对偶求解体系
对偶与对偶算法教学课件
0 YˆT b AXˆ CT Xˆ YˆT AXˆ CT YˆT A Xˆ 0
所以 YˆT b AXˆ 0, Xˆ T ATYˆ C 0
例 原问题 max 2x1 4x2 x3 x4
1 3 0 1 8
s.t.
2 0
x1
1
1
x2
0
1
x3
0
YˆT b AXˆ 0, Xˆ T ATYˆ C 0
等价于
yˆi
bi
ai
Xˆ
0,i,
xˆ j PjTYˆ c j 0,j
含义：如果原（对偶）问题某不等式是松的（不等于0）
则其相应的对偶（原）变量必须是紧的（等于0）
证明充分性：
YˆT b AXˆ 0 bTYˆ YˆT AXˆ
Y 0
max bTY s.t. ATY C
Y 0
标准线性规划问题对偶问题的对偶问题
原问题
min
bT , bT
Y1
Y2
.t.
AT , AT
Y1 Y2
C
对偶问题
Y1 0, Y2 0
max CT X
A b
s.t.
A
X
b
X 0
max 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
s.t. 0 1 1 5 0 0 3
1x1 0x2 1 15 x3 1 6 x4 0x5 3
0 0 2 15 1 6 1 1
x j 0, j 1,2,,5
将 x2, x1, x5 的表示式代入目标函数，原问题等价为
max
9
1 15
x3
1 3
x4
s.t. 0 1 1 5 0 0 3
1x1 0x2 1 15 x3 1 6 x4 0x5 3
对偶求解体系
课程名称：现代计算力学课程编号：课程类型：非学位课考核方式：考试、考查学科专业：结构工程年级：研一姓名：邢晨鹏学号： 10076130065河北工程大学 2013～2014 学年第二学期研究生课程论文报告对偶求解体系及其精细积分法学院：土木工程学院专业：结构工程姓名：邢晨鹏学号： 10076130065摘要：本文主要介绍了哈密顿体系的求解步骤，将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基上的铁摩辛柯梁问题。
首先导出了梁的总是能，然后采用拉格朗日函数导出拉格朗日方程，最后提出哈密顿函数及哈密顿正则方程。
弹性地基上的梁的哈密顿理论成果将为研究铁摩辛柯里梁解析解和有限元解提供新的有效工具。
关键词：哈密顿求解体系；拉格朗日方程；对偶方程；变分原理；精细积分法；正则方程Abstract:This paper mainly introduces the solution procedure of Hamiltonian system, the Hamiltonian solution system is applied to the elastic foundation on elastic Timoshenko problem. Firstly deduced beam can always, then the Lagrange function to derive the Lagrange equation , the final Hamiltonian and Hamiltonian canonicalequation is proposed. Hamiltonian theory . Hamiltonian theory of beam on elastic foundation for the study of the Timoshenko beam analytical solution provides a new effective tool and finite element solution 。
第二章对偶理论
原始问题（prime)与对偶问题之间的关系
•
极小化问题 （min)
• 变量 • • • 约束 • •
Xj ≥0 Xj :unr Xj ≤ 0 ∑aijxj ≥ bi ∑aijxj = bi ∑aijxj ≤ bi
极大化问题 （max)
约束 ∑aijwj ≤ bi ∑aijwj =bi ∑aijwj ≥ bi
变量 wj ≥0 wj: unr wj ≤ 0
第二章 对偶线性规划
对偶问题的形成
min z= 2x1+4x2-x3 s.t. 3x1- x2+2x3 ≥ 6
-x1+2x2-3x3 = 12 2x1+x2+2x3 ≤ 8 x1+3x2-x3 ≥ 15
x1≥0 x2≤0 x3: unr
max w=6y1+12y2+8y3+15y4 s.t. 3y1- y2+2y3+ y4 ≤ 2
单纯形法的迭代过程
Ъi≥0 σj ≥ 0
Ъi≥0 σj≤0
对偶单纯形法的迭代过程
Ъi ≤ 0 σj≤0
第二章 对偶线性规划
Ъi≥0 σj≤0
2、对偶单纯形法 例题1
Hale Waihona Puke minω=15y1+5y2+11y3 s.t. 3y1+2y2+2y3≥5 5y1+y2+2y3≥4 y1，y2，y3≥0
直接写成标准式时有-S1 和-S2,则无法有初始基, 因此乘个-1
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、 ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price）
第二章 对偶线性规划
对偶问题的原理和应用
对偶问题的原理和应用1. 对偶问题的概述对偶问题是线性规划领域的一个重要概念，它通过将原始问题转化为对偶形式，从另一个角度来解决问题。
对偶问题在优化领域有着广泛的应用，尤其在线性规划中起到了重要的作用。
2. 对偶问题的原理对偶问题的转化是基于线性规划的标准形式进行的。
假设我们有一个原始线性规划问题：最小化：c T x约束条件：$Ax \\geq b$ 变量约束：$x \\geq 0$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束条件的右侧常数向量。
对于原始问题，我们可以定义一个对偶问题。
对偶问题的定义如下：最大化：b T y约束条件：$A^Ty \\leq c$ 变量约束：$y \\geq 0$其中，y是对偶问题的变量向量。
对偶问题的目标函数和约束条件是原始问题的线性组合，并且满足一定的对偶性质。
3. 对偶问题的求解方法对偶问题的求解方法有两种：一种是通过求解原始问题得到对偶问题的最优解，另一种是通过求解对偶问题得到原始问题的最优解。
这两种方法都可以有效地解决线性规划问题。
3.1 原始问题到对偶问题的转换原始问题到对偶问题的转换可以通过拉格朗日对偶性定理来实现。
该定理表明，原始问题的最优解与对偶问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解原始问题的对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
3.2 对偶问题到原始问题的转换对偶问题到原始问题的转换可以通过对偶定理来实现。
该定理表明，对偶问题的最优解与原始问题的最优解之间存在一种对偶性关系。
通过求解对偶问题，我们可以获得原始问题的最优解。
4. 对偶问题的应用对偶问题在实际应用中具有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
4.1 线性规划问题对偶问题在线性规划中得到了广泛的应用。
通过将原始问题转化为对偶形式，我们可以使用对偶问题的求解方法来求解线性规划问题。
对偶问题可以提供原始问题的最优解，并且可以帮助我们理解原始问题的性质和结构。
4.2 经济学和管理学对偶问题在经济学和管理学中也有重要的应用。
对偶问题及对偶单纯形法完整
(二)非对称型对偶问题
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2 a13 x3 a13 x3 b1 s.t. a11 x1 a12 x2 a23 x3 a23 x3 b2 a21x1 a22 x2 a ax a ax b a a ax 21 ax 1x 2x 3x 3x 21 1 22 22 2 23 23 3 23 23 3 2b2 a33 x3 a33 x3 b3 a31x1 a32 x2 , x3 , x3 0 x1, x2 b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
第 6页
二、原问题与对偶问题的对应关系
P
max z 3x1 4x2 s.t. x1 x2 6 y 1
x 2x 8 1 2 x2 3 x1 , x2 0
D
y2 y3
矩阵形式： s.t. 1 1
x1 max z (3 4) x2
a12 y1 a22 y2 a32 y3 c2 a13 y1 a23 y2 a33 y3 c3 y2无约束， y3 0 y1 0，
变 量
约 束 条 件
第12页
(一)对称型对偶问题
max z 3x1 4x2 s.t. x1 x2 6
x 2x 8 1 2 x2 3 x1 , x2 0
第 2页
一、对偶问题的提出
对同一问题从不同角度考虑，有两种对立的描述。
周长一定面积最大的矩形是正方形 : 面积一定周长最短的矩形是正方形 某企业生产甲、乙两种产品，要用 A、B、C三种不同的原料。每生产 1 吨甲产品，需耗用三种原料分别为1，1，0单位；生产1吨乙产品，需耗用三 种原料分别为1，2，1单位。每天原料供应的能力分别为6，8，3单位。又知 道每生产1吨甲产品企业利润为300元，每生产1吨乙产品企业利润为400元。
对偶性与对偶算法
等价于
含义：如果原（对偶）问题某不等式是松的（不等于0） 则其相应的对偶（原）变量必须是紧的（等于0）
证明充分性：
由以上两式可得
，根据弱对偶性的
推论可知两者分别是各自问题的最优解
证明必要性 ： 当 和 是原、对偶问题的最优解时，
由强对偶性可知
，再利用可行性条
件
可得
所以
例
原问题
对偶问题
已知原问题最优解
不同约束常数项对最优目标值的影响
例1对偶问题
最优解
（用对偶性验证）
对偶问题最优解正好是最优目标函数的增量！
一般情况 原问题
对偶问题
设对偶问题最优解为 ，由强对偶性知，原问题 的最优目标值为
所以，原问题最优目标关于
的偏导数
分别是
，说明 增加一个单位可望增
加 的最优目标值，故称其为 的影子价格
原问题
可行集
对偶单纯型法 是从不可行区 域逐渐减少目 标函数值逼近 最优解，如右 图从 到最 优解
出基变量行非基变 量的系数全为负数
①× (-0.5) + ② ①
或
②
①× (-2) + ②
合格 不合格
选比值小的进基！
出基变量行非基变 量的系数中有正数
① ①× (-2) + ②
②
选比值小的变量进基时不用考虑负数！
合格
出基变量行非基变 量的系数全为正数
不可能同时成立 出基变量行的变量系数全为正数时原问题无解！
所以，关键问题是，迭代过程是否不会出现循环？
为回答收敛问题，先确定一步迭代后下式中的
由于上式来自 ①× (
) + ②，其中
①
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解(共7页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-用对偶单纯形法求对偶问题的最优解摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解.关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of TheDual ProblemAbstract：In the application of the linear programming， people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem. One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relationsbetween the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method1 引言首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点.2 对偶问题的形式对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题.对称形对偶问题设原线性规划问题为Max1122...n nZ c x c x c x =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x bx j n +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（）则称下列线性规划问题 Max 1122...m m W b y b y b y =+++()11112211211222221122...............0.1,2,...,n n n n m m mn n nj a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y cy j m +++≤⎧⎪+++≤⎪⎪⎨⎪+++≤⎪≥=⎪⎩（）为其对偶问题，其中(1,2,...,)i y i m =称其为对偶变量，并称（）和（）式为一对对称型对偶问题.原始对偶问题（）和对偶问题（）之间的对应关系可以用表2-1表示.这个表从横向看是原始问题，从纵向看使对偶问题.用矩阵符号表示原始问题（）和对偶问题（）为 CX Z =max原问题 ⎩⎨⎧≥≤0X b AX （）Yb W =min对偶问题 ⎩⎨⎧≥≤0Y C YA （） 其中()12,,...,m Y y y y =是一个行向量. 非对称对偶问题线性规划有时以非对称形式出现，那么如何从原始问题写出它的对偶问题，我们从一个具体的例子来说明这种非对称形式的线性规划问题的对偶问题的建立方法.例1 写出下列原始问题的对偶问题43214765max x x x x Z ++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥-≥++--≤-+--=--+)4,3,2,1(032417281473672432143214321j x x x x x x x x x x x x x j解： 第一约束不等式等价与下面两个不等式约束724321-≤--+x x x x 724321≤++--x x x x 第二个约束不等式照写147364321≤-+-x x x x 第三个不等式变成32417284321≤--+x x x x以 121123,,,y y y y 分别表示这四个不等式约束对应的对偶变量，则对偶问题为 32211131477min y y y y W +++-= ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--+-≥-++--≥+--≥++-0,,,427746173225286322111322111322111322111322111y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y令 12111y y y =-，则上式的对偶问题变为：3213147min y y y W ++-=12312312312323162852317647724,0,y y y y y y y y y y y y y y y ++≥⎧⎪-+≥-⎪⎪-+-≥⎨⎪---≥⎪≥⎪⎩无符号限制一般可以证明，若原问题中的某个变量无非负限制，则对偶问题中的相应约束为等式. 3 对偶单纯形法对偶问题求解具有重要的意义，有多种方法解决对偶问题.下面介绍用对偶单纯形法来解决线性规划的对偶问题.先介绍以下几个线性规划的基本概念[]6：基： 已知A 是约束条件的m n ⨯系数矩阵，其秩为m .若B 是A 中m m ⨯阶非奇异子矩阵（即可逆矩阵），则称B 是线性规划问题中的一个基.基向量：基B 中的一列即称为一个基向量.基B 中共有m 个基向量. 非基向量：在A 中除了基B 之外的一列则称之为基B 的非基向量. 基变量：与基向量相应的变量叫基变量，基变量有m 个.非基变量：与非基向量相应的变量叫非基变量，非基变量有n m -个. 由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m 元线性方程组就可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解.首先重新回顾一下单纯形法的基本思想，其迭代的基本思路是：先找出一个基可行解，判断其是否为最优解，如果不是，则转换到另一更优的基可行解，并使目标函数值不断优化，直到找到最优解为止.我们可以用另一种思路，使在单纯形法每次迭代的基本解都满足最优检验，但不一定满足非负约束，迭代时使不满足非负约束的变量个数逐步减少.当全部基变量都满足非负约束条件时，就得到了最优解，这种算法就是对偶单纯形法.因此，单纯形法是从一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优条件为止.对偶单纯形法是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索出最优解.在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失.现把对偶单纯形法的基本步骤总结如下[3]:第一，把所给的线性规划问题转化为标准型；第二，找出一个初始正则基0B ，要求对应的单纯形表中的全部检验数0j σ≤，但“右边”列中允许有负数；第三，若“右边”列中各数均非负，则0B 已是最优基，于是，已求得最优解，计算终止.否则转为第四步；第四，换基：“右边”列中取值最小（即负的最多）的数所对应的变量为出基变量.计算最小比值θ.最小比值出现在末列，则该列所对应的变量即为进基变量，换基后得新基1B ，以出基变量的行和进基变量列交点处的元素为主元进行单纯形迭代，再转入第三步.下面用一个例子具体说明用对偶单纯形法求线性规划问题最优解的步骤： 例1 求解线性规划问题 min 12315511W y y y =++;1231231233225524,,0y y y y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩添加松弛变量以后的标准型 min 12315511W y y y =++12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ++-=⎧⎪++-=⎨⎪≥⎩ 将每个等式两边乘以-1，则上述问题转化为 min 12315511W y y y =++;12341235123453225524,,,,0y y y y y y y y y y y y y ---+=-⎧⎪---+=-⎨⎪≥⎩如果取()045,B Y y y =作为初试基变量，有如下初试单纯形表（表）由此可见，两个基变量45,y y 均取负值，所以，0B 所确定的基本解不是基可行解，从而也就不能用单纯形法求解.下面我们用一种新的方法对偶单纯形法求解此题，并通过例题来说明方法步骤.对偶单纯形法的基本思想：是保证检验数行全部非正的条件下，逐步使得“右边”一列各数变成非负.一旦“右边”一列各数均满足了非负条件（即可行性条件），则就获得最优解.现在，0B 不是可行基（称为正则基），为保证上述方法的实现，可按下面的方法确定出基变量和进基变量.出基变量的确定 可以取任意一个具有负值的基变量（一般可取最小的）为出基变量.在上例中，两个基变量()45,y y 都取负值，且45y =-最小，故 4y 为出基变量.现在考虑出基变量所对应的负所有元素 0ij a <，对每个这样的元素作比值jija σ'，令 30min 0j ij j n ij ija a a σσθ≤≤⎧⎫⎪⎪'=≤=⎨⎬''⎪⎪⎩⎭ （） 则 3x 为进基变量.在表2-4中，基变量 4y 所在的行有三个ij a '取负值，其值分别为-3，-2，-2.它们对应的检验数分别为-15，-5，-11. 于是212155115min ,,3222a σθ---⎧⎫===⎨⎬---⎩⎭ 由此可知， 2y 为进基变量.主元素为 2ija '=-，对表2-1进行一次迭代便得表2-2，在表2-2的（1）中，基变量 3y 所取之值 2302b '=-<，故 3y 为出基变量.又21215561522min ,,711722a σθ⎧⎫--⎪⎪-===⎨⎬'-⎪⎪--⎩⎭故 3y 是进基变量；，主元为 2172a '=-.对（1）再作单纯形变换，得表3-1之（2）.由于它的“右边”已列出全部非负，故它就是最优表.最优解为：137y '=，2137y '=， 3450y y y '''===；最优值 1107w '=.然而在有些问题中，我们很容易找到初始基本解，因此使用对偶单纯形法求解线性规划问题是有一定条件的，其条件是：(1) 单纯形表的b列中至少有一个负数.(2) 单纯形表中的基本解都满足最优性检验.对偶单纯形法与原始单纯形法相比有两个显著的优点：(1) 初始解可以是不可行解，当检验数都非正时，即可进行基的变换，这时不需要引入人工变量，因此简化了计算.(2) 对于变量个数多于约束方程个数的线性规划问题，采用对偶单纯形法计算量较少.因此对于变量较少、约束较多的线性规划问题，可以先将其转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.对变量多于约束条件的线性规划问题，用对偶单纯形法进行计算可以减少计算的工作量.因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将此问题转化为对偶问题，然后用对偶单纯形法求解.用对偶单纯形法求解线性规划问题的标准型，要求初始单纯形表检验数行的检验数必须全部非正，若不能满足这一条件，则不能运用对偶单纯形法求解.对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题来说，很难找到一个初始可行基，因此这种方法在求解线性规划问题时，很少单独应用.参考文献：[1] 吴祈宗．运筹学学习指导及习题集[M] ．北京：机械工业出版社，2006．[2] 孙君曼，冯巧玲，孙慧君，等．线性规划中原问题与对偶问题转化方法探讨[J]．郑州:工业学院学报（自然科学版），2001，16(2):44~46．[3] 何坚勇．运筹学基础．北京：清华大学出版社，2000．[4] 周汉良，范玉妹. 数学规划及其应用．北京：冶金工业出版社．[5] 陈宝林．最优化理论与算法(第二版) ．北京：清华大学出版社，2005．[6] 张建中，许绍吉. 线性规划. 北京：科学出版社，1999.[7] 姚恩瑜，何勇，陈仕平．数学规划与组合优化．杭州：浙江大学出版社，2001．[8] 卢开澄．组合数学算法与分析．清华大学出版社， 1982．[9] Even． Shimon． Algzithmic Combinatorial． The Macmillan Company， New York， 1973．[10] J．P．Tremblay， R．Manohar．Discrete Mathematical Structures with Applications to Computer Science， 1980．[11] 李修睦．图论．华中工学院出版社， 1982．[12] Pranava R G．Essays on optimization and incentive contracts[C]．Massachusetts Institute of Technology， Sloan School of Management: Operations Research 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对偶问题的解
对偶问题的解
对偶问题是原始优化问题的一种等价形式，通过转换变量和约束条件来得到。
对偶问题可以提供原始问题的下界，并且在某些情况下，其解与原始问题的解是相等的。
通常，求解对偶问题的步骤如下：
1. 确定原始问题的拉格朗日函数：根据原始问题的约束条件，构建拉格朗日函数。
该函数包括原始问题的目标函数和约束条件的乘子项。
2. 构建对偶问题：将拉格朗日函数进行最大化或最小化，并移除原始问题的变量和约束条件。
这样就得到了对偶问题。
3. 求解对偶问题：使用合适的优化方法（如KKT条件、凸优化理论等）来求解对偶问题。
可以使用梯度法、内点法、对偶分解等算法来求解对偶问题。
4. 根据对偶问题的解，获得原始问题的下界：通过对偶问题的解，计算原始问题的下界值。
如果对偶问题达到最优解，则其下界是原始问题的最优解。
5. 分析对偶问题的解与原始问题的关系：根据所使用的对偶性质和定理，分析对偶问题的解与原始问题的解之间的关系。
在某些情况下，二者是相等的，即对偶问题的解也是原始问题的解。
需要注意的是，对偶问题并不总是存在或者有意义。
它们的存在和有效性取决于原始问题的结构和特性。
因此，在求解对偶问题之前，需要对原始问题进行分析，并确保对偶问题的适用性。
同时，对偶问题的解也可以提供一些关于原始问题的额外信息，如灵敏度分析、约束条件的松弛程度等。
这些信息对于理解和优化原始问题都是有益的。
综上所述，通过对偶问题的解，我们可以获得原始问题的下界，并在一些情况下得到原始问题的最优解。
对偶问题课件ppt
拉格朗日乘数法通过引入拉格朗日乘数，将原问题转化为 求拉格朗日函数的极值问题。该方法在处理无约束优化问 题时具有简单易行、适用范围广等优点。
牛顿法
牛顿法是一种求解非线性方程的迭代 算法，通过不断迭代和修正解的近似 值，逐步逼近方程的根。
VS
总结词：约束优化问题的对偶问题可 以简化和加速计算过程，通过对偶变 换将约束优化问题转化为对偶问题， 提高求解效率。
机器学习中的对偶问题
在机器学习中，许多算法都涉及到对偶问题 的应用。例如，支持向量机（SVM）算法 中的最大间隔问题就是一个典型的对偶问题 。通过对偶变换，可以将原问题转化为对偶 问题，简化模型复杂度，提高学习效率和精 度。
对于约束优化问题，可以通过对 偶算法（如序列二次规划法）求
解对偶问题，得到最优解。
机器学习中对偶问题的应用案例
对偶问题在机器学习中的应用
在机器学习中，许多算法可以转化为对偶问题，如支持向量机、神经网络等。
应用案例
以支持向量机为例，其原始问题是求解一个二次规划问题，而其对偶问题则是求解一系 列线性方程组。通过对偶变换，可以将原始问题转化为对偶问题，从而简化计算过程。
总结词：线性规划问题的对偶问题可以简化和加速计算过程，通过对偶变换将原问题转化为对偶问题 ，提高求解效率。
最小二乘问题
最小二乘问题是一种数学优化技术，旨在找到一组数据的最优拟合直线或曲线。对偶问题在最小二乘问题中也有广泛应用， 通过对偶变换，将最小二乘问题转化为对偶问题，简化计算过程，提高求解效率。
解决方案
对于线性规划问题，可以 通过对偶算法（如对偶单 纯形法）求解对偶问题， 得到最优解。
运筹学对偶单纯形法
则原问题无可行解。
例: 用对偶单纯形法求解线性规划问题：
min w 15y 1 24y 2 5y 3
s.t 6y 2 y 3 2 y1 , y 2 , y 3 0 5y 1 2y 2 y 3 1
对偶问题的 初始可行基
maxw w 15 15y1 max 1 24y2 2 5 y3 3 y y 2 s.ts.t 6 y2 y 2 3 4 2 3 4 5y y 2 y y y 1 -5 2 y y y 1 1 2 3 5 1 2 3 5 ,2y , , 5y y1y , 1y ,2 ,y 00 5
xk a1s …
… …
xn a1n …
…
0
a1, m+1
…
… … … … … … 即不可能存在 xj 0(j=1, …,n)的解，
bl l 故原问题无可行解，
… … … 0 0 … … 0 0 xm cj－zj
bm
x
0
…
1
…
0 … 1 0
a l,m+1 …
…
alk …
…
aln …
此时对偶问题的目标函数值无界。
-4 x3
-1/5
0 x4
-2/5
0 x5
1/5
1 0
0
7/5
-3/5
-1/5
-8/5
-2/5
-1/5
0
bi≥0, σj≤0得到最优解为：
X*=(11/5, 2/5,0,0,0）T 对偶问题最优解为：
Y ( y , y ) (8 / 5,1 / 5)
* * 1 * T 2
T
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
对偶问题的原理及应用
对偶问题的原理及应用1. 前言对偶问题是优化领域中一种重要的问题转化和求解方法，它通过转化原始问题为对偶问题，进而解决原始问题或者获得问题的一些有用信息。
本文将介绍对偶问题的原理以及其在优化问题中的应用。
2. 对偶问题的原理对偶问题是数学规划中一类常用的问题转化方法，它通过对原始问题进行变换，得到一个与原始问题等价的新问题。
对偶问题从不同的角度来看待原始问题，从而为求解或优化原始问题提供了一种新的视角。
对于一个标准形式的原始优化问题，其数学表示可以写成：minimize c^T xsubject to Ax <= bx >= 0其中，x是优化变量，c是目标函数的系数向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
对偶问题则可以表示为：maximize b^T ysubject to A^T y <= cy >= 0其中，y是对偶变量。
对偶问题的目标函数与原始问题的约束函数形式相似，而对偶问题的约束函数则与原始问题的目标函数形式相似。
3. 对偶问题的应用对偶问题在优化领域中的应用非常广泛，下面将介绍对偶问题在线性规划、凸优化和机器学习等领域的具体应用。
3.1 线性规划线性规划是对偶问题应用最为广泛的领域之一。
在线性规划中，对偶问题能够提供原始问题的下界，并且可以通过对偶问题的求解得到原始问题的最优解。
此外，在有些情况下，原始问题与对偶问题之间存在强对偶性，即原始问题与对偶问题的最优解相等。
3.2 凸优化对偶问题在凸优化中也有很多应用。
凸优化问题具有许多良好的性质，其中之一就是对偶问题的存在性和强对偶性。
通过对偶问题的求解，可以获得凸优化问题的最优解，并且可以通过对偶变量的解释来获得关于原始问题的一些有用信息。
3.3 机器学习对偶问题在机器学习中也有广泛的应用。
例如，在支持向量机（SVM）中，对偶问题的求解可以将原始问题转化为一个更简单的形式，从而提高求解效率。
此外，对偶问题还可以提供关于支持向量和间隔的有用信息，从而帮助理解和解释模型的性质。
对偶与对偶算法教学课件
全局优化策略
探索如何在对偶算法中引入全局搜索 策略，以避免陷入局部最优解。
并行计算优化
进一步优化对偶算法的并行实现，提 高计算效率。
06
对偶算法的前沿研究
对偶算法的最新研究进展
深度学习中的对偶算法
随着深度学习技术的快速发展，对偶 算法在深度学习领域的应用也取得了 重要进展。通过对偶优化算法，可以 更高效地训练深度神经网络，提高模 型的准确性和泛化能力。
对偶算法的分类
线性规划对偶算法
线性规划对偶算法是最常见的对 偶算法之一，它通过对偶理论将 原问题转化为对偶问题，然后利
用对偶问题的性质进行求解。
凸优化对偶算法
凸优化对偶算法是一种广泛应用 于各类优化问题的对偶算法，它 通过对偶理论将原问题转化为对 偶问题，然后利用对偶问题的性
质进行求解。
拉格朗日对偶算法
基于对偶模型，设计求解对偶 问题的算法。
算法测试与验证
通过实验数据验证对偶算法的 正确性和有效性。
对偶算法的代码实现
编程语言选择
选择适合的编程语言， 如Python、C等。
代码框架搭建
根据对偶算法的设计， 搭建合适的代码框架。
核心逻辑编写
编写对偶算法的核心逻 辑，包括数据结构设计
和算法实现。
代码优化与调试
对偶算法的数学表达往往简洁 明了，易于理解和实现。
通用性
对偶算法可以应用于各种不同 的问题领域，具有广泛的适用 性。
并行性
对偶算法常常可以利用并行计 算的优势，进一步提高计算效
率。
对偶算法的缺点
局限性
对偶算法可能只适用于特定类型的问题，对 于其他问题可能不适用。
局部最优解
对偶算法容易陷入局部最优解，而不是全局 最优解。
对偶式公式原理
对偶式公式原理
我在这次的科学课，我学到了许多新的知识，而对偶式公式则是其中之一。
所谓对偶式公式，就是一个式子有两个相等的因式。
如果我们将一道题转换成两道题，就可以利用对偶式公式，快速地将一道题转换成另一道题。
在我们的生活中，有许多事物都可以用对偶式公式来解决，比如：数学中的对偶式公式、化学中的对偶式公式……
例如：数学上有这样一个例题：在一个长为a，宽为b的长方形中，长为4a，宽为2b的正方形面积是多少？
这道题对于我们来说并不难，只要将正方形四个边分别乘以a×b×c×d，就可以求出这个长方形的面积。
而对于正方形面积来说就很简单了，因为它是正方形中的一部分。
而在物理中也有对偶式公式。
比如：在一个正方形中，长为4b宽为2d的长方形所占的面积是多少？
—— 1 —1 —。
对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理是优化理论中的一个重要结论，它描述了原问题与对偶问题之间的关系。
对于线性规划问题，它的对偶问题是将原问题的约束条件和目标函数进行转置后得到的问题。
基本定理指出，原问题和对偶问题的最优解总是相等的，并且如果一个问题有最优解，那么它的对偶问题也一定有最优解。
这个定理在优化算法的设计中有着广泛的应用，例如可以通过求解对偶问题来加速原问题的求解，或者利用对偶问题的解来获得原问题的有用信息等。
- 1 -。
8对偶LP及对偶单纯形法
原始规划与对偶规划是同一组数 据参数,只是位置有所不同,所描 述的问题实际上是同一个问题从 另一种角度去描述.
（原问题）
线性规划的对偶模型
Page 10
特点：目标函数求极大值时，所有约束条件为≤ 号，变量非负; 目标函数求极小值时，所有约束条件 为≥号，变量非负.
LP：min Z C X
如何安排生产， 使获利最多？
最优解为 x (4, 2)T 最优值为 zmax 14
Page 6
反过来问：若厂长决定不生产甲和乙型产品，决定 出租机器用于接受外加工，只收加工费，那么４种 机器的机时如何定价才是最佳决策？
付出的代价最小， 且对方能接受。
出让代价应不低于 用同等数量的资源 自己生产的利润。
本节主要内容
线性规划的对偶模型 对偶性质
Page 2
对偶单纯形法
学习要点： 1. 掌握线性规划的对偶形式
2. 掌握对偶单纯形法的解题思路及求解步骤
对偶现象普遍存在
Page 3
“对偶”，在不同的领域有着不同的诠释。在词 语中，它是一种修辞方式，指两个字数相等、结构 相似的语句，旨表达出相关或相反的意思。如： “下笔千言，离题万里” “横眉冷对千夫指，俯首甘为孺子牛” “天高任鸟飞，海阔凭鱼跃” 数学上也有如下对偶例子： 周长一定，面积最大的矩形是正方形； 面积一定，周长最小的矩形是正方形。
0T Y Xs 0 T 0 Ys X 0
互补松弛条件
其中：Xs为松弛变量、Ys为剩余变量.
对偶性质的应用
Page 21
借助以上性质可以证明，在用单纯形法求解原问题的迭代 过程中，单纯形表右列中的元素对应于原问题的基本可行解， 底行中松弛变量对应的元素恰好构成对偶问题的基本解。逐次 迭代下去，当底行对应于对偶问题的解也变成基本可行解（底 行元素全非负）时，原问题和对偶问题同时达到最优解. 即此 时对偶问题的这个基本可行解就是它的最优解。 用单纯形方法求解原线性规划的过程中，每次迭代都保证 得到原问题的一个基本可行解，底行某些元素对应于对偶问题 的基本解. 单纯形法的迭代的过程既可以看作使原问题的基本 可行解逐步变为最优解（此时底行元素非负)的过程，也可看 作使对偶问题的基本解逐步变成基本可行解的过程。
022对偶原理资料
将问题(D)改写对称形 式(D)’ ：
maxW (bT )Y T
s.t.
( AT
Y
T
)Y 0
T
CT
记对偶变量为XT，
则(D)’的对偶规划为
min z' ( X TCT )
即
s.t.
X X
T T
( AT 0
)
bT
max Z CX
AX b
推论2(无界性)：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其
中一个问题有可行解，但目标函数无界，则另一个
问题无可行解.
注：推论2不存在逆.
推论3：在一对对偶问题(P)和(D)中，若其中一个问题 有可行解，而另一个无可行解，则该问题无界.
定理3(最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且
不能成立，因此对偶问题不可行。故由推论3知原 问题无界。
定理3 (最优性判别定理) 若X*和Y*分别是问题(P)和(D)的可行解，且 CX*=Y*b， 则X*，Y*分别是问题(P)和(D)的最优解.
证明：对于问题（P）的任意一个可行解X ，必有
CX≤Y*b 但 CX*=Y*b ， 故对原问题（P）的所有可行解X，有
y1 3y2 0
y1, y2 0
x1 x2 x3 2 2x1 x2 3x3 1 xj 0( j 1, 2,3)
由观察可知 X (0,0,0)T 是原问题的一个可行解。
因 y1, y2 0 而其对偶问题的第一个约束条件 y1 2y2 1
s.t. X 0
(P)
设线性规划问题(P)有最优解.
引入松弛变量 XS 将 (P) 化为标准形为
运筹学对偶问题
（B）
minW 20y1 10 y2 5y3 s.t. 3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5 y1 0, y2 0, y3为自由变量
比较
（A）
（B）
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
当原问题的约束条件的符号不完全相同时，也存在 对偶问题，这种对偶问题称为非对称对偶问题。
例
max Z 4x1 5x2 s.t.
3x1 2x2 20
4x1 3x2 10
x1 x2 5
x1
0,
x
为自
2
由
变
量
分析：
为求对偶问题，可先做过渡，将问题对称化：
对称化
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm x1 0, x2 0, xn 0
则以下线性规划问题：
（B）
minW b1 y1 b2 y2 bm ym s.t.
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1
max Z 4x1 5x2 s.t. 3x1 2x2 20 4x1 3x2 10 x1 x2 5 x1 0, x2为自由变量
4x1 3x2 10
x1 x1
x2 x2
5 5
x1 x2 5
设x 2 x 3 x 4 , x3 0, x 4 0
min W ' 20 y1 '10 y2 '5 y3 '5 y4 ' s.t. 3 y1 '4 y2 ' y3 ' y4 ' 4 2 y1 '3y2 ' y3 ' y4 ' 5 2 y1 '3 y2 ' y3 ' y4 ' 5 y1 ' 0, y2 ' 0, y3 ' 0, y4 ' 0
对偶公式离散数学
对偶公式离散数学对偶公式是离散数学中的一个重要概念，它在逻辑推理、集合论、图论以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍对偶公式的概念、性质和应用。
一、对偶公式的概念对偶公式是基于集合论中关于集合运算的补运算的一个重要概念。
在集合论中，对于一个给定的全集U，定义任意一个子集A的补集为全集U 中不属于A的元素所构成的集合，记作A'。
根据这个定义，对于两个子集A和B，它们的交集的补集和并集的补集都具有一定的关系，这种关系可以用对偶公式来表达。
二、对偶公式的性质1.补运算的自反性：对于任意一个子集A，有(A')'=A。
这个性质表明，一个子集的补集的补集还是它本身。
2.补运算的交换率：对于任意两个子集A和B，有(A∩B)'=A'∪B'。
这个性质表明，两个子集的交集的补集等于它们的补集的并集。
3.补运算的结合率：对于任意三个子集A、B和C，有(A∪B)∩C=A∩C∪B∩C。
这个性质表明，三个子集的并集的补集等于它们的补集的交集。
三、对偶公式的应用1.逻辑推理：对偶公式常常在逻辑推理中用于判定两个逻辑命题的等效性。
根据对偶公式，可以将一些命题的补命题转化为原命题的补命题，从而在推理过程中利用已知条件推导出新的结论。
2.集合论：对偶公式在集合论的证明中也有重要应用。
例如，在证明集合之间的关系时，可以通过对偶公式将一个集合之间的包含关系转化为另一个集合之间的补包含关系，从而简化证明过程。
3.图论：对偶公式在图论中也有广泛的应用。
例如，在图的割边和割点的计算中，对偶公式可以帮助我们快速得到割边和割点的补集。
4.计算机科学：对偶公式在计算机科学中也有很多应用。
例如，在编译原理中，对偶公式可以用于将一个复杂的语法规则转化为一个简化的等价规则，从而简化编译器的设计和实现过程。
总之，对偶公式是离散数学中一个基础而重要的概念。
它在逻辑推理、集合论、图论以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理
对偶问题的基本定理是数学中的一个重要定理，它指出：对于任何线性规划问题，都存在一个对偶问题与之相对应，并且这两个问题的最优解相等。
这个定理揭示了线性规划问题的一种特殊结构，为解决实际问题提供了有力的工具。
同时，利用对偶问题可以得到原问题的一些重要性质和结论，从而为求解问题提供更多的思路和方法。
由于对偶问题的基本定理的重要性，它被广泛应用于各个领域中，如经济学、管理学、工程学等。
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Zhong Wanxie. The reciprocal theorem and thesymplectic orthogonality [J]. Acta Mechanica Sinica,1992, 24(4): 432-437. (in Chinese)
哈密顿正则方程研究有势系统，首先就才用哈密顿变量来描述系统，建立描述函数它蕴含了有势系统的全部支力学行为的信息，柯通过对哈密顿方程的解析开发出来。哈密顿方程式 个变量 一阶长微分方程组。具有相当对称的形式，因此，哈密顿对偶求解体系的优美对称形式，为许多解析研究的起点。
本文将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基梁。弹性地基梁在土木工程中有非常广泛的应用。许多学者对弹性地基上的Timoshenko梁的弯曲问题做过研究。由于弹性地基上梁的弯曲问题的计算公式比较繁琐，人们更关心简便的数值计算方法。本文导出了Timoshenko梁弯曲问题的哈密顿对偶求解体系，将梁的控制微分方程转化为一阶微分方程。具体分为三部分：（1）梁的总时能，(2)拉格朗日函数和拉格朗日方程，（3）哈密顿函数及哈密顿正则方程。
图1弹性地基梁
2.1梁的总势能
取直角坐标系 ， 轴为截面形心轴， 轴和 轴为截面主惯性轴。梁长为 ，材料的弹性模量和剪切模量分别为 和 。梁上作用分布荷载 和分布弯矩 。用梁轴线的挠度 和横截面的转角 两个广义位移表示梁内任一点 沿 轴、 轴和 轴位移分别为：
（1）
由弹性力学公式中的几何方程，可以顿体系[J].大连理工大学学报, 1991, 31(4):373-384.
Zhong Wanxie. The plane elastic problem in strip domainand a Hamiltonian system[J]. Journal of DalianUniversity of Technology, 1991, 31(4):373-384. (inChinese)
姓名：邢晨鹏
学号：10076130065
摘要：本文主要介绍了哈密顿体系的求解步骤，将哈密顿求解体系推广应用于弹性地基上的铁摩辛柯梁问题。首先导出了梁的总是能，然后采用拉格朗日函数导出拉格朗日方程，最后提出哈密顿函数及哈密顿正则方程。弹性地基上的梁的哈密顿理论成果将为研究铁摩辛柯里梁解析解和有限元解提供新的有效工具。
[3]钟万勰.分离变量法与哈密顿体系[J].计算结构力学及其应用, 1991, 8(3): 229-240.
Zhong Wanxie. Method of separation of variables andHamiltonian system [J]. Journal of ComputationalStructural Mechanics and Applications, 1991, 8(3):229-240. (in Chinese)
哈密顿力学理论是拉格朗日力学的升华与推广，从数学角度看又是一门内容精深的相空间几何学，如辛几何、辛拓扑等都源于此。根据结构力学与控制理论的模拟，将对偶变量理论体系引入到应用力学，就改变了以往应用力学求解中大量运用半逆凑合法的传统，而导向了理性的求解方法，这也是对偶变量体系方法论与传统方法论的本质区别。这样就可以求得许多以往半逆凑合法无法导出的结果。从拉格朗日体系向哈密顿体系的过度，其意义还再有从传统的欧几里德型几何形态进入到了辛几何的形态之中，突破了传统观念。从而使对偶的混合变量进入到应用力学的广大领域。对偶体系还可以进入数学物理方法，并由此辐射到有关领域去，有利于向不同学科领域渗透。
[6]罗建辉,刘光栋.各向同性平面弹性力学求解新体系正交关系的研究[J].计算力学学报, 2003, 20(2):199-203.
Luo Jianhui, Liu Guangdong. Research on orthogonalityrelationshipof a new systematic methodology fortwo-dimensional elasticity [J]. Chinese Journal ofComputational Mechanics, 2003, 20(2): 199-203.
课程名称：现代计算力学课程编号：课程类型：非学位课考核方式：考试、考查
学科专业：结构工程年级：研一姓名：邢晨鹏学号：10076130065
河北工程大学2013～2014学年第二学期研究生课程论文报告
课程论文评语：
成绩
评阅教师签名
评阅日期
年月日
对偶求解体系及其精细积分法
学院：土木工程学院
专业：结构工程
3弹性地基上的铁摩辛柯梁两端边值问题的计算步骤
首先需要准备好两端边值问题计算所需要的全部公式。
下面把计算步骤归纳如下：
1、写出问题的拉格朗日函数表达式
（12）
2、确定哈密顿函数 ，也就是由
，求出对应的矩阵
3、选择步长 取 ， 计算细分 后小区段的混合能矩阵 。具体步骤为由 计算 和 ，再计算小区段的混合能矩阵 。
广义位移分量。具体的方法由计算公式
（16）
及给定的边界条件算出其他未知的广义力或广义位移分量。
对于左端固定，右端自由的情形，已知 ，则
于是求得了两端所有广义力或广义位移分量 及 。
对于两端均为弹性支撑的情形， ， 的条件换为 ， ，其中 为左端弹簧支撑的柔度矩阵， 为右端弹簧支撑的刚度矩阵。这样可以解出：
（2）
上式中圆点表示对 求倒数。铁摩辛柯梁的总势能可表示成：
（3）
式中 ,为梁的见面面积， ,为梁截面绕 轴的惯性矩， 为梁截面的横向剪切变形系数， 为梁截面的等效剪切弯矩。
2.2拉格朗日函数和拉格朗日方程
上式中被积函数就是弹性地基上梁的拉格朗日函数：
（4）
记：
， ，
, , ,
则上式可写为：
（5）
相应的拉格朗日方程为：
（17）
（18）
对于其它类型的支撑情形，可用弹性支撑来模拟。
7、计算各节点的状态向量。有了两端的广义位移和广义力分量 及 ，就可以按下
面的步骤求出各节点的状态向量
for
（19）
（20）
4对哈密顿力学求解体系的认识
在我看来，哈密顿体系是根据结构动力学与控制理论的模拟，将对偶变量理论体系引入到应用力学，就改变了以往应用力学求解中大量运用半逆解法求解的传统，而导向了理性的求解方法，这也是对偶变量体系方法与传统方法的本质区别。从拉格朗日体系理论体系向哈密顿体系的过渡，使对偶的混合变量进入到应用力学的广大领域。
（6）
上式可以写成：
（7）
2.3哈密顿函数及哈密顿正则方程
为了将方程导入哈密顿对偶体系，首先按照勒让德变换的规则，引入变量q的对偶变量：
（8）
解出:
引入哈密顿函数：
（9）
于是得到了哈密顿正则方程：
（10）
令 ， ， ,哈密顿正则方程还可表示为
在本题中
, , , （11）
显然，对偶变量 的物理意义就是梁截面上的剪力和弯矩，可以称为梁截面的广义力。
哈密顿原理不仅是用于动力学，它在弹性力学，结构力学、最优控制理论，电动力学，在量子力学中等都有相应的应用。哈密顿原理也不限制广义位移的个数，因此这一原理不但能用于离散系统，也能用于连续系统，当然也能用于离散、连续混合系统。这对于弹性力学，复杂结构，电磁场，波导理论是很有利的。例如在弹性力学中哈密顿体系的应用自变量长度坐标。在动力学变分原理中看到动量p与光速的乘积给出能量。在弹性力学中对偶变量就是应力与位移，位移长度坐标的微商是应变，应力乘应变就成为变形能密度。哈密顿理论的研究多年来长盛不衰，成为当今非线性科学中极其活跃而富有魅力的研究领域。
2具体力学问题的哈密顿对偶方程——弹性地基上的铁摩辛柯梁
如图所示的Timoshenko梁，计及横向剪切变形的影响和振动是梁的转动效应，仍然保持弯曲梁时梁的横截面保持为平面和梁的纵向前卫互不挤压两个假定。梁放置在弹性地基上， 和 分别为弹性地基的弹性系数。 和 分别为作用在梁上的分布荷载和分布力偶矩。
2.4弹性地基上梁弯曲问题的计算
通过以上的推导，我们得到了弹性地记上Timoshenko梁的哈密顿正则方程式，它是关于梁截面上广义位移和广义力的一阶常系数常微分方程组，从现代控制理论的角度来看，它就是系统的状态方程，其系统矩阵就是给出的哈密顿矩阵，与现代控制理论中的一些问题具有可比拟性。由于弹性地基上Timoshenko梁的弯曲问题属两端边值问题而非初值问题，可用分离变量法按本征向量展开求其解析解，也可以用精细积分法求高精度的数值解。事实上，采用高精度的精细积分法求数值解时，对变截面梁和变弹性系数地基也是适用的，而且计算方法具有高度一致性。
4、计算步长为 的基本区段的混合能矩阵（不考虑外载的作用）具体的步骤为
（13）
end
（14）
求出基本区段的混合能矩阵后，相应的
5、计算整个结构的混合能矩阵（考虑外载的作用）。具体做法是由左向右逐一合并区段最后求出整个结构的混合能矩阵，注意保存中间的计算结果。具体步骤如下
（15）
6、计算两端状态向量，由边界条件及整个结构的混合能矩阵可导出边界上其它未知的广义力或
Key words:The Hamiltoniansolution system; Lagrange equation; dual equation; variational principle; precise integration method; canonical equation
1哈密顿对偶求解体系的特点
哈密顿力学的求解体系是一套数学结构体系，并不局限于动力学。把动力学的哈密顿体系引入到弹性体系是很自然地事情，都可以把他们看做是单连续坐标体系，差别在于弹性体系的但连续坐标是空间的，而动力学则是时间。在这种情况下，弹性体系的但连续坐标体系为两段边值问题，而动力学是时间域内的初值问题。分析力学中的哈密顿力学理论不局限于线弹性体系问题，现在用于处理线弹性力学问题，并且汉密顿力学理论对于非线性弹性体系也是适用的。