【金版新学案】-2015高二数学人教a版选修2-2课时作业：2.1.1word版含解析
【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业：1.7.1 Word版含解析
第一章 1.71.7.11．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x 及x 轴所围图形的面积为( )A ．154B ．174C ．12ln 2D ．2ln 2解析： S ＝1x d x ＝ln 2－ln 12＝2ln 2，故选D. 答案： D2．如图，两曲线y ＝3－x 2与y ＝x 2－2x －1所围成的图形面积是()A ．6B ．9C ．12D ．3解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3－x2y ＝x 2－2x －1解得交点(－1,2)，(2，－1)，所以S ＝⎠⎜⎛－12[(3－x 2)－(x 2－2x －1)]d x ＝⎠⎜⎛－12(－2x 2＋2x ＋4)d x＝⎝⎛⎭⎫－23x 3＋x 2＋4x | 2－1 ＝9，故选B. 答案： B3．如图，阴影部分面积为()A ．⎠⎛a b[f (x )－g (x )]d xB ．⎠⎛a c[g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x C ．⎠⎛a c[f (x )－g (x )]d x ＋⎠⎛c b[g (x )－f (x )]d x D ．⎠⎛a b[g (x )－f (x )]d x解析： ∵在区间(a ，c )上g (x )>f (x )，而在区间(c ，b )上g (x )<f (x )． ∴S ＝⎠⎛a c[g (x )－f (x )]d x ＋⎠⎛c b[f (x )－g (x )]d x ，故选B. 答案： B4．由y ＝x 2，y ＝x 24，y ＝1所围成的图形的面积为( )A ．43B ．34C ．2D ．1解析：因为曲线所围成的图形关于y 轴对称，如图所示，面积S 满足12S ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x －⎠⎛20x 24d x ＝x 33| 10＋x | 21－x 312| 20＝23， 所以S ＝43，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．如图所示，由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成平面图形的面积是________．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4y ＝5x，得交点坐标为(1,5)，(4,20)，∴所求面积S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )d x ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫13x 3－52x 2＋4x | 10＋⎝⎛⎭⎫52x 2－13x 3－4x | 41＝193. 答案：1936．抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围图形的面积为________．解析： 由y ′＝－2x ＋4得在点A ，B 处切线的斜率分别为2和－2，则直线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，得两直线交点坐标为C (2,2)， ∴S ＝S △ABC －⎠⎛13(－x 2＋4x －3)d x＝12×2×2－⎝⎛⎭⎫－13x 3＋2x 2－3x | 31＝2－43＝23. 答案： 23三、解答题(每小题10分，共20分)7．曲线y ＝e x ，y ＝e －x 及x ＝1所围成的图形的面积．解析： 作出图形，S ＝⎠⎛01(e x－e －x )d x＝(e x ＋e －x )| 10＝e ＋e －1－e 0－e 0＝e ＋1e－2.8．求由曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形的面积．解析： 由曲线y ＝x 与直线y ＝2－x ，y ＝－13x 围成的图形大致如下图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝2－x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝－13x ，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，可得交点A (1,1)，O (0,0)，B (3，－1)． 所以所求面积为S ＝⎠⎛01⎣⎡⎦⎤x －⎝⎛⎭⎫－13x d x ＋⎠⎛13⎣⎡⎦⎤(2－x )－⎝⎛⎭⎫－13x d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32＋16x 2| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 2| 31 ＝56＋6－3－2＋13＝136. 尖子生题库☆☆☆(10分)过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－4x 所围成图形的面积为36，求l 的方程． 解析： 由题意可知直线的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝kx ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝x 2－4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋4，y ＝k (k ＋4).(1)当k ＋4>0，即k >－4时，面积S ＝∫k ＋40(kx －x 2＋4x )d x＝⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3＋2x 2| k ＋40 ＝12k (k ＋4)2－13(k ＋4)3＋2(k ＋4)2 ＝16(k ＋4)3＝36， ∴k ＝2，故直线l 的方程为y ＝2x ； (2)当k ＋4<0，即k <－4时，S ＝⎠⎛0k ＋4(kx －x 2＋4x )d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3＋2x 2| 0k ＋4＝－⎣⎡⎦⎤12(k ＋4)2·k －13(k ＋4)3＋2(k ＋4)2 ＝－16(k ＋4)3＝36，∴k ＝－10，故直线l 的方程为y ＝－10x . 综上，直线l 的方程为y ＝2x 或y ＝－10x .。
【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业：3.2.2 Word版含解析
第三章 3.2 3.2.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知i 为虚数单位，z ＝i 1＋2i，则复数z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析： z ＝i 1＋2i ＝i·(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝i －2i 25＝25＋15i.∴复数z 对应的点为⎝⎛⎭⎫25，15，位于第一象限．答案： A2．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝() A ．14 B ．12C ．1D ．2解析： 方法一：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i (1－3i )2＝|3＋i||1－3i|2＝24＝12.∴z z ＝|z |2＝14， 故选A.方法二：z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i(1－3)－23i＝3＋i－2(1＋3i ) ＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i－8＝－3＋i4. 则z ＝－34－14i ，z ·z ＝⎝⎛⎭⎫－34＋14i ⎝⎛⎭⎫－34－14i＝316＋116＝14，故选A.答案： A3．已知复数z 1＝1＋i ，z 2＝a ＋i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数a 的值为() A ．－1 B ．1C ．－2D ．2解析： 因为z 1·z 2＝(a －1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0a ＋1≠0，解得a ＝1.答案： B4．已知i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i1＋i 2 012等于( )A ．－1B ．1C ．iD ．－i解析： ∵1－i 1＋i ＝(1－i)2(1＋i )(1－i )＝－2i2＝－i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 012＝(－i)2 012＝i 503×4＝i 4＝1.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．已知复数z ＝2ii －1，则复数z 的共轭复数为________． 解析： z ＝2ii －1＝2i (－1－i )2＝－i ＋1，∴z ＝1＋i.答案： 1＋i6．若3＋b i 1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________ . 解析： 利用复数相等的条件求出a ，b 的值．3＋b i 1－i＝(3＋b i )(1＋i )2 ＝12[(3－b )＋(3＋b )i]＝3－b 2＋3＋b 2i. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3－b 2，3＋b 2＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝3.∴a ＋b ＝3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算：(1)i 2 009＋(2＋2i)8－⎝⎛⎭⎪⎫21＋i 50＋－23＋i 1＋23i ； (2)5i －1＋2i＋(2＋i)·(1－i)． 解析： (1)i 2 009＝i 4×502＋1＝i ，(2＋2i)8＝[2(1＋i)2]4＝(4i)4＝44＝256，⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 50＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 225＝⎝⎛⎭⎫22i 25＝(－i)25＝－i ，－23＋i 1＋23i ＝i (1＋23i )1＋23i ＝i ， 所以原式＝i ＋256＋i ＋i ＝256＋3i.(2)原式＝5i (－1－2i )5＋3－i 2－i ＝i(－1－2i)＋4－i＝－i ＋2＋4－i ＝6－2i.8．已知复数z 满足z z －1＝2i ，求复数z 对应点坐标． 解析： 方法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z z －1＝x ＋y i (x －1)＋y i＝2i ， 得x ＋y i ＝－2y ＋2(x －1)i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y y ＝2(x －1)⇒⎩⎨⎧ x ＝45y ＝－25，则复数z ＝45－25i.即复数z 对应点为⎝⎛⎭⎫45，－25.方法二：由zz －1＝2i ，得z ＝(z －1)2i ＝2z i －2i ， 则z (1－2i)＝－2i ，∴z ＝－2i1－2i ＝－2i (1＋2i )5＝4－2i 5＝45－25i.即z 对应点为⎝⎛⎭⎫45，－25. 尖子生题库 ☆☆☆ (10分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．(1)若ω＝z 2＋3z －4，求|ω|；(2)若z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求a ，b 的值．解析： (1)ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2.(2)由条件，得(a ＋b )＋(a ＋2)ii ＝1－i ，所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.。
名校新学案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
名校新教案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
选修2-2第二章 2.1
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()
A．① B ．②
C．③ D ．①②
[答案 ]B
[分析 ]由①②③的关系知，小前提应为“ 三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数 y＝log2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥0，小前提是log 2x－ 2存心义，结论
________．
是
[答案 ]log2x－ 2≥0
[分析 ]由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋ b2≥2ab，
∴2(a2＋ b2)≥ a2＋ b2＋ 2ab.
[答案 ]若a≥ b，则a＋c≥ b＋c
[分析 ]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋ b2，故大前提为：若a≥ b，则 a＋ c≥ b＋ c.
4．先解答下题，而后剖析说明你的解题过程切合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程 x2－ 2mx＋ m2＋1＝ 0 没有实数根．
[分析 ]已知方程x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，因此方程 x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：假如一元二次方程的鉴别式<0，那么这个方程没有实数根；
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结论：一元二次方程x － 2mx＋ m ＋ 1＝ 0 没有实数根．
解题过程就是考证小前提建立后，得出结论．。
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A版选修22
高中数学 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）课时练 新人教A 版选修22【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.2.2(2) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析： A 项中(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确．答案： A2．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2 解析： 因为f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)．解得f ′(1)＝－2，所以f ′(x )＝2x －4，所以f ′(0)＝－4.故选B.答案： B3．曲线y ＝x 2x －1在点(1,1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0B ．x ＋y －2＝0C ．x ＋4y －5＝0D ．x －4y －5＝0 解析： y ′＝－12x －12，∵点(1,1)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－12x －12|x ＝1＝－1，由直线的点斜式方程得切线方程是x＋y －2＝0.答案： B4．若函数f (x )＝e xsin x ，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2 B ．0 C ．钝角 D ．锐角 解析： f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，f ′(3)＝2e 3sin ⎝⎛⎭⎪⎫3＋π4＜0，则此函数图象在点(3，f (3))处的切线的倾斜角为钝角． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数y ＝x 2x ＋3的导数是________．解析： y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′ ＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2x x ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6x x ＋32. 答案： x 2＋6x x ＋326．(全国大纲卷改编)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.解析： y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案： －6三、解答题(每小题10分，共20分)7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 5－3x 3－5x 2＋6；(2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2)；(3)y ＝x －1x ＋1；(4)y ＝－sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 解析： (1)y ′＝(x 5－3x 3－5x 2＋6)′＝(x 5)′－(3x 3)′－(5x 2)′＋6′＝5x 4－9x 2－10x .(2)方法一：y ′＝(2x 2＋3)′(3x －2)＋(2x 2＋3)(3x －2)′＝4x (3x －2)＋3(2x 2＋3)＝18x 2－8x ＋9.方法二∵y ＝(2x 2＋3)(3x －2)＝6x 3－4x 2＋9x －6，∴y ′＝18x 2－8x ＋9.(3)方法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′ ＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12 ＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法二：∵y ＝x －1x ＋1＝x ＋1－2x ＋1＝1－2x ＋1，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.(4)∵y ＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x4＝－sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝12(sin x )′＝12cos x .8．求下列函数的导数：(1)y ＝11－3x 4；(2)y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(3)y ＝ln(2x 2＋x )；(4)y ＝x ·2x －1.解析： (1)设u ＝1－3x ，则y ＝u －4，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u －4)′·(1－3x )′＝－4u －5·(－3)＝12u －5＝12(1－3x )－5＝121－3x 5.(2)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2＝4sin v ·cos v＝2sin 2v ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3. (3)设u ＝2x 2＋x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(2x 2＋x )′＝1u ·(4x ＋1)＝4x ＋12x 2＋x. (4)y ′＝x ′·2x －1＋x ·(2x －1)′.先求t ＝2x －1的导数．设u ＝2x －1，则t ＝u 12， t x ′＝t u ′·u x ′＝12·u －12·(2x －1)′＝12×12x －1×2＝12x －1. ∴y ′＝2x －1＋x 2x －1＝3x －12x －1. 尖子生题库☆☆☆ (10分)已知曲线y ＝e 2x ·cos 3x 在点(0,1)处的切线与直线l 的距离为5，求直线l的方程．解析： ∵y ′＝(e 2x )′·cos 3x ＋e 2x·(cos 3x )′＝2e 2x ·cos 3x －3e 2x ·sin 3x ，∴y ′|x ＝0＝2，∴经过点(0,1)的切线方程为y －1＝2(x －0)，即y ＝2x ＋1.设适合题意的直线方程为y ＝2x ＋b ，根据题意，得5＝|b －1|5，解得b ＝6或－4. ∴适合题意的直线方程为y ＝2x ＋6或y ＝2x －4.。
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：1.4生活中的优化问题举例(含答案)
第一章 1.4一、选择题(每小题5分，共20分)1．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高应为( ) A ．2033cmB ．100 cmC ．20 cmD ．203cm解析： 设高为h ，体积为V ， 则底面半径r 2＝202－h 2＝400－h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝π3(400h －h 3)，V ′＝π3(400－3h 2)，令V ′＝0，得h ＝2033或h ＝－2033(舍)．答案： A2．某厂生产某产品x (万件)的总成本C (x )＝1 200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100万件这样的产品单价为50万元，产量定为多少时总利润最大( )A ．23万件B ．25万件C ．50万件D ．75万件解析： 设单价为a ，由题意知 a 2＝k x 且502＝k 100，∴k ＝502×100＝25×104， ∴a 2＝25×104x ，即a ＝500x，总利润y ＝a ·x －C (x ) ＝500x ·x －⎝⎛⎭⎫1 200＋275x 3 ＝500×x －275x 3－1 200， y ′＝250x －12－225x 2，令y ′＝0得x ＝25，∴产量定为25万件时总利润最大． 答案： B3．用长为24 m 的钢筋做成一个长方体形框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为( )A ．8 m 3B ．12 m 3C ．16 m 3D ．24 m 3解析： 设长方体的底面边长为x ，则高为(6－2x )m ， ∴0<x <3，则V ＝x 2·(6－2x )＝6x 2－2x 3， V ′＝12x －6x 2，令V ′＝0得x ＝2或x ＝0(舍)， ∴当x ∈(0,2)时，V 是增函数， 当x ∈(2,3)时，V 是减函数， ∴当x ＝2时，V max ＝4×2＝8(m 3)． 答案： A4．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，每年生产的产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300解析： 设Q (x )表示产量为x 时的总利润 则Q (x )＝R (x )－100x －20 000 ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －12x 2－20 000，0≤x ≤40060 000－100x ，x >400 当0≤x ≤400时，Q ′(x )＝300－x ， 令Q ′(x )＝0，则x ＝300， 当0≤x <300时，Q ′(x )>0， 当300<x ≤400时，Q ′(x )<0，∴当x ＝300时，Q (x )max ＝Q (300)＝25 000. 当x >400时，Q ′(x )＝－100<0， ∴Q (x )单调递减Q (x )<Q (400)．综上Q (x )max ＝Q (300)．故选D. 答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元．试问订购________件的合同将会使公司的收益最大．解析： 设x 表示销售的件数，R 表示公司的收益，则R 等于每件的售价×销售件数． 当x ＞150时，则R (x )＝[200－(x －150)]x ＝350x －x 2.为求最大收益的件数，不妨认为R (x )连续可导，求R ′(x )＝350－2x .令R ′(x )＝0，得x ＝175时，R 有最大值．答案： 1756．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/小时，当速度为10海里/小时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲、乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析： 由题意设燃料费y 与航速x 间满足y ＝ax 3(0≤x ≤30)， 又∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为v ，费用为y ， 则y ＝av 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v ，由y ′＝40v －320 000v 2＝0得v ＝20<30.答案： 20海里/小时三、解答题(每小题10分，共20分)7．从长为32 cm ，宽为20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？解析： 设剪去的正方形的边长为x cm ，则箱子的容积V (x )＝x (32－2x )(20－2x )(0<x <10) ＝4x 3－104x 2＋640x ， V ′(x )＝12x 2－208x ＋640 ＝4(3x 2－52x ＋160) ＝4(3x －40)(x －4)． 令V ′(x )＝0，得x 1＝403(舍去)，x 2＝4.当0<x <4时，V ′(x )>0，当4<x <10时，V ′(x )<0， 所以V (x )在(0,4)内为增函数， 在(4,10)内为减函数．因此V (x )在(0,10)内有唯一的极大值V (4)，且该极大值即为函数V (x )的最大值，其最大值V (4)＝4×(32－8)×(20－8)＝1 152(cm 3)．答：当剪去的正方形边长为4 cm 时，容器的容积最大，最大容积为1 152 cm 3. 8．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析： (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x )＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋x －2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6. 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解析： (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝m x－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x ＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x ＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知， f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64. 当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值， 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．。
【金版案】高中数选修22(人教A版)：2.1.1 同步辅导与检测课件
1＋212＜32，
1＋212＋312＜53，
1＋212＋312＋412＜74
…
照此规律，第五个不等式为_1__2_12___312___41_2 __5_12__．612
11 6
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 合情推理的应用
设f(n)＝n2＋n＋41(n∈N*)，计算f(1)，f(2)， f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并判断是否对所有 n∈N*都成立．
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
跟踪训练
4．观察下列等式： 13＋23＝9， 13＋23＋33＝36， 13＋23＋33＋43＝100， 13＋23＋33＋43＋53＝225，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
例如：通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并 证明结论的真假．
sin215°＋sin275°＋sin2135°＝32 ； sin230°＋sin290°＋sin2150°＝3 ；
2
sin245°＋sin2105°＋sin2165°＝3 ；
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
几何中的归纳推理
如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条线 段，彼此最多分割成4条线段，同时将圆分割成4部分；画3条 线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画4 条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
x
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝__2_n_－__1_x_＋__2_n .
金版学案高中数学选修2-2人教A版2.3同步辅导与检测课件.ppt
另外，在推证“n＝k＋1〞时，还可以用整除的定义，将归 纳假设表示出来，假设n＝k时成立，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2 ＋a＋1整除，那么ak＋1＋(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)(q(x)为多 项式)，所以，(a＋1)2k－1＝(a2＋a＋1)q(x)－ak＋1，故当n＝k ＋1时，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明整除问题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．
分析：对于多项式A，B，如果A＝BC，C也是多项式，那 么A能被B整除．
证明：(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题 显然成立．
如果增加一个满足条件的任一个圆，那么这个圆必与前k 个圆相交于2k个点．这2k个点把圆分成2k段弧，每段弧把它所 在的原有平面分成两个局部．因此，这是平面被分割的总数在 原来的根底上又增加了2k局部，
即有f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)
＋2. 金品质•高追求 我们让你更放心！
1)． 2．用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12 n(3n－
证明：(1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝12 ×1×(3－1)＝1，左边＝右边，等式成立．
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆
(2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式也成立， 即 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，
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◆数学•选修2-2•(配人教A版)◆ 用数学归纳法证明不等式
求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*)．
金版学案 数学·选修2-2(人教A版)课件：第二章2.1-2.1.1合情推理
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理(重点、难点)． 2.了解合情推理 在数学发现中的作用(重点).
1．归纳推理和类比推理
推理类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有 归纳推理是
某些特征，推出该类事物的全 由部分到整
3V S1＋S2＋S3＋S4.
答案：C
类型 4 类比推理的应用(误区警示) [典例 4] 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示 为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
易错提示：三角形的内角类比到空间中可以是线面 角，也可以是面面角，三角形的边类比到空间中是四面体 的棱还是面，具有不确定性，这些可能是导致出错的原因．
(2)因为 f(x)＝1－x x，所以 f1(x)＝1－x x.
又因为 fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，
x 所以 f2(x)＝f1(f1(x))＝1－1－1－xx x＝1－x2x，
x f3(x)＝f2(f2(x))＝1－12－ ×12－xx2x＝1－x4x，
x f4(x)＝f3(f3ห้องสมุดไป่ตู้x))＝1－14－ ×14－xx4x＝1－x8x，
2．类比推理的步骤与方法： (1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的 (细微)差别． (2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地 表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含 糊认识说清楚．
于 D，有A1D2＝A1B2＋A1C2成立．那么在四面体 ABCD 中， 类比上述结论，你能得到怎样的猜想？试说明理由．
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：1.3.2函数的极值与导数(含答案)
第一章 1.3 1.3.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y＝1＋3x－x3有()A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3解析：y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：答案： D2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点解析：由导数与函数极值的关系知，当f′(x0)＝0时，在x0的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x)在x＝x0处取得极大值；若在x0的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x)在x＝x0处取得极小值，设y＝f′(x)图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．答案： C3．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析：方法一：由y＝f′(x)的图象可以清晰地看出，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，则f(x)为减函数，只有C 项符号，故选C.方法二：在导函数f ′(x )的图象中，零点0的左侧函数值为正，右侧为负，由此可知原函数f (x )在x ＝0时取得极大值．又零点2的左侧为负，右侧为正，由此可知原函数f (x )在x ＝2时取得极小值，只有选项C 符合，故选C.答案： C4．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对解析： f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，f ′(1)＝0即2a ＋b ＝3 ①， f (1)＝a 2－a －b ＋1＝10，即a 2－a －b ＝9 ②，解由①②组成的方程组，得a ＝－4，b ＝11(有极值)或a ＝3，b ＝－3(舍去，无极值)． 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________.解析： f ′(x )＝2xx ＋－x 2＋ax ＋2＝x 2＋2x －a x ＋2由题意知f ′(1)＝0， ∴3－a22＝0，解得a ＝3.经验证，a ＝3时，f (x )在x ＝1取得极值． 答案： 36．若函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是________．解析： 函数f (x )为三次函数，其导函数f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)为二次函数，要使函数f (x )既有极大值又有极小值，需f ′(x )＝0有两个不等的实数根，所以Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解得a ＜－1或a ＞2.答案： a ＜－1或a ＞2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y轴．(1)求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解析： (1)因f (x )＝a ln x ＋12x ＋32x ＋1.故f ′(x )＝a x －12x 2＋32.由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f ′(1)＝0，从而a －12＋32＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝－ln x ＋12x ＋32x ＋1(x >0)，f ′(x )＝－1x －12x 2＋32＝3x 2－2x －12x 2＝x ＋x －2x2.令f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝－13⎝⎛⎭⎫因x 2＝－13不在定义域内，舍去. 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数． 故f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝3.8．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，函数有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数的极小值．解析： (1)∵当x ＝1时，函数有极大值3.f ′(x )＝3ax 2＋2bx∴⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0，a ＋b ＝3. 解之得a ＝－6，b ＝9.经验证a ＝－6，b ＝9符合题意． ∴a ＝－6，b ＝9.(2)f ′(x )＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 当f ′(x )＝0时，x ＝0或x ＝1. 当f ′(x )>0时，0<x <1； 当f ′(x )<0时，x <0或x >1.∴函数f (x )＝－6x 3＋9x 2的极小值为f (0)＝0.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．解析：(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)．当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，由f′(x)>0解得x<－a，或x>a，由f′(x)<0解得－a<x<a，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，f(x)的单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0.∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3.由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1，由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的单调性可知m的取值范围是(－3,1)．。
名校新学案高中数学人教A版选修2-2课后作业1.3.2函数的极值与导数(备选)(含答案详析)
选修2-2第一章 1.31．函数f( x)的定义域为R，导函数 f ′ (x)的图象如下图，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案] C[分析 ]设f′ (x)与x轴的4个交点，从左至右挨次为x1、 x2、 x3、 x4，当 x<x1时， f ′ (x)>0 ， f( x)为增函数，当x1<x<x2时， f ′ (x)<0， f(x)为减函数，则 x＝ x1为极大值点，同理， x＝ x3为极大值点， x＝ x2， x＝ x4为极小值点．[评论 ]相关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象仍是 f ′ (x)的图象，若给的是 f( x)的图象，应先找出 f( x)的单一区间及极 (最 )值点，假如给的是 f ′( x)的图象，应先找出 f ′ (x)的正负区间及由正变负仍是由负变正，而后联合题目特色剖析求解．322． (2014 ·溪一中期中屯 )设 f( x)＝ x ＋ ax ＋ bx＋ 1 的导数 f ′ ( x)知足 f ′ (1)＝ 2a， f ′(2) ＝－ b，此中常数 a、 b∈R.(1)求曲线 y＝f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程；(2)设 g(x)＝ f ′ (x)e－x，求函数g(x)的极值．[分析 ]∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′ ( x)＝3x2＋2ax＋b，∵f ′ (1)＝ 2a，∴3＋ 2a＋b＝ 2a，∵f ′ (2)＝－ b，∴12＋ 4a＋ b＝－ b，3∴a＝－2， b＝－ 3，∴f(x)＝ x3－32x2－3x＋ 1， f ′ (x)＝ 3x2－ 3x－ 3，∴f(1)＝－52， f ′ (1)＝－ 3，∴切线方程为 y－ (－52)＝－ 3(x－ 1)，即 6x＋ 2y－ 1＝ 0.(2)∵g(x)＝ (3x2－ 3x－ 3)e－x，∴g′ (x)＝ (6x－ 3)e－x＋ (3x2－ 3x－3) ·(－ e－x)，∴g′(x)＝－ 3x(x－3)e－x，∴当0<x<3 时， g′ (x)>0，当 x>3 时， g′ (x)<0 ，当 x<0 时， g′ (x)<0 ，∴g(x)在 (－∞，0) 上单一递减，在(0,3)上单一递加，在(3，＋∞ )上单一递减，所以 g 极小 (x) ＝ g(0) ＝－ 3， g 极大 (x)＝ g(3) ＝ 15e－3 .3． (2014 山·东省菏泽市期中 )已知函数 f(x)＝1x2＋ alnx. 2(1)若 a＝－ 1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值仍是极小值；(2)若 a＝ 1，求证：在区间 [1，＋∞ )上，函数 f(x)的图象在函数23的图象的下方．g(x)＝ x3[分析 ] (1)因为函数 f( x)的定义域为 (0，＋∞ )，1x＋ 1x－ 1当 a＝－ 1 时， f ′(x)＝ x－x＝x，令 f ′ (x)＝ 0 得 x＝ 1 或 x＝－ 1(舍去 )，当 x∈(0,1)时， f ′ (x)<0 ，所以函数 f( x)在 (0,1)上单一递减，当 x∈(1，＋∞ )时， f ′ (x)>0，所以函数 f(x)在 (1，＋∞)上单一递加，则 x＝1 是 f( x)的极小值点，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极小值为f(1) ＝1 2 .1223 (2)证明：设 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝2x ＋ lnx－3x ，12－ 2x3＋ x2＋ 1则 F′ (x)＝ x＋x－ 2x＝x－x－ 1 2x2＋ x＋ 1＝x，当 x>1 时， F′ (x)<0 ，故 f(x)在区间 [1，＋∞ )上单一递减，1又 F(1)＝－6<0，∴在区间[1，＋∞)上， F(x)<0 恒建立，即 f(x)<g(x)恒建立．所以，当 a＝ 1 时，在区间 [1，＋∞) 上，函数 f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．。
金版新学案(人教版)高中数学选修2-2练习：1.6微积分基本定理(含答案)
第一章 1.6一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列各式中错误的是( )A ．sin φd φ＝1B. cos φd φ＝1C ．⎠⎛1e e xd x ＝－1 D ．⎠⎛1e1x d x ＝1解析： sin φd φ＝(－cos φ)| ＝－0－(－1)＝1， cos φd φ＝sin φ| ＝1－0＝1，⎠⎛1ee x d x ＝e x | e 1＝e e－e ，⎠⎛1e1x d x ＝ln x | e1＝ln e －0＝1.故选C.答案： C2．已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为() A ．4x ＋3 B ．3x ＋4C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析： 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ， ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 2x 2＋bx | 10＝a 2＋b ＝5， ① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b 2＝176， ② 联立①②得⎩⎨⎧ a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3，故选A.答案： A3．若⎠⎛1b1x 2d x ＝12，则b ＝( )A ．32B ．2C ．3D ．4 解析： ⎠⎛1b 1x 2d x ＝－1x | b 1＝－⎝⎛⎭⎫1b －1＝12，解得b ＝2. 答案： B4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( ) A ．34B ．56C ．45D ．不存在 解析： ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2| 21＝56. 答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________. 解析： 由⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1， 知⎠⎛12f (x )d x ＝－1－⎠⎛01f (x )d x ＝－2.答案： －26．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析： ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫a 3x 3＋cx | 10＝a 3＋c ， 又f (x 0)＝⎠⎛01f (x )d x ，∴a 3＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13， ∴x 0＝±33，又0≤x 0≤1， ∴x 0＝33. 答案：33 三、解答题(每小题10分，共20分)7．计算下列定积分．(1) ⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ；(2) ⎠⎛25 (3x 2－2x ＋5)d x ； (3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ；(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解析： (1)⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ＝⎠⎛131d x ＋⎠⎛13x d x ＋⎠⎛13x 2d x ＝x | 31＋12x 2| 31＋13x 3| 31 ＝(3－1)＋12(32－12)＋13(33－13) ＝443. (2)⎠⎛25(3x 2－2x ＋5)d x ＝⎠⎛253x 2d x －⎠⎛252x d x ＋⎠⎛255d x ＝x 3| 52－x 2| 52＋5x | 52＝(53－23)－(52－22)＋5(5－2) ＝111.(3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| 2π0 ＝(sin 2π＋cos 2π)－(sin 0＋cos 0)＝0.(4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫e x －1x d x ＝(e x －ln x )| 21 ＝(e 2－ln 2)－(e 1－ln 1)＝e 2－e －ln 2. 8．(1)求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[0，，x ， x ∈[1，，2x ， x ∈[2，3]，在区间[0,3]上的定积分；(2)求⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x . 解析： (1)⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝14x 4| 10＋23x 32| 21＋2x ln 2| 32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.(2)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ， x <－32，6， －32≤x ≤32，4x ， x >32，∴⎠⎛－33 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x尖子生题库☆☆☆ 9．(10分)已知函数f (x )＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析： f (x )＝⎠⎛0x(at 2＋bt ＋1)d t ＝⎝⎛⎭⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t | x 0＝a 3x 3＋b 2x 2＋x . ∵f (x )为奇函数， ∴b 2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13， ∴a ＝－52.。
【金版新学案】高中数学 2.1.1 推理与证明课件 新人教A版 选修2-2
(2)类比推理的适用前提
①运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性
或一致性，关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来，再 由一类对象具有的特性去推断另一类对象也可能具有的特性．
②运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象．
合情推理
1．合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过______ 观察 、
1.今夜恰有大雾 2.曹操生性多疑 3.北军不善水战 ⇒草船借箭必将成功 弓弩利于远战 4.今夜恰有东风
[问题2]
蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用
肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬
行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的吗？
[提示2] 是．所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出
一个猜想． (3)检验这个猜想．
3 ．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1∶2 ，则它 们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长 的比为1∶2，它们的体积比为多少？你能验证这个结论吗？
解析： 由类比推理得， 若两个正四面体的棱长的比为 1∶ 2，则它们的体积比为 1∶8.下面计算验证． 假设两个正四面体的棱长分别为 1 和 2， 如图， 正四面体 A －BCD 的棱长为 1，取 BC 的中点 E，作 AO⊥ED 于 O，则 OD 2 2 3 3 ＝3ED＝3× 2 ＝ 3 .
பைடு நூலகம்
图形中归纳推理的特点及思路
1．此类题目的特点：
由一组平面或空间图形，归纳猜想其数量的变化规律，这 类题颇有智力趣题的味道，解答时常用归纳推理的方法解决， 分析时要注意规律的寻找． 2．解决这类问题从哪入手：
2015高中数学 课时作业7 新人教A版选修2-2
课时作业(七)一、选择题1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值 D ．有最小值答案 A2．函数f (x )＝5x 2－2x 的单调递减区间是( ) A ．(15，＋∞)B ．(－∞，15)C ．(－15，＋∞)D ．(－∞，－15)答案 B3．函数y ＝x ln x 在区间(0,1)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，1)上是减函数答案 C解析 f ′(x )＝ln x ＋1，当0<x <1e 时，f ′(0)<0；当1e<x <1时，f ′(x )>0. 4．函数y ＝4x 2＋1x的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－12)答案 B解析 y ′＝8x －1x 2，令y ′＞0，得8x －1x2＞0，即x 3＞18， ∴x ＞12.5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－33，33)，则a的取值范围是( )A．a＞0 B．－1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1 答案 A解析y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－33＜x＜33.∴f(x)＝x3－x在(－33，33)上为减函数．又y＝a·(x3－x)的递减区间为(－33，33)．∴a＞0.6.已知f′(x)是f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是( ) 答案 D解析 从y ＝f ′(x )的图像可以看出，在区间(a ，a ＋b2)内，导数值递增；在区(a ＋b2，b )内，导数值递减，即函数f (x )的图像在(a ，a ＋b 2)内越来越陡峭，在(a ＋b2，b )内越来越平缓．7．函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)答案 D解析 f ′(x )＝e x＋(x －3)e x＝e x(x －2)，由f ′(x )>0，得x >2.∴f (x )在(2，＋∞)上是增函数． 二、填空题8．若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是________．答案 (0，＋∞)解析 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则其导数y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.9．若函数f (x )＝x －p x ＋p2在(1，＋∞)上是增函数，则实数p 的取值范围是________．答案 [－1，＋∞)解析 f ′(x )＝1＋px2≥0对x >1恒成立，即x 2＋p ≥0对x >1恒成立，∴p ≥－x 2(x >1)．∴p ≥－1.10．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.答案 (－∞，0)解析 y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0， ∴a <0.11．f (x )＝2x －ax 2＋2(x ∈R )在区间[－1,1]上是增函数，则a ∈________.答案 [－1,1]解析 y ′＝2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22，∵f (x )在[－1,1]上是增函数，∴y ′在(－1,1)上大于等于0，即2·－x 2＋ax ＋2x 2＋22≥0.∵(x 2＋2)2＞0，∴x 2－ax －2≤0对x ∈(－1,1)恒成立． 令g (x )＝x 2－ax －2，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0g 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －2≤01－a －2≤0， ∴－1≤a ≤1.即a 的取值范围是[－1,1]． 三、解答题12．已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x －1在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，又f (x )在R 上递减， ∴f ′(x )≤0对x ∈R 恒成立．即3ax 2＋6x －1≤0对x ∈R 恒成立，显然a ≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＜0Δ＝36＋12a ≤0， ∴a ≤－3.即a 的取值范围为(－∞，－3]．13．已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，求a 的取值范围． 解析 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2，要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∵x >0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16. 当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0. ∴a 的取值范围是a ≤16.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋1，a ∈R . (1)讨论函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在区间(－23，－13)内是减函数，求a 的取值范围．解析 (1)对f (x )求导，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＝3x (x ＋23a )．①当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0恒成立． ∴f (x )的递增区间是(－∞，＋∞)；②当a >0时，由于f ′(x )分别在(－∞，－23α)和(0，＋∞)上都恒为正，所以f (x )的递增区间是(－∞，－23a )，(0，＋∞)；由于f ′(x )在(－23a,0)上恒为负，所以f (x )的递减区间是(－23a,0)；③当a <0时，在x ∈(－∞，0)和x ∈(－23a ，＋∞)上均有f ′(x )>0，∴f (x )的递增区间是(－∞，0)，(－23a ，＋∞)；在(0，－23a )上，f ′(x )<0，f (x )的递减区间是(0，－23a )．(2)由(1)知，(－23，－13)⊆(－23a,0)，∴－23a ≤－23.∴a ≥1.15．若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．分析 本题主要考查借助函数的单调性来求导的能力及解不等式的能力． 解析 ∵f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，令f ′(x )＝0， 解得x ＝1或x ＝a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，不符合题意．当a －1>1，即a >2时，函数f (x )在(－∞，1)上为增函数，在(1，a －1)上为减函数，在(a －1，＋∞)上为增函数．而当x ∈(1,4)时，f ′(x )<0； 当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴4≤a －1≤6，即5≤a ≤7. ∴a 的取值范围是[5,7]．16．已知f (x )＝2x 2＋ax －2a2x 在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析 因为f (x )＝x －a x ＋a 2，所以f ′(x )＝1＋ax 2.又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以当x ∈[1，＋∞)时，恒有f ′(x )＝1＋ax 2≥0，即a ≥－x 2，x ∈[1，＋∞)．所以a ≥－1. 故所求a 的取值范围是[－1，＋∞)．17．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝0.(1)试用含a 代数式表示b ； (2)求f (x )的单调区间．分析 可先求f ′(x )，再由f ′(－1)＝0，可得用含a 的代数式表示b ，这时f (x )中只含一个参数a ，然后令f ′(x )＝0，求得两根，通过列表，求得f (x )的单调区间，并注意分类讨论．解析 (1)依题意，得f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b . 由f ′(－1)＝0，得1－2a ＋b ＝0.∴b ＝2a －1. (2)由(1)，得f (x )＝13x 3＋ax 2＋(2a －1)x .故f ′(x )＝x 2＋2ax ＋2a －1＝(x ＋1)(x ＋2a －1)． 令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1－2a . ①当a >1时，1－2a <－1.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：(1－2a ，－1)．②当a ＝1时，1－2a ＝－1，此时f ′(x )≥0恒成立，且仅在x ＝－1处f ′(x )＝0，故函数f (x )的单调增区间为R .③当a <1时，1－2a >－1，同理可得函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a ，＋∞)，单调减区间(－1，1－2a )．综上：当a >1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，1－2a )和(－1，＋∞)，单调减区间为(1－2a ，－1)；当a ＝1时，函数f (x )的单调增区间为R ；当a <1时，函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)和(1－2a ，＋∞)，单调减区间为(－1,1－2a )．►重点班·选做题18．设函数f (x )＝1x ln x(x >0且x ≠1)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)已知21x >x a对任意x ∈(0,1)成立，求实数a 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝－ln x ＋1x 2ln 2x .若f ′(x )＝0，则x ＝1e.当f ′(x )>0，即0<x <1e 时，f (x )为增函数；当f ′(x )<0，即1e <x <1或x >1时，f (x )为减函数．所以f (x )的单调增区间为(0，1e )，单调减区间为[1e ，1)和(1，＋∞)．(2)在21x >x a 两边取对数，得1xln2>a ln x .由于0<x <1，所以a ln2>1x ln x.①由(1)的结果知：当x ∈(0,1)时，f (x )≤f (1e )＝－e.为使①式对所有x ∈(0,1)成立， 当且仅当aln2>－e ，即a >－eln2.。
2015高中数学 课时作业26 新人教A版选修2-2
课时作业(二十六)一、选择题 1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小． 其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④答案 D2．(2012·北京卷理)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4答案 C4．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C5．若a 、b ∈R 且(1＋i)a ＋(1－i)b ＝2，则a 、b 的值分别为( ) A ．a ＝1，b ＝－1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝1 D ．a ＝－1，b ＝－1答案 C解析 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，a －b ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.6．复数(2x 2＋5x ＋2)＋(x 2＋x －2)i 为虚数，则实数x 满足( ) A ．x ＝－12B ．x ＝－2或x ＝－12C ．x ≠－2D ．x ≠1且x ≠－2答案 D7．以3i －2的虚部为实部，以3i2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i2＋2i 的实部为－3，∴以3i －2的虚部为实部，以3i2＋2i 的实部为虚部的复数是3－3i.8．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A ．{π，2π3，4π3}B ．{π3，5π3}C ．{π，π6，11π6}D ．{π3，π，5π3}答案 D9．适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x 、y 的值为( ) A ．x ＝0且y ＝3 B ．x ＝0且y ＝－3 C ．x ＝5且y ＝3 D ．x ＝3且y ＝0答案 A10．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a <0答案 D 二、填空题11．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________. 答案π2＋2k π(k ∈Z ) 12．若x 是实数，y 是纯虚数，且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________. 答案 122i13．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x 、y 为实数，那么x ＝________，y ＝________. 答案 14114．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________. 答案 215．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________． 答案 －2 三、解答题16．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．解析 (1)当z ∈R 时，m 2－2m －15＝0，得m ＝5或m ＝－3. (2)当z 为虚数时，m 2－2m －15≠0，得m ≠5且m ≠－3.(3)当z 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2－2m －15≠0，得m ＝－2.17．已知m ∈R ，复数z ＝m m －2m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数．解析 (1)由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m －1≠0，m 2＋2m －3＝0，解得m ＝－3.∴当m ＝－3时，z ∈R .(2)由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m m －2m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 是纯虚数． ►重点班·选做题18．已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i(m ∈R )，z 2＝2cos θ＋(λ－3sin θ)i(λ∈R )．若z 1＝z 2，证明：－916≤λ≤7.证明 由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ－3sin θ.∴λ＝4－4cos 2θ＋3sin θ＝4(sin θ＋38)2－916.当sin θ＝－38时，λmin ＝－916；当sin θ＝1时，λmax ＝7.∴－916≤λ≤7.。
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第二章 2.1 2.1.1
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨
辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是()
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故
a＝3＋3＝6.
答案： C
2．根据给出的数塔猜测 1 234 567×9＋8＝()
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．11 111 110 B．11 111 111
C．11 111 112 D．11 111 113
解析：根据数塔的规律，后面加几结果就是几个1，
∴1 234 567×9＋8＝11 111 111.
答案： B
3．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()
A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案： D
4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面
体内任意一点到各面的距离之和为”()
A．定值
B．变数
C．有时为定值、有时为变数
D．与正四面体无关的常数
解析：设正四面体S－ABC的棱长为a，正四面体内任意一点O到各面的距离分别为
h1，h2，h3，h4，由体积关系得V S－ABC＝1
3
·
3
4
a2·(h1＋h2＋h3＋h4)＝
1
3
·
3
4
a2·
6
3
a
∴h1＋h2＋h3＋h4＝
6
3
a(此为正四面体的高)．
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知Rt△ABC的两条直角边长分别为a，b，则其面积S＝1
2
ab.若三棱锥P－ABC的
三条侧棱两两互相垂直，且P A＝a，PB＝b，PC＝c，类比上述结论可得此三棱锥的体积V P －ABC等于__________.
解析：V＝1
3
Sc＝
1
6
abc.
答案：1
6 abc
6．给出下列推理：
(1)三角形的内角和为(3－2)·180°，
四边形的内角和为(4－2)·180°，
五边形的内角和为(5－2)·180°，
…
所以凸n边形的内角和为(n－2)·180°；
(2)三角函数都是周期函数，y＝tan x是三角函数，所以y＝tan x是周期函数；
(3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的；
狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；
(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空
间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．
其中属于合情推理的是________．(填序号)
解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．
答案：(1)(3)(4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线；…，由此猜想凸n边形有几条对角线？。