初三数学压轴专题圆与相似综合(含答案)

初三数学压轴专题圆与相似综合
1.如图，在△ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC
于点E ，连结DE ，过点B 作BP 平行于DE ，交⊙O 于点P ，连结EP 、CP 、OP ．
（1）BD ＝DC 吗？说明理由；
（2）求∠BOP 的度数；
（3）求证：CP 是⊙O 的切线；
如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：
为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目．在进行小组交流的时候，小明说：“设OP 交AC 于点G ，证AOG CPG △∽△”；小强说：“过点C 作CH ⊥AB 于点H ，证四边形CHOP 是矩形”．
答案
（1）等于，连接AD ，三线合一；
（2）易证30PBC EDC ∠=∠=︒，所以90POB ∠=︒;
（3）证法一：设OP 交AC 于G ，30OAG ∠=︒ ，12
OG AG ∴
=，又12OP OP AC AB == ，OP OG AC AG ∴=，OG GP AG GC
∴=，又AGO CGP ∠=∠ ，AOG CPG ∴△∽△，90GPC AOG ∴∠=∠=︒，
∴CP 是O 的切线；
证法二：过点C 作CH AB ⊥于点H ，如图2，则90BOP BHC ∠=∠=︒，
//PO CH ∴在Rt AHC △中，30HAC ∠=︒ ，12CH AC ∴=，又1122PO AB AC == ，PO CH ∴=， 四边形CHOP 是平行四边形
∴四边形CHOP 是矩形，
90OPC ∠=︒，∴CP 是O 的切线.
图1图2
2.如图，已知⊙O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =，射线PN 与⊙O 相切
于Q.A 、B 两点同时从点P 出发，点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动.设运动时间为(s)t .
（1）求PQ 的长；
（2）当t 为何值时，直线AB 与⊙O 相切.
答案
（1）连接OQ ，可得PQ =8cm.
（2）设AB 切⊙O 于C ，连OC ，则OC AB ⊥，
∵5PA t =，4PB t =，10PO =，8PQ =，∴PA PB PO PQ
=，且P P ∠=∠，∴PAB POQ △∽△，∴90PBA ∠=︒，
∴四边形OCBQ 为正方形，BQ =OC =6cm.
①如图1，846BQ t =-=，∴0.5(s)t =；
②如图2，486BQ t =-=，∴ 3.5(s)t =.
图1图2
3.如图，在⊙O中，直径AB CD
⊥弦于点H，CT为过点C的切线，E为OC上一点，连接AE并延长交O
于点F，连接DF交BC于点P.
（1）试判断1
∠与2
∠的大小关系，并说明理由；
（2）求证：CP CA CE CD
⋅=⋅；
（3）若点E是CO的中点，⊙O的半径为10，
1
cos
5
BOC
∠=，求BP的长.
答案
（1）12
∠=∠；
（2）证明CAE CDP
△∽△；
（3）BP=
（1）证明
（2）证明
4.如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E ，F ，过点B 作PO 的垂线
BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于C ，连接BC 、AF .
（1）求证：直线PA 为⊙O 的切线；
（2）试探究线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系，并加以证明；
（3）若6BC =，1tan 2
F ∠=，求cos ACB ∠的值和线段PE 的长.
答案
（1）证明90PAO ∠=︒；
（2）21
4EF OD OP =⋅；
（3）3cos 5ACB ∠=，10
3PE =.
5.如图，⊙O 的半径25r =，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC BD ⊥于点H ，P 为CA 延长
线上的一点，且PDA ABD ∠=∠.
（1）试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由：
（2）若3tan 4ADB ∠=，PA =，求BD 的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD 的面积.
答案
（1）如图，连接DO 并延长交圆于点E ，连AE
∵DE 是直径，∴90DAE ∠=︒，∴90E ADE ∠+∠=︒，∵PDA ADB E
∠=∠=∠∴90PDA ADE ∠+∠=︒，即PD ⊥DO ，∴PD 与圆O 相切于点D
（2）∵3tan 4
ADB ∠=，∴可设AH =3k ，则DH =4k
∵4333
PA AH -=，∴3)PA k =-
∴PH =，∴∠P =30°，∠PDH =60°
∴∠BDE =30°
连接BE ，则∠DBE =90°，DE =2r =50
∴BD =DE ·cos30°=
（3）由（2）知，4BH k =-，∴44)3
HC k =又∵2PD PA PC
=⨯
∴24(8)3)4)3k k k ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦
解得3
k =
∴434)73
AC k k =+=
∴117)900222
S BD AC =⋅=⨯=+
6.
如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于E ，DE EC =，过点B 的切线与AD 的延长线交于点F ，过E 作EG BC ⊥于点G ，延长GE 交AD 于H .
（1）求证：H 为ADE △的外心；
（2）若4cos 5C ∠=，9DF =，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，设AHE △与DBC △的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的值
.答案
（1）证明AH DH EH ==；
（2）10；
（3）49
.7.
如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E ，AD EC ⊥于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC ，CF ，AC .
（1）求证：BC CF =；
（2）若6AD =，8DE =，求BE 的长；
（3）求证：2AF DF AB +=
.答案
（1）∵ACD ABC ∠=∠，∴BC CF =；
（2）52
；（3）易证CHB CDF △≌△，∴DF=BH ，∴AF+2DF=AB.
8.如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的角平分线，DE AD ⊥交AB 于E ，
ADE △的外接圆⊙O 与边AC 相交于点F ，过F 作AB 的垂线交AD 于P ，交⊙O 于G ，连接GE .
（1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若4tan 3
G ∠=，2BE =，求⊙O 的半径；（3）在（2）的条件下，求AP 的长.
答案
（1）证明90ODC ∠=︒；
（2）3；
（3）25
.9.已知，如图，AB 是O ⊙的直径，l 是过B 点的O ⊙的切线，C 是l 上一动点（不与点B
重合），AC 与O ⊙交于D ．
（1）若M 是BC 的中点，试判断直线DM 与O ⊙的位置关系，并证明；
（2）过动点C 作O ⊙的切线CP ，P 为切点，且交过点A 的O ⊙的切线于E ，若O ⊙的半径为2，试问PC PE ⋅是否为一定值？若是，请求出这个值；若不是，请求出其变化范围．
答案
（1）连结OD 、BD
∵AB 是O ⊙的直径，∴90ADB BDC ∠=∠=︒，
∵OA OD =，∴A ADO ∠=∠，
∵M 是BC 的中点，∴12
DM CM BC ==，∴MCD MDC ∠=∠，∵l 是O ⊙的切线，∴90ABC ∠=︒，∴90A C ∠+∠=︒，
∴90ADO MDC ∠+∠=︒，∴90ODM ∠=︒，
∵OD 是半径，∴DM 与O ⊙相切．
（2）解法一：如图，连结OE 、OC ，
∵AE 、BC 、CE 都是O ⊙的切线，∴AE EP PC BC ==，，
且AE BC ∥，AEO PEO ∠=∠，BCO PCO ∠=∠，
∴90COE ∠=︒，则易得AOE BOC △∽△，∴AE AO OB BC
=，即AE BC AO BO ⋅=⋅，∵AE EP PC BC ==，，∴24PC PE AO ⋅==，
∴PC PE ⋅是定值．
解法二：如图，过E 点作EF BC ⊥于F ，同解法一，可以得到AE EP =，PC BC =，设AE EP x ==，BC PC y ==，则CE x y =+，
∵EF BC ⊥，易得四边形ABFE 是矩形，
∴BF AE x ==，4EF AB ==，则CF y x =-，
在Rt EFC △中，90EFC ∠=︒，∴222EF FC CE +=，
即2224()()y x x y +-=+，∴416xy =，∴4xy =，
则4PC PE xy ⋅==，∴PC PE ⋅是定值．
10.如图，在ABC △中，ABC ACB ∠=∠，以AC 为直径的O ⊙分别交AB 、BC 于点M 、N ，
点P 在AB 的延长线上，且2CAB BCP ∠=∠.
（1）求证：直线CP 是O ⊙的切线；
（2）若BC =，5sin 5
BCP ∠=，求点B 到AC 的距离；（3）在（2）的条件下，求ACP △的周长.
答案
（1）证明略；
（2）4；
（3）20.
11.如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，D 是边AB 上一点，且2A DCB ∠=∠，E 是BC 边
上的一点，以EC 为直径的⊙O 经过点D .
（1）求证：AB 是⊙O 的切线；
（2）若弦CD 的弦心距为3，3sin 5
B =，求BD 的长.
答案
（1）连OD ，证垂直；
（2）连AO 交CD 于H ，45BD =.
12.如图，AB 是O ⊙的直径，B CAD =∠∠．
（1）求证：AC 是O ⊙的切线；
（2）若点E 是 BD
的中点，连接AE 交BC 于点F ，当5BD =，4CD =时，求AF 的值．答案
（1）证明90BAC ∠=︒；
（2）2613.如图，D 为O ⊙上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且CDA CBD ∠=∠.
（1）求证：2CD CA CB =⋅；
（2）求证：CD 是O ⊙的切线；
（3）过点B 作O ⊙的切线交CD 的延长线于点E ，若12BC =，2tan 3
CDA =∠，求BE 的长.
答案
（1）（2）略；（3）5.
14.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切O ⊙于点C ，BD PD ⊥，
垂足为D ，连接BC .
（1）求证：BC 平分PBD ∠；
（2）求证：2BC AB BD =⋅；
（3）若6PA =，62PC =BD 的长.
答案
（1）连接CO ，//CO DB ；
（2）连接CA ，证明CDB ACB △∽△；
（3）4.。