九年级数学竞赛讲座判别式

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新课标九年级数学竞赛辅导讲座第五讲一元二次方程的整数整数解【教案】

第五讲一元二次方程的整数整数解在数学课外活动中，在各类数学竞赛中，一元二次方程的整数解问题一直是个热点，它将古老的整数理论与传统的一元二次方程知识相结合，涉及面广，解法灵活，综合性强，备受关注，解含参数的一元二次方程的整数解问题的基本策略有：从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设△=2k )，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解．注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关．【例题求解】【例1】若关于x 的方程054)15117()9)(6(2=+----x k x k k 的解都是整数，则符合条件的整数是的值有个．思路点拨用因式分解法可得到根的简单表达式，因方程的类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定是的值才能全面而准确．注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论．【例2】已知a 、b 为质数且是方程0132=+-c x x 的根，那么ba ab +的值是( ) A ．22127 B ．22125 C ．22123 D ．22121 思路点拨由韦达定理a 、b 的关系式，结合整数性质求出a 、b 、c 的值．【例3】试确定一切有理数r ，使得关于x 的方程01)2(2=-+++r x r rx 有根且只有整数根．思路点拨由于方程的类型未确定，所以应分类讨论．当0≠r 时，由根与系数关系得到关于r 的两个等式，消去r ，利用因式(数)分解先求出方程两整数根．【例4】当m 为整数时，关于x 的方程01)12()12(2=++--x m x m 是否有有理根?如果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．思路点拨整系数方程有有理根的条件是为完全平方数．设△=22224)12(544)12(4)12(n m m m m m =+-=+-=--+(n 为整数)解不定方程，讨论m 的存在性．注：一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=ac b 42-为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件．【例5】若关于x 的方程0)13()3(22=-+--a x a ax 至少有一个整数根，求非负整数a 的值．思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a 的两个关系式中消去a 也较困难，又因a 的次数低于x 的次数，故可将原方程变形为关于a 的一次方程．学历训练1．已知关于x 的方程012)1(2=--+-a x x a 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有．2．已知方程019992=+-m x x 有两个质数解，则m ＝．3．给出四个命题：①整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若△为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程02=++c bx ax (a ≠0)中，若方程有有理数根，则△为完全平方数；③无理数系数方程02=++c bx ax (a ≠0)的根只能是无理数；④若a 、b 、c 均为奇数，则方程02=++c bx ax 没有有理数根，其中真命题是．4．已知关于x 的一元二次方程0)12(22=+-+a x a x (a 为整数)的两个实数根是1x 、2x ，则21x x -= ．5．设rn 为整数，且4<m<40，方程08144)32(222=+-+--m m x m x 有两个整数根，求m 的值及方程的根．6．已知方程015132)83(222=+-+--a a x a a ax (a ≠0)至少有一个整数根，求a 的值．7．求使关于x 的方程01)1(2=-+++k x k kx 的根都是整数的k 值．8．当n 为正整数时，关于x 的方程0763*******=-+-+-n n x nx x 的两根均为质数，试解此方程．9．设关于x 的二次方程4)462()86(2222=+--++-k x k k x k k 的两根都是整数，试求满足条件的所有实数k 的值．10．试求所有这样的正整数a ，使得方程0)3(4)12(22=-+-+a x a ax 至少有一个整数解．11．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数，求出p 的所有可能值．12．已知方程02=++c bx x 及02=++b cx x 分别各有两个整数根1x 、2x 及1x '、2x '，且1x 2x >0，1x '2x ' >0． (1)求证：1x <0,2x <0，1x '<0,2x '< 0； (2)求证：11+≤≤-b c b ；(3)求b 、c 所有可能的值．13．如果直角三角形的两条直角边都是整数，且是方程0122=+--m x mx 的根(m 为整数)，这样的直角三角形是否存在?若存在，求出满足条件的所有三角形的三边长；若不存在，请说明理由．参考答案。

九年级数学一元二次方程根的判别式

求下列各式的值
(1) ∣x1-x2∣
(2)9x13+13x2
知识源于悟
例4
已知方程( 5 1)x2+( 5 5)x-4=0的一个根为-1,设另一个根为a,求a3-2a2-4a的值.
小试牛刀
已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2-k=0的两个根恰好等于斜边为5的直角三角形的两条直角边的长,求实数k的值.
灵感
智慧
已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0
(k为整数) ①只有整数根,且关于y的一
元二次方程(k-1)y2-3y+m=0 ②有两个实数根y1和y2,试确定k的值.
小
结
1.根的判别式及根与系数关系的应用 2.通过这节课你增长了….
回ห้องสมุดไป่ตู้无穷
再见！！
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判别式逆定理若方程有两个不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0
若方程有两个实数根,则b2-4ac≥0
知识源于悟
例1
已知m为实数,试判断关于x2-(2m-3)x-(m-1)=0 的根的情况.
知识源于悟
例2
m取什么值时,关于x的方程 2x2-(m+2)+2m-2=0有两个相等的实数根?
xrg19yua
有。”算命先生突然停顿了一下，然后说道，“但是我知道你有脸盲症。”“这都能看出来？”慕容凌娢十分吃惊，“你也是晴穿会的吧？让我猜猜，你是夏桦的……哥哥？”“果然是有脸盲症，粘上了胡子就不认识我了。”“哦！你是……谁啊？” 慕容凌娢不好意思的挠了挠头。“夏桦。”算命先生不情愿的回答。“不会吧？”柯蒂丽娅伸手拽了拽他的胡子，“这是假的？”“假的拽着也很疼啊，别拽了。”夏桦赶忙从慕容凌娢手中救下了自己的假胡子。“神奇……”慕容凌娢小声喃喃道， “那你以前的短胡子也是粘上的？”“对啊。”“你干嘛要换伪装呢？而且就改个胡子，稍微有点智商的人都能发现吧！”“你就没发现。”夏桦不紧不慢的说道。“咱们换个话题吧……我记得最开始百蝶叫过你夏江，后来在醉影楼时都叫你夏桦，现在你怎么连姓都改了？你怎么把算命摊摆这儿来了？是又有人穿越了吗？”“我用过很多化名，夏江夏桦只不过是其中之一。”“呵呵，我看不一定吧。你有没有听说过名字代表人的命运？如果这这的是你的化名，那只能证明你是个坑。夏江——瞎讲，夏桦——瞎话。你现在的化名不会是胡扯吧？”慕容凌娢狡诈的笑了笑，“你实话实说，是不是当初人设不确实，结果名字被打错了？”“你这是听谁说的？”夏桦眉头一皱，似乎有些不悦，“这属于天机，天机不可泄露，泄漏必遭雷劈。说不定你被雷劈死，然后就大结局了。”(从君行小剧场)慕容凌娢：“说实话我觉得这章纯属是在解释。”笄筱玦：“我真的不是故意的，但当时YY名字确实很纠结，所以改出了BUG……不过这一章把BUG合理化了……虽然很牵强……”夏XX：“那么问题来了，我到底是谁？”笄筱玦：“你就叫夏桦吧，因为我真的想不出别的了。”韩哲轩：“那么真正的问题就来了，求夏桦的心理阴影面积。”夏桦：“你这个名字苏到爆的渣渣还吐槽我？你造不造和你类似的名字在言情小说里一抓一大把！”慕容凌娢：“其实我早就觉得韩哲轩名字太大众化了。”韩哲轩：“别忘了你的名字其实也是个坑……。”笄筱玦[始作俑者的心虚]：“你们先聊，我回去写作业了……”第081章光环暴走“呵呵，我看不一定吧。你有没有听说过名字代表人的命运？如果这这的是你的化名，那只能证明你是个骗子。夏江——瞎讲，夏桦——瞎话。你现在的化名不会是胡扯吧？”慕容凌娢狡诈的笑了笑，“你实话实说，是不是当初人设不确实，结果名字被打错了？”“你这是听谁说的？”夏桦眉头一皱，似乎有些不悦，“这属于天机，天机不可泄露，泄漏必遭雷劈。说不定你被雷劈死，然后就大结局了。”“那好吧，我还不想领盒饭。咱们再换个话题。你来这里干什么？”“赚

第02讲根的判别式、根与系数关系-新九年级数学暑假(苏科版)(学生版)

第02讲根的判别式、根与系数关系（核心考点讲与练）【基础知识】一．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．二．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【考点剖析】一．根的判别式（共4小题）1．（2022•东坡区校级模拟）一元二次方程2x2﹣7x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2022•兴化市模拟）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当a+b+c＝0时，方程有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．b＝c≠a B．a＝b≠c C．a＝c≠b D．a＝b＝c3．（2022•南京一模）若关于x的一元二次方程x2+3（m﹣2）x+2c﹣1＝0有两个相等的实数根，则c的最小值是．4．（2022•邗江区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长．二．根与系数的关系（共6小题）5．（真题•泰兴市期末）已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．56．（2022•工业园区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+2x+1﹣m＝0的一个根为2，则另一个根是．7．（真题•鼓楼区期末）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数，a≠0）的两个实数根分别为x1，x2，证明：x1+x2，x1•x2．8．（真题•东台市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为﹣1时，求m的值及方程的另一根．9．（真题•南关区校级期末）已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．10．（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．三．一元二次方程的整数根与有理根（共3小题）11．小明到商场购买某个牌子的铅笔x支，用了y元（y为整数）．后来他又去商场时，发现这种牌子的铅笔降价20%，于是他比上一次多买了10支铅笔，用了4元钱，那么小明两次共买了铅笔支．12．若关于x的方程rx2﹣（2r+7）x+r+7＝0的根是正整数，则整数r的值可以是．13．（2020•仪征市一模）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根均为整数，称该方程为“全整方程”，规定T（a，b，c）为该“全整方程”的“全整数”．（1）判断方程x2x﹣1＝0是否为“全整方程”，若是，求出该方程的“全整数”，若不是，请说明理由；（2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2﹣4m﹣5＝0（其中m为整数，且满足5＜m＜22）是“全整方程”，求其“全整数”．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019秋•苏州期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2ax﹣b＝0有一个实数根x＝1，则下面关于该方程根的判别式△的说法正确的是（）A．Δ＞0 B．Δ＝0 C．Δ＜0 D．无法确定2．（真题•仪征市期末）关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等实数根，则整数a最大是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣13．（真题•宝应县期末）方程x2﹣x＝﹣2的根的情况为（）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．（真题•仪征市期末）已知方程（x﹣b）（x﹣c）﹣x＝1的根是x1＝m，x2＝n，且m＜n．若b＜﹣1＜0＜c，则下列式子中一定正确的是（）A．m＜b＜n＜c B．b＜m＜n＜c C．m＜n＜b＜c D．m＜b＜c＜n5．（2020•南通模拟）已知数m满足6＜m＜20，如果关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有有理根，求m的值（）A．11 B．12C．m有无数个解D．13二．填空题（共10小题）6．（2019•京口区校级开学）已知关于x的方程x2+px+q＝0的两根为﹣4和﹣1，则p＝，q＝．7．（2022•秦淮区一模）若x2﹣4x+3＝0，y2﹣4y+3＝0，x≠y，则x+y﹣2xy的值是．8．（2022•鼓楼区一模）已知关于x的方程2x2+mx+n＝0的根是﹣1和3，则m+n＝．9．（真题•东西湖区期中）设x1，x2是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两实数根，则x1+x2的值为．10．（2021•栖霞区开学）若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则x1+x2﹣x1x2＝．11．（真题•姜堰区期中）若关于x的一元二次方程2ax2﹣（a+4）x+2＝0有一个正整数解，则正整数a＝．12．（2022春•崇川区校级月考）已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝．13．（2022•海安市模拟）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两实根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是．14．（2021•栖霞区二模）已知关于x的方程kx2﹣（3k+1）x+2k+2＝0根都是整数；若k为整数，则k的值为．15．（2020春•崇川区校级月考）使得关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4＝0与x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5＝0的根都是整数的整数m值是．三．解答题（共9小题）16．（2020春•张家港市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是直角三角形时，求k的值．17．（真题•沭阳县期末）关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于2，求k的取值范围．18．（真题•鼓楼区校级月考）已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0（1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝2，求m的值．19．（真题•海州区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根．20．（真题•梁溪区校级期中）已知关于x的方程x2+ax+a﹣1＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个实数根；（2）若该方程的一个根为2，求a的值及该方程的另一根．21．（真题•阜宁县期末）定义新运算：对于任意实数m，n都有m★n＝m2n+n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如：﹣3★2＝（﹣3）2×2+2＝20．根据以上知识解决问题：（1）若（x+1）★3＝15，求x的值．（2）若2★a的值小于0，请判断关于x的方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．22．（真题•大丰区期末）已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+2）x+k2+2k＝0．（1）当k＝2时，求方程的根；（2）求证：这个方程总有两个不相等的实数根．23．（真题•东台市月考）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有实数根．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若x1+x2﹣3x1x2＝2，求k的值．24．（真题•东海县期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8＝0就是“倍根方程”．请解决下列问题：（1）若一元二次方程x2﹣9x+c＝0是“倍根方程”，则c＝；（2）若（x﹣1）（mx﹣n）＝0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式的值．。

九年级判别式知识点

九年级判别式知识点随着九年级升学压力的加大，判别式题在各科学科的考试中越来越常见。

判别式题要求学生在提供的信息中，凭借自己的思考和判断能力，从中正确地进行筛选、判断或得出结论。

在这里，我们将重点探讨数学、物理和化学三门科目的判别式知识点。

数学中的判别式题能力要求学生具备较强的逻辑思维和数学推理能力。

常见的数学判别式题包括解方程、不等式、概率等。

例如，当我们碰到求解一元二次方程时，我们首先需要判断该方程是否有实数解。

如何判断呢？我们可以通过计算判别式的值来得到结果。

若判别式大于零，则方程有两个不相等的实数解；若判别式等于零，则方程有两个相等的实数解；若判别式小于零，则方程无实数解。

因此，熟练掌握这个判别式的运用，能够在解一元二次方程时事半功倍。

物理中的判别式题要求学生在问题描述中，通过对物理规律和原理的理解，做出正确判断。

例如，当我们碰到一个问题描述中，有"匀速直线运动"或"匀加速直线运动"的关键词时，我们可以根据位移-时间和速度-时间曲线的特征，判断出物体的运动情况。

又如当我们碰到一个物体在斜面上滑动的问题时，我们需要判断重力分解和摩擦力的方向和大小。

只有正确地理解了物理规律，我们才能在判别式题中做出准确的判断。

化学中的判别式题主要考查学生对反应类型、离子性质和物质性质的判断。

例如，当我们碰到一个问题描述中，涉及到一种反应类型为单替代反应的反应方程式时，我们可以通过对离子的位置和电荷的判断，得出化学反应过程中物质的状态变化。

又如当我们碰到一个问题描述中，要求判断一种物质是酸性、碱性还是中性时，我们需要通过对化学方程式中氢离子或氢氧根离子的含量和浓度的判断，来确定物质的性质。

因此，对反应类型和离子性质的判断是化学判别式题中非常重要的一环。

九年级的判别式题在各门学科中都有一定的难度和深度，考察的知识也相对较多，因此我们需要通过大量的练习和积累经验来提升自己的判别能力。

九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲一元二次方程根的判别式(含答案)

第二讲一元二次方程根的判别式趣通引路】话说小精灵拜数学高手为师，苦练了十八般数学技艺．一日师傅韦达对小精灵道：“师傅给你一件随身法宝——“Δ”，出去闯荡一下吧！”“小精灵拜别师傅韦达，来到“方程堡”，守门将喝道：“来者何人？”小精灵拱手答道：“晚辈小精灵奉师傅之命前来方程经见识见识．”守门将道：“先要破我一方程方能进堡！“说时迟，那时快，只见守门将挥手将许多数字、字母和符号排成2x 2＋2xy ＋7y 2－10x －18y ＋19＝0，并且问道：“你能说出实数x 、y 的值吗？”小精灵取出法宝灵机一动，将上式中的y 看成已知数，把它整理成关于x 的一元二次方程2x 2＋(2y －10)x ＋(7y 2－18y ＋19)＝0．好哇！因为x 是实数，上面的方程必有实数根，所以Δ≥0，即(2y －10)2－4×2(7y 2－18y ＋19)≥0，可得(y －1)2≤0，一下子便得到了y ＝1，再将y ＝1代人原方程就可得x ＝2．小精灵这里用的法宝“Δ”是什么呢？它就是一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ＞0时，有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，有两个相等的实数根；当Δ＜0时，没有实数根，反过来也成立．知识延伸】例1 已知关于x 的二次方程x ²＋p 1x ＋q 1＝0与x 2＋p 2x ＋q 2＝0，求证：当p 1p 2＝2(q 1＋q 2)时，这两个方程中至少有一个方程有实根．证明设这两个方程的判别式为Δ1，Δ2，则Δ1＋Δ2＝2212p p +－4(q 1＋q 2)．∵p 1p 2＝2(q 1＋q 2)，∴Δ1＋Δ2＝2212p p +－2p 1p 2＝(p 1－p 2)2≥0．∴Δ1≥0与Δ2≥0中至少有一个成立，即两个方程中必有一个方程有实根．点评：两个方程中至少有一个方程有实根，可转化为证明Δ1＋Δ2≥0；本题还可用反证法来证明，即假设Δ1＜0且Δ2＜0，则Δ1＋Δ2＜0，但Δ1＋Δ2＝(p 1－p 2)2≥0，两者矛盾，从而导出原题结论成立．例2 求函数y ＝(4－x )＋解析设u ＝x ，则u ＞0且y ＝4＋u ． ∴(u ＋x )2＝4(x 2＋9)，即3x 2－2ux ＋36－u 2＝0． ∵x ∈R ，故以上方程有解．∴Δ＝(2u )2－4×3×(36－u 2)≥0，即u ≥27．又u ＞0，∴u4y x =-+ 的最小值为4+x .好题妙解】佳题新题品味例已知实数1234,,,a a a a 满足22222124213423()2()0a a a a a a a a a +-+++= ，求证：2213=a a a ⋅ 解析把已知等式看成关于a 4的方程。

精品九年级数学上册一元二次方程判别式和韦达定理

6
13. 已知方程 x2 + 2( m – 3 )x + m2 – 7m – n + 12 = 0 有两个相等的实数根，且 m、 n 满足 2m – n = 0. （1）求 m、n 的值，（2）证明方程 ( -m + n )x2 + nkx + 2k – ( m + n ) = 0 有两个不相等的实数根.
B.有两个相等的实数根 D.根的情况无法判断）.
练习 2.关于 x 的方程 (a 6) x 2 8 x 6 0 有实数根，则整数 a 的最大值（ A.6 B.7 C.8 D.9
练习3.已知关于x的方程x 2 (3k 1) x 2k 2 2k 0. (1)求证 : 无论k 取何实数值, 方程总有实数根; (2)若等腰三角形ABC的一边长a 6,, 另两边b, c恰好是这个方程的两个根, 求此三角形的周长.
y2 4y 4 0
4．若关于 x 的方程 2 x 2 m 2 x 3m 5 0 的两个根互为负倒数，则 m 的值是（） A． 4
[巩固练习]
1．以 3 和－2 为根的一元二次方程是（ A． x 2 x 6 0 B． x 2 x 6 0 ） C． x 2 x 6 0 D．
x2 x 6 0
2．已知α，β满足α+β=5 且αβ=6，以α，β为两根的一元二次方程是（ A． x 2 5x 6 0 B． x 2 5x 6 0 C． x 2 5x 6 0 ） D．
1 x1 + x2 = ，则 x1 · x2 = 3
。
2
类题练习：（ 1 ）若 x1 、 x 2 是方程 x 2 x m 0 的两个根，且

(初三)九年级数学一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)教案讲义

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(韦达定理)【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆1)当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2)当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； 3)当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，1)方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； 2)方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； 3)方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：1)逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；2)若一元二次方程有两个实数根则ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为0≠a ，0≥∆.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于1x 、2x 的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-； ⑥12()()x kx k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦12||x x -==⑧22212121222222121212()211()x x xx x x x x x x x x ++-+==； ⑨12x x -==；⑩122|||||x x x +==2|x =．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当0≥∆且120x x >时，两根同号．当0≥∆△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当0≥∆且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当0>∆且021<x x 时，两根异号．当0>∆且021<x x ，021>+x x 时，两根异号且正根的绝对值较大；当0>∆且021<x x ，021<+x x 时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：1)利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；2)若有理系数一元二次方程有一根b a +，则必有一根b a -(a ，b 为有理数)．【典型例题——基础题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 04322=-+x x (2))0(02≠=+a bx ax 【答案与解析】 (1)04322=-+x x2=a ，3=b ，4-=c ，∵041)4(243422>=-⨯⨯-=-=∆ac b ∴方程有两个不相等的实数根.(2))0(02≠=+a bx ax∵0≠a ， ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零， ∵2204b a b =⋅⋅-=∆，∵无论b 取任何关数，2b 均为非负数， ∴0≥∆，故方程有两个实数根.【总结升华】根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：0122=++-a ax x . 【答案】∵0)1(14)(22<+⨯⨯--=∆a a ，∴该无实根.2．关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】2<k 且1≠k ；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程012)1(2=+--x x k 有两个不相等的实数根， ∴01≠-k 且0)1(4)2(2>---=∆k ，解得：2<k 且1≠k ．故答案为：2<k 且1≠k ．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根.【答案】∵012)5(3710)]3(3[4)]1([222>++=++=+----=∆m m m m m ， ∴关于x 的方程0)33()1(2=+---m x m x 恒有两个不相等的实数根. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将2=x 代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，7-=k ．方法二：将2=x 代入方程，得062252=-+⨯k ，从而7-=k ．设另外一根为1x ，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-，故方程的另一根为35-，k 的值为7-．【总结升华】由一元二次方程根与系数的关系12bx x a +=-，12cx x a=易得另一根及k 的值．举一反三：【变式】已知方程022=+-c x x 的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】由一元二次方程根与系数的关系易另一根为1-；c 的值为3-．4．已知关于x 的一元二次方程02)2(2=++-m mx ． (1)证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； (2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】解：(1)0)2(448)2(222≥-=+-=-+=∆m m m m m ∴方程总有实数根； (2)解方程得，mm m x 2)2(22,1-±+=，mx 21=，12=x ， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴1=m 或2，2=m 不合题意， ∴1=m ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．【典型例题——提高题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1.已知关于x 的方程0222=-++a x x ．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； (2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．【思路点拨】(1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式042>-=∆ac b ．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．(2)设方程的另一根为1x ，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根．【答案与解析】解：(1)∵0412)2(14)2(422>-=-⨯⨯--=-a a ac b ，解得：3<a ．∴a 的取值范围是3<a ；(2)设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得：⎩⎨⎧-=⋅-=+212111a x x ，解得：⎩⎨⎧-=-=311x a ，则a 的值是1-，该方程的另一根为3-．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【变式】若关于x 的一元二次方程0342=+-x kx 有实数根，则k 的非负整数值是( )A. 1B. 0，1C. 1，2D. 1，2，3 【答案】A.【解析】根据题意得：01216≥-=∆k ，且0≠k ，解得：34≤k ，且0≠k . 则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且1≠m . 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠， ∴ m 的取值范围是54m ≤且1≠m ．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，1≠m ．举一反三：【变式】已知：关于x 的方程04)1(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围. 【答案】021≠->k k 且.【解析】因为方程有两个不相等的实数根，所以044)1(2>⋅⋅-+=∆k k k ，解得21->k ，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即0≠k ，∴k 的取值范围是021≠->k k 且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. 设1x 、2x 是方程22610x x -=的两根，不解方程，求下列各式的值：(1)2212x x +； (2)212()x x -； (3)122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得1262x x +=，1212x x =-，要求2212x x +，212()x x -，122111x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．【答案与解析】由一元二次方程根与系数的关系知126x x +=1212x x =-，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-26135212222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)22121212()()4x x x x x x -=+-26137422222⎛⎫⎛⎫=-⨯-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (3)121221121112x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭112122=-++-112222=-+-=-．【总结升华】解此类问题关键是把它们化成含有12x x +、12x x 的式子．若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，a cx x =21.举一反三：【变式】不解方程，求方程01322=-+x x 的两个根的(1)平方和；(2)倒数和．【答案】(1)134； (2)3．【解析】由一元二次方程根与系数的关系知2321-=+x x ，2121-=⋅x x ，所以(1)222121212()2x x x x x x +=+-413)21(2)23(2=-⨯--=． (2)3212311212121=--=+=+x x xx x x ．4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为1x 、2x ，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为1y 、2y ，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数1x 、2x 为根的一元二次方程是0)(21212=++-x x x x x .”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．【巩固练习】A 组一、选择题1. 下列方程，有实数根的是( )A ．0122=++x xB ．02132-=+x x C ．011.02=--x x D ．230x -+= 2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是( )A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥ 3．若关于x 的一元二次方程022)1(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值为( )A ．1-B ．0 C. 1 D. 24．关于方程0322-++x x 的两根21x x 、的说法正确的是( )A. 221=+x xB.321-=+x xC. 221-=+x xD.无实数根 5．关于x 的一元二次方程042=++k x x 有实数解，则k 的取值范围是( )A.4≥kB.4≤kC.4>kD.4=k6．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为( )． A ．3 B ．6 C ．18 D ．24 二、填空题7．关于x 的方程03242=--x kx 有实数根，则k 的取值范围是． 8．已知01232=--x x 的二根为21x x 、，则=+21x x ______，=⋅21x x ______，1211x x +=•_______，•=+2221x x _______，=-21x x ________． 9．若方程0322=--x x 的两根是21x x 、，则代数式21222122x x x x --+的值是。

人教版九年级上数学第21章一元二次方程根的判别式(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根的判别式在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了《一元二次方程根的判别式》的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对判别式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决一元二次方程问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
举例2：当遇到方程-3x² + 2x - 1 = 0时，学生需要注意到a = -3，b = 2，c = -1，计算Δ = 2² - 4×(-3)×(-1) = -8，这里a、b、c为负数，但计算过程中符号要按照规则变化，这是学生容易出错的地方。
举例3：在解决实际问题如“一个物体从高处落下，其高度与时间的关系为h = -5t² + 10t + 30，求物体落地的时间”时，学生需要将问题转化为求解方程-5t² + 10t + 30 = 0的根的问题，然后通过计算判别式来判断物体是否会落地以及何时落地。
2.教学难点
-理解为什么判别式Δ的值能决定方程的根的判别式Δ的计算过程中的符号变化敏感，尤其是当a、b、c为负数时的处理；
-将根的判别式应用于解决实际问题时，如何建立数学模型，将现实问题转化为数学问题。

九年级数学专训2根的判别式的六种常见应用

2020-2021学年专训2根的判别式的六种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．(2020·泰州)已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．【2020·咸宁】已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．利用根的判别式解与函数综合问题5．【2020·黔南州】y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．利用根的判别式探求菱形条件7．(中考·淄博】已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？。

九年级数学第九讲__公式法及根的判别式

九年级数学第九讲公式法及根的判别式学习目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.学习重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.学习难点：1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.课前准备：一、公式法与根的判别式的概念：利用公式()042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当ac b 42-0≥时，方程的解为()042422≥--±-=ac b aac b b x ，当ac b 42-<0时，一元二次方程无解。

用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a 、b 、c 的值。

ac b 42-叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta ”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系：当0>∆时，方程有两个不相等的实数根，当0=∆时，方程有两个相等的实数根，当0<∆时，方程没有实数根。

注意：根的判别式是ac b 42-，是不带有根号的！二、求根公式的推导过程：用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2移常数项a c x ab x -=+2方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++两边配上一次项系数一半的平方)0(02≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。

初中数学竞赛辅导讲义(总77页)

初中数学竞赛辅导讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除初中数学竞赛辅导讲义（初三）第一讲分式的运算[知识点击]1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。

2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。

3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。

[例题选讲]例1．化简2312++x x + 6512++x x + 12712++x x 解：原式= )2)(1(1++x x + )3)(2(1++x x + )4)(3(1++x x = 11+x - 21+x + 21+x - 31+x + 31+x - 41+x =)4)(1(3++x x例2．已知z z y x -+ = y z y x +- = x z y x ++- ，且xyz ≠0，求分式xyz x z z y y x ))()((+-+的值。

解：易知：z y x + = y z x + = x z y + =ｋ则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+)3()2()1(kx z y ky z x kz y x （1）+（2）+（3）得：(ｋ-2)(x+y+z)=0 ｋ=2 或 x+y+z=0 若ｋ=2则原式= k 3 = 8 若ｘ+ｙ+ｚ=0，则原式= k 3 =-1例3．设 12+-mx x x =1，求 12242+-x m x x 的值。

解：显然X 0≠，由已知x mx x 12+- =1 ，则 x +x1 = ｍ + 1 ∴ 22241x x m x +- = ｘ2 + 21x - ｍ2= (x +x1)2-2 –ｍ2 =( ｍ +1)2-2- ｍ2= 2ｍ -1 ∴原式=121-m例4．已知多项式3x 3 +ax 2 +3x +1 能被x 2+1整除，求ａ的值。

解：1- ａ=0 ∴ ａ=1例5：设ｎ为正整数，求证311⨯ + 511⨯ + …… +)12)(12(1+-n n ＜ 21证：左边=21（1 - 31 + 31 - 51+ …… +121-n - 121+n ） =21（1- 121+n ）∵n 为正整数，∴121+n ＜ 1 ∴1- 121+n ＜ 1 故左边＜ 21 [小结归纳]1、部分分式的通用公式：)(1k x x + = k 1 （x 1 - kx +1） 2、参数法是解决比例问题特别是连比问题时非常有效的方法，其优点在于设连比值为K ，将连等式化为若干个等式，把各字母用同一字母的解析式表示，从而给解题带来方便。

九年级数学上册第2章一元二次方程2.3一元二次方程根的判别式公开课课件省市一等奖完整版

1.一元二次方程 x2x10的根的情况为 ( D )
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根
2. 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a ≠ 0) 有两个不相等
的实数根，则b2－4ac满足的条件是 ( ) B
A．b2－4ac＝0
B．b2－4ac＞0
C．b2－4ac＜0
把方程ax2+bx+c = 0(a≠0) 配方后得到：
x2ba2b24a42ac
由于a≠0，所以 4 a 2 ＞0 ，因此我们不难发现：
（1）当
b24ac>0时，b
2 4ac 4a 2
>0.
由于正数有两个平方根，所以原a c , x 2 b b 2 a 2 4 a c .
D．b2－4ac≥0
2.3 一元二次方程根的判别式
教学目标
1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程； 2.能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证； 3.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的范围.
新课引入
我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？
此时，原方程有两个不相等的实数根.
（2）
当
b24ac=0时，b2 4ac
4a 2
= 0.
由于0的平方根为0，所以原方程的根为 x1x22ba，
此时，原方程有两个相等的实数根.
（3）当
b24ac<0时，b
2 4ac 4a 2
< 0.
由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根.
课堂练习

华师大九年级数学上册《一元二次方程的根的判别式》赛课课件

一元二次方程的根的判别式
利用公式法解下列方程
1 5 x2 3x 2 0 225y2 4 20 y 32x2 3x 1 0
想一想
对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)
你能谈论一下它的根的情况吗? 在什么情况下，一元二次方程有解?有什么样的解? 什么情况下一元二次方程无解?
例1. 不解方程，判别下列方程的根的情况。
的个数是( c )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)大于2
2. 关于 x 的一元二次方程 (m 1)x22m xm 0
有两个实数根，则m的取值范围为
m≥0且m≠1
Байду номын сангаас
①本节课你学到了什么知识？掌握了什么方法？
②本节课你有什么收获？还有什么疑问?
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
若a与c异号,则方程（ A ） A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
b2 4ac
D.根的情况无法确定 b24ac 0
例2：已知关于 x 的方程 x23xk0，问 k 取何值时，这个方程：
⑴有两个不相等的实数根？ ⑵有两个相等的实数根？ ⑶没有实数根？

九年级数学上册22.2.4一元二次方程根的判别式教学全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件

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4.一元二次方程根判别式
[归纳总结] (1)将方程整理为一般形式；(2)计算b2－4ac 的值；(3)根据b2－4ac的值与0的大小比较判断方程根的情况．
注意：根的判别式只适用一元二次方程，若无法确定是否为一元二次方程，则应分类讨论．
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4.一元二次方程根判别式
探究问题二根判别式应用
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4.一元二次方程根判别式
当____b_2_－__4_a_c_>_0_________时，方程有两个不相等的实
根，这两个根分别为－b＋ b2－4ac
x1＝________2_a____________，－b－ b2－4ac
x2＝________2_a____________．当__b_2－__4_a_c_＝__0_______时，方程有两个相等的实根，这两个根为x1＝x2＝____－__2b_a_______．当___b_2_－__4_a_c_<_0________时，方程没有实数根，反之也成立．
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4.一元二次方程根判别式
重难互动探究
探究问题一一元二次方程根判别式例1 [高频考题] 不解方程，判断下列方程根的情况． (1)2x2＋3x－4＝0； (2)x2－x＋14＝0； (3)x2－x＋1＝0； (4)x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0(k为常数)． [解析] 根据求根公式，我们可以知道当b2－4ac≥0时，
∵m＜－10. ∴Δ2＝(m＋10)(m－2)＞0. ∴关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0一定有两个不相等的实

数根 .
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4.一元二次方程根判别式
[归纳总结] 要判定方程根情况，首先要看方程是二次方程还是一次方程，假如是二次方程直接用根判别式即可，假如是一次方程还要依据题目再做考虑．