2019-2020年高中数学《三角函数模型的简单应用》教案1新人教A版必修4
人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案及教案说明
人教A版高中数学必修4三角函数模型的简单应用教案及教案说明教案说明：本教案是针对人教A版高中数学必修4中，三角函数模型的简单应用进行的教学设计。
本教案旨在通过教师引导学生运用三角函数模型解决实际问题，培养学生的问题解决能力和应用数学的能力。
教案目标：1.了解三角函数模型在实际问题中的应用；2.掌握三角函数模型的基本概念和方法；3.能够运用三角函数模型解决实际问题。
教案过程：Step 1 引入新课题（5分钟）1.通过给出一个具体的实际问题，引起学生的兴趣和思考，例如：现在有一根高塔，你站在塔的正前方，塔的高度是10米，你向上看到塔顶的角度是30°，请问你离塔多远？2.让学生思考该问题的解决思路和相关知识点，引导学生发现角度与距离之间的关系。
Step 2 探究三角函数模型的定义（20分钟）1.引导学生思考角度与距离之间的关系，引出正弦、余弦和正切的概念。
2.通过展示三角函数的定义和计算方法，让学生理解三角函数与角度之间的关系。
3.提供一些简单角度和距离的实例，让学生运用三角函数模型进行计算。
Step 3 运用三角函数模型解决实际问题（35分钟）1.提供一些与角度和距离有关的实际问题，如测算树木的高度、建筑物的高度等，让学生用三角函数模型解决。
2.引导学生分析问题的关键点，确定适当的假设和变量，并解决实际问题。
Step 4 知识总结（10分钟）1.总结三角函数模型的基本概念和用法。
2.让学生回答一些相关的问题，巩固所学内容。
3.布置相关作业，让学生继续练习和巩固知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对三角函数模型的定义和应用有了初步的了解，可以初步运用三角函数模型解决实际问题。
但是由于课时有限，限制了学生对于三角函数模型的深入理解和运用，需要在后续的教学中进一步加强。
此外，在教学过程中，教师应引导学生思考和探究，培养学生的问题解决能力和应用数学的能力。
人教A版高中数学必修四《三角函数模型的简单应用》教案
课题：《三角函数模型的简单应用》(第一课时) 教材：人教A版数学必修四的第一章《三角函数》1、教学目标(1)知识目标：进一步熟悉函数的图象和性质，并会运用它解决有关具有周期规律的实际问题。
(2)能力目标：掌握从现实问题选择数学模型、研究数学模型、解决现实问题的数学建模过程，使学生逐步养成运用数学模型解决实际问题的意识和习惯。
(3)情感目标：体验探索和创造过程，从中获得成功的快乐，体会学习数学知识的重要性，激发对数学的兴趣和树立自信心。
2、教学重点、难点重点：用三角函数模型解决一些具有周期规律的实际问题。
难点：将现实问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关知识解决实际问题。
3、教学方法与手段教学方法——启发式、讲练相结合式；问题教学法。
学习方法——小组自主探究、合作交流式。
教学手段——使用多媒体辅助教学。
4、教学过程复习旧知，引入新课→合作探究，实践新知→类比转化，加深理解→合作探究，学以致用→归纳小结，形成体系→布置作业，巩固知识。
5、板书设计6、教学评价纵观整个教学过程，我不断地为学生提供启发思考及合作探究等活动，让学生在整个教四、合作探究1、 2、五、归纳小结1、 2、 3、六、布置作业一、复习旧知(1)y=sin x →y=Asin x (振幅变换)(2)y=sin x →y=sin( x + ϕ) (平移变换) (3)y=sin x →y=sin ω x (周期变换)二、例题讲解例1：例2：例3：三、变式训练变式训练1:变式训练2:1.6三角函数模型的简单应用学过程中充分发挥他们的能动作用；同时，在教学过程中，我恰当地设置问题，并巧妙地启发学生参与到问题中进行思考和探究，让学生在轻松、愉悦的气氛中发现问题和解决问题，从而培养学生的自主思考和实践能力。
《三角函数模型的简单应用》(第一课时)教案说明惠州市大亚湾区澳头中学陈志武一、教学内容：本教案是人教A版数学必修四的第一章《三角函数》第六节的内容。
高中数学必修4《三角函数模型简单应用》 教案
课题：三角函数模型的简单应用教材：新课标人教A版必修4教学目标：1，知识目标（1）.能够由函数图象模型求出求出解析式模型。
（2）.能够由函数图象获取相应函数的性质。
（3）.将简单的实际问题抽象为三角函数模型。
（4）.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。
2， 能力目标让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想从而培养学生的创新精神和实践能力。
3， 情感目标通过主动探索，合作交流， 让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。
教学重点：1.用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题．2.三角函数图象模型与解析式模型之间的相互转化。
教学难点：.将简单的实际问题抽象为三角函数模型,.体现三角函数是描述周期现象的重要模型。
教学手段：多媒体辅助教学教法学法（教法）数学是一门培养人的思维，发展人的思维的学科，在教学中不仅要使学生“知其然”而且要知其“所以然”，因此教学要充分呈现获取数学知识和方法的思想过程。
因此本节课采用探究式教学法，其主要宗旨在于充分发挥学生的个性，引导学生获得解决问题的各种思想和方法，培养学生的创造力，推动学生知识和能力水平的提高。
该模式是以问题为纽带，使学生在提出问题、分析问题、解决问题的探究过程中发展智力、提高能力。
在教学过程中借助多媒体辅助教学。
（学法）在学法上，以探究问题为中心，给学生提供思考的机会，提供合作探究的机会，提供表达交流的机会，提供成功的机会。
让学生经历观察、思考、推理、应用的过程从而建构自己的知识体系。
学情分析本堂课是学生在学完三角函数基础知识后的一堂综合应用课.学生在这之前已经系统地学习了三角函数的计算，三角函数的图象以及三角函数的性质，对三角函数有了一定的知识储备，为本堂课的顺利开展垫定了良好的基础 .教学过程： （一） 复习引入 提出问题问题：你能举出几个生活中具有周期变化规律的例子吗？钱塘潮。
2.波动现象。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案及教案说明
《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案教材:人教A版·普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4知识与技能：深刻体会三角函数模型应用的三个层次，灵活运用三角函数图像与性质求解实际问题的方法；学会分析问题并创造性地解决问题。
过程与方法：在自主探究的活动中，明白考虑问题要细致，说理要明确；渗透数形结合、化归的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育。
情感、态度、价值观：理性描述生活中的周期现象；培养喜学数学、乐学数学、爱学数学的数学情感。
教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型，并调动相关学科的知识来解决问题。
教法：创设情景法、引导发现法。
学法：自主探索、尝试总结。
教学手段：借助多媒体教学，增大课堂容量、提高联系效率。
特点一：问题生活化一、创设情景，呈现问题二、描画图像，寻找规律三、分析数据，塑造模型据课前调查，我校地理老师均表示已清晰地向学生介绍了正午太阳高度角的定义和公式，学生也较好地理解和掌握了该定义和公式。
1、整个教学过程，以问题为教学的出发点，充分发挥学生的主体作用。
设计情景激发学生的学习兴趣；深入探究问题，提高学生解决同类题型的能力；突出三角函数模型的实际应用，注重与实际生活相结合；分层布置作业，重视巩固基础知识，训练发散思维。
整个教学设计中，既体现了问题生活化、探究深入化、分析渐进化三大特点，又渗透了数形结合、化归的数学思想。
2、学生参与了知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，教师努力做到使学生“听”有所思、“学”有所获。
师生之间、同学之间形成良好的互动关系。
但学生对正午太阳高度角的概念早已模糊。
如能借助多媒体课件，直接明了地复习正午太阳高度角的定义（例如几何画板制作的反映正午太阳高度角变化的课件），这将为本课教学取得更佳的效果。
《三角函数模型的简单应用》（第1课时）教案说明一、教学内容的本质分析“数学来源于生活，数学教学的最终目的是让学生在生活中用数学。
高中数学必修4 《三角函数模型的简单应用》教案
课题：从哥本哈根气候峰会谈起……《三角函数模型的简单应用》（教案）教材：高中数学人教A版必修4 第一章1．教学目标●知识与技能（1）能根据三角函数的局部图像求出三角函数的解析式；（2）能根据已知三角函数解析式画出函数图像，并根据图像研究函数性质；（3）能够将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型，解决一些简单的实际问题。
●思想与方法（1）让学生体验周期性问题的数学“建模”思想；（2）解决问题的过程中，再次深刻体会“数形结合”的方法和思想。
●情感和态度（1）让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用；（2）培养学生的环保意识。
2．教学重点、难点●教学重点：不同层次地用三角函数模型解决一些具有周期变化的实际问题。
●教学难点：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题．3．教学方法与手段本课积极将数学课程与信息技术进行整合，采用多种技术手段，主要特点如下：（1）教学过程中要创造让学生亲历实践建模过程的机会，在学习过程中不断给予鼓励，帮助学生建立信心，消除畏难情绪。
（2）通过图片，flash和几何画板动画等直观形象的手段，介绍实际问题涉及的知识背景，消除学生对问题的陌生感，帮助建立数学模型。
4．教学流程设计5．教学过程【引言】哥本哈根联合国气候变化大会●设计时间：2分钟●设计意图：以哥本哈根联合国气候变化大会为背景，引入正题。
●教学活动：[师] 2009年12月7日，联合国气候变化大会在丹麦首都哥本哈根举行，“气候变暖”，“节能减排”，“低碳”等环保关键词再次吸引了全地球人的关注。
“今天，你绿色了吗？”成为了网络上一句最有号召力的口号。
但你可有想过，这个全球最大的课题其实蕴藏着许多周期变化的现象，而这些现象可以用我们数学领域中，大家所熟悉的三角函数模型来诠释。
今天，就让我们举几个简单的例子，来体会一下三角函数的价值和应用。
高中数学(人教A版)必修四《三角函数模型的简单应用》教案(一).docx
高中数学学王雅玲授课时间2013.12 习材料马鸣风萧萧*整理制作备课人课题课标要求选择合理三角函数模型解决实际问题.教知识目标掌握三角函数模型应用基本步骤:学目标技能目标在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
情感态度价值观体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系重点用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题难点将某些实际问题抽象为三角函数的模型教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动一、复习准备：1. 函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin2y x=的图像，试求()y f x=的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x Aπωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1. 教学典型例题：①出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x bωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A、b、ω；再由特殊点确定初相ψ）教师示例→小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.学生回顾教师组织学生，讨论得到个参量1教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法②练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t Aωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i）试根据图象写出sin()y A tωϕ=+的解析式.（ii）在任意一段3100秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？（答案：（i）1003sin()33I tππ=+；（ii）由3350100T=>得不可能）例2：作出函数y＝｜sin x｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.讨论：绝对值的几何意义？→作简图（看书61页）→由图说性质变式：研究y＝｜cos x｜、y＝｜tan x｜.小结：数形结合思想研究函数性质.分析：例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问学生分析完成学生完成画图2河北武中·宏达教育集团教师课时教案教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法.三、巩固练习：1. 练习：教材P65 练习1题. 学生独立完成教学小结给图求式；给式应用；待定系数法.课后反思。
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案
高中数学必修4《三角函数模型的简单应用》教案【教学内容】三角函数模型的简单应用【教学目标】1. 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 掌握解决几何问题时应用三角函数模型的方法；3. 培养学生从实际问题中抽象出三角函数模型的能力；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
【教学重点】1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象；2. 解决几何问题时应用三角函数模型的方法。
【教学难点】学生解决实际问题时抽象出三角函数模型的能力。
【教学方法】1. 讲授法：通过讲解三角函数模型的定义和性质，让学生理解三角函数模型的概念和基本思想；2. 举例法：通过讲解几个综合实例，让学生理解应用三角函数模型解决问题的基本方法；3. 练习法：通过练习题，让学生巩固所学知识。
【教学过程】一、引入让学生观察、思考以下两个图象，引出三角函数模型的概念及相关性质。
例1 例2二、讲解1. 什么是三角函数模型三角函数模型是指用正弦函数、余弦函数、正切函数等描述几何问题及物理问题的模型。
正弦函数、余弦函数、正切函数是一种列函数，用于描述三角形的内角与长度之间的关系。
2. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象（1）正弦函数的图象正弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的奇函数。
（2）余弦函数的图象余弦函数是一个以原点 O 为中心，以 y 轴为对称轴，振幅为 1，周期为2π 的偶函数。
（3）正切函数的图象正切函数的图象是一个无量纲的周期函数，周期为π，无定义域上的最大值和最小值，其图象相对于 y 轴是奇函数。
三、练习例1 解：构造如下图形，已知 $BC=6$ cm，$m\angleB=30^\circ$，求 $AC$ 和 $AB$ 的长度。
（1）分析题意，选用何种三角函数模型。
设 $\angle ABC=\theta$，则有 $\angle BAC=150^\circ -\theta$，观察正弦函数的定义式，选用正弦函数。
高中数学(三角函数模型的简单应用)教案1 新人教A版必修4 教案
§1.6三角函数模型的简单应用教学目标 知识 能力情感知识与技能：掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 过程与方法：选择合理三角函数模型解决实际问题，注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。
情态与价值：培养学生数学应用意识;提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。
教学重点 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
教学难点 将某些实际问题抽象为三角函数的模型。
教学 方法教学用具仪器媒体多媒体教 后 感第一课时1.6 三角函数模型的简单应用（一）一、复习准备：1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin 2y x =的图像，试求()y f x =的解析式.2. 函数sin(),(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式. 二、讲授新课： 1. 教学典型例题：① 出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x b ωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ）教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.② 练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i ）试根据图象写出sin()y A t ωϕ=+的解析式.（ii ）在任意一段3100秒的时间内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？ （答案：1003sin()33I t ππ=+； 由3350100T =>得不可能） ② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出6sin+xπ6sinxπ6sin xπ6sinxπ6xπ6sin xπ。
高中数学(人教A版)必修四《三角函数模型的简单应用》教案(一)
备课人王雅玲授课时间2013.12课题课标要求选择合理三角函数模型解决实际问题.教学目标知识目标掌握三角函数模型应用基本步骤:技能目标在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
情感态度价值观体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系重点用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题难点将某些实际问题抽象为三角函数的模型教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法一、复习准备：1.函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移2π个单位所得的曲线是1sin2y x=的图像，试求()y f x=的解析式.2.函数sin(),(0,0,||)2y A x Aπωϕωϕ=+>><的最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.二、讲授新课：1.教学典型例题：①出示例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x bωϕ=++，试求这段曲线的函数解析式.讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？（由周期、振幅确定A、b、ω；再由特殊点确定初相ψ）教师示例→小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.学生回顾教师组织学生，讨论得到个参量1教问题与情境及教师活动学生活动学过程及方法②练习：如图，它表示电流sin()(0,0)I A t Aωϕω=+>>在一个周期内的图象.（i）试根据图象写出sin()y A tωϕ=+的解析式.（ii）在任意一段3100秒的时间内，电流I既能取得最大值A，又能取得最小值－A吗？（答案：（i）1003sin()33I tππ=+；（ii）由3350100T=>得不可能）例2：作出函数y＝｜sin x｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.讨论：绝对值的几何意义？→作简图（看书61页）→由图说性质变式：研究y＝｜cos x｜、y＝｜tan x｜.小结：数形结合思想研究函数性质.分析：例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.6 三角函数模型的简单应用学案(含解析)新人教A版必修4
1.6 三角函数模型的简单应用考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数模型的实际应用c c知识导图学法指导1.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型．2．在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.1.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．( ) (2)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( ) (3)若函数y ＝a sin x ＋1在x ∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a 的取值范围是[－1,1]．( )(4)已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －54π＋20，x ∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20 ℃.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2.答案：C4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C. 答案：C类型一 三角函数在物理中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．(2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T ＝2π2＝π，即经过约π s 小球往返振动一次．(4)f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次.令t ＝0解1→令h ＝±3解2→问题3即求周期T→问题4即求频率f T的倒数方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解析：列表如下，t－π6 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 0 1 0 －1 0 s4－4描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．类型二 三角函数在实际生活中的应用例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t (h)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据.t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？【解析】 (1)依题意，得T ＝12，A ＝y max －y min2＝0.5，b ＝y max ＋y min 2＝1，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝12cos π6t ＋1.(2)令y ＝12cos π6t ＋1>1，则2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，所以12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )，又因为8<t <20，所以令k ＝1，可得9<t <15, 所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.根据已知数据，借助散点图草图，确定解析式，利用三角不等式求范围，确定时间． 方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式． (2)利用y ＝60.5解t. 类型三 根据数据拟合函数例3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.t /小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】 (1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(0≤t ≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米， 由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12.①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时. 由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt＋b. 方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y ＝f (x )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0,2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24.所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15.根据表格，确立y ＝A cos ωt＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式．1.6[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150B ．50 C.1100D ．100 解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y10 0009 500则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元解析：因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即⎩⎪⎨⎪⎧sin 2ω＋φ＝0，sin ω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z .又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y ＝9 000. 答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( ) A ．2 s B ．1 s C.12 s D.14s 解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s.答案：C5．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)解析：令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7.∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )的血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T ＝80(次/分)．答案：807．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)关于时间t (单位：s)的函数解析式是s ＝A sin(ωt ＋φ)，0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________.解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34. 所以T ＝1，则ω＝2πT＝2π.因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6.答案：π68．某城市一年中12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 °C,12月份的月平均气温最低，为18 °C，则10月份的月平均气温为________ °C.解析：根据题意得28＝a ＋A,18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π612－6＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以函数y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π610－6＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.5三、解答题(每小题10分，共20分)9．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移． 解析：(1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ， 所以A ＝10 cm.设周期为T ，则T2＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的距离为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm)．5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm.10．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解析：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为1103V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[能力提升](20分钟，40分)11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 解析：由题意知，函数的周期为T ＝60，∴|ω|＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋φ.∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式可以是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋π6.又由秒针顺时针转动可知，y 的值从t ＝0开始要先逐渐减小，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6，故选C.答案：C12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O 距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．解析：过O 作水平面的垂线，垂足为Q ，如图所示由已知可得OQ ＝3，OP ＝6， 则cos∠POQ ＝12，即∠POQ ＝60°，则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒． 答案：513．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T ＝2πω，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f ＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t /min 0 1320 1160 3320 180 P (t )/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P (t )的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：时)呈周期性变化，每天t 时刻的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(2)从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ；y ＝A tan(ωt ＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解析：(1)散点图如图所示，(2)由(1)知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24， 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．。
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2019-2020年高中数学《三角函数模型的简单应用》教案1新人教
A版必修4
第一课时 1.6 三角函数模型的简单应用（一）
一、复习准备：
1. 函数f (x )的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位所得的曲线是的图像，试求的解析式.
2. 函数sin(),(0,0,||)2
y A x A π
ωϕωϕ=+>><的
最小值是-2，其图象最高点与最低点横坐标差是3π，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
二、讲授新课：
1. 教学典型例
题：
① 出示例1：如
图，某地一天从
6时到14时的温
度变化曲线近似
满足函数，试求这段曲线的函数解析式.
讨论：如何由图中的几何特征得到曲线的各参量？
（由周期、振幅确定A 、b 、ω；再由特殊点确定初相ψ）
教师示例 → 小结：观察几何特征，转化为相应的数量关系.
② 练习：如图，它表示电
流
sin()(0,0)
I A t A ωϕω=+>>在一个周期内的图象.
（i ）试根据图象写出的解
析式.
（ii ）在任意一段秒的时间
内，电流I 既能取得最大值A ，又能取得最小值－A 吗？
（答案：；
由得不可能）
② 出示例2：作出函数y ＝｜sin x ｜的图象，指出它的奇偶性、周期和单调区间.
讨论：绝对值的几何意义？ → 作简图 → 由图说性质
变式：研究y ＝｜cos x ｜、y ＝｜tan x ｜. 小结：数形结合思想研究函数性质.
③出示例3：
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。
应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
2.小结：给图求式；给式应用；待定系数法.
三、巩固练习：
1. 练习：教材P65 练习1题.
2. 作业：书P65 习题1、2、3题.
第二课时： 1.6 三角函数模型的简单应用（二）1．情景展示，新课导入
2．问题提出，探究解决
【师】若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？
【生】水深情况。
【师】是的，我们要到一个陌生的港口时，是非常想得到有关那个港口的水深与时间的对应关系。
请同学们看下面这个问题。
问题探究1：如图所示，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：
请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？
小组合作发现，代表发言。
可能结果：
1）水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。
2）水的深度开始由5.0米增加到7.5米，后逐
渐减少一直减少到2.5，又开始逐渐变深，增
加到7.5米后，又开始减少。
3）水深变化并不是杂乱无章，而是呈现一种周期性变化规律。
4）学生活动：作图——更加直观明了这种周期性变化规律。
（研究数据的两种形式）
5）教师呈现作图结果，学生小组代表发言，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的类似？追问为什么类似正弦型函数（排除法，关键在于周期性）。
（学生活动，求解解析式）
得到的是一个刻画水深与时间关系的三角函数模型，为了保证所选函数的精确性，通常还需要
一个检验过程，教师点明：建模过程——选模，求模，验模，应用。
有了这个模型，我们大致可以知道哪些情况？学生小组合作讨论回答，如周期、单调性、每时每刻的水深。
学生计算几个值，最后教师呈现水深关于整点时间的数值表
【师】有了水深关于时间的函数模型以后，作为船长考虑的问题还没有结束，因为船只在进出港时，每艘船只的吃水深度是不一样，下面我们就看一看把这两方面的情况都考虑进去的一个问题：问题探究2：一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？
（师生一起分析）用数学的眼光看，这里研究的是一个怎样的数学问题？水深米
得出，即，
（师生齐分析）解三角不等式的方法
令学生活动：操作计算器计算，结合电脑呈现图象
发现：在[0，24]范围内，方程的解一共有4个，从小到大依次记为：
那么其他三个值如何求得呢？（学生思考）
得到了4个交点的横坐标值后，结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？
（学生讨论，交流）
可能结果：【生1】货船可以在0时30分钟左右进港，早晨5时30分钟左右出港；或者是中午12时30分钟左右进港，在傍晚17时30分钟左右出港。
【生2】货船可以在0时30分钟左右进港，可以选择早晨5时30分，中午12时30分，或者傍晚17时30分左右出港。
……
（学生讨论，最后确定方案1为安全方案，因为当实际水深小于安全深度时，货船尽管没有行驶，但是搁浅后船身完全可以馅入淤泥，即使后来水位上涨，也很可能船身不再上浮）
刚才整个过程，货船在进港，在港口停留，到后来离开港口，货船的吃深深度一直没有改变，也就是说货船的安全深度一直没有改变，但是实际情况往往是货船载满货物进港，在港口卸货，在卸货的过程中，由物理学的知识我们知道，随着船身自
身重量的减小，船身会上浮，这样一来当两者都在改变的时候，我们又该如何选择进出港时间呢？请看下面问题：
问题探究3：在探究2条件中，若该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
（学生讨论）安全即需要：实际水深安全水深，即：
，
讨论求解方法：用代数的方法？几何的角度？（电脑作图并呈现）
通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。
那么P点的坐标如何求得呢？（学生思考，讨论，交流）求P点横坐标即解方程
数形结合，二分法求近似解：
由图得点P点横坐标在[6，7]，故我们只需要。