函数符号的故事

不同的“函数”
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十七世纪伽俐略(G． Galileo ，意，1564 －1642) 在《两门新科学》一书 中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言 表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes ，法，1596－1650)在 他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时 尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微 积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function” （函数）表示“幂”，后来他 用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。 与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。
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sin cos tan
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三角函数中有许多符号，其中 sin ， cos ， tag，ctg，sec，csc是最重要的符号，但是 在这些符号使用以前，人们都是用文字来进 行叙述的，这样使用起来非常麻烦。在实际 应用中，人们渐渐地用符号来代替它们。 正弦的符号开始记为sine，这一词是由阿拉 伯人创造的，但是最早把它应用于三角函数 上面的是雷基身蒙坦，他是 15 世纪西欧数 学界的领导人物，在他1464 年著的《论各 种三角形》一书中，首先使用了“sine".这 本书是专门讲三角学脱离了天文学，成为一 门独立的数学分支。 余弦和余切开妈记为 cossine和cotangent,它们是由英国人根目 尔在1620 年出版的《炮兵测量学》一书中 首先创造并使用的。
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不同的“函数”
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1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857) 从定义变量起给出了定义：“在某些 变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而 确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首 先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认 为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。 1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示， 也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个 式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。 1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859) 突破了这一局限，认为怎样去建立 x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个 确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函 数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的 经典函数定义。 等到康托(Cantor ，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(Veblen ，美，1880－ 1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数 定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了 “变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。
函数符号的故事
包头一中2014届高一二班
起源
约翰．伯努利於1694年首次提 出函数（ function ）概念，并以 字母 n 表示变量 z 的一个函数； 至 1697 年，他又以大写字母 X 及相应之希腊字母 ξ表示变量 x 的函数。同期（1695年）， 雅．伯努 利则以 p 及 q 表示变量 x 的任何两个函数。1698年，莱 布尼茨以及表示 x 的 两个函数； 以及表示两个变量 x,y 的 函数。
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不同的“函数”
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1718年约翰?贝努利(Johann Bernoulli ，瑞，1667－1748)在莱布尼 兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一 形式所构成的量。”他的意思是凡变量 x和常量构成的式子都叫做 x 的函 数，并强调函数要用公式来表示。 1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783) 把函数定义为“如果某些 变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面 这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。” 18世纪中叶欧拉 (L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变 量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。” 他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代 数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数 定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。
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18世纪中叶，由于研究弦振动问题，达朗贝尔与欧拉先后引出了“任意的函数” 的说法．在解释“任意的函数”概念的时候，达朗贝尔说是指“任意的解析式”， 而欧拉则认为是“任意画出的一条曲线”．现在看来这都是函数的表达方式，是函 数概念的外延．
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总之，函数在发展的过程中 遇到阻碍，同时函数符号的 出现也遭到的限制。所以， 关于函数，在未来，仍需我 们不断的去探索，完善，数 学界需要我们，加油！
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不同的“函数”
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1914年豪斯道夫(F．Hausdorff) 在《集合论纲要》中用不明确的 概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对 应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定 义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。
1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”
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正割和正切开始记为 secant 和 tangent ， 它们是由16世纪初期丹麦数学家箍马 斯〃芬克首先创造并使用的，最早见于他的 著作《圆几何学》中。 余割开始记为 cosecnat,它是由锐梯卡斯在16世纪创造的， 最早见于他1596年著的《宫廷乐曲》一书 中。 后来，人们在使用中，发现这些符号 比较长，而且写起来容易出错，1626 年， 阿贝尔物把“sine","tangent","secant",简 写为“sin"/"tan","sec".到了1675 睥，英 国 人 奥 斯 特 又 把 "cosine","cotangent","cosecant" 简写为 “cos","cot","csc", 但是这些符号并没有通 行开来，直到地748年，经过数学家欧拉的 提倡，才得以普及。解放手，我国的数学教 材受到了苏联数学的影响，把“ cot" 改为 “ ctg","tan" 改为 "tg" ，其余四个符号没有 改动，现在这六个符号一直在三角函数中广 为应用。
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发展
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1734年，欧拉以 f() 表示 的函数，是数学史上首 次以“f”表示函数。同时，克莱 罗采用大写希腊 字母Πx，Φx及Δx（不用括号）表示 x 的函数。 1745 年，达朗贝尔以Δu,s及Γu,s表 示两个变量 u,s 的函数，并以Φ(z)表示 z 的函数。1753年， 欧拉又以Φ:(x,t)表示 x 与 t 的函数 ，到翌年，更 以f:(a,n)表示 a 与 n 的函数。 1797年，拉格朗日大力推动以f、F、Φ 及y 表示 函数，对後世影响深远。时至今日， 函数主要都 以这几个字母表达。 1820 年，赫谢尔以 f(x) 表示 x 的函数，并指 出 f(f(x))=f2(x) 及fmfn(x)=fm+n(x) ，还以 f-1(x) 表示 其函数 f 为 x 的量。1893年，皮亚诺开始采用符 号 y=f(x)及 x=f(y) ，其後又与赫谢尔符号结合，成 为现今通用的符号：y=f(x)及x=f-1(y)。 函数符号y=f(x)是由德国数学家莱布尼兹在 18世纪 引入的。 常用函数 反比例函数y=k/x(x<>0) 正比例函数y=kx 一次函 数 y=kx+b 二次函数y=ax2+bx+c(a<>0)等等
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早在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比 如对数函数、三角函数、双曲函数等等．1673年前后笛卡儿在他的解析几何中，已 经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼 一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家 还没有明确函数的一般意义． 1673年，莱布尼兹首次使用函数一词表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点 的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量．由此可以看出，函数一词最 初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中， 使用另一名词“流量”来表示变量间的关系，直到1689年，瑞士数学家约翰•贝努 里才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义，贝努里把变量x和 常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为yx. 当时，由于连接变数与常数的运算主要是算术运算、三角运算、指数运算和对 数运算，所以后来欧拉就索性把用这些运算连接变数 x和常数c而成的式子，取名为 解析函数，还将它分成了“代数函数”与“超越函数”．