中考数学考点总动员系列专题34四边形含解析2

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2017中考数学复习：四边形考点信息_考点解析

2017中考数学复习：四边形考点信息_考点解析四边形考点一文为各位考生朋友们提供了四边形定义、四边形顺口溜、四边形试题及答案等，详细信息如下：四边形定义由不在同一直线上的不交叉的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。

凸四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。

平行四边形(包括：普通平行四边形，矩形，菱形，正方形)。

梯形(包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形)。

凸四边形的内角和和外角和均为360度。

凹四边形凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。

依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。

不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。

若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形;若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形;若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

不稳定性四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。

但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。

四边形顺口溜平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形里面作高线，平移一腰试试看。

平行移动对角线，补成三角形常见。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

四边形练习题及答案一、选择题矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征是( )A.对角相等B.对角线互相平分C.对角线相等D.对边相等□ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，则对角线AC长为( )A.5cmB.6cmC.8cmD.10cm□ABCD中,△A=43°，过点A作BC和CD的垂线，那么这两条垂线的夹角度为( )A.113°B.115°C.137°D.90°下列命题：① 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形;② 对角线互相平分的四边形是平行四边形;③ 四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，那么这个四边形ABCD是平行四边形;④一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.其中正确命题的个数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个。

四边形综合篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结

四边形综合--中考数学必考考点总结+题型专训知识回顾1.平行四边形的性质：①边的性质：两组对边分别平行且相等。

②角的性质：对角相等，邻角互补。

③对角线的性质：对角线相互平分。

即对角线交点是两条对角线的中点。

④对称性：平行四边形是一个中心对称图形，绕对角线交点旋转180°与原图形重合。

⑤面积计算：等于底乘底边上的高。

等底等高的两个平行四边形的面积相等。

2.平行四边形的判定：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

∵AB∥DC，AB=DC，∴四边行ABCD是平行四边形②两组对边分别相等（两组对边分别平行）的四边形是平行四边形。

符号语言：∵AB=DC，AD=BC（AB∥DC，AD∥BC），∴四边行ABCD是平行四边形．③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠，∴四边行ABCD是平行四边形④对角线相互平行的四边形是平行四边形。

∵OA=OC，OB=OD，∴四边行ABCD是平行四边形3.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

4.矩形的判定：（1）直接判定：有三个角（四个角）都是直角的四边形是矩形。

（2）利用平行四边形判定：①定义：有一个角是直角（邻边相互垂直）的平行四边形是矩形。

②对角线的特殊性：对角线相等的平行四边形是矩形。

5.菱形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②菱形的四条边都相等。

③菱形的对角线相互垂直，且平分每一组对角。

④菱形既是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形。

对称中心为对角线交点，对称轴为对角线所在直线。

⑤面积计算：除了用计算平行四边形的面积计算方法面积，还可以用对角线乘积的一半来计算面积。

6.菱形的判定：（1）直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。

中考数学考点总动员系列专题34四边形(含解析)

考点三十四：四边形聚焦考点☆温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。

四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。

推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于∙-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

二、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

四边形综合(解析版)--中考数学抢分秘籍(全国通用)

四边形综合--中考数学抢分秘籍（全国通用）概率预测☆☆☆题型预测解答题☆☆☆①三角形全等的判定考向预测②特殊四边形的判定四边形综合题是全国中考常考题型。

好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。

1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主，除了考查四边形的性质和判定外，还会结合三角形的全等进行考查。

2．从题型角度看，以解答题为主，分值8-12分左右！平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等对角线互相垂直平分，每一条菱形对边平行，四边相等对角相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分、相等，正方形对边平行，四边相等四个角都是直角每一条对角线平分一组对角平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定图形判定平行四边形1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形1：有三个角是直角的四边形是矩形2：有一个角是直角的平行四边形是矩形3：对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形1：四边都相等的四边形是菱形。

2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形1：有一组邻边相等的矩形是正方形2：有一个角是直角的菱形是正方形3：对角线互相垂直的矩形是正方形4：对角线相等的菱形是正方形典例1．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE ＝DF ．求证：(1)△ABE ≌△CDF ；(2)四边形AECF 是平行四边形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB CD ∥，AB CD =，根据平行线的性质可得ABE CDF ∠=∠，结合已知条件根据SAS 即可证明ABE CDF △≌△；（2）根据ABE CDF △≌△可得,AE CF AEB CFD =∠=∠，根据邻补角的意义可得AEF CFE ∠=∠，可得AE CF ∥，根据一组对边平行且相等即可得出．【详解】（1）证明：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，∴ABE CDF ∠=∠，又BE DF =，∴ABE CDF △≌△（SAS ）；（2）证明：∵ABE CDF △≌△，∴,AE CF AEB CFD=∠=∠AEF CFE∴∠=∠∴AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．典例2．如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，EF 过点O 且分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接DE 、BF ．求证：(1)△DOF ≌△BOE ；(2)DE =BF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形ABCD 的性质，利用ASA 即可证明△DOF ≌△BOE ；（2）证明四边形BEDF 的对角线互相平分，进而得出结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，O 是BD 的中点，∴AB ∥DC ，OB =OD ，∴∠OBE =∠ODF ．在△BOE 和△DOF 中，OBE ODF OB OD BOE DOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOE ≌△DOF （ASA ）；（2）证明：∵△BOE ≌△DOF ，∴EO =FO ，∵OB =OD ，∴四边形BEDF 是平行四边形．∴DE =BF ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，证明三角形全等是解决问的关键．典例3．如图，▱ABCD 中，E 为BC 边的中点，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，延长EC 至点G ，使CG =CE ，连接DG 、DE 、FG ．(1)求证：△ABE ≌△FCE ；(2)若AD =2AB ，求证：四边形DEFG 是矩形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由平行四边形的性质推出∠EAB =∠CFE ，利用AAS 即可判定△ABE ≌△FCE ；（2）先证明四边形DEFG 是平行四边形，【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，再证明DF =EG ，即可证明四边形DEFG 是矩形．∴AB CD ，∴∠EAB =∠CFE ，又∵E 为BC 的中点，∴EC =EB ，∴在△ABE 和△FCE 中，EAB CFE BEA CEF EC EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△FCE (AAS)；（2）证明：∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =CF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =DC ，∴DC =CF ，又∵CE =CG ，∴四边形DEFG 是平行四边形，∵E 为BC 的中点，CE =CG ，∴BC =EG ，又∵AD =BC =EG =2AB ，DF =CD +CF =2CD =2AB ，∴DF =EG ，∴平行四边形DEFG 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△ABE ≌△FCE 是解题的关键．典例4．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为EF ．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．【答案】(1)证明见解析(2)163cm【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =xcm ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．【详解】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CD PDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴PDE CDF △≌△（ASA ）；（2）如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴223GF EF EG =-=cm,设AE =x cm ，∴EP =x cm ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x cm ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+，解得，76x =，∴BC =BG +GC =77163663++=(cm ）．【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．典例5．如图，四边形ABCD 是菱形，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．(1)求证：△ABE ≌△ADF ；(2)若AE =4，CF =2，求菱形的边长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用AAS 即可证明△ABE ≌△ADF ；（2）设菱形的边长为x ，利用全等三角形的性质得到BE =DF =x −2，在Rt △ABE 中，利用勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD （菱形的四条边相等），∠B =∠D （菱形的对角相等），∵AE ⊥BC AF ⊥CD ，∴∠AEB =∠AFD =90°（垂直的定义），在△ABE 和△ADF 中，AEB AFD B D AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF (AAS)；（2）解：设菱形的边长为x ，∴AB =CD =x ，CF =2，∴DF =x −2，∵△ABE ≌△ADF ，∴BE =DF =x −2（全等三角形的对应边相等），在Rt △ABE 中，∠AEB =90°，∴AE 2+BE 2=AB 2（勾股定理），∴42+(x −2)2=x 2，解得x =5，∴菱形的边长是5．【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．典例6．如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC <．点D 是AC 的中点，过点D 作DE AC ⊥交BC 于点E .延长ED 至点F ，使得DF DE =，连接AE 、AF 、CF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若14BE EC =，则tan BCF ∠的值为_______．【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；（2）设BE a =，则4EC a =，根据菱形的性质可得4AE EC a ==，AE FC ∥，勾股定理求得AB ，根据BCF BEA ∠=∠，tan BCF ∠=tan AB BEA BE∠=，即可求解．【详解】（1）证明： AD DC =，DE DF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵DE AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解： 14BE EC =，设BE a =，则4EC a =，四边形AECF 是菱形；4AE EC a ∴==，AE FC ∥，∴BCF BEA ∠=∠，在Rt ABE △中，()2222415AB AE BE a a a =-=-=，∴tan BCF ∠=15tan 15AB a BEA BE a∠===，故答案为：15．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．典例7．如图，已知四边形ABCD 是正方形，G 为线段AD 上任意一点，CE BG ⊥于点E ，DF CE ⊥于点F ．求证：DF BE EF =+．【答案】证明见解析【分析】先根据正方形的性质可得,90BC CD BCD =∠=︒，从而可得90BCE DCF ∠+∠=︒，再根据垂直的定义可得90BEC CFD ∠=∠=︒，从而可得CBE DCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理证出BCE CDF ≅ ，根据全等三角形的性质可得,BE CF CE DF ==，最后根据线段的和差、等量代换即可得证．【详解】证明：四边形ABCD 是正方形，,90BC CD BCD ∴=∠=︒，90BCE DCF ∴∠+∠=︒，,CE BG DF CE ⊥⊥ ，90BEC CFD ∴∠=∠=︒，90BCE CBE ∴∠+∠=︒，CBE DCF ∴∠=∠，在BCE 和CDF 中，90BEC CFD CBE DCF BC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCE CDF AAS ∴≅ ，,BE CF CE DF ∴==，CE CF EF BE EF ∴=+=+，DF BE EF ∴=+．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．典例8．四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH 称为中点四边形．（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ⊥时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C ∠=∠=︒，且BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。

中考几何数学：四边形复习考点详解

中考几何数学：四边形复习考点详解中考几何数学：四边形复习考点详解一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。

2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

9、n边形的对角线共有条。

说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。

11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。

说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。

无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。

二、基本概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。

2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。

3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。

4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。

2023年中考数学专题《四边形压轴综合问题》必刷真题考点分类专练含答案解析

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）专题33四边形压轴综合问题一、解答题1．（2022·甘肃兰州·中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角△DCG 的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；(1)【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．(2)【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．(3)【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB=4时，请你求出△ADP周长的最小值．【答案】(1)答案见解析(2)45°，理由见解析(3)4+45，理由见解析【解析】【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP；（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP （SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案；（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案．(1)解：AE＝EP，理由如下：取AB的中点F，连接EF，∵F、E分别为AB、BC的中点，∴AF＝BF＝BE＝CE，∴∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∵CP平分∠DCG，∴∠DCP＝45°，∴∠ECP＝135°，∴∠AFE＝∠ECP，∵AE⊥PE，∴∠AEP＝90°，∴∠AEB+∠PEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠PEC＝∠BAE，∴△AFE≌△ECP（ASA），∴AE＝EP；(2)解：在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，∵AF＝EC，AE＝EP，∴△FAE≌△CEP（SAS），∴∠ECP＝∠AFE，∵AF＝EC，AB＝BC，∴BF＝BE，∴∠BEF＝∠BFE＝45°，∴∠AFE＝135°，∴∠ECP＝135°，∴∠DCP＝45°；(3)解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，由（2）知，∠DCP＝45°，∴∠CDG＝45°，∴△DCG是等腰直角三角形，∴点D与G关于CP对称，∴AP+DP的最小值为AG的长，∵AB＝4，∴BG＝8，由勾股定理得AG＝45，∴△ADP 周长的最小值为AD +AG ＝4+45．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2022·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，∠BAD = 120°，AB = 6，连接BD ．(1)求BD 的长；(2)点E 为线段BD 上一动点（不与点B ，D 重合），点F 在边AD 上，且BE =3DF ，①当CE 丄AB 时，求四边形ABEF 的面积；②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE +3CF 的值是否也最小？如果是，求CE +3CF的最小值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)BD =63；(2)①四边形ABEF 的面积为73；②最小值为12【解析】【分析】（1）证明△ABC 是等边三角形，可得BO = 33，即可求解；（2）过点E 作AD 的垂线，分别交AD 和BC 于点M ，N ，根据菱形的面积可求出MN =33，设BE =x ，则EN =12x ，从而得到EM =MN -EN =33−12x ，再由BE =3DF ，可得DF =33x ，从而得到四边形ABEF 的面积s = S△ABD - S △DEF +2734，①当CE ⊥AB 时，可得点E 是△ABC 重心，从而得到BE =CE =23BO =23×33=23，即可求解；②作CH ⊥AD于H ，可得当点E 和F 分别到达点O 和点H 位置时，CF 和CE 分别达到最小值；再由s =+2734，可得当x =33，即BE =33时， s 达到最小值，从而得到此时点E 恰好在点O 的位置，而点F 也恰好在点H 位置，即可求解．(1)解∶连接AC ，设AC 与BD 的交点为O ，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD ，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD = 120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等边三角形，=33，∴BO=AB▪sin60°=6×32∴BD=2BO=63；(2)解：如图，过点E作AD的垂线，分别交AD和BC于点M，N，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=63；菱形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；BE∴EN=12∵S菱形ABCD=1AC⋅BD=MN⋅BC，2∴MN=33，设BE =x ，则EN =12x ，∴EM =MN -EN =33−12x ，∵S 菱形ABCD = AD ▪MN =6×33=183，∴S △ABD = 12S 菱形ABCD =93，∵BE =3DF ，∴DF =BE3=33x ，∴S △DEF =12DF ▪EM =12⋅33x 33−12x =−312x 2+32x ，记四边形ABEF 的面积为s ，∴s = S△ABD - S △DEF =93-（−312x 2+32x ）+2734，∵点E 在BD 上，且不在端点，∴0<BE <BD ，即0<x <63；①当CE ⊥AB 时，∵OB ⊥AC ，∴点E 是△ABC 重心，∴BE =CE =23BO =23×33=23，此时s 23−3+2734=73，∴当CE ⊥AB 时，四边形ABEF 的面积为73；②作CH ⊥AD 于H ，如图，∵CO ⊥BD ，CH ⊥AD ，而点E 和F 分别在BD 和AD 上，∴当点E 和F 分别到达点O 和点H 位置时，CF 和CE 分别达到最小值；在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，AD =CD ，∵∠BAD =120°，∴∠ADC =60°，∴△ACD 是等边三角形，∴AH =DH =3，∴CH =33，∵s =+2734，∴当x=33，即BE=33时，s达到最小值，∵BE=3DF，∴DF=3，此时点E恰好在点O的位置，而点F也恰好在点H位置，∴当四边形ABEF面积取得最小值时，CE和CF也恰好同时达到最小值，∴CE+3CF的值达到最小，其最小值为CO+3CH=3+3×33=12．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．3．（2022·上海·中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE．(1)若AE=CE，①证明ABCD为菱形；②若AB=5，AE=3，求BD的长．(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2 AE．若F在直线CE上，求AB的值．BC【答案】(1)①见解析；②62(2)105【解析】【分析】（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE 中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得OB=3x=32，再由平行四边形性质即可得出BD长；（2）由⊙A 与⊙B 相交于E 、F ，得AB ⊥EF ，点E 是△ABC 的重心，又F 在直线CE 上，则CG 是△ABC 的中线，则AG =BG =12AB ，根据重心性质得GE =12CE ＝22AE ，CG =CE +GE =322AE ，在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG 2=AE 2-GEE =AE 2-(22AE )2=12AE 2,则AG =22AE ,所以AB =2AG =2AE ，在Rt △BGC 中，由勾股定理，得BC 2=BG 2+CG 2=12AE 2+（322AE ）2=5AE 2，则BC =5AE ，代入即可求得ABBC 的值．(1)①证明：如图，连接AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ，∴OA =OC ，∵AE =CE ，OE =OE ，∴△AOE ≌△COE (SSS)，∴∠AOE =∠COE ，∵∠AOE +∠COE =180°，∴∠COE =90°，∴AC ⊥BD ，∵平行四边形ABCD ，∴四边形ABCD 是菱形；②∵OA =OC ，∴OB 是△ABC 的中线，∵P 为BC 中点，∴AP 是△ABC 的中线，∴点E 是△ABC 的重心，∴BE =2OE ，设OE =x ，则BE =2x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA 2=AE 2-OE 2=32-x 2=9-x 2,在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2=AB 2-OB 2=52-(3x )2=25-9x 2,∴9-x 2=25-9x 2，解得：x =2,∴OB =3x =32，∵平行四边形ABCD ，∴BD =2OB =62；(2)解：如图，∵⊙A 与⊙B 相交于E 、F ，∴AB ⊥EF ，由（1）②知点E 是△ABC 的重心，又F 在直线CE 上，∴CG 是△ABC 的中线，∴AG =BG =12AB ，GE =12CE ，∵CE =2AE ，∴GE =22AE ，CG =CE +GE =322AE ，在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG 2=AE 2-GEE =AE 2-(22AE )2=12AE 2,∴AG =22AE ,∴AB =2AG =2AE ，在Rt △BGC 中，由勾股定理，得BC 2=BG 2+CG 2=12AE 2+（322AE ）2=5AE 2，∴BC =5AE ，∴AB BC =2AE5AE =105．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，属是考常考题目．4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H 为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=；(3)当AB=m , BC=n时．GHCE=．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．【答案】(1)GH=12CE，证明见解析(2)GHCE =13(3)GHCE =m2n(4)3135【解析】【分析】（1）先证明△ABF≌△CBE，得AF=CE，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；（2）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，得到AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=12 AF，等量代换即可；（3）连接AF，先证明△ABF∽△CBE，用含m、n的代数式表达出AF：CE的比值，再根据中位线性质得GH=12AF，等量代换即可；（4）过M作MH⊥AB于H，根据折叠性质得∠C=∠MPN，根据角平分线证明出∠C=∠PMH，设CM=PM=x，HM=y，根据三角函数定义找到x、y之间的关系，再利用△AHM∽△ABC，得到HMBC =AMAC，代入解方程即可．(1)解：GH=12CE，理由如下：∵AB=BC，四边形ABCD为矩形，∴四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=∠CBE=90°，∵E、F为BC，AB中点，∴BE=BF，∴△ABF≌△CBE，∴AF=CE，∵H为DF中点，G为AD中点，∴GH=12AF，∴GH=12CE．(2)解：GHCE =13，连接AF，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32，∴AB BC =BF BE =23，由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =12AF ，∴GH CE =13．故答案为：13．(3)解：GH CE =m 2n ，连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =m 2，BE =12BC =n 2，∴AB BC =BF BE =m n ，由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =12AF ，∴GH CE =m 2n ．故答案为：m 2n ．(4)解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC =22+32=13，设CM =PM =x ，HM =y ，由sin ∠C =sin ∠APM 知，AB AC =HM PM ，即213=y x ，y =2x 13，∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ，∴HM BC =AMAC，即y3=13−x13，y=13−x13×3，∴13−x13×3=2x13，解得：x=3135，故答案为：3135．【点睛】本题考查了正方形性质、三角形中位线性质、折叠性质、全等三角形判定与性质、相似三角形的性质与判定、三角函数定义等知识点，找到相似三角形是解题关键．5．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中AD=2AB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想△ADG≌△AFG．【问题解决】(1)小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可知，∠BAF=12∠BAD=45°，∠BFA=∠EFA．∴∠EFA=∠BFA=45°．∴AF=2AB=AD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)∠DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP=12AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设AB =a ，则FQ +PQ 的最小值为_________．（用含a 的代数式表示）【答案】(1)见解析(2)22.5°，2−1.(3)52a 【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得AD =AF ，∠AFG =∠D =90°，由HL 可证明结论；（2）根据折叠的性质可得∠DAG =12∠DAF =22.5°; 证明ΔGCF 是等腰直角三角形，可求出GF 的长，从而可得结论；（3）根据题意可知点F 与点D 关于AG 对称，连接PD ，则PD 为PQ +FQ 的最小值，过点P 作PR ⊥AD ，求出PR =AR =24a ，求出DR ，根据勾腰定理可得结论．(1)证明：四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =∠B =∠C =∠D =90°．由折叠可知，∠BAF =12∠BAD =45°，∠BFA =∠EFA ．∴∠EFA =∠BFA =45°．∴AF =2AB =AD ．由折叠得，∠CFG =∠GFH =45°，∴∠AFG =∠AFE +∠GFE =45°+45°=90°∴∠AFG =∠D =90°又AD =AF ，AG =AG∴△ADG≌△AFG(2)由折叠得，∠BAF =∠EAF,又∠BAF +∠EAF =90°∴∠EAF =12∠BAE =12×90°=45°,由△ADG≌△AFG 得，∠DAG =∠FAG =12∠FAD =12×45°=22.5°,∠AFG =∠ADG =90°,又∠AFB =45°∴∠GFC =45°,∴∠FGC =45°,∴GC =FC.设AB =x,则BF =x,AF =2x =AD =BC,∴FC =BC−BF =2x−x =(2−1)x∴GF =2FC =(2−2)x∴GF AF =(2−2)x 2x =2−1.(3)如图，连接FD,∵DG =FG∴AG 是FD 的垂直平分线，即点F 与点D 关于AG 轴对称，连接PD 交AG 于点Q ，则PQ +FQ 的最小值为PD 的长；过点P 作PR ⊥AD 交AD 于点R ，∵∠DAF =∠BAF =45°∴∠APR =45°.∴AR =PR又AR 2+PR 2=AP 2=(a 2)2=a24∴AR =PR =24a,∴DR =AD−AR =2a−24a =342a在RtΔDPR 中，DP 2=AR 2+PR 2∴DP =AR 2+PR 2=(24a)2+(324a)2 =52a ∴PQ +FQ 的最小值为52a 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．6．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在▱ABCD 中，AB =4，AD =BD =13，点M 为边AB 的中点，动点P 从点A 出发，沿折线AD−DB 以每秒13个单位长度的速度向终点B 运动，连结PM ．作点A 关于直线PM 的对称点A′，连结A′P 、A′M ．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点D 到边AB 的距离为__________；(2)用含t 的代数式表示线段DP 的长；(3)连结A′D ，当线段A′D 最短时，求△DPA′的面积；(4)当M 、A′、C 三点共线时，直接写出t 的值．【答案】(1)3(2)当0≤t ≤1时，DP =13−13t ；当1＜t ≤2时，PD =13t−13；(3)35(4)23或2011【解析】【分析】（1）连接DM ，根据等腰三角形的性质可得DM ⊥AB ，再由勾股定理，即可求解；（2）分两种情况讨论：当0≤t ≤1时，点P 在AD 边上；当1＜t ≤2时，点P 在BD 边上，即可求解；（3）过点P 作PE ⊥DM 于点E ，根据题意可得点A 的运动轨迹为以点M 为圆心，AM 长为半径的圆，可得到当点D 、A ′、M 三点共线时，线段A′D 最短，此时点P 在AD 上，再证明△PDE ∽△ADM ，可得DE =3−3t,PE =2−2t ，从而得到A ′E =DE−A ′D =2−3t ，在Rt △A ′PE 中，由勾股定理可得t =25，即可求解；（4）分两种情况讨论：当点A′位于M 、C 之间时，此时点P 在AD 上；当点A′（A ″）位于C M 的延长线上时，此时点P 在BD 上，即可求解．(1)解：如图，连接DM ，∵AB =4，AD =BD =13，点M 为边AB 的中点，∴AM =BM =2，DM ⊥AB ，∴DM =AD 2−AM 2=3，即点D 到边AB 的距离为3；故答案为：3(2)解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，DP=13−13t；当1＜t≤2时，点P在BD边上，PD=13t−13；综上所述，当0≤t≤1时，DP=13−13t；当1＜t≤2时，PD=13t−13；(3)解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，∵作点A关于直线PM的对称点A′，∴A′M=AM=2，∴点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，∴当点D、A′、M三点共线时，线段A′D最短，此时点P在AD上，∴A′D=1，根据题意得：A′P=AP=13t，DP=13−13t，由（1）得：DM⊥AB，∵PE⊥DM，∴PE∥AB，∴△PDE∽△ADM，∴PD AD =DEDM=PEAM，∴13−13t13=DE3=PE2，解得：DE=3−3t,PE=2−2t，∴A′E=DE−A′D=2−3t，在Rt△A′PE中，A′P2=PE2+A′E2，t2=(2−2t)2+(2−3t)2，解得：t=25，∴PE=65，∴S△DPA′=12A′D⋅PE=12×1×65=35；(4)解：如图，当点M、A′、C三点共线时，且点A′位于M、C之间时，此时点P在AD上，连接A A′，A′B，过点P作PF⊥AB于点F，过点A′作A′G⊥AB于点G，则A A′⊥PM，∵AB为直径，∴∠A =90°，即A A′⊥A′B，∴PM∥A′B，∴∠PMF=∠AB A′，过点C作CN⊥AB交AB延长线于点N，在▱ABCD中，AB∥DC，∵DM⊥AB，∴DM∥CN，∴四边形CDMN为平行四边形，∴CN=DM=3，MN=CD=4，∴CM=5，∴sin∠CMN=CNCM =35，∵A′M=2，∴A′G=2×35=65，∴MG=85，∴BG=BM−MG=25，∴tan∠A′BA=A′GBG=3，∴tan∠PMF=tan∠A′BA=3，∴PFFM=3，即PF=3FM，∵tan∠DAM=DMAM =PFAF=32，cos∠DAM=AMAD=AFAP=213，∴PF =32AF ，∴3FM =32AF ，即AF =2FM ，∵AM =2，∴AF =43，∴4313t =213，解得：t =23；如图，当点A′（A ″）位于C M 的延长线上时，此时点P 在BD 上，PB =213−13t ，过点A ″作A ″G ′⊥AB 于点G ′，则∠AM A ″=∠CMN ，取A A ″的中点H ，则点M 、P 、H 三点共线，过点H 作HK ⊥AB 于点K ，过点P 作PT ⊥AB 于点T ，同理：A ″G ′=65,A G ′=25，∵HK ⊥AB ，A ″G ′⊥AB ，∴HK ∥A ′′G ′，∴△AHK ∼△A A ″G ′，∵点H 是A A ″的中点，∴HKA ″G ′=AK AG ′=AH AA ″=12，∴HK =35,AK =15，∴MK =95，∴tan ∠PMT =tan ∠HMK =HK MK =13，∴PT MT =13，即MT =3PT ，∵tan ∠PBT =DM BM =PT BT =32，cos ∠PBT =BT PB =BM BD =213，∴BT =23PT ，∴MT =92BT ，∵MT +BT =BM =2，∴BT =411，∴411213−13t =213，解得：t =2011；综上所述，t 的值为23或2011．【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据题意得到点A′的运动轨迹是解题的关键，是中考的压轴题．。

初中数学四边形知识点总复习含答案解析

初中数学四边形知识点总复习含答案解析一、选择题1．在四边形ABCD 中，两对角线交于点O ，若OA =OB =OC =OD ，则这个四边形( ) A ．可能不是平行四边形B ．一定是菱形C ．一定是正方形D ．一定是矩形【答案】D【解析】【分析】根据OA=OC, OB=OD ，判断四边形ABCD 是平行四边形．然后根据AC=BD ，判定四边形ABCD 是矩形．【详解】解：这个四边形是矩形，理由如下：∵对角线AC 、BD 交于点O ，OA= OC, OB=OD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵OA=OC=OD=OB ，∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形．故选D ．【点睛】本题考查了矩形的判断，熟记矩形的各种判定方法是解题的关键．2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（）A ．3B ．2C ．4D ．2【答案】A【解析】【分析】由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.【详解】解，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵2BD =，∴BO=1，在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，∴BC=2， ∴22213CO =-=；∴23AC =；故选：A.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC 的长度.3．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（）A ．12B ．1C 3D 31【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF的垂直平分线与矩形的交点，即为点P，存在两个点．综上所述，满足题意的点P的个数是6．故选D．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．5．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接CF，DG，则DGCF=（）A．23B．2C．3D．3【答案】B 【解析】【分析】连接AC和AF，证明△DAG∽△CAF可得DGCF的值．【详解】连接AC和AF，则2 AD AGAC AF==∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．6．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △PAB ＝13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为（）A ．29B ．34C ．52D ．41【答案】D【解析】解：设△ABP 中AB 边上的高是h ．∵S △PAB =13S 矩形ABCD ，∴12 AB •h =13AB •AD ，∴h =23AD =2，∴动点P 在与AB 平行且与AB 的距离是2的直线l 上，如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接AE ，连接BE ，则BE 就是所求的最短距离．在Rt △ABE 中，∵AB =5，AE =2+2=4，∴BE =22AB AE + =2254+=41，即PA +PB 的最小值为41．故选D ．7．如图所示，点E 是矩形ABCD 的边AD 延长线上的一点，且AD=DE ，连结BE 交CD 于点O ，连结AO ，下列结论不正确的是（）A ．△AOB ≌△BOCB ．△BOC ≌△EOD C ．△AOD ≌△EOD D ．△AOD ≌△BOC【答案】A【解析】根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形应用排它法求欠妥即可：∵AD=DE，DO∥AB，∴OD为△ABE的中位线．∴OD=OC．∵在Rt△AOD和Rt△EOD中，AD=DE，OD=OD，∴△AOD≌△EOD（HL）．∵在Rt△AOD和Rt△BOC中，AD=BC，OD=OC，∴△AOD≌△BOC（HL）．∴△BOC≌△EOD．综上所述，B、C、D均正确．故选A．8．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是()A．8 B．9 C．10 D．12【答案】A【解析】试题分析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，根据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除以外角度数即可得到边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x=180，解得x=45，这个多边形的边数：360°÷45°=8，故选A．考点：多边形内角与外角．9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为10cm．当小莹折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)．则此时EC=()cmA．4 B2C．22D．3【答案】D【解析】【分析】根据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理得到:42+x2=（8﹣x）2，然后解方程即可．【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），∴AF=AD=10，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=226-=AF AB∴CF=BC﹣BF=4．设CE=x，则DE=EF=8﹣x，在Rt△CEF中，∵CF2+CE2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3∴EC的长为3cm．故选：D【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴22+，34作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB ，∴AE=AE ′，∵F 是BC 的中点，∴E ′F=AB=5．故选C ．11．下列命题中是真命题的是（）A ．多边形的内角和为180°B ．矩形的对角线平分每一组对角C ．全等三角形的对应边相等D ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式可对A 进行判定；根据矩形的性质可对B 进行判定；根据全等三角形的性质可对C 进行判定；根据平行线的性质可对D 进行判定．【详解】A.多边形的内角和为(n-2)·180°（n≥3），故该选项是假命题，B.矩形的对角线不一定平分每一组对角，故该选项是假命题，C.全等三角形的对应边相等，故该选项是真命题，D.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项是假命题，故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．熟练掌握矩形的性质、平行线的性质、全等三角形的性质及多边形的内角和公式是解题关键．12．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．8cm【答案】B【解析】【分析】根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．【详解】解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，∴5AB =，8AD =，∴8BC AD ==，∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点，∴118422AE BC ==⨯=；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．13．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则DE 的长为（）A ．65B ．85C ．125D ．245【答案】D【解析】【分析】连接AD ，根据已知等腰三角形的性质得出AD ⊥BC 和BD=6，根据勾股定理求出AD ，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接AD∵AB=AC，D为BC的中点，BC=12，∴AD⊥BC，BD=DC=6，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD=22221068AB BD=+=，∵S△ADB=12×AD×BD＝12×AB×DE，∴DE=8624105 AD BDAB⨯⨯==，故选D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．14．如图，菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（0，23），∠DOB=60°，点P是对角线OC上的一个动点，已知A（﹣1，0），则AP+BP的最小值为（）A．4 B．5 C．33D．19【答案】D【解析】【分析】点B的对称点是点D，连接AD，则AD即为AP+BP的最小值，求出点D坐标解答即可．【详解】解：连接AD，如图，∵点B的对称点是点D，∴AD即为AP+BP的最小值，∵四边形OBCD是菱形，顶点B（0，23DOB=60°，∴点D的坐标为（33∵点A的坐标为（﹣1，0），∴AD=22(3)419+=，故选：D．【点睛】此题考查菱形的性质，关键是根据两点坐标得出距离．15．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（）A．60 B．48 C．24 D．96【答案】D【解析】【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，∴AO＝22100368AB OB-=-=，∴AC＝16，BD＝12，∴菱形面积＝12162⨯＝96，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线互相垂直平分是本题的关键．16．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE∆绕点A顺时针旋转90︒到ABF∆的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（）A．4 B．5C．6 D．26【答案】D【解析】【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．【详解】ADE∆Q绕点A顺时针旋转90︒到ABF∆的位置．∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，25AD DC∴==，2DE=Q，Rt ADE∴∆中，2226AE AD DE=+=故选：D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．17．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y=，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．18．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】B【解析】【分析】根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ， ∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点, ∴12EF BD =, ∴14EFC BCDD S S =V V ,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．19．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标轴为()4,1, 点D的坐标为()0,1，则菱形ABCD的周长等于（）A．5B．43C．45D．20【答案】C【解析】【分析】如下图，先求得点A的坐标，然后根据点A、D的坐标刻碟AD的长，进而得出菱形ABCD 的周长.【详解】如下图，连接AC、BD，交于点E∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，且DE=EB又∵B()4,1，D()0,1∴E(2，1)∴AD=()()2220015-+-=∴菱形ABCD的周长为：45故选：C【点睛】本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A的坐标，从而求得菱形周长.20．如图，正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O，下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=43，⑤S△DOC=S四边形EOFB中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确，③CE=D F正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得④正确；由①易证得⑤正确．详解：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°．∵AE=BF=1，∴BE=CF=4﹣1=3．在△EBC和△FCD中，BC CDB DCFBE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBC≌△FCD（SAS），∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正确，∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，∴∠DOC=90°；故①正确；连接DE，如图所示，若OC=OE．∵DF⊥EC，∴CD=DE．∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC，∴tan∠OCD=tan∠DFC=DCFC=43，故④正确；∵△EBC≌△FCD，∴S△EBC=S△FCD，∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC，即S△ODC=S四边形BEOF．故⑤故正确的有：①③④⑤．故选D．点睛：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．。

2020届九年级中考数学知识点《四边形》

2020届九年级中考数学知识点《四边形》
1. 定义：有四个顶点和四条边的图形称为四边形。

2. 基本分类：
矩形：四条边两两平行，且相等的四边形。

正方形：特殊的矩形，四边相等且两两平行。

菱形：四条边相等的四边形。

平行四边形：对边平行的四边形。

3. 属性：
矩形：对角线相等，对角线相交的交点是中点，对角线互相平分。

正方形：矩形的特殊情况，对角线相等且互相垂直。

菱形：对角线互相平分，中心对称。

平行四边形：对边相等，对角线互相平分。

4. 计算：
四边形的周长：将四个边长加起来即可。

矩形的面积：长乘以宽，即 $S=ab$。

正方形的面积：边长的平方，即 $S=a^2$。

菱形的面积：对角线相乘再除以2，即$S=\frac 12{}d_1d_2$。

平行四边形的面积：底乘以高，即 $S=bh$。

其中，底是任意
一条边，高是从该边到对边的距离。

2020届九年级中考数学知识点《四边形》

2020届九年级中考数学知识点《四边形》四边形作为初中数学中的一个重要知识点，是九年级中考中常考的内容之一。

四边形的性质与计算方法需要我们掌握和应用，下面将详细介绍四边形的相关知识点。

一、四边形的定义四边形是由四条线段构成的图形，其中包括四个顶点、四条边和四个内角。

四边形的边和角有着各自的性质和特点，我们需要逐一了解。

二、四边形的分类1. 矩形：矩形的特点是所有内角均为直角，且两对相对边长度相等。

矩形的面积可通过长度乘宽来计算。

2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，其特点是四条边长度相等，且所有内角为直角。

正方形的面积计算公式为边长的平方。

3. 平行四边形：平行四边形的特点是对边平行。

平行四边形的面积可以通过底边长度与高之积来计算。

4. 菱形：菱形的特点是四条边长度相等，且相邻两个内角的和为直角。

菱形的面积计算公式为对角线之积的一半。

5. 梯形：梯形是一种至少有一对平行边的四边形。

梯形的面积可以通过上底与下底之和再乘以高的一半来计算。

三、四边形的性质1. 对角线性质：四边形的对角线相交于一点，该点被称为四边形的中心点。

对角线在中心点处互相平分，即把对角线分为两等分。

2. 对边性质：四边形的对边平行且相等，可以利用这一性质进行问题的解答。

3. 内角和性质：四边形的内角和为360度，通过计算四个内角的和可以验证该性质。

四、四边形的计算方法1. 周长计算：计算四边形的周长时，我们需要将各边的长度相加得到最终结果。

2. 面积计算：根据不同的四边形类型，可以利用相应的公式计算面积。

五、四边形在几何问题中的应用四边形在现实生活和几何问题中具有广泛的应用。

我们可以利用四边形的性质和计算方法解决建筑、工程、装饰等领域的问题。

六、四边形的解题技巧在解决与四边形相关的问题时，需要注意问题中的已知条件和待求量，运用相关的性质和计算方法进行分析和计算。

另外，图形的画法和标记也是解题的关键步骤，需要正确准确地进行。

综上所述，四边形作为九年级中考数学的重要内容之一，我们需要全面掌握其定义、分类、性质、计算方法以及解题技巧。

中考数学知识考点总结：四边形

中考数学知识考点总结：四边形中考数学知识考点总结：四边形中考四边形与三角形温习要求是，能运用这些图形停止镶嵌，你必需会计算特殊的初中数学四边形，能依据图形的条件把四边形面积等分。

可以对初中数学特殊四边形的判定方法与联络深入了解。

掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅佐线的常用方法.掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和运用。

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题.结合几何中的其他知识解答一些有探求性、开放性的效果，提高处置效果的才干。

(一)平行四边形的定义、性质及判定1、两组对边平行的四边形是平行四边形。

2、性质：(1)平行四边形的对边相等且平行;(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;(3)平行四边形的对角线相互平分。

3、判定：(1)两组对边区分平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边区分相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角区分相等的四边形是平行四边形;(5)对角线相互平分的四边形是平行四边形。

4、对称性：平行四边形是中心对称图形。

(二)矩形的定义、性质及判定1、定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、性质：矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。

3、判定：(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形。

4、对称性：矩形是轴对称图形也是中心对称图形。

(三)菱形的定义、性质及判定1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

(1)菱形的四条边都相等;(2)菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角;(3)菱形被两条对角线分红四个全等的直角三角形;(4)菱形的面积等于两条对角线长的积的一半。

2、s菱=争6(n、6区分为对角线长)。

3、判定：(1)有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形;(2)四条边都相等的四边形是菱形;(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

中考数学知识点归纳：四边形

中考数学知识点归纳：四边形
2019中考数学知识点归纳：四边形中考四边形与三角形复习要求是，能运用这些图形进行镶嵌，你必须会计算特殊的初中数学四边形，能根据图形的条件把四边形面积等分。

能够对初中数学特殊四边形的判定方法与联系深刻理解。

掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和常用判别方法，特别是梯形添加辅助线的常用方法.掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用。

会画出四边形全等变换后的图形，会结合相关的知识解题.结合几何中的其他知识解答一些有探索性、开放性的问题，提高解决问题的能力。

(一)平行四边形的定义、性质及判定.
1.两组对边平行的四边形是平行四边形.
2.性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行;
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补;
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形：
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形：
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.。

中考数学考点梳理：四边形

中考数学考点梳理：四边形数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，下面是小编整理的中考数学考点梳理：四边形，希望对大家有帮助!一、多边形1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。

2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。

3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。

4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。

6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。

说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形;有四条边的叫做四边形;有几条边的叫做几边形。

今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。

7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。

8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。

注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。

9、n边形的对角线共有条。

说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。

10、多边形内角和定理：n边形内角和等于(n-2)180°。

11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。

说明：多边形的外角和是一个常数(与边数无关)，利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。

无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。

二、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形*质定理1：平行四边形的对角相等。

3、平行四边形*质定理2：平行四边形的对边相等。

4、平行四边形*质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。

5、平行四边形*质定理3：平行四边形的对角线互相平分。

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