基于改进小波阈值的GPS观测数据降噪方法研究

如图 1 所示，小波阈值降噪的一般处理步骤为： ① 小波变换 一维的离散加性噪声信号模型可以表示为：
h= (n) s (n) + ε (n)
(1)
其中 h (n) 为含噪信号， s (n) 为原始信号， ε (n) 为噪声信号， n = 1, 2,, N ，N 是信号的长度。 对 h (n) 作离散小波变换，得到
Received: Oct. 16th, 2019; accepted: Nov. 4th, 2019; published: Nov. 11th, 2019
Abstract
The noise mixed in the GPS observation data will lead to a significant reduction of positioning accuracy. For the shortcomings of traditional wavelet threshold denoising methods in threshold function and threshold selection, a new semisoft threshold function is designed. The hierarchical threshold is determined adaptively by vortex search algorithm and generalized cross-validation. The improved method does not require a prior knowledge, and is easy to use, yet of strong robustness. Numerical simulations verify that this method can significantly reduce the GPS positioning error.
Study on GPS Observation Data Denoising Method Based on Improved Wavelet Threshold
Zili Waபைடு நூலகம்g1, Hefeng Zhou2,3
1Hunan Drug Evaluation and Certification and Adverse Reaction Monitoring Center, Changsha Hunan 2College of Meteorology and Oceanology, National University of Defense Technology, Changsha Hunan 3State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiaotong University, Shanghai
1710
应用数学进展
的表达式如下
hˆm,n
=
0
hm,n
hm,n < T hm,n ≥ T
软阈值函数的表达式为
( )( ) hˆm,n
=
0
sgn hm,n
hm,n − T
hm,n < T hm,n ≥ T
而半软阈值函数可以表示为
= hˆm,n
0

( ) ( ) sgn
针对传统阈值函数和分层阈值确定的局限，本文设计了一种改进的半软阈值函数，利用涡流搜索算 法(Vortex Search, VS) [14]结合广义交叉验证准则(Generalized Cross-Validation, GCV) [15]自适应地确定 分层阈值，有效降低了 GPS 观测数据的定位误差。本文首先简要介绍了小波阈值降噪的基本原理，接着 描述了半软阈值函数的改进和分层阈值的确定，通过数值模拟验证了所提出的方法在 GPS 观测数据降噪 方面的有效性，最后对本文工作进行了总结。
汪子力，周鹤峰 收稿日期：2019年10月16日；录用日期：2019年11月4日；发布日期：2019年11月11日
摘要
GPS观测数据中混入的噪声会导致定位精度大大降低。针对传统的小波阈值降噪方法在阈值函数和阈值 选取方面的不足，设计了一种新型半软阈值函数，利用涡流搜索算法和广义交叉验证实现了分层阈值的 自适应确定。改进后的方法不需要先验知识，操作简单，鲁棒性好。数值仿真验证了该方法可以显著降 低GPS定位误差。
Open Access
1. 引言
全球定位系统(Global Positioning System, GPS)具有自动化观测、全天候连续作业、控制点不需要通 视等特点，能够为全球用户提供低成本、高精度的三维位置、速度和定时等导航信息，因此被广泛应用 于交通、建筑、通信、电力、军事等领域[1]。
由于测量仪器(如卫星摄动、卫星数据更新率)、测量环境(如大气层延迟、多路径效应)以及人为因素 (如数据处理方法)的影响，GPS 接收机接收到的信号不可避免地混入了部分噪声，使得定位结果出现一 定的失真，其中以高斯白噪声最为常见[2] [3]。从信号频谱的角度来看，GPS 信号中的有用成分集中分布 在低频范围内，而噪声成分集中分布在高频范围内，两者存在一定的交集。这就使得单纯的低通或高通 滤波方法无法有效地分离有用成分和噪声成分[4]。
从图 2 中可以看出，一方面，硬阈值函数在 ±T 位置出现了间断点，数据的间断会使信号在重构时发 生振荡，另一方面，当 hm,n 大于阈值时，硬阈值函数只是简单地保留小波系数，没有剔除其中的噪声， 容易造成较大的方差；相对于硬阈值函数，软阈值函数有较好的连续性，有效地避免了振荡问题，但是
对于 hm,n 大于阈值的小波系数，处理后的系数存在恒定偏差，某些表征边缘的原始信号小波系数和噪声 一起收缩，造成重构信号的边缘和细节部分出现模糊失真；半软阈值函数的出发点是当 hm,n < T1 时，小 波系数全部对应噪声信号，在 T1 和 T2 之间是原始信号和噪声信号的小波系数混合区域，而当 hm,n > T2 时， 小波系数全部对应原始信号，这通常与实际情况比较吻合，因此半软阈值函数对于很多信号的降噪效果
小波降噪的关键是如何提取有用成分的小波系数，剔除噪声成分的小波系数。利用阈值筛选小波系 数，即小波阈值降噪方法，由于原理简单、操作方便、计算量小、降噪效果好以及能够较好地保留反映 原始信号特征的尖峰点等优点，在实际工作中得到了广泛应用[11] [12]。
在小波阈值降噪过程中，最重要的环节就是小波系数调整准则的确定和阈值的选取。调整准则是对 高于或低于阈值的小波系数进行不同的处理，即确定一个合适的阈值函数。而选取的阈值过小，则噪声 不能完全消除，反之则信号的某些细节特征会被滤除。综合来说，这两方面设置直接关系到信号降噪的 质量。
1湖南省药品审评认证与不良反应监测中心，湖南 长沙 2国防科技大学气象海洋学院，湖南 长沙 3上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海
文章引用: 汪子力, 周鹤峰. 基于改进小波阈值的 GPS 观测数据降噪方法研究[J]. 应用数学进展, 2019, 8(11): 1708-1715. DOI: 10.12677/aam.2019.811200
h= (m, n) s (m, n) + ε (m, n)
(2)
其中 h (m, n) 、 s (m, n) 和 ε (m, n) 分别为 h (n) 、 s (n) 和 ε (n) 在第 m 层上的小波系数， m = 1, 2,, M ，M
是小波变换的最大分解层数。 ② 阈值降噪 按照一定的准则，选择适当的阈值，对每一层的小波系数进行量化处理。 ③ 逆小波变换 对处理后的小波系数进行逆小波变换，得到降噪后的重构信号。

hm,n
T2
hm,n − T1 T2 − T1
hm,n
hm,n < T1 T1 ≤ hm,n ≤ T2
hm,n > T2
其中 T、T1 和 T2 都是阈值。
汪子力，周鹤峰 (3) (4) (5)
Figure 2. Diagram of traditional threshold functions (red line represents hard threshold function, blue line represents soft threshold function, and green line represents semisoft threshold function) 图 2. 传统阈值函数示意图(红线表示硬阈值函数，蓝线表 示软阈值函数，绿线表示半软阈值函数)
目前，GPS 观测数据的降噪方法主要包括基于 Kalman 滤波的方法[5]和基于小波分析的方法[6]。其 中，Kalman 滤波需要提前知道准确的系统数学模型和噪声统计，这在大部分情况下是很难做到的，不准 确或错误的模型和噪声统计会导致滤波效果降低甚至发散。而小波降噪凭借良好的时频局部化特性，可 以从不同尺度对信号进行分解处理，在有效降噪的同时，能够尽量保留信号的有用成分，因而受到了很 多研究人员的青睐[7] [8] [9] [10]。
Keywords
Wavelet Threshold Denoising, Semisoft Threshold Function, Vortex Search Algorithm, Generalized Cross-Validation
基于改进小波阈值的GPS观测数据降噪方法 研究
汪子力1，周鹤峰2,3
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2019, 8(11), 1708-1715 Published Online November 2019 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2019.811200
2. 小波阈值降噪基本原理
小波阈值降噪的基本思想是原始信号经过小波变换后的信号系数仅在某些尺度、某些位置上有较大 的值，而噪声的小波系数在所有尺度、所有位置上都有较平均的值。通过估计各个尺度上噪声的幅度值， 并参照信号的幅度值，设置阈值，去掉噪声的小波系数，保留信号的小波系数，即可去除噪声。这种方 法的优点是计算量较小，噪声几乎完全得到抑制，并且反映原始信号特征的尖峰点得到很好的保留。