【山东一模_理数】山东省各地市2015届高三3月一模数学(理)试题及答案汇编(共9份)
山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案[来源_学优高考网1483264]
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山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学（理）试题学2015．03本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}{}24,0A y y x B x x x A B ==≤≤=->⋂=，则A.(]()12-∞⋃+∞，，B. ()()012-∞⋃，，C.∅D. (]12，2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于 A.34B.43C. 43-D. 34-3.已知命题()2:,log 310x p x R ∃∈+≤，则A.p 是假命题：()2:,log 310x p x R ⌝∀∈+≤ B. p 是假命题：()2:,log 310x p x R ⌝∀∈+> C. p 是真命题：()2:,log 310x p x R ⌝∀∈+≤ D. p 是真命题：()2:,log 310x p x R ⌝∀∈+>4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．． ①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 中的 A.①② B.②③C.③④D.①④5.已知x ，y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A.34 B.14C. 211D.46.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为 A.1008 B.2015 C.1007D. 1007-7.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是8.已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞9.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD=k AC （k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为A. 221l k -B. 21l k -C. ()2221l k - D.()221lk -10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a c b << B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a =________.12.设随机变量()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<______. 13.如右图，在ABC∆中，若313=2AB AC AB AC BC ===uu u r uuu r g ，，，则_.14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法. 15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+->>的最大值为2，且最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程； （II ）若()4,sin 436f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值.17. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （I ）求证：DE//平面ABC ； （II ）求二面角E BC A --的余弦值.18. （本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.（I ）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率； （II ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人， 记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n . 20. （本小题满分13分）已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫'=-=⋅ ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （I ）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程； （II ）若对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立，求实数m 的取值范围；（III ）试探究当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x x f x =⋅的解的个数，并说明理由. 21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l.又椭圆上的点到焦点F 21-.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP 时，求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；（III ）若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.2015年高三模拟考试理科数学参考答案与评分标准 2015.03一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. DABBB DADCA 1.解析: 答案D ，{}[0,2],|01,(1,2]A B x x x A B ==<>∴⋂=或.故选D.2.解析: 答案A ,求出z 1·2z 的虚部，令其为0. ∵复数z 1=3+4i ，z 2=t +i ， ∴z 1•2z =（3t +4）+（4t ﹣3）i ，∵z 1•2z 是实数，∴4t ﹣3=0，∴t =34.故选A. 3.解析: 答案B ,由2log (31)0x +≤ 得311x +≤即30x ≤,显然无解，所以p 是假命题，又由含量词命题的否定易得⌝p ：R x ∀∈,2log (31)0x +>.故选B.4.解析：答案B ，若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.5.解析: 答案B ，先画出x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如右图：由2y x x y =⎧⎨+=⎩ ，得B (1，1)，由x ay x=⎧⎨=⎩，得C (a ，a )，当直线2z x y =+过点B (1，1)时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点C (a ，a )时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以a =14，故选B. 6.解析：答案D ，由程序框图可知123201320141007(1)1007S =-+-+-=⨯-=-.所以选D.7.解析：答案 A ，本题可用排除法，∵f （x ）=14x 2+sin(π2+x )，∴()f x '=12x +cos(π2+x )= 12x ﹣sin x ．∴函数()f x '为奇函数，故B 、D 错误；又ππ()1024f '=-<，故C 错误；故选A ．8.解析:答案D ,当1a ≤-时，2()22af a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞．故选D ．9. 解析: 答案 C ，如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系， 设(),,0A x y y > ，AB AC =，AD kAC kAB ∴==，即222AD k AB =，22222x l y k x y ∴-+=+（）（），整理得：()()22222222222221221111k x lx l l l k l y x x k k k k --+-==-+-≤----，即max 21kl y k=-， BD l =，∴()()()2maxmax2121ABC ABD l S S kk ==-.故选C. 10. 解析: 答案 A ，利用条件构造函数h （x ）=xf （x ），∴h ′（x ）=f （x ）+x •f ′（x ），∵y =f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴h （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，h '（x ）=f （x ）+x •f ′（x ）＞0，∴此时函数h （x ）单调递增．∵a =12f （12）=h （12），b =﹣2f （﹣2）=2f （2）=h （2），c=（ln 12）f （ln 12）=h （ln 12）=h （﹣ln2）=h （ln2），又2＞ln2＞12，∴b ＞c ＞a ．故选A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.12. 0.2 ;13.; 14. 10 ；15.. 11.解析：，由题意知e = =2，（a ＞0），由此可以求出a12.解析：答案 0.2 ，因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称，又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=. 13.解析：答案BC=，因为,60AB AC =,所以2213213cos60BC =+-⨯⨯⨯=7.14.解析：答案 10，分1个篮球3个排球和2个篮球2个排球两种情况.124410C C +=.15.解析：答案，每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在 这11次中，半径为1的6次，的3次，半径为0的 2次，点A 走过的路径的 长度=121612π⨯⨯⨯+12312π⨯⨯三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=)x ωϕ=+,由题意知：()f x 的周期为π，由2ππ2ω=，知1ω= ………………………………………………………2分由)(x f 最大值为2，故232=+a ，又0>a ，1=∴a ∴π()2sin(2)3f x x =+………………………………………………………………………………………………………4分令232x k πππ+=+，解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z =+∈ ……………………………………6分 （Ⅱ）由4()3f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (10)分22π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (12)分A CD(P )DCBA第(15)题图17.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面ABC …………6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一 个法向量为(0,0,1)n =设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =,则，2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得(3,n =-分1213,13||||n n n n n n ⋅>==⋅又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E BC A --的余弦值为分(18)解：（Ⅰ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A ，则312737013310109849()()()12060C C C P A P A P A C C =+=+==……………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 ,37343(0)()101000P ξ=== ; 12337441(1)()10101000P C ξ==⋅⋅=;22337189(2)()10101000P C ξ==⋅⋅=; 3327(3)()101000P ξ===. 分布列为……………10分3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 注：用二项分布直接求解也可以． 19．解：（Ⅰ）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. ……… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n nn n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+……10分显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减， 又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0； 22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 12分20.解：（Ⅰ）依题意得，()()sin ,e cos .x f x x g x x ==⋅()00e cos 01g ==， ()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=,所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+………………………………………4分（Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e 1sin 0x x x x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ························································· 10分（Ⅲ）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H =->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ····························································· 13分21.解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点，22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a -+--=22021()x a a-≥21)-，0a x a -≤≤,当0x a =时，11a -=，a =，b =椭圆C 的方程 22132x y +=..………………………5分（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==则11x =,知ON PQ ⋅=.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>,2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++, 2PQ x =-==,d =12POQS d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=，422222912412840k k m k m m ++--+=,得到，222(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>,由前知12322x x km+=-，2121231()222y y x x k k m m m m ++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=-, 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m+-+=+==++, 22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m-=+，即m =时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. ………………………10分（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= , 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）,所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=,因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,所以221222256323264y y y =++≥+=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS===, 因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，minOS=，所以所求圆的面积的最小时，点S 的坐标为（16，±8）..……………………14分。
山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}24,0A y y x B x x x A B ==≤≤=->⋂=，则（ ）A.(]()12-∞⋃+∞，，B. ()()012-∞⋃，，C.∅D. (]12，【答案】D考点：集合的交集运算、一元二次不等式、函数的值域.2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于（ ） A.34B.43C. 43-D. 34-【答案】A考点：复数的运算.3.已知命题()2:,log 310xp x R ∃∈+≤，则（ ） A.p 是假命题： ()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤B. p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+> C. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤D. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+> 【答案】B考点：命题的真假、命题的否定.4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.中的（ ） A.①②B.②③C.③④D.①④【答案】B考点：三视图.5.已知x ，y 满足22y xx y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A. 34B.14C .211D.4【答案】B【解析】考点：线性规划.6.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S为（）A.1008B.2015C.1007D. 1007【答案】D考点：程序框图.7.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是（ ）【答案】A考点：函数图象、导数图象和原函数图象的关系.8.已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是（ ）A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞【答案】D 【解析】试题分析：当1a ≤-时，2()22a f a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-；当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞ ．故选D ．考点：指数不等式.9.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD kAC =（k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为（ ）A. 221l k -B. 21l k -C. ()2221l k - D.()221lk - 【答案】C考点：函数的最值.10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A. a c b << B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<【答案】A考点：利用导数判断函数的单调性来比较大小.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a =________.考点：双曲线的离心率.12.设随机变量()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<______.【答案】0.2考点：正态分布.13.如图，在ABC ∆中，若1AB =，3AC =，32AB AC ∙= ，则BC = _.考点：余弦定理.14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法. 【答案】10考点：排列组合.15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.【答案】(2π2+ 【解析】试题分析：每次转动一个边长时，圆心角转过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在这11次中，半径为1的63次，半径为0的2次，点A 走过的路径的长度=121612π⨯⨯⨯+12312π⨯ 考点：点的轨迹.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2，且最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程； （II ）若()4,sin 436fπαα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值. 【答案】（1）π()2sin(2)3f x x =+，ππ()122k x k Z =+∈；（2）19-.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、诱导公式、三角函数的周期、三角函数的最值、图象的对称轴.17.（本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角∠的平分线形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在ABC上.（I）求证：DE//平面ABC；--的余弦值.（II）求二面角E BC A【答案】（1）证明详见解析；（2，（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz考点：线线平行、线面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角.18.（本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.（I）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率；（II）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人，记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望.【答案】（1）4960；（2）分布列详见解析，0.9Eξ=.分布列为……………10分3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 考点：茎叶图、离散型随机变量的分布列和数学期望、二项分布、超几何分布.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n . 【答案】（1）证明详见解析；（2）221()3(1)23n n S n =--+.考点：等比数列的证明、等差数列和等比数列的前n 项和公式.20.（本小题满分13分） 已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫'=-=⋅ ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （I ）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程； （II ）若对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立，求实数m 的取值范围； （III ）试探究当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x x f x =⋅的解的个数，并说明理由. 【答案】（1）1y x =+；（2）π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦；（3）函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点.【解析】因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ²²²²²²²²²²²²²² 13分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的切线方程、利用导数求函数的最值.21.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O到直线l 的距离为2.又椭圆上的点到焦点F 21. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP 形OQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；（III ）若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.【答案】（1）22132x y +=；（2）5；（3）（16，±8）.考点：椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆相交问题、韦达定理、基本不等式.。
山东省济南市2015届高三数学上学期第一次模拟试卷理(含解析)
2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． [3，+∞） D．（3，+∞）2．若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B． 2﹣i C． 2+i D．﹣2+i3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 136．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）A． 50 B． 55 C． 60 D． 657．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A． B． C． 2 D． 58．在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A． 9x﹣16y+7=0 B． 16x+9y﹣25=0 C． 9x+16y﹣25=0 D． 16x﹣9y﹣7=09．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A． 48种 B． 72种 C． 96种 D． 108种10．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A． [﹣4，5] B． [﹣5，5] C． [4，5] D． [﹣5，4]二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80）中的学生人数是．12．函数f（x）=的定义域是．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．14．设、、都是单位向量，且•=0，则（+）•（+）的最大值为．15．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f（x）=；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）﹣f（x2）≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上．（Ⅰ）若AC1∥平面B1CD，确定D点的位置并证明；（Ⅱ）当时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n∈N*，n≥2）（Ⅰ）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=2log4（a n+1）2，证明：对一切正整数n，有++…+＜．20．已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}若M⊆N，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． [3，+∞） D．（3，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先求出集合M={x|﹣1＜x＜3}，根据子集的定义即可得到a≤﹣1．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}；∵M⊆N；∴a≤﹣1；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A．点评：考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及子集的概念．2．若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B． 2﹣i C． 2+i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得z的共轭复数．解答：解：z==，∴．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点：类比推理．专题：空间位置关系与距离．分析：①④根据课本中的定理即可判断正确，②③根据正方体中的直线，平面即可盘不正确解答：解：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：D．点评：本题考查了空间直线平面的位置关系，只要掌握好定理，空间常见的位置关系，做本题难度不大，属于容易题．4．“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cos α=”．解答：解：∵“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cosα=”．故选B．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用．5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=﹣lg11时，满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg3，k=3不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg5，k=5不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg7，k=7不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg9，k=9不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg11，k=11满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A． 50 B． 55 C． 60 D． 65考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解答：解：由题意，==5，==38+，∵y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必过样本的中心，∴38+=8.5×5+7.5，∴m=60．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．7．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A． B． C． 2 D． 5考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值解答：解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m ﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e==5，故选：D点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．8．在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A． 9x﹣16y+7=0 B． 16x+9y﹣25=0 C． 9x+16y﹣25=0 D． 16x﹣9y﹣7=0考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．解答：解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2．又，①，②①﹣②得：=0又据对称性知x1≠x2，则=﹣，∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k=﹣，∴中点弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即9x+16y﹣25=0．故选：C点评：本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求以及点差法在求解直线方程中的应用．9．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A． 48种 B． 72种 C． 96种 D． 108种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：首先给顶点P选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．解答：解：设四棱锥为P﹣ABCD．下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C21．（2）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B不同色时C的着色方法种数为C11，D的着色方法种数为C11．综上两类共有C41•C31．2•C21+C41•C31•2=48+24=72种结果．故选：B．点评：本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．10．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A． [﹣4，5] B． [﹣5，5] C． [4，5] D． [﹣5，4]考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：不等式可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；先求对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；作函数图象，由数形结合求实数m的取值范围．解答：解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选A．点评：本题考查了函数的图象的作法及函数与不等式的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80）中的学生人数是50 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，求出a的值，再根据频率=，求出测试成绩在[60，80）中的学生数．解答：解：根据频率和为1，得；（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=；∴测试成绩落在[60，80）中的学生频率是（3a+7a）×10==，∴对应的学生人数是100×=50．故答案为：50．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．12．函数f（x）=的定义域是（10，100）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则﹣（lgx）2+3lgx﹣2＞0，即（lgx）2﹣3lgx+2＜0，解得1＜lgx＜2，即10＜x＜100，故函数的定义域为（10，100），故答案为：（10，100）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案．解答：解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=×π×22×3=2π，故答案为：2π．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．设、、都是单位向量，且•=0，则（+）•（+）的最大值为1+．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），计算（+）•（+）=sin （θ+）+1≤+1，从而得出结论．解答：解：∵、、都是单位向量，且•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cos θ，sinθ）．则（+）•（+）=（1，1））•（cosθ，1+sinθ）=cosθ+1+sinθ=sin（θ+）+1≤+1，故（+）•（+）的最大值为，故答案为．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，两角和差的正弦公式的应用，其中，求出（+）•（+）的表达式，是解答本题的关键，属于基础题．15．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f（x）=；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）﹣f（x2）≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的序号是①③④（写出符合条件的全部序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：用F函数的定义加以验证，对于①③④⑤均可以找到常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，说明它们是“条件约束函数”．而对于②，当x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．解答：解：对于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”．对于②用F函数的定义不难发现：因为x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”．对于③，因为|f（x）|=≤|x|，所以存在常数ω=2＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”．对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f （x2）|≤4|x1﹣x2|得到，|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意．是“条件约束函数”．故答案为：①③④．点评：本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x﹣），最后利用整体思想求出函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．则：S=．解得：c=2．a2=b2+c2﹣2bccosA则：a=．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，所以：，解得：sinB=1，由于0＜B＜π则：，C=．f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx）=2sin（x﹣），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x﹣），令：（k∈Z）解得：则函数g（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数图象的伸缩变换，正弦型函数的单调区间的确定．17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解答：解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=10）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×==，P（ξ=20）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×==，P（ξ=30）=××=，∴ξ的分布列为：ξ 0 10 20 30P∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）==，P（B）=××=，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上．（Ⅰ）若AC1∥平面B1CD，确定D点的位置并证明；（Ⅱ）当时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）当点D为AB的中点时，AC1∥平面B1CD．其原因如下：连接BC1交B1C于点E，连接DE．利用平行四边形与三角形的中位线定理，利用线面平行的判定定理即可得出AC1∥平面B1CD．（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得AC⊥CB，以C为原点建立空间直角坐标系，由，可得，设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），利用，可得，取平面BCD的法向量=（0，0，1），利用=即可得出．解答：（I）解：当点D为AB的中点时，AC1∥平面B1CD．下面给出证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴E点是对角线BC1的中点，∴DE是△ABC1的中位线，∴DE∥AC1，∵AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得AC⊥CB．以C为原点建立空间直角坐标系，B（6，0，0），A（0，8，0），A1（0，8，8），B1（6，0，8），∵，∴=（6，0，0）+（﹣6，8，0）=（4，，0），=（6，0，8），设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），∴，∴，令y=2，解得x=﹣，z=1，∴=．取平面BCD的法向量=（0，0，1），∴===．点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、勾股定理的逆定理，考查了通过建立空间直角坐标系得出平面的法向量、利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n∈N*，n≥2）（Ⅰ）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=2log4（a n+1）2，证明：对一切正整数n，有++…+＜．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a n+1=3a n﹣2a n﹣1得a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1），变形后可得{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1为首项，2为公比的等比数列，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入b n=2log4（a n+1）2 ，整理后利用裂项相消法求++…+的和，放缩后得答案．解答：证明：（Ⅰ）∵a n+1=3a n﹣2a n﹣1，∴a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1），∵a1=1，a2=3，∴（n∈N*，n≥2），∴{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1为首项，2为公比的等比数列，则a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=．（Ⅱ）b n=2log4（a n+1）2 =．∴=．则++…+=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．可得S△MON=×2p==，解得p即可．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y2﹣6my﹣6a=0，得到根与系数的关系．由对称性，不妨设m＞0，（i）a＜0时，可知y1，y2同号．又t=+，得到t2==，可得不论a取何值，t值与M点位置有关．（ii）a＞0时，由于y1，y2异号．又t=+，可得t2==，可得仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为一个“稳定点”．解答：解：（I）∵当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．∴S△MON=×2p==，解得p=3．∴抛物线C的标准方程为y2=6x．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立．化为y2﹣6my﹣6a=0，△＞0，y1+y2=6m，y1y2=﹣6a．由对称性，不妨设m＞0．（i）a＜0时，∵y1y2=﹣6a＞0，∴y1，y2同号．又t==+，∴t2===，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”．（ii）a＞0时，∵y1y2=﹣6a＜0，∴y1，y2异号．又t==+，∴t2===•=，∴仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”．点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性；（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值．（III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，由题意可知：x1即为x0．得到，即，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，分别研究单调性即可得出x0的取值范围．解答：解：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）=0，解得x=﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f （x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）=2ln2＜2×0.7==t2（2），t1（3）=2ln3＞2＞=t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]=2．点评：本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21。
【2015高考一模 理全套】山东省潍坊市2015届高三3月一模理科试题及答案(语数英理综Word版)
试卷类型：A高三语文2015．03注意事项：1．本试题分为选择题和非选择题两部分，共8页。
时间150分钟，满分150分。
2．务必将自己的班级、姓名、座号、考号分别填涂在答题卡或答题纸的相应位置。
第I卷(共36分)一、(15分，每小题3分)1．下列词语中加点的字，读音全都正确的一项是A．星宿．(xiù) 馄饨．(dùn) 贺岁片．(piàn) 垂涎．三尺(xián)B．粗犷．(guǎng) 堤防．(dī) 芝麻糊．(hù) 瞠．目结舌(chēng)C．属．意(zhǔ) 歼．灭(jiān) 数．来宝(shǔ) 便．宜从事(pián)D．烘焙．(bâi) 唱和．(hâ) 挑．大梁(tiāo) 风驰电掣．(châ)2．下列词语中，书写没有错误的一项是A．暮霭厮打脑血拴厝火积薪B．彪悍誉写蜡像馆大快朵颐C．宣泄愧怍调和油不稂不莠D．羸弱谙熟手动挡开源截流3．下列各句中，标点符号使用正确的一句是A．养殖业的发展要结合市场需求，更要结合国情。
国外的养殖方式：大规模、产业化自然是好处很多，但也不能照搬。
B．各国展示的最新科技成果，包括太阳能技术、资源循环技术、固体废弃物无害化、减量化、资源化处理技术等。
C．《孟子》里有各种圣人，表现各不相同。
但有一点相同，即“行一不义，杀一不辜而得天下，皆不为也”(《孟子·公孙丑上》)。
D．我不知道这一实验到底能不能得出最终的结论?但我一定要坚持下去，直到把问题搞个水落石出，尽管我面前困难重重。
4．下列各句中，加点词语使用正确的一句是A．CCTV科教频道报道了一位老人，他经过无数次试验．．。
终于成功发明了具有良好保护作用的撞车防护装置。
B．人们的欣赏水平越来越高，审美趣味日趋多元，你的画作能得到大家的广泛称赞诚然．．很好，即便得不到人们的认可也是可以理解的。
C．早就听说贪官们多方聚敛财富，生活腐化，从中纪委公布的被查处贪官的非法财产数字来看，其贪腐之疯狂真是名不虚传．．．．。
2015日照一模 山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
山东省日照市2015届高三3月模拟考试数学（理）试题2015．03本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页。
满分150分。
考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合{}{}24,0A y y x B x x x A B ==≤≤=->⋂=，则A.(]()12-∞⋃+∞，，B. ()()012-∞⋃，，C.∅D. (]12，2.已知复数121234,,z i z t i z z =+=+⋅且是实数，则实数t 等于 A.34B.43C. 43-D. 34-3.已知命题()2:,log 310xp x R ∃∈+≤，则 A.p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤ B. p 是假命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+> C. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+≤ D. p 是真命题：()2:,log 310xp x R ⌝∀∈+>4.一个简单几何体的正视图、侧视图如右图所示，则其俯视图不可能为．．．．①长方形；②正方形；③圆；④椭圆. 中的 A.①② B.②③C.③④D.①④5.已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是A.34 B.14C. 211D.46.运行如右图所示的程序框图，则输出的结果S 为 A.1008 B.2015 C.1007D. 1007-7.已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是8.已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则满足()2f a ≥的实数a 的取值范围是A. ()(),20,-∞-⋃+∞B. ()1,0-C. ()2,0-D. (][),10,-∞-⋃+∞9.在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 在线段AC 上，AD=k AC （k 为常数，且01k <<），BD=l 为定长，则△ABC 的面积最大值为A. 221l k-B. 21l k-C. ()2221l k - D.()221lk -10.已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是 A. a c b << B. b c a << C. a b c <<D. c a b <<第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若双曲线()2222103x y a a -=>的离心率为2，则a =________.12.设随机变量()()()2~,1=2=0.3N P P ξμσξξ<->，且，则()20=P ξ-<<______.13.如右图，在ABC ∆中，若313=2AB AC AB AC BC ===uu u r uuu r g ，，，则_. 14.学校体育组新买2个同样篮球，3个同样排球，从中取出4个发放给高一4个班，每班1个，则共有______种不同的发放方法.15.圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点A 与点P 重合）沿圆周逆时针滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为_________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）已知函数())22sin cos 0,0f x a x x x a ωωωω=+>>的最大值为2，且最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式及其对称轴方程； （II ）若()4,sin 436f παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求的值.17. （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ACB ∆∆与是边长为2的等边三角形，BE=2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. （I ）求证：DE//平面ABC ；（II ）求二面角E BC A --的余弦值.18. （本小题满分12分）学校为测评班级学生对任课教师的满意度，采用“100分制”打分的方式来计分.现从某班学生中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：规定若满意度不低于98分，测评价该教师为“优秀”.（I ）求从这10人中随机选取3人，至多有1人评价该教师是“优秀”的概率； （II ）以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据，若从该班任选3人， 记ξ表示抽到评价该教师为“优秀”的人数，求ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数，为偶数.（I ）求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（II ）若n S 是数列{}n a 的前n 项和，求满足0n S >的所有正整数n . 20. （本小题满分13分） 已知函数()()()cos ,2xf x xg x e f x π⎛⎫'=-=⋅ ⎪⎝⎭，其中e 为自然对数的底数. （I ）求曲线()y g x =在点()()0,0g 处的切线方程； （II ）若对任意,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，不等式()()g x x f x m ≥⋅+恒成立，求实数m 的取值范围；（III ）试探究当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()()g x x f x =⋅的解的个数，并说明理由. 21. （本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，其中12,F F 为左、右焦点，O 为坐标原点.直线l 与椭圆交于()()1122,,,P x y Q x y 两个不同点.当直线l 过椭圆C 右焦点F 2且倾斜角为4π时，原点O 到直线l的距离为2.又椭圆上的点到焦点F 21. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）以OP ，OQ 为邻边做平行四边形OQNP ，当平行四边形OQNP求平行四边形OQNP 的对角线之积ON PQ ⋅的最大值；（III ）若抛物线()22220C y px p F =>：以为焦点，在抛物线C 2上任取一点S （S 不是原点O ），以OS 为直径作圆，交抛物线C 2于另一点R ，求该圆面积最小时点S 的坐标.2015年高三模拟考试理科数学参考答案与评分标准 2015.03一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. DABBB DADCA 1.解析: 答案D ，{}[0,2],|01,(1,2]A B x x x A B ==<>∴⋂=或.故选D.2.解析: 答案A ,求出z 1·2z 的虚部，令其为0. ∵复数z 1=3+4i ，z 2=t +i ， ∴z 1•2z =（3t +4）+（4t ﹣3）i ，∵z 1•2z 是实数，∴4t ﹣3=0，∴t =34.故选A. 3.解析: 答案B ,由2log (31)0x +≤ 得311x +≤即30x ≤,显然无解，所以p 是假命题，又由含量词命题的否定易得⌝p ：R x ∀∈,2log (31)0x +>.故选B.4.解析：答案B ，若俯视图为正方形，则正视图中的边长3不成立；若俯视图为圆，则正视图中的边长3也不成立.5.解析: 答案B ，先画出x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩的可行域如右图：由2y x x y =⎧⎨+=⎩ ，得B (1，1)，由x ay x =⎧⎨=⎩，得C (a ，a )，当直线2z x y=+过点B (1，1)时，目标函数2z x y =+取得最大值，最大值为3；当直线2z x y =+过点C (a ，a )时，目标函数2z x y =+取得最小值，最小值为3a ；由条件得343a =⨯，所以a =14，故选B .6.解析：答案D ，由程序框图可知123201320141007(1)1007S =-+-+-=⨯-=-.所以选D.7.解析：答案A ，本题可用排除法，∵f （x ）=14x 2+sin(π2+x )，∴()f x '=12x +cos(π2+x )= 12x ﹣sin x ．∴函数()f x '为奇函数，故B 、D 错误；又ππ()1024f '=-<，故C 错误；故选A ． 8.解析:答案D ,当1a ≤-时，2()22af a -=≥，解得12a ≤-，此时1a ≤-； 当1a >-时，()222f a a =+≥，解得0a ≥，此时0a ≥.故实数a 的取值范围是(,1][0,)-∞-+∞．故选D ．9. 解析: 答案 C ，如图所示，以B 为原点，BD 为x 轴建立平面直角坐标系， 设(),,0A x y y > ，AB AC =，AD kAC kAB ∴==，即222AD k AB =，22222x l y k x y ∴-+=+（）（），整理得：()()22222222222221221111k x lx l l l k l y x x k k k k --+-==-+-≤----，即max 21kl y k =-， BD l =，∴()()()2maxmax2121ABC ABD l S S kk ==-.故选C. 10. 解析: 答案 A ，利用条件构造函数h （x ）=xf （x ），∴h ′（x ）=f （x ）+x •f ′（x ），∵y =f （x ）是定义在实数集R 上的奇函数，∴h （x ）是定义在实数集R 上的偶函数，当x ＞0时，h '（x ）=f （x ）+x •f ′（x ）＞0，∴此时函数h （x ）单调递增．∵a =12f （12）=h （12），b =﹣2f （﹣2）=2f （2）=h （2），c=（ln 12）f （ln 12）=h （ln 12）=h （﹣ln2）=h （ln2），又2＞ln2＞12，∴b＞c ＞a ．故选A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.12. 0.2 ;13.; 14. 10 ； 15.. 11.，由题意知e a= =2，（a ＞0），由此可以求出a12.解析：答案 0.2 ，因为(1)(1)P P ξξ<-=>，所以正态分布曲线关于y 轴对称，又因为(2)0.3P ξ>=，所以(20)P ξ-<<=120.30.22-⨯=. 13.解析：答案BC=，因为,60AB AC =,所以2213213cos60BC =+-⨯⨯⨯=7.14.解析：答案 10，分1个篮球3个排球和2个篮球2个排球两种情况.124410C C +=.15.解析：答案，每次转动一个边长时，圆心角转 过60°，正方形有4边，所以需要转动12次，回到起点.在 这11次中，半径为1的63次，半径为0的 2次，点A 走过的路径的 长度=121612π⨯⨯⨯+12312π⨯三、解答题：本大题共6小题，共75分.第(15)题图16.解析：（Ⅰ）x x a x f ωω2cos 32sin )(+=)x ωϕ=+,由题意知：()f x 的周期为π，由2ππ2ω=，知1ω= ………………………………………………………2分 由)(x f 最大值为2，故232=+a ，又0>a ，1=∴a ∴π()2sin(2)3f x x =+ ………………………………………………………………………………………………………4分 令232x k πππ+=+，解得()f x 的对称轴为ππ()122k x k Z =+∈ ……………………………………6分（Ⅱ）由4()3f α=知π42sin(2)33α+=，即π2sin(2)33α+=，∴ππππsin 4sin 22cos226323ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……………………………………………10分22π2112sin 212339α⎛⎫⎛⎫=-++=-+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………12分17.解析：（Ⅰ）证明：由题意知，ABC ∆，ACD ∆都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ， 那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴60EBF ∠=︒，易求得 ∴四边形DEFO 是平行四边形，∴//DE OF ，∴//DE 平面 ABC …………6分（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可知平面ABC 的一 个法向量为(0,0,1)n =设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =,则，2200n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可求得(3,n =- (9)分1213,13||||n n n n n n ⋅>==⋅又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角E BC A --的余弦值为……12分(18)解：（Ⅰ）设i A 表示所取3人中有i 个人评价该教师为“优秀”，至多有1人评价该教师为“优秀”记为事件A ，则312737013310109849()()()12060C C C P A P A P A C C =+=+==……………6分（Ⅱ）ξ的可能取值为0、1、2、3 , 37343(0)()101000P ξ=== ; 12337441(1)()10101000P C ξ==⋅⋅=;22337189(2)()10101000P C ξ==⋅⋅=; 3327(3)()101000P ξ===.分布列为……………10分3434411892701230.91000100010001000E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 注：用二项分布直接求解也可以． 19．解：（Ⅰ）设232n n b a =-， 因为2122122133(21)3223322n n n n n n a n a b b a a +++++--==--=2213(6)(21)3232n n a n n a -++--=2211132332n n a a -=-, 所以数列23{}2n a -是以232a -即16-为首项，以13为公比的等比数列. ……… 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得123111126323n n n n b a -⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即2113232nn a ⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，由2211(21)3n n a a n -=+-，得1212111533(21)()6232n n n a a n n --=--=-⋅-+， 所以12121111[()()]692()692333n n nn n a a n n --+=-⋅+-+=-⋅-+，21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++++21112[()()]6(12)9333n n n =-+++-++++11[1()](1)332691213n n n n -+=-⋅-⋅+-2211()136()3(1)233n n n n n =--+=--+……10分显然当n N *∈时，2{}n S 单调递减， 又当1n =时，273S =＞0，当2n =时，489S =-＜0，所以当2n ≥时，2n S ＜0； 22122315()36232n n n n S S a n n -=-=⋅--+，同理，当且仅当1n =时，21n S -＞0，综上，满足0n S >的所有正整数n 为1和2．…………………………………………… 12分20.解：（Ⅰ）依题意得，()()s i n ,e c o s .x f x x g x x ==⋅()00e c o s 01g==， ()e cos e sin ,x x g x x x '=-(0)1g '=,所以曲线()y g x =在点(0,(0))g 处的切线方程为 1y x =+………………………………………4分（Ⅱ）等价于对任意π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()min []m g x x f x -⋅≤．设()()()h x g x x f x =-⋅，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．则()()()e cos e sin sin cos e cos e 1sin x x x x h x x x x x x x x x '=---=--+因为π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()()e cos 0,e1sin 0xxx x x -+≥≤，所以()0h x '…，故()h x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，因此当π2x =-时，函数()h x 取得最小值22h ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；所以2m -π≤，即实数m 的取值范围是π,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦． ················································ 10分（Ⅲ）设()()()H x g x x f x =-，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e (cos sin )sin cos 0x H x x x x x x '=---<，所以函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦至多只有一个零点，又π4ππππ())0,()04422H e H ->=-<，而且函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是连续不断的，因此，函数()H x 在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且只有一个零点． ··················································· 13分21.解析：（Ⅰ）直线l 的倾斜角为4π，2(,0)F c ，直线l 的方程y x c =-，2=，1c =，00(,)T x y 为椭圆C 上任一点， 22TF =2200(1)x y -+=222002(1)(1)(1)x x a a-+--=22021()x a a -≥21)，0a x a -≤≤,当0x a =时，11a -=，a =b =椭圆C 的方程 22132x y +=..………………………5分 （Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而112S x y ==111x y ==, 知ON PQ ⋅=.当直线l 的斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x kmx m +++-=，0∆>，即2232k m +>,2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++, 12PQ x =-==,d =1122POQ S d PQ ∆=⋅⋅==, 化为222224(32)(32)m k m k +-=+，222222(32)22(32)(2)0k m k m +-++=， 422222912412840k k m k m m ++--+=,得到，222(322)0k m +-=,则22322k m +=，满足0∆>, 由前知12322x x k m +=-，2121231()222y y x x k k m m m m++=+=-+=， 设M 是ON 与PQ 的交点，则222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m ++=+=+=-, 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++, 22221125(3)(2)4OM PQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立， 综上可知OM PQ ⋅的最大值为52. ON PQ ⋅=2OM PQ ⋅的最大值为5. ………………………10分（Ⅲ）因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ，所以∠ORS = 90°，即0OR SR ⋅= , 设S （1x ，1y ），R （2x ，2y ），SR ＝（2x -1x ，2y -1y ），OR =（2x ，2y ）, 所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-=, 因为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2222256y y =即22y ＝16，y 2＝±4时等号成立. 圆的直径|OS===因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，min OS =，所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）..……………………14分。
山东潍坊2015届高三下学期三月一模考试数学(理)试题含答案
高三数学（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合1{|()1},{|lg(2)}2xM x N x y x =≥==+，则MN 等于（ ）A ．[)0,+∞B ．(]2,0-C ．()2,-+∞D ．()[),20,-∞-+∞2、设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112z i =-，则21z z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35- C ．45 D ．45- 3、如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与直线0y -平行，则双曲线的离心率为（ ）A．2 D ．34、已知函数()y f x =的定义域为{|0}x x R x ∈≠且，且满足()()0f x f x +-=，当0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为（ ）5、某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（ ） A ．90% B ．95% C ．99% D ．99.9%附：参考公式和临界值表：22112212211212()n n n n n n n n n χ++++-=6、下列结论中正确的是（ ）①命题：3(0,2),3x x x ∀∈>的否定是3(0,2),3x x x ∃∈≤； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；③若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S= A ．①② B ．②③ C ．③④ D．①④7、如图，在ABC ∆中，点D 在AC上，,5,sin 3ABBD BC BD ABC ⊥==∠=，则CD 的长为（ ）A ．4 C ．．58、某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（ ） A ．3B ．2π C ．3 D ．π 9、已知抛物线方程为28y x =，直线l 的方程为20x y-+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．2B ．．2 D ．210、对于实数,m n 定义运算“⊕”：2221m mn m nm n n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，设()(21)(1)f x x x =-⊕-，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ，则123x x x 的取值范围是（ ） A ．1(,0)32- B ．1(,0)16- C ．1(0,)32 D ．1(0,)16第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
山东省各市2015届高三第一次模拟数学理试题分类汇编 10份
山东省各市2015届高三第一次模拟数学理试题分类汇编不等式 ........................................................................................................ 1 导数及其应用 ............................................................................................. 4 复数 ......................................................................................................... 18 函数 ......................................................................................................... 20 集合与常用逻辑用语 ................................................................................ 24 排列组合与二项式定理 ............................................................................. 27 平面向量 .................................................................................................. 28 三角函数 .................................................................................................. 33 数列 ......................................................................................................... 43 算法与框图 .. (54)不等式一、不等式1、（德州市2015届高三）已知D 是不等式组≥⎧⎨≥⎩x-2y 0x+3y 0所确定的平面区域，则圆224x y +=与D 围成的区域面积为A 、2π B 、34π C 、π D 、32π2、（菏泽市2015届高三）若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ） A ．43a ≥B ．01a <≤C ．413a ≤≤D ．01a <≤或43a ≥3、（济宁市2015届高三）设变量,x y 满足约束条件2023,246x yx y x y z x y --≤⎧⎪+≤=⎨⎪-≥-⎩则的取值范围为A. []4,32B. 1,816⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []8,16D. 1,432⎡⎤⎢⎥⎣⎦4、（临沂市2015届高三）直线10x my ++=与不等式组30,20,20x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域有公共点，则实数m 的取值范围是 A. 14,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 41,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 3,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 33,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦5、（青岛市2015届高三）若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)处取得最小值，则实数k 的取值范围是6、（日照市2015届高三）已知x ，y 满足22y x x y z x y x a ≥⎧⎪+≤=+⎨⎪≥⎩，且的最大值是最小值的4倍，则a 的值是 A.34B.14C.211D.47、（潍坊市2015届高三）若x 变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+k y y x y x 062302，且y x z 3+=的最小值为4，则=k __________．8、（烟台市2015届高三）已知M 是C ∆AB 内一点，且C 23AB⋅A =，C 30∠BA =，若C ∆MB 、∆MAB 、C ∆MA 的面积分别为12、x 、y ，则14x y+的最小值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．20 9、（淄博市2015届高三）已知,x y R ∈，且2323xyyx --+>+，则下列各式中正确的是A.0x y ->B. 0x y +<C. 0x y -<D.0x y +>10、（淄博市2015届高三）在约束条件24,,0,0.x y x y m x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩下，当35m ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的取值范围是____________（请用区间表示）.11、（滨州市2015届高三）若对任意的31a x +≥-2x x>1,恒成立，则a 的最大值是 （A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）1012、（滨州市2015届高三）设x ，y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21x y x +++的取值范围是（A ）［1,5］ （B ）［2,6］ （C ）［2,10］ （D ）［3,11］ 13、（泰安市2015届高三）已知,m n 是满足1m n +=，且使19m n+取得最小值的正实数.若曲线y x α=过点2,3P m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则α的值为 A. 1- B.12C.2D.3不等式参考答案1、A2、D3、D4、D5、(4,2)-6、B7、18、C9、D 10、［7,8］ 11、B 12、B 13、B 二、绝对值不等式1、（德州市2015届高三）若不等式|1||21|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是＿＿＿＿2、（菏泽市2015届高三）函数|4||2|)(-++=x x x f 的最小值是3、（临沂市2015届高三）若函数()()2221f x x x a g x x x a =++=-++与有相同的最小值，则()1af x dx =⎰__________4、（烟台市2015届高三）若不等式()2log 122x x m ++--≥恒成立，则实数m 的取值范围是5、（枣庄市2015届高三）若不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则a b +=____________6、（滨州市2015届高三）不等式|1||2|x x +--1≤的解集为＿＿＿＿7、（泰安市2015届高三）若关于x 的不等式23mx -<的解集为5166x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则m= ▲参考答案1、3(,)2-∞ 2、6 3、2834、(,1]-∞-5、－136、(,1]-∞7、－6山东省各市2015届高三第一次模拟数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（德州市2015届高三）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，其导函数为'()f x ，当x ＜0时，29)'()0f x xf x +<恒成立，则(1)f ，2014(2014)f ，2015(2015)f 在大小关系为A 、2015(2015)f ＜2014(2014)f ，＜(1)fB 、2015(2015)f ＜(1)f ＜2014(2014)fC 、f （1）＜2015(2015)f ＜2014(2014)fD 、(1)f ＜2014(2014)f ＜2015(2015)f 2、（日照市2015届高三）已知函数()()21cos ,4f x x x f x '=+是函数()f x 的导函数，则()f x '的图象大致是3、（日照市2015届高三）已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1111,22,ln ln 2222a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是A. a c b <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<4、（泰安市2015届高三）如图是函数()2f x x ax b =++的图象，则函数()()ln g x x f x '=+的零点所在的区间是A. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭B. ()1,2C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,3二、填空题1、（烟台市2015届高三）已知()xx f x e =，()()1f x f x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，()33x x f x e-=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x = ．三、解答题1、（德州市2015届高三）20、（13分）已知函数1()ln ()af x x a x a R x+=-+∈ （I ）求f （x ）的单调区间；（II ）若在［1，e ］（e ＝2.71828…）上任取一点0x ，使得0()0f x ≤成立，求a 的取值范围。
山东省青岛市高三数学3月统一质量检测试题 理(含解析)
2015年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•青岛一模）设i为虚数单位，复数等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C． 1﹣i D． 1+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．【解析】：解：=．故选：D．【点评】：本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．（5分）（2015•青岛一模）设全集I=R，集合A={y|y=log 2x，x＞2}，B={x|y=}，则（）A． A⊆B B． A∪B=A C．A∩B=∅ D．A∩（∁I B）≠∅【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；集合．【分析】：化简集合A，B，即可得出结论．【解析】：解：由题意，A={y|y=log 2x，x＞2}=（1，+∞），B={x|y=}==1.6．故选B．【点评】：本题考查茎叶图、平均数和方差，对于一组数据通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差，它们分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．4．（5分）（2015•青岛一模）“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等差数列的性质．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，可得数列{a n}为等差数列；若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，由充要条件的定义可得答案．【解析】：解：由2a n+1=a n+a n+2，可得a n+2﹣a n+1=a n+1﹣a n，由n的任意性可知，数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数，即数列{a n}为等差数列，反之，若数列{a n}为等差数列，易得2a n+1=a n+a n+2，故“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的充要条件，故选C【点评】：本题考查充要条件的判断，涉及等差数列的判断，属基础题．5．（5分）（2015•青岛一模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A． 2 B． C． D． 3【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解析】：解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）（2015•青岛一模）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】：双曲线的标准方程．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由已知得，由此能求出双曲线方程．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5=0，双曲线的一个焦点在直线l上，∴，解得a=2，b=，∴双曲线方程为﹣=1．故选：A．【点评】：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．7．（5分）（2015•青岛一模）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【考点】：平面与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案．【解析】：解：选择支C正确，下面给出证明．证明：如图所示：∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l．∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n．∵n⊥β，∴l⊥β，∵l⊂α，∴α⊥β．故C正确．故选C．【点评】：正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键．8．（5分）（2015•青岛一模）函数y=4cosx﹣e|x|（e为自然对数的底数）的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性，排除一些选项，在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案．【解析】：解：∵函数y=4cosx﹣e|x|，∴f（﹣x）=4cos（﹣x）﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f（x），函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数，图象关于y轴对称，排除BD，又f（0）=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3，只有A适合，故选：A．【点评】：本题主要考查函数的图象，关于函数图象的选择题，通常先验证奇偶性，排除一些选项，再代特殊值验证，属于中档题．9．（5分）（2015•青岛一模）对于函数y=sin（2x﹣），下列说法正确的是（） A．函数图象关于点（，0）对称B．函数图象关于直线x=对称C．将它的图象向左平移个单位，得到y=sin2x的图象D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到y=sin（x﹣）的图象【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】： A，将x=代入可得y≠0，故不正确；B，将x=代入可得：y=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，求出平移后的函数解析式即可判断．D，求出平移后的函数解析式即可判断．【解析】：解：A，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=1，故不正确；B，将x=代入可得：y=sin（2×﹣）=﹣1，由正弦函数的图象和性质可知正确；C，将它的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin（2x+）的图象，故不正确；D，将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍，得到函数y=sin（4x﹣）的图象，故不正确．故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的对称性、周期性，考查综合分析与应用能力，属于中档题．10．（5分）（2015•青岛一模）已知点G是△ABC的外心，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为（）A． B． C． 2 D． 3【考点】：向量的加法及其几何意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据题意，得出：①G是BC的中点，△ABC是直角三角形，且斜边BC=2；②点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；③OA经过BC的中点G时，||取得最大值为2||．【解析】：解：∵点G是△ABC的外心，且2++=，∴点G是BC的中点，△ABC是直角三角形，∠BAC是直角；又∵是三个单位向量，∴BC=2；又∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动，∴点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧；又∵||=1，∴OA经过BC的中点G时，||取得最大值，最大值为2||=2．故选：C．【点评】：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题，是基础题目．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•青岛一模）已知函数f（x）=tanx+sinx+2015，若f（m）=2，则f（﹣m）= 4028 ．【考点】：函数奇偶性的性质．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：根据解析式得出f（﹣x）+f（x）=4030，f（m）+f（﹣m）=4030，即可求解．【解析】：解：∵函数f（x）=tanx+sinx+2015，∴f（﹣x）=﹣tanx﹣sinx+2015，∵f（﹣x）+f（x）=4030，∴f（m）+f（﹣m）=4030，∵f（m）=2，∴f（﹣m）=4028．故答案为：4028．【点评】：本题考查了函数的性质，整体运用的思想，属于容易题，难度不大．12．（5分）（2015•青岛一模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是132 ；【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当i=10时，不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得i=12，s=1满足条件i≥11，s=12，i=11满足条件i≥11，s=132，i=10不满足条件i≥11，退出循环，输出s的值为132．故答案为：132．【点评】：本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．13．（5分）（2015•青岛一模）设a=∫12（3x2﹣2x）dx，则二项式（ax2﹣）6展开式中的第6项的系数为﹣24 ．【考点】：定积分；二项式系数的性质．【专题】：导数的概念及应用；二项式定理．【分析】：先根据定积分的计算法则求出a的值，再根据二项式展开式的通项公式求出第6项的系数．【解析】：解：a=∫12（3x2﹣2x）dx=（x3﹣x2）|=4，∴（ax2﹣）6=（4x2﹣）6，∵T k+1=，∴T6=T5+1=﹣•4x﹣3，=﹣24x﹣3，∴展开式中的第6项的系数为﹣24，故答案为：﹣24．【点评】：本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式，属于与基础题．14．（5分）（2015•青岛一模）若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（﹣4，2）．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围．【解析】：解：作出不等式对应的平面区域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值，则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方，∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即实数k的取值范围为（﹣4，2），故答案为：（﹣4，2）．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键．15．（5分）（2015•青岛一模）若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：压轴题；新定义．【分析】：根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解析】：解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】：此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•青岛一模）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，b=3．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）若sinA=，求△ABC的面积．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：（I）利用正弦定理与余弦定理即可得出；（II）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出．【解析】：解：（Ⅰ）∵，∴，∴a2﹣b2=ac﹣c2，∴，∵B∈（0，π），∴．（Ⅱ）由b=3，，，得a=2，由a＜b得A＜B，从而，故，∴△ABC的面积为．【点评】：本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（12分）（2015•青岛一模）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数 4 6 4 6（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解析】：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：…（4分）所以…（6分）（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，…（10分）所以ξ的分布列为0 1 2 3P所以…（12分）【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．18．（12分）（2015•青岛一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA1=3，BC=1，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间角．【分析】：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，四边形ADD1A1为平行四边形，从而B1D∥E1G，由此能证明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD1的一个法向量和平面CDD1C1的一个法向量，由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．【解析】：（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，从而B1D∥E1G…（4分）又因为B1D⊄平面AD1E1，E1G⊂平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．…（5分）（Ⅱ）解：因为AA1⊥底面ABCD，AB⊂面ABCD，AD⊂面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，又∠BAD=90°，所以AB，AD，AA1两两垂直．…（6分）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AB=t，则A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），D（0，3，0），C1（t，1，3），D1（0，3，3）．从而，．因为AC⊥BD，所以，解得．…（8分）所以，．设是平面ACD1的一个法向量，则即令x1=1，则．…（9分）又，．设是平面CDD1C1的一个法向量，则即令x2=1，则．…（10分）∴，∴平面ACD1和平面CDD1C1所成角（锐角）的余弦值．…（12分）【点评】：本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．19．（12分）（2015•青岛一模）已知数列{a n}是等差数列，S n为{a n}的前n项和，且a10=19，S10=100；数列{b n}对任意n∈N*，总有b1•b2•b3…b n﹣1•b n=a n+2成立．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=（﹣1）n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】：数列的求和；等差数列的前n项和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题意和等差数列的前n项和公式求出公差，代入等差数列的通项公式化简求出a n，再化简b1•b2•b3…b n﹣1•b n=a n+2，可得当n≥2时b1•b2•b3…b n﹣1=2n﹣1，将两个式子相除求出b n；（2）由（1）化简c n=（﹣1）n，再对n分奇数和偶数讨论，分别利用裂项相消法求出T n，最后要用分段函数的形式表示出来．【解析】：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，则a10=a1+9d=19，，解得a1=1，d=2，所以a n=2n﹣1…（3分）所以b1•b2•b3…b n﹣1•b n=2n+1…①当n=1时，b1=3，当n≥2时，b1•b2•b3…b n﹣1=2n﹣1…②①②两式相除得因为当n=1时，b1=3适合上式，所以…（6分）（Ⅱ）由已知，得则T n=c1+c2+c3+…+c n=…（7分）当n为偶数时，==…（9分）当n为奇数时，==…（11分）综上：…（12分）【点评】：本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，以及分类讨论思想，考查化简、计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•青岛一模）已知椭圆C：+y2=1与直线l：y=kx+m相交于E、F两不同点，且直线l与圆O：x2+y2=相切于点W（O为坐标原点）．（Ⅰ）证明：OE⊥OF；（Ⅱ）设λ=，求实数λ的取值范围．【考点】：椭圆的简单性质．【专题】：方程思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）由直线l与圆O相切，得圆心到直线l的距离d=r，再由直线l与椭圆C 相交，得出E、F点的坐标关系，从而证明OE⊥OF；（Ⅱ）根据直线l与圆O相切于点W，以及OE⊥OF，得出λ=的坐标表示，求出λ的取值范围．【解析】：解：（Ⅰ）因为直线l与圆O相切，所以圆x2+y2=的圆心到直线l的距离d==，∴；…（2分）由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0；设E（x1，y1），F（x2，y2），则，；…（4分）所以所以OE⊥OF；…（6分）（Ⅱ）∵直线l与圆O相切于W，，∴；…（8分）由（Ⅰ）知x1x2+y1y2=0，∴x1x2=﹣y1y2，即；从而，即，∴；…（12分）因为﹣≤x1≤，所以λ∈．…（13分）【点评】：本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了直线与圆相切的应用问题，考查了方程思想的应用问题，是综合性题目．21．（14分）（2015•青岛一模）已知函数f（x）=x2+kx+1，g（x）=（x+1）ln（x+1），h（x）=f（x）+g'（x）．（Ⅰ）若函数g（x）的图象在原点处的切线l与函数f（x）的图象相切，求实数k的值；（Ⅱ）若h（x）在上单调递减，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对于∀t∈，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满f（x i）=g（t）（i=1，2），其中e为自然对数的底数，求实数k的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】：函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出g（x）的定义域和导数，求得切线的斜率和切点，写出切线方程，联立f（x），消去y，运用判别式为0，即可得到k；（Ⅱ）求出h（x）的导数，h（x）在上单调递减，则h'（x）≤0对x∈恒成立，运用导数求出h'（x）在的最大值，解不等式即可得到k的范围；（Ⅲ）分别求出g（t）在t∈的值域A和f（x）在x∈（﹣1，4）的值域B，由题意可得A包含于B，得到不等式组，解出即可得到k的范围．【解析】：解：（Ⅰ）函数g（x）的定义域为（﹣1，+∞），g'（x）=ln（x+1）+1，则g（0）=0，g'（0）=1，∴切线l：y=x，由，∵l与函数f（x）的图象相切，∴；（Ⅱ），导数，令，对x∈恒成立，则在递增，即h'（x）在上为增函数，∴，∵h（x）在上单调递减，∴h'（x）≤0对x∈恒成立，即，∴；（Ⅲ）当时，g'（x）=ln（x+1）+1＞0，∴g（x）=（x+1）ln（x+1）在区间上为增函数，∴时，，∵的对称轴为x=﹣k，∴为满足题意，必须﹣1＜﹣k＜4，此时，f（x）的值恒小于f（﹣1）和f（4）中最大的一个，∵对于，总存在x1，x2∈（﹣1，4），且x1≠x2满足f（x i）=g（t）（i=1，2），∴，∴，∴．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间及极值、最值，同时考查任意存在问题注意转化为函数的值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
山东省各地市2015届高三3月一模理科综合试题及答案(Word版)
2015年3月山东省各地高三模拟考试理综试题汇编【潍坊一模＿理综】理科综合 (2)[青岛一模理综]青岛市高三统一质量检测 (22)［烟台一模理综］2015年高考诊断性测试 (45)［淄博一模理综］淄博市2014—2015学年度高三模拟考试 (68)[济宁一模理综]2015年济宁市高考模拟考试 (92)[日照一模_理综]2015年高三模拟考试 (112)山东省实验中学2012级第四次诊断性考试 (130)试卷类型：A 【潍坊一模＿理综】理科综合2015．3 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共14页，满分300分，考试用时150分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的地方。
第I卷(必做题，共107分)注意事项：1．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净以后，再涂写其他答案标号。
只答在试卷上不得分。
2．第I卷共20道小题，l—13题每小题5分，14—20题每小题6分，共107分。
以下数据可供答题时参考：相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Fe 56Cu 64 Zn 65 Ba 137一、选择题(本题包括13道小题，每小题5分，共65分。
每小题只有一个选项符合题意) 1．下列有关人体细胞内线粒体的叙述，正确的是A．线粒体是细胞内唯一的双层膜结构B．在衰老的细胞内线粒体的数量增多C．生命活动所需ATP均由线粒体提供D．细胞呼吸产生的CO2均来自线粒体2．右图是细胞膜局部结构的模式图，下列相关叙述错误的是A．细胞膜的结构具有内外不对称性B．癌细胞的该膜上a物质减少C．b物质肯定是被动运输的载体D．c物质可能是神经纤维膜上的K+通道蛋白3．下列有关实验试剂、现象及用途的叙述，正确的是A．重铬酸钾溶液与酒精反应变为橙色，可用于酵母菌无氧呼吸产物的鉴定B．甲基绿能使DNA染成绿色，与吡哕红一起用于观察细胞内核酸的分布C．无水乙醇能溶解叶绿体的色素，可作层析液用于叶绿体中色素的分离D．斐林试剂与还原糖反应生成砖红色沉淀，适用于西瓜汁成分的鉴定4．下列关于生物进化与生物多样性的说法，正确的是A．共同进化就是生物与生物之间相互影响而进化B．环境条件的改变导致了适应性变异的发生．C．进化过程中，隔离是物种形成的必要条件D．生物多样性包括基因多样性、种群多样性和生态系统多样性三个层次5．植物激素在植物生命活动中起重要作用，下列有关叙述正确的是A．植物激素直接参与细胞内的代谢活动B．在果实的发育过程中生长素和乙烯的作用相同C．脱落酸既能促进叶片衰老，也能促进细胞分裂D．赤霉素既能促进细胞伸长，也能促进种子萌发6．某常染色体遗传病，基因型为AA的人都患病，Aa的人有50％患病，aa的人都正常。
2015年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2015年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•山东一模）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．【解析】：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，得：．故选：A．【点评】：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•山东一模）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．【解析】：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．【点评】：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•山东一模）已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解析】：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．4．（5分）（2015•山东一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解析】：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5．（5分）（2015•山东一模）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B． 2 C．2D． 4【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解析】：解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）（2015•山东一模）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3π B．4π C．2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．【点评】：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•山东一模）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8]【考点】：简单线性规划．【专题】：分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．【点评】：本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．8．（5分）（2015•山东一模）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B． 4 C．8 D．16【考点】：基本不等式；对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】：解：∵y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m，n均大于0，∴=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：C【点评】：本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9．（5分）（2015•山东一模）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（）A．B．C．D．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c 的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解析】：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinB===，∵b＜c，∴B＜C，则B=．故选：B．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2015•山东一模）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1 B．C．e D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：当a=4时，函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g （x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．【解析】：解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．【点评】：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为a=1．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，由此求得实数a的值．【解析】：解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，故a=1，故答案为a=1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．12．（5分）（2015•山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=1：．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解析】：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：．故答案为：1：．【点评】：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．13．（5分）（2015•山东一模）已知函数则=．【考点】：定积分．【专题】：导数的综合应用．【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．【解析】：解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．【点评】：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．14．（5分）（2015•山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：概率与统计．【分析】：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解析】：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．15．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=xe x，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，f n（x）=f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）=xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错【解析】：解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e x，易知f′（﹣1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；对于②，因为f′（x）=（x+1）e x，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0的正负不能定，故②错；对于③，因为f1（x）=f′（x0）=xe x+2e x，f2（x）=f′（x1）=xe x+3e x，…，f n（x）=f′n﹣1（x）=xe x+（n+1）e x，所以f′2012（x）=f2013（x）=xe x+2014e x；故③正确；对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=（x+1）e x﹣1，易知函数h（x）在R上不单调，故④错；故答案为：①③【点评】：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）=，a=b，证明：C=3B．【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由f（A）=，及0＜A＜π，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证．【解析】：（1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）=2（sinx+sinx﹣cosx）=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，则2kπ﹣≤x≤2kπ，则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．（2）证明：由f（A）=，则sin（A﹣）=，由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，则A=，由=，a=b，则sinB=，由a＞b，A=，B=，C=，故C=3B．【点评】：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题．17．（12分）（2015•山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量1 1 1 2 3从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．【解析】：解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ=10）==，P（ξ=8）=，P（ξ=6）==，P（ξ=4）==ξ的分布列为：ξ 10 8 6 4P﹣Eξ==7.5．【点评】：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．18．（12分）（2015•山东一模）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】：空间角．【分析】：（1）设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1E⊥BE．由此能证明A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解析】：（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2=1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．【解析】：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣）=．化为，∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列．故=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）b n===，故T n=+…+=．又∵不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，∴≥（m2﹣5m），化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴正整数m的最大值为6．【点评】：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•山东一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．21．（14分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．【解析】：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【点评】：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。
山东省潍坊市2015届高三3月一模考试数学(理)试题
13. 若 x 变
x
x + y − 2 ≥ 0 y 满足约束条件 3 x − 2 y − 6 ≤ 0 ，且 z = x + 3 y 的最小值为 4，则 k = __________． y ≥ k
14. 在对于实数 x ， [ x] 表示 超过的最大整数，观察 列等式
[ 1] + [ 2 ] + [ 3 ] = 3 [ 4 ] + [ 5 ] + [ 6 ] + [ 7 ] + [ 8 ] = 10 [ 9 ] + [ 10 ] + [ 11] + [ 12 ] + [ 13 ] + [ 14 ] + [ 15 ] = 21
7. 如图在△致BC 中，点 D 在 致C
，致B⊥BD，BC称 3 3 ，BD称5， sin ∠致BC称
2 3 ，则 CD 的长为 5
致． 14
B．4
C． 2 5
D．5
8.某几何体的 视图如图所示，其中 视图为半圆， 则该几何体的体 是
致．
2 π 3
B．
π
2
C．
2 2 π 3
D． π
2 9. 已知抛物线方程为 y = 8 x ，直线 l 的方程为 x − y + 2 = 0 ，在抛物线
. 请将所有 确命题的序
的 等 点，则 x + y = 3
任一点，则动点
x, y
的轨迹为双曲线的一部 ．
解答题 本大题共 6 小题,共 75 16. 本小题满 1工
,解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算 骤.
已知函数 f ( x ) = sin( 2ωx −
π
经典文档济南一模_理数2015年3月济南市高三模拟考试数学试题(理)及答案
3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案； 不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
C.充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为
A.7
B.9
C.11
D.13
6.某餐厅的原料费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之
间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二
乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 $y 8.5x 7.5 ，则
表中的 m 的值为
A.50
B.55
C.60
D.65
x2 y2 7.已知 F1, F2 是双曲线 a 2 b2 1 a 0, b 0 的两个焦点，以 F1F2 为直径的圆与双曲
线一个交点是 P，且 F1PF2 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是
A. 2
B. 3
C.2
D.5
x2 y2
8.在椭圆
1内，通过点 M 1,1 且被这点平分的弦所在的直线方程为
5 4 3 60 5
的分布列为：
0
10
20
30
1
3
13
2
P
60
20
30
5
………… 6 分
1
3
13
2 133
E（ ） 0
10
20 +30
. ………… 7 分
60
济南市2015届高三下学期3月一模考试(数学理)
2015年高考模拟考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,,M x x x N x x a M N =--<=>⊆若，则实数a 的取值范围是A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)3,+∞D.()3,+∞2.若12iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i -- B.2i - C.2i +D.2i -+3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行； A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9C.11D.136.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.57.5y x =+$，则表中的m 的值为A.50B.55C.60D.657.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.58.在椭圆221169x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A.91670x y -+=B.169250x y +-=C.916250x y +-=D.16970x y --=9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为 A.[]4,5- B.[]5,5- C.[]4,5D.[]5,4-第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()f x =的定义域是_________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________.14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c ⋅=+⋅+r r r r r r ，则的最大值为________.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称()f x 为“条件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积S =.（I ）求a 的值； （II ）设()()2co s s i n c o s c o s f xC x A x=-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18. （本小题满分12分） 直三棱柱111A B C A B C-中，10,8,6A B A C B C ===，18AA =，点D 在线段AB 上.（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明； （II ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥，（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()242l o g 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.20. （本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）2015届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、选择题ADDBC CDCBA 二、填空题（11）50 （12）{}10010|<<x x （13）π2 （14）1+（15）①③④三、解答题（16）解：（Ⅰ）在ABC ∆中A bc S sin 21=2342132⨯⨯⨯=∴c 2=∴c …………2分∴a === …………4分（Ⅱ）∵4,sin 1,sin sin sin a b B A B B==∴= 又∵0B π<<∴2B π=6C π=……6分∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-，………… 8分将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6g x x π=-，…………9分 所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………11分()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分（17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分ξ的分布列为：…………6分1313213301020+30.60203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯⨯=（）…………7分 ()()()()()3223.319==9460128031381=C =1144201280909+=+==.121280128P P P P P ⎛⎫⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）用A 表示“甲得30分乙得0分”，用B 表示“甲得20分乙得10分”，且A,B 互斥又A ， 分B 分甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为A B A B 分（18）（Ⅰ）证明：当D 是AB 中点时，1AC ∥平面1B CD . 连接BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE // AC 1． …………………………………2分 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1C D ， 所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分 （Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ． 则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =． 所以84,3a b ==．…………………7分所以1(6,0,8)BC =--，8(4,,0)3CD =． 平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =，由 120BC n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 6808403x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，所以4,23x y =-=，24(,2,1)3n =-． …………………10分 设二面角1B CD B --的大小为θ， 361cos a b a bθ⋅==所以二面角1B CD B --．……………………………12分 （19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.n n n a a +- …………3分()()()-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6n n n n n nn n n a a a a a a a a --∴+-++++=-=-⋯⋯⋯⋯+分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∴++--Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分（20）(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x += 联立⎩⎨⎧=+=xy a my x 62得0662=--a my y024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y , 21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+=)111(1363611)()(112222222122122m a a m m y y y y m t +-=+=++=∴不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii ) 0>a 时, 0621<-=a y y , 21y y ，∴异号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222ma a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(x ax x a x x g +-=-=' （i ）若0≥a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间； （ii ）若0<a ，则由0)('=x g 得ax 2-=， )2,0(a x -∈时，0)('<x g ，),2(+∞-∈ax 时，0)('>x g ，所以)2,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a为其单调递增区间；-----------------------4分（II ）)()(2x g x x f +=所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(x ax x x ax x x g x x f --=+-=+=令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)则a x x h -6)(2'= (**)----------------------------------------------------------------------------6分0<a 时, 0)('≥x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. ----------------------------------------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间(0,1)上0)('<x f 恒成立,此时,)(x f 无极值.综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值，则a 的取值范围为)0,(-∞. --------------9分 (III) 0>a ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时0)(>x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减, ),(1+∞∈x x 时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f -----------------------------------------------------------------------------------------11分 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴0220ln 20200020ax x x a x x消去a ,得131ln 2300-+=x x -------------------------------------------------------------------12分 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t , 则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数, 且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<= )3(263123ln 2)3(21t t =+>>= 320<<∴x2][0=∴x ------------------------------------------------------------------------------------------14分。
2015年青岛一模数学理--山东省青岛市2015届高三第一次(3月)模拟考试数学(理)
章丘一中王希刚2015年青岛一模高三模拟考试数学（理科）一、选择题：1．设i为虚数单位，复数21ii+等于A．i+-1B．i--1 C．i-1 D．i+12．设全集RI=，2{|log,2},{|A y y x xB x y==>==，则A A B⊆ B A B A= C A B=∅ D()IA B≠∅ð3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.44．“*12N,2n n nn a a a++∀∈=+”是“数列{}na为等差数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是A．2 B．92C．32D．36．已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y++=，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线方程为A．221205x y-= B．221520x y-= C．2233125100x y-= D．2233110025x y-=7．设,m n是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A．若//,,m n m nαβ⊥⊥，则αβ⊥B．若//,,m n m nαβ⊥⊥，则//αβC．若//,,//m n m nαβ⊥，则αβ⊥ D．若//,,//m n m nαβ⊥，则//αβ8．函数4cos xy x e=-(e为自然对数的底数)的图象可能是A B C D9．对于函数sin(26y xπ=-，下列说法正确的是A．图象关于点(,0)3π对称 B．图象关于直线56xπ=对称C．将它向左平移6π个单位，得到sin2y x=的图象D．将它图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin()6y xπ=-10．已知点G是ABC∆的外心，,,GA GB GC是三个单位向量，且20GA AB AC++=，如图所示，ABC∆的顶点,B C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则OA的最大值为A C．2D．3二、填空题：11．已知函数()tan sin2015f x x x=++，若()2f m=，则()f m-= ;第x章丘一中王希刚12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;13．设221(32)a x x dx =⎰-，则二项式261()ax x-展开式中的第6项的系数为 ;14．若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点(1,1)15．若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ:① {,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅;② {,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅;③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅; ④ {,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅.其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 .三、解答题：16. ABC ∆满足sin()sin sin a b a cA B A B+-=+-，3b =.（Ⅰ）求 B ；（Ⅱ）若sin A =ABC ∆的面积.17．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面 ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，13AD AA ==， 1BC =，1E 为11 A B 中点.（Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E （Ⅱ）若AC BD ⊥，求平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值.1A 1B 1C 1D 1E19．已知{}n a 是等差，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n nb b b b b a -⋅⋅⋅=+成立.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记24(1)(21)n nn n b c n ⋅=-+，求{}n c 的前n 项和n T .20．已知椭圆22:12x C y +=与直线:l y kx m =+相交于E 、F 两不同点，且直线l 与圆222:3O x y +=相切于点W .（Ⅰ）证明：OE OF ⊥；（Ⅱ）设EW FWλ=，求λ的范围.21．已知21()12f x x kx =++，()(1)ln(1)g x x x =++，()()()h x f x g x '=+.（Ⅰ）若()g x 的图象在原点处的切线l 与()f x的图象相切，求k 的值；（Ⅱ）若()h x 在[0,2]上单调递减，求k 的范围；（Ⅲ）若对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满()()i f x g t =(1,2)i =，其中e 为自然对数的底数，求k 的范围.理科答案一、选择题：D A B C D A C A B C二、填空题：11. 4028 12. 132 13. 24- 14．(4,2)- 15．②④三、解答题：16. 解：（Ⅰ）sin()sin sin a b a c A B A B +-=+- ∴a b a cc a b+-=- …………………………2分 222a b ac c ∴-=-2221cos 222a c b ac B ac ac +-∴=== ………………………………5分 (0,)B π∈，3B π∴=………………………………………………………6分（Ⅱ）由3b =，sin 3A =，sin sin a b A B =，得2a = ……………………………7分 由a b <得A B <，从而cos A =…………………………………………9分故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………10分 所以ABC ∆的面积为1sin 2S ab C ==. ……………………………12分17．解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为320C ，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为111111111111464466446646C C C C C C C C C C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ……………………4分 所以111111111111464466446646320819C C C C C C C C C C C C P C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅== …………………6分 （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2,33211616433202057162881548(0),(1),32019573201919C C C P P C C ξξ⨯⨯⨯⨯========⨯⨯⨯⨯1231644332020166841(2),(3)320199532019285C C C P P C C ξξ⨯========⨯⨯⨯⨯…………10分 所以ξ的分布列为所以2888157()012357199528595E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分 18．证明：（Ⅰ）连结1A D 交1AD 于G ，因为1111ABCD A B C D -为四棱柱， 所以四边形11ADD A 为平行四边形， 所以G 为1A D 的中点，又1E 为11 A B 中点，所以1E G 为11A B D ∆的中位线，从而11//B D E G ……………………………………4分又因为1B D ⊄平面11AD E ，1E G ⊂平面11AD E ，所以1//B D 平面11AD E ． …………………………5分（Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，AD ⊂面ABCD ，所以11,,AA A B A A AD ⊥⊥又090BAD ∠=，所以1,,AB AD AA 两两垂直. ……………6分如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系. 设AB t =，则()0,A ，(),0,0B t ，(),1,0C t ，()0,3,0D ，()1,1,3C t ，()10,3,3D .从而(,1,0)AC t =，(,)3,0BD t -=.因为AC BD ⊥，所以2300AC BD t ⋅=-+=+，解得t =……………………8分所以1(0,3,3)AD =，(3,1,0)AC =.设1111,,()n x y z =是平面1ACD 的一个法向量，则1110,0.AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110330y y z +=+=⎪⎩令11x =，则1(1,n =. …………………………………………………………9分 又1(0,0,3)CC =，(CD =.设2222,,()n x y z =是平面11CDD C 的一个法向量，则1220, n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222020z y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令21x =，则2(1,,02)n =. ………………………………………………………10分 ∴121212|11(0|1cos ,7n n n n n n ⨯++⋅<>===⋅ ∴平面1ACD 和平面11CDD C 所成角（锐角）的余弦值17. ……………………………12分19．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ， 则101919,a a d =+=101109101002S a d ⨯=+⨯= 解得11,2a d ==，所以21n a n =- ………………………………………………………3分 所以123121n n b b b b b n -⋅⋅⋅=+ …… ①当11,3n b ==时2,n ≥当时123121n b b b b n -⋅⋅=-……②①②两式相除得21(2)21n n b n n +=≥- 因为当11,3n b ==时适合上式，所以21(N )21n n b n n *+=∈-………………………………6分 （Ⅱ）由已知24(1)(21)nnn n b c n ⋅=-+，得411(1)(1)()(21)(21)2121nn n n c n n n n =-=-+-+-+则123n n T c c c c =++++1111111(1)()()(1)()335572121n n n =-+++-+++-+-+ ………………………7分 当n 为偶数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--+++-+ 1212121nn n =-+=-++ ………………………………………………………………9分 当n 为奇数时，1111111(1)()()(1)()335572121n n T n n =-+++-+++-+-+ 1111111(1)()()()335572121n n =--+++--++---+ 12212121n n n +=--=-++ ……………………………………………………………11分 综上：2,2122,21n nn n T n n n ⎧-⎪⎪+=⎨+⎪-⎪+⎩为偶数为奇数… ………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）因为直线l 与圆O 相切所以圆2223x y +=的圆心到直线l的距离d =，从而222(1)3m k =+…2分 由2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：222(12)4220k x kmx m +++-=设11(,)E x y ，22(,)F x y 则122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+ …………………………………………………4分所以12121212()()OE OF x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++2222222121222222222224(1)()(1)12123222(1)2201212m k m k x x km x x m k m k km k k k k k--=++++=+++++--+--===++ 所以OE OF ⊥ ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）直线l 与圆O 相切于W ，222212121,1,22x x y y +=+=∴EWFWλ====………………………………8分 由（Ⅰ）知12120x x y y +=，∴1212x x y y =-，即22221212x x y y = 从而22221212(1)(1)22x x x x =--，即2212214223x x x -=+∴21234x λ+== ……………………………………………………………12分因为1x ≤≤，所以1[,2]2λ∈ ………………………………………………13分 21．解：（Ⅰ）原函数定义域为(1,)-+∞，()ln(1)1g x x '=++，则(0)0g =，(0)1g '=，:l y x ∴= ………………………………………………………2分由22112(1)202y x kx x k x y x ⎧=++⎪⇒+-+=⎨⎪=⎩l 与函数()f x的图象相切，24(1)801k k ∴∆=--=⇒=4分（Ⅱ）由题21()1ln(1)12h x x kx x =+++++,1()1h x x k x '=+++ 令1()1x x k x ϕ=+++,因为221(2)()10(1)(1)x x x x x ϕ+'=-=>++对[0,2]x ∈恒成立，所以1()1x x k x ϕ=+++，即()h x '在[0,2]上为增函数 ………………………………6分 max 7()(2)3h x h k ''∴==+()h x 在[0,2]上单调递减()0h x '∴≤对[0,2]x ∈恒成立，即max 7()03h x k '=+≤ 73k ∴≤-…………………………………………………………………………………8分（Ⅲ）当1]x ∈时，()ln(1)10g x x '=++>()(1)ln(1)g x x x ∴=++在区间1]上为增函数，∴1]x ∈时，0()g x ≤≤…………………………………………………………………………10分 21()12f x x kx =++的对称轴为：x k =-，∴为满足题意，必须14k -<-<……11分 此时2min 1()()12f x f k k =-=-，()f x 的值恒小于(1)f -和(4)f 中最大的一个对于1]t ∀∈，总存在12,(1,4)x x ∈-，且12x x ≠满足()()i f x g t =(1,2)i =，min ((),min{(1),(4)})f x f f ∴⊆-2min 41141()0102(4)493(1)2k k f x k f k f k -<<⎧-<-<⎧⎪⎪⎪<-<⎪⎪⎪∴⇒⎨<<+⎪⎪<-⎪<-⎪⎩ …………………………………………………13分94k <<14分。
山东省济南市2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷
2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． [3，+∞） D．（3，+∞）2．若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B． 2﹣i C． 2+i D．﹣2+i3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④4．“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 136．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）A． 50 B． 55 C． 60 D． 657．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A． B． C． 2 D． 58．在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A． 9x﹣16y+7=0 B． 16x+9y﹣25=0 C． 9x+16y﹣25=0 D． 16x﹣9y﹣7=09．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A． 48种 B． 72种 C． 96种 D． 108种10．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A． [﹣4，5] B． [﹣5，5] C． [4，5] D． [﹣5，4]二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80）中的学生人数是．12．函数f（x）=的定义域是．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为．14．设、、都是单位向量，且•=0，则（+）•（+）的最大值为．15．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f（x）=；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）﹣f（x2）≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的序号是（写出符合条件的全部序号）．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上．（Ⅰ）若AC1∥平面B1CD，确定D点的位置并证明；（Ⅱ）当时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n∈N*，n≥2）（Ⅰ）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=2log4（a n+1）2，证明：对一切正整数n，有++…+＜．20．已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．21．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）2015年山东省济南市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合M={x|x2﹣2x﹣3＜0}，N={x|x＞a}若M⊆N，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C． [3，+∞） D．（3，+∞）考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先求出集合M={x|﹣1＜x＜3}，根据子集的定义即可得到a≤﹣1．解答：解：M={x|﹣1＜x＜3}；∵M⊆N；∴a≤﹣1；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选：A．点评：考查解一元二次不等式，描述法表示集合，以及子集的概念．2．若z=（i为虚数单位），则z的共轭复数是（）A．﹣2﹣i B． 2﹣i C． 2+i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后求得z的共轭复数．解答：解：z==，∴．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：（）①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．A．①② B．②③ C．③④ D．①④考点：类比推理．专题：空间位置关系与距离．分析：①④根据课本中的定理即可判断正确，②③根据正方体中的直线，平面即可盘不正确解答：解：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确．②垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不一定平行，也可能相交直线，异面直线，故不正确．③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；不一定平行，也可能相交平面，如墙角，故不正确．④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．故正确．故选：D．点评：本题考查了空间直线平面的位置关系，只要掌握好定理，空间常见的位置关系，做本题难度不大，属于容易题．4．“cosα=”是“α=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cos α=”．解答：解：∵“cosα=”⇒“α=+2kπ，k∈Z，或α=”，“α=”⇒“cosα=”．故选B．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理应用．5．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）A． 7 B． 9 C． 11 D． 13考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=﹣lg11时，满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=0，k=1不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg3，k=3不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg5，k=5不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg7，k=7不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg9，k=9不满足条件S＜﹣1，S=﹣lg11，k=11满足条件S＜﹣1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基本知识的考查．6．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）x 2 4 5 6 8y 25 35 m 55 75A． 50 B． 55 C． 60 D． 65考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．解答：解：由题意，==5，==38+，∵y关于x的线性回归方程为=8.5x+7.5，根据线性回归方程必过样本的中心，∴38+=8.5×5+7.5，∴m=60．故选：C．点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．7．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，以F1F2为直径的圆与双曲线一个交点是P，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）A． B． C． 2 D． 5考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理求出m=4d=8a，c=，由此求得离心率的值解答：解：因为△F1PF2的三条边长成等差数列，不妨设|PF2|，|PF1|，|F1F2|成等差数列，分别设为m﹣d，m，m+d，则由双曲线定义和勾股定理可知：m﹣（m﹣d）=2a，m+d=2c，（m ﹣d）2+m2=（m+d）2，解得m=4d=8a，c=，故离心率e==5，故选：D点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，以及双曲线的简单性质的应用，属于中档题．8．在椭圆=1内，通过点M（1，1）且被这点平分的弦所在的直线方程为（） A． 9x﹣16y+7=0 B． 16x+9y﹣25=0 C． 9x+16y﹣25=0 D． 16x﹣9y﹣7=0考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），利用点差法可求得以M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率．再由点斜式可求得直线方程．解答：解：设以点M（1，1）为中点的弦两端点为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2．又，①，②①﹣②得：=0又据对称性知x1≠x2，则=﹣，∴以点M（1，1）为中点的弦所在直线的斜率k=﹣，∴中点弦所在直线方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即9x+16y﹣25=0．故选：C点评：本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求以及点差法在求解直线方程中的应用．9．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有（）A． 48种 B． 72种 C． 96种 D． 108种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：首先给顶点P选色，有4种结果，再给A选色有3种结果，再给B选色有2种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果．解答：解：设四棱锥为P﹣ABCD．下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B同色时C的着色方法种数为1，D的着色方法种数为C21．（2）P的着色方法种数为C41，A的着色方法种数为C31，B的着色方法种数为C21，C与B不同色时C的着色方法种数为C11，D的着色方法种数为C11．综上两类共有C41•C31．2•C21+C41•C31•2=48+24=72种结果．故选：B．点评：本题主要排列与组合及两个基本原理，总体需分类，每类再分步，综合利用两个原理解决，属中档题．10．若存在至少一个x（x≥0）使得关于x的不等式x2≤4﹣|2x﹣m|成立，则实数m的取值范围为（）A． [﹣4，5] B． [﹣5，5] C． [4，5] D． [﹣5，4]考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：不等式可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；先求对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；作函数图象，由数形结合求实数m的取值范围．解答：解：不等式x2≤4﹣|2x﹣m|可化为|2x﹣m|≤﹣x2+4；若对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4，作函数y=|2x﹣m|与y=﹣x2+4的图象如下，结合图象可知，当m＞5或m＜﹣4时，对任意x≥0，都有|2x﹣m|＞﹣x2+4；故实数m的取值范围为[﹣4，5]；故选A．点评：本题考查了函数的图象的作法及函数与不等式的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60，80）中的学生人数是50 ．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，求出a的值，再根据频率=，求出测试成绩在[60，80）中的学生数．解答：解：根据频率和为1，得；（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得a=；∴测试成绩落在[60，80）中的学生频率是（3a+7a）×10==，∴对应的学生人数是100×=50．故答案为：50．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．12．函数f（x）=的定义域是（10，100）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．解答：解：要使函数有意义，则﹣（lgx）2+3lgx﹣2＞0，即（lgx）2﹣3lgx+2＜0，解得1＜lgx＜2，即10＜x＜100，故函数的定义域为（10，100），故答案为：（10，100）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．13．某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为的扇形，则该几何体的体积为2π．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，根据正视图与俯视图可判断底面扇形的中心角为，求出圆柱的体积乘以可得答案．解答：解：由三视图知几何体为圆柱的一部分，且圆柱的高为3，底面圆的半径为2，由正视图与俯视图判断底面扇形的中心角为60°，∴几何体的体积V=×π×22×3=2π，故答案为：2π．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．14．设、、都是单位向量，且•=0，则（+）•（+）的最大值为1+．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），计算（+）•（+）=sin（θ+）+1≤+1，从而得出结论．解答：解：∵、、都是单位向量，且•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cos θ，sinθ）．则（+）•（+）=（1，1））•（cosθ，1+sinθ）=cosθ+1+sinθ=sin（θ+）+1≤+1，故（+）•（+）的最大值为，故答案为．点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，两角和差的正弦公式的应用，其中，求出（+）•（+）的表达式，是解答本题的关键，属于基础题．15．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=4x；②f（x）=x2+2；③f（x）=；④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）﹣f（x2）≤4|x1﹣x2|．其中是“条件约束函数”的序号是①③④（写出符合条件的全部序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：用F函数的定义加以验证，对于①③④⑤均可以找到常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，说明它们是“条件约束函数”．而对于②，当x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，故它们不符合题意．解答：解：对于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”．对于②用F函数的定义不难发现：因为x→0时，||→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”．对于③，因为|f（x）|=≤|x|，所以存在常数ω=2＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”．对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）﹣f （x2）|≤4|x1﹣x2|得到，|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意．是“条件约束函数”．故答案为：①③④．点评：本题考查了函数的定义域和值域的问题，属于中档题．题中“条件约束函数”的实质是函数f（x）与x的比值对应的函数是有界的，抓住这一点不难解出．三、解答题（本大题共6小题，共75分）16．在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）的图象，求g（x）的单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）首先利用三角形的面积公式求出c边的长，进一步利用余弦定理求出a的长．（Ⅱ）利用上步的结论，进一步求出B的大小和C的大小，进一步把函数关系式变性成正弦型函数，再利用函数图象的变换求出g（x）=2sin（2x﹣），最后利用整体思想求出函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C；且b=4，A=，面积S=2．则：S=．解得：c=2．a2=b2+c2﹣2bccosA则：a=．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，所以：，解得：sinB=1，由于0＜B＜π则：，C=．f（x）=2（cosCsinx﹣cosAcosx）=2sin（x﹣），将f（x）图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）得到g（x）=2sin（2x﹣），令：（k∈Z）解得：则函数g（x）的单调递增区间为：[]（k∈Z）点评：本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用，正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数图象的伸缩变换，正弦型函数的单调区间的确定．17．某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．（Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ；（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．利用互斥事件的概率计算公式即可得出甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．解答：解：由题意知，ξ的可能取值为0，10，20，30，由于乙队中3人答对的概率分别为，，，P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=，P（ξ=10）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×==，P（ξ=20）=××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×==，P（ξ=30）=××=，∴ξ的分布列为：ξ 0 10 20 30P∴Eξ=0×+10×+20×+30×=．（Ⅱ）由A表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，B表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知A、B互斥．又P（A）==，P（B）=××=，则甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为P（A+B）=P（A）+P（B）==．点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，确定随机变量，及其概率．18．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=10，AC=8，BC=6，AA1=8，点D在线段AB上．（Ⅰ）若AC1∥平面B1CD，确定D点的位置并证明；（Ⅱ）当时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（I）当点D为AB的中点时，AC1∥平面B1CD．其原因如下：连接BC1交B1C于点E，连接DE．利用平行四边形与三角形的中位线定理，利用线面平行的判定定理即可得出AC1∥平面B1CD．（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得AC⊥CB，以C为原点建立空间直角坐标系，由，可得，设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），利用，可得，取平面BCD的法向量=（0，0，1），利用=即可得出．解答：（I）解：当点D为AB的中点时，AC1∥平面B1CD．下面给出证明：连接BC1交B1C于点E，连接DE．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴E点是对角线BC1的中点，∴DE是△ABC1的中位线，∴DE∥AC1，∵AC1⊄平面B1CD，DE⊂平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．（II）由AB=10，AC=8，BC=6，可得AC⊥CB．以C为原点建立空间直角坐标系，B（6，0，0），A（0，8，0），A1（0，8，8），B1（6，0，8），∵，∴=（6，0，0）+（﹣6，8，0）=（4，，0），=（6，0，8），设平面CDB1的法向量为=（x，y，z），∴，∴，令y=2，解得x=﹣，z=1，∴=．取平面BCD的法向量=（0，0，1），∴===．点评：本题考查了平行四边形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、勾股定理的逆定理，考查了通过建立空间直角坐标系得出平面的法向量、利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力与计算能力，属于中档题．19．已知数列{a n}满足a1=1，a2=3，a n+1=3a n﹣2a n﹣1（n∈N*，n≥2）（Ⅰ）证明：数列{a n+1﹣a n}是等比数列，并求出{a n}的通项公式（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=2log4（a n+1）2，证明：对一切正整数n，有++…+＜．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由a n+1=3a n﹣2a n﹣1得a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1），变形后可得{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1为首项，2为公比的等比数列，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）把{a n}的通项公式代入b n=2log4（a n+1）2 ，整理后利用裂项相消法求++…+的和，放缩后得答案．解答：证明：（Ⅰ）∵a n+1=3a n﹣2a n﹣1，∴a n+1﹣a n=2（a n﹣a n﹣1），∵a1=1，a2=3，∴（n∈N*，n≥2），∴{a n+1﹣a n}是以a2﹣a1为首项，2为公比的等比数列，则a n+1﹣a n=2n，∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=．（Ⅱ）b n=2log4（a n+1）2 =．∴=．则++…+=．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．20．已知抛物C的标准方程为y2=2px（p＞0），M为抛物线C上一动点，A（a，0）（a≠0）为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N．当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记t=，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）由当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．可得S△MON=×2p==，解得p即可．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，与抛物线方程联立可得y2﹣6my﹣6a=0，得到根与系数的关系．由对称性，不妨设m＞0，（i）a＜0时，可知y1，y2同号．又t=+，得到t2==，可得不论a取何值，t值与M点位置有关．（ii）a＞0时，由于y1，y2异号．又t=+，可得t2==，可得仅当﹣1=0时，即a=时，t与m 无关，此时A即为一个“稳定点”．解答：解：（I）∵当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，△MON的面积为．∴S△MON=×2p==，解得p=3．∴抛物线C的标准方程为y2=6x．（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为：x=my+a，联立．化为y2﹣6my﹣6a=0，△＞0，y1+y2=6m，y1y2=﹣6a．由对称性，不妨设m＞0．（i）a＜0时，∵y1y2=﹣6a＞0，∴y1，y2同号．又t==+，∴t2===，不论a取何值，t值与M点位置有关，即此时的点A不为“稳定点”．（ii）a＞0时，∵y1y2=﹣6a＜0，∴y1，y2异号．又t==+，∴t2===•=，∴仅当﹣1=0时，即a=时，t与m无关，此时A即为抛物线的焦点，因此抛物线对称轴上仅有焦点一个“稳定点”．点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知关于x函数g（x）=﹣alnx（a∈R），f（x）=x2+g（x）（Ⅰ）试求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在区间（0，1）内有极值，试求a的取值范围；（Ⅲ）a＞0时，若f（x）有唯一的零点x0，试求[x0]．（注：[x]为取整函数，表示不超过x的最大整数，如[0.3]=0，[2.6]=2[﹣1.4]=﹣2；以下数据供参考：ln2=0.6931，ln3=1.099，ln5=1.609，ln7=1.946）考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，对a分类讨论：当a≥0时，当a＜0时，即可得出单调性；（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，可得：函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，由于函数f（x）单调，因此函数f（x）无极值．（III）a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，因此x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，由题意可知：x1即为x0．得到，即，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，分别研究单调性即可得出x0的取值范围．解答：解：（I）g（x）=﹣alnx（x＞0），g′（x）==﹣，（i）当a≥0时，g′（x）＜0，∴（0，+∞）为函数g（x）的单调递减区间；（ii）当a＜0时，由g′（x）=0，解得x=﹣．当x∈时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；当x∈时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．（II）f（x）=x2+g（x），其定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+g′（x）=，令h（x）=2x3﹣ax﹣2，x∈[0，+∞），h′（x）=6x2﹣a，当a＜0时，h′（x）≥0恒成立，∴h（x）为（0，+∞）上的增函数，又h（0）=﹣2＜0，h（1）=﹣a＞0，∴函数h（x）在（0，1）内至少存在一个变号零点x0，且x0也是f′（x）的变号零点，此时f（x）在区间（0，1）内有极值．当a≥0时，h（x）=2（x3﹣1）﹣ax＜0，即x∈（0，1）时，f′（x）＜0恒成立，函数f （x）无极值．综上可得：f（x）在区间（0，1）内有极值的a的取值范围是（﹣∞，0）．（III）∵a＞0时，由（II）可知：f（1）=3知x∈（0，1）时，f（x）＞0，∴x0＞1．又f′（x）在区间（1，+∞）上只有一个极小值点记为x1，且x∈（1，x1）时，函数f（x）单调递减，x∈（x1，+∞）时，函数f（x）单调递增，由题意可知：x1即为x0．∴，∴，消去a可得：，a＞0，令t1（x）=2lnx（x＞1），，则在区间（1，+∞）上t1（x）单调递增，t2（x）单调递减．t1（2）=2ln2＜2×0.7==t2（2），t1（3）=2ln3＞2＞=t2（3）．∴2＜x0＜3，∴[x0]=2．点评：本题考查了利用当时研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论方法，考查了分析问题与解决问题的方法，考查了零点存在但是求不出准确值的情况下的解决方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省济南市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题
山东省济南市届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题第卷（共分）一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合2230,,Mx x x N x x a M N 若，则实数a 的取值范围是.,1.,1.3,.3,.若12i zi （为虚数单位），则的共轭复数是.2i .2i .2i .2i.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；.①②.②③.③④.①④.“1cos 2”是“3”的.充分而不必要条件.必要而不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件.执行如图所示的程序框图，输出的值为.某餐厅的原料费支出x 与销售额（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为8.57.5y x $，则表中的的值为.已知12,F F 是双曲线222210,0x y a b ab 的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是，且12F PF 的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是.2.3.在椭圆221169x y 内，通过点1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为.91670xy .169250x y .916250x y .16970x y .将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有种种种种.若至少存在一个0x x ，使得关于x 的不等式242x x m 成立，则实数的取值范围为.4,5.5,5.4,5.5,4第卷（共分）二、填空题：本大题共个小题，每小题分，共分.名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在60,80中的学生人数是..函数2113lg 2f xgx x 的定义域是. .某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3的扇形，则该几何体的体积为. .设,,a b c r r r是单位向量，且0a b a c b c r r r r r r ，则的最大值为. .设函数f x 的定义域为，若存在常数f x 为“条0f x x ，使对一切实数x 均成立，则称件约束函数”.现给出下列函数：①4f x x ；②22f x x ；③。
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【山东一模理数】山东省各地市2015届高三3月一模数学（理）试题及答案汇编(共9份)【潍坊一模＿理数】山东省潍坊市2015届高三3月一模数学（理）试题及答案（Word版） (2)[青岛一模数学]2015届山东省青岛市高三统一质量检测数学试题（理）试题及答案(word版) (11)［烟台一模理数］山东省烟台市2015年高考诊断性测试理科数学试题及答案(Word版) (21)【济南一模理数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题（理）及答案 (30)［淄博一模理数］山东省淄博市2014-2015学年度高三模拟考试数学试题（理）及答案(Word版) (40)[日照一模_理数]日照市2015届高三第一次模拟考试数学试题（理）及答案 (53)[济宁一模理数]山东省济宁市2015届高三第一次模拟考数学试题（理）及答案(word版本) (63)[泰安一模理数]泰安市2015届高三第一次模拟考数学试题（理）及答案(word版) (74)［枣庄一模理数］山东省枣庄市2015届第二次调研考试数学(理)试题及答案(高清扫描版) (86)试卷类型：A【潍坊一模＿理数】山东省潍坊市2015届高三3月一模数学（理）试题及答案（Word 版）高三数学（理工农医类）本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.第I 卷（选择题 共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合(){}11,122x M x N x y g x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥==+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N ⋂等于A. [)0,+∞B. (]2,0-C. ()2,-+∞D. ()[),20,-∞-⋃+∞2.设复数12,z z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，若112z i =-，则21z z 的虚部为 A. 35 B. 35- C. 45 D. 45- 3.如果双曲线()222210,0x y a b a b-=>>0y -=平行，则双曲线的离心率为A.B. C.2 D.34.已知函数()y f x =的定义域为{}0x x R x ∈≠且，且满足()()0,0f x f x x +-=>当时，()ln 1f x x x =-+，则函数()y f x =的大致图象为5.某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为A.90%B.95%C.99%D.99.9%附：参考公式和临界值表6.下列结论中正确的是①命题：()30,2,3x x x ∀∈>的否定是()30,2,3x x x ∃∈≤； ②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α；③若随机变量ξ服从正态分布()21,N δ，且()20.8P ξ<=，则()010.2P ξ<<=； ④等差数列{}n a 的前n 项和为473=21.n S a S =，若，则A.①②B.②③C.③④D.①④7.如图，在ABC ∆中，点D 在AC上，,5,sin AB BD BC BD ABC ⊥==∠=CD 的长为A.B.4C.D.5 8.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是A. 3B. 2πC. 3D. π9.已知抛物线方程为28y x =，直线l 的方程为20x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴距离为1,d P l 到的距离为212d d d +，则的最小值为A. 2B.C. 2D. 210.对于实数,m n 定义运算“⊕”： ()()2221,21m mn m n m n f x x n mnm n ⎧-+-≤⎪⊕==-⊕⎨->⎪⎩设 ()1x -，且关于x 的方程()f x a =恰有三个互不相等的实数根123,,,x x x 则123,,x x x 的取值范围是A. 1,032⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：1.将第II 卷答案用0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上.2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 316x x ++-≥的解集是_________.12.运行右面的程序框图，如果输入的x 的值在区间[]2,3-内，那么输出的()f x 的取值范围是_________.13.若变量,x y 满足约束条件20,3260,3x y x y z x y y k +-≥⎧⎪--≤=+⎨⎪≥⎩且的最小值为4，则k=_________.14.对于实数[],x x 表示不超过x 的最大整数，观察下列等式：按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为______________________.15.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心、以AB 为半径的圆弧上一点.若()0AC xDE yAP xy =+≠，则以下说法正确的是：_________.（请将所有正确命题的序号填上）①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则1,1x y =-=；②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧DB 的中点 ;③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧的三等分点，则3x y +=；④若点E 与B 重合，点P 为DB 上任一点，则动点(),x y 的轨迹为双曲线的一部分.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数()()2sin 24sin 206f x x x πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭，其图象与x 轴相邻两个交点的距离为2π. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若将()f x 的图象向左平移()0m m >个长度单位得到函数()g x 的图象恰好经过点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭，求当m 取得最小值时，()7612g x ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦在，上的单调递增区间. 17. （本小题满分12分）如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中//,BE AF ，1,,2AB AF AB BE AF ⊥==BC =4CBA π∠=，P 为DF 的中点. （I ）求证：PE//平面ABCD ；（II ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值..18. （本小题满分12分）某校从参加某次数学能力测试同学中抽出36名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)[)[)[]809090.100100110110120，，，，，，. （I ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的事件的概率；①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在[)90,100内至多1名学生；（II ）在成绩是[)80,100内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[)90,100内的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望EX..19. （本小题满分12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的通项公式{}n b 的通项公式().1n n n b n N n n *⎧=∈⎨+⎩为偶数为奇数若351,S b =+.424b a a 是与的等比中项. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .20. （本小题满分13分）已知点M 是圆心为1C 的圆()2218x y ++=上的动点，点()21,0C ，若线段2MC 的中垂线交1MC 于点N.（I ）求动点N 的轨迹方程；（II ）若直线:l y kx t =+是圆221x y +=的切线且l 与N 点轨迹交于不同的两点P 、Q ，O 为坐标原点，若2435OP OQ OPQ μμ⋅=≤≤∆，且，求面积的取值范围. 21. （本小题满分14分）已知函数()1ln f x x a x x=--. （I ）若()f x 无极值点，求a 的取值范围； （II ）设()()1ln ,a g x x x a x =+-当取（I ）中的最大值时，求()g x 的最小值； （III ）证明不等式：()1*12ln 21n n n i n N +=>∈+.[青岛一模 数学]2015届山东省青岛市高三统一质量检测数学试题（理）试题及答案(word 版)青岛市高三统一质量检测数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 为虚数单位，复数21i i +等于 A ．i +-1 B ．i --1C ．i -1D ．i +1 2．设全集R I =，集合2{|log ,2},{|A y y x x B x y ==>==，则A ．AB ⊆ B ．A B A =C ．A B ⋂=∅D ． ()I A B ⋂≠∅ð3．在“魅力青岛中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打 出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为A ．5和1.6B ．85和1.6C ．85和0.4D ．5和4．“*12N ,2n n n n a a a ++∀∈=+”是“数列{}n a 为等差数列”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则第5题图正视图 侧视图x正视图中的x 的值是A ．2B ．92 C ．32D ．3 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线平行于直线:250l x y ++=，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．2233125100x y -=D ．2233110025x y -= 7．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则αβ⊥D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ8．函数4cos xy x e =-(e 为自然对数的底数)的图象可能是9．对于函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法正确的是 A.函数图象关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B.函数图象关于直线56x π=对称 C.将它的图象向左平移6π个单位，得到sin 2y x =的图象 D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的12倍，得到sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 10．已知点G 是ABC ∆的外心，,,GA GB GC u u r u u u r u u u r 是三个单位向量，且20GA AB AC ++=u u r u u u r u u u r r ，如图所示，非负半轴ABC ∆的顶点,B C 分别在x 轴的非负半轴和y 轴的上移动，O 是坐标原点，则OA uu r 的最大值为AC ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数()tan sin 2015f x x x =++，若()2f m =，则()f m -= ；12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ；13.设()22132a x x dx =-⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的第6项的系数为 ；14. 若目标函数2z kx y =+在约束条件2122x y x y y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩下当且仅当在点（1，1）处取得最小值，则实数k 的取值范围是 ；15. 若X 是一个集合， τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{,,}X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{,{},{},{,,}}a c a b c τ=∅； ②{,{},{},{,},{,,}}b c b c a b c τ=∅；③{,{},{,},{,}}a a b a c τ=∅； ④{,{,},{,},{},{,,}}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是 ．三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,,a b c 已知(),sin sin sin a b a c A B A B+-=+- 3b =.（I ）求角B ；（II）若sin 3A =，求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自校机械工程学院、海洋（I ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率； （II ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ,90BAD ∠=︒,13AD AA ==， 1BC =，1E 为11A B 中点. （Ⅰ）证明：1//B D 平面11AD E ；（Ⅱ）若AC BD ⊥，求平面1ACD 和平面11CDDC 所成角（锐角）的余弦值.19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，且1019a =，10100S =；数列{}n b 对任意N n *∈，总有12312n n n b b b b b a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+成立. （Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记()()24121n nn n b c n ⋅=-+，求数列{}n c 的前n 项和n T .20．（本小题满分13分）已知椭圆22:12x C y +=与直线:l y kx m =+相交于E 、F 两不同点，且直线l 与圆222:3O x y +=相切于点W （O 为坐标原点）.（Ⅰ）证明：OE OF ⊥； （Ⅱ）设EWFW λ=，求实数λ的取值范围.21．（本小题满分14分） 已知函数()()()()()()21()1,1ln 1,2f x x kx g x x x h x f x g x '=++=++=+. （Ⅰ）若函数()g x 的图象在原点处的切线l 与函数()f x 的图象相切，求实数k 的值； （Ⅱ）若()h x 在[0,2]上为单调递减，求实数k 的取值范围.（III ）若对于1t ⎡⎤∀∈⎣⎦，总存在()()()1212,1,4,i x x x x f x g t ∈-≠=且满 ()1,2i =，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围.［烟台一模理数］山东省烟台市2015年高考诊断性测试理科数学试题及答案(Word版)山东烟台2015高考诊断性测试数学理一. 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ）1. 若集合11,0,,12⎧⎫A=-⎨⎬⎩⎭，集合{}2,xy y xB==∈A，则集合A B =（）A.11,0,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B.10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C.1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D.{}0,12. 复数321izi-=-的共轭复数z=（）A. 5122i+B.5122i-C.1522i+D.1522i-3. “22kπϕπ=+，k∈Z”是“函数()()cos2f x xϕ=+的图象过原点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 甲乙两名同学参加某项技能比赛，7名裁判给两人打出的分数如下茎叶图所示，依此判断（）A. 甲成绩稳定且平均成绩较高B. 乙成绩稳定且平均成绩较高C. 甲成绩稳定，乙平均成绩较高D. 乙成绩稳定，甲平均成绩较高5. 某程序的框图如右图所示，执行该程序，则输出的结果为（）A. 12B. 13C. 14D. 156. 已知α，()0,βπ∈，且()1tan2αβ-=，1tan7β=-，则2αβ-的值是（）A.4π-B. 4πC. 34π-D. 34π7. 设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，函数241y ax bx =-+在区间[)1,+∞上是增函数的概率为（ ）A. 13 B. 23 C. 14D. 128. 若双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的左. 右焦点分别为1F . 2F ，线段12FF 被抛物线22y bx=的焦点分成5:3两段，则此双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 4D.9. 已知M 是C ∆AB 内一点，且C 23AB⋅A =C 30∠BA =，若C ∆MB . ∆MAB . C ∆MA 的面积分别为12. x . y ，则14x y +的最小值是（ ） A. 9B. 16C. 18D. 2010. 已知函数()2log 1f x a x =+（0a ≠），定义函数()()(),0F ,0f x x x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，给出下列命题：①()()F x f x =；②函数()F x 是偶函数；③当0a <时，若01m n <<<，则有()()F F 0m n -<成立；④当0a >时，函数()F 2y x =-有4个零点. 其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1 C . 2D. 3二. 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. ） 11. 若不等式()2log 122x x m ++--≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .12. 现有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面，把4枚硬币摆成一摞，满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有 种（用数字作答）. 13. 若某四面体的三视图如右图所示，则这个四面体四个面的面积中最大值的是 .14. 已知()x xf x e =，()()1f xf x '=，()()21f x f x '=⎡⎤⎣⎦，⋅⋅⋅，()()1n n f x f x +'=⎡⎤⎣⎦，n *∈N ，经计算：()11x x f x e -=，()22x x f x e -=，()33x xf x e -=，⋅⋅⋅，照此规律则()n f x = .15. 已知圆C :()()22431x y -+-=和两点(),0m A -，(),0m B （0m >），若圆C 上至少存在一点P ，使得90∠APB =，则m 的取值范围是 .三. 解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. ） 16. （本小题满分12分）在C ∆AB 中，角A . B . C 所对的边分别为a .b .c ，已知222si n si n C si n si nsi n CB +=A +B . ()1求角A 的大小； ()2若1cos 3B =，3a =，求c 值.17. （本小题满分12分）为了进一步激发同学们的学习热情，某班级建立了理科. 文科两个学习兴趣小组，两组的人数如下表所示. 现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从两组中共抽取3名同学进行测试.()1求从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的概率；()2记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S 且满足条件：2421n nS n S n +=+（n *∈N ）.()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有111n n n n b b +T -+=T +（n *∈N ），13b =，证明：数列{}1n b -是等比数列；又211n n n a c b +=-，求数列{}n c 的前n 项和W n.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，D//C A B ，D AB ⊥A ，AB ⊥PA ，C 22D 4B =AB =A =BE ，平面PAB ⊥平面CD AB .()1求证：平面D PE ⊥平面C PA ；()2若直线PE 与平面C PA所成的角的正弦值为5，求二面角C D A -P -的余弦值.20. （本小题满分13分）已知椭圆C :22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点()F 1,0，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线Q P 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.()1求椭圆C 的方程；()2设O 为坐标原点，线段F O 上是否存在点(),0t T ，使得Q Q Q P⋅TP =P ⋅T ？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由.21. （本小题满分14分）已知函数()211axf x x =++（0a ≠）.()1当1a =时，求函数()f x 图象在点()0,1处的切线方程； ()2求函数()f x 的单调区间；()3若0a >，()2mx g x x e =，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()12f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案 一. 选择题1. C2. B3. A4. D5. C6. C7. A8. D9. C 10. D 二. 填空题11. (,1]-∞- 12. 5 13. 10 14. (1)()e n x x n -- 15. 46m ≤≤三. 解答题16. 解：（1）由正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理：2221cos 22b c a A bc +-==，…………………2分 因为(0,)A π∈，所以3A π=.（2）由（1）可知，sin A =，…………………4分因为1cos 3B =，B为三角形的内角，所以sin B =，…………………6分 故sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+1132=+=…………………9分由正弦定理sin sin a cA C =，得sin 1sin a c C A ===+. …………………12分17. 解：（1）两小组的总人数之比为8:4=2:1，共抽取3人，所以理科组抽取2人，文科组抽取1人，…………………2分从理科组抽取的同学中至少有1名女同学的情况有：一男一女、两女，所以所求的概率为：11235328914C C C P C +==. …………………4分 （2）由题意可知ξ的所有可能取值为0,1,2,3，…………………5分 相应的概率分别是021********(0)112C C C P C C ξ===,1112353321218484148(1)112C C C C P C C C C ξ==+=，1121355321218484145(2)112C C C C P C C C C ξ==+=,252184110(3)112C P C C ξ===,………………9分所以ξ的分布列为：48451031231121121122E ξ=⨯+⨯+⨯=.18. 解：2133,1)(124)1(21112122===+==∴∈++=*a a a a a S S n N n n n S S n n 得结合，则当………………2分 ∴n d n a a a a d n =-+==-=)1(1112所以)(*∈=N n n a n………………4分（2）由nn n n nn n n b T b T b T b T +=+-=++-++11111可得所以121-=-+n n n b T T ，121-=+n n b b ，)1(211-=-+n n b b ………………4分所以}1{-n b 是等比数列且112b -=，2=q 公比………………6分∴n n n n q b b 222)1(1111=⨯=-=---∴12+=n n b ………………8分∴nnn n n n n b a c )21()12(212112⋅+=+=-+=………………9分∴nn n n c c c c W )21()12()21(7)21(5)21(332321⨯+++⨯+⨯+⨯=++++= 利用错位相减法，可以求得2552n n n W +=-. ………………12分19. 解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD AB =，AB PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD ,………………2分又∵AB AD ⊥，故可建立空间直角坐标系o xyz -如图所示， 不妨设4,BC AP λ==(0)λ>,则有(0,2,0),(2,1,0),(2,4,0),(0,0,)D E C P λ， ∴(2,4,0),(0,0,),(2,1,0)AC AP DE λ===-，∴4400,0DE AC DE AP =-+==，………………4分 ∴,DE AC DE AP ⊥⊥， ∴DE ⊥平面PAC . 又DE ⊂平面PED∴平面PED ⊥平面PAC ………………6分（2）由（1），平面PAC 的一个法向量是(2,1,0)DE =-，(2,1,)PE λ=-, 设直线PE 与平面PAC 所成的角为θ，sin |cos ,||PE DE θ∴=<>==2λ=±，∵0λ>∴2λ=，即(0,0,2)P ………………8分设平面PCD 的一个法向量为(,,)x y z =n ，(2,2,0),(0,2,2)DC DP ==-， 由,DC DP ⊥⊥n n ,∴220220x y y z +=⎧⎨-+=⎩，不妨令1x =，则(1,1,1)=--n ………………10分∴cos ,n DE <>==, 显然二面角A PC D --的平面角是锐角，∴二面角A PC D --……………12分20. 解：（1）由题意知1c =，又tan 603bc ==，所以23b =，……………2分2224a b c =+=，所以椭圆的方程为：22143x y +=；……………4分 （2）设直线PQ 的方程为：(1),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得：2222(34)84120k x k x k +-+-=设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点为00(,)R x y ，则2120002243,(1)23434x x k kx y k x k k +===-=-++，……………7分 由QP TP PQ TQ ⋅=⋅得：()(2)0PQ TQ TP PQ TR ⋅+=⋅=， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：222314()3434k k y x k k k +=--++，……………9分 令0y =得：T 点的横坐标22213344k t k k ==++，……………10分因为2(0,)k ∈+∞，所以234(4,)k +∈+∞，所以1(0,)4t ∈. ……………12分 所以线段OF 上存在点(,0)T t使得QP TP PQ TQ ⋅=⋅，其中1(0,)4t ∈. ……………13分 21. 解（1）当1a =时，2()11xf x x =++，(0)1f =，222222(1)21()(1)(1)x x x x f x x x +-⋅-'==++，……………2分所以(0)1f '=，切线方程为11(0)y x -=⋅-，即10x y -+=……………4分（2）由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，22222222(1)2(1)(1)(1)()(1)(1)(1)a x ax x a x a x x f x x x x +-⋅--+'===+++，……………6分当0a >时，(1,1)x ∈-，()0f x '>，()f x 为增函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '<，()f x 为减函数；当0a <时，(1,1)x ∈-，()0f x '<，()f x 为减函数，(,1),(1,)x ∈-∞-+∞，()0f x '>，()f x 为增函数. ……………8分 （3）“对任意的1212,[0,2],()()x x f x g x ∈≥恒成立”等价于“当0a >时，对任意的12min max ,[0,2],()()x x f x g x ∈≥成立”，当0a >时，由（2）可知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，而2(0)1,(2)115af f ==+>，所以()f x 的最小值为(0)1f =，22()2e e (2)e mx mx mx g x x x m mx x '=+⋅=+，当0m =时，2()g x x =，[0,2]x ∈时，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，……………10分 当0m ≠时，令()0g x '=得，1220,x x m ==-，（1）当22m -≥，即10m -≤≤时，在[0,2]上()0g x '≥，所以()g x 在[0,2]单调递增，所以2max ()(2)4e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤-，所以1ln 2m -≤≤-（2）当202m <-<，即1m <-时，在2[0,],()0g x m '-≥，()g x 单调递增，在2[,2],()0g x m '-<，()g x 单调递减，所以max 2224()()e g x g m m =-=，只需2241e m ≤，得2e m ≤-，所以1m <- （3）当20m -<，即0m >时，显然在[0,2]上()0g x '≥，()g x 单调递增，2max ()(2)4e mg x g ==，24e 1m ≤不成立，……………13分综上所述，m 的取值范围是(,ln 2]-∞-……………14分【济南一模 理数】2015年3月济南市高三模拟考试数学试题（理）及答案2015年高考模拟考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A,B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅.第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2230,,M x x x N x x a M N =--<=>⊆若，则实数a 的取值范围是A.(],1-∞-B.(),1-∞-C.[)3,+∞D.()3,+∞2.若12iz i-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数是 A.2i -- B.2i - C.2i +D.2i -+3.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行；A.①②B.②③C.③④D.①④ 4.“1cos 2α=”是“3πα=”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.7 B.9 C.11 D.136.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为8.57.5y x =+$，则表中的m 的值为A.50B.55C.60D.657.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且12F PF ∆的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是C.2D.58.在椭圆221169x y +=内，通过点()1,1M 且被这点平分的弦所在的直线方程为 A.91670x y -+=B.169250x y +-=C.916250x y +-=D.16970x y --=9.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有 A.48种 B.72种 C.96种 D.108种 10.若至少存在一个()0x x ≥，使得关于x 的不等式242x x m ≤--成立，则实数m 的取值范围为A.[]4,5-B.[]5,5-C.[]4,5D.[]5,4-第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11.100名学生某次数学测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[)60,80中的学生人数是_________. 12.函数()2f x =的定义域是_________.13.某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为3π的扇形，则该几何体的体积为__________. 14.设,,a b c r r r是单位向量，且()()0a b a c b c⋅=+⋅+r r r r r r ，则的最大值为________.15.设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数()f x 为“条()0f x x ωω>≤，使对一切实数x 均成立，则称件约束函数”.现给出下列函数：①()4f x x =；②()22f x x =+；③()2225xf x x x =-+；④()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有()()12124f x f x x x -≤-.其中是“条件约束函数”的序号是________（写出符合条件的全部序号）.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分）在ABC ∆中，边a,b,c 的对角分别为A,B,C ；且4,3b A π==，面积S =（I ）求a 的值；（II ）设()()2cos sin cos cos f x C x A x =-，将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）得到()g x 的图象，求()g x 的单调增区间.17. （本小题满分12分）某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分. （I ）求ξ的分布列和数学期望；（II ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.18. （本小题满分12分） 直三棱柱111A B C A B C-中，10,8,6A B A C B C ===，18AA =，点D 在线段AB 上.（I ）若1//AC 平面1B CD ，确定D 点的位置并证明； （II ）当13BD AB =时，求二面角1B CD B --的余弦值.19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()12111,3,32,2n n n a a a a a n N n *+-===-∈≥，（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足()242l o g 1n n b a =+，证明：对一切正整数222121111,1112n n b b b ++⋅⋅⋅+<---有.20. （本小题满分13分）已知抛物C 的标准方程为()220y px p =>，M 为抛物线C 上一动点，()(),00A a a ≠为其对称轴上一点，直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N.当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时，MON ∆的面积为92. （I ）求抛物线C 的标准方程； （II ）记11t AM AN=+，若t 值与M 点位置无关，则称此时的点A 为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.21. （本小题满分14分） 已知关于x 函数()()()()22ln ,g x a x a R f x x g x x=-∈=+， （I ）试求函数()g x 的单调区间；（II ）若()f x 在区间()0,1内有极值，试求a 的取值范围； （III ）0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x .（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）2015届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、选择题ADDBC CDCBA 二、填空题（11）50 （12）{}10010|<<x x （13）π2 （14）1（15）①③④三、解答题（16）解：（Ⅰ）在ABC ∆中A bc S sin 21=2342132⨯⨯⨯=∴c 2=∴c …………2分∴a === …………4分（Ⅱ）∵4,sin 1,sin sin sin a b B A B B==∴= 又∵0B π<<∴2B π=6C π=……6分∴(()2cos sin cos cos )2sin()6f x C x A x x π=-=-，………… 8分将()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到()2sin(2)6g x x π=-，…………9分 所以()g x 的单调增区间为222,262k x k πππππ-≤-≤+…………10分即,()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈…………11分()g x 的单调区间为,,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦…………12分（17）解：（Ⅰ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30．…………1分1111(=0)5436041113111293(=10)=54354354360204314121322613(=20)=5435435436030432242(=30)==.5543605P P P P ξξξξ=⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⋯⋯⋯⋯，，，分ξ的分布列为：…………6分1313213301020+30.60203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯⨯=（）…………7分 ()()()()()3223.319==9460128031381=C =1144201280909+=+==.121280128P P P P P ⎛⎫⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⨯⋯⋯⋯⋯ ⎪⎝⎭⋯⋯⋯⋯（Ⅱ）用A 表示“甲得30分乙得0分”，用B 表示“甲得20分乙得10分”，且A,B 互斥又A ， 分B 分甲、乙两人得分总和为30分且甲获胜的概率为A B A B 分（18）（Ⅰ）证明：当D 是AB 中点时，1AC ∥平面1B CD . 连接BC 1，交B 1C 于E ，连接DE ． 因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以侧面BB 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线，所以 DE // AC 1． …………………………………2分 因为 DE ⊂平面B 1CD ， AC 1⊄平面B 1C D ， 所以 AC 1∥平面B 1CD ． ………………………………………4分 （Ⅱ） 由6,8,10===BC AC AB ，得AC ⊥BC ，以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz ． 则B (6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A 1(0, 8,8)，B 1(6, 0, 8)．设D (a , b , 0)（0a >，0b >），…………………5分 因为 点D 在线段AB 上，且13BD AB =， 即13BD BA =． 所以84,3a b ==．…………………7分所以1(6,0,8)BC =--，8(4,,0)3CD =． 平面BCD 的法向量为1(0,0,1)n =． 设平面B 1CD 的法向量为2(,,1)n x y =，由 120BC n ⋅=，20CD n ⋅=， 得 6808403x x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 所以4,23x y =-=，24(,2,1)3n =-． …………………10分 设二面角1B CD B --的大小为θ， 361cos a b a bθ⋅==所以二面角1B CD B --的余弦值为61．……………………………12分 （19）解：()Ⅰ由1132n n n a a a +-=- ，可得112(),n n n n a a a a +--=-…………2分212,a a -={}1n n a a +∴- 是首项为2，公比为2的等比数列，即1=2.n n n a a +- …………3分()()()-1-1-221112=-+-+-12=22211221,6n n n n n nn n n a a a a a a a a --∴+-++++=-=-⋯⋯⋯⋯+分()()()24222221222122log (2)2.7111111=.9141212122121111111111+=1111233521211111.2212111,+11n n n n b n b n n n n n b b b n n n n b b ==⋯⋯⋯⋯⎛⎫==-⋯⋯⋯⋯ ⎪---+-+⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭∴++--Ⅱ由题意得分分对一切正整数有21.1212n b <⋯⋯⋯⋯-分（20）(I)由题意,2922221||||212==⋅⋅=⋅⋅=∆p p p MN OA S MON3=∴p抛物线C 的方程为x y 62=---------------------------------------------------------------------3分 (II) 设),(),(2211y x N y x M ，,直线MN 的方程为a my x += 联立⎩⎨⎧=+=x y a my x 62得0662=--a my y024362>+=∆a mm y y 621=+,a y y 621-=,-----------------------------------------------------------------6分 由对称性,不妨设0>m ,(i )0<a 时,0621>-=a y y , 21y y ，∴同号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+=)111(1363611)()(112222222122122m a a m m y y y y m t +-=+=++=∴不论a 取何值,t 均与m 有关,即0<a 时A 不是“稳定点”; -------------------------9分 (ii ) 0>a 时, 0621<-=a y y , 21y y ，∴异号,又||11||11||1||12212y m y m AN AM t +++=+= 22121221222122122)(4)(11)()-(11y y y y y y m y y y y m t -+⋅+=⋅+=∴ )11321(13624361122222m a a a a m m +-+=+⋅+= 所以,仅当0132=-a ,即23=a 时,t 与m 无关,此时A 即抛物线C 的焦点,即抛物线C 对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”. ------------------------------------------------------------13分（21）解：（I ）由题意)(x g 的定义域为),0(+∞2222-)(x ax x a x x g +-=-=' （i ）若0≥a ，则0)('<x g 在),0(+∞上恒成立，),0(+∞为其单调递减区间； （ii ）若0<a ，则由0)('=x g 得ax 2-=， )2,0(a x -∈时，0)('<x g ，),2(+∞-∈ax 时，0)('>x g ，所以)2,0(a -为其单调递减区间；),2(+∞-a为其单调递增区间；-----------------------4分（II ）)()(2x g x x f +=所以)(x f 的定义域也为),0(+∞，且232''2'2222)()()(x ax x x ax x x g x x f --=+-=+=令),0[,22)(3+∞∈--=x ax x x h (*)则a x x h -6)(2'= (**)----------------------------------------------------------------------------6分0<a 时, 0)('≥x h 恒成立,所以)(x h 为),0[+∞上的单调递增函数，又0-)1(,02)0(>=<-=a h h ，所以在区间)1,0(内)(x h 至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)('x f 的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值. ----------------------------------------8分0≥a 时)1,0(,0)1(2)(3∈<--=x ax x x h ,即在区间(0,1)上0)('<x f 恒成立,此时, )(x f 无极值.综上所述,若)(x f 在区间)1,0(内有极值，则a 的取值范围为)0,(-∞. --------------9分(III) 0>a ,由（II ）且3)1(=f 知]1,0(∈x 时0)(>x f ,10>∴x .又由(*)及(**)式知)(x f '在区间),1(+∞上只有一个极小值点,记为1x , 且),1(1x x ∈时)(x f 单调递减,),(1+∞∈x x 时)(x f 单调递增,由题意1x 即为0x ,⎩⎨⎧='=∴0)(0)(00x f x f -----------------------------------------------------------------------11分 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+∴0220ln 20200020ax x x a x x消去a ,得131ln 2300-+=x x ----------------------------------------------------12分 0>a 时令)0(131)(),1(ln 2)(321>-+=>=x x x t x x x t , 则在区间),1(+∞上为)(1x t 单调递增函数, )(2x t 为单调递减函数, 且)2(710577.022ln 2)2(21t t =<=⨯<= )3(263123ln 2)3(21t t =+>>= 320<<∴x2][0=∴x ----------------------------------------------------------------------------14分［淄博一模 理数］山东省淄博市2014-2015学年度高三模拟考试数学试题（理）及答案(Word 版)淄博市2014—2015学年度高三模拟考试试题理 科 数 学本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题。