2019届上海市格致中学高三下学期高考三模考试数学试题(解析版)

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2019届高三数学下学期三模试题理(含解析)

2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.【解析】【分析】（1）由已知中位数100，确定的范围，再求出不小于100的数的个数，即可求出；（2）随机变量X可能值为，根据每组车“正点运行”概率求出X可能值为的概率，即可求出随机变量的分布列，进而求出期望;（3）利用方差表示数据集中的程度，说明疏堵工程完成后公交车的稳定程度.【详解】（1）B组数据的中位数为100，根据B组的数据，从B组中随机抽取一个数不小于100的概率是，B组中不小于100的有4个数，所以；（2）从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，“正点运行”概率分别为，从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，X可能值为，，，，X的分布列为：，X期望为；（3）对比两组数据，组数据方差更小，说明疏堵工程完成后公交车运行时间更为稳定.【点睛】本题考查中位数和概率求参数，考查随机变量的分布列和期望，属于基础题.17.如图，在四棱锥P-ABCD中，是等腰三角形，且.四边形ABCD是直角梯形，，，，，.（1）求证：平面PDC.（2）请在图中所给五个点P，A，B，C，D中找出两个点，使得这两点所在直线与直线BC垂直，并给出证明.（3）当平面平面ABCD时，求直线PC与平面PAB所成角的正弦值.【答案】（1）详见解答；（2），证明见解答；（3）.【解析】【分析】（1）由已知，即可证明结论；（2）根据已知条件排除，只有可能与垂直，根据已知可证；（3）利用垂直关系，建立空间直角坐标系，求出坐标和平面PAB的法向量，即可求解.【详解】（1）平面平面，平面；（2），证明如下：取中点，连，，，，平面平面，平面，；（3）平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，.四边形ABCD是直角梯形，，，，，，以为坐标原点，以，过点与平行的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，，令，则，平面一个法向量为，设直线PC与平面PAB所成角为，，直线直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行、线线垂直的证明，要注意空间垂直间的转化，考查用空间向量法求线面角，考查计算求解能力，属于中档题.18.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM与y 轴交于点P．（Ⅰ）若点P在椭圆C的内部，求直线AM的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，点Q在y轴上，且∠PFQ=90°，求证：AQ∥BM．【答案】（Ⅰ）（-，0）（0，）（Ⅱ）详见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得得c2＝a2﹣2，由e，解得即可出椭圆的方程，再根据点在其内部，即可线AM的斜率的取值范围，（Ⅱ）题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则1，可得直线AM的方程y（x+2），求出点Q的坐标，根据向量的数量积和斜率公式，即可求出kBM﹣kAQ＝0，问题得以证明【详解】解：（Ⅰ）由题意可得c2=a2-2，∵e==，∴a=2，c=，∴椭圆的方程为+=1，设P（0，m），由点P在椭圆C的内部，得-＜m＜，又∵A（-2，0），∴直线AM的斜率kAM==∈（-，），又M为椭圆C上异于A，B的一点，∴kAM∈（-，0），（0，），（Ⅱ）由题意F（，0），设Q（0，y1），M（x0，y0），其中x0≠±2，则+=1，直线AM的方程为y=（x+2），令x=0，得点P的坐标为（0，），由∠PFQ=90°，可得•=0，∴（-，）•（-，y1）=0，即2+•y1=0，解得y1=-，∴Q（0，-），∵kBM=，kAQ=-，∴kBM-kAQ=+=0，故kBM=kAQ，即AQ∥BM【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题19.已知函数.（1）已知函数在点处的切线与x轴平行，求切点的纵坐标.（2）求函数在区间上的最小值；（3）证明：，，使得.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求的导函数，令，即可求解；（2）求出在单调区间，极值点，即可求解；（3）转化为函数，与直线恒有交点，即可证明结论.【详解】（1），在点处的切线与x轴平行，，；（2）由（1）得，当时，，，递减区间是，的增区间是，当时，取得极小值，也是最小值为，函数在区间上的最小值；（3）由（2）得递减区间是，，令，当时，函数图像与直线有唯一的交点，且交点的横坐标，，，使得.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、零点等知识，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.20.数列：满足：，或1（）．对任意，都存在，使得．，其中且两两不相等．(I)若．写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；①1,1,1,2,2,2;②1,1,1,1,2,2,2,2;③1,l,1,1,1,2,2,2,2(Ⅱ)记．若，证明：；(Ⅲ)若，求的最小值.【答案】(Ⅰ)②③(Ⅱ)见解析（Ⅲ）的最小值为【解析】试题分析：（Ⅰ）依据定义检验给出的数列是否满足要求条件．（Ⅱ）当时，都在数列中出现，可以证明至少出现4次，2至少出现2次，这样．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则，我们再构造数列：，证明该数列满足题设条件，从而的最小值为．解析：（Ⅰ）对于①，，对于，或，不满足要求；对于②，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，若，则，且彼此相异，故②符合题目条件；同理③也符合题目条件，故符合题目条件的数列的序号为②③．注：只得到②或只得到③给[ 1分]，有错解不给分．（Ⅱ）当时，设数列中出现频数依次为，由题意．①假设，则有（对任意），与已知矛盾，所以．同理可证：．②假设，则存在唯一的，使得．那么，对，有（两两不相等），与已知矛盾，所以.综上：，，，所以．（Ⅲ）设出现频数依次为．同（Ⅱ）的证明，可得：，，，┄，，，，则．取得到的数列为：下面证明满足题目要求．对，不妨令，①如果或，由于，所以符合条件；②如果或，由于，所以也成立；③如果，则可选取；同样的，如果，则可选取，使得，且两两不相等；④如果，则可选取，注意到这种情况每个数最多被选取了一次，因此也成立．综上，对任意，总存在，使得，其中且两两不相等．因此满足题目要求，所以的最小值为．点睛：此类问题为组合最值问题，通常的做法是先找出变量的一个范围，再构造一个数列，使得前述范围的等号成立，这样就求出了最值．2019届高三数学下学期三模试题理（含解析）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.若复数满足，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：．故应选C．考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：模拟程序的运行，可得：m=1满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=3，输出n的值为3，m=3满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=7，输出n的值为7，m=7满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=15，输出n的值为15，m=15满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=31，输出n的值为31，m=31满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=63，输出n的值为63，m=63满足条件m∈（0，100），执行循环体，n=127，输出n的值为127，m=127此时，不满足条件m∈（0，100），退出循环，结束．可得输出数据的总个数为6．故选B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4.设满足约束条件则下列不等式恒成立的是A. B.C. D.【答案】C【解析】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，由，解得，同理可得，设目标函数，则，当直线过点时取得最小值，最小值，所以恒成立，故选C．5.为非零向量，“”为“共线”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 即不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】共线，方向相同或相反，共线的单位向量不一定相等，结合充分必要条件的判断，即可得出结论.【详解】分别表示与同方向的单位向量，，则有共线，而共线，则是相等向量或相反向量，“”为“共线”的充分不必要条件.故选:B.【点睛】本题考查命题充分不必要条件的判定，考查共线向量和单位向量的间的关系，属于基础题.6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A. 12种B. 15种C. 17种D. 19种【答案】D【解析】试题分析：分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法.考点：排列组合，分类分步记数原理.7.已知函数，若函数在区间内没有零点，则最大值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数图象，即可求解.【详解】,令，函数在区间内没有零点，解得，，的最大值是.故选:C.【点睛】本题考查三角函数恒等变换化简，以及三角函数的性质，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.8.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.【详解】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体中，平面与线所成的角是相等的，所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面与中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9.双曲线的渐近线为，则该双曲线的离心率为________.【答案】【解析】【分析】由双曲线方程和渐近线方程，求出值，进而求出，即可求解.【详解】设双曲线的焦距为，双曲线得，渐近线方程的斜率为，.故答案为:.【点睛】本题考查双曲线标准方程、双曲线的简单几何性质，注意焦点的位置，属于基础题.10.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是，（t为参数），以O为极点，x轴正方向为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程是.则圆心到直线的距离是________.【答案】【解析】【分析】将直线参数方程化为普通方程，圆极坐标方程化为直角坐标方程，应用点到直线距离公式即可求解.【详解】消去参数化为，化为，即，圆心，圆心到直线的距离为.故答案为:.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、点到直线的距离等知识，属于基础题11.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.【答案】【解析】【分析】根据三视图还原为底面为菱形高为四棱锥，即可求出结论.【详解】由三视图可知四棱锥的底面为边长为，有一对角为的菱形，高为，所以体积为.故答案为:.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，解题的关键要还原出几何体直观图，属于基础题.12.在各项均为正数的等比数列中，，且.（1）数列通项公式是________.（2）设数列的前n项和为，则的最小值是________.【答案】 (1). (2). .【解析】【分析】由求出，即可求出通项公式，根据等比数列与等差数列的关系，可得为等差数列，求出所有的负数或0项，即可求出结论.【详解】设等比数列的公比为，，，或（舍去），，，当，数列的前n项和的最小值是.故答案为:；-6.【点睛】本题考查等比数列的基本量计算、等比数列与等差数列的关系、等差数列前项和最小值等知识，属于中档题.13.写出一组使“”为假命题的一组x，y________.【答案】1,1（答案不唯一）【解析】【分析】即求命题的否定“”为真命题的一组值，可以应用基本不等式求出满足不等式的充分条件，从中取出一组即可.【详解】“”为假命题,其命题否定“”为真命题，，命题的否定为真的充分条件为，取.故答案为：1,1（答案不唯一）【点睛】本题考查全称命题的真假求参数，属于基础题.14.血药浓度（Serum Drug Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度（单位：mg/ml），通常用血药浓度来研究药物的作用强度．下图为服用同等剂量的三种新药后血药浓度的变化情况，其中点的横坐标表示服用第种药后血药浓度达到峰值时所用的时间，其它点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达到峰值一半时所用的时间(单位：h)，点的纵坐标表示第种药的血药浓度的峰值．（）①记为服用第种药后达到血药浓度峰值时，血药浓度提高的平均速度，则中最大的是_______；②记为服用第种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间，则中最大的是_______【答案】 (1). (2).【解析】【分析】①根据平均的含义进行判断，②根据两次横坐标距离大小确定选择.【详解】①设,则，由于,,所以,,即最大；②根据峰值的一半对应关系得三个点从左到右依次对应A1,A2,A3在第二次达到峰值一半时对应点，由图可知A3经历的时间最长，所以中最大的是【点睛】本题考查数学实际应用以及图像识别，考查基本分析判断能力，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．16.2019年北京市百项疏堵工程基本完成.有关部门为了解疏堵工程完成前后早高峰时段公交车运行情况，调取某路公交车早高峰时段全程所用时间（单位：分钟）数据，从疏堵工程完成前的数据中随机抽取5个数据，记为A组，从疏堵工程完成后的数据中随机抽取5个数据，记为B组.A组：128，100，151，125，120B组：100，102，96，101，己知B组数据的中位数为100，且从中随机抽取一个数不小于100的概率是.（1）求a的值；（2）该路公交车全程所用时间不超过100分钟，称为“正点运行”从A，B两组数据中各随机抽取一个数据，记两次运行中正点运行的次数为X，求X的分布列及期望；（3）试比较A，B两组数据方差的大小（不要求计算），并说明其实际意义.【答案】（1）；（2）分布列详见解答，期望为；（3）详见解答.。

2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(三)(解析版)

5 6
A．1 个
（2）190 是数列 an 中的项
（4）当 n 7 时， an 21 取最小值 n
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
2x y 0
13．[2019·深圳期末]已知不等式组

x

2
y

0
所表示的平面区域为
该多面体的表面积为（）
A． 28 4 5
B． 28 8 2
C．16 4 2 8 5
D．16 8 2 4 5
10．[2019·汕尾质检]已知 A ，B ，C ，D 是球 O 的球面上四个不同的点，若 AB AC DB DC BC 2 ，
且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（）
图1
图2
（1）证明： AF 平面 MEF ；
（2）求二面角 M AE F 的大小．
20．（12 分）[2019·临沂质检]已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F ， P 为抛物线上一点，
O 为坐标原点， △OFP 的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为 3π ．（1）求抛物线 C 的方程；（2）设直线 l 交 C 于 A ， B 两点， M 是 AB 的中点，若 AB 12 ，求点 M 到 y 轴的距离的最小值，并求此时 l 的方程．
B． 2 3
C． 9 4
D． 4 9
12．[2019·江西九校联考]设 x 为不超过 x 的最大整数， an 为 xx x 0,n 可能取到所有值的
个数，
Sn
是数列

2019年高三数学三模试卷及答案

2019年高三第三次模拟测试数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．．．．．． 1．已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B ＝． 2．设a ∈R ，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝．3．设a ∈R ，则“1>a ”是“21a >”的条件． (填“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”或“既不充分也不必要”)4．已知平面向量,a b 的夹角为3π，且|a |＝1，|b |＝12，则2+a b 与b 的夹角大小是．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为．6．已知函数()(2+1)e x f x x =(e 是自然对数的底)，则函数()f x 在点(0，1)处的切线方程为．7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某人根据这一思想，设计了如右图所示的程序框图，若输出m 的值为35，则输入的a 的值为． 8．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= ．9．当实数x ，y满足240,10,1x y x y x +-⎧⎪--⎨⎪⎩≤≤≥时，14ax y +≤≤恒成立，则实数a 的取值范围是． 10．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221y x a b+=(0a b >>)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右AD C BE顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为．11．已知M 是面积为1的△ABC 内的一点(不含边界)，若△MBC ，△MCA ，△MAB 的面积分为x ，y ，z ，则1x y x y z+++的最小值分别为．12．若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且1101,55a S ==．记[]=lg n n b a ，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,lg991==．则数列{}n b 的前2017项和为．13．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝2π，∠B ＝23π， AB ＝6．在AB 边上取点E 使得BE ＝1，连结EC ，ED ，若∠CED ＝23π，EC CD ＝． 14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)已知函数()4sin cos()3f x x x π=++，0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知锐角ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别是,,a b c a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆求ABC ∆的面积．A DP MB16．(本小题满分14分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA PB =，PA PB ⊥，AB BC ⊥，且平面PAB ⊥平面ABCD ，若2AB =，1BC =，AD BD == (1)求证：PA ⊥平面PBC ；(2)若点M 在棱PB 上，且:3PM MB =，求证//CM 平面PAD ．17．(本小题满分14分) 有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离OD 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计．(1)若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；(2)若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．(结果保留根号和π)18．(本小题满分16分) 平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210y x a b a b+=＞＞的，抛物线E ∶24x y =的焦点F 是C 的一个顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设与坐标轴不重合的动直线l 与C 交于不同的两点A 和B ，与x 轴交于点M ，且1(,2)2P 满足2PA PB PM k k k +=，试判断点M 是否为定点？若是定点求出点M 的坐标；若不是定点请说明理由．19．(本小题满分16分) 各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n a a a a n λ+==+∈N ，(1)当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；(2)当2λ=时，令12n n b a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．20．(本小题满分16分) 已知函数2ln )(ax x x f +=（a ∈R ），)(x f y =的图象连续不间断．(1)求函数)(x f y =的单调区间；(2)当1=a 时，设l 是曲线)(x f y =的一条切线，切点是A ，且l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象(即动点在点A 附近沿曲线)(x f y =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧)，求切线l 的方程．数学参考答案一、填空题1．{-101}，， 2．1- 3．充分不必要 4．6π5．2214x y -=6．310x y -+= 7．48．64259．3[1,]210．1311．312．4944 13．7 14．(1,0)-二、解答题15．(1)1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-22sin cos x x x =-sin 2x x =2sin(2)3x π=+ (4)分因为06x π≤≤，所以22333x πππ+≤≤，sin(2)123x π+≤， ……………………………6分所以函数()f x的值域为⎤⎦． (7)分(2)依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径4r =，sin 232a A r ===， ……………………………9分sin 232b B r ===cos 3A =，1cos 3B =，………………………11分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， (13)分所以11sin 2223ABCS ab C ∆==⨯=． (14)分16．(1)证明：因为平面PAB ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，平面PAB 平面ABCD于AB ，又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面PAB ．………3分又PA ⊂平面PAB ，所以BC ⊥PA ． ……………5分由已知PA PB ⊥，且PB BC B =，所以PA ⊥平面PAB ． ……………………………7分 (2)证明：如图，取AD 的中点E ，连结CE ，在平面PAB 内，过点M 作//MF AB 交PA 于F ，连结,FM FE . 在△PAB 中，由作法知//MF AB ，且3342MF AB ==， (9)分PM BCDAF E在底面ABCD 中，易证//CE AB 且32CE =，所以//MF CE 且MF CE =， ………………………11分所以四边形MCEF 是平行四边形，所以//CM EF ， ………………………12分又EF ⊂平面APD ，CM ⊄平面APD ，所以//CM 平面PAD ．……………14分17．建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1)小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB长为定值，故只需要AB 最小即可．作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥ 此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)(2)显然，当广场所在的圆与△ABC 面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为则△ABC 的面积为1()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，……………6分由弦长公式AB =可得2244AB d =-，所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+， (8)分设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（），所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++， (10)分又因为0d CD<≤，即0d <，所以)x AB ⎡==⎣，……………12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-，即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．………………………………………14分18．(1)由题意c a=1c =， …………………2分所以2,1a b ==，故椭圆的方程为2214x y +=． …………………4分设直线1122:(,),(,)AB x ty m A x y B x y =+，，代入2214x y +=得22()14ty m y ++=，即222(4)240()t y tmy m +++-=*，212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，……………6分22222222222412112(2)42(8)164242241211514424242m tm t m t m t m t m t t m tm t t m m t m t t -⎛⎫⎛⎫-----+--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，……………10分又241122PMk mm ==--，8212PM k m =-． (12)分因为2PA PBPM k k k +=，所以2158241280181416.2122m m m m m ⎧⎪-⋅=-⎪⎪-=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎩，，解得8m =．……………15分经检验()*有解时恒成立，存在定点(8,0)M 符合条件．……………16分19．证明：(1)由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=，两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………2分解得1n n aa +=． ……………4分121212*********212122222111122221122()()42211()22PA PB y y y y k k x x ty m ty m ty y t y y m y y m t y y t m y y m ----+=+=+--+-+-⎛⎫⎛⎫-++-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0n a >，所以1n n a a +=为常数，故数列{}n a是等比数列，公比为12．……6分(2)当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122nn n n a b a a +==+．……………8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，……10分又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………12分所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-， ……………14分故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ……………………16分20．解:(1)2121'()2(0)ax f x ax x x x+=+=>，………………………1分①0≥a 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞； (3)分②<a 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(a-，减区间是),21(+∞-a．……………6分(2)设切点))(,(00x f x A ,00>x x xx f 21)(+=',所以在点A 处切线的斜率是0021x x + 所以切线方程为))(21()(0000x x x x x f y -+=-，………………………7分即02000ln 1)21(x x x x x y +--+=．l 在点A 处穿过函数)(x f y =的图象，即在点A 的两侧，曲线)(x f y =在直线的两侧．令02000ln 1)21()(x x x x x x g +--+=，设)()()(x g x f x h -=，所以在0x x =附近两侧)(x h 的值异号． (8)分设020002ln 1)21(ln )(x x x x x x x x h -+++-+=，注意到0)(0=x h ．下面研究函数的单调性：002121)(x x x x x h --+='=)12)((00xx x x --=xx x x x x x x x x x )21)((212)(00000--=--． ………………10分当021x x <时：)(),,0(0x h x x ∈0)()(0=<x h x h当)(),21,(00x h x x x ∈是减函数,所以0)()(0=<x h x h 所以)(x h 在0x x =处取极大值，两侧附近同负，与题设不符． ……………12分同理，当0021x x >时，)(x h 在0x x =处取极小值，两侧附近同正，与题设不符．故0021x x =,即220=x 时，22(2()0x h x x'=≥，所以)(x h 在),0(+∞内单调增所以当)()(),,0(00=<∈x h x h x x ，当0)()(),,21(00=>+∞∈x h x h x x 符合题设．………14分所以220=x ，切线方程为13ln 222y =--． (16)分21．A ．证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC DC FAEA=，故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EF A ．因为B ，E ，F ，C 四点共圆， ……………5分所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EF A ＝∠CFE ＝90°．所以∠CBA ＝90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．……………10分21．B ．解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………5分M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6错误!未找到引用源。

上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题(解析版)

上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）1 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学试题一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知直线a ，如果直线b 同时满足条件①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．则这样的直线b （） A. 唯一确定 B. 有2条 C. 有4条 D. 有无数条 2. 已知函数f （x ）满足：f （x +y ）=f （x ）•f （y ）并且f （1）=1，那么：的值为（）A. 2019B. 1010C. 4038D. 30303. 对于函数f （x ），若存在实数m ，使得f （x +m ）-f （m ）为R 上的奇函数，则称f（x ）是位差值为m 的“位差奇函数”．判断下列函如①f （x ）=2x +1；②f （x ）=x 2+2x +1；③f （x ）=2x ；④中是“位差奇函数”的有（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 设集合A ={2，0，1，9}，B ={x |x =2a ，a ∈A }，则A ∪B 的所有元素之和为______．6. 已知， ∈ ，，则sinα=______．7. 若，则a +b =______． 8. 已知（2x 2-）n （n ∈N *）的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含项的系数是______．（结果用数值表示）9. 已知x 、y 满足，若的最大值为2，则m =______． 10. 已知函数f （x ）=|2x-1|-a ，若存在实数x 1，x 2（x 1≠x 2），使得f （x 1）=f （x 2）=-1，则a 的取值范围是______．11. 已知复数z 满足z +i =1-zi ，则1+z +z 2+…+z 2018=______． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，，是l 的一个法向量，已知数列{a n }满足：对任意的正整数n ，点（a n +1，a n ）均在l 上，若a 2=6，则a 1a 2a 3a 4a 5的值为______．13.将1，2，3，4，5，6随机排列成一列，记为a，b，c，d，e，f，则a×b×c+d×e×f是偶数的概率为______．14.在菱形ABCD中，，，，，则=______．15.已知椭圆＞＞，F为椭圆的右焦点，AB为过橢圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为______．16.设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上单调递减，且满足f（π）=1，f（2π）=2，则不等式组的解集为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.设，∈．（I）求f（x）的单调递增区间；（II）在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c，若，，求△ABC 面积的最大值．18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PD⊥平面ABC，且垂足D在棱AC上，AB=BC=，AD=1，CD=3，PD=．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．19.如图，两条相交线段AB、PQ的四个端点都在椭圆+=1上，其中，直线AB的方程为x=m，直线PQ的方程为y=x+n．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）（Ⅰ）若n=0，∠BAP=∠BAQ，求m的值；（Ⅱ）探究：是否存在常数m，当n变化时，恒有∠BAP=∠BAQ？20.已知函数f（x）=（其中a，b，c，d是实数常数，x≠-d）（1）若a=0，函数f（x）的图象关于点（-1，3）成中心对称，求b，d的值；（2）若函数f（x）满足条件（1），且对任意x0∈[3，10]，总有f（x0）∈[3，10]，求c的取值范围；（3）若b=0，函数f（x）是奇函数，f（1）=0，f（-2）=-，且对任意x∈[1，+∞）时，不等式f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求负实数m的取值范围．21.对于无穷数列{a n}，若对任意n∈N*，满足且a n≤M（M是与n无关的常数），则称数列{a n}为T数列．（1）若∈，判断数列{a n}是否为T数列，说明理由；（2）设，求证：数列{b n}是T数列，并求常数M的取值范围；（3）设数列∈，＞，问数列{c n}是否为T数列？请说明理由．3 / 17上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）5 / 17答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意作图如右图，其中α∥β，a ⊂α，b ⊂β，a ，b 异面则平面β内任一条与b 平行的直线都满足要求．故选：D ．由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，由图可知，平面β内所有与b 平行的线都满足题设中的三个条件，由此选出正确选项本题老点是空间中直线与直线之间的位置关系，考查异面直线的定义、夹角、距离等基本概念解题的关键是理解题意中的三个条件，构造出如图的图形辅助判断，本题考查了空间想象能力及推理判断的能力，全面考查了对异面直线的定义的理解 2.【答案】B【解析】解：由意题f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，那么=f 2（1）+f 2（2）+…+f 2（1010）=1010．故选：B ．根据f （x+y ）=f （x ）f （y ），且f （1）=1，可得令x=n ，y=1，可得f （n+1）=f （n ），可得f （1）=f （2）=f （3）=…=f （n ）=1，即可求解．本题考查了抽象函数的性质的应用，赋值法的计算，属于中档题． 3.【答案】B【解析】解：根据题意，依次分析4个函数：对于①，f （x ）=2x+1，有f （x+m ）-f （m ）=2（x+m ）+1-（2m+1）=2x ，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于②，f（x）=x2+2x+1=（x+1）2，则f（x+m）-f（m）=x2+2（m+1）x，设h（x）=x2+2（m+1）x，不会是奇函数，则f（x）=x2+2x+1不是“位差奇函数”；对于③，f（x）=2x，记h（x）=f（x+m）-f（m）=2x+m-2m=2m（2x-1），由h（x）+h（-x）=2m（2x-1）+2m（2-x-1）=0，当且仅当x=0等式成立，则对任意实数m，f（x+m）-f（m）都不是奇函数，则f（x）不是“位差奇函数”；对于④，，f（x+m）-f（m）=sin（x+m+）-sin（m+）=2cos（+m+）sin，可取m=，可得2cos（+π）sin=-sinx为奇函数，则f（x）是“位差奇函数”．故选：B．根据题意，结合““位差奇函数”的定义依次分析4个函数是否是“位差奇函数”，综合即可得答案．本题考查了函数中的新定义，关键是要弄清新定义的本质含义，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：如图所示，由题意可知，小圆O1总与大圆O相内切，且小圆O1总经过大圆的圆心O．设某时刻两圆相切于点A，此时动点M所处位置为点M′，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）则大圆圆弧与小圆点M转过的圆弧相等；以切点A在如图上运动为例，记直线OM与此时小圆O1的交点为M1，记∠AOM=θ，则∠OM1O1=∠M1OO1=θ，∴∠M1O1A=∠M1OO1+∠OM1O1=2θ；大圆圆弧的长为l1=θ×1=θ，小圆圆弧的长为l2=2θ×=θ，即l1=l2，∴小圆的两段圆弧与圆弧长相等，∴点M1与点M′重合，即动点M在线段MO上运动，同理可知，此时点N在线段OB上运动．点A在其他象限类似可得，M、N的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项，只有选项A符合．故选：A．根据题意知直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁逆时针方向滚动时，分析滚动过程中M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M，N运动的规律，逐一对比答案选项，即可得出结论．本题考查了函数的图象与应用问题，分析M，N的位置与大圆及大圆圆心的重合次数，以及点M转过的弧长与切点转过的弧长相等是解题的关键．5.【答案】34【解析】解：∵集合A={2，0，1，9}，B={x|x=2a，a∈A}={0，2，4，18}，∴A∪B={0，1，2，4，9，18}，∴A∪B的所有元素之和为：0+1+2+4+9+18=34．故答案为：34．先求出集合A，B，由此求出A∪B，从而能求出A∪B的所有元素之和．7 / 17本题考查并集中所有元素之和的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，可得cos（）=-=-．sinα=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin==-．故答案为：．通过两角和与差的三角函数，转化求解即可．本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，考查计算能力．7.【答案】3【解析】解：，可得1-a=0，2+b=4，解得a=1，b=2，所以a+b=3．故答案为：3．利用数列的极限的运算法则化简求解即可．本题考查数列的极限的求法，运算法则的应用，是基本知识的考查．8.【答案】-84【解析】解：由题意，2n=128，得n=7．∴（2x2-）n=（2x2-）7，其二项展开式的通项=．由14-3r=-1，得r=5．∴展开式中含项的系数是．故答案为：-84．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）9 / 17由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为-1求得r ，则答案可求．本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 9.【答案】5【解析】解：x 、y 满足的可行域如图：表示经过可行域内一点（x ，y ）与点Q （-1，0）的直线的斜率，当取直线x=1与x+y-m=0的交点A （1，m-1）时，取最大值2，即==2，得m=5，故答案为：5．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解m 即可．本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键，考查转化思想以及数形结合思想的应用． 10.【答案】（1，2）【解析】解：令f （x ）=-1，则|2x -1|=a-1．据题意，直线y=a-1与函数y=|2x -1|的图象两个不同的交点，由图可知，0＜a-1＜1，即1＜a ＜2．故答案为：（1，2）．若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f （x 1）=f （x 2）成立，则说明f （x ）在R 上不单调，分a=0及a≠0两种情况分布求解即可本题主要考查了分段函数的单调性的应用及二次函数的性质的应用，属于基础试题11.【答案】-i【解析】解：由z+i=1-zi，得（1+i）z=1-i，∴z=，∴1+z+z2+…+z2018==．故答案为：-i．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由等比数列前n项和及虚数单位i得性质求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i的性质，是基础题．12.【答案】-32【解析】解：直线经过坐标原点，是l的一个法向量，可得直线l的斜率为-3，即有直线l的方程为y=-3x，点（a n+1，a n）均在l上，可得a n=-3a n+1，即有a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，可得a3=a2q=6×（-）=-2．所以a1a2a3a4a5=（-2）5=-32．故答案为：-32．由直线的法向量可得直线的斜率和直线方程，求得a n+1=-a n，则数列{a n}为公比q为-的等比数列，运用等比数列的通项公式可得所求值．本题主要考查等比数列的定义和通项公式的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基本知识的考查与应用．上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）11 / 1713.【答案】【解析】解：1，2，3，4，5，6随机排成一列，共有A =720种，abc+def 为偶数等价于“a ，b ，c 不全为奇数，且d ，e ，f 不全为奇数“ ∴共有A -2A •A =648 所以所求概率为=故答案为：先求出基本事件种数为A =720种，再求出abc+def 为偶数的排列数648，然后根据古典概型概率公式可得．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】【解析】由，②2-①2得，所以．由，可知，==．故答案为：．先选择一组向量基底，然后把向量表示出来，最后运用平面向量的数量积进行计算．本题考查了平面向量数量积应用，以及平面向量的线性运算，属于中档题目．15.【答案】bc【解析】解：△ABF 面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，设A 到x 轴的距离为 h ，由AB 为过椭圆中心的弦，则B 到x 轴的距离也为 h ，∴△AOF 和△BOF的面积相等，故：△ABF面积等于×c×2h=ch，又h的最大值为b，∴△ABF面积的最大值是bc，故答案为：bc．△ABF面积等于△AOF 和△BOF 的面积之和，△AOF 和△BOF 的面积相等，A 到x轴的距离h应最大，又h的最大值为b，从而得到△ABF面积的最大值．本题考查椭圆的简单性质，用分割法求△ABF的面积，利用△AOF 和△BOF是同底等高的两个三角形．16.【答案】[π-2，8-2π]【解析】解：∵f（x）是以2为周期的偶函数，且f（x）在[0，1]上单调递减；∴由f（π）=1，f（2π）=2得，f（4-π）=1，f（2π-6）=2，且4-π，2π-6∈[0，1]；由1≤x≤2得，0≤2-x≤1；∴由得，；∴；解得π-2≤x≤8-2π；∴原不等式组的解集为[π-2，8-2π]．故答案为：[π-2，8-2π]．根据f（x）是以2为周期的偶函数，并且在[0，1]上单调递减，便可由f（π）=1，f （2π）=2得出f（4-π）=1，f（2π-6）=2，并且由1≤x≤2得出0≤2-x≤1，从而由1≤f（x）≤2得出f（4-π）≤f（2-x）≤f（2π-6），进而得出，解该不等式组即可．考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．17.【答案】解：（I），∈．化简可得：f（x）=sin2x-cos（2x+）=sin2x+sin2x-=sin2x-，上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）13 / 17由，k ∈Z ．可得： ≤x ≤（k ∈Z ），∴函数f （x ）的单调递增区间是：[ ，]，k ∈Z （II ）由f （）=0，即sin A -=0，可得sin A =，＜＜，∴cos A =．由余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，可得1+ bc =b 2+c 2． ∵b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时等号成立． ∴1+ bc ≥2bc ， bc ≤2 ．∴△ABC 面积的最大值S =bcSin ≤．故得三角形ABC 面积最大值为．【解析】（I ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（II）根据，求出sinA ，可得cosA ，利用余弦定理，利用基本不等式的性质求出bc 的值，可得△ABC 面积的最大值．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．同时考查了余弦定理和不等式的性质的运用，属于中档题．18.【答案】解：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E -xyz -----1’则B （，0，0），C （0，2，0），P （0，-1，）----2’于是=（- ，-1，）， =（- ，2，0）， ∵ • =（- ，-1，）•（- ，2，0）=2-2=0，∴⊥，即BP⊥BC，-------------5’∴△PBC为直角三角形------------------6’（2）由（1）可得，A（0，-2，0）于是=（0，1，），---------------------7’=（，1，-），=（0，3，-），设平面PBC的法向量为=（x，y，z）则，即，取y=1，则z=，x=，∴平面PBC的一个法向量为=（，1，）-------------------------------------------10’设直线AP与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|===，则θ=arcsin--------------12’则直线AP与平面PBC所成角的大小为arcsin-------------------------------------13’【解析】（1）建立空间坐标系，利用向量法即可证明△PBC为直角三角形；（2）求出平面的法向量，利用向量法即可求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．本题主要考查空间向量的应用，建立空间坐标系，利用向量法是解决直线和平面所成角的基本方法，考查学生的运算能力．19.【答案】（本题满分15分）解：（Ⅰ）由，解得，，，．…（2分）∵∠BAP=∠BAQ，∴k AP+k AQ=0．设A（m，y），则，化简得2my=3，…（5分）又，联立方程组，解得m=±1，或．∵AB平分∠PAQ，∴不合，∴m=±1．…（7分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由，得4y2-6ny+3n2-3=0．△=12（4-n2），，．…（9分）上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）15 / 17若存常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ，则由（Ⅰ）知只可能m =±1． ①当m =1时，取，，∠BAP =∠BAQ 等价于，即（2y 1-3）（2y 2-2n -1）+（2y 2-3）（2y 1-2n -1）=0，即4y 1y 2+3（2n +1）=2（n +2）（y 1+y 2），即3（n 2-1）+3（2n +1）=3n （n +2），此式恒成立．∴存常数m =1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（13分） ②当m =-1时，取，，由对称性同理可知结论成立．∴存常数m =±1，当n 变化时，恒有∠BAP =∠BAQ ．…（15分）【解析】（Ⅰ）由∠BAP=∠BAQ ，知k AP +k AQ =0．由此能求出m ．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由，得4y 2-6ny+3n 2-3=0．利用韦达定理结合对称性进行分类讨论，得到存在常数m ，当n 变化时，恒有∠BAP=∠BAQ ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，综合性质强，难度大，具有一定的探究性，对数学思维的要求较高． 20.【答案】解（1）∵a =0，∴．类比函数的图象，可知函f （x ）的图象的对称中心是（-d ，b ）．又∵函f （x ）的图象的对称中心（-1，3），∴．（2）由（1）知，．依据题意，对任x 0∈[3，10]，恒f （x 0）∈[3，10]． ①c =3，f （x ）=3，符合题意．②c ≠3，c ＜3时，对任x ∈[3，10]，恒＜，不符合题意．所c ＞3，函[3，10]上是单调递减函数，且满f （x ）＞3．因此，当且仅f （3）≤10，即3＜c ≤31时符合题意．综上，所实数c 的范围3≤c ≤31．（3）依据题设，解于是．由＜＜，得＜，∴（2x2-1）m2＞1∵m＜0∴m＜-．因此，＜．∵函数y=-在[1，+∞）是增函数，∴y min=y（1）=-1．∴所求负实数m的取值范围m＜-1．故答案为m＜-1．【解析】（1）利用反比例函数的对称性类比即可；（2）分情况讨论f（x）的范围；（3）先根据条件确定f（x）的解析式，再利用不等式和函数单调性求出m的取值范围．本题主要考察利用函数奇偶性，对称性求解析式，恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解21.【答案】（1）解：由，得a n+a n+2-2a n+1==．当n为偶数时，＞，∴数列{a n}不是T数列；（2）证明：∵b n+1-b n=50（n+1）--50n+=50-，∴当50-≥0，即n≤11时，b n+1-b n＞0，此时数列b n单调递增．当n≥12时，b n+1-b n＜0，此时数列b n单调递减．故数列b n的最大项是b12，∴M的取值范围是M≥600-；上海市格致中学2019届高三10月月考数学考试试题（解析版）17 / 17（3）①当1＜p ≤2时，当n =1时c 1=p -1，c 2=1-，c 3=1-，由c 1+c 3-2c 2=-2≤0，得p ≤，即当1＜p ≤时符合．若n ≥2，则 ≤1，此时，于是c n +c n +2-2c n +1=（1- ）+（1- ）-2（1- ）=＜0．又对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，∴当1＜p ≤时数列c n 是T 数列； ②当2＜p ≤3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=1-，由＞0，∴2＜p ≤3时数列c n 不是T 数列； ③当p ＞3时，取n =1，则c 1=p -1，c 2=-1，c 3=-1，由c 1+c 3-2c 2=＞0，∴p ＞3时数列c n 不是T 数列．综上：当1＜p ≤，时数列c n 是T 数列；当p ＞时，数列c n 不是T 数列．【解析】（1）由，得a n +a n+2-2a n+1，整理后可知当n 为偶数时，则数列{a n }不是T 数列；（2）由b n+1-b n=50-，得到n≤11时，b n+1-b n ＞0，此时数列b n 单调递增．当n≥12时，b n+1-b n ＜0，此时数列b n 单调递减，故数列b n 的最大项是b 12，由此能求出M 的取值范围；（3）当1＜p≤2时，对于n ∈N *有c n =|-1|＜1，可得当1＜p≤时数列c n 是T 数列；当2＜p≤3时，数列c n 不是T 数列．当p ＞3时，数列c n 不是T 数列．本题考查数列的函数特性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．。

2019届上海市高考模拟卷(三)数学试题(解析版)

2019届上海市高考模拟卷（三）数学试题一、单选题1．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3，由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．2．已知集合{(,)|||||1}P x y x y =+…，{}22(,)|1Q x y x y =+…，则有（）A ．P Q =B ．PQ C ．P Q P = D ．P Q Q ⋂=【答案】B【解析】根据两个集合分别表示的平面区域分析可得答案. 【详解】因为{(,)|||||1}P x y x y =+…表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)--的正方形围成的区域(包括边界),而{}22(,)|1Q x y x y =+…表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以P Q .故选:B 【点睛】本题考查了集合之间的真子集关系,属于基础题.3．将向量1a =(1x ，1y )，2a =(2x ，2y )，…n a =(n x ,n y )组成的系列称为向量列{n a }，并定义向量列{n a }的前n 项和12n n S a a a =++⋅⋅⋅+．如果一个向量列从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列。

若向量列{n a }是等差向量列，那么下述四个向量中，与21S 一定平行的向量是 ( ) A ．10a B ．11aC ．20aD ．21a【答案】B【解析】依题意，当{}n a 为等差向量列时，设每一项与前一项的差都等于d ，则可求出通项公式1(1)n a a n d =+- ，所以{}n a 前21项和211221111111()(20)2121021S a a a a a d a d a d a =+++=+++++=+= ，故与21S 平行的向量是11a ，选B.点睛: 本题主要考查新定义: 等差向量列的理解和应用, 属于中档题. 解题思路：设每一项与前一项的差都等于d ，运用类似等差数列的通项和求和公式，计算可得211121S a =，由向量共线定理，可得出结论. 考查类比的数学思想方法和向量共线定理的运用.4．设集合A ＝[0，12)，B ＝[12，1]，函数()()1,221,x x Af x x x B⎧+∈⎪=⎨⎪-∈⎩，若x 0∈A ，且f[f(x 0)]∈A ，则x 0的取值范围是( ) A ．(0，14] B ．(14，12) C ．(14，12] D ．[0，38]【答案】B 【解析】【详解】 ∵x 0∈A ，∴f(x 0)＝x 0＋12∈B. ∴f[f(x 0)]＝f(x 0＋12)＝2(1－x 0－12)＝1－2x 0. 又因为f[f(x 0)]∈A ，∴0≤1－2x 0<12，解得14<x 0≤12，又0≤x 0<12.∴14<x 0<12，故选B.二、填空题5．函数sin cos cos sin 44y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期T =___________.【答案】π【解析】利用两角和的正弦公式化简函数表达式，由此求得函数的最小正周期. 【详解】依题意ππsin sin 244y x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数的周期2ππ2T ==. 故填：π. 【点睛】本小题主要考查两角和的正弦公式，考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.6．若函数21()12x f x =，(0,)x ∈+∞，则其反函数1()f x -=_________.【答案】2log (1)1x +-,(1,)x ∈+∞【解析】计算二阶行列式化简()f x ,再根据求反函数的步骤可求得反函数. 【详解】因为21()12x f x =1221121x x +=⨯-⨯=-,因为x ∈(0,)+∞,所以()(1,)f x ∈+∞, 所以由121x y +=-得21log (1)x y +=+,所以2log (1)1x y =+-,交换,x y 可得2log (1)1y x =+-, 所以12()log (1)1fx x -=+-,(1,)x ∈+∞,故答案为:2log (1)1x +-, (1,)x ∈+∞. 【点睛】本题考查了二阶行列式的计算,反函数的求法,属于基础题.7．在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为 .【答案】1516【解析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144rrr r r r r T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以该项系数为1516.【考点】二项式定理及二项展开式的通项.8．过原点且与圆22420x y x y ++-=相切的直线方程为_______. 【答案】20x y -=【解析】切线的斜率显然存在,设出切线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,列方程可解得答案. 【详解】由22420x y x y ++-=得22(2)(1)5++-=x y ,所以圆心为(2,1)-,因为圆心到y 轴的距离为2,所以所求切线的斜率一定存在, 所以设所求切线方程为y kx =,即0kx y -=,=解得2k =,所以所求切线方程为20x y -=. 故答案为:20x y -=. 【点睛】本题考查了求圆的切线方程,属于基础题.9．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓放粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为__________石；（结果四舍五入，精确到各位）．【答案】169【解析】根据古典概型概率公式可得这批米内夹谷的概率约为28254，所以这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故答案为169. 10．抛物线x 2=2py （p ＞0）的焦点为F ，其准线与双曲线-=1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p=___________. 【答案】6【解析】因为抛物线x 2=2py 的准线2py =-和双曲线-=1相交交点横坐标为=, 6.2x p p =∴=由等边三角形得解得【考点】本题主要考查抛物线的概念、标准方程、几何性质，考查分析问题解决问题的能力.11．若复数z x yi =+（x ，y ∈R ，i 为虚数单位）满足|||22|z z i =--，则33x y +的最小值为_______. 【答案】6【解析】根据复数模的计算公式将|||22|z z i =--化为2y x =-,将其代入到33x y +后,利用基本不等式可求得答案. 【详解】由|||22|z z i =--=化简得2x y +=,即2y x =-, 所以33x y +233x x -=+932363x x =+≥=⨯=,当且仅当 1.1x y ==时等号成立. 故答案为:6 【点睛】本题考查了复数的模的公式,基本不等式求最小值,属于基础题. 12．一个等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为．【答案】11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：设数列的首项为1a ，公差为d ，()()1211,21n n a a n d a a n d ∴=+-=+-1212n n a a d nd a a d nd-+∴=-+ 2n n a a 是一个与n 无关的常数10a d ∴-=或0d =，所以比值常数为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【考点】等差数列通项公式13．已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若3AB =，4AC =，AB AC ⊥，112AA =，则球的表面积为______.【答案】169π【解析】把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，由长方体的对角线长等于球的直径，求得球的半径，再利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC ∆为直角三角形，可把直三棱柱111ABC A B C -的补成一个长方体，则直三棱柱111ABC A B C -的外接球和长方体的外接球是同一个球，又由长方体的对角线长等于球的直径，且13,4,12AB AC AA ===，即213R ===，即132R =，所以球的表面积为221344()1692S R πππ==⨯=．故答案为：169π 【点睛】本题主要考查了直三棱柱与球的组合体问题，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．新一季“中国好声音”开唱，开场节目是四位导师各选一首自己的代表作供其他导师演唱，每人恰好都是唱别人的歌.假设四首歌已选定，则有______种不同演唱方式. 【答案】9【解析】将问题转化为四个元素填四个空的全错位排列后,再按照元素1的位置分3类讨论计算结果相加即可得到. 【详解】将四位导师抽象为四个元素,设为1,2,3,4,四首歌抽象为四个空位,设为1,2,3,4,依题意转化为四个元素填四个空的全错位排列,第一类:元素1填在2号空位,则元素2有3种填法,元素3,4填法唯一,此时共有3种填法; 第二类,元素1填在3号空位,则元素3有3种填法,元素2,4填法唯一,此时共有3种填法;第三类,元素1填在4号空位,则元素4有3种填法,元素2,3填法唯一,此时共有3种填法; 根据分类计算原理可得共有3+3+3=9种填法. 综上所述,共有9种不同的演唱方式. 故答案为:9 【点睛】本题考查了有限制条件的排列问题,属于中档题.15．若函数()2(1)y x x ax b =+++的图象关于点()20，成中心对称，则a b +=______. 【答案】3【解析】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,求出它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -后,代入()2(1)y x x ax b =+++,解方程组可得答案.【详解】在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上取两点(1,0)-,(0,)b ,则它们关于点(2,0)对称的点(5,0),(4,)b -也在函数()2(1)y x x ax b =+++的图象上, 即(51)(255)0(41)(164)a b a b b +++=⎧⎨+++=-⎩,即52510340a b a b +=-⎧⎨+=-⎩,解得7,10a b =-=,所以3a b +=. 故答案为:3 【点睛】本题考查了函数图象的对称中心的性质,属于基础题.16．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足·2OA OB OAOB===，由点集{|,1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是__________．【答案】【解析】【详解】由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝3π，又A ，B 是两定点，可设A 1)，B (0,2)，P (x ，y )，由OP ＝λOA ＋μOB，可得{2x y λμ，＝＋⇒{26x y x λμ==-.因为|λ|＋|μ|≤1x＋2y x -≤1，等价于由可行域可得S 0＝12×P 所表示的区域面积S ＝4S 0＝三、解答题17．已知(sin ,1)a α=，(cos ,2)b α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （1）若//a b ，求sin 2α的值；（2）在（1）的条件下，若5cos()13αβ+=，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sinβ的值. 【答案】(1)45,(2)65【解析】(1)由//a b 可得1tan 2α=,再由万能公式可得sin 2α的值, (2)利用sin sin()βαβα=+-sin()cos cos()sin αβααβα=+-+可得答案. 【详解】(1)因为 //a b ,所以2sin cos 0αα-=,即1tan 2α=, 所以2222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 1ααααααααα===++2124215()12⨯==+. (2)由(1)知,cos 2sin αα= ,且(0,)2πα∈,所以22sin (2sin )1αα+=,所以21sin 5α=,所以sin α,cos α=, 又(0,)2πβ∈,所以(0,)αβπ+∈,所以12sin()13αβ+===, 所以sin sin()sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+1251313=-=【点睛】本题考查了向量平行的坐标表示,二倍角的正弦公式,同角公式,两角差的正弦公式,属于基础题.18．如图，正四棱锥P ABCD -内接于圆锥，圆锥的轴截面是边长为10cm 的正三角形.（1）求异面直线PA 与BC 所成角的大小；（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到30.1cm ）【答案】(1)arccos4,(2)382.3cm .【解析】(1)根据//AD BC 可知, PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在三角形PAD 中由余弦定理可求得,(2)用圆锥的体积减去正四棱锥的体积即可得到答案. 【详解】(1)在正四棱锥P ABCD -中,//AD BC ,所以PAD ∠就是异面直线P A 与BC 所成的角,在正方形ABCD 中,10AC =,所以AD =, 在三角形PAD 中,10PA PD ==,所以222cos2PA AD PD PAD PA AD +-∠=⨯⨯2224==,所以PAD ∠=,所以异面直线P A 与BC 所成角的大小为.(2)在直角三角形PAO 中,PO ===所以圆锥的体积211133V PO AO π=⋅⋅⋅=⨯25⨯=,正四棱锥P ABCD -的体积221133V PO AD =⋅⋅=⨯23=,所以需要削去部分的体积为12(2)333V V π-=-=-82.3≈. 所以需要削去部分的体积约为82.33cm . 【点睛】本题考查了正四棱锥的结构特征,异面直线所成角,椎体的体积公式,属于中档题. 19．首项为12的无穷等比数列{}n a 所有项的和为1，n S 为{}n a 的前n 项和，又()25log 1n n b S t +-=，常数*t N ∈，数列{}n c 满足n n n c a b =⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n c 是递减数列，求t 的最小值. 【答案】(1)12n na =,(2)1【解析】(1)根据无穷等比数列{}n a 所有项的和为1,求出公比12q =,再根据等比数列的通项公式可得;(2)求出n S 后代入可得5n b n t =+,1(5)2n n c n t =+⋅,然后根据数列递减可得10n n c c +-<恒成立,由不等式恒成立可得答案.【详解】(1)设无穷等比数列{}n a 的公比为q ,则111a q =-,所以1211q=-,解得12q =,所以111111()222n n n n a a q--==⨯=, (2)因为11(1)22112n n S -=-112n =-,所以215log (11)2n n b t +-+=, 所以5n b n t =+,所以1(5)2n n n n c a b n t ==+⋅,因为{}n c 是递减数列, 所以1111(55)(5)22n n n n c c n t n t ++-=++⋅-+⋅11(55102)2n n t n t +=++--⋅ +11(55)2n n t =--⋅0< 恒成立,所以550n t --<恒成立,所以55t n >-+恒成立,因为()55f n n =-+为递减函数,所以1n =时,()f n 取得最大值(1)550f =-+=, 所以0t >,又因为*t N ∈,所以t 的最小值为1. 【点睛】本题考查了无穷等比数列的和,等比数列的通项公式和前n 项和,数列的单调性,属于中档题.20．设S 、T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①{()|}T f x x S =∈；②对任意1x ，2x S ∈，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试写出集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”；（2）求证：不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”；（3）已知2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”，求s 和t 的最大值.【答案】(1) ()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,(2)证明见解析,(3)s 的最大值为1,t 的最大值为12【解析】(1)直接由题意写出()tan()2f x x ππ=-(01)x <<即可;(2)用反证法证明即可;(3)用定义证明()f x 在[0,1]上递增,在[1,)+∞上递减后,可得1s ≤,(1)t f ≤. 【详解】(1)取()tan()2f x x ππ=-(01)x <<,该函数是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”; 证明:任取1201x x <<<, 则122222x x ππππππ-<-<-<,因为tan y x =在(,)22ππ-上为增函数,所以12tan()tan()22x x ππππ-<-, 即12()()f x f x <,由定义可知, 函数()tan()2f x x ππ=-是集合{|01}A x x =<<到集合R 的一个“保序同构函数”.(2)证明:假设存在一个从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”,由“保序同构函数”的定义可知,集合Z 和集合Q 中的元素必须是一一对应的,不妨设整数0和1在Q 中的像分别为a 和b ,根据保序性,因为0<1,所以a b <,又2a b +也是有理数,但是2a b+没有确定的原像,因为0和1之间没有另外的整数了,故假设不成立,故不存在从集合Z 到集合Q 的“保序同构函数”.(3)设120x x <<,则12122212()()11x x f x f x x x -=-++21122212()(1)(1)(1)x x x x x x --++, 所以当1201x x <<≤时,21120,10x x x x ->-<,所以12())0(f x f x -<,即12()()f x f x <,所以()f x 在[0,1]上递增,当211x x >≥时, 21120,10x x x x ->->,所以12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >, 所以()f x 在[1,)+∞上递减, 因为2()1xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 的“保序同构函数”,所以()f x 在[0,]s 上递增,所以1s ≤,所以s 的最大值为1,t 的最大值为11(1)112f ==+. 【点睛】本题考查了正切函数的单调性,函数单调性的定义,利用单调性求函数的最值,属于难题.。

2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题(解析版)

2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题一、单选题1．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a ia i+-为纯虚数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】试题分析：22222()()1212()()111a i a i a i a ai a a i a i a i a i a a a +++-+-===+--++++，∵a ia i+-为纯虚数，∴22101a a -=+且2201a a ≠+，∴1a =±，∴“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的充分不必要条件．【考点】充分必要条件、复数的运算、纯虚数的概念． 2．将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A ．12t =，s 的最小值为6πB ．3t =，s的最小值为6πC ．12t =，s 的最小值为3πD ．3t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.3．对任意实数,a b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩，设()21()(4)f x x x =⊗+-，若函数()y f x k =+ 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．(2,1)- B ．[0,1]C ．[2,0)-D ．[2,1)-【答案】D【解析】由题意可得24,(,2][3,)()1,(2,3)x x f x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩，画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知，12,21k k -<-≤-≤<，选D.【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x),所以只需画出函数y=f(x)与y=-k 的图像，两图像有几个交点，就有几个零点。

上海市格致中学20182019学年高三下学期月考数学试卷解析版.docx

上海市格致中学2018-2019学年高三下学期3月月考数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=2+3，a 3=4+5+6，a 4=7+8+9+10，…，则a 10=（）A. 610B. 510C. 505D. 7502. 已知平面向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为三个单位向量，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （x ，y ∈R ），则x +y 的最大值为（） A. 1 B. √2 C. √3 D. 2 3. 已知函数：①f （x ）=3ln x ； ②f （x ）=3e cos x ； ③f （x ）=3e x ； ④f （x ）=3cos x ．其中对于f （x ）定义域内的任意一个自变量x 1都存在唯一一个自变量x 2，使√f(x 1)f(x 2)=3成立的函数是（）A. ③B. ②③C. ①②④D. ④4. 设[x ]表示不超过x 的最大整数（如[2]=2，[54]=1），对于给定的n ∈N *，定义C nx =n(n−1)…(n−[x]+1)x(x−1)⋯(x−[x]+1)，x ∈[1，+∞），则当x ∈[32，3)时，函数C 8x的值域是（） A. [163,28]B. [163,56)C. (4,283)∪[28,56)D. (4,163]∪(283,28]二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5. 在复平面内，复数21+i （i 为虚数单位）对应的点与原点的距离是______． 6. 将参数方程{y =2sinθx=1+cosθ（θ为参数）化为普通方程，所得方程是______ 7. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是两个非零向量，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ -b ⃗ |，则a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角大小为______．8. 若函数y =tanωx 在（-π，π）上是递增函数，则ω的取值范围是______ 9. 行列式∣∣∣∣14−1271−1x 5∣∣∣∣中x 的系数是______10. 如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，SD =PD =6，CR =SC ，AQ =AP ，点S ，D ，A ，Q 及P ，D ，C ，R 共线，沿图中虚线将它们折叠，使P ，Q ，R ，S 四点重合，则需要______个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．11. 在均匀分布的条件下，某些概率问题可转化为几何图形的面积比来计算，勒洛三角形是由德国机械工程专家勒洛首先发现，作法为：以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为______12. 平面上的整点（横、纵坐标都是整数）到直线y =53x +45的距离中的最小值是______． 13. 设定义域为R 的函数f （x ）、g （x ）都有反函数，且函数f （x -1）和g -1（x -3）图象关于直线y =x 对称，若g （5）=2015，则f （4）=______14. 已知实数a 、b 、c 成等差数列，点P （-3，0）在动直线ax +by +c =0（a 、b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为（2，3），则|MN |的取值范围是______ 15. 数列{a n }中，a 1=2，a 2=7，a n +2等于a n •a n +1的个位数，则a 2019=______16. 已知函数f （x ）满足：①对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；②当x ∈（1，2]时，f （x ）=2-x ．若f （a ）=f （2020），则满足条件的最小的正实数a 是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC =1，点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F ．（1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求证：PB ⊥平面EFD ．18. 已知复数z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i （λ，m ，x ∈R ），且z 1=z 2．（1）若λ=0且0＜x ＜π，求x 的值；（2）设λ=f （x ）；①求f （x ）的最小正周期和单调递减区间；②已知当x =α时，λ=12，试求cos(4α+π3)的值．19. 双曲线C 与椭圆x 28+y 24=1有相同的焦点，直线y =√3x 为C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l ，交双曲线C 于A 、B 两点，交x 轴于Q 点（Q 点与C 的顶点不重合），当PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ2QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，且λ1+λ2=−83时，求Q 点的坐标．20.对于两个定义域相同的函数f（x），g（x），若存在实数m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），则称函数h（x）是由“基函数f（x），g（x）”生成的．（1）若f（x）=x2+3x和个g（x）=3x+4生成一个偶函数h（x），求h（2）的值；（2）若h（x）=2x2+3x-1由函数f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范围；（3）利用“基函数f（x）=log4（4x+1），g（x）=x-1”生成一个函数h（x），使之满足下列件：①是偶函数；②有最小值1；求函数h（x）的解析式并进一步研究该函数的单调性（无需证明）．21.设数列{a n}满足a n2=a n+1a n-1+λ（a2-a1）2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．（1）若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m•a n≥n-r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；（3）若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵a1中有一个数字，a2中有两个数字，…，a9中有九个数字，∴前九项一共有1+2+3+…+9=45个数字，∴a10=46+47+48+…+55=505，故选：C．根据第一项由一个数组成，第二项有两个数组成，第三项有三个数组成，以此类推第九项有九个数组成，在第十项之前一共出现1+2+3+…+9=45个数字，所以第十项是从46到55这些数字的和．对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力2.【答案】B【解析】解：∵、为三个单位向量，且，将（x，y∈R）两边平方，得=2+2+2xy，所以x2+y2=1，∵（x+y）2=x2+y2+2xy≤2（x2+y2）=2，∴x+y≤，所以x+y最大值为．故选：B．由已知，将（x，y∈R）两边平方后整理得x2+y2=1，进而根据基本不等式可得x+y的最大值．本题考查的知识点是平面向量的基本定理，基本不等式，其中根据已知分析出x2+y2=1是解答的关键．3.【答案】A【解析】解：在①f（x）=3lnx中，∵f（1）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故①不成立；在②f（x）=3e cosx中，∵函数不是单调函数，∴对于定义域内的任意一个自变量x1，使=3成立的自变量x2不唯一，故②不成立；在③f（x）=3e x中，函数是单调函数，且函数值不为0，故定义域内的任意一个自变量x1都存在唯一一个自变量x2，使=3成立，故③成立；在④f（x）=3cosx中，∵f（）=0，∴不存在自变量x2，使=3成立，故④不成立．故选：A．在①f（x）=3lnx中，f（1）=0，在④f（x）=3cosx中，f（0）=0，不存在自变量x2，使=3成立；在②f（x）=3e cosx中，函数不是单调函数；在③f（x）=3e x 中，函数是单调函数，且函数值不为0，由此能求出结果．本题考查满足条件的函数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.【答案】D【解析】解：当x∈时，，当x→2时，[x]=1，所以；当[2，3）时，，当x→3时，[x]=2，，故函数C8x的值域是．故选：D．将区间分为[，2）、[2，3）两段分别考虑进行求值．本题主要考查已知函数解析式求函数值域的问题．求函数值域有时需要进行分段考虑．5.【答案】√2【解析】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（1，-1），与原点的距离是．故答案为：．利用复数代数形式乘除运算化简求得复数对应的点的坐标，再由两点间的距离公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．6.【答案】4（x-1）2+y2=4【解析】解：由消去参数得（x-1）2+=1．故答案为：4（x-1）2+y2=4．根据平方关系式消去参数可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题．7.【答案】π6【解析】解：如图．设，，则，，根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，菱形的一条对角线同边相等．△OAB为正三角形，，，即与+的夹角大小为故答案为：根据||=||=|-|，得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形，且一条对角线等于边长，得到特殊的关系．大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．8.【答案】（0，1]2【解析】解：∵根据题设可知ω＞0，又函数y=tanωx（ω＞0）在（-π，π）上是递增函数，∴kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，∴求得ω≤，且ω≤k，k∈Z，∴可得：ω≤，∴ω的取值范围为（0，]．故答案为：（0，]．根据题设可知ω＞0，利用正切函数的单调性，可得kπ-≤ω•（-π），且ω•π≤+kπ，k∈Z，由此求得ω的取值范围．本题主要考查正切函数的单调性，属于基础题．9.【答案】-3【解析】解：行列式=35-2x-4-7-x-40=-3x-16．∴行列式中x的系数是-3．故答案为：-3．利用行列式展开式能求出行列式中x的系数．本题考查行列式中未知数的系数的求法，考查行列式展开式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】24【解析】解：把该几何体沿图中虚线将其折叠，使P，Q，R，S四点重合，所得几何体为下图中的四棱锥，且底面四边形ABCD为边长是6的正方形，侧棱PD⊥平面ABCD，PD=6∴V四棱锥P-ABCD=×6×6×6=72∵棱长为12的正方体体积为12×12×12=1728∵，∴需要24个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体．故答案为24先把判断几何体的形状，把展开图沿虚线折叠，得到一个四棱锥，求出体积，再计算棱长为12的正方体的体积，让正方体的体积除以四棱锥的体积，结果是几，就需要几个四棱锥．本题主要考查了根据空间几何体的展开图判断原几何体形状，以及几何体体积的计算，考查了学生的识图能力以及空间想象力．11.【答案】√32(π−√3)【解析】解：设正三角形的边长为1，则正三角形的面积为，三段曲边三角形的面积为3×（S扇形-S正三角形）=3×（×1×-）=-，在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为=．故答案为：．利用扇形面积公式和正三角形面积公式求得曲边三角形的面积后，根据几何概型的概率公式可得．本题考查了几何概型，属中档题．12.【答案】√3485【解析】解：直线即25x-15y+12=0，设平面上点（x，y）到直线的距离为d，则d==，∵5x-3y+2为整数，故|5（5x-3y+2）+2|≥2，当且仅当x=-1、y=-1或x=2，y=4时，取到最小值2，故所求的距离的最小值为d==；故答案为：设出整点的坐标，利用点到直线的距离公式表示出距离．根据绝对值的意义看出最小值本题考查解析几何与点与直线的距离的综合应用，本题解题的关键是利用点到直线的距离公式表示出要求的最值，根据绝对值求出结果．13.【答案】2018【解析】解：解：设g-1（x-3）=y则g（g-1（x-3））=g（y）∴x-3=g（y）∴x=g（y）+3得y=g（x）+3（为g-1（x-3）的反函数）又∵f（x-1）与g-1（x-3）的图象关于直线y=x对称∴f（x-1）=g（x）+3又g（5）=2015∴f（4）=f（5-1）=g（5）+3∴f（4）=2015+3=2018故填：2018．根据函数f（x-1）和g-1（x-3）图象关于直线y=x对称可得函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数，故可令g-1（x-3）=y求出其反函数y=g（x）+3 则f（x-1）=g（x）+3然后令x=5再结合g（5）=2015即可得解．本题主要考察反函数的定义和性质．解题的关键是要利用互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称得出函数f（x-1）和g-1（x-3）互为反函数然后依次得出f（x-1）=g（x）+3，本题属于中档题．14.【答案】[5−√5，5+√5]【解析】解：∵实数a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，∴动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，变形为a（2x+y）+c（y+2）=0，令，解得．∴动直线l过定点：Q（1，-2）．∴点M在以PQ为直径的圆上，圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r==．∴|MN|的最大值=|CN|+r=+=5+．|MN|的最小值=-=5-．故答案为：[5-，5+]．实数a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，于是动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直线系可得：动直线l过定点：Q（1，-2）．因此点M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r．则线段MN长度的最大值=|CN|+r．最小值=|CN|-r．本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．15.【答案】4【解析】解：∵已知a1=2，a2=7，a n+2等于a n a n+1（n∈N*）的个位数，∴a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，…，可以看出：从a9开始重复出现从a3到a8的值：4，8，2，6，2，2．因此a n=a n+6（n≥3，n∈N+）．∴a2019=a3+6×336=a3=4．故答案为：4．根据题意可得：由数列的递推公式可得a3=4，a4=8，a5=2，a6=6，a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，据此可得到数列的一个周期为6，进而可得a2019=a3+336×6=a3，即可得答案．本题考查数列的递推公式以及数列的周期，关键是分析数列{a n}的周期，属于基础题．16.【答案】36【解析】解：取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1-x，其中，m=0，1，2，…f（2020）=210f（）=211-2020=28=f（a）设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28∴a=2m+1-28∈（2m，2m+1）即m≥5即a≥36∴满足条件的最小的正实数a是36故答案为：36取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2-，从而f（x）=2m+1-x，根据f （2020）=f（a）进行化简，设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1-a=28求出a的取值范围．本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了计算能力，分析问题解决问题的能力，转化与划归的思想，属于中档题．17.【答案】证明：（1）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵点E是PC的中点，∴OE∥PA，∵OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，∴PA∥平面EDB．（2）∵PD =DC =1，点E 是PC 的中点， ∴DE ⊥PC ，∵底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，又PD ∩DC =D ， ∴BC ⊥平面PDC ，∴DE ⊥BC ，∵PC ∩BC =C ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE ⊥PB ， ∵EF ⊥PB ，EF ∩DE =E ， ∴PB ⊥平面EFD ．【解析】（1）连结AC 、BD ，交于点O ，连结OE ，推导出OE ∥PA ，由此能证明PA ∥平面EDB ．（2）推导出DE ⊥PC ，PD ⊥BC ，CD ⊥BC ，从而DE ⊥BC ，进而DE ⊥平面PBC ，DE ⊥PB ，再由EF ⊥PB ，能证明PB ⊥平面EFD ．本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、是中档题．18.【答案】解：由z 1=sin2x +λi ，z 2=m +(m −√3cos2x)i （λ，m ，x ∈R ），且z 1=z 2．得{m =sin2xλ=m −√3cos2x．（1）若λ=0且0＜x ＜π，则sin2x =√3cos2x ，即tan2x =√3，∴x =π6或2π3；（2）①λ=f(x)=2sin(2x −π3)，则T =π，由π2+2kπ≤2x −π3≤3π2+2kπ，得kπ+5π12≤x ≤11π12+kπ，k ∈Z ．∴f （x ）的单调递减区间为[kπ+5π12，kπ+11π12]，k ∈Z ；②由题意，12=2sin(2α−π3)，∴sin （π3−2α）=−14，即cos （π6+2α）=-14．∴cos(4α+π3)=2cos 2(π6+2α)−1=2×(−14)2−1=−78．【解析】利用复数相等的条件可得．（1）由已知得sin2x=，得到即tan2x=，进一步求得x 值；（2）①λ=，由周期公式求周期，再由符合函数的单调性求f（x ）的单调递减区间； ②由题意，，得到sin （）=，利用诱导公式求得cos（）=-，再由倍角公式求．本题考查复数相等的条件，考查y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．19.【答案】解：（Ⅰ）设双曲线方程为x 2a 2−y2b2=1 由椭圆x 28+y 24=1求得两焦点为（-2，0），（2，0），∴对于双曲线C ：c =2，又y =√3x 为双曲线C 的一条渐近线 ∴ba =√3解得a 2=1，b 2=3， ∴双曲线C 的方程为x 2−y 23=1（Ⅱ）由题意知直线l 得斜率k 存在且不等于零，设l 的方程：y =kx +4，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）则Q(−4k ，0) ∵PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(−4k ，−4)=λ1(x 1+4k ，y 1)． ∴λ1=−4kx 1+4k=−4kx1+4同理λ2=-4kx2+4，所以λ1+λ2=−4kx 1+4−4kx 2+4=−83．即2k 2x 1x 2+5k （x 1+x 2）+8=0．（*）又y =kx +4以及x 2−y 23=1消去y 得（3-k 2）x 2-8kx -19=0．当3-k 2=0时，则直线l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3-k 2≠0．由韦达定理有：x 1+x 2=8k3−k 2x 1x 2=−193−k 2代入（*）式得k 2=4，k =±2∴所求Q 点的坐标为（±2，0）．【解析】（1）先求出椭圆的焦点找到双曲线中的c ，再利用直线为C 的一条渐近线，求出a 和b 的关系进而求出双曲线C 的方程；（2）先把直线l 的方程以及A 、B 两点的坐标设出来，利用，找到λ1和λ2与A 、B 两点的坐标和直线l 的斜率的关系，再利用A 、B 两点是直线和双曲线的交点以及，求出直线l 的斜率k 进而求出Q 点的坐标．本题综合考查了直线与双曲线的位置关系以及向量共线问题．在对圆锥曲线问题的考查上，一般都是出中等难度和高等难度的题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．20.【答案】解：（1）设h （x ）=m （x 2+3x ）+n （3x +4）=mx 2+3（m +n ）x +4n ，∵h （x ）是偶函数，∴m +n =0，∴h （2）=4m +4n =0；（4分）（2）设h （x ）=2x 2+3x -1=m （x 2+ax ）+n （x +b ）=mx 2+（am +n ）x +nb∴{m =2am +n =3nb =−1得{a =3−n2b =−1n∴a +2b =3−n 2-2n =32-n 2-2n（8分）由ab ≠0知，n ≠3，∴a +2b ∈(−∞，−12)∪(72，+∞)（11分）（3）设h （x ）=m log 4（4x +1）+n （x -1）∵h （x ）是偶函数，∴h （-x ）-h （x ）=0，即m log 4（4-x +1）+n （-x -1）-m log 4（4x +1）-n （x -1）=0 ∴（m +2n ）x =0得m =-2n （13分）则h （x ）=-2n log 4（4x +1）+n （x -1）=-2n [log 4（4x +1）-12x +12]=-2n [log 4（2x +12x ）+12] ∵h （x ）有最小值1，则必有n ＜0，且有-2n =1∴m =1．n =−12 ∴h （x ）=log 4（2x +12x ）+12h （x ）在[0，+∞）上是增函数，在（-∞，0]上是减函数．（18分）【解析】（1）先用待定系数法表示出偶函数h （x ），再根据其是偶函数这一性质得到引入参数的方程，求出参数的值，即得函数的解析式，代入自变量求值即可．（2）先用待定系数法表示出偶函数h （x ），再根据同一性建立引入参数的方程求参数，然后再求a+2b 的取值范围；（3）先用待定系数法表示出函数h （x ），再根据函数h （x ）的性质求出相关的参数，代入解析式，由解析研究出其单调性即可本题考点是函数的奇偶性与单调性综合，考查了利用偶函数建立方程求参数以及利用同一性建立方程求参数，本题涉及到函数的性质较多，综合性，抽象性很强，做题时要做到每一步变化严谨，才能保证正确解答本题．21.【答案】解：（1）由题意，可得a n2=（a n +d ）（a n -d ）+λd 2，化简得（λ-1）d 2=0，又d ≠0，所以λ=1．（2）将a 1=1，a 2=2，a 3=4，代入条件，可得4=1×4+λ，解得λ=0，所以a n 2=a n +1a n -1，所以数列{a n }是首项为1，公比q =2的等比数列，所以a n =2n -1．欲存在r ∈[3，7]，使得m •2n -1≥n -r ，即r ≥n -m •2n -1对任意n ∈N *都成立，则7≥n -m •2n -1，所以m ≥n−72n−1对任意n ∈N *都成立．令b n =n−72n−1，则b n +1-b n =n−62n -n−72n−1=8−n2n ，所以当n ＞8时，b n +1＜b n ；当n =8时，b 9=b 8；当n ＜8时，b n +1＞b n ．所以b n 的最大值为b 9=b 8=1128，所以m 的最小值为1128；（3）因为数列{a n }不是常数列，所以T ≥2，①若T =2，则a n +2=a n 恒成立，从而a 3=a 1，a 4=a 2，所以{a 12=a 22+λ(a 2−a 1)2a 22=a 12+λ(a 2−a 1)2，所以λ（a 2-a 1）2=0，又λ≠0，所以a 2=a 1，可得{a n }是常数列，矛盾．所以T =2不合题意．②若T =3，取a n ={1，n =3k −22，n =3k −1−3，n =3k(k ∈N ∗)（*），满足a n +3=a n 恒成立．由a 22=a 1a 3+λ（a 2-a 1）2，得λ=7．则条件式变为a n 2=a n +1a n -1+7．由22=1×（-3）+7，知a 3k -12=a 3k -2a 3k +λ（a 2-a 1）2；由（-3）2=2×1+7，知a3k2=a3k-1a3k+1+λ（a2-a1）2；由12=2×（-3）+7，知a3k+12=a3k a3k+2+λ（a2-a1）2；所以，数列（*）适合题意．所以T的最小值为3．【解析】（1）由等差数列的通项公式，化简可得（λ-1）d2=0，又d≠0，可得所求值；（2）求得λ=0，数列{a n}是首项为1，公比q=2的等比数列，运用等比数列的通项公式，可得存在r∈[3，7]，使得m•2n-1≥n-r，即r≥n-m•2n-1对任意n∈N*都成立，由参数分离可得m的最小值；（3）由题意可得T≥2，讨论T=2，T=3，根据条件，推理得到结论．本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，以及数列不等式恒成立问题和周期数列的判断和证明，考查化简整理的运算能力，属于中档题．。

上海市2019届高三高考模拟卷(叁)数学试题

2x 2.若函数 f (x) =
1 ， x ∈ (0, +∞) ，则其反函数 f −1(x) = _________.
12
3.在
x
−
1 4x
6
的展开式中，
x2
的系数为_______.
4.过原点且与圆 x2 + y2 + 4x − 2 y = 0 相切的直线方程为_______.
5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为______石（精确到整数）.
10cm的正三角形.
（1）求异面直线PA与BC所成角的大小；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）若正四棱锥由圆锥削去一部分得到，则需要削去部分的体积为多少？（精确到 0.1cm3 ）
2
19.（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）首项为
1 2
的无穷等比数列
{an
}
所有项的和为1，
Sn
为
{an
}
的前n
项和，又 bn + 5 log2 (1− Sn ) = t ，常数 t ∈ N * ，数列{cn} 满足 c=n an ⋅ bn .
合S到集合T的“保序同构函数”.
（1）试写出集合 =A {x | 0 < x < 1} 到集合R的一个保序同构函数；
（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的保序同构函数；
（3）已知
f
(x)
=
x x2 +1
是集合[0, s] 到集合[0,t] 的保序同构函数，求s和t的最大值.
3
{ }uur

2019届高三数学下学期三模考试试题(含解析)

2019届高三数学下学期三模考试试题（含解析）一. 填空题1.不等式的解为。

【答案】或【解析】【详解】由，可得即所以不等式的解为或2.已知直线垂直于平面直角坐标系中的轴，则的倾斜角为________【答案】0.【解析】【分析】根据直线垂直于轴，可得出直线的倾斜角.【详解】由于直线垂直于平面直角坐标系中的轴，所以，直线的倾斜角为，故答案为：.【点睛】本题考查直线倾斜角的概念，在直线的倾斜角中，规定与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为，意在考查学生对于倾斜角概念的理解，属于基础题.3.函数反函数是________【答案】.【解析】分析】由解出，可得出所求函数的反函数.【详解】由，得，则有，，因此，函数的反函数为，故答案为：.【点睛】本题考查反函数的求解，熟悉反函数的求解是解本题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.若角的终边经过点，则的值为________【答案】.【解析】【分析】根据三角函数的定义求出的值，然后利用反三角函数的定义得出的值.【详解】由三角函数的定义可得，，故答案为：.【点睛】本题考查三角函数的定义以及反三角函数的定义，解本题的关键就是利用三角函数的定义求出的值，考查计算能力，属于基础题.5.方程的解为 .【答案】2【解析】【分析】根据求行列式的方法化简得，这是一个关于的二次方程，将看成整体进行求解即可.【详解】方程，等价于，即，化为或（舍去），，故答案为2.【点睛】本题主要考查行列式化简方法以及简单的指数方程，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.6.由参数方程为参数，所表示的曲线的右焦点坐标为________【答案】.【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状，然后求出曲线的右焦点坐标.【详解】，由，得，所以，，即曲线的普通方程为，该曲线为双曲线，其右焦点坐标为，故答案为：.【点睛】本题考查曲线焦点坐标的求解，考查参数方程与普通方程之间的转化，解参数方程问题，通常将曲线的参数方程化为普通方程，确定曲线的形状并进行求解，考查计算能力，属于基础题.7.平面直角坐标系内有点，，，，将四边形绕直线旋转一周，所得到几何体的体积为________【答案】.【解析】【分析】利用图形判断出四边形是矩形，且边位于直线上，旋转后形成圆柱，然后利用圆柱的体积公式可得出所求几何体的体积.【详解】如下图所示，四边形是矩形，且边位于直线上，且，，将四边形绕着直线旋转一周，形成的几何体是圆柱，且该圆柱的底面半径为，高为，因此，该几何体的体积为，故答案为：.【点睛】本题考查旋转体体积的计算，考查圆柱体积的计算，解题的关键要确定旋转后所得几何体的形状，考查空间想象能力，属于中等题.8.某同学从复旦、交大、同济、上财、上外、浙大六所大学中选择三所学校综招报名，则交大和浙大不同时被选中的概率为________【答案】.【解析】【分析】先利用古典概型的概率公式计算出事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件“交大和浙大同时被选中”的概率，再利用对立事件的概率公式得出所求事件的概率.【详解】由题意知，事件“交大和浙大不同时被选中”的对立事件为“交大和浙大同时被选中”，由古典概型的概率公式得知，事件“交大和浙大同时被选中”的概率为，由对立事件的概率知，事件“交大和浙大不同时被选中”的概率为，故答案为：.【点睛】本题考查古典概型的概率公式以及对立事件的概率，在求解事件的概率时，若分类讨论比较比较繁琐，可考虑利用对立事件的概率来进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.9.已知且，设函数的最大值为1，则实数的取值范围是________【答案】.【解析】【分析】由函数在上单调递增，且结合题中条件得出函数在上单调递减，且，于此列出不等式组求出实数的取值范围.【详解】由题意知，函数在上单调递增，且，由于函数的最大值为，则函数在上单调递减且，则有，即，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查分段函数的最值，解题时要考查分段函数每支的单调性，还需要考查分段函数在分界点出函数值的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10.对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是椭圆，则的取值范围是________【答案】.【解析】【分析】利用椭圆的定义，判断出在复平面对应的点的轨迹方程，作出图形，结合图形得出的取值范围.【详解】由于满足条件的复数对应的点的轨迹是椭圆，则，即复数在复平面内对应的点到点的距离小于，所以，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径长为的圆的内部，的取值范围是，故答案为：.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点的轨迹方程，结合椭圆的定义加以理解，考查数形结合思想，属于中等题.11.等差数列中，，，（），则数列的公差为________【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为，由，可计算出的值，由此可得出数列的公差.【详解】设等差数列的公差为，则，又，，则，，即数列的公差为，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，对于等差数列基本量的计算，通常利用首项和公差建立方程组求解，考查计算能力，属于中等题.12.已知平面直角坐标系中两点、，为原点，有.设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为________【答案】20.【解析】【分析】将圆方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径长，由题意得，转化为圆内接四边形中正方形的面积最大，即可得出的最大值.【详解】将圆的方程化为标准方程得，圆心坐标为，半径长为，，由于圆内接四边形中，正方形的面积最大，所以，当四边形为正方形时，取最大值，此时正方形的边长为，所以，，故答案为：.【点睛】本题考查圆的几何性质，考查圆内接四边形面积的最值问题，解题时要充分利用题中代数式的几何意义，利用数形结合思想进行转化，另外了解圆内接四边形中正方形的面积最大这一结论的应用.二. 选择题13.已知非空集合满足，给出以下四个命题：①若任取,则是必然事件②若,则是不可能事件③若任取,则是随机事件④若,则是必然事件其中正确的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由集合的包含关系可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，结合必然事件、不可能事件和随机事件的概念，即可判断正确的个数【详解】非空集合、满足，可得中的任何一个元素都是中的元素，中至少有一个元素不在中，①若任取，则是必然事件，故①正确；②若，则是可能事件，故②不正确；③若任取，则是随机事件，故③正确；④若，则是必然事件，故④正确．其中正确的个数为3，故选C.【点睛】本题考查集合的包含关系，以及必然事件、不可能事件和随机事件的概念和判断，考查判断能力，属于基础题.14.已知数列为等差数列，数列满足，，，.，则数列的公差 d为（）.A. B. 1 C. 2 D. 4【答案】D【解析】【详解】注意到，则从而，d=4．选D.15.正方体中, 为棱的中点(如图)用过点的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面的基本性质，得到几何体的直观图，然后判断左视图即可．【详解】由题意可知：过点、、的平面截去该正方体的上半部分，如图直观图，则几何体的左视图为D，故选D.【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是得到直观图，是基本知识的考查．16.如图所示，向量的模是向量的模的倍，与的夹角为，那么我们称向量经过一次变换得到向量. 在直角坐标平面内，设起始向量，向量经过次变换得到的向量为，其中、、为逆时针排列，记坐标为，则下列命题中不正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用变换的定义，推导出的向量坐标，求出、的表达式，然后进行验算即可.【详解】，经过一次变换后得到，点，，，A选项正确；由题意知所以，，，B选项正确；，C选项正确；，D选项错误.故选：D.【点睛】本题考查新定义，首先应理解题中的新定义，转化为已有的知识来解决，本题的实质是考查向量的坐标运算，难度较大.三. 解答题17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆，OA与母线所成角为.（1）试用r表示圆柱的表面积S；（2）若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）利用与母线所成的角为求出，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积；（2）由圆柱的体积求出与的值，再利用等体积法计算出点到平面的距离.【详解】（1）由于与圆柱的母线成的角，则，，所以，圆柱的表面积为；（2），，，设点到平面的距离为，由题意知，，，，，所以，，易得的面积为，由，，，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能力，属于中等题.18.若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦函数公式化简，再由正弦函数的性质求得和的值；（2）由是函数图象的一个对称中心求得值，再由正弦定理求得外接圆半径，则外接圆的面积可求．【详解】（1）由题意知,函数的周期为,且最大值为,所以.(2) 是函数图像的一个对称中心,所以,又因为的内角,所以，在中,设外接圆半径为,由得所以的外接圆的面积【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．19.已知函数，其中，且，且（1）若，试判断的奇偶性；（2）若，，，证明的图像是轴对称图形，并求出对称轴.【答案】(1)见解析（2）函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．【解析】【分析】（1）由得出，于是得出，利用偶函数的定义得出，利用奇函数的定义得出，于是得出当时，函数为非奇非偶函数；（2）先得出，并设函数图象的对称轴为直线，利用定义，列等式求出的值，即可而出函数图象的对称轴方程.【详解】（1）由已知，，于是，则，若是偶函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．若是奇函数，则，即，所以对任意实数恒成立，所以．综上，当时，是偶函数；当时，奇函数，当，既不是奇函数也不是偶函数；（2），若函数的图像是轴对称图形，且对称轴是直线，即对任意实数，恒成立，，化简得，因为上式对任意成立，所以，，．所以，函数的图像是轴对称图形，其对称轴是直线．【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，考查函数对称性的求解法，解题的关键要从函数奇偶性的定义以及对称性定义列式求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.已知两动圆和（），把它们的公共点的轨迹记为曲线，若曲线与轴的正半轴的交点为，且曲线上的相异两点满足：.（1）求曲线的轨迹方程；（2）证明直线恒经过一定点，并求此定点的坐标；（3）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）设两动圆的公共点为，由椭圆定义得出曲线是椭圆，并得出、、的值，即可得出曲线的方程；（2）求出点，设点，，对直线的斜率是否存在分两种情况讨论，在斜率存在时，设直线的方程为，并将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合条件并代入韦达定理求出的值，可得出直线所过点的坐标，在直线的斜率不存在时，可得出直线的方程为，结合这两种情况得出直线所过定点坐标；（3）利用韦达定理求出面积关于的表达式，换元，然后利用基本不等式求出的最大值.【详解】（1）设两动圆的公共点为，则有：．由椭圆的定义可知的轨迹为椭圆，，，所以曲线的方程是：；（2）由题意可知：，设，，当的斜率存在时，设直线，联立方程组：，把②代入①有：，③，④，因为，所以有，，把③④代入整理：，（有公因式）继续化简得：，或（舍），当的斜率不存在时，易知满足条件的直线为：过定点，综上，直线恒过定点；（3）面积，由第（2）小题的③④代入，整理得：，因在椭圆内部，所以，可设，，，（时取到最大值）．所以面积的最大值为．【点睛】本题考查利用椭圆的定义求轨迹方程，考查直线过定点问题以及三角形面积问题，对于这些问题的处理，通常是将直线方程与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理设而不求法求解，难点在于计算量，易出错.21.已知无穷数列的前n项和为，记，，…，中奇数的个数为．(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .【解析】试题分析：（Ⅰ）代入的值，即可求得，，，，．（Ⅱ）根据题意，先证充分性和不必要性，分别作出证明．（Ⅲ）分当为奇数和当为偶数，两种情况进而推导数列的通项公式．试题解析：（Ⅰ）解：，，，，．（Ⅱ）证明：（充分性）因为为奇数，为偶数，所以，对于任意，都为奇数．所以．所以数列是单调递增数列．（不必要性）当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时，为偶数，均为奇数，所以，数列是单调递增数列．所以“为奇数，为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；综上所述，“为奇数，为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件．（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，如果为偶数，若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．所以当为奇数时，不能为偶数．（2）当为偶数时，如果为奇数，若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．所以当为偶数时，不能为奇数．综上可得与同奇偶．所以为偶数．因为为偶数，所以为偶数．因为为偶数，且，所以．因为，且，所以．以此类推，可得．点睛：本题考查学生对新定义理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生.2019届高三数学下学期三模考试试题（含解析）一. 填空题1.不等式的解为。

2019届上海市格致中学高三下学期三模数学试题(解析版)

2019届上海市格致中学高三下学期三模数学试题一、单选题1．已知z C ∈，i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则下列说法与“z 为纯虚数”不等价的是（） A.20z <B.||i z z =或||i z z =-，且||0z ≠C.Re 0z =且Im 0z ≠D.0z z +=【答案】D【解析】根据复数的基本概念逐一判断。

【详解】A.若z 为纯虚数，则z bi =（b R ∈且0b ≠），那么220z b =-<，故有若20z <，则z 为纯虚数，因此20z <与“z 为纯虚数”等价；B.令(,)z a bi a b R =+∈，则||z =||z z i =或||z z i =-，得0a =b =±，又||0z ≠，故0b ≠，B 正确；C. Re 0z =且Im 0z ≠与“z 为纯虚数”等价；D.若0z z ==，有0z z +=，与“z 为纯虚数”不等价，故选D.【点睛】本题考查复数基本概念的辨析，属于基础题。

2．已知光线沿向量a md pn =+（0mp ≠，m ∈R ，n ∈R ）照射，遇到直线l 后反射，其中d 是直线l 的一个方向向量，n 是直线l 的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为（） A.md pn -- B.md pn - C.pd mn -+ D.pd mn -【答案】B【解析】根据入射角等于反射角的性质作图即得。

【详解】不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中||||a b =，则向量a md pn =+(0,,)mp m R p R ≠∈∈时，向量b md pn =-.故选B.【点睛】本题考查平面向量的线性表示以及光线反射问题，是常考题型。

3．如图，已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，D 是棱BC 上的动点，记PD 与平面ABC 所成的角为α，与直线BC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（）A ．αβ>B ．αβ=C ．αβ<D ．不能确定【答案】C【解析】先找到PD 与平面ABC 所成的角，再将要比较的角通过构造的直角三角形建立三角函数值之间的关系，比较即可．【详解】如图所示：∵P A ⊥平面ABC ，∴PD 与平面ABC 所成的角α=∠PDA, 过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接PE ，∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AE ，∴BC ⊥PE, 在Rt △AED ，Rt △P AD ，Rt △PED 中：cos AD PD α=，cos ED PD β=，cos ED EDA AD∠=，∴cos EDA ∠ ⨯cos α= cos β< cos α,又αβ，均为锐角， ∴αβ<，故选C.【点睛】本题考查了空间中的线面关系，直线与平面所成的角、线线角及直角三角形中三角函数值的定义的应用，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．4．已知n N ∈，x ∈R ，则函数22()lim 2n n n x f x x +→∞-=-的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】讨论当|x |＞1，|x |＜1，当x ＝1时和当x ＝﹣1时，求出函数的极限即可得到f （x ）的解析式，画出图象得到正确选项. 【详解】当|x |＞1时，2222121lim 22nn n n n n x x lim x x x x+→∞→∞--==---；当|x |＜1时，222lim 22n n n n x lim x +→∞→∞--==--1；当x ＝1时，22lim 2n n n x x +→∞-=--1；当x ＝﹣1时，22lim 2n n n x x +→∞--不存在．∴f （x ）()()()21111111.x x x x x ⎧--⎪⎪==-⎨⎪--≤⎪⎩＞或＜无意义＜∴只有A 选项符合f （x ）大致图像，故选A. 【点睛】本题考查了函数解析式的求解及函数图像的识别，考查了不同的取值范围时数列的极限问题，属于中档题．二、填空题5．已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为____ 【答案】12()f x x -=（0x ≥）【解析】先根据幂函数()f x通过的点求出该幂函数，再求它的反函数即得。

2019届上海市格致中学高三下学期三模数学试题(解析版)

1 2n
Cnn
(1 1)n 1 2 2n
1 ,当 n 8 时 28
1 256
1 故答案为： 256
【点睛】本题主要考查二项展开式及其最值问题,属于中等难度问题.
12．某工厂生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 0.01 与 0.03 ，每道工序生产废品相互独立，那么经过两道工序后得到的零件是合格品的概率等于 __________．(精确到 0.01 ) 【答案】 0.96 【解析】根据在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为 0.01 与 0.03 可以计算出不产出废品的概
【答案】5
【解析】【详解】
a
由
bi2

3 4i
得
a
bi
2

3 4i
，即 a2
b2

5.
故答案为：5
11．在

x2

3 x
n
的二项式中，有且只有第五项的二项式系数最大，则
Cn0

1 2
Cn1

1 4
Cn2
L
1n
1 2n
Cnn

_________．
1 【答案】 256
14．已知集合 A, B 都含有12 个元素， A B 含有 4 个元素，集合 C 含有 3 个元素，且满足: C A U B, C I A ，则满足条件的集合 C 共有__________个
【答案】1084
【解析】先分析 A, B 的元素总数为 20,再利用总的情况 C230 减去只在 B 中选取的总情况数 C83 即可.
2019 届上海市格致中学三模数学试题

2018-2019年上海市格致中学高三下三模教师版

格致中学高三三模数学试卷一.填空题1.已知幂函数()f x过点，则()f x 的反函数为____12()f x x -=（0x ≥）2.已知关于x 、y 的方程组23319x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩有无穷多组解，则实数a 的值为___3- 3.在△ABC 中，3AC =，3sin 2sin A B =，且C ∠的大小是23π，则AB =4.函数2()log (43)a f x x x =-+（0a >，1a ≠）在区间[,)m +∞上存在反函数，则实数m 的取值范围是____ (3,)+∞5.已知复数i1ix y z +=+（,x y ∈R ，i 是虚数单位）的对应点z在第四象限，且||z ≤，那么点(,)P x y 在平面上形成的区域面积等于____π由题得()12x yi x y y x iz i +++-==+，z 在第四象限，则有0202x yy x +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，整理得00x y x y +>⎧⎨->⎩，由||z ≤得22()()24x y y x ++-≤，化简得224x y +≤，则点(,)P x y 在不等式组22004x y x y x y +>⎧⎪->⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积2124S ππ=⋅⋅=.6.某几何体的一条棱长为a ，在该几何体的主视图、俯视图、左视图中，5，那么a =由题，设a 为长方体的体对角线，三视图中的三个投影是三个面上的对角线，长方体边长分别为x ，y ，z ，如图：由已知可得222x y +=，222(5)y z +=，222x z +=，2222x y z a ++=，解得a =7.已知{}n a 是首项为a ，公差为1的等差数列，1nn na b a +=，若对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，则实数a 的取值范围是____(9,8)-- 由题得1n a n a =+-，则1111n n n a b a n a +==++-，对任意的*n ∈N ，都有10n b b ≤成立，而11n a +-关于n 的单调性为1n a >-时单调递减，1n a <-时单调递减，且1n a >-时101n a >+-，1n a <-时101n a >+-。

[精品]2019届高三数学下学期测试(三模)试题理(含解析)

2019高三年级测试（三模）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先化简集合M和N,再求.详解：由题得所以.由题得所以.故答案为：A点睛：（1）本题主要考查集合的化简即交集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）解答本题的关键是求，由于集合中含有k,所以要给k赋值，再求.2. 已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求出复数z,再求.详解：由题得所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力. (2)复数的共轭复数3. 设两条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】分析：利用空间线面位置关系逐一判断每一个选项的真假得解.详解：对于选项A, 若，则或，所以选项A是假命题.对于选项B, 若，则或a与相交.所以选项B是假命题.对于选项C, 若，则或与相交.所以选项C是假命题.对于选项D, 若，则,是真命题.故答案为：D点睛：（1）本题主要考查空间直线平面的位置关系的判断，意在考查学生对线面位置关系定理的掌握能力和空间想象能力.（2）对于空间线面位置关系的判断，一般利用举反例和直接证明法.4. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案.详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①，满足条件，继续运行；②，满足条件，继续运行；③，不满足条件，停止运行，输出．故判断框内应填n＜4，即n＜k+1．故选C．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.5. 已知函数，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简得到，再求的值.所以故答案为：D点睛：（1）本题主要考查函数求值和指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和运算能力.（2）解答本题的关键是整体代入求值.6. 给出下列命题：①已知，“且”是“”的充分不必要条件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分条件；③已知，“”是“”的充分不必要条件；④命题“，使且”的否定为“，都有使且”，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假得解.详解：对于选项①，由a＞1且b＞1⇒ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分条件，正确；②平面向量，＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），则||=1，因此||＞1不成立．反之取，=，则||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1“是“||＞1”的既不必要也不充分条件；③如图在单位圆x2+y2=1上或圆外任取一点P（a，b），满足“a2+b2≥1”，根据三角形两边之和大于第三边，一定有“|a|+|b|≥1”，在单位圆内任取一点M（a，b），满足“|a|+|b|≥1”，但不满足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要条件，因此正确；④命题P：“∃x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定为¬p：“∀x∈R，都有e x＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正确．其中正确命题的个数是2．故答案为：C点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和平面向量的性质运算，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答真假命题的判断，方法比较灵活，可以利用举例法和直接法,要灵活选择.7. 已知，，则（）A. B. C. D. 或【答案】B【解析】分析：先根据得到，再求最后求的值.详解：由题得所以，所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角函数求值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析转化能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是根据已知求的隐含范围，其二是通过变角求的值，.8. 已知满足约束条件，若的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：联立得B(1，m-1).=表示动点（x,y）和点D（-1,0）的斜率，可行域中点B和D的斜率最大，所以故选B.9. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为，则点与直线的位置关系是（）A. B.C. D. 与的大小无法确定【答案】B【解析】分析：由样本数据可得，利用公式，求出b，a，点（a，b）代入x+18y，求出值与100比较即可得到选项．详解：由题意，（15+16+18+19+22）=18，（102+98+115+115+120）=110，，5=9900，=1650，n=5•324=1620，∴b==3.1，∴a=110﹣3.1×18=54.2，∵点（a，b）代入x+18y，∴54.2+18×3.1=110＞100．即a+18b＞100.故答案为：B点睛：本题主要考查回归直线方程的求法，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和运算能力.10. 在区间上任取一个数，则函数在上的最大值是的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设函数y=x2﹣4x+3，求出x∈[0，4]时y的取值范围，再根据a∈[﹣2，2]讨论a的取值范围，判断f（x）是否能取得最大值3，从而求出对应的概率值．详解：在区间[﹣2，2]上任取一个数a，基本事件空间对应区间的长度是4，由y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，4]，得y∈[﹣1，3]，∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a，∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|，即最大值是|3﹣a|或|1+a|；令|3﹣a|≥|1+a|，得（3﹣a）2≥（1+a）2，解得a≤1；又a∈[﹣2，2]，∴﹣2≤a≤1；∴当a∈[﹣2，1]时，|3﹣a|=3﹣a，∴f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是3﹣a+a=3，满足题意；当a∈（1，2]时，|1+a|=a+1，函数f（x）=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0，4]上的最大值是2a+1，由1＜a≤2，得3＜2a+1≤5，f（x）的最大值不是3.则所求的概率为P=．故答案为：A点睛：（1）本题主要考查几何概型和函数的最值的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是通过函数在上的最大值是分析得到a∈[﹣2，1].11. 设双曲线的右焦点为，过点作轴的垂线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据已知求出，再代入求出双曲线的离心率.详解：由题得双曲线的渐近线方程为，设F(c,0)，则因为，所以.所以解之得因为，所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答本题的关键是根据求出.12. 已知函数有两个零点，且，则下列结论错误的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先通过函数有两个零点求出，再利用导数证明，即证明.详解:因为函数,所以,当a≤0时，所以f(x)在（0，+∞）上单调递增，所以不可能有两个零点.当a>0时，时，，函数f(x)单调递增，时，，函数f(x)单调递减.所以因为函数f(x)有两个零点，所以又又令则所以函数g(x)在上为减函数，=0，又，又，∴，即.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间、最值和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)本题的解题关键是构造函数求函数的图像和性质.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知函数的图像与直线以及轴所围成的图形的面积为，则的展开式中的常数项为______________．（用数字作答）【答案】【解析】分析：求定积分可得a值，然后求出二项式的通项，得到的展开式中含x及的项，分别与中的项相乘求得答案．详解：由题意，a=∴=（x﹣）（2x﹣）5．展开式的常数项由（2x﹣）5 中含x的项乘以﹣再加上含的项乘以x得到的．∵（2x﹣）5 展开式的通项Tr+1=（﹣1）r25﹣r•x5﹣2r．令5﹣2r=1，得r=2，因此（2x﹣）5 的展开式中x的系数为（﹣1）2•23•=80．令5﹣2r=﹣1，得r=3，因此（2x﹣）5 的展开式中的系数为（﹣1）3则的展开式中的常数项为80×（﹣2）﹣40=﹣200．故答案为：﹣200．..............................14. 某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_______________．【答案】【解析】由三视图可得三棱锥为如图所示的三棱锥，其中底面为直角三角形．将三棱锥还原为长方体，则长方体的长宽高分别为，则三棱锥外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球半径为，球心为，且球心到上底面的距离为，则球心到下底面的距离为．在如图所示的和中，由勾股定理可得及，解得．所以三棱锥的外接球的表面积为．答案：点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．15. 已知为抛物线的焦点，为其准线与轴的交点，过的直线交抛物线于两点，为线段的中点，且，则________________．【答案】6【解析】分析：求得抛物线的焦点和准线方程，可得E的坐标，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理和中点坐标公式，可得M的坐标，运用两点的距离公式可得k，再由抛物线的焦点弦公式，计算可得所求值．详解：F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点，E（﹣1，0）为其准线与x轴的交点，设过F的直线为y=k（x﹣1），代入抛物线方程y2=4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2+，中点M（1+，），可得，解得k2=2，则x1+x2=2+=4，由抛物线的定义可得=x1+x2+2=6，故答案为：6点睛：（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是利用求出k的值.16. 为等腰直角三角形，是内的一点，且满足，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立直角坐标系，再求点M的轨迹，再求|MB|的最小值.详解：以A为坐标原点建立直角坐标系，由题得C,设M(x,y)，因为，所以，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，且在△ABC内部，所以|MB|的最小值为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查轨迹方程和最值的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化的能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是建立直角坐标系，其二是求出点M的轨迹方程.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和为，，且满足．（1）求数列的通项；（2）求数列的前项和为．【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先化简已知，再用项和公式求出数列的通项.(2)利用错位相减法求数列的前项和为.详解：（1），，，即；当时，，当时，，不满足上式，所以数列是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以.（2）当时，，当时，，，点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和错位相减法求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)已知的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.注意结果是能并则并，不并则分.所以本题中，不能合在一起.18. 某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．【答案】（1），；（2）【解析】分析: (1)直接利用平均数和标准差公式求解.(2)先，再求,最后求的数学期望．详解：（1）根据题意，计算平均数为；（2）依题意，；因为所以.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图中平均数和标准差的计算，考查正态分布和随机变量的数学期望的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是能利用正态分布的性质计算出，其二是灵活利用二项分布性质简洁地计算出.19. 如图，是边长为6的正方形，已知，且并与对角线交于，现以为折痕将正方形折起，且重合，记重合后记为，重合后记为.（1）求证：面面；（2）求面与面所成二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先取中点，连，取中点,连，再证明面，再证明面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，利用向量法求得面与面所成二面角的余弦值为.详解：取中点，连，则.再取中点,连，则，易得，于是，四边形为平行四边形，得,从而，那么面，又面，故面面.（2）以与垂直的直线为轴，为轴，为轴建立坐标系，则,, 设面的法向量,由，得：，取，得，所以面的法向量.同理可得：面的法向量，则，所以面与面所成二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力分析推理能力.(2) 二面角的求法一般有两种，方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形），方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）20. 已知为椭圆上三个不同的点，为坐标原点．（1）若，问：是否存在恒与直线相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先求出原点到的距离，再证明存在圆与直线恒相切.（2）先求出点C的坐标，再代入得，最后计算的面积.详解：（1）设直线，代入得：设，则；由得：因为,所以化简得：，于是原点到的距离特别地，当轴时，也符合，故存在圆与直线恒相切.（2）设，则代入得，，于是所以.点睛：（1）本题主要考查直线与圆和椭圆的位置关系，考查圆锥曲线的最值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是根据得到，其二是化简.21. 已知函数.（1）若，求函数的最大值；（2）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）【解析】分析：（1）利用导数先求函数的单调性，再求函数的最大值.(2)先转化为在恒成立，再构造函数求，再化简=1，即得解.详解:（1）在上单调递增，在上单调递减，的最大值为（2）不等式恒成立，等价于在恒成立，令令所以在单调递增，，，所以存在唯一零点，且，所以在单调递减，在单调递增..，即构造函数，易证在单调递增，所以，则，将这两个式子代入，所以.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，利用导数解答恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.（2）解答本题的关键有两点，其一是求出，其二是化简.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线．其中为直线的倾斜角（）（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，与曲线的交点分别为，求的值.【答案】（1）；（2）3【解析】分析：（1）利用消参求曲线的普通方程，利用极坐标公式求直线的直角坐标方程.(2)利用参数方程参数的几何意义和韦达定理求的值.详解：（1）曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程为.（2）直线与轴的交点为，直线的参数方程可设为（为参数），将直线的参数方程代入圆的方程，得，.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程参数的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数的几何意义是这样的：如果点在定点的上方，则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方，则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数，即.23. 已知函数，其中为正实数．（1）若，求不等式的解集；（2）若的最小值为，问是否存在正实数，使得不等式能成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法求不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求解.详解：（1）不等式等价于或或解得：，所以不等式的解集是.（2）存在正实数.上式等号成立的等价条件为当且仅当，即，所以存在，使得不等式成立.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 求绝对值的最值直接使用重要绝对值不等式求解，也可以利用数形结合求解.。

2019届高三数学第三次模拟考试题(含答案)文

2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（一）注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·深圳期末]已知集合(){}22log 815A x y x x ==-+，{}1B x a x a =<<+，若A B =∅，则a 的取值范围是（） A ．(],3-∞ B ．(],4-∞ C ．()3,4 D ．[]3,4 2．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，a ∈R ，若复数()1i z a a =+-的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ⋅=，则z =（） A ．12i -+ B ．12i -- C ．2i - D ．23i -+ 3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分 4．[2019·恩施质检]在区间[]2,7-上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x -≥”发生的概率是（） A ．13 B ．59 C ．79 D ．89 5．[2019·华阴期末]若双曲线()2210mx y m -=>的一条渐近线与直线2y x =-垂直，则此双曲线的离心率为（） A ．2 BCD6．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π2 7．[2019·合肥质检]函数()2sin f x x x x =+的图象大致为（） A ． B ．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a =，0.2log 1.1b =， 1.10.2c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321a a a a ++⋯+++的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（）A ．100i n =+B ．99i n =-C ．100i n =-D ．99i n =+10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C，若BC =，且1AF =，则此抛物线的方程为（）A．2y = B ．22y x = C．2y = D ．23y x =11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到()g x 的图象若()()124g x g x =，且1x ，[]22π,2πx ∈-，则122x x -的最大值为（）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π2 12．[2019·菏泽期末]如图所示，正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB '、DD '交于M ，N ，设BM x =，[]0,1x ∈，给出以下四个命题： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''； ②当且仅当12x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长()L f x =，[]0,1x ∈是单调函数； ④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数；以上命题中假命题的序号为（）A ．①④B ．②C ．③D ．③④ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60︒，3=a，+=a b ，则=b _____． 14．[2019·醴陵一中]某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．则该小组人数的最小值为__________． 15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B 类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元 16．[2019·哈三中]设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，22a <，且2019n S =，则n 的最大值为___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1cos sin c A C +=．（1）求角A 的大小；（2）若a 1b =，求ABC △的面积．18．（12分）[2019·揭阳一模]如图，在四边形ABED 中，AB DE ∥，AB BE ⊥，点C 在AB 上，且AB CD ⊥，2AC BC CD ===，现将ACD △沿CD 折起，使点A 到达点P的位置，且PE =．（1）求证：平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）求三棱锥P EBC -的体积．19．（12分）[2019·合肥质检]为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：（1）根据上表数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱（已知：0.751r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y 与x 线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数（精确到个）参考公式：n x x y y r --=，()2110n i i x x =-=∑，()21 1.3n i i y y =-=∑ 3.6056≈，()()()121ˆn i i i ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-． 20．（12分）[2019·鹰潭期末]已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，1F ，2F 为椭圆C 的左右焦点，，短轴长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，椭圆C 的内接平行四边形ABCD 的一组对边分别过椭圆的焦点1F ，2F ，求该平行四边形ABCD 面积的最大值．21．（12分）[2019·豫西名校]已知函数()()2ln f x a x x ax a =+-∈R ．（1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；（2）求()()2g x f x x =-在区间[]1,e 上的最小值()h a ．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 [2019·哈三中]已知曲线1:C x =2:x C y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线1C 和2C 的方程化为极坐标方程；（2）设1C 与x ，y 轴交于M ，N 两点，且线段MN 的中点为P ．若射线OP 与1C ，2C 交于P ，Q 两点，求P ，Q 两点间的距离．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·江南十校]设函数()()f x x x a=-++-．lg2121f x的定义域；（1）当4a=时，求函数()f x的定义域为R，求a的取值范围．（2）若函数()2019届高三第三次模拟考试卷文科数学（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】由题意，集合(){}{}{}222log 815815035A x y x x x x x x x x ==-+=-+>=<>或，{}1B x a x a =<<+；若A B =∅，则3a ≤且15a +≤，解得34a ≤≤，∴实数a 的取值范围为[]3,4．故选D ．2．【答案】A【解析】由5z z ⋅=可得()2215a a +-=，解得1a =-或2a =，∴12i z =-+或2i z =-， ∵z 在复平面内对应的点位于第三象限，∴12i z =-+．故选A ．3．【答案】B【解析】一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分，且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分．∴135012160d +=，解得119012d =-， ∴“立春”时日影长度为：11901135031052122⎛⎫+-⨯= ⎪⎝⎭（分）．故选B ．4．【答案】B【解析】区间[]2,7-的长度为()729--=；由2log 10x -≥，解得2x ≥，即[]2,7x ∈，区间长度为725-=，事件“2log 10x -≥”发生的概率是59P =．故选B ．5．【答案】B【解析】设双曲线()2210mx y m -=>为2221x y a -=，它的一条渐近线方程为1y x a =，直线2y x =-的斜率为2-， ∵直线1y x a =与2y x =-垂直，∴()121a ⨯-=-，即2a =，∴c e a ==B ．6．【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为1、高为2的圆柱的34， ∴该几何体的体积为233ππ1242⨯⨯⨯=．故选D ．7．【答案】A 【解析】∵()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=--=+=，∴()f x 为偶函数，选项B 错误，()()2sin sin f x x x x x x x =+=+，令()sin g x x x =+，则()1cos 0g x x ='+≥恒成立， ∴()g x 是单调递增函数，则当0x >时，()()00g x g >=，故0x >时，()()f x xg x =，()()()0f x g x xg x =+'>'，即()f x 在()0,+∞上单调递增，故选A ． 8．【答案】C 【解析】0.201.1 1.11a =>=，0.20.2log 1.1log 10b =<=， 1.1000.20.21c <=<=，故a c b >>．故选C ．9．【答案】C 【解析】由题意，n 的值为多项式的系数，由100，99⋯直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入100i n =-．故选C ． 10．【答案】A 【解析】如图，过A 作AD 垂直于抛物线的准线，垂足为D ，过B 作BE 垂直于抛物线的准线，垂足为E ，P 为准线与x 轴的交点，由抛物线的定义，BF BE =，1AF AD ==，∵BC =，∴BC =，∴45DCA ∠=︒，∴2AC ==+211CF ==，∴PF ==，即p PF =，∴抛物线的方程为2y =，故选A ． 11．【答案】D 【解析】将函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π3个单位，再向上平移一个单位，得到()2ππsin 21cos 2136g x x x ⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭的图象，故()g x 的最大值为2，最小值为0，若()()124g x g x =，则()()122g x g x ==，或()()122g x g x ==-（舍去）．故有()()122g x g x ==，即12cos2cos21x x ==-，又1x ，[]22π,2πx ∈-，则12πx =，22πx =-，则122x x -取得最大值为π3ππ22+=．故选D ．12．【答案】C【解析】①连结BD ，B D ''，则由正方体的性质可知，EF ⊥平面BDD B ''，∴平面MENF ⊥平面BDD B ''，∴①正确；②连结MN ，∵EF ⊥平面BDD B ''，∴EF MN ⊥，四边形MENF 的对角线EF 是固定的， ∴要使面积最小，则只需MN 的长度最小即可，此时当M 为棱的中点时，即12x =时，此时MN 长度最小，对应四边形MENF 的面积最小，∴②正确；③∵EF MN ⊥，∴四边形MENF 是菱形，当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由大变小，当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，EM 的长度由小变大，∴函数()L f x =不单调，∴③错误；④连结C E '，C M '，C N '，则四棱锥可分割为两个小三棱锥，它们以C EF '为底，以M ，N 分别为顶点的两个小棱锥，∵三角形'C EF 的面积是个常数，M ，N 到平面'C EF 的距离是个常数，∴四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常函数，∴④正确，∴四个命题中③假命题，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】1【解析】根据题意，设t =b ，()0t >，向量a 与b 的夹角为60︒，3=a ，则32t⋅=a b ，又由+=a b ，则()222229313t t +=+⋅+=++=a b a a b b ，变形可得：2340t t +-=，解可得4t =-或1，又由0t >，则1t =；故答案为1． 14．【答案】12 【解析】设男学生人生为x ，女学生人数为y ，教师人数为z ，且x ，y ，*z ∈N ，则2z x y z >>>，当1z =时，21x y >>>不成立；当2z =时，42x y >>>不成立；当3z =时，63x y >>>，则5x =，4y =，此时该小组的人数最小为12． 15．【答案】3800 【解析】设甲种设备需要生产x 天，乙种设备需要生产y 天，该公司所需租赁费为z 元，则300400z x y =+，甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品的情况为45503540,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪∈∈⎩N N ，做出不等式表示的平面区域，由45503540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得()10,2，当300400z x y =+经过的交点()10,2时，目标函数300400z x y =+取得最低为3800元．故答案为3800． 16．【答案】63 【解析】数列{}n a n -是以1-为公比，以11a -为首项的等比数列，数列{}n a n -的前n 项和为()()()()111112122n n n n n S n S a +---++⋯+=-=-⋅， ()()()1111122n n n n S a --+=-⋅+，当n 为偶数时，()120192n n n S +==，无解；当n 为奇数时，由()()11120192n n n S a +=+-=，可得()1120202n n a +=-，由121n n a a n ++=+可得213a a +=，123a a =-，∵22a <，∴11a >，即()()1120201140382n n a n n +=->⇒+<，结合n ∈N ，可得63n ≤，∴使得2019n S =的n 的最大值为63，故答案为63．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3A =；（2）S ．【解析】（1）∵()1cos sin c A C +=，由正弦定理可得()sin 1cos sin C A A C +=cos 1A A -=， ∴π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，A 是ABC △的内角，∴ππ66A -=，∴π3A =．（2）∵a =1b =．由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即217c c +-=，可得260c c --=，又0c >，∴3c =，∴ABC △的面积11sin 1322S bc A ==⨯⨯=18．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）证明：∵AB BE ⊥，AB CD ⊥，∴BE CD ∥，∵AC CD ⊥，∴PC CD ⊥，∴PC BE ⊥，又BC BE ⊥，PC BC C =，∴EB ⊥平面PBC ，又∵EB ⊂平面DEBC ，∴平面PBC ⊥平面DEBC ；（2）解法1：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =得2PB ==，∴PBC △为等边三角形，∴22PBC S ==△∴11233P EBC E PBC PBC V V S EB --==⋅==△，解法2：∵AB DE ∥，结合CD EB ∥得2BE CD ==，由（1）知EB ⊥平面PBC ，∴EB PB ⊥，由PE =，得2PB ，∴PBC △为等边三角形，取BC 的中点O ，连结OP，则PO =∵PO BC ⊥，∴PO ⊥平面EBCD ，∴21112332P EBC EBC V S PO -=⋅=⨯⨯=△． 19．【答案】（1）相关性很强；（2）0.36 4.6ˆ727y x =-，208个．【解析】（1）2016x =，1y =，n x x y y r --=20.710.410.420.7360.7536056-⨯-+-⨯-+⨯+⨯==>．．， ∴y 与x 线性相关性很强．（2）()()()()()()()12120.710.410.420.70.3641014ˆn i i i n i i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， 120160.36724.7ˆ6ˆa y bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程是0.36 4.6ˆ727y x =-．当2019x =时，0.36724.76ˆ 2.08y x =-=（百个），即A 地区2019年足球特色学校的个数为208个． 20．【答案】（1）2212x y +=；（2）【解析】（1）依题意得22b=，2c e a ==，解得a 1b c ==， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）当AD 所在直线与x 轴垂直时，则AD 所在直线方程为1x =，联立2212x y +=，解得y =ABCD 的面积S = 当AD 所在的直线斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-，联立2212x y +=，得()2222124220k x k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,D x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k xx k -=+，则)22112k AD k +=+，两条平行线间的距离d =，则平行四边形ABCD 的面积)22112k S k +==+，令212t k=+，1t >，则S =，()10,1t ∈，开口向下，关于1t单调递减，则(S =，综上所述，平行四边形ABCD的面积的最大值为21．【答案】（1）()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭；（2）()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()222a x ax af x x a x x -+=+-='，∵3x =是()f x 的极值点，∴()183303a af '-+==，解得9a =，∴()()()2233299x x x x f x x x ---+=='，当302x <<或3x >时，()0f x '>；当332x <<时，()0f x '<．∴()f x 的单调递增区间为30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，()3,+∞，单调递减区间为3,32⎛⎫⎪⎝⎭．（2）()2ln 2g x a x x ax x =+--，则()()()22122x a x x ax a g x x x ---+='=-，令()0g x '=，得2ax =或1x =． ①当12a≤，即2a ≤时，()g x 在[]1,e 上为增函数，()()min 11h a g a ==--； ②当1e 2a<<，即22e a <<时，()g x 在1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,e 2a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，∴()2min 1ln 224a a h a g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭； ③当e 2a≥，即2e a ≥时，()g x 在[]1,e 上为减函数，∴()()()2min e 1e e 2e h a g a ==-+-．综上，()()2min 21,21ln ,22e 241e e 2e,2ea a a h a a a a a a a ⎧--≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-+-≥⎩．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+；（2）1．【解析】（1）∵2C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）， ∴其普通方程为22162x y +=，又1:C x +=∴可得极坐标方程分别为1π:sin 6C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2226:12sin C ρθ=+．（2）∵)M ，()0,1N，∴12P ⎫⎪⎪⎝⎭，∴OP 的极坐标方程为π6θ=，把π6θ=代入πsin 6ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得11ρ=，π1,6P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，把π6θ=代入22612sin ρθ=+得22ρ=，π2,6Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴211PQ ρρ=-=，即P ，Q 两点间的距离为1． 23．【答案】（1）53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）3a <．【解析】（1）当4a =时，()f x 定义域基本要求为21214x x -++>，当1x ≤-时，5122244x x x --->⇒<-；当112x -<<时，12224x x -++>，无解；当12x ≥时，3212244x x x -++>⇒>，综上：()f x 的定义域为53,,44⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意得2121x x a -++>恒成立()min 2121a x x ⇒<-++， ()()()min 2121212221223x x x x x x -++=-++≥--+=， ∴3a <．。

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