2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题浙江卷 Word版含解析

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2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题解析(浙江卷)

2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q = ð（）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A.38cm B.312cm C.3323cm D.3403cm【答案】C.3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >> B.140,0a d dS << C.140,0a d dS >< D.140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A.**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n> B.**,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C.**00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n > D.**00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF --B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6.设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =- ，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“(,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin 2)sin f x x = B.2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D.2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A.A DB α'∠≤ B.A DB α'∠≥ C.A CB α'∠≤ D.A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.双曲线2212x y-=的焦距是，渐近线方程是．10.已知函数223,1()lg(1),1x x f x x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -=，()f x 的最小值是．11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．12.若4log 3a =，则22a a -+=．【答案】334.【解析】13.如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．13.若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅= ，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅= ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈ ，则0x =，0y =，b = ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c .（1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠= ，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.已知椭圆2212x y+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112n n a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.。

2015浙江高考数学理科word版

普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合2{20},{12}P x x x Q x x =-≥=<，则()P Q =R（）．A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（）． A.38cm B. 312cm C.332cm 3 D. 340cm 33. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）．A.10,0n a d dS >>B. 10,0n a d dS <<C. 10,0n a d dS ><D. 10,0n a d dS <>4. 命题“**,()f n n ∀∈∈N N 且()f n n 的否定形式是（）．A. **,()f n n ∀∈∈N N 且()f n n > B. **,()f n n ∀∈∈N N 或()f n n > C. **00,()f n n ∃∈∈N N 且00()f n n > D. **00,()f n n ∃∈∈N N 或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF △与ACF △的面积之比是（）． A.11BF AF -- B.2211BF AF --C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++6. 设,A B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集,A B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集,,A B C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C +．下列判断正确的是（）．A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立俯视图正视图侧视图7. 存在函数()f x 满足，对任意x ∈R 都有（）．A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C.2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC △，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD△折成A CD '△，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）．A. A DB α'∠B. A DB α'∠C. A CB α'∠D. A CB α'∠二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 双曲线2212x y -=的焦距是，渐近线方程是． 10. 已知函数221,1()2lg(1),1x x f x x x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是． 11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是． 12. 若2log 3a =，则22aa-+= ．13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是． 14. 若实数,x y 满足221x y +，则2263x y x y +-+--的最小值是．15. 已知12,e e 是空间单位向量，1212⋅=e e ，若空间向量b 满足1252,2⋅=⋅=b e b e ，且对于任意,x y ∈R ，()12010200()()1,x y x y x y -+-+=∈R b e e b e e ，则0x = ，0y = ，=b ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π4A =，22b a -=122c .(I) 求tan C 的值；(II) 若ABC △的面积为7，求b 的值．17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射B DCB A影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （I ）证明：1A D ⊥平面11A B C ；（II ）求二面角11A BD B --的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数()()2,f x x ax b a b =++∈R ,记(),M a b 是()f x 在区间[]1,1-上的最大值．（I ）证明：当2a 时，(),M a b 2；（II ）当,a b 满足()2,M a b ，求a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． (I) 求实数m 的取值范围； (II) 求AOB △面积的最大值（O 为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且()*21n n n a n a a +=-∈N ． (I)证明： ()1*12nn a n a +∈N ；AB 1x(II)设数列{}2n a 的前n 项和为n S ,证明()*112(2)2(1)n S n n n n +∈+N .。

2015年浙江省高考理科数学试卷及答案

绝密★考试结束前2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B互斥，那么如果事件,A B相互独立，那么如果事件A在一次试验中发生的概率为P,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率台体的体积公式侧视图其中1S,2S分别表示台体的上、下面积，h表示台体的高柱体体积公式V Sh=其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh=其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高球的表面积公式24S Rπ=球的体积公式343V Rπ=其中R表示球的半径一、选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分, 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合P={x|x2-2x≥0}, Q={x|1<x≤2}, 则(C R P)I Q =( )A.[0, 1)B.(0, 2]C.(1, 2)D.[1, 2]2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm), 则该几何体的体积是( )A.8cm3B.12cm3C.332cm3 D.340cm33.已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则( )A. a1d>0, dS4>0B. a1d<0, dS4<0C. a1d>0, dS4<0D. a1d<0, dS4>0xAyFOB C4.命题“*)(*,N n f N n ∈∈∀ 且f (n )≤n ” 的否定形式是( ) A.*)(*,N n f N n ∉∈∀且f (n )>n B.*)(*,N n f N n ∉∈∀或f (n )>n C.*)(*,00N n f N n ∉∈∃且f (n 0)>n 0 D.*)(*,00N n f N n ∉∈∃或f (n 0)>n 05.如图, 设抛物线y 2=4x 的焦点为F , 不经过焦点的直线上有三个不同的点A , B , C , 其中点A , B 在抛物线上, 点C 在y 轴上, 则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.1||1||--AF BFB.1||1||22--AF BFC.1||1||++AF BFD.1||1||22++AF BF6.设A , B 是有限集, 定义d (A , B )=card(A Y B )-card(A I B ), 其中card(A )表示有限集A 中的元素个数,命题①：对任意有限集A , B , “A ≠B ”是“d (A , B )>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A , B , C , d (A , C )≤d (A , B )+ d (B , C ), 则( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立, 命题②不成立 D.命题①不成立, 命题②成立 7.存在函数f (x )满足, 对任意x ∈R 都有( ) A.f (sin2x )=sin x B. f (sin2x )=x 2+xC.f (x 2+1)=|x +1|D.f (x 2+2x )=|x +1|8.如图, 已知△ABC , D 是AB 的中点, 沿直线CD 将△ACD 折成△CD A ', 所成二面角B CD A --'的平面角为α, 则( ) A.DB A '∠≤α B.DB A '∠≥α C.CB A '∠≤α D.CB A '∠≥α二、填空题：本大题共7小题, 多空题每题6分, 单空题每题4分, 共36分。

2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合P ={x X2—2x 3 0}, Q ={x 1 CX 兰2}，则(eRP)P|Q=()A. [0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]Aqd 0,dS h 0 B. a1d :: 0,dS n :: 0A.命题①和命题②都成立C.命题①成立，命题②不成立B.命题①和命题②都不成立D.命题①不成立，命题②成立2、某几何体的三视图如图所示（单位:A.8cm3B. 12cm3C. cm），则该几何体的体积是（3、已知｛a n｝是等差数列，公差比数列，则（）D.40cm3d不为零，前n项和是S n，若a3,a4,a3成等C. qd 0,dS n :: 0D. qd : 0,dS n 04、命题“ -n • N , f (n) • N 且f (n)込n的否定形式是( )A. -n N , f (n) N 且f (n) nB. - n N , f (n) N 或f (n) nC. n0N*, f (n0) N* 且f(n0) n0D. -J n0N*, f (n0) N*或f(n0) n025、如图，设抛物线y =4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点代B,C，其中点代B在抛物线上，点C在y轴上，则.BCF与ACF的面积之比是（）BF -1A.―—AF|-1C吃AF 12BF| -12AF -12BF| +12AF +16.设代B 是有限集，定义d(A,B)二card(AljB) - card (AplB)，表示有限集A中的元素个数,其中card (A) 命题①：对任意有限集代B，“ A = B ”是“ d（A, B） 0 ”的充分必要条件;命题②：对任意有限集代B,C，d（代C）^d（代B） d（B,C），7、存在函数f(x)满足，对任意X. R 都有() 2 A. f (sin2x)=sinxB. f (sin 2x) = x xC. f(x 2+1)=x+1|D. f(x 2+2x) = x +18、如图，已知厶ABC , D 是AB 的中点，沿直线 CD 将 ACD 折成.A CD ，所成二面角 A 〔CD-B 的平面角为：•，则()A. Z A DB < :C. . ACB < :二、填空题：本大题共2 9、双曲线寸=1的焦距是 ________ ，渐近线方程是 ___________ .2 工 2i x +— _i,x 生110、已知函数f(x)二 2，则f(f(-3))= , f (x)的最小值是 _______ .2 lg(x 1),X ：：111、函数f(x) =sin 2x ，sinxcosx ，1的最小正周期是 ________ ，单调递减区间是 ___________a __a12、若 a =log 2 3，则 2 2 二 .13、如图，三棱锥 A - BCD 中，AB 二 AC 二 BD 二 CD = 3,AD 二 BC =2 ,别是A D, B C 勺中点，则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是 __________ .14、若实数x, y 满足x 2+y 2E1，则2x + y —2+|6—x —3y 的最小值是 _____________ .15 15、已知ei,e 2是空间单位向量，巳e 2,若空间向量b 满足be = 2,b®,且对于任意x, y R , 2 2-K b —(xe +ye 2) b -(X 。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(浙江卷)

2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =ð（）A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]2.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A.38cmB. 312cmC.3323cmD.3403cm【答案】C.3.已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4.命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（） A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n > B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A. 11BF AF --B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++6.设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（）A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立7.存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A.(sin2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+8.如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C.A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9.双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10.已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．11.函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．12.若4log 3a =，则22a a -+=．【答案】334. 【解析】13.如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．13.若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．15.已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x =，0y =，b =．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11BC 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112n n a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.1 1 1玉—-—::::2a ,:-I a : 从而可得 1玉a :-1三上(n e/),即可得证2(n + 1) n +2试题解析：(1)由题怠得，a .. a .• = I _1 -. -a : ::::O , 即a ,:-I ::, a .. , a .. _ <一，由a ,:=(I -a 2：-1)a ,:-l 1 得a ,,=(l -a ,,_1)(1-a ,,_)· · ·(1-a 1)芍>0, 由O <a ,,C:::-得2a . a . I 一=·.: =—e [l ,2)a . •即1::::一"-0::2,(2)由题怠得a •. ·=a • -a 气！．．习a ,:-I a ,: -a ,: I -a ,:1 1 a , a . S ,: = a 1 -a ,:-I (D , 由一－－—=�和1竺一"--0::2得a ,:-I a ,: a ,:-Ia ,:-I 1 1 1玉—-—::::2'a :-I a ,: I I ：三—--::::2因此1 红习三上（哇_\''@,由(j)@得2(n + 1) n +2 ） a 习令1S 1玉-"-0::2(n + 2) n 2(n + 1)【考点定位】数列与不等式结合综合题【名师点皓】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，屁于较难题，第一小间易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到—= -=—，再结合已知条件即可得证，第二小a , 习a ,, 1 a ,, 间具有较强的技巧性，首先根据递推公式将＄转化为只与a ,,-1有关的表达式，再结合已知条件得到a ,,-1的取值范围即可得证，此次数列自汉伯＄年之后作为解答题压轴题重出江湖，笾是一个不大不小的怜门（之前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背崇的函数综合题），由千数列综合题常与不等式，函数的毅值，归纳猫想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，鸯要平时一定蚕的训练与积累，在后续复习时应子以关注。

2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析

- 让每一个人同等地提高自我2015 年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8 小题，每题5 分，共 40 分 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学（理科）1．（ 5 分）（ 2015?浙江）已知会合P={x|x 2﹣ 2x ≥0} ，Q={x|1 ＜ x ≤2} ，则（ ?R P ） ∩Q= （） A ．[0，1） B ．（ 0，2] C ．（1， 2） D ．[ 1， 2]2．（ 5 分）（ 2015?浙江）某几何体的三视图如下图（单位： cm ），则该几何体的体积是（）A ．3 B ．12cm 3C ．D ．8cm3．（ 5 分）（ 2015?浙江）已知 {a n } 是等差数列，公差d 不为零，前 n 项和是 S n ，若 a 3， a 4，a 成等比数列，则（）8d ＞ 0，dS ＞ 0 B ． a d ＜ 0， dS ＜ 0 C ． a d ＞0， dS ＜ 0 D ．A ．a 1414141 44．（ 5 分）（ 2015?浙江）命题 “? n ∈N * ， f （ n ）∈N *且 f （n ） ≤n ”的否认形式是（）A ． ? n ∈N * ， f （n ） ? N * 且 f （ n ）＞ nB ．? n ∈N * ， f （ n ） ? N *或 f （ n ）＞ n C ．? n 0∈N * ， f （ n * 且 f （n D ． ?n 0∈N * ， f （ n* 或 f （ n0）?N 0）＞ n 0 0）?N 0）＞ n 05．（ 5 分）（ 2015?浙江）如图，设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，不经过焦点的直线上有三个不一样的点 A ，B ，C ，此中点 A ，B 在抛物线上，点 C 在 y 轴上，则 △ BCF 与 △ ACF 的面积之比是（）- 让每一个人同等地提高自我A．B．C．D．6．（ 5 分）（ 2015?浙江）设 A，B 是有限集，定义： d（A ，B）=card（ A ∪ B ）﹣ card（ A ∩B），此中 card（ A ）表示有限集 A 中的元素个数（）命题① ：对随意有限集 A ，B ，“A ≠B ”是“d（A ， B）＞ 0”的充足必需条件；命题② ：对随意有限集 A ，B ， C， d（ A ， C）≤d（A ， B） +d（B ， C）A．命题① 和命题② 都建立B．命题① 和命题② 都不建立C．命题① 建立，命题② 不建立D．命题① 不建立，命题② 建立7．（ 5 分）（ 2015?浙江）存在函数 f（ x）知足，对随意 x∈R 都有（）A ．f （ sin2x） =sinxB ．f（ sin2x ）=x 2+x C．f（ x2+1） =|x+1| D．f（ x2+2x）=|x+1|8（． 5 分）（ 2015?浙江）如图，已知△ABC ，D 是 AB 的中点，沿直线 CD 将△ ACD 折成△A ′CD ，所成二面角 A ′﹣ CD﹣ B 的平面角为α，则（）A ．∠ A ′DB ≤α B ．∠ A ′DB ≥αC．∠A ′CB≤αD．∠ A ′CB≥α二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．9．（ 6 分）（ 2015?浙江）双曲线=1 的焦距是，渐近线方程是．10（． 6 分）（ 2015?浙江）已知函数（fx）=，则（f（f﹣3））=，f （ x）的最小值是．11．（6 分）（ 2015?浙江）函数 f（ x）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（ 4分）（ 2015?浙江）若a﹣a．a=log43，则 2 +2=13．（ 4分）（ 2015?浙江）如图，三棱锥 A ﹣BCD 中， AB=AC=BD=CD=3， AD=BC=2 ，点M ，N 分别是 AD ，BC 的中点，则异面直线 AN ， CM 所成的角的余弦值是．- 让每一个人同等地提高自我2 214．（ 4 分）（ 2015?浙江）若实数x， y 知足 x +y ≤1，则 |2x+y ﹣ 2|+|6﹣ x﹣ 3y|的最小值是．15．（ 6 分）（ 2015?浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量知足，且对于随意x， y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共 5 小题，共74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（ 14 分）（ 2015?浙江）在△ABC 中，内角 A ，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 A=，b 2﹣a2=c2．（1）求 tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为 3，求 b 的值．17．（ 15 分）（ 2015?浙江）如图，在三棱柱 ABC ﹣ A 1B1C1中，∠ BAC=90 °，AB=AC=2 ，A 1A=4 ， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 是 B 1C1的中点．（1）证明： A 1D⊥平面 A 1BC；（2）求二面角 A 1﹣ BD ﹣ B1的平面角的余弦值．18．（ 15 分）（ 2015?浙江）已知函数 f（ x）=x 2+ax+b （a， b∈R），记 M （a， b）是 |f（ x）| 在区间 [﹣ 1， 1] 上的最大值．（1）证明：当 |a|≥2 时， M（ a， b）≥2；- 让每一个人同等地提高自我（2）当 a，b 知足 M （ a， b）≤2 时，求 |a|+|b|的最大值．19．（ 15 分）（ 2015?浙江）已知椭圆上两个不一样的点A ，B 对于直线y=mx+对称．（1）务实数 m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（ O 为坐标原点）．20．（ 15 分）（ 2015?浙江）已知数列{a n} 知足 a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明： 1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列 {a n 2} 的前 n 项和为 S n，证明（n∈N*）．- 让每一个人同等地提高自我2015 年浙江省高考数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共 40 分 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（浙江卷）数学（理科）1．（ 5 分）考点：交、并、补集的混淆运算．专题：会合．剖析：求出 P 中不等式的解集确立出P，求出 P 补集与 Q 的交集即可．解答：解：由 P 中不等式变形得：x（x﹣ 2）≥0，解得： x≤0 或 x≥2，即 P=（﹣∞， 0]∪ [2， +∞），∴?R P=（0，2），∵Q=（1，2] ，∴（? R P）∩Q= （ 1，2），应选： C．评论：本题考察了交、并、补集的混淆运算，娴熟掌握运算法例是解本题的重点．2．（ 5 分）考点：由三视图求面积、体积．专题：空间地点关系与距离．剖析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是下部为棱长为 2 的正方体，上部是底面为边长 2 的正方形奥为 2 的正四棱锥，所求几何体的体积为： 23+ ×2×2×2=．应选： C．评论：本题考察三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考察计算能力．3．（ 5 分）考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．剖析：由 a3， a， a 成等比数列，获得首项和公差的关系，即可判断 a d 和 dS的符号．4814- 让每一个人同等地提高自我解答：解：设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，则 a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ， a 8=a 1+7d ，由 a 3 4 8成等比数列，得，整理得：．， a ， a∵ d ≠0，∴，∴，=＜0．应选： B ．评论：本题考察了等差数列和等比数列的性质，考察了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（ 5 分）考点：命题的否认．专题：简略逻辑．剖析：依据全称命题的否认是特称命题即可获得结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否认为： ?n 0∈N * ， f （ n 0） ?N *或 f （ n 0）＞ n 0，应选： D ．评论：本题主要考察含有量词的命题的否认，比较基础．5．（ 5 分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：依据抛物线的定义，将三角形的面积关系转变为的关系进行求解即可．解答：解：如下图，抛物线的准线DE 的方程为 x=﹣ 1，过 A ，B 分别作 AE ⊥ DE 于 E ，交 y 轴于 N ， BD ⊥ DE 于 E ，交 y 轴于 M ，由抛物线的定义知 BF=BD ， AF=AE ，则 |BM|=|BD| ﹣ 1=|BF|﹣ 1， |AN|=|AE| ﹣ 1=|AF| ﹣1，则===，应选： A- 让每一个人同等地提高自我评论：本题主要考察三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转变是解决本题的重点．6．（ 5 分）考点：复合命题的真假．专题：会合；简略逻辑．剖析：命题① 依据充要条件分充足性和必需性判断即可，③ 借助新定义，依据会合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对随意有限集A ，B ，若“A ≠B”，则 A ∪ B≠A ∩B ，则 card（A ∪ B）＞ card（ A ∩B ），故“d（ A ， B）＞ 0”建立，若 d（ A ， B）＞ 0”，则 card（ A ∪ B ）＞ card（ A ∩B），则 A ∪B ≠A ∩B ，故 A ≠B 建立，故命题① 建立，命题②，d（A ，B ）=card（ A ∪B ）﹣ card（A ∩B），d（B ，C）=card（B ∪ C）﹣ card（B ∩C），∴d（ A ， B ）+d（ B， C）=card（ A ∪ B）﹣ card（A ∩B） +card（ B∪ C）﹣ card（ B∩C） =[card （A ∪ B） +card（B∪ C） ] ﹣ [card （ A ∩B） +card（ B∩C） ]≥card（ A ∪ C）﹣ card（A ∩C） =d（ A ， C），故命题②建立，应选： A评论：本题考察了，元素和会合的关系，以及逻辑关系，分清会合之间的关系与各会合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考察．会合的元素个数，表现两个会合的关系，但仅依靠元素个数不可以判断会合间的关系，属于基础题．7．（ 5 分）考点：函数分析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．剖析：利用 x 取特别值，经过函数的定义判断正误即可．解答：解：A ．取 x=0 ，则 sin2x=0 ，∴ f（ 0）=0；取 x= ，则 sin2x=0 ，∴ f （ 0） =1；∴f（ 0） =0，和 1，不切合函数的定义；∴不存在函数 f （x），对随意 x∈R 都有 f （ sin2x） =sinx ；B．取 x=0，则 f （ 0） =0；2取 x=π，则 f（0） =π+π；∴f（ 0）有两个值，不切合函数的定义；∴该选项错误；C．取 x=1，则 f （ 2） =2，取 x= ﹣1，则 f（ 2）=0；这样 f （2）有两个值，不切合函数的定义；∴ 该选项错误；D．令 |x+1|=t ，t≥0，则 f（ t 2﹣ 1） =t；- 让每一个人同等地提高自我令 t 2﹣ 1=x ，则 t=；∴；，对随意 x ∈R ，都有 f （ x 2+2x ） =|x+1|；即存在函数 f （ x ） = ∴ 该选项正确．应选： D ．评论：本题考察函数的定义的应用，基本知识的考察，可是思虑问题解决问题的方法比较难．8．（ 5 分）考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．剖析：解：画出图形，分 AC=BC ， AC ≠BC 两种状况议论即可．解答：解： ① 当 AC=BC 时， ∠ A ′DB= α；② 当 AC ≠BC 时，如图，点 A ′投影在 AE 上， α=∠ A ′OE ，连接 AA ′，易得 ∠ ADA ′＜ ∠ AOA ′，∴ ∠ A ′DB ＞∠ A ′OE ，即 ∠A ′DB ＞ α 综上所述， ∠ A ′DB ≥α，应选： B ．评论：本题考察空间角的大小比较，注意解题方法的累积，属于中档题．二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分．9．（ 6 分）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．剖析：确立双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：=1 中， a=， b=1， c=，解：双曲线∴ 焦距是 2c=2 ，渐近线方程是 y= ± x ．故答案为： 2； y=± x ．评论：本题考察双曲线的方程与性质，考察学生的计算能力，比较基础．10．（ 6 分）考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．- 让每一个人同等地提高自我剖析：依据已知函数可先求 f （ ﹣ 3）=1，而后辈入可求 f （ f （ ﹣ 3））；因为 x ≥1 时，f （ x ）= ，当 x ＜ 1 时， f （ x ） =lg （ x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解： ∵ f （ x ）=，∴ f （﹣ 3） =lg10=1 ，则 f （ f （﹣ 3））=f （ 1） =0，当 x ≥1 时， f （ x ） =，即最小值，当 x ＜ 1 时， x 2+1≥1，（ x ） =lg （ x 2+1） ≥0 最小值 0，故 f （ x ）的最小值是．故答案为： 0；．评论：本题主要考察了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6 分）考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单一性．专题：三角函数的求值．剖析：由三角函数公式化简可得f （ x ）= sin （ 2x ﹣ ） + ，易得最小正周期，解不等式2k π+ ≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单一递减区间．解答：解：化简可得 f （ x ） =sin 2x+sinxcosx+1= （1﹣ cos2x ） + sin2x+1=sin （ 2x ﹣ ） + ，∴ 原函数的最小正周期为T==π，由 2k π+≤2x ﹣ ≤2k π+ 可得 k π+≤x ≤k π+ ，∴ 函数的单一递减区间为 [k π+， k π+] （ k ∈Z ）故答案为： π； [k π+， k π+] （ k ∈Z ）评论：本题考察三角函数的化简，波及三角函数的周期性和单一性，属基础题． 12．（ 4 分）考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．剖析：直接把 a 代入 2a +2﹣a，而后利用对数的运算性质得答案．- 让每一个人同等地提高自我解答：解：∵ a=log 43，可知 4a=3，即 2a=，因此 2a+2﹣ a=+=．故答案为：．评论：本题考察对数的运算性质，是基础的计算题．13．（ 4 分）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．剖析：连接 ND ，取 ND的中点为： E，连接 ME 说明异面直线AN ， CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连接 ND ，取 ND 的中点为： E，连接 ME ，则 ME ∥ AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC，∵ AN=2，∴ ME==EN ， MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴ cos∠ EMC===．故答案为：．评论：本题考察异面直线所成角的求法，考察空间想象能力以及计算能力．14．（ 4 分）考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．剖析：﹣ x﹣3y，再议论直线2 2分红依据所给 x， y 的范围，可得 |6﹣ x﹣3y|=62x+y ﹣ 2=0 将圆 x +y =1两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可获得最小值．- 让每一个人同等地提高自我22解答：解：由 x +y ≤1，可得 6﹣x ﹣ 3y ＞ 0，即 |6﹣ x ﹣ 3y|=6﹣ x ﹣ 3y ，如图直线 2x+y ﹣ 2=0 将圆 x 2+y 2=1 分红两部分，在直线的上方（含直线），即有 2x+y ﹣ 2≥0，即 |2+y ﹣ 2|=2x+y ﹣ 2，此时 |2x+y ﹣ 2|+|6﹣ x ﹣3y|=（ 2x+y ﹣ 2） +（ 6﹣ x ﹣ 3y ）=x ﹣ 2y+4，利用线性规划可得在A （，）处获得最小值 3；在直线的下方（含直线），即有 2x+y ﹣ 2≤0，即 |2+y ﹣ 2|=﹣（ 2x+y ﹣ 2），此时 |2x+y ﹣ 2|+|6﹣ x ﹣3y|=﹣（ 2x+y ﹣ 2） +（ 6﹣ x ﹣ 3y ） =8 ﹣ 3x ﹣ 4y ，利用线性规划可得在A （，）处获得最小值3．综上可得，当 x= ， y= 时， |2x+y ﹣ 2|+|6﹣ x ﹣ 3y|的最小值为 3．故答案为： 3．评论：本题考察直线和圆的地点关系，主要考察二元函数在可行域内获得最值的方法，属于中档题．15．（ 6 分）考点：空间向量的数目积运算；平面向量数目积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．剖析：? ＞ = ，不如设 =（，， 0）， =（ 1， 0， 0），由由题意和数目积的运算可得＜已知可解 =（，， t ），可得 | ﹣（|2=（ x+）2+ （ y ﹣ 2）2+t 2，由题意可得当 x=x 0=1 0时，（ x+222 取最小值1，由模长公式可得|．， y=y =2 ） + （y ﹣ 2） +t- 让每一个人同等地提高自我解答：解： ∵ ? =| || |cos ＜ ? ＞=cos ＜ ? ＞= ，∴ ＜ ? ＞ = ，不如设 =（，，0）， =（ 1， 0，0）， =（ m ， n ， t ），则由题意可知 = m+n=2，=m=，解得 m= ，n= ，∴=（，， t ），∵ ﹣（）=（ ﹣ x ﹣ y ，， t ），∴| ﹣（|2=（ ﹣ x ﹣ y ） 2+（） 2+t 2=x 2+xy+y 2﹣ 4x ﹣5y+t 2+7= （ x+ ）2+ （ y ﹣ 2） 2+t 2，由题意当 x=x 0 ， y=y 0=2 时，（ x+ 22 2 取最小值 1，=1 ） +（ y ﹣ 2） +t 此时 t 2=1，故|==2故答案为： 1；2； 2评论：本题考察空间向量的数目积，波及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5 小题，共 16．（ 14 分）考点：余弦定理．专题：解三角形．剖析：（ 1）由余弦定理可得：74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22 2．可得，a= ．利，已知 b ﹣ a = c用余弦定理可得 cosC ．可得 sinC=，即可得出 tanC=．（ 2）由=×=3，可得 c ，即可得出 b ．解答：解：（ 1）∵ A= ，∴ 由余弦定理可得：， ∴ b 2﹣ a 2= bc ﹣c 2，又 b 2﹣ a 2= c 2． ∴ bc ﹣ c 2= c 2．∴ b= c ．可得，∴ a 2=b 2﹣=，即 a=．∴ cosC= = = ．∵ C ∈（ 0， π），∴ sinC==．∴ tanC==2．- 让每一个人同等地提高自我（2）∵=×=3，解得 c=2．∴=3 ．评论：本题考察了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（ 15 分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判断．专题：空间地点关系与距离；空间角．剖析：（ 1）以 BC 中点 O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，经过?=?=0 及线面垂直的判断定理即得结论；（2）所求值即为平面 A1BD 的法向量与平面 B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（ 1）证明：如图，以 BC 中点 O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x、y、 z 轴建系．则 BC=AC=2，A 1O==，易知 A1（0，0，），B（， 0， 0）， C（﹣， 0， 0），A （0，，0）， D（ 0，﹣，）， B1（，﹣，），=（ 0，﹣， 0），=（﹣，﹣，），=（﹣， 0， 0），=（﹣ 2， 0， 0），=（ 0， 0，），∵?=0，∴A 1D⊥ OA 1，又∵?=0，∴A1D⊥BC，又∵ OA 1∩BC=O ，∴A 1D⊥平面 A 1BC ；（ 2）解：设平面 A 1BD 的法向量为=（ x， y， z），由，得，取 z=1，得 =（， 0， 1），设平面 B1BD 的法向量为=（ x， y， z），由，得，取 z=1，得 =（ 0，， 1），- 让每一个人同等地提高自我∴ cos ＜，＞ == = ，又 ∵ 该二面角为钝角，∴ 二面角 A 1﹣BD ﹣ B 1 的平面角的余弦值为﹣．评论：本题考察空间中线面垂直的判断定理，考察求二面角的三角函数值，注意解题方法的累积，属于中档题．18．（ 15 分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．剖析：（ 1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由 a 的范围明确函数的单一性，联合已知以及三角不等式变形所求获得证明；（ 2）议论 a=b=0 以及剖析 M （ a ， b ） ≤2 获得﹣3≤a+b ≤1 且﹣ 3≤b ﹣a ≤1，进一步求出 |a|+|b|的求值．解答：解：（ 1）由已知可得 f （ 1） =1+a+b ， f （﹣ 1） =1﹣ a+b ，对称轴为 x=﹣ ，因为 |a|≥2，因此或≥1，因此函数 f （x ）在 [﹣ 1，1] 上单一，因此 M （ a ，b ）=max{|f （ 1），|f （﹣ 1）|}=max{|1+a+b| ， |1﹣ a+b|} ，因此 M （ a ，b ）≥（ |1+a+b|+|1﹣ a+b|）≥ （| 1+a+b ）﹣（ 1﹣ a+b ） |≥ |2a|≥2；（ 2）当 a=b=0 时， |a|+|b|=0 又 |a|+|b|≥0，因此 0 为最小值，切合题意；又对随意 x ∈[﹣ 1， 1] ．有﹣ 2≤x 2+ax+b ≤2 获得﹣3≤a+b ≤1 且﹣ 3≤b ﹣a ≤1，易知 |a|+|b|=max{|a ﹣ b|，因此 |a|+|b|的最大值为 3．评论：本题考察了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的重点是正确理解M （ a ， b ）是 |f （ x ） |在区间 [﹣ 1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（ 15 分）考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．剖析：（ 1）由题意，可设直线 AB 的方程为 x= ﹣ my+n ，代入椭圆方程可得（ m 2+2） y 2﹣ 2mny+n 2﹣2=0 ，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2， y 2）．可得 △ ＞0，设线段 AB 的中点 P （x 0， y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得 P ，代入直线 y=mx+ ，可得，代入 △ ＞ 0，即可解出．（ 2）直线 AB 与 x 轴交点横坐标为 n ，可得 S △ OAB = ，再利用均值不等式即可得出．解答：AB 的方程为 x= ﹣ my+n ，代入椭圆方程2解：（ 1）由题意，可设直线，可得（ m +2）y 2﹣ 2mny+n 2﹣ 2=0 ，设 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）．由题意， △=4m 2n 2﹣ 4（ m 2+2 ）（n 2﹣ 2） =8 （m 2﹣ n 2+2）＞ 0，设线段 AB 的中点 P （ x 0， y 0），则． x 0=﹣ m × +n= ，因为点 P 在直线 y=mx+ 上， ∴= + ，∴，代入 △ ＞ 0，可得 3m 4+4m 2﹣ 4＞ 0，解得 m 2， ∴或 m．（ 2）直线 AB 与 x 轴交点纵坐标为n ，∴ S △OAB == |n|? =，由均值不等式可得： n 2（ m 2﹣ n 2+2）= ，∴ S △AOB= ，当且仅当2 2 2 2 2，又 ∵，解得n =m ﹣n +2，即 2n =m +2 m= ，当且仅当 m=时， S △ AOB 获得最大值为．评论：本题考察了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆订交问题转变为方程联立可得根与系数式的性，考了推理能力与算能力，属于．20．（ 15 分）考点：数列的乞降；数列与不等式的合．：新型；点列、数列与数学法．剖析：（ 1）通意易得0＜ a n*），利用 a n n+1可得≥1，利用≤（ n∈N a ===≤2，即得；（ 2）通=a n a n+1累加得 S n=a n+1，利用数学法可明≥a n≥（ n≥2），进而≥≥，化即得．解答：明：（ 1）由意可知：0＜ a n* ），≤（ n∈N又∵ a2=a1=，∴ = =2，又∵ a n a n+1=，∴ a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴ 1≤≤2（n∈N *）；（ 2）由已知，=a n a n+1，=a n﹣1 a n，⋯，=a 1a2，累加，得 S n=++⋯+1n+1n+1 =a a = a ，易知当 n=1 ，要式子然建立；当 n≥2 ，=．下边明：≥a n≥（n≥2）．易知当 n=2 建立，假当n=k 也建立，a k+1=+，- 让每一个人同等地提高自我由二次函数单一性知：a n+1≥﹣ + = ≥ ，a n+1≤﹣ + = ≤ ，∴ ≤ ≤ ，即当 n=k+1 时仍旧建立，故对 n ≥2，均有≥a n ≥ ，∴= ≥ ≥ = ，即（n ∈N *）．评论：本题是一道数列与不等式的综合题，考察数学概括法，对表达式的灵巧变形是解决本题的重点，注意解题方法的累积，属于难题．。

2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析

2015年浙江省高考数学试卷(理科)附详细解析2015年浙江省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（∁R P）∩Q=（）A．[0，1） B．（0，2]C．（1，2）D．[1，2]2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞04．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 05．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC，D 是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）A ．∠A′DB≤αB．∠A′DB≥αC．∠A′CB≤αD．∠A′CB≥α二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．11．（6分）（2015•浙江）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）（2015•浙江）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N 分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM 所成的角的余弦值是．14．（4分）（2015•浙江）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b 2﹣a 2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f（x）=x2+ax+b （a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）1．（5分）（2015•浙江）已知集合P={x|x 2﹣2x ≥0}，Q={x|1＜x ≤2}，则（∁R P ）∩Q=（） A ． [0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ． [1，2] 考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出P 中不等式的解集确定出P ，求出P 补集与Q 的交集即可．解答：解：由P 中不等式变形得：x （x ﹣2）≥0，解得：x ≤0或x ≥2，即P=（﹣∞，0]∪[2，+∞），∴∁R P=（0，2）， ∵Q=（1，2]，∴（∁R P ）∩Q=（1，2），故选：C ．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．（5分）（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A ． 8cm 3B ． 12cm 3C ．D ．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：判断几何体的形状，利用三视图的数据，求几何体的体积即可．解解：由三视图可知几何体是下部为棱长为2答：的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：23+×2×2×2=．故选：C ．点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力．3．（5分）（2015•浙江）已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则（）A ． a 1d ＞0，dS 4＞0B ． a 1d ＜0，dS 4＜0C ． a 1d ＞0，dS 4＜0D ． a 1d ＜0，dS 4＞0考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：由a 3，a 4，a 8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a 1d 和dS 4的符号．解答：解：设等差数列{a n }的首项为a 1，则a 3=a 1+2d ，a 4=a 1+3d ，a 8=a 1+7d ，由a 3，a 4，a 8成等比数列，得，整理得：．∵d ≠0，∴，∴，=＜0．故选：B ．点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．4．（5分）（2015•浙江）命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（） A ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞n B ． ∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞n C ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *且f （n 0）＞n 0 D ． ∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分根据全称命题的否定是特称命题即可得到析：结论．解答：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f（n 0）＞n 0，故选：D ．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．（5分）（2015•浙江）如图，设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是（）A ．B ．C ．D ．考点：直线与圆锥曲线的关系．专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分析：根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．解答：解：如图所示，抛物线的准线DE 的方程为x=﹣1，过A ，B 分别作AE ⊥DE 于E ，交y 轴于N ，BD ⊥DE 于E ，交y 轴于M ，由抛物线的定义知BF=BD ，AF=AE ，则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1， |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1，则===，故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键．6．（5分）（2015•浙江）设A ，B 是有限集，定义：d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数（）命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ）A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立 C ．命题①成立，命题②不成立 D ．命题①不成立，命题②成立考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析：命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义，根据集合的运算，判断即可．解答：解：命题①：对任意有限集A ，B ，若“A ≠B ”，则A ∪B ≠A ∩B ，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），故“d （A ，B ）＞0”成立，若d （A ，B ）＞0”，则card （A ∪B ）＞card （A ∩B ），则A ∪B ≠A ∩B ，故A ≠B 成立，故命题①成立，命题②，d （A ，B ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ），d （B ，C ）=card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ），∴d （A ，B ）+d （B ，C ）=card （A ∪B ）﹣card （A ∩B ）+card （B ∪C ）﹣card （B ∩C ）=[card （A ∪B ）+card （B ∪C ）]﹣[card （A ∩B ）+card （B ∩C ）]≥card （A ∪C ）﹣card （A ∩C ）=d （A ，C ），故命题②成立，故选：A 点评：本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分）（2015•浙江）存在函数f （x ）满足，对任意x ∈R 都有（）A ． f （sin2x ）=sinxB ． f （sin2x ）=x 2+xC ． f （x 2+1）=|x+1|D ． f （x 2+2x ）=|x+1|考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用x 取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．解答：解：A ．取x=0，则sin2x=0，∴f （0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f （0）=1；∴f （0）=0，和1，不符合函数的定义； ∴不存在函数f （x ），对任意x ∈R 都有f （sin2x ）=sinx ；B ．取x=0，则f （0）=0；取x=π，则f （0）=π2+π；∴f （0）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；C ．取x=1，则f （2）=2，取x=﹣1，则f （2）=0；这样f （2）有两个值，不符合函数的定义； ∴该选项错误；D ．令|x+1|=t ，t ≥0，则f （t 2﹣1）=t ；令t 2﹣1=x ，则t=；∴；即存在函数f （x ）=，对任意x ∈R ，都有f （x 2+2x ）=|x+1|； ∴该选项正确．故选：D ．点评：本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8．（5分）（2015•浙江）如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD ，所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α，则（）A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′D B ≥αC ． ∠A ′C B ≤αD ． ∠A ′C B ≥α考点：二面角的平面角及求法．专题：创新题型；空间角．分析：解：画出图形，分AC=BC ，AC ≠BC 两种情况讨论即可．解答：解：①当AC=BC 时，∠A ′DB=α； ②当AC ≠BC 时，如图，点A ′投影在AE上，α=∠A ′OE ，连结AA ′，易得∠ADA ′＜∠AOA ′，∴∠A ′DB ＞∠A ′OE ，即∠A ′DB ＞α 综上所述，∠A ′DB ≥α，故选：B ．点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）（2015•浙江）双曲线=1的焦距是2 ，渐近线方程是 y=±x ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答：解：双曲线=1中，a=，b=1，c=， ∴焦距是2c=2，渐近线方程是y=±x ．故答案为：2；y=±x ．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．10．（6分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=，则f （f （﹣3））= 0 ，f （x ）的最小值是．考函数的值．点：专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据已知函数可先求f （﹣3）=1，然后代入可求f （f （﹣3））；由于x ≥1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=lg （x 2+1），分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f （x ）=，∴f （﹣3）=lg10=1，则f （f （﹣3））=f （1）=0，当x ≥1时，f （x ）=，即最小值，当x ＜1时，x 2+1≥1，（x ）=lg （x 2+1）≥0最小值0，故f （x ）的最小值是．故答案为：0；．点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题．11．（6分）（2015•浙江）函数f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π+，k π+]（k ∈Z ）．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：由三角函数公式化简可得f （x ）=sin （2x ﹣）+，易得最小正周期，解不等式2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得函数的单调递减区间．解答：解：化简可得f （x ）=sin 2x+sinxcosx+1 =（1﹣cos2x ）+sin2x+1=sin （2x ﹣）+，∴原函数的最小正周期为T==π，由2k π+≤2x ﹣≤2k π+可得k π+≤x ≤k π+，∴函数的单调递减区间为[k π+，k π+]（k ∈Z ）故答案为：π；[k π+，k π+]（k ∈Z ）点本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的评：周期性和单调性，属基础题．12．（4分）（2015•浙江）若a=log 43，则2a +2﹣a = ．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：直接把a 代入2a +2﹣a ，然后利用对数的运算性质得答案．解答：解：∵a=log 43，可知4a =3，即2a =，所以2a +2﹣a =+=．故答案为：．点评：本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13．（4分）（2015•浙江）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M ，N分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME 说明异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC 通过解三角形，求解即可．解答：解：连结ND ，取ND 的中点为：E ，连结ME ，则ME ∥AN ，异面直线AN ，CM 所成的角就是∠EMC ， ∵AN=2，∴ME==EN ，MC=2，又∵EN ⊥NC ，∴EC==，∴cos ∠EMC===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（4分）（2015•浙江）若实数x ，y 满足x 2+y 2≤1，则|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值是 3 ．考点：函数的最值及其几何意义．专题：不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x ，y 的范围，可得|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，再讨论直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值．解答：解：由x 2+y 2≤1，可得6﹣x ﹣3y ＞0，即|6﹣x ﹣3y|=6﹣x ﹣3y ，如图直线2x+y ﹣2=0将圆x 2+y 2=1分成两部分，在直线的上方（含直线），即有2x+y ﹣2≥0，即|2+y ﹣2|=2x+y ﹣2，此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=x ﹣2y+4，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3；在直线的下方（含直线），即有2x+y ﹣2≤0，即|2+y ﹣2|=﹣（2x+y ﹣2），此时|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|=﹣（2x+y ﹣2）+（6﹣x ﹣3y ）=8﹣3x ﹣4y ，利用线性规划可得在A （，）处取得最小值3．综上可得，当x=，y=时，|2x+y ﹣2|+|6﹣x ﹣3y|的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分）（2015•浙江）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x ，y ∈R ，，则x 0=1 ，y 0=2 ，|= 2 ．考点：空间向量的数量积运算；平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析：由题意和数量积的运算可得＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），由已知可解=（，，t ），可得|﹣（|2=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意可得当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，由模长公式可得|．解答：解：∵•=||||cos ＜•＞=cos ＜•＞=，∴＜•＞=，不妨设=（，，0），=（1，0，0），=（m ，n ，t ），则由题意可知=m+n=2，=m=，解得m=，n=，∴=（，，t ）， ∵﹣（）=（﹣x ﹣y ，，t ）， ∴|﹣（|2=（﹣x ﹣y ）2+（）2+t 2 =x 2+xy+y 2﹣4x ﹣5y+t 2+7=（x+）2+（y ﹣2）2+t 2，由题意当x=x 0=1，y=y 0=2时，（x+）2+（y ﹣2）2+t 2取最小值1，此时t 2=1，故|==2故答案为：1；2；2 点评：本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分）（2015•浙江）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A=，b 2﹣a 2=c 2．（1）求tanC 的值；（2）若△ABC 的面积为3，求b 的值．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由余弦定理可得：，已知b 2﹣a 2=c 2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC ．可得sinC=，即可得出tanC=．（2）由=×=3，可得c ，即可得出b ．解答：解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b 2﹣a 2=bc ﹣c 2，又b 2﹣a 2=c 2．∴bc ﹣c 2=c 2．∴b=c ．可得，∴a 2=b 2﹣=，即a=． ∴cosC===．∵C ∈（0，π）， ∴sinC==． ∴tanC==2．（2）∵=×=3，解得c=2．∴=3．点评：本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（15分）（2015•浙江）如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A 1A=4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 是B 1C 1的中点．（1）证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系，通过•=•=0及线面垂直的判定定理即得结论；（2）所求值即为平面A 1BD 的法向量与平面B 1BD 的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．解答：（1）证明：如图，以BC 中点O 为坐标原点，以OB 、OA 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建系．则BC=AC=2，A 1O==，易知A 1（0，0，），B （，0，0），C （﹣，0，0），A （0，，0），D （0，﹣，），B 1（，﹣，），=（0，﹣，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，0，0），=（﹣2，0，0），=（0，0，），∵•=0，∴A 1D ⊥OA 1，又∵•=0，∴A 1D ⊥BC ，又∵OA 1∩BC=O ，∴A 1D ⊥平面A 1BC ；（2）解：设平面A 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（，0，1），设平面B 1BD 的法向量为=（x ，y ，z ），由，得，取z=1，得=（0，，1）， ∴cos ＜，＞===，又∵该二面角为钝角，∴二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值为﹣．点评：本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．18．（15分）（2015•浙江）已知函数f （x ）=x 2+ax+b （a ，b ∈R ），记M （a ，b ）是|f （x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M （a ，b ）≥2；（2）当a ，b 满足M （a ，b ）≤2时，求|a|+|b|的最大值．考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：函数的性质及应用．分析：（1）明确二次函数的对称轴，区间的端点值，由a 的范围明确函数的单调性，结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2）讨论a=b=0以及分析M （a ，b ）≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，进一步求出|a|+|b|的求值．解答：解：（1）由已知可得f （1）=1+a+b ，f （﹣1）=1﹣a+b ，对称轴为x=﹣，因为|a|≥2，所以或≥1，所以函数f （x ）在[﹣1，1]上单调，所以M （a ，b ）=max{|f （1），|f （﹣1）|}=max{|1+a+b|，|1﹣a+b|}，所以M （a ，b ）≥（|1+a+b|+|1﹣a+b|）≥|（1+a+b ）﹣（1﹣a+b ）|≥|2a|≥|a|≥2；（2）当a=b=0时，|a|+|b|=0又|a|+|b|≥0，所以0为最小值，符合题意；又对任意x ∈[﹣1，1]．有﹣2≤x 2+ax+b ≤2得到﹣3≤a+b ≤1且﹣3≤b ﹣a ≤1，易知|a|+|b|=max{|a ﹣b|，|a+b|}=3，在b=﹣1，a=2时符合题意，所以|a|+|b|的最大值为3．点评：本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M （a ，b ）是|f（x ）|在区间[﹣1，1]上的最大值，以及利用三角不等式变形．19．（15分）（2015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A ，B 关于直线y=mx+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．可得△＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），利用中点坐标公式及其根与系数的可得P ，代入直线y=mx+，可得，代入△＞0，即可解出．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，可得S △OAB =，再利用均值不等式即可得出．解答：解：（1）由题意，可设直线AB 的方程为x=﹣my+n ，代入椭圆方程，可得（m 2+2）y 2﹣2mny+n 2﹣2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由题意，△=4m 2n 2﹣4（m 2+2）（n 2﹣2）=8（m 2﹣n 2+2）＞0，设线段AB 的中点P （x 0，y 0），则．x 0=﹣m ×+n=，由于点P 在直线y=mx+上，∴=+，∴，代入△＞0，可得3m 4+4m 2﹣4＞0，解得m 2，∴或m ．（2）直线AB 与x 轴交点横坐标为n ，∴S△OAB==|n|•=，由均值不等式可得：n 2（m 2﹣n 2+2）=，∴S△AOB=，当且仅当n 2=m 2﹣n 2+2，即2n 2=m 2+2，又∵，解得m=，当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．点评：本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（15分）（2015•浙江）已知数列{a n }满足a 1=且a n+1=a n ﹣a n 2（n ∈N *）（1）证明：1≤≤2（n ∈N *）；（2）设数列{a n 2}的前n 项和为S n ，证明（n ∈N *）．考点：数列的求和；数列与不等式的综合．专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）通过题意易得0＜a n ≤（n ∈N *），利用a n ﹣a n+1=可得≥1，利用==≤2，即得结论；（2）通过=a n ﹣a n+1累加得S n =﹣a n+1，利用数学归纳法可证明≥a n ≥（n ≥2），从而≥≥，化简即得结论．解答：证明：（1）由题意可知：0＜a n ≤（n ∈N *），又∵a 2=a1﹣=，∴==2，又∵a n﹣a n+1=，∴a n＞a n+1，∴≥1，∴==≤2，∴1≤≤2（n∈N*）；（2）由已知，=a n﹣a n+1，=a n﹣1﹣a n，…，=a 1﹣a2，累加，得S n=++…+=a1﹣a n+1=﹣a n+1，易知当n=1时，要证式子显然成立；当n≥2时，=．下面证明：≥a n≥（n≥2）．易知当n=2时成立，假设当n=k时也成立，则a k+1=﹣+，由二次函数单调性知：a n+1≥﹣+=≥，a n+1≤﹣+=≤，∴≤≤，即当n=k+1时仍然成立，故对n≥2，均有≥a n≥，∴=≥≥=，即（n ∈N *）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。

2015年浙江省高考数学试卷(理科)试题与解析

2015年浙江省高考数学试卷（理科)及答案解析版一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是，渐近线方程是．10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f （x）的最小值是．11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是，单调递减区间是．12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是．15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=，y0=，|=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．17．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．2015年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）22．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）D+3．（5分）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，成等比数列，得．，∴∴=**5．（5分）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）C D根据抛物线的定义，将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可．==，6．（5分）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（）命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件；x=t=∴=8．（5分）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线=1的焦距是2，渐近线方程是y=±x．解：双曲线，c=，渐近线方程是±；±10．（6分）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=0，f（x）的最小值是．，=）的最小值是；11．（6分）函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是π，单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z）．sin），易得最小正周期，解不等式+﹣可得函数的单调递减区间．（sin2x+1sin），T==≤+≤，+]，]12．（4分）若a=log43，则2a+2﹣a=．，+=故答案为：13．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．，=EN MC=2EC===．故答案为：．14．（4分）若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y﹣2|+|6﹣x﹣3y|的最小值是3．，）处取得最小值，）处取得最小值x=y=15．（6分）已知是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意x，y∈R，，则x0=1，y0=2，|=2．由题意和数量积的运算可得＜•，不妨设=（，，，，由已知可解（，|﹣（|）（x+）（由模长公式可得解：∵=|||＞＜＞，•＞，不妨设（，，，=n=2，，解得n=，∴=，∵﹣（）（﹣∴|﹣（|﹣x（）（）（，故=2三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；（2）若△ABC的面积为3，求b的值．由余弦定理可得：=可得sinC=，即可得出tanC=）由=×A=，由余弦定理可得：bc=．∴=．∴c．可得﹣cosC=．==2）∵×c=2∴=317．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．•==0AC=2，=）（，，，﹣，，﹣，，，（﹣，﹣）（﹣，=∵•又∵•的法向量为，得，得=的法向量为，得，得=，，＞=，的平面角的余弦值为﹣．18．（15分）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），记M（a，b）是|f（x）|在区间[﹣1，1]上的最大值．（1）证明：当|a|≥2时，M（a，b）≥2；（2）当a，b满足M（a，b）≤2时，求|a|+|b|的最大值．﹣，所以或≥||2a|19．（15分）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．y=mx+可得=，代入椭圆方程，可得，则×+n=上，∴+∴2，∴===，AOB=，又∵取得最大值为20．（15分）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{a n2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．≤可得通过利用数学归纳法可证明（≥（﹣，∴=，∴∴≤）由已知，=a++=下面证明：≥（﹣，+=，﹣=≤∴≤，均有≥∴=≥，（。

2015年浙江省高考数学试卷(理科)解析

20１５年浙江省高考数学试卷（理科)一、选择题:本大题共８小题,每小题5分,共４0分2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学（理科)1.（5分)（2０1５•浙江）已知集合Ｐ=｛x|x２﹣2ｘ≥0｝,Q=｛x｜1＜ｘ≤2},则(∁RＰ）∩Q=（）Ａ. ［0，１) B. (0，2]C．(１，２）D．[１,2]2．(5分）(201５•浙江)某几何体的三视图如图所示(单位:cｍ),则该几何体的体积是（）Ａ. ８cm3B．12cm３ C. D．3.(5分)（201５•浙江)已知{ａn｝是等差数列，公差ｄ不为零,前ｎ项和是S n,若a3，a4，a8成等比数列,则（）A. a1d＞0,dS4>0 B．a１ｄ<0,ｄS4<0 C. a1d＞0,dS４＜０D．a1d＜０,ｄS4>０4．（5分）(２015•浙江)命题“∀n∈N＊,ｆ(n)∈Ｎ*且f（n）≤n"的否定形式是( ) A．∀n∈N＊,f(n）∉N＊且f(n)>ｎB．∀n∈N*,f(ｎ)∉N*或ｆ(n)＞nC．∃n0∈N*,f(n０）∉Ｎ*且f(n0)>n0 D. ∃n0∈Ｎ*,f（n０）∉Ｎ*或f(n０)＞ｎ0５.(５分)（2015•浙江)如图,设抛物线ｙ2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,Ｂ,C，其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上,则△BＣＦ与△AＣＦ的面积之比是（）Ａ． B. C． D.６.(5分）（2015•浙江）设A,B是有限集,定义：d（A,B）=ｃａｒd(A∪B)﹣ｃard（A∩Ｂ），其中caｒｄ（A)表示有限集A中的元素个数（）命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d（A,Ｂ）＞0”的充分必要条件；命题②:对任意有限集A，B,C，d（A，C)≤d(A,B）+d(B，Ｃ）Ａ．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立7.（5分）（201５•浙江)存在函数f(x)满足，对任意x∈R都有()Ａ．f(sin２x)=sｉｎx B. f(sin2x）=x2+ｘC. f(x2+1）=｜ｘ+1｜Ｄ. f（x２+2x)＝|x＋１|8．(5分）（2０15•浙江)如图,已知△ABC,D是AＢ的中点,沿直线CD将△ACD折成△A′CD,所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则()A．∠Ａ′DＢ≤αB．∠A′ＤB≥α C. ∠A′CB≤α D. ∠Ａ′CB≥α二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分，共36分．９.(6分）(２01５•浙江)双曲线=1的焦距是,渐近线方程是．1０.(6分)(2０１５•浙江)已知函数ｆ(ｘ）=,则ｆ（f（﹣3））=,ｆ(x）的最小值是．1１.（６分)(２0１５•浙江）函数f（x)=ｓin2x+sinxcosx＋1的最小正周期是,单调递减区间是．12．（４分）(２015•浙江）若a=ｌog４3，则2a+2﹣a＝．13.（4分)（2015•浙江)如图，三棱锥Ａ﹣BＣD中，AＢ=ＡC＝BD=CD=3,AD＝ＢC=2，点M，N分别是AD,ＢＣ的中点,则异面直线AN，ＣＭ所成的角的余弦值是．14.(4分）（2０15•浙江)若实数x,y满足x2+ｙ2≤1,则｜２x+y﹣２｜+｜6﹣x﹣3ｙ|的最小值是.15．(6分）(2０１5•浙江)已知是空间单位向量，,若空间向量满足,且对于任意ｘ，y∈Ｒ,，则ｘ０＝,ｙ0=，｜＝.三、解答题:本大题共５小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(1４分)(2０15•浙江）在△ABC中，内角A，B,C所对的边分别为a，b,c，已知A＝，b2﹣a2=c２.（1）求tanC的值;（2)若△ABC的面积为3,求ｂ的值．１７．(15分)（2015•浙江)如图,在三棱柱ABC﹣A1Ｂ1Ｃ1中，∠BＡC=90°，AB=AC=2，A1Ａ=4，A１在底面ABC的射影为ＢC的中点，D是Ｂ1C1的中点．（１）证明:A1D⊥平面A1BC;（2)求二面角A1﹣BD﹣Ｂ１的平面角的余弦值.18.（１５分）(２０15•浙江)已知函数ｆ(x)=ｘ2＋ａx+b（ａ,b∈R）,记M(ａ，b)是｜ｆ（x)|在区间[﹣1,1]上的最大值．（1）证明：当｜a｜≥２时,M(a,b)≥2；(2)当ａ，ｂ满足M（a,b)≤２时，求｜a｜+|b|的最大值.19．(１5分)(２015•浙江）已知椭圆上两个不同的点A，B关于直线y=ｍx+对称.（１)求实数m的取值范围;（2)求△ＡOB面积的最大值（O为坐标原点）.20.（1５分)(2０１5•浙江）已知数列{ａn}满足a1=且a n＋1=a n﹣aｎ2(n∈N*）(1)证明:1≤≤2(n∈N*）;(2)设数列{a n2｝的前n项和为Sｎ，证明（n∈Ｎ＊)．20１5年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题５分，共40分２015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷）数学(理科）1．(5分)考点：交、并、补集的混合运算．专题: 集合．分析:求出P中不等式的解集确定出Ｐ,求出P补集与Ｑ的交集即可.解答：解：由Ｐ中不等式变形得:ｘ（x﹣2)≥0,解得:x≤0或x≥2，即Ｐ=(﹣∞,０］∪［2,+∞)，∴∁ＲP＝（０,2），∵Q=(1,2］,∴(∁R P)∩Q=(1,2）,故选:C．点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.2．(5分)考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析:判断几何体的形状，利用三视图的数据,求几何体的体积即可．解答:解：由三视图可知几何体是下部为棱长为２的正方体，上部是底面为边长2的正方形奥为2的正四棱锥，所求几何体的体积为：2３+×2×2×2=.故选:C.点评：本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法,考查计算能力．3．(5分)考点：等差数列与等比数列的综合．专题: 等差数列与等比数列．分析:由ａ3，a4，a8成等比数列,得到首项和公差的关系，即可判断a1d和ｄS4的符号.解答:解:设等差数列{a}的首项为ａ1,则a3=ａ1+2d,a4=a1＋3ｄ,a８=a1+7d,ｎ由ａ3，a４，a８成等比数列，得,整理得:.∵ｄ≠0,∴,∴，=<0.故选:B.点评:本题考查了等差数列和等比数列的性质,考查了等差数列的前n项和，是基础题.4．(5分)考点: 命题的否定．专题：简易逻辑．分析:根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答:解:命题为全称命题,则命题的否定为:∃n０∈N*,f（n0)∉N*或f(n0)>n0,故选:Ｄ．点评:本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5．(5分）考点: 直线与圆锥曲线的关系．专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为的关系进行求解即可.解答：解:如图所示，抛物线的准线ＤＥ的方程为x=﹣1，过Ａ,B分别作AE⊥DE于Ｅ,交y轴于N,BD⊥ＤE于E,交y轴于Ｍ,由抛物线的定义知BF＝BD，ＡF=AE，则|BM|＝|BＤ|﹣１=｜BＦ|﹣1,|AN|＝|AE|﹣1=|AF｜﹣1，则===,故选：A点评：本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键.6.（5分)考点：复合命题的真假．专题：集合；简易逻辑．分析:命题①根据充要条件分充分性和必要性判断即可，③借助新定义,根据集合的运算,判断即可.解答:解：命题①：对任意有限集A，B，若“A≠B”，则A∪B≠Ａ∩B,则ｃaｒd（A∪B)>card（Ａ∩B）,故“d（Ａ，B)＞0”成立,若ｄ（A,B)＞0”，则ｃａrd（A∪B)>card(A∩B），则A∪B≠A∩B,故A≠B成立,故命题①成立，命题②，d(A,B)＝carｄ（A∪Ｂ）﹣carｄ（A∩B),d(B,Ｃ)=cａｒｄ(B∪C）﹣card（B∩C),∴d（A,Ｂ）+d(B，Ｃ)＝card（A∪B)﹣card（A∩Ｂ)+cａrd(Ｂ∪Ｃ)﹣caｒd（B∩C)=[ｃard(A∪Ｂ)＋card(Ｂ∪C）］﹣[card（A∩Ｂ)+caｒｄ(B∩C)］≥ｃａrd(A∪C)﹣caｒd(A∩C）=d(Ａ,C）,故命题②成立,故选:A点评:本题考查了,元素和集合的关系，以及逻辑关系,分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题．7．（5分)考点: 函数解析式的求解及常用方法.专题: 函数的性质及应用.分析：利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.解答:解:Ａ.取ｘ=0,则ｓｉn2ｘ=0,∴f(0）=０;取x=，则siｎ2x=0,∴ｆ(0）=1；∴f(0）=0,和1，不符合函数的定义；∴不存在函数ｆ(x）,对任意x∈Ｒ都有f（sｉｎ2ｘ）=sinｘ;B．取x=0，则ｆ(0）＝0;取x=π，则f(０)=π2+π;∴f（０)有两个值,不符合函数的定义；∴该选项错误；C.取x=1,则ｆ（2）＝２，取x=﹣1,则f(2）=0;这样ｆ(2)有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误;D．令|x+1｜=t,t≥0,则f(t2﹣1）=t；令ｔ2﹣1=ｘ,则t=；∴;即存在函数ｆ（x)＝，对任意ｘ∈R，都有f（x2+2x)=｜x＋1|;∴该选项正确．故选:D.点评:本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难．8.（5分)考点: 二面角的平面角及求法．专题: 创新题型;空间角．分析:解：画出图形,分AC=ＢC,AC≠BC两种情况讨论即可．解答:解：①当AC=ＢC时,∠A′DB=α；②当AC≠BC时,如图，点Ａ′投影在AE上，α=∠Ａ′OE,连结AA′，易得∠ＡDA′＜∠AＯA′,∴∠A′DB>∠A′OE,即∠Ａ′DＢ>α综上所述,∠A′ＤB≥α,故选：Ｂ.点评：本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累,属于中档题．二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.9．（6分）考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:确定双曲线中的几何量，即可求出焦距、渐近线方程．解答:解:双曲线=１中，ａ=,ｂ=1，c=，∴焦距是２ｃ＝2，渐近线方程是y=±x.故答案为:２;y=±ｘ.点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力,比较基础．10.（6分)考点: 函数的值．专题: 计算题；函数的性质及应用．分析:根据已知函数可先求ｆ(﹣３)＝1,然后代入可求f（f(﹣3)）;由于x≥1时，f(ｘ）=,当x<1时,f(ｘ)=lg（x2+1）,分别求出每段函数的取值范围，即可求解解答：解：∵f(ｘ）＝，∴f(﹣3）=lｇ１0=1,则f（f(﹣3））＝ｆ（1)=0,当x≥1时，ｆ(x）=,即最小值,当x＜1时,x2+1≥1,（x）=ｌg(x２+1）≥0最小值０,故f(x）的最小值是．故答案为：0；．点评:本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题.１1．（6分）考点：两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题: 三角函数的求值.分析：由三角函数公式化简可得f（x)=ｓiｎ(2x﹣)+,易得最小正周期，解不等式2kπ＋≤2x﹣≤2kπ+可得函数的单调递减区间．解答:解：化简可得ｆ(ｘ)＝sｉn２x+sinｘcｏsx+1=(1﹣ｃoｓ2ｘ）＋ｓin2ｘ＋１=sin（2x﹣)+，∴原函数的最小正周期为Ｔ＝=π,由2kπ+≤2x﹣≤2kπ＋可得kπ+≤x≤ｋπ＋,∴函数的单调递减区间为[kπ+,ｋπ+]（ｋ∈Ｚ)故答案为：π；［kπ+,ｋπ+]（k∈Z）点评:本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题.12．(４分）考点: 对数的运算性质．专题: 函数的性质及应用．分析:直接把a代入2ａ+２﹣ａ，然后利用对数的运算性质得答案.解答:解:∵a=log43，可知4ａ=3，即2a=，所以2ａ+２﹣ａ=＋=.故答案为:.点评:本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．13.（４分)考点: 异面直线及其所成的角.专题：空间角.分析:连结ND,取ND 的中点为：Ｅ，连结ＭE说明异面直线AN，CM所成的角就是∠ＥＭC通过解三角形，求解即可．解答:解:连结ＮD,取ND 的中点为：E，连结ＭE,则MＥ∥AN，异面直线AＮ，ＣM所成的角就是∠EＭC,∵AN=２，∴ME==ＥＮ,MＣ＝２,又∵EN⊥NC，∴EC=＝，∴cｏs∠EＭC===．故答案为：.点评:本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.14．(４分)考点：函数的最值及其几何意义.专题: 不等式的解法及应用；直线与圆．分析：根据所给x,y的范围,可得|6﹣x﹣3y｜=6﹣ｘ﹣3y，再讨论直线2ｘ+y﹣２=0将圆x２+y2=1分成两部分,分别去绝对值，运用线性规划的知识，平移即可得到最小值.解答:解:由ｘ２+ｙ2≤1，可得6﹣x﹣3y＞0，即|６﹣x﹣3y|＝6﹣ｘ﹣3y，如图直线2ｘ+y﹣2=0将圆x2+y2=1分成两部分，在直线的上方(含直线),即有２ｘ+y﹣２≥０,即｜2＋y﹣2|=2ｘ＋y﹣2,此时|２x+ｙ﹣2|+|6﹣x﹣３y|=（２ｘ+y﹣2)+(6﹣x﹣３y）=x﹣2ｙ+４,利用线性规划可得在Ａ(，)处取得最小值3;在直线的下方(含直线)，即有2ｘ+y﹣2≤0,即｜2＋ｙ﹣2|=﹣(2x+y﹣2），此时|2x+y﹣２｜+|６﹣x﹣３y|=﹣（２x＋y﹣2)+(6﹣x﹣3ｙ)=8﹣3x﹣4y，利用线性规划可得在A(,)处取得最小值３.综上可得,当x=，y=时,|2x+y﹣２|＋|6﹣x﹣3y|的最小值为3．故答案为:3.点评：本题考查直线和圆的位置关系,主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题．15．（6分)考点: 空间向量的数量积运算;平面向量数量积的运算．专题：创新题型；空间向量及应用．分析:由题意和数量积的运算可得<•＞=，不妨设=（，,0),=(1,０,0),由已知可解=（，,t）,可得|﹣（｜２=（x＋)２+（y﹣2)2+t2，由题意可得当x＝ｘ0＝1,y=y０=2时,(ｘ+）2＋（ｙ﹣2)２+t２取最小值１,由模长公式可得｜．解答：解：∵•=｜||｜coｓ＜•>=ｃｏｓ＜•＞=，∴＜•＞＝，不妨设=(，，0）,=（1,0,0）,=(m，n，t),则由题意可知＝m+n=２,=m=，解得m=，ｎ＝,∴=(,，ｔ）,∵﹣（)=（﹣x﹣y,，t),∴｜﹣（|2=（﹣ｘ﹣y)2+（)２+ｔ2=ｘ2+xｙ+y2﹣４x﹣5y+ｔ2＋7=(ｘ+)２+（ｙ﹣2)２+t2，由题意当x=x0=1,y＝y0＝2时,(ｘ+)2+（ｙ﹣2）2+t2取最小值1，此时ｔ2=1，故|=＝2故答案为：1；２;2点评:本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式,属中档题.三、解答题：本大题共5小题,共7４分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（1４分)考点: 余弦定理.专题：解三角形．分析:(1)由余弦定理可得：，已知b２﹣a２=c2.可得,a＝.利用余弦定理可得coｓＣ.可得siｎＣ＝,即可得出taｎC=．(２)由=×=３,可得c，即可得出b．解答:解：(１）∵A=，∴由余弦定理可得:,∴ｂ2﹣a2=bc﹣c２，又ｂ２﹣a2=c2．∴bｃ﹣c2=c2．∴b= c.可得,∴a2=b2﹣=,即a＝．∴cosC＝==.∵C∈(0,π),∴sinＣ＝=．∴ｔanC＝=２．(２）∵＝×＝３,解得ｃ=2.∴=3．点评:本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．(1５分)考点: 二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题: 空间位置关系与距离;空间角.分析:（１)以BC中点O为坐标原点,以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系,通过•＝•=0及线面垂直的判定定理即得结论；(２）所求值即为平面A１BD的法向量与平面B１BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数,计算即可．解答：(1)证明:如图，以BＣ中点O为坐标原点,以OB、OA、OＡ1所在直线分别为ｘ、y、z轴建系.则BC=AC=２,A１O==，易知Ａ1（0,0,)，B（，0，0）,C(﹣，0,0）,Ａ（0，，0）,D（０，﹣,),B1（,﹣，),＝（0,﹣，0）,=(﹣，﹣,)，=（﹣,０，0）,=(﹣２，0,0）,＝（0，０，),∵•=0，∴A１Ｄ⊥OA1,又∵•=0，∴A1D⊥ＢＣ，又∵ＯＡ1∩ＢC＝O,∴Ａ1D⊥平面A1BC;(２）解:设平面A1BＤ的法向量为=（x,y，z)，由,得，取z=１,得=(,0,1),设平面B1BD的法向量为=（x,ｙ,z),由,得,取z=１，得=(0,，1)，∴coｓ<,>＝==,又∵该二面角为钝角,∴二面角Ａ１﹣ＢD﹣Ｂ1的平面角的余弦值为﹣.点评:本题考查空间中线面垂直的判定定理,考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累,属于中档题.１8．(15分）考点：二次函数在闭区间上的最值．专题: 函数的性质及应用．分析:(1)明确二次函数的对称轴，区间的端点值,由ａ的范围明确函数的单调性,结合已知以及三角不等式变形所求得到证明；（2)讨论ａ=b=0以及分析M（a，b)≤2得到﹣3≤a+b≤1且﹣3≤ｂ﹣a≤１，进一步求出｜ａ|＋｜b|的求值.解答：解:(１）由已知可得f(1）=1+a+b,f（﹣1）＝１﹣a+b，对称轴为x=﹣，因为｜ａ|≥2，所以或≥１,所以函数ｆ（ｘ)在[﹣1,1]上单调,所以M（a,b）=max｛|ｆ（１）,|ｆ(﹣1）｜}=max｛|１＋a＋ｂ|,|1﹣a＋b｜｝，所以Ｍ（a,b)≥（|1+a+b|＋|１﹣a+b｜）≥|(1+a＋ｂ)﹣(1﹣a+b）|≥｜2ａ|≥２;(2)当a=b=0时,｜a｜+｜b|=0又|a|+|ｂ|≥0,所以０为最小值，符合题意;又对任意x∈[﹣1,1］．有﹣２≤ｘ2+ax+b≤２得到﹣３≤a+ｂ≤1且﹣3≤ｂ﹣ａ≤１，易知|a｜+|b｜＝mａｘ{｜a﹣b｜,|a+ｂ｜}＝3，在b=﹣1,a=2时符合题意，所以｜ａ|+｜b|的最大值为3．点评:本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解M(ａ,ｂ)是|f（x）|在区间［﹣１，１］上的最大值,以及利用三角不等式变形.１９．（15分)考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：创新题型;圆锥曲线中的最值与范围问题.分析：(1）由题意,可设直线AB的方程为ｘ=﹣my+n,代入椭圆方程可得（ｍ2＋2）y２﹣2mny+ｎ２﹣2＝０，设Ａ（x１，ｙ1),Ｂ(x2,ｙ２).可得△>0，设线段ＡB的中点P（x０，ｙ0)，利用中点坐标公式及其根与系数的可得P,代入直线y＝mx＋，可得,代入△＞0，即可解出.(2）直线AB与x轴交点横坐标为n,可得S△OAB＝,再利用均值不等式即可得出．解答:解：(1）由题意,可设直线AB的方程为ｘ＝﹣mｙ+n,代入椭圆方程，可得（m2+2)y2﹣2mny+n2﹣2=0，设A（x1，y1),B（x２，y2）.由题意,△＝4ｍ2ｎ２﹣4（m2＋２)(n2﹣2）=8（m2﹣n2+2)＞0,设线段AB的中点Ｐ（ｘ0,y0),则．x０=﹣m×＋n=，由于点Ｐ在直线ｙ=mx+上,∴=+，∴,代入△＞0，可得3m4+4m２﹣４>０，解得m2,∴或m．（2)直线AB与x轴交点纵坐标为n,∴Ｓ△OAＢ＝＝|n｜•＝，由均值不等式可得：n2(ｍ2﹣n2＋2）＝,∴S△AOB＝,当且仅当n２＝m2﹣n２+2,即2ｎ2=m２＋2，又∵,解得m=,当且仅当ｍ=时，S△AOB取得最大值为.点评:本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.(1５分）考点: 数列的求和；数列与不等式的综合．专题: 创新题型;点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1)通过题意易得0<a n≤(n∈N*),利用a n﹣a n+1=可得≥1,利用=＝≤2，即得结论；（２）通过=a n﹣ａn+1累加得S n=﹣a n+1,利用数学归纳法可证明≥a n≥(ｎ≥２)，从而≥≥，化简即得结论.解答:证明:（１）由题意可知：0<ａn≤(n∈Ｎ*）,又∵a2＝a1﹣=,∴==2,又∵aｎ﹣a n＋1=,∴aｎ＞a n＋１，∴≥１,∴==≤２,∴1≤≤2(n∈Ｎ*);(２）由已知,=a n﹣a n＋１,=aｎ﹣1﹣a n，…，=a1﹣a２,累加,得S n=++…＋=a１﹣ａｎ+1＝﹣ａn+１,易知当n=1时，要证式子显然成立；当ｎ≥2时，=.下面证明:≥ａｎ≥(n≥2）．易知当n＝2时成立,假设当n=ｋ时也成立，则a k＋１＝﹣+，由二次函数单调性知:a n+1≥﹣＋=≥,a n＋1≤﹣+=≤,∴≤≤，即当n＝k+1时仍然成立,故对n≥２，均有≥a n≥,∴=≥≥=，即(ｎ∈Ｎ＊）．点评：本题是一道数列与不等式的综合题,考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于难题.。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(浙江卷)

2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =ð（）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（） A.140,0a d dS >> B. 140,0a d dS << C. 140,0a d dS >< D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-，其中()card A 表示有限集A 中的元素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（）A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+D. 2(2)1f x x x +=+8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是．11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．12. 若4log 3a =，则22a a-+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．15. 已知12,e e 是空间单位向量，1212e e ⋅=，若空间向量b 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈，则0x = ，0y = ，b = ．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；（2）求AOB∆面积的最大值（O为坐标原点）．20.（本题满分15分）已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112n n a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）.。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(浙江卷)

更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年2015年高考浙江卷理数试题解析（精编版）（解析版）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知集合2{20}Px x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =I ð（）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]2. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（）A.38cmB. 312cmC. 3323cmD. 3403cm【答案】C.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年3. 已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>4. 命题“**,()n N f n N ∀∈∈且()f n n ≤的否定形式是（）A. **,()n N f n N ∀∈∈且()f n n >B. **,()n N f n N ∀∈∈或()f n n >C. **00,()n N f n N ∃∈∈且00()f n n >D. **00,()n N f n N ∃∈∈或00()f n n >更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年5. 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（）A. 11BF AF --B. 2211BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2211BF AF ++6. 设A ，B 是有限集，定义(,)()()d A B card A B card A B =-U I ，其中()card A 表示有限集A 中的元更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年素个数，命题①：对任意有限集A ，B ，“A B ≠”是“ (,)0d A B >”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，(,)(,)(,)d A C d A B d B C ≤+，（）A. 命题①和命题②都成立B. 命题①和命题②都不成立C. 命题①成立，命题②不成立D. 命题①不成立，命题②成立7. 存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+ C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年8. 如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.9. 双曲线2212xy-=的焦距是，渐近线方程是．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年10. 已知函数223,1()lg(1),1x x f x xx x ⎧+-≥⎪=⎨⎪+<⎩，则((3))f f -= ，()f x 的最小值是． 11. 函数2()sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年12. 若4log 3a =，则22a a -+= ．【答案】334. 【解析】13. 如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年13. 若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年15. 已知12,e e r r 是空间单位向量，1212e e ⋅=r r ，若空间向量b r 满足1252,2b e b e ⋅=⋅=r r r r ，且对于任意,x y R ∈，12010200()()1(,)b xe ye b x e y e x y R -+≥-+=∈r u r u u r r u r u u r u u u u r，则0x = ，0y = ，b =r ．更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本题满分14分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为3，求b 的值.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年17.（本题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=o，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点. （1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年18.（本题满分15分）已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值.19.（本题满分15分）已知椭圆2212xy+=上两个不同的点A，B关于直线12y mx=+对称．（1）求实数m的取值范围；更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年面积的最大值（O为坐标原点）．（2）求AOB更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年20.（本题满分15分）已知数列{}n a满足1a=12且1na+=na-2na（n∈*N）（1）证明：112nnaa+≤≤（n∈*N）；（2）设数列{}2n a的前n项和为n S，证明112(2)2(1)nSn n n≤≤++（n∈*N）.更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年更多优质资料请关注公众号：诗酒叙华年。

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