板壳理论 课件 chapter1 弹性薄板弯曲的基本理论

第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.5 四边简支矩形板的一般解
薄板横向弯曲的微分方程是
4w 4w 4w D 2 2 w D 4 2 2 2 4 q x y y x
(1.5.1)
如图1.8所示，考虑 一个周边简支的矩 形板. 图1.8 四边简支的矩形板
a
b
x
y
图1.6 周边固支的椭圆板
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
4w 4w 4w D 2 2 w D 4 2 2 2 4 q x y y x w 0 （2）边界条件 w n
（3）取满足边界条件挠度函数 其边界方程可以表示为
h2
(1.3.2)
2w 边界处有外加弯矩 M M xy M yx xy zdz D(1 )
h2
w 0, M x M ( x 0)
2w M w 0, x 2 D
h 2
xy
( x 0)
(1.3.3)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
m n
其中 ,
m n ( m 1 , 2 , 3,...) , ( n 1 ,2 , 3 ,...) a b
式(1.5.4)给定的挠曲函数满足了相应的边界条件。 [验证]
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
要确定系数Amn，须将方程(1.5.1)右端的载荷q也 展成重正弦级数
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
考虑任一边界（不一定是自由边界）上所受的扭矩Myx。 在微段CD上： 内力Myxdx
在C处有一集中力Myx 在D处有一反向集中力Myx 在D处有一集中力 M yx yx dx x M 在E处有一反向集中力 M x
yx
在微段DE上：
M yx M yx dx dx 内力 x
M
yx
dx
在D处作用由扭矩折算的横剪力
M yx M yx x dx M yx M yx x dx
单位长度的横剪力 M yx x
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，可以认为在边界上任意一点处作用有一折算 M yx 剪力 Vy Qy (1.3.6) x 同时可以看到，此时在边界的两端有未被抵消的集 中剪力R RAB M yx A , RBA M yx B (1.3.7) 于是自由边上的边界条件可以表示为在y=b处：
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）
几何方程 物理方程 平衡微分方程 （运动方程）
弹性薄板的 基本微分方程 （运动方程）
边界条件 （初始条件）
问题的解--板内各点位移
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.3 边界条件
板的计算问题归结为寻求一个函数，这个函 数必须满足基本微分方程，此外在板的周边还应 该满足某些静力条件或运动条件，这就是所谓的 边界条件。 如 图 1.4 所 示 ， 在 x=0 的边缘为简支边；y=0边 为 固 支 边 ； x=a 和 y=b 两 边为自由边。
固支边界
w w 0 ( y 0) y
(1.3.4)
自由边界
边界上没有外载荷作用
M y M yx Q y 0 ( y b)
(1.3.5)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
在薄板弯曲的近似理论中，可以将(1.3.5)中的 后两个条件合并为一个。
图1.5 边界上的扭矩
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
薄板弯曲理论的求解方法（位移解法）
几何方程 物理方程 平衡微分方程 （运动方程）
弹性薄板的 基本微分方程 （运动方程）
边界条件 （初始条件）
问题的解--板内各点位移
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
§1.4 简单例题
薄板问题的求解就是寻求满足基本微分方程和相 应边界条件的挠曲函数。本节通过几个简单的例子 来展示薄板问题的求解过程。 例1 均布载荷作用 下周边固支的椭圆 板。如图1.6所示.
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
习题： 1、求解均布载荷作用下周边固支的圆板。求板的 内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy，并求得薄板的 全部应力分量和应变分量。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
习题讲解：
（1）首先给出微分方程，列出边界条件。对应分析， 避免对条件分析不充分。
（2）全部非零的应力分量为9个（x，y，z，xy＝ yx，xz＝zx，yz＝zy），应变分量为3个（ ex，ey， gxy)。 （3）注意计算中的错误。
图1.4 板的边界条件
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
简支边界
边界处没有外加弯矩
w M x 0 ( x 0)
2w 2w M x x zdz D 2 2 y x h 2
h2
(1.3.1)
2w 2w 2w w M y y zdz 0 D( x 0) 2 2 2 x x y h 2
x2 y2 2 1 2 a b
(1.4.1)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
试取挠度函数的表达式为
x2 y2 w m 2 2 1 a b
2
(1.4.2)
显然，上式满足在边界上w = 0的边界条件。 在边界上有
w 4mx x 2 y 2 2 2 1 0 2 x a a b w 4my x 2 y 2 2 2 2 1 0 y b a b
（3）取满足边界条件挠度函数
取薄板的挠度曲线函数为
w
x
ab
xy
(1.4.10)
不难验证，这一挠曲函数可以满足所有的边界条件。 （4）确定挠度函数 [练习]
将式(1.4.10)代入薄板的微分方程中可以满足。 因此(1.4.10)式就是问题的正确解答。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
（5）求解内力及应力分量
2w 2w M x D 2 0 2 y x 2w 2w M y D 2 0 y x 2 2w D(1 )x M xy M yx D(1 ) x y ab Qx D 2 w 0, Q y D 2 w 0 x y M xy y 0, V y Q y M yx x 0
(1.3.9)
在两条自由边的交点上，例如图1.4的B点处，有总 的集中反力
RB RBA RBC M yx

M
B
xy B
2 M xy


B
(1.3.10)
根据(1.2.4)式，上式又可写为
2w RB 2 D1 xy B
(1.4.5)
由ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ式解得m后不难得到
x2 y2 q 2 2 1 a b w 2 3 3 8 D 4 2 2 4 a b b a
2
(1.4.6)
上式即为本问题的精确解，这是因为式(1.4.6)满足 了基本微分方程和全部的边界条件。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
M y 0, V y Q y M yx x 0 ( y b)
(1.3.8)
后一边界条件表示总的分布剪力等于零，它将原有 的两个边界条件合而为一。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
注意到(1.2.4)和(1.2.10)式，(1.3.8)可以改写为
2w 2w 3w 3w 0, ( 2 ) 2 0 ( y b) 2 2 3 y x y x y
（5）求解内力及应力分量
将(1.4.6)式代入(1.2.4)和(1.2.10)式，就可以得到 板的内力分量Mx，My，Mxy，Qx和Qy。
将内力分量代入(1.2.14)式，即可求得薄板的全 部应力分量及应变分量。[练习] 『注意』全部非零的应力分量为9个（ x ， y ， z，xy＝yx， xz ＝zx，yz＝zy），应变分量为3 个（ ex，ey，gxy)。 如果设 a ，则椭圆板就成为跨度为2b的平面 应变情形下的固支梁；如果设a=b，就可以得到 周边固支圆板的准确解答[习题] 。
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
解：（1）薄板的微分方程
4w 4w 4w D 2 2 w D 4 2 2 2 4 q x y y x （2）边界条件
设四边简支矩形薄板在角点B处发生了相对于基准 面的沉陷，沉陷大小为x，则BC边和AB边的挠度是
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求解步骤
（1）薄板的微分方程 （2）边界条件
（3）取满足边界条件挠度函数
• 试取挠度函数 • 验证满足边界条件
（4）确定挠度函数 （5）求解内力及应力分量
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
例2 设一矩形薄板四边简支，板的四个角点处的支承 构件发生了不相等的沉陷，研究此时板中的应力。 在小变形的情况下，可以认为板的四个角点处发生不 相等的沉陷实际上等价于只有一个角点发生了沉陷。 这是因为刚体运动不会影响薄板内的应力分布，因此 可以在沉陷后的四个角点中任意取三个角点所形成的 平面作为基准面，而认为第四个角点相对于此基准面 有沉陷即可。如图1.7所示 .
(1.3.11)
第一章 弹性薄板弯曲的基本理论
因此，如果B点没有支承对板施加此集中力，板 微分方程的解还需要满足角点条件,即在x=a, y=b 处 2w (1.3.12) 0 xy 如果在B点处有支座可以对薄板施加反力，则有 下述角点条件,即在x=a, y=b处
w0
此时反力大小由(1.3.11)式给出。
(1.4.3)
考虑到
w w x w y n x n y n