2017-2018学年人教A版必修四平面向量同步测试题

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【名师点睛】2017-2018学年高中数学必修4 平面向量综合卷练习(含答案)

2017-2018学年高中数学必修4 平面向量综合卷练习一、选择题：1、已知菱形ABCD的边长为a，，则BD·CD=（）A. B. C. D.2、已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（）A. B. C. D.43、已知向量a·(a+2b)=0，a=2， b=2，则向量a,b的夹角为（）A. B. C. D.4、设向量若，则λ+x的值为（）A.-5.5B.5.5C.-14.5D.14.55、在正方形ABCD中，E为DC的中点，若，则λ+μ值为（）A.0.5B.-0.5C.1D.-16、已知平面向量a,b满足与的夹角为60°,若,则实数m的值为（）A.1B.1.5C.2D.37、已知在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(λ,-1)，若，则（）A. B.3 C. D.658、已知a、b是平面向量，如果|a|=3，|b|=4，|a+b|=2，那么|a﹣b|=（）A. B.7 C.5 D.9、平面向量a与平面向量b的夹角为，，则与的夹角余弦值等于（）A. B. C. D.10、已知非零向量a、b满足，且a与b的夹角的余弦值为，则等于（）A.0.5B.C.1.5D.211、已知a +b +c =，且a 与c 的夹角为，|b |=|a|，设a ，b 的夹角为θ，则tan θ=（） A.B.C.﹣1D.﹣12、若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足，则△ABC 的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形 13、如图，在△ABC 中，,P 是BN 上的一点，若,则实数m 的值为（）A.3B.1C.31 D.9114、在Rt △ABC 中，∠A=90°，点D 是边BC 上的动点，且,,，则当取得最大值时，的值为( )A.3.5B.3C.2.5D.2.4 15、在扇形AOB 中，，C 在弧AB 上，且，则x 与y 满足关系式 ( )A. B.C. D.二、填空题:16、设向量a =(1，2m)，b =(m ＋1，1)，c =(2，m)，若(a ＋c )⊥b ，则|a |=________.17、已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )=－6，且|a |=1，|b |=2，则a 与b 的夹角为________. 18、已知，则= .19、如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA =a ，OB =b ,OC =c ,则OD =________(用a ，b ，c 表示).20、在平行四边形ABCD 中，若AB=a ，AD =b ，且|a ＋b |=|a －b |，则四边形ABCD 的形状是________.21、若两个向量a与b的夹角为θ，则称向量“a×b”为“向量积”，其长度|a×b|=|a||b|·sin θ，若已知|a|=1，|b|=5，a·b=－4，则|a×b|=________.22、正方形ABCD边长为2，E在线段AB上，满足，则.23、已知向量向量满足,则的取值范围是24、已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c=t a＋(1－t)b.若b·c=0，则t=________.NC，BP=2PN，设AP=x AB+y AC，则x=________，y=________.25、如图，在△ABC中，AN=13三、解答题:26、若向量a=（1，1），b=（2，5），c =（3，x）.（1）若b∥c，求x的值；（2）若（8a﹣b）•c =30，求x的值.27、已知|a|=4，|b|=3，（2a﹣3b）•（2a+b）=61，（1）求a与b夹角θ；（2）求|a-2b|.28、设、是两个不共线的两个向量，已知=，=，=.(1)求证：三点共线；(2)若=，且三点共线，求k的值.29、如图，在△OAB中，点P为线段AB上的一个动点（不包含端点），且满足=λ.（Ⅰ）若λ=，用向量，表示；（Ⅱ）若||=4，||=3，且∠AOB=60°，求•的取值范围.参考答案1、D2、C3、B4、C5、A6、D7、C【解析】，得，∴，，∴，故选C.8、A【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值.【解答】解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴.故选：A.9、D10、D11、D【考点】平面向量数量积的运算.【分析】作出图形，将问题转化为解三角形问题.【解答】解：如图，设=，=，，则∠COA=，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则==﹣，∠ODB=∠AOD=.BD=OA，OB=OA.在△OBD中，由正弦定理得：，∴=，解得sin∠BOD=，∴∠BOD=.∴θ=∠BOD+∠AOD==.∴tanθ=﹣.故选：D.12、B13、C14、C15、A16、17、18、19、a－b＋c20、矩形21、322、23、.24、225、26、解：（1）∵∥，∴2x﹣15=0，解得x=.（2）8﹣=（6，3），∵（8﹣）•=30，∴18+3x=0，解得x=﹣6.27、解：（1）∵||=4，||=3，（2﹣3）•（2）=61，∴（2﹣3）•（2）=﹣﹣=4×42﹣4×4×3×cos＜＞﹣3×32=61，解得=﹣，∴与的夹角θ=.（2）||====.28、(1)略 (2)k=1229、解：（Ⅰ）∵λ=，则=，∴﹣=（﹣），∴=+，则=+，（Ⅱ）∵•=||•||cos60°=6，=λ，∴﹣=λ（﹣），（1+λ）=+λ，∴=+，∴=（+）（﹣）=﹣2+2+（﹣）•= ==3﹣∵λ＞0，∴3﹣∈（﹣10，3），∴•的取值范围为（﹣10，3）.。

人教版高一数学必修4第二章平面向量测试题(含答案)

必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。

故所求的向量或。

2 b ka t b20．解：（1）, 0. [( 3) ] ( ) 0.x y x y 即 a t2 22a b 0,a 4,b 1,4k t(t 3) 0,即k 142t(t 3).（2）由f(t)>0, 得1 2t(t 3) 0,即t(t 3) (t 3)0,则 3 t 0或4t 3.必修4 第二章平面向量检测参考答案一、选择题：1C、2C、3A、4C、5D、6B、7C、8B、9D、10A、11C、12C、二. 填空题6 5 3 5 6 5 3 513 （1，3）．14 28 15 （，）或（，）5 5 5 516 （5，3）17 2 35三. 解答题:18、（1）∵AB ＝（0－1，1－0）＝（－1，1），AC ＝（2－1，5－0）＝（1，5）．∴ 2 AB ＋AC ＝2（－1，1）＋（1，5）＝（－1，7）∴|2 AB ＋AC | ＝ 2 7 2( 1) ＝50 ．（2）∵| AB| ＝( 1)2 12 ＝ 2 ．| AC | ＝12 52 ＝26，AB·AC ＝（－1）×1＋1×5＝4．∴cos ＝AB AC| AB | | AC | ＝42＝2 261313．（3）设所求向量为m ＝（x，y），则x2＋y2＝1．①又BC ＝（2－0，5－1）＝（2，4），由BC⊥m ，得2 x ＋4 y ＝0．②2 5 2 5x x－5 5 由①、②，得或∴（5 55 5y．y．255，－52）或（－555，55）即为所求．19．由题设, 设b= , 则由, 得. ∴,解得sin α=1 或当sin α=1 时，cosα=0；当时，。

(完整版)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题一、选择题1、若向量a= (1,1), b= (1,－1), c =(－1,2),则 c等于( )A 、21 a +23bB 、21a 23 bC 、23a 21 bD 、23 a + 21b2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（）A 、)1010,10103(e B 、)1010,10103()1010,10103(或e C 、)2,6( eD 、)2,6()2,6(或 e3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为（）A 、17B 、18C 、19D 、204、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( )A 、-16B 、-8C 、0D 、45、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是（）A 、－1 ，2B 、－2 ，1C 、 1 ，2D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos,sin)，则a 与b 一定满足（）A 、a 与b 的夹角等于－B 、(a ＋b )⊥(a －b )C 、a ∥bD 、a ⊥b7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2,0(。

若用来表示OP与OQ 的夹角，则等于（） A 、B 、2C 、2D 、8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（） A 、2B 、3C 、23D 、二、填空题9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标是、10、把函数sin y x x的图象，按向量 ,a m n v（m>0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________、11、已知向量 m m 则若,),,3(),2,1( 、三、解答题12、求点A （－3，5）关于点P （－1，2）的对称点/A 、13、平面直角坐标系有点].4,4[),1,(cos ),cos ,1(x x Q x P （1）求向量和的夹角的余弦用x 表示的函数)(x f ；（2）求的最值、14、设，)2cos ,sin 2(x x ，x ，)1cos ( 其中x ∈[0，2]、 (1)求f(x)=·的最大值和最小值； (2)当 OA u u u r ⊥OB uuu r ，求|AB u u u r|、15、已知定点)1,0(A 、)1,0( B 、)0,1(C ，动点P 满足：2||PC k BP AP 、（1）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形；（2）当2 k 时，求||BP AP 的最大值和最小值、参考答案一、选择题1、B ；2、B ；3、C ；4、B ；5、D ；6、B ；7、D ；8、C 二、填空题9、(0，0) 10、56m 11、4 三、解答题12、解：设/A （ｘ，ｙ），则有312522xy ，解得11x y 、所以/A （1，－1）。

人教A版数学必修四2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2.1 平面向量的实际背景及基本概念同步检测一、选择题1. 下列说法中错误的是( )A. 零向量是没有方向的B. 零向量的长度为0C. 零向量与任一向量平D. 零向量的方向是任意的答案：A解析：解答：本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的，故错误；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A是错误的.分析：由题根据零向量的概念进行分析即可.2. 下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度答案：D解析：解答：密度只有大小没有方向.分析：由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA外，与向量OA共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.9解析：解答：本题主要考查向量的表示与向量OA 共线的向量有,,,,,,,,AO OD DO AD DA EF FE BC CB 共9个，故选D.分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.4. 设12,e e 是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. 12e e =B.12e e ＞C.12e e =-D.12e e ＝答案：D解析：解答：由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.分析：本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.5. 下列命题正确的是( )A.a 与b,b 与ｃ共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行答案：C解析：解答：题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a 与ｂ不都是非零向量，即a 与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a 与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a 与ｂ都是非零向量，所以应选C.分析：有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.6. 某人先向正东方向走了x km ，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km ，结果他离出发点恰好为33km ，那么x 的值为( ) A.3 B.32 C.3 D.23或3解析：解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得()222333,32x x+=∴=，故选B.分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.7. 下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B.模相等的两个平行向量是相等向量.C.若a和b都是单位向量,则a b=.D.两个相等向量的模相等.答案：D解析：解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D；对于选项A，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B：模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若a⃗和b⃗⃗都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.8. 与AB反向的单位向量是( )A ABABB. ABC.ABAB- D.BA答案：C解析：解答：本题主要考查单位向量的概念，与AB反向的单位向量AB AB -.分析：本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.9. 如图，D、E、F分别是△ABC边AB，BC，CA上的中点，有下列4个结论：①,DA FE AF DE == ；②||DF CB ；③CF DE =；④FD BE =.其中正确的为( ) A. ①②④ B. ①②③ C. ②③ D. ①④答案：B解析：解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到,DA FE AF DE == ，||DF CB ，CF DE = ， -FD BE = ，所以①②③正确，故选B. 分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.10. 如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.AD BC =B.AC BD =C.PE PF =D.EP PF =答案：D解析：解答：根据相等向量的定义,分析可得:A 中,AD 与BC 的方向不同,故AD BC =错误;B 中,AC 与BD 的方向不同,故AC BD =错误;C 中,PE 与PF 的方向相反,故PE PF = 错误;D 中, EP 与PF 的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故EP PF = 正确分析：本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.11. 下列命题中正确的个数是( )①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则,a b 方向相同或相反；③若下列向量AB 、CD 满足AB CD > ，且AB 与CD 同向，则AB CD > ； ④若a b = ，则,a b 的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”； ②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定； ③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小； ④错误，由a b =，只能说明,a b 的长度相等，确定不了方向；⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.分析：本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.12. 下列说法正确的个数是( )①若向量a,b 共线,向量b,c 共线,则a 与c 也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量;④若a=b,b=c,则a=c.A.1B.2C.3D.4答案：B解析：解答：由于零向量与任意向量都共线,故当b 为零向量时,a,c 不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量,否则不妨设a 为零向量,则a 与b 共线,与a 与b 不共线矛盾,故③正确;a=b,则a,b 的长度相等且方向相同;b=c,则b,c 的长度相等且方向相同,所以a,c 的长度相等且方向相同,故a=c,④正确.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.13. 已知O点固定,且OA=2,则符合题意的A点构成的图形是( )A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定答案：C解析：解答：∵OA= 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.14. 若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③答案：B解析：解答：①中,|a|的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B分析：本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.15. 有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案：A解析：解答：本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.二、填空题16. 有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；_____.其中正确命题的序号是答案：⑤④解析：解答：主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.分析：本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.17. 某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B 地的位移是________.答案：西北方向52km解析：解答：由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到52BC=,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向52km.分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.18. 把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是.答案：以单位长度为半径的圆解析：解答：由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.分析：本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.19. 在四边形ABCD中, DC AB=,则这个四边形的形状是.答案：平行四边形解析：解答：由DC AB=,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.20. 如图所示,O 是正三角形ABC 的中心;四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形,则与向量AD 相等的向量有 ;与向量OA 共线的向量有 ;与向量OA 的模相等的向量有 .(填图中所画出的向量)答案：OC |,DC EB |,,,,OB OC DC EB AD解析：解答：∵O 是正三角形ABC 的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与AD 相等的向量有OC ;与OA 共线的向量有,DC EB ；与OA 的模相等的向量有,,,,OB OC DC EB AD .分析：本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.三、解答题 21. 用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)(1)由A 地向东北方向航行15 km 到达B 地;答案：解：B 地在A 地的东北方向,即 B 地在A 地北偏东45°方向,线段AB 的长度画为3 cm 即可.如图所示.(2)由A 地向西偏北60°方向航行20 km 到达C 地,再由C 地向正南方向航行25 km 到达D 地.答案：解：由于C 地在A 地的西偏北60°方向,则线段AC 与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC 的长度画为4 cm;D 地在C 地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm 即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.解析：分析：本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可.22. 如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,AC点C为小正方形的顶点,且5(1)画出所有的向量AC;答案：解：画出所有的向量AC如图所示.(2)求| BC |的最大值与最小值.答案：解：由(1)所画的图知,①当点C 位于点C 1或C 2时,|BC |取得最小值22125+= ；②当点C 位于点C 5和C 6时,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|取得最大值224541+= . ∴|BC |的最大值为41,最小值为5 .解析：分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可. 23. 已知O 是正方形ABCD 对角线的交点,在以O,A,B,C,D 这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与BC 相等的向量;答案：解：画出图形,如图所示.易知BC ∥AD,BC=AD,所以与BC 相等的向量为AD(2)与OB 长度相等的向量;答案：解：由（1）图像得：O 是正方形ABCD 对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与OB 长度相等的向量为,,,,,,BO OC CO OA AO OD DO .(3)与DA 共线的向量.答案：解：由（1）图像得：与DA 共线的向量为,,AD BC CB .解析：分析：本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.24. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且,,OA OB OC ===a b c .O F ED C BA(1)与a 的模相等的向量有多少？答案：解：与a 的模相等的向量有23个 (2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？答案：解：与a 的长度相等，方向相反的向量有,,,OD BC AO FE(3)与a 共线的向量有哪些？答案：解：与a 共线的向量有,,,,,,,,EF BC OD FE CB DO AO DA AD(4)请一一列出与,,a b c 相等的向量.答案：解：与a 相等的向量有：,,EF DO CB ；与a 相等的向量有：,,DO EO FA ；与c 向量相等的向量有：,,FO ED AB .解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给图形，结合有关向量的定义进行观察分析即可. 25. 在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是AD ，BC 的中点，如图所示 EFD CBA(1)写出与向量FC 共线的向量；答案：解：共线向量满足的条件与向量FC 共线的向量有：,,.CF AE EA(2)求证：BE FD .答案：证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故BE FD解析：分析：本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.。

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1 B ．2C ．3D ．42．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ．B ．C ．D ．3．若12,e e 是夹角为60︒的两个单位向量，则向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为（） A ．30B ．60︒C ．90︒D ．120︒4．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．325．已知1a ，2a ，1b ，2b ，()*k b k ⋅⋅⋅∈N是平面内两两互不相等的向量，121a a-=，且对任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，则k 最大值为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（） A ．6B ．4C ．3D ．27．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（）A B ．1C ．2D ．8．已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)+==a b m b m ，且a 在b ，则实数m =（）A ．2±B ．2C ．5±D 9．已知两个非零向量a ，b 的夹角为23π，且=2a b -，则·ab 的取值范围是（） A ．2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[)2,0-C ．2,03⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．[)1,0-10．在直角梯形ABCD 中，0AD AB ⋅=，30B ∠=︒，AB =，2BC =，13BE BC =，则（）A ．1163AE AB AD =+ B ．1263AE AB AD =+ C ．5163AE AB AD =+ D ．5166AE AB AD =+ 11．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（） A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定12．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（）A ．56πB ．23π C ．3π D ．6π 二、填空题13．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.14．已知向量1e ，2e 是平面α内的一组基向量，O 为α内的定点，对于α内任意一点P ，当12OP xe ye =+时，则称有序实数对(),x y 为点P 的广义坐标，若点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，对于下列命题： ① 线段A 、B 的中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭；② A 、B③ 向量OA 平行于向量OB 的充要条件是1221x y x y =； ④ 向量OA 垂直于向量OB 的充要条件是12120x x y y +=. 其中的真命题是________（请写出所有真命题的序号）15．如图，在Rt ABC ∆中，2,60,90AB BAC B =∠=︒∠=︒，G 是ABC ∆的重心，则GB GC ⋅=__________．16．在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，动点,P M 满足1AP PM MC ==，则2BM 的最大值为________.17．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则CA CB ⋅的最小值是________.18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知O 为ABC 内一点，且满足305OA OB OC =++，延长AO 交BC 于点D .若BD DC λ=，则λ=_____.20．已知平面向量a ，b 满足3a b +=，3a b -=，则向量a 与b 夹角的取值范围是______.三、解答题21．平面内给定三个向量(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=. （1）求32a b c +-；（2）求满足a mb nc =+的实数m 和n ；（3）若()(2)a kc b a +⊥-，求实数k . 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值. 23．已知向量,a b 满足：16,()2a b a b a ==⋅-=,. （1）求向量a 与b 的夹角；（2）求2a b -.24．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值；（2）求AM AN ⋅的取值范围．25．已知向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭且函数()f x u v =⋅,若函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π. (1)求函数f (x )的解析式; (2)将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )的表达式并其对称轴;(3)若方程f (x )=m (m >0)在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,有两个不同实数根x 1,x 2,求实数m 的取值范围,并求出x 1+x 2的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ，则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.2．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选3．B解析：B 【分析】首先分别求出12a e e =+与122b e e =-+的数量积以及各自的模，利用数量积公式求之．【详解】由已知，1212e e ⋅=，所以(()1212)2e e e e +-+=32，|12e e +3，|122e e -+3, 设向量1212,2a e e b e e =+=-+的夹角为α，则312cos ,2333παα==∴=⋅.故答案为B 【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=,方法二：设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x yθ=+⋅+.4．A解析：A 【解析】Rt AOB 中，0OA OB ⋅=，∴2AOB π∠=，∵5OA =，25OB =，∴225AB OA OB += ， ∵AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B ，、设(),D m n ，则OAD BAO ∽，∴OA ADAB OA=， ∴1AD =，∴15AD AB =，即()(155,255m n =-，，求得45m =， ∴4525D ⎝⎭；则45254525OE OD λλ⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 45255,EA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎭；∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354⎫⎫⋅-=⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭，解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为))452511ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭，当34λ=时，5512ED ⎛== ⎝⎭；当14λ=时，353532ED ==⎝⎭．即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A.5．D解析：D 【分析】根据向量的几何意义把抽象问题具体化，转化到圆与圆的位置关系问题. 【详解】如图所示，设11OA a =，22OA a =，此时121A A =，由题意可知：对于任意的1,2i = 及1,2,,j k =⋅⋅⋅，{}1,2i j a b -∈，作j j OB b =则有1j A B 等于1或2，且2j A B 等于1或2，所以点(1,2,,)j B j k =同时在以(1,2)i A i =为圆心，半径为1或2的圆上，由图可知共有6个交点满足条件，故k 的最大值为6.故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量的应用.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值. 【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据2(1,2),(1,)+==a b m b m 可得0,2m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合||cos a θ=，列出等式，即可解出答案. 【详解】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)a b m b m +==，22(0,)a a b b m =+-=，所以20,,22m m a a b ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭，若向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )152m b a m a b θ=+⋅=⋅=，所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选：A ．【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是||||cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，cos ||||a ba b θ⋅=⋅（此时a b ⋅往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是||a bb ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;（4）求向量ma nb +的模（平方后需求a b ⋅）. 9．C解析：C 【分析】对=2a b -两边平方后，结合2·cos 3a b a b π=⋅进行化简可得：224a b b +⋅+=；由基本不等式可得222a b a b +⋅，于是推出403a b<⋅，再结合平面向量数量积即可得解．【详解】因为2a b -=，所以 2224a a b b -⋅+=，所以2222cos 43b b a a π-⋅+=，即224a a b b +⋅+=，由基本不等式的性质可知，222a ba b +⋅，403a b∴<⋅，所以212·cos ,0323a b a b a b π⎡⎫=⋅⋅=-⋅∈-⎪⎢⎣⎭．故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积运算，考查利用基本不等式求最值，难度一般.对于平面向量的模长问题，一般采用平方处理，然后结合平面向量数量积的运算公式求解即可．10．C解析：C 【分析】先根据题意得1AD =，CD =2AB DC =，再结合已知和向量的加减法运算求解即可得的答案. 【详解】由题意可求得1AD =，CD =所以2AB DC =，又13BE BC =，则()1133AE AB BE AB BC AB BA AD DC =+=+=+++ 1111333AB AD DC ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭1111336AB AD AB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭115116363AB AD AB AD ⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查运算能力，是基础题.11．C解析：C 【分析】由0a b c ++=，可得2222222().2()a b c a b b c a b c =-+=-+、2222()a c b a c =-+，利用||||||a b c <<，即可比较．【详解】解：由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+．同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．12．B解析：B 【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C . 【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-.()20,,3C C ππ∈∴=.故选：B. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.二、填空题13．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：3⎡⎤⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值．【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．14．①③【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算①②③④得出结论【详解】点的广义坐标分别为对于①线段的中点设为M 根据=（）=中点的广义坐标为故①正确对于②∵（x2﹣x1）A 两点间的距离为解析：①③ 【分析】根据点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，利用向量的运算公式分别计算①②③④，得出结论.【详解】点A 、B 的广义坐标分别为()11,x y 、()22,x y ，1112OA x e y e ∴=+，2122OB x e y e =+，对于①，线段A 、B 的中点设为M ，根据OM =12（OA OB +）=12112211()()22x x e y y e +++∴中点的广义坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭,故①正确. 对于②，∵AB =（x 2﹣x 1）()1212e y y e +-，∴A 、B 12e ，故②不一定正确.对于③，向量OA 平行于向量OB ，则t OA OB =，即（11,x y ）=t ()22,x y ,1221x y x y ∴=，故③正确.对于④，向量OA 垂直于向量OB ，则OA OB =0，221211221121220x x e x y x y e e y y e ∴+++=（），故④不一定正确.故答案为①③. 【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【解析】分析：建立平面直角坐标系结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果详解：建立如图所示的平面直角坐标系则：由中心坐标公式可得：即据此有：结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：点睛：求解析：209-【解析】分析：建立平面直角坐标系，结合平面向量数量积的坐标运算整理计算即可求得最终结果.详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则：()0,2A ，()0,0B ，()C ，由中心坐标公式可得：2003G ⎫++⎪⎪⎝⎭，即23G ⎫⎪⎭，据此有：233GB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，4233GC ⎛⎫=-⎪⎭，结合平面向量数量积的坐标运算法则可得：222203339GB GC ⎛⎛⎫⎛⎫⋅=--⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．16．【分析】由可得为的外心又可得为的垂心则为的中心即为正三角形运用向量的数量积定义可得的边长以为坐标原点所在直线为轴建立直角坐标系求得的坐标再设由中点坐标公式可得的坐标运用两点的距离公式可得的长运用三角解析：494【分析】由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形．运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长，以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，求得,B C 的坐标，再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由中点坐标公式可得M 的坐标，运用两点的距离公式可得BM 的长，运用三角函数的恒等变换公式，结合正弦函数的值域，即可得到最大值．【详解】解: 由DA DB DC ==，可得D 为ABC ∆的外心，又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅，可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=，即0DB AC DC AB ⋅=⋅=，即有,DB AC DC AB ⊥⊥，可得D 为ABC ∆的垂心，则D 为ABC ∆的中心，即ABC ∆为正三角形，由2DA DB ⋅=-，即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-，解得||2DA =，ABC ∆的边长为4cos3023︒=以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，可得B(3,3),C(3,3),D(2,0)-，由||1AP =，可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<，由PM MC =，可得M 为PC 中点，即有3cos 3sin (2M θθ++，则2223cos3sin||3=3+2BMθθ⎛⎫++⎛⎫-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝22(3cos)(33sin)376cos63sin4θθθθ-+-+=+=3712sin64πθ⎛⎫+-⎪⎝⎭=，当sin16πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，即23πθ=时，取得最大值，且为494．故答案为：494．【点睛】本题考查向量的定义和性质，以及模的最值的求法，注意运用坐标法，转化为三角函数的最值的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17．【分析】延长BC作圆M的切线设切点为A1切线与BD的交点D结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时在上的投影最小设将结果表示为关于的二次函数求出最值即可【详解】如图延长BC作圆M的切线设切点为A1切解析：2-【分析】延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，结合数量积的几何意义可得点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小，设CP x=，将结果表示为关于x的二次函数，求出最值即可.【详解】如图，延长BC，作圆M的切线，设切点为A1，切线与BD的交点D，由数量积的几何意义，CA CB⋅等于CA在CB上的投影与CB之积，当点A运动到A1时，CA在CB上的投影最小；设BC中点P，连MP，MA1，则四边形MPDA1为矩形；设CP=x，则CD=2-x，CB=2x，CA CB⋅=()()222224212x x x x x--⋅=-=--，[]02x∈，，所以当1x =时，CA CB ⋅最小，最小值为2-，故答案为：2-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的几何意义，考查了学生的作图能力以及分析问题解决问题的能力，属于中档题.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而minMN==故答案为: 7【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．【分析】将已知条件转化为结合得到设列出关于的方程组由此求得【详解】由于所以所以即因为即化简得设所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理考查平面向量的线性运算考查化归与转化的数学思想解析：53【分析】将已知条件转化为1539AO AB AC =+，结合BD DC λ=，得到111AD AB AC λλλ=+++，设AO k AD =，列出关于,k λ的方程组，由此求得λ. 【详解】由于305OA OB OC =++，所以()()350OA AB AO AC AO +-+-=，所以935AO AB AC =+，即1539AO AB AC =+. 因为BD DC λ=，即()AD AB AC AD λ-=-, 化简得111AD AB AC λλλ=+++，设11k k AO k AD AB AC λλλ==+++，所以1 13519kkλλλ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得53λ=.故答案为：53【点睛】本小题主要考查平面向量的基本定理，考查平面向量的线性运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20．【分析】由已知得由得由不等式可知再由得最后由可得解【详解】由得即由得即由得由得所以故答案为：【点睛】本题考查了向量及其模的运算考查了向量的夹角公式和基本不等式考查了计算能力属于中档题解析：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由已知，得22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①，由+①②，得226a b+=，由不等式可知3a b ≤，再由-①②，得32a b⋅=，最后由cos,a ba ba b⋅=可得解.【详解】由3a b+=，3a b-=，得()()2239baab⎧⎪⎨⎪-==+⎩，即22222923a ab ba ab b+⋅⎧⎪⎨⎪+=-⋅+=⎩②①由+①②，得226a b+=，即226a b+=由-①②，得32a b⋅=由222a b a b +≥，得3a b ≤1cos ,2a b a b a b⋅=≥所以，0,3a b π≤≤.故答案为：0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了向量及其模的运算，考查了向量的夹角公式和基本不等式，考查了计算能力，属于中档题.三、解答题21．（1）6；（2）58,99m n ==；（3）1118k =-.【分析】（1）利用向量加法的坐标运算得到()320,6a b c +-=，再求模长即可；（2）先写mb nc +的坐标，再根据a mb nc =+使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由(3,2),(1,2),(4,1)a b c ==-=，得3(9,6),(1,2),2(8,2)a b c ==-=∴()()32918,6220,6a b c +-=--+-=，∴23206a b c +-=+=；（2）()(),2,4,mb m m nc n n =-=， ∴()4,2mb nc n m m n +=-+，a mb nc =+，∴()4,2(3,2)a n m m n ==-+，故4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，解得58,99m n ==；（3）(3,2),(4,)a kc k k ==，∴()34,2a kc k k +=++，(3,2),2(2,4)a b ==-，∴()25,2b a -=-，()()2a kc b a +⊥-，∴()()20a kc b a +⋅-=，即()()534220k k -+++=，解得1118k =-. 【点睛】结论点睛：若()()1122,,,a x y b x y == ，则//a b 等价于12210x y x y -=；a b ⊥等价于12120x x y y +=.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题．23．（1）π3；（2）【分析】（1）设向量a 与b 的夹角θ，利用向量的数量积公式计算()2a b a ⋅-=，可得向量的夹角；（2）利用向量的模长公式：2a a =，代入计算可得. 【详解】（1）设向量a 与b 的夹角θ， ()16cos 12a b a a b θ⋅-=⋅-=-=，解得1cos 2θ=，又[]0πθ∈，，π3θ∴= （2）由向量的模长公式可得：()222a b a b -=-==. 【点睛】本题主要考查向量数量积公式的应用，向量模长的计算，求向量的模长需要熟记公式2a a =，考查学生的逻辑推理与计算能力，属于基础题.24．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以53,44M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，132N ⎛ ⎝，所以5311848AM AN ⋅=+=．（2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以31,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(13N t -．所以()()223113*********t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭．当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1；当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32．所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型.25．(1)()26f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()2g x sin x =, 对称轴为,42k x k Z ππ=+∈;(3)112m ≤<,,1223x x π+=. 【分析】 (1) 根据向量()1,1,3,(0)2u sin x v sin x cos x ωωωω⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭和函数()f x u v =⋅，利用数量积结合倍角公式和辅助角法得到，()26πω⎛⎫=-⎪⎝⎭f x sin x ，再根据函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π求解. (2)依据左加右减，将函数y =f (x )的图象向左平移12π个单位后，得到函数()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z 求其对称轴. (3)作出函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上图象，根据函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点求解.再令2,62x k k Z πππ-=+∈，求对称轴. 【详解】(1)()()21122ωωωωωω=-=-f x sin x sin x x sin x xcos x ，1222226πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭sin x cos x sin x ∵函数f (x )的图象上两个相邻的对称轴距离为2π， ∴22T π=， ∴2(0)2ππωω=>， ∴ω=1，故函数f (x )的解析式为()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭; (2)依题意，()22126g x sin x sin x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令2,2ππ=+∈x k k Z ，则,42ππ=+∈k x k Z ， ∴函数g (x )的对称轴为,42ππ=+∈k x k Z ;(3)∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴12,162sin x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的草图如下，依题意，函数y =f (x )与直线y =m 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个交点，则112m ≤<，令2,62x k k Z πππ-=+∈，则,32k x k Z ππ=+∈， ∴函数f (x )在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的对称轴为3x π=，则1223x x π+=. 【点睛】本题主要考查了平面向量和三角函数，三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =，所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-，则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-，整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=，故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

人教A版高中数学必修四宁波外国语学校平面向量同步练习题向量的加法运算及其几何意义答案

作业26-向量的加法运算及其几何意义(答案)班级___________ 姓名__________1. 平行四边形ABCD 中，BC →+CD →+DA →=( D )A. BD →B. AC →C. AB →D. BA →2. 向量AB →+MB →+BO →+BC →+OM →化简后等于(C )A. BC →B. AB →C. AC →D. AM →3. 设a →,b →,a →+b →均为非零向量，且a →+b →平分a →与b →的夹角，则( B ) A. a →= b →B. |a →|=|b →| C. |a →|=2|b →| D. 以上都不对 4. 在矩形ABCD 中，|AB →|=4, |BC →|=2, 则向量AB →+AD →+AC →的长度等于( B ) A. 2 5 B. 4 5 C. 12 D. 65. 若在ΔABC 中, AB →= a →, BC →= b →, 且|a →| = |b →| = 1, |a →+b →|= 2 , 则ΔABC 的形状是( D ) A. 正三角形 B. 锐角三角形 C. 斜三角形 D. 等腰直角三角形 6. 向量a →, b →皆为非零向量，下列说法不正确的是( B ) A. a →与b →反向，且|a →|>|b →|,则a →+b →与a →同向 B. a →与b →反向，且|a →|>|b →|,则a →+b →与b →同向 C. a →与b →同向，则a →+b →与a →同向 C. a →与b →同向，则a →+b →与b →同向7. 设a →表示“向东走了2km”，b →表示“向南走了2km”, c →表示“向西走了2km”, d →表示“向北走了2km”，则( ) (1) a →+d →表示向东北走了(2) b →+c →表示向西南走了 (3) a →+c →+d →表示向北走了 2 km; (4) b →+c →+d →表示向西走了 2 km. 8. 设A 1A 2A 3A 4A 5A 6为正六边形，O 为它的中心，则OA →1+OA →2+OA →3+OA →4+OA →5+OA →6= 0→. 9. 若向量a →，b →满足|a →+b →|=|a →|+|b →|，则a →与b →必须满足的条件是 a →,b →同向，或其中一个为0→. 10. 设a →,b →都是单位向量，则|a →+b →|的取值范围是 [0,2] . 11. 如图，已知向量a →,b →,c →,试作向量a →+b →+c →+c →12. P 、Q 是ΔABC 的边BC 上的两点，且BP=QC ，求证：AB →+ AC →= AP →+ AQ →证：AB →+AC →=AP →+PB →+AQ →+QC →∵ PB →=—QC → ∴ PB →+QC →=0→∴ AB →+ AC →= AP →+ AQ →13. 根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状：a → c →b →(1) AD →//BC → (2) AD → = BC → (3) AB →=DC →且|AB →|=|AD →| 答案：(1) 梯形 (2) 平行四边形 (3) 菱形14. 已知ΔABC 为直角三角形，∠BAC = 90°, AD ⊥ BC 于D ，求证：|BC →|2 = |DB → + DA →|2 + |DC → + DA →|2.证：平移AD 至EC ，FB ，则ADCE, ADBF 是矩形右=|DB →+DA →|2+|DC →+DA →|2 = |DF →|2+|DE →|2=|AB →|2+|AC →|2=|BC →|2=左15. 在四边形ABCD 中，AB → = DC →, AC ⊥ BD, |AC →|=6, |BD →|=8, 求：(1) |AB →|的值； (2) 四边形ABCD 的面积答案：(1) |AB →|=5 (2) ABCD 是菱形，S = 2416. 船在静水中的速度为6km/h, 水流速度为3km/h, 当船以最短时间到达对岸时，求船的实际速度的大小和方向(用与水流速度的夹角的正弦表示).解析：sin α = 255。

高一数学必修4《平面向量》测试卷(含答案),推荐文档

《平面向量》测试卷
考试时间：120 分钟满分：150 分
一.选择题.(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1.对于任意向量 a和b ，下列命题中正确的是（）
A.若 a,b 满足 a b ，且 a与b 同向，则 a b B. a b a b
C. a b a b
D. a b a b
2.已知平面向量
a
(1,1),
b
(1,
1)
，则向量
1
a
3
b
等于（
）
22
A. (2, 1)
B. (2,1)
C. (1, 0)
D. (1, 2)
3.下列各组向量中，可以作为基底的是（）
A. e1 (0, 0), e2 (1, 2)
B. e1 (1, 2), e2 (5, 7)
AE BF ( 2,1) (1 2, 2) 2
21.解: (1)由题意知a
b
1
2
(3m 5n) (2m
n)
9,3m来自 5n7,2m n
3
cos3m
5n,
2m
n
2 (3m
5n)
(2m
n)
3
3
3m 5n 2m n 14
(2) (2m
n)
x 0, y 5
C (0, 5)
(3)设M则(a,b), OM (a,b),OD (1, 4)
O, M , D三点共线
a b 1 4
b 4a
MA MB (2 a,1 b) (3 a, 2 b)
(2 a,1 4a) (3 a, 2 4a)
17a2 7a 8
2 x AB
2x

2017-2018学年高中数学人教A版必修4练习：2-3-1 平面

一、选择题1．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C )，则AP 等于( )A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0,1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0,1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 解析：∵AC ＝AB ＋AD ,0<|AP |<|AC |，∴AP ＝λAC ＝λ(AB ＋AD )，0<λ<1.答案：A2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －23b D ．－23a ＋23b 解析：设AD 与BE 交点为F ，则AF ＝23a ，BF ＝23b . 由AB ＋BF ＋FA ＝0，得AB ＝23(a －b )，所以BC ＝2BD ＝2(AD －AB )＝23a ＋43b . 答案：B3．如图，在矩形ABCD 中，若BC ＝5e 1，DC ＝3e 2，则OC ＝( ) A.12(5e 1＋3e 2) B.12(5e 1－3e 2) C.12(3e 2－5e 1) D.12(5e 2－3e 1) 解析：OC ＝12AC ＝12(AB ＋BC )＝12(DC ＋BC ) ＝12(5e 1＋3e 2)．4．A 、B 、O 是平面内不共线的三个定点，且OA ＝a ，OB ＝b ，点P 关于点A 的对称点为Q ，点Q 关于点B 的对称点为R ，则PR 等于( )A ．a －bB ．2(b －a )C ．2(a －b )D ．b －a 解析：如图，a ＝12(OR ＋OQ )，b ＝12(OQ →＋OR )，相减得b －a ＝12(OR －OP )． ∴PR ＝2(b －a )．答案：B二、填空题5．已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为________．解析：由题意可画出图形，在△OAB 中，因为∠OAB ＝60°，|b |＝2|a |，所以∠ABO ＝30°，OA ⊥OB ，即向量a 与c 的夹角为90°.答案：90°6．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．若用基底AB ，AC 表示AD ，则AD ＝________________.解析：∵D 是BC 边的四等分点，∴BD ＝14BC ＝14(AC －AB ) ∴AD ＝AB ＋BD ＝AB ＋14(AC －AB ) ＝34AB ＋14AC . 答案：34AB ＋14AC 7．等腰直角三角形ABC 中，AB ⊥AC ，则AB 与BC 的夹角是________．解析：作线段AB 的延长线AD ，则∠DBC 是AB 与BC 的夹角．又∠DBC ＝180°－∠ABC ＝180°－45°＝135°.8．D 、E 、F 分别为△ABC 的边BC 、CA 、AB 上的中点，且BC ＝a ，CA ＝b ，给出下列结论：①AD ＝－12a －b ；②BF ＝a ＋12b ； ③CF ＝－12a ＋12b ；④EF ＝12a . 其中正确结论的序号为________．解析：如图，AD ＝AC ＋CD＝－b ＋12CB ＝－b －12a ，①正确； BE ＝BC ＋CE ＝a ＋12b ，②正确； AB ＝AC ＋CB ＝－b －a ， CF ＝CA ＋12AB ＝b ＋12(－b －a )＝12b －12a ，③正确； ④EF ＝12CB ＝－12a ，④不正确．答案：①②③三、解答题9．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，设AD ＝a ，AB ＝b ，试用a ，b 表示DC ，EF ，FC .解：∵DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E 、F 分别是DC 、AB 的中点，∴FC ＝AD ＝a ，DC ＝AF ＝12AB ＝12b . EF ＝ED ＋DA ＋AF＝－12DC －AD ＋12AB ＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a . 10．如图，平行四边形ABCD 中，AD ＝b ，AB ＝a ，M 为AB 中点，N为BD 靠近B 的三等分点，求证：M 、N 、C 三点共线．证明：在△ABD 中，BD ＝AD －AB ，因为AB ＝a ，AD ＝b ，所以BD ＝b －a .∵N 点是BD 的三等分点，∴BN ＝13BD ＝13(b －a )．∵BC ＝b ，∴CN ＝BN －BC ＝13(b －a )－b＝－13a －23b . ① ∵M 为AB 中点，∴MB ＝12a ，∴CM ＝－MC ＝－(MB ＋BC )＝－⎝⎛⎭⎫12a ＋b＝－12a －b . ② 由①②可得CM ＝32CN .由共线向量定理知CM ∥CN ，又∵CM 与CN 有公共点C ，∴C 、M 、N 三点共线．。

2018学年高中人教A版数学必修4单元测试卷：第26课时平面向量的应用举例含解析

1.21(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系．2一、选择题1．已知点A (－2，－3)，B (2,1)，C (0,1)，则下列结论正确的是( )A ．A ，B ，C 三点共线B.AB →⊥BC →C ．A ，B ，C 是等腰三角形的顶点D ．A ，B ，C 是钝角三角形的顶点答案：D解析：∵BC →＝(－2,0)，AC →＝(2,4)，∴BC →·AC →＝－4<0，∴∠C 是钝角．2．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)答案：D解析：由物理知识知f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0，故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．3．在四边形ABCD 中，若AB →＝－CD →，AB →·BC →＝0，则四边形为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形答案：D解析：由AB →＝－CD →知四边形ABCD 是平行四边形，又AB →·BC →＝0，∴AB →⊥BC →，∴此四边形为菱形．4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( )A ．10 m/sB ．226 m/sC ．4 6 m/sD ．12 m/s答案：B解析：设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．5．人骑自行车的速度为v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )A ．v 1－v 2B ．v 2－v 1C ．v 1＋v 2D ．|v 1|－|v 2|答案：C解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v 1＋v 2，故选C.6．点O 在△ABC 所在平面内，给出下列关系式：①OA →＋OB →＋OC →＝0；②OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0；③(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0.则点O 依次为△ABC 的( )A ．内心、重心、垂心B ．重心、内心、垂心C ．重心、内心、外心D ．外心、垂心、重心答案：C解析：①由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，其中D 为BC 的中点，可知O 为BC 边上中线的三等分点(靠近线段BC )，所以O 为△ABC 的重心；②向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在AC 和AB 上取单位向量AC ′→和AB ′→，它们的差是向量B ′C ′→，当OA →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →|AC →|－AB →|AB →|＝0，即OA ⊥B ′C ′时，则点O 在∠BAC 的平分线上，同理由OB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →|BC →|－BA →|BA →|＝0，知点O 在∠ABC 的平分线上，故O 为△ABC 的内心；③OA →＋OB →是以OA →，OB →为边的平行四边形的一条对角线，而AB →是该四边形的另一条对角线，AB →·(OA →＋OB →)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心．二、填空题7．已知两个粒子A 、B 从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为v a ＝(4,3)，v b ＝(3,4)，则v a 在v b 上的投影为________．答案：245解析：由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为cos θ＝12＋1`25×5＝2425. ∴v a 在v b 上的投影为|v a |cos θ＝5×2425＝245. 8．已知点A (0,0)，B (3，0)，C (0,1)．设AD ⊥BC 于D ，那么有CD →＝λCB →，其中λ＝________.答案：14解析：如图|AB →|＝3，|AC →|＝1，|CB →|＝2，由于AD ⊥BC ，且CD →＝λCB →，所以C 、D 、B 三点共线，所以|CD →||CB →|＝14，即λ＝14.9．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．答案：30解析：BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，∵AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD 为矩形，|AB →|＝20，|BC →|＝45，∴S ＝|AB →|·|BC →|＝30.三、解答题 10.。

2017-2018学年高中数学必修四教材用书：第二章平面向

(A卷学业水平达标)(时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．在五边形ABCDE中(如图)，AB＋BC－DC＝( )A．AC B．ADC．BD D．BE答案：B2．(全国大纲卷)已知向量m＝(λ＋1,1), n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1答案：B3．若|a|＝2，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则a与b的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π2答案：B4．在△ABC中，D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则下列向量中与AD同向的是( )A.a＋b|a＋b|B.a|a|＋b|b|C.a－b|a－b|D.a|a|－a|b|答案：A5．已知边长为1的正三角形ABC中，BC·CA＋CA·AB＋AB·BC的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D6．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB ＝13OA ＋23OC ，则|AB |∶|BC |＝( )A ．1∶3B ．3∶1C ．1∶2D ．2∶1答案：D7．P 是△ABC 所在平面上一点，若PA ·PB ＝PB ·PC ＝PC ·PA ，则P 是△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心答案：C8．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C. 2D.22答案：C9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA ·MD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B10.如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(PA ＋PB )·PC 的最小值是( )A.92 B ．9 C ．－92 D ．－9 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在直角坐标系xOy 中，AB ＝(2,1)，AC ＝(3，k )，若三角形ABC 是直角三角形，则k 的值为________．答案：－6或－112．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则AE ·BD ＝________. 答案：113．如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM ，线段OB 及AB 的延长线围成的区域(不含边界)内运动，且OP ＝x OA ＋y OB ，则x 的取值范围是______．当x ＝－12时，y 的取值范围是________．答案：(－∞，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 14．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的等价条件为存在唯一实数λ，使得OC ＝λOA ＋(1－λ)OB 成立，此时称实数λ为“向量OC 关于OA 和OB 的终点共线分解系数”．若已知P 1(3,1)，P 2(－1,3)，且向量3OP 与向量a ＝(1,1)垂直，则“向量3OP 关于1OP 和2OP 的终点共线分解系数”为________．答案：－1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， ∴a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， ∴a －b ＝(2，－4)， ∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.16．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，H ，M 分别是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC .(1)以a ，b 为基底表示向量AM 与HF ；(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求AM ·HF . 解：(1)∵M 为DC 的中点， ∴DM ＝12DC ，又DC ＝AB ，∴AM ＝AD ＋DM ＝AD ＋12AB ＝12a ＋b ，∵H 为AD 的中点，BF ＝13BC ，BC ＝AD ，∴AH ＝12AD ，BF ＝13AD ，∴HF ＝HA ＋AB ＋BF ＝－12AD ＋AB ＋13AD＝AB －16AD ＝a －16b .(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6， AM ·HF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a －16b＝12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112a ·b －16b 2＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.17．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB －t OC )·OC ＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB ＝(3,5)，AC ＝(－1,1)，则AB ＋AC ＝(2,6)，AB －AC ＝(4,4)．所以|AB ＋AC |＝210，|AB －AC |＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210. (2)由题设知OC ＝(－2，－1)，AB －t OC ＝(3＋2t,5＋t )．由(AB －t OC )·OC ＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即(3＋2t )×(－2)＋(5＋t )×(－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 18．(本小题满分14分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，AB ＝2e 1＋e 2，BE ＝－e 1＋λe 2，EC ＝－2e 1＋e 2，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－2)，求BC 的坐标；(3)已知D (3,5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)AE ＝AB ＋BE ＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2. ∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得AE ＝k EC ，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k －1－λ)e 2. ∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)BC ＝BE ＋EC ＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形， ∴AD ＝BC .设A (x ，y )，则AD ＝(3－x,5－y )， ∵BC ＝(－7，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝－7，5－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝7，即点A 的坐标为(10,7)．。

2017-2018学年高中数学第二章平面向量章末综合测评新人教A版必修4

(二) 平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1.已知点 A (0,1) ,B (3,2)，向量 AC= ( — 4,— 3)，则向量葩()A. ( — 7，— 4)B. (7,4)C. ( —1,4)D. (1,4)【解析】法一：设C (x , y ), 则AC= (x , y — 1) = ( — 4,— 3), 所以:4从而 BC= ( — 4, — 2) — (3,2) = ( — 7,— 4).故选 A.y 一2,法二：AB- (3,2) — (0,1) = (3,1),BC= AC — AB= ( — 4,— 3) — (3,1) = ( — 7，— 4).故选A. 【答案】 A2. 设 a = (1,2) ,b = (1,1) ,c = a + kb .若 b ± c ,则实数 k 的值等于()【解析】 c = a + kb = (1 + k, 2+ k )，又 b 丄 c ,所以 1 x (1 + k ) +1 x (2 + k ) = 0,解得【答案】 A【解析】由已知条件得B D- 6D= BD ・BA=\/5a - a cos 303. A.已知菱形 ABC 啲边长为a , / ABC= 60°，则BD- 6D=(3 2B.3 2-；aC. 3 2_a4D. 3 2 2a=^a 2,故选 D.【答案】D4•对任意向量a, b,下列关系式中不恒成立.的是() A. | a -b <1 a|| b|B. |a — b | w || a | — |b ||C. (a + b )2=|a + b |222D. (a + b ) •( a — b ) = a — b【解析】根据a ・b = |a||b| cos 0 ,又cos 0 < 1,知|a • b| < |a||b| , A 恒成立.当向量a 和b 方向不相同时，| a — b |> ||a| — |b|| , B 不恒成立.根据| a + b |2 = a 2 + 2a •b + b 2 =(a + b )2, C 恒成立.根据向量的运算性质得 (a + b ) •(a — b ) = a 2— b 2, D 恒成立.【答案】 B5.已知非零向量 a , b 满足|b| = 4|a|，且a 丄（2a + b ），则a 与b 的夹角为（）A.【解析】 ■/ a 丄(2a + b )，二 a • (2 a + b ) = 0,2••• 2| a | + a • b = 0,即 2| a |2+ |a||b| cos 〈a , b >= 0.2 2■/ | b| = 4|a| , • 2|a| + 4|a | cos 〈 a , b >= 0,结论正确的是（）A. | b | = 1D. (4 a + b )丄 BC【解析】在厶 ABC 中,由BC= AC — AB= 2a + b — 2a = b ,得| b | = 2.又 |a | = 1,所以 a • b—2=| a || b |cos 120°=— 1，所以(4a + b ) • BC= (4a + b ) • b = 4a • b + | b | = 4x ( — 1) + 4= 0, 所以(4 a +b )丄 B C 故选D.【答案】 D7.已知向量 a = (2,1 ) , a •b = 10, |a + b| = v 50,则 |b| =( )A. 0B. 2C. 5D. 25B.C.2nD. • cos 〈 a , b >【答案】 C2• •〈 a , b >= 3 n . 6. A ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ,b 满足 AB= 2a , AC= 2a + b ,则下列B. a 丄 bC. a • b = 1【解析】因为a= (2,1 )，则有|a| = ,5,又a •b = 10, 又由|a + b| = 50,所以|a| 2+ 2a ・b + |b| 2= 50,A. 4 2 3a + 3bB. 2 4 3a + 3bC. 2 4 3a -3bD. 2 4 —3a + 3bA. 150° C. 60°【解析】设向量a ,2 ・・2c 满足 |a| = |b| = |c| ,a +b =c ,则向量a , b 的夹角为（B. 120° D. 30°|c| = |a + b| =|a| + |b| + 2|a||b| cos 0 ,1则 cos 0 =-2 又 0 € [0 ° , 180° ] ,••• 0=120° .故选 B.【答案】 B10.在矩形 ABCD K AB = .3, BC = 1, E 是 CD 上一点，且 X E- AB= 1，则X E- AC 的值为 ( ) A. 3 B. 2 C.二D 」23即 5 + 2X 10+ |b| 2= 50, 所以|b| = 5. 【答案】 C8.已知AD BE 分别为△ ABC 的边BC AC 上的中线，设 XD= a ,b ,则BC 等于（【导学号：00680065】【解析】 BC= 2B D= 2 |B&9.设非零向量a , b , 2 4 3a +3b.图1fi【解析】设云E<E B的夹角为9，则X E与疋的夹角为n2 —9 , 又A D// BC故有AE BC夹角为-2 —9，如图.「•I A E| • cos是()A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 三边均不相等的三角形| AE sin 9 = 1,••• XE- A C= XE-(XB^ B C = XE- XB+ XE- B C= 1 +1 = 2.【答案】B11.已知向量OA= (2,2) , O B^ (4,1)，在x轴上有一点P,使A P- BP有最小值，则P点坐标为()A. ( —3,0)C. (2,0)【解析】设R x, 0)，则有X P- BP= (x—2,0 —2) •( x —4,0 —1) =(x —2)( x—4) + 2=x2—6x+ 102=(x —3) + 1,当x = 3 时，(AP' BP min= 1,此时P点坐标为(3,0). B. (3,0) D. (4,0)【答案】B12•在△ ABC中，已知向量就AC满足1，则△ ABC X E- AB- | AEAE- BC= | AE cos •B C= 0 且|AB| AC【解析】•••非零向量ABWA （满足-BC = 0, A / BAC 勺平分线垂直于 BCX B ・ AC • AB= AC 又 cos / BAC= ----------- I AB | AC 2 , •/ BAC 60°, •△ ABC 为等边三角形. 【答案】 A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13.已知向量 a = ( m,4) , b = (3 , - 2)，且 a // b ,贝U m= 【解析】 T a = ( m,4) , b = (3 , — 2) , a / b , --—2m — 4x 3= 0,• • m = — 6. 【答案】 —6 14.已知向量 a = (2,1) , b = (1 , — 2)，若 ma + n b = (9 , — 8)( m n € R)，贝U m- n 的值【解析】 T na + n b = (2 m^ n , m- 2n ) =(9 , — 8),m= 2,m- 2n =— 8 ,■- - m — n = 2 — 5= —3.n = 5 ,【答案】 —315.已知向量a = （1 , — 1） , b = （6 , — 4）.若a 丄（ta + b ），则实数t 的值为【解析】 T a = (1 , — 1), b = (6 , — 4) , • t a + b = (t + 6, — t — 4). 又 a 丄(t a + b ),则 a •( t a + b ) = 0,即 t + 6 +1 + 4= 0,解得 t = — 5. 【答案】 —516 .在△ ABC 中 ,点 M N 满足 AM= 2l ^C 陥 Ffc 若xAfe+ yAC ,贝U x =【解析】2M C •- AM= 2ACf fA 1 A AT BN = NC • AN = 2(AB+ AC ,• A N = AN- AM = |(A B + A C — |AC1A 1A=;AB^-AC2 6A A A 1 1 又 MN= xAB+ yAC, • x = ? , y =—舌.1 1【答案】 2— 62 6三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17. (本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a| = 1, |b| = 2, 已知向量c = a +2b ,求|c|的取值范围.【解】|c| 2 = |a + 2b| 2= |a| 2+ 4a •b + 4|b| 2= 17+ 8cos 0 (其中 B 为 a 与 b 的夹角). 因为 0°< 0 <120°,1所以一2<cos 0 <1, 所以.13<| c| <5,所以|c |的取值范围为(13, 5).18. (本小题满分 12 分)设O A \= (2 , - 1) , OB= (3,0) , OC= ( m,3). (1) 当m= 8时，将0(用 6A 和3B 表示； (2) 若代B , C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件.【解】(1) m= 8 时，OC= (8,3),设OC=入QAF 入2OB•••(8,3)=入 1(2 , - 1) + 入 2(3,0)=(2 入 1 + 3 入 2,—入 1),2 入 1+3 入 2= 8,—入 1= 3,TT 14T•OC= — 3OA + 可 OB3(2)若代B , C 三点能构成三角形，则有賦处不共线，又 AB^ OB- OA = (3,0) — (2 , — 1) = (1,1),A C= O C- O A = (m,3) — (2 , — 1) = (m- 2,4),则有 1x 4— (m- 2) x 1工 0 ,•6.19. (本小题满分12分)设i , j 是平面直角坐标系中 x 轴和y 轴正方向上的单位向量, 4i — 2j , A C = 7i + 4j , X b= 3i + 6j ,求四边形 ABC 啲面积.【解】因为 A B ・ Ab = (4i — 2j ) • (3i + 6j ) = 3x 4— 2x 6= 0 ,解得入 1=— 3 ,14入2 =所以就Ab又因为 Ab= 7i + 4j = 4i — 2j + 3i + 6j=AB+ AD所以四边形ABC [为平行四边形，又AB1 A D 所以四边形 ABC [为矩形，所以 S 四边形ABC = | AB X| AD =寸 16 + 4X 半+ 36 = 30.20.(本小题满分12分)已知a , b , c 在同一平面内，且 a = (1,2)⑴若|c | = 2 5,且 c // a ,求 c ;⑵若| b |二子，且(a + 2b )丄(2 a — b )，求a 与b 的夹角.【解】⑴T c // a ,「.设c =入a ,则c =(入，2入). 又| c | = 2 5，二入=± 2,••• c = (2,4)或(—2, — 4).⑵•/ (a + 2b )丄(2a — b ), • (a + 2b ) • (2 a — b ) = 0.| a | = 5, 1 b| = ~2, — a • b = — ,aa •b “二cos0 一一一 1I a ||b |又 B € [0 ° , 180° ] , •0 = 180°.21.(本小题满分 12 分)已知 a = (cos a , sin a ), b = (cos 3 , sin 3 ) , 0< 3 <a V n .(1) 若| a — b | = 2，求证：a 丄 b ； (2) 设 c = (0,1)，若 a + b = c ,求 a, 3 的值.【解】⑴证明：由题意得| a — b | 2= 2,即(a — b )2= a 2 — 2a • b + b 2 = 2. 又因为 a 2= b 2= | a |2= |b |2 = 1,所以 2— 2a • b = 2,即 a • b = 0,故 a 丄 b .⑵因为 a + b = (cos a + cos 3 , sin a + sin 3 ) = (0,1),cos a + cos 3 = 0, 所以isin a + sin 3 = 1,由①得，cos a = cos( n — 3 ), 由 0 < 3 < n ，得 0< n — 3 < n .11又 0 V aVn,故 a = n — 3 ■1 、3 = 1,得 sin a = sin 3 = 2，而 a > 3，所以 a22. （本小题满分12分）已知O O 的直径为10, AB 是O O 的一条直径，长为 20的线段 MN 的中点P 在O O 上运动（异于A , B 两点）.⑴ 求证：A M- BN 与点P 在O O 上的位置无关；（2）当MN 与AB 勺夹角0取何值时，X M- 有最大值？【解】（1）证明：••• AB 为O O 的直径，P 为圆上一点，••• AP 丄BP, ••• APt B F , 即XP- B P= o.••• P 为MN 勺中点，且| X N = 20,• MP= P N | X P = |P N | = 10,• AM ・ B N =(A P +X K M •( B P + P N=(X P -P N -(B P + P N )=A P- BP + A P- P N — PN - B F — P N - P N = PN ・(AP-丽 =^M N- AB - 100,• X M- BN 仅与X N AB 勺夹角有关，而与点 P 在O O 上的位置无关. ⑵由⑴得， X X 1 X X AM- BN= 2MN- AB- 100=100cos 0 — 100.•/ 0< 0 w n ,•当0 = 0时，X M- BN 取得最大值0.代入 sin a + —1005 n。