概率分布

f (t )

(k 1)!
(t )t 1 e t 0.011
计算得到系统结束时的瞬时故障率（失效率）为
（t）
f (t ) f（24） 0.011 0.012（故障数/小时） R(t ) R（24） 0.88
1 1 0.00008 次 / 小时 MTTF 12500

X 0
X!
将本例中零件的可靠度与备件数的关系计算出来：当备件数x分别为0,1,2,3,4时， 对应的可靠度R（t）为0.3021,0.6626,0.8795,0.9665,0.9932，反之如果给定了零件 的可靠度，则可以求出所需的备件数。
四、伽玛（ Г ）分布 Г 分布是一种很有用的分布，它可以由泊松分布推导出来，看做是指数分布的 一种推广。某产品或系统工作，它从t=0时刻开始工作，工作过程中受到外界随机 干扰，直到k次干扰时它开始失效，则在（0，t）时间间隔内产品所受到的干扰次 数X为随机变量，服从泊松分布，产品的寿命T就是第k次干扰的时间，亦为随机变 量，则失效分布函数可写成
图中，λ大时，可靠度曲线a 下降急剧，迅速趋于零；λ小 时，可靠度曲线c下降缓慢， 我们知道，t=0时开始工作，产品在工作过程中可能受到外界的各种随机干扰， 逐渐趋于零。 产品受到干扰次数（失效次数）X的概率分布服从泊松分布。如果这种随机干扰足够 强，第一次干扰就使得产品失效，那么第一次发生失效的时间t就是产品的寿命T，则 T是一个随机变量。也意味着产品在（0，t）时间内正常工作，失效数x=0，没有发 生故障，从而有：
0 RS P( Z 0) Cn (1 R) 0 R n 0 R n
二、泊松分布
当某随即时间服从伯努利试验，且在单位时间内发生的次数是一个常数（发 生的概率为p），记作u，它不随时间或空间的变化而改变。如果发生的发生的事件 用X表示的话，可以用泊松分布描述其概率分布。即
e u u x P（X x） ( x 0,1,2...) x!
2 2 4- 2 P( X ) C（ 0 . 06 ） （ 0 . 94 ） 0.019 4
不超过两只单向阀停止工作的概率
P（X 2）
X X 4 X C p 4 q 0.999 X 0
2
由上例可见，应用二项分布计算系统可靠度时，要知道组成系统的相互独立的 单元数和各单元的可靠度。今有n个独立的单元组成一串联系统，各单元的可靠度 均为R，则该系统的正常工作的概率，即系统的可靠度 Rs，可用二项分布求得： （4） 运用二项分布，同样也可以导出相同单元组成的并联系统和表决系统的可靠度， 将在第九章介绍。
机械可靠性设计
分布函数
• 一、伯努利试验和二项分布
1、在同条件下，某独立随即时间重复试验n次，每次试验只能是发生或 者不发生，并在试验过程中事件发生的概率不变。这种重复的一系列试 验称为伯努利试验。 2、n次伯努利试验中，事件发生的概率是p则不发生的概率 q=1-p，设n次 试验发生的次数是x,则不发生的次数为n-x，则事件发生x次的概率为
由该例可以推理得到，今有一系统若在工作时间内保持系统失效 在t时间内零件的平均失效数 概率不变，必须使工作元件数不变。如有一元件失效，必须以相同 u=λt=0.00008×15000=1.2 的元件替换，或修复，使其恢复到原来状态。这种用相同元件替换 已知备件数位x=4，则零件的可靠度为 来提高系统可靠度的工作方法，叫做备用冗余法，这种系统称为备 X 4 ( t ) 用冗余系统，也在开关系统，将在第九章介绍。。。 R（ t 15000） P( X 4) e t 0.9932
• 二项分布和泊松分布区别 • 最大的不同是前者的研究对象是n个离散的事件， 而后者考察的是一段连续的时间（单位时间）。因 此泊松分布就是在二项分布的基础上化零为整。
三、指数分布
当产品失效率等于常数时，产品寿命T服从指数分布，由前面介绍的可以知道失 效密度函数f(t),失效分布函数F（t）、可靠度函数R（t）分 f (t ) e t R (t ) e t F（t） 1 et 其对应的分布曲线分别为：
（1）
二项分布是离散型分布，其累计概率分布
（ 2） P( X x) Cnx p x q n x , x 0,1 ,2 ...n
x
显然
x x n x n （ 3） P ( x n ) C p q ( p q ) 1 n x 0 x 0
n
X 0 n
随机变量X的数学期望和方差为： E(X)=u=up
D(X)=npq
3、二项分布多用于产品的可靠性抽样检验，可靠性试验和可靠性评估 等方面。 例1：某液压系统，其中有4只型号和规格相同的单向阀，若在规定的时 间t内，任何一只停止工作的概率为p=0.6，求在规定的时间t内恰有两只单 向阀停止工作的概率及不超过两只停止工作的概率。 解：一只单向阀在t时间内正常工作与否服从伯努利试验，四台独立的单 向阀在规定的t时间内停止工作数，是以离散的随即变量X，服从二项分布。 可见n=4,x=0,1,2,p=F（t）=0.06,可靠度R(t)=q=1-p=0.94 可解的正好两只单向阀停止工作的概率为
x Cn p x (1 p ) n x
e
u x!
2）自然界和工程中很多的时间都具有一个共同的特点，即可知道事件发生的次数 或个数，但是不知道它不发生的次数和个数，如在一个时间段内遭雷劈的次数；铸件 上砂眼的个数等。对于这类时间无法应用二项分布，只能用用泊松分布来研究，因为 泊松分布只需要考虑事件发生的一面。 这个系统的两个相邻故障间隔时间服从指数分布， 3）一个系统在工作时可受到各种随机事件的干扰，可能发生故障，则在（ 0，t） 此时用泊松累积概率分布函数，可以计算系统的可靠度 时间间隔内受到的干扰次数X是随机变量，服从泊松分布，那么这个系统的两个相邻 和置信区间，还可以计算备件数 故障间隔时间服从指数分布，此时用泊松累积概率分布函数，可以计算系统的可靠度 和置信区间，还可以计算备件数。常用的泊松分布的另一重要的表达式为：
( t ) 0 t R（t） p(T t ) P( X 0) e e t 0!
2）指数分布的数学期望和方差 1 E ( T ) m 由前面指数分布的定义：如果这种随机干扰足 1 够强，第一次干扰就使得产品失效，那么第一 D (T ) 2 m 2 次发生失效的时间 t就是产品的寿命T 3）指数分布的“无记忆性”。也就是说某种产品经过工作一段时间后，仍然和一 个新产品一样，不影响将来工作的筹码长短，或者说在继续工作一段时间的失效概 率与已工作过的时间长短无关。 综上所述可见，指数分布最适宜描述产品的寿命。因而在电子、电器元件及系统 与整机方面得到普遍的应用。 1）对于元件则适用于只是偶然出现的失效，而且与使用时间无关的情况； 2）对于系统则适用于经过调试，排除了设计、制造、装配等方面的缺陷而引起的 故障，故障在正常使用阶段的随机失效期。这些系统通常由大量元件或零件所组成， 其中各单元失效互相独立，系统发生故障的次序与所有单元失效次序相同；若元件 或零件失效后立即修复或更换，仍然如同新产品一样，不影响以后寿命长度。可以 看到，这类系统或整机都具有一个共同特征，即失效率趋于某一稳定值。如电子、 电器系统的计算机等，本书的第九章第十章建立系统可靠性数学模型时都经常用到 指数分布。
这就是指数分布的可靠度函数。由此不难看出指数分布是泊松分布中事件（这里指 的是失效）发生次数X=0时的一种特例。 指数分布有一下性质： 1）指数分布和泊松分布一样，只有一个分布参数，即失效率λ，且是与时间无 关的常数。只要给定啦失效率λ，可靠度函数R(t)便可完全确定。可以知道λ越大，可 靠度下降得越快。
（5）
泊松分布也是一种离散型随即变量的分布，其累计概率分布函数为：
e u u X P（X x） X! X 0
x
（6）
其数学期望和方差为 E（X）=u D(X)=u 当实验次数n很大时，事件发生的概率p很小时，令u=np,则泊松分布是二项分布 很好的近似，即 u x （7） 在实际计算中，当n≥20,p≤0.05时，利用上式可以做近似计算，可得到相当准确的结 果。 泊松分布的应用 1）当二项分布计算事件发生次数的概率随着n的增大而计算变得比较麻烦，而 采用泊松分布最适宜用于n很大而p很小，且np趋于恒定的情况下计算发生次数多概 率。
解Г分布的可靠度函数为
R(t ) P(T t ) f (t )dt
t

(k ) t
k

t k 1e t dt
当k是整数时，由式（9）可知，上式可表达为
( t ) t t R（t） e i! t 0
k 1
带入数据计算得R（24）=0.88 由式（12）计算得到
P（X x） R（t）
（8） 例.2有一寿命为指数分布的零件，其平均无故障工作时间MTTF=12500小时，在 t=15000小时的工作时间内需要用备件更换，现有4只备件，问能达到的可靠度为多 大？
X 0

x
t X
X!
e t
其平均无故障工作时间MTTF=12500小时，在 t=15000小时的工作时间内需要用备件更换， 4只备件 解 零件的失效率为
如果将k固定，对t微分，则可得到失效密度函数为
( t ) t t F (t ) P(T t ) P( X k ) 1 e i! t 0
k 1
（9）
f (t )
显然 ，F(t)亦可写成
dF (t ) (t ) k 1 e t , t 0 dt (k 1)!
( k 1)! 0
（10）
F（t）
以上就是Г 分布。

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(t )
k 1
e t dt
（11）
当k为正整数时，Г（k）=(k-1)! Г(k)也称为Г函数，因此，式（10）也可以写成：
（12) Г分布含有k和λ两个参数，记做Г（k,λ）.参数k决定了Г分布的形状，称为形状参 数；参数λ称为尺度参数,图示绘出了α（k）=0.6,1,2,3,5时 Г分布的概率密度曲线。 可以看出当k=1时，则式（12）为一指数分布；当k=5时，则式（12）近似为正态分 布。 Г分布的均值和方差分别为
E（ t） D (t )
f (t )

Г(k)
(t ) k 1 e t

k
2
k
从以上两式看出，Г分布的均值和方差分别是指数分布的均差和方差的k倍。
Г分布的应用
服从泊松分布 Г分布不仅与泊松分布有关而且和指数分布和正态分布有关，因此适用性很 即直到第k次干扰开始失效 广泛，是产品寿命分布中的一个重要的分布，主要用于： 1）当某个产品（如冗余系统）发生失效之前必定发生一定数量的局部故障的 情况下，可用Г分布进行可靠性分析。该产品的寿命分布模型就是Г分布，第k次 故障干扰的等候时间就是产品的寿命，而λ就是发生干扰的速率。 2）Г分布还可以用于描述产品失效率λ（t）随时间递增和递减的情况。当k=1 时，λ（t）=常数，这就是指数分布的失效率；k<1时，λ（t）单调下降；k>1时， λ（t）单调上升；特别是对任何的k，当t→∞时，λ（t）→λ 例4：经统计验证，防空到导弹系统的故障系统服从Г分布，其中k=3,λ=0.05。 试计算24小时任务时间的可靠度及24小时结束时的瞬时故障率。