辽宁省铁岭市西丰县高级中学高三数学二模 理

n=10 s=0 DOs=s+n n=n-1LOOP UNTIL s ﹥=40 PRINT n END西丰高中2010届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22－24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上．在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=12x ,x ∈A},则A ⋂B=( ) A. {1,2,3,4} B. {1,2} C. {1,3} D. {2,4} 2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 则下列命题中正确的是( ) A ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α B ．若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β C ．若α⊥β，m ⊥β，则m ∥α D ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β 3．右边程序运行结果为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 4．函数f （x ）=)1(11x x --的最大值是( )A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 5．已知直线0ax by c ++=不经过第二象限，且0ab <，则( )A ． 0c >B ．0c <C ．0ac ≥D ．0ac ≤6．函数11ln )(--=x x x f 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．37．两个正数a 、b 的等差中项是25，一个等比中项是6，且,b a >则椭圆12222=+by a x 的离心率e 等于( )A ．23B ．35 C ．313D ．13 8．已知双曲线2212yx -=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x轴的距离为( )A ．43B ．53C ．33D 39．下列命题正确的是( ) A ．函数)32sin(π+=x y 在区间)6,3(ππ-内单调递增B ．函数x x y 44sin cos -=的最小正周期为π2C ．函数)3cos(π+=x y 的图像是关于点)0,6(π成中心对称的图形D ．函数)3tan(π+=x y 的图像是关于直线6π=x 成轴对称的图形10．如图，目标函数z ＝ax －y 的可行域为四边形OACB （含边界），若)54,32(是该目标函数z ＝ax －y 的最优解，则a 的取值范围是( )A ．)125,310(--B ．)103,512(--C ．)512,103(D ．)103,512(- 11．将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m 和n ，则函数3213y mx nx =-+在[1,)+∞上为增函数的概率是( )A ．12B ．23C ．34D ．5612．已知O 是正三角形ABC 内部一点，230OA OB OC ++=，则OAC ∆的面积与OAB ∆的面积之比是( )BOA xy1 C( ，) 1 2345AC BB 1C 1A 1FE A ．32 B ．32 C ．2 D ．31第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

将答案填在答题卷相应位置上） 13．抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 02=+-y x 上，则此抛物线方程为__________________.14．我校在上次摸考中约有1000人参加考试，数学考试的成绩2~(90,)N a ξ（0a >，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生约有 人。

15．如图ABC-A 1B 1C 1是直三棱柱,∠BCA=90°,点E 、F 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点,若BC=CA=AA 1,则BE 与AF 所成角的余弦值为__________。

16．某公司计划在北京、上海、兰州、银川四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该公司不同的投资方案种数是 (用数字作答)． 三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．（1）证明数列{}n a n -是等比数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ，求n n S S 41-+的最大值。

18．（本小题满分12分）某单位为加强普法宣传力度，增强法律意识，举办了“普法知识竞赛”，现有甲、乙、丙三人同时回答一道有关法律知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是54，甲、丙两人都回答错误的概率是151，乙、丙两人都回答对的概率是41. （1）求乙、丙两人各自回答对这道题的概率。

（2）求甲、乙、丙三人中恰有两人回答对该题的概率。

19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

（1）求证：AB 1⊥面A 1BD ；（2）求二面角A －A 1D －B 的正弦值；20.（本小题满分12分）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的取值范围;（2）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且∠MON 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.(3)设(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．求四边形AEBF 面积的最大值． 21．（本小题满分12分）设1x 、2x )(21x x ≠是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点。

（1）若2,121=-=x x ，求函数)(x f 的解析式； （2）若22||||21=+x x ，求b 的最大值。

（3）若21x x x <<，且a x =2，)()(')(1x x a x f x g --=，求证：2(32)12|()|a a g x +≤。

四、选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 22．选修4－1：几何证明选讲如图，BA 是⊙O 的直径，AD 是切线，BF 、BD 是割线， 求证：BE •BF=BC •BD23．选修4－4：坐标系与参数方程在抛物线y 2=4a(x+a)(a>0)，设有过原点O 作一直线分别 交抛物线于A 、B 两点，如图所示，试求|OA|•|OB|的最小值。

24．选修4—5；不等式选讲设|a|<1，函数f(x)=ax 2+x-a(-1≤x ≤1),证明：|f(x)|≤45yxA BOBC DOE西丰高中高三第二次模拟数学(理科)参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C D D C B C C B D B1B O BD ∴⊥，1AB BD ∴⊥．在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥，1AB ∴⊥平面1A BD ．（2）设1AB 与1A B 交于点G ，在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ，连结AF ，由（Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．1AF A D ∴⊥，AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角． 在1AA D △中，由等面积法可求得45AF =，又1122AG AB == 210sin 455AG AFG AF ∴===∠．所以二面角1A A D B --的大小410解法二：（1）取BC 中点O ，连结AO ．ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥． 在正三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，AD ∴⊥平面11BCC B ． 取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则(100)B ，，，(110)D -，，，1(023)A ，，，(003)A ，，1(120)B ，，， 1(123)AB ∴=，，(210)BD =-，，，1(123)BA =-，，．12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=，1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥．1AB ∴⊥平面1A BD ．（2）设平面1A AD 的法向量为()x y z =，，n ．(113)AD =--，，，1(020)AA =，，．AD ⊥n ，1AA ⊥n ，100AD AA ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，，n n 3020x y z y ⎧-+-=⎪∴⎨=⎪⎩，，03y x z =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩，．zAB C D1A 1C1B O Fy令1z =得(31)=，，n 为平面1A AD 的一个法向量．由（1）知1AB ⊥平面1A BD ，1AB ∴为平面1A BD 的法向量．cos <n ，1113364222AB AB AB -->===-n n ．∴二面角1A A D B --的正弦大小为41020.(1）解法一：易知2,1,3a b c ===所以())123,0,3,0F F -，设(),P x y ，则())22123,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-故-2≤12PF PF ⋅≤1（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线),(),,(,2:2211y x B y x M kx y l -=，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：3k <3k > 又0°<∠MON<90°⇔cos ∠MON>0⇔ON OM ⋅>0 ∴02121>+=⋅y y x x ON OM又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+ ∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得32k -<<32k << （3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为21112222(1214)55(14)x kx k k h k +-+++==+22222222(1214)55(14)x kx k k h k +-+-+==+2215AB =+=，所以四边形AEBF 的面积为121()2S AB h h =+21525(14)k =+214k =+22144214k kk ++=+22≤ 当21k =，即当12k =时，上式取等号．所以S 的最大值为22 解法二：由题设，1BO =，2AO =．设11y kx =，22y kx =，由①得20x >，210y y =->，故四边形AEBF 的面积为BEF AEF S S S =+△△222x y =+222(2)x y =+22222244x y x y =++22222(4)x y +22=当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为22．22.证法一：连接CE ，过B 作⊙O 的切线BG ，则BG ∥AD ∴∠GBC=∠FDB ，又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB 又∠CBE 是△BCE 和△BDF 的公共角 ∴△BCE ∽△BDF ∴BDBEBF BC ，即BE •BF=BC •BD 证法二：连续AC 、AE ，∵AB 是直径，AC 是切线 ∴AB ⊥AD ，AC ⊥BD ，AE ⊥BF由射线定理有AB 2=BC •BD ，AB 2=BE •BF ∴BE •BF=BC •BD23．解：法一，(极坐标)2ρsin 2θ-4a ρsin θ-4a 2=0 ∴|OA||OB|=θ22sin 4a ≤4a 2法二：(参数方程)⎩⎨⎧===ααsin cos t y t x l AB代入y 2=4a(x+a)中得：t 2sin 2α-4atcos α-4a 2=0 |OA||OB|=|t 1t 2|=α22sin 4a ≤4a 224．证：|f(x)|=|a(x 2-1)+x|≤|a(x 2-1)｜+｜x|≤|x 2-1|+|x|=1-x 2+|x|=-(|x|-21)2+45≤45 ∴|f(x)|≤45- 1 -。