2-5矩阵的秩

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2.5 矩阵的秩及其求法

求 R( A).
1 0 2 −4 1 0 2 −4 −4 → 0 1 −1 2 r 2r ，解 A 2 − 0 1 −1 2 r1 → r3 + 1 0 −1 1 − 2 0 0 0 0
R(A) = 2
13
1 −1 1 2 例5 设A = 3 λ −1 2, 且R（A） 2 = ，求λ, µ 5 3 µ 6
∴ R( A) = 3
A为满秩方阵。
19
若求A 若求的标准型矩阵
1 − 2 1 − 4 0 −1 −1 3 → 0 0 1 9 0 0 0 0
2 1 1 0 →0 2 0 0
0 −1 2 1 0 0
4 0 12 3 1 9 2 0 0 0
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为
2 −1 D2 = 0 −1
3 5 为 A 的一个三阶子式。
而
1 2 D3 = 4 6
1 0 −1
k k m× n 矩阵 A 共有 cmcn 个 k 阶子式。显然，
4
设
A = (aij )m×n 当 A＝0 时，它的任何子式都为零。
⑤ R（AB）≤ min{R（A），R（B）} ⑥ 若 Am×nBn×s=0，则 R（A）+R（B）≤n
24
例8
设A为n阶矩阵，证明R（A+E）+R（A-E）≥n 证： ∴ 而 ∴ ∵ （A+E）+（E-A）=2E r（A+E）+ r（ E-A ）≥ r（2E）=n r（ E-A ）= r（ A-E ） r（A+E）+r（A-E）≥n
7
矩阵秩的求法二、矩阵秩的求法 1、子式判别法定义。、子式判别法(定义定义)。

线性代数第三章矩阵第五节

定义
矩阵A中不等于零的子式的最高阶数
称为矩阵 A 的秩。记为 R（A）也就是说：
R（A）= r A中存在非零的r 阶子式，且所
有的r+1 阶子式全为零。
3
例如对 A 1
1 3
1 2
A 0, 3 1
1 0 R( A) 2
3
4 2 3
矩阵的秩与向量组的秩的关系
若R(A)=r,不妨设Ａ的左上角r阶子式不为０，则它的 r个列向量组线性无关，添加n-r个分量后得到Ａ的
前r个n维列向量也线性无关，可以证明这r个向量是Ａ的列向量组的最大无关组，因此A的列向量组的秩为r,
与Ａ的秩相等．同理可说明Ａ的行向量组的秩也为r.
注意：
（1）若矩阵 A 中没有不等于零的子式，则 R(A) 0 （2）秩为r 的矩阵可能有等于零的r及r-1 阶子式。
(3) 若A中有一个r阶子式不为0，则R（A） r；
（4）若A中所有r阶子式都为0，则R（A）<r
(5) R( AT ) R( A)由于行列式行列互换后其值不变 Nhomakorabea而矩阵 AT
的每一个子式都是A的某个子式的转置，因此A的
非零子式的最高阶数与 AT 的非零子式的最高阶
数相同，即矩阵的转置不改变矩阵的秩。
C
k n
个。
例如
1 2 3 5
在矩阵 A= 0 4 1 2
1 3 2 1
中可选出C43 4个三阶子式， 1 2 5
选1，2，3行和1，2，4列的子式 0 4 2 131
在A中可选出
C32
C
2 4
18
个二阶子式，
比如1，3行2，4列位于这些行列交叉点上的元素构
25

2.6-矩阵的秩

001
1 0 5 1 0 5 1 0 5 1 0 0
E(1, 3(5)) = 0 1 0 , 0 1 0 0 1 0 = 0 1 0 .
00 1 001 00 1 001
第二章矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
2. 可逆矩阵的分解
***
(1) * * *
** * ***
***
= ***
10 0
010.
000 *** 000 001
第二章矩阵
2 0 4 1
0 1 3 2 的3阶子式有14个:
4 0 8 2
§2.5矩阵的秩
2 0 4 2 0 1 2 4 1 0 4 1
0 1 3 = 0 1 2 = 0 3 2 = 1 3 2 = 0. 4 0 8 4 0 2 4 8 2 0 8 2
第二章矩阵
§2.5矩阵的秩
问题: 假若一个56的矩阵中所有3阶子式都等
1 0
0 1
3/2 1
3 1
5/2 1
1 3 2 故A1 = 3/2 3 5/2 .
1 1 1
第二章矩阵
§2.6 方阵的逆矩阵
三. 用初等变换解矩阵方程
设A可逆, 则A可以经过有限次初等行变换化为行最简形——单位矩阵E.
下面用初等变换解矩阵方程AX = B. 注意到X = A1B.
(A B) … (E ?)
第二章矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理2. 设A是满秩方阵，则存在初等方阵
P1, P2, , Ps. 使得 Ps Ps1 , P2P1A E
第二章矩阵
§2.5 矩阵的秩
定理3. mn矩阵A, m阶初等矩阵
P1, P2, …, Ps 及m阶初等矩阵

矩阵的列向量的秩

r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
6 4 1 4 1 3 1 1 0 4 0 12 9 7 11 0 16 12 8 12
r1 r4
Байду номын сангаас
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
19
0 5 0 3 2 6 1 3 2 3 A 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4
17
其中 aii 0, i 1,2,
,r
显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为 n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。
加上任一零行即相关，所以矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。
四. 矩阵的秩 1. 行秩、列秩、矩阵的秩
1.行秩、列秩、矩阵的秩 2.矩阵秩的求法 3.向量组的秩的求法 4.矩阵秩的性质 5.矩阵秩与行列式的关系
把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。 1 1 3 1 0 2 1 4 例如：矩阵 A 0 0 0 5 的行向量组是 1 (1,1, 3,1) 0 0 0 0 2 (0, 2, 1, 4)
1 0 1 , 2 , 3 线性无关， 2 3
维数增加后得到的 1 , 2 , 3 依然线性无关，而 1 , 2 , 3 , 4 与 1 , 2 , 3 , 5 都线性无关，

2-5矩阵的秩详解

矩阵的秩
1、矩阵的 k 阶子式定义在 m n 矩阵 A中，任取 k 行 k 列 k min{ m , n} , 位于这些行与列交叉处的 k 2 个元素，依照它们在 A 中的位置次序不变而得的 k 阶行列式，称为矩阵 A 的一个 k 阶子式. k k m n 矩阵共有 C m Cn 个 k 阶子式.
满秩方阵; r ( A ) n A 0 ,此时称A为降秩方阵
3
成为B , 定理2.5.1 若Amn经过若干次初等行变换则r ( A ) r ( B ),即行等价的矩阵有相同的秩
初等行变换不改变矩阵的非零子式的最高阶数推论 2.5.1 初等列变换也不改变矩阵的秩
推论2.5.2 设Amn , Pmm 及Qnn均可逆,则有
r ( PA ) r ( AQ ) r ( PAQ ) r ( A )
即满秩方阵乘矩阵后，矩阵的秩不改变
4
矩阵秩的求法
A 初等行变换阶梯形矩阵B A的秩等于 B中非零行的行数例1 3 2 0 5 0 3 2 3 6 1 2 0 1 5 3 1 6 4 1 4 例 2 设 1 2 2 1 1 求 R A , R B , 2 4 8 0 2 其中 B A b ,b A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4
R( A ) r
（1） Dr 0 ; （2） Dr 1 0 .
性质：若Amn 0 ,则 : 1 r ( A ) minm , n （ 1） T r ( A ) r ( A ) （ 2）（3）阶梯型矩阵的秩等于它的非零行的行数（4）对于Ann , r ( A ) n A 0 ,此时称A为

第一章第五讲矩阵的秩

第五讲矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定线性方程组是否有解，向量组的线性相关性，求矩阵的特征向量以及在多项式、空间几何等多个方面都有广泛的应用。

本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。

5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。

其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。

因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。

定义5.1 对于给定的m n ⨯矩阵A ，它的标准形(-)(-)(-)(-)rr n r m r r m r n r m nE OF O O ⨯⨯⨯⨯⎛⎫=⎪⎝⎭由数r 完全确定，我们称数r 为矩阵m n A ⨯的秩（rank ），记作()R A 。

其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。

注：（1）零矩阵的秩为零：()0R O =；（2）矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。

（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。

当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。

解先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫ ⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质性质5.1 ()()TR A R A =；性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()(|)()+()R A R B R A B R A R B ≤≤；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()(|)()+1R A R B R A B R A ≤≤;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵且()R A r =，则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。

矩阵的秩

D4 3 0 21 D5 3 6 2 4 0
D3
1 6 0 4 0 6
4
2 7
D6 7 4 42 Nhomakorabea高等代数
●矩阵的秩的概念
定义2.5.2 矩阵A中所有不为零的子式的最高阶数，称为矩阵A的秩，记作 R(A) 或 r(A)。如果 R(A)=r，则 A 中至少有一个 r 阶子式不等于零，
高等代数
定理2.5.2 n阶矩阵A可逆的充要条件是R(A)=n
定理2.5.3 n阶矩阵A可逆的充要条件是方阵A满秩序。
定理2.5.4 一个方阵满秩的充要条件是它能表示为初等矩阵的乘积
高等代数
所有高于 r 阶的子式都为零。
例如
1 2 3 A 2 2 1 3 4 4
因为所以
高等代数
A 0
1 2 2 0 2 2
R( A) 2
1 3 2 2 0 2 1 3 的秩. 例求矩阵A= 2 0 1 5 解: 因为 1 3 2 0, 计算A的3阶子式. 0 2 1 3 2 0 2 1 0, 2 0 1 1 2 2 0 1 3 0, 2 1 5 1 3 2 0 2 3 0, 2 0 5 3 2 2 2 1 3 0. 0 1 5 所以, R(A)=2.
高等代数
●利用矩阵的初等变换求矩阵的秩
定理2.5.1 设矩阵A经过初等变换化为B，则A有不等于零的 K阶子式当且仅当B有不等于零的K阶子式推论2.5.1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。
初等变换求矩阵秩的方法: 用初等行变换把矩阵变成为行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
一、矩阵的秩概念二、矩阵的秩求法

矩阵的秩

与列秩相等.
3. 矩阵的秩把矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.
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13
二、矩阵的秩与行列式的关系
1. 齐次线性方程组有非零解的充要条件
定理 5
n n 矩阵
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
, ar 2 , ar 1,2 ,
, as 2 ) ,
,(a1r ,
, arr , ar 1,r ,
也线性无关. 它们正好是矩阵 A 的 r 个列向量, 由
它们的线性无关性可知矩阵 A 的列秩 r1 至少是 r , 也就是说 r1 r . 用同样的方法可证 r r1 . 这样就证明了行秩
ar 1 xr 0 , ar 2 xr 0 , arn xr 0 ,
11
只有零解. 由引理，这个方程组的系数矩阵
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a11 a12 a1n
a21 a22 a2 n
ar 1 ar 2 , arn
的行秩 r . 因此在它的行向量中可以找到 r 个是线性无关的，不妨设为
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 a s1 x1 a s 2 x2
的系数矩阵
a1n xn 0 , a2 n xn 0 , a sn xn 0
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(1)
7
a11 a21 A a s1
显然, 1 , 2 线性无关, 再来讨论1 , 2 , 3的线性相
关性. 设有数 k1, k2 , k3 , 使

第一章第五讲矩阵的秩

第五讲矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中又一重要概念，它描述了矩阵的一个重要的数值特征：在判定向量组的线性相关性，线性方程组是否有解，求矩阵的特征值以及在多项式、空间几何中等多个方面都有广泛的应用。

本讲我们主要了解矩阵秩的求方法以及其与方程组各类型解的关系。

5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等变换定义了矩阵的行阶梯形、矩阵的行最简形以及矩阵的标准形。

其中矩阵行阶梯形与矩阵行最简形不唯一，但矩阵的标准形唯一。

因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。

其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。

注：（1）零矩阵的秩为零：()0R O =；（2）矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。

（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。

当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。

解先将A 通过初等变换化为标准形111610121210A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭2131111601280306r r r r --⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭323111601280026r r -⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭111601280013⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭12312101201280013r r r ---⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭13232100101020013r r r r +-⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭ ()4142433312,3100001000010c c c c c c E O -⨯--⎛⎫⎪−−−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭可看出，矩阵A 的标准形中左上角是3阶单位矩阵，所以()3R A =. 矩阵秩有如下性质性质5.1 ()()T R A R A =；性质5.2 }{0()min ,R A m n ≤≤；性质5.3 如果n 阶方阵A 可逆，则()R A n =；（可逆矩阵也称为满秩矩阵）性质5.4 {}()min (),()R PA R P R A ≤; 当P 可逆时，()()R PA R A =；若 P Q 、都可逆，且有PAQ B =，则()()R A R B =.性质5.5 max {}(),()()()+()R A R B R A B R A R B ≤≤ ；特别地，当B 为列矩阵时，有max {}(),()()()+1R A R B R A B R A ≤≤ ;性质5.6 ()()();()()().r A B r A r B r A B r A r B +≤+-≥-性质5.7 设A 为m n ⨯矩阵，(),r A r =则A 的任意S 行组成的矩阵B ，有().r B r s n ≥+-下面只证明性质5.3和性质5.4，其余的性质请学生自证。

第一章第五讲矩阵的秩

本讲我们主要了解矩阵秩的概念及其与方程组各类型解的关系。

5.1.1 矩阵秩的定义在第二讲中，我们通过矩阵的初等行（列）变换定义了矩阵的行（列）阶梯形、矩阵的行（列）最简形以及矩阵的标准形。

其中矩阵行（列）阶梯形与矩阵行（列）最简形可以不唯一，但矩阵的标准形唯一。

因此，下面就利用矩阵标准形的唯一性来给出矩阵秩的概念。

其中， r E 是r 阶单位矩阵；其余都是零矩阵。

注：（1）零矩阵的秩为零：()0R O =；（2）矩阵的秩就是矩阵标准形中左上角单位矩阵的阶数。

（3）对于n 阶方阵A ，当()R A n =时，称A 为满秩矩阵。

当()R A n <时，称A 为降秩矩阵.例5.1 求矩阵111610121210A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩。

2-5 矩阵的秩与矩阵的初等变换

（1）Dr中不含第i行；（2）Dr中同时含第i行和第j行；（3）Dr中含第i行但不含第j行；
12 上一页下一页返回
对 (1),(2) 两种情形，显然B 中与 Dr 对应的子式 Dr Dr 0,故 R(B) r.
对情形 (3)，

Dr ri rj ri rj Dr Dˆ r ,
定义5.5 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.
三种初等变换对应着三种初等方阵. 1. 互换两行或两列；
2.以数 0 乘某行或某列； 3.以数乘某行（列）加到另一行（列）上去．
29 上一页下一页返回
1、互换两行或两列
互换 E 中第 i, j 两行，即(ri rj )，得初等方阵
证由矩阵 A的所有k 1阶子式全为零，故A的任一k 2阶子式按行（或列）展开后知其必为零进，而全部高于k 1阶子式皆为零，所以由定义有 R( A) k .
注：按定义求矩阵的秩需要计算行列式，故只适用行、列较少的矩阵，对行、列较多的矩阵比较困难，为此下面介绍一个简便方法。
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r1 r4
0
4
3
1 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
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3 2 0 5 0
A

3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4 r2 r4 r3 2r1 r4 3r1
4 8 4 8
r4 r3
1 6 4 1 4 0 4 3 1 1 0 0 0 4 8 0 0 0 0 0

求矩阵的秩的三种方法

求矩阵的秩的三种方法矩阵的秩是一个非常重要的概念，在线性代数和矩阵理论中被广泛应用。

本文将介绍三种常用的方法来计算矩阵的秩。

第一种方法是基于行变换的高斯消元法。

该方法通过一系列的行变换操作将矩阵转化为阶梯形式，从而可以很方便地确定矩阵的秩。

步骤如下：1. 将矩阵的第一行作为基准行，如果基准行的第一个元素为零，则交换该行与后面某一行的位置，以保证基准行的第一个元素不为零。

2. 将矩阵的其他行逐一与基准行进行运算，使得该行的第一个元素为零。

具体操作是将其第一个元素乘以一个适当的倍数，并与基准行相减，使得第一个元素变为零。

3. 重复以上步骤，直到所有行的第一个元素都为零。

4. 接下来，选取下一行作为基准行，重复以上步骤。

重复直到所有行都处理完毕。

5. 最后，统计阶梯形式矩阵中非零行的个数，这个个数就是矩阵的秩。

这种方法的时间复杂度为O(r * c * min(r,c))，其中r和c分别是矩阵的行数和列数。

第二种方法是基于线性无关向量组的概念。

如果一个向量组中的向量是线性无关的，那么这个向量组的秩就是它所包含向量的个数。

因此，我们可以将矩阵的列向量看作向量组，然后通过计算向量组的线性无关个数来确定矩阵的秩。

具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量取出，构成一个向量组。

2. 利用线性代数中的线性无关向量组的判定方法来确定向量组的线性无关个数。

可以通过计算向量组的秩（即向量组中的线性无关向量的个数）来确定矩阵的秩。

这种方法的时间复杂度为O(r * c^2)，其中r是矩阵的行数，c是矩阵的列数。

第三种方法是基于矩阵的特征值和特征向量的计算。

根据线性代数中的性质，一个矩阵的秩等于其非零特征值的个数。

具体步骤如下：1. 对于一个n阶矩阵A，我们首先计算其特征值和特征向量。

2. 接下来，统计特征值中非零特征值的个数，这个个数就是矩阵的秩。

这种方法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是矩阵的阶数。

综上所述，我们介绍了三种常用的方法来计算矩阵的秩，包括基于行变换的高斯消元法、基于线性无关向量组的概念以及基于矩阵的特征值和特征向量的计算。

2.5 矩阵的秩

Байду номын сангаас
可逆矩阵， O 为什么？ r r . 1 2 I r2 O O O
返回
2 0 0 0 2 0 0 0
2 4 2 6 2 2 0 0 1 1 0 0
1 2 1 3 1 0 1 0
1 0 5 1
r2 2 1 0 r3 r2 0 r4 3r2 0
R( A) 2,
R( B ) 3.
返回
A
m n
A
m n
A
m n
推论对任意矩阵A, R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，其中P, Q分别为可逆矩阵. 证因为Q可逆，存在初等矩阵E1, …, Et使得 Q= E1• • • Et，
AQ =A E1• • • Et，
即 AQ 为A经列初等变换所得. 故 R(AQ)= R(A). 同理可证其他.
显然对任意矩阵A， A的秩唯一，但其最高阶非零子式一般不唯一.
返回
例1 求矩阵的秩：
1 (1) A 2 1 2 ; ( 2) B 2 1 4 2 1 8 ; ( 3) C 2 1 3 2 4 6 4 8 2 1 2 0
解 (1)、（2）易
O P1 I r2 O O P2 Q2 O O
I r1 O O O O P2 O
O Q2
A 所以，秩 O
I r1 O O O O 秩 B O
返回
三、矩阵的标准形（分解）
定理2
对任意矩阵A , 都存在可逆矩阵P , Q 使得
m n m m n n
I PAQ O
r

矩阵的秩

ai1 j1 L
ai1 j2 L
L L
ai1 jr L
ai2 j1 air j1
ai2 j2 air j2
ai2 jr air jr
L L
，
则子式中的r个列向量必定线性无关, 把这r个列向量加长后,可以得到A的r个线性
11
无关的列向量, 这说明A的列秩p ≥r; 根据引理, A的极大无关列构成的矩阵一定有一个非零的p阶子式, 故p≤r, 所以p=r. 类似地，有 r rA r T =AT的列秩 A =A的行秩.
(2) A的非零子式的最高阶数r称为矩阵A的秩(rank)，常用秩(A), R(A), rankA, rA 等记号表示. 规定零矩阵的秩为零.
3
由于行列式与它的转置行列式相等, 易知 rankA=rankAT. 当A的行(列)秩等于A的行(列)数时, 称 A为行(列)满秩矩阵. 当A是n阶方阵且|A|≠0时, rankA=n, 称 A为满秩矩阵. 易知： (1) 若矩阵A中有一个r阶非零子式, 则 rAr; (2) 若A中所有r阶子式全为0, 则 rA< r;
称为A的一个k阶子式(minor).
2
,
1 i1 i2 ik s
如果矩阵A有一个r阶子式不为零, 所有r+1阶子式(如果存在r+1阶子式)都等于零, 则可推出A的所有更高阶的子式全为零, 于是, r是A的非零子式的最高阶数. 定义11 (1) 矩阵A的行、列向量组的秩分别称为A的行秩、列秩.
1 2 1 0 0
4 1 1 / 3 2 0 1 3 0 1 3 1
16
1 0 r4 r3 0 阶梯形 0
1 2 1 0 0

2.5--矩阵的秩及其求法知识讲解

例8 设A为n阶矩阵，证明R(A+E)+R(A-E)≥n 证： ∵ (A+E)+(E-A)=2E ∴ R(A+E)+ R(E-A)≥ R(2E)=n 而 R(E-A )=R( A-E) ∴ R(A+E)+R(A-E)≥n
17
作业
P109 1 2 3
18
子式(如果存在的话)全为0 , 称r为矩阵A的秩，记作R(A)或秩(A)。
4
规定：零矩阵的秩为 0 . 注意：(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式 Dr 0 , 所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，R(A)R(AT).
D
0
3
4
0 0 0
1 2
1 1 0
B 0 1 C 0 1 0
0 0
0 0 1
2 1 2 3 5
E
0
8
1
5
3
0 0 0 7 2
0
0
0
0
0
RA3 RB2 RC3 RD 2 R E 3
一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”—— 非零行的行数。
7
例2
设
a A 1
R A nA ~ E
R A n A ~E n
例如 1
A 2 3
2 1 1
3 2 2
1 0 0
2 3 2
3 1 4 0 3 0
0 1 2
0 1 3
1 0 0 0 1 0 E
0 0 1
R A 3
A为满秩方阵。 15

第二章第一讲矩阵的秩

互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号，秩不变。倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B，则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。：B的一个子式若不包含第j行元素，则也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解：对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
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2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
返回

1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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铃
5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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结束

矩阵的秩

5−λ =0 , 即5=λ . µ−1=0 µ =1
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矩阵秩的性质 (1)0≤R(Am×n)≤min{m, n}. (2)R(AT)=R(A). (3)若A~B, 则R(A)=R(B). (4)若P、Q可逆, 则R(PAQ)=R(A). (5)若A可逆，则R(AB)= R(B). (6) R(AB)≤min{R(A), R(B)}.
1 0 −1 2 r3 − 2 r2 0 −1 3 1 = B → 0 0 0 0
显然B是阶梯型矩阵，显然是阶梯型矩阵，R(B)=2，所以，由定理是阶梯型矩阵，所以，由定理2.5 知R(A)=2。。
进一步，变为C：进一步，将B变为：变为
1 0 −1 2 1 0 −1 2 0 −1 3 1 0 1 −3 −1 = C −r2 B= → 0 0 0 0 0 0 0 0
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矩阵的秩设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D, 且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等于0, 那么D称为矩阵A的最高阶非零子式, 数r称为矩阵A的秩, 记作R(A). 并规定零矩阵的秩等于0. 几个简单结论 (1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0, 则R(A)≥s; 若A中所有 t阶子式全为0, 则R(A)<t. (2)若A为m×n矩阵, 则0≤R(A)≤min{m, n}. (3)R(AT)=R(A).
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k阶子式在m×n矩阵A中, 任取k行与k列(k≤m, k≤n), 位于这些行列交叉处的k2个元素, 不改变它们在A中所处的位置次序而得的 k阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式. 例如
1 1 −2 1 4 A= 2 −1 −1 1 2 , 2 −3 1 −1 2 −3 −1 3 6 −9 7 9 D= 1 1 是A的一个二阶子式. −3 −1 k k m×n 矩阵A 的k 阶子式有CmCn 个.

矩阵的秩8个公式及证明

矩阵的秩8个公式及证明
矩阵的秩是线性代数中的一个重要概念，它描述了矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量。

下面我将列举并证明矩阵的秩的八个公式。

1. 零矩阵的秩为0，证明很简单，因为零矩阵中没有非零的行或列。

2. 对角矩阵的秩等于非零对角元素的个数，证明也比较简单，因为对角矩阵中只有对角线上的元素可能非零，所以秩等于非零对角元素的个数。

3. 初等变换不改变矩阵的秩，初等变换包括交换矩阵的两行（列），用非零常数乘以矩阵的某一行（列），以及用一个非零常数乘以矩阵的某一行（列）加到另一行（列）上。

这些操作不改变矩阵的秩。

4. 行（列）等价的矩阵具有相同的秩，行等价指的是通过一系列的初等行变换可以相互转化的矩阵，列等价类似。

由于初等变换不改变矩阵的秩，所以行（列）等价的矩阵具有相同的秩。

5. 矩阵的秩不超过它的行数和列数中的较小值，这是因为矩阵
的秩描述的是矩阵中线性无关的列（或行）的最大数量，而这个数
量不可能超过矩阵的行数或列数。

6. 对于任意的矩阵A和B，秩(A + B) ≤ 秩(A) + 秩(B)，证
明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。

7. 对于任意的矩阵A和B，秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))，
证明过程比较复杂，可以使用矩阵的行列式性质和秩的定义进行证明。

8. 对于任意的矩阵A，秩(A) = 秩(A^T)，这个公式的证明比
较简单，可以通过矩阵的转置操作和秩的定义进行证明。

综上所述，这是矩阵的秩的八个公式及其证明。

这些公式在线
性代数中具有重要的应用和意义。

求矩阵的秩的简便方法

求矩阵的秩的简便方法
以下是 6 条关于求矩阵的秩的简便方法：
1. 嘿，你知道吗，有一种方法就像在矩阵的世界里点亮一盏明灯，那就是通过观察行与行之间的关系呀！比如说，看这矩阵[1 2 3; 2 4 6; 3 6 9]，是不是一眼就能发现有些行之间存在倍数关系呀，这就能帮我们快速找到秩啦！
2. 哇塞，还有一种神奇的方法呢，那就是利用行列式呀！就好比在迷宫中找到关键的钥匙。

像矩阵[1 0 0; 0 2 0; 0 0 3]，它的行列式不为零，那它的秩不就是 3 嘛，是不是超简单！
3. 嘿呀，还有一个妙招，那就是化简矩阵呀！把它变得像剥洋葱一样清晰。

就像[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过化简后，一下子就能看出秩来啦，你不觉得很神奇吗？
4. 告诉你哦，通过子矩阵也能找到秩呢！就好像在一堆拼图里找到关键那几块。

例如矩阵[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，找几个特定的子矩阵研究一下，秩就乖乖现身啦！
5. 哇哦，还有一种超有趣的方法呢，就是看矩阵的线性无关行向量的数量呀！好比数星星一样。

比如矩阵[1 0; 0 1; 1 1]，很容易就能看出有两个线性无关行向量，那秩就是 2 呀，有意思吧！
6. 嘿，你尝试过通过初等变换来找矩阵的秩吗？这就如同在matrix 的海洋里畅游，把它变得简单易懂。

像是矩阵[2 4 6; 1 2 3; 3 6 9]，经过初等变换后，秩就一目了然啦！
总之，求矩阵的秩有很多简便又有趣的方法，只要多去尝试和探索，就能轻松掌握啦！。

2-5矩阵的秩

2.5 矩阵的秩及其求法

线性代数 第三章 矩阵 第五节

2.6-矩阵的秩

矩阵的列向量的秩

2-5矩阵的秩详解

第一章 第五讲 矩阵的秩

矩阵的秩

矩阵的秩

第一章 第五讲 矩阵的秩

第一章 第五讲 矩阵的秩

2-5 矩阵的秩与矩阵的初等变换

求矩阵的秩的三种方法

2.5 矩阵的秩

矩阵的秩

2.5--矩阵的秩及其求法知识讲解

第二章 第一讲 矩阵的秩

矩阵的秩

矩阵的秩8个公式及证明

求矩阵的秩的简便方法

线性代数第三章矩阵第五节

第一章第五讲矩阵的秩

第一章第五讲矩阵的秩

第一章第五讲矩阵的秩

第二章第一讲矩阵的秩