部编人教高中数学必修1《函数及其表示阅读与思考 函数概念的发展历程》石晓霞PPT课件 一等奖新名师优质课
人教A版高中数学必修1《1.2 函数及其表示 阅读与思考 函数概念的发展历程》_7
函数及其表示方法【学习目标】(1)会用集合与对应的语言刻画函数，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单运用.(2)能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.(3)求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用．【要点梳理】要点一、函数的概念1．函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.要点诠释：（1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.3．区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．区间表示：<<= {x|a≤x≤b}=[a，b]；x a x b a b{|}(,);(]{|},≤<=；x a x b a b{|},x a x b a b<≤=；[)(][)≤=∞≤=+∞.x x b b x a x a{|}-,; {|},要点二、函数的表示法1．函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势.列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．要点三、映射与函数1.映射定义：设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B.象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a 叫做b的原象.要点诠释：(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B 中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a 的象记为f(a).2.如何确定象与原象对于给出原象要求象的问题，只需将原象代入对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设原象，再代入对应关系中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象.3.函数与映射的区别与联系：设A 、B 是两个非空数集，若f ：A →B 是从集合A 到集合B 的映射，这个映射叫做从集合A 到集合B 的函数，记为y=f(x).要点诠释：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.函数定义域的求法(1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件.(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义.(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.5.函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域.求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等.总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约.【典型例题】类型一、函数的概念例1：下列式子是否能确定y 是x 的函数？（1）222;x y +=（21;=（3）y =例2．下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，为什么？（1）0)1x ()x (f -=；1)x (g =（2）x )x (f =；2x )x (g =（3）2x )x (f =；2)1x ()x (g +=（4）|x |)x (f =；2x )x (g =【变式1】判断下列命题的真假(1)y=x-1与1x 1x y 2+-=是同一函数； (2)2x y =与y=|x|是同一函数； (3)233)x (y )x (y ==与是同一函数；(4)⎪⎩⎪⎨⎧<+≥-=)0x (x x )0x (x x )x (f 22与g(x)=x 2-|x|是同一函数. 类型二、函数定义域的求法例3. 求下列函数的定义域：（1）y =；（2）1y x =-； （3）0y = 【变式1】求下列函数的定义域（用区间表示）： (1)3f (x)|x 1|2=--；(2)1f (x)x 1=-；（3）()f x = 类型三、求函数的值及值域例4. 已知f(x)=2x 2-3x-25，g(x)=2x-5，求：(1)f(2)，g(2)； (2)f(g(2))，g(f(2))；(3)f(g(x))，g(f(x)) 例5. 求值域：(1)y=x 2-2x+4，①[]4,1x ∈--；②[]2,3x ∈-；-2(2)()()3x f x f x x ==+. 举一反三：【变式1】 求下列函数的值域： （1）1y =；（2）213x y x +=-；（3）2211x y x -=+；（4）y = 类型四、映射与函数例6. 判断下列对应哪些是从集合A 到集合B 的映射，哪些是从集合A 到集合B 的函数？（1）A={直角坐标平面上的点}，B={（x ，y ）|,x R y R ∈∈}，对应法则是：A 中的点与B 中的（x ，y ）对应．（2）A={平面内的三角形}，B={平面内的圆}，对应法则是：作三角形的外接圆；（3）A=N ，B={0，1}，对应法则是：除以2的余数；（4）A={0，1，2}，B={4，1，0}，对应法则是f ：2x y x =→（5）A={0，1，2}，B={0，1，12}，对应法则是f ：x 1y x =→举一反三：【变式1】下列对应哪些是从A 到B 的映射？是从A 到B 的一一映射吗？是从A 到B 的函数吗？(1)A=N ，B={1，-1}，f ：x →y=(-1)x ；(2)A=N ，B=N +，f ：x →y=|x-3|；(3)A=R ，B=R ，;x 1x1y x :f -+=→(4)A=Z ，B=N ，f ：x →y=|x|；(5)A=N ，B=Z ，f ：x →y=|x|；(6)A=N ，B=N ，f ：x →y=|x|.类型五、函数解析式的求法例7. 求函数的解析式(1)若2()2f x x x =+，求(21)f x +；(2)若2(1)21f x x +=+，求()f x ；(3)已知1()2()32f x f x x -=+，求()f x ．举一反三：【变式1】已知f(x+1)=x 2+4x+2，求f(x)．类型六、函数的图象例8.作出下列函数的图象.（1）1({21012})y x x =-∈--，，，，；（2）211x y x +=-；（3）2|2|1y x x =-+．类型七、分段函数例9.函数22,1,(),12,2, 2.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩中，若()3f x =，则x 的值为（ ）．A ．1B ．1或32 C．【变式】已知函数2010()x ,x f x x ,x >⎧=⎨+≤⎩，若10()+()f a f =，则实数a 的值等于（）A ．－3B ．－1C ．1D ．3例10．已知函数()11f x x =-+（1）用分段函数的形式表示该函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．。
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函数知多少
3.下列各组函数表示同一函数的是（） A. f x x2 , g x
2
x
B. f x 1, g x x0
C. f x 3 x2 , g x
2
3x
D. f x x 1 , g x x2 1
傅里叶（Fouiier) 1768—1830
函数概念的发展
1837年，德国数学家狄利 克雷提出：“如果对于x的每一 个值，y总有一个完全确定的 值与之对应，则y是x的函数.”
狄利克雷（P.G.L.Dirichlet) 1805—1859
函数概念的发展
布尔巴基学派 school of Burbaki
最终在1939年，由布尔巴 基学派从“集合”的角度给出 了函数新定义：设f是集合X 与集合Y的关系，即f是笛卡 尔积的子集.若f满足对于每一 个x∈X，都存在唯一的一个 y，使得（x,y）∈f，则称f是 一个函数.
函数实概施念步的骤发展
莱布尼茨
1673年
伯努利
1718年
布尔巴基学派
傅里叶 欧拉 1822年
他用函数描述任一随着曲线上 的点而变化的量，如法线、切 线、弦长、横纵坐标等,从几 何的角度揭示了某些变量之间 存在的关系；
函数概念的发展
约翰●伯努利（J.Bernoulli） 1667—1748
到了1718年，微积分 迅猛发展，来自瑞士的科 学家伯努利（Bernoulli） 给出了函数的解析定义： 函数是变量和常量组合起 来的式子；
x 1
函数知多少
x 2, x 1
4.分段函数 f x { x2, 1 x 2 是几个函数？
2x, x 2
《函数概念的发展历程》教学设计
《函数概念的发展历程》教学设计一、教材分析函数的概念是新教材人教B版必修一第三章第一节的内容。
函数是中学数学中最重要的基本概念之一，也是今后继续研究数学的基础,其实质是揭示了客观世界中量的相互依存又相互制约的关系，函数思想更是广泛地渗透到数学研究的全过程.所以函数不仅是一个数学概念，而且是一种人们改造自然过程中必不可少的工具。
因此对函数概念的发展历程的了解，既能加深学生对函数概念的理解，又有着重要的现实意义。
二、学情分析学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。
然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。
因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于学生更深刻、更全面地理解函数的本质。
三、教学目标1、通过对函数概念的历史发展的了解，可以让学生对函数概念了解更加全面、理解更深刻，也可以激起学生对函数学习的兴趣。
2、通过学生们自己体验对资料的搜集、研读、整理、讨论，概括出函数概念的发展过程，可以形成对函数概念本质的切身体验。
3、在学生经历自主研究性学习后，逐步形成善于质疑，乐于探究，勤于思考、努力求知的积极态度，可激发他们探索、创新的欲望。
四、教学重点和难点教学重点：函数概念的产生背景、发展过程；教学难点：对函数概念演变过程的理解。
五、教学过程1、从认识函数概念的来龙去脉的重要性介绍研究意义设计意图：令同学们意识到研究函数概念的发展历程的重要性，激起同学们学习的积极性。
2、利用照片展示学生对素材的搜集、研读、整理、讨论过程。
设计意图：学生利用多种途径获取信息，并学会整理与归纳信息、判断和识别信息的价值，并恰当的利用信息，从过程中可以培养学生收集、分析和利用信息的能力。
通过照片再现过程情境，增强学生自主探究的自信心和成就感，激励学生以积极的情感、饱满的热情投入到学习中。
部编人教高中数学必修1《函数及其表示阅读与思考 函数概念的》员鸽教案PPT课件 一等奖新名师优质课比赛
员鸽|共 3 页第 1 页《函数的单调性》教学设计一、教学目标 1、知识与技能：理解函数单调性和单调函数的意义；会判断简单函数的单调性。
2、过程与方法：培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力；体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。
3、情感态度与价值观培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
4．教学的重点和难点（1）教学重点：函数单调性的概念，判断函数的单调性（2）教学难点：函数单调性概念的建立，根据定义判断证明函数的单调性。
二、教学方法本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容教学目标和学生的认知水平，采用启发式教学，从学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
三、教学手段教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
四、教学过程：为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握证法，适当延展；归纳小结（一）创设情境，引入课题；概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本阶段的教学中，我从某一天天气温度随时间变化的例子出发，而不是从抽象的语言入手来引入函数的单调性.课上我引导学生观察某地区某一天的气温变化曲线图，引导学生体会在某些时段温度升高，某些时段温度降低.|共 3 页第 2 页然后，我指出生活中我们关心很多数据的变化，并让学生举出一些实际例子. 随后进一步引导学生归纳：所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．设计意图：通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。
人教A版《普通高中教科书数学必修第一册》第三章“文献阅读与数学写作”《函数的形成与发展》教案
函数的形成与发展一、内容及内容解析人教A版《普通高中教科书数学必修第一册》第三章“文献阅读与数学写作”第1、2课时。
高中阶段一共安排了5次“文献阅读与数学写作”,本节是本栏目的第一节，位于人教A版数学必修第一册第三章章末，本章小结之前。
教材依次安排了《函数的概念》--“阅读与思考”《函数概念的发展历程》--《函数的基本性质》--“文献阅读与数学写作”《函数的形成与发展》。
本节以函数的形成与发展为载体，开展文献阅读，体验文献综述的写作过程与方法，使学生恰当地借鉴历史，以帮助学生更好地理解该概念，同时可对学生了解文献综述的写作方法形成模板。
高一学生已经学习函数的概念及其基本性质，了解函数的概念，但对函数的理解片面，虽然对“任意对唯一”记忆深刻，但对“对应法则”理解不到位。
学生具备阅读、搜索资料与写作的能力，但不读数学文献，不会文献综述写作，因此课前给学生两篇文献进行阅读，上课共同辨析“人们对不同时期的函数概念”的理解，初步了解函数的形成与发展。
教给学生文献写作的方法，并开展读书报告会，促使学生查找文献，在学生阅读与写作的过程中，既能深度理解函数概念，又能实现文献写作的目标。
二、目标及目标确立基于以上分析，确立以下学习目标：1.通过课前文献阅读与梳理文献中函数概念发展史，辨析“人们对各个时期的函数概念的理解”，了解函数形成、发展的历史，感受函数不断严谨化的历程，落实逻辑推理的核心素养。
2.通过“文献综述写作方法”的介绍，分析两篇文献综述总体的写法，结合函数形成与发展的内容，确定选题，尝试设计总体框架。
3.通过读书报告会，分享各组的文献综述，通过学生互评，教师点评，体验文献综述的写作过程与方法。
4.通过广泛阅读，进一步感受“浓缩”重演的函数概念发展历程，感受数学家的精神。
三、教学问题诊断本节课的数学写作指向什么？课堂激发学生对函数的形成与发展的兴趣，当堂写片段感受？还是具体分析一篇文献的结构？体验文献综述的写作过程与方法侧重哪一方面？这些问题使我陷入了纠结。
人教A版高中数学必修1《1.2 函数及其表示 阅读与思考 函数概念的发展历程》_2
函数概念的发展简史1、函数概念的萌芽时期（自然函数、代数函数时期）[1] 函数思想是随着数学开始研究事物的运动变化而出现的。
而事实上，早期的数学是不研究事物的运动变化的。
古希腊科学家亚里士多德曾经认为，数学研究的是抽象的概念，而抽象的概念来自事物静止不动的属性。
例如，数学中的数、线、形等数学对象都不包括运动，运动变化是物理学研究的对象等等。
受其影响，直至14世纪，数学家们才逐渐开始研究物体的运动问题。
到了16世纪，由于实践的需要，自然科学开始转向对运动的研究，自然中各种变化和各种变化着的物理量之间的关系也就成为数学家关注的对象。
伽利略就是最早开展这方面研究的科学家之一，在他的著作里多处使用比例的语言表达了量与量之间的依赖关系。
例如，从静止状态自由下落的物体所经过的距离与所用时间的平方成正比，这正是函数概念所表达的思想意义。
16世纪法国数学家笛卡尔在研究曲线问题时，发现了量的变化及量与量之间的依赖关系，并在数学中引进了变量思想，在他的《几何学》中指出：所谓变量是指：“不知的和未定的量”，成为数学发展的里程碑，也为函数概念的产生奠定了思想基础。
直到17世纪下半期，牛顿—莱布尼兹的微积分问世时，数学上还没有明确的函数概念。
把“函数”（function）一词最早用作数学术语的是莱布尼兹，当时，莱布尼兹用“函数”（function）一词表示幂，如都叫函数。
后来又用函数表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量。
例如曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等等。
从这个定义看出，莱布尼兹利用几何概念，在几何的范围内揭示了某些量之间的依存关系。
可以说出现了函数概念的一点端倪，但函数的一般定义仍没有诞生。
原因在于：数学家们一直在同具体的函数打交道，对具体函数或求导，或积分，讨论各种各样的具体问题，并没有感到有定义一般函数概念的需要。
2、函数概念的初步形成（解析函数时期）[2] 18世纪微积分的发展促进了函数概念“解析定义”的发展。
人教A版高中数学必修1《1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程》5
函数观点是所有数学观点中最重要的观点之一，纵观300年来函数观点的发展，众多半学家从会合、代数、直至对应、会合的角度不停给予函数观点以新的思想，进而推动了整个数学的发展。
本文拟经过对函数观点的发展与比较的研究，对函数观点的教课进行一些探究。
1、函数观点的纵向发展1．1初期函数观点——几何观点下的函数十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎重新到尾包含着函数或称为变量的关系这一观点，用文字和比率的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的分析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依靠关系，但因为当时还没有意识到需要提炼一般的函数观点，所以直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹成立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大多半函数是被看作曲线来研究的。
1．2十八世纪函数观点——代数观点下的函数1718年约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)才在莱布尼兹函数观点的基础上，对函数观点进行了明确立义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数观点中所说的任一形式，包含代数式子和超越式子。
x世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)就给出了特别形象的，向来沿用到现在的函数符号。
欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式构成的分析表达式。
他把约翰·贝努利给出的函数定义称为分析函数，并进一步把它划分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“任意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更广泛、更拥有宽泛意义。
1．3十九世纪函数观点——对应关系下的函数1822年傅里叶(Fourier，法，1768－1830)发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，进而结束了函数观点能否以独一一个式子表示的争辩，把对函数的认识又推动了一个新的层次。
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函数产生和发展背景
二、由工业革命引发的科学革命
牛顿————万有引力定律 万有引力 定律出现后，才正式把研究天体的运动建 立在力学理论的基础上，从而创立了天体 力学。
函数的产生和发展背景
函数的表示------大航海时代
17世纪大炮图
伽利略运动的研 究：如计算天体的位置；远距离航海中对 经度和纬度的测量；炮弹的速度对于高度 和射程的影响等。诸如此类的问题都需要 探究两个变量的关系，并根据这种关系对 事物的变化规律作出判断。如根据炮弹的 速度推测它能到达的高度和射程，这正是 函数产生和发展的背景。
量随之变化就可以了。
1755年，瑞士数学
家欧拉将函数定义为“如
果某些变量，以一种方式
依赖于另一些变量，我们
将前面的变量称为后面变
瑞士数学家欧拉
量的函数”
函数概念的模糊阶段
数学家们对函数表示方法产生了 争论，当时很多数学家对于不用公式 表示函数很不习惯，甚至抱怀疑态度。 函数的概念仍然是比较模糊的。
6 本节学习的函数的概念是（ D ）提出的 A 17世纪 B 18世纪
C 19世纪初 D 19世纪70年代
小组活动
每组六名同学，分别代表文中提到的 六位数学家，用连贯的语言说出函数概念 的发展历程。两分钟时间准备。
科学是人类智慧的结晶， 是属于全人类的财富，任何事物 的产生发展过程都是需要众多伟 大的研究者经过漫长的时间研究 得出的。
D 1000
3“function”最初是由哪位数学家提出的（B ）
A 李善兰
B 莱布尼兹
C 欧拉
D 狄利克雷
当堂检测
4 哪位数学家强调函数要用公式表示（ B ）
A 伟烈亚力 B 约翰伯努利
高中数学《第一章集合与函数概念1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的...》114教案教学设计讲
第一章《阅读与思考函数概念的发展历程》高中数学人教A版必修1一、教学目标(1)明确函数的三种表示方法;(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数;(3)通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用;(4)纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识.二、重点难点教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念.教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数的表示及其图象.”就是函数的解析式的片面错误认识.三、教学过程教学活动活动1【导入】函数的表示方法教学过程:一、引入课题1.复习:函数的概念;2.常用的函数表示法及各自的优点:(1)解析法;(2)图象法;(3)列表法.二、新课教学(一)典型例题例1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用三种表示法表示函数y=f(x).分析:注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.注意:1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法:必须注明函数的定义域;3图象法:是否连线;4列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.巩固练习:课本P27练习第1题例2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表:第一次第二次第三次第四次第五次第六次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析:本例应引导学生分析题目要求,做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借助什么工具?解:(略)注意:1本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成绩的变化特点;2本例能否用解析法?为什么?巩固练习:课本P27练习第2题例3.画出函数y=x.解:(略)巩固练习:课本P27练习第3题拓展练习:任意画一个函数y=f(x)的图象,然后作出y=f(x)和y=f(x)的图象,并尝试简要说明三者(图象)之间的关系.课本P27练习第3题例4.某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.分析:本例是一个实际问题,有具体的实际意义.该公共汽车招手就停,所以行车里程可以不取整数.解:设票价为y元,里程为x公里,同根据题意,自变量x的取值范围是(0,20].由“招手即停”公共汽车票价制定的规则,可得到以下函数解析式:根据这个函数解析式,可画出函数图象,图略。
《阅读与思考 函数概念的发展历程》PPT课件(广东省市级优课)
总结：两个变量相互制约，可以通过一 个关系式来表示，这就是对函数早期的 认识
【函数概念的萌芽】
十七世纪 《两门新科学》 从头到 尾书写着函数或称为变量的关系这 一概念, 并用文字和比例的语言表 达函数的关系
“两个等体积圆柱体的面积之比，等于 它们高度之比的平方根。”
“两个侧面积相等的正圆柱，其体积 之比等于它们高度之反比。”
伽俐略
从我们现在的角度看，这些描述都是在说两个 量之间的关系，表明伽利略已涉及并讨论变量 和函数，但他并没有做出一般的抽象，并且也 没有把文字叙述表示为符号形式。
函数概念的第一次抽象认识（解析式说）
二、探究研究，形成概念
案例 1:圆的面积 S 与圆半径 r 的关系;
案例 2:锐角 α与锐角 β互余, α与 β的关系;
典函数定义 。 函数的定义：
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于 x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应， 那么，我们就说x是自变量，y是x的函数
（这是初中时学过的定义）
四、举例加深理解 案例7：一个信封上有两个不同的
地址，那邮递员能送到吗？
因为：一对二
函数的注意点：“一对一”、“多对一”；
函数概念的发展历程
人教A版
必修1
教学背景：
我们从初中开始正面学习函数，有一次函
数、二次函数、反比例函数。
函数是什么？
函数概念是数学概念中最重要的概念之 一，纵观 300多年来函数概念的发展，众多 数学家从几何、代数、运动、集合等不同的 角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推 动了整个数学的发展。
一、创设情境，引出课题
笛卡尔
微积分
“流量”表示变量之 间的依赖关系，
部编人教高中数学必修1《函数与方程阅读与思考 中外历史上》李娜教案PPT课件 一等奖新名师优质课比赛教学
阅读与思考中外历史上的方程求解萝北县高级中学李娜一、设计理念按照新课程教学理念，“数学教学是数学活动的教学；在这个活动中，使学生掌握一定的数学知识和技能，同时身心获得一定的发展，形成良好的思想品质。
”数学课已不仅仅是一些数学知识的学习，更要体现知识的认识和发展过程，同时要根据教学需要，关注学生已有的知识基础和学习经验，精心设计问题情境，激发学生学习兴趣，引导学生积极探索，在探索过程中获得对数学的积极体验和应用。
学生学习和使用“阅读与思考”，了解数学史，学习用数学的观点观察现实，构建数学模型，培养数学阅读能力和独立思考的能力，二、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一91页的阅读与思考，主要内容是介绍中外历史上方程的发展及一些数学家的主要成就，是数学史的一部分。
引导学生通过阅读，自己发现问题，提出问题，通过数学实践，主动思维，独立思考，掌握科学的思维方法，了解数学文化的背景，加深学生对数学基础知识的理解和掌握，提高数学思维能力，提高应用数学知识解决实际问题的能力。
三、学情分析本节课的授课对象是普通高中高一学生，学生已经学习了一元二次方程，对方程有了初步的了解，通过本节内容对以后的教学起到了很好的铺垫作用，但针对高一学生，学生的动手，动脑能力，以及观察、归纳能力都还没有很全面的基础，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望，将学生置于主动参与的地位。
|四、教学目标1、了解中外历史上的方程求解的那些人，那些事，那些方法。
2、了解历史上方程及方程求解历程。
|3、了解中国人在方程以及方程求解上的巨大贡献五、教学重难点：培养学生对数学的兴趣和情感激发学生的学习欲望，探究了解方程的产生和发展，了解数学史，从而进一步调动学生学习数学的积极性。
|六、教学手段 |PPT，黑板，粉笔七、教法学法在教法上，本节课采用以学生为主体的探究式教学方法，采用“设问—探索—归纳”层层递进的方式来突出。
阅读与思考函数概念的发展历程
函数概念发展历程的阅读材料函数概念的起源 , 最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。
再也没有其他的例子 , 如同像动点作曲线运动时 , 它的 x 坐标和 y 坐标相互依依赖并同时发生变化那样，更有利于促使人们产全变量、因变量以产生函数的概念了 . 而这又正是解析几何学的主耍内容 .14 世纪时 , 法国数学家奥莱斯姆 (Oresme,1323-1382) 在表示依时间 t 而变的变数 x 时, 他画出了图形 , 把 t 称为“经度 (longitude),把 x 称为“纬度” (latitude) 。
但是他并没有连续的概念 , 只是建立了孤立的点与点之简的对应 . 这种方法被开普勒 (Kepler, 德,1571-1630) 和伽利略(Galilei, 意大利 ,1564 -1642) 应用于关于天体运行方面的研究。
17 世纪的绝大部分函数是被当作曲线来研究的 , 而曲线被看作运动着的点的路径这样的思想通过牛顿等人的工作而获得了认可与接受。
牛顿在他的《求曲边形的面积》中说 :“我认为这里的数学量 ,不是由小块合成的 , 而是由连续运动描出的”。
英国数学家哈略特 (Harriot,1560 一 1621)应用了直角坐标的概念求出了曲线的方程 .当坐标系一经给定 , 则某些几何问题便可以用代数的形式表现出，这正是解析几何学的主耍方法 . 这样, 函数的概念便又和轨迹的代数表达式发生了密切联系 . 法国著名的数学家费尔玛 (Fermat,1601-1665)在他的《平面、立体曲线导论》中 , 取相交的直线建立坐标系 , 导出了直线、圆还有其它一些圆锥曲线的方程。
法国著名数学家笛卡尔(Descartes, 1596 -1650) 在他的《几何学》中明确地给出了点的坐标概念 , 由此当点 P 根据某特定条件运动时 , 它的两个坐标之间的互变关系可用曲线的方程表示。
人们通常把变量概念的引入和解析几何的诞生归功与笛卡尔 , 他确实让用代数关系式表示变化的量间的关系( 主要是曲线 ) 的方法逐渐流行起来了。
人教A版高中数学必修一阅读与思考《函数概念的起源与演变》课件
人 教 A 版 高中 数学必 修一 阅 读 与 思考《 函数概 念的起 源与演 变》课 件(共1 8张PPT )
二、函数概念的发展与完善
2. 以“对应”为基础的函数概念——“对应说”
1, x Q 1829年，狄利克雷（Dirichlet）给出了狄利克雷函数 D(x)= 0, x Q
研究“算”
研究“概念、性质、结构”
一、函数概念的起源 二、函数概念的发展与完善 三、初、高中两种函数定义的比较 四、函数概念是如何引进到中国的
一、函数概念的起源
十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，带来一段科学与艺术革命时期， 揭开了近代欧洲历史的序幕，
十七世纪中叶，笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念，创建了解析几何 牛顿于1665年开始研究微积分，用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系
······定义8
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有两个互相联系的变量，一个变量的数值可以在 某一范围内任意变化，这样的变量叫做自变量，另一 个变量的数值随着自变量的数值而变化，这个变量称 为因变量，并且称因变量为自变量的函数．
······定义6
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······定义7
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函数的概念及其表示+复习课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
三种表示方法的优点
解析法
①函数关系清楚、精确②容易从自变量的值
求出其对应的函数值③便于研究函数的性质。
解析法是中学研究函数的主要表达方法。
图象法
能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今
后利用数形结合思想解题的基础。
列表法
函数的概念及其表示复习课
函数概念的发展历史
1.早期函数概念--几何观念下的函数
1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示幂，后来用来表示随曲线的变化而变化的几何量，如坐标、
切线等。
2.十八世纪函数概念--代数观念下的函数
1718年，约翰伯努利在此基础上对函数概念进行了定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，
不必通过计算就知道当自变量取某些值时函
数的对应值，当自变量的值的个数较少时使
用，列表法在实际生产和生活中有广泛的应
用。
例4：求下列函数的值域.
(1) y x 2 x 3, x [0,3)；
2
3x 1
(2) y
； (3) y 2 x x 1.
x 1
如图所示 , x 1时有最小值为 2；
例4：求下列函数的值域.
(3) y 2 x x 1
令 x 1 t，则x t 1
y 2 t 1 t t 0
2
2t t 2
2
2
1 15
2 t
8
4
换元法
1
15
t 时，y有最小值为
4
8
15
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他以前的绰号都很奇怪，一个是“苦瓜”，一个是“脑筋 劈哩啪啦叫的人”(意思就是神经病)
苦瓜从上面的表情包上可以看出一些端倪——小时候的柯 西长得可太严肃了。他平常像一颗植物一样，静静啥也不 说。如果说了什么，也就是很简短的那种，正常智商的人 基本都无法理解他在说什么....
想也知道，和这种大佬沟通，随时都会感受到智商受辱的。 于是小伙伴们都叫他“苦瓜”了。
1822年傅里叶发现某些函数也 已用曲线表示，也可以用一个式子 表示，或用多个式子表示，从而结 束了函数概念是否以唯一一个式子 表示的争论，把对函数的认识又推 进了一个新层次。
傅里叶
Fourier 1768---1830 法国数学家
傅里叶与拿破仑
拿破仑，是少数几个对军人与科学家持同等狂热兴趣 的人。很多科学界的著名人物都受到拿破仑的重用并授予 荣誉。
的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的奴隶， 小欧拉没有与教会和上帝“保持一致”，学校便开除了他。但 是，在小欧拉心中，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也 记不住?他又想，上帝是个独裁者，连提出问题都成了罪。他又 想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。
函数概念
3.十九世纪函数概念── 对应关系下的函数
欧拉
L．Euler 1707－1783 会学校里读书。有一次，他向老师提问，天上 有多少颗星星。其实，天上的星星数不清，是无限的。这个老 师不懂装懂，回答欧拉说:“天上有多少颗星星，这无关紧要， 只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很 奇怪:“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星 一颗一颗镶嵌到天幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天 幕，他为什么忘记了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?” 老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。 在欧拉
纵坐标、切线长等曲线上点的有关 几何量。与此同时，牛顿在微积分 的讨论中，使用 “流量”来表示 变量间的关系。
莱布尼兹
G．W．Leibniz 1646－1716 德国数学家
函数概念
2、十八世纪函数概念—— 代数观念下的函数
1718年约翰·柏努利在莱 布尼兹函数概念的基础上对函 数概念进行了定义：“由任一 变量和常数的任一形式所构成 的量。” 强调函数要用公式来 表示。
其后几年中相差34岁的笛卡尔和克莉丝汀相爱 国 王发现并处死了笛卡尔 在最后笛卡尔写给克莉丝汀 的情书中出现了r=a（1-sinθ）的数学坐标方程， 解出来是个心形图案，就是著名的“心形线”，这 封情书最后被收录到欧洲笛卡尔博物馆中。
笛卡尔的心形曲线
r=a(1-sinθ)。一封情书 与公主的爱情故事
函数概念
人教A版必修一 函数概念的发展历程
1.早期函数概念——几何观念下的函数
2、十八世纪函数概念—— 代数观念下的函数
3.十九世纪函数概念── 对应关系下的函数
4.现代函数概念── 集合论下的函数
1.早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略在《两 门新科学》一书中，几乎全 部包含函数或称为变量关系 的这一概念，用文字和比例
凄美的爱情故事百岁山广告背后的真相
1650年在斯德哥尔摩街头，52岁的笛卡尔落魄无 比，穷困潦倒又不愿意请求别人的施舍，每天只 是拿着破笔破纸研究数学题。
1650年发生在斯德哥尔摩街头发生的一件事， 52岁的笛卡尔邂逅了18岁瑞典公主克莉丝汀，
道别后的几天笛卡尔收到通知，国王要 求他做克莉丝汀公主的数学老师。
的语言表达函数的关系。
伽俐略G.Galileo， 1564-1642 意大利数学家
1.早期函数概念——几何观念下的函数
1643年前后笛卡尔在他的解析几何 中，已注意到一个变量对另一个变量 的依赖关系，但因当时尚未意识到要 提炼函数概念，大部分函数是被当作 曲线来研究的。
笛卡尔 Descartes 1596-1650 法国数学家
柯西
Cauchy 1789-1857 法国科学家
在历史上，有一位数学家叫欧拉，他的徒弟叫拉格朗日，他 徒弟的徒弟叫柯西。
这个徒弟的徒弟虽然比不上他，但是还是写了些东西的做出 了一些成就的，他....
他的著作多达28卷 承包了那个时期的数学公式的前缀... 他开创了积分几何，首先证明了阶数超过了的矩阵有特征值， 成功地建立了极限论，首先阐明了有关定积分的概念，并且 用这种积分来研究多种多样的问题等等等等这位鼎鼎有名的 数学大家就是...柯西。
当θ=0度时，—— A点
当θ=90度 时，——B点
当θ=180度 时，——C点
当θ=270度 时，——D点 把A，B，C，D四 点用弧线连接起 来形成的线就是 有名的心脏线
1.早期函数概念——几何观念下的函数
1673年，莱布尼兹首次使用
“function”(函数)表示“幂”，后
来他用该词表示曲线上点的横坐标、
1821年，柯西从定义变量起给出 了定义：“在某些变数间存在着一定 的关系，当一经给定其中某一变数的 值，其他变数的值可随着而确定时， 则将最初的变数叫自变量，其他各变 数叫做函数。”在定义中，首先出现 了自变量一词，同时指出对函数来说 不一定要有解析表达式。不过他仍然 认为函数关系可以用多个解析式来表 示，这是一个很大的局限。
1802年傅立叶，他被拿破仑任命为格勒诺布尔市的行 政长官，1809年傅立叶被拿破仑授予帝国贵族头衔，可以 说拿破仑对傅立叶可是非常非常的器重，一定程度上甚至 可以说是拿破仑成就了傅立叶。稍后发生的事情我非常佩 服拿破仑。
（实际上叫苦瓜一定是因为周围的人还是爱他的） 至于“脑筋劈哩啪啦叫的人”，是因为当时法国正在流行 社会哲学，但是柯西闲着没事的时候看的课外书是《拉格 朗日数学全集》、《效法基督》这种画风的.... 而且当时他学的还是工科的道路规划，所以会被这么叫， 也不奇怪了...
函数概念
3.十九世纪函数概念── 对应关系下的函数
约翰·伯努利 （Bernoulli Johan） 1667-1748 瑞士数学家
函数概念
2、十八世纪函数概念—— 代数观念下的函数
18世纪中叶欧拉给出了定 义：“一个变量的函数是由这 个变量和一些数即常数以任何 方式组成的解析表达式。” 欧拉给出的函数定义比约 翰·贝努利的定义更普遍、更 具有广泛意义。