高中二年级数学《平面向量》复习课(学案)
高中数学 第二章平面向量复习教案 新人教A版必修4
第二章平面向量复习课（一）一、教学目标1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|2+|b|2)=|a－b|2+|a+b|2.5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：6. 向量的坐标概念和坐标表示法7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）8. 数量积（点乘或内积）的概念，a·b=|a||b|cos =x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”二、知识与方法向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直三、教学过程（一）重点知识：1. 实数与向量的积的运算律：2. 平面向量数量积的运算律:3. 向量运算及平行与垂直的判定:则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=-2121y y x x b a +=⋅4. 两点间的距离:5. 夹角公式:6. 求模：（二）习题讲解：《习案》P167 面2题，P168面6题，P169面1题，P170面5、6题，P171面1、2、3题，P172面5题，P173面6题。
（三）典型例题例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA =a ，OB =b ，OC =c ，且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , j 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3j , b =j ， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b（四）基础练习：《习案》P178面6题、P180面3题。
平面向量复习教案
第二十二教时教材：复习一——向量、向量的加法与减法、实数与向量的积目的：通过复习对上述内容作一次梳理，使学生对知识的理解与应用提高到一个新的水平。
过程：一、 知识（概念）的梳理：1． 向量：定义、表示法、模、几种特殊向量2． 向量的加法与减法：法则（作图）、运算律3． 实数与向量的积：定义、运算律、向量共线的充要条件、平面向量的基本定义二、 例题：1． 若命题M ：'=；命题N ：四边形ABB ’A ’是平行四边形。
则M 是N 的 （ C ）(A )充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件(C )充要条件 (D ) 既不充分也不必要条件 解：若'=，则 ||=|'|，且, '方向相同∴AA ’∥BB ’ 从而ABB ’A ’是平行四边形，即：M ⇒N若ABB ’A ’是平行四边形，则|AA ’|=|BB ’|，且AA ’∥BB ’∴|'AA |=|'BB | 从而'AA ='BB ，即：N ⇒M2． 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：1︒++ 2︒++ 3︒-+--解：1︒ 原式= =+=++)(2︒ 原式= =+=++)(3︒ 原式= AB AB CO OC AB CO OC OA OB =+=+-=--+-0)()()(3． a =“向东走5km ”，b =“向西走12km ”，试求a +b 的长度与方向。
解：如图：13125||22=+=OB (km )tan ∠AOB =512 , ∴∠AOB = arctan 512 ∴a + b 的长为13km ，方向与成arctan 512的角。
4． 如图：1︒已知a 、b 、c 、d ，求作向量a -b 、c -d 。
2︒已知a 、b 、c ，求作a + c - b AOB a b a+ba a a ab b b bc c c c c -d d d a -b a+c -ba+c5． 设x 为未知向量，a 、b 为已知向量，解方程2x -(5a +3x -4b )+21a -3b =0 解：原方程可化为：(2x - 3x ) + (-5a +21a ) + (4b -3b ) = 0 ∴x =29-a + b 6． 设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，d =a +k b (k ∈R)，若c ∥d ，试求k 。
高中数学 第二章《平面向量》单元复习学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》单元复习一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且AE =3ED ，若AD a =，则EA +EB +EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． OAPQBab5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知b a a b a λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=uu u r uu u r uuu r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①BC AC AB =-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 16．(本小题14分)已知向量a =(6，2)，b =(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ；BACODE(2)a ⊥b ；(3)a ，b 的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,)22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．AB CP Q。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
高中数学必修二 (学案)平面向量的运算
平面向量的运算【第一课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两个？二、新知探究探究点1：平面向量的加法及其几何意义例1：如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c．解：法一：可先作a ＋c ，再作（a ＋c ）＋b ，即a ＋b ＋c ．如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA→＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB→＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC→＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，（1）在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ； （2）作平行四边形AOBC ，则OC→＝a ＋b ；（3）再作向量OD→＝c ；（4）作平行四边形CODE ， 则OE→＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c ．OE →即为所求．探究点2：平面向量的加法运算 例2：化简：（1）BC→＋AB →； （2）DB→＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →．解：（1）BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →．（2）DB→＋CD →＋BC → ＝BC→＋CD →＋DB → ＝（BC→＋CD →）＋DB → ＝BD→＋DB →＝0． （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0． 探究点3：向量加法的实际应用例3：某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？解：如图，设此人游泳的速度为OB→，水流的速度为OA →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则此人的实际速度为OA→＋OB →＝OC →．由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时． 三、学习小结即a ＋b ＝AB ＋BC ＝AC对角线OC就是a 与b 的和2．|a ＋b |，|a |，|b |之间的关系一般地，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当a ，b 方向相同时等号成立． 四、精炼反馈1．化简OP→＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于（ ）A ．QP →B ．OQ→ C ．SP→ D ．SQ→ 解析：选B ．OP→＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →．2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有（ ）A ．四边形ABCD 是矩形B ．四边形ABCD 是菱形C ．四边形ABCD 是正方形D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D ．由AC→＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD的一组对边平行且相等，故为平行四边形．3．已知非零向量a ，b ，|a |＝8，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为______． 解析：|a ＋b |≤|a |＋|b |，所以|a ＋b |的最大值为13．答案：134．已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点（靠近D 点），求作：（1）AO→＋AC →； （2）DE→＋BA →．解：（1）延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF→为所求．（2）在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ， 则向量BG→为所求．【第二课时】【学习过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题： 1．a 的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？二、新知探究探究点1： 向量的减法运算例1：化简下列各式：（1）（AB →＋MB →）＋（－OB →－MO →）； （2）AB →－AD →－DC →．解：（1）法一：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝（AB →＋BO →）＋（OM →＋MB →）＝AO →＋OB →＝AB→． 法二：原式＝AB →＋MB →＋BO →＋OM →＝AB →＋（MB →＋BO →）＋OM →＝AB →＋MO →＋OM →＝AB →＋0 ＝AB→． （2）法一：原式＝DB→－DC →＝CB →．法二：原式＝AB →－（AD →＋DC →）＝AB →－AC →＝CB →．探究点2：向量的减法及其几何意义例2：如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b －c ．解：法一：如图①，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，连接BC ，则CB→＝b －c ．过点A 作AD 綊BC ，连接OD ， 则AD→＝b －c ， 所以OD→＝OA →＋AD →＝a ＋b －c ． 法二：如图②，在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ，则OB →＝a ＋b ，再作OC →＝c ，连接CB ，则CB→＝a ＋b －c ． 法三：如图③，在平面内任取一点O ， 作OA→＝a ，AB →＝b ，连接OB ， 则OB→＝a ＋b ，再作CB →＝c ，连接OC ， 则OC→＝a ＋b －c ．探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图所示，四边形ACDE 是平行四边形，点B 是该平行四边形外一点，且AB →＝a ，AC→＝b ，AE →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量CD →，BC →，BD →．解：因为四边形ACDE 是平行四边形，所以CD→＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a ， 故BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ． 三、学习小结1．相反向量（1）定义：与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向差，记作－a ，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量．（2）结论①－（－a ）＝a ，a ＋（－a ）＝（－a ）＋a ＝0；②如果a 与b 互为相反向量，那么a ＝－b ，b ＝－a ，a ＋b ＝0． 2．向量的减法（1）向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a －b ＝a ＋（－b ）．求两个向量差的运算叫做向量的减法．（2）作法：在平面内任取一点O ，作OA→＝a ，OB →＝b ，则向量BA →＝a －b ，如图所示．（3）几何意义：a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 四、精炼反馈1．在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则AD→－AC →等于（ ）A ．CB → B ．BC → C ．CD→ D ．DC→ 解析：选C ．在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD →－AC→＝CD →． 2．化简：AB→－AC →＋BD →－CD →＋AD →＝________．解析：原式＝CB →＋BD →＋DC →＋AD →＝CD →＋DC →＋AD →＝0＋AD →＝AD →．答案：AD→3．已知错误!＝10，|错误!|＝7，则|错误!|的取值范围为______．解析：因为CB →＝AB →－AC →，所以|CB→|＝|AB →－AC →|． 又错误!≤|错误!－错误!|≤|错误!|＋|错误!|， 3≤|AB→－AC →|≤17， 所以3≤|CB →|≤17．答案：[3，17]4．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，试判断△ABC 的形状．解：因为OB→－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →．又|OB→－OC →|＝|OB →－OA →＋OC →－OA →|，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，所以以AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB ⊥AC ，所以△ABC 是直角三角形．【第三课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题：1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．向量共线定理是怎样表述的？4．向量的线性运算是指的哪三种运算？二、新知探究探究1： 向量的线性运算 例1：（1）计算：①4（a ＋b ）－3（a －b ）－8a ；②（5a －4b ＋c ）－2（3a －2b ＋c ）；③23⎣⎢⎡⎦⎥⎤（4a －3b ）＋13b －14（6a －7b ）． （2）设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋（2b －a ）．解：（1）①原式＝4a ＋4b －3a ＋3b －8a ＝－7a ＋7b ．②原式＝5a －4b ＋c －6a ＋4b －2c ＝－a －c ．③原式＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫4a －3b ＋13b －32a ＋74b＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫52a －1112b ＝53a －1118b ．（2）原式＝13a －b －a ＋23b ＋2b －a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋23＋2b ＝－53a ＋53b ＝－53（3i ＋2j ）＋53（2i －j ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－5＋103i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－103－53j ＝－53i －5j ． 探究点2：向量共线定理及其应用例2：已知非零向量e 1，e 2不共线．（1）如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3（e 1－e 2），求证：A 、B 、D 三点共线；（2）欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解：（1）证明：因为AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5（e 1＋e 2）＝5AB→． 所以AB→，BD →共线，且有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线． （2）因为k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， 所以存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ（e 1＋k e 2）， 则（k －λ）e 1＝（λk －1）e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎨⎧k －λ＝0，λk －1＝0，所以k ＝±1． 探究点3：用已知向量表示其他向量例3：如图，ABCD 是一个梯形，AB→∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB→＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示下列向量．（1）AC→＝________； （2）MN→＝________．解析：因为AB→∥CD →，|AB →|＝2|CD →|， 所以AB→＝2DC →，DC →＝12AB →．（1）AC →＝AD →＋DC →＝e 2＋12e 1． （2）MN→＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－14e 1－e 2＋12e 1＝14e 1－e 2．答案：（1）e 2＋12e 1（2）14e 1－e 2 互动探究变条件：在本例中，若条件改为BC →＝e 1，AD →＝e 2，试用e 1，e 2表示向量MN →．解：因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →， MN→＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝（MD →＋MC →）＋DA →＋CB →＋（AN →＋BN →）． 又因为M ，N 分别是DC ，AB 的中点，所以MD→＋MC →＝0，AN →＋BN →＝0． 所以2MN →＝DA →＋CB →，所以MN→＝12（－AD →－BC →）＝－12e 2－12e 1． 三、学习小结1．向量的数乘的定义一般地，规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（1）|λa |＝|λ||a |．（2）当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0．2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： （1）λ（μa ）＝（λμ）a ． （2）（λ＋μ）a ＝λa ＋μa ． （3）λ（a ＋b ）＝λa ＋λb ． 3．向量的线性运算及向量共线定理（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ（μ1a ±μ2b ）＝λμ1a ±λμ2b ．（2）向量a （a ≠0）与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa ． 四、精炼反馈 1．13⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（2a ＋8b ）－（4a －2b ）等于（ ）A ．2a －bB ．2b －aC ．b －aD ．a －b解析：选B ．原式＝16（2a ＋8b ）－13（4a －2b ）＝13a ＋43b －43a ＋23b ＝－a ＋2b ． 2．若点O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝2e 1，BC →＝3e 2，则32e 2－e 1＝（ ）A ．BO→ B ．AO→ C ．CO→ D ．DO→ 解析：选A ．BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝3e 2－2e 1，BO →＝12BD →＝32e 2－e 1．3．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，若AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，求证A ，B ，D 三点共线．证明：因为CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，所以BD→＝CD →－CB →＝e 1－4e 2． 又AB →＝2e 1－8e 2＝2（e 1－4e 2），所以AB →＝2BD →，所以AB →与BD →共线． 因为AB 与BD 有交点B ，所以A ，B ，D 三点共线．【第四课时】【学习过程】一、问题导学预习教材内容，思考以下问题： 1．什么是向量的夹角？ 2．数量积的定义是什么？ 3．投影向量的定义是什么？ 4．向量数量积有哪些性质？ 5．向量数量积的运算有哪些运算律？ 二、新知探究探究点1：平面向量的数量积运算例1：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求（a ＋2b ）·（a ＋3b ）．（2）如图，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →|＝3，∠DAB ＝60°，求： ①AD →·BC →；②AB →·DA →．解：（1）（a ＋2b ）·（a ＋3b ） ＝a·a ＋5a·b ＋6b·b ＝|a |2＋5a·b ＋6|b |2 ＝|a |2＋5|a ||b |cos 60°＋6|b |2＝62＋5×6×4×cos 60°＋6×42＝192．（2）①因为AD→∥BC →，且方向相同，所以AD→与BC →的夹角是0°， 所以AD→·BC →＝|AD →||BC →|·cos 0°＝3×3×1＝9． ②因为AB→与AD →的夹角为60°，所以AB→与DA →的夹角为120°， 所以AB→·DA →＝|AB →||DA →|·cos 120° ＝4×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－6．互动探究：变问法：若本例（2）的条件不变，求AC→·BD →．解：因为AC→＝AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，所以AC →·BD →＝（AB →＋AD →）·（AD →－AB →） ＝AD →2－AB →2＝9－16＝－7． 探究点2： 向量模的有关计算例2：（1）已知平面向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝（ ）A ．3B ．23C ．4D ．12 （2）向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝32，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝（ ）A ．13B ．12C ．15D ．14 解析：（1）|a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a·b ＋4b 2 ＝|a |2＋4|a ||b |cos 60°＋4|b |2＝ 4＋4×2×1×12＋4＝23．（2）由题意得|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a ||b |·cos 60°＝34，即1＋|b |2－|b |＝34，解得|b |＝12． 答案：（1）B （2）B 探究点3： 向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例3：（1）已知|a |＝6，|b |＝4，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝－72，则a 与b 的夹角为________；（2）（2019·高考全国卷Ⅰ改编）已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且（a －b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为______．解析：（1）设a 与b 的夹角为θ，（a ＋2b ）·（a －3b ）＝a ·a －3a ·b ＋2b ·a －6b ·b ＝|a |2－a ·b －6|b |2 ＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos θ－6×42＝－72， 所以24cos θ＝36＋72－96＝12，所以cos θ＝12．又因为θ∈[]0，π，所以θ＝π3．（2）设a 与b 的夹角为θ，由（a －b ）⊥b ，得（a －b ）·b ＝0，所以a ·b ＝b 2，所以cos θ＝b 2|a ||b |．又因为|a |＝2|b |， 所以cos θ＝|b |22|b |2＝12．又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3． 答案：（1）π3 （2）π3命题角度二：证明两向量垂直例4：已知a ，b 是非零向量，当a ＋t b （t ∈R ）的模取最小值时，求证：b ⊥（a ＋t b ）．证明：因为|a ＋t b |＝（a ＋t b ）2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝|b |2t 2＋2a ·b t ＋|a |2，所以当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a·b|b |2时，|a ＋t b |有最小值．此时b ·（a ＋t b ）＝b·a ＋t b 2＝a·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a·b |b |2·|b |2＝a·b －a·b ＝0．所以b ⊥（a ＋t b ）． 命题角度三：利用夹角和垂直求参数例5：（1）已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与k a －b 互相垂直，则k 的值为（ ）A ．－32 B ．32 C ．±32D ．1（2）已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________．解析：（1）因为3a ＋2b 与k a －b 互相垂直， 所以（3a ＋2b ）·（k a －b ）＝0， 所以3k a 2＋（2k －3）a·b －2b 2＝0． 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝0， 又|a |＝2，|b |＝3， 所以12k －18＝0，k ＝32．（2）由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－（3a ＋λb ）， 即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa ·b ， 而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1， 则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5． 答案：（1）B （2）－8或5 三、学习小结1．两向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a 与b 的夹角．（2）特例：①当θ＝0时，向量a 与b 同向；②当θ＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ； ③当θ＝π时，向量a 与b 反向． 2．向量的数量积已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把数量|a ||b |cos__θ叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ．规定零向量与任一向量的数量积为0． 3．投影向量如图（1），设a ，b 是两个非零向量，AB→＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影（project ），A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图（2），在平面内任取一点O ，作OM→＝a ，ON →＝b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM1→就是向量a 在向量b 上的投影向量．（2）若与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1→＝|a |cos θ e ． 4．向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 （1）a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ． （2）a ⊥b ⇔a·b ＝0．（3）当a 与b 同向时，a·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a ||b |．特别地，a·a ＝|a |2或|a |＝a·a ． （4）|a·b |≤|a ||b |． 5．向量数量积的运算律 （1）a·b ＝b·a （交换律）．（2）（λa ）·b ＝λ（a·b ）＝a ·（λb ）（结合律）． （3）（a ＋b ）·c ＝a·c ＋b·c （分配律）． 四、精炼反馈1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角θ为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选C ．由题意，知a·b ＝|a ||b |cos θ＝4cos θ＝2，所以cos θ＝12．又0≤θ≤π，所以θ＝π3． 2．已知|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角是90°，c ＝2a ＋3b ，d ＝k a －4b ，c 与d 垂直，则k 的值为（ ）A ．－6B ．6C ．3D ．－3解析：选B ．因为c·d ＝0，所以（2a ＋3b ）·（k a －4b ）＝0，所以2k a 2－8a ·b ＋3k a ·b －12b 2＝0， 所以2k ＝12，所以k ＝6．3．已知|a |＝3，|b |＝5，a ·b ＝－12，且e 是与b 方向相同的单位向量，则a 在b 上的投影向量为______．解析：设a 与b 的夹角θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－123×5＝－45，所以a 在b 上的投影向量为|a |cos θ·e ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45e＝－125e ．答案：－125e4．已知|a |＝1，|b |＝2． （1）若a ∥b ，求a ·b ；（2）若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |； （3）若a －b 与a 垂直，求a 与b 的夹角． 解：设向量a 与b 的夹角为θ．（1）当a ，b 同向，即θ＝0°时，a ·b ＝2；当a ，b 反向，即θ＝180°时，a ·b ＝－2． （2）|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3＋2，|a ＋b |＝3＋2．（3）由（a －b ）·a ＝0，得a 2＝a ·b ，cos θ＝a ·b |a ||b |＝22，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°．。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
《平面向量》复习案
课题：《平面向量》复习案教 学 内 容个 性 笔 记【学习目标】1、熟记平面向量相关的知识点、定理和重要结论；2、学会应用“数形结合”、函数等思想方法，探索并总结本章相关解题方法、步骤；3、体会数学解题方法的多样性，感受数学与实际生活的联系，增强学习数学的兴趣和积极性.【学习重点】平面向量的相关概念、线性运算、数量积运算、定理和重要结论【学习难点】夹角、模的计算；平行、垂直条件的应用【学习过程】（一） 相关知识点梳理1.相关概念 (1)向量定义： (2)向量的三种表示方法：① ，② ，③ (3)零向量：(4)单位向量： .(5)共线向量： 特别规定：(6)相等向量：(7)相反向量：2.向量的运算（结果仍为向量） （1）线性运算 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言加法 与 减法OA +OB =OB OA -=记OA =(x 1,y 1), OB =(x 1,y 2) 则OB OA +=OB OA -=OA --→+AB --→=数乘AB --→=λa →（λ∈R ）记a →=(x ,y )则λa →=注：（ 0>λ时，AB 与a ； 0<λ时，AB 与a ； 0=λ时，AB = 向量线性运算的运算律与实数的运算律相同.（2）数量积运算（结果为数量）①定义：②坐标运算：若 ),(11y x a =，),(22y x b =，且a 与 b 的夹角为θ，则=⋅b a=θcos = （坐标表示） =a③已知点 ),(11y x A 和),(22y x B ，则=AB =AB(二)相关定理及重要结论（1）平面向量基本定理: 基底：平面内 的两个向量. （2）若 ),(11y x a =，),(22y x b =，则⇔b a // ；⇔⊥b a .（3）中点坐标公式:已知点 ),(11y x A 和),(22y x B则线段AB 的中点P 的坐标为 （二）预习检测1．已知),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=（ ）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 2.已知a (3,4)=，)8,6(--=b ，则a 与b （ ）A.互相平行B. 夹角为60oC.夹角为30oD.互相垂直 3.若向量)2,1(=a ，)4,3(-=b ，则))((b a b a +⋅等于（ ） A.20 B.(10,30)- C.54 D.(8,24)- 4.已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点，且−→−BM ＝31−→−BC ,−→−CN ＝31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ，−→−AC ＝→b ，则−→−MN ＝ .5.已知a>0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，求a 的值.。
平面向量复习高中数学会考复习课件及教案
平面向量复习教学目标：1. 理解平面向量的概念，掌握向量的表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点积。
3. 能够应用向量的知识解决实际问题。
教学重点：1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的运算规则。
教学难点：1. 向量的运算规则的理解和应用。
教学准备：1. 教案和课件。
2. 黑板和粉笔。
教学过程：第一章：平面向量概念及表示方法1.1 向量的定义1. 引入向量的概念，引导学生理解向量的定义。
2. 通过示例说明向量的表示方法，包括箭头表示法和坐标表示法。
1.2 向量的性质1. 引导学生学习向量的性质，如方向、长度、相等性、相反性等。
2. 通过示例讲解向量的性质，并让学生进行练习。
第二章：平面向量的运算规则2.1 向量加法1. 引导学生理解向量加法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量加法的运算方法，并让学生进行练习。
2.2 向量减法1. 引导学生理解向量减法的定义和规则。
2. 通过示例讲解向量减法的运算方法，并让学生进行练习。
第三章：平面向量的数乘3.1 数乘向量1. 引导学生理解数乘向量的定义和规则。
2. 通过示例讲解数乘向量的运算方法，并让学生进行练习。
3.2 数乘向量的应用1. 引导学生学习数乘向量的应用，如向量的大小、方向等。
2. 通过示例讲解数乘向量的应用，并让学生进行练习。
第四章：平面向量的点积4.1 点积的定义和性质1. 引导学生理解点积的定义和性质。
2. 通过示例讲解点积的运算方法，并让学生进行练习。
4.2 点积的应用1. 引导学生学习点积的应用，如向量的垂直性、夹角等。
2. 通过示例讲解点积的应用，并让学生进行练习。
第五章：平面向量的应用5.1 向量在几何中的应用1. 引导学生学习向量在几何中的应用，如向量的加法、减法、数乘和点积。
2. 通过示例讲解向量在几何中的应用，并让学生进行练习。
5.2 向量在物理中的应用1. 引导学生学习向量在物理中的应用，如速度、加速度等。
高中数学 平面向量复习课教案
【教学内容及解析】本课时是人教社普通高中课程标准实验教科书A版必修（4）第二章《平面向量》的复习课。
它是对本章内容的总结与升华；这节课既要展示平面向量的形的特性，又要具备数的特性，因此向量的代数形式的运算与其几何意义是紧密联系在一起的。
向量是沟通代数,几何,三角函数的工具,向量的解题方法有向量法和坐标法.而要熟练应用这些方法,学生应该对相应的基本概念比较清楚,因此在复习时,应该在引导学生得到结果基础之上,让同学理解相关的意义和了解其实际背景.应该把几何的直观性和向量的运算有机的结合在一起。
【教学目标】1.复习向量的有关概念;2.会向量的线性运算,会向量数乘的运算，并体会其几何意义.3.学会平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.4.会求平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.领会向量作为工具性的魅力。
【教学重难点】1.重点是让学生学会向量的相关概念和向量的运算2.难点是如何用向量的方法解决一些问题.【教辅工具】教材、教参、多媒体或实物投影仪、尺规（三）教学过程【教学反思】本节复习课在设计中主要体现对本章知识的回顾和梳理，在教学过程中，力求做到以下几点：（1）关注解题方法产生的思维过程引导学生探究如何将把问题转化为向量问题，揭示解题方法产生的的思维过程，让学生体会解题思路的形成过程和数学思想方法的运用，从而提高学生综合运用知识分析和解决问题的能力.（2）强化学生的应用意识一是培养学生利用所学数学知识、用数学的思维与观点去观察和分析现实生活现象的习惯和意识，强化学生的应用意识；二是为学生提供充足的动手操作的机会，一旦形成解决问题的思路，后续的解题过程则放手让学生独立完成，让学生体验问题的解决过程，并在此过程中锻炼与提高数学能力.（3）引导学生探究解题规律指导学生做好解题后的反思，总结解题规律，从而培养学生理性的、条理的思维习惯，形成对通性通法的归纳意识.。
平面向量运算复习课教案
平面向量运算复习课教案一、知识概述1.向量的定义平面向量平面向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。
2.向量的表示向量有多种表示方法，常用的有以下几种：- 以带箭头的有向线段表示，箭头所指的方向为向量的方向；- 以字母表示；- 以坐标形式表示。
3.向量的运算加法- 几何意义：将两个向量的初点合并，终点相连得到一个新向量；- 可以满足交换律和结合律。
减法- 几何意义：将被减向量平移至与减向量重合，然后连接两个向量的起点和终点来得到一个新向量；- 等价于加上对应的相反向量。
数乘- 几何意义：将向量的长度乘上一个实数得到一个与原向量方向相同或相反的向量，当实数为负时，向量方向相反；- 支持分配律和结合律。
数量积- 几何意义：两个向量的数量积是一个标量，它等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量上的投影长度；- 支持交换律和分配律。
二、教学目标- 理解向量的定义和表示方法；- 掌握向量的加、减和数乘运算；- 熟悉向量的数量积及其应用。
三、教学重点和难点1.教学重点- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
2.教学难点- 向量的数量积的理解和应用。
四、教学方法- 以例题带动思考；- 鼓励学生自主思考，课后布置练。
五、教学过程1.引入- 向学生提出问题：有两个向量 a 和 b，如何求它们的和？- 让学生自由讨论一段时间，然后引出向量的加法运算。
2.讲解向量的加法、减法和数乘运算- 通过几何图形演示，讲解向量加法、减法和数乘的定义、性质和计算方法。
3.讲解向量的数量积- 通过几何图形演示，讲解向量数量积的定义和计算方法；- 通过例题，讲解向量数量积的性质和应用。
六、教学效果评估1.课堂测验- 布置一些选择题和填空题，考察学生对向量的定义、表示、运算和数量积的掌握情况。
2.作业- 布置一些练题和思考题，巩固和拓展学生对向量的理解和应用。
七、板书设计- 向量的定义；- 向量的表示；- 向量的加、减和数乘运算；- 向量的数量积及其应用。
平面向量二轮复习教学设计
平面向量二轮复习教学设计引言：平面向量是高中数学中一个非常重要的概念，也是数学竞赛中常考的内容之一。
为了帮助学生复习平面向量的知识并提升其应用能力，本文设计了一节针对平面向量的复习教学。
目标：在本节课中，我们的目标是复习和巩固平面向量的基本概念和性质，包括向量的表示、向量的加法和减法、向量的数量积以及平面向量的基本运算规则。
同时，通过一些典型的习题和应用题，培养学生分析和解决问题的能力。
教学内容：1. 向量的基本概念和表示方法（15分钟）- 复习向量的定义：有大小和方向的量。
- 复习向量的表示方法：用有向线段表示。
2. 向量的加法和减法（20分钟）- 复习向量的加法和减法的定义。
- 给出几个示例，让学生进行计算和分析。
3. 向量的数量积（30分钟）- 复习向量的数量积的定义和性质。
- 解释数量积的几何意义和计算方法。
- 给出几个应用题，让学生进行计算和分析。
4. 平面向量的基本运算规则（20分钟）- 复习平面向量的基本运算规则：交换律、结合律、分配率等。
- 给出几个示例，让学生进行推导和计算。
5. 综合应用题（30分钟）- 准备一些综合应用题，让学生综合运用平面向量的知识解决实际问题。
- 强调问题分析和解决方法，引导学生思考和讨论。
教学方法：1. 理论讲解与示范：通过讲解向量的基本概念和运算规则，并通过示例演示计算方法和解题思路。
2. 互动讨论与群体合作：在讲解的过程中，引导学生积极回答问题，并鼓励学生相互交流和讨论。
3. 实际应用与综合训练：通过提供一些实际问题和综合应用题，让学生运用所学的平面向量知识解决问题，提升其应用能力。
教学评价：为了评价学生的学习效果和掌握程度，本节课可采用以下方式进行评价：1. 平时表现：包括学生在课堂上的表现、回答问题的积极性和参与度等。
2. 作业评价：布置一些与教学内容相关的练习题或作业，通过批改和讲解答案来评价学生的学习情况。
3. 小组合作评价：对学生进行小组合作评价，评估学生在群体讨论和合作中的表现和贡献。
高中二年级数学《平面向量》复习课(学案)
《平面向量》复习课〔学案〕【复习要求】1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；【知识提要】1、平面向量有关的概念：〔1〕向量；〔2〕向量模；〔3〕相等的向量；〔4〕负向量；〔5〕零向量；〔6〕单位向量；〔7〕平行向量；〔8〕垂直向量；〔9〕向量的夹角；〔10〕位置向量；〔11〕向量的坐标。
2、向量的运算：〔1〕加减法；〔2〕实数与向量的乘积；〔3〕向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )=，22b (x ,y )=。
〔1〕a b =⇔1212x x y y =⎧⎨=⎩；〔2〕a b ⊥⇔a b 0⋅=⇔1212x x y y 0+=；〔3〕a ∥b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ⇔1221x y x y 0-=；〔4〕12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ确定；〔5〕三角形中线向量公式：1m (a b)2=+；〔6〕模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+。
【超级】相关知识：〔1〕方向向量；〔2〕法向量；〔3〕复数的向量表示；〔4〕两直线的夹角；〔5〕相关的三角比公式；〔6〕正弦定理、余弦定理。
【热身训练】1．以下命题中：①假设a b ⊥，那么|a b ||a b |+=-；②假设a ∥b ，那么a b |a ||b |⋅=⋅；③假设a 与b 反向，那么|a b ||a ||b |-=+；④假设a 与b 不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+=，那么p q 0==。
其中真命题的个数为〔 〕〔A 〕1 〔B 〕2 〔C 〕3 〔D 〕42． 设P 是△ABC 所在平面上一点，假设PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，那么P 是△ABC 的〔 〕 〔A 〕心 〔B 〕 外心 〔C 〕 重心 〔D 〕 垂心3．OA (1,2)=-，OB (3,m)=，且OA AB ⊥，那么m ＝。
高中数学平面向量复习优秀教案
平面向量复习〔一〕【复习目标】1掌握向量的相关概念:2会进行向量的根本运算3理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理【复习重点】向量的根本运算【复习难点】理解平面向量之间关系及平面向量的根本定理复习内容一、向量的相关概念: 1)定义2)重要概念：〔1〕零向量：〔2〕单位向量：〔3〕平行向量：〔4〕相等向量：〔5〕相反向量：3)向量的表示4)向量的模〔长度〕二、向量的运算1）加法：①两个法则②坐标表示减法:①法则②坐标表示，运算律2)实数λ与向量a 的积3)平面向量的数量积：(1)两向量的夹角定义(2)平面向量数量积的定义(3)a在b上的投影(4)平面向量数量积的几何意义〔5〕平面向量数量积的运算律三、平面向量之间关系〔1〕向量平行(共线)条件的两种形式:〔2〕向量垂直条件的两种形式:〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.四、平面向量的根本定理注:满足什么条件的向量可作为基底?向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
重要概念：零向量：长度为0的向量，记作0.〔2〕单位向量：长度为1个单位长度的向量.〔3〕平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反的非零向量.〔4〕相等向量：长度相等且方向相同的向量.〔5〕相反向量：长度相等且方向相反的向量.一、向量的相关概念〔一〕、向量表示及运算：几何表示，字母表示，坐标表示1、向量的模〔长度〕即向量的大小,记作|a| ；向量的表示方法: _________2、向量的加法: 平行四边形法则；三角形法则(首尾相接)，平行四边形法则，坐标表示:a + b = (x1+ x2，y1+ y2)．运算律：交换律；结合律。
3、向量的减法: 三角形法则(指向被减数)．坐标表示: a - b = (x1- x2，y1- y2)．4、(1)实数与向量的积:λa．规定:1) |λa| =|λ||a| ;2) λ＞0时与a同向; λ＜0时与a反向; λ=0时, λa = 0;坐标表示:λa=(λx，λy)．运算律：λ(μa ) = (λμ)a ; (λ+μ)a = λa +μa ;λ(a + b ) = λa +λ b.5、平面向量的数量积1〕、（1）a与b的夹角：共同的起点（2）向量夹角的范围：[00，1800]〔3〕向量垂直：〔4〕两个非零向量的数量积：• 规定：零向量与任一向量的数量积为0几何意义：数量积a·b等于：2〕、数量积的运算律：⑴交换律：a⋅b=b⋅a⑵对数乘的结合律：(λa)⋅b= λ(a⋅b)=a⋅(λb)⑶分配律：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c数量积不满足结合律即: (a⋅b)⋅c≠a⋅(b⋅c)3〕、平面向量数量积的重要性质a,b为非零向量，e为单位向量•〔1〕e · a=a·e=|a |cosθ•〔2〕a⊥b的条件是a·b=0(3) 当a与b同向时，a· b = |a | | b | ;当a与b反向时，a·b= - |a | | b特别地：a·a=| a |2或| a | =_____________〔4〕cosθ=〔5〕|a·b| ≤ | a | | b|二、平面向量之间关系向量平行(共线)条件的两种形式:(1)a // b(b≠ 0) ⇔a= λb;(2)a // b(a= (x1 , y1 ), b= (x2 , y2 ), b≠ 0)⇔ x1 y2- x2 y1=0向量垂直条件的两种形式:(1) a⊥b⇔a•b= 0( 2 ) a⊥b⇔a•b=x1x2+y1y2= 0〔3〕两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等.那么a=b⇔x1=x2且y1=y2三、平面向量的根本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，则______________例1. a = (1, 2),b = (-3, 2),当k为何值时,( 1) k a + b与a-3 b垂直;(2)k a + b与a-3 b平行, 平行时它们是同向还是反向? 例2.向量a,b 不共线．(1)假设A → B = a -b, B → C= 2 a -8 b, C → B=(a +b ), 求证A 、 B 、D 共线;(2)假设 k a - b 与 a -k b 共线,求实数 k 的值。
高中数学第二章平面向量阶段复习课第3课平面向量学案新人教A版必修4
第三课 平面向量[核心速填]1．向量的运算( 1 )加法:①OA →＋AB →＝OB →,②若四边形OABC 为平行四边形,则OA →＋OC →＝OB →. ( 2 )减法:OA →－OB →＝BA →. ( 3 )数乘:|λa |＝|λ||a |.( 4 )数量积:a·b ＝|a ||b |cos θ( a 与b 的夹角为θ )． 2．两个重要定理( 1 )向量共线定理:向量a ( a ≠0 )与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b ＝λa . ( 2 )平面向量基本定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a ＝λ1e 1＋λ2e 2,其中e 1,e 2是一组基底．3．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝( x 1,y 1 )b ＝( x 2,y 2 ),则:( 1 )a ∥b ⇔a ＝λb ( λ≠0 )⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ( 2 )a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 4．平面向量的三个性质( 1 )若a ＝( x ,y ),则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. ( 2 )若A ( x 1,y 1 ),B ( x 2,y 2 ),则|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.( 3 )若a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 ),θ为a 与b 的夹角,则cos θ＝a·b|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [体系构建][题型探究]平面向量的线性运算( 1 )平面上有A ( 2,－1 ),B ( 1,4 ),D ( 4,－3 )三点,点C 在直线AB 上,且AC→＝12BC →,连接DC 延长至E ,使|CE →|＝14|ED →|,则点E 的坐标为________．图21( 2 )如图21,在正五边形ABCDE 中,若AB →＝a ,BC →＝b ,CD →＝c ,DE →＝d ,EA →＝e ,求作向量a －c ＋b －d －e . 【2275】( 1 )⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 [( 1 )∵AC →＝12BC →,∴OC →－OA →＝12( OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝( 3,－6 ), ∴点C 坐标为( 3,－6 )．由|CE →|＝14|ED →|,且E 在DC 的延长线上,∴CE →＝－14ED →.设E ( x ,y ),则( x －3,y ＋6 )＝－14( 4－x ,－3－y ),得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－1＋14x ，y ＋6＝34＋14y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.( 2 )a －c ＋b －d －e ＝( a ＋b )－( c ＋d ＋e ) ＝( AB →＋BC → )－( CD →＋DE →＋EA →) ＝AC →－CA →＝AC →＋AC →.如图,连接AC ,并延长至点F ,使CF ＝AC ,则CF →＝AC →,所以AF →＝AC →＋AC →,即为所求作的向量a －c ＋b －d －e .][规律方法] 1.向量加法是由三角形法则定义的,要点是“首尾相连”,即AB →＋BC →＝AC →. 向量加法的平行四边形法则:将两向量移至共起点,分别为邻边作平行四边形,则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．2．向量减法实质是向量加法的逆运算,是相反向量的作用．几何意义有两个:一是以减向量的终点为起点,被减向量的终点为终点的向量;二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．3．数乘运算即通过实数与向量的乘积,实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． [跟踪训练]1．如图22所示,在△ABC 中,AN →＝13NC →,P 是BN 上的一点,若AP →＝mAB →＋211AC →,则实数m的值为________．图22311[设BP →＝λBN →, 则BP →＝BA →＋AP →＝－AB →＋mAB →＋211AC →＝( m －1 )AB →＋211AC →.BN →＝BA →＋AN →＝－AB →＋14AC →.∵BP →与BN →共线,∴14( m －1 )＋211＝0,∴m ＝311.]平面向量数量积的运算( 1 )已知点A ( －1,1 )、B ( 1,2 )、C ( －2,－1 )、D ( 3,4 ),则向量AB →在CD→方向上的投影为( )A ．322B ．3152C ．－322D ．－3152( 2 )如图23,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4,AD ＝3,CD ＝2,AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3,则AB →·AD →＝________. 【2276】图23( 1 )A ( 2 )32 [( 1 )AB →＝( 2,1 ),CD →＝( 5,5 ),向量AB →＝( 2,1 )在CD →＝( 5,5 )上的投影为|AB →|cos 〈AB →,CD →〉＝|AB →|·AB →·CD →|AB →||CD →|＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.( 2 )因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫ － AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3,所以AB →·AD →＝32.][规律方法] 向量数量积的求解策略 1利用数量积的定义、运算律求解.在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛,即a ＋b2＝a 2＋2a·b ＋b 2,a －b2＝a 2－2a·b ＋b 2,上述两公式以及a ＋b ·a －b ＝a 2－b 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2借助零向量.即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”,再合理地进行向量的移项以及平方等变形,求解数量积.3借助平行向量与垂直向量.即借助向量的拆分,将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积,借助a ⊥b ,则a·b ＝0等解决问题.4建立坐标系,利用坐标运算求解数量积. [跟踪训练]2．在边长为1的菱形ABCD 中,∠BAD ＝60°,E 是BC 的中点,则AC →·AE →等于( )A.3＋33B.92C. 3D.94D [建立如图平面直角坐标系,则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12.∴E 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫34，－14,∴AC →＝( 3,0 ),AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫334，－14,∴AC →·AE →＝3×334＝94.]平面向量的平行与垂直问题( 1 )已知向量m ＝( λ＋1,1 ),n ＝( λ＋2,2 ),若( m ＋n )⊥( m －n ),则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1( 2 )设A ,B ,C ,D 为平面内的四点,且A ( 1,3 ),B ( 2,－2 ),C ( 4,1 )． ①若AB →＝CD →,求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →,b ＝BC →,若k a －b 与a ＋3b 平行,求实数k 的值. ( 1 )B [( 1 )因为m ＋n ＝( 2λ＋3,3 ),m －n ＝( －1,－1 ),且( m ＋n )⊥( m －n ),所以( m ＋n )·( m －n )＝－2λ－3－3＝0, 解得λ＝－3. ( 2 )①设D ( x ,y )． 因为AB →＝CD →,所以( 2,－2 )－( 1,3 )＝( x ,y )－( 4,1 ), 化为( 1,－5 )＝( x －4,y －1 ),所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，所以D ( 5,－4 )．②因为a ＝AB →＝( 2,－2 )－( 1,3 )＝( 1,－5 ),b ＝BC →＝( 4,1 )－( 2,－2 )＝( 2,3 ), 所以k a －b ＝k ( 1,－5 )－( 2,3 )＝( k －2,－5k －3 ),a ＋3b ＝( 1,－5 )＋3( 2,3 )＝( 7,4 )．因为k a －b 与a ＋3b 平行,所以7( －5k －3 )－4( k －2 )＝0, 解得k ＝－13.所以k ＝－13.]母题探究:1.将例3( 2 )②中的“BC →”改为“AC →”,“平行”改为“垂直”,求实数k 的值．[详细解析] 因为a ＝AB →＝( 1,－5 ),b ＝AC →＝( 3,－2 ), 所以k a －b ＝( k －3,－5k ＋2 ),a ＋3b ＝( 10,－11 ),因为( k a －b )⊥( a ＋3b ),所以( k a －b )·( a ＋3b )＝10( k －3 )－11( －5k ＋2 ) ＝65k －52＝0, 解得k ＝5265.2．在例3( 2 )中若A ,B ,D 三点共线,且AC ⊥CD ,求点D 的坐标． [详细解析] 设点D 的坐标为( x ,y ),则 AB →＝( 1,－5 ),AD →＝( x －1,y －3 ), AC →＝( 3,－2 ),CD →＝( x －4,y －1 ),由题意得AB →∥AD →,AC →⊥CD →,所以⎩⎪⎨⎪⎧－5x －1－y －3＝0，3x －4－2y －1＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋y ＝8，3x －2y ＝10，解得x ＝2,y ＝－2,所以点D 的坐标为( 2,－2 )．[规律方法] 1.证明共线问题常用的方法( 1 )向量a ,b ( a ≠0 )共线⇔存在唯一实数λ,使b ＝λa . ( 2 )向量a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 )共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. ( 3 )向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.( 4 )向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0,其中a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 ).平面向量的模、夹角( 1 )已知向量a ,b 夹角为45°,且|a |＝1,|2a －b |＝10,则|b |＝________. ( 2 )已知c ＝m a ＋n b ,c ＝( －23,2 ),a ⊥c ,b 与c 的夹角为2π3,b·c ＝－4,|a |＝22,求实数m ,n 的值及a 与b 的夹角θ. 【2278】( 1 )32 [( 1 )因为向量a ,b 夹角为45°, 且|a |＝1,|2a －b |＝10, 所以4a 2＋b 2－4a·b ＝10,化为4＋|b |2－4|b |cos 45°＝10,化为|b |2－22|b |－6＝0,因为|b |≥0, 解得|b |＝3 2.( 2 )∵c ＝( －23,2 ),∴|c |＝4.∵a ⊥c ,∴a·c ＝0. ∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4, ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ,∴c 2＝m a·c ＋n b·c , ∴16＝n ×( －4 ),∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a , 得0＝8m －4a·b .① 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ,得m a·b ＝12. ②由①②,得m ＝±6, ∴a·b ＝±26,∴cos θ＝±2622×2＝±32,∴θ＝π6或5π6.][规律方法] 1.解决向量模的问题常用的策略 ( 1 )应用公式:|a |＝x 2＋y 2( 其中a ＝( x ,y ) )． ( 2 )应用三角形或平行四边形法则．( 3 )应用向量不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. ( 4 )研究模的平方|a ±b |2＝( a ±b )2. 2．求向量的夹角设非零向量a ＝( x 1,y 1 ),b ＝( x 2,y 2 ),两向量夹角θ( 0≤θ≤π )的余弦cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [跟踪训练]3．已知向量a ＝( 1,2 ),b ＝( －2,－4 ),|c |＝5,若( c －b )·a ＝152,则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°C [a·b ＝－10,则( c －b )·a ＝c·a －b·a ＝c·a ＋10＝152,所以c·a ＝－52,设a 与c 的夹角为θ,则cos θ＝a·c |a |·|c |＝－525×5＝－12,又θ∈[0°,180°],所以θ＝120°.]平面向量在平面几何和物理中的应用( 1 )用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体,如图24所示,已知物体的重力大小为10 N,则每根绳子的拉力大小是________．图24( 2 )如图25所示,在正方形ABCD 中,P 为对角线AC 上任一点,PE ⊥AB ,PF ⊥BC ,垂足分别为E ,F ,连接DP ,EF ,求证:DP ⊥EF . 【2279】图25( 1 )10 N [因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根绳子的拉力大小都是10 N ．]( 2 )证明:法一:( 基向量法 )设正方形ABCD 的边长为1,AE ＝a ( 0＜a ＜1 ),则EP ＝AE ＝a ,PF ＝EB ＝1－a ,AP ＝2a ,∴DP →·EF →＝( DA →＋AP → )·( EP →＋PF → )＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos 180°＋1×( 1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×( 1－a )×cos 45°＝－a ＋a 2＋a ( 1－a )＝0,∴DP →⊥EF →,即DP ⊥EF .法二:( 坐标法 )设正方形边长为1,建立如图所示的平面直角坐标系,设P ( x ,x ),则D ( 0,1 ),E ( x,0 ),F ( 1,x ),所以DP →＝( x ,x －1 ),EF →＝( 1－x ,x ), 由DP →·EF →＝x ( 1－x )＋x ( x －1 )＝0, 所以DP →⊥EF →,即DP ⊥EF .[规律方法] 平面向量两个方面的应用 ( 1 )平面几何应用向量 几何问题共线向量 点共线问题、直线与直线平行数乘向量 求线段长度之比数量积线段的长度、直线与直线的夹角( 2 )物理应用:速度、位移、力、功． [跟踪训练]4．已知点O ,N ,P 在△ABC 所在平面内,且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|,NA →＋NB →＋NC →＝0,PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →,则点O ,N ,P 依次是△ABC 的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心C [因为点O 到△ABC 的三个顶点距离相等, 所以点O 是△ABC 的外心．因为NA →＋NB →＋NC →＝0,所以NA →＋NB →＝－NC →, 设线段AB 的中点为M ,则2NM →＝－NC →.由此时可知N 为AB 边中线的三等分点( 靠近中点M ) 所以N 是△ABC 的重心．因为PA →·PB →＝PB →·PC →,所以PB →·( PA →－PC →)＝0, 即PB →·CA →＝0,所以PB →⊥CA →.同理由PB →·PC →＝PC →·PA →可证PC →⊥AB →,所以P 是△ABC 的垂心．]。
高中数学必修二(人教A版)《6.5平面向量 (复习课) 》【教案匹配版】最新中小学课程
⑤若两等和线关于 O 点对称，则它们定值 k1,k2 互为_____数；
典例 2 【平面向量的数量积问题】已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一
点，则 PA (PB PC) 的最小值是（ ）
A. 2
B.
3 2
C.
4 3
D. 1
A
M P
B
O
C
二、抓住核心,突破重点
【知识拓广 2】极化恒等式及其几何意义
2
2
ab ab
1.极化恒等式： a b
6.5 平面向量(复习课)
主讲人：
一、理清脉络,纲举目张
二、抓住核心,突破重点
典例 1 【平面向量的最值问题】在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD
相切的圆上.若 AP AB AD ，则 的最大值为( )
A．3
B．2 2
C． 5
D．2
二、抓住核心,突破重点
4
2.几何意义（极化恒等式的三角形模式）：在 ABC中，若 M 是 BC 的中点，则
AB•
AC
2
AM
1
2
BC
2
AM
2
BM .
4
二、抓住核心,突破重点
典例 2 【平面向量的数量积问题】已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一
点，则 PA (PB PC) 的最小值是（ ）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《平面向量》复习课（学案）
【复习要求】
1、理解和掌握平面向量有关的概念；
2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；
3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；
4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；
【知识提要】
1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向
量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )=，22b (x ,y )=。
（1）a b =⇔121
2x x y y =⎧⎨=⎩；（2）a b ⊥⇔a b 0⋅=⇔1212x x y y 0+=；（3）a ∥⇔存在0λ≠，使得a b =λ⇔1221x y x y 0-=；（4）12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ确定；（5）三角形中线向量公式：1m (a b)2
=+；（6）模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+。
【超级】
相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。
【热身训练】
1．下列命题中：①若a b ⊥，则|a b ||a b |+=-；②若a ∥，则a b |a ||b |⋅=⋅；③若a 与反向，则|a b ||a ||b |-=+；④若与不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+=，则p q 0==。
其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2． 设P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） （A ）
心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心
3．已知OA (1,2)=-，OB (3,m)=，且OA AB ⊥，则m ＝ 。
4．非零向量a 、b 满足|b a ||b ||a |-==，则a 、a +b 夹角大小是 。
5．已知A(1,0)，，AB 绕点A 逆时针旋转60，得到AC ，则C 点的坐标为 。
【例题精讲】
例题1 填空（或选择）题：
（1）已知a (cos ,sin )=αα，b (sin ,cos )=ββ，若310|a b |5
+=，则sin()α+β= 。
（2）△ABC 的三个角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p (a c,b)=+，q (b a,c a)=--，若p ∥q ，则角C 的大小为 。
（3）向量a (1,1)=-，且a 与a 2b +方向相同，则a b ⋅的取值围是 。
（4）已知集合M {a |a (1,2)(3,4),R}==+λλ∈，N {b |b (2,2)(4,5),R}==--+λλ∈，则M N =（ ）（A ）{(1,1)}- （B ）{(1,1),(2,2)}-- （C ）{(2,2)}-- （D ）∅
（5）已知向量a e ≠，|e |1=，对任意t R ∈，恒有|a te ||a e |-≥-，则（ ）
（A ） a e ⊥ （B ）a (a e)⊥- （C ）c (a e)⊥- （D ）(a e)(a e)+⊥-
例题2 平面有向量OA (1,7)=，OB (5,1)=，OP (2,1)=，点M 为直线OP 上的一个动 点。
（1）当MA MB ⋅取最小值时，求OM 的坐标；（2）在点M 满足（1）的条件下，求
∠AMB 的余弦值。
例题3 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的中点，求证：（1）AC BD BC AD +=+；（2）AC BF FC AB -=+；（3）FB DC EA 0++= 。
例题4 已知1F (1,0)-，2F (1,0)，1
A(,0)2
，动点P(x,y)满足123PF PA PF PA 0⋅+⋅=。
（1）求|OP |（其中O 为原点）；（2）是否存在点P ，使PA 成为∠F 1PF 2的平分线？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。
例题5 ABC ∆中，21=，3
1=,BQ 与CR 交于点D ，AD 的延长线交BC 于P 。
（1）用，AC 表示BQ 和CR ；（2）若BQ AB AD λ+==CR AC μ+，数λ和μ的值。
【追踪练习】
1、在△ABC 中，有下列四个命题：①若(AB AC)(AB AC)0+⋅-=，则△ABC 为等腰
三角形；②若AB (AC AB)0⋅-=，则△ABC 为直角三角形；③若AB AC 0⋅>，则△ABC 为锐角三角形；④若AB AC BC CA CB BA ⋅=⋅=⋅，则△ABC 为等边三角形。
其中真命题的个数为（ ） （A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
2、已知a (3,2)=-，b (2,1)=-，且3-=⋅，6=⋅，则= 。
3、非零向量、满足||||||-==，则、+夹角大小是 。
4、ABC ∆中，），（21A -，），（13B -，），
（35C -，D 是线段BC 上的点，若ABC ABD S 4
1S ∆∆=，则= 。
5、平行四边形ABCD 中，），（21A ，）（3,5B --，）
，（67C -,O 为原点，求：（1）CD 的坐标；（2）BAC ∠大小。
6、是否存在正整数k ，使得向量j i k a +=，k +=的夹角大小等于5
3arccos ？若存在，求出正整数k ；
若不存在，请说明理由。
7、已知a (2,4)=，b (1,6)=，点A )1,2(-，∥（a b -）。
且54|AB |=，求OB 的坐标。
8、已知3|a |=， 2|b |=，与b 的夹角大小为600，b 5a 3c +=，b 3a m d -=，当m 为何值时，d c ⊥。
9、已知2||=， 1||=，
a 与的夹角大小为4
π，又3+-=，2-=， 求||。