2020年中考数学试题分类汇编圆与圆的位置关系初中数学

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2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)

2020年九年级数学中考《圆》综合专题复习试题(含答案)
1 ∴∠AOH=2∠AOC=60°.
1 ∵AH=2AC= 3,
AH ∴OA=sin60°=2. ∴⊙O 半径的长为 2. (2)证明:在 BM 上截取 BE=BC,连接 CE, ∵∠ABC=120°,BM 平分∠ABC, ∴∠MBA=∠MBC=60°. ∵BE=BC, ∴△EBC 是等边三角形.
∴CE=CB=BE,∠BCE=60°. ∴∠BCD+∠DCE=60°. ∵∠ACM=∠ABM=60°,∴∠ECM+∠DCE=60°. ∴∠ECM=∠BCD. ∵∠CAM=∠CBM=60°,∠ACM=∠ABM=60°. ∴△ACM 是等边三角形.∴AC=CM. ∴△ACB≌△MCE(SAS).∴AB=ME. ∵ME+EB=BM, ∴AB+BC=BM.
基础题组
1.(2019·保定一模)已知⊙O 的半径 OA 长为 2,若 OB= 3,则可以得到的正确图形可
能是(A)
2.(2019·广州)平面内,⊙O 的半径为 1,点 P 到 O 的距离为 2,过点 P 可作⊙O 的切线条
数为(C)
A.0 条
B.1 条
C.2 条
D.无数条
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,以点 A 为圆心作圆.如果⊙A 与线
则∠D=27°.
基础题组
1.(2019·柳州)如图,A,B,C,D 是⊙O 上的点,则图中与∠A 相等的角是(D)
A.∠B
B.∠C
C.∠DEB
D.∠D
A︵B
A︵B
2.(2019·吉林)如图,在⊙O 中, 所对的圆周角∠ACB=50°.若 P 为 上一点,
∠AOP=55°,则∠POB 的度数为(B)
A.30°
3 切,连接 OC,则 tan∠OCB= 5 .

中考数学 考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系

中考数学 考点系统复习 第六章 圆 第二节 与圆有关的位置关系

( C)
A.35° B.45° C.55° D.65°
3.(2021·嘉兴)已知平面内有⊙O 和点 A,B,若⊙O 半径为 2 cm,线段
OA=3 cm,OB=2 cm,则直线 AB 与⊙O 的位置关系为
( D)
A.相离
B.相交
C.相切
D.相交或相切
4.(2021·临沂)如图,PA,PB 分别与⊙O 相切于 A,B,∠P=70°,C
15.(2021·菏泽)如图,在⊙O 中,AB 是直径,弦 CD⊥AB,垂足为 H,E 为B︵C上一点,F 为弦 DC 延长线上一点,连接 FE 并延长交直径 AB 的延长 线于点 G,连接 AE 交 CD 于点 P, 若 FE=FP. (1)求证:FE 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 8,sin F=35,求 BG 的长.
(2)解:∵AC=2,由(1)得 OD=12AC=1, 又∵PD=6,∴PO=7. ∵∠P=∠P,∠BDP=∠OBP=90°,∴△BDP∽△OBP, ∴BOPP=DBPP,即 BP2=OP·DP=7×6=42,∴BP= 42. ∴OB= OP2-BP2= 7. ∴⊙O 的半径为 7.
12.(2020·通辽)如图,PA,PB 分别与⊙O 相切于 A,B 两点,∠P=72°,
B.23
Байду номын сангаас
C.
2 2
D.1
6.(2021·泰安)如图,在△ABC 中,AB=6,以点 A 为圆心,3 为半径的
圆与边 BC 相切于点 D,与 AC,AB 分别交于点 E 和点 G,F 是优弧 GE 上一
点,∠CDE=18°,则∠GFE 的度数是
( B)
A.50° B.48° C.45° D.36°

(部编版)2020年中考数学试题分项版解析汇编第期专题圆含解析9

(部编版)2020年中考数学试题分项版解析汇编第期专题圆含解析9

专题11 圆一、选择题1. (2017贵州遵义第8题)已知圆锥的底面积为9πcm 2,母线长为6cm ,则圆锥的侧面积是( ) A .18πcm 2B .27πcm 2C .18cm 2D .27cm 2【答案】A.考点:圆锥的计算.2. (2017湖南株洲第6题)下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A .正三角形 B .正方形 C .正五边形 D .正六边形 【答案】A. 【解析】试题分析:∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°, 正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°, 正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°, 正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°, ∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形, 故选A .3. (2017内蒙古通辽第9题)下列命题中,假命题有( ) ①两点之间线段最短;②到角的两边距离相等的点在角的平分线上;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④垂直于同一直线的两条直线平行; ⑤若⊙O 的弦CD AB ,交于点P ,则PD PC PB PA ⋅=⋅. A .4个 B .3个 C. 2个 D .1个 【答案】C考点:命题与定理4. (2017湖北咸宁第7题)如图,⊙O 的半径为3,四边形ABCD 内接于⊙O ,连接OD OB ,,若BCD BOD ∠=∠,则⋂BD 的长为()A .πB .π23C. π2 D .π3 【答案】C .试题分析:已知四边形ABCD 内接于⊙O ,根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°,由圆周角定理可得∠BOD=2∠A ,再由∠BOD=∠BCD 可得2∠A+∠A=180°,所以∠A=60°,即可得∠BOD=120°,所以BD 的长=1203180π⨯=2π;故选C .考点:弧长的计算;圆内接四边形的性质.5. (2017广西百色第11题)以坐标原点O 为圆心,作半径为2的圆,若直线y x b =-+与O 相交,则b 的取值范围是( )A .0b ≤<.b -≤≤b -<< D .b -<<【答案】D考点:1.直线与圆的位置关系;2.一次函数图象与系数的关系.6. (2017哈尔滨第7题)如图,O ⊙中,弦AB ,CD 相交于点P ,42A =∠°,77APD =∠°,则B ∠的大小是( )A.43°B.35°C.34°D.44°【答案】B 【解析】试题分析:∵∠D=∠A=42°,∴∠B=∠APD ﹣∠D=35°,故选B . 考点:圆周角定理.7. (2017黑龙江齐齐哈尔第9题)一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A .120︒B .180︒C .240︒D .300︒【答案】A考点:1.圆锥的计算;2.几何体的展开图. 8. (2017内蒙古呼和浩特第7题)如图,CD 是O 的直径,弦AB CD ⊥,垂足为M ,若12AB =,:5:8OM MD =,则O 的周长为( )A .26πB .13πC .965πD 【答案】B考点:垂径定理.9. (2017青海西宁第8题)如图,AB 是O 的直径,弦CD 交AB 于点P ,2,6AP BP ==,030APC ∠=.则CD 的长为 ( )A ..8 【答案】C 【解析】试题分析:作OH ⊥CD 于H ,连结OC ,如图,∵OH ⊥CD ,∴HC=HD ,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=4,∴OP=OA ﹣AP=2, 在Rt △OPH 中,∵∠OPH=30°,∴∠POH=30°,∴OH=12OP=1,在Rt △OHC 中,∵OC=4,OH=1,∴,∴.故选C .10. (2017湖南张家界第3题)如图,在⊙O中,AB是直径,AC是弦,连接OC,若∠ACO=30°,则∠BOC的度数是()A.30°B.45°C.55°D.60°【答案】D.考点:圆周角定理.11. (2017海南第12题)如图,点A、B、C在⊙O上,AC∥OB,∠BAO=25°,则∠BOC的度数为()A.25° B.50° C.60° D.80°【答案】B.【解析】试题分析:先根据OA=OB,∠BAO=25°得出∠B=25°,再由平行线的性质得出∠B=∠CAB=25°,根据圆周角定理即可得出结论.∵OA=OB,∠BAO=25°,∴∠B=25°.∵AC∥OB,∴∠B=∠CAB=25°,∴∠BOC=2∠CAB=50°.故选B.考点:圆周角定理及推论,平行线的性质.12. (2017河池第8题)如图,⊙O 的直径AB 垂直于弦36,=∠CAB CD ,则BCD ∠的大小是()A .18 B .36 C.54 D .72 【答案】B.考点:圆周角定理;垂径定理.13. (2017新疆乌鲁木齐第8题)如图,是一个几何体的三视图,根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是( )A .πB .2π C.4π D .5π 【答案】B. 【解析】试题解析:由三视图可知,原几何体为圆锥,∵2=,∴S 侧=12•2πr•l=12×2π×22×2=2π. 故选B .考点:由三视图判断几何体;圆锥的计算. 二、填空题1. (2017贵州遵义第17题)如图,AB 是⊙O 的直径,AB=4,点M 是OA 的中点,过点M 的直线与⊙O 交于C ,D 两点.若∠CMA=45°,则弦CD 的长为 .考点:垂径定理;勾股定理;等腰直角三角形.2. (2017湖南株洲第15题)如图,已知AM为⊙O的直径,直线BC经过点M,且AB=AC,∠BAM=∠CAM,线段AB 和AC分别交⊙O于点D、E,∠BMD=40°,则∠EOM= .【答案】80°.考点:圆周角定理.3. (2017郴州第14题)已知圆锥的母线长为5cm,高为4cm,则该圆锥的侧面积为2cm(结果保留π).【答案】15π.【解析】试题分析:由图可知,圆锥的高是4cm,母线长5cm,根据勾股定理得圆锥的底面半径为3cm,所以圆锥的侧面积=π×3×5=15π2cm.考点:圆锥的计算.4. (2017哈尔滨第18题)已知扇形的弧长为4p,半径为8,则此扇形的圆心角为.【答案】90°【解析】试题分析:设扇形的圆心角为n°,则8180nπ⨯=4π,解得,n=90,故圆心角为90°.考点:弧长的计算.5. (2017黑龙江齐齐哈尔第15题)如图,AC 是O 的切线,切点为C ,BC 是O 的直径,AB 交O 于点D ,连接OD ,若50A ∠=︒,则COD ∠的度数为 .【答案】80° 【解析】试题分析:∵AC 是⊙O 的切线,∴∠C=90°,∵∠A=50°,∴∠B=40°,∵OB=OD ,∴∠B=∠ODB=40°, ∴∠COD=2×40°=80° 考点:切线的性质.6. (2017黑龙江绥化第16题)一个扇形的半径为3cm ,弧长为2cm π,则此扇形的面积为 2cm .(用含π的式子表示) 【答案】3π.考点:1.扇形面积的计算;2.弧长的计算.7. (2017黑龙江绥化第18题)半径为2的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距之比为 .【答案】1【解析】试题分析:由题意可得,正三角形的边心距是:2×sin30°=2×12=1,正四边形的边心距是:2×sin45°=2,正六边形的边心距是:2×sin60°=2×2∴半径为2的圆内接正三角形,正四边形,正六边形的边心距之比为:1考点:正多边形和圆.8. (2017湖北孝感第15题)已知半径为2的O 中,弦2AC =,弦AD =COD ∠的度数为.【答案】150°或30°考点:1.垂径定理;2.解直角三角形;3.等边三角形的判定与性质;4.圆周角定理.9. (2017青海西宁第16题)圆锥的主视图是边长为4cm 的等边三角形,则该圆锥侧面展开图的面积是2cm .【答案】8π 【解析】试题分析:根据题意得:圆锥的底面半径为2cm ,母线长为4cm , 则该圆锥侧面展开图的面积是8πcm 2. 考点: 1.三视图;2..圆锥的计算.10. (2017青海西宁第17题)如图,四边形ABCD 内接于O ,点E 在BC 的延长线上,若0120BOD ∠=,则DCE ∠=______.【答案】60° 【解析】试题分析:∵∠BOD=120°,∴∠A=12∠BOD=60°.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠DCE=∠A=60°.考点: 1.圆内接四边形的性质;2.圆周角定理.11. (2017上海第17题)如图,已知Rt△ABC,∠C=90°,AC=3,BC=4.分别以点A、B为圆心画圆.如果点C在⊙A内,点B在⊙A外,且⊙B与⊙A内切,那么⊙B的半径长r的取值范围是.【答案】8<r<10如图2,当B在⊙A上,⊙B与⊙A内切时,⊙A的半径为:AB=AD=5,⊙B的半径为:r=2AB=10;∴⊙B的半径长r的取值范围是:8<r<10.故答案为:8<r<10.考点:1.圆与圆的位置关系;2.点与圆的位置关系;3.勾股定理.12. (2017上海第18题)我们规定:一个正n边形(n为整数,n≥4)的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n边形的“特征值”,记为λn,那么λ6= .考点:1.正多边形与圆;2.等边三角形的性质;3.锐角三角函数13. (2017辽宁大连第12题)如图,在⊙O 中,弦cm AB 8=,AB OC ⊥,垂足为C ,cm OC 3=,则⊙O 的半径为 cm .【答案】5. 【解析】试题分析:先根据垂径定理得出AC 的长,再由勾股定理即可得出结论. 连接OA ,∵OC ⊥AB ,AB=8,∴AC=4,∵OC=3,∴.故答案为5.考点:垂径定理;勾股定理.14. (2017海南第18题)如图,AB 是⊙O 的弦,AB=5,点C 是⊙O 上的一个动点,且∠ACB=45°,若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点,则MN 长的最大值是 .【答案】2.∵∠ACB=45°,AB=5,∴∠AC′B=45°,∴BC′=sin 45AB∴MN 最大.考点:三角形的中位线定理,等腰直角三角形的性质,圆周角定理,解直角三角形.15. (2017河池第17题)圆锥的底面半径长为5,将其侧面展开后得到一个半圆,则该半圆的半径长是 . 【答案】10.考点:圆锥的计算.16. (2017新疆乌鲁木齐第14题)用等分圆周的方法,在半径为1的图中画出如图所示图形,则图中阴影部分面积为 .【答案】π 【解析】试题解析:如图,设AB 的中点我P ,连接OA ,OP ,AP ,△OAP 的面积是:4×12=4, 扇形OAP 的面积是:S 扇形=6π,AP 直线和AP 弧面积:S 弓形=6π阴影面积:3×2S 弓形=π故答案为:π﹣2.考点:扇形面积的计算. 三、解答题1. (2017贵州遵义第24题)如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,A 、B 为切点,∠APB=60°,连接PO 并延长与⊙O 交于C 点,连接AC ,BC .(1)求证:四边形ACBP是菱形;(2)若⊙O半径为1,求菱形ACBP的面积.【答案】(1).证明见解析;(2)菱形ACBP的面积=.2考点:切线的性质;菱形的判定与性质.2. (2017湖南株洲第25题)如图示AB为⊙O的一条弦,点C为劣弧AB的中点,E为优弧AB上一点,点F在AE 的延长线上,且BE=EF,线段CE交弦AB于点D.①求证:CE∥BF;②若BD=2,且EA:EB:EC=3:1,求△BCD的面积(注:根据圆的对称性可知OC⊥AB).【答案】①证明见解析;②△BCD的面积为:2.【解析】试题分析:①连接AC,BE,由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F=12∠AEB,由圆周角定理得②解:∵∠DAE=∠DCB,∠AED=∠CEB,∴△ADE∽△CBE,∴AD AECB CE=,即ADCB=∵∠CBD=∠CEB,∠BCD=∠ECB,∴△CBE∽△CDB,∴BD BECB CE=,即2CB=∴,∴AD=6,∴AB=8,∵点C为劣弧AB的中点,∴OC ⊥AB ,AG=BG=12AB=4,∴=2, ∴△BCD 的面积=12BD•CG=12×2×2=2.考点:相似三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;三角形的外角性质;勾股定理.3. (2017内蒙古通辽第24题)如图,AB 为⊙O 的直径,D 为AC 的中点,连接OD 交弦AC 于点F .过点D 作AC DE //,交BA 的延长线于点E .(1)求证:DE 是⊙O 的切线;(2)连接CD ,若4==AE OA ,求四边形ACDE 的面积.【答案】(1)证明见解析(2)考点:切线的判定与性质4. (2017郴州第23题)如图,AB 是O 的弦,BC 切O 于点,B AD BC ⊥垂足为,D OA 是O 的半径,且3OA =.(1)求证:AB 平分OAD ∠;(2)若点E 是优弧AEB 上一点,且060AEB ∠=,求扇形OAB 的面积(计算结果保留π)【答案】(1)详见解析;(2)3π.考点:圆的综合题.5. (2017湖北咸宁第21题)如图,在ABC ∆中,AC AB =,以AB 为直径的⊙O 与边AC BC ,分别交于E D ,两点,过点D 作AC DF ⊥,垂足为点F .⑴求证:DF 是⊙O 的切线; ⑵若52cos ,4==A AE ,求DF 的长【答案】(1)详见解析;(2考点:圆的综合题.6. (2017湖北咸宁第23题)定义:数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”.理解:⑴如图1,已知B A ,是⊙O 上两点,请在圆上找出满足条件的点C ,使A B C 为“智慧三角形”(画出点C 的位置,保留作图痕迹);⑵如图2,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点,且CD CF 41=,试判断AEF ∆是否为“智慧三角形”,并说明理由; 运用:⑶如图3,在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的半径为1,点Q 是直线3=y 上的一点,若在⊙O 上存在一点P ,使得OPQ ∆为“智慧三角形”,当其面积取得最小值时,直接写出此时点P 的坐标.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)P 的坐标(﹣3,13),(3,13).考点:圆的综合题.7. (2017湖南常德第22题)如图,已知AB是⊙O的直径,CD与⊙O相切于C,BE∥CO.(1)求证:BC是∠ABE的平分线;(2)若DC=8,⊙O的半径OA=6,求CE的长.【答案】(1)证明见解析;(2)4.8.考点:切线的性质.8. (2017广西百色第25题)已知ABC 的内切圆O 与,,AB BC AC 分别相切于点,,D E F ,若EF DE =,如图1.(1)判断ABC 的形状,并证明你的结论;(2)设AE 与DF 相交于点M ,如图2,24,AF FC ==求AM 的长.【答案】(1)△ABC 为等腰三角形,证明见解析;(2)AM=3. 【解析】试题分析:(1)易证∠EOF+∠C=180°,∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE ,即可解题; (2)连接OB 、OC 、OD 、OF ,易证AD=AF ,BD=CF 可得DF ∥BC ,再根据AE 长度即可解题.考点:三角形的内切圆与内心.9. (2017黑龙江绥化第26题)如图,梯形ABCD 中,//AD BC ,AE BC ⊥于E ,ADC ∠的平分线交AE 于点O ,以点O 为圆心, OA 为半径的圆经过点B ,交BC 于另一点F .(1)求证:CD 与O e 相切;(2)若24,5BF OE ==,求tan ABC ∠的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)tan ∠ABC=32. 【解析】(2)如图所示:连接OF .∵OA ⊥BC ,∴BE=EF=12BF=12.在Rt △OEF 中,OE=5,EF=12,∴.∴AE=OA+OE=13+5=18.∴tan ∠ABC=AE BE =32. 考点:1.切线的判定与性质;2.梯形;3.解直角三角形. 10. (2017湖北孝感第23题) 如图,O 的直径10,AB = 弦6,AC ACB =∠的平分线交O 于,D 过点D 作DE AB 交CA 延长线于点E ,连接,.AD BD(1)由AB,BD,AD围成的曲边三角形的面积是;(2)求证:DE是O的切线;(3)求线段DE的长.【答案】(1)252524π+;(2)证明见解析;(3)354.(2)由(1)知∠AOD=90°,即OD⊥AB,∵DE∥AB,∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(3)∵AB=10、AC=6,∴,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,则四边形AODF 是正方形,∴AF=OD=FD=5,∴∠EAF=90°﹣∠CAB=∠ABC ,∴tan ∠EAF=tan ∠CBA , ∴EF AC AF BC =,即658EF =,∴EF=154,∴DE=DF+EF=154+5=354. 考点:1.切线的判定;2.圆周角定理;3.正方形的判定与性质;4.正切函数的定义. 11. (2017内蒙古呼和浩特第24题)如图,点A ,B ,C ,D 是直径为AB 的O 上的四个点,C 是劣弧BD 的中点,AC 与BD 交于点E .(1)求证:2DC CE AC =⋅;(2)若2AE =,1EC =,求证:AOD ∆是正三角形; (3)在(2)的条件下,过点C 作O 的切线,交AB 的延长线于点H ,求ACH ∆的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)△ACH .考点:圆的综合题.12. (2017青海西宁第26题)如图,在ABC ∆中,AB AC =,以AB 为直径作O 交BC 于点D ,过点D 作O的切线DE 交AC 于点E ,交AB 延长线于点F .(1)求证:DE AC ⊥;(2)若10,8AB AE ==,求BF 的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)BF=103. 【解析】试题分析:(1)连接OD 、AD ,由AB=AC 且∠ADB=90°知D 是BC 的中点,由O 是AB 中点知OD ∥AC ,根据OD考点: 1.切线的性质;2.等腰三角形的性质;3.相似三角形的判定与性质.13. (2017上海第25题)如图,已知⊙O的半径长为1,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,联结OA、OC.(1)求证:△OAD∽△ABD;(2)当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;(3)记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3,如果S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.【答案】(1)证明见解析;(2).(3).【解析】试题分析:(1)由△AOB≌△AOC,推出∠C=∠B,由OA=OC,推出∠OAC=∠C=∠B,由∠AD O=∠ADB,即可证(2)如图2中,∵BD ⊥AC ,OA=OC ,∴AD=DC ,∴BA=BC=AC ,∴△ABC 是等边三角形,在Rt △OAD 中,∵OA=1,∠OAD=30°,∴OD=12OA=12,∴,∴ . (3)如图3中,作OH ⊥AC 于H ,设OD=x .圆综合题;2.全等三角形的判定和性质;3.相似三角形的判定和性质;4.比例中项.14. (2017湖南张家界第21题)在等腰△ABC中,AC=BC,以BC为直径的⊙O分别与AB,AC相交于点D,E,过点D作DF⊥AC,垂足为点F.(1)求证:DF是⊙O的切线;(2)分别延长CB,FD,相交于点G,∠A=60°,⊙O的半径为6,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)6π.考点:切线的判定与性质;等腰三角形的性质;扇形面积的计算.∠,BD是⊙O的切线,15. (2017辽宁大连第23题)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,AD平分CABAD与BC相交于点E.BD=;(1)求证:BE(2)若5,2==BD DE ,求CE 的长.【答案】(1)见解析;(2.考点:切线的性质;勾股定理;解直角三角形.16. (2017河池第25题)如图,AB 为⊙O 的直径,CD CB ,分别切⊙O 于点CD D B ,,交BA 的延长线于点E ,CO 的延长线交⊙O 于点OG EF G ⊥,于点F .⑴求证ECF FEB ∠=∠;⑵若46==DE BC ,,求EF 的长.【答案】(1);(2).考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理,相似三角形的判定与性质.17. (2017贵州六盘水第22题)如图,在边长为1的正方形网格中,ABC △的顶点均在格点上. (1)画出ABC △关于原点成中心对称的'''A B C △,并直接写出'''A B C △各顶点的坐标. (2)求点B 旋转到点'B 的路径(结果保留p ).【答案】(1) )31()33()04(,,,,,C B A ''' ;(2) . 试题分析:(1)利用中心对称画出图形并写出坐标;(2)利用弧线长计算公式计算点B 旋转到点'B 的路径. 试题解析:(1)图形如图所示,)31()33()04(,,,,,C B A '''(2)由图可知,=,∴180'180BB π⨯⨯==.考点:坐标与图形变化-旋转(中心对称);弧线长计算公式.18. (2017贵州六盘水第25题)如图,MN 是O ⊙的直径,4MN =,点A 在O ⊙上,30AMN =∠°,B 为AN 的中点,P 是直径MN 上一动点.(1)利用尺规作图,确定当PA PB +最小时P 点的位置(不写作法,但要保留作图痕迹). (2)求PA PB +的最小值.【答案】(1)详见解析;又∵MN=4∴11'4222OA OB MN===⨯=在Rt△'A OB中,'A B==即PA PB+的最小值为考点:圆,最短路线问题.19. (2017新疆乌鲁木齐第23题)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与AB的延长线交于D.(1)求证:ADC CDB∆∆;(2)若32,2AC AB CD==,求O半径.【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O半径是2.考点:切线的性质.。

(完整版)初中中考复习之圆与圆的位置关系(精编含答案)

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中考复习之圆与圆的位置关系一、选择题:1.如果两圆的半径长分别为 6 和2,圆心距为 3,那么这两个圆的位置关系是【】A.外离B.相切C.相交D.内含2.若两圆的半径分别为 2cm 和6cm,圆心距为 4cm,则这两圆的位置关系是【】A.内含 B.内切 C.外切 D.外离3.如图,用邻边分别为 a,b(a<b)的矩形硬纸板裁出以 a 为直径的两个半圆,再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面,小圆恰好能作为底面,从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计),则 a 与b 满足的关系式是【】A.b= a B.b= 5+1a2C.b=5a2D.b= 2a4.已知⊙O1与⊙O2外切,O1O2=8cm,⊙O1的半径为5cm,则⊙O2的半径是【】A.13cm.B. 8cmC. 6cmD. 3cm5.已知两圆半径分别为7,3,圆心距为4,则这两圆的位置关系为【】A.外离B.内切C.相交D.内含6.若⊙O1,⊙O2的半径是r1=2, r2=4,圆心距d=5,则这两个圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离7.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm,且它们的圆心距为8cm,则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.外切B.相交C.内切D.内含8.⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm 和4cm,如果O1O2=7cm,则这两圆的位置关系是【】A.内含B.相交C.外切D.外离9.若两圆的半径分别为2 和4,且圆心距为7,则两圆的位置关系为【】A.外切B. 内切C. 外离D. 相交10.如图,平面直角坐标系中,⊙O半径长为 1.点⊙P(a,0),⊙P的半径长为 2,把⊙P向左平移,当⊙P与⊙O相切时,a 的值为【】(A)3 (B)1 (C)1,3 (D)±1,±311.已知两圆外切,圆心距为5cm,若其中一个圆的半径是3cm,则另一个圆的半径是【】A.8cm B.5cm C.3cm D.2cm12.⊙O1的半径为3 厘米,⊙O2的半径为2 厘米,圆心距O1O2=5 厘米,这两圆的位置关系是【】A.内含B.内切C.相交D.外切13.已知两圆的半径分别为1 和3,当这两圆内含时,圆心距d 的范围是【】A. 0<d<2B. 1<d<2C. 0<d<3D. 0≤d<214.圆心距为2 的两圆相切,其中一个圆的半径为1,则另一个圆的半径为【】(A)1 (B)3 (C)1 或2 (D)1 或315.第三十奥运会将于 2012 年7 月27 日在英国伦敦开幕,奥运会旗图案有五个圆环组成,下图也是一幅五环图案,在这个五个圆中,不存在的位置关系是【】 A 外离 B 内切 C 外切 D 相交16.已知两圆相外切,连心线长度是 10 厘米,其中一圆的半径为 6 厘米,则另一圆的半径是【】A.16 厘米B.10 厘米C.6 厘米D.4 厘米17.如果两圆的半径分别为4 和6,圆心距为10,那么这两圆的位置关系是【】A.内含B.外离C.相交D.外切18.已知⊙O1与⊙O2的半径分别为4 和6,O1O2=2,则⊙O1与⊙O2的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离19.如图,⊙O1,⊙O,⊙O2的半径均为2cm,⊙O3,⊙O4的半径均为1cm,⊙O与其他4个圆均相外切,图形既关于O1O2所在直线对称,又关于O3O4所在直线对称,则四边形O1O4O2O3的面积为【】A.12cm2B.24cm2C.36cm2D.48cm220.已知两圆的半径分别是3 和4,圆心距的长为1,则两圆的位置关系为:【】A.外离B.相交C.内切D.外切21.已知两圆半径为5cm 和3cm,圆心距为3cm,则两圆的位置关系是【】A.相交B.内含C.内切D.外切22.定圆O 的半径是4cm,动圆P 的半径是2cm,动圆在直线l 上移动,当两圆相切时,OP 的值是【】A.2cm 或6cm B.2cm C.4cmD.6cm23.若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0 的两个根,且圆心距是5,则这两圆的位置关系是【】A.内切B.相交C.外切D.外离24.已知两圆的直径分别为2cm 和4cm,圆心距为3cm,则这两个圆的位置关系是【】A.相交B.外切C.外离D.内含25.已知两圆的半径分别为3cm、4cm,圆心距为8cm,则两圆的位置关系是【】A.外离B.相切C.相交D.内含二、填空题:1.半径分别为3cm 和4cm 的两圆内切,这两圆的圆心距为cm.2.如图,⊙M与⊙N外切,MN=10cm,若⊙M的半径为6cm,⊙N的半径为cm。

2020年全国中考数学试题分类(11)——圆(含答案)

2020年全国中考数学试题分类(11)——圆(含答案)

2020年全国中考数学试题分类(11)——圆一.圆心角、弧、弦的关系(共1小题)1.(2020•广安)如图,点A,B,C,D四点均在⊙O上,∠AOD=68°,AO∥DC,则∠B的度数为()A.40°B.60°C.56°D.68°二.圆周角定理(共9小题)2.(2020•巴中)如图,在⊙O中,点A、B、C在圆上,∠ACB=45°,AB=2√2,则⊙O的半径OA的长是()A.√2B.2 C.2√2D.33.(2020•贵港)如图,点A,B,C均在⊙O上,若∠ACB=130°,则∠α的度数为()A.100°B.110°C.120°D.130°̂上任意一4.(2020•临沂)如图,在⊙O中,AB为直径,∠AOC=80°.点D为弦AC的中点,点E为BB 点.则∠CED的大小可能是()A.10°B.20°C.30°D.40°5.(2020•陕西)如图,点A、B、C在⊙O上,BC∥OA,连接BO并延长,交⊙O于点D,连接AC,DC.若∠A=25°,则∠D的大小为()A.25°B.30°C.40°D.50°6.(2020•兰州)如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=20°,则∠ADC=()A .40°B .60°C .70°D .80°7.(2020•阜新)如图,AB 为⊙O 的直径,C ,D 是圆周上的两点,若∠ABC =38°,则锐角∠BDC 的度数为( )A .57°B .52°C .38°D .26°8.(2020•赤峰)如图,⊙A 经过平面直角坐标系的原点O ,交x 轴于点B (﹣4,0),交y 轴于点C (0,3),点D 为第二象限内圆上一点.则∠CDO 的正弦值是( )A .35B .−34C .34D .45 9.(2020•眉山)如图,四边形ABCD 的外接圆为⊙O ,BC =CD ,∠DAC =35°,∠ACD =45°,则∠ADB的度数为( )A .55°B .60°C .65°D .70°10.(2020•河池)如图,AB 是⊙O 的直径,点C ,D ,E 都在⊙O 上,∠1=55°,则∠2= °.三.圆内接四边形的性质(共2小题)11.(2020•广西)如图,已知四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形,BD 平分∠ABC ,DH ⊥AB 于点H ,DH =√3,∠ABC=120°,则AB+BC的值为()A.√2B.√3C.2 D.√512.(2020•雅安)如图,四边形ABCD内接于圆,∠ABC=60°,对角线BD平分∠ADC.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E,若AD=2,DC=3,求△BDE的面积.四.点与圆的位置关系(共1小题)13.(2020•广东)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠,等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ABC =90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为.五.三角形的外接圆与外心(共3小题)14.(2020•赤峰)如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为()A.3πB.4πC.6πD.9π̂的长为.15.(2020•锦州)如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠ABC=30°,AC=6,则BB16.(2020•黄石)如图,在6×6的方格纸中,每个小方格都是边长为1的正方形,其中A、B、C为格点,̂的长等于.作△ABC的外接圆,则BB六.直线与圆的位置关系(共1小题)17.(2020•泰州)如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点,若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为.七.切线的性质(共4小题)18.(2020•桂林)如图,AB是⊙O的弦,AC与⊙O相切于点A,连接OA,OB,若∠O=130°,则∠BAC 的度数是()A.60°B.65°C.70°D.75°19.(2020•眉山)如图,点P为⊙O外一点,过点P作⊙O的切线P A、PB,点A、B为切点,连接AO并延长交PB的延长线于点C,过点C作CD⊥PO,交PO的延长线于点D.已知P A=6,AC=8,则CD的长为.20.(2020•呼和浩特)已知AB为⊙O的直径且长为2r,C为⊙O上异于A,B的点,若AD与过点C的⊙O的切线互相垂直,垂足为D.①若等腰三角形AOC的顶角为120度,则CD=12r,②若△AOC为正三角形,则CD=√32r,③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D,则CD=r,④无论点C在何处,将△ADC沿AC折叠,点D一定落在直径AB上,其中正确结论的序号为.21.(2020•济南)如图,AB为⊙O的直径,点C是⊙O上一点,CD与⊙O相切于点C,过点A作AD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:AC是∠DAB的角平分线;(2)若AD=2,AB=3,求AC的长.八.切线的判定与性质(共9小题)22.(2020•兰州)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=OB,点C是AB的中点,以OC为半径作⊙O.(1)求证:AB是⊙O的切线;(2)若OC=2,求OA的长.23.(2020•西藏)如图所示,AB是⊙O的直径,AD和BC分别切⊙O于A,B两点,CD与⊙O有公共点E,且AD=DE.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AB=12,BC=4,求AD的长.24.(2020•葫芦岛)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是直径,AB=BC,连接BD,过点D的直线与CA的延长线相交于点E,且∠EDA=∠ACD.(1)求证:直线DE是⊙O的切线;(2)若AD=6,CD=8,求BD的长.25.(2020•镇江)如图,▱ABCD 中,∠ABC 的平分线BO 交边AD 于点O ,OD =4,以点O 为圆心,OD 长为半径作⊙O ,分别交边DA 、DC 于点M 、N .点E 在边BC 上,OE 交⊙O 于点G ,G 为BB̂的中点. (1)求证:四边形ABEO 为菱形;(2)已知cos ∠ABC =13,连接AE ,当AE 与⊙O 相切时,求AB 的长. 26.(2020•宁夏)如图,在△ABC 中,∠B =90°,点D 为AC 上一点,以CD 为直径的⊙O 交AB 于点E ,连接CE ,且CE 平分∠ACB .(1)求证:AE 是⊙O 的切线;(2)连接DE ,若∠A =30°,求BB BB .27.(2020•烟台)如图,在▱ABCD 中,∠D =60°,对角线AC ⊥BC ,⊙O 经过点A ,B ,与AC 交于点M ,连接AO 并延长与⊙O 交于点F ,与CB 的延长线交于点E ,AB =EB .(1)求证:EC 是⊙O 的切线;(2)若AD =2√3,求BB ̂的长(结果保留π).28.(2020•广东)如图1,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,∠DAB =90°,AB 是⊙O 的直径,CO 平分∠BCD .(1)求证:直线CD 与⊙O 相切;(2)如图2,记(1)中的切点为E ,P 为优弧BB̂上一点,AD =1,BC =2.求tan ∠APE 的值.29.(2020•株洲)AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,连接AC、BC,直线MN过点C,满足∠BCM=∠BAC=α.(1)如图①,求证:直线MN是⊙O的切线;(2)如图②,点D在线段BC上,过点D作DH⊥MN于点H,直线DH交⊙O于点E、F,连接AF并延长交直线MN于点G,连接CE,且CE=53,若⊙O的半径为1,cosα=34,求AG•ED的值.30.(2020•潍坊)如图,AB为⊙O的直径,射线AD交⊙O于点F,点C为劣弧BB̂的中点,过点C作CE ⊥AD,垂足为E,连接AC.(1)求证:CE是⊙O的切线;(2)若∠BAC=30°,AB=4,求阴影部分的面积.九.三角形的内切圆与内心(共1小题)31.(2020•随州)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h、r、R,则下列结论不正确的是()A.h=R+r B.R=2r C.r=√34a D.R=√3 3a一十.正多边形和圆(共7小题)32.(2020•济南)如图,在正六边形ABCDEF中,分别以C,F为圆心,以边长为半径作弧,图中阴影部分的面积为24π,则正六边形的边长为.33.(2020•黄石)匈牙利著名数学家爱尔特希(P.Erdos,1913﹣1996)曾提出:在平面内有n个点,其中每三个点都能构成等腰三角形,人们将具有这样性质的n个点构成的点集称为爱尔特希点集.如图,是由五个点A、B、C、D、O构成的爱尔特希点集(它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成),则∠ADO的度数是.34.(2020•株洲)据《汉书律历志》记载:“量者,龠(yuè)、合、升、斗、斛(hú)也”斛是中国古代的一种量器,“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉”.意思是说:“斛的底面为:正方形外接一个圆,此圆外是一个同心圆”,如图所示.问题:现有一斛,其底面的外圆直径为两尺五寸(即2.5尺),“庣旁”为两寸五分(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺),则此斛底面的正方形的周长为尺.(结果用最简根式表示)35.(2020•南京)如图,在边长为2cm的正六边形ABCDEF中,点P在BC上,则△PEF的面积为cm2.̂上一点(点P与点D,点E不重合),连36.(2020•绥化)如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,点P为BB接PC、PD,DG⊥PC,垂足为G,∠PDG等于度.37.(2020•成都)如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线F A1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”,BB 1̂,B 1B 1̂,B 1B 1̂,B 1B 1̂,B 1B 1̂,B 1B 1̂,…的圆心依次按A ,B ,C ,D ,E ,F 循环,且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角.当AB =1时,曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度是 .38.(2020•通辽)中心为O 的正六边形ABCDEF 的半径为6cm ,点P ,Q 同时分别从A ,D 两点出发,以1cm /s 的速度沿AF ,DC 向终点F ,C 运动,连接PB ,PE ,QB ,QE ,设运动时间为t (s ).(1)求证:四边形PBQE 为平行四边形;(2)求矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比.一十一.弧长的计算(共4小题)39.(2020•盘锦)如图,在△ABC 中,AB =BC ,∠ABC =90°,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ,点E 为线段OB 上的一点,OE :EB =1:√3,连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ,连接OF 交⊙O 于点G ,若BF =2√3,则BB̂的长是( ) A .B 3 B .B 2 C .2B 3 D .3B 440.(2020•沈阳)如图,在矩形ABCD 中,AB =√3,BC =2,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧交边BC 于点E ,连接AE ,则BB̂的长为( ) A .4B 3 B .π C .2B 3 D .B 3 41.(2020•潍坊)如图,四边形ABCD 是正方形,曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的.其中:BB 1̂的圆心为点A ,半径为AD ;B 1B 1̂的圆心为点B ,半径为BA 1;B 1B 1̂的圆心为点C ,半径为CB 1;B 1B 1̂的圆心为点D ,半径为DC 1;⋯BB 1̂,B 1B 1̂,B 1B 1̂,B 1B 1̂,…的圆心依次按点A ,B ,C ,D 循环.若正方形ABCD 的边长为1,则B 2020B 2020̂的长是 .42.(2020•河南)如图,在扇形BOC 中,∠BOC =60°,OD 平分∠BOC 交BB̂于点D ,点E 为半径OB 上一动点.若OB =2,则阴影部分周长的最小值为 .一十二.扇形面积的计算(共6小题)43.(2020•山西)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,其形状是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC =BD =12cm ,C ,D 两点之间的距离为4cm ,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是( )A .80πcm 2B .40πcm 2C .24πcm 2D .2πcm 244.(2020•日照)如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为⊙O 的弦,AB ⊥CD 于点E ,若CD =6√3,AE =9,则阴影部分的面积为( ) A .6π−92√3 B .12π﹣9√3C .3π−94√3D .9√3 45.(2020•西藏)如图,AB 为半圆O 的直径,C 为半圆上的一点,OD ⊥AC ,垂足为D ,延长OD 与半圆O 交于点E .若AB =8,∠CAB =30°,则图中阴影部分的面积为( )A .43π−√3B .43π﹣2√3C .83π−√3D .83π﹣2√3 46.(2020•呼伦贝尔)若一个扇形的弧长是2πcm ,面积是6πcm 2,则扇形的圆心角是 度.47.(2020•鄂尔多斯)如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ,垂足为E ,∠BCD =30°,CD =2√3,则阴影部分面积S 阴影= .48.(2020•福建)一个扇形的圆心角是90°,半径为4,则这个扇形的面积为 .(结果保留π)一十三.圆锥的计算(共1小题)49.(2020•广东)如图,从一块半径为1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为120°的扇形ABC ,如果将剪下来的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的底面圆的半径为 m .一十四.圆的综合题(共1小题)50.(2020•呼和浩特)某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行研究,发现多处出现著名的黄金分割比√5−12≈0.618.如图,圆内接正五边形ABCDE ,圆心为O ,OA 与BE 交于点H ,AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N .根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其它可同理得出)(1)求证:△ABM 是等腰三角形且底角等于36°,并直接说出△BAN 的形状;(2)求证:BB BB =BB BB ,且其比值k =√5−12;(3)由对称性知AO ⊥BE ,由(1)(2)可知BB BB 也是一个黄金分割数,据此求sin18°的值.2020年全国中考数学试题分类(11)——圆参考答案与试题解析一.圆心角、弧、弦的关系(共1小题)1.【解答】解:如图,连接OC,∵AO∥DC,∴∠ODC=∠AOD=68°,∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=68°,∴∠COD=44°,∴∠AOC=112°,∴∠B=12∠AOC=56°.故选:C.二.圆周角定理(共9小题)2.【解答】解:根据圆周角定理得:∠AOB=2∠ACB,∵∠ACB=45°,∴∠AOB=90°,∵AB=2√2,OA=OB,∴2OA2=AB2,∴OA=OB=2,故选:B.3.【解答】解:在优弧AB上任意找一点D,连接AD,BD.∵∠D=180°﹣∠ACB=50°,∴∠AOB=2∠D=100°,故选:A.4.【解答】解:连接OD、OE,∵OC=OA,∴△OAC是等腰三角形,∵点D为弦AC的中点,∴∠DOC=40°,∠BOC=100°,设∠BOE =x ,则∠COE =100°﹣x ,∠DOE =100°﹣x +40°, ∵OC =OE ,∠COE =100°﹣x ,∴∠OEC =∠OCE =40°+12x ,∵OD <OE ,∠DOE =100°﹣x +40°=140°﹣x ,∴∠OED <20°+12x , ∴∠CED =∠OEC ﹣∠OED >(40°+12x )﹣(20°+12x )=20°,∵∠CED <∠ABC =40°,∴20°<∠CED <40°故选:C .5.【解答】解:∵BC ∥OA ,∴∠ACB =∠A =25°,∠B =∠AOB =2∠ACB =50°,∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BCD =90°,∴∠D =90°﹣∠B =90°﹣50°=40°,故选:C .6.【解答】解:∵AB 是直径,∴∠ACB =90°,∵∠BAC =20°,∴∠ABC =90°﹣20°=70°,∴∠ADC =∠ABC =70°,故选:C .7.【解答】解:连接AC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∵∠ABC =38°,∴∠BAC =90°﹣∠ABC =52°,∴∠BDC =∠BAC =52°.故选:B .8.【解答】解:连接BC ,如图,∵B (﹣4,0),C (0,3),∴OB =4,OC =3,∴BC =√32+42=5,∴sin ∠OBC =BB BB =35, ∵∠ODC =∠OBC ,∴sin ∠CDO =sin ∠OBC =35.故选:A .9.【解答】解:∵BC =CD , ∴BB̂=BB ̂, ∵∠ABD 和∠ACD 所对的弧都是BB̂, ∴∠BAC =∠DAC =35°,∵∠ABD =∠ACD =45°,∴∠ADB =180°﹣∠BAD ﹣∠ABD =180°﹣70°﹣45°=65°. 故选:C .10.【解答】解:如图,连接AD .∵AB 是直径,∴∠ADB =90°,∵∠1=∠ADE ,∴∠1+∠2=90°,∵∠1=55°,∴∠2=35°,故答案为35.三.圆内接四边形的性质(共2小题)11.【解答】解:延长BA 到E ,使AE =BC ,连接DE ,如图,∵BD 平分∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =12×120°=60°,∵∠DAC =∠DBC =60°,∠DCA =∠DBA =60°,∴△DAC 为等边三角形,∴DA =DC ,在△ADE 和△BCD 中,{BB =BB BBBB =BBBB BB =BB ,∴△ADE ≌△BCD (SAS ),∴∠E =∠DBC =60°,而∠DBA =60°,∴△DBE 为等边三角形,∵DH ⊥AB ,∴BH =EH ,在Rt △BDH 中,BH =√33DH =√33×√3=1,∴BE =2BH =2,∴AB +BC =2.故选:C .12.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD 内接于圆.∴∠ABC +∠ADC =180°,∵∠ABC =60°,∴∠ADC =120°,∵DB 平分∠ADC ,∴∠ADB =∠CDB =60°,∴∠ACB =∠ADB =60°,∠BAC =∠CDB =60°,∴∠ABC =∠BCA =∠BAC ,∴△ABC 是等边三角形.(2)过点A 作AM ⊥CD ,垂足为点M ,过点B 作BN ⊥AC ,垂足为点N . ∴∠AMD =90°,∵∠ADC =120°,∴∠ADM =60°,∴∠DAM =30°,∴DM =12AD =1,AM =√BB 2−BB 2=√22−12=√3,∵CD =3,∴CM =CD +DM =1+3=4,∴S △ACD =12CD •AM =12×3×√3=3√32,Rt △AMC 中,∠AMD =90°,∴AC =√BB 2+BB 2=√3+16=√19,∵△ABC 是等边三角形,∴AB =BC =AC =√19,∴BN =√32BC =√572,∴S △ABC =12×√19×√572=19√34, ∴四边形ABCD 的面积=19√34+3√32=25√34, ∵BE ∥CD ,∴∠E +∠ADC =180°,∵∠ADC =120°,∴∠E =60°,∴∠E =∠BDC ,∵四边形ABCD 内接于⊙O ,∴∠EAB =∠BCD ,在△EAB 和△DCB 中,{∠B =∠BBBBBBB =BBBB BB =BB,∴△EAB ≌△DCB (AAS ),∴△BDE 的面积=四边形ABCD 的面积=25√34. 四.点与圆的位置关系(共1小题)13.【解答】解:如图,连接BE ,BD .由题意BD =√22+42=2√5,∵∠MBN =90°,MN =4,EM =NE ,∴BE =12MN =2,∴点E 的运动轨迹是以B 为圆心,2为半径的弧, ∴当点E 落在线段BD 上时,DE 的值最小,∴DE 的最小值为2√5−2.(也可以用DE ≥BD ﹣BE ,即DE ≥2√5−2确定最小值) 故答案为2√5−2.五.三角形的外接圆与外心(共3小题)14.【解答】解:∵AB =AC ,AD 是∠BAC 的平分线, ∴BD =CD ,AD ⊥BC ,∵EF 是AC 的垂直平分线,∴点O 是△ABC 外接圆的圆心,∵OA =3,∴△ABC 外接圆的面积=πr 2=π×32=9π.故选:D .15.【解答】解:连接OC ,OA .∵∠AOC =2∠ABC ,∠ABC =30°,∴∠AOC =60°,∵OA =OC ,∴△AOC 是等边三角形,∴OA =OC =AC =6,∴BB ̂的长=60⋅B ⋅6180=2π, 故答案为2π.16.【解答】解:∵每个小方格都是边长为1的正方形, ∴AB =2√5,AC =√10,BC =√10,∴AC 2+BC 2=AB 2,∴△ACB 为等腰直角三角形,∴∠A =∠B =45°,∴连接OC ,则∠COB =90°,∵OB =√5,∴BB̂的长为:90⋅B ×√5180=√52π, 故答案为:√52π. 六.直线与圆的位置关系(共1小题)17.【解答】解:∵直线a ⊥b ,O 为直线b 上一动点, ∴⊙O 与直线a 相切时,切点为H ,∴OH =1cm ,当点O 在点H 的左侧,⊙O 与直线a 相切时,如图1所示:OP =PH ﹣OH =4﹣1=3(cm );当点O 在点H 的右侧,⊙O 与直线a 相切时,如图2所示:OP =PH +OH =4+1=5(cm );∴⊙O 与直线a 相切,OP 的长为3cm 或5cm ,故答案为:3cm 或5cm .七.切线的性质(共4小题)18.【解答】解:∵AC 与⊙O 相切于点A ,∴AC ⊥OA ,∴∠OAC =90°,∵OA =OB ,∴∠OAB =∠OBA .∵∠O =130°,∴∠OAB=180°−BB2=25°,∴∠BAC=∠OAC﹣∠OAB=90°﹣25°=65°.故选:B.19.【解答】解:连接OB,如图,∵P A、PB为⊙O的切线,∴PB=P A=6,OB⊥PC,OA⊥P A,∴∠CAP=∠CBO=90°,在Rt△APC中,PC=√BB2+BB2=√62+82=10,∴BC=PC﹣PB=4,设⊙O的半径为r,则OA=OB=r,OC=8﹣r,在Rt△BCO中,42+r2=(8﹣r)2,解得r=3,∴OA=3,OC=5,在Rt△OP A中,OP=√BB2+BB2=√32+62=3√5,∵CD⊥PO,∴∠CDO=90°,∵∠COD=∠POA,∠CDO=∠P AO,∴△COD∽△POA,∴CD:P A=OC:OP,即CD:6=5:3√5,∴CD=2√5.故答案为2√5.20.【解答】解:①如图1,∵∠AOC=120°,∴∠CAO=∠ACO=30°,∵CD和圆O相切,AD⊥CD,∴∠OCD=90°,AD∥CO,∴∠ACD=60°,∠CAD=30°,∴CD=12AC,∵C为⊙O上异于A,B的点,∴AC<AB,∴CD≠12r,故①错误;②如图2,过点A作AE⊥OC,垂足为E,若△AOC为正三角形,∠AOC=∠OAC=60°,AC=OC=OA=r,∴∠OAE=30°,∴OE=12AO,AE=√32AO=√32r,∵四边形AECD为矩形,∴CD=AE=√32r,故②正确;③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D,如图3,∴AD=CD,而∠ADC=90°,∴∠DAC=∠DCA=45°,又∠OCD=90°,∴∠ACO=∠CAO=45°∴∠DAO=90°,∴四边形AOCD为矩形,∴CD=AO=r,故③正确;④如图4,过点C作CE⊥AO,垂足为E,连接DE,∵OC⊥CD,AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠CAD=∠ACO,∵OC=OA,∴∠ACO=∠CAO,∴∠CAD=∠CAO,∴CD=CE,在△ADC和△AEC中,∠ADC=∠AEC=90°,CD=CE,AC=AC,∴△ADC≌△AEC(HL),∴AD=AE,∴AC垂直平分DE,则点D和点E关于AC对称,即点D一定落在直径上,故④正确.故正确的序号为:②③④,故答案为:②③④.21.【解答】解:(1)证明:连接OC,如图,∵CD与⊙O相切于点C,∴∠OCD =90°,∴∠ACD +∠ACO =90°,∵AD ⊥DC ,∴∠ADC =90°,∴∠ACD +∠DAC =90°,∴∠ACO =∠DAC ,∵OA =OC ,∴∠OAC =∠OCA ,∴∠DAC =∠OAC ,∴AC 是∠DAB 的角平分线;(2)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,∴∠D =∠ACB =90°,∵∠DAC =∠BAC ,∴Rt △ADC ∽Rt △ACB ,∴BB BB =BB BB ,∴AC 2=AD •AB =2×3=6,∴AC =√6.八.切线的判定与性质(共9小题)22.【解答】(1)证明:∵OA =OB ,点C 是AB 的中点,∴OC ⊥AB ,∵OC 为⊙O 的半径,∴AB 是⊙O 的切线;(2)∵△AOB 是等腰直角三角形,点C 是AB 的中点,∴OC ⊥AB ,AB =2OC =4,∵12OA 2=12BB ⋅BB , ∴OA =√2×4=2√2.23.【解答】(1)证明:连接OD ,OE ,∵AD 切⊙O 于A 点,AB 是⊙O 的直径,∴∠DAB =90°,∵AD =DE ,OA =OE ,OD =OD ,∴△ADO ≌△EDO (SSS ),∴∠OED =∠OAD =90°,∴CD 是⊙O 的切线;(2)解:过C 作CH ⊥AD 于H ,∵AB 是⊙O 的直径,AD 和BC 分别切⊙O 于A ,B 两点,∴∠DAB =∠ABC =∠CHA =90°,∴四边形ABCH 是矩形,∴CH =AB =12,AH =BC =4,∵CD 是⊙O 的切线,∴AD =DE ,CE =BC ,∴DH =AD ﹣BC =AD ﹣4,CD =AD +4,∵CH 2+DH 2=CD 2,∴122+(AD ﹣4)2=(AD +4)2,∴AD =9.24.【解答】(1)证明:连接OD,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∵AC是直径,∴∠ADC=90°,∵∠EDA=∠ACD,∴∠ADO+∠ODC=∠EDA+∠ADO=90°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°,∴OD⊥DE,∵OD是半径,∴直线DE是⊙O的切线.(2)解法一:过点A作AF⊥BD于点F,则∠AFB=∠AFD=90°,∵AC是直径,∴∠ABC=∠ADC=90°,∵在Rt△ACD中,AD=6,CD=8,∴AC2=AD2+CD2=62+82=100,∴AC=10,∵在Rt△ABC中,AB=BC,∴∠BAC=∠ACB=45°,∵BBB∠BBB=BB BB,∴BB=BBB45°⋅BB=5√2,∵∠ADB=∠ACB=45°,∵在Rt△ADF中,AD=6,∵BBB∠BBB=BB BB,∴BB=BBB45°⋅BB=3√2,∴BB=BB=3√2,在Rt△ABF中,BB2=BB2−BB2=(5√2)2−(3√2)2=32,∴BB=4√2,∴BB=BB+BB=7√2.解法二:过点B作BH⊥BD交DC延长线于点H.∴∠DBH=90°,∵AC是直径,∴∠ABC=90°,∵∠ABD=90°﹣∠DBC,∠CBH=90°﹣∠DBC,∴∠ABD=∠CBH,∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BCD+∠BCH=180°,∴∠BAD=∠BCH,∵AB=CB,∴△ABD≌△CBH(ASA),∴AD =CH ,BD =BH ,∵AD =6,CD =8,∴DH =CD +CH =14,在Rt △BDH 中,∵BD 2=DH 2﹣BH 2,BD =BH ,则BD 2=98.∴BB =7√2.25.【解答】解:(1)证明:∵G 为BB̂的中点, ∴∠MOG =∠MDN .∵四边形ABCD 是平行四边形.∴AO ∥BE ,∠MDN +∠A =180°,∴∠MOG +∠A =180°,∴AB ∥OE ,∴四边形ABEO 是平行四边形.∵BO 平分∠ABE ,∴∠ABO =∠OBE ,又∵∠OBE =∠AOB ,∴∠ABO =∠AOB ,∴AB =AO ,∴四边形ABEO 为菱形;(2)如图,过点O 作OP ⊥BA ,交BA 的延长线于点P ,过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ,设AE 交OB 于点F ,则∠P AO =∠ABC ,设AB =AO =OE =x ,则∵cos ∠ABC =13,∴cos ∠P AO =13,∴BB BB =13,∴P A =13x , ∴OP =OQ =2√23x当AE 与⊙O 相切时,由菱形的对角线互相垂直,可知F 为切点,∴在Rt △OBQ 中,由勾股定理得:(43B )2+(2√23B )2=82, 解得:x =2√6(舍负).∴AB 的长为2√6.26.【解答】(1)证明:连接OE ,如图1所示:∵CE 平分∠ACB ,∴∠ACE =∠BCE ,又∵OE =OC ,∴∠ACE =∠OEC ,∴∠BCE =∠OEC ,∴OE ∥BC ,∴∠AEO =∠B ,又∵∠B =90°,∴∠AEO =90°,即OE ⊥AE ,∵OE 为⊙O 的半径,∴AE 是⊙O 的切线;(2)解:连接DE ,如图2所示:∵CD 是⊙O 的直径,∴∠DEC =90°,∴∠DEC =∠B ,又∵∠DCE =∠ECB ,∴△DCE ∽△ECB ,∴BB BB =BB BB ,∵∠A =30°,∠B =90°,∴∠ACB =60°,∴∠DCE =12∠ACB =12×60°=30°,∴BB BB =cos ∠DCE =cos30°=√32,∴BB BB =√32.27.【解答】(1)证明:连接OB ,连接OM ,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠ABC =∠D =60°,∵AC ⊥BC ,∴∠ACB =90°,∵BE =AB ,∴∠E =∠BAE ,∵∠ABC =∠E +∠BAE =60°,∴∠E =∠BAE =30°,∵OA =OB ,∴∠ABO =∠OAB =30°,∴∠OBC =30°+60°=90°,∴OB ⊥CE ,∴EC 是⊙O 的切线;(2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC =AD =2√3,过O 作OH ⊥AM 于H ,则四边形OBCH 是矩形,∴OH =BC =2√3,∴OA =BB BBB60°=4,∠AOM =2∠AOH =60°,∴BB ̂的长度=60⋅B ×4180=4B 3. 28.【解答】(1)证明:作OE ⊥CD 于E ,如图1所示:则∠OEC =90°,∵AD ∥BC ,∠DAB =90°,∴∠OBC =180°﹣∠DAB =90°,∴∠OEC =∠OBC ,∵CO 平分∠BCD ,∴∠OCE =∠OCB ,在△OCE 和△OCB 中,{∠BBB =∠BBBBBBB =BBBB BB =BB,∴△OCE ≌△OCB (AAS ),∴OE =OB ,又∵OE ⊥CD ,∴直线CD 与⊙O 相切;(2)解:作DF ⊥BC 于F ,连接BE ,如图2所示:则四边形ABFD 是矩形,∴AB =DF ,BF =AD =1,∴CF =BC ﹣BF =2﹣1=1,∵AD ∥BC ,∠DAB =90°,∴AD ⊥AB ,BC ⊥AB ,∴AD 、BC 是⊙O 的切线,由(1)得:CD 是⊙O 的切线,∴ED =AD =1,EC =BC =2,∴CD =ED +EC =3,∴DF =√BB 2−BB 2=√32−12=2√2,∴OB=√2,∵CO平分∠BCD,∴CO⊥BE,∴∠BCH+∠CBH=∠CBH+∠ABE=90°,∴∠ABE=∠BCH,∵∠APE=∠ABE,∴∠APE=∠BCH,∴tan∠APE=tan∠BCH=BBBB=√22.29.【解答】(1)证明:连接OC,如图①,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵OC=OB,∴∠B=∠OCB,∵∠BCM=∠A,∴∠OCB+∠BCM=90°,即OC⊥MN,∴MN是⊙O的切线;(2)解:如图②,∵AB是⊙O的直径,⊙O的半径为1,∴AB=2,∵cos∠BAC=BBBB=BBBB=34,即BB2=34,∴BB=3 2,∵∠AFE=∠ACE,∠GFH=∠AFE,∴∠GFH=∠ACE,∵DH⊥MN,∴∠GFH+∠AGC=90°,∵∠ACE+∠ECD=90°,∴∠ECD=∠AGC,又∵∠DEC=∠CAG,∴△EDC∽△ACG,∴BB BB =BB BB ,∴BB ⋅BB =BB ⋅BB =32×53=52.30.【解答】解:(1)连接BF ,OC ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AFB =90°,即BF ⊥AD ,∵CE ⊥AD ,∴BF ∥CE ,连接OC ,∵点C 为劣弧BB ̂的中点,∴OC ⊥BF ,∵BF ∥CE ,∴OC ⊥CE ,∵OC 是⊙O 的半径,∴CE 是⊙O 的切线;(2)连接OF ,CF ,∵OA =OC ,∠BAC =30°,∴∠BOC =60°,∵点C 为劣弧BB ̂的中点,∴BB ̂=BB ̂,∴∠FOC =∠BOC =60°,∵OF =OC ,∴∠OCF =∠COB ,∴CF ∥AB ,∴S △ACF =S △COF ,∴阴影部分的面积=S 扇形COF ,∵AB =4,∴FO =OC =OB =2,∴S 扇形FOC =60⋅B ×22360=23B , 即阴影部分的面积为:23B . 九.三角形的内切圆与内心(共1小题)31.【解答】解:如图,∵△ABC 是等边三角形,∴△ABC 的内切圆和外接圆是同心圆,圆心为O ,设OE =r ,AO =R ,AD =h ,∴h =R +r ,故A 正确;∵AD ⊥BC ,∴∠DAC =12∠BAC =12×60°=30°,在Rt △AOE 中,∴R =2r ,故B 正确;∵OD =OE =r ,∵AB =AC =BC =a ,∴AE =12AC =12a ,∴(12a )2+r 2=(2r )2,(12a )2+(12R )2=R 2, ∴r =√3B 6,R =√33a ,故C 错误,D 正确;故选:C .一十.正多边形和圆(共7小题)32.【解答】解:∵正六边形的内角是120度,阴影部分的面积为24π,设正六边形的边长为r ,∴120B ×B 2360×2=24π,解得r =6.则正六边形的边长为6.33.【解答】解:由题意知点A 、B 、C 、D 为正五边形任意四个顶点,且O 为正五边形中心, ∴∠AOB =∠BOC =∠COD =360°5=72°,∴∠AOD =360°﹣3∠AOB =144°,又∵OA =OD ,∴∠ADO =180°−BBBB 2=180°−144°2=18°, 故答案为:18°.34.【解答】解:如图,∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=2.5,∴CE=2.5﹣0.25×2=2,∴CD=CE⋅BBB∠BBB=2×√22=√2,∴正方形CDEF周长为4√2尺.故答案为:4√2.35.【解答】解:连接BF,BE,过点A作AT⊥BF于T∵ABCDEF是正六边形,∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,∴S△PEF=S△BEF,∵AT⊥BF,AB=AF,∴BT=FT,∠BAT=∠F AT=60°,∴BT=FT=AB•sin60°=√3,∴BF=2BT=2√3,∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,∴∠BFE=90°,∴S△PEF=S△BEF=12•EF•BF=12×2×2√3=2√3,故答案为2√3.36.【解答】解:连接OC、OD,如图所示:∵ABCDE是正五边形,∴∠COD=360°5=72°,∴∠CPD=12∠COD=36°,∵DG⊥PC,∴∠PGD=90°,∴∠PDG=90°﹣∠CPD=90°﹣36°=54°,故答案为:54.37.【解答】解:BB 1̂的长=60⋅B ⋅1180=B 3,B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅2180=2B 3, B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅3180=3B 3,B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅4180=4B 3,B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅5180=5B 3, B 1B 1̂的长=60⋅B ⋅6180=6B 3,∴曲线F A 1B 1C 1D 1E 1F 1的长度=B 3+2B 3+⋯+6B 3=21B 3=7π, 故答案为7π.38.【解答】(1)证明:∵六边形ABCDEF 是正六边形,∴AB =BC =CD =DE =EF =F A ,∠A =∠ABC =∠C =∠D =∠DEF =∠F ,∵点P ,Q 同时分别从A ,D 两点出发,以1cm /s 速度沿AF ,DC 向终点F ,C 运动, ∴AP =DQ =t ,PF =QC =6﹣t ,在△ABP 和△DEQ 中,{BB =BBBB =BB BB =BB ,∴△ABP ≌△DEQ (SAS ),∴BP =EQ ,同理可证PE =QB ,∴四边形PEQB 为平行四边形.(2)解:连接BE 、OA ,则∠AOB =360°6=60°,∵OA =OB ,∴△AOB 是等边三角形,∴AB =OA =6,BE =2OB =12,当t =0时,点P 与A 重合,Q 与D 重合,四边形PBQE 即为四边形ABDE ,如图1所示: 则∠EAF =∠AEF =30°,∴∠BAE =120°﹣30°=90°,∴此时四边形ABDE 是矩形,即四边形PBQE 是矩形.当t =6时,点P 与F 重合,Q 与C 重合,四边形PBQE 即为四边形FBCE ,如图2所示: 同法可知∠BFE =90°,此时四边形PBQE 是矩形.综上所述,t =0s 或6s 时,四边形PBQE 是矩形,∴AE =√122−62=6√3,∴矩形PBQE 的面积=矩形ABDE 的面积=AB ×AE =6×6√3=36√3;∵正六边形ABCDEF 的面积=6△AOB 的面积=6×14矩形ABDE 的面积=6×14×36√3=54√3, ∴矩形PBQE 的面积与正六边形ABCDEF 的面积之比=23.一十一.弧长的计算(共4小题)39.【解答】解:连接OD 、BD ,∵在△ABC 中,AB =BC ,∠ABC =90°,∴∠A =∠C =45°,∵AB 是直径,∴∠ADB =90°,∵OA =OB ,∴OD ⊥AB ,∴∠AOD =90°,∴∠AOD =∠ABC ,∴OD ∥FC ,∴△DOE ∽△FBE ,∴BB BB =BB BB ,∵OB =OD ,OE :EB =1:√3,∴tan ∠BOF =BB BB =√3, ∴∠BOF =60°,∴BF =2√3,∴OB =2,∴BB̂的长=60B ×2180=23π, 故选:C .40.【解答】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD =BC =2,∠B =90°,∴AE =AD =2,∵AB =√3,∴cos ∠BAE =BB BB =√32, ∴∠BAE =30°,∴∠EAD =60°,∴BB̂的长=60⋅B ×2180=2B 3, 故选:C .41.【解答】解:由图可知,曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由一段段90度的弧组成的,半径每次比前一段弧半径+1,AD =AA 1=1,BA 1=BB 1=2,……,AD n ﹣1=AA n =4(n ﹣1)+1,BA n =BB n =4(n ﹣1)+2,故B 2020B 2020̂的半径为BA 2020=BB 2020=4(2020﹣1)+2=8078,B 2020B 2020̂的弧长=90180×8078B =4039B . 故答案为:4039π.42.【解答】解:如图,作点D 关于OB 的对称点D ′,连接D ′C 交OB 于点E ′,连接E ′D 、OD ′, 此时E ′C +E ′D 最小,即:E ′C +E ′D =CD ′,由题意得,∠COD =∠DOB =∠BOD ′=30°,∴∠COD ′=90°,∴CD ′=√BB 2+BB′2=√22+22=2√2,BB ̂的长l =30B ×2180=B 3, ∴阴影部分周长的最小值为2√2+B 3=6√2+B 3. 故答案为:6√2+B 3.一十二.扇形面积的计算(共6小题)43.【解答】解:如图,连接CD .∵OC =OD ,∠O =60°,∴△COD 是等边三角形,∴OC =OD =CD =4cm ,∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S 扇形OCD =60⋅B ⋅162360−60⋅B ⋅42360=40π(cm 2), 故选:B .44.【解答】 解:∵AB 是⊙O 的直径,CD 为⊙O 的弦,AB ⊥CD 于点E , ∴CE =DE =12BB =3√3. 设⊙O 的半径为r ,在直角△OED 中,OD 2=OE 2+DE 2,即B 2=(9−B )2+(3√3)2, 解得,r =6,∴OE =3,∴cos ∠BOD =BB BB =36=12,∴∠EOD =60°,∴B 扇形BBB =16B ×36=6B ,B BB △BBB =12×3×3√3=92√3,∴B 阴影=6B −92√3,故选:A .45.【解答】解:∵OD ⊥AC , ∴∠ADO =90°,BB̂=BB ̂,AD =CD , ∵∠CAB =30°,OA =4,∴OD =12OA =2,AD =√32OA =2√3, ∴图中阴影部分的面积=S 扇形AOE ﹣S △ADO =60⋅B ×42360−12×2√3×2=8B 3−2√3,故选:D .46.【解答】解:设圆心角都度数为n 度,扇形的面积=12BB =6π,解得:r =6,又∵B =BB ×6180=2π, ∴n =60.故答案为:60.47.【解答】解:连接OC .∵AB ⊥CD ,∴BB̂=BB ̂,CE =DE =√3, ∴∠COB =∠BOD ,∵∠BOD =2∠BCD =60°,∴∠COB =60°,∵OC =OB =OD ,∴△OBC ,△OBD 都是等边三角形,∴OC =BC =BD =OD ,∴四边形OCBD 是菱形,∴OC ∥BD ,∴S △BDC =S △BOD ,∴S 阴=S 扇形OBD ,∵OD =BB BBB60°=2,∴S 阴=60⋅B ⋅22360=2B 3,故答案为2B 3. 48.【解答】解:S 扇形=90⋅B ⋅42360=4π, 故答案为:4π.一十三.圆锥的计算(共1小题)49.【解答】解:如图,连接OB ,OC ,OA ,∵OB =OA ,OA =OC ,AB =AC ,∴△ABO ≌△ACO (SSS ),∴∠BAO =∠CAO =60°,∵AO =BO ,∴△ABO 是等边三角形,∴AB =AO =1,由题意得,阴影扇形的半径为1m ,圆心角的度数为120°, 则扇形的弧长为:120B ×1180, 而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长,因此有: 2πr =120B ×1180, 解得,r =13,故答案为:13. 一十四.圆的综合题(共1小题)50.【解答】解:(1)连接圆心O 与正五边形各顶点, 在正五边形中,∠AOE =360°÷5=72°,∴∠ABE =12∠AOE =36°,同理∠BAC =12×72°=36°,∴AM =BM ,∴△ABM 是等腰三角形且底角等于36°,∵∠BOD =∠BOC +∠COD =72°+72°=144°,∴∠BAD =12∠BOD =72°, ∴∠BNA =180°﹣∠BAD ﹣∠ABE =72°,∴AB =NB ,即△ABN 为等腰三角形;(2)∵∠ABM =∠ABE ,∠AEB =12∠AOB =36°=∠BAM , ∴△BAM ∽△BEA ,∴BB BB =BB BB ,而AB =BN , ∴BB BB =BB BB ,设BM =y ,AB =x ,则AM =AN =y ,AB =AE =BN =x ,∵∠AMN =∠MAB +∠MBA =72°=∠BAN ,∠ANM =∠ANB , ∴△AMN ∽△BAN ,∴BB BB =BB BB ,即B B =B −B B ,则y 2=x 2﹣xy ,两边同时除以x 2,得:(B B )2=1−B B ,设B B=t , 则t 2+t ﹣1=0,解得:t =√5−12或−1−√52(舍), ∴BB BB =BB BB =B B =√5−12; (3)∵∠MAN =36°,根据对称性可知:∠MAH =∠NAH =12∠MAN =18°, 而AO ⊥BE ,∴sin18°=sin ∠MAH =BB BB =12BB BB =12(B −B )B =B −B 2B =12×B B −12=12×√5−1−12=√5−14.。

2020中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题4.4 圆(含解析)

2020中考数学试题分项版解析汇编(第02期)专题4.4 圆(含解析)

2020专题4.4 圆一、单选题1.如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为()A. 4 B. 2 C. D. 2【来源】湖北省襄阳市2018年中考数学试卷【答案】B【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理,熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解题的关键.2.如图,AB为⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ADC=35°,则∠CAB的度数为()A.35° B.45° C.55° D.65°【来源】江苏省盐城市2018年中考数学试题【答案】C【解析】分析:由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°;而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°,则由∠2020 CAB=90°-∠B即可求得.详解:∵∠ADC=35°,∠ADC与∠B所对的弧相同,∴∠B=∠ADC=35°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB=90°-∠B=55°,故选C.点睛:本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.3.如图,AB是⊙O的直径,点D为⊙O上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则的长为()A. B. C. 2π D.【来源】湖北省黄石市2018年中考数学试卷【答案】D【解析】分析:先计算圆心角为120°,根据弧长公式=,可得结果.详解:连接OD,∵∠ABD=30°,∴∠AOD=2∠ABD=60°,∴∠BOD=120°,∴的长==,故选:D.点睛:本题考查了弧长的计算和圆周角定理,熟练掌握弧长公式是关键,属于基础题.4.如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠A OC=140°,则∠B的度数是()A.70° B.80° C.110° D.140°【来源】江苏省淮安市2018年中考数学试题【答案】C【解析】分析:作对的圆周角∠APC,如图,利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°,然后根据圆周角定理求∠AOC的度数.详解:作对的圆周角∠APC,如图,∵∠P=∠AOC=×140°=70°∵∠P+∠B=180°,∴∠B=180°﹣70°=110°,故选:C.点睛:本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.5.如图,矩形ABCD中,G是BC的中点,过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F,给出下列说法:(1)AC与BD的交点是圆O的圆心;(2)AF与DE的交点是圆O的圆心;(3)BC与圆O相切,其中正确说法的个数是()A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【来源】江苏省无锡市2018年中考数学试题【答案】C详解:连接DG、AG,作GH⊥AD于H,连接OD,如图,∵G是BC的中点,∴AG=DG,∴GH垂直平分AD,∴点O在HG上,∵AD∥BC,∴HG⊥BC,∴BC与圆O相切;∵OG=OD,∴点O不是HG的中点,∴圆心O不是AC与BD的交点;而四边形AEFD为⊙O的内接矩形,∴AF与DE的交点是圆O的圆心;∴(1)错误,(2)(3)正确.故选:C.点睛:本题考查了三角形外接圆与外心:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的内心是三角形三边垂直平分线的交点.也考查了切线的判定与矩形的性质.6.如图,四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为()A.56° B.62° C.68° D.78°【来源】山东省烟台市2018年中考数学试卷【答案】B【解析】分析:由点I是△ABC的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA,从而求得∠B=180°﹣(∠BAC+∠ACB)=180°﹣2(180°﹣∠AIC),再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案.详解:∵点I是△ABC的内心,∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA,∵∠AIC=124°,∴∠B=180°﹣(∠BAC+∠ACB)=180°﹣2(∠IAC+∠ICA)=180°﹣2(180°﹣∠AIC)=68°,又四边形ABCD内接于⊙O,∴∠CDE=∠B=68°,故选:C.点睛:本题主要考查三角形的内切圆与内心,解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质.7.正方形ABCD的边长为2,以各边为直径在正方形内画半圆,得到如图所示阴影部分,若随机向正方形ABCD内投一粒米,则米粒落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.【来源】湖北省随州市2018年中考数学试卷【答案】A【解析】【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率.【详解】如图,连接PA、PB、OP,则S半圆O=,S△ABP=×2×1=1,由题意得:图中阴影部分的面积=4(S半圆O﹣S△ABP)=4(﹣1)=2π﹣4,∴米粒落在阴影部分的概率为,故选A.【点睛】本题考查了几何概率的知识,解题的关键是求得阴影部分的面积.8.如图,坐标平面上,A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点,有一直线L通过P点且与AB垂直,C点为L 与y轴的交点.若A、B、C的坐标分别为(a,0),(0,4),(0,﹣5),其中a<0,则a的值为何?()A.﹣2 B.﹣2 C.﹣8 D.﹣7【来源】台湾省2018年中考数学试卷【答案】A【解析】分析:连接AC,根据线段垂直平分线的性质得到AC=BC,根据勾股定理求出OA,得到答案.详解:连接AC,点睛:本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理,掌握垂径定理的推论是解题的关键.9.如图,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画一弧交AC于E点,若∠A=60°,∠B=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为何?()A. B. C. D.【来源】台湾省2018年中考数学试卷【答案】C点睛:本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识,解题的关键是记住扇形的面积公式:S=.10.如图,在正方形ABCD中,AB=12,点E为BC的中点,以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆的中点,连接AF,EF,图中阴影部分的面积是()A. 18+36π B. 24+18π C. 18+18π D. 12+18π【来源】山东省威海市2018年中考数学试题【答案】C【解析】分析:作FH⊥BC于H,连接FH,如图,根据正方形的性质和切线的性质得BE=CE=CH=FH=6,则利用勾股定理可计算出AE=6,通过Rt△ABE≌△EHF得∠AEF=90°,然后利用图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆﹣S△ABE ﹣S△AEF进行计算.点睛:本题考查了正多边形和圆:利用面积的和差计算不规则图形的面积.11.如图,是⊙的直径,弦⊥于点,,则( )A. B. C. D.【来源】湖南省张家界市2018年初中毕业学业考试数学试题【答案】A【解析】分析:根据垂径定理可得出CE的长度,在Rt△OCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE=AO+OE 即可得出AE的长度.详解:∵弦CD⊥AB于点E,CD=8cm,∴CE=CD=4cm.在Rt△OCE中,OC=5cm,CE=4cm,∴OE==3cm,∴AE=AO+OE=5+3=8cm.故选:A.点睛:本题考查了垂径定理以及勾股定理,利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键.12.如图,在⊙O中,点C在优弧上,将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若⊙O的半径为,AB=4,则BC的长是()A. B. C. D.【来源】湖北省武汉市2018年中考数学试卷【答案】B【详解】连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE⊥AB于E,OF⊥CE于F,如图,∵D为AB的中点,∴OD⊥AB,∴AD=BD=AB=2,在Rt△OBD中,OD==1,∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆,∴,∴AC=DC,∴AE=DE=1,易得四边形ODEF为正方形,∴OF=EF=1,在Rt△OCF中,CF==2,∴CE=CF+EF=2+1=3,而BE=BD+DE=2+1=3,∴BC=3,故选B.【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系,熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.13.如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于().【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题【答案】A【解析】分析:直接利用切线的性质得出∠OAP=90°,再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°,结合圆周角定理得出答案.详解:∵PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°,∵∠P=36°,∴∠AOP=54°,∴∠B=27°.故选:A.点睛:此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理,正确得出∠AOP的度数是解题关键.14.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,3),C(4,3),I是△ABC的内心,将△ABC绕原点逆时针旋转90°后,I的对应点I'的坐标为()A.(﹣2,3) B.(﹣3,2) C.(3,﹣2) D.(2,﹣3)【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷【答案】A【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径,进而得出I点坐标,再利用旋转的性质得出对应点坐标.【详解】过点作IF⊥AC于点F,IE⊥OA于点E,∵A(4,0),B(0,3),C(4,3),∴BC=4,AC=3,则AB=5,∵I是△ABC的内心,∴I到△ABC各边距离相等,等于其内切圆的半径,∴IF=1,故I到BC的距离也为1,则AE=1,故IE=3﹣1=2,OE=4﹣1=3,则I(3,2),∵△ABC绕原点逆时针旋转90°,∴I的对应点I'的坐标为:(﹣2,3),故选A.【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质,根据直角三角形内心的性质得出其内心I的坐标是解题的关键.15.如图,在中,,,,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则的长为A. B. C. D.【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷【答案】C【点睛】本题考查了弧长公式的运用和含30度角的直角三角形性质,熟练掌握弧长公式是解题的关键.弧长公式:弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为.16.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形是莱洛三角形,若AB=2,则莱洛三角形的面积(即阴影部分面积)为()A. B. C. 2 D. 2【来源】广西钦州市2018年中考数学试卷【答案】D【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成,其面积=三块扇形的面积相加,再减去两个等边三角形的面积,分别求出即可.【详解】过A作AD⊥BC于D,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,∵AD⊥BC,∴BD=CD=1,AD=BD=,∴△ABC的面积为BC•AD==,S扇形BAC==,∴莱洛三角形的面积S=3×﹣2×=2π﹣2,故选D.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算,能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键.17.⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2=3,则⊙O1和⊙O2的位置关系是()A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【来源】江苏省徐州巿2018年中考数学试卷【答案】B【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断⊙O1与⊙O2的位置关系.【详解】∵⊙O1和⊙O2的半径分别为5和2,O1O2=3,则5﹣2=3,∴⊙O1和⊙O2内切,故选B.【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P:外离P>R+r;外切P=R+r;相交R﹣r<P<R+r;内切P=R﹣r;内含P<R﹣r.18.已知⊙O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系为()A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定【来源】湖南省湘西州2018年中考数学试卷【答案】B【解析】【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5,即可判断直线和圆相切.【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm,∴直线和圆相切,故选B.【点睛】本题考查了直线与圆的关系,解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系.若d <r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离.二、填空题19.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A=32°,则∠D=_____度.【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题【答案】26【解析】分析:连接OC,根据圆周角定理得到∠COD=2∠A,根据切线的性质计算即可.详解:连接OC,点睛:本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.20.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时,BP的长为______.【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷【答案】3或【解析】【分析】分两种情况:与直线CD相切、与直线AD相切,分别画出图形进行求解即可得.【详解】如图1中,当与直线CD相切时,设,在中,,,,,;如图2中当与直线AD相切时,设切点为K,连接PK,则,四边形PKDC是矩形,,,,在中,,综上所述,BP的长为3或.【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识,会用分类讨论的思想思考问题,会利用参数构建方程解决问题是关键.21.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的⊙O交BC于点E,则阴影部分的面积为_____.【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷【答案】【解析】【分析】连接半径和弦AE,根据直径所对的圆周角是直角得:∠AEB=90°,继而可得AE和BE的长,所以图中弓形的面积为扇形OBE的面积与△OBE面积的差,因为OA=OB,所以△OBE的面积是△ABE面积的一半,可得结论.【详解】如图,连接OE、AE,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE﹣S△BOE==,故答案为:.【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质,含30度角的直角三角形的性质等,求出扇形OBE的面积和△ABE的面积是解本题的关键.22.用一块圆心角为216°的扇形铁皮,做一个高为40cm的圆锥形工件(接缝忽略不计),那么这个扇形铁皮的半径是_____cm.【来源】山东省聊城市2018年中考数学试题【答案】50【解析】分析:设这个扇形铁皮的半径为Rcm,圆锥的底面圆的半径为rcm,根据圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.和弧长公式得到2πr=,解得r=R,然后利用勾股定理得到402+(R)2=R2,最后解方程即可.详解:设这个扇形铁皮的半径为Rcm,圆锥的底面圆的半径为rcm,根据题意得2πr=,解得r=R,因为402+(R)2=R2,解得R=50.所以这个扇形铁皮的半径为50cm.故答案为50.点睛:本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.23.已知的半径为,,是的两条弦,,,,则弦和之间的距离是__________.【来源】湖北省孝感市2018年中考数学试题【答案】2或14详解:①当弦AB和CD在圆心同侧时,如图,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AE=8cm,CF=6cm,∵OA=OC=10cm,∴EO=6cm,OF=8cm,∴EF=OF-OE=2cm;②当弦AB和CD在圆心异侧时,如图,∵AB=16cm,CD=12cm,∴AF=8cm,CE=6cm,∵OA=OC=10cm,∴OF=6cm,OE=8cm,∴EF=OF+OE=14cm.∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm.故答案为:2或14.点睛:本题考查了勾股定理和垂径定理的应用.此题难度适中,解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用,小心别漏解.24.如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为_____.【来源】山东省烟台市2018年中考数学试卷【答案】(-1,-2)【解析】分析:连接CB,作CB的垂直平分线,根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可.详解:连接CB,作CB的垂直平分线,如图所示:在CB的垂直平分线上找到一点D,CD═DB=DA=,所以D是过A,B,C三点的圆的圆心,即D的坐标为(﹣1,﹣2),故答案为:(﹣1,﹣2),点睛:此题考查垂径定理,关键是根据垂径定理得出圆心位置.25.如图,点,,,在上,,,,则________.【来源】北京市2018年中考数学试卷【答案】70°【解析】分析:根据=,得到,根据同弧所对的圆周角相等即可得到,根据三角形的内角和即可求出.详解:∵=,∴,∴,∵,∴.故答案为:点睛:考查圆周角定理和三角形的内角和定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.26.在Rt△ABC中,AB=1,∠A=60°,∠ABC=90°,如图所示将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为_____.(结果不取近似值)【来源】湖北省恩施州2018年中考数学试题【答案】π+.【解析】分析:先得到∠ACB=30°,BC=,利用旋转的性质可得到点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长,第三部分为△ABC的面积;然后根据扇形的面积公式计算点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积.详解:∵Rt△ABC中,∠A=60°,∠ABC=90°,∴∠ACB=30°,BC=,将Rt△ABC沿直线l无滑动地滚动至Rt△DEF,点B路径分部分:第一部分为以直角三角形30°的直角顶点为圆心,为半径,圆心角为150°的弧长;第二部分为以直角三角形60°的直角顶点为圆心,1为半径,圆心角为120°的弧长;第三部分为△ABC的面积.∴点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积=.故答案为.点睛:本题考查了轨迹:利用特殊几何图形描述点运动的轨迹,然后利用几何性质计算相应的几何量.27.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=BC=2,把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′,则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________.【来源】四川省眉山市2018年中考数学试题【答案】点睛:本题考查了扇形面积的计算:阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积.也考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质.28.如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,AC=12,将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,P为线段A′B'上的动点,以点P为圆心,PA′长为半径作⊙P,当⊙P与△ABC的边相切时,⊙P的半径为_____.【来源】江苏省泰州市2018年中考数学试题【答案】或【解析】分析:分两种情形分别求解:如图1中,当⊙P与直线AC相切于点Q时,如图2中,当⊙P与AB相切于点T时,详解:如图1中,当⊙P与直线AC相切于点Q时,连接PQ.设PQ=PA′=r,∵PQ∥CA′,∴,∴,∴r=.如图2中,当⊙P与AB相切于点T时,易证A′、B′、T共线,∵△A′BT∽△ABC,∴,∴,∴A′T=,∴r=A′T=.综上所述,⊙P的半径为或.点睛:本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.29.如图,已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,连结OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是_____.【来源】浙江省湖州市2018年中考数学试题【答案】70°【解析】分析:先根据三角形内心的性质和切线的性质得到OB平分∠ABC,OD⊥BC,则∠OBD=∠ABC=20°,然后利用互余计算∠BOD的度数.详解:∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D,∴OB平分∠ABC,OD⊥BC,∴∠OBD=∠ABC=×40°=20°,∴∠BOD=90°-∠OBD=70°.故答案为70°.点睛:本题考查了三角形内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆.30.如图,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足为D,⊙E是△ACD的内切圆,连接AE,BE,则∠AEB的度数为__.【来源】山东省威海市2018年中考数学试题【答案】135°.【解析】分析:如图,连接EC.首先证明∠AEC=135°,再证明△EAC≌△EAB即可解决问题.详解:如图,连接EC.点睛:本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.三、解答题31.已知:如图,AB是⊙O的直径,AB=4,点F,C是⊙O上两点,连接AC,AF,OC,弦AC平分∠FAB,∠BOC=60°,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为点D.(1)求扇形OBC的面积(结果保留);(2)求证:CD是⊙O的切线.【来源】湖南省怀化市2018年中考数学试题【答案】(1)S扇形OBC=;(2)证明见解析.【解析】分析:(1)由扇形的面积公式即可求出答案.(2)易证∠FAC=∠ACO,从而可知AD∥OC,由于CD⊥AF,所以CD⊥OC,所以CD是⊙O的切线.详解:(1)∵AB=4,∴OB=2∵∠COB=60°,∴S扇形OBC=.(2)∵AC平分∠FAB,∴∠FAC=∠CAO,∵AO=CO,∴∠ACO=∠CAO∴∠FAC=∠ACO∴AD∥OC,∵CD⊥AF,∴CD⊥OC∵C在圆上,∴CD是⊙O的切线点睛:本题考查圆的综合问题,解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法,本题属于中等题型.32.如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,BC交⊙O于点D.已知⊙O的半径为6,∠C=40°.(1)求∠B的度数.(2)求的长.(结果保留π)【来源】吉林省长春市2018年中考数学试卷【答案】(1)50°;(2).【解析】【分析】(1)根据切线的性质求出∠A=90°,根据三角形内角和定理求出即可;(2)根据圆周角定理求出∠AOD,根据弧长公式求出即可.【详解】(1)∵AC切⊙O于点A,∠BAC=90°,∵∠C=40°,∴∠B=50°;(2)如图,连接OD,∵∠B=50°,∴∠AOD=2∠B=100°,∴的长为.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等,熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长公式等知识是解题的关键.33.已知BC是⊙O的直径,点D是BC延长线上一点,AB=AD,AE是⊙O的弦,∠AEC=30°.(1)求证:直线AD是⊙O的切线;(2)若AE⊥BC,垂足为M,⊙O的半径为4,求AE的长.【来源】湖南省郴州市2018年中考数学试卷【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)先求出∠ABC=30°,进而求出∠BAD=120°,即可求出∠OAB=30°,结论得证;(2)先求出∠AOC=60°,用三角函数求出AM,再用垂径定理即可得出结论.(2)连接OA,∵∠AEC=30°,∴∠AOC=60°,∵BC⊥AE于M,∴AE=2AM,∠OMA=90°,在Rt△AOM中,AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2,∴AE=2AM=4.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,垂径定理,切线的判定,锐角三角函数,三角形内角和定理,圆周角定理等,熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键.34.如图,CD是⊙O的切线,点C在直径AB的延长线上.(1)求证:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=AD,AC=3,求CD的长.【来源】山东省东营市2018年中考数学试题【答案】(1)证明见解析;(2)CD=2.【解析】分析:(1)连接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°,利用等角的余角相等,即可证出∠CAD=∠BDC;(2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD,根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3,即可求出CD 的长.详(1)证明:连接OD,如图所示.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵CD是⊙O的切线,OD是⊙O的半径,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠OBD+∠CAD=90°,∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB,∴△CDB∽△CAD,∴.∵BD=AD,∴,∴,∴CD=2.点睛:本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质,解题的关键是:(1)利用等角的余角相等证出∠CAD=∠BDC;(2)利用相似三角形的性质找出.35.如图,AB是⊙O的直径,ED切⊙O于点C,AD交⊙O于点F,∠AC平分∠BAD,连接BF.(1)求证:AD⊥ED;(2)若CD=4,AF=2,求⊙O的半径.【来源】云南省昆明市2018年中考数学试题【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的半径为.【解析】分析:(1)连接OC,如图,先证明OC∥AD,然后利用切线的性质得OC⊥DE,从而得到AD⊥ED;(2)OC交BF于H,如图,利用圆周角定理得到∠AFB=90°,再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4,∠CHF=90°,利用垂径定理得到BH=FH=4,然后利用勾股定理计算出AB,从而得到⊙O的半径.详(1)证明:连接OC,如图,∵AC平分∠BAD,∴∠1=∠2,∵OA=OC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3,∴OC∥AD,∵ED切⊙O于点C,∴AD⊥ED;点睛:本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了垂径定理和圆周角定理.36.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D在上,点E在弦AB上(E不与A重合),且四边形BDCE为菱形.(1)求证:AC=CE;(2)求证:BC2﹣AC2=AB•AC;(3)已知⊙O的半径为3.①若=,求BC的长;②当为何值时,AB•AC的值最大?【来源】浙江省台州市2018年中考数学试题【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)①BC=4;②【解析】分析:(1)由菱形知∠D=∠BEC,由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC,据此得证;(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG=AC=CE=CD,证△BEF ∽△BGA得,即BF•BG=BE•AB,将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得;(3)①设AB=5k、AC=3k,由BC2-AC2=AB•AC知BC=2k,连接ED交BC于点M,Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=BC=k求得DM==k,可知OM=OD-DM=3-k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2可得答案.②设OM=d,则MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2,继而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2,由(2)得AB•AC=BC2-AC2,据此得出关于d的二次函数,利用二次函数的性质可得答案.详解:(1)∵四边形EBDC为菱形,∴∠D=∠BEC,∵四边形ABDC是圆的内接四边形,∴∠A+∠D=180°,又∠BEC+∠AEC=180°,∴∠A=∠AEC,∴AC=CE;(2)以点C为圆心,CE长为半径作⊙C,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG,由(1)知AC=CE=CD,∴CF=CG=AC,∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形,∴∠G+∠AEF=180°,又∵∠AEF+∠BEF=180°,∴∠G=∠BEF,∵∠EBF=∠GBA,∴△BEF∽△BGA,∴,即BF•BG=BE•AB,∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,∴(BC﹣AC)(BC+AC)=AB•AC,即BC2﹣AC2=AB•AC;(3)设AB=5k、AC=3k,∵BC2﹣AC2=AB•AC,∴BC=2k,连接ED交BC于点M,∵四边形BDCE是菱形,∴DE垂直平分BC,则点E、O、M、D共线,在Rt△DMC中,DC=AC=3k,MC=BC=k,∴DM=,∴OM=OD﹣DM=3﹣k,在Rt△COM中,由OM2+MC2=OC2得(3﹣k)2+(k)2=32,解得:k=或k=0(舍),∴BC=2k=4;点睛:本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点.37.如图1,直线l:与x轴交于点,与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点以点A为圆心,AC长为半径作交x轴于另一点D,交线段AB于点E,连结OE并延长交于点F.求直线l的函数表达式和的值;如图2,连结CE,当时,求证:∽;求点E的坐标;当点C在线段OA上运动时,求的最大值.【来源】浙江省宁波市2018年中考数学试卷【答案】(1)直线l的函数表达式,;证明见解析;E;最大值为.【解析】【分析】利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式,即可求出OA,OB,即可得出结论;先判断出,进而得出,即可得出结论;设出,,进而得出点E坐标,即可得出OE的平方,再根据的相似得出比例式得出OE的平方,建立方程即可得出结论;利用面积法求出OG,进而得出AG,HE,再构造相似三角形,即可得出结论.【详解】(1)直线l:与x轴交于点,,,直线l的函数表达式,,,,在中,;如图2,连接DF,,,,,,四边形CEFD是的圆内接四边形,,,,∽,过点于M,由知,,设,则,,,,,,由知,∽,,,,,,舍或,,,;如图,设的半径为r,过点O作于G,,,,,,【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了待定系数法,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理等,熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识,运用数理结合思想,正确添加辅助线进行图形构建是解本题的关键.38.如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,AD交⊙O于F,FM⊥AB于H,分别交⊙O、AC于M、N,连接MB,BC.(1)求证:AC平分∠DAE;(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半径;②求FN的长.【来源】湖北省荆门市2018年中考数学试卷【答案】(1)证明见解析;(2)①⊙O的半径为4;②FN=.【解析】【分析】(1)连接OC,如图,利用切线的性质得OC⊥DE,则判断OC∥AD得到∠1=∠3,加上∠2=∠3,从而得到∠1=∠2;(2)①利用圆周角定理和垂径定理得到,则∠COE=∠FAB,所以∠FAB=∠M=∠COE,设⊙O的半径为r,然后在Rt△OCE中利用余弦的定义得到,从而解方程求出r即可;②连接BF,如图,先在Rt△AFB中利用余弦定义计算出AF=,再计算出OC=3,接着证明△AFN∽△AEC,然后利用相似比可计算出FN的长.【详解】(1)连接OC,如图,∵直线DE与⊙O相切于点C,∴OC⊥DE,又∵AD⊥DE,∴OC∥AD.∴∠1=∠3∵OA=OC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠2,∴AC平方∠DAE;(2)①∵AB为直径,∴∠AFB=90°,而DE⊥AD,∴BF∥DE,∴OC⊥BF,∴,∴∠COE=∠FAB,而∠FAB=∠M,∴∠COE=∠M,设⊙O的半径为r,在Rt△OCE中,cos∠COE=,即,解得r=4,即⊙O的半径为4;②连接BF,如图,在Rt△AFB中,cos∠FAB=,∴AF=8×,在Rt△OCE中,OE=5,OC=4,∴CE=3,∵AB⊥FM,∴,∴∠5=∠4,∵FB∥DE,∴∠5=∠E=∠4,∵,∴∠1=∠2,∴△AFN∽△AEC,∴,即,∴FN=.【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.39.如图,中,,以为直径的交于点,交于点,过点作于点,交的延长线于点.。

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析

人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1.与圆有关的概念和性质(1)圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.(2)弦与直径:连接圆上任意两点的线段叫做弦,过圆心的弦叫做直径,直径是圆内最长的弦.(3)弧:圆上任意两点间的部分叫做弧,小于半圆的弧叫做劣弧,大于半圆的弧叫做优弧.(4)圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.(5)圆周角:顶点在圆上,并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.(6)弦心距:圆心到弦的距离.2.注意(1)经过圆心的直线是该圆的对称轴,故圆的对称轴有无数条;(2)3点确定一个圆,经过1点或2点的圆有无数个.(3)任意三角形的三个顶点确定一个圆,即该三角形的外接圆.二、垂径定理及其推论1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形.2.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.三、圆心角、弧、弦的关系1.定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等.圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.2.推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.四、圆周角定理及其推论1.定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.推论(1)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.(2)直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形的对角互补.在圆中求角度时,通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化;同弧或等弧的圆周角间的转化;连直径,得到直角三角形,通过两锐角互余进行转化等.五、与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内;(2)d=r⇔点在⊙O上;(3)d>r⇔点在⊙O外.判断点与圆之间的位置关系,将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形,所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.六、切线的性质与判定1.切线的性质(1)切线与圆只有一个公共点.(2)切线到圆心的距离等于圆的半径.(3)切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时,通常连过切点的半径,利用直角三角形的性质来解决问题.2.切线的判定(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法).(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法:①知道直线和圆有公共点时,连半径,证垂直;②不知道直线与圆有没有公共点时,作垂直,证垂线段等于半径.七、三角形与圆1.三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.外心是三角形三条垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等.2.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形的三条边的距离相等.考向一圆的基本认识1.在一个圆中可以画出无数条弦和直径.2.直径是弦,但弦不一定是直径.3.在同一个圆中,直径是最长的弦.4.半圆是弧,但弧不一定是半圆.弧有长度和度数,规定半圆的度数为180°,劣弧的度数小于180°,优弧的度数大于180°.5.在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧,度数或长度相等的弧不一定是等弧.典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分;②半径是弦;③直径是最长的弦;④弧是半圆,半圆是弧.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段,所以①错误;②半径不是弦,所以②错误;③直径是最长的弦,正确;④只有180°的弧才是半圆,所以④错误,故选A.1.把圆的半径缩小到原来的14,那么圆的面积缩小到原来的A.12B.14C.18D.1162.半径为5的圆的一条弦长不可能是A.3 B.5 C.10 D.12考向二垂径定理1.垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍然成立.2.垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据.典例2如图,已知⊙O的半径为6 cm,两弦AB与CD垂直相交于点E,若CE=3 cm,DE=9 cm,则AB=A3cm B.3cm C.3D.3【答案】D【解析】如图,连接OA,∵⊙O的半径为6 cm,CE+DE=12 cm,∴CD是⊙O的直径,∵CD⊥AB,∴AE=BE,OE=3,OA=6,∴AE=2233OA OE-=,∴AB=2AE=63,故选D.典例3如图,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为A.2 cm B.3cmC.23cm D.25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形,先根据勾股定理得AD的长,再根据垂径定理得AB的长.作OD⊥AB于D,连接OA.根据题意得OD=12OA=1cm,再根据勾股定理得:AD3,根据垂径定理得AB3.故选C.3.如图,⊙O的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长为4,则弦AB的长是A.3 B.6 C.4 D.84.如图,某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚,大棚的跨度弦AB的长为8515米,大棚顶点C离地面的高度为2.3米.(1)求该圆弧形所在圆的半径;(2)若该菜农的身高为1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动的范围有几米?考向三弧、弦、圆心角、圆周角1.圆心角的度数等于它所对弧的度数,把顶点在圆心的周角等分成360份,每一份的圆心角是1°的角,1°的圆心角对着1°的弧.2.圆周角要具备两个特征:①顶点在圆上;②角的两边都和圆相交,二者缺一不可.典例4如图,在⊙O中∠O=50°,则∠A的度数为A.50°B.20°C.30°D.25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°.故选D.典例5如图,AB是⊙O的直径,△ACD内接于⊙O,延长AB,CD相交于点E,若∠CAD=35°,∠CDA=40°,则∠E的度数是A.20°B.25°C.30°D.35°【答案】B【解析】如图,连接BD,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,由三角形内角和定理得,∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°,∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°,∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°,∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°,故选B.5.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,若∠OCA=50°,AB=4,则BC的长为A.103πB.109πC.59πD.518π6.如图,AB是⊙O的直径,=BC CD DE,∠COD=38°,则∠AEO的度数是A.52°B.57°C.66°D.78°考向四点、直线与圆的位置关系1.点和圆的位置关系:①在圆上;②在圆内;③在圆外.2.直线和圆的位置关系:相交、相切、相离.典例6已知⊙O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,则点A与⊙O的位置关系是A.点A在⊙O上B.点A在⊙O内C.点A在⊙O外D.点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5,点A到圆心O的距离是7,即点A到圆心O的距离大于圆的半径,∴点A在⊙O外.故选C.【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.典例7在△ABC中,AB=AC=2,∠A=150°,那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,∵∠BAC=150,∴∠DAB=30°,∴BD=11222AB=⨯=1,即B到直线AC的距离等于⊙B的半径,∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切,故选B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用,过B作BD⊥AC交CA的延长线于D,求出BD和⊙B的半径比较即可,主要考查学生的推理能力.7.如图,⊙O的半径为5cm,直线l到点O的距离OM=3cm,点A在l上,AM=3.8cm,则点A与⊙O的位置关系是A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.以上都有可能8.如图,⊙O的半径OC=5cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交⊙O于A、B两点,AB=8cm,则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切.考向五切线的性质与判定有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直半径,这是圆中作辅助线的一种方法.典例8如图,⊙O以AB为直径,PB切⊙O于B,近接AP,交⊙O于C,若∠PBC=50°,∠ABC=A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径,PB切⊙O于B,∴∠PBA=90°,∵∠PBC=50°,∴∠ABC=40°.故选B.典例9如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,AC=3,点E在中线AD上,以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,则⊙E的半径为A.78B.67C.56D.1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H,EF⊥BC于F,EG⊥AB于G,连接EB,EC,设⊙E的半径为r,如图,∵∠C=90°,AB=5,AC=3,∴BC22AB AC-,而AD为中线,∴DC=2,∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切,∴EG=EF=r,∴HC=r,AH=3–r,∵EH∥BC,∴△AEH∽△ADC,∴EH∶CD=AH∶AC,即EH=233r-(),∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC , ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯,∴67r =.故选B .9.已知四边形ABCD 是梯形,且AD ∥BC ,AD <BC ,又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ,圆心O 在BC 上,则AB +CD 与BC 的大小关系是 A .大于 B .等于C .小于D .不能确定10.如图,以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ,DE AC ⊥于E .求证:(1)DB DC =; (2)DE 为⊙O 的切线.1.下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补; ②相等的圆周角所对的弧相等;③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等; ④同圆中的平行弦所夹的弧相等.A .1个B .2个C .3个D .4个2.如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点(A 、B 除外),∠AOD =136°,则∠C 的度数是A .44°B .22°C .46°D .36°3.如图,半径为5的⊙A 中,弦BC ,ED 所对的圆心角分别是∠BAC ,∠EAD ,已知DE =6,∠BAC +∠EAD =180°,则弦BC 的长等于A .41B .34C .8D .64.如图,在平面直角坐标系中,过格点A ,B ,C 作一圆弧,则圆心坐标是A .点(1,0)B .点(2,1)C .点(2,0)D .点(2.5,1)5.如图,O 的直径8AB =,30CBD ∠=︒,则CD 的长为A .2B .3C .4D .36.如图,一圆内切四边形ABCD ,且BC =10,AD =7,则四边形的周长为A .32B .34C .36D .387.已知在⊙O 中,AB =BC ,且34AB AMC =∶∶,则∠AOC =__________.8.如图,A 、B 、C 、D 都在⊙O 上,∠B =130°,则∠AOC 的度数是__________.9.如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ,并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C .已知△PCD 的周长等于14 cm ,则PA =__________cm .10.如图,在⊙O 的内接四边形ABCD 中,AB AD =,120C ∠=︒,点E 在弧AD 上.若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边,DE 的度数为__________.11.如图,半圆O 的直径是AB ,弦AC 与弦BD 交于点E ,且OD ⊥AC ,若∠DEF =60°,则tan ∠ABD =__________.12.如图,AB为⊙O的直径,C、F为⊙O上两点,且点C为弧BF的中点,过点C作AF的垂线,交AF 的延长线于点E,交AB的延长线于点D.(1)求证:DE是⊙O的切线;(2)如果半径的长为3,tan D=34,求AE的长.13.如图,在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以OA为半径的⊙O交AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE.(1)判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=6,BC=8,OA=2,求线段DE的长.14.如图1,⊙O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B,连接AD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AD⊥CD,CD=2,AD=4,求直径AB的长;(3)如图2,当∠DAB=45°时,AD与⊙O交于E点,试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明.1.如图,在O 中,AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒,若P 为AB 上一点,55AOP ∠=︒,则POB ∠的度数为A .30°B .45°C .55°D .60°2.如图,AD 是O 的直径,AB CD =,若40AOB ∠=︒,则圆周角BPC ∠的度数是A .40︒B .50︒C .60︒D .70︒3.如图,AB ,AC 分别是⊙O 的直径和弦,OD AC ⊥于点D ,连接BD ,BC ,且10AB =,8AC =,则BD 的长为A .25B .4C .213D .4.84.如图,PA 、PB 为圆O 的切线,切点分别为A 、B ,PO 交AB 于点C ,PO 的延长线交圆O 于点D ,下列结论不一定成立的是A .PA =PB B .∠BPD =∠APDC .AB ⊥PDD .AB 平分PD5.如图,PA 、PB 是⊙O 切线,A 、B 为切点,点C 在⊙O 上,且∠ACB =55°,则∠APB 等于A .55°B .70°C .110°D .125°6.如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,若∠C =40°,则∠B 的度数为A .60°B .50°C .40°D .30°7.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 是圆上两点,且∠AOC =126°,则∠CDB =A .54°B .64°C .27°D .37°8.如图,AB 为O 的直径,BC 为O 的切线,弦AD ∥OC ,直线CD 交的BA 延长线于点E ,连接BD .下列结论:①CD 是O 的切线;②CO DB ⊥;③EDA EBD △∽△;④ED BC BO BE ⋅=⋅.其中正确结论的个数有A .4个B .3个C .2个D .1个9.如图,C 、D 两点在以AB 为直径的圆上,2AB =,30ACD ∠=︒,则AD =__________.10.如图,△ABC 内接于⊙O ,∠CAB =30°,∠CBA =45°,CD ⊥AB 于点D ,若⊙O 的半径为2,则CD 的长为__________.11.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB=AC,AC⊥BD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且DF=DC,连接AF、CF.(1)求证:∠BAC=2∠CAD;(2)若AF=10,BC=45,求tan∠BAD的值.12.如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是BD上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.(1)求证:△ADF≌△BDG;(2)填空:①若AB=4,且点E是BD的中点,则DF的长为__________;②取AE的中点H,当∠EAB的度数为__________时,四边形OBEH为菱形.1.【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ,则面积S 1=πr 2, ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==, ∴22211π116π16rS S r ==,故选D . 2.【答案】D【解析】∵圆的半径为5,∴圆的直径为10,又∵直径是圆中最长的弦,∴圆中任意一条弦的长度10l ≤,故选D . 3.【答案】B【解析】如图,连接OA ,∵O 的直径为10,5OA ∴=,∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4, 由垂径定理知,点M 是AB 的中点,12AM AB =, 由勾股定理可得,3AM =,所以6AB =.故选B .4.【解析】(1)如图所示:CO ⊥AB 于点D ,设圆弧形所在圆的半径为xm ,根据题意可得:DO 2+BD 2=BO 2, 则(x –2.3)2+851×12)2=x 2,解得x =3. 变式训练答:圆弧形所在圆的半径为3米;(2)如图所示:当MN =1.7米,则过点N 作NF ⊥CO 于点F ,可得:DF =1.7米,则FO =2.4米,NO =3米,故FN =223 2.4-=1.8(米), 故该菜农身高1.70米,则他在不弯腰的情况下,横向活动的范围有3.6米. 5.【答案】B【解析】根据题意可知:∠OAC =∠OCA =50°,则∠BOC =2∠OAC =100°,则弧BC 的长度为:100π210π1809⨯=,故选B .6.【答案】B【解析】∵=BC CD DE =,∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°, ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°,∴∠AOE =180°–∠BOE =66°, ∵OA =OE ,∴∠AEO =(180°–∠AOE )÷2=57°,故选B . 7.【答案】A【解析】如图,连接OA ,则在直角△OMA 中,根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<. ∴点A 与⊙O 的位置关系是:点A 在⊙O 内.故选A .8.【答案】2【解析】连接OA .∵直线和圆相切时,OH =5,又∵在直角三角形OHA 中,HA =AB ÷2=4,OA =5,∴OH =3. ∴需要平移5–3=2(cm ).故答案为:2.【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系.注意:直线和圆相切,应满足d =R . 9.【答案】B【解析】如图,连接OF ,OA ,OE ,作AH ⊥BC 于H .∵AD 是切线,∴OF ⊥AD ,易证四边形AHOF 是矩形,∴AH =OF =OE , ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ,∴OB =AB ,同理可证:CD =CO , ∴AB +CD =BC ,故选B .【点睛】本题考查了切线的性质,切线垂直于过切点的半径,正确作出辅助线是关键. 10.【解析】(1)如图,连AD ,∵AB 是直径,∴90ADB ∠=︒,AD BC ⊥, 又AB AC =,∴D 为BC 中点,DB DC =; (2)连OD ,∵D 为BC 中点,OA OB =, ∴OD 为ABC △中位线,OD AC ∥, 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒, ∴DE 为⊙O 的切线.1.【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补;正确;②相等的圆周角所对的弧相等;错误;③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等;错误;④同圆中的平行弦所夹的弧相等;正确; 正确的有2个,故选B . 2.【答案】B【解析】∵∠AOD =136°,∴∠BOD =44°,∴∠C =22°,故选B . 3.【答案】C【解析】如图,延长CA ,交⊙A 于点F ,考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°,∠BAC+∠EAD=180°,∴∠BAF=∠DAE,∴BF=DE=6,∵CF是直径,∴∠ABF=90°,CF=2×5=10,∴BC=228CF BF-=.故选C.4.【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到(2,0)的距离均为5,然后可知圆心为(2,0)或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以.故选C.5.【答案】C【解析】如图,作直径DE,连接CE,则∠DCE=90°,∵∠DBC=30°,∴∠DEC=∠DBC=30°,∵DE=AB=8,∴12DC DE==4,故选C.6.【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等,所以四边形的周长=2×(7+10)=34.故选B.7.【答案】144°【解析】根据AB=BC可得:弧AB的度数和弧BC的度数相等,则弧AMC的度数为:(360°÷10)×4=144°,则∠AOC =144°. 8.【答案】100°【解析】∵∠B =130°,∴∠D =180°-130°=50°,∴∠AOC =2∠D =100°.故答案为100°. 9.【答案】7【解析】如图,设DC 与⊙O 的切点为E ;∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线,且切点为A 、B ,∴PA =PB ; 同理,可得:DE =DA ,CE =CB ;则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14(cm ); ∴PA =PB =7cm ,故答案是:7. 10.【答案】84︒【解析】如图,连接BD ,OA ,OE ,OD ,∵四边形ABCD 是圆的内接四边形,∴180BAD C ∠+∠=︒, ∵120C ∠=︒,∴60BAD ∠=︒,∵AB AD =,∴ABD △是正三角形,∴60ABD ∠=︒,2120AOD ABD ∠=∠=︒, ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边,∴3603610AOE ︒∠==︒, ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒,∴DE 的度数为84°.故答案为:84°.113【解析】∵OD ⊥AC ,∠DEF =60°, ∴∠D =30°,∵OD=OB,∴∠ABD=∠D=30°,∴tan∠ABD=33,故答案为:33.12.【解析】(1)连接OC,如图.∵点C为弧BF的中点,∴弧BC=弧CF,∴∠BAC=∠FAC.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC,∴∠OCA=∠FAC,∴OC∥AE.∵AE⊥DE,∴OC⊥DE,∴DE是⊙O的切线;(2)在Rt△OCD中,∵tan D=34OCCD=,OC=3,∴CD=4,∴OD=22OC CD+=5,∴AD=OD+AO=8.在Rt△ADE中,∵sin D=35OC AEOD AD==,∴AE=245.13.【解析】(1)直线DE与⊙O相切,理由如下:如图,连接OD,∵OD=OA,∴∠A=∠ODA,∵EF是BD的垂直平分线,∴EB=ED,∴∠B=∠EDB,∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ODA+∠EDB=90°,∴∠ODE=180°–90°=90°,∴直线DE与⊙O相切;(2)连接OE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8–x,∵∠C=∠ODE=90°,∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2,∴42+(8–x)2=22+x2,解得:x=4.75,则DE=4.75.14.【解析】(1)如图1,连接OC.∵OB=OC,∴∠OCB=∠B,∵∠DCA=∠B,∴∠DCA=∠OCB,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°,即∠DCO=90°,∴CD是⊙O的切线.(2)∵AD⊥CD,CD=2,AD=4.∴222425AC=+=由(1)可知∠DCA=∠B,∠D=∠ACB=90°,∴△ADC∽△ACB,∴AD ACAC AB=2525=,∴AB=5.(3)2AC BC EC=+,如图2,连接BE,在AC上截取AF=BC,连接EF.∵AB 是直径,∠DAB =45°, ∴∠AEB =90°,∴△AEB 是等腰直角三角形, ∴AE =BE ,又∵∠EAC =∠EBC ,∴△ECB ≌△EFA ,∴EF =EC , ∵∠ACE =∠ABE =45°, ∴△FEC 是等腰直角三角形, ∴2FC EC =,∴2AC AF FC BC EC =+=.1.【答案】B【解析】∵∠ACB =50°,∴∠AOB =2∠ACB =100°,∵∠AOP =55°,∴∠POB =45°,故选B . 2.【答案】B【解析】∵AB CD =,40AOB ∠=︒,∴40COD AOB ∠=∠=︒, ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒,∴100BOC ∠=︒, ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒,故选B . 3.【答案】C【解析】∵AB 为直径,∴90ACB ∠=︒,∴22221086BC AB AC =--=,∵OD AC ⊥,∴142CD AD AC ===, 直通中考在Rt CBD △中,2246213BD =+=.故选C .4.【答案】D【解析】∵PA ,PB 是⊙O 的切线,∴PA =PB ,所以A 成立;∠BPD =∠APD ,所以B 成立; ∴AB ⊥PD ,所以C 成立;∵PA ,PB 是⊙O 的切线,∴AB ⊥PD ,且AC =BC ,只有当AD ∥PB ,BD ∥PA 时,AB 平分PD ,所以D 不一定成立,故选D . 5.【答案】B【解析】如图,连接OA ,OB ,∵PA ,PB 是⊙O 的切线,∴PA ⊥OA ,PB ⊥OB ,∵∠ACB =55°,∴∠AOB =110°, ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°.故选B .6.【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线,∴AB ⊥AC ,且∠C =40°,∴∠ABC =50°,故选B . 7.【答案】C【解析】∵∠AOC =126°,∴∠BOC =180°-∠AOC =54°,∵∠CDB =12∠BOC =27°.故选C . 8.【答案】A【解析】如图,连接DO .∵AB 为O 的直径,BC 为O 的切线,∴90CBO ∠=︒,∵AD OC ∥,∴DAO COB ∠=∠,ADO COD ∠=∠. 又∵OA OD =,∴DAO ADO ∠=∠,∴COD COB ∠=∠.在COD △和COB △中,CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴COD COB △≌△,∴90CDO CBO ∠=∠=︒.又∵点D 在O 上,∴CD 是O 的切线,故①正确,∵COD COB △≌△,∴CD CB =,∵OD OB =,∴CO 垂直平分DB ,即CO DB ⊥,故②正确; ∵AB 为O 的直径,DC 为O 的切线,∴90EDO ADB ∠=∠=︒,∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒,∴ADE BDO ∠=∠, ∵OD OB =,∴ODB OBD ∠=∠,∴EDA DBE ∠=∠, ∵E E ∠=∠,∴EDA EBD △∽△,故③正确;∵90EDO EBC ∠=∠=︒,E E ∠=∠,∴EOD ECB △∽△, ∴ED ODBE BC=,∵OD OB =, ∴ED BC BO BE ⋅=⋅,故④正确,故选A . 9.【答案】1【解析】∵AB 为直径,∴90ADB ∠=︒,∵30B ACD ∠=∠=︒,∴112122AD AB ==⨯=. 故答案为:1. 10.【答案】2【解析】如图,连接CO 并延长交⊙O 于E ,连接BE ,则∠E =∠A =30°,∠EBC =90°,∵⊙O 的半径为2,∴CE =4,∴BC =12CE =2, ∵CD ⊥AB ,∠CBA =45°,∴CD =22BC =2,故答案为:2. 11.【解析】(1)∵AB =AC ,∴AB AC =,∠ABC =∠ACB ,∴∠ABC =∠ADB ,∠ABC =(180°-∠BAC )=90°-∠BAC ,∵BD⊥AC,∴∠ADB=90°-∠CAD,∴12∠BAC=∠CAD,∴∠BAC=2∠CAD.(2)∵DF=DC,∴∠DFC=∠DCF,∴∠BDC=2∠DFC,∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC,∴CB=CF,又BD⊥AC,∴AC是线段BF的中垂线,AB=AF=10,AC=10.又BC=45,设AE=x,CE=10-x,由AB2-AE2=BC2-CE2,得100-x2=80-(10-x)2,解得x=6,∴AE=6,BE=8,CE=4,∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3,∴BD=BE+DE=3+8=11,如图,作DH⊥AB,垂足为H,∵12AB·DH=12BD·AE,∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==,∴BH2244 5BD DH-=,∴AH=AB-BH=10-446 55=,∴tan∠BAD=331162 DHAH==.12.【解析】(1)∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=45°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠AEB=90°,∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°,∴∠DAF=∠DBG,∵∠ABD+∠BAC=90°,∴∠ABD=∠BAC=45°,∴AD=BD,∴△ADF≌△BDG.(2)①如图2,过F作FH⊥AB于H,∵点E是BD的中点,∴∠BAE=∠DAE,∵FD⊥AD,FH⊥AB,∴FH=FD,∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2,∴22FDBF=BF2FD,∵AB=4,∴BD=4cos45°2,即BF+FD22+1)FD2,∴FD=2221=4-22,故答案为:4-22.②连接OH,EH,∵点H是AE的中点,∴OH⊥AE,∵∠AEB=90°,∴BE⊥AE,∴BE∥OH,∵四边形OBEH为菱形,∴BE=OH=OB=12 AB,∴sin∠EAB=BEAB=12,∴∠EAB=30°.故答案为:30°.31。

中考数学专题5 圆与圆的位置关系

中考数学专题5      圆与圆的位置关系

中考信息速递之五——圆与圆的位置关系知识要点:1.圆和圆的位置关系(设两圆半径分别为R 和r ,同心距为d ) (1)两圆外离⇔d >R+r ; (2)两圆外切⇔d=R+r ; (3)两圆相交⇔R -r <d <R+r ; (4)两圆内切⇔d=R -r ;(5)两圆内含d <R-r 。

(同心圆(6)是一种内含的特例)2.有关性质:(1)连心线:通过两圆圆心的直线。

如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上。

(2)公共弦:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

(3)公切线:和两个圆都相切的直线,叫做两圆的公切线。

两个圆在公切线同旁两个圆在公切线两旁3.公切线定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。

当两圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线;当两圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线。

公切线长:公切线上的两个切点间的距离叫做公切线的长。

定理:两圆的两条外分切线长相等,两圆的两条内公切线长也相等。

外公切线的长为(1)(2)(3)(4) (5)(6)外公切线4.相交两圆的性质定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

5.相切两圆的性质定理:相切两圆的连心线经过切点6圆与圆的位置关系总结如下设两圆半径为R和r,圆心距为d,则两圆的位置关系如下:【典型例题】例1.已知如图,⊙O1和⊙O2相交于点E、F,直径AE的延长线交⊙O2于点B,延长AF交⊙O2于点C,⊙O1的切线ED交AC于点D,求证:AE/EB=AD/DC。

B例2.如图,已知AB是⊙O的直径,以B为圆心的圆交⊙O于E、F两点;直线AB与⊙B 交于点C、D,EC的延长线与⊙O交于点G,连结AE、DE、BG。

求AE·BC=DE·CG。

例3. 设两圆半径为R和r,圆心距为d,请将下表填写完整:DA中考考点基础练习:1.如果两圆有且只有两条公切线,那么这两圆的位置关系是()A.外离 B.外切 C.相交 D.内含2.如果两圆半径分别为3㎝和5㎝,圆心距为2㎝,则两个圆的位置关系为()。

2020年全国数学中考精题分类汇编含解析-33-圆与圆的位置关系

2020年全国数学中考精题分类汇编含解析-33-圆与圆的位置关系
3. 爱岗敬业,教书育人 为师者,一言一行都会对学生产生深远 的影响,特别是师范类学生,自己的形象会对他们日后的教学方 式、工作态度产生潜移默化的影响,进而影响到他们的学生。所 以,作为师范要时刻谨记我们面对不是眼前的这一名学生,而是他 们背后的几代人。所以对于自己的爱岗敬业提出了更高的要求,应 该以近乎完美的苛刻标准来要求自己,评判自己的工作,塑造自己 形象,要做一个甘于物质清贫而精神富足的人。
∴PM=PG﹣MG= 在Rt△OPM中,
,OM=EG=BC﹣EC﹣BG=3﹣1﹣ =2﹣ ,
由勾股定理,
,解得 t=2.
综上所述,⊙P与⊙O相切时,t= s或t=2s. 点评:本题考查了圆的性质、两圆相切及通过设边长,表示其他边长关系再利用直角 三角形求解等常规考查点,总体题目难度不高,是一道非常值得练习的题目.
一、选择题
圆与圆的位置关系
1. (2020•扬州,第5题,3分)如图,圆与圆的位置关系没有( )
(第1题图) A.相交
B.相切
C.内含
D.外离
考 圆与圆的位置关系 点: 分 由其中两圆有的位置关系是:内切,外切,内含、外离.即可求得答案. 析: 解 解:∵如图,其中两圆有的位置关系是:内切,外切,内含、外离. 答: ∴其中两圆没有的位置关系是:相交.
附送
名心得
1. 因材施教,注重创新 所讲授的每门课程应结合不同专业、不 同知识背景的学生来调整讲授的内容和方法。不仅重视知识的传 授,更要重视学生学习能力、分析和解决问题能力的培养,因为这 些才是学生终生学习的根本。 注重教学过程创新,不仅要体现在教 学模式、教学方法方面,更主要的是体现在内容的创新与扩充、实 践环节的同步改革上。
俯视图的圆心距是
=24cm,

初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系

初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系

初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容,它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。

通过归纳总结,我们可以更好地理解和运用这些知识点。

一、相离关系当两个圆没有任何交点时,它们被称为相离的圆。

两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。

二、外切关系如果两个圆的半径相等,并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和,我们称这两个圆为外切的圆。

三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。

根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系,相交的情况又可以分为四种。

1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和,并且大于两个圆的半径之差时,两个圆相交于两个点。

2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时,两个圆相切于外点。

3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时,两个圆相切于内点。

4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和,并且两个圆的半径不相等时,两个圆相切于一条公切线。

四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部,我们称这两个圆为内含的关系。

在内含的情况下,内含圆的半径小于包含圆的半径。

五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆,我们称这两个圆为包含的关系。

在包含的情况下,包含圆的半径大于内含圆的半径。

通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理,我们可以更好地理解和应用这些知识点。

在解决相关题目时,我们可以根据题目给出的条件和要求,运用这些位置关系进行分析和推理。

同时,我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系,从而解决问题。

初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容,它不仅在几何学中有广泛的应用,而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。

通过掌握和运用这些知识,我们可以更好地理解和应用数学,为解决实际问题提供有力的支持。

圆与圆的位置关系综合问题

圆与圆的位置关系综合问题

圆与圆的位置关系综合问题
圆与圆之间的位置关系有以下几种情况:
1.相离:两个圆之间没有交集,彼此之间没有任何交点。

此时,两个圆的中心点之间的距离大于两个圆的半径之和。

2.外切:两个圆之间有且只有一个交点,且两个圆的交点恰好是两个圆的外切点。

此时,两个圆的中心点之间的距离等于两个圆的半径之和。

3.相交:两个圆之间有两个交点,但是不包含在彼此内部。

此时,两个圆的中心点之间的距离小于两个圆的半径之和。

4.内切:两个圆之间有且只有一个交点,且两个圆的交点恰好是两个圆的内切点。

此时,两个圆的中心点之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值。

5.包含:一个圆完全包含在另一个圆的内部。

此时,两个圆的中心点之间的距离小于两个圆的半径之差的绝对值。

6.同心:两个圆的中心点重合,半径可以相等也可以不等。

在判断两个圆的位置关系时,可以通过计算两个圆的中心点之间的距离和两个圆的半径之和或半径之差的绝对值来确定。

同时,还需要考虑两个圆是否具有相同的半径,以及是否有共同的交点。

总结一下,圆与圆的位置关系综合问题主要包括相离、外切、相交、内切、包含和同心这几种情况。

判断两个圆的位置关系
可以通过计算两个圆的中心点之间的距离和半径之和或半径之
差的绝对值来确定。

2020全国各地中考数学试题分考点解析汇编圆与圆的位置关系

2020全国各地中考数学试题分考点解析汇编圆与圆的位置关系

2020全国各中考数学试题分考点解析汇编圆与圆的位置关系一、选择题1.(2020天津3分)已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ,若12O O =7 cm ,则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D 。

【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距12O O =7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.(2020重庆潼南4分)已知⊙O1与⊙O2外切,⊙O1的半径R=5cm ,⊙O2的半径r=1cm ,则⊙O 1与⊙O2的圆心距是A 、1cmB 、4cmC 、5cmD 、6cm 【答案】D 。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的性质:相切(两圆圆心距离等于两圆半径之和或两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。

由于两圆外切,故两圆圆心距离等于两圆半径之和;5cm +1cm =6cm 。

故选D 。

3.(2020浙江台州4分)如图是一个组合烟花的横截面,其中16个圆的半径相同,点A 、B 、C 、D 分别是四个角上的圆的圆心,且四边形ABCD 为正方形.若圆的半径为r ,组合烟花的高为h ,则组合烟花侧面包装纸的面积至少需要(接缝面积不计)A .rh π26B .rh rh π+24C .rh rh π212+D .rh rh π224+【答案】D 。

【考点】两圆相切的性质,扇形面积的计算。

【分析】由图形知,正方形ABCD 的边长为6r ,∴其周长为4×6r=24r,∴截面的周长为:24r+2πr,∴组合烟花的侧面包装纸的面积为:(24r+2πr)h=24rh+2πrh。

故选D。

4..(2020浙江温州4分)已知线段AB=7cm,现以点A为圆心,2cm为半径画⊙A;再以点B 为圆心,3cm为半径画⊙B,则⊙A和⊙B的位置关系【来源:】A、内含B、相交C、外切D、外离【答案】D。

2020年部编人教版最新中考数学真题精析汇编:圆与圆的位置关系

2020年部编人教版最新中考数学真题精析汇编:圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系一.选择题1. (2020•贵州黔西南州, 第6题4分)已知两圆半径分别为3、5,圆心距为8,则这两圆的位置关系为()A.外离B.内含C.相交D.外切考点:圆与圆的位置关系.分析:由⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5,O1O2=8,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出⊙O1和⊙O2的位置关系.解答:解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是3、5,O1O2=8,又∵3+5=8,∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切.故选D.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系.2. (2020年广西钦州,第9题3分)如图,等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,连接AO1并延长交⊙O1于点C,则∠ACO2的度数为()A.60° B.45° C.30°D.20°考点:相交两圆的性质;等边三角形的判定与性质;圆周角定理分析:利用等圆的性质进而得出△AO1O2是等边三角形,再利用圆周角定理得出∠ACO2的度数.解答:解:连接O1O2,AO2,∵等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,⊙O1经过⊙O2的圆心O2,连接AO1并延长交⊙O1于点C,∴AO1=AO2=O1O2,∴△AO1O2是等边三角形,∴∠AO1O2=60°,∴∠ACO2的度数为;30°.故选;C.点评:此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定和圆周角定理等知识,得出△AO1O2是等边三角形是解题关键.3.(2020•青岛,第5题3分)已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4,O1O2=5,则⊙O1与⊙O2的位置关系是()A.内含B.内切C.相交D.外切考点:圆与圆的位置关系.分析:由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4,O1O2=5,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.解答:解:∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4,∴半径和为:2+4=6,半径差为:4﹣2=2,∵O1O2=5,2<6<6,∴⊙O1与⊙O2的位置关系是:相交.故选C.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.注意掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r 的数量关系间的联系.4. (2020•攀枝花,第7题3分)下列说法正确的是()A.多边形的外角和与边数有关B.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.当两圆相切时,圆心距等于两圆的半径之和D.三角形的任何两边的和大于第三边考点:多边形内角与外角;三角形三边关系;圆与圆的位置关系;中心对称图形.分析:根据多边形的外角和是360°,可以确定答案A;平行四边形只是中心对称图形,可以确定答案B;当两圆相切时,可分两种情况讨论,确定答案C;三角形的两边之和大于第三遍,可以确定答案D.解答:解:A、多边形的外角和是360°,所以多边形的外角和与边数无关,所以答案A错误;B、平行四边形只是中心对称图形,不是轴对称图形,所以答案B错误;C、当两圆相切时,分两种情况:两圆内切和两圆外切,结果有两种,所以答案C错误;D、答案正确.故选:D.点评:本题考查了基本定义的应用,解答此类问题的关键在于熟练记住基本定理、性质以及公式的运用.5.二.填空题1.2.三.解答题1. (2020•乐山,第26题12分)如图,⊙O1与⊙O2外切与点D,直线l与两圆分别相切于点A、B,与直线O1、O2相交于点M,且tan∠AM01=,MD=4.(1)求⊙O2的半径;(2)求△ADB内切圆的面积;(3)在直线l上是否存在点P,使△MO2P相似于△MDB?若存在,求出PO2的长;若不存在,请说明理由.考点:圆的综合题..专题:综合题.分析:(1)连结O1A、O2B,设⊙O1的半径为r,⊙O2的半径为R,根据两圆相切的性质得到直线O1O2过点D,则MO2=MD+O2D=4+R,再根据切线的性质由直线l与两圆分别相切于点A、B得到O1A⊥AB,O2B⊥AB,然后根据特殊角的三角函数值得到∠AM01=30°,在Rt△MBO2中,根据含30度的直角三角形三边的关系得MO2=O2B=2R,于是有4+R=2R,解得R=4;(2)利用互余由∠AM02=30°得到∠MO2B=60°,则可判断△O2BD为等边三角形,所以BD=O2B=4,∠DBO2=60°,于是可计算出∠ABD=30°,同样可得∠MO1A=60°,利用三角形外角性质可计算得∠O1AD=∠MO1A=30°,则∠DAB=60°,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=BD=4,AB=2AD=8,利用直角三角形内切圆的半径公式得到△ADB内切圆的半径==2﹣2,然后根据圆的面积公式求解;(3)先在Rt△MBO2中,根据含30度的直角三角形三边的关系得MB=O2B=12,然后分类讨论:△MO2P与△MDB有一个公共角,当△MO2P∽△MDB时,利用相似比可计算出O2P=8;当△MO2P∽△MBD时,利用相似比可计算出O2P=8.解答:解:(1)连结O1A、O2B,如图,设⊙O1的半径为r,⊙O2的半径为R,∵⊙O1与⊙O2外切与点D,∴直线O1O2过点D,∴MO2=MD+O2D=4+R,∵直线l与两圆分别相切于点A、B,∴O1A⊥AB,O2B⊥AB,∵tan∠AM01=,∴∠AM01=30°,在Rt△MBO2中,MO2=O2B=2R,∴4+R=2R,解得R=4,即⊙O2的半径为4;(2)∵∠AM02=30°,∴∠MO2B=60°,而O2B=O2D,∴△O2BD为等边三角形,∴BD=O2B=4,∠DBO2=60°,∴∠ABD=30°,∵∠AM01=30°,∴∠MO1A=60°,而O1A=O1D,∴∠O1AD=∠O1DA,∴∠O1AD=∠MO1A=30°,∴∠DAB=60°,∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°,在Rt△ABD中,AD=BD=4,AB=2AD=8,∴△ADB内切圆的半径===2﹣2,∴△ADB内切圆的面积=π•(2﹣2)2=(16﹣8)π;(3)存在.在Rt△MBO2中,MB=O2B=×4=12,当△MO2P∽△MDB时,=,即=,解得O2P=8;当△MO2P∽△MBD时,=,即=,解得O2P=8,综上所述,满足条件的O2P的长为8或8.点评:本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的性质、两圆相切的性质和直角三角形内切圆的半径;会利用含30度的直角三角形三边的关系和三角形相似比进行几何计算;会运用分类讨论的思想解决数学问题.2.。

2020中考数学第二节 与圆有关的位置关系(可自主编辑word)

2020中考数学第二节 与圆有关的位置关系(可自主编辑word)

第二节与圆有关的位置关系A组基础题组一、选择题1.(2018浙江嘉兴)用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是()A.点在圆内B.点在圆上C.点在圆心上D.点在圆上或圆内2.(2019江苏无锡)如图,PA是☉O的切线,切点为A,PO的延长线交☉O于点B,连接AB,若∠P=40°,则∠B的度数为()A.20°B.25°C.40°D.50°3.(2018湖南湘西州)已知☉O的半径为5cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与☉O 的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.无法确定4.(2019浙江台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切于点D,E,则☉O的半径为()A.2√3B.3C.4D.4-√35.(2018重庆B卷)如图,在△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,OB为半径作圆,☉O恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分∠ABC,AD=2√3,则线段CD的长是()A.2B.√3C.32D.3√326.(2018湖北宜昌)如图,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O 上,连接OC,EC,ED,则∠CED的度数为()A.30°B.35°C.40°D.45°7.(2019湖北荆门)如图,△ABC的内心为I,连接AI并延长交△ABC的外接圆于点D,连接BD,则线段DI与DB的关系是()A.DI=DBB.DI>DBC.DI<DBD.不确定二、填空题8.某点和☉O上的点的最近距离为4cm,最远距离为9cm,则这个圆的半径是cm.9.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心, 则∠PBC+∠PCA+∠PAB=.10.(2018河南学业水平考试模拟)如图,AB是☉O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),连接AC,EF,当△BEF是直角三角形时,t的值为.⏜上.若11.(2019浙江温州)如图,☉O分别切∠BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧EDF∠BAC=66°,则∠EPF等于度.三、解答题12.(2019四川凉山州)如图,点D是以AB为直径的☉O上一点,过点B作☉O的切线,交AD的延长线于点C,E是BC的中点,连接DE并延长与AB的延长线交于点F.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若OB=BF,EF=4,求AD的长.13.(2019甘肃天水)如图,AB,AC分别是☉O的直径和弦,OD⊥AC于点D.过点A作☉O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F,连接BC.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)若∠ABC=60°,AB=10,求线段CF的长.B组提升题组1.(2019四川泸州)如图,☉O 为等腰△ABC 的内切圆,☉O 与AB,BC,CA 分别相切于点D,E,F,且AB=AC=5,BC=6,则DE 的长是( )A.3√1010B.3√105C.3√55D.6√552.(2019岳阳)如图,AB 为☉O 的直径,点P 为AB 延长线上的一点,过点P 作☉O 的切线PE,切点为M,过A,B 两点分别作PE 的垂线AC,BD,垂足分别为C,D,连接AM,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①AM 平分∠CAB; ②AM 2=AC ·AB;③若AB=4,∠APE=30°,则BM⏜的长为π3; ④若AC=3,BD=1,则有CM=DM=√3.3.(2019湖北咸宁)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,D 为AB 的中点,以CD 为直径的☉O 分别交AC,BC 于E,F 两点,过点F 作FG ⊥AB 于点G. (1)试判断FG 与☉O 的位置关系,并说明理由;(2)若AC=3,CD=2.5,求FG的长.答案精解精析A组基础题组一、选择题1.D点和圆的位置关系有点在圆上,点在圆内,点在圆外三种,若“点在圆外”不成立,即“点在圆内或圆上”,故选D.2.B连接OA,∵PA是☉O的切线,切点为A,∴OA⊥AP,∴∠OAP=90°.∵∠APB=40°,∴∠AOP=50°.∠AOP=25°.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB=12故选B.3.B∵圆心到直线的距离=圆的半径,∴直线和圆相切.故选B.4.A如图,连接OA,OD,OE,∵☉O分别与AB,AC相切于点D,E,∴OD⊥AB,OE⊥AC.∵OD=OE,∴∠DAO=∠EAO.又AB=AC,∴BO=CO,∴∠DAO=30°,BO=4,∴OD=OAsin∠DAO=1OA.2又∵在Rt△AOB中,OA=√AB2-OB2=4√3,∴OD=2√3,故选A.5.B如图,连接OD,则由AD与☉O相切于点D,得OD⊥AC.∵在Rt△AOD中,∠A=30°,AD=2√3,tan A=ODAD,∴OD=2√3×√33=2.∴AO=2OD=4,AB=OA+OB=6.∵∠AOD=90°-∠A=60°,∴∠ABD=12∠AOD=30°.∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD=60°.∴∠C=90°=∠ADO.∴OD∥BC.∴AD DC =AOOB,即2√3DC=42,∴DC=√3.故选B.6.D∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED=12∠COD=45°,故选D.7.A如图,连接BI,∵△ABC 的内心为I, ∴∠1=∠2,∠5=∠6. ∵∠3=∠1,∴∠3=∠2.∵∠4=∠2+∠6,∴∠4=∠3+∠5, 即∠4=∠DBI, ∴DI=DB. 故选A.二、填空题 8.答案 2.5或6.5解析 要分点在☉O 外和在☉O 内两种情况计算:若点在☉O 外,则半径为9-42=2.5(cm);若点在☉O 内,则半径为9+42=6.5(cm).故圆的半径是2.5 cm 或6.5 cm.9.答案 90°解析 因为点P 是△ABC 的内心,则有∠PBC+∠PCA+∠PAB=12(∠ABC+∠BCA+∠CAB)=12×180°=90°. 10.答案 1或74或94 解析 ∵AB 是☉O 的直径, ∴∠ACB=90°,在Rt △ABC 中,BC=2 cm,∠ABC=60°,∴AB=2BC=4 cm.①当∠BFE=90°时,记E 的位置为D 1,在Rt △BFE 中,∠ABC=60°,则BE=2BF=2 cm, ∴此时AE=AB-BE=2 cm,即点E 运动的距离为2 cm,∴t=22=1(s);②当∠BEF=90°时,用同样的方法可求得BE=0.5 cm,记E 的位置为D 2,此时AE=AB-BE=3.5 cm.即点E 运动的距离是3.5 cm. ∴点E 运动的时间为3.52=74(s);③当点E 从点D 2到B 再回到点D 2时,E 运动的距离为2×(4-3.5)=1(cm). ∴点E 运动的时间为12+74=94(s); ④由①知AD 1=2 cm,D 1与圆心重合,若点E 到达B 点再返回D 1,则运动的距离为4+2=6(cm), 此时t=62=3(s),不符合题意.综上所述,当t=1或74或94时,△BEF 是直角三角形.11.答案 57解析 连接OE,OF,则在四边形OEAF 中, ∠OFA= ∠OEA= 90°, ∵∠BAC=66°, ∴∠FOE=180°-66°=114°. ∵P 在☉O 上,∴∠EPF=∠FOE 2=57°.三、解答题12.解析 (1)证明:如图,连接OD,BD. ∵BC 是☉O 的切线,∴BC ⊥OB,∴∠OBC=90°. ∵AB 为☉O 的直径,∴∠ADB=90°. ∵∠ADB+∠CDB=180°,∴∠CDB=90°. ∵E 是BC 的中点,∴ED=EB=12BC,∴∠EDB=∠EBD,∵OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠ODF=∠OBC=90°,∴DF⊥OD,∴DF是☉O的切线.(2)由(1)知∠ODF=90°,∵OD=OB=BF,∴sin F=ODOF =12,∴∠F=30°.∵∠DOB+∠F=90°,∴∠DOB=60°,∴△ODB是等边三角形,∴∠OBD=60°,∴tan∠OBD=ADBD=√3,∴AD=√3BD.∵BC⊥AF,∴BEEF =sin F=12.∵EF=4,∴BE=2,∴BF=√EF2-BE2=2√3,∴AD=√3BD=√3BF=6.13.解析(1)证明:如图,连接OC,∵OD⊥AC,OD经过圆心O,∴AD=CD,∴PA=PC,在△OAP和△OCP中,∵{OA=OC, PA=PC, OP=OP,∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.∵PA是☉O的切线,∴∠OAP=90°.∴∠OCP=90°,即OC⊥PC,∴PC是☉O的切线.(2)∵OB=OC,∠OBC=60°,∴△OBC是等边三角形,∴∠COB=60°.∵AB=10,∴OC=5,由(1)知∠OCF=90°,∴CF=OC·tan∠COB=5√3.B组提升题组1.D连接OA,OE,OB,OD,OB交DE于点H,如图,∵☉O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∴OA平分∠BAC,OE⊥BC,OD⊥AB,BE=BD.∴AO ⊥BC, ∴点A,O,E 共线, 即AE ⊥BC, ∴BE=CE=3,在Rt △ABE 中,AE=2-32 ∵BD=BE=3, ∴AD=2.设☉O 的半径为r,则OD=OE=r,AO=4-r, 在Rt △AOD 中,r 2+22=(4-r)2,解得r=32,在Rt △BOE 中,OB=√32+(32)2=3√52,∵BE=BD,OE=OD, ∴OB 垂直平分DE, ∴DH=EH.∵12HE ·OB=12OE ·BE,∴HE=OE ·BE OB =32×33√52=3√55, ∴DE=2EH=6√55. 故选D.2.答案 ①②④解析 如图,连接OM,BM. ∵PE 为☉O 的切线,∵AC ⊥PC, ∴OM ∥AC, ∴∠CAM=∠AMO. ∵OA=OM, ∠OAM=∠AMO,∴∠CAM=∠OAM,即AM 平分∠CAB,故①正确; ∵AB 为☉O 的直径, ∴∠AMB=90°.∵∠CAM=∠MAB,∠ACM=∠AMB, ∴△ACM ∽△AMB, ∴AC AM =AMAB,∴AM 2=AC ·AB,故②正确; ∵∠APE=30°,∴∠MOP=∠OME-∠APE=90°-30°=60°. ∵AB=4, ∴OB=2, ∴BM⏜的长为60·π×2180=2π3,故③错误;∵BD ⊥PC,AC ⊥PC, ∴BD ∥AC, ∴PB PA =BD AC =13, ∴PB=13PA,∴PB=12AB,BD=12OM, ∴PB=OB=OA,∴在Rt △OMP 中,OM=12OP=2, ∴∠OPM=30°, ∴PM=2√3,∴CM=DM=DP=√3,故④正确.3.解析 (1)FG 与☉O 相切. 理由:如图,连接OF,∵∠ACB=90°,D 为AB 的中点, ∴CD=BD, ∴∠DBC=∠DCB.∵OF=OC,∴∠OFC=∠OCF, ∴∠OFC=∠DBC,∴OF ∥DB, ∴∠OFG+∠DGF=180°. ∵FG ⊥AB,∴∠DGF=90°, ∴∠OFG=90°,∴FG 与☉O 相切. (2)如图,连接DF, ∵CD=2.5,∴AB=2CD=5, ∴BC=√AB 2-AC 2=4.∵CD为☉O的直径,∴∠DFC=90°,∴FD⊥BC.∵DB=DC,∴BF=12BC=2,∵sin∠ABC=ACAB =FGFB,即35=FG2,∴FG=65.。

2020年九年级数学中考经典几何题讲义设计系列:直线、圆和圆的位置关系

2020年九年级数学中考经典几何题讲义设计系列:直线、圆和圆的位置关系

中考经典几何题讲义系列:直线、圆和圆的位置关系目录一、考点知识梳理二、中考典例精析三、基础巩固训练四、考点训练一、考点知识梳理考点一点和圆的位置关系1.点和圆的位置关系:如果圆的半径是r,点到圆心的距离为d,那么:(1)点在圆上⇔d=r;(2)点在圆内⇔d<r;(3)点在圆外⇔d>r.2.过三点的圆(1)经过三点的圆:①经过在同一直线上的三点不能作圆;②经过不在同一直线上的三点,有且只有一个圆.(2)三角形的外心:经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆;外接圆的圆心叫做三角形的外心;这个三角形叫做这个圆的内接三角形.(3)三角形外接圆的作法:①确定外心:作任意两边的中垂线,交点即为外心;②确定半径:两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离为半径.温馨提示锐角三角形的外心在三角形内部;直角三角形的外心在斜边中点处;钝角三角形的外心在三角形的外部.考点二直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时的直线叫做圆的割线;(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,唯一的公共点叫做切点,这时的直线叫做圆的切线;(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.2.直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:(1)直线l和⊙O相交⇔d<r;(2)直线l和⊙O相切⇔d=r;(3)直线l和⊙O相离⇔d>r.考点三切线的判定与性质1.切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)过半径外端点并且和这条半径垂直的直线是圆的切线.2.切线的性质(1)切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径;(2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心;(3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.温馨提示1.要证的直线与圆有公共点,且存在连结公共点的半径,此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径,证垂直”.2.给出了直线与圆的公共点,但未给出过这点的半径,则连结公共点和圆心,然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“连半径,证垂直”.3.当直线与圆的公共点不明确时,则过圆心作该直线的垂线,然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂线,证相等”.考点四圆与圆的位置关系设R,r为两圆的半径,d为圆心距.则(1)两圆外离⇔d>R+r;(2)两圆外切⇔d=R+r;(3)两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r);(4)两圆内切⇔d=R-r(R>r);(5)两圆内含⇔d<R-r(R>r).温馨提示当两圆内含时,如果d为0,则两圆为同心圆.考点五三角形的内切圆1.与三角形内切圆有关的一些概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.2.三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三边的距离相等,且在三角形内部.温馨提示确定三角形的内心,只需画出两内角平分线的交点即可;内心与三角形各顶点的连线平分三角形各内角.二、中考典例精析考点一直线与圆的位置关系如图,射线QN与等边△ABC的两边AB,BC分别交于点M,N,且AC∥QN,AM=MB=2 cm,QM=4 cm.动点P从点Q出发,沿射线QN以每秒1 cm的速度向右移动,经过t秒,以点P为圆心, 3 cm为半径的圆与△ABC的边相切(切点在边上),请写出t可取的一切值t=2或3≤t≤7或t=8(单位:秒).【思路点拨】分三种情况讨论:当⊙P与AB边相切时;当⊙P与AC边相切时;当⊙P 与BC边相切时;即当圆心P到AB,AC,BC的距离为3时对应的t值即为所求.解析:因为⊙P的半径为3,所以圆心P从Q点开始运动时,圆会与△ABC的边3次相切,而AM=MB,AC∥QN,所以MN为正三角形ABC的中位线,MN=2.(1)当圆与正三角形AB边相切时,如图①,则PD=3,易得DM=1,PM=2,则QP =2,则t=2;(2)当圆与正三角形AC边相切时,如图②,事实上圆的半径刚好等于AC与射线QN之间的距离3,所以AP1=3,则P1M=1,QP1=3.同理NP2=1,QP2=7,而在此之间圆始终与AC边相切,所以3≤t≤7;(3)当圆与正三角形BC边相切时,如图③,则PD=3,易得DN=1,PN=2,则QP =8,则t=8.图③综上所述,t=2或3≤t≤7或t=8.方法总结根据直线上的点到圆心的距离判断直线与圆的位置关系,一定要分清这个点到圆心的距离是不是直线到圆心的垂直距离.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若⊙C与直线AB相切,则r的值为(B)A.2 cm B.2.4 cm C.3 cm D.4 cm解析:作CD⊥AB于点D,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股定理,可得AB=5(cm).再由面积法,求得CD=2.4(cm),即r的值为2.4 cm.故选B.如图,△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,D,E分别是AC,AB的中点,则以DE为直径的圆与BC的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法确定解析:∵AB=6,AC=8,BC=10,AB2+AC2=62+82=100=102=BC2,∴△ABC是直角三角形,∠A=90°.∵D,E分别是AC,AB的中点,∴DE=12BC=5,DE∥BC.过点A作AF⊥BC,垂足是F,交DE于点G,由面积公式可得AF=6×810=4.8,∴AG=FG=2.4.以DE为直径作圆,则半径为2.5,2.5>2.4,∴以DE为直径的圆与BC相交.故选A.答案:A考点二切线的性质与判定如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径,⊙O的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E,交PC于点F,连结AF.(1)判断AF与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为4,AF=3,求AC的长.【思路点拨】(1)连结OC,由PC为切线可得OC⊥PC.由OB=OC及OF∥BC可得∠AOF =∠COF,进而可证△AOF≌△COF,∠OAF=∠OCF=90°;(2)由AF垂直于OA,在Rt△AOF中,由OA与AF的长,利用勾股定理求出OF的长.而OA=OC,OF为角平分线,利用三线合一得到E为AC的中点,OE垂直于AC,利用面积法求出AE的长,即可确定AC的长.解:(1)AF为⊙O的切线.理由如下:如图,连结OC,∵PC 为⊙O 的切线,∴CP ⊥OC ,∴∠OCP =90°.∵OF ∥BC ,∴∠AOF =∠B ,∠COF =∠OCB .∵OC =OB ,∴∠OCB =∠B ,∴∠AOF =∠COF .在△AOF 和△COF 中,⎩⎪⎨⎪⎧ OA =OC ,∠AOF =∠COF ,OF =OF ,∴△AOF ≌△COF (SAS ),∴∠OAF =∠OCF =90°.又∵点A 在⊙O 上,∴AF 为⊙O 的切线.(2)由(1),知∠AOF =∠COF ,∵OA =OC ,∴E 为AC 的中点,即AE =CE =12AC ,OE ⊥AC . ∵OA ⊥AF ,∴在Rt △AOF 中,OA =4,AF =3,OF =OA 2+AF 2=5.∵S △AOF =12·OA ·AF =12·OF ·AE , ∴AE =125,∴AC =2AE =245. 方法总结切线的证明分三种情况:一是直线与圆有公共点,且有连结公共点的半径,可证明半径与直线互相垂直,记为“有半径,证垂直”;二是直线与圆有公共点,但没有连结公共点的半径,可连结半径,证明半径与直线互相垂直,记为“连半径,证垂直”;三是没有指明直线和圆的公共点,可以过圆心作直线的垂线段,证明等于半径,记为“作垂直,证半径”.如图,已知线段OA 交⊙O 于点B ,且OB =AB ,点P 是⊙O 上的一个动点,那么∠OAP 的最大值是( D )A .90°B .60°C .45°D .30°如图①,△ABC 中,CA =CB ,点O 在高CH 上,OD ⊥CA 于点D ,OE ⊥CB于点E ,以O 为圆心,OD 为半径作⊙O .(1)求证:⊙O 与CB 相切于点E ;(2)如图②,若⊙O 过点H ,且AC =5,AB =6,连结EH ,求△BHE 的面积和tan ∠BHE 的值.解:(1)证明:∵CA =CB ,点O 在高CH 上,∴∠ACH =∠BCH .∵OD ⊥CA ,OE ⊥CB ,∴OE =OD ,∴⊙O 与CB 相切于点E .(2)∵CA =CB ,CH 是高,∴AH =BH =12AB =3, ∴CH =CA 2-AH 2=4.∵点O 在高CH 上,⊙O 过点H ,∴⊙O 与AB 相切于H 点.由(1)得⊙O 与CB 相切于点E ,∴BE =BH =3.如图,过点E 作EF ⊥AB ,则EF ∥CH ,∴△BEF ∽△BCH ,∴BE BC =EF CH ,即35=EF 4,解得EF =125. ∴S △BHE =12BH ·EF =12×3×125=185. 在Rt △BEF 中,BF =BE 2-EF 2=95, ∴HF =BH -BF =3-95=65, 则tan ∠BHE =EF HF =2.考点三 圆和圆的位置关系如图,⊙O 的半径为4 cm ,直线l 与⊙O 相交于A ,B 两点,AB =4 3 cm ,P 为直线l 上一动点,以1 cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点,设PO =d cm ,则d 的范围是d >5cm 或2cm ≤d <3cm .【思路点拨】根据两圆内切和外切,求出两圆圆心距,进而得出d 的取值范围. 解析:如图,连结OP ,⊙O 的半径为4 cm ,⊙P 的半径为1 cm ,则当d =5时,两圆外切;当d =3时,两圆内切.过点O 作OD ⊥AB 于点D ,OD =42-(23)2=2(cm),当点P运动到点D时,OP最小为2 cm,此时两圆没有公共点.∴以1 cm为半径的⊙P 与⊙O没有公共点时,d>5 cm或2 cm≤d<3 cm.方法总结判断两圆的位置关系关键是求出两圆圆心的距离以及两圆半径的和与差,然后作出比较,得出相应的结论.(2013·平凉)已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根,且圆心距O1O2=t+2,若这两个圆相切,则t=2或0 .如图,⊙O1,⊙O2的圆心O1,O2在直线l上,⊙O1的半径为2 cm,⊙O2的半径为3 cm,O1O2=8 cm.⊙O1以1 cm/s的速度沿直线l向右运动,7 s后停止运动,在此过程中,⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是()A.外切B.相交C.内切D.内含解析:当停止运动时,d=8-7=1=3-2,此时两圆内切,且在左侧内切,∴在运动的过程中,两圆的位置关系有外切、相交、内切,但没有内含.故选D.答案:D三、基础巩固训练1.⊙O的半径为8,圆心O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系是(B)A.相切B.相交C.相离D.不能确定2. 如图,AB是⊙O的切线,B为切点,AO与⊙O交于点C,若∠BAO=40°,则∠OCB 的度数为(C)A.40°B.50°C.65°D.75°3.已知⊙O1与⊙O2相交,它们的半径分别是4,7,则圆心距O1O2可能是(C) A.2 B.3 C.6 D.124.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点G,直线EF与⊙O相切于点D,则下列结论中不一定正确的是(C)A.AG=BG B.AB∥EFC.AD∥BC D.∠ABC=∠ADC5.如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切于点C,若大圆半径为10 cm,小圆半径为6 cm,则弦AB的长为16 cm.6.如图,小圆的圆心在原点,半径为3,大圆的圆心坐标为(a,0),半径为5.如果两圆内含,那么a的取值范围是-2<a<2.7.如图,已知P是⊙O外一点,PO交⊙O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连结PB.(1)求BC的长;(2)求证:PB是⊙O的切线.解:(1)连结OB,∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,∴∠COB=60°.又∵OC=OB,∴△OBC是正三角形,∴BC=OC=2.(2)证明:∵BC=CP,∴∠CBP=∠P.∵△OBC是正三角形,∴∠OBC=∠OCB=60°,∴∠CBP=30°,∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上,∴PB是⊙O的切线.8.如图,在△ABC中,以AB为直径的⊙O交BC于点P,PD⊥AC于点D,且PD 与⊙O相切.(1)求证:AB=AC;(2)若BC=6,AB=4,求CD的值.解:(1)证明:连结OP,则OP=OB,则∠B=∠OPB.又∵PD与⊙O相切,∴OP⊥PD.又∵PD⊥AC,∴OP∥AC .∴∠C=∠OPB,∴∠C=∠B,∴AB=AC.(2)已知AB=4,∴AC=4.连结AP.∵AB为直径,∴∠APB=90°,即AP⊥BC.∵AB=AC,∴P为BC的中点.∵BC=6,∴PC=3.∵∠DCP=∠PCA,∠PDC=∠APC,∴△CDP∽△CPA,∴CDPC=PCAC,即CD3=34,∴CD=94.9.直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为6,则r的取值范围是(C) A.r<6 B.r=6 C.r>6 D.r≥610.已知⊙O1和⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根,且两圆的圆心距等于4,则⊙O1与⊙O2的位置关系是(B)A.外离B.外切C.相交D.内切11.直线AB与⊙O相切于B点,C是⊙O与OA的交点,点D是⊙O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是()A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°解析:如图,连结OB,当点D在优弧BC上时,∵直线AB与⊙O相切于B点,∴OB⊥BA,∴∠OBA=90°.∵∠A=40°,∴∠AOB=50°,∴∠BDC=12∠AOB=25°;当点D在劣弧BC上时,即在D′点处,如图,∵∠BDC+∠BD′C=180°,∴∠BD′C=180°-25°=155°,∴∠BDC的度数为25°或155°.故选A.答案:A12.如图,已知⊙O1的半径为1 cm,⊙O2的半径为2 cm,将⊙O1,⊙O2放置在直线l上,如果⊙O1在直线l上任意滚动,那么圆心距O1O2的长不可能是(D)A.6 cm B.3 cm C.2 cm D.0.5 cm解析:由题意知当两圆内切时,圆心距最小,此时圆心距为1 cm,所以圆心距不可能是0.5 cm.故选D.13.如图,⊙O1,⊙O2相交于A,B两点,两圆半径分别为6 cm和8 cm,两圆的连心线O1O2的长为10 cm,则弦AB的长为()A.4.8 cm B.9.6 cm C.5.6 cm D.9.4 cm解析:如图,连结O1A,O2A,设O1O2与AB相交于点C,由题意,知O1A=6 cm,O2A=8 cm,O1O2=10 cm.由勾股定理的逆定理,可得△O1O2A是直角三角形.再由圆的对称性可知,AB⊥O1O2,且AC=BC.在Rt△O1O2A中,由面积法,可得AC=6×810=4.8(cm),∴AB=2AC=9.6(cm).故选B.答案:B14.如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上,若BG=2-1,则△ABC的周长为()A.4+2 2 B.6C.2+2 2 D.4解析:如图,连结OD,OE,∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°,∴四边形ODCE是矩形.又∵OD=OE,∴四边形ODCE 是正方形,∴CD=CE=OE.∵∠A=∠B=45°,∴△OEB是等腰直角三角形.设OE=r,则BE=OG=r,∴OB=OG+BG=r+2-1,∵OB=2OE=2r,∴r+2-1=2r,∴r=1.∴AC=BC=2r=2,AB=2OB=2×(1+2-1)=2 2.∴△ABC的周长为AC+BC+AB=4+2 2.故选A.答案:A15.如图,已知⊙O是以数轴的原点O为圆心,半径为1的圆,∠AOB=45°,点P 在数轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是(C)A.-1≤x≤1B.-2≤x≤ 2C.0≤x≤ 2D.x>2解析:当过点P的直线与⊙O相切时,有一个公共点,此时x=2,∵OP为线段的长,∴x≥0,∴0≤x≤ 2.16.如图,⊙O1的半径为1,正方形ABCD的边长为6,点O2为正方形ABCD的中心,O1O2垂直AB于P点,O1O2=8,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现()A.3次B.5次C.6次D.7次解析:如图所示,PO1=8-3=5,以P为圆心,5为半径画圆P,圆P上有2个点D1与D2到边AD的距离为1,有一个点D3(直线PO2与圆P的交点)到边CD的距离为1,有2个点D 4与D 5到边BC 的距离为1,所以以这5个点为圆心,1为半径作圆,这五个圆都与正方形ABCD 的边相切且只有一个公共点,因此在旋转的过程中,⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现5次.答案:B17.如图,已知⊙O 是△ABC 的内切圆,且∠A =50°,则∠BOC 为115度. 解析:∵内心O 是△ABC 三条角平分线的交点,∴OB ,OC 分别平分∠ABC ,∠ACB ,∴∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=180°-12(180°-∠A )=180°- 12(180°-50°)=115°. 18. 如图,在Rt △AOB 中,OA =OB =32,⊙O 的半径为1,点P 是AB 边上的动点,过点P 作⊙O 的一条切线PQ (点Q 为切点),则切线PQ 的最小值为22 .解析:如图,连结OP ,OQ ,∵PQ 是⊙O 的切线,∴OQ ⊥PQ .由勾股定理可知PQ 2=OP 2-OQ 2,∴当OP ⊥AB 时,OP 最短,即PQ 最短.∵在Rt △AOB 中,OA =OB =32,∴AB =2OA =6,∴OP =OA ·OB AB =3,∴PQ =OP 2-OQ 2=32-12=2 2.19.如图,已知⊙P 的半径为2,圆心P 在抛物线y =12x 2-1上运动,当⊙P 与x 轴相切时,圆心P 的坐标为 (6,2)或(-6,2) .解析:当⊙P 与x 轴相切时,有y =2,代入抛物线解析式得x =±6,所以P 的坐标为(6,2)或(-6,2).20. 如图,在边长为3的正方形ABCD 中,⊙O 1与⊙O 2外切,且⊙O 1分别与DA ,DC 边相切,⊙O 2分别与BA ,BC 边相切,则圆心距O 1O 2为 6-3 2.解析:如图所示,分别作出经过两圆圆心和切点的两条直线,设它们交于点O,设⊙O1与⊙O2的半径分别为R,r,根据相切两圆的性质得O1O2=R+r,OO1=OO2=3-R-r,所以R+r=2(3-R-r).解得R+r=6-3 2.21.如图,AB是⊙O的直径,D为⊙O的上一点,AT平分∠BAD交⊙O于点T,过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证:CT为⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为2,CT=3,求AD的长.解:(1)证明:连结OT,∵OA=OT,∴∠OAT=∠OTA.又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT=∠OAT,∴∠DAT=∠OTA,∴OT∥AC.又∵CT⊥AC,∴CT⊥OT.又∵点T在⊙O上,∴CT为⊙O的切线.(2)过点O作OE⊥AD于点E,则点E为AD的中点,又∵CT⊥AC,∴OE∥CT,∴四边形OTCE为矩形.∵CT=3,∴OE= 3.又∵OA =2,∴在Rt△OAE中,AE=OA2-OE2=22-(3)2=1,∴AD=2AE=2.22.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2 cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由.(2)已知⊙O为△ABC的外接圆,若⊙P与⊙O相切,求t的值.解:(1)直线AB与⊙P相切.如图所示,过P作PD⊥AB,垂足为D.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∵AC=6 cm,BC=8 cm,∴AB=AC2+BC2=10(cm).∵P为BC的中点,∴PB=4 cm.∵∠PDB=∠ACB=90°,∠PBD=∠ABC,∴△PBD∽△ABC.∴PDAC=PBAB,即PD6=410.∴PD=2.4 (cm).当t=1.2时,PQ=2t=2.4(cm),∴PD=PQ,即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径.∴直线AB与⊙P相切.(2)∵∠ACB=90°,∴AB为△ABC的外接圆的直径.∴OB=12AB=5(cm).连结OP.∵P为BC的中点,∴OP=12AC=3(cm).∵点P在⊙O内部,∴⊙P与⊙O只能内切.∴5-2t=3或2t-5=3.∴t=1或t=4.∴⊙P与⊙O相切时,t的值为1或4.四、考点训练1. 两个圆的半径分别为2和3,当圆心距d =5时,这两个圆的位置关系是( D )A .内含B .内切C .相交D .外切2. 如图,AB 是⊙O 的弦,BC 与⊙O 相切于点B ,连结OA ,OB .若∠ABC =70°,则∠A 等于( B )A .15°B .20°C .30°D .70°3. 在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是( C )A .若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直B .若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点C .若两条弦所在直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点D .若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径4. 如图,⊙O 的半径为2,点O 到直线l 的距离为3,点P 是直线l 上的一个动点,PB 切⊙O 于点B ,则PB 的最小值是( B )A. 13B. 5 C .3 D .25. 如图,用邻边长分别为a ,b (a <b )的矩形硬纸板裁出以a 为直径的两个半圆,再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆.把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面,小圆恰好能作为底面,从而做成两个圣诞帽(拼接处材料忽略不计),则a 与b 满足的关系式是( )A .b =3aB .b =5+12a C .b =52a D .b =2a 解析:如图,设小圆的半径为x ,则MF =AN =x ,NE =a 2-x ,NF =b 2,EF =a 2+x ,由勾股定理可得(b 2)2+(a 2-x )2=(a 2+x )2①,再根据小圆周长等于半圆弧长可得2πx =π·a 2②,联立①②,消去x ,可得b =2a .故选D. 答案:D6. 在同一平面内,已知线段AO =2,⊙A 的半径为1,将⊙A 绕点O 按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B ,则⊙A 与⊙B 的位置关系为外切.7. 如图,在⊙O 中,过直径AB 延长线上的点C 作⊙O 的一条切线,切点为D .若AC=7,AB =4,则sin C 的值为 25.8. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,BC ⊥AB ,连结OC ,弦AD ∥OC ,直线CD 交BA 的延长线于点E .(1)求证:直线CD 是⊙O 的切线;(2)若DE =2BC ,求AD ∶OC 的值.解:(1)证明:如图,连结DO ,∵AD ∥OC ,∴∠DAO =∠COB ,∠ADO =∠COD .又∵OA =OD ,∴∠DAO =∠ADO ,∴∠COD =∠COB .又∵CO =CO ,OD =OB ,∴△COD ≌△COB ,∴∠CDO =∠CBO =90°.又∵点D 在⊙O 上,∴CD 是⊙O 的切线.(2)∵△COD ≌△COB ,∴CD =CB .∵DE =2BC ,∴DE =2CD .∵AD ∥OC ,∴△EDA ∽△ECO ,∴AD OC =DE CE =23. 9. 如图,AB 为⊙O 的直径,EF 切⊙O 于点D ,过点B 作BH ⊥EF 于点H ,交⊙O于点C,连结BD.(1)求证:BD平分∠ABH;(2)如果AB=12,BC=8,求圆心O到BC的距离.解:(1)证明:如图,连结OD,∵EF是⊙O的切线,∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF,∴OD∥BH,∴∠ODB=∠DBH,而OD=OB,∴∠ODB=∠OBD,∴∠OBD=∠DBH,∴BD平分∠ABH.(2)如图,过点O作OG⊥BC于点G,则BG=CG=4,在Rt△OBG中,OG=OB2-BG2=62-42=2 5.10.已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B,PD交⊙O于点C,D,PE是⊙O 的切线,E为切点,连结AE,交CD于点F.(1)若⊙O的半径为8,求CD的长;(2)证明:PE=PF;(3)若PF=13,sin A=513,求EF的长.解:(1)如图,连结OD,∵PD平分OA,OA=8,∴OB=4.根据勾股定理,得BD=OD2-OB2=4 3.∵PD⊥OA,∴CD=2BD=8 3.(2)证明:∵PE是⊙O的切线,∴∠PEO=90°,∴∠PEF=90°-∠AEO,∠PFE=∠AFB=90°-∠A.∵OE=OA,∴∠A=∠AEO,∴∠PEF=∠PFE,∴PE=PF.(3)如图,作PG⊥EF于点G,∵∠PFG=∠AFB,∴∠FPG=∠A,∴FG=PF·sin A=13×513=5.∵PE=PF,∴EF=2FG=10.。

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2020年中考数学试题分类汇编圆与圆的位置关系初中数学圆与圆的位置关系一.选择1. 〔2018年泸州〕⊙O1与⊙O2的半径分不为5cm和3cm,圆心距020=7cm,那么两圆的位置关系为A.外离B.外切C.相交D.内切2. (2018年滨州)两圆半径分不为2和3,圆心距为d,假设两圆没有公共点,那么以下结论正确的选项是〔〕A.01d<<B.5d>C.01d<<或5d>D.01d<≤或5d>3.〔2018年台州市〕大圆半径为6,小圆半径为3,两圆圆心距为10,那么这两圆的位置关系为〔〕A.外离B.外切C.相交D.内含4.〔2018桂林百色〕右图是一张卡通图,图中两圆的位置关系〔〕A.相交B.外离C.内切D.内含5.假设两圆的半径分不是1cm和5cm,圆心距为6cm,那么这两圆的位置关系是〔〕A.内切B.相交C.外切D.外离6〔2018年衢州〕外切两圆的圆心距是7,其中一圆的半径是4,那么另一圆的半径是A.11 B.7 C.4 D.37.〔2018年舟山〕外切两圆的圆心距是7,其中一圆的半径是4,那么另一圆的半径是A.11 B.7 C.4 D.38. .〔2018年益阳市〕⊙O1和⊙O2的半径分不为1和4,假如两圆的位置关系为相交,那么圆心距O1O2的取值范畴在数轴上表示正确的选项是B.D.A.C.9. 〔2018年宜宾〕假设两圆的半径分不是2cm 和3cm,圆心距为5cm ,那么这两个圆的位置关系是〔 〕A. 内切B.相交C.外切D. 外离10.. 〔2018肇庆〕10.假设1O ⊙与2O ⊙相切,且125O O =,1O ⊙的半径12r =,那么2O ⊙的半径2r 是〔 〕A . 3B . 5C . 7D . 3 或711. .(2018年湖州)1O ⊙与2O ⊙外切,它们的半径分不为2和3,那么圆心距12O O 的长是〔 〕A .12O O =1B .12O O =5C .1<12O O <5D .12O O >512.〔2018年兰州〕两圆的半径分不为3cm 和2cm ,圆心距为5cm ,那么两圆的位置关系是 A .外离 B .外切 C .相交 D .内切 .13. 〔2018年遂宁〕如图,把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2,两圆相交于A.B ,且O 1A ⊥O 2A ,那么图中阴影部分的面积是A.4π-8B. 8π-16C.16π-16D. 16π-3214.〔2018年赤峰市〕假设两圆的直径分不是2cm 和10cm ,圆心距为8cm ,那么这两个圆的位置关系是 〔 〕 A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 .15.〔2018年常德市〕如图4,两个同心圆的半径分不为3cm 和5cm ,弦AB 与小圆相切于点C ,那么AB 的长为〔 〕 A .4cm B .5cmC .6cmD .8cm16.〔2018湖北荆州年〕8.如图,两同心圆的圆心为O ,大圆的弦AB 切小圆于P ,两圆的半径分不为6,3,那么图中阴影部分的面积是〔 〕 A .93π-B .63π-C .933π-D .632π-17.〔2018年新疆乌鲁木齐市〕假设相交两圆的半径分不为1和2,那么此两圆的圆心距可能是〔 〕. A .1 B .2 C .3 D .418.(2018年陕西省)图中圆与圆之间不同的位置关系有 【 】A .2种B .3种C .4种D .5种19.〔2018年重庆〕1O ⊙的半径为3cm ,2O ⊙的半径为4cm ,两圆的圆心距12O O 为7cm ,那么1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 .20.〔2018年宜宾〕假设两圆的半径分不是2cm 和3cm,圆心距为5cm ,那么这两个圆的位置关系是〔 〕A. 内切B.相交C.外切D. 外离ABO · C POBA二.填空21.〔2018年济宁市〕两圆的半径分不是2和3,圆心距为6,那么这两圆的位置关系是 .22. 〔2018年宁波市〕如图,A ⊙.B ⊙的圆心A .B 在直线l 上,两圆的半径都为1cm ,开始时圆心距4cm AB =,现A ⊙.B ⊙同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动,那么当两圆相切时,A ⊙运动的时刻为 秒.23. 〔2018年齐齐哈尔市〕相交两圆的半径分不为5cm 和4cm ,公共弦长为6cm ,那么这两个圆的圆心距是______________.24.. 〔2018年锦州〕如图6所示,点A.B 在直线MN 上,AB=11cm ,⊙A.⊙B 的半径均为1cm ,⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r(cm)与时刻t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0),当点A 动身后____秒两圆相切.25.〔2018年锦州〕图7-1中的圆与正方形各边都相切,设那个圆的面积为S 1;图7-2中的四个圆的半径相等,并依次外切,且与正方形的边相切,设这四个圆的面积之和为S 2;图7-3中的九个圆半径相等,并依次外切,且与正方形的各边相切,设这九个圆的面积之和为S 3,……依此规律,当正方形边长为2时,第n 个图中所有圆的面积之和S n =________.26. 〔2018年重庆〕1O ⊙的半径为3cm ,2O ⊙的半径为4cm ,两圆的圆心距12O O 为7cm ,那么1O ⊙与2O ⊙的位置关系是 .27. 〔2018年莆田〕1O ⊙和2O ⊙的半径分不是一元二次方程()()120x x --=的两根,且122O O =,那么1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 .28. .〔09湖北宜昌〕如图,日食图中表示太阳和月亮的 分不为两个圆,这两个圆的位置关系是 .29.〔2018年浙江省绍兴市〕如图,A ⊙,B ⊙的半径分不为1cm ,2cm ,圆心距AB 为5cm .假如A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ,那么现在该圆与B ⊙的位置关系是_____________.30.〔2018威海〕如图,⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3,连接O 1O 2,交⊙O 2于点P ,O 1O 2=8,假设将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°,那么⊙O 1与⊙O 2共相切_______次.31.〔2018 黑龙江大兴安岭〕相切两圆的半径分不为cm 5和cm 4,这两个圆的圆心距是 .32.〔2018襄樊市〕1O 和2O 的半径分不为3cm 和2cm ,且121cm O O =,那么1O 与2O 的位置关系为 .解析:此题考查圆与圆的位置关系,1O 和2O 的半径分不为3cm 和2cm ,且121cm O O =,因此12r r d -=,因此1O 与2O 的位置关系为为内切,故填内切。

33.〔2018 年佛山市〕ABC △的三边分不是a b c ,,,两圆的半径12r a r b ==,,圆心距d c =,那么这两个圆的位置关系是 .34.〔2018年崇左〕如图,点O 是O ⊙的圆心,点A B C 、、在O ⊙上,AO BC ∥,38AOB ∠=°,那么OAC ∠的度数是 .35.〔2018年崇左〕如图,正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心.EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,那么sin EAB ∠的值为 .O CBA()()222R+R-r=R+r,R=4r ,∴sin EAB ∠=3536. 2018年长春〕用正三角形和正六边形按如下图的规律拼图案,即从第二个图案开始,每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形,那么第n 个图案中正三角形的个数为 〔用含n 的代数式表示〕.三.解答37.〔2018年兰州〕如图16,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 通过圆心O ,且与小圆相交于点A .与大圆相交于点B .小圆的切线AC 与大圆相交于点D ,且CO 平分∠ACB .(1)试判定BC 所在直线与小圆的位置关系,并讲明理由; (2)试判定线段AC .AD .BC 之间的数量关系,并讲明理由; (3)假设8cm 10cm AB BC ==,,求大圆与小圆围成的圆环的面积.〔结果保留π〕38.〔2018年凉山州〕如图,在平面直角坐标系中,点1O 的坐标为(40)-,,以点1O 为圆心,8为半径的圆与x 轴交于A B ,两点,过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角,且交y 轴于C 点,以点2(135)O ,为圆心的圆与x 轴相切于点D . 〔1〕求直线l 的解析式;DC EBA 〔第9题〕〔2〕将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移,当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时,求2O ⊙平移的时刻. ,39.〔2018年枣庄市〕 如图,线段AB 与⊙O 相切于点C ,连结OA ,OB ,OB 交⊙O 于点D ,6OA OB ==,AB =〔1〕求⊙O 的半径;〔2〕求图中阴影部分的面积.40.(2018年上海市).在直角坐标平面内,O 为原点,点A 的坐标为〔1,0〕,点C 的坐标为〔0,4〕,直线CM x ∥轴〔如图7所示〕.点B 与点A 关于原点对称,直线b x y +=〔b 为常数〕通过点B ,且与直线CM 相交于点D ,联结OD .〔1〕求b 的值和点D 的坐标;第23题图COABD图〕〔2〕设点P 在x 轴的正半轴上,假设△POD 是等腰三角形,求点P 的坐标; 〔3〕在〔2〕的条件下,假如以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切,求⊙O 的半径.41. 1.〔2018年漳州〕如图,点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上,点C 在O ⊙上,AC CD =,30D ∠=°,〔1〕求证:CD 是O ⊙的切线; 〔2〕假设O ⊙的半径为3,求BCxb。

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