江苏省南通市如东县教研室2009年高考数学热身试卷及答案

江苏省南通市如东县教研室2009年高考热身卷
第Ⅰ卷(必做题)
(时间120分钟 满分160分)
一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接写在横线上） 1．若集合N M x y y N y y M x 则},1|{},2|{-=
===-= ▲ ．
2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为2：3：5，现用分层抽样的
的方法抽出样本容量的n 的样本，样本中A 型产品有16件，那么样本容量n 为 ▲ ．
3．已知条件:|1|2,p x +>条件:,q x a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是 ▲ ．
4．若复数z 满足方程1-=⋅i i z ，则z=． ▲
5. ．已知两点(2,0),(0,2)A B -，点C 是圆0222=-+x y x 上任意一点，则ABC ∆面积的最小值是 ▲
6. 已知二次函数f （x ）满足f x f x ()()11+=-，且f f ()()0011==，，若f x ()在区间［m ，n ］上的值域是［m ，n ］，则m ＝ ▲ ，n ＝ ▲ 。

7. A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现 从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有 ▲
8. 若点P 是曲线x x y ln 2
-=上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小距离为 ▲
9. 如果执行右面的程序框图，那么输出的S = ▲
10.若函数f(x)满足：对于任意x x 120，>，都有f x f x ()()1200>>，，且f x f x f x x ()()()1212+<+成立，则称函数f x ()具有性质M 。

给出下列
四个函数：①y x =3，②y x =+log ()21，③y x
=-21，④y x =sin 。

其中具有性质M 的函数是___________。

（填序号）
11. 给出下列关于互不相同的直线l n m ,,和平面βα,的四个命题： （1）,,,m A A l m ∉=⊂点αα 则l 与m 不共面；
（2）l 、m 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； （3）若ββαα//,//,,,m l A m l m l 点=⊂⊂ ，则βα//
（4）若m l m l //,//,//,//则βαβα 其中真命题是 ▲ （填序号）
12. 等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，,22005
2007,2008
2005
20071=--=S S a 则S 2008的值为 ▲
13. 已知抛物线)0(22
>-=p px y 的焦点F 恰好是椭圆122
22=+b
y a x 的左焦点，且两
曲线的公共点的连线过F ，则该椭圆的离心率为 ▲
14. 已知直线b a by ax ,(01=-+不全为0）与圆5022=+y x 有公共点，且公共点的横、纵 坐标均为整数，那么这样的直线共有 ▲ 条
二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. （本题满分14分）已知向量)22()sin (cos ，，，==b x x a
，若5
8=⋅b a ，且ππ42<<x
（I ）试求出cos()x -π4和tan()x -π4的值； （II ）求sin (tan )
tan 211x x x
+-的值。

16. （本题满分14分）已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PD=BC=2，A 为PB 边上一点，且PA=1，将△PAD 沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD.
（1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ； （2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分
成的两部分几何体的体积之比1:2:=MACB PD CMA V V 。

17. （本题满分15分）设椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过
点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆C 与x 轴正半轴于点P 、Q ，且8
AP=PQ
. ⑴求椭圆C 的离心率； ⑵若过A 、Q 、F 三点的圆恰好与直线l ：30x +=相
切，求椭圆C 的方程.
18. （本题满分15分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区。

已知AB BC OA BC ⊥，//，且AB BC AO km ===24，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段。

如果要使矩形的相邻两边分别落在AB 、BC 上，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积
（精确到0.1km 2
）
19. （本题满分16分）已知数列{a n }中，a 1＝1
2
，点(n ，2a n ＋1－a n )(n ∈N *)在直线y ＝x 上，（1）计算
a 2，a 3，a 4的值；（2）令
b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；（3）设S n 、T n 分别为数列{a n }
、
{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λT n
n
}为等差数列？若存在，试求出λ．的值；若不
存在，请说明理由．
20. （本题满分16分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点. （I ）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （II ）若22||||21=+x x ，求b 的最大值;
（III ）设函数)()(')(1x x a x f x g --=，12(,)x x x ∈，当a x =2时， 求证：
第Ⅱ卷附加题部分
附加题部分包含选做题（从4题中选做2题）、必做题（共2题），满分40分，考试时
2()(32)g x a a +1
≤
12
间30分。

一、选做题：本大题共4小题，请从这4小题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分。

每小题10分，共20分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1.选修4-1几何证明选讲 如图，已知AD 为圆O 的直径，直线BA 与圆O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相交于点G ，与弧AC 相交于M ，连接DC ,10AB =,12AC =. （1）求证：BA DC GC AD ∙=∙; （2）求BM 。

2.选修4-2：矩阵与变换 设数列{}{},n n a b 满足1123,2n n n n n a a b b b ++=+=，且满足
4n n b b +⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，试求二阶矩阵M 。

3.选修4-4：坐标系与参数方程 求经过极点9(0,0),(6,),)2
4
O A B π
π
三点的圆的极坐标方程。

4.选修4-5：不等式选讲
已知实数,,a b c 满足0,0,0,a b c ab bc ca abc ++>++>>，试证明,,0a b c >。

二、必做题：本大题共2小题，每小题10分，共20分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5．（本小题满分10分）已知数列{}n a 中，a n =n （n +1）（n +2）.又S n =kn （n +1）（n +2）（n +3），试确定常数k ，使S n 恰为{}n a 的前n 项的和，并用数学归纳法证明你的结论.
6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，设事件A 表示“五位数为奇数”，事件B 表示“万位上的数字为2或4”。

（1）试通过计算说明：事件A 和B 是否为相互独立事件？ （2）求()P B A 。

数学模拟试卷答案
1．}0|{>y y 2． 80 3． 1≥a 4．1－i 5．23- 6．m ＝0，n ＝1 7．15 8．2 9．2550 10．① ③ 11．（1）、（2）、（3） 12．－2008 13．12- 14．72
15、解：解：（I ）5
8
sin 2cos 25
8=
+∴=
⋅x x b a
即cos()x -=π44
5
π
π
π
π
4
2
04
4
<<
∴<-
<
x x
∴-
=
∴-
=
sin()tan()x x π
π
4
35
4
34
（II ）sin cos()cos ()222
24
1725
2x x x =-
=-
-=
π
π
又 tan()cot()x
x +
=--
=-
π
π
44
4
3
∴
+-=⋅+=⨯-=-sin (tan )tan sin tan()()211247254328
75
x x x x x π
16、解：（1）证明：依题意知：ABCD PAD AD CD 面面又⊥⊥ . .PAD DC 平面⊥∴
.PCD PAD PCD DC 平面平面面又⊥∴⊂
（2）由（I ）知⊥PA 平面ABCD ∴平面P AB ⊥平面ABCD .
在PB 上取一点M ，作MN ⊥AB ，则MN ⊥平面ABCD ， 设MN =h 则312213131h
h h S V ABC ABC M =⨯⨯⨯⨯=⋅=
∆- 2
1
112)21(3131=⨯⨯+⨯=⋅=∆-PA S V ABC ABCD P
要使2
1
,1:23:)321(,1:2:==-=h h h V V MACB PDCMA 解得即
即M 为PB 的中点.
17、 ⑴解：设Q （x 0，0），由F （-c ，0）A （0，b ）知),(),,(0b x AQ b c FA -==
c
b x b cx 202
0,0,==-∴⊥ 设y x P 58
),,(11=由，
得21185
,1313
b x y b
c ==
因为点P 在椭圆上，所以
1)135()138(2
2222=+b b a c b 整理得2b 2=3a c ，即2(a 2－c 2)=3a c ，22320e e +-=,故椭圆的离心率e =
2
1
⑵由⑴知22
3
23,2
b b a
c a c ==得， 11,22c c a a ==由得于是F （－21a ，0） Q )0,23(a ，
△AQF 的外接圆圆心为（21a ，0），半径r=2
1
|FQ|=a
所以a a =+2
|
321
|，解得a =2，∴c=1，b=3，所求椭圆方程为13422=+y x
18、解：以O 为原点，OA 所在直线为y 轴建立直角坐标系如图，依题意可设抛物线方程为
)0(22>=p px y ，且C （4，2）
224122=⋅∴=
p p
故曲线段OC 的方程为)040(2≥≤≤=y x x y ，
设)20)((2<≤y y y P ，是曲线段OC 上的任意一点，则在矩 形PQBN 中，24||2||y PN y PQ -=+=，
∴工业区面积842)4)(2(|||2
3
2
++--=-+=⋅=y y y y y PN PQ S
443 2
+--=y y S ，令S '=0得23
2
11-==
y y ， 0223<<∴=
y y ，
当)3
20(，∈y 时，0 >S ，S 是y 的增函数
当)23
2
(，
∈y 时，0 <S ，S 是y 的减函数
32
=∴y 时，S 取到极大值，此时3
82||=+=y PQ
9324||2
=-=y PN ，故5.92725693238≈=⨯
=S
0=y 时8=S ，)(5.92
max km S =∴
所以，把工业园区规划成长为
km 932，宽为km 3
8
的矩形时， 工业园区的面积最大，最大面积约为2
5.9km
19、解：(1)由题意，2a n ＋1－a n ＝n ，又a 1＝12，所以2a 2－a 1＝1，解得a 2＝3
4
，
同理a 3＝11 8 ，a 4＝35
16
．
(2)因为2a n ＋1－a n ＝n ，所以b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝ a n ＋1＋n ＋1 2－a n ＋1－1＝ n －a n ＋1－1
2
，
b n ＝a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－(2a n ＋1－n )－1＝n －a n ＋1－1＝2b n ＋1，即 b n ＋1 b n ＝1
2
又b 1＝a 2－a 1－1＝－34，所以数列{b n }是以－34为首项，1
2
为公比的等比数列．
(3)由(2)得，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1，T n ＝ －34×(1－ 1 2n ) 1－12
＝3×(12)n ＋1－3
2
．
又a n ＋1＝n －1－b n ＝n －1＋3×(12)n ＋1，所以a n ＝n －2＋3×(1
2)n ，
所以S n ＝ n (n ＋1) 2－2n ＋3× 12×(1－ 1 2n ) 1－12
＝ n 2－3n 2＋3－3
2n
．
由题意，记c n ＝S n ＋λT n
n ．要使数列{c n }为等差数列，只要c n ＋1－c n 为常数．
c n ＝S n ＋λT n n ＝ ( n 2－3n 2＋3－3 2n )＋λ[3×(12)n ＋1－32] n ＝ n －3 2＋(3－3
2λ)× 1－1 2n
n
，
c n －1＝ n －4 2＋(3－32λ)× 1－1 2n －1 n －1，则c n －c n －1＝12＋(3－3
2λ)×( 1－1
2n n － 1－1 2n －1
n －1
)．故当λ
＝2时，c n －c n －1＝1
2为常数，即数列{S n ＋λT n n }为等差数列．
20、 解（I ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(2
2>-+='a a bx ax x f
依题意有⎩⎨⎧='=-'0)2(0)1(f f ，∴)0(0
4120
232
2
>⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--a a b a a b a . 解得⎩⎨
⎧-==9
6
b a ，∴x x x x f 3696)(23-+=. .
（II ）∵)0(23)(2
2
>-+='a a bx ax x f ,
依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，且22||||21=+x x ， ∴8||22)(21212
21=+-+x x x x x x . ∴8|3
|2)3(2)32(2=-+-⋅--
a
a a
b ，∴)6(322a a b -=. ∵2
0b ≥∴06a <≤.
设2
()3(6)p a a a =-，则2
()936p a a a '=-+.
由()0p a '>得40<<a ，由()0p a '<得4>a .
即：函数()p a 在区间(0,4]上是增函数，在区间[4,6]上是减函数， ∴当4=a 时，()p a 有极大值为96，∴()p a 在]6,0(上的最大值是96，
∴b 的最大值为64. （III ） 证明：∵21,x x 是方程0)('=x f 的两根，
∴))((3)('21x x x x a x f --=.
∵321a x x -
=⋅，a x =2，∴3
1
1-=x . ∴|]1)(3)[3
1
(||)31())(31(3||)(|--+=+--+=a x x a x a a x x a x g
∵2
1x x x <<，即1.3x a -<<∴)133)(3
1(|)(|++-+=a x x a x g ∴|()|g x )313)(31(3+-
+-=a x x a a a a a x a 3
143)2(3232+++--= 32
3143a a a ++≤12
)23(2+=a a .
∴|()|g x 2(32)12
a
a +≤
成立. 加试参考答案
1.（1）因为AC OB ⊥，所以0
90AGB ∠=
又AD 是圆O 的直径，所以0
90DCA ∠=
又因为BAG ADC ∠=∠（弦切角等于同弧所对圆周角）
所以Rt AGB Rt DCA ∆∆和所以BA AG
AD DC
= 又因为OG AC ⊥，所以GC AG =相似
所以BA GC
AD DC
=，即BA DC GC AD ∙=∙ （2）因为12AC =，所以6AG =，
因为10AB =，所以8BG =
由（1）知：,Rt AGB
Rt DCA 。

所以
AB BG
AD AC
=
所以15AD =，即圆的直径215r =
又因为()22AB BM BM r =∙+，即2
151000BM BM +-=
解得5BM =
2.依题设有：1
12302n n n a b n a b ++⎡⎤⎛⎫⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦
令2302A ⎛⎫=
⎪
⎝⎭
，则4M A = 22323412020204A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4
M A =()
2
2
A
==41204⎛⎫ ⎪⎝⎭41204⎛⎫ ⎪⎝⎭1696016⎛⎫=
⎪⎝⎭
3.将极坐标系内的问题转化为直角坐标系内的问题 点,,O A B 的直角坐标分别为()()()0,0,0,6,6,6 故OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，
进而易知圆心为()3,3
，半径为 ()()2
2
3318x y -+-=，即22660x y x y +--= 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上述方程，得
()
26c o s s i n 0ρρθθ-+=
，即4
πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
4.假设0a <，因为0abc >，所以0bc <。

又由0a b c ++>，则0b c a +>->，
所以()0ab bc ca a b c bc ++=++<，这与题设矛盾 又若0a =，这与0abc >矛盾 综上可知，必有0a >成立 同理可证0,0b c >>也成立 命题成立 5. 解：由a 1=S 1,k=
1
4
.下面用数学归纳法进行证明. 1°.当n =1时，命题显然成立； 2°.假设当n=k(k ∈N *)时，命题成立, 即1·2·3+2·3·4+……+ k （k +1）（k +2）=
1
4
k （k +1）（k +2）（k +3）,
则n=k+1时，1·2·3+2·3·4+……+ k （k +1）（k +2）+（k +1）（k +2）（k +3）=14 k （k +1）（k +2）（k +3）+（k +1）（k +2）（k +3） =14
( k +1)（k +1+1）（k +1+2）（k +1+3） 即命题对n=k +1.成立
由1°, 2°，命题对任意的正整数n 成立.
6.（1）因为()14345535A A P A A ==，()14245525
A A P
B A ==， ()11323355310
A A A P A
B A ∙==，所以()()()P A B P A P B ∙≠∙ 故事件A 与B 不独立。

（2）因为()()3211,55P A P A =-=-
= ()
2323551,10A A P AB A == 所以()()()14P BA
P B A P A ==。