解析几何题

解析几何

【例01】点的坐标分别是，，直线相交于点M ，且它们的斜率之积为． (1)求点M 轨迹的方程.

(2)若过点的直线与(1)中的轨迹交于不同的两点、(在、之间)，试求

与面积之比的取值范围(为坐标原点)．

,A B (0,1)-(0,1),AM BM 12

-

C ()2,0

D l C

E

F E D F ODE ∆ODF ∆O

【例02】在△ABC 中，A 点的坐标为(3，0)，BC 边长为2，且BC 在y 轴上的区间[-3，3]上滑动．

(1)求△ABC 外心的轨迹方程．

(2)设直线l ∶y =3x +b 与(1)的轨迹交于E 、F 两点，原点到直线l 的距离为d ，求

的最大 值并求出此时b 的值．

d

EF |

|

【例03】已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．

(1)求椭圆的方程．

(2)设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线

段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．

1C 22

221(0)y x a b a b

+=>>(1,0)A 1C 11C P 2C 2

()y x h h =+∈R 2C P 1C ,M N AP MN h

【例04】已知抛物线：上一点到其焦点的距离为

． (1)求与

的值．

(2)设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交

轴于点，

过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．

C 22(0)x py p =>(,4)A m 174

p m C P (0)t t >P C Q x M Q PQ C N MN C t

【例05】已知双曲线

．

(1

)求双曲线的方程．

(2)设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的

两点，证明的大小为定值.

2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>3

x =C l 22:2O x y +=0000(,)(0)P x y x y ≠l C ,A B AOB ∠

【例06】椭圆E : (a 、b >0)过M (2

，N

(1)两点，O 为坐标原点.

(1)求椭圆E 的方程．

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，并且

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由.

22

221x y a b

+=OA OB ⊥

【例07】设，在平面直角坐标系中，已知向量，向量，，动点 的轨迹为E .

(1)求轨迹E 的方程，并说明该方程所表示曲线的形状． (2)已知，证明:存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A ， B ，且(O 为坐标原点)，并求出该圆的方程． (3)已知，设直线与圆C :(1

m R ∈(,1)a mx y =+(,1)b x y =-a b ⊥(,)M x y 4

1

=

m OA OB ⊥4

1

=

m l 222x y R +=l

【例08】如图所示，已知圆是椭圆的内接△的内切圆， 其中 为椭圆的左顶点. (1)求圆的半径.

(2)过点作圆的两条切线交椭圆于两点，证明：直线与圆相切．

:G 2

2

2

(2)x y r -+=2

2116

x y +=ABC A G r (0,1)M G E F ，EF G

【例09】已知椭圆()的两个焦点分别为，过点 的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且.

(1)求椭圆的离心率. (2)直线AB 的斜率.

(3)设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线上有一点H (m ，n )()在的外接圆

上，求

的值. 12222=+b

y a x 0>>b a )0)(0,(),0,(21>-c c F c F )0,(2

c a E ||2||,//2121B F A F B F A F =B F 20≠m C AF 1∆m

n

【例10】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为

2x =.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且

的方程. 2221(0)x y a b a b +=>>12F F 、2

e =1F l M N 、2223

F M F N +=

l

【例11】在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(3，0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d，当P点运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和.

(1)求点P的轨迹C.

(2)设过点F的直线l与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值.

【例12】已知直线经过椭圆

的左顶点A 和上顶点D ，椭圆的 右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于 两点.

(1)求椭圆的方程.

(2)求线段MN 的长度的最小值.

(3)当线段MN 的长度最小时，在椭圆上是否存在这样

的点，使得的面积为？若存在，确定点

的个数，若不存在，说明理由.

220x y -+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>C B S C x ,AS BS 10

:3

l x =,M N C C T TSB ∆1

5T