2.1 放射性衰变的基本规律

之间的关系 四个特征量 四个特征量之间的关系
λ
T1 / 2
0.693 λ= T1 / 2
τ
1 λ= τ
Γ
Γ λ= ℏ
0.693ℏ Γ
λ
T1 / 2 T
1/ 2
τ
Γ
0.693 = λ
0.693τ
1.44T1 / 2
0.693ℏ T1 / 2
ℏ τ
1 τ= λ
ℏ Γ
Γ = ℏλ
特征量大小与核衰变的快慢 特征量 核衰变
1 N (0) / λ = τ = λ N (0)
=
T12
ln 2
= 1 . 44 T 1 2
(4) 衰变宽度 Γ 由放射性衰变的量子理论，原子核所处的 能 由放射性衰变的量子理论，原子核所处的能 级具有一定的宽度 ，如自然宽度Γ。 级具有一定的宽度， 由不确定关系：
Γ ≈ ℏλ
或
Γτ ≈ ℏ
，则τ较大 ，原子核衰变 较慢 ； Γ较小 较小，则 较大，原子核衰变 ，原子核衰变较慢 较慢； ，则τ较小 ，原子核衰变 较快 。 较大，则 较小，原子核衰变 ，原子核衰变较快 较快。 Γ较大
大家课后计算一下， N 1 ( t ) +
N 2 (t ) + N 3 (t ) = ?
2）多次连续衰变规律 A � B � C�…�N（稳定）
参照两次连续衰变的规律，考虑子体C也不稳定，则 由它 本身的衰变 及子体B 的衰变 决 子体C数目的变化量 数目的变化量由它 由它本身的衰变 本身的衰变及子体 的衰变决 定： dN ( t ) = λ N ( t )dt − λ N ( t )dt
− dN (t ) = λ N (t )dt
− dN ( t ) / dt λ= N (t )
分子表示：t 时刻 单位时 时刻单位时 间内 发生衰变的核数目 ， 间内发生衰变的核数目 发生衰变的核数目， ，记作 J (t ) 称为衰变率 衰变率，记作
t 时刻放射性原子核总数
：一个 原子核在 单位时间内 发生 衰变 衰变常数 衰变常数： 一个原子核在 原子核在单位时间内 单位时间内发生 发生衰变 。 的概率 概率。 量纲为：[t]-1,如1/s，1/h，1/d，1/a
3
− λ1) − λ − λ ) )
(λ 1 (λ 1
3
2
2
3
对于 n 代连续放射性衰变过程，其中第 1 到第 n 代核素 具有 放射性 ，而第n+1代核素为 稳定 核素。 具有放射性 放射性，而第 代核素为稳定 稳定核素。 A1 → A2 → ⋯ → An → An +1 (稳定) 设初始条件为：
dN 3 ( t ) = λ 2 N 2 ( t )dt
解此方程，得：
λ1λ 2 ⎡ 1 1 − λ1 t − λ2 t ⎤ N 3 ( t ) = N 10 ⎢ (1 − e ) − (1 − e )⎥ λ 2 − λ1 ⎣ λ1 λ2 ⎦
当 t → ∞ ， N3(t) → N10 ， 母体 A 全部衰变成 子体C。子体C是稳定的，不再发生衰变。 考虑：是否还有其他简单方法求N3(t)？
第二章 放射性和核的稳定性
1. 放射性的一般现象
年， Becquerel（获 1903年诺贝尔物 1896 1896年， 在铀矿物中发现 射线 。 理奖） 理奖）在铀矿物中发现 在铀矿物中发现射线 射线。 在磁场中发现，射线有三种成份： (1852～1908) 偏转 ，与带 正电荷 离子流相同； 一种在磁场中 一种在磁场中偏转 偏转，与带 ，与带正电荷 正电荷离子流相同； 一种在磁场中 偏转 ，与带 负电荷 离子流相同； 一种在磁场中偏转 偏转，与带 ，与带负电荷 负电荷离子流相同； 不偏转 。 一种在磁场中 一种在磁场中不偏转 不偏转。 分别叫做α、β、γ射线。 1、α射线是氦核，带正电荷，贯穿本领小； ，带负电，贯穿本领较大； 2、β射线是高速电子流 射线是高速电子流，带负电，贯穿本领较大； 。 3、γ射线是波长很短的电磁波，贯穿本领大 射线是波长很短的电磁波，贯穿本领大。
λ
大 小
T1 / 2
小 大
τ
小 大
Γ
大 小
衰变速度 快 慢
3. 递次衰变规律
并非一次衰变 就达到稳 许多放射性核素 许多放射性核素并非一次衰变 并非一次衰变就达到稳 定，而是它们的 子核仍有放射性 ，会接着衰 定，而是它们的子核仍有放射性 子核仍有放射性，会接着衰 稳定核素 为止，这 变 …… 直到衰变的子核为 直到衰变的子核为稳定核素 稳定核素为止，这 多代连续放射性衰变 ，称之为 递次 样就产生了 样就产生了多代连续放射性衰变 多代连续放射性衰变，称之为 ，称之为递次 或级联衰变 。 衰变 衰变或 级联衰变。
γ = high-energy photon no charge
中子发射 、质子发射 、裂变 等 此外，还有 此外，还有中子发射 中子发射、 质子发射、 裂变等
各种辐射的穿透能力
自发地 发射 各种射线 的现象，称为 放射性 。 原子核 原子核自发地 自发地发射 发射各种射线 各种射线的现象，称为 的现象，称为放射性 放射性。 能自发地 发射各种射线的核素称为 放射性核素 ，也 自发地发射各种射线的核素称为 发射各种射线的核素称为放射性核素 放射性核素，也 不稳定核素 。 称为 称为不稳定核素 不稳定核素。 是由 原子核的变化 引起的，与核外电子 放射性现象 放射性现象是由 是由原子核的变化 原子核的变化引起的，与核外电子 状态的改变关系很小。 放射性现象与原子核的衰变密切相关。 原子核的衰变 ：在没有外界影响的情况下，原子核 原子核的衰变：在没有外界影响的情况下，原子核 自发地发射粒子并发生改变的现象。
N 1 (0) = N 10 N m ( 0) = 0
m = 2,3, ⋯ , n, n + 1
各衰变常数为： λ1 , λ2 ,⋯ , λn 用同样的方法可以求出第 n 个核素 随时间 的变化 个核素随 时间的 N n ( t ) = N 10 (c1e − λ t + c 2e − λ t + ⋯ + c n e − λn t ) 规律：
λ1 N 2 ( t ) = N 10 (e − λ1t − e − λ 2t ) λ 2 − λ1
可见，子体 B 的变化规律不仅与它本身的衰变常数 λ2 有关，而且还与母体 A 的衰变常数 λ 1 有关，它的 衰变规律不再是简单的指数规律。
对于C：
已经假设 C 是稳定的，那么它的变化仅由 B 的衰 变决定，即：
原子核衰变主要的类型:
Type of Radiation α = He nucleus β = electron or positron Charge/Mass +2q/4mp
α , β, γ
Penetration sheet of paper
–q/me or +q/me few mm metal several cm lead
量纲为：[t],如s，h，d，a
(3) 平均寿命 τ 平均寿命 ＝ 总寿命 / 总核数
N ( 0)
在 t~t+dt 时间内 衰变的原子核数 为： 时间内衰变的原子核数 衰变的原子核数为：
− dN (t ) = λ N (t )dt
的寿命 均为 t，它们的总寿命为 ： 这些核 这些核的 寿命均为 它们的总寿命为：
α ,138.4 d
206 82
下面分析一下，递次衰变规律。
1）两次连续衰变规律 初始条件：
A� B� C（稳定）
A 和 B 的衰变常数分别为 λ1 和 λ2 t = 0时， A 的数目为N10，B的数目为0 C 的数目为0。
对于A：
放射性衰变， 服从简单的 指数规律 。 是单一 单一放射性衰变， 放射性衰变，服从简单的 服从简单的指数规律 指数规律。 − λ1 t N 1 ( t ) = N 10 e 即： ，A的数目的变化为： 这样t时刻 时刻，
t ⋅ λ N (t )dt
而 t 可能的 取值 为 ：0～∞ 可能的取值 取值为 所有核 的总寿命 为： 所以， 所以，所有核 所有核的 总寿命为：
∞ ∞
N ( 0) t ⋅ λ N ( t )dt = ∫ λ N (0)e tdt = ∫ λ 0 0
− λt
平均寿命 ： 因此， 因此，平均寿命 平均寿命：

− dN 1 ( t ) = λ1 N 1 ( t )dt
对于B： B
不断从A获得 (增加)： λ1 N 1 ( t )dt 不断衰变为C (减少)： − λ 2 N 2 ( t )dt 这样B的数目的变化为： dN 2 ( t ) = λ1 N 1 ( t )dt − λ 2 N 2 ( t )dt 代入N1(t)等条件，解此微分方程，
• 原子核衰变的主要方式 α衰变 β衰变(包括β－衰变、β＋衰变和电子俘获EC) γ衰变(或γ跃迁)(包括内转换IC) 重核的自发裂变等 • 原子核衰变的表示 衰变纲图 同位素表
2. 放射性衰变的指数衰减规律
数目巨大 。 、放射源中的原子核数目巨大 数目巨大。 A、放射源中的原子核 全同的 。 B、放射性原子核是 、放射性原子核是全同的 全同的。 统计过程 。 C、放射性衰变是一个 、放射性衰变是一个统计过程 统计过程。 某一原子核 的 衰变时刻 ，但可以 统计 得到 不能预测 不能预测某一原子核 某一原子核的 衰变时刻，但可以 ，但可以统计 统计得到 总的放射性原子核数目的减少规律； 具体到每 放射源中 放射源中总的放射性原子核数目的减少规律； 总的放射性原子核数目的减少规律；具体到每 个放射性原子核的衰变来说，就是服从一定规律进行衰 变的一个 随机事件 ，可以用 衰变概率 表示。 变的一个随机事件 随机事件，可以用 ，可以用衰变概率 衰变概率表示。
(2) 半衰期 T1/2 ：放射性核数 衰变一半 所需的 时间 ， 半衰期 半衰期：放射性核数 ：放射性核数衰变一半 衰变一半所需的 所需的时间 时间， 记为T1/2 。 即： N T1 = N (0)e
2
( )
− λ T1
− λ T1
2
1 = N ( 0) 2
e
2
1 = 2
ln 2 0.693 T1 2 = ≈ λ λ
两次连续衰变规律总结如下： A � B � C（稳定）
N 1 ( t ) = N 10 e
− λ1 t
λ1 − λ1 t − λ2 t N 2 ( t ) = N 10 (e − e ) λ 2 − λ1
λ1λ 2 ⎡ 1 1 − λ1 t − λ2t ⎤ N 3 ( t ) = N 10 ⎢ (1 − e ) − (1 − e )⎥ λ 2 − λ1 ⎣ λ1 λ2 ⎦
指数衰减规律 1）放射性的 ）放射性的指数衰减规律 实验发现，放射性核素 222 86 Rn 放出一个 α 粒子， 222 Po 4天减少一半。 变成 218 ，而 的数目每4 84 86 Rn 的数目每
222Rn的衰变曲线
总体 考虑衰减规律： 由统计性，以放射源 由统计性，以放射源总体 总体考虑衰减规律： 设：t 时刻放射性原子核的数目为N(t )， N(t)
递次衰变的表示：
A ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ B ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→⋯ → N (稳定)
例如：
214 84
衰变方式，半衰期
衰变方式，半衰期
Po ⎯⎯ ⎯ ⎯ ⎯→ Pb ⎯⎯⎯→ Bi
⎯⎯ ⎯ ⎯→
β − , 5.01d
210 84
α ,1.64×10 −4 s
210 82
β − , 21a
210 83
Po ⎯⎯ ⎯ ⎯→ Pb( 稳定 )
a. 衰变率：
dN ( t ) d [ N (0)e J (t ) = − =− dt dt
− λt
]
= λN ( t )
几种 衰变方式时： 当一个原子核有几种 几种衰变方式时： b. 当一个原子核有
λ = ∑ λi
i
(请课后自行证明)
分支比 ： 定义 定义分支比 分支比：
Ri = λ i / λ
t～ t+dt 内发生的核衰变数目-dN(t )， dN(t)
它应该 正比于N(t ) 和时间间隔dt ， 它应该正比于 N(t) 于是有： − dN (t ) = λ N (t )dt 求解
N (t ) = N (0)e
− λt
ln N (t ) = − λt + ln N (0 )
特征量 2）放射性核素的 ）放射性核素的特征量 (1) 衰变常数
3 2 2 3 3
代入N2(t)等条件，解此方程
N 3 ( t ) = N 10 (c1e + c2 e 其中，系数 c1，c 2，c 3 为：
c1 = c2 = c3 =
(λ
2
− λ1 t
− λ2 t
+ c3e
− λ3t
)
λ 1λ 2 − λ 1 )( λ λ 1λ 2 − λ 2 )( λ λ 1λ 2 − λ 3 )( λ