第五讲 函数(二)

第五讲 函数（二）
含绝对值函数与高斯函数是两个重要的分段函数，它们体现了分类讨论的数学思想与方法.
一、主要知识点
绝对值的定义、几何性质；
高斯函数：
定义：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数。

则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数。

显然，[]y x =的定义域是R ，值域是Z 。

任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和，即
[]()01x x a a =+≤<，因此，[]x x ≤[]1x <+，这里，[]x 为x 的整数部分，
而{}[]x x x =-为x 的小数部分。

性质1.函数[]y x =是一个分段表达的不减的无界函数，即当12x x ≤时，有[][]12x x ≤；
2．[][]n x n x +=+，其中n Z ∈；
3．[][]11x x x x -<≤<+；
4．若[][]x y n ==，则,,x n a y n b =+=+其中0,1a b ≤<；
5．对于一切实数,x y 有[][][]x y x y +≤+；
6．若0,0x y ≥≥，则[][][]xy x y ≥；
7．[][][]1x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩
8．若n N +∈，则[]x x n n ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦；当1n =时，[][]x x ⎡⎤=⎣⎦； 9．若整数,a b 适合a bq r =+（0,,b q r >是整数，0r b ≤<），则a q b
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； 10．x 是正实数，n 是正整数，则在不超过x 的正整数中，n 的倍数共有x n
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
个； 11．设p 为任一素数，在!n 中含p 的最高乘方次数记为()!p n ，则有： ()()12!m m m n n n p n p n p p p p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

证明：由于p 是素数，所有!n 中所含p 的方次数等于!n 的各个因数1,2,,n 所含p 的方（x 不是整数时） （x 是整数时）
次数之总和。

由性质10可知，在1,2,,n 中，有n p ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦个p 的倍数，有2n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
个2p 的倍数，有3n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个3p 的倍数， ，当1m m p n p +≤<时，120m m n n p p ++⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，所以命题成立。

高斯函数是非常重要的数学概念。

它的定义域是连续的，值域却是离散的，高斯函数关联着连续和离散两个方面，因而有其独特的性质和广泛的应用。

解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法，其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。

二、典型例题
（一）含绝对值函数
例1：直线y=1与曲线a x x y +-=2
有四个交点，求实数的取值范围.
例2：若关于x 的不等式a x x >-++21恒成立，求实数a 的取值范围.
（二）高斯函数
例3：解方程：2x - [x]-2 = 0.
例4：[x]表示不超过x 的最大整数,设实数x 不是整数，且]
[99][99x x x x +=+
，求实数的值.
三、自我训练
A 组
1.已知数、、的积为负数，和为正数，且，则的值为
2.若，则函数随的减小而（填“不变”、“增大”、“减小”）
3.函数的最大值是 ，最小值是
4.已知，则的值为
5.已知，则最小值
6.方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是( )
7.设函数的图像关于直线=1对称，则的值为（ ）
8. 解方程：2x - 8[x] + 7 = 0
B 组
记[a]为不大于a 的最大整数，{a} = a – [a]，求证：如果{x} + {y} = 1，则[x + y] = [x] + [y] +
1.用min{a,b}表示a 、b 两数中的最小值，若函数f(x)= min{t x x +,}的图像关于直线2
1-=x 对称，则的值为（ ）
A. -2
B.2
C.-1
D. 1
2.若关于x 的不等式a x x >--+21有解，求实数a 的取值范围.
3.若关于x 的不等式a x x >-++21恒成立，求实数a 的取值范围.
4.求所有的正数x ，是其整式部分[x]及小数部分{x}，满足[x]2=x{x}.
5.定义：[x]表示不超过x 的最大整数,则称函数y=[x]为“下取整函数”；若(x)表示不小于的最小整式，则称函数y=(x)为“上取整函数”.例如根据定义可得：[1.5]=1,(-2.3)=-2,(2.9)=3.
(1)试用分段函数的形式表示函数：y=[x]+(x)（11≤≤-x ），并画出此函数图像；
（2）试用“上取整函数”或“下取整函数”的符号来表示下列两题中的函数关系式：
①某商场举办周年庆酬宾活动，活动规定：顾客当天在同一柜台购物，每满300元可少付100元，若某顾客当天在该柜台购物满x 元，按商场的优惠分式，他实际付款y 元，试建立y 关于x 的函数关系式.
②一顾客拿着某超市的足够多的面值均为20元的抵用卷去购物，超市规定使用抵用卷时不找零，该顾客共挑选了价值为x 元的物品，全用抵用卷支付，共付了y 张，试建立y 关于x 的函数关系式.。