一次函数？（2）此函数为正比例函数？18．已知y﹣3与4x﹣2成正比例，且当x＝1时，y＝5（1）求y与x的函数关系式；（2）求当x＝﹣2时的函数值；（3）求该直线上到x轴距离为3的点的坐标．19．在同一平面直角坐标系内作出一次函数和的图象，直线与直线的交点坐标是多少？你能据此求出方程组的解吗？20．如图，已知点O是△ABC的两条角平分线的交点．（1）若∠A＝30°，则∠BOC的大小是 ；（2）若∠A＝60°，则∠BOC＝的大小是 ；（3）若∠A＝80°，则∠BOC的大小是 ；（4）若∠A＝n°，猜想∠BOC的大小，并用所学过的知识说明理由．21．如图，P为△ABC内一点，说明AB+AC＞PB+PC的理由．22．（1）如图（1）所示，在三角形ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠A＝40°，求∠BOC的度数；（2）如图（2）所示，∠A′B′C′和∠A′C′B′的邻补角的平分线相交于点O′，∠A′＝40°，求∠B′O′C′的度数；（3）由（1）（2）两题可知∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否还具有这样的关系？请说明理由．23．已知一次函数y1＝kx+2k﹣4的图象过一、三、四象限．（1）求k的取值范围；（2）对于一次函数y2＝ax﹣a+1（a≠0），若对任意实数x，y1＜y2都成立，求k的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．解：∵m2≥0，∴m2+2≥2，∴点M（m2+2，﹣2）在第四象限．故选：D．2．解：一本笔记本5元，买x本共付y元，则5是常量，x、y是变量．故选：C．3．解：设点P的坐标是（x，y），∵将点P向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，可得P的对应点坐标为（x ﹣3，y﹣4），∵得到点P′的坐标是（﹣2，1），∴x﹣3＝﹣2，y﹣4＝1，∴x＝1，y＝5，∴P的坐标是（1，5），故选：A．4．解：∵（﹣1，﹣2），（0，1），（1，4），（3，10）符合解析式y＝3x+1，当x＝2时，y＝7≠8∴这个计算有误的函数值是8，故选：C．5．解：∵三角形的两边长分别为2、3，且x是最短边，∴3﹣2＜x≤2，即1＜x≤2．故选：C．6．解：∵∠1+∠2＝240°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝120°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，故选：B．7．解：A、作线段AB＝CD，没有做出判断，不是命题；B、两直线平行，没有做出判断，不是命题；C、对顶角相等，是命题；D、连接AB，没有做出判断，不是命题；故选：C．8．解：∵BE＝CE，∴BE＝BC，∵S△ABC＝9，∴S△ABE＝S△ABC＝×9＝4.5．∵AD＝2BD，S△ABC＝9，∴S△BCD＝S△ABC＝×9＝3，∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+SS四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF，即S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝4.5﹣3＝1.5．故选：C．9．解：∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，k≠0）与正比例函数y＝mx（m是常数，m≠0）的图象相交于点M（1，2），∴关于x的方程mx＝kx+b的解是x＝1，选项A判断正确，不符合题意；关于x的不等式mx＜kx+b的解集是x＜1，选项B判断错误，符合题意；当x＜0时，函数y＝kx+b的值比函数y＝mx的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于x，y的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：B．10．解：设直线AB的解析式为：y＝kx+b将A（2，0）、B（0，﹣6）代入得：解得：∴直线AB的解析式为y＝3x﹣6∵P（x，y）是直线AB上任意一点∴m＝|3x﹣6|，n＝|x|∴m+n＝|3x﹣6|+|x|∴①当点P（x，y）满足x≥2时，m+n＝4x﹣6≥2；②当点P（x，y）满足0＜x＜2时，m+n＝6﹣2x，此时2＜m+n＜6；③当点P（x，y）满足x≤0时，m+n＝6﹣4x≥6；综上，m+n≥2∴m+n的最小值为2故选：A．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）11．解：由题意得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，解得，x＝4，则y＝，∴xy＝4×＝2，故答案为：2．12．解：P（﹣3，2）向上平移4个单位，向左平移1个单位后，∴﹣3﹣1＝﹣4，2+4＝6，∴得到点的坐标是（﹣4，6），故答案为：（﹣4，6）．13．解：如图，一次函数y＝2x+3和y＝x﹣的图象交于点A（﹣3，﹣3），则方程组的解是．故答案为﹣3，﹣3，．14．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣45°﹣90°＝45°＝∠A，∴△ABC为等腰直角三角形，∴a＝b．又∵a2+b2＝c2，即2a2＝18，解得：a1＝3，a2＝﹣3（不符合题意，舍去），∴a的值为3．故答案为：3．三．解答题（共9小题，满分90分）15．解：（1）如图所示，△ABC即为所求．（2）A1的坐标为（2，1），B1的坐标为（0，﹣1），C1的坐标为（3，﹣2）；（3）如图所示，△A1B1C1即为所求．16．解：在中，当y＝0时，，∴x＝6，∴点A的坐标为（6，0），∴OA＝6，当x＝0时，y＝﹣3，∴点B的坐标为（0，﹣3），把点C（﹣4，n）代入得，∴点C的坐标为（﹣4，﹣5），过点C作CD⊥x轴于点D，则CD＝5，∴．17．解：（1）由题意得，2﹣m≠0，解得m≠2；（2）由题意得，2﹣m≠0且2n﹣3＝0，解得m≠2且n＝．18．解：（1）设y﹣3＝k（4x﹣2），把x＝1，y＝5代入得5﹣3＝k（4×1﹣2），解得k＝1，所以y﹣3＝4x﹣2，所以y与x的函数关系式为y＝4x+1；（2）当x＝﹣2时，y＝4×（﹣2）+1＝﹣7；（3）当y＝3时，4x+1＝3，解得x＝；当y＝﹣3时，4x+1＝﹣3，解得x＝﹣1，所以直线y＝4x+1到x轴距离为3的点的坐标为（，3）或（﹣1，﹣3）．19．解：由图知：两函数图象的交点为（，﹣），所以待求方程组的解为．20．解：∠BOC＝∠A+90°．∵如图，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∵BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠BOC+∠ABC+∠ACB＝180°，又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BOC＝∠A+90°，∴若∠A＝n°，∠BOC＝n°+90°，由此可得问题（1），（2），（3），（4）的答案，故答案为：105°，120°，130°．21．证明：延长BP交AC于点D，在△ABD中，PB+PD＜AB+AD①在△PCD中，PC＜PD+CD②①+②得PB+PD+PC＜AB+AD+PD+CD，即PB+PC＜AB+AC，即：AB+AC＞PB+PC．22．解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°；∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．（2）∵∠A'＝40°，∠D'B'C'＝∠A'+∠A'C'B'，∠E'C'B'＝∠A'+∠A'B'C'，∴∠D'B'C'+∠E'C'B'＝∠A'+∠A'C'B'+∠A'+∠A'B'C'＝180°+40°＝220°；∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∴∠1+∠2＝（∠D'B'C'+∠E'C'B'）＝110°，∴∠B'O'C'＝180°﹣110°＝70°．（3）由（1）（2）两题可知∠BOC与∠B′O′C′的数量关系为，∠BOC+∠B'O'C'＝180°，当∠A＝∠A′＝n°时，∠BOC+∠B'O'C'＝180°，理由如下：由（1）知，∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2），∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB），∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+n°，由（1）知，∠B'O'C'＝180°﹣（∠1+∠2），∠1+∠2＝（∠D'B'C'+∠E'C'B'），∴∠B'O'C'＝180°﹣（∠D'B'C'+∠E'C'B'），又∵∠D'B'C'+∠E'C'B'＝∠A'+∠A'C'B'+∠A'+∠A'B'C'＝180°+∠A'，∴∠B'O'C'＝180°﹣（180°+∠A'）＝90°﹣∠A'＝90°﹣n°，∴∠BOC+∠B'O'C'＝90°+n°+90°﹣n°＝180°，∴当∠A＝∠A′＝n°时，∠BOC+∠B′O′C′＝180°．23．解：（1）由题意得，解得0＜k＜2，∴k的取值范围是0＜k＜2；（2）依题意，得k＝a，∴y2＝kx﹣k+1，∵对任意实数x，y1＜y2都成立，∴2k﹣4＜﹣k+1，解得k＜，∵0＜k＜2，∴k的取值范围是0＜k．。
2023-2024学年人教新版八年级上册数学期中复习试卷(含解析)
2023-2024学年人教新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．已知三角形的两边长分别为3、5，则三角形第三边的长可能是（ ）A．2B．4C．8D．102．三角形的三条高在（ ）A．三角形的内部B．三角形的外部C．三角形的边上D．三角形的内部、外部或与边重合3．如图，为了测量池塘东西两边A、B之间的宽度，小明同学先从A点向南走到点O处，再继续向南走相同的距离到达点C，然后从点C开始向西走到与O、B两点共线的点D 处，测量C、D间的距离就是A，B间的距离．这里判断△OCD≌△OAB的直接依据是（ ）A．SSS B．SSA C．SAS D．ASA4．如图，已知△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，∠D＝35°，则∠E＝（ ）A．35°B．45°C．55°D．无法计算5．已知△ABC≌△DCB，若BC＝10，AB＝6，AC＝7，则CD＝（ ）A．10B．7C．6D．6或76．如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，AB长为半径的弧分别交AC，BC 于点D，连接BD，ED，若∠CED＝105°，求∠ABC的度数为（ ）A．80B．70C．60D．507．△ABC中，∠A＝θ﹣α，∠B＝θ，∠C＝θ+α，0°＜α＜θ＜90°．若∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点，则∠APC＝（ ）A．90°B．105°C．120°D．150°8．根据下列条件能唯一画出△ABC的是（ ）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45°D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°9．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（ ）A．135°B．140°C．144°D．150°10．如图，E、F、G分别是正方形ABCD边AD、DC、AB的中点，BE交AF于H点，则下列结论：①BE＝AF；②GH＝GA；③CB＝CH；④AE＝2HE．其中结论正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BD 的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为 ．12．若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是 三角形．13．等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为12：9两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为 ．14．把正五边形和正六边形按如图所示方式放置，则∠α＝ ．15．一个长方形纸片ABCD，点E和F分别在AD和BC上，如图（1），∠DEF＝25°，沿EF折叠得到图（2），DE与BF交于点G，则∠CFG的度数是： ．16．如图，有两个长度相同的滑梯BC和EF，滑梯BC的高度AC等于滑梯EF在水平方向上的长度DF，则∠ABC+∠DFE＝ 度．17．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为48°，则∠BAC的度数为 ．18．AM为△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AM的取值范围是 ．三．解答题（共8小题，满分66分）19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且∠BCD＝∠ACB，∠CBE＝∠ABC．求证：BE＝CD．20．如图，在6×6的方格纸中，线段AB的两个端分别落在格点上，请按要求画图：（1）在图1中画一个格点四边形APBQ，且AB与PQ垂直．（2）在图2中画一个以AB为中位线的格点△DEF．21．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在射线CA上，且BD＝FD．（1）当点F在线段CA上时．①求证：BE＝CF；②若AC＝6，AF＝2，求CD的长；（2）若∠ADF＝15°，求∠BAC的度数．22．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB，AC分别相交于点M，N．若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．23．如图，正三角形网格中，已知两个小三角形被涂黑．（1）再将图1中其余小三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）；（2）再将图2中其余小三角形涂黑两个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形（画出两种不同的）．24．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠DAF＝20°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）求∠ACB的度数；（2）若BC的长为17，求△DAF的周长．25．如图，O，D两点在直线AB上，在AB的同侧作直角三角形DOE和射线OC，使∠DOE＝90°，∠BOC＝30°．（1）分别求∠BOC的余角和补角的度数；（2）将△DOE绕点O按每秒5°的速度逆时针方向旋转．①在旋转一周的过程中，第几秒时，直线OE恰好平分∠BOC，则此时直线OD是否平分∠AOC？请说明理由②在旋转一周的过程中，满足OE在∠AOC的内部，请探究此时∠AOD与∠COE之间的数量关系，请说明理由．26．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请写出DA、DB、DC之间的数量关系是 ，并写出证明过程；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为2cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的平方为多少？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：根据三角形的三边关系，得第三边大于：5﹣3＝2，而小于：3+5＝8．则此三角形的第三边可能是：4．故选：B．2．解：钝角三角形的三条高所在的直线的交点在三角形的外部；锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高的交点是三角形的直角顶点，故选：D．3．解：在△OCD与△OAB中，，∴△OCD≌△OAB（ASA），故选：D．4．解：∵△ABC≌△DEC，∠ACB＝100°，∴∠ACB＝∠DCE＝100°，∵∠D＝35°，∠E+∠DCE+∠D＝180°，∴∠E＝180°﹣∠DCE﹣∠D＝180°﹣100°﹣35°＝45°．故选：B．5．解：∵△ABC≌△DCB，AB＝6，∴CD＝AB＝6，故选：C．6．解：设∠ABC＝∠ACB＝x，∵BA＝BD＝BE，∴∠BED＝∠BDE＝180°﹣∠CED＝75°，∴∠DBE＝180°﹣2×75°＝30°，∴∠BAD＝∠BDA＝30°+x，∴180°﹣2x＝30°+x，∴x＝50，故选：D．7．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝θ﹣α，∠B＝θ，∠C＝θ+α，∴（θ﹣α）+θ+（θ+α）＝3θ＝180°，∴θ＝∠B＝60°，∵∠BAC与∠BCA的平分线相交于P点，∴（∠A+∠C）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠APC＝180°﹣（∠A+∠C）＝180°﹣60°＝120°，故选：C．8．解：A．3+4＜8，不符合三角形三边关系定理，不能作出三角形，故本选项不符合题意；B．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本选项不符合题意；C．符合全等三角形的判定定理SAS，能作出唯一的三角形，故本选项符合题意；D．不符合全等三角形的判定定理，不能作出唯一的三角形，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．故选：B．10．解：①正确；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，∠BAE＝∠D＝90°，∵E、F分别是正方形ABCD边AD、DC的中点，∴AE＝DA，DF＝CD，∴AE＝DF，在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴BE＝AF；②正确；理由如下：∵△ABE≌△DAF，∴∠ABE＝∠DAF，∵∠BAH+∠DAF＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，即BE⊥AF，∵G是AB的中点，∴GH＝AB＝GA；③正确；理由如下：∵F、G分别是正方形ABCD边DC、AB的中点，∴GA＝GB＝AB，CF＝CD，∴AG＝CF，又∵AG∥CF，∴四边形AGCF是平行四边形，∴AF∥GC，∵BE⊥AF，∴BE⊥GC，∵GH＝GA，∴GB＝GH，∴GC是BH的垂直平分线，∴CB＝CH；④不正确；理由如下：∵HE与CD不平行，∴HE≠DF，∴HE≠AE；正确的是①②③，故选：A．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）11．解：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝××60°＝15°，故答案为15°．12．解：若一个三角形三条高的交点在这个三角形的顶点上，则这个三角形是直角三角形．故答案为直角．13．解：设腰长为x，底边长为y，则，或解得：，或，经检验，都符合三角形的三边关系．等腰三角形的腰长为6或8．故答案为：6或8．14．解：∵正六边形的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，正五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∴∠A＝∠ACD＝120°，∠BCD＝108°．∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝120°﹣108°＝12°．∴α＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣120°﹣12°＝48°故答案为：48°15．解：∵AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝25°，∴∠DGF＝∠GEF+∠GFE＝∠DEF+∠BFE＝25°+25°＝50°．又∵DG∥CF，∴∠CFG＝180°﹣∠DGF＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．16．解：∵BC＝EF，AC＝DF，∠CAB＝∠EDF＝90°，∴△ABC≌△EDF．∴∠ACB＝∠DFE．∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ABC+∠DFE＝90°．故答案为：90．17．解：∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为48°，∴∠DAE＝90°﹣48°＝42°，如图1，AB的垂直平分线与AC相交时，∠BAC＝∠DAE＝42°，如图2，AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，∠BAC＝180°﹣∠DAE＝180°﹣42°＝138°，综上所述，∠BAC的度数为42°或138°．故答案为：42°或138°．18．解：如图，延长AM到E，使ME＝AM，∵AM是BC边上的中线，∴BM＝CM，在△ABM和△ECM中，，∴△ABM≌△ECM（SAS），∴CE＝AB，∵AB＝4，AC＝6，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AM＜5．故答案为：1＜AM＜5．三．解答题（共8小题，满分66分）19．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BCD＝∠ACB，∠CBE＝∠ABC，∴∠BCD＝∠CBE，∴∠ABE＝∠ACD，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（ASA），∴BE＝CD．20．解：（1）如图1中，四边形APBQ即为所求作（答案不唯一）．（2）如图，△DEF即为所求作（答案不唯一）．21．解：（1）①证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△FCD和Rt△BED中，，∴Rt△FCD≌Rt△BED（HL），∴BE＝CF；②在Rt△ADC和Rt△ADE中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），∴AE＝AC＝6，由①得BE＝CF＝AC﹣AF＝4，根据勾股定理，得BC＝＝8，设CD＝x，则BD＝FD＝BC﹣CD＝8﹣x，在Rt△FCD中，根据勾股定理，得42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，∴CD的长为3；（2）如图1，当点F在线段CA上时，设∠CAD＝α，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2α，∵Rt△FCD≌Rt△BED，∴∠B＝∠CFD＝∠CAD+∠ADF＝α+15°，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴2α+α+15°＝90°，解得α＝25°，∴∠BAC＝50°；如图2，当点F在CA延长线上时，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2α，∵Rt△FCD≌Rt△BED，∴∠B＝∠CFD＝∠CAD﹣∠ADF＝α﹣15°，∵∠C＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∴2α+α﹣15°＝90°，解得α＝35°，∴∠BAC＝70°；∴∠BAC的度数为50°或70°．22．解：∵MN//BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠MBO，∠ACO＝∠OCB，∴∠MOB＝∠MBO，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∵AB＝5，AC＝6，∴C△AMN＝AM+AN+MN＝AM+AN+MO+ON＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC＝5+6＝11，∴△AMN的周长为11．23．解：（1）如图1所示（答案不唯一）．（2）如图2所示（答案不唯一）．24．解：（1）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠B＝∠BAD＝30°，∠C＝∠CAF，∴∠B+∠BAD+∠DAF+∠CAF+∠C＝180°，∴∠ACB＝（180°﹣30°﹣30°﹣20°）＝50°；（2）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴AD＝BD，AF＝CF，∴△DAF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝17．25．解：（1）∵∠BOC＝30°，∴∠BOC的余角的度数是60°，补角的度数是150°；（2）①有两种情况：如图1，当OE在AB的下方时，∵OE恰好平分∠BOC，∠BOC＝30°，∴∠BOE＝15°，∴旋转角＝90°﹣15°＝75°，t＝75÷5＝15（秒），即在旋转一周的过程中，第15秒时，直线OE恰好平分∠BOC，∴∠AOD＝75°，∵∠AOC＝180°﹣30°＝150°，∴OD平分∠AOC；当OE在AB的上方时，同理得旋转角：75°+180°＝255°，t＝255÷5＝51（秒），即在旋转一周的过程中，第51秒时，直线OE恰好平分∠BOC，同理得直线OD平分∠AOC；综上，在旋转一周的过程中，第15秒或51秒时，直线OE恰好平分∠BOC，则此时直线OD平分∠AOC；②有两种情况：i）当OD在OA的下方时，有∠AOD+∠COE＝60°，理由是：如图2，OE在∠AOC的内部，∴∠AOD＝∠EOE'，∵∠BOE'＝90°，∴∠BOC+∠COE+∠EOE'＝90°，∴∠COE＝90°﹣30°﹣∠EOE'＝60°﹣∠AOD，∴∠AOD+∠COE＝60°．ii）当OD在OA的上方时，有∠COE﹣∠AOD＝60°，理由是：如图3，OE在∠AOC的内部，∴∠AOE＝90°﹣∠AOD∴∠COE＝180°﹣∠BOC﹣∠AOE＝180°﹣30°﹣（90°﹣∠AOD）＝60°+∠AOD，∴∠COE﹣∠AOD＝60°．26．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE＝60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案为：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN＝2，∠QMN＝30°，∴QN＝MN＝1，∴MQ＝＝＝，由（2）知PQ＝QN+QM＝1+，∴PQ＝＝，∴PQ2＝2+．。
江苏省常州市天宁区正衡中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市天宁区正衡中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）A．BC＝2，AC＝3，AB＝4B．BC＝2，AC＝3，AB＝3C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：53．（2分）据统计，2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人，数据1437000精确到万位，并用科学记数法可表示为（ ）A．144×104B．1.44×106C．1.44×104D．1.43×106 4．（2分）估计2+的值在（ ）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间5．（2分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）A．小亮、小明均正确B．只有小明正确C．只有小亮正确D．小亮、小明均不正确6．（2分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点7．（2分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．22023B．22024C．2023D．20248．（2分）如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC 边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）4的平方根是 ．10．（2分）已知点M（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点M到y轴的距离为 ．11．（2分）如图所示，两个三角形全等，则∠1的度数为 °．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长为 ．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD 的面积为 ．14．（2分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于 ．15．（2分）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝ ．16．（2分）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为10，小正方形面积为4，则（a+b）2的值为 ．17．（2分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，且BE ＝3．则△ABD的面积是 ．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．三、解答题19．（4分）计算：．20．（4分）求x的值：4（x﹣2）2＝16．21．（8分）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）若将点C向左平移6个单位到点D，则点D的坐标为 ；（3）在（2）的条件下，在x轴上存在点E，使得CE+DE最小，则点E的坐标为 ；（4）将点C绕着原点逆时针旋转90°到点F，则点F的坐标为 ．23．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．24．（10分）（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC 交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？25．（10分）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．（1）整数部分是 ，小数部分是 ；（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求7a+2b的立方根；（3）已知9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．26．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明：△ABC是等腰三角形；（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．2023-2024学年江苏省常州市天宁区正衡中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题2分，共16分）1．（2分）2023年9.23﹣10.8日，19届亚运会在杭州如火如荼地进行，运动健儿们摘金夺银，全国人民感受到一波强烈的民族自豪感．下列图案表示的运动项目标志中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：B．2．（2分）满足下列条件的△ABC是直角三角形的是（ ）A．BC＝2，AC＝3，AB＝4B．BC＝2，AC＝3，AB＝3C．BC：AC：AB＝3：4：5D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A．若BC＝2，AC＝3，AB＝4，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；B．若BC＝2，AC＝3，AB＝3，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；C．若BC：AC：AB＝3：4：5，则BC2+AC2＝AB2，故△ABC是直角三角形；D．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则∠C＝180°×＝75°＜90°，故△ABC不是直角三角形．故选：C．3．（2分）据统计，2020年国家公务员考试最终过审人数达1437000人，数据1437000精确到万位，并用科学记数法可表示为（ ）A．144×104B．1.44×106C．1.44×104D．1.43×106【解答】解：1437000≈1440000＝1.44×106．故选：B．4．（2分）估计2+的值在（ ）A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间【解答】解：∵2＜3，∴4＜2+＜5，故选：C．5．（2分）如图，小亮和小明分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（ ）A．小亮、小明均正确B．只有小明正确C．只有小亮正确D．小亮、小明均不正确【解答】解：如图，PE＝PF，EC＝FC，PC＝PC，∴△EPC≌△FPC（SSS），∴∠EPC＝∠FPC；∴小亮作图正确；由作图可知PE＝PF，∵C是线段PE，PF垂直平分线，∴PC＝CE＝CF，∴△EPC≌△FPC（SSS），∴∠EPC＝∠FPC，小明作图正确；故选：A．6．（2分）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点【解答】解：∵三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，∴为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的三边的垂直平分线的交点，故选：D．7．（2分）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）A．22023B．22024C．2023D．2024【解答】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积＝1∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2024，故选：D．8．（2分）如图所示，边长为2的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B、C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD＝DE＝DF．点D在BC 边上从B至C的运动过程中，△BED周长变化规律为（ ）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大【解答】解：∵AD＝DE＝DF，∴∠DAE＝∠DEA，∠DAF＝∠DFA，∵∠DAE+∠DAF＝∠BAC＝60°，∴∠DEA+∠DFA＝60°，∵∠ABC＝∠DEA+∠EDB＝60°，∴∠EDB＝∠DFA，∵∠ACB＝∠CFD+∠CDF＝60°，∴∠CDF＝∠BED，且∠EDB＝∠DFA，DE＝DF，∴△BDE≌△CFD（AAS），∴BD＝CF，BE＝CD，∴△BED周长＝BD+BE+DE＝BD+CD+AD＝BC+AD，∴点D在BC边上从B至C的运动过程中，∴AD的长先变小后变大，∴△BED周长先变小后变大，故选：D．二、填空题（每小题2分，共20分）9．（2分）4的平方根是 ±2 ．【解答】解：∵22＝4，（﹣2）2＝4，∴4的平方根为±2，故答案为：±2．10．（2分）已知点M（2a﹣1，a+2）在x轴上，则点M到y轴的距离为 5 ．【解答】解：∵点M（2a﹣1，a+2）在x轴上，∴a+2＝0，解得a＝﹣2，∴2a﹣1＝﹣2﹣1＝﹣5，∴点M到y轴的距离为|﹣5|＝5．故答案为：5．11．（2分）如图所示，两个三角形全等，则∠1的度数为 62 °．【解答】解：∵两个三角形全等，∴∠1＝62°，故答案为：62．12．（2分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长为 9 ．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠OBC，∠EOC＝∠OCB，∴∠ABO＝∠DOB，∠ACO＝∠EOC，∴DB＝DO，EO＝EC，∵AB＝5，AC＝4，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DO+OE+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝9，故答案为：9．13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝5，则△ABD 的面积为 5 ．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×5×2＝5．故答案为：5．14．（2分）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD＝6，DE＝5，则线段BD的长等于 8 ．【解答】解：∵BD⊥AC于D，点E为AB的中点，∴AB＝2DE＝2×5＝10，∴在Rt△ABD中，BD＝＝＝8．故答案为：8．15．（2分）如图，∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，则OD2＝ 7 ．【解答】解：∵∠OAB＝∠OBC＝∠OCD＝90°，AB＝BC＝CD＝1，OA＝2，∴OB2＝OA2+AB2＝22+12＝5；同理，OC2＝OB2+BC2＝5+1＝6，∴OD2＝OC2+CD2＝6+1＝7．故答案为：7．16．（2分）如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为10，小正方形面积为4，则（a+b）2的值为 16 ．【解答】解：设直角三角形的斜边为c，则c2＝a2+b2＝10，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝4，∴2ab＝10﹣4＝6，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10+6＝16，故答案为：16．17．（2分）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE，且BE ＝3．则△ABD的面积是 9 ．【解答】解：分别延长AC、BE交于点F，如图：∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠EAF，∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEF＝90°，在△ABE与△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（ASA），∴BE＝FE，∴BF＝2BE＝6，∵∠ACB＝∠AEB＝90°，∠ADC＝∠EDB，∴∠CAD＝∠CBF，在△ACD与△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴AD＝BF＝6，∴△ABD的面积＝•AD•BE＝×6×3＝9．故答案为：9．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为边，作△ACD，满足AD＝AC，点E为BC上一点，连接AE，∠BAE＝∠CAD，连接DE．下列结论中正确的是 ②③④ ．（填序号）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，则AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．【解答】解：如图，延长EB至G，使BE＝BG，设AC与DE交于点M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE，∴∠BAE＝∠GAE，∵∠BAE＝∠CAD，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC与△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正确的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，当∠BAE＝∠EAC时，∠AME＝∠ABE＝90°，则AC⊥DE，当∠BAE≠∠EAC时，∠AME≠∠ABE，则无法说明AC⊥DE，∴①是不正确的；设∠BAE＝x，则∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝×（180°﹣2x）＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正确的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正确的，故答案为：②③④．三、解答题19．（4分）计算：．【解答】解：原式＝3+6+2＝11．20．（4分）求x的值：4（x﹣2）2＝16．【解答】解：4（x﹣2）2＝16，则（x﹣2）2＝4，∴x﹣2＝±2，解得：x＝4或x＝0．21．（8分）如图，A，B，C，D是同一条直线上的点，AC＝BD，AE∥DF，∠1＝∠2．求证：BE＝CF．【解答】证明：∵AC＝AB+BC，BD＝BC+CD，AC＝BD，∴AB＝DC，∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE＝CF．22．（8分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．（1）在平面直角坐标系中画出△ABC；（2）若将点C向左平移6个单位到点D，则点D的坐标为 （﹣2，3） ；（3）在（2）的条件下，在x轴上存在点E，使得CE+DE最小，则点E的坐标为 （1，0） ；（4）将点C绕着原点逆时针旋转90°到点F，则点F的坐标为 （﹣3，4） ．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．（2）由题意得，点D的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．（3）如图，取点D关于x轴的对称点D'，连接D'C，交x轴于点E，连接DE，此时CE+DE最小，则点E的坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．（4）由旋转的性质，画出点F如图所示，∴点F的坐标为（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．23．（8分）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝5千米，CH＝4千米，HB＝3千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．【解答】解：（1）CH是为从村庄C到河边的最近路，理由如下：∵42+32＝52，∴CH2+BH2＝BC2，∴△BCH是直角三角形，且∠CHB＝90°，∴CH⊥AB，∴CH是从村庄C到河边的最近路；（2）设AC＝x千米，则AB＝x千米，∴AH＝AB﹣HB＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，即x2＝（x﹣3）2+42，解得：x＝，答：原来的路线AC的长为千米．24．（10分）（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC 交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？【解答】（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）∴AB＝AD，AE＝AC（等腰直角三角形定义）又∵∠BAD＝∠CAE＝90°（已知）∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAC，∴△ABE≌△ADC∴BE＝DC（全等三角形的对应边相等）∠ABE＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）又∵∠BFO＝∠DFA，∠ADF+∠DFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ABE+∠BFO＝90°（等量代换）∴∠BOF＝∠DAF＝90，即BE⊥DC．（2）解：结论：BE＝CD．理由：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∠BEA＝∠ACD，∴∠BOC＝∠ECO+∠OEC＝∠DCA+∠ACE+∠OEC＝∠BEA+∠ACE+∠OEC＝∠ACE+∠AEC＝60°+60°＝120°．∴∠BOD＝60°．25．（10分）大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用﹣1来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即2＜＜3，∴的整数部分为2，小数部分为﹣2．（1）整数部分是 6 ，小数部分是 ﹣6 ；（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b，求7a+2b的立方根；（3）已知9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【解答】解：（1）∵36＜37＜49，∴6＜＜7，即整数部分是6，小数部分是﹣6，故答案为：6；﹣6；（2）∵9＜11＜15＜16，∴3＜＜＜4，∴a＝3，b＝3，则7a+2b＝7×3+2×3＝27，那么7a+2b的立方根为3；（3）∵4＜5＜9，∴2＜＜3，∴11＜9+＜12，∵9+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y＝9+﹣11＝﹣2，那么x﹣y＝11﹣+2＝13﹣．26．（12分）如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD＝2：3：4．（1）试说明：△ABC是等腰三角形；（2）已知，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，直接写出t的值；若不能，请说明理由．【解答】（1）证明：设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝BD+AD＝5x，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝5x，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）解：①∵S△ABC＝×5x×4x＝90cm2，x＞0，∴x＝3cm，∴BD＝6cm，AD＝9cm，CD＝12cm，AC＝15cm．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，当MN∥BC时，∠ANM＝∠ACB，∠AMN＝∠B，若△DMN的边与BC平行，∴∠ANM＝∠AMN，∴AM＝AN，即15﹣t＝t，∴t＝7.5；当DN∥BC时，同理得：AD＝AN＝9cm，∴t＝9；综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为7.5或9；②△MDE能成为等腰三角形，理由如下：∵BD＝6cm，AD＝9cm，CD＝12cm，AC＝15cm，点E是边AC的中点，∴DE＝AE＝CE＝7.5cm，当点M在BD上，即0≤t＜6时，△MDE为钝角三角形，但DM≠DE，当t＝6时，点M运动到点D，不构成三角形，当点M在DA上，即6＜t≤15时，△MDE为等腰三角形，有3种可能．如果DE＝DM，则t﹣6＝7.5，∴t＝13.5；如果ED＝EM，则点M运动到点A，∴t＝15；如果MD＝ME＝t﹣6，如图，过点E作EF⊥AD于F，∵DE＝AE，EF⊥AD，∴AF＝DF＝4.5，在Rt△AEF中，EF2＝AE2﹣AF2＝7.52﹣4.52＝36，∴EF＝6（负值已舍去），∵BM＝t，BF＝BD+DF＝6+4.5＝10.5，∴MF＝t﹣10.5，在Rt△EMF中，EF2+MF2＝EM2，∴62+（t﹣10.5）2＝（t﹣6）2，∴t＝12.25，综上所述，符合要求的t值为13.5或15或12.25．。
洪山区2023-2024学年上学期期中八年级数学试题(解析版)
洪山区2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列与武汉有关的图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、B、C中的图形都不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；D中的图形是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．2．如图，△AEC≌△ADB，若∠A＝50°，∠ABD＝38°，则图中∠AEC的度数是（）A．88°B．92°C．95°D．102°【解答】解：在△ABD中，∠A＝50°，∠ABD＝38°，∴∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠92°，∵△AEC≌△ADB，∴∠AEC＝∠ADB＝92°，故选：B．3．已知一个三角形的两边分别为4cm，10cm，则它的第三边可能是（）A．6cm B．10cm C．14cm D．18cm【解答】解：设第三边的长为x cm，根据三角形的三边关系，得10﹣4＜x＜10+4，即6＜x＜14．故选：B．4．在三角形内到三角形三边距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点【解答】解：∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，∴O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选：C．5．一个多边形的每个外角都等于40°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．9条B．8条C．7条D．6条【解答】解：多边形的边数：360°÷40°＝9，从一个顶点出发可以引对角线的条数：9﹣3＝6（条），故选：D．6．下列命题中，不正确的是（）A．成轴对称的两个三角形一定全等B．等边三角形有3条对称轴C．角是轴对称图形D．等腰三角形一边上的高、中线及这边所对角的角平分线重合【解答】解：成轴对称的两个三角形一定全等，故A正确，不符合题意；等边三角形有3条对称轴，故B正确，不符合题意；角是轴对称图形，故C正确，不符合题意；等腰三角形底边上的高、中线及顶角的角平分线重合，故D错误，符合题意；故选：D．7如图，已知∠A＝60°，则∠D+∠E+∠F+∠G的度数为（）A．180°B．240°C．300°D．360°【解答】解：∵∠D+∠E＝∠ABD，∠ACG＝∠F+∠G，∴∠D+∠E+∠F+∠G＝∠ABD+∠ACG．∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∠ACG＝∠A+∠ABC，∴∠ABD+∠ACG＝∠A+∠ABC+∠ACB+∠A＝180°+∠A．∴∠D+∠E+∠F+∠G＝180°+∠A＝180°+60°＝240°．故选：B．8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：分三种情况讨论：①如图所示：过点B作CB⊥AB，使BC＝AB，过点C作CD⊥x轴于点D，∵∠AOB＝∠ABC＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBD＝90°，∴∠OAB＝∠CBD，∵A（3，0），B（1，0），O（0，0），∴OA＝3，OB＝1，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴OB＝CD＝1，OA＝BD＝3，∴OD＝1+3＝4，∴点C（4，1）；②如图所示：过点A作CA⊥AB，使AC＝AB，过点C作CE⊥y轴于点E，∴∠CEA＝∠BAC＝90°，∵A（3，0），B（1，0），O（0，0），∴OA＝3，OB＝1，∵∠AOB＝∠CEA＝90°，∴∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠CAE＝90°，∴∠ABO＝∠CAE，在△AOB和△BDC中，，∴△AOB≌△CEA（AAS），∴OB＝AE＝1，OA＝EC＝3，∴OE＝OA+AE＝3+1＝4，∴点C（3，4）；③如图所示：过点B作BC''⊥AC'，过点C''作C''M⊥OD，C''N⊥OA，∵A（3，0），B（1，0），O（0，0），∴OA＝3，OB＝1，∴AB＝，∵△ABC'是等腰直角三角形，∴BC'＝AB＝，∴AC'＝，∴C''是AC'的中点，∴BC''＝AC''＝，OM＝，BC''⊥AC'，C''M⊥OD，C''N⊥OA，∴∠C''MO＝∠C''NO＝∠AOB＝90°，∴四边形OMC''N是矩形，∴NC''＝OM＝2，∴AN＝，∴ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2，∴C''的坐标为（2，2），综上可知：满足条件的点C的个数为3，故选：C．9．如图，在△ABC纸片中，AB＝10，BC＝8，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，若∠C＝2∠BDE，则DE的长为（）A．B．C．D．2【解答】解：由折叠的性质可得：∠ABD＝∠CBD，BC＝BE＝8，∠C＝∠DEB，∠BDE＝∠BDC，CD＝DE，如图，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，则DN＝DM，∵AB＝10，：S△BCD＝10：8＝5：4，∴AE＝2，S△ADB∵∠BCD＝2∠BDE，∴∠EDC＝∠BED，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE＝2，：S△BCD＝5：4，∵S△ADB∴AD：CD＝5：4，∴CD＝＝DE．故选：C．10．如图，长方形ABCD中，对角线BD＝4，∠ABD＝60°，将长方形ABCD沿BD折叠，得△BED，点M是线段BD上一动点．当BM+EM+CM的值最小时，DM的长为（）A．1B．C．2D．3【解答】解：作EH⊥BC于点H，交BD于点I，作MF⊥BC于点F，则∠BHE＝∠BFM＝90°，∵四边形ABCD是矩形，BD＝4，∠ABD＝60°，∴∠BCD＝90°，CD∥AB，∴∠BDC＝∠ABD＝60°，∴∠CBD＝90°﹣∠BDC＝30°，∴CD＝BD＝2，BM＝2FM，由折叠得∠EBD＝∠CBD＝30°，∠BDE＝∠BDC＝60°，ED＝CD＝2，∴∠EBH＝∠EBD+∠CBD＝60°，∴∠BEH＝90°﹣∠EBH＝30°，∵∠BED＝∠BCD＝90°，∴∠DEH＝∠BED﹣∠BEH＝60°，∴∠EID＝∠IDE＝∠DEI＝60°，∴△DIE是等边三角形，∴DI＝ED＝2，∵BE＝BC＝＝＝2，∴BH＝BE＝，∴EH＝＝＝3，∵FM+EM≥EH，∴FM+EM≥3，∴2FM+2EM≥6，∵BM＝2FM，EM＝CM，∴BM+EM+CM＝2FM+2EM，∴BM+EM+CM≥6，∴当点M于点I重合时，BM+EM+CM取得最小值，最小值为6，∴DM＝DI＝2，故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．一个五边形的内角和是540°．180°×（5﹣2）＝540°，故答案为：540°．12．等腰三角形的顶角为38°，它的一个底角的度数为71°．【解答】解：∵等腰三角形的顶角为38°，∴等腰三角形的底角＝×（180°﹣38°）＝71°．故答案为：71°．13．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，△AEC的周长为10cm，AD＝3cm，则△ABC的周长为16cm．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，△AEC的周长为8cm，AD＝2cm，∴AE＝BE，AD＝BD＝AB，∵AD＝3cm，∴AB＝6cm，∴AB+AC+BC＝AB+（AC+AE+CE）＝6+10＝16cm．故答案为：16cm．14．如图，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝4，则AD的取值范围是2＜AD＜6．【解答】解：如图，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，在△ADC和△HDB中，，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH＝4，在△ABH中，AB﹣BH＜AH＜AB+BH，∴4＜2AD＜12，∴2＜AD＜6，故答案为：2＜AD6．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点M，N在底边BC上，若∠AMN＝75°，∠MAN＝45°，那么线段MN与CN之间的数量关系为MN＝2CN．【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，如图，将△ACN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，∴△ACN≌△ABH，∠HAN＝90°，∴BH＝CN，AN＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，∴∠HBM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠HAM＝∠MAN，在△AMN和△AMH中，，∴△AMN≌△AMH（SAS），∴MN＝MH，∠AMN＝∠AMH＝75°，∴∠BMH＝30°，∴HM＝2BH，∴MN＝2CN，故答案为：MN＝2CN．16．（3分）如图，△ABD与△ACE都是等边三角形，且AB≠AC，下列结论：①BE＝CD；②∠BOD＝60°；③∠BDO＝∠CEO；④若∠BAC＝90°，DA∥BC，则BC⊥EC．其中正确的是①②④（填序号）．【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ADB＝∠ABD＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝DC，∠ADC＝∠ABE，∵∠BOD＝180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE＝180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC＝120°﹣（∠ODB+∠ADC）＝120°﹣60°＝60°，∴∠BOD＝60°，∴①正确；②正确；∵△ABD与△AEC都是等边三角形，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，但根据已知不能推出∠ADC＝∠AEB，∴∠BDO＝∠CEO错误，∴③错误；∵DA∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝60°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵∠ACE＝60°，∴∠ECB＝90°，∴BC⊥CE，④正确，综上所述，①②④正确，故答案为：①②④．三、解答题（共8小题，共72分）17．（8分）在△ABC中，∠B＝2∠A，∠C＝∠B+40°．求△ABC的各内角度数．【解答】解：∵∠B＝2∠A＝∠B+40°，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+2∠A+40°＝180°，解得：∠A＝28°，∴∠B＝2∠A＝56°，∠C＝∠B+40°＝96°．18．（8分）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D．求证：BE＝CF．【解答】证明：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴BC＝EF，∴BE＝CF．19．（8分）如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，AE交BF于点O，∠BAC＝80°，∠C＝70°．（1）求∠AOB的大小；（2）若CD＝2，AD＝5，求△AEC的面积．【解答】（1）解：∵∠BAC＝80°，∠C＝70°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∵AE，BF是角平分线，∴∠BAO＝∠BAC＝40°，∠ABO＝∠ABC＝15°，∴∠AOB＝180°﹣15°﹣40°＝125°；（2）解：∵∠BAO＝40°，∠ABC＝30°，∴∠AEC＝30°+40°＝70°＝∠C，∵AD是高，∴ED＝DC＝2，∴EC＝2DC＝4，∴△AEC的面积＝．20．（8分）如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别是AC，BC，AB上的点，且AF＝BE，∠DFE＝∠A，连接DE，FG平分∠DFE交DE于G．（1）求证：AD＝BF；（2）若EG＝2，求EF的长度．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵∠DFB＝∠DFE+∠BFE＝∠ADF+∠A，∴∠BFE＝∠ADF，在△BFE和△ADF中，，∴△BFE≌△ADF（AAS），∴DA＝BF；（2）解：∵△BFE≌△ADF，∴FD＝FE，又∵∠DFE＝60°，∴△DFE为等边三角形，又∵GF平分∠DFE，∴∠FGE＝90°，∠EFG＝30°，∴EF＝2EG＝4．21．（8分）如图，在下列带有坐标系的网格中，△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，A（﹣3，3），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣1）．仅用无刻度的直尺，完成作图．（1）直接写出△ABC的面积为7；（2）已知点M为AC的中点，请作出点M关于y轴的对称点N，并写出点N的坐标（2，1）；（3）作△ABC的高AH；（4）在线段AC上作点P，使得∠CBP＝45°．【解答】解：（1）S△ABC＝3×5﹣＝7，故答案为：7；（2）如图所示，点N即为所求，N（2，1），故答案为：（2，1）；（3）如图所示，高AH即为所求；（4）如图所示，点P即为所求．22．（10分）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题．（1）如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得CA+CB有最小值，并说明作图依据：两点之间线段最短；（2）如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得PA+PB有最小值；（3）如图3，已知∠AOB＝30°，点Q在∠AOB内部，点M，N分别在射线OA，OB上，若OQ＝6，请求出△QMN周长的最小值．【解答】解：（1）连接AB，与直线l相交于一点C，则CA+CB有最小值．作图依据是两点之间线段最短．故答案为：两点之间线段最短；（2）如图，点P即为所求．（3）如图2，作法：（Ⅰ）作Q关于OA的对称点C，（Ⅱ）作点Q关于OB的对称点D，（Ⅲ）连接CD，分别交OA于点M，交OB于N，则△QMN的周长最小，连接OC、OD，∵点C和点Q关于OA对称，∴OC＝OQ＝6，∠MOC＝∠QOM，同理可得，OD＝OQ＝6，∠QON＝∠NOD，∴OC＝OD，∠MOC+∠QOM+∠QON+∠NOD＝2∠QOM+2∠QON＝2（∠QOM+∠QON）＝2∠AOB＝60°，∴△COD为等边三角形，∴CD＝6，∴△QMN的周长＝QM+MN+QN＝CM+MN+DN＝CD＝6．23．（10分）在等边△ABC中，AB＝4，点D和点E分别在边AB，BC上，以DE为边向右侧作等边△DEF，连接CF．（1）如图1，当点D和点A重合时，试求∠ACF的度数；（2）当点D是边AB的中点时，①如图2，判断线段FE与FC的数量关系并证明；②如图3，在点E从点B沿BC运动到点C的过程中，请直接写出点F的运动轨迹的长度．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC，△AEF都是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠EAF＝60°，AB＝AC，AE＝AF，即∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAF，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABC＝∠ACF＝60°；（2）①FE＝FC，证明：如图2中，连接CD，取BC的中点T，连接DT，FT，∵BD＝AD，BT＝CT，AB＝BC，∴BD＝BT，∵∠B＝60°，∴△BDT是等边三角形，∵△DEF是等边三角形，∴同（1）法可证，△BDE≌△TDF（SAS），∴BE＝FT，∠B＝∠DTF＝60°，∵∠BTD＝60°，∴∠FTC＝∠B＝60°，∵BD＝TC，∠B＝∠FTC，BE＝TF，∴△BDE≌△TCF（SAS），∴DE＝CF，∵EF＝DE，∴FE＝FC；②如图3中，连接CD，过A、D分别作AI⊥BC，DH⊥BC，其垂足分别为I、H，∵DF＝EF＝CF，∴点F在CD的垂直平分线上，∴当AF⊥FI时，AF的值最小，此时∠DAF＝90°，点F的运动轨迹即为FI的长度，∵△ABC为等边三角形，AI⊥BC，∴AI垂直平分BC，∴BI＝BC＝2，∴AI＝BI＝2，∵∠ADF+60°+∠BDE＝180°，∠BED+60°+∠BDE＝180°，∴∠ADF＝∠BED，在△ADF和H△DE中，，∴△ADF≌△HED（AAS），∴AF＝DH，∵DH⊥BC，BD＝AB＝2，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，∴DH＝BH＝，∴AF＝DH＝，在Rt△AFI中，根据勾股定理得：FI＝＝＝3，∴点F的运动轨迹的长度为3．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a）（a＞0），B（0，b）（b≤0），C（c，0）（c＜0），且（a﹣b）2＝c2．（1）试判断线段AB与OC的数量关系，并证明；（2）如图1，当b＝0时，连接AC，点P是线段AC上一点，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若∠AQP＝45°，试探究CQ和OQ之间数量关系；（3）如图2，当b＜0时，点D在x轴负半轴上，位于点C的左侧，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD 于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠CED的度数是否为定值？如果是，请求出∠CED的度数；如果不是，请说明理由．【解答】（1）解：AB＝OC，理由如下：∵（a﹣b）2＝c2，a＞0，b≤0，c＞0，∴a﹣b＝c，∴AB＝OC；（2）CQ＝2OQ，证明：过点A作AH⊥OP于点H，∵CQ⊥OP，∴∠CQO＝90°，∵∠AOB＝∠AHO＝90°，∴∠AOH+∠COQ＝90°，∠COQ+∠OCQ＝90°，∴∠AOH＝∠OCQ，∵OC＝AB，∴△COQ≌△OAH（AAS），∴AH＝OQ，CQ＝OH，∵∠AQP＝45°，∴∠HQA＝∠HAQ＝45°，∴AH＝HQ，∴OH＝2OQ，∴CQ＝2OQ；（3）∠CED＝135°，为定值．理由：将线段AD沿AB方向平移至DF，则AD∥BF，AB∥DF，且AB＝DF，∵CD＝OB，∠COB＝∠CDF＝90°，CO＝DF＝AB，∴△CDF≌△BOC（SAS），∴CF＝CB，∠DCF＝∠CBO，∵∠OCB+∠CBO＝90°，∴∠OCB+∠DCF＝90°，∴∠FCB＝90°，∴∠FBC＝45°，∵AD∥BF，∴∠AEC＝∠FBC＝45°，∴∠CED＝135°．。
2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省泰州市泰兴市八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．下列公众号的图案中，是轴对称图形的是（ ）A．泰兴发布B．智慧泰兴C．泰州发布D．泰州微视听2．已知正方形的面积为1，该正方形的下列几何量的数值中，是无理数的是（ ）A．边长B．周长C．面积D．对角线3．人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm，将数据0.000077精确到0.00001，并用科学记数法表示为（ ）A．8×10﹣5B．7×10﹣5C．8×10﹣4D．7×10﹣44．等腰三角形中，有一个内角为100°，则该等腰三角形的底角为（ ）A．50°B．40°C．50°或40°D．100°5．在平面内有A、B两点，以相同的单位长度建立不同的直角坐标系，若以点A为坐标原点，点B的坐标为（a，b）；若以点B为坐标原点，则点A的坐标为（ ）A．（b，a）B．（﹣a，﹣b）C．（﹣a，b）D．（a，﹣b）6．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AC上一点，将点B绕点D逆时针旋转60°得到点B′，连接BB′，则BB′的最小值为（ ）A．4B．4.5C．4.8D．5二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．23的算术平方根是 ．8．若一个等腰三角形的两边长分别为2、4，则其周长为 ．9．比较大小： 2．10．已知x，y为实数，且，则xy＝ ．11．点A（﹣1，﹣2）到原点的距离是 ．12．已知点P（a﹣1，a﹣3）在第四象限，则整数a的值为 ．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE＝2，AB＝8，BC＝6，则△ABC的面积为 ．14．如图，C、D、E在∠AOB的两边上，连接CD、DE，当OC＝CD＝DE，∠BDE＝α时，则∠CDE＝ （用含α的代数式表示）．15．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4），点C是线段AB 上一点，连接坐标原点O和点C，当时，则AC＝ ．16．如图，将长方形ABCD沿EF折叠得到两个全等的小长方形，AB＝12，BC＝10，点G 在AB上运动，当点A关于DG的对称点A′落在右侧长方形BCEF内部（含边界）时，则AG的长度m的取值范围为 ．三、解答题（本大题共10小题，共102分。
湖北武汉东湖高新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(解析版)
2023—2024学年度第一学期期中考试八年级数学试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑.1. 下列各式运算正确的是（ ）A. 3332b b b +=B. ()326ab ab =C. 1025a a a ÷=D. 4416x x x ⋅= 【答案】A【解析】【分析】本题考查了合并同类项，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘除法，解题的关键是利用相应的运算法则分别计算，即可判断．【详解】解：A 、3332b b b +=，故正确，符合题意；B 、()3236ab a b =，故错误，不合题意；C 、1028a a a ÷=，故错误，不合题意；D 、448x x x ⋅=，故错误，不合题意；故选：A ．2. ）A. 3，4，8B. 5，6，11C. 7，7，14D. 5，6，10【答案】D【解析】【分析】本题考查的是三角形的三边的关系，掌握“三角形的三边关系判断三条线段能否构成三角形”是解本题的关键. 本题判断三条线段能否构成三角形，只需要确定较短的两线段之和是否大于最长的线段即可，大于则能，小于则不能，根据原理逐一分析即可得到答案.【详解】解：348,+< 以3，4，8为边不能组成三角形，故A 不符合题意； 5611,+= 以5，6，11为边不能组成三角形，故B 不符合题意；7714, += 以7，7，14为边不能组成三角形，故C 不符合题意；6511, +> 以5，6，10为边能组成三角形，故D 符合题意；故选D .3. 下列图形具有稳定性的是（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解决问题的关键．分析出本题中的三角形结构即可得到答案.【详解】解：具有稳定性的图形是三角形构成的，∴A ，C ，D 中的图形都不具有稳定性，B 中的图形具有稳定性；故选：B ．4. 如图，AB CD ∥，40A ∠=°，45D ∠=°，则DOA ∠的度数为（ ）A. 45°B. 40°C. 85°D. 90°【答案】C【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，本题先证明45B D ∠=∠=°，再利用三角形的外角的性质可得答案.【详解】解：∵AB CD ∥，45D ∠=°，∴45B D ∠=∠=°，∵40A ∠=°，∴85DOA B A ∠=∠+∠=°，故选C5. 若一个多边形的内角和是其外角和的两倍，则它的边数是( )A. 四B. 五C. 六D. 七【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据内角和是其外角和的两倍列方程求解即可.【详解】解：设这个多边形边数为n ，根据题意，得（n-2）•180=720，解得：n=6．故这个多边形的边数为6.故选C.【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和定理和外角和定理的有关知识，任何多边形的外角和是360°， n 边形的内角和是（n-2）•180°.6. 如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB DE =，B DEF ∠=∠，要使得ABC DEF ≌△△，不能添加的条件是（ ）A. A D ∠=∠B. AC DF =C. BE CF =D. AC DF ∥【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件AB DE =，B DEF ∠=∠，再逐一分析添加的条件结合ASA ，SAS ，AAS 可得答案.详解】解：∵AB DE =，B DEF ∠=∠，∴补充A D ∠=∠，可利用ASA 证明ABC DEF ≌△△，故A 不符合题意；补充AC DF =，不能证明ABC DEF ≌△△，故B 符合题意；补充BE CF =，∴BC EF =，可利用SAS 证明ABC DEF ≌△△，故C 不符合题意；补充AC DF ∥，的【∴ACB F ∠=∠，可利用AAS 证明ABC DEF ≌△△，故D 不符合题意；故选B7. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心，要使这个游客中心到三条公路的距离相等，游客中心可以选择的位置有（ ）种A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】D【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的应用，三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个．【详解】解：∵ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE AB ⊥于E ，PD BC ⊥于D ，PF AC ⊥于F ，∴PE PF =，PF PD =，∴PE PF PD ==，∴点P 到ABC 三边的距离相等，∴ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；综上，到三条公路的距离相等的点共有4个，∴可供选择的地址有4处．故选：D ．8. 下列结论正确的是（ ）A. 三角形的三条高线交于一点，且这一点一定在三角形内部的B. 如果两个三角形有两条边和其中一边中线分别相等，那么这两个三角形全等C. 有两边及一角对应相等的两个三角形全等D. ()011a +=【答案】B【解析】【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的判定与性质，零次幂的含义；根据钝角三角形，直角三角形与锐角三角形的高线的特点可判断A ，根据全等三角形的判定与性质可判断B ，C ，根据零次幂的含义可判断D ，从而可得答案.【详解】解：三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不一定在三角形内部，故A 不符合题意； 如果两个三角形有两条边和其中一边中线分别相等，那么这两个三角形全等，如图，AB EH =，BC HG =，中线AD =中线EF ，∴BD HF =，∴()SSS ABD EHF ≌，∴B H ∠=∠，∴()SAS ABC EHG ≌；故B 符合题意；有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，故C 不符合题意；当1a ≠−时，()011a +=，故D 不符合题意；故选B9. 如图，有正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类若干张，如果用A 、B 、C 三类卡片拼成一个边长为()34a b +的正方形，则需要C 类卡片（ ）张A. 9B. 24C. 16D. 7【答案】B【解析】【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键．本题由正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和可得答案．【详解】解：边长为()34a b +的正方形的面积为()2223449216a b a ab b +=++， A 图形面积为2a ，B 图形面积为2b ，C 图形面积为ab ，则可知需要A 类卡片9张，B 类卡片16张，C 类卡片24张．故选B ．10. 如图，平面直角坐标系中，直线EA x ⊥轴于点A ，()100,0A ，B 、C 分别为线段OA 和射线AE 上的一点，若点B 从点A 出发向点O 运动，同时点C 从点A 出发沿射线AE 方向运动，点B 和点C 速度之比为2:3，运动到某时刻t 秒同时停止，且点D 在y 轴正半轴上，若OBD 与ABC 全等，则点D 的坐标为（ ）A. ()0,20或()0,40B. ()0,20或()0,75C. ()0,40或()0,75D. ()0,25或()0,40【答案】C【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，动态问题中清晰的分类讨论是解本题的关键；本题分两种情况讨论：当ABC ODB ≌△△时，当ABC OBD ≌时，再利用全等三角形的性质建立方程求解即可．【详解】解：依题意，∵()100,0A ，∴100OA =，∵90CAB BOD ∠=∠=°，使OBD 与ABC 全等，分两种情况，当ABC ODB ≌△△时，点B 和点C 速度之比为2:3，∴2,3ODAB t OB AC t ====， ∴100OB AB +=即23100t t +=，解得：20t =，∴240OD t ==，当ABC OBD ≌时，∴3,2ODAC t OB AB t ====， ∴100OB AB +=即22100t t +=，解得：25t =，∴375OD t ==，综上所述，D ()0,40或()0,75．故选C ．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置.11. （1）82x x ÷=______，（2）()352a a b −=______，（3）a b c a −+=−（______）.【答案】 ①. 6x ②. 2156a ab ③. b c −##c b −+【解析】【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，单项式乘以多项式，添括号的应用，熟记运算法则是解本题的关键. （1）根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得答案；（2）利用单项式乘以多项式的运算法则可得答案；（3）根据添括号的法则，括号前面是负号，放到括号里的各项都要改变符号可得答案.【详解】解：（1）826x x x ÷=，（2）()2352156a a b a ab −=−， （3）()a b c a b c −+=−−；故答案为：（1）6x ；（2）2156a ab ；（3）b c − 12. 已知24m =，216n =，m 、n 为正整数，则2m n +=______.【答案】64【解析】【分析】本题考查是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记m n m n a a a +=⋅是解本题的关键；由幂的运算可的得222m n m n +=⋅，再整体代入计算即可答案.【详解】解：∵24m =，216n =，22241664m n m n +=⋅=×=，故答案为：6413. 如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，5EAD ∠=°，70C ∠=°，则B ∠=______.【答案】60°##60度【解析】【分析】本题考查的是三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，本题先求解20CAD ∠=°，再求解CAE ∠，再求解BAC ∠，最后结合三角形的内角和定理可得答案.【详解】解：∵在ABC 中，AD 是高，70C ∠=°90ADC ∴∠=°，20CAD ∠=°，∵5EAD ∠=°，25CAE ∴∠=°，AE 平分,BAC ∠250BAC CAE ∴∠=∠=°，18060B BAC C ∴∠=°−∠−∠=°；故答案为：60°．14. 如图，三角形纸片中，10cm AB =，8cm AC ，过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为AD ，若BDE △的周长为8cm ，则BC =______.cm【答案】6【解析】【分析】本题考查的是翻折变换的知识，掌握翻折变换的性质“折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”、找准对应关系是解题的关键．根据翻折的性质得出,AE AC CD DE ==，进而利用三角形的周长解答即可． 【详解】由翻折可得：8,,AEAC CD DE === BDE △的周长8DB DE BE =++=，1082,BE AB AE BD DE BD CD =−=−=+=+ ,BC =∴28BC +=，∴6BC =．故答案为：6．15. 如图，在ABC 中，BAC ∠和ABC ∠的平分线AE BF 、相交于点O ，过点O 作OD BC ⊥于点D ，则下列结论：①1902AOB C ∠=°+∠；②::ABE ACE S S AB AC =△△；③若OD a =，2AB BC CA b ++=，则12ABC S ab =△；④当60C ∠=°时，AF BE AB +=，其中正确的序号是______.【答案】①②④【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解AOB ∠和C ∠的关系，进而判定①；作EM AB ⊥，EN AC ⊥，根据角平分线的性质求得EM EN =，利用三角形的面积公式即可判断②；根据作OH AC ⊥于H ，OM AB ⊥于M ，根据题意得OH OM OD a ===，根据2AB BC CA b ++=，利用三角形面积即可判断③；60C ∠=°得120BAC BCA ∠+∠=°，根据角平分线和三角形内角和定理得60BOE ∠=°，在AB 上取一点H ，使BH BE =，利用SAS 证明E HBO BO ≌△△可得60AOH AOF ∠=∠=°，利用ASA 可证明HAO FAO △≌△得AF AH =，进而可判定④．【详解】解：∵BAC ∠和ABC ∠的平分线AE ，BF 相交于点O ， ∴12OBA CBA ∠=∠，12OAB CAB ∠=∠，∴180AOB OBA OAB ∠=°−∠−∠1118022CBA CAB =°−∠−∠ ()11801802C =°−°−∠ 1902C =°+∠，故①正确； 作EM AB ⊥，EN AC ⊥，∵AE 平分BAC ∠， ∴EM EN =， ∵1212ABEACE S AB S ACAB EM AC EN ×=×=△△，即::ABE ACE S S AB AC =△△；故②正确； 如图所示，作OH AC ⊥于H ，OM AB ⊥于M ，∵BAC ∠和ABC ∠的平分线相交于点O ， ∴点O 在C ∠的平分线上， ∴OH OM OD a ===， ∵2AB BC CA b ++=， ∴111222ABC S AB OM AC OH BC OD =⋅+⋅+⋅△ ()12AB AC BC a =++ ab =，故③错误； ∵60C ∠=°，∴120BAC CBA ∠+∠=°，∵AE ，BF 分别是BAC ∠和ABC ∠的平分线， ∴()1602OAB OBABAC ABC ∠+∠=∠+∠=°， ∴120AOB ∠=°， ∴60AOF ∠=°，∴60BOE ∠=°，如图所示，在AB 上取一点H ，使BH BE =，∵BF 是ABC ∠的角平分线，∴HBO EBO ∠=∠，在△HBO 和EBO 中，BH BEHBO EBO BO BO= ∠=∠ = ，∴()SAS E HBO BO ≌△△，∴60BOH BOE ∠=∠=°，∴60AOH ∠=°，∴60AOH AOF ∠=∠=°，在HAO 和FAO 中，HAO FAOAO AO AOH AOF∠=∠ = ∠=∠ ，∴()ASA HAO FAO △≌△，∴AF AH =，∴++AB BH AH BE AF ==，故④正确；综上，①②④正确，故答案为：①②④．16. 如图，在ABC 中，E 为AC 的中点，AD 平分∠BAC ，BA ：CA ＝2：3，AD 与BE 相交于点O ，若OAE △的面积比BOD 的面积大1，则ABC 的面积是__【答案】10【解析】【分析】作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，证明23ABD ADC S AB S AC == ，设ABC 的面积为S ，则35= ADC S S ，12BEC S S = ，结合OAE △的面积比BOD 的面积大1，可得ADC △的面积比BEC 的面积大1，再列方程求解即可得到答案．【详解】解：作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AB 于N ，∵AD 平分∠BAC ，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，∴DM ＝DN ， ∴122132ABD ADC AB DN S BD AB S DC AC AC DM ==== ， 设ABC 的面积为S ，则35= ADC S S ， E 为AC 的中点，12BEC S S ∴= ， ∵OAE △的面积比BOD 的面积大1，∴ADC △的面积比BEC 的面积大1， ∴35S 12−S ＝1， 6510S S ∴−=,∴S ＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是角平分线的性质定理，以及利用方程思想解决三角形的面积问题，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形.17. 计算（1）()()4235242a a a a ⋅++− （2）1123x x +− 【答案】（1）86a（2）21166x x +− 【解析】【分析】本题考查了幂的运算，以及多项式与多形式的乘法运算．（1）先根据幂的运算法则计算，再合并同类项；（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可．【小问1详解】 ()()4235242a a a a ⋅++−8884a a a =++86a =【小问2详解】1123x x +− 2111326x x x =−+− 21166x x =+− 18. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD 是一个筝形，AD CD =，AB CB =，对角线AC 交BD 与点O .（1）请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；（2）求证：AC BD ⊥.【答案】（1）ABD CBD ≌△△（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.（1）直接利用SSS 证明ABD CBD ≌△△即可；（2）由ABD CBD ≌△△可得ADB CDB ∠=∠，再结合等腰三角形的性质可得结论.【小问1详解】解：ABD CBD ≌△△，理由如下：在ABD △和CBD △中，AD CD AB CB BD BD = = =，()SSS ABD CBD ∴ ≌；【小问2详解】∵ABD CBD ≌△△，∴ADB CDB ∠=∠，∵DA DC =，∴AD AC ⊥.19. （1）先化简，再求值2(2)(2)(2)4m n m n n m n +++−÷ ，其中2m =−，1n =.（2）已知249y my −+是完全平方式，则m 的值为______.（直接写出结果）【答案】（1）2n m +；0；（2）12± 【解析】【分析】本题考查的是乘法公式的应用，多项式除以单项式，化简求值，完全平方式的理解；（1）先计算括号内的整式的乘法，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再代入求值即可； （2）根据完全平方式222a ab b ±+的特点，结合249y my −+，从而可得答案.【详解】解：（1）2(2)(2)(2)4m n m n n m n +++−÷ ()22224444m mn n n m n =+++−÷()2844n mn n =+÷2n m =+，当2m =−，1n =时，原式2120=×−=；（2）∵249y my −+是完全平方式，∴()22249234129y my y y y =±=±−++，∴m 的值为12±.20. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90C ∠=°，点E 为BC 的中点，DE 平分CDA ∠.（1）求证：AD AB CD =+；（2）若3CDE S =△，4ABE S =△，则四边形ABCD 的面积为______.（直接写出结果）【答案】（1）见解析 （2）14【解析】【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．（1）过点E 作EF AD ⊥于F ，根据角平分线的性质得出CE EF =，再证明 ≌ABE AFE ，CED FED ≌，根据全等三角形的性质得出AB AF =，DC DF =，进而得出结论；（2）由 ≌ABE AFE ，CED FED ≌，推出CED FED S S = ，ABE AFE S S = ，据此求解即可．【小问1详解】证明：如图，过点E 作EF AD ⊥于F ，∵90C ∠=°，AB CD ∥，∴90B ∠=︒，∵DE 平分CDA ∠，∴CE EF =，∴()Rt Rt HL CED FED ≌△△，∴DC DF =，∵E 是BC 的中点，∴BE CE =，∴BE EF =，∵AE AE =，∴()Rt Rt HL ABE AFE ≌，∴AD AF FD AB CD =+=+；【小问2详解】解：∵CED FED ≌， ≌ABE AFE ，∴CED FED S S = ，ABE AFE S S = ，∵3CDE S =△，4ABE S =△，∴四边形ABCD 的面积为()()224314CDE ABE S S +=×+=△△， 故答案为：14．21. 如图，是由小正方形组成的1010×网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点A 、B 、C 、D 都是格点，直线BD 与AC 交于点E ，仅用无刻度直尺，在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．图1 图2（1）在图1中，画出ABE 的中线EF 和角平分线AG ；（2）如图2，连接AD ．①ABD △是______三角形；②在图2中的线段AD 上画点P ，使BP AE =．【答案】21. 画图见解析22. ①等腰直角；②画图见解析【解析】【分析】（1）如图，取格点N ，M ，连接NM ，交AB 于F ，连接EF ，则EF 为ABE 的中线，连接BC ，取格点K ，连接AK ，交BE 于G ，由全等三角形的性质可得AB AC =，利用等腰三角形的性质可得AG 为ABE 的角平分线；（2）①利用勾股定理分别求解2AD ，2BD ，2AB ，再结合勾股定理的逆定理可得结论；②如图，取格点Q ，S ，T ，连接AD ，BT 交于点P ，由BST CQA ≌可得BTS CAQ ∠=∠，可得BT AC ⊥，结合三角形的内角和定理可得DAE DBP ∠=∠，结合AD BD =，90BDP ADE ∠=∠=°，可得BDP ADE ≌，可得BP AE =．【小问1详解】解：如图，EF ，AG 即为所求；【小问2详解】①连接AD ，由勾股定理可得：22223534AD BD =+==，2222868AB =+=，∴AD BD =，222AD BD AB +=，∴ADB 为等腰直角三角形，90ADB ∠=°；②如图，点P 即为所求；【点睛】本题考查的是利用网格特点作图，三角形的中线，角平分线的含义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，属于复杂作图，掌握基本图形的性质与判定是解本题的关键．22. 材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式.（1）用不同代数式表示图1中的阴影部分的面积，可得等式为____________.材料二：已知4a b −=−，3ab =，求22a b +的值. 解：∵4a b −=−，3ab =，∴2222()2(4)2322a b a b ab +=−+=−+×=. 请你根据上述信息解答下面问题：（2）①已知1a b −=−，12ab =，求22a b +的值；②已知()()2023202412x x −−=，求()()2220232024x x −+−的值； ③如图2，在长方形ABCD 中，8AB =，6BC =，点E 、F 是BC 、CD 上的点，且BEDF x ==，分别以CF 、CE 为边在长方形ABCD 外侧作正方形CFGH 和CEMN ，若长方形CEPF 的面积为35，则图中阴影部分的面积和为______.【答案】（1）()2222a b a ab b −=−+（2）①25；②()()222023202425x x −+−=；③74【解析】【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题关键是掌握完全平方式的变形． （1）由正方形的面积可表示为：()2a b −或222a ab b −+，从而利用等面积法可得答案； （2）①把1a b −=−，12ab =代入()2222a b a b ab +=−+，从而可得答案；②设2023x a −=，2024x b −=，则12ab =，1a b −=−，代入()2222a b a b ab +=−+，从而可得答案；③根据已知条件表示出CF 和CE ，然后表示出阴影部分面积，结合完全平方公式变形计算即可．【小问1详解】解：由题意可得：()2222a b a ab b −=−+；【小问2详解】①∵1a b −=−，12ab =，∴()()22222121225a b ab a b =−+=−+=+×； ②设2023x a −=，2024x b −=，则12ab =，1a b −=−，∴()()22222121225a b ab a b =−+=−+=+×， ∴()()222023202425x x −+−=；③∵8AB =，6BC =，BE DF x ==， ∴8,6CF x CE x =−=−， ∴2CF CE −=，∵长方形CEPF 的面积为35，∴35CE CF ⋅=，∴CFGH CEMN S S S =+阴影正方形正方形22CE CF +()22CF CE CE CF =−+⋅22235+× 470=+74=.23. 我们定义：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα°<<°得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B C ′′，当180αβ+°时，我们称AB C ′′△是ABC 的“旋补三角形”，AB C ′′△边B C ′′上的中线AD 叫做ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．图1 图2 图3【阅读材料】（1）如图2，在ABC 中，若8AB =，4BC =．求AC 边上的中线BD 的取值范围．是这样思考的：延长BD 至E ．使DE BD =，连结CE ，利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围，则中线BD 的取值范围是______；【问题探索】（2）如图1，AB C ′′△是ABC 的“旋补三角形”，AD 是ABC 的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中AD 与BC 的数量关系，并给予证明；【拓展运用】（3）如图3，当90αβ==°时，AB C ′′△是ABC 的“旋补三角形”，AE BC ⊥，垂足为点E ，AE 的反向延长线交B C ′′于点D ，若10AB =，6AC =，试求解AD 的取值范围．【答案】（1）26BD <<，（2）2BC AD =；（3）28AD << 【解析】【分析】（1）先证明ADB CDE △△≌可得AB CE =，再结合三角形的三边关系可得答案；（2）延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ′，证明()SAS B DA CDE ′≌ ，可得AB CE ′=，B AD E ′∠=∠，求出BAC AC E ′∠=∠，再证()SAS ABC C EA ′≌ ，根据全等三角形的性质可得结论； （3）作C H AD ′⊥于H ，作B F AD ′⊥交AD 延长线于F ，求出B B AF ′∠=∠，证明()AAS ABE B AF ′≌ ，可得=B F AE ′，同理证明()AAS ACE C AH ′≌ ，可得=AE C H ′，求出=B F C H ′′，可证()AAS B DF C DH ′′≌ ，根据全等三角形的性质可得B D C D ′=′，然后可得AD 是ABC 的“旋补中线”，从而可得范围．【详解】解：（1）∵BD ∴AD CD =，∵BD DE =，ADB CDE ∠=∠，∴ADB CDE △△≌，∴AB CE =，而8AB =，∴8AB CE ==，4BC =，2BE BD =，由三角形三边关系可得：CE BC BE CE BC −<<+，即12BD 4<2<，∴26BD <<，（2）2BC AD =；理由如下：如图1，延长AD 至点E 使AD DE =，连接C E ′，∵AD 是ABC 的“旋补中线”，∴AD 是AB C ′′△的中线，即B D CD ′=，又∵B DA C DE ′′∠=∠，∴()SAS B DA C DE ′′ ≌，∴AB C E ′′=，B AD E ′∠=∠，∵AB AB ′=，∴AB C E ′=，∵AD 是ABC 的“旋补中线”，∴180BAC B AC BAC B AD EAC ′′′∠+∠=∠+∠+∠=°，∵180AC E E EAC ′∠+∠+∠=°，B AD E ′∠=∠，∴BAC AC E ′∠=∠，∵AC AC ′=，BAC AC E ′∠=∠AB C E ′=∴()SAS ABC C EA ′≌ ，∴2BC AE AD ==．（3）如图，作C H AD ′⊥于H ，作B F AD ′⊥交AD 延长线于F ，∵AE BC ⊥，∴90F BEA ∠=∠=°，∴90BAE B ∠+∠=°，∵90αβ==°，即90BAB CAC ′′∠=∠=°，∴90BAE B AF ′∠+∠=°，∴B B AF ′∠=∠，又∵′=BA AB ，∴()AAS ABE B AF ′≌ ，∴=B F AE ′，又∵90AEC C HA ′∠=∠=°，90CAC ′∠=°， ∴90CAE C ∠+∠=°，90CAE C AH ′∠+∠=°，∴C C AH ′∠=∠，∵CA AC ′=，∴()AAS ACE C AH ′≌ ，∴=AE C H ′，∴=B F C H ′′，∵90F C HD ′∠=∠=°，B DF C DH ′′∠=∠， ∴()AAS B DF C DH ′′≌ ，∴B D C D ′=′，∴AD 是AB C ′′△的中线，∵10AB AB ′==，6AC AC ′==，结合（1）的结论可得：()()1110610622AD −<<+，即28AD <<． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，旋转的性质，三角形的中线的含义与取值范围的确定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．24. 如图，点(),0A a ，()0,B b ，满足()220a b b −+−=．图1 图2（1）直接写出AOB 的面积为______．（2）如图1，点C 在线段AB 上（不与A 、B 重合）移动，AB BD ⊥，且CD AC BD =+，求COD ∠的度数．（3）如图2，()2,2F ，点E 是x 轴上一动点（点E 在点A 的左边且不与点O 重合），在y 轴正半轴上取一点K ，连接EK ，FK ，FE ，使45EFK ∠=°，试探究线段BK ，KE ，EA 之间的数量关系，并给出证明．【答案】（1）2 （2）45°（3）KE BK AE =+或AE BK KE =+．【解析】【分析】（1）由非负数的性质可得2b =，2a =，从而可得AOB 的面积；（2）如图，过点O 作OE OD ⊥交BC 的延长线于E ，先证明135OBD OAE ∠=∠=°，OBD OAE ≌，可得OD OE =，BD AE =，再证明OCD OCE ≌，从而可得结论；（3）①当E 在A ，O 之间时，过点F 作FM FE ⊥交y 轴于点M ，连接FB ，FA ，先证明MFB EFA ≌，再证明KFM KFE ≌，可得结论；②当E 在O 左侧时，同理可证，BFM AFE ≌，KFM KFE ≌，从而可得结论．【小问1详解】 解：∵()220a b b −+−=，∴0a b −=，20b −=，∴2b =，2a =，∴()2,0A ，()0,2B ， ∴Δ1122222OAB S OA OB =⋅=××=， 【小问2详解】如图，过点O 作OE OD ⊥交BC 延长线于E ，∴90BOD DOA DOA AOE ∠+∠=°=∠+∠，的∴BOD AOE ∠=∠，∵2OA OB ==，∴45OBA OAB ∠+∠=°，而AB BD ⊥，∴135OBD OAE ∠=∠=°，∴OBD OAE ≌，∴OD OE =，BD AE =，∵CD AC BD =+，CE AC AE =+，∴CD CE =，∵OC OC =，∴OCD OCE ≌，∴45COD COE ∠=∠=°．【小问3详解】由题意可得45EFK OAB ∠=∠=°，①当E 在A ，O 之间时，过点F 作FM FE ⊥交y 轴于点M ，连接FB ，FA ，∵()2,2F ，()2,0A ，()0,2B ，∴OA OB =，AF x ⊥轴，BF y ⊥轴，∴AF BF =，90AFB ∠=°，∴90MFB BFE BFE AFE ∠+∠=°=∠+∠，∴MFB AFE ∠=∠，∵90FBM FAE ∠=∠=°，∴MFB EFA ≌，∴MB EA =，MF EF =，∵45KFE ∠=°，∴904545KFM ∠=°−°=°，∵KF KF =，∴KFM KFE ≌，∴KE MK BK MB BK AE ==+=+，即KE BK AE =+；②当E 在O 左侧时，同理可证，BFM AFE ≌，∴EA BM =，同理可证KFM KFE ≌，∴MK EK =，∴AE BK KE =+，综上所述：KE BK AE =+或AE BK KE =+．【点睛】本题考查几何变换的综合题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是构造全等三。
人教版八年级上册数学期中考试试题有答案解析
人教版八年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案，每小题3分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知线段6=，则下列线段中，能与a，b组成三角形的是（）b cma cm=，9A．3cm B．12 cm C．15cm D．18cm3．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠B＝40°，∠C＝75°，则∠EAD的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．85°4．等腰三角形有一个外角是110°，则其顶角度数是（）A．70°B．70°或40°C．40°D．110°或40°5．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°6．下列两个三角形中，一定全等的是（）A．两个等腰直角三角形B．两个等边三角形C．有一个角是100︒，底边相等的两个等腰三角形D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形∠=︒，AD⊥BC于点D．点P是BA延长线上一7．如图，等腰△ABC，AB=AC，BAC120点，O点是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①AC平分∠PAD；②∠APO=∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC=AO+AP.其中正确结论的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．18．下列图形中具有稳定性的是（）A．梯形B．长方形C．平行四边形D．等腰三角形9．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．三角形的稳定性D．垂线段最短10．如图，用三角板作ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A．B．C．D．11．如图，若CD是△ABC的中线，AB＝10，则AD＝（）A．5 B．6 C．8 D．412．如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题 13．若一个多边形外角和与内角和相等，则这个多边形是_____．14．在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是边BC 上一点，连接AD ，若∠BAD ＋3∠CAD ＝90°，DC ＝a ，BD ＝b ，则AB ＝________. （用含a ，b 的式子表示）15．如图，点D 在线段BC 上，AC ⊥BC ，AB ＝8cm ，AD ＝6cm ，AC ＝4cm ，则在△ABD 中，BD 边上的高是__cm ．16．如图，将长方形ABCD 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，若60EFB ︒∠=，则AED =∠________．三、解答题17．如图，点F 是△ABC 的边BC 延长线上的一点，且AC=CF ，ABC ∠和A CF ∠的平分线交于点P.求证：（1）点P 在DAC ∠的平分线上；（2）CP 垂直平分AF.18．如图，点O 是等边△ABC 内一点，AOB 110∠=︒，BOC α∠=，△BOC ≌△ADC ，连接OD ．（1）求证：△COD 是等边三角形；（2）当α150=︒时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）当△AOD 是等腰三角形时，求α的度数.19．如图，在△ABC 中，∠A=40°，∠B=76°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于点D ，DF ⊥CE 于点F ，求∠CDF 的度数．20．如图，在△ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ．（1）求证：∠ACD=∠B ；（2）若AF 平分∠CAB 分别交CD 、BC 于E 、F ，求证：∠CEF=∠CFE ．21．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．（1）如图①，四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D ，画出四边形ABCD 的对称轴m ；（2）如图②，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=∠D ，画出边BC 的垂直平分线n ．22．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交AC 于M ． （1）若70B ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）连接MB ，若8AB cm =，MBC △的周长是14cm ．①求BC 的长；②在直线MN 上是否存在点P ，使由P ，B ，C 构成的PBC 的周长值最小？若存在，标出点P 的位置并求PBC 的周长最小值；若不存在，说明理由．23．如图，已知AD BD ⊥，BC AC ⊥，AC BD =，且AC ，BD 相交于点O ．（1）求证：AD BC =；（2）取AB 的中点E ，连接OE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形．24．（1）如图1，在△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点画直线EF 与AC 相交于E ，与AB 的延长线相交于F ，使BF ＝CE ．①已知△CDE 的面积为1，AE ＝kCE ，用含k 的代数式表示△ABD 的面积为 ； ②求证：△AEF 是等腰三角形；（2）如图2，在△ABC 中，若∠1＝2∠2，G 是△ABC 外一点，使∠3＝∠1，AH ∥BG 交CG 于H ，且∠4＝∠BCG ﹣∠2，设∠G ＝x ，∠BAC ＝y ，试探究x 与y 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（1）、（2）的条件下，△AFD 是锐角三角形，当∠G ＝100°，AD ＝a 时，在AD 上找一点P ，AF 上找一点Q ，FD 上找一点M ，使△PQM 的周长最小，试用含a 、k 的代数式表示△PQM 周长的最小值 ．（只需直接写出结果）25．如图（1），在ABC 中，75,35,BAC ACB ABC ∠=︒∠=︒∠的平分线BD 交边AC 于点D ．（1）求证：BCD 为等腰三角形；（2）若BAC ∠的平分线AE 交边BC 于点E ，如图（2），求证：BD AD AB BE +=+； （3）若BAC ∠外角的平分线AE 交CB 的延长线于点E ，请你探究（2）中的结论是否仍然成立，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由．参考答案1．B【解析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意；B．是轴对称图形，符合题意；C．不是轴对称图形，不符合题意；D.不是轴对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．B【分析】根据三角形的第三边大于两边之差小于两边之和即可判断．【详解】解：设三角形的第三边为m．由题意：9-6＜m＜6+9，即3＜m＜15，故选B．【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．A【分析】根据全等三角形的性质求出∠D和∠E，再根据三角形内角和定理即可求出∠EAD的度数．【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝40°，∠C＝75°，∴∠B＝∠D＝40°，∠E＝∠C＝75°，∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠E＝65°，故选：A．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质及三角形内角和，掌握全等三角形的性质是解题的关键. 4．B【分析】题目给出了一个外角等于110°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．【详解】解：①当110°角为顶角的外角时，顶角为180°﹣110°＝70°；②当110°为底角的外角时，底角为180°﹣110°＝70°，顶角为180°﹣70°×2＝40°．故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．5．B【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DCA＝∠A，根据三角形的外角的性质计算即可．【详解】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝50°，∴∠BDC＝∠DCA+∠A＝100°，故选：B．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．6．C【分析】根据全等三角形的判定与等腰三角形的性质对各项进行判断即可．【详解】解：A、两个等腰直角三角形只能得到三个对应角相等，不清楚三边关系，故无法证明全等，故此选项错误；B、两个等边三角形只能得到三个对应角相等，不清楚三边关系，故无法证明全等，故此选项错误；C、100°角只能是两个等腰三角形的顶角，可知底角也相等，由于底相等，利用“ASA”可证得此两个三角形全等，故此选项正确；D、没有指明边是腰还是底，角是顶角还是底角，不能证明全等，故此选项错误，故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定，解答的关键是掌握等腰三角形的性质、熟知全等三角形的判定方法．7．B【分析】①根据等腰三角形的性质，邻补角的定义即可得到结论；②因为点O是线段AD上一点，所以BO不一定是∠ABD的角平分线，可作判断；③证明∠POC＝60°且OP＝OC，即可证得△OPC是等边三角形；④首先证明△OPA≌△CPE，则AO＝CE，AC＝AE＋CE＝AO＋AP；【详解】解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；∴∠CAD＝12∠BAC＝60°，∠PAC＝180°−∠CAB＝60°，∴∠PAC＝∠DAC，∴AC平分∠PAD故①正确；②由①知：OB=OC，OP=OC，则OB=OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∵点O是线段AD上一点，∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等，故②不正确；③∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，∴∠APC＋∠DCP＝150°，∵∠APO＋∠DCO＝30°，∴∠OPC＋∠OCP＝120°，∴∠POC＝180°−（∠OPC＋∠OCP）＝60°，∵OP＝OC，∴△OPC是等边三角形；故③正确；④如图，在AC上截取AE＝PA，连接PE，由①知∠PAE＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO＋∠OPE＝60°，∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，在△OPA和△CPE中，PA＝PE，∠APO＝∠CPE，OP＝CP，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP；故④正确；故答案为：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．8．D【分析】根据三角形具有稳定性作答．【详解】因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，所以只有D符合，故选：D．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性，在几何图形中只有三角形具有稳定性，而四边形以及四边以上的多边形都不具有稳定性．9．C【分析】A，O，B三点构成了三角形，窗钩AB可将其固定，则是利用了三角形的稳定性．【详解】解：∵A，O，B三点构成了三角形，且窗钩AB可将其固定∴其原理是利用了三角形的稳定性．故选项为：C．【点睛】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形稳定性的意义是解本题的关键．10．B【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据高线的定义即可得出结论．【详解】解：A．作出的是△ABC中BC边上的高线，故本选项错误；B．作出的是△ABC中AB边上的高线，故本选项正确；C．不能作出△ABC中AB边上的高线，故本选项错误；D．作出的是△ABC中AC边上的高线，故本选项错误；故选：B．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．11．A【分析】根据三角形中线定义可得．【详解】因为CD是△ABC的中线，AB＝10，所以AD＝15 2AB故选：A【点睛】考核知识点：三角形中线．理解三角形中线定义是关键．12．D【详解】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D.13．四边形．【详解】根据多边形的内角和公式与多边形的外角和定理列出方程，然后解方程即可求出多边形的边数：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•1800=3600，解得n=4．∴这个多边形是四边形．14．2a+b.【分析】延长BC至点E，使CE=CD=a，连接AE，利用∠BAD＋3∠CAD＝90°，∠CAB+∠B＝90°，证得∠B=2∠CAD，再利用CE=CD,AC⊥CD,证得△AED是等腰三角形，推出∠E=∠EAB, 由此得到AB=EB=2a+b.【详解】如图，延长BC至点E，使CE=CD，连接AE，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，AC⊥CD,∵∠BAD＋3∠CAD＝90°，∠BAD+∠CAD=∠BAC,∴∠B=2∠CAD,∵CE=CD,AC⊥CD,∴AC垂直平分ED,∴AE=AD,即△AED是等腰三角形，∴∠EAC=∠CAD,∴∠EAD=2∠CAD=∠B,∴∠EAB=∠B+∠BAD,∵∠E=∠ADE=∠B+∠BAD,∴∠E=∠EAB,∴AB=EB,∵EB=EC+CD+BD=a+a+b=2a+b，∴AB=2a+b.故填：2a+b.【点睛】此题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，延长BC 至点E ，使CE=CD 是关键的辅助线，由此将直角三角形转化为等腰三角形来证明.15．4cm【分析】从三角形的一个顶点向它对边所作的垂线段（顶点至对边垂足间的线段）,叫做三角形的高．这条边叫做底．【详解】因为AC ⊥BC ，所以三角形ABD 中，BD 边上的高是：AC=4cm故答案为：4cm【点睛】考核知识点：三角形的高．理解三角形的高的定义是关键．16．75°【分析】根据ADE 和FDE 关于直线DE 对称得到AED FED ∠=∠，得到BEF ∠的度数，再根据折叠的性质即可求解．【详解】由题意可知ADE 和FDE 关于直线DE 对称，∴AED FED ∠=∠．∵60EFB ︒∠=，90B ︒∠=，∴906030BEF ︒︒︒∠=-=， ∴18030752AED FED ︒︒︒-∠=∠==． 故答案为75°．【点睛】此题主要考查矩形的角度求解，解题的关键是熟知折叠的性质．17．(1)答案见解析；(2)答案见解析【分析】（1）根据角平分线的性质和判定即可解题；（2）根据等腰三角形三线合一即可证明【详解】（1）如图，过P作PE⊥BD于E，PG⊥AC于G，PH⊥BC于H∵P在∠ABC的角平分线上∴PH=PE∵P在∠ACF的角平分线上∴PG=PH∴PG=PE∴点P在∠DAC 的平分线上（2）∵P在∠ACF的角平分线上∴∠ACP=∠PCF∵AC=CF∴CP垂直平分AF.【点睛】本题主要考察角平分线的性质和判定以及等腰三角形三线合一得性质，熟记性质并在图形上熟练找到运用是解题的关键.18．（1）见解析；（2）△AOD是直角三角形；（3）α=125°或110°或140°【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB=60°，再根据全等三角形的性质可得OC=CD，∠BCO=∠ACD，可证∠OCD=∠ACB=60°，再根据等边三角形的判定即可证得结论；（2）由全等三角形的性质得∠ADC=∠BOC=150°，由（1）中结论得∠CDO=60°，则有∠ADO=90°，即可得到△AOD的形状；（3）根据全等三角形的性质和已知可得∠AOD=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，再根据等腰三角形的性质分类讨论即可．【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵△BOC≌△ADC，∴OC=CD，∠BCO=∠ACD，∴∠BCO+∠OCA=∠ACD+∠OCA，即∠OCD=∠ACB=60°，∴△COD为等边三角形；（2）△AOD是直角三角形，理由为：∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，∵△COD为等边三角形，∴∠CDO=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠CD0=150°﹣60°=90°，∴△AOD是直角三角形；（3）∵△COD为等边三角形，∴∠COD=∠CDO=60°，∵∠ADC=∠BOC=α，∠AOB=110°，∴∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴∠OAD=180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）=50°，①当∠AOD=∠ADO时，190°﹣α=α﹣60°，解得：α=125°；②当∠AOD=∠OAD时，190°﹣α=50°，解得：α=140°；③当∠ADO=∠OAD时，α﹣60°=50°，解得：α=110°，综上，当α=125°或110°或140°时，△AOD为等腰三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、解一元一次方程，熟练掌握相关知识，会利用等腰三角形的性质分类讨论是解答的关键．19．∠CDF=72°．【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．试题解析：∵∠A=40°，∠B=76°，∴∠ACB=180°﹣40°﹣76°=64°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=32°，∴∠CED=∠A+∠ACE=72°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=72°．20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【详解】试题分析：（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF，∠AED=90°-∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．试题解析：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．考点：直角三角形的性质．21．（1）见解析；（2）见解析；【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．【详解】解：（1）如图①，直线m即为所求（2）如图②，直线n即为所求【点睛】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线.22．（1）50°（2）① 6cm；②存在点P，点P与点M重合，△PBC周长的最小值为14cm 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝70°,在△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠A＝40°，在△AMN中，根据三角形内角和定理求得∠NMA＝50°;（2）①根据线段垂直平分线可得AM＝BM，根据△MBC的周长＝BM＋BC＋CM＝AM＋BC＋CM即可求解；②根据对称轴的性质可知，M点就是点P所在的位置，△PBC的周长最小值就是△MBC的周长．【详解】解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠A＝180°－70°－70°＝40°∵MN 垂直平分AB 交AB 于N∴MN ⊥AB, ∠ANM ＝90°，在△AMN 中，∠NMA ＝180°－90°－40°＝50°；（2）①如图所示，连接MB ，∵MN 垂直平分AB 交于AB 于N∴AM ＝BM ，∴△MBC 的周长＝BM ＋BC ＋CM ＝AM ＋BC ＋CM ＝BC ＋AC ＝14cm又∵AB ＝AC ＝8cm ，∴BC ＝14 cm －8 cm ＝6cm ；②如图所示，∵MN 垂直平分AB ，∴点A 、B 关于直线MN 对称，AC 与MN 交于点M ，因此点P 与点M 重合； ∴△MBC 的周长就是△PBC 周长的最小值，∴△PBC 周长的最小值＝△MBC 的周长＝14cm ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题．解题的关键是熟练掌握这些知识点．23．（1）详见解析；（2）ADO BCO ≌，Rt ADB Rt BCA ≌，AOE BOE ≌， ACD BDC ≌． 【分析】（1）根据HL 证明Rt △ADB 与Rt △ACB 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）根据全等三角形的判定解答即可．【详解】（1）AD BD ⊥，BC AC ⊥，90ADB BCA ∴∠=∠=︒．在Rt ADB 与Rt BCA 中，DB CAAB BA =⎧⎨=⎩，()Rt ADB Rt BCA HL ∴≌，AD BC ∴=；（2）图中所有的全等三角形：由AOD BOCADO BCO AD BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，可得()ADO BCO AAS ≌，AO BO ∴=，DAO CBO ∠=∠；由DB CAAB BA =⎧⎨=⎩，可得()Rt ADB Rt BCA HL ≌，ABD BAC ∴∠=∠；由AO BOOAE OBE AE BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，可得()AOE BOE SAS ≌；由AD BCDAC CBD AC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，可得()ACD BDC SAS ≌．【点睛】此题考查全等三角形的判定，关键是根据HL 证明Rt △ADB 与Rt △ACB 全等． 24．（1）①k +1；②见解析；（2）y ＝34x +45°，理由见解析；（3）2(1)(1)k k k a +-【分析】（1）①先根据AE 与CE 之比求出△ADE 的面积，进而求出ADC 的面积，而D 中BC 中点，所以△ABD 面积与△ADC 面积相等；②延长BF 至R ，使FR ＝BF ，连接RC ，注意到D 是BC 中点，过B 过B 点作BG ∥AC 交EF 于G ．得BGD CED ≅，再利用等腰三角形性质和判定即可解答；（2）设∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，根据平行线性质及三角形外角性质可得∠4=α，再结合三角形内角和等于180°联立方程即可解答；（3）分别作P 点关于F A 、FD 的对称点P '、P ''，则PQ +QM +PM ＝P 'Q +QM +MP “≥P 'P ''＝FP ，当FP 垂直AD 时取得最小值，即最小值就是AD 边上的高，而AD 已知，故只需求出△ADF 的面积即可，根据AE ＝kEC ，AE ＝AF ，CE ＝BF ，可以将△ADF 的面积用k 表示出来，从而问题得解．【详解】解：（1）①∵AE ＝kCE ，∴S △DAE ＝kS △DEC ，∵S △DEC ＝1，∴S △DAE ＝k ，∴S △ADC ＝S △DAE +S △DEC ＝k +1，∵D 为BC 中点，∴S △ABD ＝S △ADC ＝k +1．②如图1，过B 点作BG ∥AC 交EF 于G ．∴BGD CED ∠=∠，BGF AED ∠=∠在△BGD 和△CED 中，BGD CED BD CD BDG CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴BGD CED ≅（ASA ），∴BG ＝CE ，又∵BF ＝CE ，∴BF ＝BG ，∴BGF F ∠=∠，∴F AED ∠=∠∴AF ＝AE ，即△AEF 是等腰三角形．（2）如图2，设AH 与BC 交于点N ，∠2＝α．则∠3＝∠1＝2∠2＝2α，∵AH ∥BG ，∴∠CNH ＝∠ANB ＝∠3＝2α，∵∠CNH ＝∠2+∠4，∴2α＝α+∠4，∴∠4＝α，∵∠4＝∠BCG ﹣∠2，∴∠BCG ＝∠2+∠4＝2α，在△BGC 中，3180BCG G ∠+∠+∠=︒，即：4180x α+=︒，在△ABC 中，12180BAC ∠+∠+∠=︒，即：3180y α+=︒，联立消去α得：y ＝34x +45°．（3）如图3，作P 点关于F A 、FD 的对称点P '、P ''，连接P 'Q 、P 'F 、PF 、P ''M 、P ''F 、P 'P ''，则FP '＝FP ＝FP ''，PQ ＝P 'Q ，PM ＝P ''M ，∠P 'FQ ＝∠PFQ ，∠P ''FM ＝∠PFM ， ∴∠P 'FP ''＝2∠AFD ，∵∠G ＝100°，∴∠BAC ＝34∠G +45°＝120°， ∵AE ＝AF ，∴∠AFD ＝30°，∴∠P 'FP ''＝2∠AFD ＝60°，∴△FP 'P ''是等边三角形，∴P 'P ''＝FP '＝FP ，∴PQ +QM +PM ＝P 'Q +QM +MP ''≥P 'P ''＝FP ，当且仅当P '、Q 、M 、P ''四点共线，且FP ⊥AD 时，△PQM 的周长取得最小值． AE kCE =，AF AE =，BF CE =，1AB k AF k-∴=， ()111ADF ABD k k k S S k k +∴==--，∴当FP AD ⊥时，()()2121ADF k k S FP AD k a+==-， PQM ∴的周长最小值为()()211k k k a +-．【点睛】本题是三角形综合题，涉及了三角形面积之比与底之比的关系、全等三角形等腰三角形性质和判定、轴对称变换与最短路径问题、等边三角形的判定与性质等众多知识点，难度较大．值得强调的是，本题的第三问实际上是三角形周长最短问题通过轴对称变换转化为两点之间线段最短和点到直线的距离垂线段最短．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）不成立，正确结论：BD AD BE AB +=-，理由见解析【分析】（1）先根据内角和得到70ABC ∠=︒，再由角平分线的性质计算判断即可；（2）在AC 上截取AH AB =，连接EH ，根据等腰三角形的性质证明ABE AHE ≌△△，即可计算得到结论；（3）在BE 上截取BF AB =，连接AF ，可得到35∠=∠=︒AFB BAF ，再根据角平分线的性质可得到152.52∠=∠=︒EAB HAB ，通过计算得到AF EF =，即可得到结论； 【详解】（1）【证明】在ABC 中，75BAC ∠=︒，35ACB ∠=︒，∴18070∠=︒-∠-∠=︒ABC BAC ACB ．∵BD 平分ABC ∠， ∴1352∠=∠=︒DBC ABC ， ∴DBC ACB ∠=∠，∴BD DC =，∴BCD 为等腰三角形．（2）【证明】如图（1），在AC 上截取AH AB =，连接EH ．由（1）得BCD 为等腰三角形，∴BD CD =，∴+=+=BD AD CD AD AC ．∵AE 平分BAC ∠，∴∠=∠EAB EAH ，∴ABE AHE ≌△△，∴,70=∠=∠=︒BE EH AHE ABE ，∴35∠=∠-∠=︒HEC AHE ACB ，∴∠=∠HEC ACB ，∴EH HC =，∴+=+=AB BE AH HC AC ，∴BD AD AB BE +=+．（3）【解】不成立，正确结论：BD AD BE AB +=-．理由：如图（2），在BE 上截取BF AB =，连接AF ．∵由（1）得70ABC ∠=︒，∴35∠=∠=︒AFB BAF ．∵75BAC ∠=︒，∴105∠=︒HAB ．∵AE 平分HAB ∠， ∴152.52∠=∠=︒EAB HAB ，∴52.53517.5∠=︒-︒=︒EAF ，17.5∠=∠-∠=︒AEF ABC EAB ， ∴EAF AEF ∠=∠，则AF EF =．∵35∠=∠=︒AFC C ，∴==AF AC EF ，∴-=-===+=+BE AB BE BF EF AC AD CD AD BD ，∴BD AD BE AB +=-．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，结合三角形全等是解题的关键．。
2023-2024学年人教新版八年级上册数学期中复习试卷(含解析)
2023-2024学年人教新版八年级上册数学期中复习试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．如果一个三角形的三边长分别为5，8，a．那么a的值可能是（ ）A．2B．9C．13D．153．下列运算中正确的是（ ）A．x2•x5＝x10B．（a4）4＝a8C．（xy2）2＝xy4D．x8÷x2＝x6 4．下列图形中，不具有稳定性的是（ ）A．等腰三角形B．平行四边形C．锐角三角形D．等边三角形5．若△ABC≌△DEF，且∠A＝50°，∠B＝60°，则∠F的度数为（ ）A．50°B．60°C．70°D．80°6．高为3，底边长为8的等腰三角形腰长为（ ）A．6B．5C．4D．37．若mx+6y与x﹣3y的乘积中不含有xy项，则m的值为（ ）A．0B．2C．3D．68．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（ ）A．8B．9C．10D．119．如图，在边长为3的等边△ABC中，过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为（ ）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，点D在BC上，AD＝BD，∠B＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是（ ）A．20°B．25°C．30°D．35°11．合肥市2014年3月5日的温差为8℃，最高气温为t℃，则最低气温可表示为（ ）A．（8+t）℃B．（8﹣t）℃C．（t﹣8）℃D．（﹣t﹣8）℃12．如图，△ABC中，BD平分∠CBA，CE平分∠ACB的外角，AD垂直BD于D，AE垂直CE于E，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则DE＝（ ）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．若（x﹣10）0＝1，则x的取值范围是 ．14．如图，AB与CD相交于点O，OC＝OD．若要得到△AOC≌△BOD，则应添加的条件是 ．（写出一种情况即可）15．用直尺和圆规作一个已知角的角平分线．示意图如图，要说明∠AOC＝∠BOC，需要证明△CON和△COM全等，则这两个三角形全等的依据是 ．16．如图，在4×4的正方形网格中，求α+β＝ 度．17．如图，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点，只需添加 ，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线．18．已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC 的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是 三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为 ．三．解答题（共8小题，满分66分）19．（1）图中所示为一家住房的结构图，若要将卫生间以外的部分都铺上木地板，木地板价格是a元/m2，那么购买所需木地板至少需要多少元？（2）已知房屋的高度为hm，现需要在卫生间和厨房的墙壁上贴瓷砖，瓷砖的价格是b 元/m2，那么购买所需瓷砖至少需要多少元？20．作图：如图，请按要求在8×8的正方形网格中作图（1）请在图1中画一个钝角△ABC，使它有一边与该边上的高线长度相等；（2）请在图2画一个五边形ABCDE，是轴对称图形，且∠ABC＝90°．21．先化简，再求值：（a+3b）2﹣2（a+3b）（a﹣3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣，b＝﹣．22．已知：如图，AC、BD相交于点E，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：（1）△ABE≌△DCE；（2）∠BDA＝∠CAD．23．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB垂足为点D，BC＝BD，求证：DE＝CE．（提示：连接BE）25．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°．点D在线段AB上运动（不与A、B重合），连接CD，CE在CD右侧，且∠DCE＝45°．当点E不与点A重合时，AE⊥AB．连接DE．（1）当点D是AB中点时，∠ACD的度数是 ．（2）当∠ADE＝45°时，探究DE与AC的位置关系，并证明．（3）线段BD、AE、DE三者之间在数量上满足怎样的等量关系？请证明．26．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝90°，BC＝6，点D、E分别是边AB、BC上的一个动点，且BD＝BE，过点D作DG⊥AB交射线BC于点G，交线段AC于点F，设BD＝x．（1）如图1，当点G与点C重合时，求△DCE的面积；（2）如图2，设当点G在BC的延长线上时，FC＝y，求y关于x的解析式，并写出定义域；（3）若△DEF为直角三角形，求x的值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．解：根据三角形的三边关系，得3＜a＜13．9在第三边长的取值范围内．故选：B．3．解：A、x2•x5＝x7，故此选项错误；B、（a4）4＝a16，故此选项错误；C、（xy2）2＝x2y4，故此选项错误；D、x8÷x2＝x6，故此选项正确．故选：D．4．解：平行四边形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故B符合题意；故选：B．5．解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：C．6．解：如图，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝8，∴BD＝4，又∵AD＝3，在Rt△ABD中，AB＝＝＝5．故选：B．7．解：由题意得：（mx+6y）（x﹣3y）＝mx2﹣3mxy+6xy﹣18y2＝mx2+（﹣3m+6）xy﹣18y2，∵不含有xy项，∴﹣3m+6＝0，解得：m＝2．故选：B．8．解：1500÷180＝8，则多边形的边数是8+1+2＝11．故选：D．9．解：∵在边长为3的等边△ABC中，过点C作垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，∴BP交AC于点D，且BD⊥AD，AD＝DC，∴BC＝3，∠PBC＝30°，∠PBC＝90°，∠ACP＝30°，∴BP＝2，PC＝，连接AP，则△BAP≌△BCP，∴∠PAC＝∠PCB＝90°，∴点P到边AB所在直线的距离为AP的长，又∵PC＝，∴PA＝PC＝，故选：D．10．解：∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+40°＝80°，∴∠ADB＝180°﹣80°＝100°，由折叠的性质得：∠ADE＝∠ADB＝100°，∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝100°﹣80°＝20°，故选：A．11．解：∵肥市2014年3月5日的温差为8℃，最高气温为t℃，∴最低气温可表示为：（t﹣8）℃．故选：C．12．解：延长AE交BC的延长线于点M，延长AD交BC于F，∵CE⊥AE，CE平分∠ACM，∴∠AEC＝∠MEC＝90°，∠ACE＝∠MCE，在△ACE和△MCE中，，∴△ACE和△MCE（ASA），∴AC＝MC＝b，AE＝EM，同理，AB＝BF＝c，AD＝DF，∴DE＝FM，∵CF＝BC﹣BF＝a﹣c，∴FM＝MC+CF＝b+（a﹣c）＝a+b﹣c．∴DE＝（a+b﹣c）．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）13．解：由（x﹣10）0＝1，得x﹣10≠0，解得x≠10．故答案为：x≠10．14．解：已知OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，添加OA＝OB，利用SAS可得△AOC≌△BOD，添加∠A＝∠B，利用AAS可得△AOC≌△BOD，添加∠C＝∠D，利用ASA可得△AOC≌△BOD，故答案为：OA＝OB（或∠A＝∠B或∠C＝∠D）．15．解：由作法可得，OM＝ON，MC＝NC，∵OC＝OC，∴△CON≌△COM（SSS），∴∠AOC＝∠BOC．故答案为：SSS．16．解：连接BC，∵AB＝BC＝＝，AC＝＝，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵AB＝BC＝，AE＝BD＝1，BE＝CD＝2，∴△ABE≌△BCD，∴∠ACD＝∠ABE＝α，∵AE∥CD，∴∠DCA＝∠CAE＝β，∴α+β＝∠BCA＝45°，故答案为：45．17．解：添加MN＝ME，理由如下：∵EF⊥CD，MN⊥AC，∴∠MEC＝∠MNC＝90°，在Rt△MEC和Rt△MNC中，，∴Rt△MEC≌Rt△MNC（HL），∴∠MCE＝∠MCN，∴CM平分∠ACD，∵EF⊥AB，MN⊥AC，∴∠MFA＝∠MNA＝90°，∵M是EF的中点，∴ME＝MF，∴MN＝MF，在Rt△MFA和Rt△MNA中，，∴Rt△MFA≌Rt△MNA（HL），∴∠MAF＝∠MAN，∴AM平分∠CAB，∴CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线，故答案为：ME＝MN．18．解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（SAS），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AAS），∴CF＝GF，∴CF＝CG＝AE＝6．故答案为：6．三．解答题（共8小题，满分66分）19．解：（1）由题意得，卫生间以外的部分为：x×2y+2x×2y+2x×4y＝2xy+4xy+8xy＝14xy（m2）∵木地板价格是a元/m2，∴购买所需木地板至少需要14xya元；（2）由题意得，需要贴瓷砖的面积为：（2x+2y+2x+4y）h＝（4xh+6yh）（m2）；瓷砖的价格是b元/m2，∴购买所需瓷砖至少需要（4xh+6yh）b＝（4xhb+6yhb）（元）．20．解：（1）（2）21．解：原式＝a2+6ab+9b2﹣2a2+18b2+a2﹣6ab+9b2＝18b2，当a＝﹣，b＝﹣时，原式＝．22．（1）证明：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS），（2）由（1）得：△ABE≌△DCE∴AE＝DE，∴∠CAD＝∠BDA．23．解：（1）∠ABE＝∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD；（2）连接AF．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由（1）可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．24．证明：连接BE，如图，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90°，在Rt△BDE和△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE（HL），∴DE＝CE．25．解：（1）∵AC＝BC，D是AB中点，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝45°，故答案为：45°．（2）分两种情况：①如图1，当CE在CA左侧时，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠CAB＝∠ADE，∴DE∥AC；②如图2，当CE在CA右侧时，设DE与AC交于点G，∵∠ADE＝45°，∠CAB＝45°，∴∠AGD＝180°﹣∠ADE﹣∠CAB＝90°，∴DE⊥AC．综上所述，当∠ADE＝45°时，DE∥AC或DE⊥AC．（3）分两种情况：①如图3，当CE在CA左侧时，过点C作CF⊥CE，交AB延长线于点F，∴∠ECF＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCF，∵AE⊥AB，∴∠EAB＝90°，∵∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠CBF＝∠CAE＝135°，在△CBF和△CAE中，，∴△CBF≌△CAE（ASA），∴BF＝AE，CF＝CE．∵∠DCE＝45°，∠ECF＝90°，∴∠DCE＝∠DCF＝45°，在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF．∵BD+BF＝DF，∴BD+AE＝DE；②如图4，当CE在CA右侧时，过点C作CF⊥CE，交AB于点F，同①得：△CBF≌△CAE（ASA），△DCE≌△DCF（SAS），∴BF＝AE，DE＝DF．∵DF＝BD﹣BF，∴BD﹣AE＝DE；综上所述，当CE在CA左侧时，BD+AE＝DE；当CE在CA右侧时，BD﹣AE＝DE．26．解：（1）∵DG⊥AB，∴∠BDC＝90°，∵∠B＝60°，BC＝6，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，∴BD＝BC＝3，∴CD＝＝＝3，∵BE＝BD＝3，∴CE＝BC﹣BE＝3，∴BE＝CE，∴△DCE的面积＝△BCD的面积＝×BD×CD＝×3×3＝；（2）∵DG⊥AB，∴∠BDG＝90°，∵∠B＝60°，∴∠G＝90°﹣∠B＝30°，∴BG＝2BD＝2x，∵∠ACB＝90°，∴∠GCF＝180°﹣∠ACB＝90°，∴FG＝2CF＝2y，∴CG＝＝＝y，∴BG＝BC+CG＝6+y，∴6+y＝2x，∴y＝x﹣2，∵点G在BC的延长线上，∴点G不与点C重合，∴x＞3，∵点E是边BC上的一个动点，BE＝BD＝x，∴x≤6，∴3＜x≤6，即y关于x的解析式为y＝x﹣2（3＜x≤6）；（3）分两种情况：①当∠DFE＝90°时，如图3所示：则EF⊥DG，∵DG⊥AB，∴EF∥AB，∴∠FEC＝∠B＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠EFC＝90°﹣∠FEC＝30°，∴EF＝2CE，∵BE＝BD＝x，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣x，∴EF＝2CE＝2（6﹣x）＝12﹣6x，∴CF＝＝＝（6﹣x），由（2）得：CF＝y＝x﹣2，∴x﹣2＝（6﹣x），解得：x＝；②当∠DEF＝90°时，如图4所示：∵BD＝BE＝x，∠B＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED＝60°，∴∠FEC＝180°﹣∠DEF﹣∠BED＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∵∠ACB＝90°，∴EF＝2CF，∴CE＝＝＝CF，∴6﹣x＝（x﹣2），解得：x＝4；综上所述，若△DEF为直角三角形，x的值为或4．。
2023-2024学年北京四中八年级(上)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．（2分）下列博物院的标识中是轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．（2分）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）A．B．C．D．3．（2分）下列计算正确的是（ ）A．（4ab）2＝4a2b2B．a2⋅a3＝a6C．a2+a2＝a4D．（﹣3a3b）2＝9a6b24．（2分）如图，△ABC被木板遮住了一部分，其中AB＝6，则AC+BC的值不可能是（ ）A．11B．9C．7D．55．（2分）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A．B．C．D．6．（2分）如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（ ）A．AB＝CD B．∠B＝∠D C．AD＝CB D．∠BAC＝∠DCA 7．（2分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（ ）A．随着θ的增大而增大B．随着θ的增大而减小C．不变D．随着θ的增大，先增大后减小8．（2分）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号（4，8，8），（3，6，3，6），（3，3，4，3，4）表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ）A．（3，12，12）B．（3，4，6，4）C．（3，3，4，12）D．（3，4，3，3，6）二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．（2分）计算：（π﹣3.14）0＝ ；＝ ．10．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是 ．11．（2分）一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边形是 边形．12．（2分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的顶角等于 ．13．（2分）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是直角三角形时，t ＝ ．14．（2分）有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A，B的面积之和为 ．15．（2分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用“尺规作图”作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，请你回答下列问题：所以，Rt△ABC为所求作的三角形．（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D；②画直线BF；③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F；④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，连接AC；⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．（2）∠ABC＝90°的理由是 ．16．（2分）在等边△ABC中，M、N、P分别是边AB、BC、CA上的点（不与端点重合），对于任意等边△ABC，下面四个结论中：①存在无数个△MNP是等腰三角形；②存在无数个△MNP是等边三角形；③存在无数个△MNP是等腰直角三角形；④存在一个△MNP在所有△MNP中面积最小．所有正确结论的序号是 ．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．（24分）（1）计算：；（2）计算：20222﹣2020×2024 （需简便运算）；（3）计算：（15x2y﹣10xy2）÷5xy；（4）计算：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）；（5）因式分解：（x+m）2﹣（x+n）2；（6）因式分解：3ax2+6axy+3ay2．18．（6分）如图，A，C，D三点共线，△ABC和△CDE落在AD的同侧，AB∥CE，BC＝DE，∠B＝∠D，求证：（1）△ABC≌△CDE；（2）AB+CE＝AD．19．（6分）先化简：，再从0，﹣1，﹣2，2中选择一个合适的数作为x 的值代入求值．20．（6分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC顶点都在网格线的交点上，点A坐标为（﹣4，﹣1），点B坐标为（﹣1，﹣1），点C坐标为（﹣3，3）．（1）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（2）请写出点B关于x轴对称点的坐标为 ；（3）点P在y轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，则点P的坐标为 ．21．（6分）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．如图2，∠ABC为直角，以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．以点B 为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA ，BC 分别于点D ，E ；以点D 为圆心，以BD 长为半径画弧与交于点F ；再以点E 为圆心，仍以BD 长为半径画弧与交于点G ；作射线BF ，BG ．（1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；（2）根据（1）完成的图，直接写出∠DBG ，∠GBF ，∠FBE 的大小关系．22．（7分）如图（1），等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连接AE ．（1）△DBC 和△EAC 会全等吗？请说说你的理由；（2）试说明AE ∥BC 的理由；（3）如图（2），将（1）动点D 运动到边BA 的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE ∥BC ？证明你的猜想．23．（6分）阅读下列材料：对于多项式x 2+x ﹣2，如果我们把x ＝1代入此多项式，发现x 2+x ﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x+2），于是我们可以得到：x2+x﹣2＝（x﹣1）（x+2）．又如：对于多项式2x2﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x2﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x2﹣3x﹣2 有一个因式（x﹣2），我们可以设2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx+n），解得m＝2，n＝1．于是我们可以得到：2x2﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x+1）请你根据以上材料，解答以下问题：（1）当x＝ 时，多项式6x2﹣x﹣5的值为0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式 ，从而因式分解6x2﹣x﹣5＝ ；（2）以上这种因式分解的方法叫“试根法”，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：x3﹣7x+6．24．（7分）如图1，已知△ABC是等边三角形，点E在射线AB上，且∠ACE＝2α，在射线CE上取点D使得CD＝CA，连接AD并延长交射线CB于点F．（1）当0°＜2α＜60°时，①∠DAB＝ ；（请用含α的代数式表示）②求证：CE+BE＝CF；（2）当60°＜2α＜120°时，请根据题意补全图2，并写出线段CE，BE，CF间的数量关系 ．第二部分附加题（共10分）25．（5分）找规律．第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；……（1）请写出第4组等式 ， ；（2）请写出第n组等式 ， ；（3）若k2+96032＝96052（k＞0）则k＝ ．26．（5分）为了比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的符号，我们称这种方法为“作差比较法”．要比较两个代数式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，可以利用不等式比较大小．如果要证明A＞B，只需要证明A﹣B＞0；同样的，要证明A ＜B，只需要证明A﹣B＜0．例如：小明对于命题：任意的实数a和b，总有a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立，给出了如下证明：证明：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，当a＝b并且只有a＝b时，等号成立．（1）请仿照小明的证明方法，证明如下命题：若a，b，x，y≥0，且a≥x，则（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）若a1≥a2≥……≥a n≥0，b1≥b2≥……≥b n≥0，且a1+a2+……+a n＝b1+b2+……+b n＝1，求（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值．2023-2024学年北京四中八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：△ABC的边AB上的高是经过点C与AB垂直，故选：A．3．【解答】解：A．（4ab）2＝16a2b2，故A错误，不符合题意；B．a2⋅a3＝a5，故B错误，不符合题意；C．a2+a2＝2a2，故C错误，不符合题意；D．（﹣3a3b）2＝9a6b2，故D正确，符合题意．故选：D．4．【解答】解：在△ABC中，AC+BC＞AB，∵AB＝6，∴AC+BC＞6，∴AC+BC的值不可能是5，故选：D．5．【解答】解：原式＝﹣＝，故选：D．6．【解答】解：添加的条件是AD＝CB，理由是：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），故选：C．7．【解答】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度数是定值，故选：C．8．【解答】解：A、∵正三角形一个内角为60°，正十二边形一个内角为150°，60°+2×150°＝360°，∴（3，12，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；B、∵正三角形一个内角为60°，正方形一个内角为90°，正六边形一个内角为120°，60°+2×90°+120°＝360°，∴（3，4，6，4）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；C、∵2×60°+90°+150°＝360°，∴（3，3，4，12）可以得到“半正密铺”图案，故不符合题意；D、3×60°+90°+120°＝390°≠360°，∴（3，4，3，3，6）不可以得到“半正密铺”图案，故符合题意；故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9．【解答】解：（π﹣3.14）0＝1；＝．故答案为：0；﹣．10．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故答案为：x≠3．11．【解答】解：由题意可得：180°•（n﹣2）＝150°•n，解得n＝12．故多边形是十二边形．12．【解答】解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是70°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是110°．故答案为：70°或110°．13．【解答】解：分两种情况：①当∠APB＝90°时，过A作AP⊥BC于点P，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP＝，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝；②当∠BAP＝90°时，过A作P'A⊥AB交BC于点P'，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，∴t＝6，综上所述，当△ABP是直角三角形时，t＝或6，故答案为：或6．14．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝10，2ab＝10，所以a2+b2＝11，故答案为：11．15．【解答】解：（1）⑤①③②④，故答案为：⑤①③②④；（2）∠ABC＝90°的理由是：等腰三角形的三线合一；故答案为：等腰三角形的三线合一．16．【解答】解：如图1中，满足AM＝BN＝PC，可证△PMN是等边三角形，这样的三角形有无数个．如图2中，当NM＝NP，∠MNP＝90°时，△MNP是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个（见图3）．故①②③正确，△PNM的面积不存在最小值（面积可以接近O，没有最小值）．故答案为①②③．二、解答题（本大题共8小题，第17题每小题24分，共24分，第18，19，20，21，23题每题6分，第22，24题每题7分，共68分）17．【解答】解：（1）原式＝﹣6a3b2；（2）原式＝20222﹣（2022﹣2）×（2022+2）＝20222﹣（20222﹣22）＝20222﹣20222+22＝4；（3）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy＝3x﹣2y；（4）原式＝4x2+12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2＝12xy+10y2；（5）（x+m）2﹣（x+n）2＝（x+m+x+n）（x+m﹣x﹣n）＝（2x+m+n）（m﹣n）；（6）3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．18．【解答】证明：（1）∵AB∥CE，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS）；（2）∵△ABC≌△CDE；∴AC＝CE，AB＝CD，∴AB+CE＝CD+AC＝AD．19．【解答】解：＝＝．∵x≠±2且x≠0，∴x＝﹣1时，．20．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）B（﹣1，﹣1）关于x轴的对称点的坐标为（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）；（3）设P（0，m），由题意×3×|m+1|＝×3×4，∴m＝3或﹣5，∴P（0，3）或（0，﹣5）．故答案为：（0，3）或（0，﹣5）．21．【解答】解：（1）如图，射线BG，BF即为所求．（2）∠DBG＝∠GBF＝∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD＝BF＝DF，BE＝BG＝EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF＝∠EBG＝60°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBG＝∠GBF＝∠FBE＝30°．22．【解答】解：（1）△DBC和△EAC会全等证明：∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°﹣∠ACD，∠ACE＝60°﹣∠ACD ∴∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），（2）∵△DBC≌△EAC∴∠EAC＝∠B＝60°又∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC（3）结论：AE∥BC理由：∵△ABC、△EDC为等边三角形∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°∠BCA+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE在△DBC和△EAC中，∵，∴△DBC≌△EAC（SAS），∴∠EAC＝∠B＝60°又∵∠ACB＝60°∴∠EAC＝∠ACB∴AE∥BC．23．【解答】解：（1）当x＝1时，6x2﹣x﹣5＝6×12﹣1﹣5＝0，所以多项式6x2﹣x﹣5有因式x﹣1，即6x2﹣x﹣5＝（x﹣1）（6x+5）．故答案为：1，x﹣1，（x﹣1）（6x+5）；（2）当x＝1时，x3﹣7x+6＝13﹣7×1+6＝0，所以x3﹣7x+6＝（x﹣1）（x2+x﹣6）＝（x﹣1）（x+3）（x﹣2）．24．【解答】（1）①解：∵CD＝CA，∴∠CAD＝∠CDA，∵∠ACE＝2α，∴∠CAD＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∵△ABC为等边三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAD﹣∠CAB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，故答案为：30°﹣α；②证明：在CF上截取CM＝CE，连接DM，BD，∵∠ABC＝60°，∠DAB＝30°﹣α，∴∠F＝60°﹣（30°﹣α）＝30°+α，∵CD＝CB，∠DCM＝∠BCE，CM＝CE，∴△CMD≌△CEB（SAS），∴∠CMD＝∠CEB，DM＝BE，∴∠DEB＝∠DMF，∵∠DEB＝∠DAB+∠CDA＝120°﹣2α，∴∠DMF＝120°﹣2α，∴∠MDF＝180°﹣30°﹣α﹣120°+2α＝30°+α，∴∠F＝∠MDF，∴DM＝MF，∴BE＝MF，∴CF＝CM+MF＝CE+BE；（2）解：补全图形如下：在CE上截取CN＝CF，连接BN，BD，则CA＝CB＝CD，同（1）可知△BCN≌△DCF（SAS），∴∠CNB＝∠CFD，∴∠BNE＝∠BFD，∵∠BCE＝2α﹣60°，CD＝CB＝CA，∴∠CAD＝∠CDA＝（180°﹣2α）＝90°﹣α，∴∠DAB＝60°﹣（90°﹣α）＝α﹣30°，∴∠E＝∠CDA﹣∠DAB＝120°﹣2α，∵∠CFD＝90°﹣α+60°＝150°﹣α，∴∠CNB＝150°﹣α，∴∠BNE＝30°+α，∴∠NBE＝180°﹣∠BNE﹣∠E＝30°+α，∴∠BNE＝∠NBE，∴BE＝NE，∴CE＝NC+NE＝CF+BE．故答案为：CE＝CF+BE．第二部分附加题（共10分）25．【解答】解：∵第1组：，42+32＝52；第2组：，82+152＝172；第3组：，122+352＝372；∴（1）请写出第4组等式，162+632＝652；故答案为：，（2）请写出第n组等式＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；故答案为：＝，（4n）2+（4n2﹣1）2＝（4n2+1）2；（3）∵k2+96032＝96052（k＞0），设x+（x+2）＝k，则x（x+2）＝9603，解得x＝97，k＝196，故答案为：196．26．【解答】（1）证明：由题意得，（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2＝（a﹣x）2﹣（a+b﹣x）2+（b﹣y）2﹣y2＝（a﹣x+a+b﹣x）（a﹣x﹣a﹣b+x）+（b﹣y+y）（b﹣y﹣y）＝﹣b（2a+b﹣2x）+b（b﹣2y）＝b（﹣2a﹣b+2x+b﹣2y）＝2b（x﹣a﹣y）．∵a，b，x，y≥0，且a≥x，∴x﹣a≤0，﹣y≤0．∴x﹣a﹣y≤0．∴2b（x﹣a﹣y）≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2﹣（a+b﹣x）2﹣y2≤0．∴（a﹣x）2+（b﹣y）2≤（a+b﹣x）2+y2．（2）解：设a1≥b1，∵b1≥b2≥……≥b n≥0，b1+b2+……+b n＝1，∴b1≥．又++……+≤+b1b2+……+b1b n＝b1（b1+b2+……+b n）＝b1，∴b1（a1+a2+……+a n）＝a1b1+b1（a2+……+a n）≤a1b1+a1（a2+……+a n）≤a1b1+a2b2+…+a n b n+a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n．∴a1b1+a2b2+…+a n b n≥b1（a2+……+a n）﹣（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2＝（++……+）﹣2（a1b1+a2b2+…+a n b n）+（++……+）≤（++……+）﹣2b1（a1+a2+……+a n）+2（a1a2+a2a3+……+a n﹣1a n）+b1＝（a1+a2+……+a n）2﹣2b1+b1＝1﹣2b1+b1＝1﹣b1≤1﹣＝．∴（a1﹣b1）2+（a2﹣b2）2+……+（a n﹣b n）2的最大值为．。
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八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．600 B．720 C．900 D．10802．（4分）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．93．（4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．7或11 C．11 D．7或104．（4分）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．其中真命题的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个5．（4分）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的度数等于（）A．70°B．60°C．50°D．40°6．（4分）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角7．（4分）如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．58．（4分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块9．（4分）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，有下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC∽△AED的条件有（）A．4个 B．3个C．2个 D．1个10．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．1 B．3 C．2 D．4二、填空题（每小题3分，满分24分）11．（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是．12．（3分）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是．13．（3分）如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：，使△ABD≌△ACD．14．（3分）如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=．15．（3分）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是．16．（3分）正十边形的内角和为，外角和为，每个内角为．17．（3分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=8，则BC边上的中线AD的取值范围是．18．（3分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，F是BC上一点，BD⊥AF交AF的延长线于D，CE⊥AF于E，已知CE=5，BD=2，则ED=．三、解答题（共7小题，满分86分）19．（10分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P 的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明理由．20．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于M，N两点．求证：∠1=∠2．21．（12分）如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．22．（12分）如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，（1）求证：△BDP≌△BCP（2）求证：AD=AC．23．（12分）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．24．（14分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．25．（14分）如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF=BE﹣CF；（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．2017-2018学年福建省龙岩市永定县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，满分40分）1．（4分）下列角度中，不能成为多边形内角和的是（）A．600 B．720 C．900 D．1080【解答】解：∵多边形内角和公式为（n﹣2）×180，∴多边形内角和一定是180的倍数．故选：A．2．（4分）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A．5或7 B．7或9 C．7 D．9【解答】解：根据三角形的三边关系，得第三边大于8﹣3=5，而小于两边之和8+3=11．又第三边应是奇数，则第三边等于7或9．故选：B．3．（4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7 B．7或11 C．11 D．7或10【解答】解：根据题意，①当AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故选：B．4．（4分）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等．其中真命题的个数有（）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【解答】解：（1）形状相同的两个三角形是相似形，但不一定是全等形，故错误；（2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边，对应边和对应角不一相等，故错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，正确，正确的有1个，故选：C．5．（4分）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A的度数等于（）A．70°B．60°C．50°D．40°【解答】解：∵∠1+∠2=100°，∴∠ADF+∠AEF=360°﹣100°=260°，∴∠ADE+∠AED=130°，∴∠A=180°﹣130°=50°．故选：C．6．（4分）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是（）A．边角边B．角边角C．边边边D．边边角【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BD∴∠ABC=∠BDE又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE∴△EDC≌△ABC（ASA）故选：B．7．（4分）如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠C+∠B=90°，∠BDF+∠B=90°，∠BAD+∠B=90°，∴∠C=∠BDF=∠BAD，∵∠DAC+∠C=90°，∠DAC+∠ADE=90°，∴∠C=∠ADE，∴图中与∠C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：B．8．（4分）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的．故选：B．9．（4分）如图，已知∠1=∠2，AC=AD，有下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠C=∠D；④∠B=∠E．其中能使△ABC∽△AED的条件有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵∠1=∠2，∴∠CAB=∠DAE；又AC=AD；所以要判定△ABC∽△AED，需添加的条件为：①AB=AE，根据全等三角形的判定定理SAS可以判定△ABC≌△AED，是一种特殊的相似三角形，故正确；③∠C=∠D（两角法），故正确；④∠B=∠E（两角法），故正确；故选：B．10．（4分）如图，已知△ABC是等边三角形，点O是BC上任意一点，OE，OF分别于两边垂直，等边三角形的高为2，则OE+OF的值为（）A．1 B．3 C．2 D．4【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°又∵OE⊥AB，OF⊥AC，∠B=∠C=60°，∴OE=OB•sin60°=OB，同理OF=OC．∴OE+OF=（OB+OC）=BC．在等边△ABC中，高h=AB=BC．∴OE+OF=h．又∵等边三角形的高为2，∴OE+OF=2，故选：C．二、填空题（每小题3分，满分24分）11．（3分）如图，为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背后加钉了一根木条，这样做的道理是利用三角形的稳定性．【解答】解：这样做的道理是利用三角形的稳定性．12．（3分）已知在△ABC中，∠C=∠A+∠B，则△ABC的形状是直角三角形．【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°，∴△ABC是直角三角形．故选：C．13．（3分）如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD，使△ABD≌△ACD．【解答】解：添加∠B=∠C，可用AAS判定两个三角形全等；添加∠BAD=∠CAD，可用ASA判定两个三角形全等；添加BD=CD，可用SAS判定两个三角形全等．故填∠B=∠C或∠BAD=∠CAD或BD=CD．14．（3分）如图所示，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∠1=25°，∠2=30°，则∠3=55°．【解答】解：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，∴∠1=∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2=∠ABD=30°，∵∠1=25°，∴∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55°，故答案为：55°．15．（3分）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是31.5．【解答】解：作O E⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为E、F，连接OA，∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD=OE=OF，=S△OBC+S△OAC+S△OAB∴S△ABC=×OD×BC+×OE×AC+×OF×AB=×OD×（BC+AC+AB）=×3×21=31.5．故填31.5．16．（3分）正十边形的内角和为1440°，外角和为360°，每个内角为144°．【解答】解；正十边形的内角和为1440°，外角和为360°，每个内角为144°，故答案为：1440°，360°，144°．17．（3分）如图，在△ABC中，AB=3，BC=8，则BC边上的中线AD的取值范围是1＜AD＜7．【解答】解：∵BC=8，AD是BC边上的中线，∴BD=4，∴4﹣3＜AD＜4+3，即1＜AD＜7．故答案为：1＜AD＜7．18．（3分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，F是BC上一点，BD⊥AF交AF的延长线于D，CE⊥AF于E，已知CE=5，BD=2，则ED=3．【解答】解：在△ABC中，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵BD⊥AF，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，∵CE⊥AF，∴∠CEA=90°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD﹣AE=CE﹣BD=5﹣2=3．故答案为：3．三、解答题（共7小题，满分86分）19．（10分）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合，过角尺顶点P 的射线OP便是∠AOB的平分线，请说明理由．【解答】解：射线OP是∠AOB的平分线，理由如下：在△OMP和△ONP中∵∴△OMP≌△ONP（SSS），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB．20．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点O为BD上任意一点，过点O的直线分别交AD，BC于M，N两点．求证：∠1=∠2．【解答】证明：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2．21．（12分）如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠DAE=∠BAC=（∠EAB﹣∠CAD）=（120°﹣10°）=55°．∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC+∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°∠DGB=∠DFB﹣∠D=90°﹣25°=65°．综上所述：∠DFB=90°，∠DGB=65°．22．（12分）如图，如图，点P在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，（1）求证：△BDP≌△BCP（2）求证：AD=AC．【解答】证明：（1）∵∠1=∠2，∴∠DPB=∠CPB，在△BDP和△BCP中，，∴△BDP≌△BCP（ASA）；（2）由（1）知△BDP≌△BCP，∴BD=BC，在△BDA和△BCA中，，∴△BDA≌△BCA（SAS），∴AD=AC．23．（12分）如图，BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，BE与CF交于点D，AD平分∠BAC，求证：AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC、CF⊥AB于点E、F，∴∠BEA=∠CFA=90°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAF．在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（AAS），∴AE=AF．在Rt△ABE和Rt△ACF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ACF（ASA），∴AB=AC．24．（14分）如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF．【解答】证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，∠EAB=∠FAC=90°，∴∠EAC=∠BAF，在△EAC和△BAF中，，∴△EAC≌△BAF，∴EC=BF．（2）设AC交BF于O．∵△EAC≌△BAF，∴∠AFO=∠OCM，∵∠AOF=∠MOC，∴∠OMC=∠OAF=90°，∴EC⊥BF．25．（14分）如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF=BE﹣CF；（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明．【解答】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=AF，∴EF=EA+AF=BE+CF．（2）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ACF中，∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=AF，∵EF=AF﹣AE，∴EF=BE﹣CF．（3）EF=CF﹣BE，理由是：：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFA=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△ACF中，∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=CF，∵EF=EA﹣AF，∴EF=CF﹣BE．。