苏教版高二数学选修2-1同步课堂精练：2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含答案

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苏教版高中数学选修2-1：2.5《圆锥曲线的统一定义》测试(选修2—1).docx

苏教选修（2-1）圆锥曲线统一定义及曲线的方程测试题一、选择题1．已知12F F ，为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，2MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=，则椭圆的离心率为（）Ａ．12 Ｂ．22 Ｃ．33 Ｄ．32答案：C2．方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是（）Ａ．一条直线和一双曲线Ｂ．两条直线Ｃ．两个点Ｄ．圆答案：C 3．已知点（4，2）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是（）Ａ．20x y -= Ｂ．240x y +-=Ｃ．2340x y ++=Ｄ．280x y +-= 答案：D4．若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（）Ａ．(33)-，Ｂ．[33]-，Ｃ．(22)-，Ｄ．[22]-，答案：B5．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B ，两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）Ａ．有且仅有一条Ｂ．有且仅有两条Ｃ．有无穷多条Ｄ．不存在答案：B6．若命题“曲线C 上的点的坐标()P x y ，是方程()0f x y =，的解”是真命题，则下列命题中的真命题是（）Ａ．方程()0f x y =，的曲线是CＢ．曲线C 的方程是()0f x y =，Ｃ．点集{}{}()|()0|x y f x y P P C =⊇∈，，Ｄ．点集{}{}()|()0|x y f x y P P C =⊆∈，，答案：C二、填空题7．双曲线22154x y -=的右焦点为F ，右准线为l ，(253)A ，，P 为双曲线上的动点，若35PA PF +最小，则P 点的坐标为．答案：3532⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，8．直线1y x =+被双曲线22123x y -=截得的弦长为．答案：469．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，此抛物线上一点(4)A m ，到准线的距离为6，则m = ．答案：42±10．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，若P 、12F F ，是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为．答案：9411．已知(46)(46)A B -，，，，若8PA PB -=，则动点P 的轨迹方程是．答案：6(4)y x =≥12．若双曲线221x y -=的右支上一点()P m n ，到直线y x =的距离为2，则m n +的值是．答案：12三、解答题13．在椭圆227428x y +=上求一点，使它到直线:32160l x y --=的距离最短，并求此距离．解：设与:32160l x y --=平行并且和椭圆相切的直线方程为32y x b =+，把它代入椭圆方程227428x y +=并整理，得224370x bx b ++-=，22(3)44(7)0b b ∆=-⨯-=，解得4b =±．由图可见舍去正值，切线方程为342y x =-．解方程组2233422774284x y x y x y ⎧⎧=⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩，，．得切点坐标为3724⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由点到直线的距离公式，得22168881313133(2)d -+===+-．因此，点3724⎛⎫- ⎪⎝⎭，到直线的距离为最短，最短距离是81313． 14．求直线123y x =+与双曲线22194x y -=的两个交点和原点构成的三角形的面积．解：由22123194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得24240x x --=．设这两个交点为1122()()A x y B x y ，，，，则1212424x x x x +=⎧⎨=-⎩，，2121212()447x x x x x x ∴-=+-=．1247472AOB S ∴=⨯⨯=△．15．在直线:90l x y -+=上任取一点M ，过点M 作以12(30)(30)F F -，，，为焦点的椭圆，当M 在什么位置时，所作椭圆长轴最短？求此时椭圆的方程．解：即求122a MF MF =+的最小值，取1(30)F-，关于l 的对称点()N m n ，，则直线1F N 的方程为30x y ++=，解方程组9030x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得1F N 的中点(63)-，．因此，求得(96)N -，．所以22222(39)665a MN MF F N =+==++=． 35a =，又3c =，所以236b =．因此，椭圆的方程是2214536x y +=，此时M 点坐标为(54)-，．注：可以在椭圆上另取一点M '，证明2F N 为最小．高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线33y x =的距离是（）Ａ．12 Ｂ．32 Ｃ．1 Ｄ．3答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（）Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ 4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ 5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（）Ａ．15π Ｂ．15π4 Ｃ．3π Ｄ．255π4答案：Ｄ 6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n +的点是（）Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2150)，，则椭圆的标准方程是．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m +=的离心率为12，则m 等于．答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为．答案：44111．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是．答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为．答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程．解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=， ∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点， OF c ∴=，3AF a ==．233c ∴=．2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：如右图，设1PF 的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-，即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=． ∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．。

数学苏教版选修2-1教案：2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析

2．5圆锥曲线的统一定义(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)圆锥曲线统一定义及其应用．(2)圆锥曲线的准线及其应用．2．过程与方法(1)通过对圆锥曲线的统一定义的研究，体会三种曲线的内在统一性，培养学生归纳、总结能力．(2)通过对圆锥曲线统一定义的应用，培养学生对圆锥曲线的准线的理解，培养学生转换角度，认识问题的能力．(3)通过例题变式训练的求解，培养学生数学建模、解决问题的能力．体会特殊到一般，具体到抽象的认识规律．3．情感、态度与价值观在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物之间的联系，培养学生严谨的科学态度，勇于探索和敢于创新的科学精神．●重点难点重点：圆锥曲线统一定义的推导．难点：对圆锥曲线统一定义的理解与运用．(教师用书独具)●教学建议以前已学过求圆锥曲线的标准方程和利用圆锥曲线方程研究曲线几何性质的初步知识．本节是在这个基础上学习圆锥曲线的统一定义，研究它们的共同性质，使学生掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系，进一步熟悉和掌握坐标法．通过设计导学提纲引导学生做好课前预习，明确本节的重难点，主动思考，发现问题，在课堂上分组讨论交流，合作探究，展示交流成果，学生主讲，学生板书，学生点评，当堂进行达标测试，及时反馈学生知识掌握水平，从而完成预定教学目标．引导学生在探究中发现问题、研究问题并解决问题．在感性活动的基础上，上升到理性的数学知识的形成，养成良好学习习惯和思维习惯．●教学流程设置情景，导入新课．上课开始，先回顾椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出问题，平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l的(F不在l上)距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线，那么，当比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹又是什么呢？⇒师生互动，探求新知．思考：在推导椭圆标准方程时，我们得到一个变形式：(x－c)2＋y2a2c－x＝ca.同学们能解释它的几何意义吗？设计说明：使学生学会从多个角度(如代数的、几何的角度)认识同一个对象．⇒学生归纳圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹．当0<e<1时，它表示椭圆；当e>1时，它表示双曲线；当e＝1时，它表示抛物线．设计说明：使学生对圆锥曲线的共同性质有理性的认识．⇒通过例1及变式训练，使学生掌握已知准线求圆锥曲线方程的方法，领会准线、离心率与基本量之间的关系，掌握圆锥曲线统一定义的实质，认识到准线在统一定义中的重要性．⇒通过例2及变式训练，使学生掌握圆锥曲线统一定义的应用，利用圆锥曲线的统一定义，可将曲线上一点到焦点与到准线的距离灵活转换，从而达到解题的目的．利用圆锥曲线的统一定义，在已知焦点坐标和准线方程情形下求解圆锥曲线的方程．⇒通过例3及变式训练，使学生掌握焦点弦问题的求解方法，体会利用统一定义求解焦点弦长的简捷性，从而简化计算过程．⇒通过易错易误辨析，体会圆锥曲线统一定义的严谨性，尤其对于椭圆、双曲线，利用统一定义时，要注意焦点与准线相对应．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固基本知识，形成基本能力.如何求圆锥曲线的统一方程呢？【提示】如图，过点M作MH⊥l，H为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知M∈{M||FM|＝e|MH|}．取过焦点F，且与准线l垂直的直线为x轴，F(O)为坐标原点，建立直角坐标系．设点M的坐标为(x，y)，则|OM|＝x2＋y2. ①设直线l的方程为x＝－p，则|MH|＝|x＋p|. ②把①、②代入|OM|＝e|MH|，得x2＋y2＝e|x＋p|.两边平方，化简得(1－e2)x2＋y2－2pe2x－p2e2＝0.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的统一方程．1．平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0<e <1时，它表示椭圆；当e >1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线． 2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的准线方程为x ＝±a 2c ，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的准线方程为y＝±a 2c.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的准线方程为y ＝±a 2c.双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间的距离为4，且经过A (26，3)，求双曲线的方程．【思路探究】设出标准形式→待定系数法求解【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则双曲线的方程设为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得⎩⎨⎧24a 2－9b 2＝1，2a2c ＝4.∴a 2＝2c ，b 2＝c 2－a 2＝c 2－2c ，代入24a 2－9b 2＝1，整理得c 2－14c ＋33＝0，∴c ＝3或c ＝11.∴a 2＝6，b 2＝3或a 2＝22，b 2＝99. ∴双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1.(2)若焦点在y 轴上，则设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知得9a 2－24b2＝1.将a 2＝2c ，b 2＝c 2－2c 代入9a 2－24b 2＝1得2c 2－13c ＋66＝0，Δ<0，此方程无实数解．综合(1)(2)可知，双曲线的方程为x 26－y 23＝1或x 222－y 299＝1.1．本例中，两准线间的距离是一个定值2a 2c ，不论双曲线位置如何，均可使用．2．已知准线方程(或准线间距离)求圆锥曲线方程，该条件使用方法有两个，(1)利用统一定义，(2)直接列出基本量a ，b ，c ，e 的关系式．(2013·成都高二检测)点M (x ，y )与定点(3,0)的距离和它到定直线l ：x ＝253的距离的比是常数35，求点M 的轨迹方程．【解】由题设及圆锥曲线的统一定义知，M 点的轨迹是椭圆，且右焦点F (3,0)，相应的右准线l ：x ＝253，∴a 2c －c ＝253－3＝163且c a ＝35.由⎩⎨⎧c a ＝35a 2c －c ＝163，解得c ＝3，a ＝5.∵c ＝3且右焦点F (3,0)，∴椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，故方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由a ＝5，c ＝3，得b ＝4.故所求点M 的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.已知A (4,0)，B (2,2)是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点，M 是椭圆上的动点．(1)求MA ＋MB 的最大值和最小值；(2)求MB ＋54MA 的最小值及此时点M 的坐标．【思路探究】 (1)利用椭圆的定义进行转化求解．(2)注意e ＝45，则54MA ＝MAe＝d (d 为点M 到右准线的距离)，然后利用数形结合思想求解．【自主解答】 (1)如图所示，由x 225＋y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝4.所以A (4,0)为椭圆的右焦点，F (－4，0)为椭圆的左焦点．因为MA ＋MF ＝2a ＝10，所以MA ＋MB ＝10－MF ＋MB . 因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210，所以－210≤MB －MF ≤210. 故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210，即MA ＋MB 的最大值为10＋210，最小值为10－210.(2)由题意得椭圆的右准线l 的方程为x ＝254.由图可知点M 到右准线的距离为MM ′，由圆锥曲线的统一定义得MA MM ′＝e ＝45，所以54MA ＝MM ′.所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.由图可知当B ，M ，M ′三点共线时，MB ＋MM ′最小，即BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时，有x 225＋229＝1，解得x ＝±553(舍去负值)，即点M 的坐标为(553，2)．17 4，此时点M的坐标为(553，2)．故MB＋54MA的最小值为1．解答此类题目时，应注意式子中的系数特点，依此恰当地选取定义．2．圆锥曲线的统一定义，可以灵活地将曲线上点到焦点的距离与到相应准线的距离进行转化，从而简化解题过程．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线离心率e 的最大值为多少？【解】设P 点坐标为P (x 0，y 0)，由圆锥曲线的统一定义得：e ＝PF 1x 0＋a 2c ＝PF 2x 0－a 2c ，把PF 1＝4PF 2代入则有：x 0＋a 2c ＝4(x 0－a 2c)，整理得5a 2c ＝3x 0.∵x 0≥a ，∴e ＝c a ≤53.∴离心率e 的最大值为53.椭圆C 的一个焦点为F 1(2,0)，相应准线为x ＝8，离心率e ＝12.(1)求椭圆的方程；(2)求过另一个焦点且倾斜角为45°的直线截椭圆C 所得的弦长．【思路探究】 (1)利用统一定义求解；(2)利用焦点弦弦长公式求解．【自主解答】 (1)设椭圆上任一点P (x ，y )，由统一定义得(x －2)2＋y 2|8－x |＝12，两边同时平方得4[(x －2)2＋y 2]＝(8－x )2，化简得x 216＋y 212＝1.(2)设椭圆的另一个焦点为F 2(－2,0)，过F 2且倾斜角为45°的直线方程为y ＝x ＋2，与曲线x 216＋y 212＝1联立消去y ，得7x 2＋16x －32＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－167，AB ＝AF 2＋BF 2＝a ＋ex 1＋a ＋ex 2 ＝2a ＋e (x 1＋x 2)＝2×4＋12(x 1＋x 2)＝487.1．本例中(2)若用一般弦长公式，而不用统一定义，计算起来则复杂一些． 2．对于圆锥曲线焦点弦的计算，利用统一定义较为方便．已知椭圆的一个焦点是F (3,1)，相应于F 的准线为y 轴，l 是过F 且倾斜角为60°的直线，l 被椭圆截得的弦AB 的长是165，求椭圆的方程．【解】设椭圆离心率为e ，M (x ，y )为椭圆上任一点，由统一定义MFd＝e ，得(x －3)2＋(y －1)2|x |＝e ，整理得(x －3)2＋(y －1)2＝e 2x 2.① ∵直线l 的倾斜角为60°，∴直线l 的方程为y －1＝3(x －3)，②①②联立得(4－e 2)x 2－24x ＋36＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由韦达定理得x 1＋x 2＝244－e 2， ∴AB ＝e (x 1＋x 2)＝e ·244－e 2＝165，∴e ＝12，∴椭圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝14x 2，即(x －4)24＋(y －1)23＝1.错用统一定义而致错过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π4的弦AB ，求△ABF 2的周长(F 2为双曲线的右焦点)．【错解】根据题意，得F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝x ＋2.令A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2－y 23＝1，得2x 2－4x －7＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－72.∴AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×22＋14＝6.由双曲线的定义，得AF 2－AF 1＝2，BF 2－BF 1＝2. 两式相加，得AF 2＋BF 2＝4＋AF 1＋BF 1＝4＋AB ＝10. ∴△ABF 2的周长是AB ＋AF 2＋BF 2＝16.【错因分析】由于思路不畅，误认为弦AB 在双曲线的一支上．事实上，由x 1x 2＝－72<0可知A ，B 两点不在同一支上．也可根据双曲线的渐近线的斜率为±3，而直线AB 的斜率为1，因为1<3，所以直线AB 应与双曲线左、右两支均相交．【防范措施】求有关轨迹问题时，应正确处理所给的条件．如果条件关系式满足双曲线的定义，那么可根据双曲线的定义求出方程，一定要注意是双曲线的一支还是两支．【正解】前同“错解”，由x 1x 2＝－72<0知弦AB 与双曲线左、右两支均相交，由焦半径公式，得AF 2＝a －ex 1＝1－2x 1，BF 2＝ex 2－a ＝2x 2－1，∴AF 2＋BF 2＝1－2x 1＋2x 2－1＝2(x 2－x 1) ＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝6 2.∴△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝6＋6 2.1．在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性．2．在已知准线方程时，一般转化为a 2c 的数量关系，结合其他条件求出基本量a ，b ，c .若是求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型．3．根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到对应准线的距离，这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.1．椭圆x 225＋y 29＝1的准线方程是________．【解析】 ∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴准线方程为x ＝±254.【答案】 x ＝±2542．如果椭圆的两个焦点将长轴三等分，那么这个椭圆的两准线间距离是焦距的________倍．【解析】 ∵2c ＝13×2a ，∴c ＝13a 即a ＝3c ，∴两准线间距离2a 2c ＝18c ，为2c 的9倍．【答案】 93．若双曲线x 29－y 216＝1左支上的一点P 到左焦点的距离为15，则点P 到右准线的距离为________．【解析】 ∵a ＝3，b ＝4，∴c ＝5，∴e ＝53.∵PF 1＝15，∴PF 2＝PF 1＋2a ＝15＋6＝21， ∴P 到右准线距离d ＝PF 2e ＝635.【答案】6354．已知双曲线的右准线为x ＝4，右焦点F (10,0)，离心率e ＝2，求双曲线的方程．【解】设双曲线上任意一点M (x ，y )，由圆锥曲线统一定义得(x －10)2＋y 2|x －4|＝e ＝2，化简整理得所求双曲线方程为(x －2)216－y 248＝1.一、填空题1．中心在原点，一条准线方程为x ＝8，离心率为12的椭圆方程为________．【解析】由题意，得e ＝c a ＝12，a 2c ＝8，∴a ＝4，c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. 【答案】 x 216＋y 212＝12．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．【解析】双曲线方程可化为：y 216－x 28＝1，∴a 2＝16，b 2＝8，c 2＝24，∴准线方程为y ＝±43 6.【答案】 y ＝±4363．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．【解析】由题可知a ＝2，b ＝2，c ＝6，右准线x ＝a 2c ＝46，e ＝c a ＝62.设P 到y 轴的距离为d ，则2d －46＝62，d ＝436. 【答案】436 4．(2012·大纲全国卷改编)椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x ＝－4，则该椭圆的方程为________．【解析】由题意得，－a 2c ＝－4，即a 2＝4c ，且椭圆的焦点在x 轴上，又2c ＝4，则c＝2，故a 2＝8，b 2＝a 2－c 2＝4，则椭圆的方程为x 28＋y 24＝1. 【答案】 x 28＋y 24＝15．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，它到左、右焦点距离之比为1∶3，则点P 到两准线的距离分别为________．【解析】设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1，F 2，由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，则PF 1＋PF 2＝2a ＝20.又3PF 1＝PF 2，∴PF 1＝5，PF 2＝15.设点P 到两准线的距离分别为d 1，d 2，可得d 1＝PF 1e ＝254，d 2＝PF 2e ＝754.故点P 到两准线的距离分别为254，754.【答案】254，7546．若双曲线x 28－y 2b 2＝1的一条准线与抛物线y 2＝8x 的准线重合，则双曲线的离心率为________．【解析】 y 2＝8x 的准线为x ＝－2，因此，双曲线的一条准线方程为x ＝－2，则－a 2c ＝－2，又a 2＝8，∴c ＝4.∴e ＝c a ＝422＝ 2.【答案】 27．(2013·吉林高二检测)已知A (－1,0)，B (1,0)，点C (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2|x －4|＝12，则AC ＋BC ＝________.【解析】 ∵点C 到B (1,0)的距离与它到直线x ＝4的距离之比为12，∴点C 的轨迹是椭圆，且c a ＝12，a 2c －c ＝4－1，∴a ＝2，c ＝1.∴点A 恰好是椭圆的另一个焦点． ∴AC ＋BC ＝2a ＝4. 【答案】 48．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ，且BF →＝2FD →，则椭圆C 的离心率为________．【解析】设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图所示，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )，则BF ＝b 2＋c 2＝a .作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由BF →＝2FD →，得OF DD 1＝BF BD ＝23，所以DD 1＝32OF ＝32c ，即x D ＝3c 2.圆锥曲线的统一定义得FD ＝e (a 2c －3c 2)＝a －3c 22a .又由BF ＝2FD ，得a ＝2a －3c 2a ，整理得c 2a 2＝13，即e 2＝13，∴e ＝－33(舍去)或e ＝33.【答案】 33二、解答题 9．已知椭圆x 225＋y 216＝1，P 为椭圆上一点，F 1、F 2为左、右两个焦点，若PF 1∶PF 2＝2∶1，求点P 的坐标．【解】设点P 的坐标为(x ，y )．∵椭圆x 225＋y 216＝1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴e ＝35，准线方程为x ＝±253. 由圆锥曲线的统一定义知PF 1＝ed 1＝35(x ＋253)＝35x ＋5， PF 2＝ed 2＝35(253－x )＝5－35x . ∵PF 1∶PF 2＝2∶1，∴(35x ＋5)∶(5－35x )＝2∶1，解得x ＝259，代入椭圆的方程得y ＝±8914. ∴点P 的坐标为(259，8914)或(259，－8914)． 10．求中心在原点，长轴在x 轴上，一条准线方程是x ＝3，离心率为53的椭圆方程．【解】法一设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由题意得⎩⎨⎧ a 2c ＝3，c a ＝53，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，c ＝53， ∴b 2＝a 2－c 2＝209. ∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1. 法二设M 为椭圆上任意一点，其坐标为(x ，y )．由法一知准线x ＝3对应的焦点为F (53，0)．由圆锥曲线的统一定义得MF d ＝53，∴(x －53)2＋y 2|3－x |＝53，化简得4x 2＋9y 2＝20. ∴所求椭圆的方程为x 25＋9y 220＝1. 11．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右准线l 2与一条渐近线l 交于点P ，F 是双曲线的右焦点．(1)求证：PF ⊥l ；(2)若|PF |＝3，且双曲线的离心率e ＝54，求该双曲线方程．【解】 (1)证明：右准线为l 2：x ＝a 2c ，由对称性不妨设渐近线l 为y ＝b a x ，则P (a 2c ，ab c )，又F (c,0)，∴k PF ＝ab c －0a 2c－c ＝－a b . 又∵k l ＝b a ，∴k PF ·k l ＝－a b ·b a＝－1. ∴PF ⊥l .(2)∵|PF |的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝0的距离，∴|bc |a 2＋b 2＝3，即b ＝3，又e ＝c a ＝54，∴a2＋b2a2＝2516，∴a＝ 4.故双曲线方程为x216－y29＝1.(教师用书独具)求经过定点A(2,2)，右准线为l：x＝1，离心率为2的双曲线右顶点的轨迹方程．【思路探究】画出双曲线，根据圆锥曲线统一定义，找出坐标关系，利用代入法求轨迹方程．【自主解答】设右焦点为F (x 0，y 0)，右顶点为M (x ，y )，A ′、M ′为A 、M 在l 上的投影．由圆锥曲线定义知AF AA ′＝e . ∴(x 0－2)2＋(y 0－2)22－1＝2. ∴(x 0－2)2＋(y 0－2)2＝4.又∵MM ′＝x －1，MF ＝x 0－x ，∴x 0－x x －1＝2，∴x 0＝3x －2. 又y 0＝y ，∴(3x －2－2)2＋(y －2)2＝4.即(3x －4)2＋(y －2)2＝4， 9(x －43)24＋(y －2)24＝1(x ＞1)．故双曲线右顶点的轨迹方程为9(x －43)24＋(y －2)24＝1(x >1)．1．本例中，首先由统一定义得出右焦点的轨迹方程，然后利用代入法求出右顶点的轨迹方程，让双曲线“动”起来，十分关键．2．求动点轨迹方程，方法选取很重要，主要依据动点满足条件．一动点到定直线x ＝3的距离是它到定点F (4,0)的距离的12，求这个动点的轨迹方程．【解】设动点的坐标为(x ，y )．由题意得e ＝2. 由圆锥曲线的统一定义得(x －4)2＋y 2|x －3|＝2，整理得3(x －83)2－y 2＝43. 所以所求轨迹方程为(x －83)249－y 243＝1.。

高中数学 2.5《圆锥曲线的统一定义》测试题苏教版选修2-1

圆锥曲线统一定义及曲线的方程测试题苏教选修（2-1）一、选择题1．已知12F F ，为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，2MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=，则椭圆的离心率为（）Ａ．12 答案：C2．方程22()(1)0x y xy -+-=表示的曲线是（）Ａ．一条直线和一双曲线Ｂ．两条直线Ｃ．两个点Ｄ．圆答案：C 3．已知点（4，2）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得的线段的中点，则l 的方程是（）Ａ．20x y -= Ｂ．240x y +-=Ｃ．2340x y ++=Ｄ．280x y +-= 答案：D4．若不论k 为何值，直线(2)y k x b =-+与曲线221x y -=总有公共点，则b 的取值范围是（）Ａ．( Ｂ．[ Ｃ．(22)-，Ｄ．[22]-，答案：B 5．过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于A B ，两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（）Ａ．有且仅有一条Ｂ．有且仅有两条Ｃ．有无穷多条Ｄ．不存在答案：B6．若命题“曲线C 上的点的坐标()P x y ，是方程()0f x y =，的解”是真命题，则下列命题中的真命题是（）Ａ．方程()0f x y =，的曲线是CＢ．曲线C 的方程是()0f x y =，Ｃ．点集{}{}()|()0|x y f x y P P C =⊇∈，，Ｄ．点集{}{}()|()0|x y f x y P P C =⊆∈，，答案：C二、填空题7．双曲线22154x y -=的右焦点为F ，右准线为l ，A ，P 为双曲线上的动点，若3PA +最小，则P 点的坐标为．答案：2⎛ ⎝8．直线1y x =+被双曲线22123x y -=截得的弦长为．答案：9．已知抛物线顶点在原点，焦点在x 轴上，此抛物线上一点(4)A m ，到准线的距离为6，则m = ．答案：±10．已知椭圆221169x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，点P 在椭圆上，若P 、12F F ，是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为．答案：9411．已知(46)(46)A B -，，，，若8PA PB -=，则动点P 的轨迹方程是．答案：6(4)y x =≥12．若双曲线221x y -=的右支上一点()P m n ，到直线y x =m n +的值是．答案：12三、解答题 13．在椭圆227428x y +=上求一点，使它到直线:32160l x y --=的距离最短，并求此距离．解：设与:32160l x y --=平行并且和椭圆相切的直线方程为32y x b =+，把它代入椭圆方程227428x y +=并整理，得224370x bx b ++-=，22(3)44(7)0b b ∆=-⨯-=，解得4b =±．由图可见舍去正值，切线方程为342y x =-．解方程组2233422774284x y x y x y ⎧⎧=⎪=-⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=-+=⎩⎪⎩，，．得切点坐标为3724⎛⎫- ⎪⎝⎭，．由点到直线的距离公式，得d ===．因此，点3724⎛⎫- ⎪⎝⎭，到直线的距离为最短，最短距离是13． 14．求直线123y x =+与双曲线22194x y -=的两个交点和原点构成的三角形的面积．解：由22123194y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得24240x x --=．设这两个交点为1122()()A x y B x y ，，，，则1212424x x x x +=⎧⎨=-⎩，，12x x ∴-==122AOB S ∴=⨯⨯=△15．在直线:90l x y -+=上任取一点M ，过点M 作以12(30)(30)F F -，，，为焦点的椭圆，当M 在什么位置时，所作椭圆长轴最短？求此时椭圆的方程．解：即求122a MF MF =+的最小值，取1(30)F-，关于l 的对称点()N m n ，，则直线1F N 的方程为30x y ++=，解方程组9030x y x y -+=⎧⎨++=⎩，得1F N 的中点(63)-，．因此，求得(96)N -，．所以222a MN MF F N =+===a =3c =，所以236b =．因此，椭圆的方程是2214536x y +=，此时M 点坐标为(54)-，．注：可以在椭圆上另取一点M '，证明2F N 为最小．高中苏教选修（2-1）圆锥曲线及椭圆水平测试题一、选择题1．椭圆22143x y +=的右焦点到直线y =的距离是（）Ａ．12Ｂ．2 Ｃ．1答案：Ａ2．语句甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和2PA PB a += (0a >，且a 为常数)；语句乙：P 点的轨迹是椭圆，则语句甲是语句乙的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ｂ3．过点(32)-，且与22194x y +=有相同焦点的椭圆的方程是（）Ａ．2211510x y += Ｂ．221225100x y += Ｃ．2211015x y += Ｄ．221100225x y += 答案：Ａ 4．设P 是椭圆2211612x y +=上一点，P 到两焦点12F F ，的距离之差为2，则12PF F △是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰直角三角形答案：Ｂ 5．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的面积为πS ab =．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（）Ａ．15πＢ．15π4 Ｃ．3π Ｄ．255π4答案：Ｄ 6．(0)F c ，是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为m ，最小值为n ，则椭圆上与点F 距离为2m n +的点是（）Ａ．2b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｂ．b c a ⎛⎫± ⎪⎝⎭，Ｃ．(0)b ±，Ｄ．不存在答案：Ｃ二、填空题7．若椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是．答案：2218020x y += 8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，点M 在线段AB 上且4AM MB =，则点M 的轨迹方程是．答案：221664x y +=9．若焦点在x 轴上的椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m 等于．答案：3210．已知椭圆的方程是2221(5)25x y a a +=>，它的两个焦点分别为12F F ，，且128F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为．答案：11．椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上的点到椭圆中心的距离的取值范围是．答案：[45]，12．已知102A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，是圆221:42F x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ (F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为．答案：22413x y += 三、解答题13．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程．解：椭圆的长轴长是6，2cos 3OFA ∠=， ∴点A 不是长轴的端点，而是短轴的端点， OF c ∴=，3AF a ==．233c ∴=． 2c ∴=，222325b =-=．∴椭圆的方程是22195x y +=或22159x y +=．14．P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F 为它的一个焦点，求证：以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．证明：如右图，设1PF 的中点为M ，则两圆圆心之间的距离为211111(2)222OM PF a PF a PF ==-=-，即两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差．∴两圆内切，即以1PF 为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．15．在平面直角坐标系中，已知ABC △的两个顶点(30)B -，，(30)C ，且三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，求顶点A 的轨迹方程．解：三边AC 、BC 、AB 的长成等差数列，212AC AB BC BC ∴+==>，∴顶点A 的轨迹是以B C ，为焦点，长轴长为12的椭圆（长轴端点除外）．由212a =，26c =，得6a =，3c =，则22236927b a c =-=-=．∴顶点A 的轨迹方程为221(6)3627x y x +=≠±．。

苏教版数学高二-【学案导学设计】选修2-1试题 2.5圆锥曲线的统一定义

2.5 圆锥曲线的统一定义课时目标1.掌握圆锥曲线的统一定义，并能进行简单应用.2.会写出圆锥曲线的准线方程．1．圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点F 和到一条定直线l(F 不在l 上)的距离的比等于__________的点的轨迹__________时，它表示椭圆；________时，它表示双曲线；________时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)中，与F(c,0)对应的准线方程是l ：________，与F′(－c ，0)对应的准线方程是l′：________；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为：________.一、填空题1．中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是________________． 2．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．3．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝45，焦点与相应准线的距离等于94的椭圆的方程是________________________________________________________________________．4．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两个焦点到一条准线的距离之比为3∶2，则双曲线的离心率是________．5．双曲线的焦点是(±26，0)，渐近线方程是y ＝±32x ，则它的两条准线间的距离是________．6．椭圆x 225＋y 29＝1上点P 到右焦点的距离的最大值、最小值分别为________． 7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条准线方程为x ＝32，则a ＝______，该双曲线的离心率为______．8．已知点A(－2,1)，y 2＝－4x 的焦点是F ，P 是y 2＝－4x 上的点，为使PA ＋PF 取得最小值，则P 点的坐标是______．二、解答题9．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．10.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点， F 1M →·F 2N →＝0，证明：当MN 取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.能力提升11.已知椭圆22:12xC y+=的右焦点为F，右右准线为l，点A∈l，线段AF交C于点B，若FA＝3FB→，则|AF→|＝________.12．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A、B两点，设△AOB 的面积为S(O为原点)．(1)用θ、p表示S；(2)求S的最小值；当最小值为4时，求抛物线的方程．1．圆锥曲线是符合某种条件的点的轨迹，它可以看做是平面内的点按某一规律运动形成的，它们的共同性质有：(1)方程的形式都是二元二次方程；(2)都是由平面截圆锥面得到的．2．解决涉及到曲线上的点到焦点和对应准线的距离时，应考虑使用圆锥曲线的统一定义．2.5 圆锥曲线的统一定义知识梳理1．常数e 0<e<1 e>1 e ＝1 2．x ＝a 2c x ＝－a 2c y ＝±a 2c作业设计1.x 23＋y 24＝1 解析由题意a 2c ＝4，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.2．6解析 a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，∴准线x ＝a 2c ＝41＝4，两准线间距离为8，设P 到左准线的距离为d 1，P 到右准线的距离为d 2.∵PF 1∶PF 2＝3∶1.又∵PF 1d 1＝e ，PF 2d 2＝e ，∴d 1∶d 2＝3∶1. 又d 1＋d 2＝8，∴d 1＝8×34＝6. 3.x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1 解析由c a ＝45，b 2c ＝94，a 2＝b 2＋c 2，得a ＝5，c ＝4，b ＝3.4. 5解析由题意知c ＋a 2c c －a 2c ＝32，即c 2＋a 2c 2－a 2＝32，左边分子、分母同除以a 2，得e 2＋1e 2－1＝32，解得 e ＝ 5. 5.82613解析由c ＝26，b a ＝32，c 2＝a 2＋b 2，易求a ＝22，∴d ＝2×a 2c ＝2×826＝82613. 6．9,1解析由PF a 2c－x 0＝e 推得PF ＝a －ex 0，又－a≤x 0≤a ，故PF 最大值为a ＋c ，最小值为a －c.7.3 233解析由已知得a 2a 2＋1＝32，化简得4a 4－9a 2－9＝0，解得a 2＝3.又∵a>0，∴a ＝3，离心率e ＝c a ＝3＋13＝233. 8.⎝⎛⎭⎫－14，1 解析过P 作PK ⊥l(l 为抛物线的准线)于K ，则PF ＝PK ，∴PA ＋PF ＝PA ＋PK.∴当P 点的纵坐标与A 点的纵坐标相同时，PA ＋PK 最小，此时P 点的纵坐标为1，把y ＝1代入y 2＝－4x 得：x ＝－14. 9．解设M(x 0，y 0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离MN ，即MF 2＝MN ，由双曲线定义可知MF 1MN ＝e ，∴MF 1MF 2＝e. 由MF 1x 0＋a 2c ＝e ，MF 2x 0－a 2c＝e ，得ex 0＋a ex 0－a ＝e. ∴x 0＝a 1＋e e 2－e .而x 0≥a ，∴a 1＋e e 2－e≥a. 即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e≤2＋1.但e>1，∴1<e≤2＋1. 故e 的取值范围为(1，2＋1]． 10．(1)解因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ，所以由题设得⎩⎨⎧ ca ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M(22，y 1)，N(22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. MN |＝|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋6y 1＝|y 1|＋6|y 1|≥26，当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0. 11. 2解析 ∵椭圆方程为x 22＋y 2＝1， ∴a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，∴2e =，右准线方程为22a x c==，FA →＝3FB →，故点F 应在AB 的延长线上．如图，设AB 与l 的夹角为a ，过B 作BH ⊥l 交l 于H ，则BF BH ＝22，∴BH →|＝2|BF →|.又由FA →＝3FB →知AB ＝2|BF →|， ∴sin a=BH AB ＝22，∴α＝45°. |FK →|＝a 2c－c ＝1， AF ∴|＝ 2. 12．解 (1)当斜率存在时，设直线y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，代入y 2＝2px ，得y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫y k ＋p 2，即y 2－2pk y －p 2＝0，∴y 1＋y 2＝2pk ，y 1y 2＝－p 2.∴AB ＝ 1＋1k 2·y 1＋y 22－4y 1y 2＝ k 2＋1k 2·4p 2k 2＋4p 2＝(1＋1k 2)·2p＝(1＋1tan 2θ)·2p＝2psin 2θ.①当直线AB ⊥x 轴时，①也成立．∴S ＝12OF·AFsin θ＋12OF·BFsin θ＝12OF·ABsin θ＝12·p 2·2p sin 2θ·sin θ＝p 22sin θ.(2)当θ＝90°时，S min ＝12p 2.若S min ＝4，则12p 2＝4.∴p ＝2 2.∴此时抛物线的方程为y 2＝42x.。

2.5圆锥曲线的统一定义作业2 2017-2018学年选修2-1 苏教版 word版(含参考答案)

主动成长夯基达标1.中心在原点,准线方程为y=±4,离心率为21的椭圆的方程是( ) A.3422y x +=1 B.4322y x +=1 C.224y x +=1 D.422y x +=1 解析：∵准线方程为y=±4,∴焦点落在y 轴上,由ca 2=4,21=a c 得a=2,c=1 ∴b 2=a 2-c 2=3 ∴所求方程为3422x y +=1. 答案：B2.若椭圆上的点P 到焦点的距离最小,则P 点是( )A.椭圆的短轴的端点B.椭圆的长轴的一个端点C.不是椭圆的顶点D.以上都不对解析：不妨设方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0)F 1为其右焦点,设P(x 0,y 0)则|PF 1|=a-ex 0 ∵-a≤x 0≤a ∴当x 0=a 时 |PF 1|最小为a-c,此时p 为椭圆的右顶点.答案：B3.椭圆短轴长是2,长轴是短轴的2倍,则椭圆的中心到其准线的距离是( ) A.558 B.554 C.338 D.334 解析：∵b=1,a=2b=2,c=3 334342==c a . 答案：D4.如果椭圆的两焦点将长轴三等分,那么这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的( )A.4倍B.9倍C.12倍D.18倍解析：2c=31·2a,∴31=a c 2·ca 2/2c=(c a )2=9. 5.如果双曲线366422y x -=1上一点P 到它的右焦点的距离是8,那么点P 到它的右准线的距离是( )A.10B.7732 C.72 D.532 解析：e=45=a c ,由圆锥曲线的统一定义得45||=d PF ∵d=532, 答案：D 6.已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的右焦点为F,右准线为l,过F 作垂直于x 轴的直线m 交双曲线于A 、B 两点,且｜AB ｜等于直线l 与m 间距离的4倍,则双曲线的离心率是( ) A.2 B.3 C.2 D.3解析：由题意|AF|=2(ca c 2-),又|AF|=)(2c a a a c -, ∴ac =2. 答案：C7.动点P(x,y)到点(1,0)的距离与到直线x=3的距离之比为22,则动点P 的轨迹方程为_______________________. 解析：由题意有22|3|)4(22=-+-x y x ,整理得48)1(22y x ++=1 注意：只有离心率为33时,椭圆方程才会是标准方程. 答案：48)1(22y x ++=1 8.椭圆C 1∶3422y x +=1的左准线是l,左、右焦点分别为F 1、F 2,抛物线C 2的准线也是l,焦点为F 2,C 1与C 2的一个交点为P,则｜PF 2｜的值等于______________.解析：P 是椭圆上的点,则21||||22PF ePF ==2|PF 2|=P 到椭圆右准线的距离,P 是抛物线上的点,则|PF 2|=P 到左准线l 的距离,∴|PF 2|+2|PF 2|=2·ca 2=8 ∴|PF 2|=38.答案：38 9.渐近线互相垂直,两准线距离为2的双曲线标准方程是_______________.解析：焦点位置不定,故标准方程有两个.答案：x 2-y 2=±210.已知P 是椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)上的点,P 与两焦点F 1、F 2的连线互相垂直,且点P 到两准线的距离分别为d 1=6和d 2=12,求椭圆方程.解析：如图所示：P 到l 1的距离为d 1,P 到l 2的距离为d 2,由圆锥曲线的统一定义知：|PF 1|=ed 1,|PF 2|=ed 2又∵|PF 1|2+|PF 2|2=|FF 2|2,∴222212d e d e +=(2c)2, ∴22ac (62+122)=4c 2 a 2=414436+=45. 又∵|PF 1|+|PF 2|=2a∴|PF 1|2+2|PF 1||PF 2|+|PF 2|2=4a 2,∴4c 2+2e 2d 1d 2=4a 2,∴4c 2+22144a c =4a 2. ∴4c 2+245144c =45×4 ∴24581c =45,∴c 2=81452 ∴c=945=5 ∴c 2=25 ∴b 2=a 2-c 2=20. ∴椭圆方程为：204522y x +=1. 11.已知椭圆为3422y x +=1,能否在椭圆上于y 轴左侧找到一点M,使点M 到左准线的距离｜MN ｜为点M 到两焦点F 1、F 2的距离的等比中项？解析：由椭圆方程3422y x +=1可知：a=2,b=3 ∴c=1,e=21,左准线方程为x=-4. 设椭圆上位于y 轴左侧的点M 的坐标为(x 0,y 0),则x 0∈=[-2,0)由圆锥曲线的统一定义可知：|MF 1|=a+ex 0=2+021x ,|MF 2|=a-ex 0=2-021x . 又||||1MN MF =e,∴|MN|=|MF 1|·e 1 =2|MF 1|=4+x 0若满足|MN|2=|MF 1|·|MF 2|则(4+x 0)2=(2+21x 0)(2-21x 0) 即205x +32x 0+48=0解得x 0=512-或x 0=-4与x 0∈[-2,0)相矛盾 ∴这样的点M 不存在.12.双曲线131222x y -=1的一支上不同三点A(x 1,y 1),B(26,6),C(x 2,y 2)与焦点F(0,5)的距离成等差数列(1)求y 1+y 2的值；(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点,并求出该点坐标.解析：(1)双曲线131222x y -=1的上准线为l:y=512 设A 、B 、C 三点到l 的距离分别为d 1、d 2、d 3∵A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)在双曲线的同一支上∴y 1≥32,y 2≥32∴d 1=y 1-512,d 2=518,d 3=y 2-512 又|AF|=ed 1,|BF|=ed 2,|CF|=ed 3由题意得2ed 2=ed 1+ed 3 ∴536=y 1-512+y 2-512 ∴y 1+y 2=12(2)由(1)可设AC 中点为Q(x 0,6)则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=12由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-113121131222222121x y x y 两式相减得 13))((12))((21212121x x x x y y y y +--+-=0 ∴13202121x x x y y =-- ∴线段AC 的垂直平分线的方程为y-6=0213x -·(x-x 0) 即13x+x 0(2y-25)=0∴恒过定点(0,225). 走近高考 13.P(-3,1)在椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的左准线上,过点P 且方向为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则此椭圆的离心率为( ) A.33 B.31 C.22 D.21 解析：P(-3,2)关于y=-2的对称点P′(-3,-5),由题意,1的方向向量为(2,5),∴2535=-c ,∴c=1 又P 在左准线上,∴-ca 2=-3,∴a=3. ∴e=a c =33. 答案：A14.设双曲线以椭圆92522y x +=1长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点,则双曲线的渐近线的斜率为( )A.±2B.±34C.±21D.±43解析：双曲线的焦点坐标为(±5,0),准线方程为x=±4. ∴⎪⎩⎪⎨⎧==542c c a ⇒a 2=20,b 2=5∴21525==a b ∴渐近线的斜率为±21答案：C15.已知双曲线222y ax -=1(a ＞0)的一条准线与抛物线y 2=-6x 的准线重合,则该双曲线的离心率为( ) A.23 B.23 C.26 D.332 解析：抛物线的准线方程为x=23 ∴双曲线的准线方程c a 2=23,结合c 2=a 2+1得a=3,c=2. ∴e=a c =32=332. 答案：D16.(经典回放)如图,直线l 1和l 2相交于点M,l 1⊥l 2,点N ∈l 1,以AB 为端点的曲线C 上任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等.又知△AMN 为锐角三角形,｜AM ｜=17,｜AN ｜=3,且｜BN ｜=6,建立适当坐标系,求曲线段C 的方程.解析：方法一：建立坐标系,以l 1为x 轴,MN 的垂直平分线为y 轴,点O 为坐标原点. 依题意知曲线段C 是以点N 为焦点,以l 2为准线的抛物线的一段,其中A 、B 分别为C 的端点. 设曲线段C 的方程为y 2=2px(p ＞0)(x A ≤x≤x B ,y ＞0),其中x A 、x B 分别为A 、B 的横坐标,p=|MN|. 所以M(2p -,0),N(2p ,0).由|AM|=17,|AN|=3得(x A +2p )2+2px A =17, ① (x A +2p )2-2px A =9, ②由①②两式联立解得x A =p 4,再将其代入①式并由p ＞0,解得⎩⎨⎧==1x 4,p A 或⎩⎨⎧== 2.x 2,p A 因为△AMN 是锐角三角形,所以2p ＞x A , 故舍去⎩⎨⎧==2,x 2,p A所以p=4,x A =1.由点B 在曲线段C 上,得x B =|BN|2p -=4. 综上,得曲线段C 的方程为y 2=8x(1≤x≤4,y ＞0).方法二：如图,建立坐标系,分别以l 1、l 2为x 、y 轴,M 为坐标原点.作AE ⊥l 1,AD ⊥l 2,BF ⊥l 2,垂足分别为E 、D 、F.设A(x A ,y A )、B(x B ,y B )、N(x N ,0)依题意有x A =|ME|=|DA|=|AN|=3,y A =|DM|=22||||22=-DA AM .由于△AMN 为锐角三角形,故有x N =|ME|+|EN|=|ME|+22||||AE AN -=4,x B =|BF|=|BN|=6.设点P(x,y)是曲线段C 上任一点,则由题意知P 属于集合{(x,y)|(x-x N )2+y 2=x 2,x A ≤x≤x B ,y ＞0}. 故曲线段C 的方程为y 2=8(x-2)(3≤x≤6,y ＞0).17.(2004浙江高三年级五校二联考)已知曲线M 是由所有满足方程|33|)(22x c y c x +=++的点所组成的,其中c 为正常数.(1)判断曲线的形状,简单说明理由；(2)若直线y=232(x+c)交M 于不同两点P 1Q,PQ 中点为R,R 点的横坐标为21-,求曲线M 的方程. 解析：(1)原方程可化为3|9|)(22c cx y c x =+++,当c=3时,曲线M 为直线y=0. 当c ＞3时为双曲线,当0＜c ＜3时为椭圆.(2)将M 方程化简可得(1-92c )x 2+y 2=9-c 2.设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),则x 1+x 2=-1联立⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-+=22229)91()(322c y x c c x y 得22917x c -+916cx+2917c -9=0 ∴21716cc --=-1,∴c 2+16c-17=0 ∴c=1或c=-17(舍),∴M 的方程为8922y x +=1.。

苏教版选修(2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案

圆锥曲线的统一定义主备人：熊慧审核人：杨鹤飞学案一、学生自主学习阅读课本P 51--52中的椭圆、双曲线的第二定义和抛物线的定义，从中找出共同点，思考能否用统一的形式把定义归纳出来。

二、结合学习的内容思考如下问题：平面内到一定点F 与到一条定直线l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹.( 点F 不在直线l 上）(1)当 0< e <1 时, 点的轨迹是 (2)当 e >1 时, 点的轨迹是(3)当 e = 1 时, 点的轨迹是其中常数e 叫做圆锥曲线的________, 定点F 叫做圆锥曲线的________, 定直线l 就是该圆锥曲线的__________.三、自主解答几道题目1.填空:(书本P 53习题1)2. 如果双曲线上一点P 到右焦点的距离等于，那么点P 到右准线的距离是_______3.椭圆上一点P 到其右准线的距离为10，则该点到其左焦点的距离是_____ 教案一、教学内容：圆锥曲线的统一定义二、教学目标：知识目标圆锥曲线统一定义及其应用。

能力目标1．分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。

2．利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能力。

3．解题过程中，培养学生运算与思维能力。

情感目标（1）在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系”的观念分析事物。

（2）讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。

三、教学重难点：教学重点：圆锥曲线的统一定义的理解与运用教学难点：圆锥曲线的统一定义的运用（一）课前自主学习检查1121322=-y x 1313610022=+y x2. 513 3. 12 （二）导入(创设情景)1．复习：平面内到一个定点 F 的距离和到一条定直线 L ( F 不在L 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线2．思考：当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？3．思考：将推导椭圆标准方程中得到的方程： ()222y c x a cx a +-=-变形为 ()a c x ca y c x =-+-222 你能解释这个式子的几何意义吗？（三）分析（互动对话）:讨论以上问题,并解答以下问题。

苏教版数学高二- 选修2-1试题 2-5圆锥曲线的统一定义

2.5 圆锥曲线的统一定义双基达标限时15分钟1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______．解析焦点为(1，0)，代入直线方程，可得a ＝－1.答案－12．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________．解析由⎩⎨⎧a 2c ＝4c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 答案 x 23＋y 24＝1 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离之比等于________．解析由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1，得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 答案 2 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________．解析依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e ＝5. 答案 55．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．解析由⎩⎨⎧c a ＝3a 2c ＝33，得⎩⎨⎧a ＝1c ＝3，所以b 2＝3－1＝2.所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 答案 x 2－y 22＝1 6．已知双曲线的渐近线方程为3x±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程．解由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)．由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝95a b ＝34a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 综合提高限时30分钟7．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．解析双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点为(1，0)．答案 (1，0)8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．解析因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 答案 403 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．解析由已知得(3a 2－a 2c )e>3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2，所以3e 2－5e －2>0，解得e>2或e<－13(舍去)．答案 (2，＋∞)10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，则右焦点F(c ，0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a . 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1，所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 答案 2211．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)．则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355，故抛物线的方程为y 2＝－1255x. 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ，所以由题设得⎩⎨⎧c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M(22，y 1)，N(22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26，当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.13．(创新拓展)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(1，0)、F 2(－1，0)，抛物线y 2＝－16x 的准线是椭圆C 的一条准线，且P(1，－1)为椭圆内一定点．(1)求椭圆C 的方程；(2)在椭圆C 上求一点M ，使得MP ＋2MF 1最小．解 (1)抛物线y 2＝－16x 的准线为x ＝4，它也是椭圆C 的一条准线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2c ＝4c ＝1，得a 2＝4， b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率e ＝12. 由M 点向准线引垂线，设垂足为N.由统一定义，MN ＝2MF 1，所以MP ＋2MF 1＝MP ＋MN.当P 、M 、N 三点共线时，MP ＋MN 最小，此时点M 的纵坐标与点P 的纵坐标相同，为－1，代入椭圆方程可求得此时M(263，－1)．。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-1 2.5 圆锥曲线的统一定义》

基于“He图形计算器〞的创新课堂教学实践——以“一道圆锥曲线题的探究与拓展〞为例随着信息技术的迅猛开展和“大数据〞的到来，我们原有的教学方法和教学手段正在不断地受到冲击．数学学科独有的形式化抽象特征，如精深的数学概念、繁琐的演算过程、复杂的数形关系和多变的几何位置关系等，往往囿于教与学手段的限制而令人“望而却步〞．数学过于形式化的表达反而看不清数学知识的本来面貌，学生对抽象知识的内部表征应该以丰富、独特、具体的形象而存在，He图形计算器集“数、形、表〞于一屏，形成方程、图形、数据、模型〔函数〕、算法等的多元关联，实现代数、几何、数据、算法等不同数学分支的真正融合，在符号语言与表格、e图形计算器开设了一节“一道圆锥曲线题的探究与拓展〞创新课下面是本节课的教学实录与点评1教学目标〔1〕通过对图象的观察，认识动态变化中的不变规律，尝试用代数方法刻画几何中的“变〞与“不变〞〔2〕初步掌握求圆锥曲线中的定量定性问题的根本步骤和一般方法，能从代数角度解释所观察到的几何规律，从而进一步领悟解析几何的涵义2重点、难点分析教学重点：圆锥曲线中的定性问题教学难点：〔1〕He的应用探究；〔2〕定性问题的代数推理．3教学实录回忆知识，做好铺垫题目：〔高二数学周练13 T19〕直线与圆相交，截得的弦长为．〔1〕求圆的方程；〔2〕过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于、两点〔异于原点〕．证明：直线与圆相切；〔3〕假设抛物线上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．解题过程：〔1〕∵∴圆心到直线的距离为，∵截得的弦长为∴∴圆的方程为：〔2〕〔3〕〔2〕设过原点的切线方程为：，即∴，解得：∴过原点的切线方程为：，不妨设与抛物线的交点为，那么，解得：，同理可求：∴直线∵圆心到直线的距离为1且∴直线与圆相切〔3〕直线与圆相切．证明如下：设，那么直线、、的方程分别为：：，：；：∵是圆的切线∴，化简得：①∵是圆的切线，同理可得：②那么为方程的两个实根∴∵圆心到直线的距离为：∴直线与圆相切．点评：此题为刚刚做的一份周练上的一道题，学生在代数推理上应该都掌握了其推导方法，所以带着学生回忆了此题中重要的一些思想，如抛物线上点的设法、韦达定理，方程的思想、设而不求、特殊到一般的思想为接下来的探究拓展埋下伏笔从数到形，操作感悟师：通过He图形计算器我们来验证刚刚此题中的不变性操作步骤如下：学生借助手中He图形计算器跟着老师完成相关操作，熟悉He图形计算器在画图方面的相关功能，并在此过程中观察动态变化中的不变规律点评：教师通过演示，学生讲解的方式深化学生对于He图形计算器的相关功能键的认识，为下面学生们自主探究做好铺垫借力“He〞，拓展探究拓展1：如果将抛物线换成椭圆也有类似的性质吗？生：窃窃私语，没有定论师：我们来看一个具体的椭圆探究1：椭圆的标准方程为，椭圆内有个定圆，对于椭圆上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，那么直线与圆是否相切？师：请大家利用图形计算器给予验证小组讨论，制定研究方案生〔小组1代表〕：上台演示其刚刚研究成果：得出的结论是此性质在椭圆中不成立师：我们来看探究2：这个定圆有无要求？上述题目的第二问有什么作用？请你再大胆猜测并对于你的猜测利用图形计算器加以验证生〔小组2代表〕：仿照抛物线先在椭圆上取三个特殊点，如上下顶点，右顶点，其内切圆，此圆即为符合要求的定圆我们在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线分别与椭圆交于两点，连接两点，那么线段与圆相切上台演示其刚刚研究成果：得出的结论是此性质在椭圆中成立师：非常棒！抓住了例题中的研究方法，从特殊到一般对于图形计算器的使用也非常熟练点评：重视学生探索思维品质的培养研究较难问题退而求其次，回归根源，能够从特殊到一般，层层深入，不断接近真理在动手操作方面给足时间给学生，让其在尝试中遇到困难，通过碰壁加深其理解从形到数，严格演绎师：请你结合图形计算器给出的实验结论利用代数推理加以严格地论证可以小组讨论生：设，那么直线方程：；直线方程：；直线方程：；因为直线、直线与圆相切，所以，又有，，，师：变量很多，式子很复杂，类比前面例题的方法，理论上应该可以得以证明，请大家课后尝试进行化简我们看到从抛物线到椭圆简单的一个迁移，利用图形计算器可以很快的从形的角度得以证明，但代数推理却显得那么的复杂，当问题变得很复杂的时候，我们要学会反思，学会回到知识的根源去思考，换个角度是否可以得到另一种解决问题的途径圆锥曲线中的定量定性问题，往往需要从具体的数据，特殊的位置出发，探求解决问题的一般性方法请大家尝试将点选择特殊的位置来计算一下生：开始动笔演算，探求新的方法师：小组1选择了什么位置？生〔小组1代表〕：选择点，然后设过点的切线方程：，联立方程组解出点，点，得直线的方程，然后证明与圆相切师：做法很好，大家能否将他做的方法再一般化？生：设，过点的切线方程：整理为，令，联立方程组，消去得关于的二次方程，由韦达定理可得点，点的横坐标其中，为过点圆的两条切线的斜率即为关于的二次方程的两个根，下面再用韦达定理整体消元师：解法很有条理，思路很清晰，由于课上时间有限，下面的工作大家课后探究有些人认为下面的问题是不是很简单课后没有必要去进行运算下去我想这局部人最终都很难取得成功有时候你认为真理就在眼前，其实还很遥远要想学好圆锥曲线，必须要有足够的耐心，不能浅尝辄止点评：从方法上进行类比，当去尝试解决问题时遇到的麻烦不止一点点，此时，教师加以引导，学会审时度势，退到最初问题，从特殊到一般再去探索新的方法逐步培养了学生分析问题、解决问题的能力其中，也特别重视运算能力的培养，如韦达定理、整体代换等简化运算的一些技巧3.5数形结合，拾级而上师：大家对于刚刚得到的定圆有无其他想法？生：我取的定圆的方程为：，也符合这样的性质师：这个定圆也可以一般化，只要是椭圆的一个内接三角形的内切圆，那么在椭圆上任取一点作定圆的两条切线，这两条切线与椭圆交于另外两点，那么此两点的连线必与定圆相切请同学们利用图形计算器加以验证生：展示其研究过程：点评：让学生带着好奇，带着问题进行探索，激发学生的求知欲，培养学生动手操作能力，将课堂还给学生，让学生在不断地探索中获得新知，获得喜悦感3.6活学活用，加深理解拓展2：双曲线也有类似的性质吗？师：对于双曲线也有同样的性质，请你们课后利用本节课所学知识、方法完成探究并形成成果，撰写实验报告点评：本节课从一道圆锥曲线题出发，引发学生再思考问题得以解决可以借助多媒体辅助当然，e 图形计算器从形的角度加以验证，在此过程中帮助学生熟练图形计算器的相关功能，为接下来学生自主探究做好铺垫,本节课注重学生活动，以学生为本，教师适当引导，让学生在探究中学会新知，学会分析问题，解决问题的一般思维过程这一次基于“He图形计算器〞的创新课堂教学尝试很有意义，真正实现了学生学生为主，教师引领的教学模式参考文献：[1] 张志勇高中数学根底实验36课北京教育出版社，。

苏教版高中数学(选修2-1)2.5《圆锥曲线的统一定义》word教案2篇

圆锥曲线的统一定义教学目标了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法．教学重点，难点圆锥曲线的统一定义及准线方程．教学过程一、问题情境1．情境：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线(l F 不在l 上)的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线．当这个比值是一个不等于１的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？2．问题：试探讨这个常数分别是12和2时，动点P 的轨迹？二、学生活动探讨过程略（可以用课件演示或直接推导）；可以得到：当常数是12时，得到的是椭圆；当常数等于2时得到的是双曲线；三、数学运用1．例题：例1．已知点(,)P x y 到定点(,0)F c 的距离与它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数c a(0)a c >>，求点P 的轨迹．||c a x c=- 化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-令222a cb -=，上式可化为22221(0)x y a b a b+=>> 这是椭圆的标准方程．所以点P 的轨迹是以焦点为(,0),(,0)c c -，长轴、短轴分别为2,2a b 的椭圆。

这个椭圆的离心率e 就是P 到定点F 的距离和它到定直线l (F 不在l 上)的距离的比．类似地，我们可以得到：当点P 到定点(,0)F c 的距离和它到定直线2:a l x c=的距离的比是常数(0)c c a a >>时，这个点的轨迹是双曲线，方程为22221x y a b-=（其中222b c a =-），这个常数就是双曲线的离心率．这样，圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当01e <<时，它表示椭圆；当1e >时，它表示双曲线；当1e =时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆或双曲线，与焦点12(,0),(,0)F c F c -对应的准线方程分别为22,a a x x c c=-=．例2．椭圆222214x y b b+=上一点到右准线的距离是，求该点到椭圆左焦点的距离．解：设该椭圆的的左右焦点分别是12,F F，该椭圆的离心率为e =线的统一定义可知，23PF e b =⋅== 所以，12443PF b PF b b b =-=-=即该点到椭圆左焦点的距离为b ．说明：椭圆和双曲线分别有两个焦点和两条准线，在解题过程中要注意对应，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线（或上焦点对应上准线、下焦点对应下准线．）例3．若椭圆22143x y +=内有一点(1,1)P -，F 为右焦点，椭圆上有一点M 使||2||MP MF +最小，则点M 为（）()A (1)3- ()B 3(1,)2± ()C 3(1,)2- ()D (1)3±- 略解：因为椭圆的离心率为12，则2||MF 就等于M 点到右准线的距离d ，则可以看到||2||||MP MF MP d +=+，由点到直线的最短距离是垂线段得01M Mx y >⎧⎨=-⎩可以得到1)-．故选()A ．四．回顾小结：圆锥曲线的统一定义．2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）一、教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。

高中数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第2章圆锥曲线与方程 §2.5 Word版含答案

§2.5 圆锥曲线的统一定义学习目标 1.了解三种圆锥曲线的统一定义,掌握三种圆锥曲线的区别与联系.2.学会利用圆锥曲线的统一定义解有关问题.3.掌握圆锥曲线的准线方程的概念．知识点一圆锥曲线的统一定义观察图形,思考下列问题:思考1 上面两个图中分别对应什么曲线？正确答案图( 1 )为椭圆,图( 2 )为双曲线．思考2 当0<e <1时曲线有何特点？e >1呢？正确答案当0<e <1时,曲线为椭圆,当e >1时,对应的曲线为双曲线．梳理知识点二圆锥曲线的焦点坐标和准线方程标准方程焦点坐标准线方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1( a >b >0 ) ( ±c,0 ) x ＝±a 2cy 2a 2＋x 2b 2＝1( a >b >0 ) ( 0,±c ) y ＝±a 2c双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 ) ( ±c,0 ) x ＝±a 2cy 2a 2－x 2b 2＝1( a >0,b >0 ) ( 0,±c )y ＝±a 2c抛物线y 2＝2px ( p >0 )⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p 2y 2＝－2px ( p >0 ) ⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p2 x 2＝2py ( p >0 ) ⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py ( p >0 )⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p 21．若平面内动点P 到定点F 的距离和它到一条定直线l 的距离的比是一个常数e ( e ＞0 ),则动点P 的轨迹是圆锥曲线．( × )2．抛物线y 2－2x ＝0的准线方程为x ＝－12.( √ )3．点M ( x ,y )到定点F ( 4,0 )的距离和它到直线l :x ＝254的距离的比是常数45,则点M 的轨迹为x 225＋y 29＝1.( × )类型一利用统一定义确定曲线形状例1 判断下列各动点的轨迹表示的是什么？( 1 )定点F ,定直线为l ,F ∉l ,动点M 到定点F 的距离MF 与动点M 到定直线l 的距离d 的比为2；( 2 )定点F ,定直线为l ,F ∉l ,动点M 到定直线l 的距离d 与动点M 到定点F 的距离MF 的比为5；( 3 )到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹；( 4 )定点F ∉l ,到定点F 的距离与到定直线l 的距离的比大于1的点的轨迹．解 ( 1 )因为MFd ＝2>1,所以动点的轨迹是双曲线．( 2 )因为d MF ＝5,所以0<MF d ＝15<1,所以动点的轨迹是椭圆．( 3 )当F ∈l 时,动点的轨迹是过F 且与l 垂直的直线；当F ∉l 时,动点的轨迹是抛物线．( 4 )动点的轨迹不是双曲线,因为比值虽然大于1,但不一定是常数,动点的轨迹是一个平面区域．反思与感悟判断所给曲线是哪种圆锥曲线,常利用圆锥曲线的定义求解,其思路是 ( 1 )如果遇到动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．( 2 )如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到圆锥曲线的共同性质．跟踪训练1 平面内到定点F ( 3,0 )的距离与到定直线x ＝8的距离d 的比为32的动点P 的轨迹是________．正确答案双曲线详细解析因PF d ＝32>1,故动点的轨迹是双曲线．类型二与圆锥曲线的准线相关的问题例2 已知双曲线的中心在原点,焦点在x 轴上,一条渐近线方程为y ＝33x ,焦点到相应准线的距离为32,求双曲线的方程．解设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 ),依题意得c －a 2c ＝32,又b a ＝33, 结合c 2＝a 2＋b 2,解得a 2＝9,b 2＝3, 所以双曲线的方程为x 29－y 23＝1.引申探究本例中两准线之间的距离是多少？解据本例,得方程x 29－y 23＝1,两准线之间的距离为2a 2c ＝2×923＝3 3.反思与感悟求圆锥曲线的准线方程的步骤跟踪训练2 根据下列条件,求椭圆的标准方程: ( 1 )经过点⎝⎛⎭⎫－1，455,且一条准线为x ＝5；( 2 )两准线间的距离为1855,焦距为2 5.解 ( 1 )由于椭圆的一条准线为x ＝5,可见椭圆的焦点在x 轴上,故可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1( a >b >0 ),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋165b 2＝1，a2a 2－b2＝5，解得a 2＝5,b 2＝4或a 2＝21,b 2＝8425.故所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1或x 221＋25y 284＝1.( 2 )依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2·a 2c ＝1855，2c ＝25，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，c ＝ 5.故所求椭圆方程为x 29＋y 24＝1或x 24＋y 29＝1.类型三圆锥曲线的统一定义及应用例3 已知点A ( 3,1 ),且点F ( 2,0 )是双曲线x 2－y 23＝1的右焦点,在双曲线上找一点P ,使P A ＋12PF 的值最小,求点P 的坐标．解由双曲线方程知,a ＝1,b ＝3,∴c ＝2,离心率e ＝c a ＝2,与焦点F ( 2,0 )对应的准线l :x ＝a 2c ＝12.设点P 到准线l 的距离为d ,由圆锥曲线的统一定义有PFd＝2,∴12PF ＝d . 如图,过点P ,A 作l 的垂线PP 1,AA 1,垂足分别为P 1,A 1,则P A ＋12PF ＝P A ＋PP 1≥AA 1＝52.∴当点P 为AA 1与双曲线的交点,即P ⎝⎛⎭⎫233，1时,P A ＋12PF 的值最小．反思与感悟一般地,在圆锥曲线上求一点P ,使P A ＋1e PF ( 其中A 是圆锥曲线内部的定点,F是焦点,e 是离心率 )最小时,都是利用圆锥曲线的统一定义来处理的．跟踪训练3 已知A ( 4,0 ),B ( 2,2 )是椭圆x 225＋y 29＝1内的两个点,M 是椭圆上的动点．( 1 )求MA ＋MB 的最大值和最小值； ( 2 )求MB ＋54MA 的最小值及M 的坐标．解 ( 1 )如图所示,由x 225＋y 29＝1,知a ＝5,b ＝3,c ＝4.所以点A ( 4,0 )为椭圆的右焦点, 则左焦点为F ( －4,0 )．则MA ＋MF ＝2a ＝10,即MA ＋MB ＝10－MF ＋MB . 因为|MB －MF |≤BF ＝(－4－2)2＋(0－2)2＝210,所以－210≤MB －MF ≤210,故10－210≤MA ＋MB ≤10＋210.即MA ＋MB 的最大值为10＋210,最小值为10－210.( 2 )由题意知,椭圆的右准线为x ＝254,过M 点作右准线的垂线,垂足为M ′,由圆锥曲线的统一定义知,MA MM ′＝e ＝45,即54MA ＝MM ′.所以MB ＋54MA ＝MB ＋MM ′.当B ,M ,M ′三点共线时,MB ＋MM ′有最小值,最小值为BM ′＝254－2＝174.当y ＝2时,由x 225＋229＝1,解得x ＝535或x ＝－535( 舍去 ),此时点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫535，2.1．中心在原点,一条准线方程为x ＝8,离心率为12的椭圆方程为________．正确答案 x 216＋y 212＝1详细解析由题意,得e ＝c a ＝12,a 2c ＝8,∴a ＝4,c ＝2,∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1.2．已知双曲线3x 2－y 2＝9,则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________．正确答案 2详细解析双曲线的方程可化为x 23－y 29＝1,则a 2＝3,b 2＝9,故c 2＝12,e 2＝123＝4,则e ＝2.因此所求比值为2.3．若双曲线y 264－x 236＝1上一点P 到双曲线上焦点的距离是8,那么点P 到上准线的距离是________．正确答案325详细解析设点P 到上准线的距离为d , 由8d ＝108,得d ＝325. 4．椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ,它到左准线的距离等于 2.5,那么点P 到右焦点的距离为________．正确答案 8详细解析如图所示,PF 1＋PF 2＝2a ＝10,e ＝c a ＝45,而PF 12.5＝e ＝45,∴PF 1＝2, ∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.5．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为5,则点M 到y 轴的距离为________．正确答案 4详细解析由抛物线定义知点M 到准线x ＝－1的距离为5, 所以点M 到y 轴的距离为4.1．圆锥曲线的统一定义给出了三个量:定点F ,定直线l 及常数e .其中要求定点F 不在定直线l 上,且规定e 是到定点的距离与到定直线距离的比值,两者顺序不可颠倒．2．在圆锥曲线中,椭圆与双曲线都有两个焦点,两条准线．在椭圆或双曲线中,图象上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于它们的离心率．3．圆锥曲线中求线段和最值的问题,充分利用圆锥曲线的统一定义进行“化曲为直”,进而求出最值．一、填空题1．设双曲线的焦距为2c ,两条准线间的距离为d ,且c ＝d ,那么双曲线的离心率e ＝________. 正确答案2详细解析 2a 2c ＝c ,c 2＝2a 2,e 2＝c 2a2＝2,e ＝ 2.2．中心在原点,准线方程为y ＝±4,离心率为12的椭圆的标准方程是________．正确答案 y 24＋x 23＝1详细解析依题意得⎩⎨⎧a 2c＝4，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.故椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.3．到直线y ＝－4的距离与到A ( 0,－2 )的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________．正确答案 y 28＋x 24＝1详细解析设M ( x ,y ),由题意得|y ＋4|x 2＋(y ＋2)2＝ 2.化简得y 28＋x 24＝1.4．椭圆x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是92,则该点到右准线的距离是________．正确答案 8详细解析准线方程为x ＝±a 2c ＝±254,则两准线间的距离为252,故所求的距离为252－92＝8.5．已知双曲线x 2m －y 24＝1的一条渐近线的方程为y ＝x ,则此双曲线两条准线间的距离为________．正确答案 2 2 详细解析由题意知,2m ＝1,m ＝4,准线方程为x ＝±44＋4＝±2,故两条准线间的距离为2 2.6．双曲线的方程为x 23－y 22＝1,则以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程是________．正确答案 y 2＝－1255x详细解析双曲线的右准线方程为x ＝355,∴p 2＝355, 从而可得抛物线的标准方程为y 2＝－1255x .7．已知椭圆的一个焦点为F 1( 0,－2 2 ),对应的准线方程为y ＝－924,且离心率e 满足23,e ,43成等比数列,则此椭圆的方程为________．正确答案 x 2＋y 29＝1详细解析 ∵23,e ,43成等比数列,且0<e <1,∴e 2＝23×43,e ＝223.∵焦点F 1( 0,－2 2 ),∴c ＝22,∴a 2＝22×924＝9,∴b 2＝a 2－c 2＝9－8＝1.故所求椭圆的方程为x 2＋y 29＝1. 8．在平面直角坐标系xOy 中,若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12,且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合,则该双曲线的渐近线方程为________________．正确答案3x ±y ＝0详细解析由题意设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 ),抛物线y 2＝－4x 的焦点为( －1,0 ),由此可得a ＝1.由a 2c ＝12得c ＝2.所以b 2＝c 2－a 2＝3,于是双曲线的方程为x 2－y 23＝1,其渐近线方程为3x ±y ＝0.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 )的离心率为3,右准线方程为x ＝33,则双曲线方程为__________．正确答案x 2－y 22＝1 详细解析由⎩⎨⎧ca ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 10．在给定的椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应的准线的距离为1,则椭圆的离心率为________．正确答案22详细解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1( a ＞b ＞0 ),则右焦点F ( c,0 ),右准线l :x ＝a 2c.把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2＝b 4a 2,即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c ＝1,所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22.11．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1( a >b >0 )的焦点为F 1,F 2,两条准线与x 轴的交点为M ,N ,若MN ≤2F 1F 2,则该椭圆离心率的取值范围是________．正确答案 ⎣⎡⎭⎫22，1详细解析由题意有MN ≤2F 1F 2, ∴2×a 2c ≤2×2c ,即a 2≤2c 2,∴c 2a 2≥12,故e ＝c a ≥22, 又0<e <1,∴22≤e <1. 二、解答题12.如图,P 是椭圆x 225＋y 29＝1上的一点,F 是椭圆的左焦点,且OQ →＝12( OP →＋OF → ),|QO →|＝4,求点P 到椭圆左准线的距离．解 ∵OQ →＝12( OP →＋OF →),故Q 为PF 的中点． ∵|OQ →|＝4,∴P 点到右焦点F ′的距离为8, ∴PF ＝2×5－8＝2,又PF d ＝e ＝c a ＝45( d 为P 到椭圆左准线的距离 ), ∴d ＝52.13．已知动点P ( x ,y )到点A ( 0,3 )与到定直线y ＝9的距离之比为33,求动点P 的轨迹．解方法一由圆锥曲线的统一定义知,P 点的轨迹是一椭圆,c ＝3,a 2c＝9,则a 2＝27,a ＝33, ∴e ＝333＝33,与已知条件相符． ∴椭圆中心在原点,焦点为( 0,±3 ),准线方程为y ＝±9.b 2＝18,其方程为y 227＋x 218＝1. 方法二由题意得x 2＋(y －3)2|9－y |＝33. 整理得y 227＋x 218＝1. P 点的轨迹是以( 0,±3 )为焦点,以y ＝±9为准线的椭圆．三、探究与拓展14．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1( a >0,b >0 )上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线的离心率的取值范围是________．正确答案 ( 2,＋∞ )详细解析由已知得⎝⎛⎭⎫3a 2－a 2c e >3a 2＋a 2c ,即3c 2>5ac ＋2a 2, 所以3e 2－5e －2>0,解得e >2或e <－13( 舍去 )． 15．已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,过左焦点F ( －c,0 )的直线交椭圆C 于P ,Q两点,FP →＝( 1, 3 ),若PF →＝λFQ →,且1PF ＋1QF ＝43. ( 1 )求实数λ的值；( 2 )求椭圆C 的方程．解 ( 1 )∵PF →＝λFQ →,∴λ>0,又FP →＝( 1, 3 ),有|FP →|＝2,∴|QF →|＝1λ|FP →|＝2λ. 又1|PF →|＋1|QF →|＝43,∴12＋λ2＝43, ∴λ＝53. ( 2 )设P ( x 1,y 1 ),Q ( x 2,y 2 ),则由FP →＝( 1, 3 ),得x 1＝1－c . 由圆锥曲线的统一定义可知,PF ＝e ⎝⎛⎭⎫x 1＋a2c ＝a ＋ex 1＝a ＋c a ( 1－c )＝2,①同理,QF ＝a ＋c a ⎝⎛⎭⎫－35－c ＝65,②由①－②得,85·c a ＝45,∴a ＝2c .代入①得c ＝1,∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.。

苏教版高中数学选修2-1同步课堂精练：2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含答案

1．双曲线y2－2x2＝6的准线方程为__________．2．若椭圆22216x ya+=(a2＞10)的准线与圆x2＋y2＝25相切，则椭圆的焦点坐标为__________．3．设椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是__________．4．如果双曲线22125144x y-=上一点P到左焦点的距离为9，则P到右准线的距离为__________．5．点P与定点A(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则点P的轨迹方程为________．6．中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的左焦点为F，离心率13e=，过F作直线l交椭圆于A，B两点，已知线段AB的中点到左准线的距离是6，则AB等于__________．7．圆锥曲线C经过定点P(3,，它的一个焦点为F(1,0)，对应的准线为x＝－1，则C的轨迹方程为__________．8．如图，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线l交x轴于点B，点P，Q在椭圆上，且PD⊥l于点D，QF⊥AO，则椭圆的离心率是①PFPD；②QFBF；③AOBO；④AFAB；⑤FOAO，其中正确的个数是__________．9．已知双曲线22221x ya b-=(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若PF＝3，且双曲线的离心率54e=，求该双曲线方程．参考答案1. 答案：y ＝±2 解析：将原方程化为标准方程为22163y x -=，焦点在y 轴上，且a 2＝6，b 2＝3，∴c 2＝a 2＋b 2＝9，解得c ＝3.∴准线方程为y ＝2a c ±＝±2. 2. 答案：(±3,0) 解析：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，而由准线与圆x 2＋y 2＝25相切，得准线方程为x 25=. 解得a 2＝15或a 2＝10(舍去).∴c 2＝a 2－b 2＝15－6＝9，解得c ＝3.∴焦点坐标为(±3,0). 3. 答案：12 解析：由已知可得222b a c a c=-，∴222b b a c =，即12c e a ==. 4. 答案：9513解析：∵a ＝5，b ＝12，∴c ＝13. ∵2a ＝10＞9，故P 在双曲线左支上.设左、右焦点分别为F 1，F 2，∴PF 2－PF 1＝10. ∵PF 1＝9，∴PF 2＝19.设P 到右准线l ：2513x =的距离为d ，则2135PF d =.∴9513d =. 5. 答案：2211612x y += 解析：设P (x ，y )，则12=.化简，得2211612x y +=. ∴点P 的轨迹方程为2211612x y +=. 6. 答案：4 解析：如图，分别过点M ，A ，B 作左准线的垂线，交左准线于点M 1，A 1，B 1，则11162AA BB MM +==，∴AA 1+BB 1=12. ∵1AF e AA =，1BF e BB =，∴AB =AF +BF =e (AA 1+BB 1)=13×12=4. 7. 答案：y 2＝4x 解析：设d 为点P 到准线x ＝－1的距离，则1PF d ==，圆锥曲线C 为抛物线且点F (1,0)为焦点，直线x ＝－1为准线.∴C 的轨迹方程为y 2＝4x .8. 答案：5 解析：由圆锥曲线的统一定义得①②正确，又点A (－a,0)，F (－c,0)，B 2,0a c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴2AO a c e a BO ac===. 故③正确.2AF a c c e a AB a a c -===-，故④正确. FO c e AO a==，故⑤正确. 9.答案：(1)证明：右准线为l 2：2a x c=，由对称性不妨设渐近线l 为b y x a =，则P 2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又F (c,0)，∴20PF ab a c k a b c c-==--. 又∵l b k a =，∴k PF ·k l ＝a b b a-⋅＝－1.∴PF ⊥l . (2)解：∵PF 的长即F (c,0)到l ：bx －ay ＝03=，即b ＝3.又54c e a ==，∴2222516a b a +=.∴a ＝4. 故双曲线方程为221169x y -=.。

苏教版数学高二-选修2-1试题 2.5圆锥曲线的统一定义

2.5 圆锥曲线的统一定义一、基础过关1．双曲线x 2－y 2＝1的准线方程为__________．2． x 225＋y 29＝1上的点到左准线的距离是4.5，则该点到右准线的距离是________． 3．中心在原点，准线方程为y ＝±4，离心率为12的椭圆的标准方程是________________． 4．抛物线y 2－2x ＝0的准线方程为__________．5．椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上一点，若PF 1＝3PF 2，则P 点到左准线的距离是________．6．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．7．点M(x ，y)与定点F(4,0)的距离和它到直线l ：x ＝254的距离的比是常数45，求点M 的轨迹．二、能力提升8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点．设FA>FB ，则FA FB＝________. 9．已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．10．在双曲线x 216－y 29＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． 11．在抛物线y 2＝2x 和定点A ⎝⎛⎭⎫3，103，抛物线上有动点P ，P 到定点A 的距离为d 1，P 到抛物线准线的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值及此时P 点的坐标．12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为33，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切．(1)求a 与b ；(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F 1和F 2，直线l 1过F 2且与x 轴垂直，动直线l 2与y 轴垂直，l 2交l 1于点P.求线段PF 1的垂直平分线与l 2的交点M 的轨迹方程，并指明曲线类型．三、探究与拓展13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4,0)，过点F2作垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1B＋F2B＝10，椭圆上不同的两点A(x1，y1)，C(x2，y2)满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标．答案 1． x ＝±22 2．8 3．y 24＋x 23＝1 4．x ＝－12 5．6 6．y 2＝4x 7．解如图，设d 是点M 到直线l ：x ＝254的距离，根据题意，点M 的轨迹就是集合P ＝{M||MF|d＝45}，由此得x －42＋y 2|254－x|＝45. 将上式两边平方，并化简，得9x 2＋25y 2＝225，即x 225＋y 29＝1. 所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆．8．3 9．3310．解设P 点的坐标为(x ，y)，F 1，F 2分别为双曲线的左，右焦点．∵双曲线的准线方程为x ＝±165， ∴PF 1⎪⎪⎪⎪x ＋165＝PF 2⎪⎪⎪⎪x －165. ∵PF 1＝2PF 2，∴P 在双曲线的右支上．∴2PF 2x ＋165＝PF 2x －165，∴x ＝485. 把x ＝485代入方程x 216－y 29＝1，得y ＝±35119. ∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫485，±35119. 11．解如图所示，点A ⎝⎛⎭⎫3，103在抛物线y 2＝2x 的外部由抛物线的定义可知，d 1＋d 2＝PA ＋PF≥AF ＝256(其中F 为抛物线的焦点) 显然A 、P 、F 三点共线时，d 1＋d 2最小，最小值为256. 直线FA 的方程为4x －3y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3y －2＝0，y 2＝2x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝2，此时P 点的坐标为(2,2)．12．解 (1)由e ＝c a＝ 1－b 2a 2＝33，得b a ＝63. 又由原点到直线y ＝x ＋2的距离等于圆的半径，得b ＝2，a ＝ 3.(2)方法一由c ＝a 2－b 2＝1，得F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设M(x ，y)，则P(1，y)．由MF 1＝MP ，得(x ＋1)2＋y 2＝(x －1)2，y 2＝－4x.此轨迹是抛物线．方法二因为点M 在线段PF 1的垂直平分线上，所以MF 1＝MP ，即M 到F 1的距离等于M 到l 1的距离．此轨迹是以F 1(－1,0)为焦点，l 1：x ＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y 2＝－4x.13．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1. (2)由点B(4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45，根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1， F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8. 设弦AC 的中点为P(x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

苏教版数学高二-数学苏教版选修2-1优化训练圆锥曲线的统一定义

1．已知双曲线3x 2－y 2＝9，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于________．解析：∵3x 2－y 2＝9， ∴x 23－y 29＝1. ∴a ＝3，b ＝3，c ＝2 3.∴e ＝ca ＝2.答案：22．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则下列说法正确的是________．(填序号)①|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|； ②|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2； ③|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|； ④|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|.解析：由题意得|FP 1|＝x 1＋p 2，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2.再由2x 2＝x 1＋x 3得2⎝⎛⎭⎫x 2＋p 2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎭⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.答案：③3．如果双曲线的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，一条渐近线方程为y ＝2x ，那么它的两条准线之间的距离为________．解析：由题意得c ＝3，b a ＝2，∴a ＝3，∴d ＝2a 2c＝2.答案：24．方程(x －1)2＋(y －1)2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是________．解析：利用圆锥曲线的统一定义判断．设P (x ，y )，A (1,1)，由于直线l ：x ＋y ＋2＝0，因此|PA |＝2d (d 为点p 到直线l 的距离)，∴e ＝|PA |d ＝2>1.∴点P 的轨迹是双曲线．故填双曲线．答案：双曲线一、填空题1．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条准线方程为x ＝32，则双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的准线方程求基本量的值，进而求出离心率．∵准线方程为x ＝32，∴a 2c＝32.① 又∵b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.② 由①②得a ＝3，c ＝2，∴e ＝c a ＝233.故填233. 答案：2332．设椭圆x 2m 2＋y 2m 2－1＝1(m >1)上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 到右准线的距离为________．解析：∵m 2>m 2－1，∴m 2＝a 2，m 2－1＝b 2. ∴c 2＝1.又3＋1＝2a ，∴a ＝2.∴e ＝12.∴d ＝1e ＝a c ＝2.答案：23．如图所示，P 是椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，F 是椭圆的左焦点，且OQ →＝12(OP →＋OF →)，|OQ →|＝4，则点P 到该椭圆左准线的距离为________．解析：因为OQ →＝12(OP →＋OF →)，所以Q 为线段PF 的中点．因为|OQ →|＝4，所以点P 到右焦点F ′的距离为8.所以|PF |＝2×5－8＝2.又因为|PF |d ＝e ＝c a ＝45，所以d ＝52.答案：524．(2010年高考江西卷)点A (x 0，y 0)在双曲线x 24－y 232＝1的右支上，若点A 到右焦点的距离等于2x 0，则x 0＝________.解析：由x 24－y 232＝1知，a ＝2，b ＝42，∴c ＝6，∴e ＝ca ＝3，∴a 2c ＝46＝23，由双曲线的第二定义知2x 0x 0－a 2c＝e ，即2x 0x 0－23＝3，解得x 0＝2.答案：25．已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线的距离为8，则该椭圆的长轴长为________．解析：由题意得⎩⎨⎧2c ＝13×2a ，a2c－c ＝8，解得a ＝3，∴2a ＝6.答案：66．已知直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点，点A 的坐标为(8,8)，则线段AB 的中点到准线的距离是________．解析：如图所示，抛物线y 2＝8x 的准线方程为x ＝－2.因为l 过抛物线的焦点，所以x A ·x B ＝p 24＝424＝4，即x B ＝12.所以线段AB 的中点的横坐标为174.所以中点到准线的距离为174＋2＝254. 答案：2547．如果双曲线x 24－y 22＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是________．解析：∵双曲线的离心率e ＝c a ＝62，由双曲线的定义知，P 点到右准线的距离d ＝|PF 2|e＝262＝263，∴P 点到y 轴的距离为463.答案：4638．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：设e 为双曲线离心率，c 为半焦距，且32a >0，则e ⎝⎛⎭⎫32a －a 2c >32a ＋a 2c，∴a c －32⎝⎛⎭⎫c a ＋52<0， ∴32⎝⎛⎭⎫c a 2－52⎝⎛⎭⎫c a －1>0， ∴3e 2－5e －2>0，即(3e ＋1)(e －2)>0. 又e >1，∴e >2.答案：(2，＋∞) 二、解答题9．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在这个双曲线上求一点M ，使|MA |＋35|MF |的值最小，并求出这个最小值．解：如图所示，l 为双曲线的右准线，M 为双曲线上任意一点，分别作MN ⊥l ，AB ⊥l 交于N 、B 两点．∵离心率e ＝53，∴由双曲线的统一定义有|MF ||MN |＝e ，即|MN |＝35|MF |.∴|MA |＋35|MF |＝|MA |＋|MN |≥|AB |.当且仅当M 为AB 与双曲线右支的交点时，|MA |＋35|MF |取得最小值．此时，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫352，2，最小值为9－a 2c ＝9－95＝365.10．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点，求离心率e 的取值范围．解：如图所示，设M (x 0，y 0)是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离|MN |，即|MF 2|＝|MN |.由圆锥曲线统一定义可知|MF 1||MN |＝e ，∴|MF 1|＝e |MN |＝e |MF 2|. ∴ex 0＋a ex 0－a ＝e . ∴x 0＝a (1＋e )e 2－e.又x 0≥a ，∴a (1＋e )e 2－e≥a .即e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤2＋1，又e >1，∴1<e ≤2＋1.11．已知椭圆x 225＋y 29＝1上不同的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫4，95，C (x 2，y 2)与焦点F (4,0)的距离成等差数列．(1)求证x 1＋x 2＝8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴交于点T ，求直线BT 的斜率．解：(1)证明：由已知得a ＝5，b ＝3，c ＝4.因为|AF |＝a －ex 1＝5－45x 1，|CF |＝a －ex 2＝5－45x 2，|BF |＝5－45×4＝95，且|AF |＋|CF |＝2|BF |，所以⎝⎛⎭⎫5－45x 1＋⎝⎛⎭⎫5－45x 2＝185，即x 1＋x 2＝8.(2)因为A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1，①x 2225＋y 229＝1.② 由①－②得y 21－y 22＝－925(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝－7225(x 1－x 2)．又因为线段AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22，所以线段AC 的垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －4)．③因为点T 在x 轴上，则设点T 的坐标为(x 0,0)，代入③得x 0－4＝y 21－y 222(x 1－x 2)，所以x 0－4＝－3625.所以直线BT 的斜率k ＝－95x 0－4＝54.故直线BT 的斜率为54.。

苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析

_2.5圆锥曲线的统一定义[对应学生用书P35]圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F 的距离与到定直线(准线)l 的距离的比值等于1(离心率)的动点的轨迹．在坐标平面内有一定点F (c,0)，定直线x ＝a 2c (a >0，c >0)．动点P (x ，y )到定点F (c,0)的距离与到定直线x ＝a 2c 的距离的比为ca.问题1：求动点P (x ，y )的轨迹方程．提示：由(x －c )2＋y 2|a 2c－x |＝ca ，化简得：(a 2－c 2)x 2＋a 2y 2＝a 2(a 2－c 2)．问题2：当a >c ，即0<ca <1时，轨迹是什么？提示：椭圆．问题3：当a <c ，即ca >1时，轨迹是什么？提示：双曲线．圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，它表示椭圆，当e ＞1时，它表示双曲线，当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线从抛物线的定义知，抛物线只有一个焦点和一条准线，那么椭圆、双曲线有几个焦点，几条准线？提示：椭圆、双曲线分别有两个焦点，两条准线．椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程准线方程曲线方程准线方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x ＝±a 2cy 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y ＝±a 2cx 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) x ＝±a 2cy 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y ＝±a 2cy 2＝2px (p ＞0) x ＝－p 2x 2＝2py (p ＞0) y ＝－p 2y 2＝－2px (p ＞0)x ＝p 2x 2＝－2py (p ＞0)y ＝p 2圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系，第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系，所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择．利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离，利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化，对于抛物线，第一定义与第二定义是一致的．[对应学生用书P 36]利用统一定义确定曲线形状[例1] 过圆锥曲线C 的一个焦点F 的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆与F 相应的准线相交，则曲线C 为________．[思路点拨] 利用圆锥曲线第二定义进行转化，由圆心到直线的距离和半径的大小关系，建立不等式求e 的范围即可判断．[精解详析] 设圆锥曲线的离心率为e ，M 为AB 的中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d2和d ，圆的半径为R ，d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝F A ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2.由题意知R ＞d ，则e ＞1，圆锥曲线为双曲线．[答案] 双曲线[一点通] 解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e ＝PF 1d 1＝PF 2d 2.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主．1．方程 (1＋x )2＋y 2＝|x ＋y －1|对应点P(x ，y )的轨迹为________．解析：由(1＋x )2＋y 2＝|x ＋y －1|得[x －(－1)]2＋y 2|x ＋y －1|2＝ 2.可看作动点P (x ，y )到定点(－1,0)的距离与到定直线x ＋y －1＝0的距离比为2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线．答案：双曲线2．若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状．解：设圆锥曲线的离心率为e ，M 是AB 中点，A ，B 和M 到准线的距离分别为d 1，d 2和d ，圆的半径为R ，则d ＝d 1＋d 22，R ＝AB 2＝F A ＋FB 2＝e (d 1＋d 2)2.当圆与准线相离时，R ＜d ，即e (d 1＋d 2)2＜d 1＋d 22， ∴0＜e ＜1，圆锥曲线为椭圆．当圆与准线相切时，R ＝d ， ∴e ＝1，圆锥曲线为抛物线.用圆锥曲线的统一定义求轨迹[例2] 已知动点P (x ，y )到点A (0,3)与到定直线y ＝9的距离之比为33，求动点P 的轨迹．[思路点拨] 此题解法有两种一是定义法，二是直译法．[精解详析] 法一：由圆锥曲线的统一定义知：P 点的轨迹是一椭圆，c ＝3，a 2c ＝9，则a 2＝27，a ＝33，∴e ＝333＝33，与已知条件相符．∴椭圆中心在原点，焦点为(0，±3)，准线y ＝±9. b 2＝18，其方程为y 227＋x 218＝1. 法二：由题意得x 2＋(y －3)2|9－y |＝33.整理得y 227＋x 218＝1.P 点的轨迹是以(0，±3)为焦点，以y ＝±9为准线的椭圆．[一点通] 解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程．②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程．3．平面内的动点P (x ，y )(y >0)到点F (0,2)的距离与到x 轴的距离之差为2，求动点P 的轨迹．解：如图：作PM ⊥x 轴于M ，延长PM 交直线y ＝－2于点N .∵PF －PM ＝2， ∴PF ＝PM ＋2.又∵PN ＝PM ＋2，∴PF ＝PN . ∴P 到定点F 与到定直线y ＝－2的距离相等．由抛物线的定义知，P 的轨迹是以F 为焦点，以y ＝－2为准线的抛物线，顶点在原点，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝8y (y >0)． ∴动点P 的轨迹是抛物线．4．在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1(－4,0)，直线l ：x ＝－2，动点M 到F 1的距离是它到定直线l 距离d 的2倍．设动点M 的轨迹曲线为E .(1)求曲线E 的轨迹方程；(2)设点F 2(4,0)，若直线m 为曲线E 的任意一条切线，且点F 1，F 2到m 的距离分别为d 1，d 2，试判断d 1d 2是否为常数，并说明理由．解：(1)由题意，设点M (x ，y )，则有MF 1＝(x ＋4)2＋y 2，点M (x ，y )到直线l 的距离d ＝|x －(－2)|＝|x ＋2|，故(x ＋4)2＋y 2＝2|x ＋2|，化简得x 2－y 2＝8.故动点M 的轨迹方程为x 2－y 2＝8. (2)d 1d 2是常数，证明如下：若切线m 斜率不存在，则切线方程为x ＝±22，此时d 1d 2＝(c ＋a )·(c －a )＝b 2＝8.当切线m 斜率存在时，设切线m ：y ＝kx ＋t ，代入x 2－y 2＝8，整理得：x 2－(kx ＋t )2＝8，即(1－k 2)x 2－2tkx －(t 2＋8)＝0. Δ＝(－2tk )2＋4(1－k 2)(t 2＋8)＝0，化简得t 2＝8k 2－8.又由kx －y ＋t ＝0，d 1＝|－4k ＋t |k 2＋1，d 2＝|4k ＋t |k 2＋1，d 1d 2＝|16k 2－t 2|k 2＋1＝|16k 2－(8k 2－8)|k 2＋1＝8,8为常数．综上，对任意切线m ，d 1d 2是常数.圆锥曲线统一定义的应用[例3] 已知定点A (－2，3)，点F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点M 在椭圆上运动，求AM ＋2MF 的最小值，并求此时点M 的坐标．[思路点拨] 利用统一定义把MF 转化为点M 到相应准线的距离，数形结合便可迎刃而解．[精解详析] ∵a ＝4，b ＝23，∴c ＝a 2－b 2＝2.∴离心率e ＝12.A 点在椭圆内，设M 到右准线的距离为d ，则MF d ＝e ，即MF ＝ed ＝12d ，右准线l ：x ＝8.∴AM ＋2MF ＝AM ＋d . ∵A 点在椭圆内，∴过A 作AK ⊥l (l 为右准线)于K ，交椭圆于点M 0.则A 、M 、K 三点共线，即M 与M 0重合时，AM ＋d 最小为AK ，其值为8－(－2)＝10. 故AM ＋2MF 的最小值为10，此时M 点坐标为(23， 3)．[一点通] 圆锥曲线的统一定义通常用来解决一些与距离有关的最值问题，利用定义，实现曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离间的互化，互化时应注意焦点与准线的对应．5．已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，M 为双曲线上的动点，则MA ＋35MF的最小值为______．解析：双曲线离心率e ＝53，由圆锥曲线统一定义知MFd ＝e (d 为点M 到右准线l 的距离)，右准线l 的方程为x ＝95，显然当AM ⊥l 时，AM ＋d 最小，而AM ＋35MF ＝MA ＋35de ＝MA ＋d .而AM ＋d 的最小值为A 到l 的距离为9－95＝365.答案：3656．若点P 的坐标是(－1，－3)，F 为椭圆x 216＋y 212＝1的右焦点，点Q 在椭圆上移动，当QF ＋12PQ 取得最小值时，求点Q 的坐标，并求出最小值．解：在x 216＋y 212＝1中a ＝4，b ＝2 3，c ＝2，∴e ＝12，椭圆的右准线l ：x ＝8，过点Q 作QQ ′⊥l 于Q ′，则QFQQ ′＝e . ∴QF ＝12QQ ′.∴QF ＋12PQ ＝12QQ ′＋12PQ ＝12(QQ ′＋PQ )．要使QQ ′＋PQ 最小，由图可知P 、Q 、Q ′三点共线，所以由P 向准线l 作垂线，与椭圆的交点即为QF ＋12PQ 最小时的点Q ，∴Q 的纵坐标为－3，代入椭圆得：Q 的横坐标为x ＝2. ∴Q 为(2，－3)，此时QF ＋12PQ ＝92.圆锥曲线的准线、离心率的求解及应用[例4] 求椭圆x 216＋y 225＝1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线且离心率互为倒数的双曲线方程．[思路点拨] 由方程确定a 、c ，从而求e 与准线，由椭圆的准线、离心率再确定双曲线的实轴、虚轴长，求出双曲线的方程．[精解详析] 由x 216＋y 225＝1知a ＝5，b ＝4，c ＝3.e ＝c a ＝35，准线方程为y ＝±253. 设双曲线虚半轴长为b ′，实半轴长为a ′，半焦距为c ′，离心率为e ′，则e ′＝1e ＝53，又∵a 2c ＝a ′2c ′＝253.解得：a ′＝1259，c ′＝62527，b ′2＝250 000729.∴双曲线方程为81y 215 625－729x 2250 000＝1.[一点通] 此类问题首先判断该圆锥曲线是什么曲线，然后化成标准方程，确定出a 、b 、c 、p ，进而求离心率和准线方程．7．(天津高考)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．解析：抛物线y 2＝8x 的准线x ＝－2过双曲线的一个焦点，所以c ＝2，又离心率为2，所以a ＝1，b ＝c 2－a 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1 8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为210，若一双曲线与此椭圆共焦点，且它的实轴长比椭圆的长轴长短8，双曲线的离心率与椭圆的离心率之比是5∶1，求椭圆和双曲线的方程，并求其相应的准线方程．解：设a ′，b ′分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长，依题意有⎩⎨⎧a －a ′＝4，(10a ′)：(10a )＝5∶1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝1，a ＝5.所以椭圆的短半轴长b ＝a 2－c 2＝15，双曲线的虚半轴长b ′＝c 2－a ′2＝3.故椭圆和双曲线的方程分别是 x 225＋y 215＝1和x 2－y 29＝1. 椭圆的准线方程为x ＝±5210，双曲线的准线方程为x ＝±1010.1．圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是：(1)如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义．(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义．2．圆锥曲线共同特征的应用：设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AFd ＝e 变形可得d ＝AFe.由这个变形可以实现由AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题．[对应课时跟踪训练(十四)]1．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．解析：原方程可化为y 216－x 28＝1.∵a 2＝16，c 2＝a 2＋b 2＝16＋8＝24， ∴c ＝2 6.∴准线方程为y ＝±a 2c ＝±1626＝±463.答案：y ＝±4632．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8. 答案：8,123．到直线y ＝－4的距离与到A (0，－2)的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，由题意得|y ＋4|x 2＋(y ＋2)2＝ 2.化简得y 28＋x 24＝1.答案：y 28＋x 24＝14．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.答案：3－15．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝⎛⎭⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA ＋2MF 的最小值为________．解析：设M 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线定义知MF d ＝22，右准线方程为x ＝a 2c ＝2 2.∴d ＝2MF .∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值，∴MA ＋d ≥22－1. 答案：22－16．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．解：设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1、F 2.由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，准线方程为x ＝±252.∵PF 1＋PF 2＝2a ＝20，且PF 1∶PF 2＝1∶3， ∴PF 1＝5，PF 2＝15.设P 到两准线的距离分别为d 1、d 2，则由PF 1d 1＝PF 2d 2＝e ＝45，得d 1＝254，d 2＝754. ∴x ＋a 2c ＝x ＋252＝254，∴x ＝－254.代入椭圆方程，得y ＝±3394.∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－254，3394或⎝⎛⎭⎫－254，－3394. 7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为 x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1. k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，P 是左支上一点，P 到左准线的距离为d ，双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，问是否存在点P ，使d 、PF 1、PF 2成等比数列？若存在，则求出P 的坐标，若不存在，说明理由．解：假设存在点P ，设P (x ，y )．∵双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，∴b a＝3，b 2＝3a 2，c 2－a 2＝3a 2. ∴c a＝2. 若d 、PF 1、PF 2成等比数列，则PF 2PF 1＝PF 1d ＝2，PF 2＝2PF 1.① 又∵双曲线的准线为x ＝±a 2c， ∴PF 1＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2·a 2c ＝|2x 0＋a |，PF 2＝⎪⎪⎪⎪2x 0－2·a 2c ＝|2x 0－a |. 又∵点P 是双曲线左支上的点， ∴PF 1＝－2x 0－a ，PF 2＝－2x 0＋a . 代入①得－2x 0＋a ＝2(－2x 0－a )，x 0＝－32a . 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 0＝±152a . ∴存在点P 使d 、PF 1、PF 2成等比数列，P ⎝⎛⎭⎫－32a ，±152a .。

苏教版最新的高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(十四) 圆锥曲线的统一定义 Word版含解析

课时跟踪训练(十四) 圆锥曲线的统一定义1．双曲线2x 2－y 2＝－16的准线方程为________．2．设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则PM ＋PN 的最小值、最大值分别为________________．3．到直线y ＝－4的距离与到A (0，－2)的距离的比值为2的点M 的轨迹方程为________．4．(福建高考)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆x 24＋y 22＝1内部的一点为A ⎝⎛⎭⎫1，13，F 为右焦点，M 为椭圆上一动点，则MA ＋2MF 的最小值为________．6．已知椭圆x 2100＋y 236＝1上有一点P ，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P 到两准线的距离及点P 的坐标．7．已知平面内的动点P 到定直线l ：x ＝2 2的距离与点P 到定点F (2，0)之比为 2.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点N 为轨迹C 上任意一点(不在x 轴上)，过原点O 作直线AB ，交(1)中轨迹C 于点A 、B ，且直线AN 、BN 的斜率都存在，分别为k 1、k 2，问k 1·k 2是否为定值？8．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右两个焦点分别为F 1，F 2，P 是左支上一点，P 到左准线的距离为d ，双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，问是否存在点P ，使d 、PF 1、PF 2成等比数列？若存在，则求出P 的坐标，若不存在，说明理由．答案1．解析：原方程可化为y 216－x 28＝1.∵a 2＝16，c 2＝a 2＋b 2＝16＋8＝24，∴c ＝2 6.∴准线方程为y ＝±a 2c ＝±1626＝±463. 答案：y ＝±4632．解析：PM ＋PN 最大值为PF 1＋1＋PF 2＋1＝12，最小值为PF 1－1＋PF 2－1＝8.答案：8,123．解析：设M (x ，y )，由题意得|y ＋4|x 2＋(y ＋2)2＝ 2.化简得y 28＋x 24＝1. 答案：y 28＋x 24＝1 4．解析：直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，MF 1＝c ，MF 2＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1. 答案：3－15．解析：设M 到右准线的距离为d ，由圆锥曲线定义知MF d ＝22，右准线方程为x ＝a 2c＝2 2.∴d ＝2MF .∴MA ＋2MF ＝MA ＋d .由A 向右准线作垂线，垂线段长即为MA ＋d 的最小值，∴MA ＋d ≥22－1.答案：22－16．解：设P (x ，y )，左、右焦点分别为F 1、F 2.由已知的椭圆方程可得a ＝10，b ＝6，c ＝8，e ＝c a ＝45，准线方程为x ＝±252. ∵PF 1＋PF 2＝2a ＝20，且PF 1∶PF 2＝1∶3，∴PF 1＝5，PF 2＝15.设P 到两准线的距离分别为d 1、d 2，则由PF 1d 1＝PF 2d 2＝e ＝45，得d 1＝254，d 2＝754. ∴x ＋a 2c ＝x ＋252＝254，∴x ＝－254. 代入椭圆方程，得y ＝±3394. ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－254，3394或⎝⎛⎭⎫－254，－3394. 7．解：(1)设点P (x ，y )，依题意，有(x －2)2＋y 2|x －2 2|＝22. 整理，得x 24＋y 22＝1.所以动点P 的轨迹C 的方程为 x 24＋y 22＝1. (2)由题意，设N (x 1，y 1)，A (x 2，y 2)，则B (－x 2，－y 2)，x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1. k 1·k 2＝y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝2－12x 21－2＋12x 22x 21－x 22＝－12，为定值． 8．解：假设存在点P ，设P (x ，y )．∵双曲线的一条渐近线为y ＝3x ，∴b a＝3，b 2＝3a 2，c 2－a 2＝3a 2. ∴c a＝2. 若d 、PF 1、PF 2成等比数列，则PF 2PF 1＝PF 1d ＝2，PF 2＝2PF 1.① 又∵双曲线的准线为x ＝±a 2c，∴PF 1＝⎪⎪⎪⎪2x 0＋2·a 2c ＝|2x 0＋a |， PF 2＝⎪⎪⎪⎪2x 0－2·a 2c ＝|2x 0－a |. 又∵点P 是双曲线左支上的点， ∴PF 1＝－2x 0－a ，PF 2＝－2x 0＋a . 代入①得－2x 0＋a ＝2(－2x 0－a )，x 0＝－32a . 代入x 2a 2－y 2b 2＝1得y 0＝±152a . ∴存在点P 使d 、PF 1、PF 2成等比数列，P ⎝⎛⎭⎫－32a ，±152a .。

高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练：(十四)圆锥曲线的统一定义Word版含解析

课时跟踪训练(十四)圆锥曲线的统一定义1. _______________________________________ 双曲线2x2—y2=- 16的准线方程为•2 22. 设P是椭圆靠+ y= 1上一点，M , N分别是两圆：(x+ 4)2+ y2= 1和(x—4)2+ y2= 125 9上的点，贝U PM + PN的最小值、最大值分别为__________________ .3. 到直线y=—4的距离与到A(0,—2)的距离的比值为，2的点M的轨迹方程为2 24. (福建高考)椭圆r：a2+ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,焦距为2c.若直线y= ,3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MF1F2 = 2/ MF2F1，则该椭圆的离心率等于MA + .2MF的最小值为 __________ .2 26•已知椭圆100 + 36= 1上有一点P,至快左、右两焦点距离之比为 1 : 3，求点P到两准线的距离及点P的坐标.7•已知平面内的动点P到定直线I: x= 2迄的距离与点P到定点F畑0)之比为2.(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB,交(1)中轨迹C于点A、B,且直线AN、BN的斜率都存在，分别为&、k?,问k j k2是否为定值？2 2&已知双曲线予一b^= 1(a>0, b>0)的左、右两个焦点分别为F1, F2, P是左支上一点，P到左准线的距离为d,双曲线的一条渐近线为y= .3x，问是否存在点P,使d、PF1、PF22 25.已知椭圆x+y = 1内部的一点为M为椭圆上一动点，则F为右焦点，高中数学2 -2 2天L a216$語『16 8 24 c 曙PF 1 5 PF 215.2PM PNPF 1 1 PF 2 112PF 1 1 PF 21 8.8,123M (x y)|y 4|2.2 y 2 x- 1417 X 2 (y 2)82 2y x 18 44y V3(x c) F 1( c,0) 60MF 1F 2 60MF 2F 1 30 MF 1 MF 2.Rt MF 1F 2MF 1c MF 2 订3c2c e _2a 2c c 也c羽1.羽15 MdMF d2x 2农.d2MF.MA 羽MF MA d. AMA dMA d2羽1.2边 16P(x y)F 1F2yc254x2aP PF 1 PF 2 4 e _ d 1 d 25d 1d 1 d 225 4 d 2 75 4 .2a_ c 16 24.6 34“63 ca 10b 6c 8e a 5PF 1 PF 2 2a 20 PF 1 PF 2 1 32高中数学.丄 a 丄 2525 . 25 …X ——=X --- =—，…x= -------c 244 ■代入椭圆方程，得y =耳97.解：（1）设点P （x , y ）,依题意，有 X - 2諾=2 |x —2彳 2|2 2整理，得4 + 2 = i •所以动点P 的轨迹C 的方程为 2 2x y ,—+ —= 1 4 + 22 2 2 2 X 1 V 1X 2 V 2（2）由题意，设 N （X 1, y”，A （X 2, y 2），贝U B （ — X 2,— y 2）,壬十㊁二1，才+◎= jy 1— y 2 y 1 + y2 y 1— y 2 k 1 k 2=X 1—2 x +212c I 122 — 2X 1—2 +2X 2 2 2X 1 — X 2 &解：假设存在点P ,设P(x , y).•••双曲线的一条渐近线为 y = •, 3x ,•- b =^/3, b 2= 3a 2, c 2 — a 2= 3a 2a '若d 、PF 1、PF 2成等比数列， PF 2 PF 1则= 丁 = 2, PF 2= 2PF 1 •① 2又•••双曲线的准线为 x =旦, c 2• PF 1= 2X 0 + 2十=|2X 0+ a|,2c aPF 2= 2x 0 —2•— = |2x0 — a|. c又•.•点P 是双曲线左支上的点， …PF 1 = — 2x 0— a , PF 2= — 2x 0 + a. 代入①得一2x 0 + a = 2( — 2x 0 — a),•••点P 的坐标为z 2X 1 —12为定值.4，25 3俪—425 — 3/39)——. aP d PF i PF23ap〔。

高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第2章2.5圆锥曲线的统一定义Word版含解析

圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点)F 的距离与到定直线(准线)1的距离的比值等于2a1(离心率)的动点的轨迹.在坐标平面内有一定点 F(c,O),定直线x =；(a>0, c>0).动点P(x ,c2 a cy)到定点F(c,O)的距离与到定直线 x = 的距离的比为-.c a问题1:求动点P(x , y)的轨迹方程. 由亠斗艺=a , ic -x|化简得：(a 2 - c 2)x 2 + a 2y 2= a 2(a 2—问题2：当a>c ,即0<c <i 时，轨迹是什么？ a 提示：椭圆.问题3:当a<c ,即c >i 时，轨迹是什么？a 提示：双曲线.圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点 F 和到一条定直线l(F 不在I 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹.当0v e v 1时，它表示椭圆，当e > 1时，它表示双曲线, 当e = 1时，它表示抛物线.其中e 是离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 I 是圆锥曲线的准线| 圆锥曲线的准线[对应学生用书P35]提示:ca，C QC Qx2 y2a2 b2 1(a b 0)2 a x±c 2 2拿令1(a b 0)2 a j±cx ya2 b2 1(a 0 b 0)£- ax 一------ c拿詁1(a 0 b 0)£- a Ty2 2px(p 0)x ¥x2 2py(p 0)y卫- ------ 2y22px(p 0)x p——2x22py(p 0)y卫—2［归纳-升华*领悟1[1] CF[ ]e[] e M AB A B Md i d2d d i d2R d 2R AB FA FB2 2e d i2d2R dB A WO 高频考点题组化.名师一点就通[ P36]CAB AB［一点通］解答这种类型的问题时，巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化，即e =宁PF 2=石.有时会应用到数形结合的思想方法，这种类型多为客观题，以考查统一定义的应用为主..2可看作动点P(x , y)到定点(—1,0)的距离与到定直线 x + y — 1 = 0的距离比为，2>1的轨迹方程，由圆锥曲线统一定义可知，轨迹为双曲线.答案：双曲线2•若将例1中“相交”二字改为“相离”，判断曲线的形状；把“相交”二字改为“相切”，再判断曲线的形状.解：设圆锥曲线的离心率为 e , M 是AB 中点，A , B 和M 到准线的距离分别为 ①，d ? 和d ,圆的半径为R,d 1 + d ?则 d = d1yA当圆与准线相离时，R v d , 即 e d1 + d 2 v d1+ d 2••• 0v e v 1，圆锥曲线为椭圆. 当圆与准线相切时，R =d , • e = 1,圆锥曲线为抛物线用圆锥曲线的统一定义求轨迹［例2］已知动点P(x , y)到点A(0,3)与到定直线y = 9的距离之比为屮，求动点P 的轨迹.［思路点拨］此题解法有两种一是定义法，二是直译法.2［精解详析］法一：由圆锥曲线的统一定义知： P 点的轨迹是一椭圆，c = 3, : = 9,则P(x , y)的轨迹为[x ——1 ]2+ y 2 |x + y — 1AB 21. x + y — 1|对应点解析:x + y — 1|a= 27, a= 3 3,3e=3』33，与已知条件相符.•••椭圆中心在原点，焦点为(0, ±3)，准线y= ±9.2 2b2= 18,其方程为2^7+ 18= 1.法二：由题意得寸x 2+ (V- 3 f =並|9—y| —3 .整理得2x_181.P点的轨迹是以(0, ±3)为焦点，以y= ±9为准线的椭圆.［一点通］解决此类题目有两种方法：①是直接列方程，代入后化简整理即得方程•②是根据定义判断轨迹是什么曲线，然后确定其几何性质，从而得出方程.弘么J題値弟制3.平面内的动点P(x, y)(y>0)到点F(0,2)的距离与到x轴的距离之差为2,求动点P的轨迹. N.解：如图：作PM丄x轴于M，延长PM交直线y=- 2于点PF —PM = 2,PF = PM + 2.又••• PN= PM+ 2, • PF = PN.• P到定点F与到定直线y =—2的距离相等.由抛物线的定义知，P的轨迹是以F为焦点，以y= —2为准线的抛物线，顶点在原点,p= 4.•抛物线方程为x2= 8y(y>0).•动点P的轨迹是抛物线.4.在平面直角坐标系xOy中，已知F1(—4,0)，直线I: x = —2,动点M到F1的距离是它到定直线I距离d的•.2倍.设动点M的轨迹曲线为E.(1)求曲线E的轨迹方程；⑵设点F2(4,0)，若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F1, F2到m的距离分别为d1, d2,试判断dp?是否为常数，并说明理由.解：(1)由题意，设点M(x, y),则有MF j= . x+ 4 2+ y2,点M(x, y)到直线I 的距离 d =x —(—2)|=|x+ 2|,7(X 4f y 2(2|x 2|x 2 y 2 8.Mx 2 y 2 8.(2)d i d 2mx2羽d 1d 2 (c a) (c a) b 2 8.m m ykx t x 2 y 28x 2 (kx t)2 8(1 k 2)x 2 2tkx (t 28) 0. (2tk)24(1k 2)(t 28) 0t 2 8 k 2 8.m d 1d 2|kx y t 0 d iI 4k t| 寸k 21d 2d i d 2 咛1|16k 2」8k 28]k^ 1 8,8[3] A( 2 ^3) F AM 2MF M []MF[ ] a 41 e - .A M 2l x 8.AM 2MF AM d.x 丄1 M16 12b 2逅c J a 2 b 2 2.A A AK 1(1 )K A M K M M oAM 2MF 10MdMF —e d1 MF ed -d2M o .AM dAK8 ( 2) 10(2.3 3)|4k t|2 2]应.必处龜値弟剎公％x2y 2 35. 已知双曲线石一土= 1的右焦点为F ,点A(9,2), M 为双曲线上的动点，贝V MA + MF9 16 5的最小值为 ______ .解析：双曲线离心率e = 5由圆锥曲线统一定义知 MF = e(d 为点M 到右准线I 的距离),3 d 右准线I 的方程为x = 9，显然当AM 丄I 时，AM + d 最小，53 3而 AM + MF = MA + de = MA + d.5 5而AM + d 的最小值为 A 到I 的距离为9-9 = 365 52 26. 若点P 的坐标是(一1, - 3), F 为椭圆16 +誇=1的右焦点，点Q 在椭圆上移动,1当QF + qPQ 取得最小值时，求点 Q 的坐标，并求出最小值.2 2解：在舒 112 = 1 中 a = 4, b = 2 .3, c = 2, ••• e = 1椭圆的右准线I : x = 8, 过点Q 作QQ '丄I 于Q ', •••QF = 1QQ ' 1 1 1 1• QF +^PQ =^QQ ' + ^PQ = 2(QQ ' + PQ).要使QQ ' + PQ 最小，由图可知 P 、Q 、Q '三点共线，所以由 P 向准线I 作垂线，与 1椭圆的交点即为 QF + jpQ 最小时的点Q ,•- Q 的纵坐标为一3,代入椭圆得：Q 的横坐标为x = 2.19• Q 为(2,- 3),此时 QF + ?PQ = 9.W1圆锥曲线的准线、离心率的求解及应用2 2［例4］求椭圆牯25=1的离心率与准线方程，并求与该椭圆有相同准线且离心率互答案:36 ~5则Q QF e.b 4c 3.25y —y 3.25亍2 x_125a — c92 250 000729x281y215 625729x2250 000y2 8x1.8x32y1 b2y- 132 : x b ab22 1(a>b>0)b4b \/a2 c2, 15la 5.2 2詁b2 1(a>0b>0)x2 1.2L 115x22y2 1.925解析: 设M(x , y),由题意得一八2= 2椭圆的准线方程为x=g ；io .［方法-规律-那结J --------------------------------------------1 •圆锥曲线的判断：要判断所给曲线是哪种圆锥曲线，常利用圆锥曲线的定义求解，其思路是： ⑴如果遇到有动点到两定点的距离问题应自然联想到椭圆及双曲线的定义.(2)如果遇到动点到一个定点和一条定直线的距离问题应自然联想到椭圆、双曲线和抛物线的统一定义.2 •圆锥曲线共同特征的应用：AF设F 为圆锥曲线的焦点，A 为曲线上任意一点，d 为点A 到定直线的距离，由AF = e 变d 形可得d =芈•由这个变形可以实现由 AF 到d 的转化，借助d 则可以解决一些最值问题.1. _______________________________________ 双曲线2x 2 — y 2=- 16的准线方程为 •2 2 解析：原方程可化为y6—X8=i.2 2 2 2 a 2= 16, c 2= a 2+ b 2= 16 + 8= 24,c = 2订6.•••准线方程为y =±"二岂1； =±436. 答案：y =±严32 22. 设P 是椭圆和+ y = 1上一点，M , N 分别是两圆：(x + 4)2 + y 2= 1和(x — 4)2+ y 2= 125 9 上的点，贝U PM + PN 的最小值、最大值分别为 __________________ .解析：PM + PN 最大值为 PF j + 1 + PF 2+ 1 = 12,最小值为 PF 1 — 1+ PF 2— 1 = 8. 答案：8,123. 到直线 y =— 4的距离与到 A(0，— 2)的距离的比值为、2的点 M 的轨迹方程为课下训练轻典化.贵在鮭类旁通［对应课时跟踪训练(十四)］双曲线的准线方程为2 2 化简得y + - = 1.8 42 2 答案：V + 7 = 18 42 24. (福建高考)椭圆r：拿+ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F i, F2,焦距为2c若直线y= .3(x+ c)与椭圆r的一个交点M满足/ MF1F2 = 2/ MF2F1，则该椭圆的离心率等于解析：直线y=J3(x+ c)过点F# —c,0)，且倾斜角为60°所以/ MF 1F2= 60°从而/MF2F1 = 30° 所以MF1 丄MF?.在Rt△ MF1F2中, 2c_ 2c —代—1e=2a-c+ ,3c - 3 —答案：3—12 25. 已知椭圆X + y- = 1内部的一点为A 1,MA +血MF的最小值为__________ .解析：设M到右准线的距离为d,由圆锥曲线定义知M F-乎，右准线方程为d 2•••d= 2MF.••• MA + 2MF - MA + d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA + d的最小值，• MA + d>2 2— 1.答案：2 2 — 12 26•已知椭圆170 + 36= 1上有一点P,至快左、右两焦点距离之比为 1 : 3，求点P到两IUU 36准线的距离及点P的坐标.解：设P(x, y),左、右焦点分别为F2.PF1+ PF2—2a —20,且PF1: PF2—1 : 3, • PF1 —5, PF2—15.设P到两准线的距离分别为d1、d2,贝U由宁—宁—e—4,得d1 —d1 d2 525, d2-乎.--x+2a_c25 252 —4 ,…x——254 .代入椭圆方程，得3 '39—4MF1- c, MF2- 3c,所以该椭圆的离心率3 , F为右焦点，M为椭圆上一动点，则由已知的椭圆方程可得a- 10,cb —6, c—8,e—一4 255准线方程为x=右.225~4F (Q2 o )2.(1) ⑵B P N AN (1)P(x 2 2 X y 4 22 2X_ y 14 2 1.7 C C A BN y) 1.⑵k i k 2y 1 y 2 X 1 X 2 2 X 1b 2 2.PF 2 PF 1 PF 1 dPF 1 PF 2xAB(1)N(x iy i )A(X 2 y 1 y 2 X 1 X 21 2 2x 22x 2 a3a 2 PF 22 2 X 1X 22x 0 2x 02 2a _2x oc 2 PF 2 1(a>0 P(x y)a 2 k iPy 2)b>0)3x3a 22PF 1.2a_ x —c |2x 0 a||2x 0 a|.PF 22x 0 a.B( X 2y 2)2 X 142 y j2 F 1 2 X 24F 2y V 3xd PF 1PF 2高中数学代入①得一2x o + a = 2( — 2x o — a), _ 3 x o =— 2a. •••存在点 P 使d 、PF i 、PF 2成等比数列, P - l a ,2 2代入a - b 2=1得yo =。

苏教版数学选修2-1讲义：第2章 2.5 圆锥曲线的统一定义

2.5 圆锥曲线的统一定义1．了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念．(重点)2．理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理圆锥曲线的统一定义阅读教材P 56“思考”以上的部分，完成下列问题．1．平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0<e <1时，它表示椭圆；当e >1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的准线方程为x ＝±a 2c ，y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的准线方程为y ＝±a 2c .双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的准线方程为x ＝±a 2c ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的准线方程为y ＝±a 2c .1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到一个定点F 和到一条定直线l 的距离的比等于2的点的轨迹是双曲线．( )(2)椭圆x 24＋y 2＝1的准线方程是x ＝±433.( )(3)双曲线离心率的取值范围是(1，＋∞)．( )(4)圆锥曲线的准线与其对称轴垂直．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．双曲线x 215－y 2＝1的准线方程为________．【解析】易知a 2＝15，b 2＝1，∴c 2＝a 2＋b 2＝16，即c ＝4，则双曲线的准线方程为x ＝±154.【答案】 x ＝±1543．焦点坐标为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则准线方程为x ＝±52的椭圆的标准方程为______. 【导学号：09390050】【解析】由题意知c ＝2，则a 2c ＝a 22＝52，故a 2＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝1，则椭圆的方程为x 25＋y 2＝1.【答案】 x 25＋y 2＝1 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，右准线为x ＝12，则右焦点的坐标为________．【解析】据题意知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝2，a 2c ＝12，解得a ＝1，c ＝2，则右焦点的坐标为(2,0)．【答案】 (2,0)。