平面的截距式方程
3.1平面方程
即
y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0. z3 z1
(3)
O
M1 M3
M2
M
y
平面的三点式方程.
x
例1: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的 平面的方程.
解:
根据平面的截距式方程(4), 可设平面方程为:
x y z 1 2 3 c
又平面过点M(3, 1, 2)，则有
3 2 4 1 2 3 c
即:
12x +8y + 19z +24 = 0
(三) 平面的点法式方程
z n
1. 法向量:
O
y
x
若一非零向量n垂直于一平面. 则称向量n为 平面 的法向量. 注: 1 对平面, 法向量n不唯一; 2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.
设平面 过定点 M0(x0, y0, z0), 且有方位向量 a , b
z
2. 向量式参数方程:
对于平面上任一点 M (x , y , z),
M 0 M, a , b
M0
b
M
r0
共面
M0M u a v b
O
r
a
y
x
又因为
M 0 M r r0 ，则上式可写为
3 B C = 0
C = 3B
所求平面方程为 By 3Bz = 0
即:
y 3z = 0
平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; (即y = k) 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即x = k)
3-1解析几何吕林根第四版
R(0,0,c)（其中a 0，b 0，c 0），求此平面方程.
z
将 A D, B D, C D,
c
a
b
c
代入所设方程
Ax By Cz D 0,
o
xa
y
b
得
x y z 1 平面的截距式方程
a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
5. 平面的截距式方程
若已知三点为平面与三坐标的交点 M1 a,0,0, M2 0,b,0,
化简得
n1
n2
2x 3 y z 6 0.
nr
例 求过点(1,0,-1), 且平行于向量 n1 {2,1,1} 和 n1 {1, 1, 0} 的平
面方程.
解 取所求平面法向量 n n1 n2 {1,1, 3},
所求平面方程为
1 ( x 1) 1 ( y 0) 3 ( z 1) 0, n1
为所求平面之法向.
故得平面方程为： r
( x x1, y y1, z z1) n 14( x 2) 9( y 1) (z 4)
14x 9 y z 15 0
或
r ( x x2, y y2, z z2) n
14( x 1) 9( y 3) (z 2)
14x 9 y－z 15 0
所以, 点B与C分居在平面的两侧.
的方位向量。
ur uur ur
uuuuur ur
在空间取仿射坐标系 O;e1, e2, e3 ，并设点 M0 的向 OM0 r0 ，平面
z
uuuur r
上任意一点 M 的向径为 OM r ，
b
r ur r r
M0
a
M
则平面 的向量式参数方程为 r r0 ua vb
7.4平面及其方程
4．平行于坐标平面的平面
当 A= B = 0 时 ，方程 Cz + D = 0 表示平行于oxy 面的平面 ；
当 A=C = 0 时 ，方程 By + D = 0 表示平行于oxz 面的平面 ；
当 B = C = 0 时 ，方程 Ax + D = 0 表示平行于oyz 面的平面 .
例 2．指出下列平面的位置特点，并作出草图 ．指出下列平面的位置特点，并作出草图.
即 2 x − y − z = 0.
例 3． 求通过 x 轴且垂直于平面5 x − 4 y − 2z + 3= 0 的 ．
平面方程. 平面方程
解：设所求平面的方程为 By + Cz = 0 ，
其法向量为 n1 = {0, B, C },
平面 5 x − 4 y − 2 z + 3 = 0 的法向量为 n2 ={5, − 4, − 2} ，
即
该方程称为平面的三点式方程. 该方程称为平面的三 式方程
7. 4. 2 有关平面的一些问题 一、两平面的关系
两平面法向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角 两平面法向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.
设两平面为
π 1 ： A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ， π 2 ： A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ，
即
oxy 面的方程为 z = 0 ；
同理， 同理， oyz 面的方程为 x = 0 ；
ozx 面的方程为 y = 0 .
二、平面的一般方程
由 A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0
平面方程的基本形式
知识创造未来
平面方程的基本形式
平面方程是数学中一个重要的概念，是描述平面上所有点的数学公式。
平面方程的基本形式包括点法式、一般式和截距式三种形式，它们都有各自的特点和适用范围。
首先，点法式是平面方程的一种常用形式。
点法式的基本结构是P:Ax+By+Cz+D=0，其中 P 表示平面上的一个点，A、B 和 C 表示平面的法向量，D 表示平面到原点的距离。
通过点法式，可以很方便地计算出平面的法向量、距离等信息。
其次，一般式也是平面方程的一种常见形式。
一般式的基本结构是 Ax+By+Cz+D=0，其中 A、B 和 C 是平面的法向量，D 是平面到原点的距离。
一般式的优点是简洁明了，对于一些基础的平面方程的计算，可以直接使用一般式来计算。
最后，截距式是另外一种常见的平面方程形式。
它的基本结构是x/a+y/b+z/c=1，其中 a、b 和 c 是平面与三个坐标轴的截距。
截距式在计算中也非常方便，因为平面三个方向的截距可以分别从方程中直接读取。
总的来说，平面方程的基本形式有点法式、一般式和截距式三种形式，它们分别适用于不同的场合，具有各自的特点。
熟练掌握平面方程的基本形式，可以帮助我们更加深入地理解空间的几何形态，也有利于我们在数学计算中更加高效地进行各种运算。
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截距式方程的法向量
截距式方程的法向量截距式方程是一种常见的线性方程形式，它可以用来描述一条直线在坐标系中的位置和方向。
在二维坐标系中，截距式方程通常表示为y = mx + b的形式，其中m是斜率，b是截距。
在三维坐标系中，截距式方程则表示为z = mx + ny + b的形式，其中m、n是斜率，b是截距。
在这篇文章中，我们将探讨截距式方程的法向量及其应用。
一、截距式方程的法向量是指垂直于该直线或平面的向量。
在二维坐标系中，一条直线的法向量可以通过斜率的负倒数得到，即为(-1/m, 1)。
在三维坐标系中，一条平面的法向量可以通过斜率的向量积得到，即为(m, n, -1)。
这个向量的长度为1，因为它是垂直于平面的单位向量。
二、截距式方程的应用截距式方程的法向量在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
在计算机图形学中，法向量可以用来计算光照效果，使得物体表面看起来更加真实。
在物理学中，法向量可以用来计算力的作用方向和大小，从而预测物体的运动轨迹。
在工程学中，法向量可以用来计算物体的受力情况，从而设计出更加稳定和安全的结构。
三、截距式方程的优缺点截距式方程的优点是简单易懂，可以直观地描述直线或平面的位置和方向。
它也比较容易求解，可以通过两个点或一个点和斜率来确定一条直线，或通过三个点来确定一个平面。
然而，截距式方程也有一些缺点。
首先，当斜率为无穷大时，截距式方程无法表示直线的位置和方向。
其次，当斜率为0时，截距式方程无法表示直线的方向。
最后，当斜率不存在时，截距式方程无法表示直线的位置和方向。
综上所述，截距式方程的法向量是一种重要的数学工具，它可以用来描述直线或平面的垂直方向和应用于计算机图形学、物理学、工程学等领域。
虽然截距式方程有一些缺点，但它仍然是一种简单易懂、易于求解的线性方程形式。
高等数学28-52.5 8.5 平面及其方程
五、两平面的夹角
定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的 夹角.（通常取锐角）
n2
n1
2
1 : A1 x B1 y C1z D1 0,
2 : A2 x B2 y C2z D2 0,
n1 { A1, B1,C1},
1
n2 { A2 , B2 ,C2 },
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面上的点都满足上述方程，不在平面上的点都 不满足上述方程，上述方程称为平面的方程，平面称 为方程的图形．
例1 已知一平面过M(2,3,0)且与a {1,2,3}垂直，
因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为
Ax By D 0
M1(1,1,2) , M2(1,0,3) 在平面上
AB D0
解得 A D, B 2D
A D0
所求平面方程为 Dx 2Dy D 0
即 x2y1 0
求平面方程的基本思路和基本步骤：
两定—— 1.定点，2.定方向
70 . 2
练习题
一、填空题： 1、平面 Ax By Cz 0 必通过_______，（其中 A , B , C 不全为零）； 2、平面By Cz D 0 __________x 轴； 3、平面By Cz 0 _______x 轴； 4、通过点( 3 , 0 ,1 ) 且与平面3 x 7 y 5z 12 0 平 行的平面方程为 _________； 5、通过( a , 0 , 0 )、( 0 , b , 0 )、( 0 , 0 , c )三点的平面方 _______________；
平面的截距式方程
平面的截距式方程
例 设平面与z y x ,,三轴分别交于)0,0,(a P 、)0,,0(b Q 、),0,0(c R （其中0≠a ，0≠b ，0≠c ），求此平面方程.
设平面为,
0=+++D Cz By Ax 将三点坐标代入得⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+,0,
0,0D cC D bB D aA ⇒,a D A -=,b D B -=.c
D C -=解一、平面的截距式方程
,a D A -=,b D B -=,c
D C -=将代入所设方程得
1=++c z b y a x 平面的截距式方程
x 轴上截距y 轴上截距z 轴上截距
例 求平行于平面0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程. 设平面为,1=++c
z b y a x x
y z
o ,1=V ,12
131=⋅∴abc 由所求平面与已知平面平行得,61
1161c b a ==（向量平行的充要条件）解
,61161c b a ==化简得令t c b a ===61161,61t a =⇒,1t
b =,61t
c =t t t 61161611⋅⋅⋅=∴代入体积式,61=⇒t ,1,6,1===∴c b a .
666=++z y x 所求平面方程为
小结平面的截距式方程
1=++c z b y a x x 轴上截距y 轴上截距z 轴上截距
)1,1,1(=c b a n。
平面的截距式方程
—n a = , b = —, c = 6t t 6t代入体积式.1 Nhomakorabea11 1
1 = — . 一 ・—. 一 n
t— ,
・・ a6=61t ,tb6t= 6, c6= 1, 所求平面
方程为6 x + y + 6 z = 6.
平面的截距式方程
四面体体积为一个单位的平面方程.
解设平面为x + y + z = 1, abc
..・V = 1,
1.1 abc
= 1,
32
由所求平面与已知平面平行得
（向量平行的充要条件以=4匚
111 1 1 1
/pg,曰 1 _ 1 _ 1 仝1
= 一 = ——
化I司待/ =,=—,令~
=t b 6c
161a1b 6c 6a
n A = -D, B = -D, C = -D a b c
一、平面的截距式方程
将A = -D, B = -D, C = — D
代入所设方程得
c
X+E+Z=1 a 平面的截距式方程 bc
X轴上截距y轴上截距 Z轴上截距
二、平面的截距式方程
例求平行于平面6 x + y + 6 z + 5 =。而与三个坐标面所围成的
平面的截距式方程
一 , •_____一
例 设平面与X,y, z三轴分别交于P(a,O,O). 000,0). A(0,0,c)
解
(其中a莉,b莉,c / 0 ),求此平面方程.
设平面为 AX + By + Cz + D = 0, aA + D = 0,
将三点坐标代入得 bB + D = 0, cC + D = 0,
第四节平面方程
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
2 1 (1) 11 2
1，
22 (1)2 12 12 12 22 2
例4 研究平面Cz+D=0的几何特性. 解 易知所给平面法线向量n=(0,0,C)与z轴的方向平行.
因此可知Cz+D=0表示平行于Oxy坐标平面的平面. 同理Ax+D=0表示平行于Oyz坐标面； By+D=0表示平行于Oxz坐标面的平面.
例5 求过x轴，且过点(1,1,–1)的平面方程.
解 设过x轴的平面方程为By+Cz=0. 由于平面过点(1,1,–1)，因此有 B–C=0， 即B=C.将其代入所设方程并化简可得 y+z=0 为所求平面方程.
2A
C D 0,
A B C D 0,
3A 2B C D 0，
A 2 D，B 4 D，C D ,
3
3
3
代入所设平面方程并化简可得
2x–4y+z–3=0.
三、平面的截距式方程
设平面π过点M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)三点， 下面研究平面π的方程(其中a，b，c皆不等于0).
设两平面π1，π2的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0, A2x+B2y+C2z+D2=0.
它们的法线向量分别为 n1=(A1,B1,C1)， n2=(A2,B2,C2) ，
设这两个法线向量间的夹为 ，则由两向量的夹角
平面的截距式方程公式
平面的截距式方程公式
平面的截距式方程是一种表示平面方程的形式，它使用平面与坐标轴的截距来描述平面的位置和特征。
平面的截距式方程可以表示为：
x/a + y/b + z/c = 1
其中，a、b、c分别表示平面与x轴、y轴、z轴的截距。
这个方程表示平面上的点(x, y, z)满足以上等式关系。
需要注意的是，截距式方程要求平面与三个坐标轴均有交点，即a、b、c不等于零。
如果其中某个截距为零，则表示平面平行于对应的坐标轴。
如果两个截距为零，则表示平面平行于两个坐标轴。
如果三个截距都为零，则表示平面包含原点。
请注意，截距式方程是平面方程的一种形式，还有其他表示平面的方程形式，如一般式方程、点法式方程和法向量式方程等。
选择使用哪种形式取决于具体的问题和所需的信息。
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空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解
空间解析几何的直线与平面直线方程平面方程的求解一、直线方程的求解在空间解析几何中，直线是两点间的最短路径，它可以用直线方程来表示。
直线方程一般可以采用两种常见的形式：点向式和一般式。
1. 点向式直线方程设直线上一点为P(x,y,z)，直线的方向向量为a(i,j,k)，则该直线的点向式方程可以表示为：(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t(i,j,k) (1)其中(x1,y1,z1)为直线上已知的一点的坐标，t为参数。
根据这个方程就可以唯一确定直线上的任意一点。
2. 一般式直线方程一般式直线方程是通过直线上的两个不重合的点的坐标来表示的。
设直线通过点P1(x1,y1,z1)和点P2(x2,y2,z2)，则一般式直线方程的表示形式为：(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1) (2)或者简化为：(x-x1)/a = (y-y1)/b = (z-z1)/c (3)其中a = x2-x1, b = y2-y1, c = z2-z1。
二、平面方程的求解平面是空间中的一个二维平面，可以用平面方程来表示。
平面方程一般可以采用三种常见的形式：一般式、点法式和截距式。
1. 一般式平面方程一般式平面方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为常数。
一般式平面方程中的法向量可以通过已知法向量的坐标和平面上的一点来确定。
2. 点法式平面方程设平面上一点为P(x,y,z)，平面的法向量为n(A,B,C)，则点法式平面方程可以表示为：n · (P-P0) = 0 (5)其中·表示点乘运算，P0为平面上已知的一点的坐标。
3. 截距式平面方程截距式平面方程可以表示为：x/a + y/b + z/c = 1 (6)其中a、b、c为平面在坐标轴上的截距。
三、直线与平面方程的求解在空间解析几何中，求解直线与平面的交点，可以通过将直线方程代入平面方程，得到交点的坐标。
过定直线的平面方程
过定直线的平面方程
在平面几何中，过定点的直线方程可以使用点斜式、截距式、一般式等多种方式表示。
下面将分别介绍这些方式的具体内容。
1. 点斜式
点斜式是一种常见的表示直线方程的方式，它的形式为：
y-y1=k(x-x1)
其中，(x1,y1)为直线上已知的一点，k为直线的斜率。
通过点斜式，我们可以很容易地得到过定点的直线方程。
例如，假设直线过点(2,3)，斜率为2，则该直线的点斜式为：
y-3=2(x-2)
将其化简，得到直线方程为：
y=2x-1
截距式是另一种常见的表示直线方程的方式，它的形式为：
y=kx+b
其中，k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
如果我们已知直线过点(2,3)，且在y轴上的截距为1，则该直线的截距式为：y=2x+1
3. 一般式
一般式是直线方程的一种标准形式，它的形式为：
Ax+By+C=0
其中，A、B、C为常数，且A和B不同时为0。
如果我们已知直线过点(2,3)且斜率为2，则该直线的一般式为：
以上就是表示过定点的直线方程的三种方式，它们都是历史上真实存在的数学知识。
空间中平面的方程
空间中平面的方程空间中平面的方程是描述空间中平面的数学表达式。
平面是指在三维空间中无限延伸的二维平面，它由无数个点组成，其中任意三点不共线。
在数学中，我们可以通过方程来描述一个平面，方程中的变量表示平面上的点的坐标。
平面的方程通常有不同的表示方式，下面将介绍几种常见的平面方程。
首先是点法式方程，它是通过一个点和法向量来表示平面的方程。
设平面上一点为P(x,y,z)，法向量为n(a,b,c)，则点法式方程可以表示为n·(P-P0)=0，其中P0是平面上的一个已知点。
其次是一般式方程，一般式方程可以用Ax+By+Cz+D=0来表示平面，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是一个常数。
这种表示方法更加简洁，方便计算平面与直线的交点和平面之间的关系。
另一种常见的平面方程是截距式方程，它是通过平面在坐标轴上的截距来表示。
设平面在x轴、y轴和z轴上的截距分别为a、b和c，则截距式方程可以表示为x/a + y/b + z/c = 1。
这种表示方法常用于描述平面在坐标轴上的投影。
除了上述三种常见的平面方程表示方式，还有其他一些特殊情况下的平面方程，如平面与坐标轴平行或垂直的情况。
例如，如果平面与x轴平行，那么它的方程可以表示为y=f(y,z)，其中f是关于y和z的函数。
同理，如果平面与y轴或z轴平行，那么它的方程可以分别表示为x=f(x,z)和y=f(x,y)。
平面方程的表示方法多种多样，根据具体的问题和需要，我们可以选择适合的方程形式。
使用不同的方程形式可以简化计算或推导的过程，使问题的解决更加方便和高效。
在实际应用中，平面方程常用于几何学、物理学和工程学等领域。
例如，在几何学中，我们可以通过平面方程来计算平面的法向量、平面与直线的交点以及平面与平面之间的夹角。
在物理学中，平面方程可以用于描述电场、磁场或光线在空间中的传播情况。
在工程学中，平面方程可以用于计算建筑物或桥梁等结构的稳定性和强度。
平面方程是描述空间中平面的重要工具，它可以通过不同的表示方式来描述平面的特征和性质。
平面问题求解的三大方程
平面问题求解的三大方程 在研究平面问题时，我们常常需要通过方程来描述和解决这些问题。
方程是数学中一种重要的数学语言工具，通过建立方程，我们能够将复杂的问题转化为简单的数学关系，从而求解问题。
本文将介绍平面问题求解的三大方程，包括直线方程、圆方程和平面方程。
一、直线方程： 1.1 一般形式：直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x和y为坐标变量。
1.2 截距式：如果直线与x轴和y轴的截距分别为a和b，则直线的方程可以表示为x/a + y/b = 1，其中a和b为正常数。
1.3 斜截式：如果直线与y轴的截距为b，斜率为m，则直线的方程可以表示为y = mx + b。
1.4 点斜式：如果已知直线上一点P(x1, y1)和它的斜率m，则直线的方程可以表示为y - y1 = m(x - x1)。
举例说明：假设有一直线经过点A(2, 3)和点B(5, 7)，我们可以通过点斜式来求解直线的方程。
根据点A和点B计算斜率m = (7 - 3) / (5 - 2) = 4/3。
代入点A的坐标以及斜率m得到方程y - 3 = (4/3)(x - 2)，化简后得到直线方程为3y - 9 = 4x - 8。
二、圆方程： 2.1 一般形式：圆的一般方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h，k)为圆心的坐标，r为半径的长度。
2.2 中心半径式：如果圆的圆心为点C(h, k)，半径为r，则圆的方程可以表示为(x - h)² + (y - k)² = r²。
2.3 直径式：如果圆的直径的两个端点分别为点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，则圆的方程可以表示为(x - (x1 + x2)/2)² + (y - (y1 + y2)/2)² = ((x2 - x1)/2)² + ((y2 - y1)/2)²。
截距式方程推导过程
截距式方程推导过程截距式方程（也称为点斜式方程）是直线的一种常见表示形式，它可以用来描述直线在坐标系中的位置和特征。
本文将通过推导的方式介绍截距式方程的推导过程。
一、直线的斜率在推导截距式方程之前，我们首先需要了解直线的斜率。
直线的斜率可以理解为直线在坐标系中的倾斜程度。
对于直线上两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，直线的斜率可以通过以下公式计算得到：斜率 = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)二、截距式方程的推导截距式方程是一种以直线在x轴和y轴上的截距作为参数的表示形式。
假设直线与x轴的交点为A(b, 0)，与y轴的交点为B(0, a)。
根据斜率的定义，我们可以得到直线上任意一点P(x, y)与交点A 之间的斜率为：斜率 = (y - 0) / (x - b) = (y - 0) / x - b将斜率表示为k，则上述等式可以改写为：k = y / x - b进一步变换可得：y = kx - kb由于直线与y轴的交点为B(0, a)，将其代入上式可得：a = k * 0 - kb化简后得：kb = -a将上式变换后可得到截距式方程的一般形式：y = kx + b其中，k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
三、截距式方程的应用截距式方程是一种直观且易于理解的直线表示形式，在实际问题中具有广泛的应用。
通过截距式方程，我们可以方便地计算直线与坐标轴的交点，从而确定直线在坐标系中的位置和特征。
例如，对于一条直线的截距式方程为y = 2x + 3，我们可以直观地得知该直线与y轴的截距为3，斜率为2。
同时，我们还可以通过该方程计算出直线与x轴的交点为(-1.5, 0)，进一步确定直线在坐标系中的位置和方向。
除了直观地表示直线的位置和特征外，截距式方程还可以用于直线的求解和分析。
例如，我们可以通过截距式方程来求解两条直线的交点，或者确定直线的平行关系和垂直关系。
总结：截距式方程在直线的表示和分析中起着重要的作用。