导数的几何意义学案公开课(北师大版)

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2.2.2导数的几何意义 (教学课件)-高二下学期数学北师大版(2019)选择性必修第二册

20
方向。
解：物体在此处的速度即运动轨迹在此点切线斜率，又有
y'
x 10
lim
x 0
20
1
(10 x) 2 15
1

20
lim 1 x 1
x 0
x
20

∴此时速度方向与初速度方向相反
课后思考（曲线交角问题）：如图，某地要建造一座抛物线拱桥，要求拱桥最
f x0 x f x0
k0 lim
f ' x0
x 0
x
例题精讲
例题:已知C: = 4 − 2 ,求′(1)。
4 1 x 3
2
f ' 1 lim
x 0
1 x 3
2
x
lim
x 0
x 3
问题6：刘徽的割圆术同样也包含着重要的微积
分思想，同学们知道吗？
A
y
以直代曲
A
x
y
O
A
x
O
O
“割之弥细，所失弥少。
割之又割，则与圆合体,无所异矣。”
思考巩固
练习1（速度方向问题）：以10/的速度平抛的物体的运动轨迹为 = 20 −
1 2
（取 = 10/ 2 ，单位：），求物体在点 10,15 （单位：）处的速度
北师大版选择性必修第二册
导数的几何意义
疑而生慧
疑而生慧
P
这些问题实质上都
是求切线问题。
P
P
切线定义的演变1
r
d=r
与圆只有一个公共点的
直线
过圆上一点，且垂直于

高中数学2.2.2导数的几何意义教学案无答案北师大版选修22

课题陕西省渭南市澄城县寺前中学高中数学 2.2.2导数的几何意义教学案（无答案）北师版选修2-2班级授课（完成）时间教师（学生）教学目标知识与技能会求简单函数在某点的切线方程。

过程与方式通过函数的图像直观理解导数的几何意义。

感情态度与价值观经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。

重点难点重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方式；难点：理解导数的几何意义.教学方式讲练结合法学生自学反馈教学过程新知导学B备注知识点归纳阅读课本34页内容归纳总结：1．函数()x f y =在0x处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2、求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标())(,00x f x ;②求出函数在点x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x kx ∆→+∆-'==∆ ，获得曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程))(()(000x x x f x f y -'=-.注意：函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。

注明知识要求：A “识记类” B “理解类” C “应用类” D “能力提升类” 合作探究 C备注例1、已知函数2)(x x f y ==， x0＝－2。

（1）分别对Δx=2，1，0.5求2x y =在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并画出过点（x0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。

当堂检测 C备注1、已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（） A ．4 B ．16 C ． 8 D ． 2 2、曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（） A ．47+=x y B ．27+=x y C ．2-=x y D ．4-=x y3、求()2x x f =在2=x 处的切线斜率，并求出过该点的切线方程。

北师大版数学高二学案导数的几何意义

2.2 导数的几何意义学习目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.(重点)2.会求导函数.(重点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.(重、难点)知识点一切线的概念如图，当点P n(x n，f(x n))(n＝1，2，3，4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线.显然割线PP n的斜率是k n＝f（x n）－f（x0）x n－x0，当点P n无限趋近于点P时，k n无限趋近于切线PT的斜率.知识点二导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝0limx∆→f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0). 【预习评价】1.曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示不一定.曲线的切线与曲线除了切点外，可能还有其他的公共点.2.曲线“在点P处的切线”与“过点P的切线”的差异是什么？提示在点P处的切线，点P必为切点，过点P的切线，点P不一定为切点，点P也不一定在曲线上.题型一已知过曲线上一点求切线方程【例1】若曲线y ＝x 3＋3ax 在某点处的切线方程为y ＝3x ＋1，求a 的值. 解 ∵y ＝x 3＋3ax .∴y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）3＋3a （x ＋Δx ）－x 3－3axΔx＝ 0lim x ∆→3x 2Δx ＋3x （Δx ）2＋（Δx ）3＋3a ΔxΔx＝0lim x ∆→[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2＋3a ]＝3x 2＋3a .设曲线与直线相切的切点为P (x 0，y 0)，结合已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋3a ＝3，x 30＋3ax 0＝y 0＝3x 0＋1，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－322，x 0＝－342，∴a ＝1－322.规律方法一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图像，P (x 0，y 0)是曲线C 上的定点，由导数的几何意义知k ＝0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.【训练1】求过曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线方程.解因为0lim x ∆→ f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝0lim x ∆→12＋Δx －12Δx ＝0lim x ∆→ －12（2＋Δx ）＝－14.所以这条曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12处的切线斜率为－14，由直线的点斜式方程可得切线方程为y －12＝－14(x －2)，即x ＋4y －4＝0. 题型二求过曲线外一点的切线方程【例2】已知曲线y ＝2x 2－7，求曲线过点P (3，9)的切线方程. 解 y ′＝0lim x ∆→ΔyΔx＝0lim x ∆→[2（x ＋Δx ）2－7]－（2x 2－7）Δx＝0lim x ∆→(4x ＋2Δx )＝4x .由于点P (3，9)不在曲线上.设所求切线的切点为A (x 0，y 0)，则切线的斜率k ＝4x 0，故所求的切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0). 将P (3，9)及y 0＝2x 20－7代入上式，得9－(2x 20－7)＝4x 0(3－x 0). 解得x 0＝2或x 0＝4，所以切点为(2，1)或(4，25).从而所求切线方程为8x －y －15＝0或16x －y －39＝0.规律方法若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 【训练2】求过点A (2，0)且与曲线y ＝f (x )＝1x 相切的直线方程. 解易知点(2，0)不在曲线上，故设切点为P (x 0，y 0)，由f′(x0)＝limx∆→1x0＋Δx－1x0Δx＝－1x20，得所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0).由点(2，0)在直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2＝0.【例3】已知曲线y＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值.解对于曲线y＝x2－1在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[（x0＋Δx）2－1]－（x20－1）Δx＝limx∆→2x0·Δx＋（Δx）2Δx＝limx∆→(2x0＋Δx)＝2x0.对于曲线y＝1－x3在x＝x0处，y′|x＝x0＝limx∆→[1－（x0＋Δx）3]－（1－x30）Δx＝limx∆→－3x20Δx－3x0（Δx）2－（Δx）3Δx＝limx∆→[－3x20－3x0·Δx－(Δx)2]＝－3x20，又y＝1－x3与y＝x2－1在x＝x0处的切线互相平行，所以2x0＝－3x20，解得x0＝0或x0＝－23.【迁移1】(条件不变，改变问法)本典例条件不变，试分别求出这两条平行的切线方程.解 (1)当x 0＝0时，两条切线的斜率k ＝0，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为(0，－1)，切线方程为y ＝－1，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为(0，1)，切线方程为y ＝1. (2)当x 0＝－23时，两条切线的斜率k ＝－43，曲线y ＝x 2－1上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－59，切线方程为y ＋59＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即12x＋9y ＋13＝0，曲线y ＝1－x 3上的切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，3527，切线方程为y －3527＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋23，即36x＋27y －11＝0.故两曲线的切线方程分别是y ＝－1，y ＝1或 12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0.【迁移2】 (条件不变，改变问法)本典例条件不变，试求出两条切线之间的距离.解由迁移1知两切线的方程为y ＝－1，y ＝1或12x ＋9y ＋13＝0，36x ＋27y －11＝0，其中36x ＋27y －11＝0可化为12x ＋9y －113＝0，故两直线间的距离d 1＝2或d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13＋113122＋92＝109. 故两条切线之间的距离为2或109.规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.课堂达标1.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2上一点A (2，8)，则点A 处的切线斜率为( ) A.4B.16C.8D.2解析 f ′(2)＝0lim x ∆→f （2＋Δx ）－f （2）Δx＝0lim x ∆→2（2＋Δx ）2－8Δx ＝0lim x ∆→ (8＋2Δx )＝8，即斜率k ＝8.答案 C2.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A.a ＝1，b ＝1 B.a ＝－1，b ＝1 C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－1解析由题意，知k ＝0lim x ∆→（0＋Δx ）2＋a （0＋Δx ）＋b －bΔx ＝1，∴a ＝1.又(0，b )在切线上，∴b ＝1，故选A. 答案 A3.已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________.解析设点P (x 0，2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝0lim x ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝0lim x ∆→2（Δx ）2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx ＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16得x 0＝3，∴P (3，30). 答案 (3，30)4.曲线y ＝2x 2＋1在点P (－1，3)处的切线方程为________. 解析 Δy ＝2(Δx －1)2＋1－2×(－1)2－1＝2(Δx )2－4Δx ，ΔyΔx ＝2Δx －4，0lim x ∆→ΔyΔx ＝0lim x ∆→(2Δx －4)＝－4，由导数几何意义知，曲线y ＝2x 2＋1在点(－1，3)处的切线的斜率为－4，切线方程为y ＝－4x －1，即4x ＋y ＋1＝0. 答案 4x ＋y ＋1＝05.在抛物线y ＝x 2上，问哪一点处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0？哪一点处的切线垂直于这条直线？解 y ′＝0lim x ∆→（x ＋Δx ）2－x 2Δx ＝0lim x ∆→ (2x ＋Δx )＝2x .设抛物线上点P (x 0，y 0)处的切线平行于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 0＝4，解得x 0＝2. 所以y 0＝x 20＝4，即P (2，4).设抛物线上点Q (x 1，y 1)处的切线垂直于直线 4x －y ＋1＝0，则k ＝2x 1＝－14，解得x 1＝－18. 所以y 1＝x 21＝164，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164.故抛物线y ＝x 2在点(2，4)处的切线平行于直线4x －y ＋1＝0，在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，164处的切线垂直于直线4x －y ＋1＝0.课堂小结1.导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝0limx ∆→f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝f ′(x 0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.2.“函数f (x )在点x 0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值.3.利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.。

导数的几何意义优秀公开课教案(后附教学反思)

导数的几何意义教案一、【教学目标】 1.知识与技能目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。

（数形结合），即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/＝切线的斜率(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

2.过程与方法：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3.情感态度与价值观：导数的几何意义能够很好地帮助理解导数的定义，达到数与形的结合；同时又是知识在几何学，物理学方面的迁移应用。

培养学生学数学，用数学的意识。

【教学手段】采用幻灯片，实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

【课型】探究课【教学重点与难点】重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义二、【教学过程】（一）课题引入，类比探讨：让学生回忆导数的概念及其本质。

（承上启下，自然过渡）。

师：导数的本质是什么？写出它的表达式。

（一位学生板书），其他学生在“学案”中写：导数)(0/x f 的本质是函数)(x f 在0x x =处的瞬时变化率．．．．．，即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim0000/（注记：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）师：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义（板书课题），应从哪儿入手呢？（教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。

要研究“形”，自然要结合“数”）生1：研究导数的代数表达式。

导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修

等
控制系统：通过导数计算，实现自动控制，如汽车自动驾驶系统、机器人控制系统等
信号处理：通过导数计算，实现信号处理，如图像处理、
音频处理等
力学分析：通过导数计算，实现力学分析，如流体力学、
固体力学等
导数在科学计算中的应用
微积分：导数是微积分的基础，用于求解函数极限、导数、积分等问题物理：导数用于描述物理量随时间的变化率，如速度、加速度、力等工程：导数用于求解工程问题，如电路分析、流体力学、热力学等经济：导数用于描述经济变量随时间的变化率，如价格、需求、供给等
感谢观看
汇报人：
导数在经济学中的应用
边际分析：通过导数计算边际成本、边际收益等
弹性分析：通过导数计算价格弹性、需求弹性等
优化问题：通过导数求解最优化问题，如利润最大化、成本最小化等
动态分析：通过导数分析经济系统的动态变化，如经济增长、通货膨胀等
导数在工程学中的应用
优化设计：通过导数计算，找到最优解，如桥梁设计、建筑结构设计
导数与函数图像的变化趋势Biblioteka 导数是函数在某一点的切线斜率
导数可以反映函数在某一点的变化率
导数可以预测函数图像的变化趋势
导数可以帮助我们理解函数的极值和拐点
导数与极值点的关系
导数等于零的点是函数在该点处的极值点
导数大于零的点是函数在该点处的递增点
极值点是函数在某一点处的最大值或最小值
导数小于零的点是函数在该点处的递减点
导数的概念及其几何意义
,
汇报人：
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导数的概念
导数的几何意义
导数的应用
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《导数的概念及其几何意义》教案1(北师大版选修1-1).doc

导数的概念及其几何意义教学目标：1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2.理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；教学难点：导数的几何意义.教学过程：%1.创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数在x=x。

附近的变化情况，导数r（x）的几何意义是什么呢？%1.新课讲授（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当乙（％./'（x〃））（〃 = 1,2,3,4）沿着曲线/（X）趋近于点P（XO ,/（XO））时，割线P4的变化趋势是什么？我们发现，当点P沿着曲线无限接近点P即Ax-0时，割线PP趋近于确定的位置,这个确定位置的直线pr称为曲线在点P处的切线.问题：⑴割线尸4的斜率如与切线阿的斜率k 有什么关系?⑵切线P7的斜率*为多少?容易知道，割线PR 的斜率是kn=K*E ,当点己沿着曲线无限接近点尸时，幻无限趋近于切线PT 的斜率比，即k = lim /任J *）二,佻）=广（X 。

）A —o Ax说明：（1）设切线的倾斜角为那么当△*-（）时，割线PQ 的斜率，称为曲线在点P 处的切线的斜率.这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；②切线斜率的木质一函数在x = X 。

处的导数・（2）曲线在某点处的切线:1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3）曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数》顼W 在x=xo 处的导数等于在该点（x 0,/（x 0））处的切线的斜率, 即广（0=lim 川。

+奇）-/氐）小0 ^->o Ax说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1 求出P 点的坐标；%1 求出函数在点与处的变化率广3。

导数的几何意义优秀教案 (公开课优秀教学比赛教学设计)

《导数的几何意义》教学设计（教案）授课时间： XXX 年 X 月 XXX 日授课人：学期累计课时数： 2 教学课题：§1.1.3导数的几何意义课型：新授课学习目标：1．通过作函数)(x f 图像上过点))(,(00x f x P 的割线和切线，直观感受由割线过渡到切线的变化过程；2．掌握函数在某一点处的导数的几何意义，进一步理解导数的定义；3．会利用导数求函数曲线上某一点的切线方程.重点：导数的几何意义，导数的实际应用，“以直代曲”数学思想方法．难点：对导数几何意义的理解与掌握，在每处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解．教学方法诱思教具多媒体教学活动1．提出问题---引入课题温故知新，诱发思考：提问：初中平面几何中圆的切线的定义是什么？学生（预设）：直线和圆有惟一公共点时，直线叫做圆的切线，惟一公共点叫做切点．教师：这种定义是否适用于一般曲线的切线呢？——学生（预设）：学生回答适应，教师举出反例子；——学生（预设）：不能用公共点的个数来定义，教师：你能否用你已经学过的函数曲线的切线举出反例？学生（预设）：正弦函数的曲线与直线可能相切时有两个公共点．教师（强调）：圆是一种特殊的曲线，这种定义并不适用于一般曲线的切线．如图曲线c ，直线l 3虽然与曲线c 有惟一公共点，但它与曲线c 不相切；而另一条直线l 2，虽然与曲线c 有两个公共点B 和C ，但与曲线c 相切于点B ．因此，直线与曲线的公共点的个数不能用来定义一般曲线的切线．我必须用新的方法来定义曲线的切线．，设计意图：帮助学生反思圆的切线的定义的局限性，寻找更加科学的方法来定义曲线的定义．2．自主思考，参与探究---形成概念实验观察，思维辨析：如图，当点(,())n n n P x f x （1n =，2，3，4）没着曲线()f x 趋近点()()00,P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？师生互动学生自学、讨论教师：当1P 向P 逐步逼近的时候你发现了什么？（板书）：曲线的切线的定义： 1．曲线的切线的定义当n P P →时，割线n PP →（确定位置）PT ，PT 叫做曲线在点P 处的切线．教师：有没有同学用你学的知识告诉我：割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系呢？割线n PP 的斜率是：（板书） ()00)(n n PP n f x f x k x x -=-．当点n P 无限趋近于点P 时，n PP k 无限趋近于切线PT 的斜率k ．再次通过教师逐步的引导得出函数()f x 在0x x =处导数就是切线PT 的斜率k ．即（教师重复定义，并写出板书）．教师巡视指导双边互动2．函数f （x ）在x =x 0处的导数是切线PT 的斜率k ．即 000()()limx f x x f x k x→+-=()0f x '=。

32导数的概念及其几何意义课件优质公开课北师大选修11

• A．(1,0)B．(2,8) • C．(1,0)或(－1，－4) D．(2,8)或(－1，－4) • [答案] C
[解析]
f′(x)＝ lim Δx→0
x＋Δx3＋x＋Δx－2－x3＋x－2 Δx
＝ lim Δx→0
3x2＋1Δx＋Δ3xxΔx2＋Δx3＝3x2＋1.
由于曲线 f(x)＝x3＋x－2 在 P0 处的切线平行于直线 y＝4x
令 3x2＝3，得 x＝±1，
∴点 P 的坐标为(1,1)，(－1，－1)．
4．函数 y＝f(x)＝1x在 x＝1 处的切线方程为________．
[答案] [解析]
x＋y－2＝0
y′|x＝1＝f′(1)＝Δlixm→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋1ΔΔxx－1＝Δlixm→0
1＋－Δ1 x＝－1，
• 导数的几何意义
• 思维导航
• 1．如图所示，设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线C，A(x0， f(x0))是C上一定点，B是曲线C 上一动点，B(x0＋Δx，f(x0＋ Δx))，当自变量的改变量Δx逐渐减小趋近于0时，B点沿曲线 C，逐渐接近于A点，曲线C的割线AB逐渐趋近于直线l，这条直线l有何特殊意的切线斜率为 3，则点 P 的坐标
为( )
A．(－2，－8)
B．(1,1)，(－1，－1)
C．(2,8)
D．(－12，－18)
[答案] B
[解析] ∵y＝x3，
∴y′＝ lim Δx→0
x＋ΔΔxx3－x3＝Δlixm→0
Δx3＋3x·Δx2＋3x2·Δx Δx
＝ lim [ (Δx)2＋3x·Δx＋3x2] ＝3x2. Δx→0
• 新知导学

2.2导数的概念及其几何意义学案(高中数学选修2-2 北师大版)

§2 导数的概念及其几何意义2．1 导数的概念2．2 导数的几何意义课标解读 1.理解导数的概念及导数的几何意义．(难点) 2.会求导函数及理解导数的实际意义．(重点) 3.掌握利用导数求切线的方程．(重点)导数的概念及其几何意义1.设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝lim x 1→x 0 f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y ＝f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义.求函数的导数求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．【思路探究】先求在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率，再求当Δx 趋于0时的平均变化率的趋近值．【自主解答】 ∵Δy ＝1＋Δx －1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 趋于0时，Δy Δx ＝11＋Δx ＋1趋于12， ∴函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12.1．本题中用到了分子有理化的技巧，主要目的是使整个式子的趋近值容易求出．切忌算到1＋Δx －1Δx时，就下结论：当Δx 趋于0时，分子分母的值都趋于0，所以整个式子的值不确定．2．计算函数在某点处的导数可以分以下三个步骤：(1)计算Δy ；(2)计算Δy Δx ；(3)计算lim Δx →0 Δy Δx.求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．【解】 ∵f (x )＝2x 2＋4x ，∴Δy ＝f (3＋Δx )－f (3)＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx .∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. 当Δx →0时，Δy →16，∴f ′(3)＝16.热．如果第x h 时，原油的温度(单位：°C)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．求函数f (x )在x ＝2和x ＝6时的导数，并说明它们的意义．【思路探究】先算出平均变化率，再利用定义求f ′(2)，f ′(6)，而导数就是瞬时变化率，可解释它的实际意义．【自主解答】 ∵Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝(2x －7)Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2x ＋Δx －7，当Δx 趋于0时，Δy Δx趋于2x －7，故f ′(2)＝－3，f ′(6)＝5.说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 °C/h 的速度下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 °C/h 的速度上升．1．理解导数就是瞬时变化率是解答本题的关键．2．一般地，函数在某点处的导数值反映了函数在这一点处的变化情况，从而也揭示了事物在某一时刻的运动状况．某物体走过的路程s (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：s ＝2t 2.求函数s ＝2t 2在t ＝1处的导数s ′(1)，并解释它的实际意义．【解】当t 从1变到1＋Δt 时，函数值s 从2×12变到2(1＋Δt )2，函数值s 关于t 的平均变化率为s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝2(1＋Δt )2－2×12Δt＝4＋2Δt (m/s)．当Δt 趋于0时，平均变化率趋于4方程．【思路探究】设切点坐标P (x 0，y 0)→求导函数y ′＝f ′(x 0)→由斜率k ＝4，求x 0→求P 点坐标(x 0，y 0)→求切线方程【自主解答】设P 点坐标为(x 0，y 0)，先求f (x )＝x 2在x ＝x 0处的导数：f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0＋Δx .∴令Δx 趋于0，可知y ＝x 2在x ＝x 0处的导数为f ′(x 0)＝2x 0.∴2x 0＝4，∴x 0＝2.∵P (2，y 0)在抛物线y ＝x 2上，∴y 0＝4.∴点P 的坐标为(2,4)．∴切线方程为y －4＝4(x －2)．即4x －y －4＝0.1．理解导数的几何意义即函数在某点处的导数就是在该点切线的斜率．2．求曲线C ：y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程，关键是求切线的斜率，而求斜率实际上是求函数f (x )在x 0处的导数．将本例中“与直线4x －y ＋2＝0平行”改为“与直线4x －y ＋2＝0垂直”，其他不变．【解】设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx .令Δx 趋于0，则f ′(x 0)＝2x 0.∵切线与直线4x －y ＋2＝0垂直，∴2x 0＝－14， ∴x 0＝－18. ∵P (－18，y 0)在y ＝x 2上， ∴y 0＝164， ∴点P 的坐标为(－18，164)． ∴切线方程为y －164＝－14(x ＋18)，即16x ＋64y ＋1＝0.以直代曲的思想在研究函数变化中的应用(12分)如图2－2－1，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10的图像，根据图像，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2，t 3附近的变化情况．图2－2－1【思路点拨】因为导数描述函数的变化情况，而导数的几何意义表示切线斜率，故可作出曲线h ＝h (t )在点t 0，t 1，t 2，t 3处的切线，并通过其斜率的大小，加以描述．【规范解答】我们用曲线h (t )在t 0，t 1，t 2，t 3处的切线，刻画曲线h (t )在上述四个时刻附近的变化情况．2分(1)当t ＝t 0时，曲线h (t )在t 0处的切线l 0平行于t 轴．所以，在t ＝t 0处附近曲线比较平坦，几乎没有升降，即函数h (t )没有变化.4分(2)当t ＝t 1时，曲线h (t )在t 1处的切线l 1的斜率h ′(t 1)<0，所以函数h (t )是递减的，曲线是下降的.6分(3)当t ＝t 2时，曲线h (t )在t 2处的切线l 2的斜率h ′(t 2)<0.所以函数h (t )在t ＝t 2附近单调递减，曲线是下降的.8分(4)当t ＝t 3时，曲线h (t )在t 3处的切线l 3的斜率h ′(t 3)>0.所以，函数h (t )在t ＝t 3附近单调递增，曲线是上升的.10分从图中可以看出，直线l 1的倾斜程度小于直线l 2的倾斜程度，这说明h (t )在t 1附近比在t 2附近下降的缓慢.12分既然导数f ′(x 0)描述了函数f (x )在x ＝x 0处的变化率，那么我们就可以利用导数的几何意义，曲线的切线，研究函数的变化情形．一般地，当f ′(x 0)>0(<0)时，曲线y ＝f (x )在x 0处的切线为上升(下降)的，函数f (x )在x ＝x 0处是单调递增(递减)的，且|f ′(x 0)|越大，说明函数瞬时变化率越大，函数值变化的越快，图像越“陡峭”；|f ′(x 0)|越小，说明函数变化的越慢，图像越平缓．1．导数描述了函数在某一点处的瞬时变化率；导数为正(负)说明函数在对应点附近递增(减)．2．求导数的步骤：(1)求平均变化率Δy Δx； (2)求导：f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx. 3．导数f ′(x 0)的几何意义：表示曲线y ＝f (x )在点(x ，f ′(x 0))处的切线斜率．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为：y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．。

高中数学第二章变化率与导数导数的几何意义教案北师大版选修

2.2 导数的几何意义一、复习：导数的概念及求法。

二、探究新课多媒体演示，得出以下定义:1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线，设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为 00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆． 2．切线的定义：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3．切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．4.导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 5.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。

（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。

《2.2.2 导数的几何意义》课件 3-优质公开课-北师大选修2-2精品

• [点评] 用导数定义求函数在某一点处的导数的过程：一差、二比、三极限．
• 求y＝f(x)＝x3＋2x＋1在x＝1处的导数．
[ 解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3＋2(1＋Δx)＋1－(13 ＋2×1＋1)＝5Δx＋3(Δx)2＋(Δx)3，
2 3 Δy 5Δx＋3Δx ＋Δx 2 ＝＝ 5 ＋ 3Δ x ＋ (Δ x ) ， Δx Δx
3Δx，当 Δx 趋于 0 时，5＋3Δx 趋于 5，所以曲线 y＝3x2－x 在点 A(1,2)处的切线斜率是 5. 所以切线方程为 y－2＝5(x－1)，即 5x－y－3＝0.
• [点评] 求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤： • (1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)； • (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f(x0)＝f′(x0)· (x－x0)．
学习方法指导
• 1．函数在某点的导数即为函数在该点的瞬时变化率，就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个数值，不是变数． • 2．导数的几何意义 • 如图所示，设函数y＝f(x)的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于点A，割线AB将绕点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y＝f(x)在点A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在点A处的切线．该切线的斜率就是函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)．
1 将 A(1,0)代入①式，得 a＝2.所以所求的切线方程为 y＝－ 4x＋4.
1 (2)设切点坐标为 P(x0，x )，由(1)知，切线的斜率为 k＝－ 0 1 1 1 3 3 ，则－x2＝－3， x0＝± 3.那么切点为( 3，3 )或(－ 3，－ 3 )． x2 0 0 1 2 3 1 2 3 所以所求的切线方程为 y＝－3x＋ 3 或 y＝－3x－ 3 .

高中数学《导数的概念与几何意义》导学案导学课件北师大版选修11

Δy f(x 0 +Δx)-f(x 0 )
;
Δx
Δx
Δy
(3)求极限:y' x=x = lim .
0 Δx→0 Δx
第四页，共19页。
(2)算比值: =
f(x 0 +Δx)-f(x 0 )
问题3
函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,就是曲线 y=f(x)在
f(x 0 +Δx)-f(x 0 )
Δy
3
已知曲线 C:y=x .
(1)求曲线 C 上横坐标为 1 的点处的切线方程;
(2)上述切线与曲线 C 是否还有其他公共点?
【解析】(1)将 x=1 代入 y=x3 得 y=1,∴切点 P(1,1),
y'= lim
Δy
= lim
(x+Δx)3 -x 3
Δx
Δx→0 Δx Δx→0
3x 2 Δx+3x(Δx)2 +(Δx)3
第十七页，共19页。
).
b
a
3.已知 y=ax2+b 在点(1,3)处的切线斜率为 2,则 =
2 .
【解析】由题意
lim
a(1+Δx)2 +b-a-b
Δx→0
Δx
= lim (aΔx+2a)=2a=2,∴a=1,又
Δx→0
b
3=a×12+b,∴b=2,∴ =2.
a
4.求y=x2在点A(1,1)处的切线(qiēxiàn)方程.
问题2 导数的概念与求法:
我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 lim
Δx→0
为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
Δx

北师版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件第二章导数及其应用导数的概念~导数的几何意义

Δ
当 Δx 趋于 0 时,平均变化率趋于 0,所以 f'(1)=0.
Δ
1+Δ
y 关于 x
规律方法
求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
Δ
(2)求平均变化率
Δ
(3)取极限,得导数
=
( 0 +Δ)-( 0 )
;

=f'(x0).
Δ
mx→0
变式训练2
若
f(x 0 +3x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
等于(
x
Δ→0
A.3
B.4
)
C.12
答案 C
解析
f(x0 +3x)-f(x0 )
lim
x
Δ→0
(0 +3Δ)-(0 )
=3
=3f'(x0)=3×4=12.
f(x0 -x)-f(x0 )
于是 lim
x
Δ→0
=
(0 +Δ)-(0 )
(0 +Δ)-(0 )

=- lim
.因为函数
Δ
-Δ
Δ→0
x→0
在 x0 处可导,
f(x0 +x)-f(x0 )
所以由导数的定义得
=f'(x0),
x
x→0
(0 -Δ)-(0 )
[x0,x0+Δx]的平均变化率为
Δ
Δ
,如图(1),它是经过A(x0,f(x0))和
B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处

高中数学第二章变化率与导数22导数的几何意义学案北师大版2-2.

导数的几何意义★ 学习目标1．通过函数的图像直观理解导数的几何意义。

2．拓展曲线在一点的切线的概念的理解。

3．会求简单函数在某点的切线方程。

★ 学法指导经历建立导数概念、切线定义的形成过程，认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率，体会导数的思想及其内涵，完善对切线的认识和理解。

★ 知识点归纳1．函数()x f y =在0x 处的导数，是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k = ；2．函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：； ★ 重难点剖析重点：理解导数的几何意义，掌握求曲线的切线的方法；难点：理解导数的几何意义；剖析：函数()x f y =在0x 处的导数的几何意义，就是曲线()x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率，即k =()0x f '，函数()x f y =在点())(,00x f x 处的切线方程为：))(()(000x x x f x f y -'=- 。

函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x 轴。

★ 典例分析例1 已知曲线331)(x x f y ==上一点)38,2(P ；求（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程；分析：求点P 处的切线的斜率，也即求函数在2=x 处的导数值。

变式练习1求曲线x x x f y 32)(2-==在点)0,0(A 处的切线方程。

例2 在曲线2)(x x f y ==上过哪一点的切线（１）平行于直线54-=x y ；（２）垂直于直线0562=+-y x ；分析：过点),(00y x P 的切线的斜率为)(0x f k '=，利用斜率和导数的关系建立相应的关系式。

变式练习2直线)0(≠+=a a x y l ：和曲线C ：1)(23+-==x x x f y 相切．求切点的坐标及a 的值；★ 基础训练1．已知曲线3313-==x x f y )(上一点)25,1(-P ，则过点的切线的倾斜角为（） A ．ο30 B ．ο45 C ．ο135 D ．ο1652．已知曲线22x y =上一点)8,2(P ，则过点的切线的斜率为（）A ．4B ．16C ． 8D ． 23．曲线34x x y -=在点)3,1(--处的切线方程是：（）A ．47+=x yB ．27+=x yC ．2-=x yD ．4-=x y4．已知曲线3x y =上过点)8,2(P 的切线方程为01612=--ay x ，则实数a 的值（）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．如果曲线103-+=x x y 的一条切线与直线34+=x y 平行，则曲线与切线相切的切点的坐标为（）A ．()8,1-B ．()8,1- 或()12,1--C ．()12,1--D ．()12,1- 或()8,1--6．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，那么这个函数的图像是（）A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线★ 能力提高1．已知点()1,0-M 、()1,0F ,过点M 的直线l 与曲线44313+-=x x y 在2=x 处的切线平行。

高中数学新北师大版精品学案《导数的几何意义》

导数的几何意义【学习要求】1．理解导数的几何意义2．会用导数的定义求曲线的切线方程【学习目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系。

2．理解曲线的切线的概念。

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题。

【学习重难点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义。

导数的几何意义。

【学习过程】一、复习旧知：1．函数=f （）在=0处的导数？求导数的步骤？2．割线的斜率：已知)(x f y =图像上两点))(,(00x f x A ，))(,(00x x f x x B ∆+∆+，过A ，B 两点割线的斜率是_________，即曲线割线的斜率就是___________。

3．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0/x f 的几何意义是___________________，相应地，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程为____________。

4．如果把)(x f y =看作是物体的运动方程，那么，导数)(0/x f 表示_____________，这就是导数的物理意义。

二、精典范例例1：（1）求抛物线2x y =在点（1，1）切线的斜率。

（2）求双曲线xy 1=在点（2，21）的切线方程。

例2：（1）求曲线1x 3x y 2++=在点（1，5）处的切线方程。

（2）求曲线1x 3x y 2++=过点（1，5）处的切线方程。

【达标检测】1．设f （）为可导函数且满足xx f f 2)21()1(lim 0x --→=-1，则过曲线=f （）上点（1， f （1））处的切线斜率为（）A ．2B ．-1C ．1D ．-22．=X ³在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标_______3．（1）求曲线f （）=X ³21在点（1，4）处的切线方程____________。

（2）已知曲线3x y =上的一点P （0，0），求过点P 的切线方程_________（3）求过点（2，0）且与曲线xy 1=相切的直线方程____________ 4．将半径为R 的球加热，若球的半径增加∆R ，则球的体积增加∆约等于（）A ．R R πΔ343B ． R R Δ42πC ．D ． R R Δ4π 5．函数21y ax =+的图象与直线y x =相切，则a =（）111. . . .1 842A B C D6．如果曲线10x x y 3-+=的一条切线与直线=43平行，那么曲线与切线相切的切点坐标为_______7．曲线2x 31y 3+=在点（1，37）处切线的倾斜角为__________ 8．下列三个命题：a 若)x (f 0/不存在，则曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处没有切线；b 若曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处有切线，则)x (f 0/必存在；c 若)x (f 0/不存在，则曲线)x (f y =在点))x (f ,x (00处的切线的斜率不存在。

北师大版数学高二- 导数的几何意义学案

2.2.2 导数的几何意义一、学习目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。

二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程复习回顾 1.平均变化率.],[)()()(0)(00000的平均变化率在为函数称时，比值当及其附近有定义，在点已知函数x x x x f xx f x x f x y x x x x f y ∆+∆-∆+=∆∆≠∆== 2.瞬时变化率.)()()(0x 000的瞬时变化率在点则这个常数称为函数常数，时，平均变化率当x x f xx f x x f →∆-∆+→∆ 3.导数的定义xx f x x f x f y x f x x x f x x x x ∆-∆+='''=→∆=)()((lim )(|)()(00000000，故或记作处的导数在为的瞬时变化率，就定义函数在4.点斜式直线方程：y-y0=k(x-x0)曲线的切线y=f(x)y0=f(x0)， y1=f(x1)当自变量从x0变化到x1时，相应的函数值从f(x0)变化到f(x1) 自变量的增量△x= x1- x0 函数值的增量△y= f(x1)- f(x0) Q(x0+ △x,y0+ △y) △y=f(x0+ △x)-f(x0)曲线在某一点处的切线的定义设曲线C 是函数y=f(x)的图象，在曲线C 上取一点(x0,y0)及邻近一点(x0+△x,y0+△y) 过P,Q 两点作割线当点Q 沿着曲线无限接近于点P 即△x →0时, 如果割线PQ 有一个极限位置PT, 那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

P(x 0,y 0)M△x△y xoyy=f(x)曲线在某一点处的切线的斜率公式设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α tan β=x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+=)()(00当△x →0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 tan α=x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(0000lim lim M△xβ αoyPQβ α △x△y P QTxoyy=f(x)切线斜率求曲线L ：y=f(x)在点M(x0,y0)处切线的斜率。

《导数的几何意义》示范公开课教案【高中数学北师大】

第二章导数及其应用2.2.2 导数的几何意义1. 理解割线逼近切线的过程，了解曲线上一点处的切线的意义；2. 理解由平均变化率到瞬时变化率与由割线到切线的斜率之间的关系．重点：曲线上一点处的切线概念的形成过程．难点：用运动变化的观点认识导数的几何意义．一、新课导入问题1：我们学习了函数在某区间上的平均变化率，它的几何意义是什么呢？答案：几何意义为割线的斜率，反映了直线的“陡峭”程度．近似地刻画了曲线在这一区间上的变化趋势．设计意图：这一段的内容既是对平均变化率与瞬时变化率进一步的概括，又是对本节课要研究内容的适时切入，展现了数学知识发生与发展的过程，更重要的是，这种发生、发展的规律，与人们认识事物的规律是吻合的，即数学知识的发生往往是从原有知识的基础发展而来的．问题2 有些时候我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势，比如我们熟悉的幂函数，如图，这些幂函数在[0，1]区间上的平均变化率是相同的，但是在点P (1，1)处的变化趋势是相同的吗？答案：不相同．设计意图：提出研究方向，感受研究的必要性．其实在我们生活中也有这样的例子．在2010年广州亚运会的链球决赛中，我国选手张文秀技压群芳，获得了冠军，为国争光，作为一个专业运动员，她很好地掌握了链球在抛出点处的运动趋势，把握了链球出手的最佳时机．这些都告诉我们，确实有必要来研究曲线上一点处的变化趋势．设计意图：数学知识的产生往往离不开生产和生活的实际需要，从生活背景出发，提出◆教学目标◆教学过程◆教学重难点 ◆研究问题的必要性．二、新知探究问题3怎样在图形中表示由平均变化率到瞬时变化率？如图，设Q为曲线C上不同于点P的一点，则直线PQ称为曲线的割线．随着点Q沿曲线C向点P运动，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为点P处最逼近曲线的直线l，这时直线l称为曲线在点P处的切线．设计意图：通过类似放大镜观察图形的过程，可以近似地把曲线在一点处的变化趋势看成直线，用信息技术表达．问题４对于一般的曲线C，如抛物线f (x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0 (1，1)处的切线呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案：不一定. 例如，二次函数f (x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切．追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案：不一定. 例如，正弦函数f (x)＝sin x的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点．因此不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切．追问3：对于抛物线f (x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？答案：与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线的割线P0 P的变化情况．我们可以借助几何画板工具来观察．通过演示可以看到，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线．这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义．从几何上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的．我们知道，斜率是确定直线的一个要素．在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程．追问4：如何求抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？答案：从上述切线的定义可见，抛物线f (x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．既然切线是割线的极限位置确定的，那么切线的斜率也就应该是割线斜率当P无限接近P0时的极限值．我们记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标为(x，(1＋Δx)2)．于是割线P0P的斜率k=f(x)−f(1)x−1=(1+Δx)2−1Δx=Δx+2我们可以通过割线P0P的斜率近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔|Δx来提高近似表示的精确度．我们可以借助电脑的excel计算，来观察当P无限接近P0时，割线P0P的斜率变化情况．当Δx无限趋近于0时，无论x从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，割线斜率都无限趋近于2．事实上，由k=f(1+Δx)−f(1)Δx=Δx+2可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2. 我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k=f(1+Δx)−f(1)Δx的极限”，记做lim Δx→0f(1+Δx)−f(1)Δx=2．问题５曲线上一点处切线的斜率与导数是什么关系？答案：由导函数的定义可知，曲线上一点处切线的斜率就是曲线对应的函数在这一点的导数，可以通过割线的斜率逼近切线的斜率．问题６在曲线上怎样反映出从平均变化率到瞬时变化率？答案：点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，也就是说Δx →0．即：切线的斜率为k ，那么当Δx →0，f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx→k ．总结：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．三、应用举例例1 已知函数y =x 2及自变量x 0=−2．(1) 分别对Δx =1，0.5，0.1求y =x 2在区间[x 0，x 0+Δx]上的平均变化率，并画出过点(x 0，f (x 0))的相应割线；(2) 求函数y =x 2在x 0处的导数，并画出曲线y =x 2在点(x 0，f (x 0))处的切线．解：(1)当Δx =1，0.5，0.1时，区间[x 0，x 0+Δx]相应为[−2，−1]，[−2，−1.5]，[−2，−1.9]，y =x 2在这些区间上的平均变化率分别为f (−1)−f (−2)1=(−1)2−(−2)21=−3， f (−1.5)−f (−2)0.5=(−1.5)2−(−2)20.5=−3.5， f (−1.9)−f (−2)0.1=(−1.9)2−(−2)20.1=−3.9．如图，其相应割线分别是经过点(−2，4)和点(−1，1)的直线l 1，经过点(−2，4)和点(−1.5，2.25)的直线l 2，经过点(−2，4)和点(−1.9，3.61)的直线l 3．(2) y =x 2在区间[−2，−2+Δx]上的平均变化率为(−2+Δx)2−(−2)2Δx=−4Δx+(Δx)2Δx=−4+Δx ．令Δx 趋于0，可知函数y =x 2在x 0=−2处的导数为−4．因此，曲线y =x 2在点(−2，4)处的切线为经过点(−2，4)，斜率为−4的直线l ．例2 求函数y ＝f (x )＝2x 3在x ＝1处的切线方程．解：f(1+Δx)−f (1)Δx=2(1+Δx)3−2×13Δx=2[1+3Δx+3(Δx)2+(Δx)3]−2Δx=6+6Δx +2(Δx)2．令Δx 趋于0，可知y =2x 3在x =1处的导数为f ′(1)=6．于是，函数y =2x 3在点(1，f(1))即(1，2)处的切线斜率为6，即该切线经过点(1，2)，且斜率为6．因此，函数y ＝f (x )=2x 3在x =1处的切线方程为：y −2=6(x −1)，即y =6x −4．四、课堂练习1．曲线f (x )=−2x 在点A (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4 B ．y ＝－2x －4 C ．y ＝2x －4 D ．y ＝2x ＋42．如图，函数y =f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f′(5)＝___________．3. 直线y =−14x +b 是函数f (x )=1x图象的切线，则切点是_________，实数b ＝________．４．曲线y =f (x )=x 2−1在x ＝x 0处的切线与曲线y =g (x )=1−x 3在x ＝x 0处的切线互相平行．(1)求x 0的值；(2)求曲线y =f (x )在x ＝x 0处的切线方程．参考答案：1．答案 C 解析：ΔyΔx =−21+Δx+2Δx=21+Δx ，所以当Δx →0时，f′(x)=2，故直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4．2．答案：2解析：点P 横坐标为5，故由在点P 处切线为y ＝－x ＋8，得f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3．∴f(5)＋f′(5)＝2．3．答案：(−2，−12)或(2，12)，1或－1．解析：f ′(x )=limΔx→01x+Δx −1xΔx=−1x 2=−14 ，解得x ＝±2．当x ＝－2时，y ＝－12，b ＝－1；当x ＝2时，y ＝12，b ＝1．４．解：(1) f′(x 0)＝lim Δx→0f(x 0+Δx)−f (x 0)Δx＝limΔx→0(x 0+Δx)2−1−(x 02−1)Δx =2x 0，g′(x 0)＝limΔx→0g(x 0+Δx)−g (x 0)Δx＝limΔx→01−(x 0+Δx)3−(1−x 03)Δx=−3x 02．由题意得2x 0＝−3x 02，解得x 0＝0或－23．(2)当x 0＝0时，f′(x 0)＝0，又f (0)＝－1，故所求切线方程为y ＝－1；当x 0＝－23时，f′(x 0)＝－43，又f (－23)=−59，故所求切线方程为y ＋59＝－43(x +23)，即y ＝－43x －139．五、课堂小结１.切线的定义：设Q 为曲线C 上不同于点P 的一点，则直线PQ 称为曲线的割线．随着点Q 沿曲线C 向点P 运动，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终成为点P 处最逼近曲线的直线l ，这时直线l 称为曲线在点P 处的切线．２.导数的几何意义：函数y=f (x )在x 0处的导数f′(x 0)，是曲线y=f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．函数y=f (x )在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义．六、布置作业教材第56页A 组练习第3，4，5题．。

高中数学新北师大版精品教案《2.2导数的几何意义》

§导数的几何意义“有效的课堂教学策略研究”主题下的教学问题：动手实践,引导学生探究一、教学背景分析：1、导数是进一步学习数学和其他自然科学的基础，具有广泛的应用，是研究现代科学技术必不可少的工具。

利用导数还可以解决必修课中所接触过的如判断函数的单调性与求函数的最值问题等，从而提供研究这些问题的一种新途径和方法。

导数已经由前两年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。

2、本节知识结构：3、学生已学习导数的概念，对导数的定义及简单的求导方法已有所了解和掌握。

在此基础上研究导数的几何意义已不再困难。

二、教学目标： 1、知识和能力目标：（1）使学生掌握函数)(x f 在0x x =处的导数()0/x f 的几何意义就是函数)(x f 的图像在0x x =处的切线的斜率。

（数形结合）即：()()xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)(lim 0000/（即为切线的斜率）（2）会利用导数的几何意义求简单函数在某点处的切线方程2、过程与方法目标：经历导数的几何意义的发现过程，体验从对比的研究方法，体会数形结合的数学思想，学会观察、归纳、反思。

3、情感、态度与价值观：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度。

三、教学过程与教学重点：教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。

探索与发现导数几何意义是教学的重点。

所以在教学中采用以问题驱动、设置铺垫，对比启发学生获得导数几何意义。

导数几何意义运用也是教学的重点。

四、有效的课堂教学策略设计：1、教法构想：学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的背景相联系。

在教学中，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解所学知识，学会学习，发展能力。

2、学法指导：让学生感受知识发现、发生的过程，这样做改变了教学的封闭状态，更好地完成多元的课程目标。