2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲数列求和及数列的综合应用1(新人教A版)

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2016版高考数学(文山东版)二轮复习课件第2部分-专题3 数列-第2讲

【解】 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，又 a1＝2 满足该式，∴ 数列{an}的通项公式为 an＝2n. b1 b2 bn (2)an＝＋ 2 ＋„＋ n (n≥1)， 3＋1 3 ＋1 3 ＋1 bn＋1 b1 b2 bn an＋1＝＋ 2 ＋„＋ n ＋ n＋1 3＋1 3 ＋1 3 ＋1 3 ＋1 bn＋1 ＋ ②－① 得， n＋1 ＝an＋1－an＝2，即 bn＋1＝2(3n 1＋1)， 3 ＋1 又当 n＝1 时，b1＝8，所以 bn＝2(3n＋1)． ① ②
（2n－1）×3n＋1＋3 ∴Hn＝ . 4 （2n－1）×3n＋1 n（n＋1） 3 ∴数列{cn}的前 n 项和 Tn＝＋＋ . 4 2 4
1．数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、错位相减法、裂(拆)项相消法、分组法、倒序相加法和并项法等．
2．裂项求和的几种常见类型 1 1 1 1 (1) ＝ n－； n（n＋k） k n＋k 1 1 (2) ＝ ( n＋k － n)； n＋k＋ n k 1 1 1 1 － (3) ＝2 ； 2 n － 1 2 n ＋ 1 （2n－1）（2n＋1） 1 1 1 1 (4)若{an}是公差为 d 的等差数列，则＝ ( － )． anan＋1 d an an＋1
知识小脉络：
d 数列求和的常见类别——{an＋bn}，{an·bn} an·an＋k
↓
分组求和法、错位相减法、数列求和的解题思路—— 裂项相消法
(2015· 菏泽模拟)数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝n(n＋1)(n↔N*)， (1)求数列{an}的通项公式； b1 b2 b3 bn (2)若数列{bn}满足：an＝＋ 2 ＋ 3 ＋„＋ n ，求数列{bn }的通 3＋1 3 ＋1 3 ＋1 3 ＋1 项公式； anbn (3)令 cn＝ 4 (n↔N*)，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲双曲线(新人教A版)

第二讲椭圆、双曲线与抛物线第二部分双曲线一、双曲线定义平面内动点P 与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离之差的绝对值为常数2a (2a ＜2c ) ，则点P 的轨迹叫做双曲线．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a 、c 为常数且a ＞0，c ＞0. (1)当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a ＞|F 1F 2|时，P 点不存在．二、双曲线的标准方程和几何性质巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn ＜0)．基础自测1．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C.⎝⎛⎭⎪⎫62，0 D ．(3，0)【解析】双曲线的方程可化为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，∴右焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0. 【答案】 C2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】渐近线方程可化为y ＝±32x .∵双曲线的焦点在x 轴上，∴9a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±322，解得a ＝±2.由题意知a ＞0，∴a ＝2. 【答案】 C3．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上答案均不对【解析】由双曲线定义||PF 1|－|PF 2||＝8，又|PF 1|＝9，∴|PF 2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为 c －a ＝6－4＝2＞1， ∴|PF 2|＝17. 【答案】 B4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到较近焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为________．【解析】依题意c －a ＝1，①又e ＝ca＝2，即c ＝2a ②由①②联立，得a ＝1，c ＝2.∴b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线C 为x 2－y 23＝1.【答案】 x 2－y23＝15．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x 【解析】 ∵e ＝3，∴c a ＝3，即a 2＋b 2a2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y 22a2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x .【答案】 B6．(2013·陕西高考)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．【解析】 x 216－y2m ＝1中，a ＝4，b ＝m ，∴c ＝16＋m .而e ＝54，∴ 16＋m 4＝54，∴m ＝9.【答案】 9考点一双曲线的定义及标准方程例1．（2013广东）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C的方程是( )A.x 24－y 25＝1B.x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：本题考查双曲线的方程，考查考生的运算能力．由题意可知c ＝3，a ＝2，b ＝ c 2－a 2＝ 32－22＝5，故双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案：B2.(2012·大纲全国卷)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 (1)由x 2－y 2＝2，知a ＝b ＝2，c ＝2. 由双曲线定义，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22，又|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2 c ＝4，由余弦定理cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34，选C.【答案】 C方法技巧利用双曲线定义求方程，要注意三点：距离之差的绝对值，a ＜|F 1F 2|，焦点所在坐标轴的位置.跟踪练习（2011山东）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A.x 25－y 24＝1B.x 24－y 25＝1C.x 23－y 26＝1 D.x 26－y 23＝1 解析：圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx ±ay ＝0，根据已知得3ba 2＋b2＝2，即3b 3＝2，解得b ＝2，则a 2＝5，故所求的双曲线方程是x 25－y 24＝1.答案：A考点二双曲线的几何性质例（2014山东）已知双曲线的焦距为，右顶点为A ，抛物线的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为。

2016届高考数学(理)二轮专题复习同步：专题3 第2讲数列的求和及综合应用(含解析)(山东专用)

第2讲数列的求和及综合应用一、选择题1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋2－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋2－12n －1解析因为a n ＝2n －1＋12n ，则S n ＝1＋2n －12n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ·121－12＝n 2＋1－12n .另解：用特值验证．答案 A2．(2015·青岛模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 015＝( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 解析由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1⇒a n ＋1＝1＋a n 1－a n，所以a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，…，因此可推知数列{a n }的项具有周期性，且一个周期内的四项之积为1.因为 2 015＝4×503＋3，且a 2 013＝a 1＝2，a 2 014＝a 2＝－3，a 2 015＝a 3＝－12.则T 2 015＝2×(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3.答案 C3．(2015·日照模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋nln nD ．1＋n ＋ln n解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝ln n －ln(n －1)＋ln(n －1)－ln(n －2)＋…＋ln 2－ln 1＋2＝2＋ln n.答案 A4．(2015·临汾模拟)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1的值为( ) A.n ＋12（n ＋2）B.34－n ＋12（n ＋2）C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析 ∵1（n ＋1）2－1＝1n 2＋2n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， ∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1（n ＋1）2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.答案 C5．各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则∑nk ＝1a 2k ＝( ) A.n （n ＋5）2 B.3n （n ＋1）2 C.n （5n ＋1）2D.（n ＋3）（n ＋5）2解析当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，当n≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)．∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑nk ＝1a 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2，选B. 答案 B二、填空题6．(2015·全国Ⅱ卷)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝____________．解析由题意，得S 1＝a 1＝－1，又由a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以S n ≠0，所以S n ＋1－S nS n S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，得1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以S n ＝－1n .答案－1n7．(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.答案20118．设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．解析 (1)当n ＝1时，S 1＝(－1)a 1－12，得a 1＝－14.当n≥2时，S n ＝(－1)n(S n －S n －1)－12n .当n 为偶数时，S n －1＝－12n ，当n 为奇数时，S n ＝12S n －1－12n ＋1，从而S 1＝－14，S 3＝－116，又由S 3＝12S 2－124＝－116，得S 2＝0，则S 3＝S 2＋a 3＝a 3＝－116.(2)由(1)得S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 99＝－122－124－126－…－12100，S 101＝－12102，又S 2＋S 4＋S 6＋…＋S 100＝2S 3＋123＋2S 5＋125＋2S 7＋127＋…＋2S 101＋12101＝0，故S 1＋S 2＋…＋S 100＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1.答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1三、解答题9．(2015·湖北卷)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d>1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d>1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.10．(2015·四川卷)设数列{a n }(n ＝1，2，3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n≥2)，即a n ＝2a n －1(n≥2)，所以q ＝2.从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n.(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000，即2n＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n≥10，于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.11．(2015·威海模拟)已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解 (1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得：a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1， ∴a na n －1＝2，所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，即a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n ＋1－2)×(log 222n ＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)，∴1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.。

数学(理)高考一轮复习第1部分专题3---第2讲数列求和及综合应用

＋＋＝3k 1－6－(2k－1)·3k 1 －－＋＋
山东金太阳书业有
＝2(1－k)·3 －
k＋1
－6
＋
＋－ ∴Sk＝(k－1)·3k 1＋3.
又 1＋3＋…＋(2k－1)＝k ，＋＋－＝
＋ ∴Tk＝(k－1)·3k 1＋3－k2(k∈N*，k≤2 007)．－－ ∈ ≤ ．＋
2
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3．设数列{an}，{bn}满足 1＝b1＝6，a2＝b2＝4，a3＝b3＝3，且数．设数列，满足a ，，，满足是等差数列，是等比数列，列{an＋1－an}(n∈N*)是等差数列，{bn－2}是等比数列，求{an}和{bn} ∈ 是等差数列是等比数列和＋的通项公式．的通项公式．解析：由已知a ＝－2，＝－1，解析：由已知 2－a1＝－，a3－a2＝－， d＝－－(－2)＝1，＝－1－－＝，＝－ ∴an＋1－an＝(a2－a1)＋(n－1)d ＋－＋＝－2＋(n－1)×1＝n－3，＝－＋－ × ＝－，即an－an－1＝n－4(n≥2)．－．－故an－an－1＝n－4，－，－ an－1－an－2＝(n－1)－4，－－，－－ … a3－a2＝3－4，－， a2－a1＝2－4. －
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大学数学(高数微积分)专题三第2讲数列求和及数列综合应用(课堂讲义)

(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
热点分类突破
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－
再验证是否可以合并为一个公式．
热点分类突破
(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan －21n，n∈N*，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
本
讲栏
解析
∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－21n－(－1)n－1an－1＋2n1－1，
本解 (1)由已知，得当 n≥1 时，
讲
栏目
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
开
关＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式，所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
热点分类突破
(2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知
本讲栏
即na＋n＋11－ann＝1，又a22－a11＝1，
目
开关
故数列ann是首项为a11＝1，公差为1的等差数列，
所以ann＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2，
所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
热点分类突破
(3)证明 a11＋a12＋a13＋…＋a1n＝1＋14＋312＋412＋…＋n12 <1＋14＋2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1－1

2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第1讲等差等比数列(新人教A版)

第一讲等差数列、等比数列一、等差数列1．定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)．2．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d .3．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －d 2＝n a 1＋a n2.4．a 、b 的等差中项A ＝a ＋b2证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列；(4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n 2.二、等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．(1)若m 、n 、p 、q 、k 是正整数，且m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k .(2)a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等差数列，公差为kd . (3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也是等差数列．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1) ②S 2n －1＝(2n －1)a n .③n 为偶数时，S 偶－S 奇＝n2d ；n 为奇数时，S 奇－S 偶＝a 中．三、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．四、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .2．通项公式的推广：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍是等比数列．基础自测1．(2013·课标全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是 a n＝________.【解析】当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)， ∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2， ∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2，∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －12．(2013·广东高考)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 【解析】法一 a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝2×10＝20. 法二 a 3＋a 8＝2a 3＋5d ＝10,3a 5＋a 7＝4a 3＋10d ＝2(2a 3＋5d )＝2×10＝20. 【答案】 203．[2014·江苏卷] 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．答案：4 [解析] 由等比数列的定义可得，a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，即a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2.又a n ＞0，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，故a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.考点一等差、等比数列的基本运算例1、[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14答案B [解析] 由题意，得a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋6d ＝4＋6d ＝10，解得d ＝1，所以a 7＝a 1＋6d ＝2＋6＝8.2、（2013新课标全国Ⅱ）等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3 ＝ a 2 ＋10a 1 ，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19解析：本题考查等比数列的基本知识，包括等比数列的前n 项和及通项公式，属于基础题，考查考生的基本运算能力．由题知q ≠1，则S 3＝a 1－q31－q＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，故选C.答案：C跟踪练习1．（ 2013安徽，5分）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2解析：本题主要考查等差数列的基础知识和基本运算，意在考查考生的运算求解能力．根据等差数列的定义和性质可得，S 8＝4(a 3＋a 6)，又S 8＝4a 3，所以a 6＝0，又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.答案：A2．[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.考点二等差、等比数列的性质例1.(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176(1)S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝88.【答案】 B2．[2014·广东卷] 等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________．答案：5 [解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4.因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.跟踪练习1、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n ＞6)，求数列{a n }的项数及a 9＋a 10.答案：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，② ①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝n a 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18.由a 1＋a n ＝36，n ＝18.∴a 1＋a 18＝36，从而a 9＋a 10＝a 1＋a 18＝36.2、[2014·全国卷] 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64答案：C [解析] 设等比数列{a n }的首项为a ，公比为q ，易知q ≠1，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a （1－q 2）1－q ＝3，a （1－q 4）1－q ＝15，解得q 2＝4，a 1－q ＝－1，所以S 6＝a （1－q 6）1－q ＝(－1)(1－43)＝63. 考点三等差、等比数列的判断与证明要证明一个数列是等差(比)数列必须用定义法或等差(比)中项法．例1、 [2014·全国卷] 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式a n ＝n 2－2n ＋2.2、数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ，∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1.又∵a 1－1＝－12，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，∴数列{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．则c n ＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.跟踪练习1、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.①求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；②求数列{a n }的通项公式．答案：①证明 ∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0， ∴1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，以2为公差的等差数列．②由①知1S n ＝1S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，有a n ＝－2S n ×S n －1＝－12n n －1，又∵a 1＝12，不适合上式，∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n n －，n ≥2.。

专题三第2讲数列求和及其综合应用

所以S100＝P107－Q7 ＝107×22＋214－21－－228＝11 302.
2 考点二数列的综合问题
PART TWO
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩进行不等式的证明.
(2)(2021·长春模拟)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数
列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若 6
Sn＋bn11≤λ恒成立，则λ的最小
值为__2_3__.
解析设等比数列{an}的公比为 q，由题意可得aa11＋q＋a1aq1＝q2＝208，0，解得a1＝4，q＝4，故{an}的通项公式为an＝4n，n∈N*. bn＝log2an＝log24n＝2n， Sn＝2n＋12n(n－1)·2＝n2＋n，
例4 (1)(2021·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，
a2，a3是函数f(x)＝13 x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和是__1_0_2_2__.
解析由 f(x)＝13x3－6x2＋32x，得 f′(x)＝x2－12x＋32，又因为 a2，a3 是函数 f(x)＝13x3－6x2＋32x 的两个极值点，所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点，故aa22＋ ·a3a＝3＝321，2，
专题三数列
考情分析
KAO QING FEN XI
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不

数列求和及数列的综合应用知识点讲解+例题讲解(含解析)

数列求和及数列的综合应用一、知识梳理 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d . (2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.3.数列应用题常见模型(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系. 小结：1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2. 2.12＋22＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.3.裂项求和常用的三种变形 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. (2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1).( )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( )(4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －12.( ) 解析 (3)要分a ＝0或a ＝1或a ≠0且a ≠1讨论求解. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 0192 020，则项数n为( ) A.2 018 B.2 019 C.2 020D.2 021解析 a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0192 020，所以n ＝2019. 答案 B3.等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1243，q >0，S n 是其前n 项和，则S 6＝________.解析由a 1＝27，a 9＝1243知，1243＝27·q 8，又由q >0，解得q ＝13，所以S 6＝27⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1361－13＝3649.答案 36494.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9B.15C.18D.30解析由题意知{a n }是以2为公差的等差数列，又a 1＝－5，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝|－5|＋|－3|＋|－1|＋1＋3＋5＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案 C5.(2019·北京朝阳区质检)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________________. 解析由题意知T n －S n ＝b 1－a 1＋b 2－a 2＋…＋b n －a n ＝n ＋2n ＋1－2，又S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，所以2T n ＝T n －S n ＋S n ＋T n ＝2n ＋2＋n (n ＋1)－4. 答案 2n ＋2＋n (n ＋1)－46.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________.解析由f (x )＋f (1－x )＝4，可得f (0)＋f (1)＝4，…，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＝4，所以2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝4(n ＋1)，即a n ＝2(n ＋1). 答案 a n ＝2(n ＋1)考点一分组转化法求和【例1】 (2019·济南质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2＋2n 的大小.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，a 2，a 3－1成等差数列， ∴2a 2＝a 1＋(a 3－1)＝a 3，∴q ＝a 3a 2＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1(n ∈N *).(2)由(1)知b n ＝2n －1＋a n ＝2n －1＋2n －1，∴S n ＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n －1＋2n －1) ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n －1) ＝1＋（2n －1）2·n ＋1－2n 1－2＝n 2＋2n－1. ∵S n －(n 2＋2n )＝－1<0，∴S n <n 2＋2n .规律方法 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和.2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和. 【训练1】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＋S 4＝S 5可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， ∴3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2. ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1).∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(2n －3)－(2n －1)＝(－2)×n ＝－2n .考点二裂项相消法求和【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n .解 (1)∵a 2＝8，S n ＝a n ＋12－n －1， ∴a 1＝S 1＝a 22－2＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n ＋12－n －1－⎝⎛⎭⎪⎫a n 2－n ，即a n ＋1＝3a n ＋2，又a 2＝8＝3a 1＋2， ∴a n ＋1＝3a n ＋2，n ∈N *， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是等比数列，且首项为a 1＋1＝3，公比为3， ∴a n ＋1＝3×3n －1＝3n ，∴a n ＝3n －1.(2)∵2×3n a n a n ＋1＝2×3n （3n －1）（3n ＋1－1）＝13n －1－13n ＋1－1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3n a n a n ＋1的前n 项和 T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－132－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.【训练2】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ；(2)设b n ＝1S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝a 1＋6d ，（a 1＋7d ）－2（a 1＋2d ）＝3，解得a 1＝3，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1.(2)由(1)得S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋2)， ∴b n ＝1n （n ＋2）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n －1＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.考点三错位相减法求和【例3】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n .(2)由题意知：S 2n ＋1＝（2n ＋1）（b 1＋b 2n ＋1）2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n ，因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .【训练3】已知等差数列{a n }满足：a n ＋1>a n (n ∈N *)，a 1＝1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a n ＋2log 2b n ＝－1. (1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d >0，由a 1＝1，a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d 分别加上1，1，3后成等比数列，得(2＋d )2＝2(4＋2d )，解得d ＝2(舍负)，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.又因为a n ＋2log 2b n ＝－1，所以log 2b n ＝－n ，则b n ＝12n . (2)由(1)知a n ·b n ＝(2n －1)·12n ，则T n ＝121＋322＋523＋…＋2n －12n ，①12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －12n ＋1，② 由①－②，得 12T n ＝12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1. ∴12T n ＝12＋2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－2n －12n ＋1，∴T n ＝1＋2－22n －1－2n －12n ＝3－4＋2n －12n ＝3－3＋2n 2n .考点四数列的综合应用【例4】某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他应该选择哪种方式领取报酬呢？解设该学生工作n 天，每天领工资a n 元，共领工资S n 元，则第一种方案a n (1)＝38，S n (1)＝38n ；第二种方案a n (2)＝4n ，S n (2)＝4(1＋2＋3＋…＋n )＝2n 2＋2n ；第三种方案a n (3)＝0.4×2n －1，S n (3)＝0.4（1－2n ）1－2＝0.4(2n －1). 令S n (1)≥S n (2)，即38n ≥2n 2＋2n ，解得n ≤18，即小于或等于18天时，第一种方案比第二种方案报酬高(18天时一样高).令S n (1)≥S n (3)，即38n ≥0.4×(2n －1)，利用计算器计算得小于或等于9天时，第一种方案报酬高，所以少于10天时，选择第一种方案.比较第二、第三种方案，S 10(2)＝220，S 10(3)＝409.2，S 10(3)>S 10(2)，…，S n (3)>S n (2).所以等于或多于10天时，选择第三种方案.【训练4】已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，试求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由于f ′(x )＝6x －2，得a ＝3，b ＝－2，所以f (x )＝3x 2－2x .又因为点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n －[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＝6×1－5，也适合上式，所以a n ＝6n －5(n ∈N *).(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3（6n －5）[6（n ＋1）－5]＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1，故T n ＝12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16n ＋1＝3n 6n ＋1.三、课后练习1.(2019·广州模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ≥2(n ∈N *)，且S n 为{a n }的前n 项和，则( )A.a n ≥2n ＋1B.S n ≥n 2C.a n ≥2n －1D.S n ≥2n －1解析由题意得a 2－a 1≥2，a 3－a 2≥2，a 4－a 3≥2，…，a n －a n －1≥2， ∴a 2－a 1＋a 3－a 2＋a 4－a 3＋…＋a n －a n －1≥2(n －1)，∴a n －a 1≥2(n －1)，∴a n ≥2n －1，∴a 1≥1，a 2≥3，a 3≥5，…，a n ≥2n －1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ≥1＋3＋5＋…＋2n －1，∴S n ≥n （1＋2n －1）2＝n 2. 答案 B2.某厂2019年投资和利润逐月增加，投入资金逐月增长的百分率相同，利润逐月增加值相同.已知1月份的投资额与利润值相等，12月份投资额与利润值相等，则全年的总利润ω与总投资N的大小关系是()A.ω>NB.ω<NC.ω＝ND.不确定解析投入资金逐月值构成等比数列{b n}，利润逐月值构成等差数列{a n}，等比数列{b n}可以看成关于n的指数式函数，它是凹函数，等差数列{a n}可以看成关于n的一次式函数.由于a1＝b1，a12＝b12，相当于图象有两个交点，且两交点间指数式函数图象在一次函数图象下方，所以全年的总利润ω＝a1＋a2＋…＋a12比总投资N＝b1＋b2＋…＋b12大，故选A.答案A3.已知数列{a n}中，a n＝－4n＋5，等比数列{b n}的公比q满足q＝a n－a n－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|b n|＝________.解析由已知得b1＝a2＝－3，q＝－4，∴b n＝(－3)×(－4)n－1，∴|b n|＝3×4n－1，即{|b n|}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b1|＋|b2|＋…＋|b n|＝3（1－4n）1－4＝4n－1.答案4n－14.(2019·潍坊调研)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝5，nS n＋1－(n＋1)S n＝n2＋n.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列； (2)令b n ＝2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .(1)证明由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n 2＋n 得S n ＋1n ＋1－S n n ＝1，又S 11＝5，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为5，公差为1的等差数列. (2)解由(1)可知S n n ＝5＋(n －1)＝n ＋4，所以S n ＝n 2＋4n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋4n －(n －1)2－4(n －1)＝2n ＋3. 又a 1＝5也符合上式，所以a n ＝2n ＋3(n ∈N *)，所以b n ＝(2n ＋3)2n ，所以T n ＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n ＋3)2n ，① 2T n ＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n ＋1)2n ＋(2n ＋3)2n ＋1，② 所以②－①得T n ＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(23＋24＋…＋2n ＋1)＝(2n ＋3)2n ＋1－10－23（1－2n －1）1－2＝(2n ＋3)2n ＋1－10－(2n ＋2－8) ＝(2n ＋1)2n ＋1－2.。

2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲数列求和及数列的综合应用(新人教A版)

第二讲数列求和及数列的综合应用一、公式法与分组求和法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －2d ；(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q＝a 1－q n1－q ，q ≠1.2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．二、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．常用的拆项方法(1)1n n ＋k ＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k (2)1n ＋k ＋n ＝1k(n ＋k －n )(3)1n －n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1(4)1n n ＋n ＋＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＋－1n ＋n ＋四、倒序相加法和并项求和法 1．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．2．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.基础自测1．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100【解析】 ∵S n ＝n ＋2n ＋2＝n (n ＋2)，∴S nn＝n ＋2.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.【答案】 C2．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，前n 项和为9，则n 等于( )A ．9B ．9 9C ．10D ．100【解析】 ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，又a 1＋a 2＋…＋a n＝－(1－2＋2－3＋…＋n －n ＋1) ＝n ＋1－1＝9， ∴n ＝99. 【答案】 B3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15【解析】 ∵a n ＝(－1)n(3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 【答案】 A4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋－2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n n ＋＝1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.【答案】 A考点一分组转化求和例 (2014山东) 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. （Ｉ）求数列的通项公式；（II ）设，记，求.【解析】：（Ⅰ）由题意知：为等差数列，设，为与的等比中项且，即，解得： .（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，①当n 为偶数时：②当n 为奇数时：综上：跟踪练习 [2014·湖南卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2an ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 方法与技巧分组转化法求和的常见类型若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和.通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.考点二错位相减求和例（2013山东）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .解：本题主要考查等差数列的通项公式、错位相减法等知识，考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力．(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋n －d ＝2a 1＋n －d ＋1，解得a 1＝1，d ＝2. 因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n ，所以b n a n ＝12n ，n ∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n ∈N *.又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n .方法与技巧：1．错位相减只是实现求和的途径，其本质是相减后利用等比数列求和公式求和．在构造方程时，S n 的左右两边同乘以等比数列的公比．2．错位相减法的难点在于运算，为力求运算准确，要注意两式相减时幂指数相同的项要对齐，同时注意剩余的项．3．当{a n }为等差数列，{b n }为等比数列时，求数列{a n b n }的前n 项和，可用错位相减法．跟踪练习 (2012·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.考点三裂项相消求和例 (2013·课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．【思路点拨】 (1)结合等差数列的求和公式列出关于首项和公差的方程组求解；(2)裂项求和，但要注意裂项后的系数．【尝试解答】 (1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 ，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1－2n －2n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n.,方法与技巧 1.本例第(2)问在求解时，常因“裂项”错误，导致计算失误． 2．利用裂项相消法求和应注意以下两点(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2.跟踪练习 (2010山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)，因此b n ＝14nn ＋＝14(1n －1n ＋1)．故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1) ＝n n ＋，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n n ＋.考点四数列与不等式的综合应用例 (2014·潍坊模拟)已知公比为q 的等比数列{a n }是递减数列，且满足a 1＋a 2＋a 3＝139，a 1a 2a 3＝127.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{(2n －1)·a n }的前n 项和为T n ；(3)若b n ＝n 3n －1·a n ＋32(n ∈N *)，证明：1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1≥435.【规范解答】 (1)由a 1a 2a 3＝127及等比数列性质得a 32＝127，即a 2＝13，1分由a 1＋a 2＋a 3＝139得a 1＋a 3＝109.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13a 1＋a 3＝109得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝13a 1＋a 1q 2＝109，所以1＋q 2q ＝103，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3，或q ＝13.3分因为{a n }是递减数列，故q ＝3舍去，∴q ＝13，由a 2＝13，得a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1(n ∈N *).4分(2)由(1)知(2n －1)·a n ＝2n －13n －1，所以T n ＝1＋33＋532＋…＋2n －13n －1，①13T n ＝13＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ②5分 ①－②得：23T n ＝1＋23＋232＋233＋…＋23n －1－2n －13n＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋133＋…＋13n －1－2n －13n＝1＋2·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n所以T n ＝3－n ＋13n －18分(3)因为b n ＝n 3n －1·a n ＋32(n ∈N *)＝n ＋32＝2n ＋32，9分所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝25·27＋27·29＋…＋22n ＋3·22n ＋5 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋5，11分因为n ≥1，15－12n ＋5≥15－17＝235，所以1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1≥435.12分【名师寄语】 1.正确应用等差数列和等比数列基本量的关系解题是处理此类问题的关键.2.明确“错位相减法”及“裂项相消法”的适用条件，准确计算，确保不失分.3.数列的单调性类同于函数的单调性，其是处理数列不等式的有效工具.跟踪练习 [2014·湖北卷] 已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意知，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4，当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (2)当a n ＝2时，S n ＝2n ，显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0，解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的正整数n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.。

山东省2016年高考数学(理)二轮专题复习课件：专题三数列第2讲

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3 6 9
2 4 8
10 14 18
解 (1)当 a1＝3 时，不合题意；当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意；当 a1＝10 时，不合题意. 因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比 q＝3. 故 an＝2· 3n－1(n∈N*).
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当 n 为奇数时，
n－1 1－3n Sn＝2× －(ln 2－ln 3)＋ ln 3 － n 1－3 2
n－1 ＝3 － ln 3－ln 2－1. 2
n
n n 3 ＋2ln 3－1，n为偶数，综上所述，Sn＝ 3n－n－1ln 3－ln 2－1，n为奇数. 2
1.求和的常用方法
(1)公式法：直接利用等差数列、等比数列的求和公式求解. (2)倒序相加法：适用于与首、末等距离的两项之和等于首、末两项之和，且和为常数的数列 .等差数列前n项和公式的推导就使用了倒序相加法，利用倒序相加法求解数列前 n 项和
时，要把握数列通项公式的基本特征，即通过倒序相加可以
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解
(1)因为 2Sn＝3n＋3，
所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3，当 n＞1 时，2Sn－1＝3n 1＋3，
－
此时 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n 1＝2×3n 1，
－－
即 an＝3n 1，
－
所以
3，n＝1， an＝ n－1 ，n＞1. 3
(或多项)组合在一起，重新构成一个数列再求和，一般适用

2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲双曲线1(新人教A版)

第二部分双曲线1．（2012新课标全国）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4D ．8解析：抛物线y 2＝16x 的准线方程是x ＝－4，所以点A (－4，23)在等轴双曲线C ：x 2－y 2＝a 2(a ＞0)上，将点A 的坐标代入得a ＝2，所以C 的实轴长为4.答案：C2．[2014·北京卷] 设双曲线C 的两个焦点为(－2，0)，(2，0)，一个顶点是(1，0)，则C 的方程为________．答案：x 2－y 2＝1 [解析] 由题意设双曲线的方程为x 2－y 2b2＝1(b >0)，又∵1＋b 2＝(2)2，∴b 2＝1，即双曲线C 的方程为x 2－y 2＝1.3．[2014·广东卷] 若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案：D [解析] ∵0<k <5，∴5－k >0，16－k >0.对于双曲线：x 216－y 25－k＝1，其焦距是25－k ＋16＝221－k ；对于双曲线：x 216－k －y 25＝1，其焦距是216－k ＋5＝221－k .故焦距相等．4．（2013福建）双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25 B.45 C.255D.455解析：本题考查双曲线的图象与性质，点到直线的距离等基础知识，意在考查考生的数形结合能力、转化和化归能力以及运算求解能力．双曲线x 24－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±x2，即x ±2y ＝0，所以双曲线的顶点(±2,0)到其渐近线距离为25＝255.答案：C5．[2014·重庆卷] 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.15 C ．4 D.17答案：D [解析] ∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ，∴4a 2＝b 2－3ab ，两边同除以a 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－3·b a －4＝0，解得b a ＝4，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋16＝17.6．[2014·江西卷] 过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D. x 212－y 24＝1 答案：A [解析] 由直线方程x ＝a 和渐近线方程y ＝bax 联立解得A (a ，b )．由以C 的右焦点为圆心，4为半径的圆过原点O 可得c ＝4，即右焦点F (4，0)．由该圆过A 点可得|FA |2＝(a －4)2＋b 2＝a 2＋b 2－8a ＋16＝c 2－8a ＋16＝c 2，所以8a ＝16，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12.故双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.。

2016高考数学(文)二轮复习课件2.4.2数列求和及综合应用

⑤将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列).
(2)常见的求和的方法 ①公式法求和 ②错位相减法 ③裂项相消法 ④倒序相加法 ⑤分组求和法 (3)主要思想安一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=-11， a5+a9=-2，则当Sn取最小值时，n等于( A.9 B.8 C.7 ) D.6
2.(2015·泰安模拟)已知数列{an}的通项为 a n n , 则它的前n项和 n 1
2
Sn=_______.
【解析】因为数列{an}的通项为 a n n , 所以它的前n项和 n 1
2 2 3 n 1 1 2 3 n 1 n Sn 1 2 … n 1 , Sn 2 3 … n 1 n , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 n 所以 1 S 1 1 1 … 1 n 2 n 2 2 n , n 2 2 22 2n 1 2n 1 1 2n 2n 2 所以 S 4 4 2n . n 2n 4 2n 答案： 4 2n
4.(2015·安徽高考)已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+ 1 (n≥2)，
2
则数列{an}的前9项和等于__________.
【解析】当n≥2时，an=an-1+ 1 且a2=a1+ 1 ，
2 2 所以{an}是首项为1，公差为 1 的等差数列， 2 所以 S9 9 1 9 8 1 9 18 27. 2 2
预测2016年命题热点为： (1)已知等差(比)数列的某些项的值或其前几项的和，求该数列的通项公式. (2)已知某数列的递推式或某项的值，求该数列的和. (3)已知某个不等式成立，求某参数的值.证明某个不等式成立.

山东省济宁市2016届高三二模考试数学(理)试题 Word版

试卷类型：A2016年济宁市高考模拟考试高三数学（理）试题 2016.05第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}|0x 2,|x 1M x N x =<<=>，则()R M C N = A. (]0,1 B. [)0,1 C. ()1,2 D.[)1,2 2.设i 是虚数单位，在复平面内复数1ii-的共轭复数对应的点位于 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.由曲线y ，直线y x =所围成的封闭曲线的面积是A.16 B. 12 C. 23D. 1 4.若92a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中含项6x 的系数是36，则实数a =A. 1B. 1-C. 2D. 4 5.有下列三种说法：①命题2"x R,x x 0"∃∈->的否定是2"x R,x x 0"∀∈-≤； ②“p q ∨为真”是“p ⌝”为假的必要不充分条件； ③在区间[]0,π上随机取一个数，则事件1"sinx "2≥发生的概率是56. A. 0 B. 1 C. 2 D. 36.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A.23B. 1C. 13D. 167.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的实数x 的值是A. 2-B. 2C. 7D. 2-或78.奇函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤≤的图象向右平移4π个单位得到的图象关于y 轴对称，则ω的值可以是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 49.平面直角坐标系xoy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C y px p =>交于点,,O A B ，若OAB 的重心为2C 的焦点，则1C 的渐近线方程为 A.y x = B.y x =C. y =±D. y x = 10.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()21,021,2x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()()()1g x f x k x =--恰有4个不同的零点，则实数k 的取值范围是 A. 3333,,4554⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ B. 331,,144⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ C. 33,54⎛⎤⎥⎝⎦ D. 33,45⎡⎫--⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.一个总体中有80个个体，随机编号为0,1,2，…，79，依编号顺序平均分成8个小组，组号依次为1,2,3，…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为8的样本，若在第1组随机抽取的号码为5，则在第6组中抽取的号码是 .12.设变量,x y 满足约束条件360,20,20,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z y x =-的最小值为 .13.已知向量,a b，其中1,2a b == ，且()a b a -⊥ ，则2a b -= .14.不等式125x x ++-≤的解集为 .15. 若函数()x x af x e e=+在[]0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知函数()c o s s i n .6fx x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（2）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()1,4f A a ==，且sin 2sin B C =，求ABC 的面积.17.(本小题满分12分)某校高二年级开设,,,,a b c d e 五门选项课程，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选a 课程，不选b 课程，另从其余课程中随机选修两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.（1）求甲同学选中c 课程且乙同学未选中c 课程的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中c 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望.18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥A B C D E -中，30,,,A B C A B A C A FB C ∠=⊥⊥垂足为F ，BE ⊥平面,//,4,3,A B C C D B E B C B E C D=== （1）求证：;EF AD ⊥（2）求平面ADE 与平面所ADF 成锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为22,n S n n =+，在等比数列{}n b 中，135b b +=，4640b b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）令2,n n n S c ⎧⎪=⎨⎪⎩n为奇数b ,n 为偶数，设数列{}nc 的前n 项和为n T ，求2n T .20.(本小题满分13分) 已知函数()()()11,.xfx x m e x m R=--++∈ （1）求()f x 在[]0,1上的最小值；（2）若m 为整数，当0x >时，()0f x >恒成立，求m 的最大值.21.(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，过椭圆C 的左焦点且倾斜角为60 的直线与圆222x y a +=（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上顶点为M ，若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于两点A,B （A,B,都不是上顶点），且直线MA 与直线MB 的斜率之积为34. （ⅰ）求证：直线l 过定点；（ⅱ）求MAB 面积的最大值.。

【配套K12】高优指导2016高考数学二轮复习专题四数列第二讲数列求和及数列的综合应用素能提

第二讲数列求和及数列的综合应用素能演练提升七SUNENG YANLIAN TISHENGQI掌握核心,赢在课堂1.若数列{a n}是公差为2的等差数列,则数列{}是( )A.公比为4的等比数列B.公比为2的等比数列C.公比为的等比数列D.公比为的等比数列解析:∵a n=a1+2(n-1),∴=22=4.∴{}是等比数列,公比为4.答案:A2.已知在数列{a n}中,a1=-60,a n+1=a n+3,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|等于( )A.445B.765C.1080D.3105解析:∵a n+1=a n+3,∴a n+1-a n=3.∴{a n}是以-60为首项,3为公差的等差数列.∴a n=a1+3(n-1)=3n-63.令a n≤0,得n≤21.∴前20项都为负值.∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+a21+…+a30=-2S20+S30.∵S n=n=×n,∴|a1|+|a2|+|a3|+…+|a30|=765.答案:B3.设数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则的值为( )A. B. C. D.解析:∵S n=2n-1,∴.答案:A4.设某商品一次性付款的金额为a元,以分期付款的形式等额地分成n次付清,若每期利率r保持不变,按复利计算,则每期期末所付款是( )A.(1+r)n元B.元C.(1+r)n-1元D.元解析:设每期期末所付款是x元,则各次付款的本利和为x(1+r)n-1+x(1+r)n-2+x(1+r)n-3+…+x(1+r)+x=a(1+r)n,即x·=a(1+r)n,故x=.答案:B5.(2014黑龙江大庆第二次质检,10)已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),a1=1,a2=3,记S n=a1+a2+…+a n,则下列结论正确的是( )A.a2014=-1,S2014=2B.a2014=-3,S2014=5C.a2014=-3,S2014=2D.a2014=-1,S2014=5解析:由已知数列{a n}满足a n+1=a n-a n-1(n≥2),知a n+2=a n+1-a n,a n+2=-a n-1(n≥2),a n+3=-a n,a n+6=a n,又a1=1,a2=3,a3=2,a4=-1,a5=-3,a6=-2,所以当k∈N时,a k+1+a k+2+a k+3+a k+4+a k+5+a k+6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,a2014=a4=-1,S2014=a1+a2+a3+a4=1+3+2+(-1)=5.答案:D6.数列{a n}的通项公式a n=n cos,其前n项和为S n,则S2012等于( )A.1006B.2012C.503D.0解析:∵函数y=cos的周期T==4,∴可分四组求和:a1+a5+…+a2009=0,a2+a6+…+a2010=-2-6-…-2010==-503×1006,a3+a7+…+a2011=0,a4+a8+…+a2012=4+8+…+2012==503×1008.故S2012=0-503×1006+0+503×1008=503×(-1006+1008)=1006.答案:A7.(2014河南郑州第二次质检,12)已知正项数列{a n}的前n项和为S n,若2S n=a n+(n∈N*),则S2014=( )A.2014+B.2014-C.2014D.解析:由题意可知,当n≥2时,a n=S n-S n-1,则2S n=a n+=S n-S n-1+,整理,得=1.=1,即数列{}是公差为1的等差数列,又由2S1=2a1=a1+,解得a1=1(a n>0),即S1=1,=1,因此=n.故S2014=.答案:D8.(2014河北唐山高三统考,16)若数列{a n}的前n项和为S n,且a1=3,a n=2S n-1+3n(n≥2),则该数列的通项公式为a n=.解析:∵a n=2S n-1+3n,∴a n-1=2S n-2+3n-1(n≥3),相减得a n-a n-1=2a n-1+2×3n-1,即a n=3a n-1+2×3n-1.∴(n≥3).又a2=2S1+32=2a1+32=15,,即,∴数列是以1为首项,为公差的等差数列,∴=1+(n-1)×.∴a n=(2n+1)3n-1.答案:(2n+1)3n-19.(2014贵州六校第一次联考,16)已知f(x)=,各项均为正数的数列{a n}满足a1=1,a n+2=f(a n),若a12=a14,则a13+a2014=.解析:由f(x)=,a1=1,a n+2=f(a n)可得a3=,a5=,同理可推得a7=,a9=,a11=,a13=,由a12=a14,得,a10=a12,依次推出a2=a4=a6=…=a2014,由a4=f(a2),得a2=+a2-1=0,a2=.故a13+a2014=.答案:10.(2013浙江高考,理18)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0,故d=-1或d=4.当d=-1时,a n=-n+11.当d=4时,a n=4n+6.所以d=-1,a n=-n+11,n∈N*或d=4,a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n.因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=11.(2014河南郑州第二次质检,17)已知正项数列{a n},若对于任意正整数p,q均有a p·a q=2p+q成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=na n,求数列{b n}的前n项和S n.解:(1)由已知,令p=q=n可得a n·a n=22n,因为a n>0,所以a n=2n.(2)b n=na n=n×2n,S n=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)2n-1+n×2n,①2S n=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)2n+n×2n+1,②由①-②,得-S n=1×21+22+23+…+2n-n×2n+1,即-S n=-n×2n+1,整理可得S n=(n-1)2n+1+2.12.已知向量p=(a n,2n),向量q=(2n+1,-a n+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=log2a n+1,求数列{a n·b n}的前n项和S n.解:(1)∵向量p与q垂直,∴2n+1a n-2n a n+1=0,即2n a n+1=2n+1a n.∴=2.∴{a n}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴a n=2n-1.(2)∵b n=log2a n+1,∴b n=n.∴a n·b n=n·2n-1.∴S n=1+2·2+3·22+4·23+…+n·2n-1.①∴2S n=1·2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n.②①-②,得-S n=1+2+22+23+24+…+2n-1-n·2n=-n·2n=(1-n)2n-1.∴S n=1+(n-1)2n.13.设正项数列{a n}的前n项和是S n,若{a n}和{}都是等差数列,且公差相等.(1)求{a n}的通项公式;(2)若a1,a2,a5恰为等比数列{b n}的前三项,记数列c n=,数列{c n}的前n项和为T n.求证:对任意n∈N*,都有T n<2.(1)解:设{a n}的公差为d,则·n,且a1-=0.∵d=,∴d=,a1=,a n=.(2)证明:∵b1=a1=,b2=a2=,b3=a5=,∴b n=×3n-1.∴c n=.当n≥2时,=,∴当n≥2时,T n=+…++…+=2-<2,且T1=<2.故对任意n∈N*,都有T n<2.。

山东省济宁市高考数学一轮复习第二讲数列求和及数列的综合应用习题理新人教A版

第二讲数列求和及数列的综合应用1、[2014·合肥检测] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n ，a 5＝4－a 3，则S 7＝( )A ．7B ．12C ．14D ．21答案：C [解析] 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n 得，数列{a n }为等差数列．由a 5＝4－a 3，得a 5＋a 3＝4＝a 1＋a 7，所以S 7＝7（a 1＋a 7）2＝14.2．(2013·辽宁高考)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.【解析】因为a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，且数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，q ＝2，所以S 6＝1－261－2＝63.【答案】 633．(2013·重庆高考)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.【解析】借助等比中项及等差数列的通项公式求出等差数列的公差后，再利用等差数列的求和公式直接求S 8.∵a 1，a 2，a 5成等比数列，∴a 22＝a 1a 5∴(1＋d )2＝1×(4d ＋1)， ∴d 2－2d ＝0， ∵d ≠0，∴d ＝2.∴S 8＝8×1＋8×72×2＝64.【答案】 644、若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为( )A ．2n ＋n 2－1B ．2n ＋1＋n 2－1C ．2n ＋1＋n 2－2D ．2n＋n －2答案：S n ＝(21＋22＋23＋ (2))＋[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＝－2n 1－2＋n ＋2n －2＝2n ＋1＋n 2－2.【答案】 C5．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fn (n ∈N *)的前n 项和是________．【解析】 f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1， ∴a ＝1，m ＝2， ∴f (x )＝x (x ＋1)， 1f n ＝1n n ＋＝1n －1n ＋1，用裂项法求和得S n ＝nn ＋1.【答案】nn ＋16．（2013新课标全国Ⅱ）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．解析：本题考查等差数列的前n 项和公式以及通过转化利用函数的单调性判断数列的单调性等知识，对学生分析、转化、计算等能力要求较高．由已知⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，那么nS n ＝n 2a 1＋n 2n －2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，因而检验n ＝6时，6S 6＝－48，而n ＝7时，7S 7＝－49.∴nS n 的最小值为－49. 答案：－497、已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝3a n －1＋2n －1(n ≥2)．(1)证明{a n ＋2n}是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【思路点拨】 (1)证明：a n ＋2na n －1＋2n －1＝q (q 为非零常数)便可．(2)求a n 的通项公式，分组求和求S n .【尝试解答】 (1)证明：当n ≥2时，由a n ＝3a n －1＋2n －1，得a n ＋2na n －1＋2n －1＝3a n －1＋2n ＋2n －1a n －1＋2n －1＝3.又∵a 1＝1，∴a 1＋21＝3∴数列{a n ＋2n}是首项为3，公比为3的等比数列．(2)由(1)知a n ＋2n ＝3n ，∴a n ＝3n －2n.∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(31－21)＋(32－22)＋(33－23)＋…＋(3n －2n )＝(31＋32＋33＋…＋3n )－(21＋22＋23＋…＋2n )＝－3n 1－3－－2n 1－2＝3n ＋12－2n ＋1＋12.8、已知等差数列{a n }中，a 2＝8，S 6＝66. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝2n ＋a n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n .【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝8，S 6＝6a 1＋6×52d ＝66，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝2.∴a n ＝6＋(n －1)·2＝2n ＋4.(2)b n ＝2n ＋a n ＝1n ＋n ＋＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝12－1n ＋2＝n n ＋， 9．[2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解： (1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a nn＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2，从而可得b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1＋n ×3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)3n ＋n ×3n ＋1.② ①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32，所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.10、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和．解：(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3. 由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.11、（2013北京）设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.解：本题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的通项公式、裂项求和、放缩法等基础知识和基本方法，考查化归与转化思想、分类与整合思想，考查考生的运算求解能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题能力．(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，又a 22－a 11＝1，故数列{a n n}是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n n＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2. (3)证明：当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n2<1n －n ＝1n －1－1n ，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.备选12．（2012广东，14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解：(1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7， ② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)， ③ 由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n＋1，两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n，则a n ＋12n－32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n＋2＝32(a n2n －1＋2)．又a 120＋2＝3，知{a n 2n －1＋2}是首项为3，公比为32的等比数列， ∴a n2n －1＋2＝3(32)n －1，即a n ＝3n－2n，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n－2n. (3)证明：由(2)得1a n＝13n－2n ＝1＋n－2n＝1C 1n 2n －1＋C 2n 2n －2＋…＋1<1n ·2n －1，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋122＋1222＋…＋12n －12＝1＋12(1－12n －1)<32.。

2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲抛物线(新人教A版)

第二讲椭圆、双曲线与抛物线第三部分抛物线一、抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．抛物线的焦半径抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.基础自测1．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716 B.1516 C.78D ．0 【解析】 M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，∴y ＝1516.【答案】 B2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x【解析】因为抛物线的准线方程为x ＝－2，所以p2＝2，所以p ＝4，所以抛物线的方程是y 2＝8x . 所以选B. 【答案】 B3．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ． 4或－4D ．12或－2【解析】设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意知p2＋2＝4，∴p ＝4，∴抛物线方程为x 2＝－8y ，∴m 2＝16，∴m ＝±4.【答案】 C4．双曲线x 23－16y 2p2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为________．【解析】双曲线的左焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－ 3＋p 216，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，∴－3＋p 216＝－p2，∴p 2＝16，又p ＞0，则p ＝4. 【答案】 4 5．(2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－2＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 【答案】 B6．(2013·北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________；准线方程为________．【解析】 ∵抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴准线方程为x ＝－p2.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p ＝2，准线方程为x ＝－1.【答案】 2 x ＝－1考点一抛物线的定义及标准方程例 (1)设圆C 与圆C ′：x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆（2）(2012·山东高考)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析：(1)设圆C 的半径为r ，又圆x 2＋(y －3)2＝1的圆心C ′(0,3)，半径为1. 依题意|CC ′|＝r ＋1，圆心C 到直线y ＝0的距离为r ， ∴|CC ′|等于圆心C 到直线y ＝－1的距离(r ＋1)．故圆C 的圆心轨迹是抛物线．(2)∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为|3×0±p2|2＝2， ∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y .方法技巧若P x 0，y 0为抛物线y 2＝2pxp ＞上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A x 1，y 1，B x 2，y 2，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A .若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x【解析】由抛物线方程知焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，∴直线l 为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，与y 轴交点A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2.∴S △OAF ＝12|OA |·|OF |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4＝a216＝4. ∴a ＝±8，∴抛物线方程为y 2＝±8x . 【答案】 B考点二抛物线的几何性质例已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A 、B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( )A ．18B ．24C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，当x ＝p2时，y 2＝p 2，∴|y |＝p ，∴p ＝|AB |2＝122＝6，又点P 到AB 的距离始终为6，∴S △ABP ＝12×12×6＝36.跟踪练习（2011辽宁）已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54. 答案：C考点三直线与抛物线位置关系例 (2013·陕西高考)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【思路点拨】 (1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系．图①【尝试解答】 (1)如图①，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |. 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42又|O 1A |＝x －2＋y 2， ∴x －2＋y 2＝x 2＋42.化简得，y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .图②(2)证明：如图②，由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk2，① x 1x 2＝b2k2.②∵x 轴是∠PBQ 的角平分线，∴y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， ∴2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③并整理得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线过定点(1,0)．,规律方法3 解决抛物线与直线的相交问题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，直线方程为Ax ＋By ＋C ＝0，将直线方程与抛物线方程联2跟踪练习已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解】 (1)将A (1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55可得|t |5＝15，解得t ＝±1. 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.。

2016届山东省济宁市高考数学理讲练练习第2讲概率1(新人教A版)

第二讲概率1．(2011·浙江高考)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910【解析】从5个球中任取3个共有10种方法．又“所取的3个球中至少有1个白球”的对立事件是“所取的3个球都不是白球”因而所求概率P ＝1－110＝910. 【答案】 D2．(2013·课标全国卷Ⅱ)从1,2, 3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．【解析】先找出两数之和等于5的各种情况，再利用古典概型的概率知识求解．两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．∴P ＝210＝0.2. 【答案】 0.23．[2014·广东卷] 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．答案：25[解析] 所有事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，其中含有字母a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个，所以所求事件的概率是P ＝410＝25.4．[2014·江苏卷] 从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．答案：13[解析] 基本事件有(1，2)，(1，3)(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况，乘积为6的是(1，6)和(2，3)，则所求事件的概率为13. 5．[2014·江西卷] 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.112答案：B [解析] 掷两颗均匀的骰子，一共有36种情况，点数之和为5的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，所以点数之和为5的概率为436＝19. 6．[2014·陕西卷]从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.45答案：B [解析] 由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种，其中选取的2个点的距离小于该正方形边长的情况共有4种，故所求概率为P ＝410＝25.7.(2013·陕西高考)图10－3－2如图10－3－2，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基战，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4【解析】取面积为测度，则所求概率为P ＝S 图形DEBF S 矩形ABCD ＝2×1－π×12×14×22×1＝2－π22＝1－π4. 【答案】 A8．[2014·福建卷] 如图15所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图15答案：0.18 [解析] 设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18，所以可以估计阴影部分的面积为0.18.9、（2011山东）甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. （I ）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（II ）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率.【解析】(1) 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男)，共9种；选出的2名教师性别相同的结果有(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲女1, 乙女1)、(甲女1, 乙女2)，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为.（2）从报名的6名教师中任选2名，所有可能的结果为(甲男1,乙男)、(甲男2, 乙男)、(甲男1, 乙女1)、(甲男1, 乙女2)、(甲男2, 乙女1)、(甲男2, 乙女2)、(甲女, 乙女1)、(甲女, 乙女2) 、(甲女, 乙男) 、(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共15种；选出的2名教师来自同一学校的所有可能的结果为(甲男1, 甲男2)、(甲男1, 甲女)、(甲男2, 甲女)、(乙男, 乙女1)、(乙男, 乙女2)、(乙女1, 乙女2)，共6种，所以选出的2名教师来自同一学校的概率为.10、（2012山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；(Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.【答案】(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为.(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为.11、[2014·天津卷] 某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6)．(1)用表中字母列举出所有可能的结果；(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M 发生的概率．解：(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}， {B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种．(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种．因此，事件M发生的概率P(M)＝615＝2 5.12．[2014·陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．解：(1)设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝1201000＝0.12. 由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100＝0.24.由频率估计概率得P (C )＝0.24.13、[2014·四川卷]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：(1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为：(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括 (1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种，所以P (A )＝327＝19. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ，则事件B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B )＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.。