高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修4(1)
数学苏教版必修4学案：第3章 3.1 3.1.1 两角和与差的余弦
两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦预习课本P103～106，思考并完成以下问题1．如何通过向量法来推导两角差的余弦公式？2．如何由两角差的余弦公式来推导两角和的余弦公式？3．两角和(差)的余弦公式是什么？[新知初探]两角和与差的余弦公式(1)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.[点睛](1)公式中的角α，β是任意角，特点是用单角的三角函数表示复角的三角函数，cos(α－β)，cos(α＋β)是一个整体．(2)公式特点：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反，可用口诀“余余、正正号相反”记忆公式．[小试身手]1．cos 110°cos 20°＋sin 110°sin 20°＝________. ★答案★：02．求值：cos 15°＋sin 15°＝________. ★答案★：623．满足sin π 5sin α＋cos 4π 5cos α＝12的锐角α＝________.★答案★： 7π154．已知cos(α＋β)＝12，cos(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.★答案★：－15给角求值问题[典例1] 求下列各式的值： (1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°；(3)12cos 15°＋32sin 15°. [解] (1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40°＝cos(70°－40°)＝cos 30°＝32. (2)原式＝cos (15°－8°)－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝2＋64. (3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋32sin 15° ＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分求值；要善于逆用或变用公式．[活学活用] 求值：2sin 50°＋sin 80°(1＋3tan 10°)2cos 5°.解：原式＝2sin 50°＋2sin 80°cos 10°·⎝⎛⎭⎫12cos 10°＋32sin 10°2cos 5°＝2sin 50°＋2cos (60°－10°)2cos 5°＝2⎝⎛⎭⎫22sin 50°＋22cos 50°cos 5°＝2cos (50°－45°)cos 5°＝2.已知三角函数值求值[典例2] 已知π2＜β＜α＜3π4，且cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．[解] 因为π2＜β＜α＜3π4，所以π＜α＋β＜3π2，0＜α－β＜π4，又因为cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45， 所以cos 2α＝cos [(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－45－513×⎝⎛⎭⎫－35＝－3365.(1)在用两角和与差的余弦公式求值时，常将所求角进行拆分或组合，把所要求的函数值中的角表示成已知函数值的角．(2)在将所求角分解成某两角的差时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cos α＋β2的值． 解：因为π2＜α＜π，0＜β＜π2，所以π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－⎝⎛⎭⎫－192＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－⎝⎛⎭⎫232＝53，所以cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β＝ cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.已知三角函数值求角[典例 已知锐角α，β满足sin α＝5，cos β＝310，求α＋β的值． [解] 因为α，β为锐角且sin α＝55，cos β＝31010， 所以cos α＝1－sin 2α＝255， sin β＝1－cos 2 β＝1010， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22. 由0＜α＜π2，0＜β＜π2，得0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＞0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝π4.[一题多变]1．[变条件]本例中条件cos β＝31010，变为sin β＝1010，α，β均为锐角变为α和β均为钝角，其他条件不变，求α＋β的值．解：因为α和β均为钝角， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255，cos β＝－1－sin 2β＝－31010. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4.2．[变条件，变设问]若本例中cos β＝31010改为cos β＝1010，其他条件不变，求α－β的值．解：因为α，β为锐角， 所以由sin α＝55，cos β＝1010， 得到cos α＝255，sin β＝31010，且α＜β，即－π2＜α－β＜0.于是cos(α－β)＝255×1010＋55×31010＝22， 故α－β＝－π4.已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角．层级一 学业水平达标1．计算sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°的值为________．解析：sin 7°cos 23°＋sin 83°cos 67°＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.★答案★：122．cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋θcos θ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θsin θ ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋θ－θ＝cos π4＝22.★答案★：2 23．若a为锐角且cos α＝255，则cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝________.解析：由α为锐角且cos α＝255，可得sin α＝55.于是cos⎝⎛⎭⎫π4－α＝cosπ4cos α＋sinπ4sinα＝22×255＋22×55＝31010.★答案★：310104．cos 105°＝________.解析：cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝12×22－32×22＝2－64.★答案★：2－645．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，则cos(α－β)＝________.解析：因为(sin α＋sin β)2＝925，(cos α＋cos β)2＝1625，以上两式展开两边分别相加得2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.★答案★：－126．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为________．解析：∵α<β，cos(α－β)＝55，且α，β均为锐角，∴sin(α－β)＝－255.又∵cos 2α＝1010，∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22. ∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋β<π. ∴α＋β＝3π4. ★答案★：3π47．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则β＝________. 解析：∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sin α＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)·sin α＝12.∵0<β<π2，∴β＝π3.★答案★：π38．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 解析：cos α＋3sin α＝2⎝⎛⎭⎫12cos α＋32sin α＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝2×14＝12. ★答案★：129．求值： (1)sin 285°；(2)sin 460°·sin(－160°)＋cos 560°·cos(－280°)．解：(1)sin 285°＝sin(270°＋15°)＝－cos 15°＝－cos(60°－45°) ＝－(cos 60°·cos 45°＋sin 60°·sin 45°)＝－6＋24. (2)原式＝－sin 100°·sin 160°＋cos 200°·cos 280° ＝－sin 100°·sin 20°－cos 20°·cos 80° ＝－(cos 80°·cos 20°＋sin 80°·sin 20°)＝－cos 60°＝－12.10．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－45，且5π4<α<7π4，求cos α的值． 解：因为5π4<α<7π4，所以3π2<α＋π4<2π，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4>0， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35， 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝35×22－45×22＝－210. 层级二 应试能力达标1．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)＝________.解析：因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513. 又因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365. ★答案★：－63652．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝________. 解析：原式＝cos [(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.★答案★：123．已知锐角α，β满足cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则cos β＝______.解析：因为α为锐角，且cos α＝45，得sin α＝35.又因为0<α<π2，0<β<π2，所以－π2<α－β<π2.又因为tan(α－β)＝－13<0，所以cos(α－β)＝310.从而sin(α－β)＝tan(α－β)cos(α－β)＝－110. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×310＋35×⎝⎛⎭⎫－110＝91050. ★答案★：910504.2cos 10°－sin 20°sin 70°＝________.解析：原式＝2cos (30°－ 20°)－sin 20°sin 70°＝2cos 30°cos 20°＋2sin 30°sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.★答案★： 35．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝________. 解析：由题意可知cos α＝45，cos ⎝⎛⎭⎫7π4＋α＝ cos ⎝⎛⎭⎫2π－π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin α·sin π4＝45×22＋35×22＝7210. ★答案★：72106．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0和cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________． 解析：由已知得，－sin γ＝sin α＋sin β，① －cos γ＝cos α＋cos β，②①2＋②2得，1＝1＋1＋2sin αsin β＋2cos αcos β， 化简得cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.★答案★：－127．已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x 的值域． 解：y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎝⎛⎭⎫5π12＋x＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π12－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －22sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2⎣⎡⎦⎤cos π4cos ⎝⎛⎭⎫π12－x －sin π4sin ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎣⎡⎦⎤π4＋⎝⎛⎭⎫π12－x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－x .因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以－π6≤π3－x ≤π3， 所以cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以函数y 的值域是⎣⎡⎦⎤22，2.8．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，所以ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－5π6＝1617， 所以2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。
高中数学3.1.1两角和与差的余弦教案苏教版必修4
．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，教学,讨论可能沿着下面的方向进行：1 cos sin 1,1a x x b a b a b θ==（，），（），为与 的夹角，求．4+=-（），得到如下结论：利用两点间距离公式推导5．用“四、数学运用利用两角和（差）余弦公式证明下列诱导公式：五、回顾小结利用变换角的方法推出了两角和的余弦公式，要牢记公式的结构特点，是什么？怎样推导呢？留给同学们课后探讨。
六、课外作业：精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
苏教版必修4全套教学案--3.1.1两角和与差的余弦.doc
，求 cos(a + 0)的值.(l)C OS ［课 题］:3. 1.1两角和与差的余弦［知识摘记］1. 两角差的余弦公式2. 两角和的余弦公式［例题解析］例1 .利用两角和(差)的余弦公式证明下列诱导公式:例2.利用两角和(差)的余弦公式.求cos75°,cos 15°,sin 15°,tan 15°.例 3.已知 sin a =—,a e 思考：你能求出sin(a + 0)吗?例4.已知锐角a, ［3满 3 cosa= —5 cos (a+卩)=-看求 C0S P °71a 2 =sin a［练习与反思］课本练习1, 2, 3 反思：9、已知锐角a. 0满足cos0 =3V1010sin a =(1) cos(a —0)(2) G +［课外作业］1、cos255°的值是 __________________2、cos ------ A/3 sin —的值是 ___________________12 123、已知0,0均为锐角，COS(G+0)= —U, COSQ=丄,，则角0为 ____________'丿14 73 54、在AASC 中，sin A =-,cos5 =—,那么cos C 的值为_____________________5 135、cos 24° - cos 36° - sin 24° - cos54°的值等于_____________6、在AABC 中，若sinAsinB<cosAcosB,则AABC —定为___________ 三角形7、cos(&-35。
)cos(25。
+o) + sin(a-35o) sin(25。
+a) = __________________________Q古sin 10° - V3 cosl0°8>求值：-------------------cos40°10、已知cos。
47.苏教版·高中数学必修Ⅳ教案_§3.1.1两角和与差的余弦(1)
§3.1.1 两角和与差的余弦(1)学习目标：⒈建立两角差的余弦公式，掌握两角差的余弦公式及其推导过程．⒉初步理解公式的结构及其功能，灵活掌握两角差的余弦公式的正用与逆用．教学重点：建立两角差的余弦公式．教学难点：探索两角差的余弦公式的证明方法．教学方法：讨论式．教具准备：多媒体投影．教学过程：（Ⅰ）新课引入：问题引入：某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上．如图所示，小山高BC约为30米，在地平面上有一点A，测得A、C两点间距离约）约为45 ．求这座为67米，从A观测电视发射塔的视角（CAB电视发射塔的高度．设电视发射塔高BC x =米，CAD α∠=，则30sin 67α=． 在Rt ADB ∆中，30tan(45)tan 30x αα++=，于是 30tan(45)30tan x αα+=- ．如果能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值，那么就能得出电视发射塔的高度了．能不能由30sin 67α=求得tan(45)α+ 的值呢？或者说能不能用sin α把tan(45)α+ 表示出来呢？更一般地说，对于任意角α，β，能不能用α，β的三角函数值把αβ+或αβ-的三角函数值表示出来呢？本节课开始，我们就着手解决此类问题．（Ⅱ）讲授新课：问题1.请问cos cos αβ-和cos()αβ-相等吗？请举例说明．（举例说明cos cos αβ-和cos()αβ-不相等）．由α、β的具体取值我们可以看到，一般来说，cos()cos cos αβαβ-≠-．那么，应该如何用任意角α、β的正弦、余弦值来表示cos()αβ-呢？请同学们阅读课本P93的内容得到cos()αβ-与任意角α、β的正弦、余弦值的关系的方法并不唯一．事实上，我们在上一章课本P83第15题就已经得到了一个表达式：000000cos(7515)cos75cos15sin 75sin15-=+如图，在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ，以Ox 为始边作角α、β，它们的终边与单位圆的交点分别为A 、B ，则(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ= ．由向量数量积的定义，有 ||||cos()cos()OA OB OA OB αβαβ⋅=-=-． 由向量数量积的坐标表示，有(cos ,sin )(cos ,sin )OA OB ααββ⋅=⋅cos cos sin sin αβαβ=+ 所以，cos()αβ-cos cos sin sin αβαβ=+．问题 2.我们这里的角α、β是任意角，因此角αβ-也是任意角．你认为上述推导过程严密吗？哪里有问题呢？依据向量数量积的概念，角αβ-必须符合条件0αβπ≤-≤，因此只有在这个条件下上面的推导才是正确的．这就要求我们研究当αβ-是任意角时，以上的推导是否正确的问题．事实上，当αβ-是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角[0,2)θπ∈，使cos cos()θαβ=-．若[0,)θπ∈，则cos cos()OA OB θαβ⋅==-； 若[,2)θππ∈，则2(0,]πθπ-∈，且cos(2)cos cos()OA OB πθθαβ⋅=-==-．于是，对于任意角α、β都有此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作()C αβ-．问题3.这个公式有什么用途呢？根据这个共识，我们只要知道了角α、β的正弦、余弦值，就可以求出cos()αβ-的值了．对于任意角α、β都有αβαβ+的余弦值之间的关系，称为和角的余弦公式，简记作()C αβ+．例1.(课本P94例1)解析:练习:例2.(课本P95例2)练习:例3.能!练习: (课时训练P74第5)答案:5.cos例4. (课时训练P73例3)已知锐角α、β满足10103cos ,55sin ==βα，求α＋β.分析: 本题考查两角和与差的余弦公式的应用和已知三角函数值求角的方法.在求角的过程中，要求值与判断角的范围相结合.解析:∵α、β为锐角且10103cos ,55sin ==βα 2210105510103552 sin sin cos cos )cos(10101091cos 1sin 552511sin 1cos 22=⋅-⋅=-=+∴=-=-==-=-=βαβαβαββαα 由0＜α＜2π，0＜β＜2π得 0＜α+β＜π 又cos （α＋β）＞0 ∴α＋β为锐角, ∴α＋β＝4π思考: 1.65sin 1211cos 611cos 1225sin ππππ-等于( ) A.-22 B.22 C.-sin 2π D.sin 12π 2. 若sin α·sin β＝1，则cos （α＋β）的值为( )A.0B.1 Ｃ.±1 Ｄ.－13.对任意的锐角βα,，下列不等关系中正确的是（ ）A ．βαβαsin sin )sin(+>+B ．βαβαcos cos )sin(+>+C ．βαβαsin sin )cos(+<+D ．βαβαcos cos )cos(+<+答案:BDD. (特殊值法验证即可得!)（Ⅲ）课后练习：课本P95练习P96习题3.1（Ⅳ）课时小结:⑴三角变换的基本要求是：思维有序、表述条理．⑵三角变换中角的拆分的多样性，决定了变换的多样性．⑶三角公式的应用也具有多样性，要注意正勇、逆用、变形用．（Ⅴ）课后作业：⒈课本P96习题3.1(1) 1～7⒉预习课本P96～P97，思考下列问题：⑴怎样应用差角的余弦公式推导和角的余弦公式？⑵怎样进行一个角的正弦、余弦之间的转化？你能将两角和（差）的正弦转化为余弦吗？⑶怎样推导两角和（差）的正切公式？应用两角和（差）的正切公式需要些怎样的条件呢？⑷通过例题2的解答，你有些什么体会呢？板书设计：教学后记。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.1.1 两角和与差的余弦》
〔2〕学生虽然有一定的知识根底，但是三角函数线的研究方法与学生而言比拟困 难，因此本节两角和与差的余弦公式从学生的最近只是生长点出发，立足于学生学 情；学生在多年的学习过程中具备一定的数学素养，能够进行简单的联想和证明： 〔3〕本节课是外校的一节评优课，所用班级学生层次较好，做题习惯好
教学方法
讲授法、合作探究法、类比归纳法、演示法
学段学科 章节
教学目标
课题：两角和与差的余弦〔第一课时〕
高中数学
教材版本
苏教版必修 4
3．
课时数
共 2 节课时
1 知识与技能 〔1〕通过两角和与差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能 的根底上记忆公式; 〔2〕解决简单的数学问题，为后面推到其他和〔差〕公式打好根底 〔3〕第一课时主要探究公式的推导和证明及其简单运用，第二课时主要以“给值 求值〞题型为主，熟练运用两角和与差的余弦公式 2 过程与方法 （1）通过对诱导公式变形，由特殊猜测一般公式，并利用向量证明余弦公式，让 学生体会数学公式的发现过程就是在不断地猜测-证明中实现 （2）通过研究熟悉的问题，类比猜测不熟悉的公式，表达数学推理的方法；从一 般——特殊——一般，不断的化归过程中实现了公式的猜测过程；由公式的形式联 想到向量的数量积形式并证明公式，提高学生的推理、分析、解决问题的能力 3 情感、态度与价值观
教学流程图： 创设问题情境，探索新知
解，知识迁移
课堂小结，归纳提升
公式探究，建构新知
例题讲
教学目标与内容
融合点 与软件
（一）问题导入
【目标】从学过的三角函数知识“诱导公式〞出发，通过变形转化为两
个角的差的余弦值的求解问题，引发学生的思考，调动学生的积极性。
高中数学 3.1《两角和与差的正弦 余弦1》教案 苏教版必修4
两角和与差的正、余弦（1） 教学目标
1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的 三角函数的化简、求值；
2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；
3.了解由三角函数值求角的方法。
教学重、难点
公式的运用。
教学过程
（一）复习：
1．()C αβ±及()S αβ±公式；
2．练习 38P 3（1）（2）（3）．
（二）新课讲解：
例1：已知sin (0,)52παα=
∈，cos (0,)102
πββ=∈， （1）求cos(),sin()αβαβ--的值.； （2）求αβ-． 例2：已知62ππα<<，且15cos()617πα-=，求cos ,sin αα的值。
．
例3：已知324π
πβα<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，求cos 2β的值。
课堂练习 P 103习题1，2，3
课堂小结：
1．掌握求角的一般方法；
2．寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。
教学后记。
必修4教案3.1.1两角和与差余弦公式
cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( )
例 1．①利用差角余弦公式求 cos15 的值 ②利用和角余弦公式求 cos75 的值 例 2． 已知 sin
角，求 cos( ) 的值。
4 5 , ( , ), cos , 是第三象限 5 2 13
例 5．已知 , 都是锐角， cos 求 cos 的值
两角差与和的余弦公式学案 一、阅读课本 124 页到 127 页 任务一：差角的余弦公式：对于任意角 , 有 cos( ) cos cos sin sin 简记作 C ( ) 你能根据差角的余弦公式推导和角的余弦公式吗？ cos( ) 任务二：根据上面的两个公式试解决下列问题 例 1．①求 cos15 的值 ②求 cos75 的值
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
④ sin164 sin 224 sin 254 sin 314
例 4．化简：① 3 15 sin x 3 5 cos x ② 3 sin
x x cos 2 2
课题 教 学 目 标 知识与能力 过程与方法
情感态度与价值观
两角差与和的余弦公式（一） 两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的应用
顺序课时
1
教学重点 教学难点 教学方法
两角差与和的余弦公式的应用 两角差与和的余弦公式的逆用 双案教学，预习、提问、讲授法 知 识 流 程 有 教师活动 学生活动
③ sin 34 sin 26 cos34 cos 26
数学必修4教学设计：3.1.1两角和与差的余弦 含解析 精品
教学设计3．1.1两角和与差的余弦作者：王盈慧，江苏省前黄高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．整体设计设计思路整堂课大致分两部分，一是探究发现；二是知识应用．探究过程由物理情景出发，尝试解决物理问题后抽象出数学模型——向量，再转化问题的表述，回归数学本质，探究“cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？”这一问题．经历“猜想——验证——证明”的体验过程，感受向量方法证明的简洁美和数学探究的成功体验．以《几何画板》为探索平台，完成公式推导，并体验α，β的任意性．证明过程由粗至精，在直观形象的基础上进一步去体验数学的科学严谨．通过例1、例2和练习1学会运用公式进行简单三角函数的化简、求值，例3有一定技巧，意在让学生初步体会角的变换的灵活性．教学目标1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2．掌握两角和与差的余弦公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数的化简、求值；3．培养学生发现问题、研究问题、解决问题的能力及创新能力，掌握数形结合这一重要数学思想；4．引导学生注意养成有条理地逐步解决问题的习惯，培养学生普遍联系、运动变化、数学来源于实践又指导实践的辩证唯物主义观点及勇于探索的创新精神．教学过程情景创设1．物理情景如图1所示，倾角为30°的斜坡上，一物体在力F的作用下前进了1 m，已知|F|＝1 N，力F的方向与水平方向成45°角，求此过程中力F所做的功．图1设问1：力F与位移s的夹角不是我们熟知的那些特殊角，有办法求此过程中力F所做的功W吗？将力F正交分解，得水平方向和竖直方向的两个分力F1、F2，将位移s也按同样的方向做正交分解为s1、s2，可以具体计算出W1、W2，再求出和功W.发现：由F·s＝F1·s1＋F2·s2，有cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°.设问2：一般地，斜坡倾角为β，力F的方向与水平方向所成角为α，还会有类似的结果吗？2．数学情境将上述问题中的数学模型抽象出来：我们知道，力、位移这些矢量在数学中抽象为向量，下面我们将前面的探索翻译成数学语言、向量语言．设问3：(设问2的转化)cos(α－β)能否用α，β的三角函数表示出来？如何表示？猜猜看？学生活动：举例验证各自的猜想是否正确，然后班级交流．(猜想cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，诱导公式就是极好的验证例子)设问4：所猜想的等式有什么结构特点？你能推导出这一猜想吗？说说你的推导思路．建构数学探究1：cos(α－β)看成两个向量的夹角的余弦，用向量的数量积来研究．(严谨性不必一步到位，采用学生们的说法“α－β为两向量夹角”)师生活动：从“α－β为两向量夹角”这一不够严谨的说法出发，学生画图探索，尝试证明．老师用“几何画板”演示(如图2)，写出推导思路．再用“几何画板”演示(如图3)，引导大家对欠严谨处展开讨论，体验α，β的任意性．图2图3前面的推导必须符合条件0≤α－β≤π才正确，α、β是任意的，α－β也应该是任意的．猜想仍然正确吗？利用诱导公式，存在θ∈[0,2π)使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则a·b＝cosθ＝cos(α－β)；若θ∈[π，2π)，则2π－θ∈[0，π]且a·b＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．从而得出公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α－β)探究2：(旋转变换的思想)如图4，将角α－β旋转变换到以x轴正方向为始边的位置，接着利用两点间的距离公式建立等式[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.图4引导体会该证法的优点(任意角α、β的终边位置不同不影响公式的证明)．探究3：cos(α＋β)能否用α、β的三角函数表示出来？如何表示？学生小组讨论后很容易由α＋β＝α－(－β)或依据α、β的任意性令β＝－β得出公式：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.发散：模仿探究3你还能得出其他类似结果吗？数学运用我们探索得到了两角和与差的余弦公式，公式形式上有什么特点，如何记忆？这一公式的得出又有怎样的价值？例题选讲例1利用两角和(差)的余弦公式，求cos75°，cos15°，sin15°，tan15°.设问5：这里的75°、15°以前我们并不熟悉，现在要求它们的余弦值(三角函数值)，怎样处理？学生很快会答出将75°表示成45°＋30°，将15°表示成45°－30°，然后再利用两角和(差)的余弦公式求值．学生还会想出60°－45°的处理办法，要及时肯定．教师板书解题过程，启发学生总结出解决问题的关键点：“将所求角用熟知的特殊角表示出来”．本题还涉及到诱导公式和同角三角函数关系的运用，也需设问引导学生注意总结．学生若能够与探究部分的发散联系起来，得出两角和(差)的正弦公式，要多加赞许．例2已知sinα＝23，α∈(π2，π)，cosβ＝－35，β∈(π，3π2)，求cos(α＋β)． 学生思考后师生共同分析，欲利用两角和的余弦公式求三角函数值，要先准备好公式中所需要的相关角的正弦值、余弦值，教育学生做事情要有条理，一步一步把事情做好．强调利用同角三角函数关系准备相关三角函数值时，要依据角的范围，判断函数值的符号，进而求出三角函数值．例3已知α、β都是锐角，cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，求cosβ. 探究4：学生往往抓住cos(α＋β)用公式展开，将sin α，cosα的值代入，再结合同角三角函数关系sin 2β＋cos 2β＝1，用方程思想求解．启发学生把题目中所涉及的角分成两类：已知角和所求角，能否用已知角把所求角表示出来？进而引导学生抓住角的变换应用公式求值．β＝(α＋β)－α，cosβ＝cos((α＋β)－α)＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα.老师板书解题过程，并引导学生比较两种方法．学生练习1．利用两角和(差)的余弦公式化简：(1)cos58°cos37°＋sin58°sin37°；(2)cos(60°＋θ)－cos(60°－θ)．2．已知cos θ＝－35，θ∈(π2，π)，求cos(π3－θ)的值． 课堂小结先请两位同学谈谈自己这堂课的收获与体验，然后老师小结．·熟记公式 (化归的思想)·向量方法探索公式的简洁美 (其他探索方法)·公式应用 (求值型，证明型，化简型)注意公式的正用、逆用，注意根据角的范围确定三角函数值的符号，要善于发现角之间的关系．巩固作业1．已知sinα＝23，cosβ＝－34，且α、β都是第二象限角，求cos(α－β)的值． 2．已知π4<α<β<π2，且sin(α＋β)＝45，cos(α－β)＝1213. (1)用α＋β，α－β表示2α；(2)求cos2α的值．教学反思1．物理情景的引入帮助学生很快形成猜想，同时尝试抽象出其中的数学本质，一方面自然过渡到用向量法探究两角差的余弦公式，另一方面也是对数学建模思想的又一次丰富．2．两角差的余弦公式探索方法很多，教材中也留有许多思考让学生从不同角度探索公式，这些探索证明方法的建构都有着丰富的数学思想方法，仅仅停留在课堂上的探索是远远不够的，要引导学生课后继续探究．3．本堂课中学生的情感体验，对两角和差余弦公式价值的认识都比较充分；适当的数学史知识和我国数学家的介绍也拓宽了学生的视野，加深了学生对数学研究的亲近感；结合数学解题展开的生活习惯的养成也恰到好处．。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 3.1.1 两角和与差的余弦》9
§ 两角和与差的余弦江苏丰县华山中学 刘国良【教学目标】1知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。
2能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。
3情感目标：通过观察、对比体会数学的对称美和谐美，培养学生良好的数学表达和思考的能力，学会从已有知识出发主动探索未知世界的意识及对待新知识的良好情感态度。
【高考等级要求】 C 级 【教学重点与难点】教学重点：两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。
教学难点：两角和与差的余弦公式的推导过程，特别是一般性的推广。
【教学方法与教学手段】问题教学法、合作学习法，多媒体课件【教学过程】一、创设情境、自主先学问题1：前面学习了三角函数，()βα-cos 能否用α的三角函数和β的三角函数来表示 问题2：不用计算器，求cos15的值，cos15能否写成两个特殊角的和或差的形式 问题3：cos15cos(4530)cos45cos30=-=-成立吗 问题4：cos(4530)-能否用4530和的三角函数来表示设计意图: 通过创设问题情境，自然流畅地提出问题，揭示课题，引发学生思考,使学生目标明确、迅速进入角色。
二、动手操作、实例验证1向量的数量积__________b a =⋅),,a 11y x （=),b 22y x （= 则 __________b a =⋅ （2）单位圆上的点的坐标表示试在直角坐标系中画出终点在单位圆上的向量a (cos 45,sin 45)=和b (cos30,sin 30)=，并求出它们的两种形式的数量积？由图可知：==→a OP 1, ==→b 2OP 则=⋅b a_____________a =→_____________b =→问题5： =︒-︒=∠)3045cos(P cos 21OP问题6：由︒︒+︒︒=︒-︒30sin 45sin 30cos 45cos )3045cos(出发，你能推广到对任意的两个角都成立吗 设计意图:通过动手操作、实例验证，复习回顾使学生熟悉基础知识、特别是用角的正、余弦表示特殊点的坐标，让学生通过特殊值在转化到一般情况，符合学生的认知律三、小组合作、建构概念问题7 ：？）（=-βαcos（一）两角差的余弦公式设角α的终边与单位圆的交点坐标为Pco α,in α，角β的终边与单位圆的交点坐标为Qco β,in β见图1．记 a=OP =co α,in α，b =OQ =co β,in β,则a b =|a |⋅|b|co α-β=co α-β；又应用向量数量积的坐标表示公式，a b=co α co β in α in β，所以co α-β=co α co β in α in β ① 当点P 在直线OQ 上或上方时图1•αP co α,in αβ Q co β,in βO•P 0角θβ+与角α终边相同，Z k k ∈++=∴,2πθβαβαβαβαθβαπθβαsin sin cos cos )cos(cos )cos(,2+=-∴=-∴∈+=-∴Zk k ② 当点P 在直线OQ 下方时角θβ-与角α终边相同，Z k k ∈+-=∴,2πθβαβαβαβαθθβαπθβαsin sin cos cos )cos(cos )cos()cos(,2+=-∴=-=-∴∈+-=-∴Zk k，对于任意的角βα,都成立。
苏教版必修四 3.1.1两角和与差的余弦 教案
3.1.1 两角和与差的余弦一、课题：两角和与差的余弦二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题。
三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。
四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。
五、教学过程： （一）复习：1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==． （二）新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,PM P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线 1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11P N 与22P M 相交于点Q ，那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-． 由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+2212x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P ，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())P ββ--，1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=-- ∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。
高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦互动课堂学案 苏教版必修4
高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦互动课堂学案 苏教版必修4 疏导引导1.两角差的余弦公式把cos （α-β）看成是两个向量夹角的余弦，可以考虑利用两个向量的数量积来研究，如下图，设α,β的终边分别与单位圆交于点P 1（cos α,sin α）,P 2(cos β,sin β),由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以我们只考虑0≤α-β＜π的情况.设向量a =1OP =(cos α,sin α),b =2OP =(cos β,sin β),则a ·b =|a ||b |·cos(α-β)=cos(α-β).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有a ·b =cos αcos β+sin αsin β,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β,于是，对于任意的α、β,都有上述式子成立.2.两角和的余弦公式比较cos （α-β）与cos （α+β）,并且注意到α+β与α-β之间的关系：α+β=α-(-β),则由两角差的公式得：cos （α+β）=cos ［α-(-β)］=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos α·cos β-sin αsin β， 即cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.3.对两角和与差的公式的理解和记忆（1）上述公式中的α、β都是任意角.（2）公式右端的两部分为同名三角函数之积，连接符号与左边的连接符号相反.（3）要注意和（差）角的相对性，掌握角的变化技巧.如2α=(α+β)+(α-β)， α=(α+β)-β,α=(α-β)+β.活学巧用【例1】 利用公式C α-β,C α+β证明下列等式.(1)cos(π-α)=-cosx; (2)cos(23π-α)=-sin α. 解析:（1）cos （π-α）=cos πcos α+sin πsin α=-cos α+0·sin α=-cos α. (2)cos(π23-α)=cos π23cos α+sin·π23sin α =0·cos α-sin α=-sin α. 【例2】 已知sin α=1312,cos β=53-,α、β均为第二象限角，求cos （α-β）,cos(α+β).解析:由sin α=1312,α为第二象限角, ∴cos α=135)1312(1sin 122-=--=--α. 又由cos β=-53,β为第二象限角, ∴sin β=54)53(1cos 122=--=-β. ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (-135)×(53-)+1312×54=6563. 【例3】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α-β)= 1312,sin(α+β)= 53-,求cos2α与cos2β. 解析：∵2π＜β＜α＜43π, ∴0＜α-β＜4π,π＜α+β＜π23, ∴sin(α-β)=135)1312(1)(cos 122=-=--βα, cos(α+β)=54)53(1)(sin 122-=---=+--βα, ∴cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =-54×1312+(53-)×135=-6563. cos2β=cos ［(α+β)-(α-β)］=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) =6563135)53(131254-=⨯-+⨯-.。
2019-2020学年苏教版必修4 3.1.1 两角和与差的余弦 学案
3．1两角和与差的三角函数3．1.1两角和与差的余弦1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．2.理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征．3．掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明．1．两角和与差的余弦公式 (1)两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β． (2)两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β． [注意]2.π2±α，3π2±α的诱导公式 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α． (2)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α．(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α． (4)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝－cos α． 名称变化：正弦――→转化余弦，余弦――→转化正弦．符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(60°－30°)＝cos 60°－cos 30°.( )(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( ) (3)对任意α，β∈R ，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立．( ) (4)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( ) 解析：(1)错误．cos(60°－30°)＝cos 30°≠cos 60°－cos 30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cos α－cos β＝cos(－45°)－cos 45°＝0，此时cos(α－β)＝cos α－cos β.(3)正确．结论为两角和的余弦公式．(4)正确．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝cos(120°－30°)＝cos 90°＝0. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．cos 43°cos 13°＋sin 43°sin 13°的值为( ) A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案：C3．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝________． 解析：因为cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫152＝265.所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin α·sin π3＝15×12－265×32＝1－6210. 答案：1－6210两角和与差的余弦公式的应用计算下列各式的值：(1)cos13π12； (2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)； (3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)． 【解】 (1)cos13π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π12＝－cos π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫3π12－2π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫π4－π6 ＝－⎝⎛⎭⎫cos π4cos π6＋sin π4sin π6 ＝－⎝⎛⎭⎫22×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin 100°sin 160°＋cos 200°cos 280° ＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80° ＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°) ＝－cos 60°＝－12.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α) ＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)] ＝cos 60°＝12.两角和与差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和或差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和或差的余弦公式求解．1.化简下列各式的值．(1)cos 40°cos 20°－cos 70°cos 50°；(2)32cos 75°＋12sin 75°.解：(1)cos 40°cos 20°－cos 70°·cos 50°＝cos 40°cos 20°－sin 20°sin 40°＝cos(40°＋20°)＝cos 60°＝12.(2)32cos 75°＋12sin 75° ＝cos 30°cos 75°＋sin 30°sin 75° ＝cos(30°－75°) ＝cos(－45°) ＝22. 给值求值问题设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos 3α－3β2.【解】 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π， α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2. 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459. cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53. 所以cos 3α－3β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β －sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53－459×23＝－53.解答给值求值题目应注意的两点(1)拆拼角技巧先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧，如α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；π2＝⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫π4－α等． (2)角的范围问题许多题都给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．2.(1)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝45， cos(α＋β)＝－1665，求cos β的值．(2)已知sin α＝23，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－34，β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，求cos(α－β)的值． 解：(1)因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以0＜α＋β＜π，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365，又sin α＝45，所以cos α＝35，所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×35＋6365×45＝204325. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝23，所以cos α＝－1－sin 2α＝－53. 又β∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，cos β＝－34， 所以sin β＝－1－cos 2β＝－74. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×⎝⎛⎭⎫－74＝35－2712.给值求角问题(1)已知α，β均为锐角，且cos α＝255，cos β＝1010，则α－β＝________．(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β的值．【解】 (1)因为α，β均为锐角， 所以sin α＝55，sin β＝31010， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22. 又sin α＜sin β， 所以0＜α＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜0.故α－β＝－π4.故填－π4.(2)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.求解给值求角的三个步骤(1)求所求角的一种三角函数值． (2)确定所求角的范围．(3)在所求角的范围内，根据三角函数值确定角．3.(1)已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值． (2)已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝45，0＜α＜β＜π，求α－β 的值．解：(1)由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.又由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513.cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－1213×1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又因为α＋β∈⎝⎛⎭⎫32π，2π，α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以2β＝π， 所以β＝π2.(2)因为(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫352，(cos α＋cos β)2＝⎝⎛⎭⎫452，以上两式展开两边分别相加得 2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.因为0＜α＜β＜π，所以－π＜α－β＜0， 所以α－β＝－2π3.对公式C (α－β)和C (α＋β)的三点说明(1)公式的结构特点：公式的左边是差角(和角)的余弦，右边的式子是含有同名函数之积的和式(差式)，可用口诀“余余正正，符号相反”记忆公式．(2)公式的适用条件：公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，如cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2－α－β2中的“α＋β2”相当于公式中的角α，“α－β2 ”相当于公式中的角β. (3)公式的“活”用：公式的运用要“活”，体现在顺用、逆用、变用．而变用又涉及两个方面：①公式本身的变用，如cos(α－β)－cos αcos β＝sin αsin β. cos(α＋β)＋sin αsin β＝cos αcos β.②角的变用，也称为角的变换，如cos α＝cos[(α＋β)－β]，cos α＝cos[(α－β)＋β]，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．若α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为________． 【解析】 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， 所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， β－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 由sin(α＋β)＝－35，得cos(α＋β)＝1－sin 2（α＋β）＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝45， 由sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213， 得cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝－1－⎝⎛⎭⎫12132＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665.【答案】 －5665(1)解答本题，易因忽视角α＋β，β－π4的范围的计算，导致由正弦值计算余弦值时符号选择出错，也容易因不能发现已知角α＋β，β－π4和所求角α＋π4之间的关系，导致无法对角α＋π4进行正确变形，进而计算cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4出现错误． (2)①应用两角差(和)的余弦公式计算三角函数值时，经常由正(余)弦值计算余(正)弦值，此时要特别注意计算角的范围，从而判断终边位置．②正确分析已知角与所求角的关系是探究解题思路的关键．1．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A ．32B ．12C ．1＋32D ．3－12解析：选B ．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°·cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B ．2．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为__________． 解析：cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 答案：323．sin 195°＝__________．解析：sin 195°＝sin(90°＋105°)＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝22×12－22×32＝2－64.答案：2－644．若α，β均为锐角，sin α＝255，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________．解析：因为α，β均为锐角，所以α＋β∈(0，π)且sin α＝255＞35＝sin(α＋β)，所以cos α＝55，cos(α＋β)＝－45， cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525.答案：2525[学生用书P120(单独成册)])[A 基础达标]1．cos π12cos π6－sin π12·sin π6＝( )A ．12B ．22C ．32D ．1解析：选B ．cos π12cos π6－sin π12sin π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝cos π4＝22，故选B ． 2．若cos 5x cos(－2x )－sin(－5x )sin 2x ＝0，则x 的值可能是( ) A ．π10B ．π6C ．π5D ．π4解析：选B ．因为cos 5x cos(－2x )－sin(－5x )·sin 2x ＝cos 5x cos 2x ＋sin 5x sin 2x ＝cos(5x －2x )＝cos 3x ＝0，所以3x ＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝π6＋k π3，k ∈Z ，所以当k ＝0时，x ＝π6.3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C ．6365D ．3365解析：选A ．因为α为锐角，且cos α＝1213，所以sin α＝1－cos 2α＝513.因为β为第三象限角，且sin β＝－35，所以cos β＝－1－sin 2β＝－45，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A ． 4．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)＝( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解析：选B ．由sin αsin β＝1可知，sin α＝1，sin β＝1或sin α＝－1，sin β＝－1，此时均有cos α＝cos β＝0，从而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝0＋1＝1.5．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos (2π－β)的值为( )A ．3365B ．－3365C ．5465D ．－5465解析：选A ．因为α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sin α＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos (2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. 6．已知cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于__________．解析：由已知知cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°， 所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.答案：347．若三角形两内角α，β满足tan α·tan β＞1，则这个三角形是__________． 解析：因为tan α·tan β＞1，所以α，β均为锐角，sin αsin βcos αcos β＞1，所以cos αcos β－sin αsinβ＜0，即cos(α＋β)＜0，所以α＋β为钝角，π－(α＋β)为锐角．所以这个三角形为锐角三角形．答案：锐角三角形8．已知x ∈R ，sin x －cos x ＝m ，则m 的取值范围为________． 解析：sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x＝2⎝⎛⎭⎫sin 3π4sin x ＋cos 3π4cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4， 因为x ∈R ，所以x －3π4∈R ，所以－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4≤1， 所以－2≤m ≤ 2. 答案：－2≤m ≤ 2 9．求下列各式的值：(1)sin 44°sin 16°－cos 44°cos 16°； (2)cos 80°cos 35°＋cos 10°cos 55°. 解：(1)原式＝－(cos 44°cos 16°－sin 44°sin 16°) ＝－cos(44°＋16°) ＝－cos 60°＝－12.(2)原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35° ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22. 10．已知锐角α、β满足sin α＝55，cos β＝31010. (1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值． 解：(1)因为sin α＝55，α为锐角．所以cos α＝1－sin 2α＝1－15＝255； 因为cos β＝31010，β为锐角． 所以sin β＝1－cos 2β＝1－910＝1010， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×31010＋55×1010＝7210. (2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010＝22. 因为α、β均为锐角，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝π4. [B 能力提升]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，则cos A ＝________． 解析：由A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，可知A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，则cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，cos A ＝cos[⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4]＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4· cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝⎝⎛⎭⎫－210×22＋7210×22＝35. 答案：352．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：b ＝cos 5°－3sin 5°＝ 2⎝⎛⎭⎫12cos 5°－32sin 5°＝2cos 65°， c ＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)＝2(cos 43°cos 24°－sin 24°sin 43°)＝2cos 67°.因为函数y ＝cos x 在[0°，90°]内是单调递减函数，且67°>66°>65°，所以cos 67°<cos 66°<cos 65°，所以b >a >c .答案：b >a >c3．已知函数f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝ 2. (1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017， f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85，求cos(α＋β)的值． 解：(1)由f ⎝⎛⎭⎫π3＝2得A cos ⎝⎛⎭⎫π12＋π6＝2，即A ·cos π4＝2，所以A ＝2. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x 4＋π6.由⎩⎨⎧f ⎝⎛⎭⎫4α＋43π＝－3017，f ⎝⎛⎭⎫4β－23π＝85， 得⎩⎨⎧2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋π6＝－3017，2cos ⎝⎛⎭⎫β －π6＋π6＝85， 解得⎩⎨⎧sin α＝1517，cos β＝45.因为α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以cos α＝1－sin 2α＝817， sin β＝1－cos 2β＝35， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.4．(选做题)已知sin α＋sin β＝22，求(cos α＋cos β)2的取值范围． 解：由sin α＋sin β＝22，平方可知， sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝12.① 设cos α＋cos β＝m ，平方可知，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2.②①＋②得sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＋cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝m 2＋12， 整理得m 2＝32＋2cos(α－β)． 又由于cos(α－β)∈[－1，1]，所以m 2∈⎣⎡⎦⎤－12，72， 即得0≤m 2≤72. 所以(cos α＋cos β)2的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，72.。
苏教版高中数学必修43.1两角和与差的三角函数(两角和
第 1 课时：§3.1.1 两角和与差的余弦【三维目标】：一、知识与技术1.掌握用向量方式推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方式的作用；2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明二、进程与方式1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的进程，体验和感受数学发觉和创造的进程，体会向量和三角函数的联系；2.通过向量的手腕证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量法作为一种有效手腕的同时掌握两角差的余弦函数；讲解例题，总结方式，巩固练习.三、情感、态度与价值观1.创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2.通过本节的学习，使同窗们对两角和与差的三角函数有了一个全新的熟悉；理解掌握两角和与差的三角的各类变形，提高逆用思维的能力.【教学重点与难点】：重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用.难点: 两角差的余弦公式的推导.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式.(2)探讨式学习法：通过度析、探索、掌握两角差的余弦公式的进程.(3)反馈练习法：以练习来查验知识的应用情形，找出未掌握的内容及其存在的差距.2. 教法：启发式教学3.教学用具：多媒体、实物投影仪.【讲课类型】：新讲课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭露课题1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==．二、研探新知两角和的余弦公式的推导（向量法）：把)cos(βα-看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量积来研究。
在直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边别离作角βα,，其终边别离与单位圆交于)sin ,(cos 1ααP ,)sin ,(cos 2ββP ，则βα-=∠21OP P 由于余弦函数是周期为π2的偶函数，所以，咱们只需考虑πβα≤-≤0的情形。
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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 两角和与差的余弦教案 苏教版必修43．1两角和与差的三角函数3．1.1 两角和与差的余弦(教师用书独具)●三维目标 1．知识与技能掌握用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用． 2．过程与方法通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观 通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力．●重点难点重点：灵活运用两角和与差的余弦公式． 难点：用向量推导两角差的余弦公式．(教师用书独具)●教学建议1．关于探求公式C (α－β)的结果的教学教学时，建议教师先让学生自己动手验证，从而明确cos(α－β)＝cos α－cos β为什么错误，引导学生体会从特殊到一般的思考问题的方法，并应用这种方法通过特殊情境0＜α＜β＜π2探求出cos(α－β)的结果．2．关于公式C(α－β)证明的教学教学时，建议教师：(1)在回顾求角的余弦有哪些方法时，联系向量知识，体会向量方法的作用．(2)结合有关图形，完成运用向量方法推导公式的必要准备．(3)探索过程不应追求一步到位，应先不去理会其中的细节，抓住主要问题及其讨论线索进行探寻，然后再作反思，予以完善(这也是处理一般探索性问题应遵循的原则)，其中完善的过程既要运用分类讨论的思想，又要运用诱导公式．●教学流程创设问题情境，引出问题：cosα－β＝cos α－cos β为什么错误？⇒引导学生结合有关图形，运用向量方法推导出两角差的余弦公式，进而得到两角和的余弦公式.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决求值问题的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式解决给值求值问题的方法.⇒通过例3及其互动探究，使学生掌握利用两角和与差的余弦公式求解给值求角问题的解题步骤及注意事项.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)两角和与差的余弦公式1．单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？OA→与OB→的夹角是多少？【提示】A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)．OA→与OB→的夹角是α－β.2．你能用哪几种方法计算OA→·OB→的数量积？【提示】①OA→·OB→＝|OA→||OB→|cos(α－β)＝cos(α－β)，②OA→·OB→＝cos αcos β＋sin αsin β.3．根据上面的计算可以得出什么结论？【提示】 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.4．把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的β用－β代替，结果如何？【提示】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. cos(α＋β)＝cos__αcos_β－sin_αsin_β； cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 这两个公式分别记作C (α＋β)，C (α－β)．运用公式求值求下列各式的值：(1)cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)； (2)cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°.【思路探究】 (1)将α－35°，25°＋α分别视为一个角，逆用公式可得解． (2)由7°＝15°－8°，可用两角差的余弦公式解决．【自主解答】 (1)原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12. (2)原式＝cos 15°－8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．求下列各式的值：(1)cos 75°；(2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°.【解】 (1)cos 75°＝cos(45°＋30°)＝cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24. (2)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2＜α＜π，0＜β＜π2，求cosα＋β2的值． 【思路探究】 由已知可求得α－β2，α2－β的正弦、余弦．只须将α＋β2用已知条件中的角α－β2，α2－β表示出来，注意α－β2和α2－β的范围．用两角和与差的三角函数公式展开即得结论．【自主解答】 ∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. 又cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23.∴sin(α－β2)＝1－cos2α－β2＝459，cos(α2－β)＝1－sin 2α2－β＝53.∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝－19×53＋459×23＝7527.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π.又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665.已知α，β均为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，求角β的值．【思路探究】 解决本题的关键是根据已知条件，分别求出α的正弦值与α＋β的余弦值．再由β＝(α＋β)－α求出cos α，从而可以根据β的范围求出β的值．【自主解答】 ∵0＜α＜π2，cos α＝17.∴sin α＝1－cos 2α＝437.又∵0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∵sin(α＋β)＝5314＜sin α，∴π2＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－1114.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝(－1114)×17＋5314×437＝12.又∵0＜β＜π2，∴β＝π3.解答给值求角问题的步骤： (1)求角的某一个三角函数值； (2)确定角所在的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．特别注意：根据题意选择求角的正弦值、余弦值还是正切值，同时要注意缩小所求角的范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内．将本题条件改为cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，如何求β的值？【解】 由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－172＝437.由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝1－13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵0＜β＜π2，∴β＝π3.忽略角的范围限制的隐含条件致误已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，求α－β的值．【错解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝255×1010＋55×31010＝22，又∵α，β∈(0，π2)，∴－π2＜α－β＜π2，∴α－β＝π4或α－β＝－π4.【错因分析】 错解的原因在于忽视了利用三角函数值的大小判断α与β的大小关系． 【防范措施】 已知三角函数值求角的大小时，一定要注意判断角的范围，有时需利用三角函数值对角的范围进行精确化，以免产生增解．【正解】 ∵cos β＝1010，sin α＝55，α，β为锐角，∴sin β＝31010，cos α＝255.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22.又∵sin α＜sin β，∴α＜β.∴－π2＜α－β＜0.∴α－β＝－π4.对公式C (α－β)的理解：(1)公式中的α，β为任意角公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cos(α＋β2－α－β2)中的“α＋β2”相当于角α，“α－β2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角．(2)公式C (α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加．1．下列等式中，正确的个数为________．①cos(α－β)＝cos α－cos β；②cos(π2＋α)＝－sin α；③cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β；④cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.【解析】 由两角和与差的余弦公式可知②④正确． 【答案】 22．cos 105°＝________.【解析】 cos 105°＝cos(45°＋60°)＝cos 45°cos 60°－sin 45°sin 60°＝2－64. 【答案】2－643．计算：cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°＝________.【解析】 原式＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°)＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.【答案】 124．已知cos α＝－45，α∈(π，32π)，tan β＝－13，β∈(π2，π)，求cos(α＋β)．【解】 ∵α∈(π，32π)，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∵tan β＝－13，β∈(π2，π)，∴cos β＝－31010，sin β＝1010.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－45)×(－31010)－(－35)×1010＝31010.一、填空题1．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】322．若α∈(0，π)，且cos(α＋π3)＝45，则cos α等于________．【解析】 ∵α∈(0，π)且cos(α＋π3)＝45，∴sin(α＋π3)＝35.cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝45×12＋35×32＝4＋3310. 【答案】4＋33103．已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于________【解析】 由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】 344．已知sin α＝12，α是锐角，则cos(α－π4)＝________.【解析】 cos(α－π4)＝cos α·22＋sin α·22＝32·22＋12·22＝6＋24.【答案】6＋245．若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________． 【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝(1－32)2＋(12)2，∴cos(α－β)＝32. 【答案】 326．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】 2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos 30°－20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．(2013·成都高一检测)若cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，则cos(θ＋π4)＝________.【解析】 ∵cos θ＝－1213，θ∈(π，3π2)，∴sin θ＝－513，∴cos(θ＋π4)＝cos θcos π4－sin θsin π4＝－1213×22－(－513)×22＝－7226.【答案】 －72268．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，则α－β的值为________．【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即cos αcos β＋sin αsin β＝0，从而cos(α－β)＝0.∵α，β∈(0，π)，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝π2或－π2.【答案】 ±π2二、解答题9．设α∈(π2，π)，若sin α＝35，求2cos(α＋34π)的值．【解】 ∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，∴2cos(α＋34π)＝2(cos αcos 34π－sin αsin 34π)＝2(－cos αcos π4－sinαsin π4)＝－cos α－sin α＝45－35＝15.10．已知α，β为锐角，且cos α＝110，cos β＝15，求α＋β的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴sin α＝310，sin β＝25，∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝110·15－310·25＝－550＝－22.又0＜α＋β＜π，∴α＋β＝3π4.11．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，|a－b|＝255.(1)求cos(α－β)；(2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α.【解】(1)∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)．∵|a－b|＝255，∴cos α－cos β2＋sin α－sin β2＝255，即2－2cos(α－β)＝45，∴cos(α－β)＝35.(2)∵0<α<π2，－π2<β<0，∴0<α－β<π.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.∵sin β＝－513，∴cos β＝1213.∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β＝35×1213－45×(－513)＝5665.又0<α<π2，∴sin α＝1－cos2α＝3365.(教师用书独具)在△ABC中，若tan A(sin C－sin B)＝cos B－cos C，试判断△ABC的形状．【思路探究】将切化成弦，变形后应用差角公式就可得到角A，B，C之间的关系．【自主解答】∵tan A(sin C－sin B)＝cos B－cos C，∴sin Acos A＝cos B－cos Csin C－sin B，∴sin A sin C－sin A sin B＝cos A cos B－cos A cos C，即cos A cos C＋sin A sin C＝cos A cos B＋sin A sin B，∴cos(A－C)＝cos(A－B)．∵0°＜A，B，C＜180°，∴－180°＜A－C＜180°，－180°＜A－B＜180°，∴A－C＝A－B或A－C＝－(A－B)，即B＝C或2A＝B＋C.若B＝C，则△ABC为等腰三角形；若2A＝B＋C，则2A＝180°－A，A＝60°.11 综上所述，△ABC 为等腰三角形或A ＝60°的三角形．1．利用和、差角公式判断三角形的形状时，应考虑借助同名三角函数之间的关系判断三角形内角和的关系或者求出内角大小，进而判断三角形形状，注意三角形内角和A ＋B ＋C ＝180°这一隐含条件的运用．2．记住常用结论：sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan(A ＋B )＝－tan C .在△ABC 中，已知tan A tan B ＜1，判断△ABC 的形状．【解】 ∵tan A tan B ＜1，∴sin A sin Bcos A cos B ＜1，sin A sin B cos A cos B －1＜0，sin A sin B －cos A cos B cos A cos B ＜0，－cos A ＋Bcos A cos B ＜0，cos Ccos A cos B ＜0，∴cos A ＜0或cos B ＜0或cos C ＜0，∴A 、B 、C 中有一个钝角，∴△ABC 为钝角三角形．。