等差数列前n项和1

§2.3等差数列的前n项和第1课时

班级姓名组别代码评价

【使用说明与学法指导】

1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。

2. 重点预习：课本第42页等差数列前n项和公式的推导过程，第44页例2（即等差数列前n项和公式的应用）

3. 把有疑问的题做好标记或写到后面“我的疑问出”。

【学习目标】

1.探索并掌握等差数列前n项和的公式；

2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.

3.通过公式的推导和运用，使学生体会从特殊到一般，在从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问

题，解决问题的一般思路和方法。

4.在公式的推导的过程中，展现数学中的对称美，陶冶学生的情操，培养其审美情趣。

【学习重点】

等差数列n项和公式的理解、推导及应用

【学习难点】

灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题

【知识链接】

1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么？如何有通项公式判断数列的单调性？

2：等差数列有哪些性质？

【预习探究案】

【情景设置】

“小故事”:

高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:

1+2+…100=?”

过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050。

教师问：“你是如何算出答案的？

高斯回答说：因为1+100=101；

2+99=101；…50+51=101，所以

101×50=5050”

这个故事告诉我们：

（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。

（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这种思想方法是什么呢？ 探究一：等差数列的前n 项和公式

问题1：计算1+2+…+100=?

问题2：如何计算1+2+…+100+101=?

问题3：如何求求1+2+…+n =?（让学生展开讨论，畅所欲言，发表自己的见解）

问题4：一般地，称 为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 如何用n a a ,1来表示n s ？如何用d a ,1来表示n s ？（阅读教材43页，理解推导过程，并写在学案上）

总结：等差数列的前n 项和公式： ，

探究二：公式使用的条件,及两个公式的结构特征

1．用1()2

n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2．用1(1)2

n n n d S na -=+，必须已知三个条件： . 3. 两公式中共有几个量？知道几个量可求其他的量？

( 引导学生思考这两个公式的结构特征得到：第一个公式反映了等差数列的任意的第k 项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n 项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n 的“二次函数”，可以与二次函数进行比较。这两个公式的共同点都是知道a 1和n ，不同点是第一个公式还需知道a n ，而第二个公式是要知道d ，解题时还需要根据已知条件决定选用哪个公式。)

试一试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S .

⑴184188a a n =-=-=，，；

⑵114.50.715a d n ===，，.

探究三：公式的应用

例1、已知等差数列{}n a 中，2

1,231-==

d a ，15-=n S ，求n 和n a 。

变式1：已知等差数列{}n a 中，512,11-==n a a ，1022-=n S ，求公差d 。

变式2：已知等差数列{}n a 中，41=a ，1728=S ，求8a 和公差d 。

变式3：已知等差数列{}n a 中，245=S ，求42a a +。

变式4：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .

例2： 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差

数列的前n 项和的公式吗？

变式5、在等差数列{}n a 中，已知8412=S ，46020=S ，求10S ；

小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.

【课堂小结】：

1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；

2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；

3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程

组可以

求出其余的两个.

我的疑问：（至少提出一个有价值的问题） 今天我学会了什么？

【训练案】

（时间：20分钟 成绩： ）

【5分】1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（ ）.

A. 12

B. 24

C. 36

D. 48

【5分】2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（ ）.

A ．5880

B ．5684

C ．4877

D ．4566

【5分】★3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）