内容归纳(2)(2010.12)

F ( x) = P{ X ≤ x}
F(x)的性质：(1)非负性；(2)F(-∞) =0，F(∞) =1； (3)单调递增性；(4)右连续性 2. 分布律: pi=P{ X = ai } 密度函数：f(x) pi或f(x) 与F(x)之间的关系。 3. 计算概率方法
b (1) a
P{ X = ai } a ≤ x F ( x) = i x f (u )du −∞
Q X ~ N (3, 1.6)
。
c −3 c −3 P{ X > c} = P{ X < c} ⇒ 1 − Φ ( ) =Φ( ) 1.6 1.6 c −3 Φ( ) = 0.5 ⇒ c = 3 1.6
2. 设 X 1 , X 2 , K , X 10 是来自总体X~N(0,σ 2 )的样本， 则
第四章
1. 数学期望的定义及性质
∞ ∑ g (ai ) P{ X = ai }, 若X 为离散型随机变量 i =1 E[ g ( X )] = +∞ g ( x) f ( x)dx, 若X 为连续型随机变量 ∫ −∞
(1) E ( aX + bY + c) = aEX + bEY + c
P( B) = ∑ P( Ai )P( B | Ai )
i =1
m
∑ P( A ) P( B | A )
j =1 j j
m
二项概率公式：（二项分布） 2. 古典概率 1）分配模型； 2) 不放回地取球模型；
概率部分
第一章 典型题目
例 已知 P ( A) = 0.3 P ( B ) = 0.4 P ( B A ) = 0 .2 则 P( A ∪ B ) =
若X ≥ a 若X ≥ a 1.6a, 1.6a, Y = g ( X , a) = = 1.6 X − 0.6(a − X ), 若 X < a 2.2 X − 0.6a, 若 X < a
EY = ∫ g ( x, a ) f X ( x) dx = ∫
−∞
∞
500
300
g ( x, a )
s n
第七章
1. 设总体 X～N(a, σ 2 )，σ 2 未知, 则a的一个置信度 为1-α的置信区间是
X ± t1−α / 2 (n − 1) S n
1’. 设由来自总体 X～N(a, 0.92 )容量为9的样本，计 算得 x = 5, 则a的一个置信度为95%的置信区间是
x ± u0.975 0.9 5 − 1.96 × 3 = 4.412 σ = 0.9 n 5 + 1.96 × = 5.588 3
(2) 如果X 与Y 独立，则 E XY） EX ⋅ EY （ =
2. 方差的定义及性质
DX = E ( X − EX ) = EX 2 − ( EX ) 2
2
(1) D(aX + b) = a 2 DX
(2) D ( X ± Y ) = DX + DY ± 2 cov( X , Y )
第四章
3. 常见分布的数学期望和方差 4. 协方差和相关系数
1 (∑ X + ( X 9 − X 10 ) 2 ) ~ σ 2 i =1 2
2 i
1
8
。 χ 2 (9)
1
σ
( Xi − X )2 ~ χ 2 (8) 2 ∑
i =1
9
3. 若 X 1 , X 2 , K , X 11 为来自总体X~N(0,4 ) 的样本， 则
1 3 2 X1 − X 2 X i2 ∑
− ( x−µ )2 2σ 2
e −λ , k = 0,1,2,...
(a+b)/2 (b-a)2/12 σ2
e
, x ∈ (−∞,+∞)
第二章
1 2 2 C3 ( ) 2 ( ) 3 3
0.05
25 −5 e 2
1
1/2
(
1 4 3
− 1)θ 2
4− 3 2 θ 3
第二章
5. 已知X的分布，求Y=g(X)的分布
∑
∫
P{a < X ≤ b} = ∫ f (u )du
(2)
= F (b) − F (a)
第二章
1/8
0, x < 0 2 x /16, 0 ≤ x < 4 1, x≥4
9/16
第二章
4. 常见分布 (1) X ~ B(n, p) (2) X~P(λ) (3) X~Ge(p) (4) X~U[a,b] (5) X~Γ[1, λ] (6) X~N(µ,σ2)
i =3 11
~
。 t (9)
第七章
1. 点估计量的求解方法 （1）矩法； 2. 置信区间
设 X 1 ,K , X n ~ N ( µ , σ 2 )
则关于参数 µ 的置信度为0.95的置信区间：
(1) x ± u1−α / 2
（2）极大似然法；
σ
n
或
(2) x ± t1−α / 2 (n − 1)
第六章
1. 卡方分布、t分布、F分布的定义及性质； 2. 抽样分布定理：
(4)
X −µ ~ t (n −1) S/ n
1. 若 X 1 , X 2 , K , X 10 为来自总体 X～N(0, 4)的样本， 1 10 4 则 ∑ Xi ~ 。 N (0, ) 10 i =1 10
1’. 若 X 1 , X 2 , K , X 10为来自总体 X～N(3, 42)的样本， 使 P{ X > c} = P{ X < c} c = ,
概率论与数理统计
内容归纳（复习） 内容归纳（复习）
概率部分
第一章
1. 各种概率公式 加法公式： P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) 减法公式： P( AB ) = P( A) − P( AB) 条件概率公式： P( A | B ) = P( AB)
P( B)
乘法公式：
fY ( y ) =| h '( y ) | f X (h( y )), x = h( y ) = g −1 ( y )
或
(1) FY ( y ) = P{Y ≤ y} = P{g ( X ) ≤ y} (2) fY ( y ) = FY' ( y )
第三章
1. 分布函数F(x,y)的定义及性质 2. 分布律: pij=P{ X = ai ,Y=bj} 密度函数：f(x,y) 3. 求边缘分布或密度函数；判断独立性。
(4) cov( Z , V ) = 0
3 2 y , 2 < z < 6, 0 ≤ y ≤ 1 (3) f ( z , y ) = f Z ( z ) fY ( y ) = 4 0, 其它
3 3 2 2 (ln v) , 0 < ln v < 1 (ln v) , 1 < v < e (2) fV (v) =| (ln v) ' | fY (ln v) = v = v 0, 0, 其它 其它
P ( AB) = P( B) P( A | B) or = P( A) P( B | A)
概念：1）随机事件的互斥 2）随机事件的独立
概率部分
第一章
1. 各种概率公式 全概率公式： 贝叶斯公式：
P( Ai | B ) = P( Ai B) = P( B) P ( Ai ) P( B | Ai )
典型例题
π
1/2
应用题
三、(11) 某公司经销某种原料，根据历史资料表明，这种原 料的市场需求量（单位：吨）服从区间[300, 500]上的均匀 分布，每售出1吨该原料，公司可获利润1.6（千元）；若积 压1吨，则公司损失0.6（千元）。问公司应该组织多少货源， 可使平均收益最大？ 解：设公司组织该货源a吨，X——销售量，Y——收益
设
1, 第 i名 居 民 收 看 d Xi = 0， 第 i名 居 民 不 看
⇒
X i ~ B (1, 0.15)
1 n 0.15 × 0.85 收视频率： X i ~ N (0.15, ) ∑ 5000 i =1 5000
1 n 5000 P{ X i − 0.15 < 0.01} = 2Φ(0.01 ) −1 ∑ 5000 i =1 0.15 × 0.85 = 2Φ (1.98) − 1 = 2 × 0.9762 − 1 = 0.9524
1 dx 200
应用题
EY = ∫ g ( x, a ) f X ( x) dx = ∫
−∞ ∞ 500 300
1 g ( x, a ) dx 200
a 500 1 [ ∫ (2.2 x − 0.6a )dx + ∫ 1.6adx] = a 200 300 1 = (−1.1a 2 + 980a − 1.1× 3002 ) 200
pi = ∑ pij = P { X = ai }
j =1 ∞ ∞
i = 1, 2,L j = 1, 2,L
P { X = ai , Y = b j } = P { X = ai } ⋅ P {Y = b j }
p j = ∑ pij = P {Y = bi }
i =1
f ( x, y ) = f X ( x ) ⋅ f Y ( y )
k P{ X = k} = C n p k (1 − p) n − k , k = 0,1,2,..., n
EX np λ 1/p 1/λ µ
P{ X = k} =
DX npq λ q/p2
(1/λ)2
λk
k! P{ X = k} = (1 − p ) k −1 p, k = 1,2,... 1 f ( x) = , a≤ x≤b b−a f ( x ) = λ e − λx , x ≥ 0 f ( x) = 1 2π σ
P( A ∪ B ) = P ( A) + P( B ) − P( AB )
= P( A) + P ( B ) − P ( A) + P( AB)
= 0.6 + 0.2 × 0.3 = 0.66
概率部分
第一章 典型题目
0.6
0.059
概率部分
第一章 典型题目
0.25
4 C6 6 2
76
第二章
1. 分布函数F(x)的定义：
f ( x, y )dx
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dy,
fY ( y ) = ∫
+∞
−∞
(4) U,V是否独立？ 是否独立？ 是否独立
第三章 典型题目
1 z−2 z−2 , 2< z <6 (1) f Z ( z ) =| ( ) ' | fX ( ) = 4 4 4 0, 其它
dEY 1 = ( −2.2a + 980) = 0 ⇒ a ≈ 445.45 da 200
应用题
中心极限定理
五、（10分）假定某电视节目在某城市的收视率为15%， 在一次收视率调查中，抽取5000名居民。求收视频率与 收视率15%的绝对值之差小于1%的概率。附：
Φ (1.98) = 0.9762
cov( X , Y ) = E (( X − EX )(Y − EY )) = E ( XY ) − EX ⋅ EY
ρ ( X ,Y( X , X ) = DX
(1) cov(c, X ) = 0
(3) cov( aX + bY , cZ ) = ac cov( X , Z ) + bc cov(Y , Z )