1认识二元一次方程组
第一讲 二元一次方程(组)
第一讲二元一次方程（组）1、【知识点梳理】1、二元一次方程【1】含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
【2】使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2、二元一次方程组【1】由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
【2】同时满足二元一次方程组中各个方程的解，叫做这个二元一次方程组的解。
3、解二元一次方程组【1】消元就是把二元一次方程组化为一元一次方程。
消元的方法是代入，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤是：I、将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含有另一个未知数的代数式表示；II、用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求出一个未知数的值；III、把这个未知数的值代入代数式，求另一个未知数的值；IV、写出方程组的解。
【2】对于二元一次方程组，当两个方程组的同一个未知数的系数相同或是互为相反数时，可以通过把两个方程的两边进行相加或相减来消元，转化为一元一次方程求解。
通过将两个方程的两边进行相加或相减，消去其中一个未知数转化为一元一次方程。
这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
用加减法消元法解二元一次方程组的一般步骤是：I、将其中一个未知数的系数转化为相同（或互为相反数）；II、通过相加（或相减）消去这个未知数，得到一个一元一次方程； III、解这个一元一次方程，得到这个未知数的值；IV、将求得得未知数的值代入原方程组中的任一个方程，求得另一个未知数的值；V、写出方程组的解。
4、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤为：【1】理解问题（审题，搞清已知和未知，分析数量关系）【2】制定计划（考虑如何根据等量关系设元，列出方程组）【3】执行计划（列出方程组并求解，得到答案）【4】回顾（检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意）5、二元一次方程组应用题分类【1】工程问题：工作量=工作效率×工作时间一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位"1"的工程问题【2】行程问题：(1) 相遇问题：甲的路程+乙的路程=甲乙相距的距离（2）追赶问题：甲的路程-乙的路程=甲乙相距的距离（3）航速问题：顺流（风）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速逆流（风）：航速=静水（无风）中的速度--水（风）速【3】和差倍总分问题：较大量=较小量+多余量，总量=倍数×倍量【4】产品配套问题：加工总量成比例【5】浓度问题：溶液×浓度=溶质【6】银行利率问题：免税利息=本金×利率×时间，税后利息=本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率【7】利润问题：利润=售价—进价，利润率=（售价—进价）÷进价×100%【8】盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量【9】数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示【10】几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式【11】年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的【12】增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量2、【例题解析】【例1】已知与是同类项，求和的值．【例2】已知满足方程组的，值的和等于2，求的值【例3】已知，求的值．【例4】现要加工400个机器零件，若甲先做1天，然后两人再共做2天，则还有60个未完成；若两人齐心合作3天，则可超产20个.问甲、乙两人每天各做多少个零件？【例5】某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？三、【课堂习题】1、下列属于二元一次方程组的是（）A、 B、C、 D、2、关于x、y的方程组的解是方程3x+2y=34的一组解，那么m的值是（）（A）2；（B）-1；（C）1；（D）-2；3、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（）（A）15x-3y=6 （B）4x-y=7 （C）10x+2y=4 （D）20x-4y=3 4、李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（ ）A． B． C． D．5、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）（A）a=-3,b=-14 （B）a=3,b=-7（C）a=-1,b=9 （D）a=-3,b=146、若x、y均为非负数，则方程6x=-7y的解的情况是（）（A）无解（B）有唯一一个解（C）有无数多个解（D）不能确定7、已知，则x与 y 之比是（）A. 5 ：2B. 3 ：2C. 4 ：3D. 2 ：58、若|3x+y+5|+|2x-2y-2|=0，则2x2-3xy的值是（）（A）14 （B）-4 （C）-12 （D）129、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为（）（A），b=-4 （B），b=4（C），b=4 （D），b=-410、在国家倡导的“阳光体育”活动中，老师给小明30元钱，让他买三样体育用品；大绳，小绳，毽子．其中大绳至多买两条，大绳每条10元，小绳每条3元，毽子每个1元．在把钱都用尽的条件下，买法共有（）A．6种 B．7种 C．8种 D．9种【填空题】1、在方程3x+4y=16中，当x=3时，y=________，当y=-2时，x=_______若x、y都是正整数，那么这个方程的解为___________；2、方程2x+3y=10中，当3x-6=0时，y=_________；3、若是方程组的解，则；4、如果x=1，y=2满足方程，那么a=____________；5、已知方程组有无数多解，则a=______，m=______；6、若4x+3y+5=0，则3(8y-x)-5(x+6y-2)的值等于_________；7、已知a-3b=2a+b-15=1，则代数式a2-4ab+b2+3的值为__________；8、某家电商场一次出两种不同品牌的电视机，其中一台赚了12%另一台赔了12%，且这次售出的两台电视机的售价都是3080元，那么，在这次买卖中商场的利润为____________元．【解答题】1、；2、；3、 4、；5、；6、；7、a为何值时，方程组的解x ,y的值互为相反数，并求它的值。
认识二元一次方程组教案北师大版数学八年级上册(1)1
认识二元一次方程（组）教学设计贺兰四中黄菊一、教学目标知识与技能：了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。
过程与方法：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
情感与态度：（1）培养学生良好的数学应用意识。
（2）通过实际问题情景，引出问题并激发学生的学习兴趣。
二、教学重点与难点重点是理解二元一次方程、二元一次方程组等有关概念。
难点是让学生体会方程是刻画现实世界的有效模型，培养学生良好的数学应用意识。
二、教学过程：（一）创设情景，引入新课导语：法国数学家笛卡尔说过：一切问题都可以转化为数学问题，一切数学问题都可以转化为代数问题，而一切代数问题又都可以转化为方程。
因此，一旦解决了方程问题，一切问题将迎刃而解。
（先请一生朗读，再交流感受，从而自然引入课题）设计意图：通过这样的一段话充分引起学生兴趣，顺利引入课题。
（二）复习旧知，引入新知1、什么是一元一次方程？2、什么是一元一次方程的解？设计意图：让学生充分感受类比的数学思想，复习旧知，学习新知，排除畏难情绪。
（三）合作探究，探究新知引例：老牛：累死我了？小马：你还累？这么大的个，才比我多驮了两个老牛：我从你的背上拿来一个，我的包裹数就是你的两倍小马：真的吗？问：小马和老牛各驮了多少个？师：小马：你还累？这么大的个，才比我多驮了两个老牛：我从你的背上拿来一个，我的包裹数就是你的两倍两句话是什么意思？包含怎样的等量关系式？法1：设老牛驮了x个包裹，则小马驮了____个包裹xy=根据题意得__________________1法2：设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹根据题意得_______________(生先自己思考，之后与同伴交流，再全班交流)师：思考：上面的方程各自有哪些特点？能否类比一元一次方程给二元一次方程下一个合适的定义？（四人小组讨论后全班交流）明晰：含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程xy=是二元一次方程吗？为什么？师：为什么是“含未知数的项的次数为1”？方程1练兵场1：1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？并说明理由(1)5210(2)21(3)20(4)210(5)235(6)2100x y x y z x y x x a b x xy +=++=+=++++=+= 2(1)537(2)572(3)21(4)11(5)5()2(23)4(6)21x y x xy x y x y x y x +=-==-=-+-==+ 其中二元一次方程的个数是（）3、若方程2x 2m+3+3 y 3n-7=0是关于x 、y 的二元一次方程，则m=______，n=______；议一议：在上面的方程x-y=2和x+1=2(y-1)中,x ，y 的含义分别相同吗?明晰：x,y 的含义分别相同.因而x,y 必须同时满足方程x-y=2和x+1=2(y-1)把它们联立起来,得:212(1)x y x y -=⎧⎨+=-⎩ 像这样，把两个一次方程合在一起后共有两个未知数，这样就组成了一个二元一次方程组。
北师大版数学八年级上册《1 认识二元一次方程组》说课稿1
北师大版数学八年级上册《1 认识二元一次方程组》说课稿1一. 教材分析《北师大版数学八年级上册》第一章《认识二元一次方程组》是整个初中数学的重要内容，也是解决实际问题的基础。
本章主要介绍二元一次方程组的概念、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够理解二元一次方程组的意义，掌握解二元一次方程组的方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了代数的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于二元一次方程组这一概念，学生可能初次接触，理解上存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我将以学生已有的知识为基础，引导学生逐步理解二元一次方程组的概念，并通过实例让学生感受其在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二元一次方程组的概念，掌握解二元一次方程组的方法，能够运用二元一次方程组解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，学生能够培养发现问题、分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，提高学生解决实际问题的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二元一次方程组的概念、解法及其应用。
2.教学难点：二元一次方程组的解法，特别是解的判断。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等，引导学生主动探究、积极参与。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件、网络资源等现代教育技术手段，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入二元一次方程组的概念，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：学生自主探究二元一次方程组的解法，总结解题规律。
3.合作交流：学生分组讨论，分享解题心得，互相学习，培养团队合作精神。
4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，教师进行讲解，引导学生深入理解二元一次方程组的概念和解法。
5.巩固练习：学生独立完成练习题，检验学习效果。
6.拓展应用：学生分组解决实际问题，体会数学在生活中的应用。
北师大版八年级数学上册 第五章 二元一次方程组 认识二元一次方程组
素养考点 2
根据实际问题列二元一次方程组
分析：第一道工序的人数＋ _______________ ＝总人数； 第一道工序的件数＝________________. 设安排第一道工序x人，第二道工序y人，用方程把这些条件表示出来： ___________.
①
②
③
④
⑤
1.上表中列出了公园门票中，满足方程x+y=8,且符合实际意义的值.
0
8
2
1
3
6
4
5
7
8
7
1
4
2
5
6
3
0
8
2
5
3
2.再找出方程5x +3y = 34的符合实际意义的解,并用表格罗列.
探究新知
知识点 4
二元一次方程组的解的定义
注意：这里的x 、y，都代表人数，所以只能取正整数
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.
(是)
(是)
(不是)
(不是)
(是)
(不是)
探究新知
通过上面问题，你认为二元一次方程组有哪些特征？
二元一次方程组的特点： ①方程组中共有2个不同未知数； ②方程组有2个一次方程； ③一般用大括号把2个方程连起来.
探究新知
x + y = 16
2x + y = 28
x + y = 2 x – y = 1
(8)4xy+5=0
(1)x+y=11
(3)x2+y=5
(2)m+1=2
(4)3x－π=11
(5) －5x=4y+2
(6)7+a=2b+11c
北师版八年级数学(上)第五章二元一次方程组分节练习及答案【含知识点】
八（上） 第五章二元一次方程组 分节练习第1节 认识二元一次方程组01、【基础题】若方程4233＝＋nmy x 是二元一次方程，那么n m ＋的值是______. 02、【基础题】下面4组数值中，哪些是二元一次方程102＝＋y x 的解？（1）⎩⎨⎧==62y x － （2）⎩⎨⎧==43y x （3）⎩⎨⎧==34y x （4）⎩⎨⎧==26－y x2.1、【基础题】二元一次方程组⎩⎨⎧xy y x 2102＝＝＋的解是______.（1）⎩⎨⎧==34y x （2）⎩⎨⎧==63y x （3）⎩⎨⎧==42y x （4）⎩⎨⎧==24y x 2.2、【基础题】若⎩⎨⎧2213－＝＋＝m y m x 是二元一次方程1034＝－y x 的一个解，求m 的值.3、根据题意列方程组：（1）小明从邮局买了面值50分和80分的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？（2）周末，8个人去红山公园玩，买门票一共花了34元，已知每张成人票5元，每张儿童票3元，请问8个人中有几个成人、几个儿童？（3）某班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，则该班男生、女生各多少人？（4）老牛比小马多驮了2个包裹，如果把小马驮的其中1个包裹放到老牛背上，那么老牛的包裹是小马的2倍，请问老牛和小马开始各驮了多少包裹？（5）将一摞笔记本分给若干同学.每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本.共有多少本笔记本、多少个同学？第2节 求解二元一次方程组4、【基础题】 用代入消元法解下列方程组：（1）⎩⎨⎧122＝＋＝y x x y （2）⎪⎩⎪⎨⎧653425＝＋－＝y x y x （3）⎩⎨⎧=711y x y x －＝＋ （4）⎩⎨⎧=32923y x y x ＋＝－ （5）⎩⎨⎧=x y y x 23＝－ （6）⎩⎨⎧=825y x y x ＋＝＋ （7）⎩⎨⎧=42534y x y x －＝＋ （8）⎪⎩⎪⎨⎧=123222n m n m ＋＝－ （9）⎩⎨⎧=31423＋＝＋y x y x （10）⎩⎨⎧=1341632y x y x ＋＝＋5、【基础题】 用加减消元法解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=1929327－＋＝－y x y x ； （2）⎩⎨⎧=156356－＋＝－y x y x ； （3）⎩⎨⎧=52534－－＝＋t s t s ； （4）⎩⎨⎧=547965－－＝－y x y x ；（5）⎩⎨⎧=17431232y x y x ＋＝＋； （6）⎩⎨⎧=)5(3)1(55)1(3＋－＋＝－x y y x ；5.1、【基础题】用加减消元法解下列方程组： （1）⎩⎨⎧=31351434y x y x ＋＝－； （2）⎩⎨⎧=23342152y x y x ＋＝－－ ； （3）⎩⎨⎧=17541974y x y x －＝－＋； （4）；（5）⎪⎩⎪⎨⎧=132353y x y x －＝－； （6）⎪⎩⎪⎨⎧1)3(3241＝－－＋＝＋x y x x y ； （7）5.2、【综合Ⅰ】 如果⎩⎨⎧==21y x 是二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+21ay bx by ax 的解，那么a ，b 的值是（ ）（A ）．⎩⎨⎧=-=01b a （B ）．⎩⎨⎧==01b a （C ）．⎩⎨⎧==10b a （D ）．⎩⎨⎧-==1b a第3节 应用二元一次方程组——鸡兔同笼6、【综合Ⅰ】 列方程解应用题：（1）小梅家有鸡也有兔，鸡和兔共有头16个，鸡和兔共有脚44只，问：小梅家的鸡与兔各有多少只？（2）今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（3）今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两.请问牛、羊各直金几何？ 题目大意是：5头牛和2只羊共价值10两金子，2头牛和5只羊共价值8两金子，每头牛、每只羊各价值多少两金子.（4）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？ （5）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元. 问有多少人？该物品价值多少元？6.1、【综合Ⅱ】 列方程解应用题：（1）以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.请问，绳长、井深各几何？（2）用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺，那么这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？第4节 应用二元一次方程组——增收节支7、【综合Ⅱ】列方程解应用题：（1）某工厂去年的利润（总产值减总支出）为200万元. 今年总产值比去年增加20％，总支出比去年减少10％，今年的利润为780万元. 去年的总产值、总支出是多少万元？（2）一、二班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%，如果一班学生的体育达标率是87.5%，二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？（3）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品，每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？（4）甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行，如果甲比乙先走2 h，那么他们在乙出发2.5 h后相遇；如果乙比甲先走2 h，那么他们在甲出发3 h后相遇，请问甲、乙两人的速度各是多少？7.1、【综合Ⅱ】列方程解应用题：（1）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元，请问两种客房各租住了多少间？（2）某体育场的环形跑道长400 m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和自行车，如果反向而行，那么他们每隔30 s相遇一次；如果同向而行，那么每隔80 s乙就追上甲一次. 甲、乙的速度分别是多少？（3）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40 kg，到市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示：他当天卖完这些黄瓜和茄子可赚多少元？第5节应用二元一次方程组——里程碑上的数8、【综合Ⅱ】列方程解应用题：（1）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是多少？（2）有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的3倍多2，若把个位数字与十位数字对调，所得新的两位数比原来的两位数的3倍少2，求原来的两位数.（3）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边接着写较小的两位数，也得到一个四位数. 已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.（4）一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1. 这个两位数是多少？8.1、【综合Ⅱ】列方程解应用题：（1）小颖家离学校1880 m，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了16 min，已知小颖在上坡路上的平均速度是4.8 km/h，在下坡路上的平均速度是12 km/h. 请问小颖上坡、下坡各用了多长时间？（2）某商店准备用两种价格分别为36 元/ kg 和20元/ kg 的糖果混合成杂拌糖果出售，混合后糖果的价格是28元/ kg 。
湘教版数学七下二元一次方程组word教案5篇
二元一次方程组目的要求：1. 认识二元一次方程组和它的解的含义.2. 学会如何去检验二元一次方程组的解.3. 提高计算能力.重点：检验二元一次方程组的解准备：小黑板过程：一、复习.1、什么是一元一次方程？什么是一元二次方程？2、下面哪些是一元一次方程. 3x ＋8＝3； 22342x x --=； 232x x -=； 241x x=+； 2x －3y ＝2； 3x －（4x ＋3） 二 、引入.（小黑板）小红家今年1月份的水费和天然气共元，其中水费比天然气费多元，这个月共用了13吨水，12立方米天然气，你能 算出1吨水费、1立方米天然气费各多少元吗？让学生独立完成，然后再指名同学回答，师生共议正误.解：设水费共要x 元，则天然气费要（x －）元，得：x ＋（x －）＝解之得：x ＝26∴水费每吨为：26÷13＝2元天然气每立方米为：（26－）÷12＝元答：略问： 此题能不能设水费每吨x 元？（因为题中只告诉我们水费和天然气费共多元，所以设水费每吨x 元比较麻烦.）这道题还有别的解法吗？让学生自由发挥，教师听取意见，并引导得到正确的解法.解：设水费要x 元，天然气费要y 元，得：46.45.6x y x y +=⎧⎨-=⎩这样的方程如何去解，我们下次再讨论，现在我们来认识这种方程.三、二元一次方程组的认识.1、像x ＋y ＝这样的方程我们叫它二元一次方程.二元 是指有两个未知数，一次 是指未知数的次数只有一次2、上题中我们得到像这样的方程46.45.6x y x y +=⎧⎨-=⎩①②在方程①和②中，x 都表示小红家1月份的水费，y 都是表示1月份的天然气费，它们必须同时满足方程①和②，因此把方程①和②用大括号联立起来，得到如上面表示的那样，在数学中我们把两个含有相同未知数的二元一次方程（或者一个二元一次方程和一个一元一次方程）联立起来，组成的方程组，叫作二元一次方程组.3、在上题中我们得到水费用了26元，天然气费用了元，那么可以发现26相当于方程组中哪个未知数？又相当于方程组中的哪个未知数？（26相当于x ； 相当于y ）因此我们把x ＝26；y ＝代入上述方程组中，那么这个方程组中的两个方程是否都成立教师小结得到：在一个二元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫作这个方程组的一组解.在数学中像这样的方程组的解要写成：2620.4x y =⎧⎨=⎩ 而且x 的值写在上面，y 的值写在下面求方程组的所有解的过程叫作解方程组.如何具体去求方程组的解呢？我们下节课将进行详细的讨论.四、学生练习如何去验解.1、出示小黑板，教师讲例.21x y =⎧⎨=⎩是下面方程组的一个解吗？2335x y x y -=⎧⎨+=⎩342436x y x y -=⎧⎨-=⎩教师重点讲解（1），（2）让同学独立完成.2、学生自练.P18 练习T2五、作业.P18 A 组T1 T2六、小结.本节课我们认识了二元一次方程组，并学会了如何去检验这种方程组的解是否正确.在以后的方程组的解答过程中，我们一定养成检验的习惯.二元一次方程组教学目标1． 了解二元一次方程，二元一次方程组和它的一个解含义。
《认识二元一次方程组》PPT课件
值，叫做二元一次方程的解.
3、二元一次方程组：
我们把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就称
为二元一次方程组.
4、二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组队两个方程的公共解，叫做二元一
次方程组的解.
例1：下列方程是二元一次方程的是( C )．
A. x 2 y 0
C.
x y
2y 0
洋过海传到了日本等国.
今有鸡兔同笼，
上有三十五头，
下有九十四足，
问鸡兔各几何？
鸡兔同笼
著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有
三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
解：设鸡有x只，兔y只，根据题意，得
头
足
鸡
x
2x
兔
y
4y
x y 35
则有
2 x 4 y 94
合计
35
94
０
（1）若3xm+1+5y2-n=3是一个二元一次方程，则m=__，n=___．
１
A B
（2）下列各组数中，_______是方程x-3y=2的解.
Ａ.
x=-1
y=-1
B.
x=5
y=1
C.
x=3
y=2
x=2
D.
y=-5
<<孙子算经>>
<<孙子算经>>是我国古代较为普及的算书,许多问题浅
显有趣.其中下卷第31题“鸡兔同笼”问题流传尤为广泛,飘
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，
叫做二元一次方程的解.它的解有无数个.
把下列各组解填入图中适当的位置：
认识二元一次方程组
x y 8, 5x 3y 34.
想一想
x y 2,
x 1 2 y 1,
x y 8, 5x 3y 34.
上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1
含有两个未知数,并且所含未知数的项 的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.
.
议一议
方程 x y 8 和
相同吗？ y 呢？
5x 3y 34 中， x 的含义
x, y 的含义分别相同,因而 x, y 必须同时满
足方程 x y 8 和 5x 3y 34 ,把它们联立起 来,得: x y 8,
5x 3y 34.
像这样含有两个未知数的两个一次方程所组 成的一组方程,叫做二元一次方程组.
第五章 二元一次方程组
1.认识二元一次方程组
累死我了!
你还累?这么 大的个,才比 我多驮了2个.
哼,我从你背上拿 来 1个,我的包裹 数就是你的 2 倍!
真的？！
我从你背上拿来 1个,我的包裹数 就是你的 2 倍!
你还累?这么大 的个,才比我多 驮了2个.
它们各驮了 多少包裹呢?
设老牛驮了x个包裹 , 小马驮了y个包裹. 老牛的包裹数比小马的多2个,由此你能
x 2y 10
y
2x
的解是
（A）xy
4, 3;
（B）
x
y
3, 6;
（C）xy
2, 4;
（D）
x
y
4, 2.
练一练:
4.以
x 1
y
2
为解的二元一次方程组是( D ）
（A）
x y 3 3x y 1
（B）3xxyy15
二元一次方程组学案(全章精编)
二元一次方程学习目标：1、认识二元一次方程2、了解二元一次方程的解3、会求二元一次方程的正整数解4、列二元一次方程 二、例题解析1、已知方程3x m-2-2y 2n-1=7是二元一次方程，求m 和n 的值．2、已知⎩⎨⎧-==13y x 是方程42-=-y mx 解，求m 的值.3、方程82=+y x 的正整数解补充例题：1、用x 的代数式表示y 的代数式．x －y ＝3 2x=3y 2x=3y+1 2x=4y-1 3x-4y=3 4x+3y=2 2、把方程化为一般形式：X=y-1 2x=3(y-1) 2(x+1)-3(y-1)=5 3x-1=2(y+1)-1三、同步练习：1．已知方程21123m x +-y 2-3n=1是二元一次方程，则m=_____，n=_______2．在（1）5121(2)(3)(4)2346x x x x y y y y ==-==⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨=-=-==⎩⎩⎩⎩中， _______是方程7x-3y=2的解；•________是方程2x+y=8的解；3．若1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩是方程4x+9x-15m=0的一组解，则m=_______．4、甲种面包每个2元，乙种面包每个2.5元，现在某人买了x 个甲种面包，y 个乙种面包，共花了30元.（1）列出关于x 、y 的二元一次方程 ; （2）如果5=x ，那么=y .（3）如果乙种面包买了4个，那么甲种面包买了 个.5、二元一次方程x+2y=7的正整数解是______________．6、现有足够的1元、2元的人民币，需要把面值为10元人民币换成零钱，请你设计几种兑换方案．二元一次方程组学习目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解3、列二元一次方程组 一、教学过程例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部10场比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 解：设胜的场数是x ，负的场数是y由题意得二元一次方程组的解：二、例题：1、已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+23,4y nx my x 的解是⎩⎨⎧-==,3,1y x 求m ＋n 的值．2、 某校师生200人到甲乙两地参观学习，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少4人．到两地的人数各是多少？（列方程组表示，不要求出解） 二、练习：1、已知下列三对值：x ＝－6 x ＝10 x ＝10 y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1（1） 哪几对数值使方程21x －y ＝6的左、右两边的值相等？ （2）哪几对数值是方程组的解？ 2、若⎩⎨⎧==2,1y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-3,0by x y ax 的解，则a ＝______，b ＝______．3、若｜x －2｜＋(3y ＋2x )2＝0，则yx的值是______． 4、已知y ＝ax ＋b ，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝0，则a ＝______，b ＝______ 5、若等式0|21|)42(2=-+-y x 中的x 、y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+,165,84n y x y mx 求2m 2－n ＋41mn 的值 6、已知⎩⎨⎧-==12y x 是方程组⎩⎨⎧-=-=+4232y nx my x 的解，求m 、n 的值.21x －y ＝6 2x ＋31y ＝－117、根据题意列出方程组：1、某班共有学生42人，男生比女生人数的2倍少6人，问男、女生各有多少人?2、苹果的售价3元/kg，葡萄的售价是4元/kg，，小华共买了苹果和葡萄9kg，付款29元。
第8讲 二元一次方程(组)的概念和解法
第8讲二元一次方程（组）的概念和解法【学习目标】1.二元一方程（组）的概念2.二元一次方程组的基本解法3.复杂的多元一次方程组【模块一】二元一次方程组的概念在本模块我们的学习目标是：1、掌握二元一次方程概念2、掌握二元一次方程组概念3、理解方程组的解（公共解）一、二元一次方程1、定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程. 【例】x＋2y＝5，2x＝3y，3x＝y－2对于二元一次方程的定义可以用“三个条件一个前提”来理解：①含有两个未知数一一“二元②含有未知数的项的最高次数为1一“一次③未知数的系数不能为0前提：方程两边的代数式都是整式一一整式方程2、一般形式：二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0（a＝0，b＝0）【课堂建议】类比一元一次方程：标准式：ax＋b＝0（a≠0）3、判定：先看前提，再化一般形式易错总结（1）二元：x＋y＋z＝1，x－2＝1（2）一次：x2－x＋y＝1，xy＋x＋y＝1【袁华燕录入】(3) 系数不为0：x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1(4) 整式方程：1x＋y＝1，1x＋x＋y＝1x【易错】x＋y－1＝x－y＋1，x2－x＋y－1＝x2＋x－y＋1，1x＋x＋y＝1x【例1】下列方程中，是二元一次方程的有哪些？①x＋3＝7；②a＋b＝0；③3a＋4t＝9；④xy－1＝0；⑤1x－y＝0；⑥x＋y＋z＝4；⑦2x2＋x＋1＝2x2＋y＋5；⑧x2＋y－6＝2x.【练1】方程2x－3y＝5,xy＝3，x＋3y－1，3x－y＋2z＝0，x2＋y＝6中是二元一次方程的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】⑴己知方程x n－1＋2y|m－1|＝m关于x，y的二元—次方程，求m、n的值.⑵己知方程(a－2)x|a|－1－(b＋5)y|b|－4＝3是关于x、少的一元一次方程，求a、b的值.【练2】（1)若方程2x m－1＋y n＋m＝12是二元一次方程.则mn＝_____(2)若己知方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋(k－7)y＝k＋2，当k＝_______时，方程为一元一次方程，当k＝_____时，方程为二元一次方程.4、二元一次方程的解：二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.任何一个二元一次方程都有无数个解.【例3】⑴己知21xy=⎧⎨=⎩是方程3x＋ay＝5的解，则a的值为（）A.－1B.1C.2D.3⑵判断下列数值是否是二元一次方程3t＋2s＝24的解.①29ts=⎧⎨=⎩②21ts=⎧⎨=⎩③89ts=⎧⎨=⎩④46ts=⎧⎨=⎩【练3】⑴若23x ky k=⎧⎨=-⎩是二元—次方程2x－y＝14的解，则k的值是（）A.2B.－2C.3D.－3⑵已知12xy=⎧⎨=⎩与3xy m=⎧⎨=⎩都是方程x＋y－＝n的解，求m与n的值.二．二元_次方程组：1、二元一次方程组.由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫二元—次力程组.(1)二元：总共有两个未知数如：+12 22 xx=⎧⎨=⎩，21x y yx+=⎧⎨=⎩，12x yx y+=⎧⎨+=⎩，121x yx+=⎧⎨=⎩，12xy=⎧⎨=⎩，12x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，11x yy z+=⎧⎨+=⎩(2) —次：每个都是一次方程如:22x yy x⎧=⎪⎨=⎪⎩，2222+x x xy y y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，11x yxy+=⎧⎨=⎩，1111xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(3)方程组：方程个数大于等于2如：x＋y＝l，112 xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩① 二元—次方程组一定是由两个或多个二元一次方程组成（错）② 两个或多个二元一次方程一定可以组成二元一次方程组（错）【例4】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（）A.527x yxy+=⎧⎨=⎩B.121340xyx y⎧+=⎪⎨⎪-=⎩C.354433x yx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩D.28312x zx y-=⎧⎨+=⎩【练4】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A.4119x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B.57x yy z+=⎧⎨+=⎩C.1x y xyx y-=⎧⎨-=⎩D.1326xx y=⎧⎨-=⎩2、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的两个未知数的值（即两个方程的公共解），叫做二元一次方程组的解，同时它也必须是－个数对.而不能是一个数.【例5】⑴己知43xy=-⎧⎨=⎩是方程组12ax yx by+=-⎧⎨-=⎩的解，则(a＋b)b＝_______,(2)己知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组12ax bybx ay+=⎧⎨+=⎩的解，则a－b的值为( )A.1B.－1C.2D.3【练5】（1)下列四个解中是方程组16223111x yx y⎧-=⎪⎨⎪+=-⎩的解是（）A.810xy=⎧⎨=-⎩B.101xy=⎧⎨=-⎩C.6xy=⎧⎨=-⎩D.112xy⎧=-⎪⎨⎪=⎩⑵关于x，y的二元一次方程组331ax yx by-=⎧⎨-=-⎩解中的两个未知数的值互为相反数，其中x＝l,求a，b的值.模块二二元一次方程组的基本解法一．会解基本二元一次方程组（体会消元过程）2、熟练应用代入与加减的方法，养成严格书写的习惯二元一次方程方程组最根本的思路就是将二元方程消元变成一元方程，代入消元法和加减消元法是最常用的方法.1.代入消元：why：等量代换when：(未知数系数为1时优先）how：用一个字母表示另一个字母直接代入(1)12xx y=⎧⎨+=⎩(2)2x yx y=⎧⎨+=⎩⑶23x yx y=⎧⎨+=⎩⑷13x yx y+=⎧⎨+=⎩变形代入(5)13x yx y-=⎧⎨+=⎩(6)2127x yx y-=⎧⎨+=⎩(7)2+38321x yx y=⎧⎨-=-⎩1．代入消元法代入消元法是解二元一次方程组的基本方法之一.“消元”体现了数学研究中转化的重要思想, 代入法不仅在解二元一次方程组中适用，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y，用另一个未知数如x的代数式表示出来，即写成y＝ax＋b的形式：②把y＝ax＋b代入另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程：③解这个一元一次方程，求出x的值：④回代求解：把求得的x的值代入y＝ax＋b中求出y的值从而得出方程组的解.⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式.【例】解方程组2 239 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：由①得y＝x—2 ③把③代入②，得2x＋3(x－2)＝9 解得x＝3把x＝3代入③得,y＝l所以方程组的解是31 xy=⎧⎨=⎩2、加减消元：Why：等式性质When：系数绝对值相同优先How：系数统一后相加减直接加减；⑴31x yx y+=⎧⎨-=⎩⑵521327x yx y-=⎧⎨+=⎩⑶24234x yx y+=⎧⎨-=-⎩系数统一(4)23124x yx y-=⎧⎨+=⎩(5)237324x yx y+=⎧⎨-=⎩2.加减消元法加减法是消元法的一种，也是解二元一次方程组的基本方法之一，也是今后解其他方程（组）经常用到的方法用加减法解二元一次方程组的－般步骤：①变换系数：把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数.使两个方程里的某―个未知数互为相反数或相等.②加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减.消去一个未知教，得到一个一个―次方程：③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值：④回代：将求出的未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值：⑤把这个方程组的解写成x ay b=⎧⎨=⎩的形式例：解方程组32 12 3 x yx y-=⎧⎨+=⎩②①解：①×2 得4x＋2y＝6 ③①＋③得7x＝7解得x＝l把x＝l代入①得y＝l所以方程组的解是11 xy=⎧⎨=⎩代入消元与加减消元的对比：代入消元方法的选择：①运用代入法时，将一个方程变形后，必须代入另一个方程，否则就会得出“0＝0” 的形式.求不出未知数的值.②当方程组中有一个方程的一个未知数的系数是1或－1时，用代入法较简便.加减消元方法的选择：① 一般选择系数绝对值最小的未知数消元；② 当某一未知数的系数互为相反数时，用加法消元；当某一未知数的系数相等时，用减法消元；③某一未知数系数成倍数关系时，直接使其系数互为相反数或相等,再用加减消元求解.④当未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时方程进行变形，转化为系数的绝对值相同，再用加减消元求解.【例6】⑴方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（ )A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.23xy=⎧⎨=⎩⑵方程组535213x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.45xy=-⎧⎨=⎩C.53xy=⎧⎨=⎩D.45xy=⎧⎨=-⎩⑶用代入消元法解方程组：3 3814 x yx y-=⎧⎨-=⎩⑷用加减消元法解方程组：49 351 x yx y+=-=⑸二元一次方程ax＋by＝6有两组解是22xy=⎧⎨=-⎩与18xy=-⎧⎨=-⎩，求a，b的值.【练6】⑴二元―次方程组2x yx y+=⎧⎨-=⎩的解是（）A．2xy=⎧⎨=⎩B.2xy=⎧⎨=⎩C.11xy=⎧⎨=⎩D.11xy=-⎧⎨=-⎩⑵方程组25342x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是____________.⑶己知方程组2421mx y nx ny m+=⎧⎨-=-⎩的解是11xy=⎧⎨=-⎩，那么m，n的值为（）A.11mn=⎧⎨=-⎩B.21mn=⎧⎨=⎩C.32mn=⎧⎨=⎩D.31mn=⎧⎨=⎩三元：【例7】0 423 9328 a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩【练7】解方程组0.5320 322 x y zx y zx y z+-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩模块三二元一次方程组的基本解法本模块中，我们主要学习复杂二元一次方程组化简，同时，对换元，轮换，连等式等量代信思想的建议认识理解.复杂方程组化简为基本二元一次方程组消元求解【例8】解下列方程组：⑴3(1)4(4)5(1)3(5)y xx y-=-⎧⎨-=+⎩⑵134723m nm n⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩【练8】解方程组：⑴2344143m n n mnm+-⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⑵3221245323145x yx y--⎧+=⎪⎪⎨++⎪-=⎪⎩2、轮换对称：二元对称：【例9】解方程组：⑴231763172357x yx y+=⎧⎨+=⎩⑵201120134023201320114025x yx y+=⎧⎨+=⎩【曾伟录入】【练9】（1）解关于x、y的方程组301120722 150271571x yx y+=⎧⎨+=⎩（2）解关于x、y的方程组331512 173588x yx y+=⎧⎨+=⎩三元轮换【例10】解方程组（1）222426x y zx y zx y z++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（2）1131x y zy z xz x y+-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩.【练10】（1）解方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x++=⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩；（2）已知1467245735674757671234567394941131499x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎪+++=⎪+=⎨⎪+=⎪⎪+=⎪++++++=⎩，求7x .3、换元：【例11】（1）解方程组23237432323832x y x y x y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩【练11】（第七届“华罗庚杯”邀请赛试题） 解方程组1211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪⎨⎪+=⎪--⎩【例12】解方程组（1）1513pq p q pq p q ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪-⎩；（2）1321312312mn m n mn m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩.【练12】（1）已知1,2,3xy yz zx x y y z z x===+++，求x y z ++的值.（2）解关于x 、y 的方程组1111(0,)x y abx a b x y aby ab ab b aa b ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+≠±≠⎪⎩.4、连等比例【例13】解方程组：（1）:::1:2:3:49732200x y z u x y z u =⎧⎨+++=⎩；（2）解方程组：2345238x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪+-=⎩【练13】已知a b c k b c a c a b===+++，求k 的值.第8讲［尖端课后作业二元一次方程（的）念和解法【习1】下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）A. 312x xy +=B. x y =C. 2115x y =+ D. 253x y x y -=+ 【习2】下列各方程是二元一次方程的是（ ）A. 23x y z +=B. 45y x +=C. 2102x y +=D. 1(8)2y x =+【习3】若关于x 、y 的方程2(3)0a a x y --+=是二元一次方程，那么a 的取值为( )A. 3a =-B. 3a =C. 3a >D. 3a <【习4】若方程22(4)(23)(2)0k x k x k y -+-+-=为二元一次方程，则k 的值为( )A. 2B. －2C. 2或－2D. 以上均不对【习5】若方程2(3)25m m x y -+-=为关于x 、y 的二元一次方程，则2012(2)m -= .【习6】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A. 4119x y x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩B. 57x y y z +=⎧⎨+=⎩C. 1x y xy x y -=⎧⎨-=⎩D.1326x x y =⎧⎨-=⎩【习7】下列不是二元一次方程组的是（ ）A. 23x y y z +=⎧⎨+=⎩B. 2334m n n m =+⎧⎨-=⎩ C. 21x y =⎧⎨=-⎩D. 4252()12()3a a b a b +=⎧⎨-+=+-⎩ 【习8】解下列二元一次方程组：（1）527341x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ；（2）327238x y x y +=⎧⎨+=⎩ ；（3）34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩【习9】若方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解是8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组2(2)3(1)133(2)5(1)30.9x y x y +--=⎧⎨++-=⎩的解是（ ） A. 6.32.2x y =⎧⎨=⎩ B. 8.31.2x y =⎧⎨=⎩ C. 10.32.2x y =⎧⎨=⎩ D. 10.30.2x y =⎧⎨=⎩【习10】若实数x 、y 满足2142y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求关于x 、y 的方程组12x y a x y a +=-⎧⎨-=-⎩的解.【习11】已知211(3)02a b -++=，解方程组315ax y x by -=⎧⎨+=⎩. 【习12】解方程组2(1)5(2)1101217102x y x y --++=⎧⎪-+⎨-=⎪⎩【习13】解方程组3()4()4126x y x y x y x y +--=⎧⎪+-⎨+=⎪⎩ 【习14】解方程组2320235297x y x y y --=⎧⎪-+⎨+=⎪⎩【习15】解方程组9()18523()2032m n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩【习16】解方程组1232(1)11x y x y +⎧=⎪⎨⎪+-=⎩【习17】解方程组37043225x y y z x z -+=⎧⎪+=⎨⎪-=-⎩【习18】解方程组23162125x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩【习19】解方程组56812412345x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=⎩【玉勇录入】【习20】已知方程组361463102463361102x y x y +=-⎧⎨+=⎩的解是x p y q =⎧⎨=⎩，方程组345113435113991332x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩的解是x m y n z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则(p －q )(m －n ＋t )等于 ．【习21】(武汉市“CASIO ”竞赛题)已知正数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足becdf a ＝4，acdef b ＝9，abdef c ＝16，abcef d ＝14，abcdf e ＝19， abcde f ＝116，求(a ＋c ＋e )－(b ＋d ＋f )的值．【习22】(第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试)已知实数x 1，x 2，x 3，x 4满足条件1231234234134124x x x a x x x a x x x a x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，其中a 1<a 2<a 3<a 4，则x 1，x 2，x 3，x 4的大小关系是( ) A ． x 1<x 2<x 3<x 4 B ． x 2<x 3<x 4<x 1 C ． x 3<x 2<x 1<x 4 D ． x 4<x 3<x 2<x 1【习23】若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组12323434545151212345x x xx x xx x xx x xx x x-+=⎧⎪-+=⎪⎪-+=⎨⎪-+=⎪⎪-+=⎩①②③④⑤，求x2x3x4的值．【习24】解方程组：:3:2:5:466 x yy zx y z=⎧⎪=⎨⎪++=⎩【张来录入】。
《认识二元一次方程组》参考教案
认识二元一次方程组●教学目标(一)教学知识点1．体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．2．二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念．(二)能力训练要求1．通过分析实际问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的数学模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．(三)情感与价值观要求1．体会方程的模型思想，培养学生良好的数学应用意识．2．通过对学生熟悉的传统内容(如鸡兔同笼)的讨论，激发学生学习数学的兴趣．●教学重点1．通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效模型．2．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．●教学难点1．探索实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组．2．判断一组数是不是二元一次方程组的解．●教学方法学生自主探索——教师引导的方法．学生已具备了列一元二次方程解决实际问题的经验基础．在教学中，教师可引导学生思考列二元一次方程时，如何寻求等量关系，放手让学生经过自主探索列出二元一次方程组．●教具准备投影片三张：第一张：老牛和小马的对话(记作§ A)；第二张：“希望工程”义演(记作§ B)；第三张：做一做(记作§ C)．●教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课［师］小学时，我们就解答过著名的“鸡兔同笼”的问题，如“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”谁能用我们学过的知识来解答一下呢［生］解：设鸡有x只，则兔有(35－x)只，根据题意，可得：2x+4(35－x)=94解得x=23∵35－x=35－23=12答：鸡有23只，兔有12只．［生］不用方程也可以解答：如果让每只鸡都抬起一条腿，让每只兔子都抬起两条腿，即让它们表演“优美动人”的“金鸡独立”和“玉兔拜月”，这样它们一共抬起了94÷2=47条腿，并且只有47条腿着地了．接着让鸡飞上蓝天，让兔练习“金鸡独立”，也就是每只兔子只有一只腿着地，这样着地的腿数又减少了35条，而只有47－35=12条腿着地了，并且有一条腿着地，就有一只兔子，所以应该有12只兔子，35－12=23只鸡．［师］这两位同学解答“鸡兔同笼”的问题都非常精彩，特别是第二位同学．我们用掌声鼓励他们．接下来，老师说一种新的思路．在上面“鸡兔同笼”的问题中，我们会发现它有两个等量关系：鸡的只数+兔子的只数=35；鸡的腿数+兔子的腿数=94．如果我设鸡有x只，兔子有y只，这时我们就得到了方程x+y=35和2x+4y=94．这节课我们就来学习这样的方程及由它们组成的方程组．Ⅱ．讲授新课出示投影片(§ A)，并讨论回答下列问题．［师生共析］设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹．从老牛和小马的对话中，我们可以探索到其中的等量关系：①老牛驮的包裹－小马驮的包裹数=2，②老牛驮的包裹数+1=(小马驮的包裹数－1)×2．由此我们就可得到方程x－y=2和x+1=2(y－1)．出示投影片(§ B)［生］在上述问题中，我们可以找到的等量关系为：成人人数+儿童人数=8，成人票款+儿童票款=34．由此我们可得方程x+y=8和5x+3y=34．［师］在上面的两个问题中，我们得到了四个方程：x－y=2和x+1=2(y－1)，x+y=8和5x+3y=34．在这四个方程中，它们有何共同的特点．下面请同学们分组讨论．(此时，老师可参与到学生的讨论中，引导学生和以前学过的一元一次方程相联系，观察方程中有几个未知数，未知数的次数是几次含有未知数的项的次数是几次)［生］上面我们所列的四个方程都含有两个未知数，未知数的次数和含有未知数的项的次数都是一次．老师，我们能不能把它们叫二元一次方程．因为我国古代就把未知数叫做元，并且它们的未知数的次数是一次．［师］很好．它们的确都是二元一次方程．但我有一个问题和大家共讨论．我这儿有一个方程6xy－3=2．它也含有两个未知数，且未知数的次数x，y都是一次，它和上面的四个方程一样吗［生］不一样．它虽然含有两个未知数，未知数x ，y 也都是一次的，但6xy 这一项即含未知数的项却是二次的．［师］你真棒．正象这位同学说的，6xy －3=2不是二元一次方程．x －y=2和x+1=2(y －1)，x+y=8和5x+3y=34它们才是二元一次方程．能用自己的语言归纳什么叫二元一次方程吗［生］含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．［师］接下来，我们讨论下面的问题：在上面的方程x －y=2和x+1=2(y －1)中，x ，y 的含义相同吗［生］应该相同．在两个二元一次方程中，x 都表示老牛驮的包裹数，y 都表示小马驮的包裹数，因此x ，y 的含义是相同的．［师］也就是说，x 、y 既满足第一个方程x －y=2，又满足第二个方程x+1=2(y －1)．于是我们把它们联立起来，得x-y=2x+1=2y-1⎧⎨⎩（）像这样的含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．如、x-y=2x+1=2y-1⎧⎨⎩（）和x+2y=73y+1=2⎧⎨⎩都是二元一次方程组．注意在一个方程组中x 、y 应代表同一个量．出示投影片(§ C)(请同学们分组讨论完成，教师深入学生当中，随时发现同学们讨论问题时的闪光点)［师生共析］(1)把x=6，y=2代入方程x+y=8的左边得x+y=6+2=8，左边=右边，所以x=6，y=2是适合方程x+y=8．我们把适合二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解．因此x=6，y=2即为x+y=8的一组解．我们会发现x=5，y=3也适合方程x+y=8，因此x=5，y=3也是方程x+y=8的一组解．还有没有其他的x ，y 的值适合方程x+y=8呢［生］有．如x=1，y=7;x=4，y=4;x=8，y =0;……［生］我发现，只要给出x 的一个值，代入x+y=8中，便可得到y 的一个值．例如我们设x=－1，则代入x+y=8中，得－1+y=8，解得y=9．所以x=－1，y=9适合方程，是方程的一个解．也因此而得到x+y=8的解有无数多个．［师生共析］(2)把x=5，y=3代入方程5x+3y=34的左边=5x+3y=5×5+3×3=34．所以x=5、y=3是方程5x+3y=34的一个解．同样x=2，y=8也是方程5x+3y=34的一个解．我们把x=2，y=8是方程5x+3y=34的一个解记作28x y =⎧⎨=⎩同样53x y =⎧⎨=⎩也是方程5x+3y=34的一个解． (3)由(1)、(2)我们可以发现53x y =⎧⎨=⎩既是方程x+y=8的一个解，也是5x+3y=34的一个解．我们把这两个二元一次方程的公共解，叫做由这两个二元一次方程组成的方程组的解．例如53x y =⎧⎨=⎩就是二元一次方程组85334x y x y +=⎧⎨+=⎩的解．Ⅲ．例题精析［例1］(1)已知方程2x m+2+3y 1－2n =17是一个二元一次方程，则m=________，n=________．(2)方程①y=3x 2+x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=2;⑤3y x ++y=0;⑥x+y+z=1; ⑦y 1+x=4中，是二元一次方程的有_________． 解：(1)由二元一次方程的定义，得m+2=1，1－2n=1∴m=－1，n=0(2)根据二元一次方程的定义．可知②③⑤是二元一次方程．评注：二元一次方程必须要同时符合下列条件的整式方程：①方程中含有两个未知数；②方程中含有未知数的项的次数都是1．［例2］写出一个以⎩⎨⎧-==11y x 为解的二元一次方程组． 解：答案不惟一．只要写出的二元一次方程组的解是⎩⎨⎧-==11y x 即可．例如⎩⎨⎧=-=+.212y x y x 评注：二元一次方程组的解必须同时适合方程组中的每个方程．Ⅳ．随堂练习课本练习的答案1．解：设小明买了面值50分的邮票x 枚和面值80分的邮票y 枚，则可列出方程组．⎩⎨⎧=+=+93.68.05.0y x y x 2．解：分别将四组数值代入方程2x+y=10的左边，可知：(1)⎩⎨⎧=-=62y x 代入左边=2x+y=2×(－2)+6=2≠10，即左边≠右边，所以⎩⎨⎧=-=62y x 不是方程2x+y=10的解．(2) ⎩⎨⎧==43y x 代入左边=2x+y=2×3+4=10即左边=右边，所以⎩⎨⎧==43y x 是方程2x+y=10的解．(3) ⎩⎨⎧==34y x 代入左边=2x+y=2×4+3=11即左边≠右边，所以⎩⎨⎧==34y x 不是方程2x+y=10的解．(4) ⎩⎨⎧-==26y x 代入左边=2x+y=2×6+(－2)=10即左边=右边，所以⎩⎨⎧-==26y x 是方程2x+y=10的解．3．解：根据二元一次方程组的解的定义，将四个解分别代入方程组的每一个方程，可得⎩⎨⎧==42y x 是方程组⎩⎨⎧==+x y y x 2102的解． Ⅴ．课时小结这节课通过对实际问题的分析，使学生进一步体会到了方程是刻画现实世界的有效模型．在此基础上，我们了解了二元一次方程．二元一次方程组及其解等概念，并学会了判断一组数是不是某个二元一次方程组的解．Ⅵ．课后作业(一)习题(二)预习课本，体会二元一次方程组是如何转化为一元一次方程问题的． Ⅶ．活动与探究求二元一次方程2x+y=7的正整数解．过程：我们知道求二元一次方程2x+y=7的正整数解，就是求适合2x+y=7的一组未知数的正整数的值．2x+y=7的解有无数多个，而正整数解只有九个．由等式的性质可由方程2x+y=7得到y=7－2x ，由于x ，y 只能取正整数，所以x=1，2或3．当x=1时，y=7－2×1=5;当x=2时，y=7－2×2=3;当x=3时，y=7－2×3=1．结果：二元一次方程2x+y=7的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.1,3;3,2;5,1y x y x y x ●板书设计●备课资料一、参考例题［例1］已知方程8x=31y+4．(1)用x 的代数式表示y ．(2)求当x 为何值时，y=12分析：第(1)小题中，关键是把x 看作是已知数，把y 看作是未知数，然后按解一元一次方程的解法解；第(2)小题中把y=12代入方程8x=31y+4实际就是含未知数x 的一元一次方程．解：(1)去分母，得24x=y+12移项，得y=24x －12(2)若y=12，即24x －12=12∴24x=24，x=1评注：将二元一次方程中的一个未知数用另一未知数的代数式表示出来，这个过程实质是方程的一个变形，这种变形的方法是，把二元一次方程看做一元一次方程，其中把要表示的未知数仍看作是未知数，把另一个未知数看作已知数，然后解一元一次方程即可．［例2］已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，求m+n 的值． 分析：因为⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，所以⎩⎨⎧==12y x 同时满足方程①和方程②，将⎩⎨⎧==12y x 分别代入方程①和方程②，可得⎩⎨⎧=+=-+112214n m 则③和④可求出m 、n 的值．解：∵⎩⎨⎧==12y x 是方程组的解，所以将其代入原方程组中两个等式仍成立，即⎩⎨⎧=+=⨯-+⨯11221)1(22n m 解得⎩⎨⎧=-=01n m ，∴m+n=－1+0=－1 评注：仔细体会“已知方程组的解”这类已知条件的用法，并加深理解方程组的解的意义．二、参考练习1．填空题(1)已知方程2x 2n －1－3y 3m －n +1=0是二元一次方程，则m=_________，n=_________．(2)方程①2x+5y=0;②2x －y 1=8;③5x+2y=7;④4x －xy=3;⑤514y x =+;⑥x －2y 2=6;⑦4y x -+y=5中，二元一次方程有_________．(填序号) (3)若x －3y=2，则7－2x+6y=_________．(4)若x=1，y=－1适合方程3x －4my=1，则m=_________．(5)在x －5y=7中，用x 表示y=_________；若用y 表示x ，则_________．答案：(1)21 21 (2)①③⑤⑦ (3)7－2x+6y=7－2(x －3y)=7－2×2=3 (4)－21 (5)57-x 7+5y 2．选择题(1)下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧=-=+7353z x y x B ．⎩⎨⎧=-=--25412y x xy y x ① ②③ ④C ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=413272y x xD ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+3132y xy x(2)下列各对数中，是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-12472y x y x 的解是（ ） A ．⎩⎨⎧-==20y x B ． ⎝⎛-==32y x C ．⎩⎨⎧-=-=51y x D ．均不对 (3)已知⎩⎨⎧==12y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-51by ax by ax 的解，则a 等于（ ） A ．23B ．2C ．1D ．－2(4)若⎩⎨⎧==b y a x 是方程3x+y=0的一个解(a ≠0)．则有（ ） A ．a 、b 异号 B ．a 、b 同号C ．a 、b 同号也可能异号D ．以上均不对 答案：(1)C (2)B (3)A (4)A3．已知方程y x 311)1(21=+-，求当x=－3时，y 的值． 答案：－3。
二元一次方程教学设计
二元一次方程教学设计作业内容二元一次方程（组）教学设计教学目标：1、认识二元一次方程和二元一次方程组；2、了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重难点：1.理解二元一次方程组及其解得含义；2.能区分二元一次方程的解和二元一次方程组的解；教学过程：1.提问：什么叫做一元一次方程？只含有一个未知数并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程。
2.练习：(判断哪些式子是一元一次方程？)3x=6 4x+55x-3=2xy=0 2x+y=10 5 x+2y=183.观察：2x+y=10 5x+2y=18这两个式子从未知数和未知数的次数有怎样的特征？4.引出二元一次方程的概念每个方程都含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.二、讲授新课1.用多种方法解决下题：去年我们学校组织了初中部篮球比赛，规定每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.705班在10场比赛中得到16分，那么705班胜负场数分别是多少？（只列式，不计算）方法1：解：设705班赢了x场，则输了（10-x）场；2x+(10-x)=16方法2：解：设705班赢了x场，输了y场；x+y=102x+y=162.此时的x和y要同时满足上面两个方程，所以我们把这两个方程合在一起就组成了方程组。
3.观察：方程组有几个未知数？未知数的项的次数是多少？二元一次方程组的概念：像这样方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.注意：方程组总共有两个未知数而不是每个方程都要有两个未知数。
三、探究二元一次方程（组）的解满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.满足方程2x+y=16，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.总结：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.观察：上表中哪对x、y的值既满足x+y=10 又满足2x+y=16?我们还发现，上表中当x=6，y=4时既满足方程x+y=10又满足方程2x+y=16. 即x=6,y=4 是这两个方程公共解.讨论：不结合本道题的实际情况，还有哪些值满足上述两个方程？总结：二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。
北师大版八上数学5.1认识二元一次方程组知识精讲
知识点总结1.二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0)。
如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项都为1次方，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，有无穷个解，若加条件限定有有限个解。
二元一次方程组，则一般有一个解，有时没有解，有时有无数个解。
2.二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组。
5.消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
归纳：基本思路：“消元”——把“二元”变为“一元”。
6.代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
7.加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
要点归纳一、知识网络结构二、知识要点1、含有未知数的等式叫方程，使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。
2、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫二元一次方程，二元一次方程的一般形式为(为常数，并且)。
使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解，一个二元一次方程一般有无数组解。
3、方程组含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫二元一次方程组。
使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解，一个二元一次方程组一般有一个解。
4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤：观察方程组中，是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数，如果有，则将它直接代入另一个方程中；如果没有，则将其中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数；再将表示出的未知数代入另一个方程中，从而消去一个未知数，求出另一个未知数的值，将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程，求出另外一个未知数的值。
认识二元一次方程组(公开课)课件
CHAPTER 05
二元一次方程组的扩展知识
二元一次方程组的几何意义
平面直角坐标系
二元一次方程组表示平面上的点集，每 个方程代表一条直线，解集是两条直线 的交点。
VS
线性规划
二元一次方程组可以用于解决线性规划问 题，通过找到可行域的顶点或边界，确定 最优解。
二元一次方程组的数值解法
代入法
通过消元法将二元一次方程组转化为一个一 元一次方程，求解得到一个变量的值，再代 入原方程求另一个变量的值。
解的唯一性取决于系数矩阵的行列式是否为零。如果行列 式不为零，则方程组有唯一解；如果行列式为零且系数矩 阵不满秩，则方程组无解；如果行列式为零且系数矩阵满 秩，则方程组有无穷多解。
解的稳定性
解的稳定性是指解在微小扰动下的变化情况。
解的稳定性可以通过研究方程组的雅可比矩阵和其对应的特征值来分析。如果特 征值在复平面上远离原点，则解是稳定的；如果特征值接近原点，则解可能是不 稳定的。此外，可以通过数值方法来模拟解的稳定性。
二元一次方程组的应用
代数问题
代数方程求解
通过二元一次方程组，我们可以 求解未知数的值，满足给定的代 数条件。
代数恒等式的证明
利用二元一次方程组的性质和求 解方法，可以证明代数恒等式或 不等式。
几何问题
面积和周长计算
在几何问题中，经常需要求解图形的 面积和周长，二元一次方程组可以用 来表示和求解这些几何量。
二元一次方程组是由两个一次方程组成的，每个方程都包含两个未知数，且最 高次项为一次。例如，方程组 (x + y = 1) 和 (x - y = 2) 就是一个二的特性包括解的存在性和唯一性、解的互异 性等。
详细描述
二元一次方程组具有解的存在性和唯一性，即对于给定的方 程组，至少存在一组解，且解是唯一的。此外，解是互异的 ，即每个解都是唯一的，不同的解之间不会相互替代。
第1讲-二元一次方程组
第1讲-二元一次方程组1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．例如，下列方程中：①1x ＋2y ＝3，②xy ＝4，③x －3y 2＝1，④2x ＋3y ＝z ，⑤4x ＋2＝y ，属于二元一次方程的是： ．（填序号）2．二元一次方程组：有两个未知数，含有每个每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程的叫做二元一次方程组．3．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值． 二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解． 例如，二元一次方程x －2y ＝8的解有 组；二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0．的解是（ ）．A ．⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2．B ．⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0．C ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1．D ．⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1．4．代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法．5．加减消元法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．【消元法】6．用代入消元法解方程组⎩⎨⎧3x ＋4y ＝2，①2x －y ＝5． ②使得代入后化简比较容易的变形是（ ）．A ．由①得x ＝2－4y3B ．由①得y ＝2－3x4C ．由②得x ＝y ＋52D ．由②得y ＝2x －57．用代入法解方程组⎩⎨⎧y ＝x －7， ①2x －3y ＝1．②时，用①代入②得（ ）．A ．2－x （x －7）＝1B ．2x －1－7＝1C ．2x －3（x －7）＝1D ．2x －3x －7＝18．用加减法将方程组⎩⎨⎧5x ＋4y ＝－1，5x －3y ＝－5．中的未知数x 消去后得到的方程是（ ）．A ．y ＝4B ．7y ＝4C ．－7y ＝4D ．－7y ＝149．用适当的方法解下列方程组：（1）⎩⎨⎧y ＝x ＋3，7x ＋5y ＝9；（2）⎩⎨⎧x －y ＝8，3x ＋y ＝12；（3）x ＋2y ＝4y ＝4；（4）⎩⎨⎧3s ＋2t ＝4，2s －3t ＝7；（5）⎩⎨⎧x ＋y ＝3，5x －3(x ＋y )＝1；（6）⎩⎪⎨⎪⎧4(x －y －1)＝3(1－y )－2，x 2＋y 3＝2．【综合运用】10．若|x ＋y ＋1|＋(x －y －2)2＝0，求3x －y 的值．11．已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧2x －y ＝3，3x ＋y ＝7．求x ＋2y 的值为 ．12．已知⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2．和⎩⎨⎧x ＝2，y ＝0．都是方程ax －by ＝1的解，则a ＝ ，b ＝ ．13．已知y ＝x 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，y ＝2，当x ＝－1时，y ＝8， （1）求b ，c 的值；（2）当x ＝3时，y 的值是多少？14．若方程x m －1＋2y 3n ＋1＝1是二元一次方程，则m ＝ ，n ＝ ．15．二元一次方程x －2y ＝1有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是（ ）． A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－12．B ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1．C ．⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0．D ．⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1．16．解方程组⎩⎨⎧3x －5y ＝6，①2x －3y ＝4．②由②×3－①×2，得（ ）．A ．7y ＝－8B ．－y ＝1C ．y ＝0D ．4y ＝－117．以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1．为解的二元一次方程组是（ ）．A ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝1．B ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝－1．C ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝2．D ．⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝－2．18．已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．是二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1．的解，则a －b 的值为 ．【同解方程，含参方程】19．已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧3x －2y ＝4，mx ＋ny ＝7．与⎩⎨⎧2mx －3ny ＝19，5y －x ＝3．有相同的解，求m ，n 的值．20．若二元一次方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝3，3x －y ＝2．和2x －my ＝－1有公共解，则m 的值为（ ）．A ．3B ．4C ．－1D ．－2 21．若关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝5k ，x －y ＝9k ．的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k的值为．22．由关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧x ＋m ＝3，y －m ＝6．可得出x 与y 的关系式是（ ）．A ．x ＋y ＝9B ．x ＋y ＝3C ．x ＋y ＝－3D ．x ＋y ＝－923．若x ＋2y ＋3z ＝10，4x ＋3y ＋2z ＝15，则x ＋y ＋z ＝ ．【一题多解】24．与方程组⎩⎨⎧x ＋2y －3＝0，2x ＋y ＝0．有完全相同的解的是（ ）．A ．x ＋2y －3＝0B ．2x ＋y ＝0C ．(x ＋2y －3)(2x ＋y )＝0D ．|x ＋2y －3|＋(2x ＋y )2＝025．解下列方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＋z ＝3，x ＋z ＝－1；（2）x －y 3＝2y －z 4＝2z ＋x5＝1．26．解方程组⎩⎨⎧19x ＋18y ＝17 ①17x ＋16y ＝15 ②时，如果直接消元，那将是很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．解：①－②，得：2x ＋2y ＝2，x ＋y ＝1③．③×16，得：16x ＋16y ＝16④．②－④，得：x ＝－1，将x ＝－1代入③，得：y ＝2．∴方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2．（1）请你采用上述方法解方程组：⎩⎨⎧2014x －2013y ＝2012，2012x －2011y ＝2010；（2）请你采用上述方法解关于x ，y 的方程组：⎩⎨⎧(a ＋2)x ＋(a ＋1)y ＝a ，(b ＋2)x ＋(b ＋1)y ＝b ．，其中a ≠b ．第1讲-参考答案1．⑤ 3．无数，C6．D7．C8．B9．（1）⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝52．（2）⎩⎨⎧x ＝5，y ＝－3．（3）⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．（4）⎩⎨⎧s ＝2，t ＝－1．（5）⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．（6）⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3．10．解：依题意得：⎩⎨⎧x ＋y ＋1＝0，x －y －2＝0．解得：⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－32．∴3x －y ＝3．11．412．12，1413．解：（1）依题意得：⎩⎨⎧2＝1＋b ＋c ，8＝1－b ＋c ．解得：⎩⎨⎧b ＝－3，c ＝4．；（2）y ＝x 2－3x ＋4，当x ＝3时，y ＝4．14．2，015．B16．C17．C18．－119．解：依题意得：⎩⎨⎧3x －2y ＝4，5y －x ＝3．解得：⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．把⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1．代入⎩⎨⎧2mx －3ny ＝19，mx ＋ny ＝7．得：⎩⎨⎧4m －3n ＝19，2m ＋n ＝7．解得：⎩⎨⎧m ＝4，n ＝－1．20．A21．3422．A23．解法1：分离变量法，把z 看作已知数，解关于x ，y 的方程组得x ＝z ，y ＝5－2z ，所以x ＋y ＋z ＝5．解法2：整体法，两个方程相加得5(x ＋y ＋z )＝25，所以x ＋y ＋z ＝5． 解法3：特殊值法，令z ＝0，则x ＋2y ＝10，4x ＋3y ＝15，解得：x ＝0，y ＝5．所以x ＋y ＋z ＝5．24．D25．（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝5，z ＝－2；（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，z ＝0．26．（1）⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2．；（2）⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2．。
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( D) ? x ＋ y＝52
A.?? 3x ＋2y＝20
? x ＋y＝52
B．
? ?
2x
＋3y＝20
? x ＋y＝20
C．? ?2x
＋3y＝52
? x ＋ y＝20 D．?? 3x ＋ 2y ＝52
1．若关于 x、y的方程 xm＋1＋yn－2＝0是二元一次方程，则 m＋n的和为 ( D )
A．0
13．根据题意列出方程组：
(1)明明到邮局买0.8元与2元的邮票13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票 各买了多少枚？
解：设0.8元的邮票买了x枚，2元的邮票买了y枚，根据题意，得
??x＋y＝13 ??0.8x＋2y＝20
；
(2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若 每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？ 解：设有x只鸡，y个笼，根据题意，得????45y?y＋－11＝?＝x x .
代入方程①中，得 5a＋5×4＝15，解这个方程，得 a
＝－ 1.所以 a2017 ＋ (－110 b)2018＝(－1)2017 ＋(－110×10) 2018 ＝0.
1．下列方程中，是二元一次方程的是 ( B )
A．xy ＝1
B．y＝3x－1
C ．x＋1y＝2
D．x ＋y＋z＝1
பைடு நூலகம்
二元一次方程组和它的解 把具有 相同 未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一 次方程组．二元一次方程组的各个方程的 公共解 ，叫做这个二元一次方
程组的解．
自我诊断 2.
?x＝0
2018秋季
数学 八年级 上册 ? B
第五章 二元一次方程组
1 认识二元一次方程组
二元一次方程及解的概念
含有 两 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元 一次方程．适合一个二元一次方程的一组 未知数 的值，叫做这个二元一 次方程的一个解，二元一次方程有 无数 个解．
自我诊断 1.
? 4x ＋6y ＝28
A.? ?x
＝
y＋2
? 4y＋6x ＝28
B．
? ?
x＝y＋2
? 4x ＋6y ＝28
C. ? ?x
＝
y－2
? 4y ＋6x ＝28
D．? ?x
＝
y－2
10．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共 花费35元，毽子单价 3元，跳绳单价 5元，购买方案有 ( B )
?x＝1
4．若
?
?y＝2
是关于x、y的二元一次方程 ax－3y＝1的解，则 a的值为
7
.
4
5．在二元一次方程－ x＋6y－4＝0中，当x＝4时，y＝ 3 ；当 y＝－1时，
x＝ －10 .
6．根据下列语句，设适当的未知数，列出二元一次方程 (组)． (1)甲数的2倍与乙数的12的差等于48的13； (2)某学校招收七年级学生292人，其中男生人数比女生人数多35人． 解：(1)设甲数为x，乙数为y，则2x－12y＝48×13； (2)设男生x人，女生y人，则????xx＋－yy＝＝23952 .
14．小明在做家庭作业时发现练习册上一道解方程的题目被墨水污染
?2x－3y＝■
?
?6x
＋y＝▲
，“■”和“▲”表示被污染的内容，他着急翻开书后面的
?x ＝2 答案，这道题的解是 ??y＝－1 吗？说出你的方法．
，你能帮助他补上“■”和“▲”的内容
解：■＝7，▲＝11，方法略．
?ax＋5y＝15① 15．甲、乙两人共同解方程组 ??4x－by＝－2② ，由于甲看错了方程①中
?x ＝－1
?3x＋2y＝m
7．已知
?
?y＝2
是二元一次方程组 ? ?nx －y＝1
的解，则 m－n的值是
( D) A．1
B．2
C．3
D．4
8．按如图所示的运算程序，能使输出结果为3的x、y的值是( D )
A．x＝5，y＝－2 C．x＝－4，y＝2
B．x＝3，y＝－3 D．x＝3，y＝3
9．小亮的妈妈用 28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4元，乙种 水果每千克 6元，且乙种水果比甲种水果少买了 2千克，求小亮妈妈两种水 果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 x千克，乙种水果 y千克，则 可列方程组为 ( A )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
11．若 是 －4
?x＝2
?
? y＝－ 1 .
是二元一次方程 ax＋by＝2的一个解，则 2a－b－6的值
12．某地区发生地震期间，为了紧急安置 60名地震灾民，需要搭建可容纳 6 人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好 (即不多不少 )能容纳这 60名灾民，则 不同的搭建方案有 6 种．
? x ＝－3 的a，得到方程组的解为 ??y＝－1 ；乙看错了方程②中的b，得到方程组的
? x ＝5
解为?
?
y＝4
.试计算a2017＋(－110b)2018.
解：把
?? x ＝－ 3 ??y＝－1
代入方程②中，得 4×(－3)－b×(－1)＝－2，解这个方
程，得
b＝10.把
?? x ＝5 ??y＝4
?x＝3
?x＝6
2．已知下列三对数：①
?
?y＝－1
；② ? ?y＝0
；③ ? ?y＝1
，满足方程 x－3y
＝3的是 ①②③
；满足方程 3x－10y＝8的是
③
?x－3y＝3 ；方程组 ?
? 3x －10y＝8
的解是 ③ .
根据实际问题列二元一次方程组
自我诊断 3.
3．植树节这天有 20名同学共种了 52棵树苗，其中男生每人种树 3棵，女生 每人种树 2棵．设男生有 x人，女生有 y人，根据题意，下列方程组正确的是
B．1
C．2
D．3
2．二元一次方程 3a＋b＝9在正整数范围内的解的个数是 ( C )
A．0
B．1
C．2
D．3
3．下列方程组中，不是二元一次方程组的是 ( B )
?3x－2y＝0 A.?? 4x －1＝y
? x ＋y＝5
B．
? ?
y＋z＝3
?x＋4＝0 C. ?? 3y－7＝0
?x＝2y＋1 D．??y＝0