9.1.2三角形的内角和与外角和
9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
三角形的外角和（2）【目标要求】1、复习巩固三角形的外角的性质、三角形的外角和定理；2、能熟练地运用三角形外角的性质、三角形的外角和进行计算和说理. 【重点】：三角形外角的性质、三角形外角和定理的应用；【难点】：灵活运用三角形的外角性质和外角和定理.【自主探究】自学教材第78页知识点一：三角形的外角和的推导1．如图示填空：（1）B∠____∠A+ACD∠（2）A∠_______ACD∠ACD∠∠______，B(3) =A∠BACB++∠∠2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢?二、探究合作、展示1、如图示：思考∠1＋∠2＋∠3＝ ?∵∠1＋______________=180°,∠2+_______________=180°,∠3+_______________=180°.三式相加可以得到∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1 ）又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，（2）∴∠1＋∠2＋∠3＝°结论：三角形的外角和是知识点二：三角形的外角和的应用例1、如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.图9.1.11 解（1）∵∠ADC是△ABD的外角（已知），∴∠ADC ＝∠B ＋∠ ＝80°又 ∠B ＝∠BAD （已知），∴ ∠ ＝80°×21＝40°（等量代换）. （2）在△ABC 中，∵∠B ＋∠ ＋∠C ＝180°（三角形的内角和等于180°），∴ ∠C ＝180°－∠ －∠ （等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°例2、如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB,求∠BOC 的度数.【小试牛刀】1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角.2.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.3.如图1所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠BDC=________.图1【专题提升】如右图，AC ∥DE,BD 平分∠ABC 交AC 于F ，∠ABC=70°,∠E=50°,求∠D ，∠A 的度数【整理评价与反思】1 整理今天所学内容，展示 次，质疑 次，参与 次。
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质
初中数学知识归纳三角形的内角和与外角性质三角形是初中数学中重要的概念之一，在三角形的学习中，了解三角形的内角和与外角性质十分重要。
本文将对初中数学中与三角形的内角和与外角性质相关的知识进行归纳总结。
一、内角和的性质1. 三角形内角和定理三角形的内角和为180°。
这是三角形的基本性质，对于任意一个三角形而言，它的三个内角之和恒定为180°。
2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形的两个底角（底边上的两个角）相等，而顶角等于两个底角之和的一半。
3. 直角三角形的内角性质直角三角形的两个锐角之和为90°。
4. 锐角三角形的内角性质锐角三角形的三个内角都是锐角。
5. 钝角三角形的内角性质钝角三角形的其中一个内角是钝角。
二、外角的性质1. 外角和内角的关系三角形的外角等于其对应的两个内角的和。
即一个三角形的外角与其非相邻的两个内角形成一条直线。
2. 三角形外角和的性质一个三角形的所有外角和等于360°。
三、实例应用1. 设某三角形的一个内角为60°，则其余两个内角的度数分别为多少度？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知一个内角为60°，设其余两个内角分别为x和y，则x + y + 60 = 180，整理得到x + y = 120。
因此，另外两个内角的度数分别为120°。
2. 若三角形的两个内角分别为30°和60°，求第三个内角的度数。
根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知两个内角分别为30°和60°，设第三个内角的度数为x，则30 + 60 + x = 180，整理得到x = 90。
因此，第三个内角的度数为90°。
3. 在一个三角形中，一个内角为120°，另外两个内角是什么？根据三角形的内角和定理，三角形的内角和为180°。
9.1.2 三角形的内角和与外角和
的度数？
A
解：∵∠1＝ ∠A+ ∠D
B
12 C
（三角形的外角等于与它 E 不相邻的两内角的和）
又∵∠2＝ ∠B+ ∠E
（三角形的外角等于与它不 D 相邻的两内角的和）
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E
=(∠A+ ∠D)+(∠B+ ∠E)+∠C =∠1+∠2+∠C =180°
三角形的外角和
对于三角形的每个内角，从与它 相邻的两个外角中取一个，这样取 得的三个外角相加所得的和，叫做 三角形的外角和。
你的结论。
A
已知：如图，Rt△ABC中， ∠C=90°。
求证：∠A+∠B =90° 。
C
证明：∵∠A+∠B+ ∠C=180°
且∠C=90° (已知)
B
(三角形三个内角 和等于180°)
∴∠A+∠B+ 90°=180° (等量代换)
∴∠A+∠B=90° (等式性质)
在一张白纸上画出如图所示的图形， 然后把∠１、 ∠ ２剪下拼在一起， 放到∠ ４上，看看会出现什么结果？
∴∠ C= 180 ˚ - ∠ B - ∠ BAC （等式的性质） = 180 ˚ -40 ˚ -70 ˚
=70 ˚
例2、三角形的三个外角之比为2:3:4，
则与它们相邻的内角分别为（ C）
A. 80˚ 120˚ 160 ˚
B. 160 ˚ 120 ˚ 80 ˚
C. 100 ˚ 60 ˚ 20 ˚
D. 140 ˚ 120 ˚ 100 ˚
1
让我们一起去发现
如图，计算∠BOC
三角形的内角和与外角和的关系总结
三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条线段组成，其中每两条线段的交点被称为顶点。
三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题，本文将对其进行总结和探讨。
1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个内角的度数之和始终为180度。
这一性质被称为"三角形的内角和定理"，是几何学中的基本定理之一。
数学的证明过程较为复杂，这里不做详述，但可以通过实际测量和计算来验证。
2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。
外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去，与另外两条边的非共边构成的角。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个外角的度数之和始终为360度。
这一性质也是几何学中的基本定理之一。
3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。
根据三角形的内角和定理和外角和的定义，可以得出如下结论：内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。
这也被称为"三角形内外角和关系定理"。
通过数学的证明，可以得到这个结论。
4. 应用举例通过内角和与外角和的关系，我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。
例如，已知一个三角形的一个内角和一个外角，可以通过计算得到其他两个内角的度数，或者已知两个内角，可以通过计算得到第三个内角的度数。
此外，可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。
如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度，那么这个图形就不是一个三角形。
总之，三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。
它们揭示了三角形内外角度数之间的联系，对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。
在实际应用中，我们可以根据这些定理进行计算和验证，进一步深入理解和应用三角形的性质。
七年级数学下册第九章多边形9.1三角形2三角形的内角和与外角和作业课件新版华东师大版
10．(3分)若一个三角形外角的度数之比为2∶3∶4, 则与之对应的三个内角的度数之比为( ) B A．4∶3∶2 B．5∶3∶1 C．3∶2∶4 D．3∶1∶5
11．(3分)如图,∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____度5．40
一、选择题(每小题4分,共16分) 12．(2018·宿迁)如图,点D在△ABC边AB的延长线上,DE∥BC. 若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是( )B A．24° B．59° C．60° D．69°
13．如图,在△ABC中,∠ABC＝50°,∠ACB＝60°, 点E在BC的延长线上,∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD 相交于点D,连结AD,下列结论中不正确的是( )B A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
解：∠ACB＞∠B.∵∠ACB＞∠1,AD平分∠CAE, ∴∠1＝∠2,∴∠ACB＞∠2,又∵∠2＞∠B,∴∠ACB＞∠B
19．(12 分)(上蔡期末)如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的高， AE 是∠BAC 的平分线． (1)若∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE 的度数；
(2)请说明：∠DAE＝12(∠B－∠C)． 解：(1)∠DAE＝15° (2)∠DAE＝12∠BAC－∠BAD， ∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)，∠BAD＝90°－∠B，
解：(1)∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－12(∠ABC＋∠ACB)＝ 180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A (2)∠P＝∠PCE－∠PBE＝12(∠ACE－∠ABC)＝12∠A
华师大版七年级下册(新)第9章《9
（3）利用三角形的内角和与外角和的性质，解决以下问题：已知一个三角形的两个内角，求第三个内角的度数；已知一个三角形的一个外角，求相邻内角的度数。
2.选做题：
（1）思考并证明：三角形的内角和总是180°。
（2）探索并证明：三角形的外角和总是360°。
4.学生在学习过程中，可能会遇到一定的困难，需要教师关注学生的情感态度，鼓励他们克服困难，保持学习兴趣。
5.学生在小组合作、讨论交流方面具备一定的基础，但仍有待提高，教师应充分利用课堂活动，培养学生的合作能力和团队精神。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：三角形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
1.教学活动设计：设计不同难度的练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教师布置练习：“下面，请同学们完成这些练习题。请注意，这些题目涵盖了三角形的内角和与外角和的知识点，希望大家能够运用所学知识解决问题。”
2.练习题解答：学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
教师解答疑问：“如果大家在解题过程中遇到困难，可以相互讨论，也可以向我提问。我会尽力帮助大家解决问题。”
（3）拓展阅读：查找相关资料，了解三角形的内角和与外角和在其他数学领域中的应用。
3.创新实践：
（1）设计一道与三角形的内角和与外角和相关的几何题目，并与同学们分享。
（2）结合生活实例，运用三角形的内角和与外角和知识，解决实际问题，并撰写解题报告。
作业要求：
1.认真完成作业，书写工整，保持卷面整洁。
2.对于必做题，要求每个学生都必须完成；选做题可根据自己的兴趣和实际情况选择完成；创新实践题目可自愿参与。
原七年级数学下册9.1.2三角形的内角和与外角和第2课时三角形的外角和习题课件(新版)华东师大版
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4．(2017·资阳模拟(mónǐ))如图，AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A 的度数为( ) C
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．(2015·宜宾)如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，若∠B＝35°，∠D＝ 45°，则∠AEC＝_______．
80°
第二十二页，共22页。
第五页，共22页。
6．如图，∠B＝65°，∠ACB＝76°，∠AED＝46°，则∠BDF＝ ____8_5_°_____．
知识点❷ 三角形的外角(wài jiǎo)和
7．若一个三角形的三个外角(wài jiǎo)的度数之比为2∶3∶4，则与之
对应的三个内角的度数之比B为(
)
A．4∶3∶2 B．5∶3∶1
解 ： 延 长 CD 交 AB 于 E ， 所 以 ∠ DEB ＝ ∠ A ＋ ∠ C ＝ 122° ， 因 为 ∠ CDB ＝ ∠DEB＋∠B＝143°，而∠CDB＝148°，所以断定这个零件(línɡ jiàn)不合格
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16．(复习(fùxí)14变式)如图，点P是△ABC内的任意一点，试说明∠BPC＞∠A. 解：延长BP交AC于点D.因为∠BPC＞∠PDC.又因为∠PDC＞∠A，所以∠BPC ＞∠A
数是( )
A
A．15° B．25° C．30° D．10°
10．如果(rúguǒ)三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角的和为180°，
那么这个外角的度数为(
)
C A．30° B．60° C．90° D．120°
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11．(1)如图①所示，则∠α＝______9_5；°
(2)如图②所示，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数(dù shu)为
三角形的内角和与外角和关系
三角形的内角和与外角和关系三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个内角组成。
研究三角形的性质时，内角和与外角和关系是一个重要的问题。
本文将就三角形的内角和与外角和关系展开论述。
一、三角形内角和的定义与性质在了解三角形内角和与外角和的关系之前，我们首先需要了解三角形内角和的定义与性质。
1. 三角形内角和定义：三角形是由三条边所围成的图形，其中每个角都位于两条边之间。
三角形的内角和定义为三个内角的度数之和，通常表示为180度。
2. 三角形内角和的性质：（1）所有三角形的内角和都等于180度。
（2）对于任意三角形ABC，我们可以用角A、角B和角C来表示他们的内角和关系，即A + B + C = 180度。
二、三角形外角和的定义与性质了解了三角形内角和的定义与性质之后，我们再来了解一下三角形外角和的定义与性质。
1. 三角形外角和定义：三角形的每个内角都对应一个外角，位于与之相邻的两条边的延长线上，而外角和定义为三个外角的度数之和。
2. 三角形外角和的性质：（1）对于任意三角形ABC，它的外角和等于360度。
（2）对于任意三角形ABC，三个内角与其相应的外角满足以下关系：角A + 外角A = 180度；角B + 外角B = 180度；角C + 外角C = 180度。
三、三角形内角和与外角和的关系在前面的阐述中，我们已经分别了解了三角形内角和和外角和的定义与性质，那么他们之间究竟是否存在一定的关系呢？通过观察三角形内角和与外角和的定义，我们可以得出以下结论：（1）三角形的内角和与外角和的关系：内角和与外角和的和为360度。
（2）三角形的内角和与外角和的关系式：角A + 角B + 角C + 外角A + 外角B + 外角C = 360度。
通过以上结论，可以发现三角形的内角和与外角和之间存在一定的数学关系。
内角和与外角和的和总是等于360度，这是由三角形内角和和外角和的定义所决定的。
结论：三角形的内角和与外角和的关系是内角和与外角和的和为360度。
初中数学知识点三角形的内角和与外角和
初中数学知识点三角形的内角和与外角和初中数学知识点——三角形的内角和与外角和三角形是初中数学中最基础且重要的几何图形之一。
在学习三角形的知识时，了解三角形的内角和与外角和是必不可少的。
本文将详细介绍三角形的内角和与外角和的概念、性质以及相关的定理和公式。
一、三角形的内角和三角形的内角和指的是三角形内部三个角的度数之和。
对于任意一个三角形ABC，其内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
这个性质是初中数学中最基本的三角形知识之一。
利用三角形内角和的性质，我们可以解决一系列与三角形有关的问题。
例如，已知两个角度，可以利用三角形内角和的性质求解第三个角的度数；已知三个角度，可以判断三角形的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）等。
二、三角形的外角和三角形的外角和指的是三角形内部一个角的补角的度数之和。
对于任意一个三角形ABC，以角A为例，其外角和为360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。
其中∠D，∠E，∠F 为角A的三个补角。
三角形的外角和是基于三角形内角和的概念进行推导得出的，它的计算方法非常简单。
我们只需利用补角的性质，将三个外角与其对应的内角相加即可得到外角和。
三、三角形内角和与外角和的定理和公式除了基本定义外，三角形的内角和与外角和还有一些重要的定理和公式。
1. 定理1：等腰三角形的内角和为180度若一个三角形两边的长度相等，则该三角形称为等腰三角形。
由等腰三角形的性质可知，等腰三角形的两个底角度数相等。
因此，一个等腰三角形的内角和可以表示为2x + y = 180°。
其中，x为等腰三角形的两个底角的度数，y为顶角的度数。
2. 定理2：直角三角形的内角和为180度直角三角形是指一个角为90度的三角形。
由直角三角形的性质可知，其直角角度固定为90度，而其余两个锐角的和为90度。
因此，直角三角形的内角和可以表示为90° + x + y = 180°。
三角形的内角和与外角性质
三角形的内角和与外角性质三角形是平面几何中最基本的图形之一，它具有许多独特的性质和特点。
其中，三角形的内角和与外角性质是我们在研究三角形时非常重要的一个方面。
本文将探讨三角形的内角和与外角的性质及其应用。
一、三角形的内角和性质1. 定理1：三角形的内角和等于180度三角形的内角和是指三个内角的度数总和。
不论三角形的形状和大小如何，其三个内角的度数总和始终等于180度。
这是三角形的基本性质之一。
例如，对于任意一个三角形ABC，∠A + ∠B + ∠C = 180°。
2. 定理2：等腰三角形的内角和性质等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角的度数相等，且和顶角的度数之和等于180度。
设等腰三角形的两个底角为∠A，顶角为∠B，则∠A + ∠A + ∠B = 180°，即2∠A + ∠B = 180°。
3. 定理3：等边三角形的内角和性质等边三角形是指具有三条边长度相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角的度数都相等且等于60度。
设等边三角形的三个内角都为∠A，则∠A + ∠A + ∠A = 180°，即3∠A = 180°，∠A = 60°。
二、三角形的外角性质1. 定理4：三角形的外角性质三角形的每个外角等于它不相邻的两个内角的和。
设三角形的三个内角为∠A、∠B、∠C，对应的三个外角为∠D、∠E、∠F，则有∠D = ∠B + ∠C，∠E = ∠A + ∠C，∠F = ∠A + ∠B。
2. 定理5：三角形的外角和等于360度三角形的三个外角的度数总和始终等于360度。
不论三角形的形状和大小如何，其三个外角的度数总和始终等于360度。
这是三角形的另一个基本性质。
例如，对于任意一个三角形ABC，∠D + ∠E + ∠F= 360°。
三、三角形内角和与外角的应用1. 内角和与三角形类型的关系根据三角形的内角和性质，我们可以通过观察三个内角的度数总和来确定三角形的类型。
三角形内角和与外角性质知识点
三角形内角和与外角性质知识点三角形是几何学中一个基本的概念，研究三角形的性质对于几何学的学习至关重要。
本文将介绍三角形内角和与外角的性质知识点，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、三角形内角和与外角的定义1. 三角形内角和：三角形的内角和是指三角形内部各角度之和。
对于任意三角形ABC，其内角和记作∠A+∠B+∠C=180°。
2. 三角形外角：三角形的外角是指与三角形内角相对应的角，位于三角形外部。
对于任意三角形ABC，∠D、∠E、∠F分别为内角∠A、∠B、∠C的对应外角。
二、三角形内角和与外角的性质1. 内角和与三角形类型的关系：(1) 锐角三角形：锐角三角形的内角和小于180°。
例如，对于锐角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且∠A<90°，∠B<90°，∠C<90°。
(2) 直角三角形：直角三角形的内角和等于180°。
例如，对于直角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且其中之一角等于90°。
(3) 钝角三角形：钝角三角形的内角和大于180°。
例如，对于钝角三角形ABC，有∠A+∠B+∠C=180°，且其中之一角大于90°。
2. 内角和的计算：内角和可以通过已知的角度进行计算。
例如，已知∠A=30°，∠B=50°，则∠C=180°-∠A-∠B=100°。
3. 外角与其对应内角的关系：(1) 外角与内角的和为180°：对于任意三角形ABC，三个外角∠D、∠E、∠F 与对应的内角∠A、∠B、∠C的和分别满足∠A+∠D=180°，∠B+∠E=180°，∠C+∠F=180°。
(2) 外角与对应内角的关系：对于任意三角形ABC，有∠D=180°-∠A，∠E=180°-∠B，∠F=180°-∠C。
9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
解：
BP平分ABC， 1 1＝ ABC 2
PC平分ACD， 1 2＝ ACD 2 2是 BPC外角
2＝1 BPC
1
2
ACD是 ABC外角
ACD A ABC
BPC＝2 1 1 ACD ABC 2
1 BPC A ABC ABC 2 1 A 2
∴ ∠AGF＝ ∠C+∠E 又∵∠AGF+ ∠AFG+ ∠A＝ 180 ˚ ，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ 180 ˚
小结：怎样计算类似图形的角度的和？
利用三角形的内角和与外角的知识，将其中 几个角转化为某个三角形（图形）内部，再 利用内角和知识来解答。
变式
如下几个图形是五角星和它的变形． （2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即 ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化 说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五 个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的 结论的正确性．
解：
BP平分ABC， 1 1＝ ABC 2
BPC 1800
1
2
PC平分ACB， 1 2＝ ACB 2 BPC中, 1 2 BPC 1800
BPC 1800 1 2 1 1 0 180 ABC ACB 2 2
1 ABC ACB 2 1 1800 A 2
F
O
B
C
如图， ∠A＝ 51 ，∠B＝ 20 ，∠C＝ 30 ， A 计算∠BOC
三角形的内角和与外角和
三角形的内角和与外角和在几何学中，三角形是研究的基本形状之一。
一个三角形由三条边和三个内角组成。
本文将介绍三角形的内角和与外角和的性质及相关定理。
一、三角形的内角和一个三角形的内角和是指三个内角的总和。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ，则有以下定理：定理1：一个三角形的内角和等于180度。
证明：假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为α、β、γ。
根据角度的定义可知，α+β+γ=180度。
定理2：等边三角形的三个内角都是60度。
证明：设等边三角形的三个内角的度数分别为α、β、γ。
由于三角形的三边相等，根据三角形内角和的定理可得：α+α+α=180度，解方程得α=60度。
同理可得β=60度，γ=60度。
定理3：直角三角形的两个锐角之和等于90度。
证明：设直角三角形的一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数为β。
根据三角形的内角和的定理可得：α+β+90度=180度，化简得α+β=90度。
二、三角形的外角和一个三角形的外角是指三个内角的补角。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ，则有以下定理：定理4：一个三角形的外角和等于360度。
证明：设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的补角分别为α、β、γ。
根据角度的定义可知，α+β+γ=360度。
定理5：三角形的一个内角等于其与相对外角的补角。
证明：设三角形的一个内角的度数为α，其相对外角的度数为β。
根据角度的定义可知，α+β=180度。
综上所述，三角形的内角和等于180度，外角和等于360度。
三角形是几何学中非常重要的概念，它具有丰富的性质和定理，对于解题和理解空间关系具有重要作用。
通过研究三角形的内角和与外角和，我们可以深入理解三角形的性质及其应用。
三角形的内角和与外角和
三角形的内角和与外角和三角形是几何学中最基础的图形之一，它由三条边连接的三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，内角和与外角和是重要的概念。
本文将探讨三角形内角和与外角和的定义、性质以及它们之间的关系。
1. 三角形内角和的定义与性质在任何一个三角形中，三个内角的度数之和总是等于180度。
这个定理被称为三角形的内角和定理。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，它们的度数分别为a、b、c，则有以下关系：a +b +c = 180度根据内角和定理，我们可以得出一些性质：- 三角形的一个内角的度数小于180度，并且大于0度。
- 三角形的两个内角的度数之和总是大于第三个内角的度数。
2. 三角形外角和的定义与性质在三角形中，每个内角对应一个外角。
外角是指位于三角形的一个内角所延长的直线上，与该内角不相邻的角。
对于每个内角而言，它所对应的外角与该内角的度数之和总是等于360度。
这个性质被称为三角形的外角和定理。
假设三角形的三个内角分别为A、B、C，对应的外角为α、β、γ，则有以下关系：A + α =B + β =C + γ = 360度与内角和类似，我们也可以得出一些关于外角的性质：- 三角形每个外角的度数小于360度，并且大于0度。
- 三角形的两个外角的度数之和总是等于第三个外角的度数。
3. 内角和与外角和的关系在一个三角形中，三个内角和三个外角之间存在一定的关系。
我们可以通过内角和和外角和的差值来推导这个关系。
首先，我们可以将三角形的内角和与外角和的关系表示为方程：(a + b + c) + (α + β + γ) = 180度 + 360度 = 540度将内角和与外角和的定义带入上述方程，可以得到：180度 + 360度 = 540度由此可见，三角形的内角和与外角和的差值恰好等于360度。
这个关系对于任何三角形都成立。
4. 实际应用举例三角形的内角和与外角和不仅仅是数学中的概念，它们在实际应用中也具有一定的意义。
华师版数学七年级下册 三角形内角和与外角和
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
如图，经过 △ABC 一顶点 A 作直线 B
C
B'C' ，使得 B'C'∥BC.
则 ∠BAB=∠B ，∠CAC =∠C. 又 ∠BAB+∠BAC+∠CAC =180， 所以 ∠B+∠BAC+∠C=180°.
由此得到： 三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
∠BAE = ∠2 + ∠3， ∠CBF = ∠1 + ∠3， ∠ACD = ∠1 + ∠2.
你还有其他 解法吗？
又知∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， 所以∠BAE + ∠CBF + ∠ACD
B2
= 2(∠1 + ∠2 + ∠3) = 360°. F
E A
1
3
CD
解法二：如图，∠BAE +∠1 = 180°① ， E
你发现了 什么结论？
解法二：延长 BD 交 AC 于点 E.
A
在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C
51°
F
E
1
20° D 30°
= 51° + 20° + 30° = 101°. B 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (解题过程同解法二)C.
解: 设 ∠B 为 x°，则 ∠A 为(3x)°，
∠C 为 (x ＋ 15)°， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33.
三角形内角和,外角和定理
三角形内角和，外角和定理三角形是我们初中数学学习的重点，而三角形内角和，外角和定理是我们学习三角形时需要掌握的基础知识。
本文将详细介绍三角形内角和，外角和定理，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
首先，让我们来看一下三角形内角和定理。
三角形的内角和是指一个三角形内部所有角度之和。
对于任意一个三角形ABC，它的内角和可以表示为：∠A+∠B+∠C=180°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角。
那么如何证明这个定理呢？这里我们来介绍一种简单的证明方法。
首先，我们假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为三角形ADE和三角形ABC中有两个角相等（∠A和∠D），所以它们的第三个角也相等（∠E和∠C）。
同理，三角形AED和三角形ABC中的第三个角也相等（∠A和∠E）。
因此，我们可以得出以下结论：∠A+∠B+∠C=∠A+∠D+∠E+∠C=180°因此，一个三角形的任意两个内角的和等于第三个内角的补角，也就是三角形内角和定理。
接下来，让我们来看一下三角形外角和定理。
一个三角形的外角是指这个三角形中任意一个顶点所对的补角。
例如，在下题中，∠D是三角形ABC中顶点A所对的外角。
对于任意一个三角形ABC，它的外角和可以表示为：∠A'+∠B'+∠C'=360°。
这个定理也可以写成：一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和。
同样地，我们也可以通过证明来理解这个定理。
假设在三角形ABC中，有一条线段DE平行于BC，并且交于顶点A处，如下题所示。
因为DE || BC，所以∠CDE=∠B。
又因为∠A'是∠D的补角，所以∠D=180°-∠A'。
同理，我们可以得到以下结论：∠A'+∠B'+∠C'=∠D+∠E+∠C'=180°+180°-∠A'=360°-∠A'因此，一个三角形的任意一个外角等于其它两个内角之和，也就是三角形外角和定理。
三角形的内角和与外角
三角形的内角和与外角三角形是几何学中基础的图形，它有许多有趣的性质和特点。
其中之一就是三角形的内角和与外角之间的关系。
本文将探讨三角形的内角和与外角的性质和计算方法。
一、三角形的内角和在任意三角形ABC中，内角和的总和等于180度。
这个结论可以通过以下证明得到：假设在三角形ABC中，内角A的度数为a，内角B的度数为b，内角C的度数为c。
根据几何学的基本原理，我们知道直线上的内角之和为180度。
在三角形ABC中，我们可以假设AB为直线，那么内角A和内角B可以看作是在直线上的两个内角。
所以，内角A和内角B的和等于180度。
同理，我们可以得出内角A和内角C的和、以及内角B和内角C的和都等于180度。
因此，三角形ABC的内角和等于180度，即a + b + c = 180。
二、三角形的外角所谓三角形的外角，指的是三角形的一个内角的补角。
也就是说，外角等于与之相对的内角的补角。
在三角形ABC中，对应于内角A的外角记为α，对应于内角B的外角记为β，对应于内角C的外角记为γ。
根据外角和内角的性质，我们可以得出以下结论：1. 任意三角形的外角之和等于360度。
也就是说，α + β + γ = 360。
这是因为三角形的三个外角，可以构成完整的一圈，即360度。
2. 三角形的外角和内角之间存在关系：内角等于外角的补角。
例如，在三角形ABC中，对应于内角A的外角α，α = 180 - a。
同理，对应于内角B的外角β，β = 180 - b；对应于内角C的外角γ，γ = 180 - c。
三、三角形内角和与外角之间的关系接下来，我们将探讨三角形的内角和与外角之间的关系。
以三角形ABC为例。
根据定义，内角和的总和等于180度，即a + b + c = 180。
而三角形的外角和等于360度，即α + β + γ = 360。
根据三角形的外角与内角的关系，我们可以得到以下结论：1. 内角和与外角和之间存在补角关系。
即内角和加上外角和等于180度，即(a + b + c) + (α + β + γ) = 180。