1314高等数学C(一)试题解答

合集下载

1314高等数学C(一)试卷答案

济南大学2013~2014学年第一学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）课程名称：高等数学C （一）一、填空题(1) e1．(2) dx x x x )(sec )21(22++. (3) 3. (4) 1．(5) 1．二、选择题(1) A ．(2) A . (3) C . (4) D ．(5) B ．三、计算下列极限、导数（每小题6分，共24分）(1) 解：)13)(1()13)(13(lim 113lim 2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=-+--→→ 42)13)(1(1lim 2)13)(1)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x (2) 解：)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 解：两边对x 求导得：01)1(ln ='+-'+y y y ，所以：y y ln 21+='，3222)ln 2(1)ln 2(y y y y y dx y d +-=+'-= (4) 解：23124t te dt dx dt dydx dy t +== 四、计算下列积分 (1) 解：C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰)2cos(21)2()2sin(21)2sin(2222(2) 解：令t x sin =，2||π≤t ，则：⎰⎰=-tdt dx x 22cos 1 C t t t C t t dt t ++=++=+=⎰cos sin 2122sin 412)2cos 1(21 C x x x +-+=2121arcsin 21 (3) 解：令x t =，则2t x =，tdt dx 2=，⎰⎰=1102dt te dx e t x22][221101=-==⎰⎰dt e te tde t t t五、综合题（每小题11分，共22分）(1) 解：由100060QP -=可得：P Q 100060000-=。

重庆理工大学大一高等数学C1练习册答案

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题 1、（1）解函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解由1-=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解由11+-=x x y 得 yyx -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w w v v u ey u(2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 25214-===b a c习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加三．计算题1、（1）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数（2）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解由h r V 231π=得23rv h π= 表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ四证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f xx x x x x -=+-=+-=--- 习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错四．（1）证明令12+=n nx n ε<=<+=-n nn n n x n 11022 只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0n x所以01lim2=+∞→n nn（2）证明因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有 2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f > 习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误1、错；2、错；3、错；四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim=++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(lim =⋅+-=∞→n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n nn n n -++=-+++∞→+∞→ 2132123lim 22=+=∞→n n n n 7、因为 0lim =-+∞→xx e1s i n ≤x 所以 0s i n lim =-+∞→x exx习题五一、1.B ， 2.A, 3. B二、1.sin tan x x x << 2．０三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）0lim sin0x x xπ→=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x x x x x x x xx x x x→→→---===-+++解：（4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数 2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++==原式（2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x xx e ---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式= （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n nn n n n nn∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式四．1.证明：2......n n π<+<+1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->>n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B，2．B，3．B，4．B，5。

2014年全国考研数学一真题及详细解答.doc

2014硕士研究生入学考试数学一一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．１．下列曲线有渐近线的是（）（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2 （C ）x x y 1sin += （D ）xx y 12sin +=2．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≤'')(x f 时，)()(x g x f ≤3．设)(x f 是连续函数，则=⎰⎰---y y dy y x f dy 11102),(（）（A ）⎰⎰⎰⎰---+210011010x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),( （B ）⎰⎰⎰⎰----+010111012x x dy y x f dx dy y x f dx ),(),(（C ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (121020dr r r f d dr r r f d（D ）⎰⎰⎰⎰+++θθππθθπθθθθθθsin cos sin cos )sin ,cos ()sin ,cos (1021020rdr r r f d rdr r r f d4．若函数{}⎰⎰-∈---=--ππππdx x b x a x dx x b x a x Rb a 2211)sin cos (min )sin cos (,，则=+x b x a sin cos 11（）（A ）x sin 2 （B ）x cos 2 （C ）x sin π2 （D ）x cos π25．行列式dc dc b a b a0000000等于（）（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-6．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（）（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件7．设事件A ，B 想到独立，3050.)(,.)(=-=B A P B P 则=-)(A B P （）（A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.48．设连续型随机变量21X X ,相互独立，且方差均存在，21X X ,的概率密度分别为)(),(x f x f 21，随机变量1Y 的概率密度为))()(()(y f y f y f Y 21211+=，随机变量)(21221X X Y +=，则（）（A ）2121DY DY EY EY >>, （B ）2121DY DY EY EY ==, （C ）2121DY DY EY EY <=, （D ）2121DY DY EY EY >=,二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．曲面)sin ()sin (x y y x z -+-=1122在点),,(101处的切平面方程为．10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ． 11．微分方程0=-+)ln (ln 'y x y xy 满足31e y =)(的解为．12．设L 是柱面122=+y x 和平面0=+z y 的交线，从z 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分⎰=+Lydz zdx ．13．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是． 14．设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其它,,),(02322θθθθx xx f ，其中θ是未知参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单样本，若∑=ni i X C 12是2θ的无偏估计，则常数C = ．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．16．（本题满分10分）设函数)(x f y =由方程06223=+++y x xy y 确定，求)(x f 的极值． 17．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．18．（本题满分10分）设曲面)(:122≤+=∑z y x z 的上侧，计算曲面积分：dxdy z dzdx y dydz x )()()(11133-+-+-⎰⎰∑（1）证明0=∞→n n a lim ；（2）证明级数∑∞=1n nnb a 收敛．19．（本题满分10分）设数列{}{}n n b a ,满足2020ππ<<<<n n b a ,，n n n b a a cos cos =-且级数∑∞=1n n b 收敛．20．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（3）求方程组0=AX 的一个基础解系；（4）求满足E AB =的所有矩阵． 21．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100相似．22．（本题满分11分）设随机变量X 的分布为2121====)()(X P X P ，在给定i X =的条件下，随机变量Y 服从均匀分布210,),,(=i i U ．（5）求Y 的分布函数；（6）求期望).(Y E23．（本题满分11分）设总体X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=-00012x x e x F x ,,),(θθ，其中θ为未知的大于零的参数，n X X X ,,, 21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2X E X E ；（2）求θ的极大似然估计量．（3）是否存在常数a ，使得对任意的0>ε，都有0=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εθa P n n ^lim ．2013年考研数学一解析１．【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x yx lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）2．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点21x x ,及常数10≤≤λ，恒有())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，则曲线是凸的．显然此题中x x x ===λ,,1021，则=+-)()()(211x f x f λλ)()())((x g x f x f =+-110，())()(x f x x f =+-211λλ，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，即())()()()(212111x f x f x x f λλλλ+-≥+-，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≤'')(x f 时，曲线是凸的，从而010==≥)()()(F F x F ，即0≥-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≥，应该选（C ）3．【详解】积分区域如图所示。

2013-2014第一学年期末考试高数C参考答案

2013—2014学年第一学期高等数学期末考试试题参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）D B D C A二、填空题（每小题4分，共20分）1.（0，2）2. cos sin x dy xe dx =-3. (1)x e x C --++4.15.0 三、计算题（每小题5分，共20分） 1. 31lim (2cos )1x x x x →∞++-解：由于2333111lim lim 0111x x x x x x x →∞→∞++==--或者3211lim lim 013x x x x x →∞→∞+==-―――（2分） 2cos x +为x →∞时的有界量，――――――――――――――（4分）所以原式极限为0. ―――――――――――――――――――（5分） 2.设0x >时，可导函数()f x 满足：13()2()f x f x x+=，求'()f x (0)x > 令1t x =，则原式变为：1()2()3f f t t t +=――――――――――――――――――――――（2分）连立得13()2(),1()2()3f x f x x f f x x x⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得1()2f x x x =-―――――――――（4分）所以21()2f x x '=+. ――――――――――――――――――――（5分） 3.设2cos xy e x =，求y '' 解：21(cos sin )2x y e x x '=-―――――――――――――――――（3分）23[cos sin ]4x y e x x ''=-+―――――――――――――――――――（5分）4.x 011lim()1x x e →-- 解：原式=x 01lim (1)x x e x x e →---――――――――――――――――――（1分） =01lim (1)1x x x e e x →-+-―――――――――――――――――（3分） =01lim 2x x →+=12――――――――――――――――――（5分）四．计算题（每小题5分，共20分） 1.2arctan 1x x dx x ++⎰解：原式=22arctan 11x x dx dx x x +++⎰⎰――――――――――――――（1分） =2211(1)arctan arctan 21d x xd x x+++⎰⎰―――――――――――――（3分） =221[ln(1)(arctan )]2x x +++C ―――――――――――――――――（5分） 2.2156dx x x -+⎰ 解：原式=11()32dx x x ---⎰―――――――――――――――――（3分） =3ln2x C x -+-―――――――――――――――――――（5分） 3.3cos()3x dx πππ+⎰解：法一：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰―――――――――――（2分）=3sin()3x πππ+――――――――――――――――――（4分）=（5分）法二：原式=3cos()()33x d x ππππ++⎰――――――――――――――――（2分） 43323cos x tdt πππ+==⎰t=换元―――――――――――――――――――（4分）4323sin tππ=-=――――――――――――――――――（5分） 4.120arcsin xdx ⎰解：原式=1212001arcsin 2x x +⎰―――――――――――――（2分）=12π――――――――――――――――――（4分）=122π+――――――――――――――――――――（5分）五．求由抛物线21y x =+与直线1y x =+所围成的面积.解：如图所示――――――――――――――――――――――（2分）联立方程，解出交点：（0，1）（1，2）――――――――（6分）积分：1122300111()()236x x dx x x -=-=⎰―――――――――――（10分）六．某服装有限公司确定，为卖出x 套服装，其单价为1500.5p x =-.同时还确定，生产x 套服装的总成本为：2()40000.25C x x =+.（10分）(1)写出边际成本'()C x 的表达式；(2)求总利润()L x 以及边际利润'()L x ；(3)服装产量x 为多少时，利润达到最大，最大利润是多少？解：1.()0.5C x x '=――――――――――――――――――――（2分） 2.2()()()0.751504000L x R x C x x x =-=-+-―――――――（4分） () 1.5150L x x '=-+――――――――――――――――――――（6分）3.令()0L x '=得到唯一驻点100x =，由题设可知此唯一驻点即使总利润最大时的服装产量，则(100)3500L =――――――――――――――――（10分）。

2014年高考文科数学全国一全国1全国Ⅰ试题及答案解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）（课标I ）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ，则MB =（）A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- （2）若0tan >α，则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α （3）设i iz ++=11，则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 （4）已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 （5）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数（6）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA. B.21 C. 21D. （7）在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③（8）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱（9）执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A.203 B.72 C.165 D.158（10）已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（）A. 1B. 2C. 4D. 8 （11）设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =A ．-5 B. 3 C ．-5或3 D. 5或-3（12）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_____. （14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.（15）设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.（16）如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

重庆理工大学高等数学C1习题解答全部

高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A2、D3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题1、（1）解函数要有意义，必须满足⎩⎨⎧≥-≠0102x x 即⎩⎨⎧≤≤-≠110x x 定义域为]1,0()0,1(⋃-（2）解函数要有意义，必须满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解由1-=x e y 得1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y（2）解由11+-=x x y 得 y yx -+=11 交换x 、y 得反函数为xxy -+=11 4．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112>+t ，xarcsin 无定义（2）解不能，因为11≤≤-x ，此时121-=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2-====x w wv v u ey u(2) 令22y y y +=则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u e y wu2)s i n (32==+===6．解⎪⎩⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g7．解设c bx ax x f ++=2)(所以⎪⎩⎪⎨⎧==++=++41242c c b a c b a解得25214-===b a c 习题二一．单项选择题1、A2、B3、D 二．填空题1、>12、单调增加三．计算题1、（1）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数（2）解因为)()1ln(11ln)1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数（3）解)(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩⎪⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=-所以函数是奇函数 2．解因为x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2sin =是周期函数，周期为π 3．解由h r V 231π= 得23r v h π=表面积： )0(919221226224222222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ 四证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=---习题三一．单项选择题1、C2、C3、B4、C 二．填空题1、12、a3、≥4、2，05、1 三．判断正误1、对；2、对；3、错四．（1）证明令12+=n nx nε<=<+=-n nn n n x n 11022 只要ε1>n ，取]1[ε=N当N n >时，恒有ε<-0nx所以01lim 2=+∞→n nn （2）证明因为)0()(lim >=+∞→A A x f x ，对取定的2A=ε，存在M>0，当x>M 时，有2)()(A A x f A x f <-<- 故当x>M 时，2)(A x f >习题四一．单项选择题1、B2、B3、B4、D 二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2三．判断正误1、错；2、错；3、错；四．计算题1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim 11=+--=+---→→x x x x x x x x2、原式＝01111lim11lim =++=+++∞→+∞→x xxx x x 3、原式＝2311lim)1)(1()1)(1(lim32313231=+++=-+++-→→xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-⋅+=-++∞→++++∞→n n n n n n n n n 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ⋅+--++⋅-+⋅-+∞→n n n21)2112121(l i m =⋅+-=∞→n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++∞→+∞→2132123l i m 22=+=∞→n n n n 7、因为0lim =-+∞→x x e 1s i n ≤x所以 0s i n lim =-+∞→x e x x习题五一、1.B ， 2.A, 3. B 二、1.sin tan x x x << 2．０三、1.（1）0sin 77lim tan 55x x x →=解：（2）（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x x xx x x x x xx x x x→→→---===-+++ 解：（4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x xx++→→+=解：原式=后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e n n n⨯+→∞→∞→∞=+=++== 原式（2）()1()1111lim(1)lim 1xx x x x x e ---∙-→∞→∞⎡⎤⎛⎫-=-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦原式= （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x x x e x x -++-∙---→∞→∞⎡⎤-=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ∙→=+=原式(中间思维过程同前)（5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nn n n n n n n n n n n n∙→∞→∞→∞→∞+==+=+=+=原式四． 1.证明：......<+<1,,.n n ==而故由夹逼准则知原式成立2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,故即故数列单调递增且有界,极限存在.22212(21)11(1)1lim 1n n n n n n n n x x x x x x x +→∞=-+=--++=--<∴=习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。

高等数学C习题答案-1

高等数学（少学时）习题解答第一章函数与极限习题1-11.求下列函数的定义域: (1) 211x xy --=; 解：110≤≤-≠x x 且；(2) ;1arctan3xx y +-= 解：30≤≠x x 且； (3) ()x x x y -+--=2ln 1562;解：由020562>-≥--x x x 且，得16≤≤-x ； (4) 212arccosxxy +=. 解：由,11212≤+≤-xxR x ∈. 2. 设()x f 的定义域为[]1,0，求()()()0>-++a a x f a x f 的定义域.解：⎩⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a x a ax a a x a x 111010－知由从而得 ][.211,210φ时，定义域为；当时，定义域为当>-≤<a a a a3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x ,求)2(46ϕπϕπϕ、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛.解：6sin )6(ππϕ=21=；22)4sin()4(=-=-ππϕ；()02=ϕ4.判断下列函数的奇偶性:(1) x x x f cos sin )(+=;解：x x x x x f cos sin )cos()sin()(+-=-+-=-；非奇非偶；(2) ()1e e 2-=+xx y ; 解：)()(21)(x f e e x f x x=+=--；偶函数； (3) ()1e e 2-=-x xy ; 解：)()(21)(x f e e x f x x-=-=--；奇函数； (4) )tan(cos x y =.解：)()tan(cos ))tan(cos()(x f x x x f ==-=-；偶函数. 5.求2sin 3,,66ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦y x x 的反函数. 解：32,23sin ,3sin 2yarcisnx y x x y ===；反函数为：[]1,1,2arcsin 31-∈=x x y 6.对于下列每组函数写出))((x g f 的表达式: (1)1)(,sin )(2-==x x g x x f ; 解：)1sin())((2-=x x g f ；(2)()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011x x x x f ,()e =xg x .解：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([x x x x g f x g x g x g x g f 从而得 7.火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50kg 时，按基本运费计算，如从上海到某地以0.15元/kg 计算基本运费,当超过50kg 时，超重部分按0.25元/kg 收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x (kg)之间的函数关系.解：25.0)50(15.050⨯-+⨯=x y8.某产品共有1500吨，每吨定价150元，一次销售不超过100吨时，按原价出售，若一次销售量超过100吨，但不超过500吨时，超出部分按9折出售；如果一次销售量超过500吨，超过500吨的部分按8折出售，试将该产品一次出售的收入y 表示成一次销量的函数.解：设一次销售量为x 吨，()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-+≤<-+≤=500)500(120)100(13515000500100)100(13515000100150x x x x x x xx f习题1-21.观察下列数列的变化趋势,判断它们是否有极限,若有极限写出它们的极限:(1) n n x 311+=;解：极限是1；(2) n n n x 412+=;解：极限不存在；(3) 1332-+=n n x n ; 解：极限是 32； (4) ()[]nn x nn 111+-+=. 解：极限不存在；2．判断下列各题是否正确，并说明原因. (1)如果数列{}n x 发散，则{}n x 必是无界数列. 解：错，反例：()[]nn x nn 111+-+= (2)数列有界是数列收敛的充分必要条件.解：错，必要但不充分条件（3）,lim lim a z y n n n n ==∞→∞→且当N n >时有,n n n z x y ≤≤则.lim a x n x =∞→解：对，夹逼定理（4）1sin lim=∞→xxx .解：错，极限是0（5）1)11(lim =+∞→n n n .解：错，极限是e3*.用数列极限的定义证明22lim 313→∞=-n n n .证明：|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|-=---=--n n n ）（ 0>∀ε，存在时，有当N N ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=n |,3192|εε<-=---=--|392||1n 33)13(26||321n 3n 2|n n n ）（既22lim313→∞=-n n n .习题1-31.判断下列各题是否正确,并说明原因.(1）如果)(0x f =5，但4)(lim )(lim 00==+→→-x f x f x x x x ，则)(lim 0x f x x →不存在.解：错，)(lim 0x f x x →=4（2）)(lim x f x ∞→存在的充分必要条件是)(lim x f x +∞→和)(lim x f x -∞→都存在.解：正确(3)如果在0x 的某一去心邻域内,,0)(>x f 且,)(lim 0A x f x x =→则.0>A解：正确2.设⎩⎨⎧≥-<+=,1 ,12,1 ,4)(x x x x x f 求)(lim ),(lim 11x f x f x x +-→→; )(lim 1x f x →是否存在,为什么? 解：5)(lim 1=-→x f x ，1)(lim 1=+→x f x ，)(lim )(lim 11x f x f x x +-→→≠， )(l i m1x f x →不存在. 3.设x x f =)(,求)(lim 0x f x →.解：10|0|)(lim 0-=∆∆-=∆-∆+=-→∆xxx x x f x ；10|0|)(lim 0=∆∆=∆-∆+=+→∆xxx x x f x . 左右极限不相等，极限不存在.4*.根据函数的定义证明: (1) ()813lim 3=-→x x ,解：即可。

2014年考研数学一真题及答案解析

（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
（7）设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B) 0.5, P(A B) 0.3 ，则 P(B A) （）
（A）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4
（8）设连续型随机变量 X1, X 2 相互独立，且方差均存在， X1, X 2 的概率密度分别为
5、B 解析：
0a b0 a00b 0cd 0 c00d
ab 0
ab0
a (1)21 c d 0 c (1)41 0 0 b
00d
cd0
a d (1)33 a b c b (1)23 a b
cd
cd
ad a b bc a b cd cd
(bc ad ) a b cd
(ad bc)2
2
2a
xx 13
4xx 23
x 2 2a x x a2 x 2 x 2 4 x x a2 x 2
1
13
3
2
23
3
(x 1
a
x )2 3
(x 2
2
x )2 3
(4
a 2)x 2 3
y2 1
y2 2
(4
a 2 )y 2 3
若负惯性指数为1，则4 a2 0，a [2,2]
2
14、
5n
(x2 a2 cos2 x b2 sin2 x 2ax cos x 2bx sin x 2ab sin x cos x)dx
2 (x2 a2 cos2 x b2 sin2 x 2bx sin x)dx 0
3 2(
a2
b2
2b)
32 2

高等数学C1习题解答

而0<xn <1,故xn (1 − xn ) > 0,即xn +1 − xn > 0, xn +1 > xn .故数列单调递增且有界,极限存在.
2 2 ∵ xn +1 = − xn + 2 xn = − ( xn − 2 xn + 1) + 1 = 1 − ( xn − 1)2 < 1∴ lim xn = 1
5、原式＝ lim [(1 − ) ⋅ 7、因为 lim e − x = 0
x → +∞
1 3
sin x ≤ 1
所以
x → +∞
lim e − x sin x = 0
3
习题五一、1.B， 2.A, 3. B 二、1. sin x < x < tan x 2．０三、1. （1）解： lim
x →0
2
+ ...... +
1
n + nπ

<
n n +π
2
而 lim
n →∞
n n 2 + nπ
= 1, 故由夹逼准则知, 原式成立.
2.证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的
2 2 ∵ xn +1 = − xn + 2 xn ,即xn +1 − xn = xn − xn = xn (1 − xn )
有 a =1
b = −1
四、1。证明：
∵ 0 ≤ f ( x ) ≤ 1, f ( x )在[0,1]上连续,由介值定理知结论成立
2．证明：
5
π π π π π π , ]上连续.又f (− ) = − < 0, f ( ) = > 0, 2 2 2 2 2 2 π π 由零点定理知, 至少存在一点ξ ,使得f(ξ )=0,即使方程x=cosx有根ξ ∈[- , ] 2 2

13年专升本高数真题答案

2023年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学解析及解析一、选择题（每小题2分,共60分）1．解析:C【解析】:易知,需满足⎩⎨⎧>-≤≤-0111x x ,即21≤<x ,故应选C.2．解析:D【解析】:因为1()1f x x =-,则()[]x x x x f f 11111-=--=,{}[()]f f f x =()[]x xx x f f =--=111,故应选D.3．解析:B【解析】:因为()x x -+21ln 为奇函数,则)y x =-∞<<+∞也为奇函数,应选B.4．解析:B 【解析】:因为22lim 2sin lim 00==→→x xxx x x ,故0x =是()f x 地可去间断点,应选B.5．解析:A【解析】:当0x →时,()1112lim 11lim00=-++=--+→→x x x xxx x x x ,则x x --+11与x 是等价无穷小量,应选A.6．解析:C【解析】:因0()()lim x f x g x x →--=()()()()()()()()b a x x g g x f x f x x g g f x f x x x +=--+-=--+-→→→0lim 0lim 00lim 000,应选C.7．解析:B【解析】:因为曲线cos (0,0)sin x a t a b y b t=⎧>>⎨=⎩,则t a b t a t b dt dx dt dy dx dy cot sin cos //-=-==,故4π=t 对应点处地法线斜率为ba,应选B.8．解析:D【解析】: 因为()()f x g x '=,则2d (sin )f x =()()xdx x g xdx x x f 2sin sin cos sin 2sin 22=',应选D.9．解析:A【解析】:设函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则()()()()[]322x f x f x f x f ='=''；()()[]()()[]42!332x f x f x f x f ='⨯='''；()()()[]()()[]534!4432x f x f x f x f ='⨯⨯=()()n f x =1![()]n n f x +10．解析:A【解析】:方程x yxy e+=两边对y 求导,其中x 看作y 地函数,()1+'⋅=+'+x ex y x yx ,所以()()11--=--=--=='++x y y x y xy xy x y e e x dy dx x y x y x ,应选A.11．解析:B【解析】:因为()0(0)f x x a ''><<,则()f x '在[0,]a 上单调增加,应选B.12．解析:A【解析】:点(0,1)是曲线32y x bx c =++地拐点,则()()00,10=''=y y ,故0,1b c ==,应选A.13.解析:A【解析】:因为2216x y x x +=+--()()3221-+++=x x x ,则()()543221lim 621lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++-→-→x x x x x x x x ；()()∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→→3221lim 621lim 323x x x x x x x x ；故3=x 是曲线地垂直渐近线,应选A.14.解析:B【解析】: 因为()xxf x e e -=-,则()()C e e dx e ex F x x x x++=-=--⎰,故应选B.15.解析:D【解析】: 根据不定积分地相关性质,易知,22d ()d ()d f x x f x x =⎰正确,应选D.16．解析:D【解析】:因为x x sin 2为奇函数,故0sin 2=⎰-dx x x ππ,应选D.17．解析:A 【解析】:方程221()d x x f t t xe ++=⎰两边对x 求导,得()x x xe e x f +++=+222,则()()x x e x e x f 2-+=,故()f x '=x xe ,应选A.18．解析:C【解析】:由P 无穷广义积分地结论可知,应选C.19．解析:B【解析】:微分方程地阶数是指微分方程中最高导数地阶数,应选B.20．解析:B【解析】:对方程2d 2d 0y xy x -=分离变量,得xdx y dy 22=,两边积分,得C x y+=-21,代入(1)1y =-,0=C ,故方程地特解是21y x-=,应选B.21．解析:C【解析】:向量地方向角需满足1cos cos cos 222=++γβα,应选C.22．解析:B【解析】:直线地方向向量与平面法向量平行,故L 与π垂直相交,应选B.23．解析:D【解析】:缺少变量地二次曲面方程为柱面,应选D.24．解析:C 【解析】:00x y →→=()()41421lim 42lim 0000-=++-=++-→→→→xy xy xy xy y x y x ,应选C.25．解析:B【解析】:因为22(,23)z f x y x y =-+,则zy∂=∂1223yf f ''-+26．解析:A 【解析】:因为2 22 00 2d (, )d (, )d x I x f x y y x f x y y =+⎰⎰⎰为X 型积分,则交换积分次序后,Y 型积分地积分区域为:(){}282,20,y x y y y x -≤≤≤≤,故I可以化为2d (, )d y f x y x ⎰⎰,应选A.27.解析:C 【解析】: 积分 1221d d x x y y =⎰⎰21213121210321102=⋅=⋅⎰⎰x x ydy dx x ,应选C.28. 解析:D【解析】:L 参数方程()10,2≤≤⎩⎨⎧==y yy y x ,则22d d Lxy x x y +=⎰[]1522105141042===+⋅⋅⎰⎰y dy y dy y ydy y y,应选D.29.解析:C 【解析】:因为121lim lim 1=++=∞→+∞→n n u u n n n n ,则收敛半径1=R ,收敛区间为(1,1)-,应选C.30．解析:A【解析】:A 为交错级数,且11+n 单调递减,011lim=+∞→n n ,故收敛；B 、C 中111sinlim ,1111ln lim ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→nn n n n n ,且∑∞=11n n发散,故B 、C 均发散；D 中∞=∞→!lim n n nn ,故D 发散；应选A.二、填空题（每小题2分,共20分）31．解析:既不充分也不必要【解析】:函数()f x 在点0x 有定义与极限0lim ()x x f x →存在没有关系,故为既不充分也不必要条件.32．解析:32【解析】:因为2331lim --∞→==⎪⎭⎫⎝⎛-e e x p pxx ,故p =32.33．解析:21【解析】:因为函数为连续函数,则()()a x x a a a e x axx =+-=-+-→→2cos lim ,1lim 0,得a a =-1,故21=a .34．解析:32x -【解析】:因为421f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭,则()21x x f =,故()32x x f -='．35．解析:C x x ++sin 2ln 【解析】:2cos d 2sin x x x x +=+⎰()Cx x x x x x d ++=++⎰sin 2ln sin 2sin 236．解析:π32【解析】:21221,cos -=⋅-=⋅⋅>=<→→→→→→ba ba b a ,则32,π>=<→→b a ．37．解析:1-+=-xCex y 【解析】:由一阶线性微分方程地通解公式得,()1-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=---⎰⎰xxxdx dx Cex C dx xe e C dx xe e y .38．解析:-5【解析】:令()xyz z y x y x F 22,-++=,则xy F yz F z x 21,21-='-=',将1,0==y x 代入方程,则2-=z ,故52121101010-=---=''-=∂∂======y x y x z x y x xyyz F F xz.39．解析:542=-+z y x 【解析】:令()1,2,2,,,22-='='='-+=z y x F y F x F z y x z y x F ,故点()5,2,1处地切平面法向量{}1,4,2-,故切平面方程为()()()052412=---+-z y x ,即542=-+z y x .40．解析:()()nn n n x 44101-⋅-∑∞=+【解析】:()()()()∑∑∞=+∞=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-+⋅=-+==010441441414411414411n nn n nn n x x x x x x f .三、计算题（每小题5分,共50分）41．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦．【解析】:原式=()()()()21211lim 2111lim 1ln lim 1ln 1ln lim 200200-=+-=-+=-+=+-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x .42．已知函数()x x y =由方程arctanyx=所确定,求d d x y .【解析】:方程两边同时对y 求导,可知,2222222222111yx y x x yx x x y x xy ++'⋅+='-⋅+,即2222y x y x x y x x y x ++'=+'-,故d d x y yx yx y x x y x x +-=+'-='=22.43.求不定积分x ⎰．【解析】:Cx x x x C t t t t dt tt t t dtt t t t tdt dx x tx tdt dx ++-=++-⋅=+-+-⋅=+-⋅==⎰⎰⎰⎰==arctan arctan arctan arctan 111arctan 1arctan arctan arctan 222222222.44．设21,0(),0x x x f x e x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩,求31(2)d f x x -⎰.【解析】:()()()e e t t dt e dt t dt tf dx x f ttt x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==----=-⎰⎰⎰⎰3131210131001211312.45．求微分方程23xy y y e '''+-=地通解．【解析】:原方程对应地齐次方程为02=-'+''y y y ,则特征方程为0122=-+r r ,特征根为21,121=-=r r ,故原方程对应地齐次方程地通解为()为任意常数2121211,,C C e C eC y x x+=-.又知1=λ不是特征根,则原方程地特解可设为xAe y =*,代入原方程可得xxxx e Ae Ae Ae 32=-+,即23=A ,故原方程地通解为x x xe e C e C y 232121++=-.46．设2+sin2+xyu x y e =,求全微分d u ．【解析】:方法一:由题意可知,,2cos 2,2xy xy xe y yuye x x u +=∂∂+=∂∂所以()()dy xe y dx ye x dy yudx x u du xy xy +++=∂∂+∂∂=2cos 22.方法二:对等式两边同时求微分,可知()()()()dyxe y dx ye x ydx xdy e ydy xdx xy d e ydy xdx de y d dx du xy xy xy xy xy +++=+⋅++=++=++=2cos 222cos 222cos 222sin 2.47．一平面过点(1,0,1)-且平行于向量{2,1,1}a =-和{1,1,2}b =- ,求此平面方程.【解析】:由题意可知,所求平面平行于向量{2,1,1}a =-和{1,1,2}b =- ,则所求平面地法向量→→→⨯=b a n ,即{}3,5,135211112--=--=--=⨯=→→→→→→→→→k j i kj ib a n ,又知平面过点(1,0,1)-,由平面地点法式方程可知,平面方程为()()01351=+---z y x ,即435=--z y x .48．计算d d xyDex y ⎰⎰,其中D 是由1,,2,0y y x y x ====所围成地闭区域.【解析】:由题意可知,如下图所示,该区域为Y 型区域,则d d x yDex y ⎰⎰()()()1232112122121021-=-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰⎰e y e dy e y dy ye dx e dy y y x yyx.49．计算积分2222(210)d (215)d Lx xy y x x xy y y +-++--+⎰,其中L 为曲线cos y x =上从点π,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点π,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭一段弧.【解析】:由题意可知,()()152,,102,2222+--=+-+=y xy x y x Q y xy x y x P ,则y x xQ y x y P 22,22-=∂∂-=∂∂,即x Q y P ∂∂=∂∂,说明该曲线积分与积分路径无关,选取直线路径⎪⎭⎫ ⎝⎛-→=22:,0ππx y ,故2222(210)d (215)d Lxxy y x x xy y y +-++--+⎰()ππππππ1012103103222232--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰--x x dx x .50．求幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑地收敛域．【解析】:该幂级数地为非标准不缺项地类型,令t x =-1,则原幂级数可变形为()∑∞=+012n n nn t ,因为()()2221121lim lim11=++=+∞←+∞←n n u u n n n n nn ,则幂级数()∑∞=+012n nn n t 地收敛半径为2=R ,故幂级数()∑∞=+012n n n n t 地收敛区间为()2,2-；当2-=t 时,级数()()∑∞=+-011n n n 收敛；当2=t 时,级数()∑∞=+011n n 收敛发散；则幂级数()∑∞=+012n n n n t 地收敛域为[)2,2-,故原幂级数0(1)2(1)nn n x n ∞=-+∑地收敛域为[)3,1-.四、应用题（每小题6分,共12分）51．某房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为2000元时,公寓会全部租出去,当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去地公寓每月需花费200元地维修费,试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?【解析】:设租金定位x 元时,收入为()x S ,则()()200100200050-⎪⎭⎫⎝⎛--=x x x S ,即()()2000,14000721002≥-+-=x x x x S ,令()07250=+-='x x S ,得唯一地驻点3600=x ,又知()0501<-=''x S ,则3600=x 为()x S 地极小值点,结合实际情况,也就是对应地最大值,所以当租金定位3600元时,有最大收入,最大收入为115600元.52．曲线3(0)y x x =≥,直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ,试求平面图形D 绕y 轴旋转一周所得旋转体地体积.【解析】:由题意可知,如下图所示,该区域为X 型区域,则体积=()()ππππ151453222221053214213=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=--⎰⎰x x x dx x x x dx x x x .五、证明题（8分）53．设()f x 在区间[0,1]上连续,且()1f x <,证明:方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内有且仅有一个实根.【证明】:存在性:令()()[]1,0,120∈--=⎰x dt t f x x F x,因为()f x 在区间[0,1]上连续,则()x F 在区间[0,1]上也连续,而且()()()()()1,011,101<>-=-=⎰x f dt t f F F ,由零点定理可知,在区间（0,1）内至少存在一点ξ,使得()0=ξF ；唯一性:因为()()()()1,02<>-='x f x f x F ,则()x F 在区间（0,1）内单调递增,故方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内至多有一实根；综上所述,方程02()d 1xx f t t -=⎰在区间（0,1）内有且仅有一个实根.。

1314高等数学GW(一)试卷

济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程高等数学GW （一）考试时间 2013 年 12 月 31 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x)11(lim ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy ． (3)=⎰x t dt e dx d 02 . (4) =⎰∞+121dx x ． (5) 微分方程023=+'-''y y y 的通解为_______________.二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→xx x 2sin lim (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D)21. (2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的 (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点.(3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1.(4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对.(5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(A) ⎰=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dxd +=⎰)()(. (C) ⎰=)()(x f dx x f d . (D) dx x f dx x f d ⎰=)()(.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共24分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x . (2) 22)2(sin ln lim x x x -→ππ. (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy . (4) 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧-=++=331t t y t t x 所确定，求：dx dy . 四、计算下列积分（每小题8分，共32分）(1) ⎰-dx x x )2sin(2. (2) ⎰-dx x 21. (3) ⎰10arctan xdx . (4) ⎰10dx xe x .五、解微分方程（每小题7分，共14分）(1) 求微分方程y x e dxdy -=2的通解. (2) 求微分方程12-=-x y dx dy 满足初始条件2)1(=y 的特解. 六、综合题（10分）求函数123+--=x x x y 的单调区间，极值，凹凸区间和拐点.。

12-13高数C(上)期末复习题解答(全部)

0 0
型
x
lim x0
0
t sin t d t x3
lim
x0
x sin 3x2
x
1 3
.
x sin t2 d t
(12) lim 0
x0 x 1 cos x
0 0
型
1 cos x
x2
2 lim
x sin t2 d t
0
2lim
x sin t2
0
dt
2lim sin x2
2
(A) f (0) 0 (B) f (0) 1
(C) f (0) 1 (D)函数 f (x) 在 x 0 不可导
解 f (x) 在 x 0 连续,
则 f (0) lim f (x) lim f (x) x 1 0 0 ,
x0
x0 x
从而 f (0) lim f (x) f (0) lim f (x) 1.选 B.
(9)
lim
x0
e
x 1 sin
ln 1 x
x
0 0
型
lim ex 1 sin x lim ex cos x 2 .
x0
x
x0
1
(10) lim ln(1 x) x0 e 2x 1
0 0
型
lim x 1 . x0 2x 2
x
t sin t d t
(11) lim 0
x0 x ln 1 x2
对 x 2 , f (x) 0 ,对 x 2 , f (x) 0 ,
故 f (x) 在 x 2 处取得极大值 f (2) 20 .
22. f (x0 ) 0 且 f (x0 ) 0 是 f (x) 在 x0 点有极值的

【备战2015】全国名校2014高考数学试题分类汇编 C单元三角函数(含解析)

求得tanA＝，可得A的值．（Ⅱ）由正弦定理得： ,从而得到的解析式，然后求出其取值X围．
【理·某某某某十一中高二期末·2014】5.设的内角所对边的长分别为，若，，则角（）
A. B. C. D.
【知识点】余弦定理；正弦定理．
【答案解析】A解析：解：∵ 的内角所对边的长分别为，由，，
【某某南安一中高一期末·2014】21.在△ 中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，，求△ 的面积 .
【知识点】正弦定理，余弦定理，三角形面积公式
【知识点】诱导公式；最小正周期；正弦定理.
【答案解析】（I）（II）
解析：解：（I）因为 =
………………………5分
所以函数的最小正周期为，
（Ⅱ）由(I)得，
由已知，，又角C为锐角，所以 ……………11分
有正弦定理得
……………14分
【思路点拨】（I）先把原函数式化简整理得再利用公式即可；（Ⅱ）先解出，进而可得C的值，再利用正弦定理可求的结果.
【某某某某一中高一期末考试·2014】1．若为第三象限，则的值为（）
A．3B．－3C．1D．－1
【知识点】同角三角函数的基本关系；平方关系.
【答案解析】B解析：解：∵ 为第三象限，∴ ，则 = ．故选B．
【思路点拨】对于根号内的三角函数式，通过平方关系去掉根号，注意三角函数值的正负号，最后化简即得．
【理·某某某某一中高二期末·2014】11．的值等于▲．
【知识点】诱导公式.
【答案解析】解析：解：由诱导公式可得：，故答案为： .
【思路点拨】直接使用诱导公式化简在求值即可.
【理·某某某某高二期末`2014】18.(本题满分14分)已知函数 .

高考数学试卷解析1314

高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。

【主要错误】{2,4}，{1,6}。

2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3:3:4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取▲名学生．【答案】15。

【主要错误】24,25,20等。

3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为▲．【答案】8。

【主要错误】4，2，4，5+3i ，40/3，6，等。

【分析】由117ii 12ia b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b +。

4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是▲．【答案】5。

【主要错误】4，10，1，3，等。

【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+循环前0 0 第一圈是 1 0 第二圈是 2 －2 第三圈是 3 －2 第四圈是 4 0 第五圈是 5 4第六圈否输出5∴最终输出结果k=5。

5．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为▲．【答案】(0。

【主要错误】（0，6），(]{}6,0，{}6/≤x x ，{}6,0/≠>x x x 等。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是▲．【答案】35。

高数c下学期期末考试试题及答案

高数c下学期期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则以下说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处不连续D. f(x)在x=a处的导数为0答案：A2. 极限lim(x→0)(sin x/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数为：A. 3x^2-12x+11B. x^3-6x^2+11C. 3x^2-12x+6D. 3x^2-6x+11答案：A4. 定积分∫(0,1)x^2dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 若级数∑(n=1 to ∞)(1/n^2)收敛，则以下级数收敛的是：A. ∑(n=1 to ∞)(1/n)B. ∑(n=1 to ∞)(1/n^3)C. ∑(n=1 to ∞)(1/n^4)D. ∑(n=1 to ∞)(1/n^5)答案：C6. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. ln(x) + CC. x * e^x + CD. 1/e^x + C答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值为________。

答案：02. 曲线y=x^3在x=1处的切线斜率为________。

答案：33. 定积分∫(0,2)x dx的值为________。

答案：44. 若函数f(x)=ln(x)，则f'(x)=________。

答案：1/x三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-3x+1在x=2处的导数。

答案：f'(x)=3x^2-3，所以f'(2)=9。

2. 计算定积分∫(1,2)(2x-1)dx。

答案：[(2x^2-x)](1,2) = (2*2^2-2) - (2*1^2-1) = 4。

3. 求级数∑(n=1 to ∞)(1/n^2)的和。

大一高数c期末考试题及答案

大一高数c期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+1B. 2x+2C. 2x+3D. x^2+2x+12. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. πD. 23. 函数y=e^x的不定积分是（）。

A. e^x+CB. e^x-CC. ln(e^x)+CD. ln(x)+C4. 曲线y=x^3-3x^2+2在x=1处的切线斜率是（）。

A. 0B. 1C. -2D. 25. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3C. 2/3D. 16. 函数y=ln(x)的反函数是（）。

A. e^xB. ln(x)C. x^eD. e^x7. 函数y=x^3的二阶导数是（）。

A. 3x^2B. 6xC. 9x^2D. 18x8. 曲线y=x^2在x=2处的法线方程是（）。

A. y=-1/4x+9/2B. y=1/4x+9/2C. y=-1/2x+2D. y=1/2x+29. 函数y=x^2-4x+4的极值点是（）。

A. x=2B. x=-2C. x=4D. x=-410. 函数y=x^3-3x的拐点是（）。

A. x=0B. x=1D. x=3二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y=x^3的一阶导数是 y'=3x^2 。

2. 函数y=x^2+2x+1的二阶导数是 y''=6x 。

3. 极限lim(x→∞) (1/x)的值是 0 。

4. 函数y=e^x的反函数是 y=ln(x) 。

5. 函数y=x^2-4x+4的最小值是 y_min=0 。

三、计算题（每题10分，共50分）1. 求函数y=x^3-3x^2+2的导数。

解：y'=3x^2-6x。

2. 求极限lim(x→0) (x^2/sin(x))。

解：lim(x→0) (x^2/sin(x)) = lim(x→0) (x/sin(x)) * x = 1 * 0 = 0。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1. 设生产某产品的固定成本为6000元,可变成本为20元∕件，
B . 必要条件.
C]
D. 以上都不对.
知识点：可导与连续的关系
分析函数在一点可导一定连续，
但是函数在一点连续不一定可导
设f ( x )在( , )内有连续的导数，则下列等式正确的是 D . 4.
( A)

f x dx f x ;
x 0
d ( B) f x dx f x C ; dx ( D ) ( f ( t )dt ) f ( x ) .
key : D
dF ( x ) F ( x ) C
二、选择题（每小题2分，共10分）
5.
下列级数中，条件收敛的是[ ( 1)n A. ( 1) n; B . ; n n1 n1
n
( 1)n C. 2 ; n1 n

B
]
( 1)n n D. . n1 n 1
解: 利用导数与微分的关系.
dy f ( x )dx .
2 2 y sec ( x x )(1 2 x )
dy sec ( x x )(1 2 x)dx
2 2
dy (1 2 x)sec ( x x )dx
2 2
3.
Ey 3 设y x ，则 = ________ . Ex
2 2
1 t
1 x2
x
dx cos t d t 2 cos t d t cos t cos ∴ 原式 tdt
1 cos 2t t sin 2t C dt 2 2 4
sin 2t 2 sin t cos t 2 x 1 x 2
x ln(1 t 2 ) dy 4. 设函数y y( x )由参数方程所确定，求 . dx y t arctan t
解
dy t4 2te dy dt dx 1 3t 2 dx dt
四、计算下列积分（每小题8分，共24分）
2 x sin(2 x )dx 1.
4.求微分: dy f ( x )dx.复合.微分形式的不变性 . 5.求函数的驻点极值最值拐点 , 判断单调性凹凸性
四、应用:
1.证明不等式 : 利用拉格朗日中值定理, 单调性,凹凸性及最值等证法; 2.研究方程根的问题 : 利用罗尔定理, 单调性,零点定理及介值定理等;
3.导数在经济中的应用:边际函数，函数的弹性
三、应用:
1.几何 : 平面图形的面积、体积；
(1) 平面图形的面积 b 直角坐标情形 A a [ f 2 ( x ) f1 ( x )]dx 参数方程
b
A t ( t ) ( t )dt
1
t2
(2) 体积 V [ f ( x )]2 dx a
V c [ ( y )]2 dy
得
去年期末考试题 (6分)
y ln y y 1 y 0, 1 . 得 y 2 ln y
x
1 d2y 1 y . 3 y (2 ln y) dx 2 (2 ln y ) 2 y
3.设函数y y ( x)是由方程y ln y x y 0确定, dy d 2 y 求， 2. 令 u y( x)ln y ( x) dx dx u ( x) 解：方程两边分别对 x 求导，得
3
知识点：弹性函数
分析
y 3 x
2
Ey dy x 2 x =3 x 3 = x Ex dx y
=3.
一、填空题（每小题3分，共15分） 4.

1
1 1 dx __________ . 2 x
知识点：求反常积分的求法，凑微分法
解:

1
1 dx 2 x
1 [ ] 1 1. x
1 arcsin x 1 x 1 x 2 C 2 2
3.

1 0
e x dx .
解: 令
则dx 3sec tdt ,
2

3. 计算
b
a
udv uv vdu
b a a
b
解
令 x t，则x t ,dx 2tdt，且当x 0时，t 0；当x 1时，t 1 ，于是
n
数收敛,且其和 s u1 ,其余项 rn 的绝对值 rn un 1 .
二、选择题（每小题2分，共10分） ] 5. 下列级数中，条件收敛的是[
( 1)n A. ( 1) n; B. ; n n1 n1
n
( 1)n C. 2 ; n1 n

B
( 1)n n D. . n1 n 1
2

1
0
e x dx.
知识点：定积分的分部积分法，

1
0
e dx 2 te dt 2 tdet
x t 0 0
1
1
2([te ] e dt ) =2(e e ) 0 0
t 1 0 t
t 1
1
2 e (e 1)
2.
五、综合题（每小题11分，共22分）
0 x
(C ) ( f ( t )dt ) f ( x ) f (0);
知识点：不定积分和导数的关系，
分析微分运算与求不定积分的运算是互逆的. d d[ f ( x )dx] f ( x )dx f ( x )dx ( x ) C
知识点：第一换元积分法
解
1 2 2 1 2 sin(2 x )d(2 x ) 原式 cos(2 x )C 2 2
2. 求
π , 解: 令 x sin t , t ( π 2 2 ), 则

1 x dx .
2
2 1 sin t cos t 1 x 1 sin t
去年期末考试题 (6分)
y ( x) y ln y y 1 y 0, ① 1 . 得 y x 2 ln y y 对①再对x求导，得 y ln y y 2 y 0 y 2 2
d y 1 y 1 . 2 3 dx (2 ln y ) y y (2 ln y)
2
2
1 cos x 原式 lim sin x 解： x 4( 2 x )
2
1 1 cos x lim lim 4 x sin x x 2 x
2 2
1 sin x 1 lim . 4 x 2 8
2
3.设函数y y( x)是由方程y ln y x y 0确定, dy d 2 y 求， 2. 令 u y( x)ln y ( x) dx dx u ( x) 解：方程两边分别对 x 求导， d ( y ln y x y ) 0 y ( x) dx
1.
3 x 1 x lim x 1 x2 1 知识点：极限的四则运算
解原式= lim
x 1
( 3 x 1 x )( 3 x 1 x )
2
( x 1)( 3 x 1 x ) 2 2x lim x 1 ( x 1)( x 1)( 3 x 1 x ) 1 2 2lim x 1 ( x 1)( 3 x 1 x ) 4
2
ln sin(t

)
2.
ln sin x lim ( 2 x ) 2 x
2
解：
1 2 cos x csc x 1 1 cot x sin x lim . lim 原式 lim 4( 2 x ) 4 x ( 2 x ) x 8 8 x 2
CH1-4 一元函数微分学
一、基本概念: 极限: 定义、性质、无穷小(替换)、两准则两极限
连续: 定义式、三个条件、单侧连续、间断点的分类
导数：定义式、几何意义、求导公式与法则(复合)
微分：定义式、几何意义、求微公式与法则(复合) 连续二、关系: 极限存在
可导可微
三、计算:
1.用各种方法求函数及数列的极限 (包含洛必达法则 )； 2.求函数的间断点及判断间断点的类型；定义求导（分段点） 3.求导数 : 复合函数求导隐函数求导及参数方程求导的二阶导数
一、填空题（每小题2分，共10分） 1. 1 x lim(1- ) =____ . x 0 x
知识点：重要极限
解
lim(1 x) e ,
x 0
1 x
1
一、填空题（每小题3分，共15分） 2 2. 设y tan(x x ), 则 dy ___________ .
知识点：微分的定义，微分与导数的关系

知识点：条件收敛与绝对收敛，交错级数审敛法,
分析
数项级数收敛的必要条件,
n 1 n 1
如果交错级数 (1)
un或 ( 1)n un (其中un 0) 满足条件:
n 1

( ⅰ ) un un 1 ( n 1,2,3,) ;( ⅱ ) lim un 0 , 则级
ln sin x lim ( 2 x ) 2 x 2 解: 令 t x , 则 x t , 当 x t 0, 时 , 2 2 2
2.
ln cos t lim 原式 lim 2 2 t 0 t 0 (2t ) (2t ) ln(1 cos t 1) cos t 1 lim lim 2 2 t 0 t 0 (2t ) (2t ) 1 2 t 1 2 lim . 2 t 0 (2t ) 8