高一数学关于扇形的经典试题及解析
高一数学(必修一)《第五章-任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版
高一数学(必修一)《第五章 任意角和弧度制》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、多选题1．已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数可能是（ ） A ．1 B ．4C ．2D ．3二、单选题2．终边与直线y x =重合的角可表示为（ ） A ．45180,k k Z ︒︒+⋅∈ B ．45360,k k Z ︒︒+⋅∈ C ．135180,k k Z ︒︒+⋅∈ D ．225360,k k Z ︒︒+⋅∈3．下列角中与116π-终边相同的角是（ ） A ．30-︒B ．40-︒C ．20︒D ．390︒4．下列说法正确的是（ ）A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan 0α≥，则()2k k k Z ππαπ≤≤+∈C ．若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α D ．当()224k k k Z ππαπ<<+∈时，则sin cos αα<5．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240︒，则该圆锥的侧面积为（ ）A B ．881πCD ．23π6．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间（如图）．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4πm肩宽约为8πm ，“弓”所在圆的半径约为5m 41.414≈和1.732）（ ）A ．1.012mB ．1.768mC ．2.043mD ．2.945m三、填空题7．6730'︒化为弧度，结果是______.8．已知扇形的周长为20cm ，面积为92cm ，则扇形的半径为________.9．折扇最早出现于公元五世纪的中国南北朝时代，《南齐书》上说：“褚渊以腰扇障日．”，据《通鉴注》上的解释，“腰扇”即折扇．一般情况下，折扇可以看作从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的弧长为l ，扇形所在的圆的半径为r ，当l 与r 的比值约为2.4时，则折扇看上去的形状比较美观.若一把折扇所在扇形的半径为30cm ，在保证美观的前提下，此折扇所在扇形的面积是_______2cm ．10．设地球半径为R ，地球上北纬30°圈上有A ，B 两点，点A 在西经10°，点B 在东经110°，则点A 和B 两点东西方向的距离是___________.四、解答题11．将下列各角化成360,,0360k k βαα=+⋅︒∈︒≤<︒Z 的形式，并指出它们是第几象限的角：（1）1320︒；（2）315-︒；（3）1500︒；（4）1610-︒．12．根据角度制和弧度制的转化，已知条件：1690α=︒(1)把α表示成2k πβ+的形式[)()Z,02k βπ∈∈，；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且()4,2θππ∈--．13．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积． 14．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l. (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，则这个扇形的面积最大？ 15．已知扇形的周长为c ，当扇形的圆心角为多少弧度时，则扇形的面积最大．16．某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用，如图，一顾客自一楼点A 处乘Ⅰ到达二楼的点B 处后，沿着二楼地面上的弧BM 逆时针步行至点C 处，且C 为弧BM 的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点D 处，设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为半径为8m ，相邻楼层的间距为4m ，两部电梯与楼面所成角的正弦值均为13.(1)求此顾客在二楼地面上步行的路程； (2)求异面直线AB 和CD 所成角的余弦值.17．某地政府部门欲做一个“践行核心价值观”的宣传牌，该宣传牌形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的)．已知2OA =米，OB x =米()02x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为6米，圆心角为θ弧度．(1)求θ关于x 的函数解析式；(2)记该宣传牌的面积为y ，试问x 取何值时，则y 的值最大?并求出最大值．参考答案与解析1．AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S ，圆心角为α，则212l r +=，182S lr ==解得2r =和8l =或4r =和4l ，则4lrα==或1．故C ，D 错误. 故选：AB ． 2．A【分析】根据终边相同的角的概念，简单计算即可.【详解】终边与直线y x =重合的角可表示为45180,k k Z +⋅∈． 故选：A. 3．D【分析】由角度制与弧度制的互化公式得到113306π-=-︒，结合终边相同角的表示，即可求解. 【详解】由角度制与弧度制的互化公式，可得113306π-=-︒ 与角330-︒终边相同的角的集合为{|330360,}A k k Z αα==-︒+⋅︒∈ 令2k =，可得390α=︒所以与角330α=-︒终边相同的角是390α=︒. 故选：D. 4．D【分析】利用弧度制、三角函数值的正负、三角函数的定义和三角函数线的应用逐一判断选项即可. 【详解】对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为3π弧度，A 错误； 对于B ，若tan 0α≥，则()2k k k ππαπ≤<+∈Z ，B 错误；对于C ，若角α的终边过点()()3,40P k k k ≠，则4sin 5α=±，C 错误；对于D ，当()224k k k ππαπ<<+∈Z 时，则sin cos αα<，D 正确.故选D.5．D【分析】根据扇形的圆心角、弧长和半径的关系以及扇形的面积求解. 【详解】解：将圆心角240︒化为弧度为：43π，设圆锥底面圆的半径为r 由圆心角、弧长和半径的公式得：4213r ππ=⨯，即23r =由扇形面积公式得：22133S ππ=⨯⨯=所以圆锥的侧面积为23π. 故选：D. 6．B【分析】由题意分析得到这段弓形所在的弧长，结合弧长公式求出其所对的圆心角，双手之间的距离，求得其弦长，即可求解.【详解】如图所示，由题意知“弓”所在的弧ACB 的长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==则两手之间的距离()522sin 1.768m 44AB AD π==⨯⨯≈．故选：B ．7．38π【解析】根据角度制与弧度制的关系180π︒=，转化即可. 【详解】180π︒= 1180π︒∴=36730'67.567.51808ππ︒∴︒==⨯=故答案为：38π 【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题. 8．9cm【分析】由题意设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，由扇形的周长、面积可得1(202)92r r -=，解出r 后，验证即可得解.【详解】设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为θ ∵220l r +=，∴202l r =-∴192lr =，即1(202)92r r -=，解得1r =或9r = 当1r =时，则18l =，则181821l r θπ===>，不合题意，舍去； 当9r =时，则2l =，则229l r θπ==<，符合题意. 故答案为：9cm.【点睛】本题考查了扇形弧长及面积公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．1080【分析】首先求出弧长，再根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：依题意30r =cm ， 2.4lr=所以 2.472l r ==cm ，所以117230108022S lr ==⨯⨯=2cm ；故答案为：108010 【分析】求出,O A O B ''的长度，确定AO B ∠'的大小，再由弧长公式求得A,B 两地的东西方向的距离. 【详解】如图示，设O '为北纬30°圈的圆心，地球球心为O则60AOO '∠= ,故AO '=,即北纬30°R由题意可知2π1203AO B '∠==故点A 和B 两点东西方向的距离即为北纬30°圈上的AB 的长故AB 的长为2π3R =11．（1）132********︒=︒⨯+︒，第三象限； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，第一象限； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，第一象限； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，第三象限．【分析】先将各个角化为指定形式，根据通过终边相同的角的概念判断出角所在象限.【详解】（1）132********︒=︒⨯+︒，因为240︒的角终边在第三象限，所以1320︒是第三象限角； （2）()315360145-︒=︒⨯-+︒，因为45︒的角终边在第一象限，所以315-︒是第一象限角； （3）1500360460︒=︒⨯+︒，因为60︒的角终边在第一象限，所以1500︒是第一象限角； （4）()16103605190-︒=︒⨯-+︒，因为190︒的终边在第三象限，所以1610-︒是第三象限角. 12．(1)254218α=⨯π+π； (2)4718θπ=-.【分析】(1)先把角度数化成弧度数，再表示成符合要求的形式. (2)由(1)可得252,(Z)18k k θππ=+∈，再按给定范围求出k 值作答. (1)依题意，169251690169081801818παπππ=︒=⨯==+ 所以254218α=⨯π+π. (2)由(1)知252,(Z)18k k θππ=+∈，而(4,2)θππ∈--，则25422,()18k k Z ππππ-<+<-∈，解得2k =- 所以254741818θ=-π+π=-π. 13．80π【分析】先求出弧长，再利用扇形的面积公式直接求解. 【详解】设扇形弧长为l ，因为圆心角272721805ππ︒⨯=＝rad 所以扇形弧长2·2085l r παπ⨯=＝＝ 于是，扇形的面积S ＝12l ·r ＝12×8π×20＝80π. 14．（1）103π；（2）12；（3）=10,=2l α 【分析】（1）根据扇形的弧长公式进行计算即可．（2）根据扇形的周长公式以及面积公式建立方程关系进行求解 （3）根据扇形的扇形公式结合基本不等式的应用进行求解即可． 【详解】(1)α＝60°＝rad ，∴l ＝α·R ＝×10＝(cm).(2)由题意得解得 (舍去)，故扇形圆心角为. (3)由已知得，l ＋2R ＝20.所以S ＝lR ＝ (20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，则S 取得最大值25 此时l ＝10，α＝2.【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式的应用，根据相应的弧长公式和面积公式建立方程关系是解决本题的关键．15．当扇形的圆心角为2rad 时，则扇形的面积最大.【解析】设扇形的半径为r ，弧长为l ，利用周长公式，求得2l c r =-，代入扇形的面积公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设扇形的半径为r ，弧长为l 则2l r c +=，即2(0)2c l c r r =-<<由扇形的面积公式12S lr =，代入可得222111(2)()22416c S c r r r cr r c =-=-+=--+当4c r =时，则即22cl c r =-=时，则面积S 取得最小值此时2l rad r α==，面积的最小值为2c 16.【点睛】本题主要考查了扇形的周长，弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式和面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 16．(1)2πm【分析】（1）过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上，结合题意计算出1BO M ∠的大小，再利用扇形的弧长公式即可得出结果.（2）建立空间直角坐标系，求出异面直线AB 和CD 的方向向量，再由异面直线所成角的向量公式代入即可得出答案. （1）如图，过点B 作一楼地面的垂线，垂足为B '，则B '落在圆柱底面圆上 连接B A '，则B A '即为BA 在圆柱下底面上的射影 故BAB '∠即为电梯Ⅰ与楼面所成的角，所以1sin 3BAB '∠=.因为4BB AM '==，所以AB '=在AOB '中8OA OB ='=，所以AOB '是等腰直角三角形 连接1O ，B ，1O M ，则1π2BO M AOB '∠=∠= 因为BC CM =，所以BC 的长为π82π4⨯= 故此顾客在二楼地面上步行的路程为2π m . （2）连接2OO ，由（1）可知所在直线两两互相垂直.以O 为原点OB '，OA 和2OO 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则()8,0,4B ()0,8,0A 与()C 和()D -，所以()8,8,4AB =- ()4CD =-. 设异面直线AB 和CD 所成角为θ，则·42cos cos ,=9AB CD AB CD AB CDθ==故异面直线AB 和CD 17．(1)22(02)2x x x θ+=<<+； (2)当12x =时，则y 的值最大，最大值为94．【分析】(1)根据弧长公式和周长列方程得出θ关于x 的函数解析式；(2)根据面积公式求出y 关于x 的函数表达式，根据二次函数性质可得y 的最大值． (1)根据题意，弧BC 的长度为x θ米，弧AD 的长度2AD θ=米2(2)26x x θθ∴-++=∴22(02)2x x x θ+=<<+． (2)依据题意，可知2211222OAD OBC y S S x θθ=-=⨯-扇扇 化简得：22y x x =-++ 02x <<∴当12x =，则2max 1192224y ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭．∴当12x =时，则y 的值最大，且最大值为94．。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为 rad.【答案】2【解析】设扇形的圆心角为，半径为,则.【考点】弧度与扇形的面积和周长.2.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.3.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程4.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{α|α=k·360°+，k∈Z}B．{α|α=2kπ+60°，k∈Z}C．{α|α=k·180°+60°，k∈Z}D．{α|α=2kπ+，k∈Z}【答案】【解析】显然错误,因为集合中角度和弧度不统一;中错在．只有正确．【考点】终边相同的角的表示．5.若角的终边为第二象限的角平分线，则的集合为______________．【答案】【解析】在上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为，之后每隔个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为.【考点】终边相同的角的集合.6.已知角的终边经过点，则= ；【答案】【解析】，，.【考点】三角函数的定义7.已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于( )A．B．C．D．－【答案】A【解析】,,.故选A.【考点】三角函数的定义8.的值是（）A．1B．C．D．【答案】B【解析】，选B.【考点】诱导公式及特殊角的三角函数值.9.的值是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据三角函数的诱导公式可知，故C为正确答案.【考点】三角函数的诱导公式、三角函数值的计算.10.已知角的终边过点，的值为（）．A．－B．－C．D．【答案】A【解析】，，选A【考点】任意角三角函数的定义11.若角的终边与2400角的终边相同，则的终边在第象限.【答案】二或四【解析】由题意知，，所以的终边在第二或四象限.【考点】象限角问题12. sin(-)= ．【答案】【解析】．【考点】本题主要考查了利用三角函数的诱导公式求三角函数值得方法，属基础题．13.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题6(含解析)
2023-2024学年上海市高一上册期末数学试题一、填空题1．若扇形的弧长为2π，半径为2，则该扇形的面积是__________【正确答案】2π【分析】根据扇形面积公式求得正确答案.【详解】依题意，扇形的面积为12π22π2⨯⨯=.故2π2．已知一元二次方程20(0)x ax a a --=>的两个实根为12x x 、，则1211x x +=____【正确答案】1-【分析】先利用韦达定理得到1212,x x x x +，再由12121211x xx x x x ++=代入即可求解.【详解】因为一元二次方程20(0)x ax a a --=>的两个实根为12x x 、，所以1212,x x a x x a +==-.故121212111x x a x x x x a++===--故1-3．函数22log 1x y x +=-的定义域是__________.【正确答案】(,2)(1,)-∞-+∞ 【分析】先利用对数式中真数为正得到201x x +>-，再将分式不等式化为一元二次不等式进行求解.【详解】要使22log 1x y x +=-有意义，须201x x +>-，即(2)(1)0x x +->，解得1x >或<2x -，即函数22log 1x y x +=-的定义域是(,2)(1,)-∞-+∞ .故答案为.(,2)(1,)-∞-+∞ 4．已知cos160m = ，则tan20= __________【正确答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数的基本关系求得sin20 的值，进而求得cos20 的值.【详解】因为cos160m = ，所以cos20cos160m =-=- ，所以sin 20===所以sin 20tan 20cos 20===故m-5．定义{A B x x A -=∈∣且}x B ∉，若{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==，则()()A B B A -⋃-=______【正确答案】{}1,2,7,9【分析】根据题目定义，分别求得{}1,7,9A B -=和{}2B A -=，再利用并集运算即可得出结果.【详解】根据集合{A B xx A -=∈∣且}x B ∉的定义可知，当{}{}1,3,5,7,9,2,3,5A B ==时，可得{}1,7,9A B -=，{}2B A -=；所以()(){}1,2,7,9A B B A -⋃-=故{}1,2,7,96．将函数2x y =的图象向左平移__________个单位可得到函数32x y =⋅的图象.【正确答案】2log 3【分析】根据指数对数的运算知22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅，即可求解.【详解】因为22log 3log 322232x x x y +=⋅==⋅，所以将函数2x y =的图象向左平移2log 3个单位可得函数32x y =⋅的图象.故2log 37．当lg lg a b =，()a b ≠时，则13a b+的最小值是__________．【正确答案】【分析】由lg lg a b =且a b ¹，得出1ab =，用均值不等式即可得出答案．【详解】lg lg a b = ，且a b ¹，而函数lg y x =在()0,+∞上单调递增，lg lg lg 0ab a b ∴=+=，即1ab =，且0a >，0b >，13a b ∴+≥=当且仅当13a b =，即b =a =故8．已知关于x 的方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，则a 的取值范围___________.【正确答案】(0,4).【分析】由题知转化为函数265y x x =-+与y a =有4个不同的交点，画出函数265y x x =-+的图像即可求出a 的取值范围.【详解】方程265x x a -+=有四个不相等的实数根，等价于函数265y x x =-+与y a =有4个不同的交点.由函数265y x x =-+的图像知：a 的取值范围为.04a <<故(0,4)本题主要考查方程的根的问题，转化为函数的交点问题为解题的关键，属于中档题.9．德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，该函数被称为狄利克雷函数．若存在三个点11(,())A x D x 、22(,())B x D x 、33(,())C x D x ，使得ABC为等边三角形，则123()()()D x D x D x ++=________．【正确答案】1【分析】由狄利克雷函数分析得出ABC 的位置有两种情况，逐一分析即可得出答案．【详解】 1,()0,x y D x x ⎧==⎨⎩为有理数为无理数，∴()0D x =或1，存在三个点11(,())A x D x 、22(,())B x D x 、33(,())C x D x ，使得ABC 为等边三角形，∴123(),(),()D x D x D x 不同时为0或1，不妨设123x x x <<，分析得ABC 的位置有两种情况，第一种情况：当1x 为有理数时，即1()1D x =，如图，过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，得1BD =，AD =AB AC BC ===可知，2113x x AD x =+=+为无理数，31x x =即2()0D x =，3()0D x =，与图形不一致，舍去；第二种情况：当1x 为无理数时，即1()0D x =，如图，过点B 作BD AC ⊥，垂足为D ，得1BD =，AD =3AB AC BC ===，可知，211x x AD x =+=+31x x =存在1x =210Q x x =∈，且31x x =即2()1D x =，3()0D x =与图形一致，符合题意，此时，123()()()0101D x D x D x ++=++=，故1．10．已知函数()1ln xf x x+=在(]0,1是严格增函数，在[)1,+∞上为严格减函数，若对任意()0,x ∞∈+，都有e x x k ≤，则k 的取值范围是_________【正确答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数的单调性求出函数最大值可求出ln x x -的最大值，对e x x k ≤两边取自然对数，分离ln k ，利用不等式恒成立求解即可.【详解】因为()1ln xf x x+=在(]0,1是严格增函数，在[)1,+∞上为严格减函数，所以1ln ()(1)1xf x f x+=≤=.由0x >，可得ln 1x x -≤-，又()0,x ∞∈+时，由e x x k ≤可得ln ln(e )ln x x k k x ≤=+，即ln ln x x k -≤恒成立，所以ln 1k ≥-，即1ek ≥.故1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二、单选题11．若α为第三象限角，则（）A ．cos 20α>B ．cos20α<C ．sin 20α>D ．sin 20α<【正确答案】C利用α为第三象限角，求2α所在象限，再判断每个选项的正误.【详解】因为α为第三象限角，所以3222k k πππαπ+<<+()k Z ∈，可得24234k k ππαππ+<<+()k Z ∈，所以2α是第第一，二象限角，所以sin 20α>，cos 2α不确定，故选：C本题主要考查了求角所在的象限以及三角函数在各个象限的符号，属于基础题.12．已知定义域为R 的函数()y f x =满足：①对任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立；②若x y ≠则()()f x f y ≠.以下选项表述不正确．．．的是（）A ．()y f x =在R 上是严格增函数B ．若(3)10f =，则(6)100f =C ．若(6)100f =，则1(3)10f -=D ．函数()()()F x f x f x =+-的最小值为2【正确答案】A【分析】根据给定条件，探讨函数()f x 的性质，再举例判断A ；取值计算判断B ，C ；借助均值不等式求解判断D 作答.【详解】任意,R x y ∈，()()()f x y f x f y +=⋅恒成立，R a ∈且0a ≠，假设()0f a =，则有(2)()()()0()f a f a a f a f a f a =+=⋅==，显然2a a ≠，与“若x y ≠则()()f x f y ≠”矛盾，假设是错的，因此当R a ∈且0a ≠时，()0f a ≠，取0,0x a y =≠=，有()()(0)f a f a f =⋅，则(0)1f =，于是得R x ∀∈，()0f x ≠，R x ∀∈，2()()[(0222x x x f x f f =+=>，()()(0)1f x f x f ⋅-==，对于A ，函数1()(2xf x =，,x y ∀∈R ，111()()((()()222x y x y f x y f x f y ++==⋅=⋅，并且当x y ≠时，()()f x f y ≠，即函数1()(2xf x =满足给定条件，而此函数在R 上是严格减函数，A 不正确；对于B ，(3)10f =，则(6)(3)(3)100f f f =⋅=，B 正确；对于C ，(6)100f =，则(3)(3)100f f ⋅=，而(3)0f >，有(3)10f =，又(3)(3)1f f ×-=，因此1(3)10f -=，C 正确；对于D ，()()1f x f x ⋅-=，()0f x >，则有()()()1F x f x f x =+-匙=，当且仅当()()1f x f x =-=，即0x =时取等号，所以函数()()()F x f x f x =+-的最小值为2，D 正确.故选：A关键点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值即可.13．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠病毒感染累计人数()I t （t 的单位:天）的Logistic 模型:()()0.23531e t K I t --=+其中K为最大病毒感染数.当()0.95I t K ≥时，标志着该地区居民工作生活进入稳定窗口期.在某地区若以2022年12月15日为1t =天，以Logistic 模型为判断依据，以下表述符合预期的选项是（）A ．该地区预计2023年元旦期间进入稳定窗口期;B ．该地区预计2023年1月底进入稳定窗口期;C ．该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期;D ．该地区预计2023年某时刻不起再有新冠病毒感染者.【正确答案】C【分析】根据条件列不等式，解指数型不等式即可.【详解】由题意知，0.23(53)0.951et K K --≥+，即：0.23(53)201e19t --+≤，所以ln19353535313660.230.23t ≥+≈+≈+=，因为以2022年12月15日为1t =天，所以66t ≥天，即预计2023年2月18日后该地区进入稳定窗口期，即该地区预计2023年2月中下旬进入稳定窗口期.故选：C.14．已知函数()()23log 2f x mx x m =-+，定义域为A ，值域为B .则以下选项正确的是（）A ．存在实数m 使得R AB ==B ．存在实数m 使得R A B =⊆C ．对任意实数10,m A B -<<⋂≠∅D ．对任意实数0,m A B >⋂≠∅【正确答案】D【分析】设22y mx x m =-+，考虑1m >，1m =，01m <<，0m =，10m -<<，1m ≤-几种情况，分别计算集合A 和B ，再对比选项得到答案..【详解】设22y mx x m =-+，当2440m ∆=->，即11m -<<时，设对应方程的两根为1x ，2x ，不妨取12x x <，当1m >时，2440m ∆=-<，R A =，R B ≠且B ≠∅；当1m =时，()(),11,A =-∞+∞ ，R B =；当01m <<时，2440m ∆=->，()()12,,A x x =-∞+∞ ，R B =；当0m =时，(),0A =-∞，R B =；当10m -<<时，2440m ∆=->，()12,A x x =，max 1y m m =-，故31,log B m m ⎛⎤⎛⎫=-∞- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当1m ≤-时，函数无意义.对选项A ：根据以上情况知不存在R A B ==的情况，错误；对选项B ：根据以上情况知不存在R A B =⊆的情况，错误；对选项C ：假设任意实数10m -<<，A B ⋂≠∅，取119m m -=，解得118m -=，则(],2B =-∞-，对于220mx x m -+=，有1x =此时应满足1222x m=<-，解得405m -<<，易得118m -=不在此范围内，假设不成立，此时A B ⋂=∅，错误；对选项D ：根据以上情况知对任意实数0,m A B >⋂≠∅，正确；故选：D关键点睛：本题考查了对数型复合函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据二次函数的开口方向和∆的正负讨论a 的范围，进而计算集合A 和B 是解题的关键，分类讨论的方法是常考方法，需要熟练掌握.三、解答题15．如图所示：角α为锐角，设角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点2,cos 3P α=，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转π2后与单位圆交于点()11,Q x y .(1)求tan α的值;(2)求1y 的值.【正确答案】52(2)23【分析】（1）确定sin 0α>，计算5sin 3α=，根据sin tan cos ααα=得到答案.（2）设终边OQ 对应的角度为β，则π2βα=+，1cos y α=，计算得到答案.【详解】（1）角α为锐角，sin 0α>，2cos 3α=，则245sin 1cos 193αα=-=-=sin 5tan cos 2ααα==.（2）设终边OQ 对应的角度为β，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2βα=+，1π2sin sin cos 23y βαα⎛⎫==+==⎪⎝⎭16．集合S ={()()(),0,f x f x x y x∈+∞=∣为严格增函数}.()()2121(0),(0)f x x x f x x x =+>=>(1)直接写出()()12,f x f x 是否属于集合;S (2)若()m x S ∈.解不等式：()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅(3)()()()()120H x af x bf x ab =+≠证明：“()H x S ∈”的充要条件是“0,0b a ><”【正确答案】(1)()1f x 不属于集合S ，()2f x 属于集合S (2)()3,1-(3)证明见解析【分析】（1）根据定义直接判断即可；（2）由()m x S ∈，可得函数()m x y x=为增函数，不等式()()223223e ee e x xxx m m -+⋅<⋅，即为不等式()()222332e e e e x xxxm m ++<，再根据函数的单调性解不等式即可；（3）()H x S ∈，即函数()H x y x=在定义域内为增函数，根据函数的单调性结合充分条件和必要条件的定义证明即可.【详解】（1）因为()()1110f x y x xx==+>在定义域内为减函数，所以()1f x 不属于集合S ，因为()()20f x y x x x==>在定义域内为增函数，所以()2f x 属于集合S ；（2）不等式()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅，即为不等式()()222332e e e e x xxxm m ++<，因为()m x S ∈，所以函数()m x y x=为增函数，所以223e e xx+<，所以223x x +<，解得31x -<<，所以不等式()()223223ee e e xxxx m m -+⋅<⋅的解集为()3,1-；（3）()()()()2120H x af x bf x bx ax a ab =+=++≠，则()()0H x abx a x x x=++>，令()()0ag x bx a x x=++>，当()H x S ∈，则()()0ag x bx a x x=++>在()0,∞+上递增，令120x x <<，则()()210g x g x -≥对任意的12,x x 恒成立，()()2121212112a x x a a bx a bx a b x x x x x x -⎛⎫++-++=-- ⎪⎝⎭()()2112120x x bx x a x x --=≥恒成立，即120bx x a -≥恒成立，因为0ab ≠，所以0,0a b ≠≠，当0b >时，12a x x b≥恒成立，因为120x x >，所以0a b ≤，又0,0b a >≠，所以a<0，当0b <时，12a x x b≤恒成立，因为120x x >没有最大值，所以12a x x b ≤不恒成立，与题意矛盾，综上所述，当()()0a g x bx a x x =++>在()0,∞+上递增时，0,0b a ><，当0,0b a ><时，则函数,a y bx y a x==+在()0,∞+上都是增函数，所以函数()()0a g x bx a x x =++>在()0,∞+上是增函数，综上所述，“()H x S ∈”的充要条件是“0,0b a ><”.关键点点睛：解决本题的关键在于把握新定义的含义，以及函数单调性的判定及利用函数的单调性解不等式.。
【解析版】徐州市数学高一下期末经典习题(专题培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：12721]已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．2或42．(0分)[ID ：12707]某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6?D ．k ＞7?3．(0分)[ID ：12706]已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B 12± C 110± D 322± 4．(0分)[ID ：12702]已知D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，则xy 的取值范围是( )A ．14,99⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．(0分)[ID ：12698]如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π6．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( ) A ．4323⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，B ．4323⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．4323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，D ．432,3⎛⎤⎥ ⎝⎦7．(0分)[ID ：12633]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-9．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10．(0分)[ID ：12659]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．(0分)[ID ：12655]如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角为( )A ．2πB ．C ．D ．3π 12．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12700]如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．15．(0分)[ID ：12634]某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）A ．20B ．10C ．30D ．60二、填空题16．(0分)[ID ：12827]在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．（答案用m ，n 表示） 17．(0分)[ID ：12826]在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆C 1 : x 2 + y 2＝8与圆C 2 : x 2+y2+2x +y -a ＝0相交于A ，B 两点.若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为______.18．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23C B = ，则A 等于__________．19．(0分)[ID ：12814]已知函数()sin 03y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若将该函数的图像向左平移()0m m >个单位后，所得图像关于原点对称，则m 的最小值为________.20．(0分)[ID ：12796]直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．21．(0分)[ID ：12789]对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2exf x x -=+-与()1422xx g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）22．(0分)[ID ：12778]设向量(12)(23)a b ==，，，，若向量a b λ+与向量(47)c =--，共线，则λ=23．(0分)[ID ：12768]设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________.24．(0分)[ID ：12752]已知复数z x yi =+，且23z -=，则yx的最大值为__________．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12927]某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值； （Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？27．(0分)[ID ：12897]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底部ABCD 为菱形，E 为CD 的中点.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若∠ABC =60°，求证：平面PAB ⊥平面PAE ；28．(0分)[ID ：12896]某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，且投资1万元时的收益为18万元，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，且投资1万元时的收益为0.5万元，（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？29．(0分)[ID ：12865]已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．30．(0分)[ID ：12855]在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知10cos 10A =-，2b =5c = （1）求a ；（2）求cos()B A -的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．C2．A3．A4．D5．C6．A7．B8．C9．A10．C11．A12．C13．B14．B15．B二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决17．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位18．【解析】由得所以即则又所以故答案为19．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值20．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直21．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点22．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立24．【解析】【分析】根据复数z的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为：25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】设扇形的半径为r ，弧长为 l ，则121282l r S lr +===，， ∴解得28r l ==， 或44r l ==，41lrα==或， 故选C ．2．A解析：A 【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C.考点：程序框图.3．A解析：A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴12λ=. 故选：A. 4．D解析：D【解析】【分析】利用已知条件推出x +y ＝1，然后利用x ，y 的范围，利用基本不等式求解xy 的最值．【详解】解：D ，E 是ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP xAB yAC =+，可得x y 1+=，x ，12y ,33⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则2x y 1xy ()24+≤=，当且仅当1x y 2==时取等号，并且()2xy x 1x x x =-=-，函数的开口向下， 对称轴为：1x 2=，当1x 3=或2x 3=时，取最小值，xy 的最小值为：29．则xy 的取值范围是：21,.94⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选D ．【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力． 5．C解析：C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．考点：三视图与表面积． 6．A解析：A【解析】【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围.【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得432x <<故选A.本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断.若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解.7．B解析：B【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解：结合流程图运行程序如下：首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8．C解析：C【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．9．A解析：A【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可.【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=， 又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭, 当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A.【点睛】 本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.10．C解析：C【解析】【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果.【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题. 11．A解析：A【解析】由题意设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2，构造直角三角形A 2BM ，解直角三角形求出BM ，利用勾股定理求出A 2M ，从而求解．【详解】设棱长为a ，补正三棱柱ABC-A 2B 2C 2（如图）．平移AB 1至A 2B ，连接A 2M ，∠MBA 2即为AB 1与BM 所成的角，在△A 2BM 中，22252()22a A B a BM a a ==+=，， 222313()22a A M a a =+=，222222,2A B BM A M MBA π∴+=∴∠=， ． 故选A ．【点睛】 本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．12．C解析：C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 13．B解析：B【解析】【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，35,,722MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．B 解析：B【解析】【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力. 15．B解析：B【解析】【分析】根据三视图还原几何体，根据棱锥体积公式可求得结果.【详解】由三视图可得几何体直观图如下图所示：可知三棱锥高：4h =；底面面积：1155322S =⨯⨯= ∴三棱锥体积：1115410332V Sh ==⨯⨯= 本题正确选项：B【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够通过三视图还原几何体，从而准确求解出三棱锥的高和底面面积.二、填空题16．【解析】【分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之和为由几何体概型概率计算公式可知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题解决 解析：12n m【解析】【分析】【详解】由题意得ABC ∆的三边分别为,1,2x x x ++ 则由()()22221x x x +=++ 可得3n = ，所以，三角数三边分别为3,4,5，因为A B C π∠+∠+∠= ，所以三个半径为1 的扇形面积之和为211=22ππ⨯⨯ ，由几何体概型概率计算公式可知1122,1342n n m m ππ=∴=⨯⨯，故答案为12n m. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.17．【解析】【分析】先求得直线为：再分别讨论或和的情况根据几何性质求解即可【详解】由题则直线为：当或时设到的距离为因为等腰直角三角形所以即所以所以解得当时经过圆心则即故答案为：【点睛】本题考查圆与圆的位解析：{8,8-+【解析】【分析】先求得直线AB 为：280x y a ++-=,再分别讨论90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒和90APB ∠=︒的情况,根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB 为：280x y a ++-=,当90PAB ∠=︒或90PBA ∠=︒时,设1C 到AB 的距离为d ,因为ABP △等腰直角三角形, 所以12d AB =,即d =,所以2d =,2d ==,解得8a =±当90APB ∠=︒时,AB 经过圆心1C ,则80a -=,即8a =,故答案为：{8,8-+【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用,考查点到直线距离公式的应用,考查分类讨论思想和数形结合思想 18．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6π【解析】由sinC =得c =，所以222a b -==，即227a b =，则22222222b c a cosA bc +-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 19．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到新的函数表达式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平移个单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值 解析：3π【解析】【分析】先利用周期公式求出ω，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出m 的表达式，即可求出m 的最小值．【详解】 由2T ππω==得2ω=，所以sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，向左平移()0m m >个单位后，得到sin[2()]sin(22)33y x m x m ππ=++=++，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇函数，有2,3m k k Z ππ+=∈，则62k m ππ=-+，故m 的最小值为3π． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图像变换，以及sin()y A x ωϕ=+ 型的函数奇偶性判断条件．一般地sin()y A x ωϕ=+为奇函数，则k ϕπ=；为偶函数，则2k πϕπ=+；cos()y A x ωϕ=+为奇函数，则2k πϕπ=+；为偶函数，则k ϕπ=．20．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =【解析】试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆22240x y x y +--=化为()()22125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可． 21．【解析】【分析】先求出的根利用等价转换的思想得到在有解并且使用分离参数方法可得结果【详解】由令所以又已知函数与互为近邻函数据题意可知：在有解则在有解即在有解令又令所以当时当时所以所以则故答案为：【点 解析：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】先求出()0f x =的根，利用等价转换的思想，得到()0g x =在1m n -<有解，并且使用分离参数方法，可得结果【详解】由()()13log 2e x f x x -=+-，令()0f x =所以1x =，又已知函数()()13log 2ex f x x -=+- 与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”据题意可知：()0g x =在11x -<有解，则()0g x =在02x <<有解 即1224x x a +-=在02x <<有解， 令()1224x x h x +-=， 又令2x t =，()1,4t ∈，11,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2222111222t y t t -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭ 当112t =时max 12y = 当11t =时0y = 所以10,2y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦所以()10,2h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.22．2【解析】【分析】由题意首先求得向量然后结合向量平行的充分必要条件可得的值【详解】=由向量共线的充分必要条件有：故答案为2【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算向量平行的充分必要条件等知识意在考查学 解析：2【解析】【分析】由题意首先求得向量a b λ+，然后结合向量平行的充分必要条件可得λ的值.【详解】a b λ+=(,2(2,3)(2,23λλλλ+=++））， 由向量共线的充分必要条件有：()()(2)7(23)42λλλ+⋅-=+⋅-⇒=.故答案为2．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，向量平行的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】由得得等号当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立 解析：92. 【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥，得2xy ≤ (1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=， 等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立．故所求的最小值为92． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 24．【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及的几何意义由图象得出最大值【详解】复数且复数z 的几何意义是复平面内以点为圆心为半径的圆的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：即的最大值为故答案为： 解析：【解析】【分析】根据复数z 的几何意义以及y x 的几何意义，由图象得出最大值. 【详解】复数z x yi =+且23z -=z 的几何意义是复平面内以点(2,0)3为半径的圆22(2)3x y -+=.y x的几何意义是圆上的点与坐标原点连线的斜率由图可知：max 331y x ⎛⎫==⎪⎝⎭ 即y x 3 3【点睛】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于中档题.25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可 解析：33. 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得3cos 2A =，进一步求得833bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =，所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =， 所以ABC ∆的面积为1183123sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是233. 【点睛】 本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc +-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题26．(1)()3800,19,y 5005700,19,x x N x x ≤⎧=∈⎨->⎩;(2)19;(3) 购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【解析】试题分析：（Ⅰ）分x ≤19及x ＞19，分别求解析式；（Ⅱ）通过频率大小进行比较；（Ⅲ）分别求出n=19，n=20时所需费用的平均数来确定.试题解析：（Ⅰ）当时，3800y =；当时，3800500(19)5005700y x x =+-=-，所以与的函数解析式为3800,19,{()5005700,19,x y x N x x ≤=∈->. （Ⅱ）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3 800，20台的费用为4 300，10台的费用为4 800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)4000100⨯⨯+⨯+⨯=. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000，10台的费用为4 500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【考点】函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.27．（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）要证BD⊥平面PAC ，只需在平面PAC 上找到两条直线跟BD 垂直即证，显然AC BD ⊥，从PA ⊥平面ABCD 中可证PA BD ⊥，即证.(2)要证明平面PAB⊥平面PAE,可证 A E ⊥平面PAB 即可.【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA BD ⊥；因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥;因为PA AC A ⋂=,,PA AC ⊂平面PAC ,所以BD ⊥平面PAC .（2）证明：因为底面ABCD 是菱形且60ABC ∠=︒，所以ACD ∆为正三角形，所以AE CD ⊥,因为//AB CD ,所以AE AB ⊥；因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ,所以AE PA ⊥；因为PA AB A ⋂=所以AE ⊥平面PAB ，AE ⊂平面PAE ,所以平面PAB ⊥平面PAE .【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.28．（1）()1,()0)8f x x g x x ==≥；（2）投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【解析】【分析】 （1）投资债券等稳健型产品的收益()f x 与投资额x 成正比，投资股票等风险型产品的收益()g x 与投资额x 的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数关系；（2）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，这时可构造出一个关于收益y 的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.【详解】（1）依题意设()1,()f x k x g x k ==，1211(1),(1)82f kg k ====， ()1,()0)8f x x g x x ==≥； （2）设投资股票等风险型产品为x 万元，则投资债券等稳健型产品为20x -万元，1(20)()(20)8y f x g x x =-+=-212)3,0208x =-+≤≤，2,4x ==万元时，收益最大max 3y =万元，20万元资金，投资债券等稳健型产品为16万元，投资股票等风险型产品为4万元，投资收益最大为3万元.【点睛】本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基础知识与基本方法，属于中档题.29．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n ++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用n n a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到121n n a a n n+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n n a n -=，从而求得12n n a n -=⋅. 【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n ++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n n n a b n --==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果.30．(1) 3a =.(2) cos()10B A -=. 【解析】【分析】分析：（1）在ABC ∆中，由余弦定理可得3a =．（2）由cosA =得sinA =sinB =cosB =，故得()cos B A cosBcosA sinBsinA -=+=【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得22222529a b c bccosA ⎛=+-=+-= ⎝⎭，∴3a =．（2）在ABC ∆中，由cosA =得,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sinA ===，在ABC ∆中，由正弦定理得a b sinA sinB ==，∴sinB =，。
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析
高一数学高中数学北师大版试题答案及解析1.扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且，则扇形的圆心角为。
【答案】【解析】设圆的半径为r,则扇形的半径为3r,根据,则.2.已知点与两个定点的距离之比为，则点的轨迹的面积为（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，设点，则，即，整理得，所以点的轨迹表示以为圆心，半径为的圆，所以面积为，故选C．【考点】轨迹方程的求法．3.已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为，球的表面积为．【答案】；6π【解析】将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解．解：如图，将正四面体补形成一个正方体，∵正四面体为2，∴正方体的棱长是，又∵球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，∴2R=∴R=，球的表面积为6π．故填：；6π．点评：巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V﹣ABC的棱长为a，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．4.电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则P（1≤X≤2013）等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先求出P（X=0），即第0次首次测到正品，即全是次品的概率，从而可得结论．解：由题意，P（X=0）=∴P（1≤X≤2013）=1﹣P（X=0）=故选B．点评：本题考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，考查学生的计算能力，属于中档题．5. 100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，恰一次为次品的概率为（）A．0.42B．0.3C．0.7D．0.21【答案】A【解析】设恰一次为次品为事件A，根据100件产品，其中有30件次品，每次取出1件检验放回，连检两次，可求基本事件的个数，从而可求恰一次为次品的概率．解：由题意，设恰有一次取出次品为事件A，则P（A）===0.42故选A．点评：本题考查的重点是概率知识的运用，解题的关键是确定基本事件的个数，应注意每次取出1件检验放回，属于基础题．6.已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），．，若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】由f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）可得单调递增，从而可得a＞1，结合，可求a．利用等比数列的求和公式可求，从而可求解：∵f′（x）g（x）＞f（x）g′（x）∴f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴从而可得单调递增，从而可得a＞1∵，∴a=2故=2+22+…+2n=∴2n+1＞64，即n+1＞6，n＞5，n∈N*∴n=6故选：A点评：本题主要考查了利用导数的符合判断指数函数的单调性，等比数列的求和公式的求解，解题的关键是根据已知构造函数单调递增．7.已知曲线y=x2的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．4B．3C．2D．【答案】C【解析】根据切点处的导数即为切线的斜率建立等式关系，解出方程，问题得解．解：设切点的横坐标为t==，解得t=2，y′|x=t故选C．点评：本题考查了导数的几何意义，切点处的导数即为切线的斜率，属于基础题．8.已知y=f（x）=ln|x|，则下列各命题中，正确的命题是（）A．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）=﹣B．x＞0时，f′（x）=，x＜0时，f′（x）无意义C．x≠0时，都有f′（x）=D．∵x=0时f（x）无意义，∴对y=ln|x|不能求导【答案】C【解析】利用绝对值的意义将函数中的绝对值去掉转换为分段函数；利用基本的初等函数的导数公式及复合函数的求导法则：外函数的导数与内函数的导数的乘积，分别对两段求导数，两段的导数合起来是f（x）的导数．解：根据题意，f（x）=，分两种情况讨论：（1）x＞0时，f（x）=lnx⇒f'（x）=（lnx）'=．（2）x＜0时f（x）=ln（﹣x）⇒f'（x）=[ln（﹣x）]'=（这里应用定义求导．）故选C点评：本题考查绝对值的意义、考查分段函数的导数的求法、考查基本初等函数的导数公式及简单的复合函数的求导法则．9.已知，则f′（）=（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0【答案】B【解析】本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解：故选B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．10.空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【答案】C【解析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．点评：本题考查了与同向共线的单位向量向量，属于基础题．11.函数f（x）=xsinx+cosx的导数是（）A．xcosx+sinx B．xcosx C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx【答案】B【解析】利用和及积的导数运算法则及基本初等函数的导数公式求出函数的导数．解：∵f（x）=xsinx+cosx∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′﹣sinx=sinx+xcosx﹣sinx=xcosx故选B点评：本题考查导数的运算法则、基本初等函数的导数公式．属于基础试题12.的导数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用导数的四则运算法则，按规则认真求导即可解：y′===故选A点评：本题考查了导数的除法运算法则，解题时认真计算即可，属基础题13.设函数f（x）在点x可导，则=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．不存在【答案】C【解析】利用导数的定义，把增量转化为2h，问题得以解决．解：==2f′（x）．故选C．点评：本题以函数为载体，考查导数的定义，关键是理解导数的定义，从而得解．14.已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为．【答案】2【解析】画出斜二测画法的直观图为△O′A′B′，求出正△OAB的边长，B′D′的长，然后求出点B′到边O′A′的距离．解：正△OAB的面积为，边长为2，O′A′=2D′为O′A′的中点，B′D′=所以点B′到边O′A′的距离：cos45°=故答案为：点评：本题考查斜二测法画直观图，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面图形和直观图形面积之比为2．15.一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，直观图的底角为45°，两腰和上底边长均为1，则这个平面图形的面积为．【答案】2+【解析】根据斜二测化法规则画出原平面图形，可知水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．点评：本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，由已知斜二测直观图根据斜二测化法规则，正确画出原平面图形是解题的关键．16.如图是某一问题的算法程序框图，它反映的算法功能是．【答案】计算|x|的值．【解析】从赋值框输入的变量x的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示的算法的功能．解：框图首先输入变量x的值，判断x≥0，执行输出x；否则，输出x的相反数：﹣x．算法结束．故此算法执行的是计算|x|的值．故答案为：计算|x|的值．点评：本题考查了程序框图中的选择结构，选择结构是先判断后执行，满足条件时执行一个分支，不满足条件执行另一个分支，此题是基础题．17.执行程序框图，输出的T= ．【答案】30．【解析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．故答案为：30．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．18.变量y是变量x的函数，则（）A．变量x，y之间具有依赖关系B．变量x是变量y的函数C．当x每取一个值时，变量y可以有两个值与之对应D．当y每取一个值时，变量x有唯一的值与之对应【答案】A【解析】根据函数的定义去判断．解：变量y是变量x的函数，所以变量x，y之间具有依赖关系．故A正确．故选A．点评：本题主要考查函数的定义，比较基础．19.下列等式中的变量x，y不具有函数关系的是（）A．y=x﹣1B．y=C．y=3x2+D．y2=x2【答案】D【解析】一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数．记做y=f（x）．分别利用函数的定义去判断，其中D中x对应y的取值不唯一．解：根据函数的定义可知A，B，C满足函数的定义．在D中当x=1时，y=±1；当y=2时，x=±2，不符合函数的定义．故选D．点评：本题考查函数的定义，函数的定义要求对于A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素对应．否则不能构成函数．20.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 ()A．{1,1}B．{1}C．{x＝1}D．{x2－2x＋1＝0}【答案】B【解析】集合{x|x2－2x＋1＝0}实质是方程x2－2x＋1＝0的解集，此方程有两相等实根，为1，故可表示为{1}.故选B.【考点】集合的表示方法点评：列举法是把集合中的所有元素一一写出的方法。
潍坊市高一数学下学期期末考试试题含解析
当 时， ,此时 ，点 ， ，故D正确，
故选:AD．
【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果,属于中档题。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】(1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）用三角函数的定义；
（2)先求正切值，再把弦化切.
【详解】(1)由题意知， ，
因为 ，
所以 。
解得 ，
所以 .
(2）当 时， ，
所以 。
【点睛】本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系。
18。 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是 .
【详解】由题意，某扇形的半径为 ,圆心角为 ,
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为 。
故选:B。
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力。
4。 在 中，点 满足 ，则（ )
A。 B.
C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.
对于C，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为 , 是空间两个不同的平面,而 ,所以平面 与 相交，即 ， 必相交于一条直线，故C正确；
对于D，当直线 与平面 相交，且 垂直于平面 内的无数条直线,若这些直线中没有相交直线，则 不一定垂直平面 ,故D 不正确，
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析
2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（ ） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（ ） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一数学试卷附答案解析
高一数学试卷附答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.已知函数的图象如图所示，则满足的关系是（ ）A B ．C ．D ．2.函数是周期为的偶函数，且当时，，则的值是（ ）. A ． B ．C ．D ．3.若则的值是( ).A ．B ．C ．D ．4.下列函数中，是奇函数的是（ ） A ． B ．C ．D ．5.已知定义在上的函数是奇函数，且满足，，则（ ）A ．-3B ．-2C ．3D ．26.半径为10cm ，面积为100cm 2的扇形中，弧所对的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．7.设f(x)满足f(x)＝f(4－x)，且当x＞2 时f(x)是增函数，则a＝f(1.10.9)，b= f(0.91.1)，c＝的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a8.若集合，集合，则（）A． B． C．B A D．A B9.已知两条直线y＝x－2和y＝(＋2)x＋1互相垂直，则等于 () A．2 B．1 C．0 D．－110.在中，已知，则在中，等于（）A． B． C． D．以上都不对11.已知，，则（）A． B． C． D．12.（2014•钟祥市模拟）某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（）A.y=0.7x+5.25 B.y=﹣0.6x+5.25 C.y=﹣0.7x+6.25 D.y=﹣0.7x+5.2513.设集合，，则等于（）A． B． C． D．14.下列叙述中错误的是（）、若且，则；、三点确定一个平面；、若直线，则直线与能够确定一个平面；D、若且，则。
15.若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（）A ．sinα+cosα＞1B ．sinα+cosα=1C ．sinα+cosα＜1D ．不能确定16.（2015秋•红河州校级月考）设I为全集，集合M，N ，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为（）A．M∩（N∪P）B．M∩（P∩∁IN）C．P∩（∁IN∩∁IM ）D．（M∩N）∪（M∩P）17.如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为A．圆锥B．三棱锥wwwwC．三棱柱D．三棱台18.在平面直角坐标系中，平面区域的面积为（）A． B． C． D．19.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）.A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度20.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③若α//β，mα，nβ，则m//n；④若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④二、填空题21.点直线的距离为1，则a=________22.设集合Ａ＝｛－１，１，３｝，Ｂ＝｛｝且，则实数的值为。
非学科数学学培训-扇形的面积以及弧长的计算(资料附答案)
自学资料一、扇形的面积【知识探索】1．圆的面积，圆周所对的圆心角是360°，所以（1）1°的扇形面积；第1页共15页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训（2）圆心角所对弧长．2．（其中为扇形的弧长，为半径）．【说明】扇形的面积除了与圆的半径有关还与组成扇形的圆心角的大小有关．当半径固定时，圆心角越大，扇形面积也就越大．【错题精练】例1．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A. 60πcm2；B. 65πcm2；C. 120πcm2；D. 130πcm2．【答案】B例2．如图，在一张直径为20cm的半圆形纸片上，剪去一个最大的等腰直角三角形，剩余部分恰好组成一片树叶图形，则这片树叶的面积是cm2．【答案】50π−100．例3．如图，正△ABC内接于半径为1cm的圆，则阴影部分的面积为cm2．【答案】π−3√34第2页共15页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例4．今年寒假期间，小芮参观了中国博物馆，如图是她看到的折扇和团扇，已知折扇的骨柄长为30cm，扇面的宽度是18cm，折扇张开的角度为120°，若这两把扇子的扇面面积相等，则团扇的半径为（）cm．A. 6√7；B. 8√7；C. 6√6；D. 8√6．【答案】A例5．已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（）A. π−94√3；B. 94π−92；C. 32π−94√3；D. 32π−92．【答案】B例6．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（）A. π−2；B. 23π−1；第3页共15页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训C. π−4；D. 23π−2．【答案】A例7．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC=BC，直线DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE．（1）求证：CD=CE；（2）若AC=2，∠E=30∘，求阴影部分（弓形）面积．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90∘，∵DC=BC，∴AD=AB，∴∠D=∠ABC，∵∠E=∠ABC，∴∠E=∠D，∴CD=CE；（2）解：由（1）可知：∠ABC=∠E=30∘，∠ACB=90∘，∴∠CAB=60∘，AB=2AC=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得到BC=2√3，连接OC，则∠COB=120∘，∴S阴=S扇形OBC−S△OBC=120⋅π⋅22360−12×12×2√3×2=4π3−√3．【答案】（1）略；（2）4π3−√3．第4页共15页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【举一反三】1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，点B是弧AC的中点，若AC＝7，BD＝6，则由四个弓形组成的阴影部分的面积为．π−18【答案】4942．如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，弧AB上，过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，则图中阴影部分的面积等于．【答案】√2−13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=2√3，则阴影部分图形的面积为．第5页共15页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】2π3．4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，连接OC，过点C的切线交BA的延长线于点D，且OC=CD=2．（1）求劣弧AC的长．（2）求阴影部分弓形的面积．【解答】（1）解：∵CD切圆O于点C，∴OC⊥CD，∵OC=OD，∴∠COD=45∘，∴l弧AC=π2；（2）解：∵S扇形COB=3π2，∵S△AOC=√3，∴S阴=3π2−√3．【答案】（1）π2；（2）3π2−√3．5．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90∘，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A. π；B. 5π4；C. 3+π；D. 8−π．第6页共15页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】D6．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，弦AB将圆周分为1：3两部分，弓形ACB （阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为cm2．（结果保留π）【答案】(32+48π)．7．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA若∠F=30∘，DF=6，则阴影区域的面积．−2π．【答案】9√32二、弧长【知识探索】1．圆的周长，圆周所对的圆心角是360°，所以（1）1°圆心角所对弧长；（2）圆心角所对弧长．【说明】也可以用表示的长．【错题精练】第7页共15页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训例1．如图，点O、A、B的坐标分别为（0，0）、（3，0）、（3，-2），将△OAB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△OAapos;Bapos;．（1）画出旋转后的△OAapos;Bapos;，并求出点Bapos;的坐标；（2）求点A旋转到点Aapos;所经过的路线长（结果保留π）．【解答】（1）解：如图，△OAapos;Bapos;为旋转后所得的图形，Bapos;（2，3）；（2）解：点A旋转到点Aapos;所经过的路线长=14×2×3π=32π．【答案】（1）（2，3）；（2）32π．例2．如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以AC、BC、AB为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m，n，l，则下列各式成立的是（）A. m+n＜l；B. m+n=l；C. m2+n2＞l2；D. m2+n2＝l2．【答案】D例3．若一个圆锥的侧面展开图是半径为10cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径是（）A. 310cm； B. 103cm；C. 203cm； D. 320cm．【答案】B第8页共15页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训例4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）．（1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标；（2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）．【解答】（1）如图：∴点A1的坐标（6，1）（2）点B旋转到点B1所经过的路径长＝π×BC×90180=√26π2．【答案】（1）A1（6，1），作图见解答；（2）√26π2．例5．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．第9页共15页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【解答】（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）∵OC⊥AD，∴，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，∴．【答案】（1）见解答；（2）2π．例6．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于．【答案】5π．【举一反三】1．走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则弧AB，弧BC，弧AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若AB ＝3，则此“莱洛三角形”的周长为．第10页共15页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训【答案】3π2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2√2，以BC的中点O为圆心⊙O分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为（）A. π4； B. π2；C. π；D. 2π．【答案】B3．如图，将边长为a的正六边形A1A2A3A4A5A6在直线l上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A1第一次滚动到图2位置时，顶点A1所经过的路径的长为（）A. 4+2√33πa；B. 8+4√33πa；C. 4+√33πa；D. 4+2√36πa．【答案】A4．如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC的长度等于（）；A. π2B. π；3；C. 3π4D. 2π．3【答案】D5．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB=4cm，∠CAB=60∘，P是弧上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，在点P移动的过程中，BD的最小值是．【答案】(√13−1)cm6．如图，正方形ABCD中，分别以B、D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）A. πa；B. 2πa；πa； D. 3a．C. 12【答案】A1．如图，在Rt△ABC中，∠A=60∘，AB=1，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转到△A1B1C的位置，点A1刚好落在BC的延长线上，则点A从开始到结束所经过的路径长为（结果保留π）．π．【答案】532．已知一条圆弧的度数为60°，弧长为10π，则此圆弧的半径为（）A. 15；B. 30；C. √30；D. 15π．【答案】B．3．如图，在△ABC中，AB=AC，圆O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA的延长线上的一点，∠DAE=105∘．（1）求∠CAD的度数；（2）若圆O的半径为3，求弧BC的长．【解答】（1）解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．∵D为弧AC的中点，∴∠ABC=2∠DCA=2∠DAC．∴∠ACB=2∠DCA．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD=∠DAE=105∘．∴∠ACB+∠DCA=105∘．即3∠DCA=105∘，∴∠DAC=∠DCA=35∘．（2）解：∵∠DAC=∠DCA=35∘，∴∠BAC=180∘−105∘−35∘=40∘．∴∠BOC=2∠BAC=80∘．∴l=nπR180=80⋅3π180=4π3．【答案】（1）35°；（2）4π3．4．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90∘，点C是弧AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，阴影部分的面积为（）A. π−2；B. π−4；C. 2π−2；D. 2π−4．【答案】A5．如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，弧AB与弧CD的度数和为150°，则图中两块阴影部分的面积和为．【答案】15π．。
2021-2022学年西安市长安一中高一上学期期末数学复习卷 (2)(含解析)
2021-2022学年西安市长安一中高一上学期期末数学复习卷 (2)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 扇形的圆心角与半径相等，面积为4，这个扇形的圆心角等于( )A. √43B. 2C. π4D. π2 2. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为A. 1和20B. 9和10C. 9和11D. 10和11 3. 函数f(x)=√x +1的定义域为( )A. (5,+∞)B. [−1,5)∪(5,+∞)C. [−1,5)D. [−1,+∞) 4. 已知角θ的终边在直线y =−2x 上，则cos2θ=( )A. 35B. 34C. −34D. −35 5. “a =2”是“直线ax +2y −1=0与x +(a +1)y +2=0平行”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6. 已知f(x)为偶函数，当x ≥0时，f(x)=m(|x −2|+|x −4|)，(m >0)，若函数y =f[f(x)]−4m 恰有4个零点，则实数m 的取值范围( )A. (0,16)B. (0,16)∪(56,52)C. (0,14)∪(54,52)D. (0,14) 7. 已知函数f(x)=2cos 3x+2cos 2x−2cos 2x 22cos 2x 2，则函数f(x)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π 8. 函数y =−x 2(x ∈R)是( )A. 左减右增的偶函数B. 左增右减的偶函数C. 减函数、奇函数D. 增函数、奇函数 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设函数f(x)、g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A. f(x)g(x)是奇函数B. |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数10. 已知a =x 12，b =(12)x ，c =log 12x ，则( ) A. 当a =b 时，有c >aB. 当a =b 时，有c <aC. 当b =c 时，有a >cD. 当b =c 时，有a <c 11. 已知0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x 2−mx +2=0的两个实根，则下列结论正确的是( )A. tanα+tanβ=−mB. m >2√2C. m +tanα≥4D. tan(α+β)=−m12. 设x ∈R ，则“2x 2+x −1>0”成立的一个充分不必要条件是( )A. x >12B. x <−1或x >12C. x <−2D. x <−1 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cosB =14,b =3，sinC =2sinA ，则△ABC 的面积为______．14. 已知幂函数y =f(x)的图象过点(12,√22)，则log 2f(8)=______． 15. α，β都是锐角，sinα=12，cos(α+β)=12，则cosβ= ______ ．16. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0,+∞)时，f(x)是增函数，且f(−2)=0，则不等式f(x)<0的解集为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }，a n =p n +λq n (p >0,q >0,p ≠q,λ∈R,λ≠0,n ∈N ∗)．(1)求证：数列{a n+1−pa n }为等比数列；(2)数列{a n }中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；(3)设A ={(n,b n )|b n =3n +k n ，n ∈N ∗}，其中k 为常数，且k ∈N ∗，B ={(n,c n )|c n =5n ，n ∈N ∗}，求A ∩B ．18. 设函数f(x)=x 3+1x+1，x ∈[0,1]，证明：(Ⅰ)f(x)≥1−x +x 2(Ⅱ)34<f(x)≤32．19. 已知函数f(x)=Asin(x +π4)，x ∈R ，且f(0)=1．(1)求A 的值；(2)若f(α)=−15，α是第二象限角，求cosα．20. 已知f(x)=Asin(ωx +φ)+1(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2)的最小正周期为π，且图象上的一个最低点为M(2π3,−1)．(1)求f(x)的解析式；(2)已知f(α2)=13，α∈[0,π]，求cosα的值．21. 已知△P 1P 2P 3三个顶点的坐标分别为P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,sinβ)，P 3(cosγ,sinγ)，且OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ (O 为坐标原点)． (1)求∠P 1OP 2的大小；(2)试判断△P 1P 2P 3的形状．22. 已知t 为实数，函数f(x)=2log a (2x +t −2)，g(x)=log a x ，其中0<a <1．(1)若|g(m)|=|g(n)|，且m ≠n ，求mn 的值；(2)若函数g(√x 2+1+kx)具有奇偶性，求实数k 的值；(3)当x ∈[1,9]时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象的下方，求实数t 的取值范围；参考答案及解析1.答案：B解析：解：设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，则r=α，可得扇形的面积为S=12r2α=12×α2×α=4．解得：扇形的圆心角大小为α=2．故选：B．由题意根据扇形的面积公式即可求解．本题是基础题，考查扇形面积的求法，注意题意的正确理解，考查计算能力．2.答案：D解析：解：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：S=|1−x|×10+|2−x|×10+⋯+|20−x|×10若S取最小值，则函数y=(1−x)2+(2−x)2+⋯+(20−x)2=20x2−420x+(12+22+⋯+ 202)也取最小值由二次函数的性质，可得函数y=20x2−420x+(12+22+⋯+202)的对称轴为y=10.5又∵为正整数，故x=10或11故选D3.答案：D解析：解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥−1，故函数的定义域是[−1,+∞)，故选：D．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了二次根式的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．4.答案：D解析：解：根据角θ的终边在直线y=−2x上知，tanθ=−2，所以cos2θ=cos2θ−sin2θ=cos2θ−sin2θsin2θ+cos2θ=1−tan2θtan2θ+1=1−(−2)2 (−2)2+1=−35．故选：D．根据题意求出tanθ的值，再计算cos2θ的值．本题主要考查了同角三角函数的基本关系与二倍角公式应用问题，是基础题．5.答案：D解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的等价条件求出a的值是解决本题的关键，属于基础题．根据直线平行的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：当a=0时，直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行，等价为直线2y−1=0与直线x+y+2=0平行，但此时两直线不平行，故不满足题意；当a≠0时，若直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行，则满足1a =a+12≠2−1，由1a =a+12得a2+a−2=0，得a=1或a=−2，由a+12≠−2得a≠−5，则若直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行，则a=1或a=−2，则“a=2”是“直线ax+2y−1=0与x+(a+1)y+2=0平行”的既不充分也不必要条件，故选：D．6.答案：B解析：解：设f(x)=t，(t>0)则由y=f[f(x)]−4m=0得f[f(x)]=4m，即f(t)=4m，则m(|t−2|+|t−4|)=4m，则|t−2|+|t−4|=4，得t=5，或t=1，若t =1，则f(x)=m(|x −2|+|x −4|)=1，即|x −2|+|x −4|=1m ， 若t =5，则f(x)=m(|x −2|+|x −4|)=5，即|x −2|+|x −4|=5m ，设g(x)=|x −2|+|x −4|，(x ≥0)，∵函数f(x)是偶函数，∴要使函数y =f[f(x)]−4m 恰有4个零点，则等价为当x ≥0时，函数y =f[f(x)]−4m 恰有2个零点，作出g(x)在[0,+∞)上的图象如图：①{1m <22<5m <6，即{m >1256<m <52，即56<m <52，②{1m >65m >6，即{0<m <160<m <56，即0<m <16，综上实数m 的取值范围是(0,16)∪(56,52)，故选：B．利用换元法将函数进行转化，利用数形结合以及分类讨论进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法结合函数与方程之间的关系，利用数形结合以及分类讨论进行求解是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．7.答案：B=2cos2x−1=cos2x，解析：解：由二倍角公式得f(x)=2cos2x(cosx+1)−(cosx+1)cosx+1=π，∴T=2π2故函数f(x)的最小正周期是π．故选：B．本题化简是关键．对于分子的化简，前两项提取公因式，第三项考虑有半角出现从而考虑二倍角公式．本题要求学生能熟练使用二倍角公式进行化简，会求函数最小正周期，是简单题．8.答案：B解析：本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．由函数y=−x2是开口向下的一条抛物线，即可求解．解：∵y=−x2是开口向下的一条抛物线，∴y=−x2在(−∞,0)上为增函数，(0,+∞)上为减函数，不妨设y=f(x)=−x2，则f(−x)=−(−x)2=−x2=f(x)，∴f(x)为偶函数．故选B．9.答案：AC解析：本题主要考查了函数奇偶性的定义在奇偶性的判断中的应用，属于基础题．由题意可知f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，然后分别检验各选项即可判断．解：由题意可知f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，对于选项A，f(−x)⋅g(−x)=−f(x)⋅g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项正确；对于选项B ，|f(−x)|⋅g(−x)=|−f(x)|⋅g(x)=|f(x)|⋅g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f(−x)|g(−x)|=−f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f(−x)⋅g(−x)|=|−f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D 项错误，故选：AC ．10.答案：AC解析：根据a =b 可求出此时x 的值，然后代入解析式即可比较a 与c 的大小，作出a =x 12，b =(12)x ，c =log 12x 的图象，结合图象可比较a 与c 的大小．本题主要考查了两数的大小比较，同时考查了数形结合的数学思想和转化能力，属于较难题． 解：当a =b 时，x =12，此时c =log 12x =log 1212=1，a =(12)12=√22<1， 所以当a =b 时，有c >a ；作出a =x 12，b =(12)x ，c =log 12x 的图象如下图：当b =c 时，即两图象在交点A 处相等，设交点横坐标为t ，此时t 12>log 12t ， 所以a >c ．故选：AC ．11.答案：BCD解析：本题主要考查两角和与差的正切公式，韦达定理，基本不等式的应用，属于中档题．由题意利用两角和与差的正切公式，韦达定理，基本不等式，得出结论．解：∵0<α<β<π2，且tanα，tanβ是方程x2−mx+2=0的两不等实根，∴tanα+tanβ=m>0，故A错误；tanα⋅tanβ=2，tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ=m1−2=−m，故D正确；∴m=tanα+tanβ>2√tanα⋅tanβ=2√2，故B正确；m+tanα=2tanα+tanβ≥2√2tanα⋅tanβ=4，当且仅当2tanα=tanβ时，等号成立，故C正确．故选：BCD．12.答案：ACD解析：不等式2x2+x−1>0成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集，直接判断即可得到答案．本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次不等式的解法，其中熟练掌握必要条件、充分条件与充要条件的定义，是解答本题的关键．解：解不等式2x2+x−1>0，得x<−1或x>12，则不等式的解集为A={x|x<−1或x>12}，因此，不等式2x2+x−1>0成立的一个充分不必要条件，对应的x范围应该是集合A的真子集，故A，C，D符合，故选：ACD．13.答案：9√1516解析：本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．解：在△ABC中由正弦定理可知：asinA =bsinB=csinC=2R，由sinC =2sinA 得c =2a ，cosB =14，sinB =√1−cos 2B =√154， 由余弦定理可知：b 2=a 2+c 2−2accosB ，即32=a 2+(2a)2−2a ⋅2a ×14， 解得a =32，c =3，△ABC 的面积S =12acsinB =12×32×3×√154=9√1516， 故答案为：9√1516． 14.答案：32解析：解：设函数的解析式是y =x α，代入(12,√22)得： (12)α=√22，解得：α=12， 故f(8)=812，故log 2f(8)=32，故答案为：32．求出函数的解析式，求出f(8)的值，代入即可．本题考查了求函数的解析式问题，考查幂函数的定义以及对数的运算，是一道基础题．15.答案：√32 解析：解：∵α，β都是锐角，sinα=12，cos(α+β)=12，∴α=π6，α+β=π3， ∴β=π6， cosβ=√32． 故答案为：√32． 依题意，可求得α=π6，α+β=π3，从而可得β=π6，于是可求答案．本题考查特殊角的三角函数，求得β=π6是关键(当然，也可以利用两角差的余弦)，属于基础题．16.答案：(−2,2)解析：解：根据题意，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(−2)=0， 则f(−2)=f(2)=0，又由当x ∈[0,+∞)时，f(x)是增函数， 则f(x)<0⇒f(x)<f(2)⇒|x|<2， 解可得：−2<x <2， 即不等式的解集为(−2,2)． 故答案为：(−2,2)．根据题意，由函数的奇偶性可得f(2)=f(−2)=0，结合函数的单调性分析可得f(x)<0⇒f(x)<f(2)⇒|x|<2，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x 的不等式，属于中档题．17.答案：解：(1)∵a n =p n +λq n ，∴a n+1−pa n =p n+1+λq n+1−p(p n +λq n )=λq n (q −p)， ∵λ≠0，q >0，p ≠q ∴a n+2−pa n+1a n+1−pa n=q 为常数∴数列{a n+1−pa n }为等比数列(2)取数列{a n }的连续三项a n ，a n+1，a n+2(n ≥1,n ∈N ∗)，∵a n+12−a n a n+2=(p n+1+λq n+1)2−(p n +λq n )(p n+2+λq n+2)=−λp n q n (p −q)2，∵p >0，q >0，p ≠q ，λ≠0，∴−λp n q n (p −q)2≠0，即a n+12≠a n a n+2，∴数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列；(3)当k =1时，3n +k n =3n +1<5n ，此时B ∩C =⌀；当k =3时，3n +k n =3n +3n =2⋅3n 为偶数；而5n 为奇数，此时B ∩C =⌀； 当k ≥5时，3n +k n >5n ，此时B ∩C =⌀； 当k =2时，3n +2n =5n ，发现n =1符合要求， 下面证明唯一性(即只有n =1符合要求)． 由3n +2n =5n 得(35)n +(25)n =1，设f(x)=(35)x +(25)x ，则f(x)=(35)x +(25)x 是R 上的减函数， ∴f(x)=1的解只有一个从而当且仅当n =1时(35)n +(25)n =1， 即3n +2n =5n ，此时B ∩C ={(1,5)}；当k =4时，3n +4n =5n ，发现n =2符合要求， 下面同理可证明唯一性(即只有n =2符合要求)． 从而当且仅当n =2时(35)n +(45)n =1， 即3n +4n =5n ，此时B ∩C ={(2,25)}； 综上，当k =1，k =3或k ≥5时，B ∩C =⌀； 当k =2时，B ∩C ={(1,5)}， 当k =4时，B ∩C ={(2,25)}．解析：(1)根据a n =p n +λq n 可得a n+1−pa n 的表达式，整理可得a n+2−pa n+1a n+1−pa n为常数，进而可判断数列{a n+1−pa n }为等比数列．(2)取数列{a n }的连续三项a n ，a n+1，a n+2把a n =p n +λq n 代入a n+12−a n a n+2整理可知结果不为0，进而可判断a n+12≠a n a n+2，即数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列；(3)由3n +2n =5n 整理得(35)n +(25)n =1，设f(x)=(35)x +(25)x 则可知f(x)为减函数，故可判定f(x)=1的解只有一个，从而当且仅当n =1，3n +2n =5n 成立，同样的道理可证当k =1，k =3或k ≥5时，B ∩C =⌀；当k =2时，B ∩C ={(1,5)}，当k =4时，B ∩C ={(2,25)}． 本题主要考查了等比数列的确定和集合的相关知识．考查了学生分析和运算能力．18.答案：(Ⅰ)证明：因为f(x)=x 3+1x+1，x ∈[0,1]，且1−x +x 2−x 3=1−(−x)41−(−x)=1−x 41+x，因为1−x 41+x≤11+x ，所以1−x +x 2−x 3≤1x+1， 即f(x)≥1−x +x 2；(Ⅱ)证明：因为0≤x ≤1，所以x 3≤x ， 所以f(x)=x 3+1x+1≤x +1x+1=x +1x+1−32+32=(x−1)(2x+1)2(x+1)+32≤32；由(Ⅰ)得，f(x)≥1−x +x 2=(x −12)2+34≥34，且f(12)=(12)3+11+12=1924>34，所以f(x)>34； 综上，34<f(x)≤32．解析：(Ⅰ)根据题意，1−x +x 2−x 3=1−(−x)41−(−x)，利用放缩法得1−x 41+x≤11+x ，即可证明结论成立；(Ⅱ)利用0≤x ≤1时x 3≤x ，证明f(x)≤32，再利用配方法证明f(x)≥34，结合函数的最小值得出f(x)>34，即证结论成立．本题主要考查了函数的单调性与最值，分段函数等基础知识，也考查了推理与论证，分析问题与解决问题的能力，是综合性题目．19.答案：解：(1)依题意，Asin π4=1…(2分)，A ×√22=1…(3分)，A =√2…(4分)(2)由(1)得，f(x)=√2sin(x +π4)…(5分) 由f(α)=−15得，sin(α+π4)=−√210…(6分)∵α是第二象限角， ∴2kπ+π2<α<2kπ+π，∴2kπ+3π4<α+π4<2kπ+5π4…(7分)，∴α+π4是第二或第三象限角∵由sin(α+π4)=−√210<0，∴α+π4是第三象限角，∴cos(α+π4)=−√1−sin 2(α+π4)=−7√210…(9分)∴cosα=cos[(α+π4)−π4]=cos(α+π4)cos π4+sin(α+π4)sin π4=−7√210×√22−√210×√22=−45…(12分)解析：(1)由函数f(x)的解析式以及f(0)=1，求得A 的值．(2)由(1)得sin(α+π4)=−√210，求出cos(α+π4)，将α用(α+π4)−π4表示，利用两角差的余弦展开求出值；本题考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的关系式，两角差的余弦公式，属于中档题．20.答案：解：(1)由f(x)=Asin(ωx +φ)+1的最小正周期为π，则有T =2πω=π，得ω=2．∴f(x)=Asin(2x +φ)+1，∵函数图象有一个最低点M(2π3,−1)，A >0， ∴A =2，且2sin(2×2π3+φ)+1=−1，则有2×2π3+φ=3π2+2kπ,k ∈Z ，解得：φ=π6+2kπ,k ∈Z ， ∵0<φ<π2， ∴φ=π6，∴f(x)=2sin(2x +π6)+1；(2)由f(α2)=13，得2sin(α+π6)+1=13，得sin(α+π6)=−13． ∵0≤α≤π， ∴π6≤α+π6≤76π，又sin(α+π6)<0，∴cos(α+π6)=−√1−sin 2(α+π6)=−2√23．∴cosα=[cos(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cos π6+sin(α+π6)sin π6=−2√23×√32−13×12=−1+2√66． 解析：(1)由f(x)=Asin(ωx +φ)+1的周期为π，求出ω，再由f(x)图象有一个最低点M(2π3,−1)列式求得φ，则三角函数的解析式可求；(2)把f(α2)=13代入函数解析式，求得sin(α+π6)=−13，结合α的范围求得cos(α+π6)的值，然后由两角差的余弦得答案．本题考查了利用三角函数的部分图象求函数解析式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，考查了已知三角函数值求其它三角函数的值，是中档题． 21.答案：解：(1)由题意可得|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，∵OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴(OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，即OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12， ∴cos∠P 1OP 2=OP1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12， ∵∠P 1OP 2∈(0,π)， ∴∠P 1OP 2=2π3．(2)∵P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=√OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√3， 同理可得，|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3， ∴△P 1P 2P 3的形状为等边三角形．解析：(1)由题意可得|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方可求OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，从而可求cos∠P 1OP 2=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12，结合范围∠P 1OP 2∈(0,π)，即可求解∠P 1OP 2的值．(2)利用向量的运算可得P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算可求|P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 1P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|P 2P 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，即可判断△P 1P 2P 3的形状．本题主要考查了三角形形状的判断，考查了向量的运算，属于中档题．22.答案：解：(1)∵|g(m)|=|g(n)|，且m ≠n ，∴g(m)=−g(n)，即log a m =−log a n ， 则log a m +log a n =log a mn =0， ∴mn =1．(2)设ℎ(x)=g(√x 2+1+kx)=log a (√x 2+1+kx)， 若ℎ(x)是偶函数，则ℎ(x)=ℎ(−x)恒成立， 即log a (√x 2+1+kx)=log a (√x 2+1−kx)， 则√x 2+1+kx =√x 2+1−kx 恒成立， kx =0恒成立，∴k =0．当k =0时，ℎ(x)=g(√x 2+1+kx)=log a √x 2+1为偶函数成立． 若ℎ(x)是奇函数，则ℎ(x)=−ℎ(−x)恒成立，即log a (√x 2+1+kx)+log a (√x 2+1−kx)=0， 则(√x 2+1+kx)(√x 2+1−kx)=1恒成立， 得(1−k 2)x 2=0恒成立，∴k =±1．当k =±1时，ℎ(x)=log a (√x 2+1±x)，为奇函数成立． 综上，经检验：当k =0，±1时函数具有奇偶性．(3)当x ∈[1,9]时，函数f(x)的图象始终在函数g(x)的图象的下方， 即转化为2log a (2x +t −2)<log a x ，在x ∈[1,9]时恒成立， ∵0<a <1，∴y =log a x ，在定义域上单减， ∴转化为{2x +t −2>0√x >0在x ∈[1,9]时恒成立，∵√x >0，∴等价于2x +t −2>√x 在x ∈[1,9]时恒成立， 即t >−2x +√x +2在x ∈[1,9]时恒成立， 则t >(−2x +√x +2)max ， y =−2x +√x +2=−2(√x −14)2+178在[1,9]单减，∴t >(−2x +√x +2)max =1． ∴t >1．解析：本题(1)利用对数函数的运算公式求解．(2)利用奇偶函数的定义得到等式后求k 的值，求出k 的值后需要检验． (3)利用转化思想转化为函数的最值问题求解，运算过程中需要分离参数．本题考查了对数函数的性质及运算公式，以及奇偶函数的定义式，和转化思想及分离参数求最值，综合性强，属于中档题．。
河南省高一下学期第一次月考数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ） A ．3 B ．6 C ．18 D ．36【答案】C【分析】由弧长的定义，可求得扇形的半径，再由扇形的面积公式，即可求解. 【详解】由1弧度的圆心角所对的弧长为6，利用弧长公式，可得，即， 61r =⋅6r =所以扇形的面积为.11661822S lr ==⨯⨯=故选C.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式的应用，着重考查了计算能力，属于基础题. 2．若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 ( )2πA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【详解】试题分析：∵－<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B2π【解析】本题考查了三角函数值的符号点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题 3．若，则的终边在（ ）cos cos ,tan tan θθθθ==-2θA ．第一､三象限B ．第二､四象限C ．第一､三象限或在轴的非负半轴上D ．第二､四象限或在轴上x x 【答案】D【分析】由已知得出的终边在第四象限或者在轴的非负半轴上，再求出的范围得出结果.θx 2θ【详解】由，得；cos cos θθ=cos 0θ≥，.tan tan θθ=-tan 0θ≤所以的终边在第四象限或者在轴的非负半轴上， θx 即，则， π2π2π,2k k k θ-+<≤∈Z πππ,42k k k θ-+≤<∈Z 当，的终边第四象限或在轴的非负半轴上； 0k =2θx 当，的终边第二象限或在轴的非正半轴上.1k =2θx故的终边第二､四象限或在轴上2θx 故选：D. 4．函数）y =A ． B ． C ． D ．(]4,π--[]π,3--[]3,0-[)0,∞+【答案】A【分析】根据被开方数大于等于零，分母不等于零列不等式组求解结果.【详解】由已知可得，解得，()12sin 0040log 40x x x x x ≥⎧⎪->⎪⎨+>⎪+≥⎪⎩2ππ2π,043k x k k x x x ≤≤+∈⎧⎪<⎪⎨>-⎪⎪≤-⎩Z 当时，解得不等式组，所以函数的定义域为. 1k =-4πx -<≤-(]4,π--故选：A. 5．函数f (x )=在[—π，π]的图像大致为2sin cos x xx x ++A ． B ．C ．D ．【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正()f x 确答案．【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 称．又．故选D ． 221422(1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6．已知函数满足，将函数图象向左平移个()()sin 143f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x ()0ϕϕ>单位后其图象关于y 轴对称，则的最小值为（ ）ϕA ．B ．C ．D ．512π3π4π12π【答案】A【分析】首先根据，求得，再根据，确定函数的解析式，并求得平06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭63k πωππ-=14ω<<移后的解析式，最后根据函数的对称性，确定的最小值.()sin 223g x x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ϕ【详解】因为，所以，即，， 06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 063ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭63k πωππ-=Z k ∈又因为，所以当时，，所以，将其图象向左平移个单位14ω<<0k =2ω=()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ϕ后，所得函数，()()sin 2sin 2233g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为函数的图象关于y 轴对称， ()g x 所以，，即，， 232k ππϕπ-=+Z k ∈5122k ππϕ=+Z k ∈当时，，所以的最小值为. 0k =512πϕ=ϕ512π故选:A.7．设直线，，的图像在内交点的横坐标依次为y =sin y x =cos y x =tan y x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭1x ，，，则（ ） 2x 3x ()123sin x x x ++=A ．B ．C ．D 12-12【答案】D【解析】根据直线，，的图像在内交点的横坐标依y =sin y x =cos y x =tan y x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭次为，，，得到1x 2x 3x 231sin tan x x x ===求解.【详解】因为直线，，的图像在内交点的横坐标依y =sin y x =cos y x =tan y x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭次为，，， 1x 2x 3x所以 231sin tan x x x ===所以， 123cos 6x x x π===所以，()()12221121sin sin cos cos 1,si co 0n s x x x x x x x x +==+=+所以()()()()123121212sin sin sin cos cos sin 666x x x x x x x x x πππ⎡⎤++=++=+++=⎢⎥⎣⎦故选：D8．已知函数满足对恒成立，则函数 ()sin(2)f x x ϕ=+()()f x f a ≤x R ∈A ．一定为奇函数 B ．一定为偶函数 ()f x a -()f x a -C ．一定为奇函数 D ．一定为偶函数()f x a +()f x a +【答案】D【详解】由题意得，时，则，，所以()sin(2)1f x a ϕ=+=222a k πϕπ+=+k ∈Z ，此时函数为偶函数，故选D ．()sin(22)sin(22)cos 22f x a x a x k x πϕπ+=++=++=二、多选题9．下列等式中成立的有（ ）A ．；B ．；0AB BA += AC DC AB BD =++ C ． D ．0OA AC AO CO +-+= 0AB CA BD DC +++= 【答案】ABD【分析】根据向量的加法运算求解.【详解】对于A, ，正确；0AB BA +=对于B ，，正确；DC AB BD AB BD DC AC ++=++=对于C ，,错误；OA AC AO CO OC CO AO AO +-+=+-=-对于D ，，正确， 0AB CA BD DC CA AB BD DC +++=+++=故选:ABD.10．若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（ ）cos2y x =()sin 2y x ϕ=+π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ϕA ． B ． C ． D ．π63π44π3-4π3【答案】BC【分析】根据函数的单调性列出不等式求出的取值范围即可求解.ϕ【详解】因为，所以，所以根据余弦函数的性质可得函数在上π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π20,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos2y x =π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦的单调递减，由于函数与函数在上的单调性相同，cos2y x =()sin 2y x ϕ=+π0,4⎡⎤⎢⎣⎦所以函数在上单调递减，()sin 2y x ϕ=+π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以解得， π2π2,Z π3π22π42k k k ϕϕ⎧≥+⎪⎪∈⎨⎪⨯+≤+⎪⎩π2ππ2π,Z 2k k k ϕ+≤≤+∈当时，，B 满足， 0k =ππ2ϕ≤≤当时，，C 满足， 1k =-3ππ2ϕ-≤≤-故选:BC.11．已知函数（其中，，的部分图象，则下列结论正确()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<的是（ ）．A ．函数的图象关于直线对称 ()f x π2x =B ．函数的图象关于点对称()f x π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．函数在区间上单调增()f x ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．函数与的图象的所有交点的横坐标之和为1y =()π23π1212y f x x ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭8π3【答案】BCD【分析】现根据图像求出函数的解析式，再根据图像性质对每个选项进行判断即可. ()f x 【详解】由图可知，，即， 2A =2543124T πππ=-=T π=因，且，故，因此，2T ωπ=0ω>2ω=()2sin(2)f x x ϕ=+又因的图像过点，所以 ， ()y f x =2,23π⎛⎫-⎪⎝⎭222,32k k Z ππϕπ⨯+=-+∈因，故，因此.0<<πϕ6πϕ=()2sin(26f x x π=+对于选项A ，由，得的对称轴为， 262x k πππ+=+()y f x =,62k x k Z ππ=+∈故不是函数的对称轴，因此A 错；2x π=()f x 对于选项B ，由，得函数的对称中心为，， 26x k ππ+=()f x ,0122k ππ⎛⎫-+⎪⎝⎭Z k ∈故函数的图像关于点对称，因此B 正确；()f x ,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对于选项C ，由，222262k x k πππππ-+≤+≤+得函数的单增区间为，，()f x ,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈故函数在区间上单调递增，因此C 正确；()f x ,36ππ⎡⎤-⎢⎣⎦对于选项D ，由，做出如下图形：()2sin(2)6f x x π=+由图可知，函数与的图像在上有4个交点，1y =()y f x =23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦则这4个交点的横坐标之和为，故D 正确.7822663πππ⨯+⨯=故选：BCD. 12．将函数的图象向左平移个单位后得到函数()()1sin 0,0,02x g x A x A ωϕωωϕπ-=>><<φω的图象，若对，，且，则的可能取值为()y f x =x ∀∈R ()()11f x f x -=-()()130f f -==ω（ ）． A ．B ．C ．D ．2ππ32π2π【答案】AC【分析】由图像平移可得，分析，，可得()()1sin 2xf x A x ωωϕ=+x ∀∈R ()()11f x f x -=-()f x 为偶函数，结合范围可得，代入，分析即得解 2ϕπ=()()130f f -==【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数()()1sin 0,0,02x g x A x A ωϕωωϕπ-=>><<φω的图象，故函数 ()y f x =()()1sin 2xf x A x ωωϕ=+对，，即， x ∀∈R ()()11f x f x -=-t R ∀∈()()f t f t =-故为偶函数，所以，，()f x 2k πϕπ=+Z k ∈又，所以， 0ϕπ<<2ϕπ=故 ()1cos 2xf x A x ωω=，所以，，()11cos 02f A ωω-==2k πωπ=+Z k ∈，所以，，()13cos308f A ωω==32k πωπ=+Z k ∈可得和均为的奇数倍，故的可能取值为，． ω3ω2πω2π32π故选：AC三、填空题13．在四边形中，，且，则向量与的夹角大小是ABCD DA DB DC ==DA DC DB += DAAB __________. 【答案】#### 120 2π32π3【分析】由已知得出四边形是菱形，且三角形为等边三角形，即可得出结果.ABCD ADB 【详解】如图，由，且，四边形是菱形，且三角形为等DA DB DC ==DA DC DB +=ABCD ADB 边三角形，,则向量与的夹角大小为.60DAB ∠= DAAB120故答案为：.120 14．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩＋＝______.()5f 41()6f【答案】##0.512【分析】根据函数的周期性和奇偶性及分段函数的性质求函数值. 【详解】解：由题意得：函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为(1),01()sin ,12x x x f x x x π-≤≤⎧=⎨<≤⎩∴()415(6f f +7(41)(86f f =++-7(1)(6f f =+-7(1)()6f f =- 71(11)sin(6π=⨯-- 12=故答案为：1215．已知函数为偶函数，其图象上相邻的两个最高点之间的距()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+>≤≤离为.把函数的图象向左平移个单位长度使所得函数的图象关于点对2ππ23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0)m m >π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭称，则的最小值是__________. m 【答案】## 5π125π12【分析】根据函数的奇偶性、周期性确定，再根据平移确定函数的解析式，利用对称()cos f x x =中心的性质求解.【详解】因为图象上相邻的两个最高点之间的距离为， 2π所以解得，2π2πT ω==1ω=所以，()()sin f x x ϕ=+又因为函数为偶函数，所以， ()f x ()0sin =1f ϕ=±又因为，所以， 0πϕ≤≤π2ϕ=所以，，()cos f x x =ππ2cos 233f x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将函数向左平移个单位长度可得，π23f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(0)m m >πcos 223y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为所得函数图象关于点对称，π,06⎛⎫⎪⎝⎭所以，所以, ππcos 2033m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭2ππ2π,Z 32m k k +=+∈解得， ππ,Z 122k m k =-+∈因为，所以当时有最小值是， 0m >1k =m 5π12故答案为:. 5π1216．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若存在，使得()sin 2f x x =6π()g x 12,x x ，则=_______． 2212[()][()]2f x g x +=12min x x -【答案】6π【分析】根据三角函数图象的平移变换求得g(x )，然后考察最值点可得. 【详解】由题知()(sin(2)63g x f x x ππ=-=-所以22221212[()][()]sin 2sin (2)23f xg x x x π+=+-=所以2212sin 2sin (2)13x x π=-=则Z ， Z ，112212,2,232x k x k k πππππ=+-=+∈2k ∈即Z ， Z ，121215,,42122k k x x k ππππ=+=+∈2k ∈所以 121212()54212226k k k k x x ππππππ--=+--=-当时，.120k k -=12min 6x x π-=故答案为：6π四、解答题17．如图，按下列要求作答．(1)以A 为始点，作出；a b +(2)以B 为始点，作出；c d e ++(3)若为单位向量，求、和． aa b + c d + c d e ++ 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析(3)，，a + 1c d += c d +【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果a b + c d +再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.c d e ++1a = 【详解】（1）将的起点同时平移到A 点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：,a b a b +（2）先将共线向量的起点同时平移到B 点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形,c d c d +e 法则即可作出，如下图所示：c d e ++（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，a1a =；a += 由共线向量的加法运算可知；1c d c c +=-==利用图示的向量和勾股定理可知，.c d += 18．（1）已知.化简求值：；1sin cos ,0π5ααα+=-<<()()()()()sin 2πtan πtan cos πtan 3πααααα-+---（2）计算：. 25π25π25π5πcoscos tan sin 6346⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭【答案】（1）；（2916【分析】(1)根据同角三角函数的基本关系和诱导公式求解；(2)利用诱导公式求解.【详解】（1）由，且，可得， 221sin cos 5sin cos 1ααα⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩0πα<<3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原式. 2sin()tan tan()sin tan (tan )9tan tan tan cos (tan )cos tan 16ααααααααααααα----=====--（2） 25π25π25π5πcoscos tan sin 6346⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭ ππππππππcos 4πcos 8πtan 6πsin πcos cos tan sin 63466346⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--+-=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122=+-+=19．在“①图象的一条对称轴是直线，②，③的图象关于点()y f x=π8x =()0f =()y f x =成中心对称”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作出详细解答. 7π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭设函数，__________.()()sin 2(π0)f x x ϕϕ=+-<<(1)求函数的单调递增区间. ()y f x =(2)若，求的值. 11π14244f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πcos 32α⎛⎫+ ⎪⎝⎭注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1) π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2) 14-【分析】（1）若选①：根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的单调性进行求解即可； 若选②：利用代入法，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；若选③：根据正弦型函数的对称性，结合正弦型函数的单调性进行求解即可；（2）利用代入法，结合诱导公式进行求解即可.【详解】（1）选择①：因为是函数的图象的对称轴，所以. π8x =()y f x =πsin 218ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭所以.因为，所以.因此. πππ,42k k Z ϕ+=+∈π0ϕ-<<3π4ϕ=-3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由题意得.所以. π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 所以函数的单调递增区间为. 3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦选择②：因为，所以，所以. ()0f =sin ϕ=π0ϕ-<<3π4ϕ=-因此.由题意得. 3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈所以.所以函数的单调递增区间为. π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦选择③.因为的图象关于点成中心对称，所以， ()y f x =7π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭7π72π,Z,ππ84k k k ϕϕ⨯+=∈=-又因为，所以.因此.由题意得. π0ϕ-<<3π4ϕ=-3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3ππ2π22π,Z 242k x k k -≤-≤+∈所以.所以函数的单调递增区间为. π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z 3πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5ππ,π,Z 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）由（1）和得. 11π14244f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π1sin 264α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以. 2ππππ1cos cos sin 32262624a αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s ）时相对于平衡位置（静止时的位置）的t 高度（单位：cm ）由关系式确定，其中，，.在振动中，h πsin 4h A t ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0A >0ω>[)0,t ∈+∞小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s.且最高点与最低点间的距离为10cm.(1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系；h t (2)若小球在内经过最高点的次数恰为25次，求的取值范围.0s t 0t 【答案】(1)，； π5sin 2π4h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0t ≥(2) 193201,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据振幅、周期的定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可；（2）根据正弦型函数的周期，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10cm ，所以， 1052A ==因为在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s ，所以周期为1， 即，所以.所以，； 2π1T ω==2πω=π5sin 2π4h t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0t ≥（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点， 18t =以后每经过一个周期都出现一次最高点，因为小球在内经过最高点的次数恰为25次，所以， 0s t 011242588T t T +≤<+因为，所以，所以的取值范围为. 1T =019320188t ≤<0t 193201,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．已知函数（其中为常数） ()2sin 216f x x a π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭a （1）求的单调区间；()f x （2）若时，的最大值为4，求a 的值； 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x （3）求出使取得最大值时x 的取值集合.()f x 【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）（3） 1a =,6x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】（1）利用正弦函数的单调性，求得的单调区间．()f x （2）利用正弦函数的定义域和值域，结合题意求得的值．a （3）由相位的终边落在轴正半轴上求得使取最大值时的取值集合．y ()f x x 【详解】解：（1）由， ()222262k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z 解得.()36k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ∴函数的单调增区间为. ()f x (),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z 由，， 3222262k x k πππππ+≤+≤+k ∈Z 解得，. 263k x k ππππ+≤≤+k ∈Z ∴函数的单调减区间为. ()f x ()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）∵，∴， 02x π≤≤72666x πππ≤+≤∴， 1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭∴的最大值为，∴.()f x 214a ++=1a =（3）当取最大值时，，， ()f x 2262x k πππ+=+k ∈Z ∴，， 223x k ππ=+k ∈Z ∴，.6x k ππ=+k ∈Z ∴当取最大值时，()f x 的取值集合是. x ,6x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【点睛】本题考查正弦函数的单调性，考查了与正弦函数有关的复合函数最值的求法，属于基础题．22．已知点，是函数图象上的任意()()11,A x f x ()()22,B x f x ()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． ϕ(1,P ()()124f x f x -=12x x -3π(1)求函数的解析式；()f x (2)求函数的对称中心及在上的减区间；()f x []0,π(3)若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围． ()()230f x f x m ⎡⎤-+=⎣⎦4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 【答案】(1)； ()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)对称中心；减区间：，； (),039k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5111818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，17,18ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)或. 112m =100m -<≤【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；（2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间；（3）设，将方程转化为函数与公共点问题.()t f x =23y t t =-y m =-【详解】（1）解：角的终边经过点，ϕ(1,P tan ϕ=, 02πϕ-<< ,3ϕπ∴=-由时，的最小值为，()()124f x f x -=12x x -3π得，即，, 23T π=223ππω=3ω∴=， ()2sin 33f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭（2）解：令，即，即，所以函数()2sin 303f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3,3x k k Z ππ-=∈,39k x k Z ππ=+∈()f x 的对称中心为， (),039k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭令，得， 3232,232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈25211,318318k k x k Z ππππ+≤≤+∈又因为，[]0,x π∈所以在上的减区间为， ()f x []0,π5111818ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，17,18ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）解：， 4,99x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()30,3x ππ∴-∈， 0sin 313x π⎛⎫∴<-≤ ⎪⎝⎭设，()f x t =问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根． 230t t m -+=()0,2，，23m t t -=- ()0,2t ∈作出曲线，与直线的图象． 2:3C y t t =-()0,2t ∈:l y m =-时，；时，；时，． 16t = 112y =-0=t 0y =2t =10y =当或时，直线与曲线有且只有一个公共点． ∴112m -=-010m ≤<l C的取值范围是：或． m ∴112m =100m -<≤。
高一数学关于扇形的经典试题及解析
高一数学关于扇形的经典试题及解析（含答案）高一数学经典例题：1.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
2.设θ是第二象限角，试比较sin（θ/2），cos（θ/2)，tan （θ/2）的大小。
3.A是以O为圆心，半径为1㎝的圆周上一定点，动点P从A出发，以每分钟5圈的速度逆时针旋转，△OAP的面积y平方厘米与旋转时间t秒的函数关系为y=f（t)，求该解析式。
高一数学经典例题解析：
1设中心角的弧度为X，则2πR*(x/2π)+2R=2πR
所以x=2π-2弧度
1弧度约等于57.3°，所以x=360°-2*57.3°=245.4°
面积=πR^2*x/2π=(π-1）R^2
2是第二象限角，π/4<θ/2<π/2
比较Y=sinX，Y=cosX，Y=tanX的函数图像可知
tanθ/2>sinθ/2>cosθ/2
其中tanθ/2>1
sinθ/2>2分之根号2
cosθ/2<2分之根号2
3角速度w=n*2π/60=π/6
∠AOP=(π/6)t
S=1/2OA*OP*|sin∠AOP|=1/2|sin∠AOP|
t∈【6k，6(k+1))（k为自然数）时：y=f(t)=1/2sin(π/6)t t∈【6(k+1)，6(k+2)）（k为自然数）时：y=f(t)=-1/2sin(π/6)t。
新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试题(答案解析)(6)
一、选择题1．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cmB ．3cmC ．12cmD ．8cm2．已知函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭3．cos75cos15sin75sin15︒⋅︒+︒⋅︒的值是（ ） A ．0B ．12C 3D ．14．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭5．sin15cos15+=（ ） A ．12B ．22C 3D 66．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．27．若1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）.A ．79-B ．13-C ．13D ．798．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-9．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（ ）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（ ） A ．13-B ．13C ．223- D ．2311．若将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是（ ） A ．,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭12．已知某扇形的弧长为32π，圆心角为2π，则该扇形的面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．2π D ．94π 二、填空题13．将函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移4π单位，所得到的函数解析式是_________. 14．已知()3sin 23cos sin 1f x x x x =-⋅+，若()32f a =，则()f a -=______. 15．已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 16．已知函数()22sin cos 23cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为π4，则当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为______． 17．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin 2cos αα+的值等于______. 18．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.19．已知α是第一象限角，且4tan 3α=，则sin 2α=_______ 20．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.三、解答题21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （2）求函数()f x 的单调递减区间. 22．已知函数()π322sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域.23．已知向量2(cos ,sin )m x a x =，(3,cos )n x =-，函数3()2f x m n =⋅-. （1）若1a =，当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域； （2）若()f x 为偶函数，求方程3()4f x =-在区间[,]-ππ上的解. 24．如图，在ABC 中，CD AB ⊥于D ，且3BD AD =.（1）若2BCD ACD ∠=∠，求角A 的大小； （2）若1cos 3A =，求tan C 的值. 25．已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值； （3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且2()f α=，求α的值. 26．已知3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，求()cos αβ-的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由题意利用扇形的面积公式可得2122R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．【详解】解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =， 又因为扇形的面积为22cm ， 所以2122R =，解得2R cm =，故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．2．A解析：A 【分析】利用图象可得出()max A f x =，求出函数()f x 的最小正周期，可求得ω的值，再将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数()f x 的解析式，结合ϕ的取值范围，求出ϕ的值，进而可得出函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()max 2A f x ==，函数()f x 的最小正周期为2236T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==，()()2sin 2f x x ϕ∴=+， 又2sin 2266f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 22ππϕ-<<，5636πππϕ∴-<+<，32ππϕ∴+=，解得6π=ϕ， 因此，()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.3．B解析：B 【分析】由两角和的余弦公式化简计算． 【详解】原式＝1cos(7515)cos 602︒-︒=︒=． 故选：B ．4．D【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式． 【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．5．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==. 故选：D.6．A解析：A 【分析】先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】 因为sin 3y x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象重合， 所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =， 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路： （1）先根据诱导公式将函数名统一； （2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.7．A【分析】根据1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，利用诱导公式得到cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由2cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用二倍角公式求解. 【详解】 因为1sin sin 6233πππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1cos 33πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 所以227cos 2cos 22cos 13339πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选：A8．C解析：C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【详解】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；故选：C.9．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===， 又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.10．A解析：A 【分析】 运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】 解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-， 即有1sin[()]243ππα-+=-， 即1cos()43πα+=-. 故选：A.11．A解析：A 【分析】先求出平移后的解析式为23sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()223x k k Z ππ+=∈解方程即可求解. 【详解】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向左平移6π个单位长度得：23sin 23sin 2633y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令()223x k k Z ππ+=∈，解得：()32kx k Z ππ=-+∈， 当1k =时，326x πππ=-+=，所以平移后图象的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，故选：A12．D解析：D 【分析】由弧长公式求出3r =，再由扇形的面积公式求出答案. 【详解】扇形的圆心角322l r r ππθ===，所以3r =，则扇形的面积113932224S lr ππ==⨯⨯=. 故选：D. 二、填空题13．【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案【详解】函数的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的倍得到再向右平移个单位得到故最终所得到的函数解析式为：故答案为： 解析：()sin f x x =【分析】利用三角函数图象的平移和伸缩变换即可得正确答案. 【详解】 函数sin 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍， 得到sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向右平移4π个单位，得到sin sin 44y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故最终所得到的函数解析式为：()sin f x x =. 故答案为：()sin f x x =.14．【分析】令求出再由奇函数的性质求解【详解】令易证为奇函数所以所以故答案为：解析：12【分析】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，求出()12g a =，再由奇函数的性质求解()f a -. 【详解】令()3sin 23cos sin g x x x x =-⋅，易证()g x 为奇函数.()()312f a g a =+=，所以()12g a =，所以()()()1112f ag a g a -=-+=-+=.故答案为：1215．【分析】根据可得的值而再将分子分母同除以化成关于的分式即可解【详解】由得则有；故答案为：【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式： 解析：35【分析】根据2sin cos 0αα-=，可得tan α的值，而2222sin 2sin cos sin 2sin cos 1sin cos αααααααα--=+， 再将222sin 2sin cos sin cos ααααα-+分子分母同除以2cos α化成关于tan α的分式即可解. 【详解】由2sin cos 0αα-=， 得1tan 2α=， 则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++ 221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭；故答案为：35. 【点睛】方法点睛：考查同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1θθ+=，sin tan cos θθθ=，tan cot 1θθ⋅=.16．【分析】先将函数化简整理根据相邻对称轴之间距离求出周期确定再根据正弦函数的性质结合给定区间即可求出最值【详解】因为由题意知的最小正周期为所以即所以当时所以因此所以函数的最小值为故答案为：解析：-【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值.【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω+=-=-πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ 由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=， 所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭， 所以函数()f x的最小值为-．故答案为：-17．【分析】根据三角函数定义求出的值由此可求得的值【详解】由三角函数的定义可得因此故答案为： 解析：25- 【分析】根据三角函数定义求出sin α、cos α的值，由此可求得sin 2cos αα+的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos 5α==-，4sin 5α==， 因此，432sin 2cos 2555αα⎛⎫+=+⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：25-. 18．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为： 解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 故答案为：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 19．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为： 解析：2425【分析】 根据同角三角函数的关系解出43sin ,cos 55αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】α是第一象限角，且4tan 3α=， 则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55αα==， ∴24sin 22sin cos 25ααα==. 故答案为：2425. 20．【分析】利用对称关系得代入即可求解值再结合辅助角公式化简可求最值【详解】由对称轴关系得令得求得从而当时取到最大值故答案为：解析：【分析】利用对称关系，得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a =从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值故答案为：三、解答题21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,]()44k k k Z ππππ++∈ 【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解；（2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论.【详解】（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==， 最小正周期为22T ππ==，最大值为1； （2）由3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 解得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈. 22．（1）π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而根据πππ2π22π232k x k -+≤-≤+解得()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ； （2）由ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得5πππ2636x -≤-≤，进而得π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【详解】解：（1）()11π2cos 2sin 2sin 22sin 2223f x x x x x x x ⎫⎛⎫=--==-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， ∵πππ2π22π232k x k -+≤-≤+，()k ∈Z ， ∴π5πππ1212k x k -+≤≤+，()k ∈Z ， ∴()f x 的增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . （2）∵ππ44x -≤≤， ∴5πππ2636x -≤-≤， ∴π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题解题的关键是根据三角恒等变换得()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，进而根据整体换元的思想求函数的单调区间与值域，考查运算求解能力，是中档题.23．（1）[-；（2）75,1212x ππ=±±. 【分析】（1）将()f x 化为()cos(2)6f x x π=+，然后可得答案；（2）由()f x 为偶函数可求出0a =，然后可得答案.【详解】（1）2()sin cos 2sin 2222a f x x a x x x x =--=-当1a =，1()cos 2sin 2cos(2)226f x x x x π=-=+由7[0,],2[,],cos(2)[1,266662x x x πππππ∈∴+∈∴+∈-所以()f x 的值域为[- （2）若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=恒成立2sin 22sin 222a a x x x x +=-成立，整理得sin 20,0a x a =∴=所以由3()24f x x ==-得cos 2x =又752[2,2],,1212x x ππππ∈-∴=±±24．（1）π3A =；（2 【分析】 （1）设ACD θ∠=，则2BCD θ∠=，从而可得tan 23tan θθ=，利用二倍角公式正切公式即可求解.（2）根据题意可得tan 3tan A B =，由同角三角函数的基本关系可得tan A =，即tan B ()tan tan C A B =-+，利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）设ACD θ∠=，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2BCD θ∠=， 因为tan AD CD θ=，tan 2BD CDθ=， 又因为3BD AD =，所以tan 23tan θθ=，即22tan 3tan 1tan θθθ=-，所以tan θ=， 因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6θ=，所以π3A =. （2）因为tan CD A AD=，tan CD B BD =，3BD AD =， 所以tan 3tan A B =， 又因为1cos 3A =，π(0,)2A ∈，所以sin =A ，所以tan A =，tan B ， 又因为()tan tan C A B =-+，所以tan tan tan 1tan tan A B C A B +=-=-⋅．25．（1）2π；（2）函数()f x 的最大值为2，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π． 【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案．【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+ 1cos 2sin 2cos 42x x x =+ ()sin 124cos4x x +=)24x π=+，所以()f x )24x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x )24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为2-，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()4f α=，所以())244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=.所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π. 26．12- 【分析】 根据3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=，分别平方两式相加，利用两角差的余弦公式求解.【详解】 因为3cos cos 5αβ+=，4sin sin 5αβ+=， 所以()2229cos cos cos 2cos cos cos 25αβααββ+=+⋅+=， ()22216sin sin sin 2sin sin sin 25αβααββ+=+⋅+=， 两式相加得：()22cos 1αβ+-=，所以()1cos 2αβ-=-故答案为：12-。
福建高一高中数学期末考试带答案解析
福建高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若扇形的半径为6 cm，所对的弧长为cm，则这个扇形的面积是（）。
A．cm2B．6 cm2C．cm2D．4 cm22.在△ABC中，若，则（）。
A．－B．C．D．3.若，则的值是（）。
A．B．C．D．以上答案都不对4.在中,角所对的边分别是,若，,则（）。
A．B．C．D．5.的值是（）。
A．B．C．D．6.以下关于向量说法的四个选项中正确的选项是（）。
A．若任意向量共线且为非零向量，则有唯一一个实数，使得；B．对于任意非零向量，若，则;C．任意非零向量满足，则同向；D．若A,B,C三点满足，则点A是线段BC的三等分点且离C点较近。
7.在△ABC中，利用正弦定理解三角形时，其中有两解的选项是（）。
A．；B．；C．；D．；8.已知，则（）。
A．B．C．D．-9.已知△满足，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）。
A．-B．C．D．10.若函数在一个周期内的图象如图所示，且在，分别是这段图象的最高点和最低点，则方向上的投影为（）.A．B．C．-D．11.下列对于函数的判断不正确的是（）。
A．对于任意，都有，则的最小值为；B．存在，使得函数为偶函数；C．存在 ,使得；D．函数在区间内单调递增；12.在平面内，定点A，B，C，D满足,动点满足、=，则的最小值是( ) 。
A．B．C．D．二、填空题1.已知角的终边过点，则的值为_______。
2.平面上点为坐标原点，，是平面上任意一点且满足，则点坐标是_____________。
3.若，则___________。
4.在下列五个命题中：①已知大小分别为与的两个力，要使合力大小恰为，则它们的夹角为;②已知，，则；③若A,B,C是斜的三个内角，则恒有成立；④；⑤已知，则的大小为;其中错误的命题有_________.（写出所有错误命题的序号）三、解答题1.已知且∥，设函数（Ⅰ）求函数的对称轴方程及单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数的最大值和最小值并写出函数取最值时x的值。
(完整word版)扇形的习题与答案
(完整word版)扇形的习题与答案1、如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。
求扇形所在的圆面积.解答：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍。
而扇形面积为等腰三角形面积：S＝1/2×10×10＝50,则圆的面积为400。
2、如下图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。
（取π＝3）解答：阴影部分面积=梯形BCEF-三角形BFD-扇形=2—1-3/8=5/8 。
3、以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下右图），直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
（π取3）
解答:如下图所示，所求面积等于圆面积减去正方形面积，阴影部分面积=(4÷2)2π-4×4÷2= 4（厘米2）。
陕西省西安高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．已知扇形的半径为1，圆心角为30°，则扇形的面积为（ ） A ．30 B ．C ．D ．π12π6π3【答案】B【分析】根据扇形的面积公式求得结果. 【详解】已知扇形圆心角为30°，即，扇形半径为1， π6θ=所以扇形的面积.2111ππ1222612S lr r θ===⨯⨯=故选：B.2．已知向量，，若共线，则的值为（ ）()1,a x =- ()1,2b = ,a bx A ． B ． C ． D ．2-1-12【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示列方程求的值. x 【详解】因为，，共线，()1,a x =- ()1,2b = ,a b所以，所以， 1210x -⨯-⨯=2x =-故选：A.3．棣莫弗公式（其中i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-(cos isin )cos isin n x x nx nx +=+1754年）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于2023cos isin 66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可．【详解】由棣莫弗公式知， 2023ππ2023π2023πππcos isin cosisin cos 337πisin 337π666666⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ1cos(π+isin(π+)i 662=+=复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． ∴2023ππcos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭故选：C ．4．函数的定义域为（ ）()tan 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A ．B ．,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z 2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．D ．,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭,8x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】根据正切型三角函数定义域的求法，求得的定义域.()f x 【详解】由，解得，所以的定义域为.ππ2π42x k +≠+ππ28k x ≠+()f x ,28k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故选：C【点睛】本小题主要考查正切型三角函数定义域的求法，属于基础题.5．在中，边上的点满足，设，，则（ ）ABC A BC D 2CD DB = AC a = AD b = AB =A ．B ．C ．D ．1233a b + 1322a b -+r r5322a b -3122a b -【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算表示出答案即可.【详解】由，得，∴，2CD DB = 32CB CD = ()33132222AB AC CD AC AD AC AC AD =+=+-=-+故选：B.6．已知（ ） ππ,sin 2cos 1,2sin cos 22βαβααβ-<-<-=+=sin β=A ．B ．CD 【答案】D【分析】根据，，两式平方相加得到，根据sin 2cos 1βα-=2sin cos αβ+=()54sin 3αβ+-=，得到代入求解. ππ22βα-<-<π6αβ=-2sin cos αβ+=【详解】因为，， sin 2cos 1βα-=2sin cos αβ+=所以两式平方相加得，()54sin 3αβ+-=即，()1sin 2αβ-=-又因为， ππ22βα-<-<所以，即，，π6αβ-=-π6βα=+π6αβ=-将代入， π6αβ=-2sin cos αβ+=得，2sin cos 6πββ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭cos cos βββ-+=所以. sin β=故选：D.7．在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点），为棱的四ABCD A B C D -''''4AB =E BC B F A D ''等分点（靠近点），过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是（ ） A 'C 'E FA B C D 252252+403+403【答案】C【分析】根据正方体的特征，作出过点，，的该正方体的截面，计算相关线段的长，即可C 'E F 求得答案.【详解】设为的三等分点，靠近B 点，连接,并延长交延长线于P ， G AB GE DA 设为的三等分点，靠近点，连接,并延长交延长线于Q ，H A A 'A 'FH DA则∽，由于，故,GBE A GAP △481,,33BE GB AG ===2AP =同理求得,故两点重合，则,2AQ =,P Q 1023PG GE ===故，而，故,105533PE PG GE =+=+=5FC '==PE FC '=同理可得,即四边形为平行四边形，PF EC '=PEC F '连接,则五边形即为过点，，所作的正方体的截面，H G GHFC E 'C 'E F由题意可知 55,,3C F C E GE FH HG ''======故该截面的周长是， 554055333++++=故选：C8ABC 的边AB 、AC 上分别取M 、N 两点，沿线段MN 折叠三角形，使顶点A 正好落在边BC 上，则AM 的长度的最小值为（ ） A ．B ．C ．D14132【答案】C【解析】设，在三角形中，利用正弦定理求得的表达式，结合的,BAP AM MB x θ∠===BMP x θ取值范围，求得的最小值，也即是的长度的最小值. x AM 【详解】显然A ，P 两点关于折线MN 对称，连接MP ，图（2）中，可得AM ＝PM ，则有∠BAP ＝∠APM ， 设∠BAP ＝θ，∠BMP ＝∠BAP +∠APM ＝2θ， 再设AM ＝MP ＝x ，则有， MB x 在△ABC 中，∠APB ＝180°﹣∠ABP ﹣∠BAP ＝120°﹣θ， ∴∠BPM ＝120°﹣2θ， 又∠MBP ＝60°，在中，由正弦定理知，BMP A sin sin BM MPBPM MBP=∠∠，sin 60x =︒∴x =∵0°≤θ≤60°， ∴0°≤120°﹣2θ≤120°，∴当120°﹣2θ＝90°，即θ＝15°时，sin （120°﹣2θ）＝1．此时x，且∠AME ＝75°．2==则AM 的最小值为． 2故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，属于中档题.二、多选题9．设，是虚数单位，复数.则下列说法正确的是（ ） m ∈R i ()()22i z m m =++-A ．若为实数，则 z 2m =B ．若为纯虚数，则z 2m =-C ．当时，在复平面内对应的点为 1m =z ()3,1ZD ．的最小值为z 【答案】ABD【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定义分别判断即可.【详解】若为实数，则虚部为0，即，故正确； z 2m =A 若为纯虚数，则实部为0，即，故正确；z 2m =-B 当时，，则在复平面内对应的点为，故错误；1m =3i z =-z ()3,1Z -C（当且仅当时取等号），故正确，z ==≥0m =D 故选:.ABD 10．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，正确的是（ ）A ．AB ⊥EFB ．AB 与CM 所成的角为60°C ．EF 与MN 是异面直线D ．MN CD //【答案】AC【分析】由题可先画出正方体,再利用空间中判断线线夹角的一般方法逐个选项判断即可. 【详解】还原正方体,以正方形为底面有NACF对选项A,因为∥,且有,故A 正确. AB CM CM EF ⊥AB EF ⊥对选项B,因为∥,所以B 错误. AB CM 对选项C,由图可得显然正确. 对选项D,,故D 错误. MN CD ⊥故选：AC11．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） ABC A A B C 、、a b c 、、A ．若为钝角三角形，则 ABC A 222a b c +>B ．若，则有两解30,4,3=︒==A b a ABC A C ．若为斜三角形，则 ABC A tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=D ．若为锐角三角形，则 ABC A sin sin cos cos A B A B +>+【答案】BCD【分析】利用余弦定理即可判断A ；利用正弦定理即可判断B ；由两角和的正切公式可判断C ；由为锐角三角形，可得，再根据正弦函数的单调性及诱导公式即可判断D. ABC A ππ022B A <-<<【详解】对于A ，若为钝角，则有，C 222cos 02a b c C ab +-=<则，故A 错误；222a b c +<对于B ，，则，如图：sin 4sin 302b A =︒=sin b A a b <<所以有两解，故B 正确； ABC A 对于C ，因为，tan tan tan()1tan tan B CB C B C++=-所以 tan tan tan()(1tan tan )B C B C B C +=+-因为， tan()tan(π)tan B C A A +=-=-所以，tan tan tan tan tan tan B C A B C A +=-所以，故C 正确； tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=对于D ，若为锐角三角形，则， ABC A π2A B +>故， ππ022B A <-<<则，πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭同理可得，sin cos B A >所以，故D 正确. sin sin cos cos A B A B +>+故选：BCD.12．已知函数，则（ ）π()cos (0,0)6f x x B B ωω⎛⎫=-+>> ⎪⎝⎭A ．若函数的图象关于直线对称，则的值可能为3()f x π3x =ωB ．若关于x 的方程在上恰有四个实根，则的取值范围为()f x B =[0,]πω1114,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．若函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移B 个单位长度，得到的函数为奇函()f x π3()g x 数，则的最小值是1ωD ．若函数在区间上单调，则()f x π3π,44⎡⎤⎢⎣⎦12ω≤≤【答案】BC【分析】根据函数的对称轴代入得出判断A ，由根的个数可确定13()2k k ω=+∈Z 7ππ9ππ262ω≤-<，据此判断B ，平移后由函数为奇函数可得，可判断C ，特殊值检验可判断D. 31()k k ω=+∈Z 【详解】对于A ，因为函数的图象关于直线对称，所以，则()f x π3x =πππ()36k k ω-=∈Z ，因为，则的值不可能为3，故A 错误；13()2k k ω=+∈Z 0ω>ω对于B ，当时，，若在上恰有四个实根，则[0,π]x ∈πππ,π666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦()f x B =[0,π]x ∈，解得，故B 正确； 7ππ9ππ262ω≤-<111433ω≤<对于C ，由已知得，因为函数为奇函数，所以ππππ()cos cos 3636g x x x ωωω⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦()g x ，即，因为，所以的最小值是1，故C 正确； ππππ()362k k ω+=+∈Z 31()k k ω=+∈Z 0ω>ω对于D ，当时，，因为，2ω=π()cos 2(0)6f x x B B ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，所以函数在区间上不单调，故D 错误．ππ4π2,633x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦()f x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：BC ．三、填空题13．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若ABO A B O '''1O A ''=，那么原三角形的周长是__________.ABO【答案】2+【分析】根据斜二测画法的规则，与 轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与 轴x x 'y 平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出 的长度，即可求出原三角形的周y ',OA OB 长.【详解】因为为以为斜边的等腰直角三角形，， A B O '''A O A ''1O A ''=所以， O B ''=根据直观图画出原图如下，则有，， OB O B ''==22OA O A ''==所以， AB ===那么原三角形周长是ABO 2OA OB AB ++=+故答案为：.2+14．已知向量，则向量在向量的方向上的投影向量为__________.（结果用坐()()1,2,4,3a b ==r r ab 标表示）【答案】.86,55⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先计算两个向量的夹角的余弦值，再根据投影向量定义计算向量 在向量 上的投影向a b量.【详解】因为，则， ()()1,2,4,3a b ==rr cos ,a b a b a b ⋅===⋅所以向量 在向量 上的投影向量为. a b()4,386cos ,=,555a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 故答案为：.86,55⎛⎫⎪⎝⎭15．设复数z 满足，则的取值范围是_________.2i 2i 4z z++-=1i z --【答案】⎡⎣【分析】由复数的几何意义确定复数z 复平面上的对应点的轨迹，结合图象确定可得结果. 【详解】设复数z 在复平面上的对应点为，复数的在复平面上的对应点为，Z 1i +(1,1)P 由，可知点的轨迹为以，为端点的一条线段，又表示点2i 2i 4z z ++-=Z ()0,2A ()0,2B -1i z --到点的距离，观察图象可知当时，取最小值，最小值为1，当时，Z ()1,1i z =1i z --2i z =-取最大值，最大值为，1i z --所以取值范围为. 1i z --⎡⎣故答案为：.⎡⎣16．如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为__________.【分析】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球，作出小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形，求出小球滚动形成的几何体的体积，再由容器的体积减去小球滚动形成的几何体的体积得出答案.【详解】小球滚动形成的几何体为圆柱和两个半球． 小球运动到左侧与圆锥相切时的轴截面的图形如图所示：由题意知：，则，， 30,1OAB OB ∠=︒=2OA =1AC OA OC =-=，2,cos301AD AE AD CE AE AC ==︒==-=小球滚动形成的圆柱的高为10217h =--=则小球滚动形成的几何体的体积为：，234π1(7π13V =⨯⨯++⨯=容器的体积为，221π110π110π3⨯⨯+⨯=则小球无法碰触到的空间部分的体积为. 10π．四、解答题17．已知向量，．(a = ()2,0b =- （1）求的坐标以及与之间的夹角；a b - a b - a （2）当时，求的取值范围． []1,1t ∈-a tb - 【答案】（1），；（2）. (a b -= 6π【分析】（1）本题首先可根据向量的坐标运算求出，然后根据即可得出结a b - ()cos a b a a b a θ-⋅=-⋅果；（2）本题可通过对进行平方即可得出结果.a tb - 【详解】（1）因为，，所以，(a = ()2,0b =- (a b -= 设与之间的夹角为，a b- a θ则 ()cos a b a a b a θ-⋅===-⋅ 因为，所以与之间的夹角为. []0,θπ∈a b - a 6π（2），()2222222444213a tb a ta b t b t t t -=-⋅+=++=++因为，所以，[]1,1t ∈-[]23,12a tb ∈-故的取值范围是.a tb - 18．若函数在一个周期内的图象如图所示.()sin (0,0π)y A x ωϕωϕ=+><<(1)写出函数的解析式；(2)求函数的单调增区间.将函数的图象向右移动个单位后，得到函数的图象，求函数π3()y g x =在上的值域. ()y g x =π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】(1) ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)的增区间为，，函数的值域为 ()f x 7πππ,π1212k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈()y g x =2⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据函数的图象可得及周期，即可求出，再利用待定系数法求出即可； A T ωϕ（2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解.()y g x =【详解】（1）由图可知， 5πππ2,212122T A ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭则，所以， 2ππT ω==2ω=故，()()2sin 2f x x ϕ=+又，则， ππ2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πsin 16ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭所以，即， ππ2π62k ϕ-+=+2π2π,Z 3k k ϕ=+∈又，所以， 0πϕ<<2π3ϕ=所以； ()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）令，得， π2ππ2π22π232k x k -+≤+≤+7ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤-+∈所以的增区间为，， ()f x 7πππ,π1212k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈由题意， ()π2π2sin 22sin 233g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦由，得，则， π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π4π2,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数在上的值域为. ()y g x =π2π,123x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2⎡⎤⎣⎦19．《九章算术》卷第五《商功》中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶，”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF 为矩形，，且.2224BC BE AE AG ====AG EF ∥(1)若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证：平面GCF ；//AO (2)若，且，求三棱锥的体积. AE EF ⊥23AEB π∠=A BEF -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取线段中点H ，连接，利用中位线定理得到且，证CF OH GH 、//AG OH AG OH =明四边形是平行四边形，得到，根据线面平行的判定即可证明；AOHG //AO HG（2）利用线面垂直的判定得到面，利用三角形面积公式求出EF ⊥ABE ABE S △代入计算即可求解.【详解】（1）在图中取线段中点H ，连接，如图所示： CF OH GH 、由题可知，四边形是矩形，且，EBCF 2CB EB =∴O 是线段与的中点，∴且， BF CE //OH BC 12OH BC =又且，而且. //AG EF 12AG EF =//EF BC EF BC =所以且，∴且， //AG BC 12AG BC =//AG OH AG OH =∴四边形是平行四边形，则，由于平面，平面，∴平面AOHG //AO HG AO ⊄GCF HG ⊂GCF //AO .GCF （2）∵，面，，∴面，,EF AE EF BE ⊥⊥,AE BE ⊂ABE AE BE E =I EF ⊥ABE12π1sin 22232ABE S AE BE =⋅⋅=⨯⨯=△所以 11433A BEF F ABE ABE V V S EF --==⋅==△即三棱锥A BEF -20．在中，设角，，所对的边分别为，，，且ABC A A B C a b c ()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+(1)求；A(2)若为上的点，平分角，且，，求. D BC AD A 32c =AD =BD DC 【答案】(1)π3A =(2)12 【分析】（1）利用正弦定理进行角化边整理得，再结合余弦定理222b c bc a +-=；（2）利用等面积，整理得，再由角平分线的性质222cos 2b c a A bc +-=ABC ABD ADC S S S =+A A A 3b =代入计算． BD c DC b=【详解】（1）因为，()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+所以由正弦定理可得：，整理得.()()()c b c a b a b -=-+222b c bc a +-=由余弦定理得： 2221cos 22b c a A bc +-==又因为所以0πA <<π3A =（2）由（1）知.π3A =又因为平分角，所以. AD A π6BAD CAD ∠=∠=由得. ABC ABD ADC S S S =+A A A 111sin sin sin 222bc A c AD BAD b AD CAD ∠∠=⋅+⋅.()AD b c =⋅+又因为，. 32c =AD =3b =再由角平分线的性质可知： 12BD c DC b ==21．如图，在四棱锥中，，，，，，P ABCD -//AB CD 1AB =3CD =2AP =DP =，平面，点M 是棱上的动点．60PAD ∠= AB ⊥PAD PC(1)证明：；AP DM ⊥(2)设，求当平面时的值． PM PCλ=//AP BDM λ【答案】(1)证明见解析(2)． 14【分析】（1）根据平面和推出，根据余弦定理计算推出，AB ⊥PAD //AB CD CD AP ⊥AP PD ⊥根据线面垂直的判定定理得到平面，从而可得；AP ⊥PCD AP DM ⊥（2）连，交于点N ，连，根据线面平行的性质定理推出，再根据三角形相似AC BD MN //AP MN 可求出结果.【详解】（1）证明：由于平面且，AB ⊥PAD //AB CD 所以平面，又平面，所以．CD ⊥PAD AP ⊂PAD CD AP ⊥由， 2222cos PD AP AD AP AD PAD =+-⋅∠得，即， 21124222AD AD =+-⨯⋅⨯2280AD AD --=解得或（舍），4=AD 2AD =-所以，即，22AD AP PD =+2AP PD ⊥又平面，，且，CD ⊂PCD PD ⊂PCD CD PD D = 所以平面，而平面，AP ⊥PCD DM ⊂PCD 因此．AP DM ⊥（2）连，交于点N ，连，AC BD MN因为平面，平面，平面平面，//AP BDM AP ⊂APC BDM APC MN =所以，故． //AP MN CM CN PM AN=在梯形中，根据与相似，可得， ABCD ABN A CDN △13AB AN CD NC ==所以，即当平面时的值为． 14PM AN PC AC λ===//AP BDM λ1422．定义在R 上的连续函数满足对任意 ，，()()f x g x 、x y ∈R 、()()()()()f x y f x g y f y g x +=+⋅.2()()()()(),(2)2[()]1g x y f x f y g x g y g x g x +=+=-(1)证明：；()()g x f x >(2)请判断的奇偶性；()()f x g x 、(3)若对于任意 ，不等式恒成立，求出m 的最大值.x R ∈(2)()6g x mg x ≥-【答案】(1)证明见解析(2) 为奇函数， 为偶函数()f x ()g x(3)【分析】（1）令 ，利用条件运算可以证明；x y =（2）运用（1）的结果，令 ，计算出 ，再令 ，对条件进行运算可以0,0x y ==()()0,0f g y x =-判断出 的奇偶性；()(),f x g x （3）运用条件 将不等式 转化为对勾函数，再用基本不等式()()2221g x gx =-()()26g x mg x ≥-可以求解.【详解】（1）令 ，则有 ，x y =()()()()()()2222,20f x f x g x g x f x g x ==+≥ ①② ，()20g x ≥因为 是任意的， ，由得x ()0g x ∴≥()()2221g x g x =- ，()()()()()2222221,1g x f x g x g x f x -=+=+， ； ()())()0,g x g x x f x ≥∴=≥ ()()g x f x ＞（2）令 ，由①②得 ，将 代入，0x y ==()()()0200f f g = ③0x =()()2221g x g x =-解得 或 （ ，舍去），代入③得 ； ()01g =()102g =-()0g x ≥ ()00f =令 ，则有 ， y x =-()()()()()()()()()()()()0001f x x f x g x f x g x f g x x f x f x g x g x g ⎧-=-+-==⎪⎨-=-+-==⎪⎩两式相加得 ，()()()()1f x g x f x g x +-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由（1）的运算结果 ， 代入上式，得：()()221g x f x =+()()221g x f x =-，()()()()()()0f x g x f x g x g x f x +-+--+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦由可知如果 ，则有 ，不可能，()()221g x f x =+()()f x g x =-01=所以 ， ，()()0f x g x +≠()()()()g x f x f x g x ∴-=-+-由于x 是任意的，必有 ，两式相加得()()()()g x f x g x f x +=---()()()()22,g x g x g x g x =-=- ， 是偶函数， ， 是奇函数；()g x ()()f x f x =--()f x （3）由于，不等式即为：()()2221g x g x =-()()26g x mg x ≥- ，由 ， 得()()()()22216,250g x mg x g x mg x -≥--+≥()()221g x f x =+()0g x ≥，()1g x ≥令 ，则不等式转化为 ，其中 ，()t x g =2250t mt -+≥1t ≥， ，当且仅当时等号成立，所以m 的最大值为 ； 52m t t ∴≤+52t t +≥ t =综上，m 的最大值为.【点睛】比较两个函数值的大小一般是用做差法，但是本题不行，需要利用条件巧妙推出； 推导函数的奇偶性，一般来说是先求出 ，如果 ，则必定不是奇函数，()0f ()00f ≠本题需要结合条件再巧妙利用“1”，作因式分解，再利用 与 的关系推出 的()g x ()f x ()(),f x g x 奇偶性；不等式求参数的最大值，用参数分离法比较直观，分离后的不等式显然可以用基本不等式来计算.。
高中扇形计算面积试题及答案
高中扇形计算面积试题及答案试题一：某扇形的半径为10厘米，圆心角为45°，求该扇形的面积。
试题二：已知扇形的弧长为18π厘米，半径为9厘米，求扇形的面积。
试题三：一个扇形的面积为100平方厘米，圆心角为60°，求扇形的半径。
试题四：若扇形的半径为15厘米，圆心角为120°，求扇形的弧长。
试题五：扇形的半径为20厘米，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积。
答案：试题一答案：首先，我们需要将圆心角转换为弧度制，45° = π/4 弧度。
扇形面积公式为 \( A = \frac{1}{2} \times r^2 \times \theta \)，其中\( r \) 为半径，\( \theta \) 为圆心角（弧度制）。
代入数值得：\[ A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{4} = 25\pi \] 厘米²。
试题二答案：扇形面积公式为 \( A = \frac{1}{2} \times R \times l \)，其中\( R \) 为半径，\( l \) 为弧长。
代入数值得：\[ A = \frac{1}{2} \times 9 \times 18\pi = 81\pi \] 厘米²。
试题三答案：扇形面积公式为 \( A = \frac{1}{2} \times r^2 \times \theta \)，其中 \( \theta \) 为圆心角（弧度制）。
60° = π/3 弧度。
代入数值解得：\[ 100 = \frac{1}{2} \times r^2 \times \frac{\pi}{3} \]\[ r = \sqrt{\frac{600}{\pi}} \] 厘米。
试题四答案：扇形的弧长公式为 \( l = r \times \theta \)，其中 \( \theta \) 为圆心角（弧度制）。
扇形面积的计算精选题45道
扇形面积的计算精选题45道一．选择题（共18小题）1．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣2．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣3．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π4．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．25．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣7．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（）A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．168．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π9．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．11．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π12．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE ⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．﹣1C．π﹣D．﹣13．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．3πB．6πC．5πD．4π14．如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π16．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD 于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π18．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C 是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A．B．C．π﹣1D．π﹣2二．填空题（共18小题）19．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是（结果保留π）．20．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为．21．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为cm2．（结果保留π）22．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．23．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．24．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是．（结果保留π）25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，斜边AB＝2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为．26．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是．27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O 交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．29．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为．（结果保留π）30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是．31．如图，直角△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝4，以A为圆心，AC长为半径画四分之一圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．32．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为．33．如图，在扇形OAB中，点C在上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，连接AC，若OA＝2，则图中阴影部分的面积为．34．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝．35．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是．36．一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则这个扇形的圆心角是度．三．解答题（共9小题）37．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．38．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠BAC＝30°，AB＝8，求阴影部分的面积．39．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．40．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．（1）求∠ABC的度数；（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．41．如图，已知AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．（1）求证：AE＝ED；（2）若AB＝10，∠CBD＝36°，求弧AC的长及扇形AOC的面积．42．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积．43．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，线段BC上点D为线段AB的垂直平分线与BC 的交点，以AC为直径的⊙O交BC于点E．（1）求证：AD切⊙O于点A；（2）若BD＝2，求图中阴影部分的面积．44．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，求图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和．（友情提示：三个圆心角之间有何关系）45．已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD ＝45°．（1）求AB的长；（2）求BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．扇形面积的计算精选题45道参考答案与试题解析一．选择题（共18小题）1．如图，正方形ABCD的边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积＝无阴影两部分的面积之差，即﹣1＝．【解答】解：如图：正方形的面积＝S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积＝2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4＝2S扇形﹣S正方形＝﹣1＝．故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．2．如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A＝30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．﹣2C．π﹣D．﹣【分析】过O点作OE⊥CD于E，首先根据切线的性质和直角三角形的性质可得∠AOB ＝60°，再根据平角的定义和三角形外角的性质可得∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，根据含30°的直角三角形的性质可得OE，CD的长，再根据阴影部分的面积＝扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积，列式计算即可求解．【解答】解：过O点作OE⊥CD于E，∵AB为⊙O的切线，∴∠ABO＝90°，∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°，∴∠COD＝120°，∠OCD＝∠ODC＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OE＝1，CE＝DE＝，∴CD＝2，∴图中阴影部分的面积为：﹣×2×1＝π﹣．故选：A．【点评】考查了扇形面积的计算，切线的性质，本题关键是理解阴影部分的面积＝扇形OCD的面积﹣三角形OCD的面积．3．如图，在菱形ABCD中，点E是BC的中点，以C为圆心、CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF．若AB＝6，∠B＝60°，则阴影部分的面积为（）A．9﹣3πB．9﹣2πC．18﹣9πD．18﹣6π【分析】连接AC，根据菱形的性质求出∠BCD和BC＝AB＝6，求出AE长，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝6，∵∠B＝60°，E为BC的中点，∴CE＝BE＝3＝CF，△ABC是等边三角形，AB∥CD，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠B＝120°，由勾股定理得：AE＝＝3，∴S△AEB＝S△AEC＝×6×3×＝4.5＝S△AFC，∴阴影部分的面积S＝S△AEC+S△AFC﹣S扇形CEF＝4.5+4.5﹣＝9﹣3π，故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出△AEC、△AFC和扇形ECF的面积是解此题的关键．4．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB＝2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（）A．B．C．2D．2【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积＝三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝1，AD＝BD＝，∴△ABC的面积为＝，S扇形BAC＝＝π，∴莱洛三角形的面积S＝3×π﹣2×＝2π﹣2，故选：D．【点评】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积＝三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．5．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣B．6π﹣9C．12π﹣D．【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC＝OC，则OD＝2OC＝6，CD＝3，从而得到∠CDO＝30°，∠COD＝60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD，进行计算即可．【解答】解：连接OD，如图，∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，∴AC＝OC，∴OD＝2OC＝6，∴CD＝＝3，∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝﹣×3×3＝6π﹣，∴阴影部分的面积为6π﹣．故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，以AB的中点O为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（）A．﹣B．+C．2﹣πD．4﹣【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知S阴影＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形BOD，从而可以解答本题．【解答】解：作DE⊥AB于点E，连接OD，如图所示，∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，∴tan A＝，∴∠A＝30°，∴∠DOB＝60°，∵OD＝AB＝，∴DE＝，∴S阴影＝S△ABC﹣S△AOD﹣S扇形BOD＝＝，故选：A．【点评】本题考查扇形面积的计算、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．7．如图，等腰直角△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（）A．24﹣4πB．32﹣4πC．32﹣8πD．16【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD＝45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB＝90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以＝，S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出结论．【解答】解：连接AD，OD，∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD＝45°．∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴＝．∵AB＝8，∴AD＝BD＝4，∴S阴影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S S△ABD）＝×8×8﹣×4×4﹣+××4×4＝16﹣4π+8＝24﹣4π．故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．8．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．【解答】解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．9．如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E，若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．【分析】利用矩形的性质以及结合角平分线的性质分别求出AE，BE的长以及∠EBF的度数，进而利用图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF，求出答案．【解答】解：∵矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF＝45°，AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE＝45°，∴AB＝AE＝1，BE＝，∵点E是AD的中点，∴AE＝ED＝1，∴图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形EBF＝1×2﹣×1×1﹣＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了扇形面积求法以及矩形的性质等知识，正确得出BE的长以及∠EBC的度数是解题关键．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则阴影部分图形的面积为（）A．4πB．2πC．πD．【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝，然后由圆周角定理知∠COE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形OCB ﹣S△COE+S△BED．【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝ED＝，又∵∠CDB＝30°，∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，∴OE＝CE•cot60°＝×＝1，OC＝2OE＝2，∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE•ED＝﹣+＝．解法二：连接OD，BC，证明OD∥BC，可以证明S阴影＝S扇形OCB＝．故选：D．【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．11．如图，在半径为6的⊙O中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．6πB．3πC．2πD．2π【分析】连接OB，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，推出△AOB是等边三角形，得到∠AOB＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：连接OB，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB＝OC，∴AB＝OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC∥AB，∴S△AOB＝S△ABC，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB＝＝6π，故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，平行四边形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．12．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE ⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．﹣1C．π﹣D．﹣【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA＝，∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积＝﹣1×1＝﹣1，故选：B．【点评】本题考查了扇形面积的计算，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．13．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．3πB．6πC．5πD．4π【分析】根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积．即可求解．【解答】解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB 为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：＝6π故选：B．【点评】本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．14．如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【分析】先由矩形的性质可得：∠BCD＝90°，然后根据CD＝1，∠DBC＝30°，可得BD＝2CD＝2，然后根据勾股定理可求BC＝，然后由旋转的性质可得：BE＝BD＝2，然后再根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算扇形DBE的面积和三角形BCD的面积，然后相减即可得到图中阴影部分的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵CD＝1，∠DBC＝30°，∴BD＝2CD＝2，由勾股定理得BC＝＝，∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∵S扇形DBE＝＝＝，S△BCD＝•BC•CD＝＝，∴阴影部分的面积＝S扇形DBE﹣S△BCD＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了矩形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S＝．15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．6π【分析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵在▱ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，∴∠C＝120°，∴图中阴影部分的面积是：＝3π，故选：C．【点评】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．16．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧、，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积，再减去2个以边长为1的正方形的面积，加上以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，阴影部分的面积是：•π×22﹣﹣2（1×1﹣•π×12）＝π﹣2，解法二：连接BD，由题意，S阴影＝S扇形CBD﹣S△BCD＝×π×22﹣×2×2＝π﹣2，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积的计算，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，AB为半径画弧，交对角线BD 于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）（）A．8﹣πB．16﹣2πC．8﹣2πD．8﹣π【分析】根据S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE计算即可．【解答】解：S阴＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π，故选：C．【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．18．如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD的圆心C 是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A．B．C．π﹣1D．π﹣2【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．【解答】解：两扇形的面积和为：＝π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：××＝1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故选：D．【点评】此题主要考查了扇形的面积求法，正方形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键．二．填空题（共18小题）19．如图，在▱ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是3﹣π（结果保留π）．【分析】过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积，计算即可求解．【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F．∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，∴DF＝AD•sin30°＝1，EB＝AB﹣AE＝2，∴阴影部分的面积：4×1﹣﹣2×1÷2＝4﹣π﹣1＝3﹣π．故答案为：3﹣π．【点评】考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积＝▱ABCD的面积﹣扇形ADE的面积﹣△BCE的面积．20．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣．【分析】连接CD，证明△DCH≌△DBG，则S四边形DGCH＝S△BDC，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．【解答】解：连接CD，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠B＝45°，∵点D为AB的中点，∴DC＝AB＝BD＝1，CD⊥AB，∠DCA＝45°，∴∠CDH＝∠BDG，∠DCH＝∠B，在△DCH和△DBG中，，∴△DCH≌△DBG（ASA），∴S四边形DGCH＝S△BDC＝S△ABC＝AB•CD＝×2×1＝．∴S阴影＝S扇形DEF﹣S△BDC＝﹣＝﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△DCH ≌△DBG，得到S四边形DGCH＝S△BDC是关键．21．如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为πcm2．（结果保留π）【分析】根据已知条件和旋转的性质得出两个扇形的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′＝60°，△BCO≌△B′C′O，∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°，∴∠B′OB＝120°，∵AB＝2cm，∴OB＝1cm，OC′＝，∴B′C′＝，∴S扇形B′OB＝＝π，S扇形C′OC＝＝，∴阴影部分面积＝S扇形B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S扇形C′OC＝S扇形B′OB﹣S扇形C′OC＝π﹣＝π；故答案为：π．【点评】此题考查了旋转的性质和扇形的面积公式，掌握直角三角形的性质和扇形的面积公式是解决本题的关键．22．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是﹣2．【分析】如图，连接CE．图中S阴影＝S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE．根据已知条件易求得OB＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．∠ECB＝60°，OE＝2所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【解答】解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB＝90°，OB＝OC＝OD＝2，BC＝CE＝4．又∵OE∥AC，∴∠ACB＝∠COE＝90°．∴在直角△OEC中，OC＝2，CE＝4，∴∠CEO＝30°，∠ECB＝60°，OE＝2∴S阴影＝S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE＝﹣π×22﹣×2×2＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．23．如图，△OAC的顶点O在坐标原点，OA边在x轴上，OA＝2，AC＝1，把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，使得点O′的坐标是（1，），则在旋转过程中线段OC扫过部分（阴影部分）的面积为．【分析】过O′作O′M⊥OA于M，解直角三角形求出旋转角的度数，根据图形得出阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′，分别求出即可．【解答】解：过O′作O′M⊥OA于M，则∠O′MA＝90°，∵点O′的坐标是（1，），∴O′M＝，OM＝1，∵AO＝2，∴AM＝2﹣1＝1，∴tan∠O′AM＝＝，∴∠O′AM＝60°，即旋转角为60°，∴∠CAC′＝∠OAO′＝60°，∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O′AC′，∴S△OAC＝S△O′AC′，∴阴影部分的面积S＝S扇形OAO′+S△O′AC′﹣S△OAC﹣S扇形CAC′＝S扇形OAO′﹣S扇形CAC′＝﹣＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，旋转的性质、扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求出规则图形的面积是解此题的关键．24．如图，边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是π﹣1．（结果保留π）【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O﹣S正方形ABCD）＝×（4π﹣4）＝π﹣1，故答案为：π﹣1．【点评】本题考查了圆面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．25．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，斜边AB＝2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为﹣．【分析】连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC，证明△OMG≌△ONH，则S四边形OGCH＝S四，求得扇形FOE的面积，则阴影部分的面积即可求得．边形OMCN【解答】解：连接OC，作OM⊥BC，ON⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴OC＝AB＝1，四边形OMCN是正方形，OM＝．则扇形FOE的面积是：＝．∵OA＝OB，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴OC平分∠BCA，又∵OM⊥BC，ON⊥AC，∴OM＝ON，∵∠GOH＝∠MON＝90°，∴∠GOM＝∠HON，则在△OMG和△ONH中，，∴△OMG≌△ONH（AAS），∴S四边形OGCH＝S四边形OMCN＝（）2＝．则阴影部分的面积是：﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了三角形的全等的判定与扇形的面积的计算的综合题，正确证明△OMG≌△ONH，得到S四边形OGCH＝S四边形OMCN是解题的关键．26．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是π﹣1．【分析】已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC 的面积之差．【解答】解：在Rt△ACB中，AB＝＝2，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD＝，∴D为半圆的中点，S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC＝π×22﹣×（）2＝π﹣1．故答案为π﹣1．【点评】本题考查扇形面积的计算公式及不规则图形面积的求法，掌握面积公式是解题的关键．27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠D＝30°，CD＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则阴影部分的面积为．【分析】连接半径和弦AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB＝90°，可得AE和BE的长，所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差，因为OA＝OB，所以△OBE的面积是△ABE面积的一半，可得结论．【解答】解：连接OE、AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝4，∠B＝∠D＝30°，∴AE＝AB＝2，BE＝＝2，∵OA＝OB＝OE，∴∠B＝∠OEB＝30°，∴∠BOE＝120°，∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△BOE，＝﹣×，＝﹣，＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，直角三角形中30度角等知识点，能求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解此题的关键．28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为．【分析】连接OE，作OF⊥DE，先求出∠COE＝2∠D＝60°、OF＝OD＝1，DF＝OD cos ∠ODF＝，DE＝2DF＝2，再根据阴影部分面积是扇形与三角形的面积和求解可得．【解答】解：如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝OD cos∠ODF＝2×＝，∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为+×2×1＝+，故答案为：+．【点评】本题考查的是扇形面积计算、平行四边形的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．29．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为4﹣π．（结果保留π）【分析】根据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC＝＝2，∴OA＝OC＝，∴图中的阴影部分的面积＝22﹣×2＝4﹣π，故答案为：4﹣π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、正方形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．。
扇形练习题
扇形练习题一、选择题1. 扇形的圆心角为60°，半径为6cm，其面积是多少平方厘米？A. 18πB. 9πC. 6πD. 3π2. 若扇形的弧长为2πcm，半径为2cm，其圆心角的度数是多少？A. 90°B. 180°C. 360°D. 60°3. 扇形的圆心角为120°，半径为8cm，其弧长是多少？A. 4πB. 8πC. 6πD. 10π4. 扇形的面积为9π平方厘米，半径为3cm，其圆心角是多少度？A. 60°B. 120°C. 90°D. 180°5. 若扇形的面积为12π平方厘米，弧长为4π厘米，其半径是多少？A. 3cmB. 4cmC. 6cmD. 9cm二、填空题6. 扇形的圆心角为______度，半径为5cm，其弧长为2πcm。
7. 扇形的面积公式为S=______×r²，其中α为圆心角，r为半径。
8. 若扇形的半径为10cm，圆心角为45°，则其面积为______平方厘米。
9. 已知扇形的弧长为5πcm，半径为5cm，其圆心角为______度。
10. 扇形的弧长公式为L=______×r，其中α为圆心角，r为半径。
三、计算题11. 已知扇形的半径为7cm，圆心角为150°，求其弧长和面积。
12. 某扇形的面积为25π平方厘米，半径为5cm，求其圆心角。
13. 扇形的弧长为8πcm，求半径为4cm时的圆心角。
14. 若扇形的圆心角为120°，求半径为6cm时的弧长和面积。
15. 已知扇形的弧长为3πcm，半径为3cm，求其圆心角和面积。
四、解答题16. 某扇形的半径为10cm，圆心角为30°，求其弧长和面积，并说明如何将扇形转化为三角形进行面积计算。
17. 扇形的圆心角为90°，半径为8cm，求其弧长和面积，并解释扇形面积与三角形面积的关系。
2023年高中阶段图形扇形对角线口算题
2023年高中阶段图形扇形对角线口算题首先，让我们复习一下扇形和对角线的概念。
扇形是由一个圆心角和与之对应的圆弧所构成的图形。
对角线是连接图形的两个非相邻顶点的线段。
在这个口算题中，我们将会计算扇形对角线的长度。
假设我们有一个扇形，其圆心角为θ度，半径为r。
我们的目标是计算出扇形对角线的长度。
为了解决这个问题，我们可以利用三角函数的关系。
具体来说，我们可以利用正弦函数来计算出扇形对角线的长度。
根据三角函数的定义，我们知道正弦函数的定义为：sin(θ) = 对边/斜边在扇形中，我们可以将斜边看作是扇形的半径r，对边看作是扇形对角线的长度。
因此，我们可以得到以下关系：sin(θ) = 对角线长度/r我们可以对上述方程进行变形，得到对角线的计算公式：对角线长度= r * sin(θ)现在，我们已经得到了计算扇形对角线的公式。
接下来，让我们通过一个实际的例子来进行计算。
假设我们有一个扇形，其半径为5 cm，圆心角为60度。
我们将使用上述公式来计算扇形对角线的长度。
根据公式，我们有：对角线长度 = 5 cm * sin(60度)为了进行口算计算，我们可以使用三角函数表格或计算器来确定sin(60度)的值。
在这里，我们将其近似为0.866。
将这个值代入公式中，我们得到：对角线长度≈ 5 cm * 0.866对角线长度≈ 4.33 cm因此，在这个例子中，扇形对角线的长度约为4.33 cm。
通过这个例子，我们可以看到口算题目中的扇形对角线计算方法。
根据给定的圆心角和半径，我们可以使用三角函数的关系来计算出对角线的长度。
在高中阶段，我们需要掌握并熟练运用这种口算方法，以便在解决各种几何题目时能够快速而准确地计算出扇形对角线的长度。
总结起来，2023年高中阶段的图形扇形对角线口算题需要我们运用三角函数的关系来计算扇形对角线的长度。
通过理解扇形的几何特征和对角线的概念，我们可以将口算题转化为简单的数值计算，从而得到准确的结果。
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高一数学关于扇形的经典试题及解析（含答案）高一数学经典例题：1.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
2.设θ是第二象限角，试比较sin（θ/2），cos（θ/2)，tan （θ/2）的大小。
3.A是以O为圆心，半径为1㎝的圆周上一定点，动点P从A出发，以每分钟5圈的速度逆时针旋转，△OAP的面积y平方厘米与旋转时间t秒的函数关系为y=f（t)，求该解析式。
高一数学经典例题解析：
1设中心角的弧度为X，则2πR*(x/2π)+2R=2πR
所以x=2π-2弧度
1弧度约等于57.3°，所以x=360°-2*57.3°=245.4°
面积=πR^2*x/2π=(π-1）R^2
2是第二象限角，π/4<θ/2<π/2
比较Y=sinX，Y=cosX，Y=tanX的函数图像可知
tanθ/2>sinθ/2>cosθ/2
其中tanθ/2>1
sinθ/2>2分之根号2
cosθ/2<2分之根号2
3角速度w=n*2π/60=π/6
∠AOP=(π/6)t
S=1/2OA*OP*|sin∠AOP|=1/2|sin∠AOP|
t∈【6k，6(k+1))（k为自然数）时：y=f(t)=1/2sin(π/6)t t∈【6(k+1)，6(k+2)）（k为自然数）时：y=f(t)=-1/2sin(π/6)t
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