初三数学压轴专题圆与相似综合(含答案)

初三数学压轴专题圆与相似综合

1.如图，在△ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC

于点E ，连结DE ，过点B 作BP 平行于DE ，交⊙O 于点P ，连结EP 、CP 、OP ．

（1）BD ＝DC 吗？说明理由；

（2）求∠BOP 的度数；

（3）求证：CP 是⊙O 的切线；

如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：

为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP 交AC 于点G ，证AOG CPG △∽△”；小强说：“过点C 作CH ⊥AB 于点H ，证四边形CHOP 是矩形”．

答案

（1）等于，连接AD ，三线合一；

（2）易证30PBC EDC ∠=∠=︒，所以90POB ∠=︒;

（3）证法一：设OP 交AC 于G ，30OAG ∠=︒ ，12

OG AG ∴

=，又12OP OP AC AB == ，OP OG AC AG ∴=，OG GP AG GC

∴=，又AGO CGP ∠=∠ ，AOG CPG ∴△∽△，90GPC AOG ∴∠=∠=︒，

∴CP 是O 的切线；

证法二：过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图2，则90BOP BHC ∠=∠=︒，

//PO CH ∴在Rt AHC △中，30HAC ∠=︒ ，12CH AC ∴=，又1122PO AB AC == ，PO CH ∴=， 四边形CHOP 是平行四边形

∴四边形CHOP 是矩形，

90OPC ∠=︒，∴CP 是O 的切线.

图1图2

2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切

于Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动.设运动时间为(s)t .

（1）求PQ 的长；

（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切.

答案

（1）连接OQ ，可得PQ =8cm.

（2）设AB 切⊙O 于C ，连OC ，则OC AB ⊥，

∵5PA t =，4PB t =，10PO =，8PQ =，∴PA PB PO PQ

=，且P P ∠=∠，∴PAB POQ △∽△，∴90PBA ∠=︒，

∴四边形OCBQ 为正方形，BQ =OC =6cm.

①如图1，846BQ t =-=，∴0.5(s)t =；

②如图2，486BQ t =-=，∴ 3.5(s)t =.

图1图2

3.如图，在⊙O中，直径AB CD

⊥弦于点H，CT为过点C的切线，E为OC上一点，连接AE并延长交O

于点F，连接DF交BC于点P.

（1）试判断1

∠与2

∠的大小关系，并说明理由；

（2）求证：CP CA CE CD

⋅=⋅；

（3）若点E是CO的中点，⊙O的半径为10，

1

cos

5

BOC

∠=，求BP的长.

答案

（1）12

∠=∠；

（2）证明CAE CDP

△∽△；

（3）BP=

（1）证明

（2）证明

4.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线

BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于C ，连接BC 、AF .

（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；

（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；

（3）若6BC =，1tan 2

F ∠=，求cos ACB ∠的值和线段PE 的长.

答案

（1）证明90PAO ∠=︒；

（2）21

4EF OD OP =⋅；

（3）3cos 5ACB ∠=，10

3PE =.

5.如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长

线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.

（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：

（2）若3tan 4ADB ∠=，PA =，求BD 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.

答案

（1）如图，连接DO 并延长交圆于点E ，连AE

∵DE 是直径，∴90DAE ∠=︒，∴90E ADE ∠+∠=︒，∵PDA ADB E

∠=∠=∠∴90PDA ADE ∠+∠=︒，即PD ⊥DO ，∴PD 与圆O 相切于点D

（2）∵3tan 4

ADB ∠=，∴可设AH =3k ，则DH =4k

∵4333

PA AH -=，∴3)PA k =-

∴PH =，∴∠P =30°，∠PDH =60°

∴∠BDE =30°

连接BE ，则∠DBE =90°，DE =2r =50

∴BD =DE ·cos30°=

（3）由（2）知，4BH k =-，∴44)3

HC k =又∵2PD PA PC

=⨯

∴24(8)3)4)3k k k ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦

解得3

k =

∴434)73

AC k k =+=

∴117)900222

S BD AC =⋅=⨯=+