高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
空间点、直线、平面之间的位置关系
一、平面
1、平面及其表示
2、平面的基本性质 ①公理1：
②公理2：不共线的三点确定一个平面
③公理3：
A l
B l l A B ααα∈⎫⎪∈⎪
⇒⊂⎬∈⎪⎪∈⎭
P l P l P ααββ∈⎫
⇒⋂=∈⎬∈⎭
则
二、点与面、直线位置关系
1、点与平面有2种位置关系
2、点与直线有2种位置关系
三、空间中直线与直线之间的位置关系
1、异面直线
2、直线与直线的位置关系
⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪
⎩相交共面平行异面
3、公理4和定理 公理4：
12A B α
α
∈⎧⎨∉⎩、、12A l
B l
∈⎧⎨
∉⎩、
、1312
23l l l l l l ⎫
⇒⎬
⎭
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

4、求异面直线所成角的步骤： ①作：作平行线得到相交直线；
②证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角； ③构造三角形求出该角。

提示：1、作平行线常见方法有：直接平移，中位线，平行四边形。

2、异面直线所的角的范围是 。

四、空间中直线与平面之间的位置关系
位置关系
公共点
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
符号表示
图形表示
五、空间中平面与平面之间的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交 公共点 没有公共点
有一条公共直线
符号表示
αβ
a α
β=
(
000,90⎤⎦a α直线与平面平行
a α直线与平面相交
a 直线在平面内
a α
⊂a α
a A
α=
图形表示
直线、平面平行的判定及其性质
一、线面平行
1、判定：
（线线平行，则线面平行）
2、性质：
（线面平行，则线线平行）
二、面面平行
1、判定：
（线面平行，则面面平行）
b a b b a ααα⊄⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪
⎭
a
a a
b b αβαβ⎫
⎪
⊂⇒⎬⎪⋂=⎭
a b a b P a b ββ
βα
α
α⊂⎫⎪⊂⎪⎪
⋂=⇒⎬⎪⎪
⎪⎭
2、性质1：
（面面平行，则线面平行） 性质2：
m m αββα⎫
⇒⎬⊂⎭
（面面平行，则线面平行）
说明（1）判定直线与平面平行的方法：
①利用定义：证明直线与平面无公共点。

②利用判定定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。

③利用面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

（2）证明面面平行的常用方法
①利用面面平行的定义：此法一般与反证法结合。

②利用判定定理。

③证明两个平面垂直于同一个平面。

④证明两个平面同时平行于第三个平面。

三、线线平行、面面平行、面面平行间的关系
a a
b b αβαγβγ⎫
⎪
=⇒⎬⎪=
⎭
直线与平面垂直的判定及其性质
一、直线与平面所成的角
00
--0,180l αβ⎡⎤∈⎣⎦
二、二面角
三、线面垂直
1、判定：
0,90α⎡⎤∈⎣⎦
,
PO AO PA l αααα⊥∴∴∠证明过程
为在平面上的投影，为直线与平面所成的角。

,,
--BO l AO l BOA l αβ⊥⊥∴∠证明过程是二面角的平面角。

a α⊂⎫
2、性质1：
3、性质2：
四、面面垂直
1、判定：
文字表达：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2、性质：
说明：（1）判定直线与平面垂直的方法：
a a
b b αα⊥⎫
⇒⎬⊥
⎭
l l αβαβ⊥⎫
⇒⊥⎬⊥
⎭
AB AB AB CD αβ
αβ
β
α⊥⎫⎪⋂⎪
⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭
a a
b b αα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
①利用定义（可用反证法）。

②利用判定定理。

③利用性质定理。

④结合平行关系： （2）判定平面与平面垂直的方法：
①利用定义判断（证）二面角的平面角是直角。

②利用平面与平面垂直的判定定理。

,a b a b αα⊥⇒⊥。